EVALUACIÓN ANALÍTICO-NUMÉRICA DE LAS FUNCIONES GEOMETRICAS …

IINNSSTTIITTUUTTOO PPOOLLIITTÉÉCCNNIICCOO NNAACCIIOONNAALL

EVALUACIÓN ANALÍTICO-NUMÉRICADE LAS FUNCIONES GEOMETRICAS-PESO Y LOS INTENSIFICADORES DE

ESFUERZOS

T E S I SQ U E P A R A O B T E N E R E L G R A D O D E

M A E S T R O EN CIENCIASCON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA MECÁNICA

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MÉXICO, D.F. 2008

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INSTITUTO POLITECNICO NACIONALSECRETARIA DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO

CARTA DE CESIÓN DE DERECHOS

En la ciudad de México, D. F., el día 30 del mes de Julio del año 2008 el (la) que

suscribe SERGIO VIVEROS BRETON alumno(a) del Programa de

MAESTRIA EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA MECÁNICA con

número de registro A060557 adscrito a la Sección de Estudios de Posgrado e

Investigación de la E. S. I. M. E. Unidad Zacatenco, manifiesta que es autor(a)

intelectual del presente trabajo de tesis bajo la dirección del: DR. GUILLERMO

URRIOLAGOITIA SOSA Y DEL DR. GUILLERMO URRIOLAGOITIA CALDERÓN,

cede los derechos del trabajo intitulado: “EVALUACION ANALITICA-NUMERICA DE

LAS FUNCIONES DE PESO Y LOS INTENSIFICADORES DE ESFUERZO” , al

Instituto Politécnico Nacional para su difusión, con fines Académicos y de

Investigación.

Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, graficas o

datos del trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede

ser obtenido a la siguiente dirección:

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LOPEZ MATEOS, EDIF. 5 2do. PISO

COL LINDAVISTA, 07738 MEXICO D F. TEL 5729 6000 EXT. 54740

Sin el permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y

citar la fuente del mismo.

Nombre y Firma

Sergio Viveros Bretón

Resumen

Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo

iv

Este trabajo, presenta la aplicación del método de elemento finito hacia el desarrollo de la

Mecánica de la Fractura, donde herramientas muy especializadas se pueden utilizar para obtener

soluciones más adecuadas y rápidas para un desarrollo acorde con un modelo sujeto a la realidad.

Las aplicaciones de Ingeniería son muy vastas, en este trabajo de tesis se desarrollan algunos

casos de Ingeniería. Sin embargo, se trata con un enfoque de investigación, donde se utilizarán

las técnicas más recientes aplicadas a la Mecánica de la Fractura para dar soluciones de manera

numérica. No obstante se tiene que llevar a cabo una evaluación de la manera tradicional

(desarrollo matemático clásico) y utilizando los cálculos analíticos ya establecidos en trabajos

anteriores (desde los años sesenta). Por otro lado, se desarrollará el cálculo del factor de

intensidad de esfuerzos, el cual se ha investigado a fondo de manera analítica y ahora de forma

numérica. Con los valores obtenidos, se comparan estos resultados numéricos con los analíticos y

se calculan los porcentajes de error.

También se hará un desarrollo en aplicaciones de la función de peso, utilizada para determinar el

factor de intensidad esfuerzos. La función de peso tiene aplicación en casos de elementos

sometidos a fatiga, donde se presenta la apertura de una grieta. Se evaluaran algunos casos

investigados, haciendo la simulación en cada uno de ellos. En estos casos, se desarrollaran de

manera analítica los cálculos de la función de influencia (Z(a)) y de la misma forma se obtendrán

numéricamente.

Al final de los cálculos desarrollados se llegarán a conclusiones generales y específicas,

comparado resultados obtenidos por el método de elemento finito y con el método analítico.

Además de señalar las ventajas y desventajas de utilizar estos dos métodos.

Abstract


v

In the following work are presented the application of the finite element method to be used into

the area of Fracture Mechanics, where more specialized tools are been employed to obtain faster

and more accurate solutions for a model closer to reality.

Engineering applications are very vast, in this thesis some of the most practical engineering cases

are developed. Nevertheless, focusing on investigation matter where the newest techniques are

applied by using Fracture Mechanics tools to found solutions in a numeric form. An evaluation in

a traditional manner (classic mathematics) was carried out and also on analytic calculus based on

previously research (from 1960). On the other hand, the stress intensity factors are developed in a

depth by analytic manner and now in a numeric manner. With the obtained results, the numeric

solutions are compared against the analytic ones and the error percentage is calculated.

Also a development in the weight function was carried out, which is used to determine the stress

intensity factor. The weight function has application in cases where fatigue failure occurs and

where the opening crack is present. Some cases will be evaluated performing a simulation in each

one. In these cases, the evaluation on the influence function will be developed in an analytic

manner and also will be evaluated in a numerically way.

At the end of this work, some general and specific conclusions will be presented, where a

comparison between the finite element method and the analytic method results are show. Also it

is presented the advantages and disadvantages of using these two methods.

Índice


Resumen

Abstract

Índice de figuras

Índice de tablas

Simbología

Objetivos

Justificación

Introducción

Capítulo I

I.1.- Generalidades

I.2.- Antecedentes históricos

I.3.- Principios teóricos de Mecánica de la Fractura Lineal Elástica

I.4.- Principios teóricos de la Mecánica de la Fractura Elastoplástica

I.5.- Futuro de la Mecánica de la Fractura

I.6.- Sumario

Capítulo II

II.1.- La Mecánica de la Fractura

II.2.- Modos de desplazamiento de grietas

II.2.1.- Factor de intensidad de esfuerzos

II.3.- Casos particulares más comunes para evaluar

II.4.- Aspectos fundamentales del Método del Elemento Finito

II.4.1.- Conceptos sobre el método del elemento finito

iv

v

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xiii

xiv

xv

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Índice


II.4.2.- Tipos de elementos

II.4.3.- Pasos requeridos para el análisis con elemento finito

II.4.3.1.- Pre proceso

II.4.3.2.- Solución

II.4.3.3.- Post proceso

II.5.- Programa computacional

II.5.1.- Características del programa computacional

II.5.2.- Ventajas del programa computacional

II.5.3.- Desventajas de programa computacional

II.6.- Sumario

Capítulo III

III.1.- Desarrollo analítico del Factor de Intensidad de Esfuerzos Modo I

III.1.1.- Caso 1; Placa con grieta en el centro

III.1.2.- Caso 2; Placa con grieta en un extremo

III.1.3.- Caso 3; Placa con grietas en ambos extremos

III.1.4.- Caso 4; Probeta normalizada para ensayos de flexión con grieta en el centro

III.1.5.- Caso 5; Probeta normalizada para ensayos de tensión con grieta en el centro

III.1.6.- Caso 6; Probeta desarrollada para prueba de tensión en dos sentidos, empuje y

abrimiento de grieta

III.2.- Desarrollo numérico por medio del Método de Elemento Finito MEF

III.2.1.- Parámetros de diseño

III.2.2.- Materiales para la consideración en la simulación numérica

III.2.3.- Condiciones de apoyo o condiciones de frontera

III.2.4.- Aplicación de cargas en los modelos

III.3.- Desarrollo numérico para cada caso que se desea analizar

III.3.1.- Caso 1; solución numérica para una placa con grieta en el centro

III.3.2.- Caso 2, solución numérica para placa con grieta en el costado

III.3.3.- Caso 3, solución numérica para placa con doble grieta en los costados

III.3.4.- Caso 4, solución numérica para probeta normalizada a flexión con grieta en el

centro

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33

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Índice


III.3.5.- Caso 5, solución numérica para probeta normalizada para ensayos a tensión con

una grieta, en el centro (C (T))

III.3.6.- Caso 6, solución numérica para probeta desarrollada para prueba de tensión en

dos sentidos, en sentido de empuje y abrimiento con una grieta, en el centro

III.4.- Comparación de resultados

III.5.- Sumario

Capítulo IV

IV.1.- El método de la función geometrica

IV.2.- Cálculo de la función de peso, utilizando el MEF

IV.3.- Cálculos analíticos realizados en para el cálculo de la función de peso

IV.3.1.- Caso 1, Probeta circular para la prueba de tensión

IV.3.2.- Caso 2, Probeta rectangular para la prueba de tensión

IV.3.3.- Caso 3, Probeta rectangular para la prueba de flexión

IV.3.4.- Caso 4, Placa circular para la prueba de tensión

IV.4.- Sumario

Conclusiones

Conclusiones

Referencias

Referencias

Apendice

1.- Programación realizada para desarrollo de las geometrías en paquete comercial

1.1.- Caso 1

1.2.- Caso 2

1.3.- Caso 3

1.4.- Caso 4

1.5.- Caso 5

1.6.- Caso 6

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103

Índice


1.7.- Caso 1 Función de peso



1.10.-Caso 4 Función de peso

109

112

114

116

Índice de Figuras


x

Figura I.1.- Estructura de base para contenedor de fluidos, antes y después de un sismo,

la cual se presenta por fallas en el material

Figura I.2.- Rangos de aplicación de LEFM y EPFM

Figura I.3. Falla de estructura por acción del viento, como consecuencia de muerte a un

individuo

Figura. I.4. Cuadro simplificado de Mecánica de la Fractura

Figura I.5.- Inspección de los barcos Lyberty antes de entrar en operación

Figura I.6.- Pérdidas materiales y humanas por mal diseño en casas habitación.

Figura I.7.- Barcos Liberty, puesto en marcha.

Figura I.8. Astilleros de fabricación de los barcos Lyberty, inicio de la producción en

masa.

Figura I.9.- Placa de tamaño infinito con una grieta en forma elíptica en el centro de

longitud 2a, y una grieta los focos de longitud

Figura I.10.- Modos de carga.

Figura I.11.- Cálculo de la integral J.

Figura II.1.- Concentración de esfuerzos en el borde de un orificio elíptico en una placa

Figura II.2.- Tipos de elementos empleados para discretizar un continuo

Figura II.3.- Ejemplos de elementos finitos unidimensionales

Figura II.4.- Ejemplos de elementos finitos bidimensionales

Figura II.5.- Ejemplos de elementos finitos tridimensionales

Figura II.6.- Elemento finito Axi-simétrico

Figura III.1.- Modelo de una placa finita con una grieta en el centro.

Figura III.2.- Dimensionamiento del modelo de una placa finita con una grieta en el centro

Figura III.3.- Modelo de una placa finita con una grieta en la orilla

Figura III.4.- Dimensionamiento del modelo de una placa finita con una grieta en el

extremo

Figura III.5.- Modelo de una placa finita con doble grieta en los extremos

Figura III.6.- Dimensionamiento del modelo de una placa finita con grietas en los

extremos

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Índice de Figuras


xi

Figura III.7.- Modelo de una probeta en flexión con grieta en el centro

Figura III.8.- Modelo de una probeta en tensión con grieta en el centro

Figura III.9.- Dimensionamiento de una probeta en tensión con grieta en el centro

Figura III.10.- Modelo de una probeta en tensión doble con grieta en un extremo al centro

Figura III.11.- Modelo numérico CASO 1

Figura III.12.- Resultados gráficos de esfuerzos en X para el CASO 1

Figura III.13.- Resultado numérico de la solución obtenida para el CASO 1
















Figura IV.1.- Representación gráfica para el desarrollo de la función Z(a) para el cálculo

numérico

Figura IV.2.- Dimensiones del modelo para calcular la función de peso en el caso 1

Figura IV.3.- Modelo mallado para el cálculo de KI del primer caso a desarrollar


Figura IV.6.- Modelo mallado para el cálculo de KI del segundo caso a desarrollar

Figura IV.7.- Gráfica del comportamiento comparativo de la función Z(a) analítica y

numérica, con forma va aumentando el tamaño de la grieta para el segundo

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Índice de Figuras


xii

caso


Figura IV.9.- Modelo mallado para el cálculo de KI del tercer caso a desarrollar

Figura IV.10.-Gráfica del comportamiento comparativo de la función Z(a) analítica y

numérica, con forma va aumentando el tamaño de la grieta para el tercer

caso


Figura IV.12.- Modelo mallado para el cálculo de KI del cuarto caso a desarrollar

Figura IV.13.-Gráfica del comportamiento comparativo de la función Z(a) analítica y

numérica, con forma va aumentando el tamaño de la grieta para el segundo

caso.

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Índice de Tablas


xiii

Tabla II.1.- Representación de los modos I y II para los esfuerzos para un material

isotrópico, lineal elástico

Tabla II.2.- Representación de los modos I y II para los desplazamientos en la punta de la

grieta, para un material isotrópico, lineal elástico

Tabla II.3.- Esfuerzo y desplazamiento diferente de cero en sus componentes del modo III,

para un material isotrópico, lineal elástico

Tabla II.4.- Casos más comunes donde se aplica el Factor de Intensidad de esfuerzo en

Modo I

Tabla III.1.- Comparación de resultados del “Intensificador de esfuerzos KI” Analíticos Vs

“Intensificador de esfuerzos KI” Numéricos y el porcentaje de error que

existe para cada caso.

Tabla IV.1.- Casos comunes de aplicación de la función de peso.

Tabla IV.2.- Tabla representativa de los valores obtenidos numérica y analíticamente de la

función Z(a) para el primer caso.


función Z(a) para el segundo caso.


función Z(a) para el primer caso.


función Z(a) para el cuarto caso.

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Simbología


xiv

a = Longitud de la grietaUP = Energía potencial acumulada en la vecindad de la grietaUS = Energía almacenada en la vecindad de la grieta= Esfuerzo normalt = espesor de la placa

E = Modulo elástico del materialE' = Modulo elástico del material= Coeficiente de Poissons = Energía almacenada por unidad de áreap = Energía potencial almacenada por unidad de áreaKI = Factor de intensidad de esfuerzo Modo IKII = Factor de intensidad de esfuerzo Modo IIKIII = Factor de intensidad de esfuerzo Modo III

J = Integral Jfij = Funciónr = distancia polar de una grieta= Factor geométrico= Angulo de propagación en una grietau = Desplazamiento en dirección respecto al ejeP = Carga de tracción aplicada en una placaw = Ancho de la placa= Angulo de orientación en una grietaS = Distancia entre apoyos

%E = Porcentaje de error= Perímetro de un cuerpoT = Carga de tracción arbitrariaF= Fuerza de tracción aplicadaA = Área de un cuerpo

p(x) = Función carga de tracciónh(x) = Función integrada de peso

h= Función de pesoKIref = Factor de intensidad de esfuerzo critico

ds = Distancia de excentricidadD = Diámetro de la probetae = excentricidad en disco sometido a carga de tensión

Z(a) = Función geométrica

Objetivos


xv

Objetivo general

El objetivo principal de este trabajo es desarrollar una metodología que sea capaz de calcular de

manera sencilla y eficaz las funciones de geométrica-peso y los intensificadores de esfuerzo por

medio del método de elemento finito MEF. Además es necesario validar los resultados numéricos

obtenidos, mediante la utilización de métodos analíticos ya conocidos para cada uno de los casos

tratados en este trabajo.

Objetivos particulares

Para poder cumplir con la meta trazada en el párrafo anterior es necesario cumplir con metas

intermedias, las cuales se proponen a continuación:

Conocer y desarrollar la aplicación de las funciones geométrica-peso en casos

específicos de estudio.

Conocer y entender los fundamentos básicos de la Mecánica de la Fractura.

Determinar las funciones y/o intensificadores de esfuerzo para cada uno de los

casos propuestos por medio de un método analítico.

Conocer y entender los fundamentos del Método de Elemento Finito.

Determinar las funciones y/o intensificadores de esfuerzo para cada uno de los

casos propuestos por medio del MEF.

Comparar los resultados obtenidos para cada modelo desarrollado y discutir las

variaciones en los resultados.

Justificación


xvi

Justificación

En la industria en general, existe la problemática de ser capaz de determinar la vida útil de los

componentes mecánicos y por ende de los materiales utilizados en el diseño. Es principalmente

que por esta razón, es necesario determinar una aproximación con la realidad sobre la

propagación de una grieta que puede causar fallas (en ciertos casos mortales o catastróficos).

Debido a la acción de diversos agentes externos, los cuales actúan durante un periodo, estos

pueden generar fallas o grietas en todo tipo de materiales y por lo tanto reducir la vida útil del

componente.

Por lo regular en el diseño de componentes mecánicos y en donde es necesario se determinan los

intensificadores de esfuerzo aplicando métodos analíticos, que generalmente no son los más

sencillos e ideales. Por lo que este trabajo presenta la posibilidad de agilizar el análisis del cálculo

de los intensificadores de esfuerzos por medio del MEF. De la misma manera, se aplica el MEF

para la determinación de las funciones de peso y geométricas.

Los casos que se analizarán, serán determinados para aplicarse en elementos estructurales, o bien

para las partes que se someten a trabajos de manufactura, y que al ser trabajadas, presentan

grietas o fisuras en su volumen, considerando que con esto se tienen un intensificador de

esfuerzos.

Introducción


xvii

Introducción

El avance en condiciones de investigación para el desarrollo de la Ingeniería, constantemente está

cambiando en función del avance tiene la ciencia a nivel mundial. Con la misma forma como se

va avanzando es necesario desarrollar técnicas más acordes a las aplicaciones con las que se

cuenta actualmente. Una de las herramientas de mayor empleo en la actualidad es el uso de

simuladores digitales, en donde se modelan algunos fenómenos reales se presentan en la vida

cotidiana. Las aplicaciones que se pueden dar a nivel Ingeniería son muchas pero los avances que

se pretenden alcanzar están en función del desarrolló de la investigación. Es por esto, que en el

presente trabajo se utiliza la aplicación de elementos computacionales y paquetes de simulación

para desarrollar modelos matemáticos que han sido aplicados en trabajos anteriores.

