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Controles

Control 1

1. Dada la funcion f : D R2 R definida por f (x, y) =

xyx+y

a) Determine y grafique el dominio de f .

b) El dominio de f es un conjunto abierto?

c) Determine la frontera del dominio de f y sus puntos de acumulacion.

d) Determine las curvas de nivel f (x, y) = c y grafique para c = 0, c = 1, c = 12

y

c = 2.

e) Analice que sucede cuando c crece indefinidamente.

2. Sea T : R3 [x] R2 [x] definida por

T [p (x)] = p (x) + 10

p (x) dx

a) Pruebe que T es una transformacion lineal.

b) Sean

B1 ={

1, x 1, (x 1)2 , (x 1)3}B2 = {1, x, x (x 1)}

bases de R3 [x] y R2 [x] respectivamente. Determine [T ]B2B1 y use esta matriz paraobtener el nucleo de T .

Control 2

1. Sea T : R4 R3 una transformacion lineal definida por

T (x, y, z, w) = (x y + z + w, x+ 2z w, x+ y + 3z 3w)

Encuentre una base y la dimension de Ker(T ) e Im(T ).

2. Describa explcitamente una transformacion lineal T : R3 R2 tal que

Im (T ) = {(1, 0,1) , (1, 2, 2)}

1

Apuntes Mat023

Control 3

1. Considere la funcion T : R2 [x] R3 definida por T (p (x)) = (p (0) , p (1) , p (2)). SeanB = {1, x, x2} y C = {(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)} bases de R2 [x] y R3 respectivamente:


b) Determine Ker(T ) y [T ]CB.

c) T es un isomorfismo?.

2. Considere la funcion f : D R2 R, definida por f (x, y) = sin (x2 + y2).a) Encuentre el dominio de f y dibujarlo.

b) Determine si el dominio es abierto o cerrado.

Control 4

1. Sea

f (x, y) =

x+ y si |x|+ |y| 2

1 si |x|+ |y| < 2Existe lm

(x,y)(1,1)f (x, y)? Justificar.

2. Demuestre o de un contraejemplo de la propiedad: Para todo A,B Rn

(A B) A B

Control 5

1. Considere la funcion f : {(x, y) R2 : x 6= 0} R, definida por

f (x, y) =(x2 + y2

)arctan

(yx

)es posible definir f en (0, 1) de forma que f sea continua en tal punto?

2. Sea f : R2 R definida por

f (x, y) =

xyx2+y

si x2 6= y

0 si x2 = y

Hallar fx

(x, y) y fx

(x, y) en todos los puntos que estas existan y determinar si son

continuas en (0, 0).

2

Apuntes Mat023

Control 6

1. Considere el sistema

x = u+ v + w

y = u2 + v2 + w2

z = u3 + v3 + w3

Calcule vy

(2, 6, 8) y wx

(2, 6, 8) donde (x, y, z) = (2, 6, 8) es la imagen de (u, v, w) =

(1, 2,1).2. Considere el sistema

u3 + xv2 + y = 0

v3 + yv + u2 = 0

a) Pruebe que es posible despejar x = x (u, v), y = y (u, v) en vecindades de los

puntos (x, y) = (1,1) y (u, v) = (0, 1).b) Hallar u

x(1,1) y v

x(1,1).

Control 7

1. Un servicio de entrega de paquetes requiere que las dimensiones de una caja rectan-

gular sean tales que la longitud mas el doble del ancho mas el doble de la altura

no rebase 108 cms. Cual es el volumen de la caja mas grande que podra enviar la

compana?

2. Considerar el sistema

xy2 + xzu+ yv2 = 3

u3yz + 2xv u2v2 = 2

Es posible despejar u = u (x, y, z) y v = v (x, y, z) en vecindades de U de (x, y, z) yV de (u, v) = (1, 1). Calcular v

y(1, 1, 1).

3. Resuelva la ecuaciondy

dx=

1 xy22x2y

haciendo la sustitucion v = y/xn para algun n.

4. Muestre que la ecuaciondy

dx=y

x+ xmynf

(yx

)3

Apuntes Mat023

se transforma en una ecuacion de variables separables usando el cambio de variables

y = vx donde v = v (x). Use lo anterior para resolver la ecuacion

dy

dx=y

x+

sec2(yx

)y2

Control 8

1. Encuentre la solucion general de la ecuacion

d4y

dx4 d

3y

dx3+

d2y

dx2 3dy

dx 6y = 0

2. Un estanque contiene 50 litros de agua pura. Al estanque entra salmuera, que contiene

C gramos de sal por litro a razon de 1,5 litros por minuto. La mezcla bien revuelta,

sale a razon de 1 litro por minuto. Si despues de 30 minutos la concentracion de sal

en el estanque es de 30 gramos por litro. Hallar el valor de C.

Control 9

1. Hallar dzdx

si se cumple x3 + y3 + z3 = 0 y x2 + y2 + z2 = 1

2. La matriz

A =

(1 11 2

)representa el jacobiano de una funcion f de clase C2 de R2 en R2 en el punto (1, 1).Suponga que f (1, 1) = (1, 0) y que f (x, y) = (u, v). Pruebe que f es localmenteinvertible en (1, 1) y encuentre y

u(1, 0).

Control 10

1. Muestre que la ecuacion diferencial

2x4yy + y4 = 4x6

se reduce a una ecuacion homogenea mediante el cambio de variables y = zn para

cierto n R. Determine el valor de n y resuelva la ecuacion.2. Resuelva la ecuacion x3yy + 2x2y2 1 = 0 usando el cambio de variables u = x2y.

4

Apuntes Mat023

Control 11

1. Usando la transformada de Laplace resuelva el problema de valor inicial

ty ty + y = 2 (et 1)con y (0) = 0, y (0) = 1.

2. Obtenga la transformada de Laplace inversa de

s2 ss3 + s2 + 9s+ 9

Control 12

1. Resuelva el problema de valores iniciales

dy

dx exy + ex = 0

y (0) = 1

Ayuda. Use el cambio de variables u = ey.

2. Resuelva la ecuacion y2dx = (x3 xy) dy usando un factor integrante de la formaxnym.

Control 13

Sea R Z.1. Encontrar el desarrollo en serie de Fourier de la funcion f : ]pi, pi[ R

f (x) = cos (x)

2. Verificar que

cot (pi) =1

pi

[1

n=1

2

n2 2]

Control 14

1. La recta normal, en cada punto (x, y) de la curva dada, pasa por el punto (2, 0). Si

la curva pasa por (2, 3) encuentre su ecuacion. Justificar.

