7/23/2019 Etapas Contracorriente

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CL01_A00_BM_EtapasContracorriente_V0.doc 1 de 16

Balances de Materia - Etapas de Equilibrio

Cascada en contracorriente

Se plantearn los balances de materia que permiten obtener las lneas de operacin.Caso en que la corriente E entra en la etapa 1

Anlisis de la etapa 1El balance de materia total en base libre de soluto se expresa como

' ' ' '

2 0 1 1R E R E+ = + (1)

R = moles libres de soluto de la corriente RE = moles libres de soluto de la corriente E

Balance de materia para el componente A

' ' ' '

2 2 0 0 1 1 1 1R X E Y R X E Y+ = + (2)

X = relacin molar de A en la corriente RY = relacin molar de A en la corriente E

Despejando 1Y en funcin de 2X

'' '

02 11 2 0 1' ' '

1 1 1

ER RY X Y X E E E

= + + (3)

Como en estas variables' '

0 1R R R= = (4)

' ' '

0 1E E E= = (5)

' '

1 2 0 1' '

R RY X Y X

E E= + + (6)

1

E0

y0

E1y1

R1

x1

R4

x4

2

E2y2

R2

x2

3

E3y3

R3

x3

7/23/2019 Etapas Contracorriente

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CL01_A00_BM_EtapasContracorriente_V0.doc 2 de 16

Si la ecuacin de equilibrio es una recta

Y m X b= + (7)

( )Y bX

m

= (8)

Reemplazando las X obtenidas de la ecuacin (8) en la ecuacin (6)

' ' ' '

1 2 0 1' ' ' '

R R R RY Y b Y Y b

E m E m E m E m= + + (9)

' '

1 0 2' '1R R

Y Y YE m E m

+ = + (10)

Definiendo el factor de absorcin como

'

'

RA

E m= (11)

que es la relacin entre la pendiente de la lnea de operacin y la pendiente de la lneade equilibrio.

( )1 0 21Y A Y A Y + = + (12)

( )0 2

11

Y A YY

A

+=

+ (13)

Anlisis de la etapa 2Balance de materia para el componente A

' ' ' '

3 3 1 1 2 2 2 2R X E Y R X E Y+ = + (14)

Despejando 2Y en funcin de 3X

' '

2 3 1 2' '

R RY X Y X

E E= + + (15)

' ' ' '

2 3 1 2' ' ' '

R R R RY Y b Y Y b

E m E m E m E m= + + (16)

7/23/2019 Etapas Contracorriente

3/16

7/23/2019 Etapas Contracorriente

4/16

CL01_A00_BM_EtapasContracorriente_V0.doc 4 de 16

Resumen ***********************************************

Etapa 1

( )0 2

11

Y A YY

A

+=

+ (24)

Etapa 2

( )1 3

21

Y A YY

A

+=

+ (25)

Etapa 3

( )2 4

31

Y A YY

A

+=

+ (26)

Ecuacin General

( )1 1

1N N

N

Y A YY

A

++=+

(27)

Esta ecuacin expresa la composicin de la corriente de salida de una etapa ideal enfuncin de la composicin de las corrientes de entrada a la misma. Las relacionesmolares libres de soluto de las corrientes R se transforman a relaciones molares libres desoluto en la corriente E mediante la recta de equilibrio Y vs. X.

7/23/2019 Etapas Contracorriente

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CL01_A00_BM_EtapasContracorriente_V0.doc 5 de 16

Remocin del soluto

r = Grado de Remocin

Etapa 1

0 11

0

Y Yr

Y

= (28)

Utilizando la ecuacin (24) se puede eliminar la variable Y1 de la ecuacin (28)

( )0 2

0

1

0

1

Y AYY

Ar

Y

+

+= (29)

( )( )0 0 2

1

0

11

Y A Y A Y rY A

+ = + (30)

( )( )

0 2

1

01

A Y Yr

A Y

=

+ (31)

Etapa 2

1 22

1

Y Yr

Y

= (32)

