Evaluacion de un metodo de ramificacion yacotamiento para un modelo de diseno territorial

Nancy Solis Garcıa* Roger Z. Rıos Mercado**

Ada M. Alvarez Socarras***

Resumen: En este artıculo se muestra un modelo para el problema de diseno de te-rritorios de atencion comercial. Este modelo se clasifica como un programa entero mixtolineal ya que las variables son enteras y tanto las restricciones como la funcion objetivoson lineales. En este trabajo se ilustra uno de los metodos de optimizacion exacta maspopulares para resolver problemas de programacion entera (Metodo de Ramificacion yAcotamiento, MRA). Ademas, se incluye una evaluacion empırica del desempeno delMRA al aplicarlo en la resolucion de algunas instancias del modelo. Esto implica unestudio y evaluacion de un parametro algorıtmico, dar o no prioridades a las variables,que depende de la estructura del problema y que afecta el comportamiento del metodo.Los resultados muestran que el uso de esta estrategia produce mejores resultados enfuncion del tiempo de ejecucion requerido.

Abstract: In this paper we show a mathematical model for a commercial territo-ry design problem. This model is a mixed-integer linear program (MILP) due to boththe discrete nature of the decision variables and the linearity of its objective functionand constraints. In this work we illustrate one of the most popular methods for solvingMILPs exactly (Branch-and-Bound). In addition, an empirical evaluation of the methodover a variety of problem instances is included. In particular, a very important algorith-mic strategy such as giving priority to the branching variables is further investigated.The results shows that this strategy produces better results in terms of run time.

Palabras clave: Investigacion de operaciones, diseno de territorios, programa en-tero mixto lineal, metodo de ramificacion y acotamiento.

Key-words: Operations research, territory design, mixed-integer linear program,branch-and-bound algorithm.

1. Introduccion

El presente estudio trata sobre un problema de diseno de territorios de atencioncomercial, que surge en una companıa distribuidora de bebidas embotelladas, el cual

*PISIS, FIME, UANL. E-mail:nsolis@yalma.fime.uanl.mx**PISIS, FIME, UANL. E-mail:roger@mail.uanl.mx

***PISIS, FIME, UANL. E-mail:adalvarez@mail.uanl.mx

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puede ser visto como un problema de agrupar pequenas areas o unidades basicas dentrode grandes areas geograficas o territorios. Estos territorios deben satisfacer ciertas carac-terısticas de planeacion por parte de la empresa. Este es un problema de optimizacioncombinatoria clasificado como NP-duro [9], es decir, difıcil de resolver. En terminosgenerales, un problema de optimizacion es catalogado como difıcil cuando existe una de-mostracion teorica que muestra que no existe ningun algoritmo que garantice encontrarla mejor solucion posible (solucion optima) en un tiempo razonable [7]. Esto represen-ta todo un reto desde la perspectiva de investigacion. Desde la perspectiva practica,este problema es muy importante ya que una buena solucion ayudarıa a las empresasa distribuir su gran area de trabajo de la mejor manera de acuerdo a sus criterios deplaneacion. El problema de diseno territorial (PDT) que motiva este trabajo tuvo susorıgenes en los trabajos de Vargas Suarez [12] y Vargas-Suarez, Rıos-Mercado y Lopez[11].

El problema en estudio puede modelarse como un Programa Entero Mixto Lineal(PEML). Un PEML es un modelo en el que tanto las restricciones como la funcionobjetivo son funciones lineales y las variables de decision son algunas enteras y otrascontinuas. En particular, se trabaja con relajaciones lineales del modelo original. Larelajacion de un problema consiste en eliminar alguna restriccion del modelo, lo cualpermite ampliar la region factible. Lo anterior, tiene la ventaja que es relativamentemas facil de resolver y que una solucion a la relajacion proporciona una cota inferioral optimo del problema original. En este caso, esta relajacion obedece al hecho de queen el modelo original esta presente un conjunto de restricciones de orden exponencialel cual es imposible escribir explıcitamente. El obtener esta cota es importantısimo yaque con esta cota se puede medir la calidad de las heurısticas desarrolladas para esteproblema. Las heurısticas son procedimientos simples, a menudo basados en el sentidocomun, que se supone ofreceran una buena solucion (aunque no necesariamente la opti-ma) a problemas difıciles, de un modo facil y rapido [2].