2. Resolver la ecuacion

(2x+ 1)2 y 2 (2x+ 1) y 12y = 6x

5

Apuntes Mat023

Control 15

1. Obtenga la solucion de las ecuaciones

a) (6xy2 3x2) dx = (6x2y + 3y2 7) dyb) xy y = y

ln ylnx

2. En la schopera de Don Ramon se vende cerveza artesanal a 4 oC. Dado que se

esta en epoca de verano la temperatura interior de la schopera es de 30 oC. El senor

Ramon es muy exigente con la calidad de su producto y pide a los meseros no servir

Schops si es que estos estan a mas de 7 oC. Sabiendo que a los 60 segundos la cerveza

llega a los 5 oC y que ademas un mesero demora 2 minutos en transportar la cerveza

desde su fuente hasta la mesa podran los meseros cumplir con las exigencias de Don

Ramon? (justifique matematicamente)

Control 16

1. Calcular

L[

sin t

t

](s)

2. Resolver

ty + 2y + ty = 0

con y (0) = 1 e y (pi) = 0.

3. Encontrar el desarrollo en serie de Fourier para

f (x) =

{0 pi < x < 0

pi x 0 < x < pi

y usando su resultado calcularn=1

1

(2n 1)2

Control 17

1. Si es una funcion de una variable y z = y (x2 y2) probar que1

x

z

x+

1

y

z

y=

z

y2

6

Apuntes Mat023

Control 18

1. Sea T : R3 [x] R3 [x] definida porT(a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3)

= a0 + a1 (x+ 1) + a2 (x+ 1)2 + a3 (x+ 1)

3

a) Demuestre que T es una transformacion lineal.

b) Si B = {1, x, x2, x3} encuentre [T ]BBc) Determine dim (T ). Es T inyectiva? Justifique.

Control 19


x2y 3xy + 3y = 2x4ex

Control 20

1. Resuelva la ecuacion integro diferencial

y (t) + t0

y (u) du = f (t)

donde

f (t) =

{1 0 t < 10 t > 1

con la condicion inicial y (0) = 0.

Control 21

1. Para x > 0 resuelva el P.V.I.

x2y 2xy + 2y = x4

con y (1) = 0, y (0) = 1.

Control 22

1. Considere las superficies en R3 dadas por las ecuaciones

y = f (x)

y

z2 + 2xz + y = 0

Determine la funcion f si se sabe que ambas superficies tienen el mismo plano

tangente en todo punto donde intersectan.

7

Apuntes Mat023

2. Dado el sistema

u = f (x)

v = g (x, y)

w = h (x, y, z)

para el caul se cumple (f,g,h)(x,y,z)

6= 0:

a) Demuestre que localmente se pueden despejar las variables y, u, z como funciones

de (x, v, w) y queu

w=y

w= 0

b) Pruebe quez

x= 1

gyhz

( (h, g)

(x, y)

)

Control 23

1. Calcule, si existe, el siguiente lmite

lm(x,y)(0,0)

yx sin (y3)

x4 + y4

2. Sea

f (x, y) =

xyx3y si y x3 6= 0

1 si y x3 = 0Encuentre el dominio de continuidad de f .

Control 24

1. Sea f (x, y) = ynex2/(4y). Hallar un valor de n tal que f cumpla la ecuacion

x2f

y=

x

(x2f

x

)2. Demostrar que el tetraedro acotado por los planos coordenados y cada plano tangente

a la superficie xyz = a3 es de volumen constante.

8

Apuntes Mat023

Control 25

1. Encuentre todas las soluciones de la ecuacion

dy

dx=

3

2x2 (y 1)3

2. Resuelva el problema de valor inicial

y +5

9xy = 3x3 + x

con y (1) = 4.

Control 26

1. Se esta celebrando una fiesta en una habitacion que contiene 1800 pies cubicos de

aire libre de monoxido de carbono. En el instante t = 0 varias personas comienzan

a fumar. El humo que contiene 6 por ciento de monoxido de carbono, se introduce

en la habitacion a razon de 0.15 pies cubicos por minuto, y la mezcla, removida por

ventilacion, sale a ese mismo ritmo por una ventana entreabierta. Cuando debera

abandonar una persona prudente esa fiesta, si el nivel de monoxido de carbono

comienza a ser peligroso a partir de una concentracion de 0.00018?

Control 27

1. Un edificio tiene dos pisos. El primer piso esta sujeto al suelo rgidamente y el segundo

es una masa m que pesa 16 toneladas. La estructura elastica del edificio se comporta

como un resorte que resiste a los desplazamientos horizontales del segundo piso;

requiere una fuerza horizontal de 5 toneladas para que el segundo piso se desplace

una distancia de 1 pie. Suponga que un temblor de tierra hace que el piso oscile

horizontalmente con una amplitud A0 y con una frecuencia , resultando una fuerza

externa F (t) = mA02 sin (t) sobre el segundo piso.

a) Cual es la frecuencia de las oscilaciones del segundo piso?

b) Si el suelo sufre una oscilacion cada 2.25 segundos con una amplitud de 3 pulgadas

cual es la amplitud de las oscilaciones forzadas resultantes del segundo piso?

Control 28

1. Resuelva el problema de valores iniciales

ty ty y = 0con y (0) = 0, y (0) = 3.

9

Apuntes Mat023

2. Resuelva el problema

y 4y + 4y ={

t si 0 t < 3t+ 2 si t 3

con y (0) = y (0) = 0.

Control 29

1. Resolver las ecuaciones

a) xy2y + y3 = x cosx

b) dydx

= 3x2y+y22x3+3xy

con y (1) = 2

Control 30

1. Sea T : R2 [x] R2 definida por T (p (x)) = (p (0) , p (1))


b) Determine una base para Ker(T ) e Im(T ). Cuales son sus dimensiones?

c) Sea B = {1 + x, 2 + x2, 4 + x+ x2} base de R2 [x] y sea C la base canonica deR2. encuentre [T ]CB.

Control 31


y =1

16x2y2 y + 4x (x+ 4)

Sabiendo que una solucion particular es de la forma axb.

2. Determine la funcion M (x, y) mas general de modo que la ecuacion diferencial

M (x, y) dx+

(xexy + 2xy +

1

x

)dy = 0

sea exacta y resuelva la ecuacion para una de tales M .

Control 32

1. Determine los maximos y mnimos globales de

f (x, y, z) = 2x2 + y2 + z2 xysujeto a x

2

2+ y

2

4+ z

2

8 1.

10

Apuntes Mat023

Control 33

1. Use la transformada de Laplace para resolver el sistema

x = 4x 2yy = 5x+ 2y

con x (0) = 2 y y (0) = 2.

Control 34

1. Suponga que un tanque cilndrico recto con radio de la base 12

metro y altura 4 metros

tiene inicialmente 2 litros de agua pura. Una solucion de salmuera se bombea hacia

el tanque a una rapidez de(1 + 1

1+t

)litros por minuto, la concentracion de sal en el

flujo de entrada es de 12

kilogramo por litro. La solucion en el tanque es homogenea y

se extrae a 11+t

litros por minuto. Determinar la cantidad de sal en el tanque cuando

este se llena.

