Apuntes MAT023 Completo UTFSM

1Departamento Matematica UTFSM Santiago

MAT023APUNTES DE CLASES

Parte I

Ecuaciones diferenciales ordinarias

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sysadminRectngulo

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Indice general

Indice general 1

I Ecuaciones diferenciales ordinarias 5

1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 6

1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Modelos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Metodos Elementales de Resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.1. Integracion directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.2. Ecuaciones de variable separable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.3. Ecuacion lineal de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.4. Ecuacion de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.5. Ecuacion de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.6. Ecuaciones homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.3.7. Otros cambios de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.4. Modelos simples: Segunda parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.5. Analisis cualitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.5.1. Metodos cualitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.5.2. Ecuaciones diferenciales autonomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.5.3. Equilibrio y estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.6. Ejercicios del captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 76

2.1. Elementos de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.1.2. Nucleo e imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.1.3. Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.1.4. Matriz asociada a una transformacion lineal . . . . . . . . . . . . . 93

2.1.5. Calculo con coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.1.6. Ejercicios resueltos de Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . 105

1

Apuntes Mat023 (version preliminar actualizada 23-05-2014)

2.2. Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2.2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2.3. Teorema de Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2.4. El wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

2.5. Ecuaciones diferenciales a coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . 158

2.5.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

2.5.2. La ecuacion de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

2.5.3. La ecuacion de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

2.6. Metodo de variacion de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

2.7. Metodo del anulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

2.8. Movimiento vibratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184


3. Sistemas de ecuaciones diferenciales 196

3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

3.2. Ecuacion con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

3.2.1. Matriz A diagonalizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

3.3. Variacion de parametros en sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

3.4. Analisis cualitativo de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

3.4.1. Valores propios reales y distintos (no nulos) . . . . . . . . . . . . . 214

3.4.2. Valores propios complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

3.4.3. Valores propios repetidos (no nulos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222


4. Transformacion integral de Laplace 231

4.1. Definiciones y teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

4.2. Calculo de transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

4.3. Primer Teorema de la Traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

4.4. Transformada de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

4.5. Funciones escalonadas y Segundo Teorema de la Traslacion . . . . . . . . . 246

4.6. La Transformada de integrales de convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . 250


2


5. Series de Fourier 263

5.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5.1.1. El espacio SC [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5.1.2. Teorema de la mejor aproximacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

5.2. Convergencia Puntual de series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

5.3. Series de Fourier de senos y cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

5.4. Derivacion e integracion de Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 294


II Calculo diferencial en varias variables 301

6. Elementos de topologa de Rn 302

6.1. El espacio euclidiano Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

6.2. Producto interno y norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

6.3. Elementos de topologa de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306


7. Funciones de varias variables 314

7.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

7.2. Graficos, conjuntos de nivel y trazas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316


8. Lmites y continuidad 323

8.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

8.2. Calculo de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

8.2.1. Algebra de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

8.2.2. Desigualdades y Teorema del Sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . 331

8.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

8.4. Algebra de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

8.5. Continuidad de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336


3


9. Diferenciacion en varias variables 341

9.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

9.2. Interpretacion de la derivada parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

9.3. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

9.4. Derivadas de orden superior y funciones de clase Cn . . . . . . . . . . . . . 3699.5. Gradiente y matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

9.6. La regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

9.7. Gradiente y planos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

9.8. Derivada direccional y direcciones de crecimiento maximo . . . . . . . . . . 391


10.Maximos y mnimos 409

10.1. Extremos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

10.2. Maximos y mnimos en compactos y/o con restricciones . . . . . . . . . . . 425

10.3. Extremos restringidos Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . 428

10.3.1. Criterio de la segunda derivada para extremos condicionados . . . . 434


11.Funciones implcitas e inversas 444

11.1. El teorema de la funcion implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

11.2. El teorema de la funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460


III Evaluaciones de anos anteriores 473

12.Controles 474

13.Certamenes 489

Bibliografa 524

4

Parte I

Ecuaciones diferenciales ordinarias

5

Captulo 1 : Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Definiciones

En general, entenderemos el modelamiento matematico como el proceso de establecer

un modelo matematico (es decir, un sistema expresado en terminos de variables, funciones,

ecuaciones, etc.) que represente una situacion principalmente de naturaleza fsica, su

resolucion matematica, y finalmente la interpretacion de los resultados en los terminos

fsicos originales.

Como muchos conceptos de la naturaleza, tales como velocidad, aceleracion, las reaccio-

nes qumicas, los cambios de temperatura observados en un cuerpo, etc. se expresan como

razones de cambio tiene pleno sentido el uso de derivadas de funciones adecuadas. En este

tipo de situaciones, un modelo matematico es frecuentemente una ecuacion que contiene

una o mas derivadas de una funcion desconocida. Tal modelo matematico es llamado una

ecuacion diferencial [1].

Ejemplo 1.1.1. Son ejemplos de ecuaciones diferenciales las siguientes expresiones ma-

tematicas:

1. ddx

((1 x2) dy

dx

)+ n (n+ 1) y = 0 (Ecuacion de Legendre)

2. x2 d2y

dx2+ xdy

dx+ (x2 2) y = 0 (Ecuacion de Bessel)

3. x3 d3y

dx3+ 4x2 d

2ydx2

+ xdydx

+ 5y = 0 (Ecuacion de Euler)

4. y + ky = A sin(ox), A, o R (Problemas de resortes)

5. y xy = 0 (Ecuacion de Airy)

Definicion 1.1.1. Una ecuacion diferencial se dice de orden n si n corresponde al mayor

orden de derivada de la variable dependiente y presente en la ecuacion.

Ejemplo 1.1.2. La ecuacion d2y

dx2+ (5x) y3 = y6 es una ecuacion diferencial de segundo

grado. La ecuacion(

d3ydx3

)4= dy

dx+ 5y es una ecuacion diferencial de grado tres.

6


Comenzaremos el estudio de las ecuaciones diferenciales con las ecuaciones diferenciales

de primer orden.

Definicion 1.1.2. Sea f : U R2 R una funcion de dos variables. Una ecuaciondiferencial de primer orden es una ecuacion de la forma:

y = f (x, y) (1.1)

La variable x en este caso se conoce como variable independiente. Si la variable inde-

pendiente es el tiempo t, frecuentemente una ecuacion diferencial se anota como:

y = f (t, y) o bien y = f (t, y)

Observacion 1.1.1. Una ecuacion diferencial (ordinaria) de orden n es una ecuacion de

la forma:

f(x, y, y, y, . . . , y(n)

)= 0

para una cierta funcion f .

Ejemplo 1.1.3. Son ecuaciones diferenciales de primer orden:

1. y = f (x) , f funcion integrable.

2. y + y = cosx

3. x3y y2 = 0, x > 0

Definicion 1.1.3. Sea I R un intervalo abierto del tipo ]a, b[, o posiblemente intervalosabiertos infinitos del tipo ], b[ , ]a,+[, o bien ],+[. Una funcion : I R Rse dice solucion de la ecuacion diferencial (1.1) en el intervalo I si:

1.(t, (t)

) U, t I2. (t) = f

(t, (t)

), t I

Ejemplo 1.1.4. La funcion : ]1,+[ R, t (t) = 1t1 es solucion de la EDO

dy

dt= y2

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pues, para t ]1,+[d

dt

(1

t 1)

= 1(t 1)2

= (

1

t 1)2

Ejemplo 1.1.5. Verifique que la funcion (x) = sinx definida en R es solucion de la

ecuacion diferencial de segundo orden:

y + y = 0

Solucion. Derivando la funcion obtenemos: ddx

= cosx y d2

dx2= sinx se sigue

d2 (x)

dx2+ (x) = 0

para todo x R.

Observacion 1.1.2. Note que al escribir:

C (x) = sin x+ C

con C una constante cualquiera, C tambien es solucion de la ecuacion diferencial.

Ejemplo 1.1.6. Consideremos la ecuacion:

xy x2 y = 0, x > 0

Se sabe que toda funcion de la forma:

y = x2 + Cx, C R (1.2)

es solucion de la ecuacion diferencial. En efecto, derivando la ecuacion (1.2), tenemos:

y = 2x+ C

Reemplazando en la ecuacion diferencial, se tiene que:

x (2x+ C) x2 (x2 + Cx) = 0para todo x > 0.

8


Ejemplo 1.1.7. Hallar una ecuacion diferencial para la familia de parabolas:

y = C1 (x C2)2

donde C1 y C2 constantes arbitrarias.

Solucion. Despejamos C1y

(x C2)2= C1

luegod

dx

(y

(x C2)2)

= 0

esto esy (x C2)2 y2 (x C2)

(x C2)4= 0

se sigue

y (x C2)2 y2 (x C2) = 0

luego

y (x C2) = 2y

de donde obtenemos

x C2 = 2yy

derivando

1 =

(2y

y

)se sigue

1

2=

(y)2 yy(y)2

luego(y)2

2= yy

9


Ejercicios de la seccion

1. Establezca el orden de la ecuacion diferencial dada:

(a) (1 x) y 4xy + 3y = tanx (b) y(4) 2xy(6)y =(

dy

dx

)7(c) x

d3y

dx3(

dy

dx

)4+ exy = 0 (d)

d2y

dx2=

1 +

(dy

dx

)22. Comprobar que las siguientes funciones satisfacen las ecuaciones dadas y dar un

intervalo en el cual esto se cumpla:

(a) y = A sin (x+B) ; y + y = 0 (b) y = ex ex; y y = 0(c) y = tan (x) ; y = 1 + y2 (d) y = 25 + y2; y = 5 tan 5x

3. Demostrar que la ecuacion dada define implcitamente una solucion de la ecuacion

dada

(a) x2y y3

3= 1 dy

dx= 2xy

x2y2 para x 6= y(b) x3 + 3xy2 = 1 2xyy + x2 + y2 = 0 para x ]0, 1[

4. Muestre que la familia de funciones

y = ex2

x0

et2

dt+ Cex2

son soluciones de la ecuaciondy

dx+ 2xy = 1

5. Muestre que la funcion definida por tramos

(x) =

x2 si x < 0x2 si x 0es una solucion de la ecuacion diferencial xy 2y = 0 en R.