Las condiciones que se desarrollarán en ese trabajo se basan en la aplicación de equipo

computacional, con el que se auxiliará el desarrollo de los modelos ya estudiados con

anterioridad. En donde el cálculo analítico es en algún momento muy tedioso, es por eso que

utilizamos herramientas para la simulación de problemas sujetos a cargas que originan altas

concentraciones de esfuerzos, para determinar estos, se utilizaran herramientas específicas para

localizar los puntos críticos donde se presenta un esfuerzo mayor que podría dar lugar a una falla

en algún elemento que este trabajando sujeto a esfuerzos.

A lo largo de la historia se ha tratado de realizar más eficiente y de forma explícita los análisis en

Ingeniería, si se utilizan las herramientas adecuadas y haciendo consideraciones acordes a los

fenómenos establecidos u observados. Es por esto que el desarrollo de la investigación tiene que

considerar métodos específicos en función de las nuevas herramientas para cubrir dichos

objetivos.

Por este motivo se desarrollarán modelos para analizar, por medio de métodos computacionales y

haciendo referencia al método del elemento finito, y mediante el uso de las herramientas con las

que cuenta, siendo posible desarrollar una solución acorde a los fenómenos que se presentan en la

realidad.


En este capítulo, se proporcionan los antecedentes

históricos sobre la Mecánica de la Fractura. Además se

describe, de forma muy general, los principios de estudio de

las dos corrientes más importantes que existen actualmente.

Es de suma importancia recalcar que la propagación de la

grieta juega un papel muy importante en el inicio de este

trabajo, dado que estos conceptos serán retomados para

estudios posteriores. Donde el conocimiento adquirido se

desarrollará por métodos numéricos y analíticos de los

intensificadores de esfuerzo y Z(a).

Capítulo I


2

I.1.- Generalidades

Se encuentra documentado mundialmente [Broek, 1986, Murakami, Nomoto y Ueda, 1999, y

Anderson, 2005] que cuando los componentes mecánicos tienden a fallar, principalmente se debe

por que existen defectos o imperfecciones (por lo general en la superficie del material). Los

diferentes tipos de imperfecciones o fallas que se presentan en el material se pueden clasificar en

dos grupos; desde el punto de vista metalúrgico o desde el punto de vista mecánico. En forma

general, la falla es conocida como grieta y se clasifica dependiendo de su forma geometría y su

tamaño y son directamente responsables de reducir la vida útil de los componentes mecánicos en

servicio (Figura I.1).

Figura I.1.- Estructura de base para contenedor de fluidos, antes y después de un sismo,la cual se presenta por fallas en el material

Los continuos ciclos de trabajo de los elementos o partes mecánicas que contienen este tipo de

imperfecciones, se encuentran expuestos a un posible daño por falla. Dentro del área de la

Mecánica, la ciencia que estudia y evalúa las fallas o grietas, se conoce como Mecánica de la

Fractura. Esta línea como ciencia en la investigación, se puede dividir en dos grandes corrientes

de estudio [Broek, 1988]:

Mecánica de la Fractura Lineal Elástica (LEFM).

Capítulo I


3

La mecánica de la fractura elastoplástica (EPFM).

El caso de estudio de la LEFM, sólo se estudia casos completamente elásticos y en materiales

frágiles (en otras palabras, donde la grieta cuenta con una zona plástica muy reducida en la

punta). Mientras que para los casos relacionados con EPFM, se consideran para el desarrollo de

grietas con grandes zonas dúctiles al frente de la falla (Figura I.2).

Figura I.2.- Rangos de aplicación de LEFM y EPFM

A B C D E

Material muyduro en

deformaciónplana

Material muyduro en

esfuerzo plano

Materialdúctil en

esfuerzo planoo deformación

plana

Materialdúctil con

granplasticidad

Materialdúctil

totalmenteplástico

LEFM

EPFM

Colapso Plástico

Comportamiento de la Fractura

Capítulo I


4

La LEFM tiene soportada su validez para los casos de estudio en donde la grieta no se considera

como tal, dado que existen deformaciones permanentes en una pequeña región alrededor de la

punta de la grieta. Este tipo de comportamientos son característicos de los materiales frágiles. La

EPFM esta sustentada en la hipótesis de que los materiales muestran en su diagrama esfuerzo

deformación un comportamiento no-lineal y este es independiente del tiempo. Este método utiliza

dos herramientas muy importantes para el desarrollo de un análisis fractomecánico al rango

elastoplástico [Urriolagoitia-Sosa, 1996]:

Desplazamiento de apertura de grieta (COD)

Integral J.

Figura I.3. Falla de estructura por acción del viento, consecuencia muerte de un individuo.

Los parámetros presentados anteriormente, tienen ciertas condiciones de restricción. En ambos

casos se describe la condición de esfuerzos en la punta de la grieta y sólo son criterios validos

para la fractura. La Figura I.4, muestra una clasificación simplificada del campo de Mecánica de

la Fractura [Urriolagoitia-Sosa, 1996].

Capítulo I


5

Figura. I.4. Cuadro simplificado de Mecánica de la Fractura.

I.2.- Antecedentes históricos

El inicio de las fallas en los componentes mecánicos por causa de una grieta o fisura, ha sido

desde los inicios del hombre, como ente pensante, una cuestión de gran interés. Ya que sin

conocer bien el área de Mecánica de la Fractura, el hombre ha sido capaz de aplicarla con gran

existo en el desarrollo de sus herramientas de caza o construcción [Timmins, 1994].

En los pocos registros que se han encontrado sobre Mecánica de materiales [Timoshenko, 1983],

se indica que el primero en realizar estudios sobre la Mecánica de la Fractura fue Leonardo Da

Vinci, al medir la resistencia de las lianas o cuerdas y enunciando que la resistencia de estas

dependían de la longitud de la misma (sin embrago hoy en día se sabe que no es así).

Se ha investigado, que las primeras fallas registradas en un material, consideradas como proceso

industrial, fueron en la obtención de materia prima de las canteras, los cuales se ocupaban para la

construcción de casas y templos en algunas civilizaciones. Así como el tallado de piedra para la

construcción de estatuas [Urriolagoitia-Sosa, 1996].

Tiempo después, cuando se inició el uso de otro tipo de materiales (el caso de los metales puros y

aleaciones) para aplicaciones industriales y estructurales (Revolución Industrial) se suscitaron

Capítulo I


6

problemas muy graves en las fallas de grandes estructuras, a tal grado que hubo pérdidas

humanas. Donde se ha encontrado que el problema era, que no existía un diseño adecuado y de la

misma forma no se había detectado lo perjudicial que eran las imperfecciones en los materiales

[Kirby, 1990].

Ahora bien, los primeros antecedentes del desarrollo de una investigación más formal en el área

de Mecánica de la Fractura, datan desde el tiempo de la segunda guerra mundial, cuando los

primeros barcos Liberty sufrieron roturas en el casco y cubierta, y algunos cuantos se perdieron

debido a defectos estructurales [Shukla, 2005] (Figura I.5).

Figura I.5.- Inspección de los barcos Lyberty antes de entrar en operación.

Poco a poco se fueron corrigiendo este tipo de fallas por medio de la modificación de algunos

materiales de construcción, los cuales quedaban expuestos y tendían, con la aplicación de las

cargas, a fracturarse. Lo que llevó a ser utilizados en una mejor construcción y finalmente

Capítulo I


7

cambiar en diseño, lo que dio origen a los barcos tipo Victory, mucho más fuertes y menos

rígidos [Ayyub, 1998].

Las fallas usualmente tienen un impacto socioeconómico muy amplio, por la sencilla razón que

cuando existen fallas en estructuras grandes, existe el riesgo de pérdidas de vidas humanas.

Además de considerar el impacto, muy significativo, en la economía de la industria que tiene que

ver en el diseño de tales elementos estructurales (Figura I.6).

Figura I.6.- Pérdidas materiales y humanas por mal diseño en casas habitación.

Las pérdidas en la industria, por el caso de fallas en el diseño, y en el constante desarrollo en las

evaluaciones para predecir el tiempo de vida de los elementos que los componen, indican que

para el caso de equipos en los cuales hay mucho riesgo de vida humana, y de aquellos de los

cuales existe dependencia en el caso de los servicios. Como son los recursos naturales, productos

energéticos y productos de consumo alimenticio. Donde un paro, por pequeño que sea, implica

bajas en la bolsa de valores y pérdidas en el recurso financiero en la parte del desarrollo

industrial. Uno de los ejemplos más mencionados de falla de materiales fueron los cargueros

Capítulo I


8

construidos en los EE.UU. durante la Segunda Guerra Mundial (Figura I.7) [Janssen, Zuidema y

Wanhill, 2004].

Figura I.7.- Barcos Liberty, puesto en marcha.

Los barcos Liberty eran de diseño británico, pero adaptados por los EE.UU. Eran embarcaciones

baratas y rápidas de construir, vinieron a simbolizar la capacidad de producción de los EE.UU. en

tiempos de guerra. Su diseño se basaba en buques encargados por el gobierno británico, clase

Ocean, para reemplazar a los barcos torpedeados por los U-BOOT alemanes, que infligieron

enormes pérdidas en la flota mercante del Reino Unido. Estos barcos fueron comprados para la

flota de los EE.UU por la ley de Prestamos y Arriendos para aprovisionar al Reino Unido, que

adquirió 60 unidades. Dieciocho astilleros americanos (Figura I.8) construyeron 2.751 Liberties

entre 1941 y 1945, el mayor número de barcos producidos y adaptados a un único diseño. El

diseño británico fue modificado por la Comisión Marítima de los Estados Unidos para adaptarlo a

un modelo americano más práctico e incluso más rápido y barato de construir. Esta versión fue

denominada EC2-S-C1 (E por Emergency, C por cargo, 2 por la longitud de la línea de flotación

Capítulo I


9

de 400 a 450 pies, que era el índice del desplazamiento, S por propulsión a vapor y C1 por el

diseño). Inicialmente tuvieron una imagen pobre entre los americanos, debido a su apariencia; la

revista Times les llamó Patito Feo. Para ganarse a la opinión pública, el 27 de septiembre de 1941

fue designado Día de la Flota de la Libertad y los primeros 14 barcos Emergency fueron botados

ese día. Cada buque costó 2 millones de dólares [Smith, D.J. Garwood, S.J., 1990].

Figura I.8. Astilleros de fabricación de los barcos Lyberty, inicio de la producción en masa.

Capítulo I


10

En gran detalle en esta sección se presentó la necesidad histórica del estudio y desarrollo de

Mecánica de la Fractura. A continuación, en la siguiente sección se detalla la cuestión teórica que

fundamente a esta área de la Física.

I.3.- Principios teóricos de Mecánica de la Fractura Lineal Elástica [Griffith, 1921]

El primer antecedente histórico registrado y aceptado como el inicio de la Mecánica de la

Fractura, se le reconoce a A. A. Griffith's. (1920-1924), el cual propone su hipótesis sobre la

cantidad de energía requerida para la propagación de una grieta. Griffith demostró por primera

vez que la resistencia real de un material frágil era menor a la calculada teóricamente. Esto se

manejo en principio con un material frágil (vidrio), donde se manejaba el concepto de que se

necesita una cantidad de energía para la propagación de una grieta. Hace un enfoque al problema

de la fractura, marcando el inicio del desarrollo del estudio de la misma, desde que los

investigadores sobre el campo de la fractura, tienen que compartir un crecimiento general en

aplicaciones de la mecánica.

Figura I.9.- Placa de tamaño infinito con una grieta en forma elíptica en el centro de longitud 2a,y una grieta los focos de longituda.

t

2

Capítulo I


11

El primer modelo considerado para su estudio, fue el de una placa de tamaño infinito con un

barreno elíptico en el centro, donde la elipse describe en la longitud total de 2a, donde a,

representa la longitud de la grieta; tomando en cuenta que este es un material frágil y será

analizado. A partir de este modelo, se desarrolló se inicio el concepto de la energía de Griffith.

El concepto parte de la energía potencial que se acumula en la placa.

2 2

P

a tU

E

I.1

Donde, para esfuerzo plano y deformación plana

2

EE

1

y E E I.2

E, representa el modulo elástico del material y ν representa el coeficiente de Poisson.

La energía del que se almacena la grieta, se representa con la ecuación.

S SU 4at I.3

Donde γs, representa la energía por unidad de área.

Si se suma el total de energía que se acumula en la placa, se obtiene.

2 2

P S S

a tU U U 4at

E

I.4

Griffith, encontró que la consideración critica en la grieta, se obtiene bajo estas condiciones:

2 2

S

dU 2 a t4t 0

da E

I.5

Capítulo I


12

El resultado crítico de esta condición es:

S2Ea

I.6

Para un trabajo elastoplástico, se encuentra que la relación para el inicio de la propagación de la

grieta, se establece para la relación:

S pE (2 )

a

I.7

Donde γp representa el trabajo plástico por unidad de área. Este concepto, tiene limitantes, ya que

γp, no puede ser medido de forma independiente.

Inglis (1913) hace una de las primeras contribuciones en el campo, el estudio del comportamiento

de los esfuerzos, que se presentan alrededor de un agujero elíptico en una placa, y demostró que

la concentración de esfuerzos en la punta de la grieta es infinito. Griffith y Taylor (1917)

utilizaron el método de una película de jabón para solucionar problemas en elementos sometidos

a torsión, marcando con líneas en el contorno para determinar los esfuerzos cortantes. Griffith

(1920-1924) establece el concepto de propagación de la grieta; calculó los esfuerzos y las

deformaciones debidas apoyándose en el desarrollo matemático realizado por Inglis (1913) y

utilizo el método de la película de jabón para el cálculo de los esfuerzos ya antes mencionado.

Concluyó que los grietas normalmente se encuentran con el incremento de las esfuerzos

incrementados de dos a seis veces, de acuerdo a la forma del cuerpo y que el aumento del

esfuerzo no era suficiente para hacer fallar al material. En vista de ser una hipótesis inadecuada y

ordinaria, adjuntó el problema de la ruptura de sólidos elásticos por el del Teorema de la mínima

energía. De acuerdo a este teorema el estado de equilibrio en un solidó elástico, deformado por

una fuerza en una superficie, es tal que la energía potencial completa del sistema es mínima y el

criterio de ruptura fue obtenido al agregar el teorema del estado del equilibrio. Si el equilibrio es

posible, se debe a que la ruptura ha ocurrido en el sólido, si el sistema puede pasar de la

Capítulo I


13

condición continua, por un proceso donde se involucra una reducción ininterrumpida en la

energía potencial.

Sin embargo, para aplicar el teorema ampliado al problema de encontrar la carga de abrimiento

en un sólido, Griffith encontraba necesario tomar en cuenta el aumento en la energía potencial

que ocurre en la formación de nuevas superficies en el interior de tales sólidos. El razonó que, en

la formación de una grieta en un cuerpo compuesto de moléculas que se atraen, el trabajo se

realiza contra la fuerza cohesiva de las moléculas sobre cualquier superficie de la grieta. Este

trabajo aparece como la energía potencial de superficie y si el ancho de la grieta es más grande

que la pequeña distancia llamada Radio de acción molecular, la energía por unidad de área es una

contaste del material, llamada tensión de superficie.

Un teorema fue establecido como Un cuerpo sólido elástico deformado por fuerzas aplicadas en

la superficie, la suma de la energía potencial aplicada en la fuerza de la energía de deformación

del cuerpo es inalterada por la introducción de una grieta en la superficie libre de tracción, y

ofrece la prueba de esto.

Westergaard [1939], utilizo una técnica semi-inversa para el análisis de los esfuerzos y las

deformaciones en la punta de la grieta, donde obtuvo resultados muy satisfactorios. Mientras

tanto Irwin [1948] logró hacer ampliaciones a los trabajos realizados anteriormente en un

Laboratorio de Investigación Naval para el análisis de falla en metales, utilizando la inclusión de

la energía de disipación por flujo plástico local. Derivado de este estudio, Irwin [1956] desarrolló

el concepto de la Razón de la Energía Liberada (G), la cual tiene una relación directa con la

teoría desarrollada por Griffith. Además, Irwin [1957], considerando el trabajo desarrollado por

Westergaard, demostró que los esfuerzos y deformaciones en la punta de la grieta pueden ser

descritos por una constante simple. La cual tiene relación con la energía liberada. Este parámetro

se llamo el campo de esfuerzo en la punta de la grieta y después se le conoció como el factor de

intensidad de esfuerzos (K) y planteó el sistema de aplicación de carga (Figura I.10).

Capítulo I


14

Figura I.10.- Modos de cargas

Alternadamente se aplicó una técnica diferente para describir el campo de esfuerzos en la

vecindad en la punta de la grieta. Williams [1957] encontró que los resultados son idénticos con

los obtenidos por Irwin. Estos trabajos fueron aplicados en otros campos de estudio; para obtener

la propagación de la grieta por la acción de cargas cíclicas en diferentes componentes mecánicos

[Winne y Wund, 1958 y Paris, Gómez y Anderson, 1961].

I.4.- Principios teóricos de la Mecánica de la Fractura Elastoplástica

El principal exponente y padre de esta teoría es Irwin [1961], el cual corrige el concepto de que

no existe zona plástica en la punta de la grieta y determina la nueva propagación de esta, bajo el

concepto de una zona plástica. Generando Rice los conceptos de COD.

Para aceros estructurales Wells [1995] aplicó la Mecánica de la Fractura Lineal Elástica en

componentes estructurales de mediana resistencia. Estos materiales presentaban fallas cuando

existían deformaciones plásticas, por lo que fue posible desarrollar el parámetro de

desplazamiento de apertura en la punta de la grieta COD, el cual es el primer paso para el

surgimiento de Mecánica de la Fractura Elastoplástica.