2. Sean u = (1, 0, 1), v = (1, 0,1) y w = u v vectores en R3 y C la base canonica deR3:

a) Si T : R3 R3 es una transformacion lineal definida por T (u) = w, T (v) = vy T (w) = u, determine [T ]CC y [T T ]CC

b) Determine explcitamente T1 o argumente que no esta definida.

c) Si B = {u,v,w} determine [T ]BBd) Encontrar una matriz A tal que A1 [T ]BB A = [T ]

CC

Control 35

1. ean a, b R, a 6= 0. Considere la ecuacion diferencial autonomadx

dt= a ((x 1) (x 4) b)

I) Determine los valores y/o condiciones sobre a y b de modo que la funcion

x (t) 5 sea una solucion de equilibrio y ademas un atractor.II) Para los valores y/o condiciones obtenidos en la parte anterior, bosquejar el

diagrama de fases.

11

Apuntes Mat023

III) Para los valores y/o condiciones obtenidos en la parte I), analizar el comporta-

miento de la solucion definida por el P.V.I.

dx

dt= a ((x 1) (x 4) b)

x (0) = 1

esto es: Intervalos de crecimiento, decrecimiento y concavidad, limites a siestos tienen sentido (examinar el intervalo maximal de definicion).

Obs.: No se entregaran puntos por resolver explcitamente y luego realizar el

analisis.

Control 36

1. Considere el sistema de ecuaciones

d

dtX = AX+B

donde X =

(x (t)

y (t)

), A =

(2 4

1 3)

y B =

(et

e2t

)a) Resolver el sistema homogeneo d

dtX = AX, bosquejar el diagrama de fases y

clasificar la solucion de equilibrio. Si

(x (0)

y (0)

)=

(3

2

)determine la ecuacion

de la recta a la cual tiende la curva solucion cuando t +.b) Resolver el sistema no homogeneo d

dtX = AX+B

2. Resolver el problema

d2y

dt2= t+ 2

t0

e(tu)y (u) du

y (0) = 0

y (0) = 0

Control 37

1. Considere la funcion

f (x, y) =

xy

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

12

Apuntes Mat023

a) Determine los valores de R+ para los cuales f es diferenciable en (0, 0)b) Determine (para todo R+) el plano tangente a la grafica en el punto (1, 1, 1

2

).

2. Sea f : D R2 R definida por

f (x, y) =

x2 + y2 14 x2 y2

a) Determine el dominio D de f .

b) Demostrar que(32, 0) D, (1,3) D y (0, 0) 6 D.

c) Describir los conjuntos de nivel de f y graficar la funcion.

Certamenes

Certamen 1

1. Sea f : R2 R diferenciable tal que f (1, 1) = 1 y f (1, 1) = (2, 3). Seaz = g (x, y) = f (x2y, y2f (x, y)). Encuentre la ecuacion del plano tangente a la

superficie z = g (x, y) en el punto (1, 1, 1).


f (x, y) =

1x

sin (x2 + x2y2) si x 6= 0

0 si x = 0

a) Pruebe que f es continua en R2

b) Encuentre fx (0, 0) y fy (0, 0)

c) Determine si f es diferenciable en (0, 0).

3. El sistema

x3 + uy2 + v = 0

y3 + yv + x2 = 0

define a u y v como funciones de x e y, en vecindades de los puntos (x, y) = (0, 1) y

(u, v) = (1,1). Sea w = (1, 1), determine la derivada direccional de v = v (x, y) enel punto (1, 0) en la direccion w.

4. El material para el fondo de una caja rectangular cuesta el triple por metro cuadrado

que el material para los lados y la tapa. Determine la maxima capacidad que tal caja

puede tener si la cantidad total de dinero disponible para el material es $12000 y el

material para el fondo cuesta $600 el metro cuadrado.

13

Apuntes Mat023

Certamen 2

1. Considere la aplicacion lineal T : R3 R3 tal que T (1, 1, 0) = (2, 4,2), T (1, 0, 1) =(0, 2,2) y T (0, 1, 1) = (2, 2, 2):

a) Es T invertible?. Justifique.

b) Pruebe que existe una base B de R3 tal que [T ]BB es una matriz diagonal.

2. Sea g : R R una funcion continua y defina f : R2 R por

f (x, y) =

yx

g (t) dt

a) Pruebe que f es diferenciable

b) Pruebe que el plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto (a, b) pasa

por el origen si y solo si

bg (b) ag (a) = ba

g (t) dt

3. Encuentre el maximo de lnx+ln y+3 ln z sobre la porcion de esfera x2+y2+z2 = 5r2

donde x > 0, y > 0, z > 0. Use el resultado para probar que para numeros reales

positivos a, b, c tenemos

abc3 27(a+ b+ c

5

)54. Sea U = {(x, y, z) R3 : xy 6= 0}. Definamos f : U R3 R por

f (x, y, z) = g

(x+

z

y, y +

z

x

)donde g : R2 R es una funcion de clase C1. Suponga que para cada

(x, y, z) U , fz

(x, y, z) 6= 0

a) Considere un punto (x0, y0, z0) U tal que f (x0, y0, z0) = 0. Argumente quef (x, y, z) = 0 define implcitamente a z como funcion de las variables x e y, es

decir, z = z (x, y) en una vecindad de (x0, y0) tal que z0 = z (x0, y0).

b) Demuestre que la funcion z de la parte anterior satisface la ecuacion

xz

x+ y

z

y= z xy

14

Apuntes Mat023

Certamen 3

1. Resuelva la siguiente ecuacion

y = e2xy2 2y 9e2x

con y (0) = 4 sabiendo que tiene una solucion particular de la forma y (x) = aekx.

2. Un tanque contiene inicialmente 60 gal. de agua pura. Entra al tanque, a una tasa de

2 gal./min., salmuera que contiene 1 lb. de sal por galon, y la solucion (perfectamente

mezclada) sale de el a razon de 3 gal. por minuto; el tanque se vaca despues de una

hora exactamente.

a) Encuentre la cantidad de sal que hay en el tanque despues de t minutos.

b) Cual es la cantidad maxima de sal que llega a tener el tanque?.

3. Resuelva la ecuacion

x(1 x2)2 y (1 x2)2 y + x3y = 0

usando el cambio de variables t = 12

ln (1 x2)4. Encuentre la solucion general de la ecuacion(

x2 2x) y + 2 (1 x) y + 2y = 6 (x2 2x)2sabiendo que y = x 1 es una solucion de la ecuacion homogenea asociada.