6. Determine R para que la funcion y = x sea solucion de 2x2y y = 0. Siencuentra mas de un valor, muestre que cualquier combinacion lineal de esas dos

funciones resulta ser una solucion del problema.

7. Encontrar valores de m para los cuales la funcion es solucion de la ecuacion dada:

a) y (x) = emx donde y 3y 4y + 12y = 0

10


b) y (x) = xm donde x2y + 2xy 6y = 0

8. Encontrar una E.D.O. de la forma y + A (x) y + B (x) y = 0 que tenga entre sus

soluciones las funciones y1 (x) = ex y y2 (x) = xe

x.

9. Juan, Leo y Roberto estan tomando cafe y un joven del paralelo 19 les pregunta por

la solucion de la ecuacion diferencial

dy

dt=y + 1

t+ 1

despues de un rato, Juan dice y (t) = t, Leo y (t) = 2t+ 1 y Roberto y (t) = t2 2Quien esta en lo correcto?

10. Construir una ecuacion diferencial de la forma

dy

dt= 2y t+ g (y)

que tenga la funcion y (t) = e2t como solucion.

11. Construir una ecuacion diferencial de la formady

dt= f (t, y) que tenga por solucion

y (t) = et2

donde f (t, y) dependa explcitamente de t y y.

12. Hallar una ecuacion diferencial para la familia de curvas:

y = C1 + (x C2)2

donde C1 y C2 constantes arbitrarias.

13. Construya una ecuacion diferencial que no tenga ninguna solucion real.

Modelos simples

Estudiaremos algunos ejemplos elementales de modelamiento matematico:

Problema 1.2.1 ([2]). Desde una cierta altura se ha arrojado un cuerpo de masa m.

Determinar la ley segun la cual vara la velocidad de cada v, si sobre el cuerpo, ademas

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de la fuerza de gravedad, actua la fuerza de resistencia del aire que es proporcional a la

velocidad v.

Solucion. Sea m la masa del cuerpo en cada libre. En virtud de la Segunda Ley de

Newton: i

Fi = ma

donde

i Fi representa la suma (vectorial) de fuerzas aplicadas al cuerpo y a representa la

aceleracion del cuerpo, se obtiene:

mdv

dt= mg kv (1.3)

donde g es la aceleracion de gravedad y k es la constante (positiva) de proporcionalidad.

Resolver esta ecuacion diferencial significa encontrar una funcion v = f (t) que satisfaga

identicamente la ecuacion diferencial dada. Existen una infinidad de funciones de este tipo

(esto sera probado mas adelante). Es facil comprobar que toda funcion del tipo:

v (t) = Cekmt +

mg

k(1.4)

satisface la ecuacion (1.3), cualquiera que sea la constante C. Pero, cual de estas funciones

dara la dependencia buscada entre v y t? Para encontrar dicha relacion, se debe utilizar un

condicion adicional. Esta condicion adicional se llama condicion inicial. Supongamos que

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en el momento inicial del experimento arrojamos el cuerpo con una velocidad inicial v0

conocida. As, la funcion v = f (t) que deseamos encontrar debe satisfacer la condicion:

f (0) = v0

Es decir, v = v0 en t = 0. As, reemplazando en (1.4), se obtiene:

C = v0 mgk

Por lo tanto, la ley segun la cual vara la velocidad de cada esta dada por la ecuacion:

v (t) =(v0 mg

k

)e

kmt +

mg

k

Observacion 1.2.1. Una cuestion de interes es el comportamiento asintotico de la solucion.

Es decir, el comportamiento de la solucion para t suficientemente grande. Mas precisamente,

nos interesa:

lmt+

v (t)

En particular, para el ejemplo:

lmt+

v (t) = lmt+

{(v0 mg

k

)e

kmt +

mg

k

}=mg

k

La interpretacion del resultado anterior, es que cuando el tiempo t es suficientemente

grande, la velocidad final del cuerpo no depende de la velocidad inicial.

Observacion 1.2.2. Observar que desde la ecuacion (1.3), si suponemos k = 0, es decir,

suponemos que la resistencia del aire es tan pequena que puede ser despreciada, se obtiene:

v (t) = v0 + gt

Definicion 1.2.1. Se llamara solucion general de la ecuacion diferencial de primer

orden:

y = f (x, y)

a la funcion:

y = (x,C)

que depende de una constante arbitraria C y satisface las condiciones siguientes:

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1. satisface la ecuacion diferencial para cualquier valor de la constante C.

2. cualquiera que sea la condicion inicial y = y0 para x = x0, es decir, y (x0) = y0

se puede encontrar un valor C = C0 tal que la funcion y = (x,C0) satisfaga la

condicion inicial dada.

Problema 1.2.2 (Espejo parabolico). Hallar la forma que debe tener un espejo convexo,

simetrico respecto de un eje, llamado eje focal, de tal modo que si un haz de luz es apuntado

hacia el espejo, paralelo al eje focal, se refleje directamente en un punto F fijo (llamado

foco) del eje focal.

Solucion. Obtendremos tal espejo mediante la rotacion de una curva en el plano. Sea

C : y = f (x) tal curva. Consideremos un sistema de coordenadas de tal modo que elorigen del sistema coincida con el foco F de la curva. En particular, el eje focal de la curva

coincide con el eje de las abscisas de tal sistema de referencia. Considere un punto P (x, y)

en la curva C y sea T la recta tangente a C en el punto P (x, y). Denotemos por Q el puntode interseccion de T con el eje focal (o de las abscisas del sistema de referencia). Si L es

una recta que representa el haz de luz paralelo al eje focal y que incide en P , por la ley de

Snell, el angulo de incidencia ]TPL y angulo de reflexion ]QPF coinciden. Es decir, setiene que:

]TPL = ]QPF =

Entonces, del triangulo 4QPF se obtiene:

tan 2 =y

x(1.5)

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por ser F el origen del sistema de coordenadas. Como T es tangente a la curva C, se tiene

que ]PQF es tambien . Luego:tan = y (1.6)

Reemplazando las ecuaciones (1.5) y (1.6), en la identidad trigonometrica siguiente:

tan 2 =2 tan

1 tan2 se obtiene la ecuacion diferencial de primer orden:

y

x=

2y

1 (y)2 (1.7)

Problema 1.2.3 (Braquistocrona). [3] Hallar la forma que debe tener un alambre de

modo que una argolla que se desliza por el, sin roce, bajo la accion de la gravedad de un

punto A a un punto B de menor altura en el mismo plano y no exactamente bajo el punto

A, lo haga en el menor tiempo posible.

Solucion. Este problema fue planteado en 1696 por Jean Bernoulli a la comunidad cientfi-

ca de su epoca. La solucion que el mismo encontro (independientemente tambien lo hicieron

Leibnitz, LHopital, Newton) usa una version generalizada de la Ley de Snell de la optica.

Comenzaremos modelando primeramente esta situacion: la version generalizada de la Ley

de Snell. A modo de ejercicio lo haremos utilizando las herramientas del calculo diferencial,

en particular minimizacion. Considere, entonces, el siguiente problema:

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Supongamos que un atleta, situado en la orilla oriental de un ro de ancho a debe atravesarlo

nadando a velocidad constante v1 hasta un cierto punto C en la orilla occidental. Luego de

esto, debe correr a velocidad constante v2 por sobre la arena de la ribera de ancho b del ro

hasta la meta en el punto B. Se supone que v1 < v2. Se desea encontrar el punto C en la orilla

occidental de tal modo que el tiempo empleado por el atleta desde el punto A hasta la meta

en B sea el menor posible.

Consideremos las rectas paralelas (y verticales) l1, l2 y l3. Supongamos que la recta l1

representa la orilla oriental del ro, l2 representa la ribera del ro y l3 la lnea de meta. Por

la condiciones del problema tenemos:

1. A l1

2. C l2

3. B l3

4. a es la distancia entre l1 y l2

5. b es la distancia entre l2 y l3

Supongamos, ademas, que c y x son las distancias verticales de A a B, y de A a C,

respectivamente. Entonces, el tiempo total de la carrera esta dado por:

T (x) =

x2 + a2

v1+

(c x)2 + b2

v2

Derivando e igualando a 0, se obtiene la coordenada x0 de tiempo mnimo. Es decir, x0

debe cumplir con:x0

v1x20 + a

2=

c x0v2

(c x0)2 + b2

Si introducimos los angulos de incidencia y respecto de la recta normal a l2 para este

valor de x0 se obtiene:sin

v1=

sin

v2

que es la conocida Ley de Snell.

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Ahora bien, si consideramos otro segmento (es decir, otra recta vertical l4) por el cual

el atleta se deba desplazar a velocidad constante v3, se obtendra:

sin1v1

=sin2v2

=sin3v3

= constante

De manera analoga, la argolla de masa m que cae bajo la accion de la gravedad g tiene

una velocidad v que va en aumento de acuerdo a la distancia vertical recorrida y. As,

igualando energas potencial y cineticas se obtiene la ecuacion:

1

2mv2 = mgy

de donde:

v =

2gy (1.8)

Por esta razon, Bernoulli conjeturo la Ley de Snell generalizada siguiente:

sin

v= , constante (1.9)

donde es el angulo que instantaneamente forma la tangente a la curva en la posicion de

la argolla y la vertical. Finalmente, notando que:

sin = cos(pi

2

)=

11 + tan2

(pi2 )

=1

1 + (y)2

Utilizando, entonces, las formulas (1.8) y (1.9) se obtiene la ecuacion:2gy =

1

1 + (y)2

O bien:

y(

1 + (y)2)

= k2

donde k = 12g2

.

17



1. Determine la ecuacion que debe cumplir la familia de curvas que forman un angulo

de 45 grados en la interseccion con la familia de curvas y (x+ c) = 1.

2. Determine la ecuacion de la familia de curvas ortogonales a la familia y2 = cx3.

3. En este problema se analiza la cada de una gota de agua. Supongamos que al

caer esta se evapora y mantiene su forma esferica, la rapidez con que se evapora es

proporcional al area con una constante de proporcionalidad < 0 y no se considera

la resistencia del aire. Designemos por la densidad del agua, r0 el radio de la gota

cuando t = 0 y la direccion positiva es hacia abajo.

a) Muestre que el radio de la gota r (t) disminuye de acuerdo a la ley

r (t) =

(

)t+ r0

b) Obtener la ecuacion diferencial que satisface la velocidad v (t) de la gota en su

cada libre. Determine la velocidad si la gota cae del reposo.