Mientras tanto Rice [1968] demostró que la proporción de energía liberada durante la

propagación de la grieta puede ser expresada como una integral de línea, conocida como la

Capítulo I


15

integral J, esta se puede evaluar y cuantificar en un contorno alrededor de una punta de grieta

(Figura I.11).

Figura 1.11.- Cálculo de la integral J.

Este análisis representa estudios de un comportamiento No-lineal de la grieta, en la cual sus

parámetros de utilización son universales.

yxx y

r r

uuJ Wdy t t ds

x x

I.8

En los años 70’s, ya se contaba con las relación matemáticas en la Mecánica de la Fractura para

determinar el Factor de Intensidad de Esfuerzos y el tamaño crítico de una grieta. Entre otros

problemas de tipo lineal-elástico. En el caso del comportamiento no-lineal, Shih y Hutchinson

[1976] proponen la integral J para este mismo caso de estudio. Años después de estos

desarrollos, en los Estados Unidos de América y en la Gran Bretaña, se inicio el desarrollar y

publicación de manuales y métodos de diseño basados en las investigaciones antes mencionadas.

Para el caso de Estados unidos se basó en la integral J [Kumar, German y Shih, 1981] para

determinar la tenacidad del material, y en el caso de la Gran Bretaña se desarrollaron dentro del

concepto del COD [Wells, 1963].

Capítulo I


16

I.5.- Futuro de la Mecánica de la Fractura

A pesar de que se tiene un sustancial avance en Mecánica de la Fractura, no se cuenta con

modelos sofisticados para el comportamiento del material, que se puedan incorporar dentro de los

análisis. En trabajos más actuales, se incorpora la dependencia del tiempo en los materiales de

comportamiento no-lineal, tales son los materiales viscoplásticos y viscoelásticos, esto con la

finalidad de trabajar con materiales más resistentes a las temperaturas y aplicaciones plásticas en

elementos estructurales. La Mecánica de la Fractura en la actualidad tiende a trabajar en

materiales compuestos.

Cabe mencionar que existen documentos y curvas de comportamiento, desarrollados a partir de

diferentes conceptos de Mecánica de la Fractura. Existen otras líneas de investigación avanzada,

basadas en Mecánica de la Fractura la cual utiliza el análisis fractal aplicado en grietas [Wells,

1963], el cual se desarrolla en la parte Microestructural con la aportación del conocimiento

desarrollado por Mecánica de la Fractura.

Actualmente se están utilizando métodos alternativos como es el caso de los métodos numéricos,

y el método del elemento finito, para la determinar casos por medio de simulación numérica y

obtener resultados muy semejantes a la realidad [Urriolagoitia-Sosa, 1996].

I.6.- Sumario

En el capítulo anterior, se hace mención sobre los antecedentes históricos de la mecánica de la

fractura, donde se describen de forma muy general los principios de estudio de las dos corrientes

más importantes que existen actualmente. Se habla sobre los principales exponentes de dichas

corrientes, así como cuales fueron las aportaciones más importantes de dichos trabajos.

Por otra parte es de suma importancia recalcar que la propagación de la grieta juega un papel muy

importante en el inicio de este trabajo, dado que estos conceptos serán tomados para capítulos

posteriores, donde se desarrollaran por métodos numéricos, los cálculos sobre intensificadores de

esfuerzo y se estudiarán de forma analítica.


En este capítulo, se describe cómo se desarrolla, por la

parte matemática, las teorías de propagación de la

grieta. Así como la solución de los intensificadores de

esfuerzo. Se seleccionarán los casos más comunes para

el cálculo analítico y se presentaran los esquemas o

modelos matemáticos para dichos casos. Los cuales se

consideran de manera representativa y demostrativa.

Capítulo II


18

II.1.- La Mecánica de la Fractura

En los problemas de Ingeniería se utiliza en gran manera la teoría de fallas estáticas,

considerando el material homogéneo e isotrópico. Lo anterior implica que está libre de cualquier

defecto (grietas, huecos y/o inclusiones) [Norton, 1999]. Estos defectos sirven como

intensificadores de esfuerzo, además que se considera que todos los materiales tienen

microgrietas (las cuales son demasiado pequeñas para verse a simple vista), cuyo tamaño y

distribución dependen del material, y de su proceso de manufactura [Norton, 1999]. Esto puede

encontrarse y variar desde inclusiones no metálicas o microhuecos, hasta defectos de soldadura,

grietas del maquinado, por defectos de solidificación en la fundición, por desgaste intergranular,

grietas de templado, dobleces superficiales, etc. [Dolan, 1970].

Las fallas duras o miniaturas son originadas por mal manejo en la superficie, también suelen

hacer las veces de grietas incipientes [Norton, 1999]. Sin embargo, las grietas que ocurren

durante el servicio de manera espontánea debido al daño, son más difíciles de predecir y de tomar

en consideración. La presencia de una grieta limpia en un campo de esfuerzos, crea

intensificadores de esfuerzo que teóricamente se acercan al infinito. En la Ecuación II.1 y Figura

II.1 se muestra este tipo de efectos [Dolan, 1970].

1 2t

aK

c

II.1

Figura II.1.- Concentración de esfuerzos en el borde de un orificio elíptico en una placa[Norton, 1999]

Capítulo II


19

En la Ecuación II.1, se puede observar que la variable c, cuando tiende a acercarse al valor de 0,

resulta en un valor del esfuerzo que tiende a infinito. Como no hay material de soporte en el

componente, el esfuerzo tiende a ser elevado, así tendría a fluir localmente (si este fuese un

material dúctil), o microfractura localizada (en el caso de que fuese un material frágil), o

cuarteaduras localizadas (en el caso de ser un polímero), lo cual puede ocurrir en la punta de la

grieta. [Dowling, 1993].

El estudio de la Mecánica de la Fractura supone la presencia de algunas grietas y el estado del

comportamiento de material en la región de la grieta, puede ser por deformación plana o esfuerzo

plano. Si la zona de fluencia alrededor de la grieta es pequeña, en comparación con las

dimensiones de la pieza, entonces puede ser aplicable la teoría de la Mecánica de la Fractura

Lineal Elástica (LEFM). El LEFM, supone que el grueso del material está comportándose de

acuerdo con la ley de Hooke. Sin embargo, si una porción de importancia del grueso del material

está la región plástica de su comportamiento esfuerzo-deformación, entonces se requiere de

adecuar mediante un método más complicado y cae dentro de la Mecánica de la Fractura Elasto

Plástica (EPFM).

II.2.- Modos de desplazamiento de grietas

Dependiendo de la orientación de la carga con respecto a la grieta (Capítulo I, Figura I.10), las

cargas aplicadas pueden tener tendencia a tirar abriendo una grieta a tensión, a esta forma de

carga se le conoce como Modo I, cuando la carga corta al plano de la grieta se le conoce como

Modo II, y cuando desgarra al corte fuera del plano de la grieta, se le conoce como Modo III

[Norton, 1999].

II.2.1.- Factor de intensidad de esfuerzos

Cada modo de carga produce la singularidad de 1/r en la punta de la grieta. Pero la constante de

proporcionalidad en la Figura II.2, depende de la forma de aplicación de la carga. Es

conveniente que en este punto se remplace por un factor de intensidad de esfuerzo K [Wu &

Carlsson, 1991].

K a II.2

Capítulo II


20

Donde K es conocido como el factor de intensidad de esfuerzo y es la constante de

proporcionalidad.

El factor de intensidad de esfuerzo se representa usualmente subscrito y denota que el modo de

carga sea KI, KII o KIII. Estos modos se localizan en la punta de la grieta considerando que es un

material Isotrópico y elástico, donde los esfuerzos se expresan de la siguiente manera:

0

lim2

I IIij ijr

Kf

r

II.3

0

lim2

II IIIIij ijr

Kf

r

II.4

0

lim2

III IIIIIIij ijr

Kf

r

II.5

Los modos de carga (Capítulo I, Figura I.10) se pueden encontrar combinados y se pueden

representar de la siguiente manera:

Total I II IIIij ij ij ij II.6

Para encontrar las combinaciones más comunes de los modos de carga, en la Tabla II.1 se

muestran los esfuerzos para los modos I y II y los desplazamientos se presentan en la Tabla II.2

para los mismos modos de carga.

Además en la Tabla II.3, se muestra la representación de la grieta sin esfuerzos y desplazamientos

en sus componentes del modo III, para un material isotrópico y con comportamiento elástico

[Anderson, 1995].

Capítulo II


21

Tabla II.1.- Representación de los modos I y II de los esfuerzos para un material isotrópico,lineal elástico [Anderson, 1995]

Esfuerzo Modo I Modo II

xx3

cos 1 sin sin2 2 22

IKr

3sin 2 cos cos

2 2 22IIKr

yy 3cos 1 sin sin2 2 22

IKr

3sin cos cos2 2 22

IIKr

xy 3cos sin sin2 2 22

IKr

3cos 1 sin sin2 2 22

IIKr

zz0 (esfuerzo plano)

xx yy (deformación plana)

0 (esfuerzo plano)

xx yy (deformación plana)

,xz

yz

0 0

Donde es el coeficiente de Poisson.

Tabla II.2.- Representación de los modos I y II para los desplazamientos en la punta de la grieta,para un material isotrópico, lineal elástico [Rice, 1972]

Desplazamientos Modo I Modo II

xu 2cos 1 2sin2 2 2 2

IK rk

2sin 1 2cos

2 2 2 2IIK r

k

yu 2s 1 2cos2 2 2 2

IK r in k 2cos 1 2sin

2 2 2 2IIK r k

Donde

Módulo de cortante.

3 4k Deformación plana.

31

k Esfuerzo plano.

Capítulo II


22

Tabla II.3.- Esfuerzo y desplazamiento diferente de cero en sus componentes del modo III, paraun material isotrópico, lineal elástico [Anderson, 1995]

Modo III

xz sin22

IIIKr

yz cos22

IIKr

zu sin2 2

IIIK r

II.2.- Casos particulares más comunes para evaluar

En la Mecánica de la Fractura, se han estudiado con mucho énfasis el Modo I de carga para

materiales frágiles. En este respecto, este trabajo se enfocará en este tipo de modo de carga y

material ya que son los casos más comunes. De la misma forma, se analizaran los casos por el

método numérico, para corroborar la exactitud en los análisis. Los análisis se desarrollaran por

medio de un modelo común (entre los casos de estudio), aplicando dimensiones generalizadas y

desarrollando todo el concepto teórico por medio de paquete computacional ANSYS [Bueckner,

1970].

A continuación en la Tabla II.4, se representan los modelos típicamente utilizados en la Mecánica

de la Fractura Elástica Lineal. En estos modelos, se calculara el K, para el Modo I por método

analítico y por el método numérico y se determinara el porcentaje de error para verificar una vez

más el grado de error entre un método y otro.

Capítulo II


23

Tabla II.4.- Casos más comunes donde se aplica el Factor de Intensidad de esfuerzo en Modo I[Rice, 1972]

Modelo KI

Modo I

Función geométrica

w

2a

IK a

Pwt

seca w a

Tanw a w

para 0<a<0.5

2 4 6

1 0.5 20.46 81.72a a aw w w

a a

w

IK a

Pwt

2 3 4

1.12 0.23 10.55 21.71 30.38a a a aw w w w

w

a

IK a

Pwt

2 3

1.12 0.41 4.78 15.44a a aw w w

S

w

L

P

P2

P2

IK a

Pwt

2 3 4

2

3

1.68 1.82 1.51 5.61 2.28

21 1

a a a a Sw w w w

a aaw

w w

Capítulo II


24

a

P

w

IK a

Pwt

2 3 4

3

2 0.5 2.62 7.52 8.3 3.16

1

a a a a aww w w w w

aaww

w

2a

PIK P a

w

sinIK a

II.3.- Aspectos fundamentales del Método del Elemento Finito

En el ámbito mundial, son ampliamente conocidas las complicaciones matemáticas que

consideran la aplicación de los distintos métodos de cálculo estructural a problemas de Ingeniería

[Hernández-Gómez, 1985]. Las formulaciones que las distintas teorías llevan implícitas en el

planteamiento de los sistemas de ecuaciones, son cada vez más complejas, por lo que se

imposibilita su aplicación práctica y en forma directa [Hernández-Gómez, 1985]. Claro está,

salvo los casos más elementales que carecen de interés técnico.

Capítulo II


25

Una de las soluciones, propuestas en el ramo de la Ingeniería Mecánica, es la utilización del

Método del Elemento Finito (MEF). Pero, es muy importante hacer notar que la utilización de

este método, por lo regular a nivel de licenciatura, se lleva a cabo como si fuera una caja negra.

Donde se introducen datos para los programas que se corren en una computadora y se obtienen

alguna serie de resultados. La complejidad programática del MEF, es tan grande, que en este

trabajo no se pretende explicar en extenso la teoría sobre la que se basa la aplicación de este

método ya que realmente es muy difícil de dominar. Por lo que actualmente, en primera instancia

se pretende saber utilizar un programa computacional que trabaje con el MEF, para en posteriores

estudios entender ampliamente su funcionamiento matemático. A continuación se presentará una

corta investigación sobre los métodos utilizados para el análisis de estructuras los cuales son

también utilizados por el MEF.

II.3.1.-Conceptos sobre el método del elemento finito

En un problema del medio continuo de cualquier dimensión, las variables bajo consideración (ya

sea presión, temperatura, desplazamiento, esfuerzo, etc) tiene una infinidad de valores. Ya que es

una función de la posición de cada uno de los puntos que ubicados en el cuerpo o dominio de

estudio. Como consecuencia de esto, el problema tiene un número infinito de incógnitas. El MEF

discretiza el dominio reduciendo el problema a un número finito de incógnitas, mediante la

división del dominio en elementos determinados físicamente y expresa al mismo tiempo el campo

de incógnitas en términos de funciones aproximadas para cada elemento [Domínguez, V. M.,

1992.].

Las funciones de aproximación (también llamadas funciones de interpolación) son definidas en

términos de los puntos nodales. Se define como punto nodal, aquellos puntos sobre los cuales

trazamos una serie de líneas rectas que nos sirven para delimitar la geometría de elemento finito y

cada elemento finito puede ser unidimensional, una recta, bidimensional plano construido con 3 o

más rectas o tridimensional sólido espacial con seis o más rectas poliédrico. El comportamiento

del campo de la variable respecto de los elementos, viene dado por los valores nodales del campo

de la variable y las funciones de interpolación para los elementos. Para el MEF, los valores

nodales en el campo de la variable se convierten en las nuevas incógnitas. Una vez que se

Capítulo II


26

resuelven las incógnitas, las funciones de interpolación definen la variable a través del ensamble

de los elementos [Kubilay S. and Volakis J.L., 1998].

Naturalmente, la exactitud de la solución depende tanto del tamaño, como de la cantidad de

elementos usados, así como de las funciones de interpolación empleadas. No se deben elegir

funciones arbitrariamente, porque no se cumplirían las condiciones de compatibilidad requeridas.

Normalmente se eligen funciones de interpolación de modo que la variable o sus derivadas sean

continuas a través de variables y sus derivadas sean continuas en forma de interpolación en

condiciones de compatibilidad dentro de los límites de los elementos adyacentes.

El MEF posee una característica que lo hace único entre los métodos numéricos aproximados.

Esta característica es la capacidad para formular soluciones para elementos individuales antes de

ensamblarlos para representar el problema completo. Un ejemplo de dicha característica es que si

se estuvieran tratando problemas de análisis de esfuerzos, sería posible encontrar la rigidez para

cada elemento y ensamblar todos los elementos para determinar posteriormente la rigidez de la

estructura completa. En esencia, un problema complejo se reduce considerando varios problemas

simplificados [Kubilay S. and Volakis J.L., 1998].

El MEF es un procedimiento ordenado, el cual puede resumirse a grandes rasgos como

[Hernández-Gómez, 1985]:

Discretización del dominio.- El primer paso consiste en dividir el dominio de

estudio en elementos. Puede emplearse una amplia variedad de formas de

elementos (Figura II.2) y si se tiene el suficiente cuidado, se pueden emplear

diferentes tipos de elementos en la misma discretización. En realidad, cuando se

analiza una estructura que tiene diferentes tipos de componentes, como son

placas y vigas, no sólo es deseable sino necesario, emplear diferentes tipos de

elementos en el mismo dominio. A pesar de que la decisión del tipo y número de

elementos a usar son cuestiones de ingeniería, el analista puede apoyarse en la

experiencia de otros analistas para guiarse.

Capítulo II


27

Figura II.2.- Tipos de elementos empleados para discretizar un continuo. a) Elementos de formasimple sin refinamiento. b) Elementos de forma simple con refinamiento [Xu and Needleman,

1994]

Definir las propiedades de los elementos.- Una vez que ha sido establecido el

modelo de elementos finitos (esto es, ya que se eligieron los elementos y sus

funciones de interpolación), se está en posibilidad de determinar las ecuaciones

matriciales que expresan las propiedades de cada uno de los elementos. Para

realizar esto se puede emplear alguna de las cuatro formulaciones posibles del

método del elemento finito: la formulación directa, la formulación variacional, la

formulación de los pasos residuales, o la formulación del balance de energía.

Seleccionar las funciones de interpolación.- El siguiente paso es asignar los

nodos de cada elemento y elegir el tipo de función de interpolación para

representar el cambio de la variable sobre el elemento. La variable puede ser un

escalar, un vector, o un tensor de orden superior. En muchas ocasiones, pero no

siempre, se seleccionan polinomios como funciones de interpolación para la

variable porque éstos se integran y se diferencian fácilmente. El grado del

polinomio elegido depende del número de nodos asignado a cada elemento, de la

naturaleza y el número de las incógnitas de cada nodo y los requerimientos de

continuidad impuestos a los nodos, a lo largo de los límites de los elementos. La

magnitud de la variable, así como la magnitud de sus derivadas, pueden ser las

incógnitas existentes en cada nodo.