15

Apuntes Mat023

Certamen 4

1. Resuelva las ecuaciones

a) x3 dydx

+ x2y = 2y4/3

b) (x2 + y2 + 1) dx (xy + y) dy = 0

2. Suponga que un individuo infectado se introduce en una poblacion de tamano N,

todos los individuos de la cual son susceptibles a la enfermedad . Si suponemos que

la tasa de infeccion es proporcional al producto del numero de infectados y el de

susceptibles presentes, cual sera el numero de infecciones en el tiempo t?.

3. Para x > 0, considere la ecuacion

xy +(x2 1) y + x3y = ex2/4

a) Use el cambio de variables t = x2/2 para encontrar la solucion general de la

homogenea.

b) Resuelva la no homogenea usando variacion de parametros.

16

Apuntes Mat023

Certamen 5

1. a) Pruebe que el cambio de variables u = ax + by + c transforma la ecuacion

diferencial y = f (ax+ by + c) en una ecuacion diferencial autonoma, dondea, b y c son constantes reales.

b) Use el resultado anterior para transformar la ecuacion

dy

dx= (y 2x) (y 2x)2 + 2 (ec-1)

en una ecuacion autonoma.

c) Haga la linea de fase de la ecuacion autonoma obtenida en el item b).

d) En el plano xy haga un esbozo de las soluciones de la ecuacion (ec-1).

e) Obtenga la solucion general de (ec-1).

2. Determine una solucion de la forma y (x) = xn para la ecuacion(x2 1) y (x) 2xy (x) + 2y (x) = 0, x > 1

donde n es algun entero positivo.

Usando el resultado anterior, hallar la solucion del problema de valores iniciales{(x2 1) y (x) 2xy (x) + 2y (x) = (x2 1)2 x > 1y (2) = 2, y (2) = 10

3. Considere el sistema lineal de ecuaciones diferenciales

dx

dt= y

dy

dt= 4x 2ay

con a R:

a) Para los diferentes valores del parametro real a, haga un retrato de fase del

sistema de ecuaciones indicando las direcciones en las cuales las curvas son

recorridas.

b) Obtenga la solucion general del sistema.

4. Supongamos que la tasa de cambio del precio x de un bien, crece en el tiempo a una

razon constante c como resultado de la inflacion constante, al mismo tiempo cae en

forma proporcional a la diferencia entre la oferta y en el tiempo t y alguna oferta de

equilibrio y0, es decir,dxdt

= c (y y0). Tambien asumimos que la tasa de cambiode la oferta es proporcional a la diferencia entre el precio y algun precio de equilibrio

x0, es decir,dydt

= (x x0). ( y )son constantes de proporcionalidad positivas.Asumiendo que en t = 0,x = x0 y y = y0

17

Apuntes Mat023

a) Muestre que el precio y la oferta oscilan alrededor de x0 y y0 + c/ respectiva-

mente.

b) Si en el tiempo t = T0 el precio es maximo en que tiempo la oferta es maxima?

18

Apuntes Mat023

Certamen 6

1. Se ha determinado experimentalmente que la variacion de peso de un tipo de pez

sigue la leydp

dt= e

3tp2/3 p

donde p = p (t) representa el peso, y son constantes positivas. Si p (0) = p0 > 0

determine el peso maximo del pez.

a) Hallar una ecuacion diferencial lineal con solucion general

c1et cos (2t) + c2e

t sin (2t) + t5

b) Considere la ecuacion y + q (x) y = 0 donde q es continua en todo R y dossoluciones y1, y2 las cuales satisfacen y1 (0) = 1, y

1 (0) = 0 y y2 (0) = 3, y

2 (0) = 1.

Si W (x) es el Wronskiano de y1 e y2 en x demuestre que W (x) = 1 para todo

x donde las soluciones esten definidas.

2. Muestre que (x) = ex es una solucion de la ecuacion xd2y

dx2 (x+ 2) dy

dx+ 2y = 0 y

determinar la solucion general de

xd2y

dx2 (x+ 2) dy

dx+ 2y = x3

3. Sea C la base canonica de R3. Sean T, L : R3 R3 transformaciones lineales talesque T (1, 1, 1) = (1,3, 3), T (1, 1, 0) = (2,3, 2), T (1, 0, 0) = (1,1, 2) y

[L]CC =

2 3 21 1 14 6 5

a) Determine T explcitamente.

b) Determine [T L]CCc) Que relacion existe entre T y L?

d) Determinar Ker(T ) e Im(L).

19

Apuntes Mat023

Certamen 7

1. a) Calcular la serie de Fourier de la funcion

f (x) =

1 si 0 < x < pi

1 si pi < x < 0

y usando la serie muestre quepi

4= 1 1

3+

1

5 1

7+

b) Usando la serie de Fourier anterior, determine la serie de Fourier de

g (x) =

a si 0 < x < pi

b si pi < x < 0

para a, b R (No se entregaran puntos por calcular esta serie con las formulasde los coeficientes de Fourier).

2. Resolver el P.V.I.d2y

dt2+ 9y =

{t si t < 1

0 si t > 1

con y (0) = y (0) = 0.

3. Resolver el sistema t0

etux (u) du+ t0

(t u) y (u) du = t2 t0

x (u) du+

t0

(t u)2 y (u) du = t3

4. Sea R{1, 2}. Considere el sistema de ecuaciones

d

dt

(x

y

)=

( 2

1 )(

x

y

)a) Clasificar la solucion de equilibrio (silla, atractor, repulsor, etc.) para los distintos

valores de .

b) Para = 32

determine la solucion general del sistema y bosquejar el diagrama

de fases.

20

Apuntes Mat023

Certamen 8

1. Hallar y clasificar los puntos crticos de f : R2 R definida por

f (x, y) = x3 + y3 + 9x2 3y2 + 15x 9y

Posee f extremos globales?.


f (x, y) =

x2y

|x|+ y2 si (x, y) 6= 0

0 si (x, y) = 0

a) Determine los puntos del dominio de f en los cuales la funcion es continua.

b) Es f diferenciable en (0, 0)?

c) Si a es un vector unitario de R2 yf

a(1, 1) es la derivada direccional de f en

(1, 1) en la direccion a, determine el valor de

maxaR2, a=1

f

a(1, 1)

3. Determine las funciones f : R R de clase C1 (R) tales que las superficies

S1 ={

(x, y, z) R3 : y = f (x)}S2 =

{(x, y, z) R3 : z2 + 2xz + y = 0}

son tangentes en los puntos de interseccion.

4. Suponga que la funcion de clase C2 (R), f : R2 R, (x, y) f (x, y) satisface laecuacion en derivadas parciales

2f

x2 2

2f

xy 3

2f

y2= 0

y defina g : R2 R por

g (u, v) = f (u+ v, u+ v)

donde , , y son constantes. Determine valores enteros no nulos de , , y

para los cuales g cumple2g

uv= 0

21

Apuntes Mat023

Certamen 9

1. Resolver la ecuacion diferencial

td2y

dt2+ (1 2t) dy

dt 2y = 0

con las condiciones iniciales y (0) = 1, y (0) = 2.