4. En la figura suponga que el eje y y la recta x = 1 corresponden a las orillas oeste

y este de un ro de 1 [km] de ancho. El ro fluye hacia el norte con una velocidad

vr donde vr = vr [km/h]. Un hombre entra al ro en el punto (1, 0) en la costaeste y nada en direccion a la ribera contraria a una velocidad constante de vs = vs[km/h]. El hombre quiere llegar al punto (0, 0) de modo que nada de forma tal que

su vector velocidad vs siempre apunta a (0, 0). Muestre que la trayectoria que sigue

el nadador satisface la ecuacion

dy

dx=vsy vr

x2 + y2

vsx

18


Metodos Elementales de Resolucion

Recordaremos primeramente un teorema esencial para resolver ecuaciones diferenciales

elementales: el Teorema Fundamental del Calculo.

Teorema 1.3.1. (Teorema Fundamental del Calculo)

Sea f : [a, b] R funcion integrable en [a, b]. Dado x0 [a, b] e y0 R se tiene que lafuncion F : [a, b] R dada por

F (x) =

xx0

f(t)dt+ y0 con x [a, b],

es continua en [a, b] y F (x0) = y0. Ademas, si f es continua en [a, b], entonces la funcion

F es derivable en [a, b] y satisface la ecuacion:

F (x) = f(x)

Observacion 1.3.1. Recordemos que en este contexto la funcion F es conocida como una

primitiva de f .

Integracion directa

Definicion 1.3.1. Una ecuacion diferencial ordinaria de primer orden, digamos y = f(x, y),

se dice que es resoluble por integracion directa si existe una funcion g integrable sobre

un intervalo abierto I R tal que f(x, y) = g(x)

19


Observacion 1.3.2. En particular, una ecuacion diferencial de integracion directa es de

la forma:

y = g(x) (1.10)

para todo x I.As, si g : D R R es una funcion integrable, entonces integrando en ambos lados de

la igualdad 1.3.2 y usando el Teorema Fundamental del Calculo, obtenemos que la solucion

general de la ecuacion diferencial es de la forma:

(x) = F (x) + C,

donde F es una primitiva de g y C R es una constante.Ejemplo 1.3.1. Una partcula se mueve a lo largo de una lnea recta de manera que su

velocidad en el instante t es 2 sin t. Si f(t) indica su posicion en el tiempo t medio a partir

del punto de partida, se tiene que f (t) = 2 sin t. Por la observacion anterior, se concluye

que:

f(t) = 2 cos t+ CNote que para fijar la funcion posicion se necesita algun otro dato. En particular, si se

conoce el valor de f en algun instante en particular, entonces se puede determinar C. Por

ejemplo, si f(0) = 0, entonces C = 2 y la funcion posicion es f(t) = 2 cos t+ 2.Ejemplo 1.3.2. Determine la solucion del problema

dy

dx= ex

2

y (0) = 5

Solucion. Se puede demostrar queex

2dx no es una funcion elemental, sin embargo,

podemos expresar la solucion por

y (x) =

x0

et2

dt+ 5

Ecuaciones de variable separable

Definicion 1.3.2. Una ecuacion diferencial de primer orden y = f (x, y) se dice una

ecuacion de variable separable si:

f (x, y) = Q (x)R (y) (1.11)

20


para Q y R funciones continuas sobre algun intervalo abierto I R.Observacion 1.3.3. [5] Si R (y) 6= 0 se puede dividir por R (y) y escribir la ecuacion(1.11) en la forma:

A (y) y = Q (x) (1.12)

donde A (y) = 1/R (y). Recordemos, ademas, que y representa una cierta funcion descono-

cida y = Y (x), luego la ecuacion (1.12), se expresa como:

A (Y (x))Y (x) = Q (x)

Integrando la ecuacion anterior, se sigue que:A (Y (x))Y (x) dx =

Q (x) dx+ C

Haciendo la sustitucion y = Y (x) en la integral de la izquierda, se tiene que dy = Y (x) dx.

Por consiguiente, se obtiene: A (y) dy =

Q (x) dx+ C

Ahora bien, si G es una primitiva de A y H es una primitiva de Q, la ecuacion anterior se

puede escribir como:

G (y) = H (x) + C (1.13)

Recprocamente, si y es una funcion que satisface la ecuacion (1.13), entonces:

G (y) y = H (x)

es decir, tenemos A (y) y = Q (x). Por lo tanto, la ecuacion (1.13) da una representacion

implcita de una familia de soluciones a un parametro.

Observacion 1.3.4. En particular, el formalismo anterior se reduce considerablemente si

se considera la notacion de Leibnitz para las derivadas. Es decir, escribimos y = dy/dx y

separamos las variables, con lo cual la ecuacion (1.12) se escribe directamente como:

A (y) dy = Q (x) dx

y la ecuacion anterior tiene sentido al ser dy la diferencial de la funcion desconocida y.

Formalmente, podemos integrar la ecuacion anterior, obteniendo:A (y) dy =

Q (x) dx+ C

pero esto solo es formal, pues las variables de integracion son distintas.

21


Ejemplo 1.3.3. Resolver la ecuacion

dy

dx= eyx

Solucion. Se trata de una E.D.O. de variables separadas pues

dy

dx= eyx = exey

se sigue

ey(x)y (x) = ex

integrando respecto a x ey(x)y (x) dx =

exdx

se sigue

ey(x) = ex + Cdespejando

ey(x) = ex +K

luego

y (x) = ln (ex +K)es una familia de soluciones.


dy

dx= x2y + x2

Solucion. Note que x2y+x2 = x2 (y + 1) luego se trata de una EDO de variables separables

dy

dx= x2 (y + 1)

se sigue dy

y + 1=

x2dx

integrando

ln |y + 1| = x3

3+ C

y + 1 = Ke

x3

3

22


as

y (x) = Kex3

3 1

Ejemplo 1.3.5. Diremos que una ecuacion diferencial es una ecuacion diferencial lineal

de primer orden homogenea si es de la forma:

y + P (x) y = 0 (1.14)

si P es una funcion continua sobre su dominio abierto.

Solucion. Separando las variables e integrando:dy

y=

P (x) dx+K

con K una constante de integracion. Luego, la ecuacion anterior implica que:

ln |y| = P (x) dx+K

As:

y = eK eP (x)dx

Por consiguiente:

y = C eP (x)dx

Observacion 1.3.5. Note que en el procedimiento anterior, se ha dividido por y, por

tanto, debe explicarse que toda solucion de (1.14) se puede expresar mediante la formula

y = C eP (x)dx. Sea y una solucion de (1.14) y considere la funcion g definida por:

g (x) = y eP (x)dx

Luego:

g (x) = yeP (x)dx + P (x) ye

P (x)dx

= eP (x)dx (y + P (x) y)

= 0

como x pertenece a un intervalo abierto, se obtiene que g (x) = C, por el Teorema del Valor

Medio. Por tanto:

y = C eP (x)dx

23


Observacion 1.3.6. El razonamiento anterior da origen a un metodo de resolucion de

ecuaciones diferenciales del tipo:

y + P (x) y = Q (x)

donde P y Q son funciones continuas en un intervalo abierto I R. La ecuacion diferencialanterior se llama ecuacion diferencial lineal de primer orden.

Ecuacion lineal de primer orden

Definicion 1.3.3. Una ecuacion diferencial de primer orden se dice lineal si es de la forma:

y + P (x) y = Q (x) (1.15)

para dos funciones P y Q continuas en un intervalo abierto I R.

Definicion 1.3.4. Un factor integrante o un factor de integracion para la ecuacion

(1.15) es una expresion de la forma:

(x) = eP (x)dx (1.16)

Observacion 1.3.7. Multipliquemos la ecuacion diferencial (1.15) por el factor integrante

en (1.16), luego:

eP (x)dx {y + P (x) y} = e

P (x)dxQ (x)

Note que la ecuacion anterior, puede escribirse como:

d

dx

{yeP (x)dx

}= e

P (x)dxQ (x)

Integrando respecto de x, obtenemos:

yeP (x)dx =

eP (x)dxQ (x) dx+ C

Finalmente:

y = eP (x)dx

{eP (x)dxQ (x) dx+ C

}

24


Teorema 1.3.2 (Formula de Leibnitz). Sean P y Q dos funciones continuas sobre un

intervalo abierto I R. La solucion general de la ecuacion diferencial lineal:

y + P (x) y = Q (x)

esta dada por la formula:

y (x) = eP (x)dx

{eP (x)dxQ (x) dx+ C

}Observacion 1.3.8. Si (x) = e

P (x)dx es el factor integrante, la formula anterior queda:

y (x) =1

(x)

{ (x)Q (x) dx+ C

}Ejemplo 1.3.6. Resolver la ecuacion lineal de primer orden:

xy + (1 x) y = e2x

Solucion. Supongamos que x 6= 0. La ecuacion anterior queda como:

y +(

1

x 1)y =

e2x

x

Utilizando las notaciones del teorema anterior, tenemos que P (x) = 1/x1 y Q (x) = e2x/x.Calculamos, primeramente, el factor integrante:

(x) = e( 1x1)dx

= |x| ex

Luego:

y (x) =1

(x)

{ (x)Q (x) dx+ C

}=

ex

|x|{|x| ex e

2x

xdx+ C

}Si x > 0, se tiene que |x| = x y la solucion es:

y =ex

x

{exdx+ C

}=

e2x

x+ C

ex

x

25


Por otro lado, si x < 0, se tiene que |x| = x y la solucion es:

y =ex

x{exdx+ C

}=

e2x

x Ce

x

x

Ahora bien, como C es una constante arbitraria, si x 6= 0 se puede escribir:

y =e2x

x+ C

ex

x

Ejemplo 1.3.7. Deternine una funcion f : D R R tal que

f (t) = t+ et t

0

euf (u) du+ tf (t)

Solucion. Notemos que f (0) = 0 y

(f (t) t tf (t)) et = t

0

euf (u) du

usando el teorema fundamental del calculo

(f (t) 1 f (t) tf (t)) et (f (t) t tf (t)) et = etf (t)

se sigue

f (t) 1 f (t) tf (t) f (t) + t+ tf (t) = f (t)

as

(1 t) f (t) (3 t) f (t) = 1 t

es una EDO de primer orden lineal

df

dt 3 t

1 tf = 1

el factor de integracion es

(t) = e 3t

1tdt = e2 ln(t1)t

= (t 1)2 et

se sigued

dt

((t 1)2 etf) = (t 1)2 et

26


integrando

(t 1)2 etf =

(t 1)2 etdt

es decir

(t 1)2 etf = et (t2 + 1)+ Cde donde

f (t) =et (t2 + 1) + C

(t 1)2 etcomo f (0) = 0 se sigue

0 = 1 + C C = 1

finalmente

f (t) =et (t2 + 1) + 1

(t 1)2 etEjemplo 1.3.8. Resolver la ecuacion

dy

dx 2xy = x

Solucion. Es una ecuacion lineal, el factor integrante es (x) = e 2xdx = ex2 , multipli-

cando la ecuacion por (x) se tiene

ex2 dy

dx 2xex2y = xex2

luegod

dx

(ex

2

y)

= xex2

integrando

ex2

y =

xex

2

dx

= 12ex

2

+ C

as

y (x) = 12

+ Cex2

27


Ecuacion de Bernoulli

Observacion 1.3.9. Numerosas aplicaciones pueden ser modeladas con ecuaciones di-

ferenciales ordinarias que no son lineales, sin embargo, mediante cambios de variables

adecuados y algo de manipulacion algebraica, estas ecuaciones pueden ser transformadas

en ecuaciones diferenciales lineales. Un caso importante es la llamada ecuacion de Bernoulli.