Capítulo II


28

Ensamble de las ecuaciones de los elementos.- Las ecuaciones matriciales para

el sistema tienen la misma forma que las ecuaciones para un solo elemento,

excepto que éstas contienen muchos más términos porque incluyen a todos los

nodos. La base para realizar el procedimiento de ensamble se fundamenta en el

hecho de que en un nodo, donde se interconectan elementos, el valor de la

variable es el mismo para cada elemento que comparte dicho nodo. El ensamble

de las ecuaciones de los elementos es una labor rutinaria y usualmente se hace

empleando computadoras. Antes de que las ecuaciones del sistema estén listas

para ser solucionadas, deberán modificarse para introducir las condiciones de

frontera del problema. Esta parte es fundamental para llevar a buen término un

análisis mediante el método del elemento finito. Si no se representan de una

forma adecuada las condiciones de frontera que tiene el espécimen modelado,

los resultados obtenidos serán poco confiables.

Resolver el sistema de ecuaciones.- El proceso de ensamble del paso anterior,

establece una serie de ecuaciones simultáneas, las cuales pueden resolverse para

obtener los valores nodales de la variable. Si el sistema de ecuaciones es lineal,

se pueden emplear varias técnicas de solución comunes, como son; el método de

Eliminación de Gauss–Seidal, o la descomposición de Cholesky si las

ecuaciones son no–lineales, su solución es más difícil de obtener y puede

emplearse el método de Newton–Raphson, el método de Sustituciones

Sucesivas, o algún otro método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones no

– lineales.

Efectuar cálculos adicionales.- En muchas ocasiones deseamos usar la solución

de los sistemas para calcular otros parámetros importantes.

Para los problemas de elasticidad plana, la solución del sistema de ecuaciones dan como

resultado los desplazamientos nodales. Partiendo de dichos valores, es posible calcular tanto las

deformaciones, como los esfuerzos principales en los nodos. Así como, en los centroides de los

Capítulo II


29

elementos. De la misma manera es posible calcular los ángulos principales, además de otras

magnitudes que sean de interés para los usuarios del MEF [Kubilay S. and Volakis J.L., 1998,

Tipper, 1962].

II.3.2.- Tipos de elementos

Para realizar un análisis mediante el MEF, es necesario comenzar con la discretización del

dominio de estudio, de este modo se idealiza la región física de interés. Así por ejemplo, una

estructura puede idealizarse empleando elementos axiales, mientras que las regiones planas

pueden ser discretizadas con elementos en forma de polígonos, como es el triángulo y los sólidos

por elementos poliédricos, como es el tetraedro [Segerlind, 1976].

Conforme las investigaciones en el campo del MEF se han hecho más sofisticadas y requieren de

discretizaciones más pequeñas, ha sido preciso emplear elementos de forma más complicada. Los

problemas idealizados con elementos unidimensionales, en los cuales se presenta una flexión

excesiva, no pueden manejarse adecuadamente empleando elementos axiales simples, con

funciones de desplazamiento lineales u(x) y v(x). De este modo, se deriva el elemento curvo

empleando una expansión cúbica para la función de desplazamiento v(x). Adicionalmente, para

considerar factores tales como la deformación del cuerpo rígido y estados de deformación

permanente, se hace necesaria la inclusión de elementos con refinamiento [Xu y Needleman,

1994].

Se pueden seleccionar alguna de las siguientes tres categorías de elementos finitos:

Elementos de forma simple sin refinamiento.

Elementos de forma simple con refinamiento.

Elementos de forma complicada con refinamiento.

La Figura II.3 muestra estos elementos como se emplearían para idealizar una región dada. Así

también los elementos finitos pueden clasificarse dependiendo de la dimensionalidad

involucrada, por lo que se tiene [Segerlind, 1976]:

Capítulo II


30

Elementos unidimensionales.

Elementos bidimensionales.

Elementos tridimensionales.

Los elementos unidimensionales tienen una sección transversal determinada, pero por lo general

se representa esquemáticamente como un segmento de línea.

La Figura II.3a muestra un elemento unidimensional sin refinamiento, el cual tiene dos nodos,

uno en cada extremo. El elemento unidimensional cuadrático de la Figura II.3b, el cual es el

elemento de orden superior más comúnmente empleado, tiene tres nodos, mientras que el

elemento cúbico tiene cuatro nodos (Figura II.3c) [Xu y Needleman, 1994].

Figura II.3.- Ejemplos de elementos finitos unidimensionales. a) Sin refinamiento. b)Cuadrático. c) Cúbico.

Los elementos finitos bidimensionales, que se emplean con mayor frecuencia, son el triángulo y

el cuadrilátero. Las Figuras II.4a y II.4b muestran los elementos lineales de ambos tipos

triangulares y cuadrilátero, respectivamente. Mientras que en las Figuras II.4c y II.4d se muestra

un elemento de orden superior, el cual puede tener lados rectos o lados curvos. La capacidad de

modelar fronteras curvas se obtiene agregando nodos intermedios en los lados del elemento. Es

posible emplear ambos tipos de elementos en un mismo dominio, siempre que éstos tengan la

misma cantidad de nodos en los lados que comparten elementos adyacentes. El espesor de los

elementos puede ser constante, o bien, puede variar en función de las coordenadas del elemento

[Segerlind, 1976].

a) b) c)

Capítulo II


31

Figura II.4.- Ejemplos de elementos finitos bidimensionales. a) Lineal Triangular. b) LinealCuadrilátero. c) Superior Triangular. d) Superior Cuadrilátero.

Los elementos tridimensionales más comunes son los tetraedros y paralelepípedos (Figura II.5).

En ambos casos, los elementos lineales sólo presentan lados rectos (Figura II.5a). Mientras que

los elementos de orden superior pueden tener superficies curvas (Figura II.5b). Así mismo se

presenta otro grupo de elementos tridimensionales que pueden emplearse en problemas que

involucran formas cilíndricas, estos se muestran en la Figura II.5c. Dichos elementos son

similares al elemento triangular tridimensional, excepto que éstos permiten una variación en su

tercera dimensión.

Capítulo II


32

Figura II.5.- Ejemplos de elementos finitos tridimensionales. a) Lineal. b) Superior. c) Superiorcilíndrico.

En el análisis de problemas axi-simétricos se emplean comúnmente elementos como el que se

observa en la Figura II.6, el cual se construye girando un triangulo 360°. Puede obtenerse un

elemento similar, empleando un cuadrilátero en vez de un triangulo.

Figura II.6.- Elemento finito Axi-simétrico.

Capítulo II


33

En forma muy general estos son los elementos finitos más utilizados dentro de los análisis

estructurales. A continuación se presentan las diferentes formulaciones utilizadas por el MEF

para obtener la solución en casos de análisis estructurales.

II.3.3.- Pasos requeridos para el análisis con elemento finito

Las rutinas del elemento finito, para la solución de los problemas, pueden variar con el tipo de

análisis. A pesar de esto hay un procedimiento general que se divide en tres etapas que son: Pre

proceso, Solución y Post proceso.

II.3.3.1.- Pre proceso

En está sección del estudio se determina el tipo de análisis que se va a efectuar, se agregan las

características que definen el tipo de material de estudio (modulo de elasticidad E y la relación de

Poisson ), se define el tipo de elementos que se emplearán. También en esta etapa se desarrolla

la geometría que se va a analizar (modelo), así como se realiza el mallado o discretizado del

modelo, donde se utilizan elementos singulares y el resto del dominio existente, en el cual están

los elementos convencionales.

II.3.3.2.- Solución

En está sección, aunque también se puede realizar en la sección anterior, se introducen las

condiciones de frontera y se aplican los agentes externos. Finalmente se procede a evaluar o

realizar la solución del análisis del problema especificado.

II.3.3.3.- Post proceso

Una vez que el programa de cómputo de MEF ha resuelto el problema, se dan a conocer los

resultados en forma tabulada o gráfica. Donde se puede apreciar como se deforma el elemento de

acuerdo a los desplazamientos de cada nodo o elemento.

Las rutinas anteriormente descritas del MEF formulan la matriz de rigidez, hacen el ensamble

para llegar a una matriz de rigidez global del sistema, reducen el ancho de banda para minimizar

el problema y encuentran finalmente desplazamientos y esfuerzos en los elementos.

Capítulo II


34

II.4.- Programa computacional

Este programa se inició en los años setenta por John Swanson, a raíz de la necesidad de hacer

análisis numéricos en problemas de geometrías complejas y de un mallado muy fino que permita

estudiar da manera detallada ciertas regiones de gran interés. También se ha logrado hacer

simulaciones casi reales que representan situaciones que se presentarían en una prueba en el

laboratorio, lo anterior ayuda a ahorrar recursos económicos y tiempo, generando así resultados

muy cercanos a los reales [Xu y Needleman, 1994].

II.4.1.- Características del programa computacional

Este programa emplea el MEF como herramienta de análisis. Es un programa de propósito

general por lo que es útil para más de un tipo de análisis, dentro de las disciplinas de la ingeniería

como son: análisis estructural, térmico, eléctrico, magnético, flujo de fluidos, etc.

En cuanto a los tipos de análisis se encuentran el estático modal, armónico, transitorio, espectro

de respuesta y subestructura. En cualquier tipo de problema que se esté trabajando se puede hacer

un análisis lineal o no lineal. El programa maneja 100 tipos de elementos distintos de los cuales

se pueden escoger algunos de ellos para caracterizar la respuesta del sistema, las dimensiones del

modelo y el nivel de precisión que se busca en los resultados.

El programa computacional comercial puede interactuar con otros programas de cómputo, que se

basan en el MEF. Esto significa que se puede procesar gran parte o toda la base de datos en otros

programas y posteriormente introducir este archivo en un lenguaje de exportación de datos

universal y seguir trabajando con él. El tiempo que se requiere para ejecutar un problema

depende obviamente del sistema de computo que se use y del número de elementos, pero

aproximadamente se encuentra en un intervalo de segundos dependiendo de la cantidad de

elementos que se tengan.

II.4.2.- Ventajas del programa computacional

Este programa es de manejo práctico para el usuario, ya que las versiones actuales se basan en

comandos que permiten realizar las operaciones de una manera muy sencilla, otras ventajas

pueden ser:

Capítulo II


35

Es flexible en el modelado del continuo, ya que se pueden introducir con

facilidad geometrías irregulares sofisticadas.

Así como también, se puede hacer el mallado del continuo con gran facilidad.

En cada paso si existe algún error, se muestra una ventana donde describe cual

es el problema, dónde el programador con su conocimiento del método puede

corregirlo.

Tiene la ventaja de que considera las propiedades de los dos o más materiales y

su comportamiento respectivo al momento de hacer el análisis.

II.4.3.- Desventajas de programa computacional comercial

Este programa tiene sus limitaciones como todo programa de análisis. Se puede decir que entran

entre las más importantes se encuentran las siguientes:

El programa computacional se considera adecuado para problemas con pequeñas

deformaciones, no para análisis de grandes deformaciones.

Se requiere de un equipo de cómputo con enorme capacidad de memoria

disponible para su operación. Lo cual representa un serio problema, ya que

debido a esto no es posible su instalación en cualquier computadora.

En problemas con un gran número de nodos la computadora tiende a detenerse y

pararse o abortar el análisis.

Los resultados obtenidos, sólo son una aproximación de la realidad.

II.5.- Sumario

En el presente capítulo se consideran los principios teóricos para el calculo del intensificador de

esfuerzos, así como el análisis para cada modo de carga que se presenta en una situación de grieta

Capítulo II


36

en una placa, así también los casos más comunes que se presentan en el Modo I de carga para

análisis en deformación plana o esfuerzo plano, de la misma forma, también se marcan los

conceptos básicos mínimos requeridos para entender el funcionamiento del programa

computacional, además de los métodos más comunes de cálculo analítico, y el procedimiento

para desarrollar un análisis por MEF.


En este capítulo, se presentan los análisis realizados a

cada caso seleccionado de la Tabla II.4. De tal manera

que se comparen los resultados para cada caso y

comparar el porcentaje de error que exista entre los

métodos utilizados. De la misma forma, se dará la

interpretación y una ligera conclusión para cada caso de

estudio. Se propondrán métodos por medio de

programación en ANSYS, de tal manera que cuando se

apliquen las condiciones de geometría y condiciones de

carga, no sean problema para que se desarrolle el

análisis numérico.

Capítulo III


38

III.1.- Desarrollo analítico del Factor de Intensidad de Esfuerzos Modo I

Para lograr una mejor compresión de los problemas a desarrollar en el área de Mecánica de la

Fractura, en esta sección de la tesis se presentan una serie de casos más comunes como base

ilustrativa de solución. Además, estos ejemplos seleccionados servirán para posteriormente

evaluar la exactitud de las soluciones proporcionadas por el Método de Elemento Finito. A

continuación se presenta el desarrollo de los casos de estudio propuestos (Tabla II.1 del Capítulo

II). Los casos seleccionados, son ejemplos muy bien definidos y que tienen la factibilidad de

poder ser desarrollados por medio de una simulación numérica y fácilmente comparados contra el

desarrollo analítico clásico. Se hará una comparación de resultados y se calculará el margen de

error entre los análisis propuestos para cada caso. Para este efecto, se determina el factor de

intensidad de esfuerzos en modelos típicos analíticos, los cuales se enumeran como se muestran.

III.1.1.- Caso 1; placa con grieta en el centro

2a

w

h

Figura III.1.- Modelo de una placa finita con una grieta en el centro.

Capítulo III


39

Para este caso, se cuenta con una placa que presenta una grieta en el centro (Figura III.1) y a

continuación se representan la solución matemática para el desarrollo del análisis para obtener el

valor de K I.

Para la solución analítica que se utiliza está presentada en la Tabla II.4 del caso referente al

ilustrado en la Figura III.1, con lo que es posible calcular el factor de intensidad de esfuerzo en el

modo I. Sin embargo, para el modelo de una placa con una grieta en el centro, se utiliza una

relación de proporcionalidad geométrica, la cual se determina con las fórmulas que se encuentran

en la tabla antes mencionada, para el caso particular que se desea calcular, existe una relación de

proporcionalidad geométrica.

III.1.1.1.- Caso 1; solución analítica

Para este caso de estudio, se tiene una placa con una grieta en el centro, donde se representan

matemáticamente, para el cálculo analítico, las formulas para obtener el valor de KI. Con base a

las dimensiones presentadas en la Figura III.2.

4

6

10

20

10

Figura III.2.- Dimensionamiento del modelo de una placa finita con una grieta en el centro.

Acot: mm

Capítulo III


40

Utilizando las dimensiones propuestas en la Figura III.2 y la formulación propuesta se analiza

este caso:

2 4 6

1 0.5 20.46 81.72I

a a a PK a

w w w wt

III.1

Sustituyendo valores en la Ecuación III.1 y desarrollándola, se obtiene el valor numérico del

factor de intensidad de esfuerzo para un componente con espesor de 0.1mm.

2 4 61 1 1 101 0.5 20.46 81.72

10 10 10 5 0.1IK

III.1a

El valor obtenido para KI es de:

36.514IK MPa m III.1b

III.1.2.- Caso 2; placa con grieta en un extremo

En este caso de estudio, se tiene una placa con una grieta en un extremo (Figura III.3) donde a

continuación se presenta la solución matemáticamente para el cálculo analítico (basado en las

ecuaciones del capítulo anterior). La formulación representa el valor de KI, en la cual se calcula el

factor geométrico para este caso en particular y el valor del esfuerzo que se aplica en la

geometría.


Además para este caso, se tiene una placa con una grieta en un extremo donde se obtendrá el

valor de KI. Se utiliza el modelo correspondiente con base a las dimensiones presentadas en la

Figura III.4. El factor de intensidad de esfuerzos se calcula de la siguiente manera:

2 3 4

1.12 0.23 10.55 21.71 30.38I

a a a a PK a

w w w w wt

III.2

Capítulo III


41

wh

a

Figura III.3.- Modelo de una placa finita con una grieta en la orilla

20

10

10

1

Figura III.4.- Dimensionamiento del modelo de una placa finita con una grieta en el extremo

Acot: mm

Capítulo III


42

Sustituyendo valores en la ecuación desarrollada anteriormente se obtiene el valor del factor de

intensidad de esfuerzo, para un espesor de placa de 0.1mm.

2 3 41 1 1 1 101.12 0.23 10.55 21.71 30.38

10 10 10 10 10 0.1IK

III.2a

El valor que se obtiene para KI es de:

20.983IK MPa m III.2b

III.1.3.- Caso 3; placa con grietas en ambos extremos

En este siguiente caso de estudio, se estudiará una placa con una grieta en ambos extremos. Así

como se muestra en la Figura III.5 y a continuación, se presenta matemáticamente el desarrollo

analítico.

w

h

a a

Figura III.5.- Modelo de una placa finita con doble grieta en los extremos

Capítulo III


43

Para obtener la solución se utiliza el modelo correspondiente con base a las dimensiones

presentadas en la Figura III.6.

1 1

20

10

10

Figura III.6.- Dimensionamiento del modelo de una placa finita con grietas en los extremos


Para calcular el factor geométrico de este caso de estudio, el factor de intensidad de esfuerzos se

obtiene de la siguiente manera.

2 3

1.12 0.41 4.78 15.44I

a a a PK a

w w w wt

III.3

Sustituyendo valores en la ecuación desarrollada, se obtiene el valor del Factor de intensidad de

esfuerzo (para espesor de placa de 0.1mm).

