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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

Facultad de Ciencias Fsicas y MatematicasDepartamento de Ingeniera Matematica

Algebra II. 525148.

Espacios Vectoriales con Producto Interior

Octubre 2010.

Profesores:

Antonio Contreras Quilodran

Rommel Bustinza Pariona

Manuel Campos Pareja

Dpto. de Ingeniera Matematica 1 . ACQ/RBP/MCP.

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Definicion de Producto Interior

Sea(V, +, )un espacio vectorial sobre un cuerpo K dado por R o C. Se diceque una aplicacion , :V V K es unproducto interior (productoescalar)sobreVsi satisface las siguientes propiedades:

u+ v, w = u, w + v, w , K, u, v, w V

u, v = v, u u, v V v, v 0 v V

v, v

= 0 si, y solo si v = .

Observacion.

Notar que lasegunda propiedadimplica que vV : v, v R ,y por lo tanto tiene sentido requerir latercera propiedad.


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Ejemplos

1) En ele.v. real V := Rn se define

,

: V

V

R por

x, y :=n

j=1

xjyj x:= [x1,...,xn], y:= [y1,...,yn]V

2) En ele.v. real V :=Mmn(R)se define, : V V R porA, B := tr(Bt A) A, B V ,

donde tr (C) :=n

j=1

cjj C := (cij) Mnn(R)


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Ejemplos ... (continuacion.)

3) En ele.v. real V :=C[a, b] :={f / f : [a, b] R es continua } sedefine

,

: V

V

R por

f, g := ba

f(x) g(x) dx f, g V

4) Sea {x1, x2, ..., xn} unabasede Rn. Entonces, en ele.v. realV :=Mn(R)se define, : V V R por

A, B :=n

j=1A xj , B xjRn A, B V ,

donde , Rn es elproducto interior usualde Rn.


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5) Caso particular.

Si {x1, x2, ..., xn} es labase canonicade Rn, entonces:

A, B :=n

i=1

nj=1

aijbij A:= (aij), B := (bij) V

Observacion.

Une.v.Vsobre un cuerpo K (R o C), provisto de unproducto interior

,

se

llama unespacio vectorial con producto interior (e.v. con p.i.). Los cinco

ejemplos anteriores son e.v. con p.i.


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TEOREMA (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)

Sea( V, , )un e.v. con p.i. sobre un cuerpo K dado por R o C. Entonces sesatisface

| v, w | v, v1/2

w, w1/2

v, w V

Definicion de Norma

SeaV une.v. sobre un cuerpo K dado por R o C. UnanormasobreV es una

aplicacion :V R que satisface las siguientes propiedades: v 0 v V v = 0 si, y solo si v = v+w v +w v, w V

v

=

||

v

K,

v

V


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TEOREMA (Norma Inducida)

Sea( V, , )un e.v. con p.i. sobre un cuerpo K dado por R o C. Entonces, laaplicacion :V R definida por

v := v, v1/2 v Ves unanormasobreV, la cual se llamanorma inducidapor , .

TEOREMA de PITAGORAS y LEY del PARALELOGRAMO

Sea( V, , )un e.v. con p.i. sobre un cuerpo K dado por R o C, y sea sunorma inducida. Entonces se satisface

v + w2 =v2 +w2 si, y solo si Re v, w = 0

v+w

2 +

v

w

2 = 2

v

2 +

w

2

v, w

V


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ORTOGONALIDAD

Sea( V, , )un e.v. con p.i. sobre un cuerpo K dado por R o C. Entonces: v, w V se dicenortogonalessi

v, w = 0

{v1,...,vn} Vse dice un conjunto ortogonalsivi, vj = 0, i=j, i, j {1,...,n} y vi = 0 i {1,...,n}.

{v1,...,vn} Vse dice unconjunto ortonormalsi es ortogonaly todossus vectores tienen norma inducida igual a1, es decir

vi, vj = 0, i=j, i, j {1,...,n} y vi = 1, i {1,...,n}.


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Lema.

Sea( V, , )un e.v. con p.i. sobre un cuerpo K dado por R o C. Si{v1,...,vn} Ves un conjunto ortogonal entonces {v1,...,vn} es l.i.

Lema

Sea( V, , )un e.v. con p.i. sobre un cuerpo K dado por R o C, y seaSelsubespacio generado por unconjunto ortogonal {v1,...,vn} V. Entonces,para todovSse tiene

v =n

j=1

jvj , con j = v, vj vj 2 (unicamente determinado)

Equivalentemente, se tiene la siguiente descomposicion

S ={v1} {v2} {vn}


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TEOREMA (Identidades de Parseval)

Sea( V, , )un e.v. con p.i. sobre un cuerpo K dado por R o C, y seaSelsubespacio generado por unconjunto ortogonal

{v1,...,vn

} V. Entonces,

para todovSse tiene

v

2 =

n

j=1

| v, vj |2

vj2

En particular, si {v1,...,vn} esortonormalse obtiene

v2 =n

j=1

| v, vj |2 v S


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TEOREMA (Ortogonalizacion de Gram-Schmidt)

Sea( V, , )un e.v. con p.i. sobre un cuerpo K dado por R o C, y sea{x1,...,xn} V un conjuntol.i.. Defina, recursivamente, los siguientesvectores

i) v1 := x1

ii) vk := xk k1

j=1xk, vjvj2 vj k {2,...,n}

Entonces {v1,...,vn} esortogonalenV, y lossubespacios generadosporambos conjuntos coinciden, es decir

{x1,...,xn

} =

{v1,...,vn

} Naturalmente, si {x1,...,xn} es una base deV, entonces

{x1,...,xn} = {v1,...,vn} =V.