Definicion 1.3.5. Sean P (x) y Q (x) funciones continuas sobre un intervalo abierto I R.Una ecuacion diferencial de la forma:

y + P (x) y = Q (x) y, 6= 1 (1.17)

se llama ecuacion de Bernoulli.

Observacion 1.3.10. Multipliquemos la ecuacion de Bernoulli en (1.17) por y, de donde

obtenemos:

yy + P (x) y1 = Q (x) (1.18)

Sea z = y1. Luego, por la regla de la cadena, obtenemos:

z = (1 ) yy

Reemplazando en la ecuacion (1.18), se obtiene:

1

1 z + P (x) z = Q (x)

O bien:

z + (1 a)P (x) z = (1 )Q (x) (1.19)

que es una ecuacion diferencial lineal de primer orden. Es importante notar que una vez

resuelta la ecuacion (1.19) se debe volver a la variable original y = y (x).

Ejemplo 1.3.9. Hallar la solucion de la ecuacion diferencial:

dy

dx+ xy = x3y3

Solucion. Dividiendo todos los terminos por y3, tenemos:

y3y + xy2 = x3 (1.20)

28


Consideremos, tal como en la observacion anterior, el cambio de variables z = y2. Luego:

dz

dx= 2y3 dy

dx

Reemplazando la ecuacion anterior en (1.20), se obtiene la ecuacion diferencial lineal:

dz

dx 2xz = 2x3

cuya solucion es:

z = 1 + x2 + Cex2

Por consiguiente, la solucion general de la ecuacion diferencial dada es:

y =1

1 + x2 + Cex2

con C una constante cualquiera.

Ejemplo 1.3.10 (Ecuacion logstica). Resuelva la siguiente ecuacion de Bernoulli, conocida

como ecuacion logstica:dN

dt= N ( N) (1.21)

con , > 0.

Solucion. Note que podemos escribir la ecuacion (1.21) como:

dN

dt= N N2

Sean A = y B = , entonces:

dN

dt AN = BN2

Dividiendo la ecuacion anterior por N2, obtenemos:

N2dN

dt AN1 = B (1.22)

Sea z = N1, luego:dz

dt= N2 dN

dt

Reemplazando en la ecuacion (1.22), obtenemos:

dzdt Az = B

29


Es decir:dz

dt+ Az = B

cuya solucion exacta es:

z = CeAt +B

A

Pero z = 1N

, luego:

N =1

z=

1

CeAt +B/A

Finalmente, como A = y B = , obtenemos:

N (t) =

1 + Cet

Ecuacion de Ricatti

Definicion 1.3.6. Una ecuacion de Ricatti es una ecuacion diferencial de la forma:

y + P (x) y +Q (x) y2 = R (x) (1.23)

donde P,Q y R son funciones continuas sobre un intervalo I R.

Observacion 1.3.11. Existe un metodo para obtener una familia de soluciones de una

ecuacion de Ricatti si se conoce una solucion particular u = u (x). Supongamos esto y

consideremos el cambio de variables:

y = u+1

v(1.24)

con v = v (x) la nueva variable. Derivando la ecuacion anterior, obtenemos:

y = u 1v2v (1.25)

Reemplazando las ecuaciones (1.24) y (1.25) en la ecuacion de Ricatti (1.23), se sigue que:(u 1

v2v)

+ P (x)

(u+

1

v

)+Q (x)

(u+

1

v

)2= R (x)

Reordenando los terminos de la ecuacion anterior, tenemos que:

{u + P (x)u+Q (x)u2

} vv2

+ P (x)1

v+Q (x)

{2u

v+

1

v2

}= R (x)

30


Ahora bien, como u es una solucion particular de la ecuacion (1.23), obtenemos:

v

v2+ P (x)

1

v+Q (x)

{2u

v+

1

v2

}= 0

Amplificando la ecuacion anterior por v2, finalmente se obtiene la ecuacion:

v P (x) v Q (x)u (x) v Q (x) = 0

Es decir:

v {P (x) + u (x)Q (x)} v = Q (x)

que es una ecuacion lineal de primer orden.

Ejemplo 1.3.11. Resuelva la ecuacion de Ricatti:

y = y2 2x2

(1.26)

Solucion. Notamos primeramente que u = 1x

es una solucion particular de la ecuacion.

En efecto:

u2 2x2

=1

x2 2x2

= 1x2

= u

Ahora bien, sea y = 1x

+ 1v, luego:

dy

dx= 1

x2 1v2

dv

dx

Reemplazando la ecuacion anterior y el cambio de variables y = 1x

+ 1v

en la ecuacion (1.26),

obtenemos:

1x2 1v2

dv

dx=

(1

x+

1

v

)2 2x2

Simplificando y agrupando terminos semejantes, se tiene:

1v2

dv

dx=

2

vx+

1

v2

Amplificando por v2, finalmente se obtiene:

v +2

xv = 1

31


Como se puede observar, la ecuacion anterior es una ecuacion lineal de primer orden cuya

solucion exacta es:

v =C

x2 x

3

Sin embargo, recordemos que y = 1x

+ 1v. Luego, la solucion obtenida es:

y =1

x+

1Cx2 x

3

O bien:

y =1

x+

3x2

C x3Ejemplo 1.3.12. Obtenga una solucion del problema

dy

dx=

1

x2y2 1

xy + 1

y (1) = 3

Indicacion:Primero buscar una solucion dela ecuacion de la forma y = ax+ b.

Solucion. Usamos la indicacion para buscar una solucion (la ecuacion es de Ricatti)

entonces

x2a = (ax+ b)2 x (ax+ b) + x2

se sigue

ax2 =(a2 a+ 1)x2 + (2ab b)x+ b2

as

b = 0

y

a = a2 + 1 a

que tiene solucion a = 1, se sigue que una solucion es

y = x

(la cual no cumple y (1) = 3) hacemos el cambio de variables

y =1

u+ x

32


entonces

1u2

du

dx+ 1 =

1

x2

(1

u+ x

)2 1x

(1

u+ x

)+ 1

as

1u2

du

dx+ 1 =

1

ux+

1

u2x2+ 1

eliminando

1u2

du

dx=

1

ux+

1

u2x2

luegodu

dx= u

x 1x2

es lineal y tiene solucion

u =C

x 1x

lnx

as, como y = 1u

+ x se sigue

y =1

Cx 1

xlnx

+ x

pero y (1) = 3 as

3 =1

C+ 1

luego C = 12

reemplazando

y =1

12x 1

xlnx

+ x

es la solucion del problema.


y xy2 + (2x 1) y = x 1

si se sabe que tiene una solucion constante.

Solucion. La solucion constante es y = 1 (verificar) entonces podemos hacer el cambio

y =1

z+ 1

dy

dx= z2 dz

dx

reemplazamos

z2 dzdx x

(1

z+ 1

)2+ (2x 1)

(1

z+ 1

) x+ 1 = 0

z2 dzdx 1z2

(x+ z) = 0

33


asdz

dx+ (x+ z) = 0

la cual es lineal, la solucion es z = Aex x+ 1 as

y =1

Aex x+ 1 + 1

Ecuaciones homogeneas

Definicion 1.3.7. Una funcion f : U R2 R se dice homogenea de grado n si:

f (tx, ty) = tn f (x, y)

para todo t R tal que (tx, ty) U .

Observacion 1.3.12. Si M y N son funciones homogeneas de grado n, entonces la

ecuacion:

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0 (1.27)

se escribe como:dy

dx= M (x, y)

N (x, y)= M

(1, y

x

)N(1, y

x

) = F (yx

)donde F : R R. Luego, la ecuacion (1.27) puede escribirse como:

y = F(yx

)Definicion 1.3.8. La ecuacion de primer orden:

y = f (x, y)

se llama homogenea, si la funcion f (x, y) es homogenea de grado 0.

Observacion 1.3.13. En vista de la observacion anterior, toda ecuacion homogenea puede

escribirse en la forma:

y = F(yx

)(1.28)

haciendo t = 1x. Para resolver esta ecuacion se considera el cambio de variables z = y

x; o

bien, y = zx. Luego, al derivar respecto de x tenemos que:

dy

dx= z + x

dz

dx

34


Reemplazando la ecuacion anterior en la ecuacion (1.28), se obtiene:

z + xdz

dx= F (z)

la cual es una ecuacion de variable separable. Finalmente, podemos escribir:dz

F (z) z =

dx

x+ C

con C una constante arbitraria.

