GRADO 11

ESTANDAR: GEOMETRIAEl estudiante es capaz de identificar formas geométricas, analizar susestructuras, características, propiedades y relaciones para entender ydescubrir el entorno físico.

EXPECTATIVA 4:Desarrolla y aplica los métodos generales de prueba en lasolución de problemas y formula las justificaciones para losteoremas básicos de la Geometría Euclidiana.

INDICADOR:Establece la prueba directa ó indirecta para determinar siuna proposición matemática es cierta.

INTRODUCCION En la siguiente unidad, se estudia la relación de ángulos,

segmentos especiales en un triangulo. Una de las

aplicaciones reales de la geometría en la vida cotidiana.

En ella se utilizara el razonamiento directo el cual

comienza con una hipótesis cierta y demuestras que la

conclusión es cierta. Con el razonamiento indirecto,

asumes que la conclusión es falsa y luego muestras que

esta suposición te conduce a una contradicción de la

hipótesis.

JUSTIFICACION La prueba directa se puede utilizar para resolver

segmentos especiales en triángulos, aplicables a la

ingeniería, deportes y la física. Por otro lado el

razonamiento indirecto se emplea usualmente en el

sistema legal y en avisos y clasificados.

Prueba Directa o Indirecta

Establecerá la prueba directa ó indirecta para determinar si

una proposición matemática es cierta.

OBJETIVOS Identificara y utilizara los segmentos especiales de los

triángulos.

Demostrara los triángulos rectángulos congruentes.

Reconocerá y aplicara las relaciones existentes entre los

lados y los ángulos de un triangulo.

11.6.2

Teoremas y Postulados importantes

Teorema (LL); Lado, Lado

Si los catetos de un triangulo rectángulo son congruentes con los correspondientes

catetos de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Teorema (HA); Hipotenusa, Angulo

Si la hipotenusa y un ángulo de un triangulo rectángulo son congruentes a la

hipotenusa y al ángulo agudo correspondiente de otro triangulo rectángulo, entonces

lo dos triangulo son congruentes.

Teorema (CA); Cateto, Angulo

Si un cateto y un ángulo agudo de un triangulo rectángulo son congruentes al

correspondiente cateto y ángulo de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos

con congruentes.

Ejemplo 1: Teorema (LL); Lado, Lado Prueba del Teorema (LL)

D

E F

R

S T

EF ST

ED SR

DEFPru RSTeba:

Dado: DEF y RST son triángulos rectángulos.

E y S son ángulos rectos.

Demostración:

Se da que , son

ángulos rectos. Como todos los ángulos

rectos son congruentes, . Por tanto,

por el teorema LL, .

, y E y EF ST ED SR S

E y S

EF D RST

Ejemplo 2: Teorema (HA); Hipotenusa, AnguloPuedes utilizar el teorema HA para completar las demostraciones que

involucran triángulos rectángulos.

Dado: CB es una altura de ΔACD.

ΔACD es triángulos isósceles con lados

CA .y CD

Prueba: ABC ΔDBC

C

B

A D

Ejemplo 3: Teorema (CA); Cateto, AnguloEncuentra los valores de x y y de tal manera que el triangulo ABC sea

congruente al triangulo DEF. B580

(47 – 8x)cm

: . .Asume ABC DEF Luego B E y AC FD

m B m E

58 3 20y

78 3y

26 y

AC FD

47 8 15x

8 32x

4x

, 4 26.Por CA ABC DEF para x y y (3y – 20)0

15cm

PrácticaHalla el valor de x si el triangulo ABC es congruente al triangulo XYZ, por

el teorema dado. A su vez halla la medida del segmento XZ.

C

Z

Y

2 6, 15, 3 8, 20, 8; ( ).AB x BC AC x YZ XY x p Lor L

2 6x

Solución:

Sustituye cada segmento del triangulo

por la expresión dada.

15

3 8x

8x

20

mAB mXY

2 6 20x

2 20 6x

2 14x

7x

opmZ ciY mB lC ona

8 15x

15 8x

7x

la mXY :Halla8

8

mXY x

mXY 7 15mXYPor lo tanto, mXY mBC

11.6.2

Pasos a seguir para escribir una

demostración indirecta.

Asume que la conclusión es falsa.

Muestra que la suposición conduce a una contradicción de

la hipótesis u otro hecho, como un postulado, teorema o

corolario.

Observa que la suposición tiene que ser falsa y que por

consiguiente la conclusión debe ser verdadera.

Ejemplo 1:M N

P

1 2 3

4

: 1 .

: 1 4

1 3

:

Pr

Dado

ueba

es un angulo exterior del MNP

m m

m

Demostracion Indire a

m

ct

: Haz la suposicion que m 1>m 3 y m 1>m 4. Asi

m

Pa

1 m 3 y m 1 m 4

so

.

1

: Solo mostraremos que la suposicion m 1 m 3 nos conduce a

una contradicion, pues el argumento para m 1 m 4 utiliza el

mismo razonamieto.

m 1 m 3, significa q

Paso 2

ue cualquiera, m 1 = m 3 o m 1 < m 3.

Se necesita analizar ambos casos, veamos;

: 1 3

3 4 1

3 4 3 .

4 0,

1

m m

Como m m m por el teorema de angulo

exterior tenemos m m m por sustitucion

Entonces m el cual contradice el hecho de que

Ca

l

so

.

a medida de un angulo es mayor que cero

: 1 3

Por el teorema del angulo exterior, m 3+m 4=m 1.

Como medida de los angulos es positiva, la definicion de

desigualdad implica m 1>m 3 y m 1>m 4. Esto

2C so m ma

contradice la suposicion que m 1 m 3 y m 1 m 4.

Ejemplo 2:

Determina si utilizando STU VUT,

usando la informacion dada.

S

VJustifica tu respuesta;

1.

2.

3. STU y VUT son angulos rectos

S V

SU VT

si, por el teorema LA.

si, por el teorema HL.

no

Escribe dos columnas con tu prueba:

Dado: STU y VUT son angulos rectos;

.SU VT

Prueba: S V

1. y

2. y VUT

3.

4. STU VUT

5. S V

STU VUT

STU

TU UT

son angulos rectos; . SU VT Dado

y VUT, son angulos rectos; . STU Def

Congruencias de segmentos es reflexiva

Teorema HL

Por lo tanto, son congruentes.

Ejercicio de prácticaEscribe una prueba indirecta.

A 1 2

B

C

: mDad mo 1 2

: Asume que ABC es isosceles con vertice B.

Pr

ueba

1.

2.

3. m 1 = m 2

4. m 2 = m 2 m B

5. ABC

ABC

AB BC

Dado

Por definicion de isosceles.

, .

Los angulos opuestos de un lado de

un triangulo son congruentes

. Def.Contradicion

.No es un triangulo isosceles con vertice en B

REFERENCIA BIBLIOGRAFICAS:

Geometria. (1998). Westerville, OH: Glencoe/McDraw-

Hill.