2. En el paraboloide 4x2 + y2 + 4z2 16x 6y 8z+ 25 = 0 hallar el punto mas cercanoy mas alejado del plano 2x+ 2y + z = 0.

3. Muestre que existen funciones u = u (x, y), v = v (x, y) definidas en un abierto U que

contiene a (1, 1) tales que u (1, 1) = 0, v (1, 1) = 1,

ux3 + xy2 + u sinu = 1

y

v3 2xv + y3 = 0ademas estudiar si la funcion F : U R2 R2, (x, y) F (x, y) = (u (x, y) , v (x, y))es localmente invertible cerca de (1, 1) y en caso afirmativo calcular DF1 (0, 1).

4. Sea f : R2 R, (x, y) f (x, y) una funcion de clase C2.

a) Muestre que si g (r, ) = f (r cos , r sin ) entonces

2f

x2+2f

y2=2g

r2+

1

r22g

2+

1

r

g

r

b) Determine una funcion f : {(x, y) R2 : 1 x2 + y2 9} R tal que2f

x2+2f

y2= 0 para 1 < x2 + y2 < 9

f (x, y) = 1 si x2 + y2 = 1

f (x, y) = 3 si x2 + y2 = 9

suponiendo que g (r, ) = f (r cos , r sin ) no depende del angulo, es decir,g

= 0.

22

Apuntes Mat023

Certamen 10

1. Determine todas la funciones de clase C1 y positivas f : R R+, que cumplanf (0) = 1 y tales que en todo intervalo [a, b] el area bajo la grafica de la funcion y

sobre el eje x sea igual a la longitud de arco de la grafica.

2. Determine la solucion general de la ecuacion

d3y

dt3 6d

2y

dt2+ 11

dy

dt 6y = et + t

3. Si se sabe que una solucion de

d2y

dx2+ f (x)

dy

dx+ g (x) y = 0

es (x) = x y f (x) = 1x

(x+ 2), determine g (x) y la solucion general de

d2y

dx2+ f (x)

dy

dx+ g (x) y = xex

4. Construir una transformacion lineal T : R4 R4 tal que

ker (T ) = {(x, y, z, w) : x+ y + z = 0 x 2y + w = 0}

e

Im (T ) = {(x, y, z, w) : x y z = 0 x+ 2w + y z = 0}y determine [T ]BC donde

B = {(1, 0, 0, 0) ; (1, 1, 0, 0) ; (1, 1, 1, 0) ; (1, 1, 1, 1)}

y C es la base canonica de R4.

23

Apuntes Mat023

Certamen 11

1. Determine La serie de Fourier de : [2, 2] R

x (x) =

0 si x [2, 0]

x si x [0, 2]

a que converge la serie de Fourier de al evaluarla en x = 6?

2. Resolver el P.V.I.

d2y

dt2 y =

0 si t < 4

t2 si t > 4

donde y (0) = y (0) = 0.

3. Determine las funciones de orden exponencial , : R R que cumplen (0) = 0 y t0

(t u) (u) du = t2 t0

etu (u) du = t

a) Analizar para los distintos valores de en R la naturaleza de las soluciones deequilibrio del sistema

d

dt

(x

y

)=

( 1

1 )(

x

y

)y bosquejar en cada caso el diagrama de fases.

b) Resolver el P.V.I.

d

dt

(x

y

)=

(2 1

1 2)(

x

y

)x (0) = y (0) = 1

24

Apuntes Mat023

Certamen 12

1. Considere el siguiente modelo de dinamica poblacional:

dy

dt= r

(1 y

k

)y Ey donde 0 < E < r, k 6= 0

a) Hallar y clasificar las soluciones de equilibrio.

b) Si y (0) = k2

(1 E

r

)bosquejar la solucion y determinar lmt+ y (t).

c) Existen valores de los parametros E, k, r tal que dos puntos crticos consecutivos

sean atractores?

2. Resolver el problema de valores iniciales

xy (x) + (2x 1) y (x) 2y (x) = x2e3x, x > 0

donde y (1/2) = y (1/2) = 0, si se sabe que y (x) = ex es una solucion de lahomogenea asociada para un adecuado.

3. Considere el problema

u (t) + a2u (t) = 2 sin(t+

pi

4

)u (0) = u (0) = 0

donde a es una constante conocida.

a) Si a 6= resolver la ecuacion diferencial con las condiciones dadas.b) Para que valores de ocurre el fenomeno de la resonancia? Justifique su

respuesta.

4. Considere el sistema de ecuaciones

dx

dt= 5x+ 4y

dy

dt= 4x+ 5y

a) Elaborar el retrato de fases del sistema y clasificar los puntos de equilibrio.

b) Bosquejar en el plano de fase la curva solucion con condiciones iniciales x (0) = 2,

y (0) = 3 Existe algun instante t en el cual x (t) = y (t)?

c) Bosquejar en el plano de fase la curva solucion con condiciones iniciales x (0) = 4,

y (0) = 2 Existe algun instante t en el cual x (t) = y (t)?

25

Apuntes Mat023

Certamen 13

1. Sea f : R3 R diferenciable y tal que

f(0, 2, 1) = (1,1,2) y f(0, 2, 1) = 4

Considerar ademas la funcion g(u, v) = f(u v2 , 3u v , 3u2 2v) . Encuentre laecuacion del plano tangente a la superficie z = g(u, v) en el punto (1, 1, 4) .

2. La ecuacion x2 + y3 + z4 + u5 = 2 define a u como funcion de x , y y z y la

ecuacion x+ y2 + z3 = 1 define a z como funcion de x e y . Entonces, se puede

considerar u como funcion de x e y . Entonces:

Hallardu

dv (1 , 1) , dondev esta en la direccion (1 , 1).

3. Sean F : R3 R3 y G : R2 R3 dadas por F (x , y , z) = (u , v , w) determinadopor el sistema

u = x yv = x2 y2 + zw = x z

y G(x , y) = (x 2y + 1 , 2x y , x2 y2)

a) Determinar los puntos de R3 en los que F es localmente invertible.

b) Determinardy

dw(0, 1, 0)

c) Calcular el diferencial de F1 G en (1, 1)

4. Considerar la elipse que se obtiene al interceptar el cilindro x2 + y2 = 1 y el plano

x+ y + z = 0 . Encontrar la longitud del semieje mayor y del semieje menor.

26

Apuntes Mat023

Certamen 14

1. Resolver

y 2y + y 2 t0

y(u)du = 5 ; t 0

con y(0) = 0 ; y(0) = 0 .