Ejemplo 1.3.14. Resuelva la ecuacion diferencial:

y =x+ y

x ySolucion. Se trata de una ecuacion con funcion homogenea de grado cero pues

y =x+ y

x y =1 + y

x

1 yx

= F(yx

)ponemos u = y

xluego u+ xu = y reemplazando

u+ xu =1 + u

1 uluego

du

dx=

1

x

(1 + u

1 u u)

=1

x

(u2 + 1

1 u)

esta ecuacion es de variables separadas, se sigue1 u1 + u2

du =

dx

x

luego

arctanu 12

ln(1 + u2

)= ln |x|+ C

volvemos a la variable

arctan(yx

) 1

2ln

(1 +

(yx

)2)= ln |x|+ C

35


Ejemplo 1.3.15. Resuelva el P.V.I.

xdy

dx= y +

(x2 y2)1/2

y (1) = 0

Solucion. Note que

dy

dx=y

x+

(1

(yx

)2)1/2es homogenea, hacemos el cambio

u =y

x u+ xdu

dx=

dy

dx

luego

u+ xdu

dx= u+

1 u2

se siguedu

dx=

1 u2x

resolvemos esta ecuacion de variables separablesdu

1 u2 =

dx

x

arcsinu = ln |x|+ C

as

u = sin (ln |x|+ C)

luego

y = x sin (ln |x|+ C)

evaluando

0 = sin (ln |1|+ C) = sinC

se sigue C = kpi con k Z, as

y = x sin (ln |x|+ kpi) con k Z

36


Otros cambios de variables

Observacion 1.3.14. La regla de la cadena nos permite cambiar variables en las ecuaciones

diferenciales para llevarlas a ecuaciones diferenciales que se resuelven mediante los metodos

elementales. Consideremos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1.3.16. Recordemos la ecuacion (1.7) obtenida en el problema del espejo pa-

rabolico. Es decir, la ecuacion:y

x=

2y

1 (y)2Utilizando un cambio de variables adecuado, resolveremos esta ecuacion diferencial. En

primer lugar, despejando y de la ecuacion, se obtiene:

y (y)2 + 2xy y = 0

Por la formula de la ecuacion de segundo grado, encontramos que:

y =xx2 + y2

y

Por la simetra de la curva y = f (x) y el hecho que |x| 0.Luego:

y =x+x2 + y2

y(1.29)

Consideremos, ahora, el cambio de variables z = x2 + y2. Entonces:

dz

dx= 2x+ 2y

dy

dx

Reemplazando la ecuacion anterior en la ecuacion (1.29), se obtiene:

dz

dx= 2x+ 2y

(x+x2 + y2

y

)= 2x 2x+ 2

x2 + y2

Es decir, obtenemos la ecuacion de variable separable:

dz

dx= 2z

As: dz

2z

=

dx+ C

37


implica que:z = x+ C

Por tanto, elevando al cuadrado y como z = x2 + y2, se obtiene finalmente:

x2 + y2 = x2 + 2Cx+ C2

O bien:

y2 = 2Cx+ C2

con C R.Ejemplo 1.3.17. Resuelva la ecuacion diferencial:

dy

dx= (x+ y + 1)2 2

utilizando para ello un cambio de variables adecuado.

Solucion. Haciendo z = x+ y + 1, tenemos z = 1 + y, de modo que:

z 1 = z2 2

o bien:

z = z2 1Separando variables, obtenemos:

dz

z2 1 =

dx+ C

Integrando se tiene que:

1

2{ln (z 1) ln (z + 1)} = x+ C

o:

lnz 1z + 1

= 2x+ C

Luego:z 1z + 1

= e2x+C

Es decir, obtenemos:

z 1 = Ce2x (z + 1)Despejando z y recordando que z = x+ y + 1, se obtiene finalmente:

y =1 + Ce2x

1 Ce2x x 1

38


Ejemplo 1.3.18. Para un valor de n N adecuado, el cambio de variables u = xnytransforma la ecuacion diferencial

x2dy

dx+ 2xy =

1 y2x4x2

en una ecuacion de variables separables. Determine tal valor de n y resolver la ecuacion.

Solucion. Note que

y = xnu

luegody

dx= nxn1u+ xndu

dx

reemplazando

x2(nxn1u+ xndu

dx

)+ 2x

(xnu

)=

1 (xnu)2 x4x2

ordenando

nxn+1u+ x2ndudx

+ 2(xn+1u

)=

1 (x42nu2)x2

se sigue

x2ndu

dx+ (2 n) (xn+1u) = 1 (x42nu2)x2

tomando n = 2 obtenemosdu

dx=

1 u2x2

que es de variables separables, se siguedu

1 u2 =x2dx

as

arcsinu =x3

3+ C

luego u = sin(x3

3+ C

)y finalmente

y =sin(x3

3+ C

)x2


yy = yy2 + (y)2

haciendo el cambio u = y.

39


Solucion. Si u = y entonces

y =du

dy

dy

dx

= udu

dy

reemplazando

yudu

dy= uy2 + (u)2

ydu

dy= y2 + u

esta ecuacion es linealdu

dy 1yu = y

que tiene solucion

u = y2 + cy

luegody

dx= y2 + cy

es de variables separadas, tiene solucion

y (x) =c

Aecx 1Obs.: Esta tecnica reduce el orden de la E.D.O. si es de la forma F (y, y, y) es decir,

no depende de la variable x.

Observacion 1.3.15. Como muestran los ejemplos anteriores, en general, se puede efectuar

cualquier cambio de variables o sustitucion que se desee al intentar resolver una ecuacion

diferencial. Sin embargo, cualquier no asegura el exito en facilitar la resolucion de la

ecuacion diferencial. Por tanto, debe buscarse el cambio de variables adecuado, [4].


1. Resuelva las siguientes ecuaciones mediante integracion directa

(a)(x2 + 4

) dydx

= 4 (b)dy

dx= x lnx

(c)1

arctanxy =

1

(1 + x2)(d) ex

dy

dx= sinx

40


2. Resuelva las siguientes ecuaciones de variables separables:

(a) yy x = xy2 (b) y = ex+y(c) y ln y + xy = 0 (d) (1 + ex) y = ey

(e) y = 1 + x+ y + xy (f) y = x2y2 + x2

3. Verifique que las siguientes ecuaciones son homogeneas y resuelvalas:

(a) 3x y + dydx

(2y x) = 0 (b) xdydx

= y +y2 x2

(c) 4x2 + xy 3y2 + dydx

(5x2 + 2xy + y2) = 0 (d) (3x2 y2) dydx

= 2xy

(e)dy

dx=x+ y

x y (f) x2y

dy

dx= x3 + y3

4. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales de primer orden:

(a) xy + y = xex (b) y + y cos (x) = sin (x) cos (x)

(c) y + 2y = x2 + 2x (d) y + 2y = sinx

(e)(1 + x2

)y + xy = 1 (f) y +

1

xy =

1

x2

5. Resolver las siguientes ecuaciones de Bernoulli:

1.- y 4y = 2exy1/2 3.- xy 2y = 4x3y1/22.- y y + y2 (x2 + x+ 1) = 0 4.- xy + y = y2x2 lnx

6. Las ecuaciones en este ejercicios pueden ser transformadas en lineales mediante un

cambio de variables adecuado, descubra tal cambio y resuelva la ecuacion:

a) y + x tan y = x2 sec y

b) 2xyy + (1 + x) y2 = ex

7. Sean A,B,C,D,E, F constantes. Muestre que utilizando un cambio de coordenadas

conveniente podemos transformar una ecuacion del tipo

dx

dt= f

(Ax+Bt+ C

Dx+ Et+ F

)en una ecuacion de variables separables o en una homogenea. Ind.: x = X+h, y = Y +k

donde h, k son constantes por determinar.

8. Resolver el P.V.I.

dx

dt=

2x+ t 1x+ 2t+ 1

x (0) = 1

41


9. Resuelva la ecuacion de Ricatti:

y (2x3 + 1) y = x2y2 x4 x+ 1sabiendo que u (x) = x es una solucion particular de la ecuacion.

10. Si u (x) = x2 es una solucion particular de la ecuacion:

y +(3 2x2 sinx) y = y2 sinx+ 2x+ 3x2 x4 sinx

Hallar una familia infinita de soluciones.

Modelos simples: Segunda parte

Observacion 1.4.1. Ahora consideraremos algunos ejemplos mas: el problema de mezclas,

o en terminos mas generales, el problema de analisis de compartimientos, [4], el problema

de las curvas de persecucion y un problema geometrico.

Observacion 1.4.2 (Analisis de compartimientos, [4]). Un proceso fsico o biologico com-

plejo puede ser dividido algunas veces en varios estados distintos. El proceso total puede

describirse por la interaccion entre los estados individuales. Cada estado se llama comparti-

miento (lo podemos considerar como un tanque) y se supone ademas que el contenido de

cada compartimiento esta mezclado homogeneamente. En cada compartimiento se transfiere

material que es inmediatamente incorporado al siguiente en el sistema.

Considere un sistema formado por un solo compartimiento, suponga que un material es

introducido en tal compartimiento a una razon e (t), el cual se incorpora a una cantidad

x (t) de material existente al interior del compartimiento, y luego se extrae material (que

puede pasar a otro compartimiento) a una razon de s (t). Por consiguiente, la variacion de

material al interior del compartimiento esta dada entonces por la ecuacion diferencial:

dx

dt= e (t) s (t)

Consideremos algunos ejemplos:

42


Ejemplo 1.4.1. Considere un tanque que contiene 100 litros de agua, en el cual se han

disuelto 50 kilogramos de sal. Suponga que 2 litros de salmuera cada uno con 1 kilogramo

de sal disuelta, entran por minuto al tanque, y la mezcla que se mantiene homogenea

revolviendola a gran velocidad, sale del tanque a razon de 2 litros por minuto. Hallar la

cantidad de sal al interior del tanque en el tiempo t.

Solucion. Sea x (t) el numero de kilogramos de sal disueltos en el tanque en t minutos.

Notamos que las unidades ayudan bastante en la extraccion de informacion. En efecto,

dx/dt esta en [kg/mn] y entonces, e (t) y s (t) deben esta en las mismas unidades. As:

e (t) = 2

[kg

lt

] [lt

mn

]= 2

[kg

mn

]y

s (t) = 2

[lt

mn

] x (t)

100

[kg

lt

]=x (t)

50

[kg

mn

]Por tanto, la ecuacion diferencial queda:

dx

dt= 2 x (t)

50

la cual es una ecuacion lineal de primer orden. As, por la formula de Leibnitz, tenemos

que:

x (t) = et/50{

2

et/50dt+ C

}= 100 + Cet/50

43


pero sabemos que en t = 0, x (0) = 50. As, 50 = 100 + C. Por tanto:

x (t) = 100 50et/50

Observacion 1.4.3 (Curvas de persecucion, [4]). Utilizando la propiedad geometrica de

que la pendiente de la recta tangente a una curva y en un punto dado de la curva es y, se

pueden construir ecuaciones diferenciales que permiten estudiar la trayectoria que describe

un depredador tras su presa.