2 31 1 1 10

1.12 0.41 4.78 15.4410 10 10 5 0.1IK

III.3a

Acot: mm

Capítulo III


44

El valor de KI:

40.058IK MPa mm III.3b

III.1.4.- Caso 4; probeta normalizada para ensayos de flexión con grieta en el centro

Para este ejemplo, se tiene una probeta normalizada según la norma ASTM E399, [Tipper, C. F.,

1962] con una grieta en el centro (Figura III.7). A continuación, se presenta el desarrollo analítico

para obtener el valor de KI.

21

42

10

4.3

3

Figura III.7.- Modelo de una probeta en flexión con grieta en el centro

La fórmula siguiente, presenta el valor de KI, en la cual muestra desarrollado junto con el factor

geométrico para este caso en particular, y el valor del esfuerzo que se aplica para este caso.

2

3

3 1.99 1 2.15 3.93 2.7

2 1 2 1

I

a a a a aw w w w wPS

Kt w a a

w w

III.4

Acot: mm

Capítulo III


45


Para el cálculo del factor geométrico, se utiliza la relación matemática. Del caso anterior,

utilizando las formulas anteriores y analizando las dimensiones propuestas para el modelo. La

relación de S, tiene la siguiente equivalencia:

2S w III.5

Sustituyendo valores en la ecuación, para simplificar el resultado, se tiene:

2

2

33

3.93 2.971 2.15

3 1.99

21 1I

a a aa

w w waPw

w w

Ka at w

w w

III.4a

Para realizar el cálculo, se sustituyen valores, todos en función de w, de tal manera que:

2

2

33

1 3.93(1) 2.97(1)1 1 2.15

10 10 1013(10)(10) 1.99

10 10

2(1) 15 10 1 110 10

IK

III.4b

El valor para KI es igual a:

1.0714IK MPa mm III.4c

III.1.5.- Caso 5; probeta normalizada para ensayos de tensión con grieta en el centro

En este caso de estudio, se tiene una probeta normalizada ASTM E399 [Tipper, C. F., 1962] con

una grieta en el centro (Figura III.8).

Capítulo III


46

R 0.125w

1.2w

w

0.25w

1.25w

0.32

5w

0.6w 0.87

5w

a

Figura III.8.- Modelo de una probeta en tensión con grieta en el centro

12

10

2.5

12.53.

25

6 8.75

2.91

Figura III.9.- Dimensionamiento de una probeta en tensión con grieta en el centro


La fórmula siguiente presenta el valor de KI, en la cual se muestra desarrollado el factor

geométrico para este caso en particular y el valor del esfuerzo que se aplica para este caso. Para el

cálculo del factor geométrico, se utiliza la relación matemática.

Acot: mm

Capítulo III


47

3 5 7 9

29.6 185.5 655.7 1017 638.9I

P a a a a aK

w w w w wt w

III.6

Sustituyendo valores en la ecuación anterior y para un espesor de t = 5 se desarrolla la siguiente

relación:

3 5 7 910 1 1 1 1 1

29.6 185.5 655.7 1017 638.910 10 10 10 105 10

Ik

III.6a

El valor de KI

3.3308Ik MPa mm III6b

III.1.6.- Caso 6; probeta desarrollada para prueba de tensión en dos sentidos (empuje y

abrimiento de grieta)

En esta sección se presenta el caso de una probeta desarrollada para prueba de tensión en dos

sentidos, en sentido de empuje y abrimiento con una grieta.

0.356

11.644

12

2.5

0.33

30.

666

11.33

31.

66722.33

3

2.66

733.33

43.

667

Ø0.12

518

HOLES

0.44

40.

889

1.33

3

1.77

82.

222

2.66

73.

111

3.55

6 4

Figura III.10.- Modelo de una probeta en tensión doble con grieta en un extremo al centro

Acot: mm

Acot: pulg

Capítulo III


48

La grieta se encuentra en un extremo al centro y la aplicación de las cargas son perpendiculares

entre sí.

III.1.6.1.- Caso; solución analítica

Para este caso, se tiene una placa con una grieta en un extremo (Figura III.10), donde a

continuación se presenta matemáticamente para el cálculo analítico. Para la solución del

problema se utiliza la siguiente expresión:

2 3 4

3

2 0.5 2.62 7.52 8.3 3.16

1I

a a a a aw

w w w w w PK a

wtaaw

w

III.7

Sustituyendo valores en la ecuación desarrollada, se obtiene el valor del KI, para un espesor de

placa de ¼ pulg.

2 3 4

3

2.5 2.5 2.5 2.5 2.52 0.5 2.62 7.52 8.3 3.16

12 12 12 12 12 1002.5

12(0.25)2.52.5(12) 1

12

I

w

K

III.7a

El valor de KI, vale que se obtiene es de:

710.83IK Psi in III.7b

III.2.- Desarrollo numérico por medio del MEF

Para el desarrollo de esta sección, se analizarán nuevamente los casos que anteriormente se

resolvieron por medios analíticos. Para este efecto se seleccionó el MEF para desarrollar los

análisis numéricos y para evaluar su exactitud con respecto a los análisis anteriores. En particular,

se emplea un paquete computacional (ANSYS) de solución numérica donde se aplica el método

Capítulo III


49

del elemento finito y se desarrollará el procedimiento de solución programada. El desarrollo

analítico y numérico se desarrolla en el sistema métrico.

III.2.1.- Parámetros de diseño

Para el desarrollo de cada uno de los casos, se realizan las siguientes consideraciones:

Tipo de análisis.- Se desarrolla un análisis de tipo estructural, para un material Elástico lineal,

Isotrópico, Homogéneo y Continuo. Se aplican consideraciones de análisis plano y sólo se

desarrollará la mitad del modelo o en algunas situaciones una cuarta parte del mismo. La

simplificación del modelo por este medio es con la finalidad de ahorro de recurso de cómputo,

utilizando las herramientas de simetría que es capaz de aplicar el programa. Además, se empleará

un elemento solidó del tipo PLANE 183, las características del elemento son las siguientes:

Este elemento es definido por 8 o 6 nodos.

El elemento está constituido por dos grados de libertad en cada nodo, por lo que es

necesario adicionar un grado de libertad de rotación en Z.

El elemento puede ser usado como un elemento plano (esfuerzo plano y esfuerzo

plano generalizado) o como un elemento axisimétrico.

Este elemento tiene propiedades para analizar plasticidad, hyperelasticidad, fluencia

por efecto de temperatura, esfuerzos extremos, grandes desplazamientos, y la

capacidad de analizar grandes deformaciones.

También tiene la función de mezclar funciones para simular deformaciones de

materiales elasto-plásticos incompresibles, y materiales hyper-elásticos

incompresibles.

Capítulo III


50

III.2.2.- Materiales para la consideración en la simulación numérica

La consideración para los materiales que se utilizarán para la simulación numérica son para

cálculos realizados en la zona elástica, de tal forma que para la mecánica de la fractura

consideramos que el material es frágil.

Para este caso, consideraremos un material con un módulo elástico con valor de E = 200 Gpa, y

un = 0.27 respectivamente. Es importante mencionar, que sólo los primeros 5 casos de estudio

se considerarán los datos anteriores, mientras que para el caso 6 se utilizará un valor de E = 360

Ksi, y un = 0.38. En este caso 6, se quiere comprobar numéricamente contra el comportamiento

experimental que se realizó con un marco de carga y mediante esta simulación se validará el

valor de K I.

III.2.3.- Condiciones de apoyo o condiciones de frontera

En este caso, la condición de frontera es muy importante, ya que tiene que simular el modelo

geométrico con características que dependen de continuidad, homogeneidad, linealidad e

isotropía. De tal forma que para estar en condiciones de poder simular el modelo y aplicar la

condición del ahorro de recursos computacionales. Además, solamente se modelará una parte del

componente a analizar, lo cual dependerá de la geometría de la pieza, considerando sólo la mitad

del cuerpo, ya que en ciertos casos se pueden aplicar consideraciones de simetría y/o en algunos

casos se utilizarán sólo la cuarta parte del modelo a analizar.

Como solamente se va a modelar la mitad o la cuarta parte del componente a analizar, entonces la

condición de frontera se considera como simetría. Lo cual permitirá analizar una sección y

obtendremos, el resultado deseado.

III.2.4.- Aplicación de cargas en los modelos

En los modelos que se van a desarrollar por medio de simulación numérica, se considerarán

cargas continuas o cargas puntuales. Por consiguiente se aplicarán para la condición de carga

distribuida una presión por línea y considerar que la carga es totalmente distribuida en la

superficie de contacto. La carga puntual se aplicará en el modelo que así lo requiera, por

consiguiente la carga puntual se utilizará para el cálculo de la función geométrica.

Capítulo III


51

III.3.- Desarrollo numérico para cada caso que se desea analizar

Cada uno de los casos que se analizarán, tendrá su propia consideración para el modelado de su

geometría. De tal manera que para cada modelo, se explicarán paso a paso, de forma general, las

operaciones que se desarrollaron para el cálculo del factor de intensidad de esfuerzos KI.

III.3.1.- Caso 1; solución numérica para una placa con grieta en el centro

La Figura III.11 muestra el caso de estudio. El procedimiento que se desarrolló se describe a

continuación:

1. En la geometría mostrada en la Figura III.11 tan sólo se analizará una sección (parte

delimitada de azul) la cual es una cuarta parte del modelo total.


2. Se proponen consideraciones de restricción en las condiciones de frontera por simetría

y considerando que la placa es totalmente simétrica.

3. Para la realizar la simulación con el paquete computacional comercial (ANSYS), se

modela sólo una cuarta parte del componente (Figura III.11).

Acot: mm

4

6

10

20

10

Línea 2

Línea 5kpoint 2

Capítulo III


52

4. Se modela la placa y se restringe línea 2 y línea 5 con simetría.

5. Se aplica una presión en la línea superior, considerando que la presión es igual al esfuerzo

que se le aplica al modelo a estudiar.

6. Se modela un mallado tomando en cuenta que todo se aplica en el keypoint 2, el cual es la

punta de la grieta, para calcular KI.

7. Se ubica el sentido de la grieta, para determinar la trayectoria que seguirá el programa

para calcular KI.

8. Se manda a resolver el modelo (Figura III.11).

9. Se solicita el resultado, se presenta en forma gráfica (Figura III.12) y numérica.


Como se puede observar, en la Figura III.12, se muestra la solución del modelo desarrollado en

ANSYS 11.0. La cual muestra gráficamente los esfuerzos que se presenta en la punta de la grieta.

De la misma forma, en la Figura III.13, se muestra el cálculo del factor de intensidad de esfuerzos

Esfuerzo Cortante

xyMin=-30.808MpaMax=7.781Mpa

Capítulo III


53

obtenido. Así como las condiciones que se establecieron para el análisis del nodo donde se

encuentra la punta de la grieta.


III.3.2.- Caso 2, solución numérica para placa con grieta en el costado

Para este caso (Figura III.14), se presenta a continuación el procedimiento que se desarrolló:


**** CALCULATE MIXED-MODE STRESS INTENSITY FACTORS ****

ASSUME PLANE STRAIN CONDITIONS

ASSUME A HALF-CRACK MODEL WITH SYMMETRY BOUNDARY CONDITIONS (USE 3NODES)

EXTRAPOLATION PATH IS DEFINED BY NODES: 2 50 1WITH NODE 2 AS THE CRACK-TIP NODE

USE MATERIAL PROPERTIES FOR MATERIAL NUMBER 1EX=0.20000E+06 NUXY=0.27000 AT TEMP=0.0000

**** KI=37.500 , KII=0.0000 , KIII=0.0000 ****

Acot: mm

20

10

10

1

Línea 2

Kpoint 2

Capítulo III


54

1. Del modelo mostrado en la Figura III.14, se analiza una sección de la cual sólo se

realiza la mitad del modelo.

2. Se realizan consideraciones de restricción en las condiciones de frontera por simetría.

3. Se modela la placa y se restringe en la línea 2 por simetría.

4. Se aplica una presión en la línea superior, considerando que la presión es igual al

esfuerzo que se le aplica al modelo de estudio.

5. Se modela un mallado tomando en cuenta que todo se aplica en el keypoint 2, el cual

es la punta de la grieta para calcular KI.


para calcular KI.

7. Se resuelve el modelo (Figura III.15).

8. Se solicita el resultado para KI y este se obtiene por medio de un texto (Figura III.16).


EsfuerzoCortante

xy

Min=-41.376MpaMax=11.310Mpa

Capítulo III


55




De la misma forma, en la Figura III.16, se muestra el cálculo del factor de intensidad de esfuerzos

obtenido.

III.3.3.- Caso 3, solución numérica para placa con doble grieta en los costados

Para este caso (Figura III.17), se presenta a continuación el procedimiento que se desarrolló:

1. El modelo mostrado en la Figura III.17, se analiza una sección la cual sólo se dibuja la

cuarta parte del modelo.

2. Se hacen consideraciones de restricción en las condiciones de frontera por simetría.

3. Se modela y restringe en la línea 2 por simetría.

4. Se aplica una presión en la línea superior, considerando que la presión es igual al

esfuerzo que se le aplica al modelo a estudiar.


es la punta de la grieta para calcular KI.


para calcular KI.


8. Se solicita el resultado para K I.



ASSUME A HALF-CRACK MODEL WITH SYMMETRY BOUNDARY CONDITIONS (USE 3 NODES)


USE MATERIAL PROPERTIES FOR MATERIAL NUMBER 1EX = 0.20000E+06 NUXY = 0.27000 AT TEMP = 0.0000

**** KI=21.632 , KII=0.0000 , KIII=0.0000 ****

Capítulo III


56



EsfuerzoCortante

xyMin=-9.063MpaMax=33.629Mpa

Acot: mm

1 1

20

10

10

kpoint 2Línea 1

Capítulo III


57



Asimismo, en la Figura III.19, se muestra el cálculo del factor de intensidad de esfuerzos

obtenido.


III.3.4.- Caso 4, solución numérica para probeta normalizada a flexión con grieta en el

centro

Para este caso (Figura III.20) se presenta a continuación el procedimiento que se desarrolló:

1. El modelo mostrado en la Figura III.20, se analiza una sección la cual sólo se dibuja la

mitad del modelo.

2. Se realizan consideraciones de restricción en las condiciones de frontera por simetría.

3. Se modela y restringiendo en la línea 5 por simetría y el keypoint 7.

4. Se aplica una carga puntual en el keypoint 5, considerando la carga con la que se

calcula el esfuerzo que se le aplica al modelo a estudiar.


es el final de la grieta, para calcular KI.


para calcular KI.






**** KI=41.170 , KII=0.0000 , KIII=0.0000 ****

Capítulo III


58


8. Se solicita el resultado (Figuras III.21 y III.22).


Esfuerzo Cortante

xy

Min=-10.524MpaMax=55.800Mpa

Acot: mm

21

42

10

4.33

Línea 5

kpoint 5

kpoint 7

kpoint 4

Capítulo III


59



III.3.5.- Caso 5, solución numérica para probeta normalizada para ensayos a tensión con

una grieta, en el centro (C (T))

Se presenta a continuación la metodología que se realizó para el caso de estudio de la Figura

III.23:


**** CALCULATE MIXED-MODE STRESS INTENSITY FACTORS ****ASSUME PLANE STRAIN CONDITIONS

ASSUME A HALF-CRACK MODEL WITH SYMMETRY BOUNDARY CONDITIONS (USE 3NODES)



**** KI=28.396, KII=0.0000, KIII=0.0000 ****

Acot: mm

12

10

2.5

12.5

3.2

5

6 8.75

2.91

Línea 4kpoint 4

Capítulo III


60

1. Del modelo (Figura III.23) se analiza sólo la mitad del modelo.


3. Se modela la placa con el elemento plane 183, y restringiendo en la línea 4 por simetría.

4. Se aplica una presión en las líneas del barreno modelado, considerando que la presión es

igual al esfuerzo que se le aplica al modelo a estudiar.

5. Se modela un mallado tomando en cuenta que todo se aplica en el keypoint 4, el cual es el

final de la grieta, para calcular KI.


para calcular KI.

7. Se resuelve el modelo.

8. Se solicitan los resultados.


EsfuerzoCortante

xy

Min=-229.814Mpa

Capítulo III


61

Como se puede observar, en la Figura III.24, se muestra la solución del modelo desarrollado. De

la misma forma, en la Figura III.25, se muestra el cálculo del KI.


III.3.6.- Caso 6, solución numérica para probeta desarrollada para prueba de tensión en

dos sentidos, en sentido de empuje y abrimiento con una grieta, en el centro

Para el siguiente caso, se realizó el procedimiento que se describe a continuación:







**** KI=38.142 , KII = 0.0000 , KIII=0.0000 ****

Acot: inch

0.356

11.644

12

2.5

0.3

33

0.6

66

11.3

331.

66722.3

33

2.6

67

33.3

34

3.6

67

Ø0.

125

18H

OLE

S

0.4

44

0.8

89

1.3

33

1.7

782

.22

2

2.6

67

3.1

11

3.5

56 4

kpoint 2 Línea 2

Capítulo III


62

1. Del modelo mostrado en la Figura III.26, se analiza una sección, de la cual sólo se modela

la mitad del componente.


3. Se modela la placa con el elemento plane183, y restringiendo en la línea 2 por simetría.

4. Se aplica una presión en la línea superior.

5. Se modela un mallado tomando en cuenta que todo se aplica en el keypoint 2, el cual es el

final de la grieta, para calcular KI.


para calcular KI.




Esfuerzo Normaldirección Y

y

Min=-12779PsiMax=10890Psi

Capítulo III


63

Como se puede observar (Figuras III.27 y III.28) se muestran las soluciones por medio del

paquete ANSYS 11.0.


III.4.- Comparación de resultados

A continuación, se presentan una comparación de los resultados obtenidos de los cálculos

analíticos y numéricos desarrollados en este trabajo. De tal manera que podemos cotejarlos en la

tabla III.1, y calcular el porcentaje de error que existe entre ellos.