El presente trabajo es de mucha importancia ya que proporciona cotas que puedenmedir la calidad de heurısticas desarrolladas para el modelo en estudio [5] y [10], tambiensirven como punto de partida para otras investigaciones. Se estudia el algoritmo delmetodo exacto de ramificacion y acotamiento en la relajacion del modelo. Se evalua unparametro de este algoritmo, el cual depende de la estructura del problema y afecta elcomportamiento del metodo. Al evaluar el parametro algorıtmico con un diseno experi-mental adecuado se puede obtener el mejor valor para este. Con esto se espera que elmetodo exacto pueda resolver la relajacion del modelo, sin embargo, cuando esto no esposible y el metodo se trunca, al menos ayuda a encontrar soluciones de buena calidad.

2. Descripcion del problema

El problema que se estudia en este trabajo esta basado en una necesidad real, la cuales resolver la definicion de distritos o territorios comerciales para una red metropolitanade distribucion de bebidas embotelladas de la localidad de Monterrey. Esta empresaconsidera una manzana geografica como una unidad basica (UB) y considera seriamenteagrupar estas UB de la mejor manera satisfaciendo ciertos criterios economicos y geo-

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Figura 1: Ejemplo de una region geografica

graficos definidos por dicha empresa. Esto ayudara a tener una buena administracion yademas a dar un buen servicio a los clientes ubicados en cada grupo o territorio (verFigura 1). La adyacencia de manzanas o UB se puede representar mediante un grafo(ver Figura 2).

Figura 2: Representacion de adyacencia de manzanas mediante un grafo

Cada una de las UBs tiene dos atributos o medidas asociadas a la misma:

Numero de puntos de venta o clientes.

Volumen o demanda del producto.

En el resto del trabajo, la palabra grupo, distrito y territorio se usan indistintamente.

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Uno de los requerimientos impuestos por la empresa es que la carga total de cadaterritorio formado sea lo mas parecido posible con respecto a cada una de estas dos ac-tividades definidas. Sin embargo, dado que es muy difıcil lograr un balance simultaneopara las dos actividades definidas, se establece cierto parametro de tolerancia para cadaactividad. Por ejemplo, si el valor de balance de una cierta actividad es 10 y la toleranciapermitida es 0.01, entonces el valor de dicha actividad en cada teritorio debe estar entre9 y 11. De lo anterior, el inciso a) de la Figura 3 nos da un ejemplo de territorios nobalanceados ya que tiene un nivel de 12 y otro de 8, los cuales estan fuera del rango.Los incisos b) y c) muestran territorios balanceados con tolerancia 0.01.

Figura 3: Ejemplo donde se muestra el balance de una actividad medible y la conexidad

Las UB son, por definicion, areas geograficas con una ubicacion especıfica dentrode una region. Los territorios que se formen deben respetar esta ubicacion natural y esrequisito indispensable que el territorio se forme unicamente con unidades basicas quesean contiguas, es decir, que para poder llegar a cada unidad basica del territorio debenvisitarse solamente unidades basicas que pertenezcan al mismo territorio. En Teoria deGrafos a esta propiedad se le llama conexidad. Un ejemplo de territorio no conexo sepuede ver en el inciso b) de la Figura 3. Por el contrario los incisos a) y c) muestranterritorios conexos.

Al mismo tiempo que se considera la conexidad y el balance de los territorios, sebusca que cada territorio sea lo mas compacto posible, es decir, que las unidades basicasen cada territorio esten lo mas cerca posible (ver Figura 4).

Se conoce el numero de UB, el cual esta identificado por n. Todas estas unidades seanalizan dentro del Plano Cartesiano, por lo tanto, se tienen las coordenadas geograficasque representan la ubicacion de cada unidad. Se tienen los valores de las dos actividadesmedibles (numero de clientes y demanda) asociadas a cada UB.

El numero de territorios a formar se conoce y se denota por p. Como se ha comentado,es muy difıcil lograr un balance simultaneo para las dos actividades medibles, por tal

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Figura 4: Ejemplo de territorio compacto y no compacto

motivo se fija un valor de tolerancia (τ a) el cual permite decidir que tan balanceadosse desean que esten los territorios para cada actividad. Se supone que la demanda y elnumero de clientes se conocen con certeza, y que el numero de clientes es fijo. Resumiendolo anterior, se desean formar p territorios de forma que:

Cada UB pertenezca solamente a un territorio.