Consideremos algunos ejemplos:

Ejemplo 1.4.2. Un esquiador acuatico P localizado en el punto (a, 0), con a > 0, es

halado por un bote de motor Q localizado en el origen y que viaja hacia arriba a lo largo

del eje Y . Hallar la trayectoria del esquiador si este se dirige en todo momento haca el

bote. La trayectoria se denomina tractriz.

Solucion. Observemos que la recta que une P y Q, digamosPQ es tangente al camino

recorrido por P . Por tanto, su pendiente esta dada por:

dy

dx= a2 x2x

(1.30)

puesto que la longitud del segmento PQ es a. La ecuacion diferencial (1.30) es de integracion

directa, luego:

y =

a2 x2x

dx+ C

As1:

y = a ln

(a+a2 x2x

)a2 x2 + C

1

a2 x2x

dx =a2 x2 a ln

a +a2 x2x

+ C44


Como y = 0 cuando x = a, vemos que C = 0, de modo que la ecuacion de la trayectoria es:

y = a ln

(a+a2 x2x

)a2 x2

Ejemplo 1.4.3. Suponga que un halcon P situado en el punto (a, 0) descubre una paloma

Q en el origen, la cual vuela a lo largo del eje Y a una velocidad v. El halcon emprende el

vuelo inmediatamente hacia la paloma a una velocidad w. Cual sera el camino seguido

por el halcon en su vuelo?

Solucion. Sea t = 0 el instante en que el halcon comienza a volar hacia la paloma. Despues

de t segundos la paloma estara en el punto Q = (0, vt) y el halcon en P (x, y). Como la

recta T =PQ es otra vez tangente a la trayectoria, encontramos que su pendiente mT = y

.

Luego, se obtiene la ecuacion diferencial:

y =y vtx

(1.31)

Debemos ahora eliminar t de la ecuacion anterior, pues y = dy/dx. Para ello debemos

calcular la longitud del camino recorrido por el halcon. Si ds representa un elemento

diferencial de longitud del arco formado por la trayectoria, tenemos que:

wt =

ax

ds

pero ds =

1 + (y)2dx. As, la formula anterior queda como:

t =1

w

ax

1 + (y)2dx

Despejando t de la ecuacion (1.31) e igualando con la ecuacion anterior, obtenemos:

y xyv

=1

w

ax

1 + (y)2dx

Derivando:y (y + xy)

v=

1

w

1 + (y)2

Ordenando la ecuacion anterior, se tiene que:

xy =v

w

1 + (y)2 (1.32)

45


Note que la ecuacion anterior es una ecuacion diferencial de segundo orden. Sin embargo,

mediante el cambio de variables:

u = y

la ecuacion (1.32) queda como:

xu =v

w

1 + u2

que es una ecuacion de primer orden de variable separable. Entonces, separando variables

e integrando, obtenemos: du

1 + u2=v

w

dx

x+ C

Luego:

ln(u+

1 + u2)

=v

wlnx+K

pero u = y = 0 cuando x = a, se sigue que K = (v/w) ln a. Tomando exponenciales a

ambos lados de la ecuacion anterior se tiene:

u+

1 + u2 =(xa

)v/wque, despues de algunas operaciones algebraicas, nos da:

dy

dx=

1

2

{(xa

)v/w(xa

)v/w}Suponiendo que w > v, se obtiene finalmente que:

y =a

2

{(x/a)1+v/w

1 + v/w (x/a)

1v/w

1 v/w + C}

Ejemplo 1.4.4. Determine la curva que pasa por(

12, 3

2

)y corta a cada miembro de la

familia x2 + y2 = c2 con c R+ formando un angulo de 45o.

Solucion. El angulo entre dos curvas es dado por el angulo entre sus rectas tangentes

luego

tan =m1 m21 +m1m2

note que la pendiente de las rectas tangentes a la familia de curvas es

2x+ 2yy = 0 m1 = xy

46


as

tan(pi

4

)=

xy y

1 xyy

esto es

1 =

xy y

1 xyy

se sigue

1 xyy =

xy y

1 +

x

y=

x

yy y

luegody

dx=

1 + xy

xy 1 =

yx

+ 1

1 yx

que es una ecuacion homogenea , hacemos el cambio u = yx

de donde

u+ xdu

dx=u+ 1

1 uluego

xdu

dx=

u+ 1

1 u u

du

dx=

(u2 + 1

1 u)

1

x

resolvemos 1 u1 + u2

du =

1

xdx

se sigue

arctanu 12

ln(1 + u2

)= ln |x|+ C

volvemos a la variable y,

arctan(yx

) 1

2ln(x2 + y2

)= C

y determinamos la constante con el punto(

12, 3

2

)arctan (3) 1

2ln

(5

2

)= C

as la curva es

arctan(yx

) 1

2ln(x2 + y2

)= arctan 3 1

2ln

(5

2

).

47



1. Determinar la curva que pasa por(

12, 3

2

)y corta a cada miembro de la familia de

curvas x2 + y2 = c2 formando un angulo de 30o.

2. Encuentre la curva que pertenece a la familia de trayectorias ortogonales de la familia

de curvas x+ y = cey que pasa por (0, 5).

3. Suponga que un halcon situado en (a, 0) descubre una paloma en el origen, la

cual vuela a lo largo del eje Y a una velocidad v; El halcon emprende el vuelo

inmediatamente hacia la paloma con una velocidad de w. Cual es el camino seguido

por el halcon en su vuelo persecutorio?.

4. Un destructor esta en medio de una niebla muy densa que se levanta por un momento

y deja ver un submarino enemigo en la superficie a cuatro kilometros de distancia.

Suponga:

a) que el submarino se sumerge inmediatamente y avanza a toda maquina en una

direccion desconocida.

b) que el destructor viaja tres kilometros en lnea recta hacia el submarino.

Que trayectoria debera seguir el destructor para estar seguro que pasara directamente

sobre el submarino, si su velocidad v es tres veces la del submarino?

5. Suponga que el eje Y y la recta x = b forman las orillas de un ro cuya corriente tiene

una velocidad v en la direccion negativa del eje Y . Un hombre esta en el origen y

su perro esta en el punto (b, 0). Cuando el hombre llama al perro, este se lanza al

ro y nada hacia el hombre a una velocidad constante w (con w > v). Cual es la

trayectoria seguida por el perro?.

6. Cuatro caracoles situados en las esquinas de un cuadrado [0, a] [0, a] comienzan amoverse con la misma velocidad, dirigiendose cada uno hacia el caracol situado a su

derecha. Que distancia recorreran los caracoles al encontrarse?

48


7. Hallar la ecuacion de todas las curvas que tienen la propiedad de que el punto de

tangencia es punto medio del segmento tangente entre los ejes coordenados.

8. Un cuerpo se calienta a 110o C y se expone al aire libre a una temperatura de 100 C.

Si al cabo de una hora su temperatura es de 60o C. Cuanto tiempo adicional debe

transcurrir para que se enfre a 30o C?

9. Una persona de un pueblo de 1000 habitantes regreso con gripe. Si se supone que la

gripe se propaga con una rapidez directamente proporcional al numero de agripados

como tambien al numero de no agripados. Determinar el numero de agripados cinco

das despues, si se observa que el numero de agripados el primer da es 100.

10. Un colorante solido disuelto en un lquido no volatil, entra a un tanque a una velocidad

v1 galones de solucion/minuto y con una concentracion de c1 libras de colorante/galon

de solucion. La solucion bien homogeneizada sale del tanque a una velocidad de v2

galones de solucion/min. y entra a un segundo tanque del cual sale posteriormente a

una velocidad de v3 galones de solucion/min.

Inicialmente el primer tanque tena P1 libras de colorante disueltas en Q1 galones

de solucion y el segundo tanque P2 libras de colorante disueltas en Q2 galones de

solucion. Encontrar dos ecuaciones que determinen las libras de colorante presentes

en cada tanque en cualquier tiempo t.

11. Un teatro de dimensiones 10 30 50m3, contiene al salir el publico 0,1 % porvolumen de CO2. Se sopla aire fresco a razon de 500 m

3 por minuto y el sistema

de aire acondicionado lo extrae a la misma velocidad. Si el aire atmosferico tiene

49


un contenido de CO2 del 0,04 % por volumen y el lmite saludable es de 0,05 % por

volumen. En que tiempo podra entrar el publico?.

12. Un tanque contiene inicialmente agua pura. Salmuera que contiene 2 libras de sal/gal.

entra al tanque a una velocidad de 4 gal./min. Asumiendo la mezcla uniforme, la

salmuera sale a una velocidad de 3 gal./min. Si la concentracion alcanza el 90 % de

su valor maximo en 30 minutos, calcular los galones de agua que haban inicialmente

en el tanque.

13. Un tanque de una cierta forma geometrica esta inicialmente lleno de agua hasta una

altura H. El tanque tiene un orificio en el fondo cuya area es A pie2. Se abre el orificio

y el lquido cae libremente. La razon volumetrica de salida dQdt

es proporcional a la

velocidad de salida y al area del orificio, es decir,

dQ

dt= kAv

aplicando la ecuacion de energa 12mv2 = mgh se obtiene v =

2gh donde g = 32

pie/seg2.

La constante k depende de la forma del orificio:

a) Si el orificio es de forma rectangular, la constante k = 0, 8.

b) Si el orificio es de forma triangular, la constante 0, 65 k 0, 75.c) Si el orificio es de forma circular, la constante k = 0, 6.

Con estos datos:

a) Un tanque semiesferico tiene un radio de 1 pie; el tanque esta inicialmente lleno

de agua y en el fondo tiene un orificio de 1 pulg. de diametro. Calcular el tiempo

de vaciado.

b) Modelar el caso: Cilindro circular de altura H0 pies y radio r pies, dispuesto en

forma vertical y con un orificio circular de diametro (pulgadas), suponga que

esta lleno de agua y calcule el tiempo de vaciado.