Tabla III.1.- Comparación de resultados de KI Analíticos contra KI NuméricosDesarrollo

AnalíticoDesarrollo Numérico

Tipo de Modelo

KI [ Pa m ] KI [ Pa m ]

% Error

Caso I Placa de tamaño finito con grieta

en el centro36.514 37.500 2.63%

Caso II Placa de tamaño finito con

grieta en la orilla20.983 21.632 3.00%

Caso III Placa de tamaño finito con

grietas en las orillas40.058 41.170 2.70%

Caso IV Probeta para prueba en flexión 27.516 28.396 3.10%






**** KI=853.40 , KII=0.0000 , KIII=0.0000 ****

Capítulo III


64

Caso V Probeta para prueba en tensión 36.994 38.142 3.01%

Caso VI Placa de tamaño finito con

grieta en la orilla, un caso experimental824.190[ Psi in ] 853.400[ Psi in ] 3.42%

Como se puede observar, los resultados tienen un porcentaje de error bajo, lo cual permite en

cierta medida que sean aceptables. Una de las condiciones para tomar está conclusión, es que los

resultados son consistentes por ambas metodologías y que la diferencia de error no es

considerable.

III.5.- Sumario

En el presente capítulo, se presentan los análisis realizados a cada caso de estudios propuestos en

la Tabla II.4. Los resultados presentados son analíticos y numéricos. De tal manera que es muy

sencillo realizar una comparación y determinar el grado de error. Se propondrá, basados en los

resultados obtenidos, que es posible por medio de programación en paquete computacional

realizar análisis de casos más complejos y de distintas situaciones de cálculo (como la función de

peso y geométricas, que se presentan en el siguiente capítulo).


En este capítulo, se presentan los cálculos de la función

geométrica-peso. Así como los análisis realizados a

cada caso de estudio. Se utilizará modelos de la Tabla

II.4, programados en ANSYS, para realizar el desarrollo

los cálculos numéricos. También, se realizaran análisis

analíticos respectivos. De tal manera que se comparen

los resultados para cada caso y comparar el porcentaje

de error que halla entre ambos métodos. De la misma

forma, se le dará su interpretación y una conclusión de

cada modelo empleado.

Capítulo IV


66

IV.1.- El método de la función geométrica

Cuando se lleva a cabo un análisis para deducir un factor de intensidad de esfuerzo en un

componente agrietado, el valor de K calculado puede ser aplicado solamente a un conjunto con

especiales condiciones de frontera. Sin embargo, en este tipo de solución las condiciones de

frontera no presentan situaciones reales ingenieriles.

Por ejemplo, considerando dos cargas arbitrarias en un cuerpo con grieta (material isotrópico y

elástico, esfuerzo plano o deformación plana), se asume que la carga es simétrica con respecto a

la grieta en el plano, de manera que solamente actúa en el Modo I. Lo que puede ser muy

inconveniente en ciertas ocasiones. Supóngase que se tiene un factor de intensidad de esfuerzos

en carga modo I y que se desea resolver para el factor de intensidad esfuerzos para la segunda

parte de la condición de frontera. Rice muestra que los factores de KI(1) y KI

(2), se pueden obtener

como sigue [Rice, 1972]:

1 1(2)

(1)2i i

I i iI

u uEK T d F dAK a a

IV.1

Donde Г y A, son del perímetro y el área de un cuerpo, respectivamente, y ui, es el

desplazamiento en dirección de x, y la dirección en y. Entonces el sistema de cargas (1) y (2) son

arbitrarios, esto predice que KI(2), no puede depender de KI

(1) y ui(1), entonces la función queda:

(1)

(1)2i

xiI

uEh

K a

IV.2

Donde xi, representa las coordenadas de su componente x y su componente en y, esencialmente es

independiente en un sistema natural de cargas (1). La función de peso es el primer orden del

tensor que depende sólo de la geometría de la grieta en el cuerpo. Obtener la función de peso para

una configuración particular, es posible al computar KI desde la ecuación para alguna condición

de frontera. Además, involucrando el principio de su proposición que se muestra en la figura o la

configuración de cargas puede ser representada por las tracciones apropiadas aplicadas en

Capítulo IV


67

directamente en la superficie de la grieta. Por lo tanto KI para un cuerpo en la carga de la grieta en

dos dimensiones, se puede deducir, con la siguiente expresión [Murakami, 1987].

( ) ( )iK p x h x dx

IV.3

Donde p(x) es la tracción en la cara de la grieta y Γc, es el perímetro de la grieta. La función de

peso h(x), puede ser interpretada como resultado de una intensidad esfuerzo desde la unidad de

carga aplicada en la cara de la grieta desde x.

M

dan

a r

w

y

x

L

a

Figura IV.1.- Representación grafica para el desarrollo de la función Z(a) para el calculonumérico.

El concepto de la función de peso no restringe cuerpos en dos dimensiones, la carga en modo I

para materiales isotrópicos lineales. En un trabajo reciente sobre funciones de peso, donde Rice

[Rooke y Cartwright, 1976] extendió la teoría en tres dimensiones. Mientras que Bueckner

[Bueckner, 1970] consideró la combinación de las cargas en Modo I/II. Ambos estudios

admitieron por anisotropía propiedades elásticas. Subsecuentemente en investigaciones

demostraron la aplicación de la teoría en todo cuerpo elástico lineal que contiene un número

arbitrario de grietas [Bueckner,1970].

Capítulo IV


68

Para problemas en modo combinados, separan la función de peso requerida para cada modo; hI,

hII y hIII. Desde entonces los factores de intensidad esfuerzo pueden variar a lo largo en grietas en

tres dimensiones, la función de peso puede variar hacia el frente de la grieta.

( , )ih h x IV.4

Donde α(i = 1, 2, 3) indica el modo de la carga yηes la posición frontal de la grieta.

Obteniendo algún tipo de configuración de carga en el cuerpo agrietado puede presentarse por un

equivalente grieta en la cara a tracción, el general los modos combinados formulados en tres

dimensiones para la función de peso, se puede enfocar a la siguiente expresión con la siguiente

forma.

( , )c

i iS

h T h x ds IV.5

Donde Ti, representa la tracción asumida en la superficie de la grieta.

IV.2.- Cálculo de la función de peso, utilizando el MEF

La aplicación necesaria para desarrollar el método de elemento finito, se desarrollará por medio

de cálculo del intensificador de esfuerzos. De tal manera cuando se aplica la carga, esta se

mantendrá constante por lo que se estará variando la longitud de la grieta y se evaluará el valor de

KI, en cada punto según se desarrolle cada corrida.

Una vez obtenida el valor de KI, se aplicará lo siguiente relación para realizar la evaluación de la

función geométrica.

( )Iref

a

KtZ

F ds

IV.6

Capítulo IV


69

Donde Z(a), representa la función geométrica del componente, F, representa la carga aplicada, t,

representa el espesor de la probeta y ds, representa la diferencia de altura del eje donde se

ncuentra la grieta. Además en la Tabla IV.1 se muestras los casos más representativos de esta

función.

Tabla IV.1.- Casos comunes de aplicación de la función geométrica [Wu y Carlsson, 1991].

a) Espécimen Circular para prueba de tensión en mecánica de lafractura

( ) 32

7.952

1a

a eZ

D a eD

IV.7

b) Espécimen rectangular para prueba de tensión en mecánica dela fractura

( ) 3

2.532aZ

w a

IV.8

D

we

0.275w

a

0.275w

1.2w

w

a

1.25w

0.275w

0.275w

Capítulo IV


70

c) Espécimen Circular para prueba de flexión en mecánica de lafractura

2

( ) 3

2

2.5321 25 0.2

5.926 0.2 0.288 0.2 1

aa

Zww a

a aw w

IV.9

( ) 3

2.532aZ

w a

IV.10

d) Modelo cilíndrico para análisis de tensión

( ) 32

7.952

1a

aDZ

D aD

IV.11

IV.3.- Cálculo analítico para obtener la función geométrica

Para el desarrollo analítico de la función geométrica, se desarrolla aplicando las ecuaciones

mostradas en la Tabla IV.1. Donde se aplica los cálculos para la función Z(a), según sea el caso

por determinar. Se presenta el desarrollo de los cuatro casos de la Tabla IV.1 y posterior de la

misma forma se desarrollaran de manera numérica utilizando el paquete computacional ANSYS.

IV.3.1.- Caso 1; probeta circular para la prueba de tensión

Para el primer caso se utilizará la Ecuación IV.7 directamente, la cual por medio de las

dimensiones de la probeta se deduce de la siguiente manera.

Con las dimensiones del modelo mostrado en la Figura IV.2, utilizando la Ecuación IV.7 de la

Tabla IV.1 y sustituyendo los valores de manera que se ajustan las ecuaciones para que quede

todo en función de la longitud de la grieta, se obtiene la función Z(a) para cada incremento de

longitud de grieta.

D

kpoint 4

L

w

a

Capítulo IV


71

( ) 2 3

7.952 3.5

13.5 3.51

13.5

a

aZ

a

IV.7a


De la misma forma entonces la ecuación desarrollada para el caso de una probeta de placa

circular para prueba de tensión, queda de la siguiente manera:

( ) 3

3.50.013889

0.74074 0.074074a

aZ

a

IV.7b

IV.3.1.1.- Caso I; desarrollo por medio del MEF

Dadas las circunstancias para el desarrollo del primer caso de estudio, para realizarlo

numéricamente, se desarrolla el modelado como se muestra en la Figura IV.3. A continuación se

describe el procedimiento para el desarrollo en el paquete computacional ANSYS 11.0:

kpoint 4kpoint 6

Línea 4

Acot: mm

1

Ø13.5

2.75

3.5Ø2.5

10

6.75

Capítulo IV


72

Figura IV.3.- Modelo resuelto para el cálculo de KI del primer caso a desarrollar

1. Del modelo mostrado anteriormente se analiza solamente una sección, ya que se

utilizarán cuestiones de simetría en el análisis.

2. Se realizan consideraciones de una placa totalmente simétrica.

3. Se modela la placa con elementos plane 183 y restringiendo en la línea 4 por

simetría.

4. Se aplica una carga puntual en el sentido de las Y en el keypoint 6 y se aplica en

forma perpendicular a la longitud de la grieta.

5. Se modela un mallado libre, con consideraciones especiales para modelar la punta

de la grieta keypoint 4.

6. Se ubica el sentido de la grieta, para determinar la trayectoria que seguirá su

propagación y calcular KI.



Capítulo IV


73

Se repite el procedimiento anterior varias veces, modificando la longitud de la grieta. Se calculan

el KI para este cambio en la longitud de grieta y se aplican para obtener la función Z(a). En la

Tabla IV.2, se muestran los cálculos de la función Z(a), según el crecimiento de la grieta, y

simultáneamente, se aplican las condiciones para calcularla de manera numérica,

Tabla IV.2.- Tabla representativa de los valores obtenidos numérica y analíticamente de lafunción Z(a) para el primer caso.

Calculo analítico Calculo Numérico

A Z(a) Z(a) t F KIref ds1.000 -0.05412710 -0.05586036 2.500000 1000 -44.5250 1.9931.889 -0.06923112 -0.07197035 2.500000 1000 -57.3659 1.9932.778 -0.08893424 -0.08563413 2.500000 1000 -68.2570 1.9933.667 -0.11571306 -0.11160781 2.500000 1000 -88.9600 1.9934.556 -0.15391809 -0.14924534 2.500000 1000 -118.9600 1.9935.444 -0.21190292 -0.20482091 2.500000 1000 -163.2580 1.9936.333 -0.30769151 -0.31828626 2.500000 1000 -253.6986 1.9937.222 -0.48726861 -0.47076516 2.500000 1000 -375.2360 1.9938.111 -0.90427298 -0.87636483 2.500000 1000 -698.5301 1.9939.000 -2.43571959 -2.35313829 2.500000 1000 -1875.6320 1.993

Funcion de pesoCaso 1

-3.0000

-2.5000

-2.0000

-1.5000

-1.0000

-0.5000

0.0000

0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000

a/w

Z(a

)

Z(a)AnaliticaZ(a)Numerica

Figura IV.4.- Gráfica del comportamiento comparativo de la función Z(a) analítica y numérica

Capítulo IV


74

Con los valores obtenidos numéricamente y analíticamente, se obtiene la Figura IV.4. Donde se

muestra el incremento del valor de la función Z(a) con respecto al incremento de la grieta.

IV.3.2.- Caso 2; probeta rectangular para la prueba de tensión

Para el segundo caso, se utilizará la Ecuación IV.8, la cual por medio de las dimensiones de la

probeta, la forma se deduce lo siguiente:


Con las dimensiones del modelo mostrado en la Figura IV.5, y utilizando la Ecuación IV.8. Se

sustituyen los valores de manera que se ajustan a la ecuación para que quede todo en función de

la longitud de la grieta, para así poder calcular la función Z(a) para cada incremento de longitud.



( ) 3

2.532

10aZ

a

IV.8a

kpoint 4Línea 4

kpoint 6

Acot: mm

12

12.5

10

2.75

6

1Ø

2.5

Capítulo IV


75

IV.3.2.1.- Caso 2; desarrollo medio del MEF

Dadas las circunstancias para el desarrollo del segundo caso, para desarrollarlo numéricamente,

se desarrolla el modelado como se muestra en la figura IV.6, a continuación se describe el

procedimiento para el desarrollo de la corrida en el ANSYS ver. 11.0:

Figura IV.6.- Modelo resuelto para el cálculo de KI del segundo caso a desarrollar

1. Del modelo mostrado anteriormente se analiza solamente una sección, ya que se

utilizarán cuestiones de simetría en el análisis.

2. Se realizan consideraciones de una placa totalmente simétrica.

3. Se modela la placa con elementos plane 183 y restringiendo en la línea 4 por

simetría.

4. Se aplica una carga puntual en el sentido de las Y en el keypoint 6 y se aplica en

forma perpendicular a la longitud de la grieta.

Capítulo IV


76

5. Se modela un mallado libre, con consideraciones especiales para modelar la punta

de la grieta keypoint 4.

6. Se ubica el sentido de la grieta, para determinar la trayectoria que seguirá su

propagación y calcular KI.



Se repite el procedimiento anterior variando la longitud de la grieta, en la cual el intensificador de

esfuerzo esta variando proporcionalmente, según cómo va creciendo la grieta. En la Tabla IV.3,

se muestran los cálculos de la función Z(a), según el crecimiento de la grieta y simultáneamente

se aplican las condiciones para calcularla de manera numérica.

Tabla IV.3.- Tabla representativa de los valores obtenidos numérica y analíticamente de lafunción Z(a) para el segundo caso.


a Z(a) Z(a) t F KIref ds5.00 -0.22646896 -0.23509375 2.500000 1000 -22.5690 0.2405.40 -0.25664154 -0.26482292 2.500000 1000 -25.4230 0.2405.80 -0.29416416 -0.30372917 2.500000 1000 -29.1580 0.2406.20 -0.34181279 -0.35370833 2.500000 1000 -33.9560 0.2406.60 -0.40387347 -0.41907813 2.500000 1000 -40.2315 0.2407.00 -0.48728363 -0.50679500 2.500000 1000 -48.6523 0.2407.40 -0.60395375 -0.62660000 2.500000 1000 -60.1536 0.2407.80 -0.77594275 -0.80058333 2.500000 1000 -76.8560 0.2408.20 -1.04846743 -1.08196875 2.500000 1000 -103.8690 0.2409.00 -2.53200000 -2.63541667 2.500000 1000 -253.0000 0.240

Con los valores obtenidos numéricamente y analíticamente se obtiene la gráfica de comparación

de resultados mostrada en la Figura IV.4. Se puede apreciar el incremento del valor de la función

Z(a) con respecto al incremento de la grieta.

Capítulo IV


77


-3.0000

-2.5000

-2.0000

-1.5000

-1.0000

-0.5000

0.0000

0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000

a/w

Z(a

)

Z(a)Analitica

Z(a)Numerica

Figura IV.7.- Grafica del comportamiento comparativo de la función Z(a) analítica y numérica


Para el tercer caso se utilizará la Ecuación IV.9 la cual por medio de las dimensiones de la

probeta se deduce lo siguiente. Con las dimensiones del modelo mostrado en la Figura IV.8, y

utilizando la Ecuación IV.9 de la Tabla IV.1 se sustituyen los valores de manera que se ajustan

las ecuaciones para que quede todo en función de la longitud de la grieta y calcular la función Z(a)

para cada incremento de longitud. De la misma forma entonces la ecuación desarrollada para el

caso de una probeta de placa circular para prueba de tensión, queda de la siguiente manera:

( ) 3

2.532

10aZ

a

IV.9a

Capítulo IV


78

42

210.8

4.3

3

2.16

10

Figura IV.8.- Dimensiones del modelo para calcular la función de peso en el caso 3.

Figura IV.9.- Modelo resuelto para el cálculo de KI del tercer caso a desarrollar.

Capítulo IV


79

IV.3.3.1.- Cálculos realizados por MEF, caso 3.

Dadas las circunstancias para el desarrollo del tercer caso, para desarrollarlo numéricamente, se

procede a realizar el modelo como se muestra en la Figura IV.9. El procedimiento se realiza de la

misma manera que en los casos anteriores. En la Tabla IV.4 se pueden observar muestran los

cálculos de la función Z(a), según el crecimiento de la grieta y simultáneamente se aplican las

condiciones para calcularla de manera numérica.