2. Resolver el sistema

x(t)y(t)z(t)

= 1 2 30 2 3

0 0 2

x(t)y(t)

z(t)

3. Considerar la funcion

f(x) = ex ; pi < x < pi

y f(x+ 2pi) = f(x) . Pruebe o refute que:

pi

sinh(pi)=

1

+ 2

n=1

(1)n2 + n2

27

Apuntes Mat023

Certamen 15

1. Encuentre la solucion general de la ecuacion de Euler no homogenea:

x2y + 2xy 2y = 10 cos (lnx)

2. Una masa que pesa 8 lbs. estira 4 pies un resorte. Al principio esta masa parte

del reposo a 2 pies abajo de la posicion de equilibrio y el movimiento ocurre en un

medio que presenta una fuerza de amortiguamiento igual a la mitad de la velocidad

instantanea. Deducir la ecuacion del movimiento si se aplica una fuerza externa igual

a f(t) = t cos(2t)

3. Para x > 0 y haciendo el cambio x = 1t

encuentre la solucion general de la ecuacion

4x4y + 8x3y + y = tg(

1

2x

)4. Considere la ecuacion diferencial

y + 4xy +(6 + 4x2

)y = x2ex

2

.

a) Pruebe que si y(x) = u(x)ex2

es solucion, entonces u satisface una ecuacion

diferencial lineal no homogenea con coeficientes constantes.

b) Use el resultado de la parte anterior para determinar la solucion y(x) con

y(0) = 1 , y(0) = 0

28

Apuntes Mat023

certamen 16

1. La Ley de Malthus supone que la tasa de crecimiento de una poblacion p , es

directamente proporcional al tamano de la poblacion en cada instante.

a) Escribir la ecuacion diferencial que representa esta relacion y verificar que

p(t0) = p0 , entonces p(t) = pe(tt0) , para alguna constante > 0

b) Sabiendo que la poblacion de la tierra aumento, en promedio, el 2 % anual desde

1960 ( = 0,02) y que en 1965 se estimaba en 3.340 millones de personas.

Calcular mediante este modelo en cuanto tiempo la poblacion se duplico (respecto

de 1960).

c) Este modelo tiene una correccion propuesta por Verhulst en 1837, que asume

que al crecer mucho la poblacion y tener que competir por el alimento y espacio,

el crecimiento se ve afectado por la falta de recursos. Este modelo esta dado por

la ecuacion logstica

p = p p2

con , constantes reales positivas. Resuelva esta ecuacion.

d) Calcular para ambos modelos el lmite cuando t tiene a infinito y explicar su

resultado.

2. Determine la distancia maxima y mnima del origen (0, 0, 0) a los puntos de la curva

definida por la interseccion de las superficies:

z = x2 + y2 ; x+ 2y + z = 10

3. Considere la transformacion F : R3 R3 dada por

F (x, y, z) = (u, v, w), donde u = xy2 v = x+ 3y w = z x.

Se verifica que F (4, 1, 2) = F (1, 2,1) = (4, 7,2).

a) Pruebe que en torno a los puntos (4, 1, 2) y (1, 2,1) existen inversas locales

(x, y, z) = G(u, v, w) ; (x, y, z) = H(u, v, w)

que satisfacen G(4, 7,2) = (4, 1, 2) y H(4, 7,2) = (1, 2,1) respectivamente.b) Calcular

x

ven el punto (4, 7,2) para G o H (ESCOGER SOLO UNA DE

ELLAS).

29

Apuntes Mat023

Certamen 17

1. Resuelva la ecuacion diferencial

x3y + 4x2y + xy y = x2 lnx

para x > 0.

2. Considerar la funcion

f (t) =

{0 si 0 t < 11 si t 1

Resuelva el sistema

9x 32y 32y = f (t)2x +

t0

x (u) du+ 8y + 8y = 0

con x (0) = 32 e y (0) = 9.

3. Use el cambio y = z1+x2

para resolver la ecuacion

(1 + x2

)y + 4xy + 2

(3 + 2x2

)y =

2

cos (2x)+

2

sin (2x)+ 2x

30

Apuntes Mat023

Certamen 18

1. Sea T : R3 R2 una transformacion lineal. Sean B = {(1, 1, 1) , (1, 1, 0) , (1, 0, 0)} yU = {(1, 1) , (1,1)} bases de R3 y R2 respectivamente.Considere

A = [T ]UB =(

1 0 11 1 2

)Determine:

a) [T (1, 1, 0)]U

b) T (3, 2, 1)

c) T es inyectiva?

a) Si w = f(yxxy, zyyz

). Probar que

x2w

x+ y2

w

y+ z2

w

z= 0

b) Sea f : R2 R definida por

f (x, y) =

{x2 si x2 y2y si x2 < y2

determine el maximo dominio de continuidad de f .

2. Pruebe que el maximo valor de x2y2z2 bajo la condicion x2 + y2 + z2 = R2 es(R2

3

)3.

Deduzca de esto que

3x2y2z2 x

2 + y2 + z2

3

3. Un canaleta cuya seccion transversal tiene forma de trapecio, con angulos en la base

iguales, se va a construir doblando bandas iguales a lo largo de ambos lados de una

larga pieza de metal, de 12 pulgadas de ancho. Encuentre los angulos de la base y las

dimensiones de los lados que producen la maxima capacidad de acarreo.

31

Apuntes Mat023

Certamen 19

1. Dada la funcion definida por

f (x, y) =

{(y2)2 sin(xy)x2+y24y+4 si (x, y) 6= (0, 2)

0 si (x, y) = (0, 2)

Es f una funcion continua en R2?

2. El volumen de un elipsoide de semiejes a, b, c es 4pi3abc. Hallar el elipsoide con centro

(0, 0, 0) de volumen mnimo que pasa por (2,3, 5).3. Considere las ecuaciones

uv 3x+ 2y = 0u4 v4 = x2 y2

Verifique que ellas definen funciones u = u (x, y), v = v (x, y) en torno al punto

(u, v, x, y) = (1, 1, 1, 1), ademas, determine la ecuacion del plano tangente a la

superficie u = u (x, y) en (1, 1, 1).

4. Sea f : R2 R de clase C2

a) Pruebe que si f es homogenea de grado p, es decir, f (tx, ty) = tpf (x, y) entonces

x22f

x2+ 2xy

2f

xy+ y2

2f

y2= p (p 1) f

Ind.: g (t) = f (tx, ty) derivar dos veces respecto a t.

b) Probar que si (x, y) f (x, y) = pf (x, y) para todo (x, y) entonces p es ho-mogenea de grado p.

Ind.: Defina g (t) = f (tx, ty) tpf (x, y) y calcule la derivada.

32

Apuntes Mat023

Certamen 20

1. Sea

f (x, y) =

{xy3

x2+y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

a) Es f continua en (0, 0)?

b) Hallar fx (x, y) y fy (x, y).