50


14. Un torpedo se desplaza a una velocidad de 60 millas/hora en el momento de agotarse

el combustible; si el agua se opone al movimiento con una fuerza proporcional a su

velocidad y si en una milla de recorrido reduce su velocidad a 30 millas/hora. A que

distancia se detendra?

15. Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm. de espesor con una velocidad v0 =

200 m/seg, traspasandola con v1 = 80 m/seg. Suponiendo que la resistencia de la

tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad. Hallar el

tiempo que demora la bala en atravesar la tabla.

16. Una cadena de 4 pies de longitud tiene 1 pie de longitud colgando del borde de una

mesa. Despreciando el rozamiento, hallar el tiempo que tarda la cadena en deslizarse

fuera de la mesa.

Analisis cualitativo

Es equivocado pensar que el objetivo principal del estudio de las ecuaciones diferenciales

consiste en encontrar artificios de calculo que permitan resolverlas. Anteriormente presenta-

mos una seleccion de tecnicas que permiten resolver algunas ecuaciones diferenciales. Como

en toda seleccion la lista no es completa. Existen tratados en donde se elaboran tablas de

soluciones de manera analoga a las tablas de antiderivadas.

La pericia para resolver ecuaciones diferenciales va perdiendo poco a poco importancia

con la llegada de los computadores y el diseno de software especializado para computacion

simbolica. La tendencia actual es dejar al computador este tipo de tareas de calculo. Un

programa como Mathematica puede resolver mediante instrucciones sencillas casi todas las

ecuaciones diferenciales tratadas en este curso.

Sin quitarle importancia a este tipo de programas debe quedar claro que ni el mas

refinado de los software ni el mas ingenioso de los matematicos puede resolver en terminos

de funciones elementales todas las ecuaciones diferenciales, ni siquiera las mas importantes

de ellas. El problema mas que de habilidad es de principio. En casos tan simples como

dx

dt= 1

x+ t

51


se desconocen soluciones clasicas. La busqueda de recetas para resolver todas las ecuaciones

diferenciales en terminos de funciones elementales es una busqueda sin esperanzas. Ante este

hecho se presentan algunas alternativas: Los metodos cualitativos, los metodos numericos,

y los metodos de aproximacion. No es parte de los objetivos de estas notas un estudio

detallado al respecto. Se quiere sin embargo ilustrar los metodos cualitativos.

Metodos cualitativos

En muchos problemas, mas que calculos cuantitativos puntuales, lo que interesa es el

comportamiento cualitativo de las soluciones en terminos de las condiciones iniciales o de

valores de los parametros. Saber que una solucion es creciente, que es concava o que tiene

un lmite en el infinito puede ser de ayuda en el entendimiento de un modelo. Ocurre, que

bajo ciertas circunstancias, podemos obtener tal informacion sin resolver explcitamente la

ecuacion diferencial. Analizaremos primero el siguiente modelo:

El modelo de Verhulst

Resumiremos los principales resultados concernientes al modelo de Verhulst para la

dinamica de poblacionesdx

dt= x (a bx) (1.33)

donde a, b > 0, esta ecuacion tiene dos soluciones constantes x1 (t) = 0 y x2 (t) =ab. Estas

soluciones dividen al plano xt en 3 regiones de poblaciones

R1 ={

(t, x) :a

b< x

}, R2 =

{(t, x) : 0 < x 0

as

T = 1a

lnbx0

(a bx0) + t0 > t0

el intervalo de definicion de esta solucion es], 1

aln bx0

(abx0) + t0[ ], T [ en

este intervalo

d

dt

ax0bx0 + (a bx0) ea(tt0) =

a2x0ea(tt0) (a bx0)

(bx0 + aeat0at bx0eat0at)2< 0

la funcion es estrictamente decreciente y

lmtT


53


Diremos que esta solucion explota en un tiempo finito. Note que esta solucion no

representara una solucion asociada al problema de poblaciones pues siempre es

negativa.

2. Si 0 < x0 ab

entonces x (t) = ax0bx0+(abx0)ea(tt0) esta bien definida en

] 1a

ln bx0(abx0) + t0,+

[

]T,+[ donde T < t0 ademas

lmt+


a

b

yd

dt


a2x0ea(tt0) (a bx0)

(bx0 + aeat0at bx0eat0at)2< 0

la funcion es estrictamente decreciente, x (t) > ab.

54


En el grafico se muestra el comportamiento de las soluciones

Veremos ahora que es posible analizar los comportamientos de las soluciones sin la

necesidad de resolver la ecuacion.

Ecuaciones diferenciales autonomas

Definicion 1.5.1. Diremos que una ecuacion diferencial de primer orden es autonoma si

se puede expresar en la formadx

dt= f (x) (1.34)

donde f : R es una funcion definida en el intervalo abierto .

Las ecuaciones dxdt

= x (1 x2); dxdt

= x (1 x); dxdt

= ex2

sinx son ejemplos de

ecuaciones autonomas, mientras la ecuacion dxdt

= etx+ t no lo es.

Teorema 1.5.1. Sean f : R una funcion de clase C1 (), x0 y t0 R entoncesexiste una unica solucion del P.V.I.

dx

dt= f (x)

x (t0) = x0

x : I R de clase C1 (I) definida en un intervalo abierto que contiene a t0.

55


Definicion 1.5.2. Llamaremos intervalo maximal de definicion al mayor intervalo abierto

donde esta definida la solucion del P.V.I. anterior.

Ejemplo 1.5.1. Determine el intervalo maximal de la solucion del P.V.I.

dx

dt= x2

x (0) = 2

Solucion. Aplicando la tecnica de separacion de variablesx (t)

x (t)2dt =

1dt

1x (t)

= t+ C

x (t) =

1t+ C

usando la condicion inicial 2 = 1C

entonces c = 1/2 se sigue

x (t) =1t 1

2

el mayor intervalo que contiene a t = 0 en el cual esta funcion esta definida es I =], 1

2

[el cual corresponde al intervalo maximal.

Observacion 1.5.1. Note que las ecuaciones autonomas son de variables separadas.

Definicion 1.5.3. Las soluciones constantes x (t) = c, t R de la ecuacion (1.34) sonllamadas soluciones de equilibrio.

Note que si x (t) = c es una solucion de equilibrio

0 =dx (t)

dt= f (x (t)) = f (c)

en otras palabras las soluciones de equilibrio corresponden a las races de la ecuacion

f (x) = 0.

56


Ejemplo 1.5.2. Determine las soluciones de equilibrio de la ecuacion

dx

dt= sinx+ sin2 x

Solucion. Las soluciones de equilibrio corresponden a las races de la ecuacion

sinx+ sin2 x = 0

esto es

(sinx) (1 + sinx) = 0

luego x = kpi con k Z o bien x = 3pi2

+ 2lpi con l Z.

Teorema 1.5.2. Las soluciones de la ecuacion (1.34) son soluciones de equilibrio o

funciones monotonas estrictas.

Si x (t) es una solucion definida en su intervalo maximal I, mostraremos que la derivada

no se puede anular a menos que la solucion sea de equilibrio. Supongamos que x (tc) = 0

para algun tc I y definamos (t) = x (tc) = una funcion constante, como

0 = (t)

y

x (tc) = f (x (tc))

se sigue

0 = (t) = f ( (t))

luego (t) es solucion de equilibrio pero

dx

dt= f (x)

x (tc) =

tiene 2 soluciones, por el teorema de existencia y unicidad la solucion debe ser la misma,

es decir x (t) = para todo t.

Esta demostracion tiene otra consecuencia

57


Teorema 1.5.3. Las graficas de dos soluciones distintas de (1.34) no se intersectan.

Teorema 1.5.4. Sean = ], [, x0 , t0 R. Si x = x (t) es solucion de (1.34) conx (t0) = x0 y su intervalo maximal de definicion es ]a, b[ entonces los lmites

lmta+

x (t) = A y lmtb

x (t) = B

existen o son , mas aun, A debe tomar el valor o si a 6= , y B debe tomar unode los valores o si b 6=.

Ejemplo 1.5.3. Consideremos la ecuacion

dx

dt= x (1 x)

en este caso = R as = y = +. Para 0 < x0 < 1 sean x (t) definida en ]a, b[ lasolucion que cumple x (t0) = x0, note que x1 (t) = 0 y x2 (t) = 1 son soluciones de equilibrio

luego

0 < x (t) < 1

se sigue que 0 A,B 1 entonces a = y b = +. La solucion estara definida entodo R.

Teorema 1.5.5. Si c y x (t) es una solucion de (1.34) tal que lmt+ x (t) = c olmt x (t) = c entonces (t) = c, t R es una solucion de equilibrio.

Demostracion. Tenemos que probar que f (c) = 0. Supongamos que f (c) > 0 entonces

por la continuidad de f existira un intervalo ]c , c+ [ tal que x ]c , c+ [ implicaf (x) > f(c)

2> 0, como

lmt+

x (t) = c

58


se sigue que existe un t0 tal que t t0 implica |x (t) c| < se sigue

x (t) = x (t0) +

tt0

x (u) du

= x (t0) +

tt0

f (x (u)) du

> x (t0) +

tt0

f (c)

2du

= x (t0) +f (c)

2(t t0)

para t t0 pero esto contradice lmt+ x (t) = c (se puede llegar a una contradiccionsimilar si f (c) < 0).

Equilibrio y estabilidad

Notemos que en la ecuacion autonoma

dx

dt= f (x)

se nos indica la pendiente de la recta tangente

a la grafica de la funcion solucion x = x (t) es-

ta viene dada por f (x), esto es, dado un valor

de x las pendientes siempre son las mismas

(independiente de t), las curvas isoclinas co-

rresponde x = c, ademas en los intervalos en

los cuales f (x) > 0 la solucion es estrictamen-

te creciente y en los intervalos en los cuales

f (x) < 0 la funcion solucion es estrictamente

decreciente.

Si x (t) es una solucion dedx

dt= f (x)

entonces la funcion (t) = x (t+ c) tambien es solucion, en efecto

(t) = x (t+ c) = f (x (t+ c)) = f ( (t))

59


esto significa que las traslaciones de una solucion de la ecuacion autonoma tambien es

solucion, note que si se conoce la solucion x (t) de

dx

dt= f (x)

x (t0) = x0

entonces la solucion de

dx

dt= f (x)

x (0) = x0

es (t) = x (t+ (t0 0)), esto nos dice que en cada banda limitada por las las solucionesde equilibrio las soluciones son traslaciones de una solucion dada.