Tabla IV.4.- Tabla representativa de los valores obtenidos numérica y analíticamente de lafunción Z(a) para el primer caso.


a Z(a) Z(a) t F KIref ds2.00 -0.11189965 -0.11590000 2.500000 1000 -11.5900 0.2502.70 -0.12837469 -0.13255200 2.500000 1000 -13.2552 0.2503.40 -0.14933025 -0.15456900 2.500000 1000 -15.4569 0.2504.10 -0.17667931 -0.18398600 2.500000 1000 -18.3986 0.2504.80 -0.21352989 -0.22126500 2.500000 1000 -22.1265 0.2505.50 -0.26524361 -0.27512346 2.500000 1000 -27.5123 0.2506.20 -0.34181279 -0.35456300 2.500000 1000 -35.4563 0.2506.90 -0.46389657 -0.48121200 2.500000 1000 -48.1212 0.2507.60 -0.68099957 -0.70896500 2.500000 1000 -70.8965 0.2509.00 -2.53200000 -2.61756320 2.500000 1000 -261.7563 0.250


-3.0000

-2.5000

-2.0000

-1.5000

-1.0000

-0.5000

0.00000.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000

a/w

Z(a

)


Figura IV.10.- Grafica del comportamiento comparativo de la función Z(a) analítica y numérica,con forma va aumentando el tamaño de la grieta para el tercer caso.

Capítulo IV


80

Con los valores obtenidos numérica y analíticamente, se obtiene la grafica de comparación de

resultados mostrada en la Figura IV.10.


En este caso se utiliza la Ecuación IV.11 la cual por medio de las dimensiones de la probeta la

forma se deduce lo siguiente:

( ) 2 3

7.952 13.513.5

113.5

a

a

Za

IV.11a

Con las dimensiones del modelo mostrado en la Figura IV.11 y utilizando la Ecuación IV.11ase

obtiene la función Z(a) para cada incremento de longitud.

Ø13.5

4.5

9

Figura IV.11.- Dimensiones del modelo para calcular la función de peso en el caso 4.



Capítulo IV


81

( ) 30.0510311 0.074074

a

aZ

a

IV.11b

IV.3.4.1.- Caso 4; cálculos realizados por MEF

Dadas las circunstancias para el desarrollo del primer caso y para desarrollarlo numéricamente, se

desarrolla el modelado como se muestra en la Figura IV.12. Además se desarrolla la solución de

la misma manera que en los ejemplos anteriores

Figura IV.12.- Modelo resuelto para el cálculo de KI del cuarto caso a desarrollar.

En la tabla IV.5, se muestran los cálculos de la función Z(a), según el crecimiento de la grieta, y

simultáneamente, se aplican las condiciones para calcularla de manera numérica. Con los valores

obtenidos numérica y analíticamente, se obtiene la gráfica de comparación de resultados

Capítulo IV


82

mostrada en la Figura IV.13, donde se muestra el incremento del valor de la función Z(a) con

respecto al incremento de la grieta.

Tabla IV.5.- Tabla representativa de los valores obtenidos numérica y analíticamente de lafunción Z(a) para el cuarto caso.


a Z(a) Z(a) t F KIref ds1.00 -0.05727560 -0.05929792 2.500 1000 -47.2650 1.9931.80 -0.08485786 -0.08185986 2.500 1000 -65.2486 1.9932.60 -0.11341787 -0.10930371 2.500 1000 -87.1235 1.9933.40 -0.14540921 -0.15049591 2.500 1000 -119.9568 1.9934.20 -0.18290882 -0.17635552 2.500 1000 -140.5689 1.9935.00 -0.22839730 -0.22110251 2.500 1000 -176.2357 1.9935.80 -0.28530682 -0.27473845 2.500 1000 -218.9877 1.9936.60 -0.35878348 -0.37104824 2.500 1000 -295.7540 1.9937.40 -0.45704088 -0.44144929 2.500 1000 -351.8690 1.9939.00 -0.79549218 -0.76699899 2.500 1000 -611.3571 1.993


-0.9000

-0.8000

-0.7000

-0.6000

-0.5000

-0.4000

-0.3000

-0.2000

-0.1000

0.00000.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000

a/w

Z(a

)


Figura IV.13.- Grafica del comportamiento comparativo de la función Z(a) analítica y numérica,con forma va aumentando el tamaño de la grieta para el segundo caso.

Capítulo IV


83

IV.4.- Sumario

En el presente capítulo se presentan los cálculos de la función geométrica-peso, así como los

análisis realizados a cada caso seleccionado para su desarrollo. Se utilizara algunos modelos de la

Tabla II.4, programados en ANSYS para hacer el desarrollo los cálculos numéricos. Así como

sus análisis analíticos respectivos de cada caso seccionado. De tal manera que se comparen los

resultados para cada caso y analizar el porcentaje de error que exista entre ambos métodos. De la

misma forma, se le dará su interpretación y una conclusión de cada modelo empleado.

Conclusiones


85

Conclusiones

En el caso del cálculo del intensificador esfuerzo se concluye que para encontrar un valor muy

preciso comparado con el analítico, es necesario variar la trayectoria de la grieta de una manera

equivalente dependiendo de las circunstancias, de otra forma el valor de K varía con respecto a la

separación de la trayectoria escogida.

Con respecto a los casos de estudio de los factores de intensidad de esfuerzos se concluye de la

siguiente manera:

Caso 1, se encontró que la trayectoria de la grieta debía ser dividido por la suposición de simetría

en el análisis, si lo anterior no se lleva a cabo el resultado no es correcto.

Caso 2, se encontró un error un poco mayor que en el caso anterior, la razón de esta diferencia es

de la grieta comparada del caso anterior es mayor, por consiguiente el resultado encontrado en

este punto tiende a tener un error mayor. Sin embargo se encuentra en los parámetros aceptables.

Caso 3, se encuentra casi con el error de la misma magnitud que se tiene el caso 2. Ya que el caso

de estudio es muy similar al anterior. Se aplicaron las mismas características para el modelo y por

consiguiente se obtuvo el mismo valor del porcentaje de error.

Caso 4, en este caso se analiza el modelo de una probeta que se utiliza para realizar pruebas a

tensión. Este modelo se aplica por medio de elemento finito para tratar de entender el

comportamiento que se aplica en un modo experimental. No obstante la comparación es analítica

y numérica, por consiguiente se utiliza la relación determinada para calcular el factor de

intensidad esfuerzo. Por consiguiente, como se desarrolla el modelo numérico de manera

parecida a cómo sería el comportamiento real en una máquina para pruebas a tensión, entonces el

porcentaje de error que se tiene es mayor al calculado numéricamente con respecto al calculado

analíticamente. Ya que el numérico trata de simular en lo más posible el comportamiento real.

Caso 5, en este caso se analiza el modelo de una probeta que se utiliza para hacer pruebas a

flexión. Este modelo se aplica por medio de elemento finito para tratar de entender el

Conclusiones


86

comportamiento que se aplica en un modo experimental, no obstante la comparación como el

caso anterior debe de ser analítico y numérico. Por consiguiente también tuvo su grado de

dificultad al momento de aplicar las consideraciones físicas reales según el diagrama de la

probeta. No obstante se logró solucionar dando así un cálculo del factor de intensidad esfuerzo

aceptable, considerando que la relación matemática que se tiene del modelo y comparado con el

caso analítico está dentro del aceptable.

Caso 6, en este caso se desarrolla analíticamente y numéricamente una probeta desarrollada

también en forma real (trabajo de tesis) de manera experimental, tratando de encontrar una

similitud con modelo de determinado. Se encontró que el porcentaje de error es muy alto, pero no

se debe a que exista un modelo que no sea compatible, considerando que en este modelo se aplica

dos cargas una que abre el modelo y la otra empuja el modelo físico. Por consiguiente se pidió el

valor del factor de intensidad de esfuerzos obtenido experimentalmente y se cotejó contra el

calculado numéricamente. El porcentaje de error que se encuentra numéricamente y

experimentalmente es aproximadamente del uno por ciento, lo que valida al procedimiento

numérico. Sin embargo, el porcentaje de error entre el numérico y analítico es del 16%, lo que se

llega a la conclusión de que el modelo analítico no considera adecuadamente a la carga de

abrimiento.

Como conclusión en este tema, se puede decir que para desarrollar el cálculo del factor de

intensidad esfuerzos es necesario tener mucho cuidado en las consideraciones a tomar. Además,

que aparentemente, el análisis numérico el más adecuado y cercano a la realidad.

En el caso del cálculo de la función Z(a), se concluye que para cada uno de los casos analizados,

se encuentra que existe un ajuste de los parámetros en la trayectoria de la grieta y se deben de

identificar los nodos (análisis numérico) donde debe de pasar dicha trayectoria para obtener un

valor de KI aceptable. Por lo que se concluye que se debe de ir variando los puntos necesarios

conforme se va alargando la grieta.

Caso 1, se encontró que la grieta conforme iba abriendo en los primeros cálculos el valor del

intensificador de esfuerzos estaba variando mucho con respecto al cálculo de la función Z(a). No

Conclusiones


87

obstante se ajustó la trayectoria y se encontró el porcentaje de error no variará demasiado tanto

así que se encontró un porcentaje aproximadamente del 3%. En este caso la solución analítica no

es exacta.

Caso 2, nuevamente la solución analítica no es exacta. Se ajustó directamente la trayectoria de la

grieta, contando que el modelo ya se había utilizado para analizar el KI en el Capítulo III, lo que

nos llevó a esto ha simplemente ajustar el modelo de manera de su tuvo aproximadamente un

promedio del 3.5%.

Caso 3, se ajustaron los modelos anteriores de manera que se aplicaron las mismas condiciones

consideradas en el primer caso y segundo caso, de tal forma que los resultados ajustaron en un

promedio semejante a los anteriores. En este caso de forma muy general se concluye este método

de su método indirecto tal que cuando aplicamos la solución no es directa, hay que aplicar

métodos analíticos para determinar el cálculo necesario para desarrollar la función; no obstante se

sigue encontrando que el método numérico es todavía más rápido y se puede combinar con otros

métodos para obtener una solución más adecuado al fenómeno que se está presentando.

Caso 4, probablemente es el más significativo, ya que la solución analítica es exacta y presenta

un grado de error entre métodos de 1.9%. Lo que significa que el análisis numérico puede de ser

de gran valía en la solución de este tipo de problemas, ya que es muy fácil de utilizar y cuenta

con gran rapidez.

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89

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Apéndice


94

1.- Programación realizada para desarrollo de las geometrías en ANSYS.

1.1.- Caso 1!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME, Caso I, 0*afun,deg DEFINE LA GEOMETRIA DE LA PLACAa=1h=10w=h/2P=10t=1/10E=200e3nu=0.27!* DEFINE EL TIPO DE ELEMENTO PARA EL MODELO/PREP7ET,1,PLANE183KEYOPT,1,1,0KEYOPT,1,3,3KEYOPT,1,6,0KEYOPT,1,10,0R,1,t,!* DEFINE LAS PROPIEDADES MECANICAS DEL MATERIALKEYOPT,1,3,2KEYOPT,1,5,0KEYOPT,1,6,0MPTEMP,,,,,,,,MPTEMP,1,0MPDATA,EX,1,,EMPDATA,PRXY,1,,0.27!* CREA LOS PUNTOS GEOMETRICOS DE LA PLACAK,1,,K,2,a,K,3,w,K,4,w,hK,5,,h!* CREA LAS LINEAS DE LA PLACAL,1,2L,2,3L,3,4L,4,5L,5,1!* DEFINE LAS DIVISIONES DEL MALLADOLESIZE,3, , ,56, , , , ,1LESIZE,4, , ,56, , , , ,1LESIZE,5, , ,64,.2, , , ,1LESIZE,1, , ,30,5, , , ,1LESIZE,2, , ,40,.2, , , ,1KSCON,2,a/16,1,16, ,!* DEFINE LAS PROPIEDADES DE SIMETRIA Y SOLUCIONA EL PROBLEMAAl,allDL,2,1,SYMMDL,5,1,SYMMSFL,4,PRES,-(P/(w*t)),AMESH,1finish/SOLU

Apéndice


95

solveFINISH!* DEFINE EL SENTIDO PARA EL CALCULO DE KI/POST1PATH,K1,3,30,20, DETERMINA LA TRAYECTORIA DE LA GRIETAPPATH,1,2,PPATH,2,50,PPATH,3,1,PATH,STAT!* DETERMINA KIKCALC,0,1,0,0

1.2- Caso 2!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME,Caso II,0

*afun,deg DEFINE LA GEOMETRIA DE LA PLACA

a=1

h=10

w=h/2

P=10

t=1/10

E=200e3

nu=0.27

!* DEFINE EL TIPO DE ELEMENTO PARA EL MODELO

/PREP7

ET,1,PLANE183

KEYOPT,1,1,0

KEYOPT,1,3,3

KEYOPT,1,6,0

KEYOPT,1,10,0

R,1,t,

!* DEFINE LAS PROPIEDADES MECANICAS DEL MATERIAL

KEYOPT,1,3,2

KEYOPT,1,5,0

KEYOPT,1,6,0

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,E

MPDATA,PRXY,1,,0.27

!* CREA LOS PUNTOS GEOMETRICOS DE LA PLACA

K,1,,

K,2,a,

Apéndice


96

K,3,w,

K,4,w,h/2

K,5,,h/2

!* CREA LAS LINEAS DE LA PLACA

L,1,2

L,2,3

L,3,4

L,4,5

L,5,1

!* DEFINE LAS DIVISIONES DEL MALLADO

LESIZE,3, , ,56, , , , ,1

LESIZE,4, , ,56, , , , ,1

LESIZE,5, , ,64,.2, , , ,1

LESIZE,1, , ,30,5, , , ,1

LESIZE,2, , ,40,.2, , , ,1

KSCON,2,a/16,1,16, ,

!* DEFINE LAS PROPIEDADES DE SIMETRIA Y SOLUCIONA EL PROBLEMA

Al,all

DL,2,1,SYMM

SFL,4,PRES,-(P/(w*t)),

AMESH,1

finish

/SOLU

solve

FINISH

!* DEFINE EL SENTIDO PARA EL CALCULO DE KI/POST1

PATH,K1,3,30,20, DETERMINA LA TRAYECTORIA DE LA GRIETA

PPATH,1,2,

PPATH,2,50,

PPATH,3,1,

PATH,STAT

!* DETERMINA KIKCALC,0,1,0,0

1.3.- Caso 3!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME,Caso III,0

Apéndice


97


a=1

h=10

w=h/2

P=10

t=1/10

E=200e3

nu=0.27


/PREP7

ET,1,PLANE183

KEYOPT,1,1,0

KEYOPT,1,3,3

KEYOPT,1,6,0

KEYOPT,1,10,0

R,1,t,


KEYOPT,1,3,2

KEYOPT,1,5,0

KEYOPT,1,6,0

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,E

MPDATA,PRXY,1,,0.27


KEYOPT,1,3,2

KEYOPT,1,5,0

KEYOPT,1,6,0

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,30E6

MPDATA,PRXY,1,,.0.3


K,1,,

K,2,W-a,

K,3,w,

K,4,w,h

Apéndice


98

K,5,,h


L,1,2

L,2,3

L,3,4

L,4,5

L,5,1


LESIZE,3, , ,56, , , , ,1

LESIZE,4, , ,56, , , , ,1

LESIZE,5, , ,64,.2, , , ,1

LESIZE,1, , ,30,5, , , ,1

LESIZE,2, , ,40,.2, , , ,1

KSCON,2,a/16,1,16, ,


Al,all

DL,1,1,SYMM

DL,5,1,SYMM

SFL,4,PRES,-(P/(w*t)),

AMESH,1

finish

/SOLU

solve

FINISH



PPATH,1,2,

PPATH,2,156,

PPATH,3,140,

PATH,STAT


1.4.- Caso 4!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME,Caso IV,0


Apéndice


99

a=4.33

w=10

lt=4.2*w

l=2*w

t=0.5*w

P=100

E=200e3

nu=0.27


/PREP7

ET,1,PLANE183

KEYOPT,1,1,0

KEYOPT,1,3,3

KEYOPT,1,6,0

KEYOPT,1,10,0

R,1,t,


KEYOPT,1,3,2

KEYOPT,1,5,0

KEYOPT,1,6,0

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,E

MPDATA,PRXY,1,,nu


K,1,,w/20

K,2,(a/2)-w/20,w/20

K,3,(a/2),

K,4,a,

K,5,w,

K,6,w,w/20

K,7,w,lt/2

K,8,,lt/2

K,9,,l+w/20

K,10,,l-w/20


L,1,2

L,2,3

Apéndice


100

L,3,4

L,4,5

L,5,6

L,6,7

L,7,8

L,8,9

L,9,10

L,10,1


LESIZE,3, , ,40, , , , ,1

LESIZE,4, , ,40, , , , ,1

LESIZE,5, , ,4,.2, , , ,1

LESIZE,1, , ,30,5, , , ,1

LESIZE,2, , ,4,.2, , , ,1

LESIZE,6, , ,80,.2, , , ,1

LESIZE,7, , ,50,.2, , , ,1

LESIZE,8, , ,40,, , , ,1

LESIZE,9, , ,4,, , , ,1

LESIZE,10, , ,70,, , , ,1

KSCON,4,a/16,1,16, ,


Al,all

DL,9,1,all

DL,4,1,SYMM

SFL,5,PRES,(P/(w*t/20)),

AMESH,1

finish

/SOLU

solve

FINISH



PPATH,1,70,

PPATH,2,136,

PPATH,3,1,62

PATH,STAT

!* DETERMINA KI

Apéndice


101

KCALC,0,1,0,0

1.5.- Caso 5!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME,Caso V,0


a=3

w=10

lt=1.25*w

h=1.2*w

r=0.25*w/2

t=0.5*w

s=0.275*w

P=1000

E=200e3nu=0.27


/PREP7ET,1,PLANE183

KEYOPT,1,1,0KEYOPT,1,3,3

KEYOPT,1,6,0

KEYOPT,1,10,0R,1,t,


KEYOPT,1,3,2

KEYOPT,1,5,0

KEYOPT,1,6,0

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,E

MPDATA,PRXY,1,,nu


K,1,,w/20

K,2,(lt-w)-w/20,w/20

K,3,(lt-w),

K,4,(lt-w)+a,

K,5,lt,

Apéndice


102

K,6,lt,h/2

K,7,,h/2

K,8,(lt-w),s

K,9,(lt-w),s+r

K,10,(lt-w),s-r

K,11,(lt-w)+r,s

K,12,(lt-w)-r,s


L,1,2

L,2,3

L,3,4

L,4,5

L,5,6

L,6,7

L,7,1

!*

LARC,9,11,8,r,

LARC,11,10,8,r,

LARC,10,12,8,r,

LARC,12,9,8,r,


LESIZE,3, , ,40, , , , ,1

LESIZE,4, , ,56, , , , ,1

LESIZE,5, , ,64,.2, , , ,1

LESIZE,1, , ,30,5, , , ,1

LESIZE,2, , ,4,.2, , , ,1

LESIZE,6, , ,80,.2, , , ,1

LESIZE,7, , ,64,.2, , , ,1

LESIZE,8, , ,40,, , , ,1

LESIZE,9, , ,40,, , , ,1

LESIZE,10, , ,40,, , , ,1

LESIZE,11, , ,40,, , , ,1

KSCON,4,a/16,1,16, ,


Al,all

DL,4,1,SYMM

SFL,11,PRES,P/(1.570796327*r*t),

SFL,8,PRES,P/(1.570796327*r*t),

Apéndice


103

AMESH,1

finish

/SOLU

solve

FINISH



PPATH,1,418,

PPATH,2,594,

PPATH,3,546,

PATH,STAT


1.6.- Caso 6!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME,Caso VI,0*afun,deg DEFINE LA GEOMETRIA DE LA PLACA