2. (Plano tangente y regla de la cadena)

a) Dada la superficie S : x2 + 2y2 + 3z2 = 21 hallar la(s) ecuacion(es) del (de los)

plano(s) tangente(s) a S que es (son) paralelos(s) al plano x+ 4y + 6z = 0.

b) Si z = f (x, y) es de clase C1 y x = r cos e y = r sin , probar que

sin z

r+

cos

r

z

=z

y

3. (Maximos y mnimos)

a) Encuentre los maximos y/o mnimos de la funcion

f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 + xy + yz + xz + x 2y

b) Determine los angulos , , de un triangulo de modo que el producto de sus

senos sea maximo.

33

Apuntes Mat023

Certamen 21

1. Considere la funcion f definida como sigue:

f (x, y) =

{2yx3

x2+y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

a) Determine si la funcion f (x, y) es continua en todo R2.

b) Determine si la funcion f (x, y) es diferenciable en todo R2.

c) Determine el valor de fxy (0, 0) y fyx (0, 0).

2. Sean x la cantidad de sillas e y la cantidad de mesas producidas por un fabricante.

Si las funciones f (x, y) = 256 3x y y g (x, y) = 222 + x 5y corresponden a losprecios unitarios de venta de los productos respectivamente, hallar las cantidades

de sillas y mesas de modo de obtener maximas utilidades sabiendo que el costo de

produccion total es C (x, y) = x2 + xy + y2.

3. Dada la ecuacion

sin (yz) + sin (xz) + sin (xy) = 0

a) Encuentre las condiciones para que z este definida implcitamente como funcion

de las variables x e y cerca de (x, y, z) = (1, 0, pi).

b) Encontrar el plano tangente a la grafica de z = g (x, y) en (x, y, z) = (1, 0, pi).

4. Dada la funcion z = f (2x+ 3g (y))

a) Encuentre las condiciones para que la funcion z = f (2x+ 3g (y)) sea dos veces

diferenciable en R2.

b) Bajo los supuestos encontrados en la parte anterior, determine el valor de k de

modo que

k =

(z

x

2z

xy zy

2z

x2

)

34

Apuntes Mat023

Certamen 22

1. Sea T : R3 R3 la transformacion lineal definida por

T (x, y, z) = (x+ z, y + 3z, x+ y + z)

con R:

a) Determine el valor de la constante para que dim Ker(T ) = 1 y en este caso

Calcule Ker (T ).

b) Para el valor anterior de calcule Im (T ).

2. Sean p (x) y q (x) dos funciones continuas. Verificar que la sustitucion y = ez con

z = z (x) transforma la ecuacion diferencial

y + p (x) y = q (x) y ln y

en una ecuacion lineal de primer orden. Usando lo anterior, resolver la ecuacion

xy = 2x2y + (x+ 1) y ln y

3. Hallar la solucion general de una ecuacion diferencial lineal a coeficientes constantes

homogenea, cuya ecuacion caracterstica es:

5 24 + 63 92 + 8 4 = 0

sabiendo que y = ex/2 cos(

32x)

es una solucion de dicha ecuacion.

4. Hallar la solucion general de la ecuacion diferencial

d2y

dx2+ tan (x)

dy

dx+ cos2 (x) y = 0

utilizando para ello el cambio de variables t = sinx.

35

Apuntes Mat023

Certamen 23

1. (40 pts.) Sea f : R2 R la funcion definida por:

f (x, y) =

2y2 , (x, y) A

0 , (x, y) = (0, 0)(x2 + y2

)x2 + |y| sin (x+ y) , (x, y) A

C (x, y) 6= (0, 0)

en donde:

A ={

(x, y) R2 : y > 0 x y x}a) Calcule

f

x(0, 0) y

f

y(0, 0).

b) Es diferenciable f en (0, 0)?

2. Sean f : R3 R una funcion tal que f(1, 1,2) = (1, 1, 0) y h : R2 R otrafuncion definida por h(s, t) = 2s2 + st:

(a) Encuentre un vector unitario normal a la curva de nivel{

(s, t) : h(s, t) = 2}

en

el punto (1, 0).

(b) Considere : R2 R definida por

(s, t) = f(3x+ 2xy + z2, x+ y2, x 2z2)

en donde: x(s, t) = 2st, y(s, t) = s2 2t y z(s, t) = s + t. Calcule(1, 0).

(c) Encuentre la derivada direccional de en el punto (1, 0) en la direccion dada por

el vector calculado en la parte (a).

3. Sean f : R2 R una funcion definida por:

f (x, y) = x x2 y2

y el conjunto U = {(x, y) : x2 + y2 1}:

a) Mediante el criterio del hessiano, determine los extremos de f en U = {(x, y) : x2 + y2 < 1},en caso de existencia.

b) Mediante el metodo de los multiplicadores de Lagrange, calcule los extremos de f

en U = {(x, y) : x2 + y2 = 1}, si acaso existen.

36

Apuntes Mat023

Certamen 24

1. Sea x = x (t) una funcion que satisface el sistema de ecuaciones

x = y zy = x + z

z = (1 + x+ y)

donde x (0) = x (0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 1 y z (0) = 0, z (0) = 1. Calcule, de serposible, el valor de x (pi).

2. Sea f : R R la funcion periodica definida por

f (x) = ex para pi < x < pi

y f (x+ 2pi) = f (x). Calcule la serie de Fourier de f .

3. Sea f : R2 R una funcion de clase C2 (R2). Considere el cambio de variables

x = u+ v

y = uv2

y la funcion g : R2 R definida por g (u, v) = f (x (u, v) , y (u, v)). Calcule el valorde

2g

u2(1, 1) +

2g

v2(1, 1)

sabiendo que 2fx2

(2, 1) = 2f

yx(2, 1) =

2fy2

(2, 1) = 1 y fy

(2, 1) = 2.

4. Se desea construir un tanque que consistir a de un cilindro circular recto de altura h

y radio r, una tapa superior semiesferica de radio r y finalmente una tapa inferior

plana del mismo radio. Suponga que los costos de construccion de la tapa semiesferica

son de $20 por [m2]; que los costos de construccion de la cara lateral cilndrica son

de $8 por [m2] y de $5 por [m2] para la base circular plana.

a) Hallar el valor de h y r de modo que el costo de construccion sea mnimo

asumiendo que el volumen debe ser de 200pi [m3].

b) A cuanto es igual la relacion h : r?.

37

Apuntes Mat023

Certamen 25

1. Resuelva usando la transformada de Laplace el siguiente problema de valores iniciales

ty 2y + ty = 0 con y (0) = 1, y (0) = 0

2. Sea f : [0, pi[ R la funcion definida por:

f (t) =

{2tpi

si 0 t < pi2

2(pit)pi

si pi2 t < pi

Desarrollar f (t) en una serie de Fourier en terminos del seno.