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Corolario

Sea( V, , )un e.v. con p.i. sobre un cuerpo K (R o C), y suponga queV esdedimension finita. Entonces existe unabase ortonormaldeV.

En efecto, en ese caso se considera una base

{x1,...,xn

}del espacio vectorial

V, por proceso de ortoganizacin de G-S se obtiene la base ortogonal {v1,...,vn}y se ortonormaliza, para obtener la base ortonormal

B =

{

v1

||vn||

, ..., vn

||vn|| }

.

Por ejemplo.Dada la base {(1, 1), (2, 1)}, que no es ortogonal, pues con el p.iusual= 3= 0, se puede ortogonalizar usando el proceso deG-S, haciendo:v1 = (1, 1), v2= (2, 1)

3

||(1,1)||(1, 1) = (

1

2 , 1

2).Ahora,se ortonormaliza dividiendo cada vector por su norma y obtener

B = v1

||v1

||,

v2

||v2

||= (

12

, 1

2), (

12

, 12

).


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Complemento Ortogonal

Sea( V, , )un e.v. con p.i. sobre un cuerpo K (R o C), y seaW V. Sedefine elcomplemento ortogonal(o simplementeortogonal) deW, y se denota

W, como el conjunto

W := { v V : v, w = 0 w W}

TEOREMA. Sea( V, , )un e.v. con p.i. sobre un cuerpo K (R o C)y supongaqueV es dedimension finita. Entonces

1. {} =V y V = {}2.

W

V : W es un subespaciodeV

3. W V : W = S, donde S := W es elsubespacio generadoporW (c.l. finitas de elementos deW)

4.

subespacio S de V: ( S ) = S y S

S =

{}

.


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TEOREMA (Descomposicion Ortogonal)

Sea( V,

,

)un e.v. con p.i. sobre un cuerpo K (R o C), y suponga queV es

dedimension finita. Entonces

subespacio S de V: V = S S

W V : V = W WEjemplo 1). SiW ={(x,y,z) :x+ 2y+ 3z= 0} (el plano que pasa por elorigen y tiene vector normal r= [1, 2, 3]), entonces su complemento ortogonal es

W ={x(1, 2, 3) :x R}. Es decir, es la recta cuyo vector director esr= [1, 2, 3]que es perpendicular al planoW. Es facil verificar que se cumplen

los resultados dados en los dos teoremas anteriores.


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Ejemplos

2) En el e.v. real V := R3 con el p.i. usual, considere el plano

W :={ [x,y,z] R3 : ax+by+cz = d }

Entonces W =

W si d = 0

R3 si d= 0

y luego W = { t [a,b,c] : t R } si d = 0{ } si d= 0

As, parad = 0se obtiene

R3 = W W

dondeW es larectaque pasa por el origen en la direccion del vector

[a,b,c]


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Ejemplos ... (continuacion.)

3) En ele.v. real V := Rn con el p.i. usual, considere

S :=

x := [x1,...,xn]V :

ni=1

xi = 0

Entonces, se obtiene

S ={ x V : x = k [1, ..., 1] , k R }

4) En el e.v. real V :=Mn(R), con el p.i. , : V V R dado porA, B := tr(Bt A) A, B V ,considere

S :=

{A

V : A = k I , k

R

}, U :=

{A

V : A=At

}Entonces, se obtiene

S ={ A V : tr (A) = 0 } , U :={ AV : A= At }


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5) En el e.v. real V :=C[, ]con el p.i. , : V V R dado por

f, g

:=

f(x) g(x) dx

f, g

V ,

considere W :={ 0, 1, 2,...,n } { 1, 2,...,n } V, dondej(x) = cos(j x) y j(x) = sen(j x) x[, ]. Entonces W esortogonalenV

{ 0 } =

f V :

f(x) dx = 0

V = { 0 } { 0 }

V = W W


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6) SeaA Mmn(R), y sean , Rn , , Rm , los productos interioresusuales de Rn y Rm. Notar que

y, A xRm = At y, xRn x Rn, y Rm

En Rm y Rn, considere, respectivamente, los conjuntos

R(A) := { A x Rm : x Rn } (Imagen deA)

y

N(A) := { x Rn : A x = Rm } (Espacio Nulo deA)

Entonces

R(A) = N(At) y N(A) = R(At)


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TEOREMA (Fundamental del Algebra Lineal)

Con las mismas notaciones del ejemplo anterior, se tiene

Rn = N(A) R(At)

Rm = R(A) N(At)


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