Los territorios esten balanceados con respecto a las dos medidas de actividad.

Los territorios sean contiguos.

Los territorios sean compactos.

2.1. Formulacion Entera Mixta Lineal (PEML)

Desde el punto de vista de la programacion matematica, el problema puede mode-larse como un programa entero mixto lineal.

Indices y conjuntosn numero de unidades basicas o nodosp numero de territoriosi,j ındices de las unidads basicas; i, j ∈ V = {1, 2, . . . , n}a ındices de las actividades; a ∈ A = {1, 2}

N i (= {j ∈ V : (i, j) ∈ E ∨ (j, i) ∈ E}) conjunto de nodos que sonadyacentes al nodo i ; i ∈ V

Parametroswa

i valor de la actividad a en el nodo i ; i ∈ V, a ∈ Adij distancia euclidiana entre i y j ; i, j ∈ Vτ a tolerancia relativa con respecto a la actividad a; a ∈ A, τ a ∈ [0, 1]

Parametros calculados

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wa(B) (=∑

j∈Bwa

j ) tamano del conjunto B con respecto a a; a ∈ A,B ⊂ V

µa (= wa(V )/p) valor promedio (meta) de la actividad a; a ∈ A

Variables de decisionSe introducen variables binarias basadas en centros para modelar la medida de disper-sidad.

xij =

{1 si la unidad j es asignada al territorio con centro en i; i, j ∈ V0 de otra manera

Por consiguiente, esto implica la definicion de xii como:

xii =

{1 si el nodo i es el centro de un territorio; i ∈ V0 de otra manera

Modelo A

Minimizar f(x) = maxi,j∈V

{dijxij} (A.1)

Sujeto a:∑

i∈V

xij = 1 j ∈ V (A.2)

∑

i∈V

xii = p (A.3)

∑

j∈V

waj xij ≤ (1 + τ a)µaxii i ∈ V, a ∈ A (A.4)

∑

j∈V

waj xij ≥ (1 − τ a)µaxii i ∈ V, a ∈ A (A.5)

∑

j∈∪v∈SNv\S

xij −∑

j∈S

xij ≥ 1 − |S| i ∈ V ;S ⊂ V \(N i ∪ {i}) (A.6)

xij ∈ {0, 1} i, j ∈ V (A.7)

La funcion objetivo (A.1) mide la dispersidad de los territorios usando la funcionconocida como p-centro. Las restricciones (A.2) y (A.3) garantizan que cada nodo j seaasignado solamente a un territorio y que el numero de territorios disenados sea el de-seado, respectivamente. Las restricciones (A.4) y (A.5) representan el balance en cadaterritorio con respecto a cada medida de actividad, ya que se sabe que el tamano decada territorio debe encontrarse dentro de un rango (medido por el parametro de tole-rancia τ a) alrededor de este promedio. Ademas las cotas superiores de las restriccionesde balance (A.4) aseguran o garantizan que si el nodo i no es un centro, los clientes nosean asignados a el. Las restricciones (A.6) garantizan la contiguidad de los territorios.Notese, que el numero de estas restricciones crece exponencialmente dependiendo deltamano del conjunto V. Las restricciones (A.7) garantizan un valor binario para cadavariable de decision. El problema en estudio es NP-duro [9].

Este modelo no es precisamente lineal debido a que la funcion objetivo (A.1) no esuna funcion lineal. Sin embargo, el modelo A puede ser linealizado si se reemplaza (A.1)por (A.8) y (A.9) dadas a continuacion.

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Minimizar g(x) = z (A.8)

z ≥ dijxij i, j ∈ V (A.9)

A su vez, las restricciones (A.9) se reemplazan por

z ≥∑

i∈V

dijxij j ∈ V (A.10)

ya que estas proporcionan una formulacion mas robusta [1].Como se menciono anteriormente, el numero de restricciones dadas en (A.6) es expo-nencial y por tanto no pueden escribirse explıcitamente ni para valores relativamentemedianos de n. La formula para calcular el numero de restricciones que se desprendende las restricciones de conexidad(A.6) es:

|V |∑i=1

[ci∑

l=1(cil )], donde ci = |V \(N i ∪ {i}|; i ∈ V

En la Tabla 1 se muestra el numero de restricciones para algunos valores de n.

n p Numero deRestricciones (A.6)

10 3 85420 5 1,834,988

Tabla 1: Numero de restricciones de conexidad

Por tal motivo, en el presente trabajo se procedio a trabajar con una relajacion delmodelo A que consiste en ignorar (A.6).