Ejemplo 1.5.4. Considere la ecuacion

dx

dt= x

en este caso la solucion de equilibrio es

x (t) = 0. Por teorema las demas soluciones

son monotonas estrictas. Para x > 0 las so-

luciones son estrictamente crecientes y para

x < 0 estrictamente decrecientes. En este caso

es facil resolver explcitamente

x1 (t) = et

es una solucion en la region x > 0 las demas

soluciones son xc (t) = et+k = eket = Cet

donde C > 0 son traslaciones de la solucion

anterior. Note tambien que x (t) = et esuna solucion en la region x < 0 y las demas

soluciones en esa region son xK (t) = et+k =Ket

En el ejemplo anterior el comportamiento de las soluciones en el entorno de la solucion

60


de equilibrio es como indica el diagrama

diremos en este caso que el punto de equilibrio es un repulsor, las soluciones se alejan de

esta solucion de equilibrio.

Llamaremos diagrama de fases o lneas de fases al grafico del comportamiento de las

soluciones en el plano xt.

Definicion 1.5.4. Dependiendo del comportamiento local de las soluciones de la ecuacion

alrededor de un punto de equilibrio aislado x0 en las lneas de fases, se distinguen los

siguientes tipos:

1. x0 es llamado Repulsor si existe > 0 tal que

x0 < x < x0 x = x0 x0 < x < x0 + signo f(x) 0 + + +

2. x0 es llamado Atractor si existe > 0 tal que

x0 < x < x0 x = x0 x0 < x < x0 + signo f (x) + + + 0

3. x0 es llamado Atractor-repulsor si existe > 0 tal que

x0 < x < x0 x = x0 x0 < x < x0 + signo f (x) + + + 0 + + +

61


4. x0 es llamado Repulsor-atractor si existe > 0 tal que

x0 < x < x0 x = x0 x0 < x < x0 + signo f (x) 0

Para analizar entonces el tipo de solucion de equilibrio tenemos que analizar el signo

de la funcion en el entorno de la solucion de equilibrio, adicionalmente se cuenta con el

siguiente teorema:

Teorema 1.5.6. Si x (t) = c es una solucion de equilibrio de

dx

dt= f (x)

entonces:

1. Si f (c) < 0, c es un atractor

2. Si f (c) > 0, c es un repulsor.

Ejemplo 1.5.5. Bosquejar el diagrama de

fases de la ecuacion

dx

dt= x2 (2 x) (x 3)

Desarrollo: La funcion x2 (2 x) (x 3) estabien definida y es de clase C (R) existe so-lucion unica en cada punto (t0, x0) del plano

xt. Las soluciones de equilibrio corresponden

a x1 (t) = 0, x2 (t) = 2 y x2 (t) = 3, en el

siguiente diagrama se analiza el signo de f

0 2 3

x2 + + + 0 + + + + + + + + + + +

x 2 0 + + + + + + +x 3 0 + + +f (x) = x2 (x 2) (x 3) 0 0 + + + 0

62


se sigue que x1 (t) = 0 es un repulsor-atractor, x2 (t) = 2 un repulsor y x2 (t) = 3 un

atractor.


1. En una red de computadores sea x (t) la proporcion de maquinas infectadas con el

virus MTA320 en un instante t dado (note que 0 x (t) 1). x (t) mide la rapidezde propagacion sobre la red. Los estudios de expertos de internet determinan que el

virus satisface el problema con valores iniciales

x = x(

1

3 x)(

2

3 x)

(1 x)x (0) = x0

donde x0 es la proporcion de computadores en que el virus se implanta inicialmente

y > 0 es una constante.

a) Encuentre las soluciones de equilibrio, clasificarlas y dibujar el diagrama de fase

del sistema.

b) Demostrar que si 0 < x0 < 2/3 entonces el virus alcanzara finalmente a un

tercio del total.

63


c) Cual debe ser la cantidad de maquinas infectada inicialmente para que todas

se infecten?

2. Sea x : I R la solucion maximal del P.V.I.dx

dt= x2 (1 x) (2 x) ex2

x (0) =3

2

muestre que I = R y determine lmt+ x (t), lmt x (t).

3. Considere la ecuacion diferencial

dy

dt= y2/3

a) Demuestre que y1 (t) = 0 para todo t R es solucion.b) Comprobar que y2 (t) = t

3/27 es tambien solucion.

c) Notar que y1 (0) = y2 (0) pero ambas funciones no son iguales para toda t Por

que este ejemplo no contradice el teorema de unicidad?

4. Esboce las lneas de fase para la ecuacion diferencial dada. Identifique los puntos de

equilibrio:

(a) dydt

= 3y (1 y) (b) dydt

= y2 6y 16 (c) dydt

= cos y

(d) dwdt

= w cosw (e) dwdt

= (w 2) sinw (f) dydt

= 1y2

(g) dwdt

= w2 + 2w + 10 (h) dydt

= tan y

5. Considere la ecuacion diferencial

dy

dt= y2 4y + 2

con las siguientes condiciones iniciales:

a) y (0) = 0

b) y (0) = 1

64


c) y (0) = 1d) y (0) = 10e) y (0) = 10

f ) y (3) = 1

describir el comportamiento a largo plazo de la solucion.

6. Describir el diagrama de fases de la ecuacion

dx

dt= (x+ )

(x2 +

)(cosx+ 2)

para los distintos valores del parametro .

7. Determine los valores de R para los cuales la solucion de equilibrio x (t) = 13

de

dx

dt= (x )

(1

3 x)(

x2 )es:

a) Un atractor.

b) Un repulsor.

o justifique la no existencia de tales valores.

8. Sea x (t) la solucion del P.V.I.

dx

dt= exx

2

sin (x) arctanx

x (3) = 4

a) Determine su intervalo maximal de definicion.

b) Es x (t) estrictamente creciente?

c) Si existen, calcular el valor de lmt+ x (t) y lmt x (t)

9. Sean , > 0. La ecuaciondP

dt= P 2/3 P

modela el peso de un pez en el tiempo t. Sin resolver la ecuacion, determine el peso

maximo del pez si P (0) = p0 > 0 (justificar sus calculos).

65


10. Muestre que la solucion de equilibrio y (t) 0 de la ecuaciondy

dt= y

(cos(y5 + 2y

) 27piy4)corresponde a un repulsor.

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Ejercicios del captulo

1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) dydx

= 1x2

y2b) dy

dx= y (2 + sin x) c) dy

dx= sec

2 x1+x2

d) dydx

= 1xy3

e) dydx

= 3xy2 f) xdvdx

= 14v2

3v

g) dxdt

+ x2 = x h) dydx

= 3x2 (1 + y2) i) (x+ xy2) + ex2y dy

dx= 0

2. Resuelva los siguientes problemas de valor inicial:

a) y = x3 (1 y) , y (0) = 3 b) dydx

= (1 + y2) tanx, y (0) =

3

c) dydx

= 3x2+4x+22y+1

, y (0) = 1 d) dydx

= 2y + 1 cosx, y (0) = 2

e) dydx

= y sinx, y (pi) = 3 f) x2 + 2y dydx

= 0, y (1) = 2

3. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales:

a) dydx y = e3x b) dy

dx= y

x+ 2x+ 1 c) dr

d+ r tan = sec

d) xdydx

+ 3y + 2x2 = x3 + 4x e) (x2 + 1) dydx

+ xy = x f) dydx

= x2e4x 4y

4. Considere el problema con valor inicial:

dy

dx+ y

1 + sin2 x = x, y (0) = 2

Utilice la integral indefinida para mostrar que el factor integrante para la ecuacion

diferencial se puede escribir como:

(x) = exp

( x0

1 + sin2 t dt

)5. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

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a) (x y) + xdydx

= 0 b) dydx

= (3x+ 2y 1)2 + 2 c) dydx

= sin (x y)

d) y + 1 =x+ y e) dx

dt= x

2+tt2+x2

txf) dy

dx= y(ln ylnx+1)

x

6. Hallar la solucion general de la ecuacion de Bernoulli:

2y + y tanx = (2x secx) y3

7. Resuelva la ecuacion:

3y = (1 2t) y4 y

sabiendo que y (0) = 1.

8. Resolver:dy

dx= y x 1 + 1

x y 29. Considere la ecuacion diferencial:

y xy = a (1 + x2y) , a > 1a) Hallar la solucion general de la ecuacion.

b) Encuentre una solucion particular de la ecuacion, tal que y (0) = 1.

c) Hallar el intervalo mas grande donde la solucion particular anterior este definida.

10. Demuestre que la ecuacion diferencial:

2x4y y + y4 = 4x6

se reduce a una ecuacion homogenea mediante el cambio de variables:

y = zn

para cierto n Z. Determine el valor de n y resuelva la ecuacion.

11. Muestre que la ecuacion:

2(x3y y3) dy = 3 (x5 + x4y4) dx

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se reduce a una ecuacion homogenea, realizando el cambio de coordenadas:

x = up y = vq

para ciertas constantes adecuadas p, q R. Hallar tales constantes y resolver laecuacion diferencial.

12. Hallar la solucion general de la ecuacion:

(x 2y 4) + (2x y + 2) dydx

= 0

13. Considere la ecuacion de Ricatti:

y + 2 (1 x) y y2 = x (x 2)

a) Hallar constantes A,B R de modo que:

y = Ax+B

sea una solucion particular de la ecuacion.

b) Determine la solucion general de la ecuacion diferencial.

14. Resuelva la ecuacion:dy

dx= x3 (y x)2 + y

x

15. Sea x > 0. Considere la ecuacion:

y + e2xy2 1x

(1 + 4x+ 2x2

)y = e

2x

x

(1 + x+ 2x2 + x3

)a) Hallar una solucion particular de la forma:

y = e2x (Ax+B)

b) Resuelva la ecuacion diferencial.

16. Un esquiador acuatico ubicado en el punto (a, 0) es tirado por un bote que se

encuentra en el origen O y viaja hacia el norte en direccion OY . Hallar la trayectoria

que sigue el bote si este se dirige en todo momento hacia el bote.

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17. Considere un tanque que contiene inicialmente 1000 litros de agua pura, dentro del

cual

Apuntes MAT023 Completo UTFSM

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