3. Considere la ecuacion diferencial de primer orden

dx

dt= (x 1) (x a)x

x2 + x+ 1

en donde a es un parametro real. Determine condiciones sobre a de modo que la

solucion de equilibrio x = 0 sea un punto atractor.

38

Apuntes Mat023

Certamen 26

1. Sea T : R2 [x] R2 la funcion definida por

T (p (x)) =

(p (1) , 6

10

p (x) dx

)a) Pruebe que T es una transformacion lineal.

b) Hallar el nucleo de T y una base para la imagen de T .

c) Sean B = {1, 1 + x, x+ x2} y D = {(1,1) , (0, 1)} bases ordenadas de R2 [x] yR2 respectivamente. Calcular [T ]DB .

2. Hallar la solucion general de la ecuacion

x2 (1 x) y + 2x (2 x) y + 2 (1 + x) = x2

sabiendo que la homogenea asociada tiene una solucion de la forma y = x2.

3. La ecuacion homogenea

y(4) 4y + 11y + 8y 26y = 0

tiene una solucion de la forma y = e2x cos 3x. Resolver la ecuacion

y(4) 4y + 11y + 8y 26y = x

4. Se suministra bacterias como alimento a una poblacion de protozoos a una tasa

constante de 1[

grmin

]. Se ha observado que las bacterias son consumidas a una tasa

de cuatro veces el cuadrado de su cantidad c (t). Hallar c (t) en funcion de c (0) = c0.

39

Apuntes Mat023

Certamen 27

1. Sea x > 1. Resuelva la ecuacion diferencial:

(1 x) y + xy y = (1 x)2 coshx

sabiendo que una solucion de la ecuacion homogenea asociada es y = ex.

2. Laplace:

a) Calcule L{t sen t}.b) Si L{f (t)} = X (s), calcule f (t), sabiendo para ello que X (s) satisface la

ecuacion: (s2 + 1

)X (s) =

2s (1 e2pis)s2 + 1

3. Considere el siguiente sistema de ecuaciones: x + 2x+ 6 t0

y (u) du = 2x + y + y = 0

en donde x (0) = 5 e y (0) = 6. Calcule el valor de x (ln 2).4. Sea f : R2 R la funcion definida por:

f (x, y) =

xy2

x2 + y2, si y > x2

x2y

x2 + y2, si y x2 (x, y) 6= (0, 0)

0 , si (x, y) = (0, 0)

Determine todos los puntos de R2 para los cuales la funcion f es continua.

40

Apuntes Mat023

Certamen 28

1. Considere la funcion f : R2 R definida por:

f (x, y) =

xy sinx

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

a) Determine si f es continua en (0, 0).

b) Determine todas las derivadas direccionales de f en (0, 0).

c) Determine si f es diferenciable en (0, 0).

2. Sea z = z (x, y) una funcion de clase C2. Escriba la ecuacion:

2z

x2+ 2

2z

xy 3

2z

y2= 0

en las variables u y v definidas por las ecuaciones:

u = 3x y v = x+ y

3. Determine los valores de las constantes a, b y c en R de modo que la derivadadireccional de:

f (x, y, z) = acy2 + byz + cz2x3

en el punto (1, 2,1) tenga un valor maximo de 64 en la direccion del eje X positivo.4. Hallar las dimensiones del paraleleppedo rectangular de mayor volumen con aristas

paralelas a los ejes coordenados que puede ser inscrito en el elipsoide de ecuacion:(x3

)2+(y

4

)2+(z

5

)2= 1

41

Apuntes Mat023

Certamen 29

1. Resuelva la ecuacion diferencial:

(1 + x)2 y 3 (1 + x) y + 4y = (1 + x)3

utilizando para ello el cambio de variables et = 1 + x.


x + tx x = 0, x (0) = 0, x (0) = 1

3. Sea z C2. Simplificar al maximo la ecuacion:

y2z

x2+ (x+ y)

2z

xy+ x

2z

y2= 0

considerando para ello el cambio de variables dado por:

u = y2 x2 v = y x

4. Sean f : R3 R una funcion diferenciable tal que:

f (0, 2, 1) = (1,1,2) f (0, 2, 1) = 4

y g la funcion definida por g (u, v) = f (u v2, 3u v, 3u2 2v). Hallar la ecuaciondel plano tangente a la superficie z = g (u, v) en el punto (1, 1, 4) .

5. Determine el maximo y el mnimo absolutos de la funcion:

z = sinx+ sin y + sin (x+ y)

en la region:

0 x < pi2 0 y pi

2

42

Apuntes Mat023

Certamen 30

1. Sea g (x) =

x1

et

tdt. Hallar todos los valores de la constante a tales que la funcion

f definida por:

f (x) =1

xea g(x)

satisfaga la ecuacion diferencial lineal:

x2y +(3x x2) y + (1 x e2x) y = 0

Utilizar la informacion anterior para determinar la solucion general de la ecuacion en

el intervalo (0,+).

2. Utilizando la Transformada de Laplace, resuelva la ecuacion diferencial:

xy 2y + xy = 0

sabiendo que y (0) = 1 e y (0) = 0.


f (x, y) =

{x|y|3/2x2+y2

, (x, y) 6= (0, 0)0 , (x, y) = (0, 0)

a) Determine si f es continua en (x, y) = (0, 0)

b) Determine si f es diferenciable en (x, y) = (0, 0)

4. Sea f (x, y) = ln (x2 + 2xy + 1) +

x0

sin2 t dt

a) Calcule f (pi, 1)b) Calcular v R2 tal que v = 1 y que f

v (pi, 1) sea maxima.

5. Determine el maximo y el mnimo absoluto de la funcion:

z = x3 + y3 3xy

en la region:

0 x 2 1 y 2

43

Apuntes Mat023

Certamen 31

1. Hallar la solucion general de la ecuacion:

xy 2 (x+ 1) y + (x+ 2) y = x3e2x

para x > 0, bajo el supuesto que la ecuacion homogenea tiene una solucion de la

forma y = emx


2 (1 + x)2 y 6 (1 + x) y + 8y = (x+ 1)3


f (x, y) =

{x|y|3/2x2+y2

, (x, y) 6= (0, 0)0 , (x, y) = (0, 0)

a) Determine si f es continua en (x, y) = (0, 0)

b) Determine si f es diferenciable en (x, y) = (0, 0)

4. Sean f, g : R R funciones de clase C2. Considere z : U R2 R definida por:

z (x, y) = x f(yx

)+ g

(yx

)Calcule el valor de: x2

2z

x2+ 2xy

2z

xy+ y2

2z

y2

5. Determine el maximo y el mnimo absoluto de la funcion:

z = x3 + y3 3xy

en la region:

0 x 2 1 y 2

44

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