Modelo AR (Modelo A linealizado y relajado)

Minimizar g(x) = z (A.11)

Sujeto a: z ≥∑

i∈V

dijxij j ∈ V (A.12)

∑

i∈V

xij = 1 j ∈ V (A.13)

∑

i∈V

xii = p (A.14)

∑

j∈V

waj xij ≤ (1 + τ a)µaxii i ∈ V, a ∈ A (A.15)

∑

j∈V

waj xij ≥ (1 − τ a)µaxii i ∈ V, a ∈ A (A.16)

xij ∈ {0, 1} i, j ∈ V (A.17)

z ≥ 0 (A.18)

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3. Metodo de Ramificacion y Acotamiento (MRA)

El MRA es uno de los metodos mas populares en la solucion exacta de problemas deprogramacion entera [6]. El metodo consiste en ir acotando superior e inferiormente elvalor de la funcion objetivo hasta que ambas cotas sean iguales, es decir, se haya llegadoal valor optimo. El pseudocodigo del MRA se muestra a continuacion:

InicializacionProblema inicial P esta en una Lista. ZU = +∞; solucion actual x∗ es vacıo.while la Lista no este vacıa.

Elegir problema P i de la Lista. Resolver la relajacion PL sobre P i. Z i = valor dePL. xi(PL)= solucion de PL.if P i no es factible, se poda por infactibilidad.else if Z i ≥ ZU , se poda por cota.else if xi(PL) es entera, actualizar la cota primal ZU = Z i

L y la solucion actualx∗ = xi(PL), se poda por optimalidad.else Retornar dos subproblemas a la lista P i

1 y P i2.

end ifend ifend if

end whileSolucion actual x∗ es optima.

Algunas de las muchas preguntas que surgen sobre este metodo son:

1. ¿Como seleccionar el subproblema a explorar?.

2. De todas las variables que deben ser enteras y que en la relajacion resultaron serfraccionarias ¿sobre cual se ramifica o se hace la particion en subproblemas?.

3. ¿Afectara el orden de prioridades sobre las variables a ramificar el desempeno delmetodo?.

Para cada una de ellas hay respuestas, pero depende de la estructura y de caracte-rısticas de cada modelo. Se puede seleccionar el subproblema que tiene la mejor cota oel que recientemente haya sido introducido en la lista o una combinacion de estos. Cadauna de estas formas de seleccionar el subproblema tienen sus ventajas y desventajasdependiendo del modelo y de lo que se busca.

La forma de trabajar del MRA permite tener cierto control sobre algunos de susparametros algorıtmicos, con el fin de ayudar al metodo a encontrar resultados que seanoptimos y obtenidos en tiempos razonables. Uno de estos parametros es el de dar o noprioridad a las variables a ramificar.

Este trabajo se enfoca en analizar si el considerar prioridades sobre las variables a lahora de ramificar afecta la calidad de la solucion y el tiempo requerido para encontrarlaen el modelo bajo estudio.

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Dar o no prioridad a las variables a ramificar. Las prioridades se deben asignarbasadas en el conocimiento del problema. Las variables con prioridades mas altas seranramificadas antes de las variables con prioridades mas bajas. Esta direccion de busquedadel arbol puede a menudo reducir dramaticamente el numero de subproblemas explo-rados. Este parametro es muy importante de analizar en los modelos que presentanrestricciones del tipo xij ≤ xii. Si se ramifica primero sobre la variable binaria xii, en-tonces esta variable se fija en 1 o en 0, si se fija en 1 la restriccion anterior es redundante.Si la variable xii se fija en cero, automaticamente todas las variables xij se fijan en cero,lo cual puede reducir dramaticamente el numero de subproblemas a explorar.

El modelo AR en estudio presenta las restricciones A.15), las cuales tienen estaestructura especial, ya que si la variable xii toma el valor de cero, esta forza a queel lado izquierdo de la desigualdad sea cero, es decir si el nodo i no es un centro, losclientes no pueden asignarse a este. Ramificar primero las variables xii y despues las xij,es decir primero fijar los centros y despues solo asignar los clientes a los centros ya fijos,afectara la calidad de la solucion y el tiempo requerido para obtenerla.