a=2.5w=12

h=4

F=1000/4P=100/5

t=0.25

r=t/4

E=360e3

nu=0.38


/PREP7

ET,1,PLANE183

KEYOPT,1,1,0

KEYOPT,1,3,3

KEYOPT,1,6,0

KEYOPT,1,10,0

R,1,t,


KEYOPT,1,3,2

Apéndice


104

KEYOPT,1,5,0

KEYOPT,1,6,0

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,E

MPDATA,PRXY,1,,nu


K,1,,

K,2,a,

K,3,w,

K,4,w,h/18

K,5,w,h/18+h/9

K,6,w,h/18+2*h/9

K,7,w,h/18+3*h/9

K,8,w,h/2

K,9,,h/2

K,10,h/12,h/12

K,11,h/12,2*h/12

K,12,h/12,3*h/12

K,13,h/12,4*h/12

K,14,h/12,5*h/12

K,15,h/12+r,h/12

K,16,h/12-r,h/12

K,17,h/12,h/12+r

K,18,h/12,h/12-r

K,19,h/12+r,2*h/12

K,20,h/12-r,2*h/12

K,21,h/12,2*h/12+r

K,22,h/12,2*h/12-r

K,23,h/12+r,3*h/12

K,24,h/12-r,3*h/12

K,25,h/12,3*h/12+r

K,26,h/12,3*h/12-r

K,27,h/12+r,4*h/12

K,28,h/12-r,4*h/12

K,29,h/12,4*h/12+r

K,30,h/12,4*h/12-r

K,31,h/12+r,5*h/12

Apéndice


105

K,32,h/12-r,5*h/12

K,33,h/12,5*h/12+r

K,34,h/12,5*h/12-r

K,35,,h/18

K,36,,h/18+h/9

K,37,,h/18+2*h/9

K,38,,h/18+3*h/9

K,39,w-h/12,h/18

K,40,w-h/12,h/18+h/9

K,41,w-h/12,h/18+2*h/9

K,42,w-h/12,h/18+3*h/9

K,43,(w-h/12)+r,h/18

K,44,(w-h/12)-r,h/18

K,45,(w-h/12),h/18+r

K,46,w-h/12,h/18-r

K,47,(w-h/12)+r,(h/18+h/9)

K,48,(w-h/12)-r,(h/18+h/9)

K,49,w-h/12,(h/18+h/9)+r

K,50,w-h/12,(h/18+h/9)-r

K,51,(w-h/12)+r,(h/18+2*h/9)

K,52,(w-h/12)-r,(h/18+2*h/9)

K,53,w-h/12,(h/18+2*h/9)+r

K,54,w-h/12,(h/18+2*h/9)-r

K,55,(w-h/12)+r,(h/18+3*h/9)

K,56,(w-h/12)-r,(h/18+3*h/9)

K,57,w-h/12,(h/18+3*h/9)+r

K,58,w-h/12,(h/18+3*h/9)-r


L,1,2

L,2,3

L,3,4

L,4,5

L,5,6

L,6,7

L,7,8

L,8,9

L,9,38

L,38,37

Apéndice


106

L,37,36

L,36,35

L,35,1

LARC,16,17,10,r,

LARC,17,15,10,r,

LARC,15,18,10,r,

LARC,18,16,10,r,

LARC,20,21,11,r,

LARC,21,19,11,r,

LARC,19,22,11,r,

LARC,22,20,11,r,

LARC,24,25,12,r,

LARC,25,23,12,r,

LARC,23,26,12,r,

LARC,26,24,12,r,

LARC,28,29,13,r,

LARC,29,27,13,r,

LARC,27,30,13,r,

LARC,30,28,13,r,

LARC,32,33,14,r,

LARC,33,31,14,r,

LARC,31,34,14,r,

LARC,34,32,14,r,

LARC,43,45,39,r,

LARC,45,44,39,r,

LARC,44,46,39,r,

LARC,46,43,39,r,

LARC,47,49,40,r,

LARC,49,48,40,r,

LARC,48,50,40,r,

LARC,50,47,40,r,

LARC,51,53,41,r,

LARC,53,52,41,r,

LARC,52,54,41,r,

LARC,54,51,41,r,

LARC,55,57,42,r,

LARC,57,56,42,r,

LARC,56,58,42,r,

Apéndice


107

LARC,58,55,42,r,


LESIZE,1, , ,20,5, , , ,1

LESIZE,2, , ,30,0.2, , , ,1

LESIZE,3, , ,3, , , , ,1

LESIZE,4, , ,6, , , , ,1

LESIZE,5, , ,6, , , , ,1

LESIZE,6, , ,6, , , , ,1

LESIZE,7, , ,6, , , , ,1

LESIZE,8, , ,50,0.2, , , ,1

LESIZE,9, , ,6, , , , ,1

LESIZE,10, , ,6, , , , ,1

LESIZE,11, , ,6, , , , ,1

LESIZE,12, , ,6, , , , ,1

LESIZE,13, , ,3, , , , ,1

LESIZE,14, , ,3, , , , ,1

LESIZE,15, , ,3, , , , ,1

LESIZE,16, , ,3, , , , ,1

LESIZE,17, , ,3, , , , ,1

LESIZE,18, , ,3, , , , ,1

LESIZE,19, , ,3, , , , ,1

LESIZE,20, , ,3, , , , ,1

LESIZE,21, , ,3, , , , ,1

LESIZE,22, , ,3, , , , ,1

LESIZE,23, , ,3, , , , ,1

LESIZE,24, , ,3, , , , ,1

LESIZE,25, , ,3, , , , ,1

LESIZE,26, , ,3, , , , ,1

LESIZE,27, , ,3, , , , ,1

LESIZE,28, , ,3, , , , ,1

LESIZE,29, , ,3, , , , ,1

LESIZE,30, , ,3, , , , ,1

LESIZE,31, , ,3, , , , ,1

LESIZE,32, , ,3, , , , ,1

LESIZE,33, , ,3, , , , ,1

LESIZE,34, , ,3, , , , ,1

LESIZE,35, , ,3, , , , ,1

LESIZE,36, , ,3, , , , ,1

Apéndice


108

LESIZE,37, , ,3, , , , ,1

LESIZE,38, , ,3, , , , ,1

LESIZE,39, , ,3, , , , ,1

LESIZE,40, , ,3, , , , ,1

LESIZE,41, , ,3, , , , ,1

LESIZE,42, , ,3, , , , ,1

LESIZE,43, , ,3, , , , ,1

LESIZE,44, , ,3, , , , ,1

LESIZE,45, , ,3, , , , ,1

LESIZE,46, , ,3, , , , ,1

LESIZE,47, , ,3, , , , ,1

LESIZE,48, , ,3, , , , ,1

LESIZE,49, , ,3, , , , ,1

KSCON,2,a/8,1,8, ,


Al,all

AMESH,1

!*

DL,2,1,SYMM

DL,34,,UY

DL,37,,UY

DL,38,,UY

DL,41,,UY

DL,42,,UY

DL,45,,UY

DL,46,,UY

DL,49,,UY

DL,9,,UX,

DL,10,,UX,

DL,11,,UX,

DL,12,,UX,

DL,13,,UX,

!*

SFL,14,PRES,P/(1.570796327*r*t),

SFL,15,PRES,P/(1.570796327*r*t),

SFL,18,PRES,P/(1.570796327*r*t),

SFL,19,PRES,P/(1.570796327*r*t),

SFL,22,PRES,P/(1.570796327*r*t),

Apéndice


109

SFL,23,PRES,P/(1.570796327*r*t),

SFL,26,PRES,P/(1.570796327*r*t),

SFL,27,PRES,P/(1.570796327*r*t),

SFL,30,PRES,P/(1.570796327*r*t),

SFL,31,PRES,P/(1.570796327*r*t),

SFL,35,PRES,F/(1.570796327*r*t),

SFL,36,PRES,F/(1.570796327*r*t),

SFL,39,PRES,F/(1.570796327*r*t),

SFL,40,PRES,F/(1.570796327*r*t),

SFL,43,PRES,F/(1.570796327*r*t),

SFL,44,PRES,F/(1.570796327*r*t),

SFL,47,PRES,F/(1.570796327*r*t),

SFL,48,PRES,F/(1.570796327*r*t),

finish

/SOLU

solve

FINISH



PPATH,1,2,

PPATH,2,60,

PPATH,3,1,

PATH,STAT


1.7.- Caso 1 Función de peso!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME,Caso 1 Funcion de peso,0!


a=2

w=10

m=0.1*w

d=1.35*w

r=0.25*w/2

t=0.5*w

s=0.275*w

Apéndice


110

P=1000

E=200e3

nu=0.27


/PREP7

ET,1,PLANE183

KEYOPT,1,1,0

KEYOPT,1,3,3

KEYOPT,1,6,0

KEYOPT,1,10,0

R,1,t,


KEYOPT,1,3,2

KEYOPT,1,5,0

KEYOPT,1,6,0

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,E

MPDATA,PRXY,1,,nu


K,1,m,w/20,

K,2,0.3*w,w/20,

K,3,0.35*w,,

K,4,0.35*w+a,,

K,5,d,,

K,6,d/2,d/2,

K,7,m,0.353553391*w,

K,8,0.35*w,s,

K,9,0.35*w,s+r,

K,10,0.35*w,s-r,

K,11,0.35*w+r,s,

K,12,0.35*w-r,s,

K,13,d/2,


L,1,2

L,2,3

L,3,4

L,4,5

Apéndice


111

L,7,1

!*

LARC,5,6,13,d/2,

LARC,6,7,13,d/2,

LARC,9,11,8,r,

LARC,11,10,8,r,

LARC,10,12,8,r,

LARC,12,9,8,r,


Al,1,2,3,4,5,6,7

Al,8,9,10,11

ASBA,1,2

!*

DL,4,3,SYMM

SFL,11,PRES,P/(1.570796327*r*t),

SFL,8,PRES,P/(1.570796327*r*t),


LESIZE,1, , ,30,5, , , ,1

LESIZE,2, , ,4,.2, , , ,1

LESIZE,3, , ,4, , , , ,1

LESIZE,4, , ,30, , , , ,1

LESIZE,5, , ,40,.2, , , ,1

LESIZE,6, , ,40,.2, , , ,1

LESIZE,7, , ,30,.2, , , ,1

LESIZE,8, , ,20,, , , ,1

LESIZE,9, , ,20,, , , ,1

LESIZE,10, , ,20,, , , ,1

LESIZE,11, , ,20,, , , ,1

KSCON,4,a/16,1,16, ,

!*

AMESH,3

finish

/SOLU

solve

FINISH



Apéndice


112

PPATH,1,70,

PPATH,2,76,

PPATH,3,62,

PATH,STAT


1.8.- Caso 2 Función de peso!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME,Caso 2 Funcion de peso,0!


a=3

w=10

lt=1.25*w

h=1.2*wr=0.25*w/2

t=0.5*w

s=0.275*wP=1000

E=200e3nu=0.27


/PREP7ET,1,PLANE183

KEYOPT,1,1,0

KEYOPT,1,3,3

KEYOPT,1,6,0

KEYOPT,1,10,0

R,1,t,


KEYOPT,1,3,2

KEYOPT,1,5,0

KEYOPT,1,6,0

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,E

MPDATA,PRXY,1,,nu


Apéndice


113

K,1,,w/20

K,2,(lt-w)-w/20,w/20

K,3,(lt-w),

K,4,(lt-w)+a,

K,5,lt,

K,6,lt,h/2

K,7,,h/2

K,8,(lt-w),s

K,9,(lt-w),s+r

K,10,(lt-w),s-r

K,11,(lt-w)+r,s

K,12,(lt-w)-r,s


L,1,2

L,2,3

L,3,4

L,4,5

L,5,6

L,6,7

L,7,1

!*

LARC,9,11,8,r,

LARC,11,10,8,r,

LARC,10,12,8,r,

LARC,12,9,8,r,


LESIZE,3, , ,40, , , , ,1

LESIZE,4, , ,56, , , , ,1

LESIZE,5, , ,64,.2, , , ,1

LESIZE,1, , ,30,5, , , ,1

LESIZE,2, , ,4,.2, , , ,1

LESIZE,6, , ,80,.2, , , ,1

LESIZE,7, , ,64,.2, , , ,1

LESIZE,8, , ,40,, , , ,1

LESIZE,9, , ,40,, , , ,1

LESIZE,10, , ,40,, , , ,1

LESIZE,11, , ,40,, , , ,1

KSCON,4,a/16,1,16, ,

Apéndice


114


Al,all

DL,4,1,SYMM

SFL,11,PRES,P/(1.570796327*r*t),

SFL,8,PRES,P/(1.570796327*r*t),

AMESH,1

finish

/SOLU

solve

FINISH



PPATH,1,418,

PPATH,2,594,

PPATH,3,546,

PATH,STAT


1.9.- Caso 3 Función de peso!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME,Caso 3 Funcion de peso,0!*afun,deg DEFINE LA GEOMETRIA DE LA PLACA

a=4.33

w=10

lt=4.2*w

l=2*w

t=0.5*w

P=100

E=200e3

nu=0.27


/PREP7

ET,1,PLANE183

KEYOPT,1,1,0

KEYOPT,1,3,3

KEYOPT,1,6,0

Apéndice


115

KEYOPT,1,10,0

R,1,t,


KEYOPT,1,3,2

KEYOPT,1,5,0

KEYOPT,1,6,0

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,E

MPDATA,PRXY,1,,nu


K,1,,w/20

K,2,(a/2)-w/20,w/20

K,3,(a/2),

K,4,a,

K,5,w,

K,6,w,w/20

K,7,w,lt/2

K,8,,lt/2

K,9,,l+w/20

K,10,,l-w/20


L,1,2

L,2,3

L,3,4

L,4,5

L,5,6

L,6,7

L,7,8

L,8,9

L,9,10

L,10,1


LESIZE,3, , ,40, , , , ,1

LESIZE,4, , ,40, , , , ,1

LESIZE,5, , ,4,.2, , , ,1

LESIZE,1, , ,30,5, , , ,1

LESIZE,2, , ,4,.2, , , ,1

Apéndice


116

LESIZE,6, , ,80,.2, , , ,1

LESIZE,7, , ,50,.2, , , ,1

LESIZE,8, , ,40,, , , ,1

LESIZE,9, , ,4,, , , ,1

LESIZE,10, , ,70,, , , ,1

KSCON,4,a/16,1,16, ,


Al,all

DL,9,1,all

DL,4,1,SYMM

SFL,5,PRES,(P/(w*t/20)),

AMESH,1

finish

/SOLU

solve

FINISH



PPATH,1,70,

PPATH,2,136,

PPATH,3,1,62

PATH,STAT


1.10.- Caso 4 Función de peso!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME,Caso 4 Función de peso,0


a=2

w=10

d=1.35*w

t=0.5*w

P=1000

E=200e3

nu=0.27


Apéndice


117

/PREP7

ET,1,PLANE183

KEYOPT,1,1,0

KEYOPT,1,3,3

KEYOPT,1,6,0

KEYOPT,1,10,0

R,1,t,


KEYOPT,1,3,2

KEYOPT,1,5,0

KEYOPT,1,6,0

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,E

MPDATA,PRXY,1,,nu


K,1,,,

K,2,a,,

K,3,d,,

K,4,d/2,d/2,

K,5,d/2,,


L,1,2

L,2,3

!*

LARC,3,4,5,d/2,

LARC,4,1,5,d/2,


Al,all

!*

DL,2,1,SYMM

FK,1,FY,P


LESIZE,1, , ,30,5, , , ,1

LESIZE,2, , ,40,.2, , , ,1

LESIZE,3, , ,50, , , , ,1

LESIZE,4, , ,50, , , , ,1

KSCON,2,a/16,1,16, ,

Apéndice


118

!*

AMESH,1

finish

/SOLU

solve

FINISH



PPATH,1,2,

PPATH,2,68,

PPATH,3,1,

PATH,STAT


EVALUACIÓN ANALÍTICO-NUMÉRICA DE LAS FUNCIONES GEOMETRICAS …

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