4. Estudio computacional

El diseno de experimentos es el proceso de planear un experimento para obtener datosapropiados, que pueden ser analizados mediante metodos estadısticos, con objetivo deproducir conclusiones validas y objetivas. Se requiere un enfoque estadıstico del disenode experimentos para obtener conclusiones significativas a partir de los datos [3].

4.1. Objetivo y datos de prueba

El objetivo de esta evaluacion consiste en determinar, en base a un experimentocomputacional y analisis estadıstico, si el dar o no prioridades afecta positiva o negati-vamente la calidad de la solucion y el tiempo requerido para encontrarla.

Para los experimentos se generaron aleatoriamente instancias del problema basadosen datos reales proporcionados por un socio industrial. Se consideraron dos diferentestipos de instancias de acuerdo al parametro τ a son consideradas (DS10 y DS05 ). En-tonces, se tienen instancias de varios tipos y tamanos a considerar en la experimentacion.

Tipos de instancias

DS10 : Son los problemas para los cuales el parametro de tolerancia de las restric-ciones de balance (A.4) y (A.5) τ a = 0.10 (es decir, se permite una desviacion deun 10%).

DS05 : Son los problemas para los cuales el parametro de tolerancia de las restric-ciones de balance (A.4) y (A.5) τ a = 0.05 (es decir, se permite una desviacion deun 5%).

Tamano de instancias

(60,4) Problemas con 60 nodos y 4 territorios.

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(100,5) Problemas con 100 nodos y 5 territorios.

Una solucion se considera optima en los experimentos a realizar si dicha solucionsatisface el criterio de optimalidad relativa de 0.01, es decir cuando se garantiza que lasolucion obtenida se encuentra a lo mucho a un 1% del valor optimo. El intervalo deoptimalidad relativa (IOR) se calcula de la siguiente manera: ZU−ZL

ZLdonde ZU es la cota

superior (solucion factible de PEM) y ZL es la cota inferior (mejor posible encontrada).Si se desea el porcentaje de este intervalo solo se multiplica por 100.

En la experimentacion, se hace uso de GAMS [4], el cual es un modelador algebraicopara problemas de optimizacion con interfaz a varios metodos de solucion de uso co-mercial. En nuestro caso, los problemas de PL y PEM se resuelven utilizando el moduloGAMS/CPLEX, el cual es la interfaz usada por GAMS para llamar al optimizadorCPLEX [4], que es hoy en dıa uno de los optimizadores mas potentes a nivel mundialen la resolucion de problemas de PL y PEM. Los experimentos fueron realizados en unordenador SunFire V440 con el sistema operativo Solaris 9 propiedad del Laboratoriode Computo de Alto Desempeno del Programa de Posgrado en Ingenierıa de Sistemasde la FIME, UANL. Se utilizo la version 9.0 de CPLEX en cada experimento.

4.2. Diseno experimental

Consiste en realizar ejecuciones para el modelo AR, variando el tamano y el tipo deinstancia del problema. Ademas se modifica el parametro algorıtmico del metodo exacto:

Dar o no prioridades a las variables a ramificar.

En este experimento se mide el tiempo que tarda el algoritmo en dar una solucionoptima. Para analizar los resultados obtenidos en cada experimento se emplea una prue-ba no parametrica llamada Kruskal-Wallis (conocida tambien como la prueba H), debidoa que los datos no cumplen con las condiciones necesarias para aplicar un ANOVA (anali-sis de varianza), entre ellas que las respuestas no estan normalmente distribuidas. Laprueba de Kruskal-Wallis (vease Freund, Miller y Miller [3]) es una de las pruebas noparametricas mas poderosas y se aplica cuando se tiene un diseno completamente al azarpero no se puede suponer normalidad. Sirve para determinar la igualdad o diferenciaentre tratamientos.

Se utilizo el software MINITAB 14 [8] como herramienta estadıstica para analizarlos datos y de esta manera poder establecer conclusiones con validez estadıstica. Lostiempos de computo obtenidos en los experimentos se introducen en MINITAB, se se-lecciona la prueba Kruskal-Wallis y se comienza el analisis. Esta prueba no parametricacuenta con las siguientes hipotesis:H0: Dar o no dar prioridades a las variables a ramificar requiere el mismo tiempo deresolucion. Es decir, cualquiera de estas opciones requiere el mismo tiempo.H1: Dar o no dar prioridades a las variables a ramificar requiere diferente tiempo deresolucion. Es decir, una de estas opciones proporciona mejores tiempos.

Esta herramienta estadıstica calcula las medias de los k tratamientos y un valor q,con el cual determina si se rechaza o no la hipotesis nula. Si el valor de q < β (donde

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β = 0.05 es el nivel de significancia) se rechaza H0 y se toma la alternativa, en otro casose acepta H0.

4.3. Resultados

En esta parte, se estudia la sensibilidad del algoritmo del metodo exacto al dar ono prioridades a las variables a ramificar. Esto se mide en base a si mejora el tiempode solucion. Para esto, se considera dar mayor prioridad para ramificar primeramentesobre las variables xii, despues de estas variables se consideran las xij. Esto se realizapara el modelo AR con 20 instancias para cada combinacion tipo-tamano. En total paraeste experimento son 80 instancias a dos niveles (mipordind 0 y mipordind 1) es decir,se realizan 160 ejecuciones. Los resultados se muestran en la Tabla 2 y Figuras 5, 6. Laprimera columna en la Tabla 2 indica de que tipo son las instancias que se estan proban-do, la segunda el tamano de estas, la tercera y cuarta columna indican los tiempos decomputo promedio que el MRA empleo al ejecutar las 20 instancias sin prioridades ycon prioridades, respectivamente. Todas las instancias se resolvieron de manera optima.

mipordind 0= Dar prioridades a las variables xii sobre las xij.mipordind 1= No dar ninguna prioridad.

Tipo (n, p) mipordind 0 mipordind 1DS05 (60,4) 130.0 79.7DS10 (60,4) 79.4 51.6DS05 (100,5) 3125.5 895.5DS10 (100,5) 3783.5 794.1

Tabla 2: Tiempo de computo promedio, variando las prioridades para el modelo AR

El valor q obtenido en la prueba estadıstica para las diferentes instancias del modeloAR es casi 0 el cual es menor que β. Entonces, se establece que hay evidencia suficientepara rechazar H0, es decir, que el dar prioridades a las variables sı impacta en el tiempode computo. Se puede observar, ademas, en la Tabla 2 y Figuras 5 y 6 que los tiemposde solucion disminuyen considerablemente al darle prioridad de ramificar a las variablesxii sobre las xij. El usar prioridades reduce el tiempo de solucion significativamente,por lo cual, se considera importante este parametro. Se considera dar prioridades a lasvariables xii sobre las xij.

5. Conclusiones

El Metodo de Ramificacion y Acotamiento (MRA) puede dar soluciones optimas paraalgunas instancias (de tamanos chico y mediano) del modelo presentado en este trabajo.Sin embargo, para instancias mayores el tiempo de ejecucion puede ser extremadamentegrande y es importante entonces disponer de mecanismos que ayuden a disminuir lostiempos de ejecucion del optimizador. Los resultados obtenidos con este trabajo indicanque para el problema bajo estudio es recomendable dar prioridad a las variables xii sobre

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Figura 5: Utilizar o no las prioridades en instancias de DS05/(60,4)

Figura 6: Utilizar o no las prioridades, en instancias de DS05/(100,5)

las xij ya que mejoraron los tiempos de solucion significativamente. Esto se debe a queel fijar una variable xii en 0, por ejemplo, implica que todas las variables xij tienen queser 0, para todo j ∈ V , lo cual acelera la convergencia del metodo.

El modificar adecuadamente el parametro de prioridades del metodo ayuda a obtenersoluciones optimas en mejores tiempos. Se recomienda que para este tipo de problemas

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se de prioridad a las variables de localizacion (xii) para mejorar los tiempos de ejecucion.

Agradecimientos: El presente trabajo fue apoyado por el Consejo Nacional de Cienciay Tecnologıa (apoyo SEP-CONACYT 48499-Y), por la UANL (apoyo UANL-PAICYTCA1478-07). El primer autor agradece ademas al Programa de Verano de InvestigacionCientıfica y Tecnologica de la UANL por el apoyo brindado en 2006 y 2007.

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