Utilizando la ecuacin (25) se puede eliminar la variable Y2 de la ecuacin (32)

1

E0

y0

E1y1

R1

x1

R4

x4

2

E2y2

R2

x2

3

E3y3

R3x3

1

E0

y0

E1y1

R1

x1

R4

x4

2

E2y2

R2x2

3

E3y3

R3x3

7/23/2019 Etapas Contracorriente

6/16

CL01_A00_BM_EtapasContracorriente_V0.doc 6 de 16

( )1 3

1

21

1

Y A YY

A

r Y

+

+

= (33)

( )

( )1 1 3

2

1

1

1

A Y Y A Yr

A Y

+ =

+ (34)

( )( )

1 3

2

11

A Y Yr

A Y

=

+ (35)

Etapa 3

2 33

2

Y YrY

= (36)

reemplazando la ecuacin (26) en la (36)

( )2 4

2

3

2

1

Y A YY

Ar

Y

+

+= (37)

( )

( )

2 2 4

32

1

1

A Y Y A Y

r A Y

+ +=

+ (38)

( )( )

2 4

3

21

A Y Yr

A Y

=

+ (39)

Resumen Grado de Remocin

Etapa 1

1

E0

y0

E1y1

R1

x1

R4

x4

2

E2y2

R2

x2

3

E3y3

R3x3

7/23/2019 Etapas Contracorriente

7/16

CL01_A00_BM_EtapasContracorriente_V0.doc 7 de 16

( )( )

0 2

1

01

A Y Yr

A Y

=

+ (40)

Etapa 2

( )( )

1 3

2

11

A Y Yr

A Y

=

+ (41)

Etapa 3

( )( )

2 4

3

21

A Y Yr

A Y

=

+ (42)

General

( )( )

1 1

11

N N

N

N

A Y Yr

A Y

+

=

+ (43)

Esta ecuacin expresa el Grado de Remocin de una etapa, en funcin de lacomposicin de las corrientes de entrada a la misma.

7/23/2019 Etapas Contracorriente

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CL01_A00_BM_EtapasContracorriente_V0.doc 8 de 16

Otras formas de relacionar las variables de la corriente E

Etapa 1

( )0 2

11

Y A YYA

+=+

(44)

Utilizando la ecuacin (25) se puede eliminar la variable Y2 de la ecuacin (44)

( )

( )

1 30

1

1

1

Y A YY A

AY

A

++

+=

+ (45)

( )( )

2

0 1 31 21

1A Y AY A YY

A

+ + += +

(46)

( )

( )

( )

2

0 3

1 2 2

11

1 1

A Y A YAY

A A

+ + = + +

(47)

( )

( )

( )

( )

2 2

0 3

1 2 2

1 1

1 1

A A A Y A YY

A A

+ + + = + +

(48)

( )

( )

2

0 3

1 2

1

1

A Y A YY

A A

+ +=

+ + (49)

Etapa 2

( )1 3

21

Y A YY

A

+=

+ (50)

Utilizando la ecuacin (24) se puede eliminar la variable Y1 de la ecuacin(50)

( )

( )

0 23

2

1

1

Y A YA Y

AY

A

++

+=

+ (51)

( )( )( )

0 2 3

2

1

1

1

Y A Y A A Y

AY

A

+ + +

+=

+ (52)

7/23/2019 Etapas Contracorriente

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CL01_A00_BM_EtapasContracorriente_V0.doc 9 de 16

( )

( )0 2 3

2 2

1

1

Y A Y A A Y Y

A

+ + +=

+ (53)

( )

( )

( )0 3

2 2 2

11

1 1

Y A A Y AY

A A

+ + = + +

(54)

( )

( )

( )

( )

2

0 3

2 2 2

1 1

1 1

A A Y A A Y Y

A A

+ + + = + +

(55)

( )

( )

0 3

2 2

1

1

Y A A Y Y

A A

+ +=

+

(56)

( ) ( )

( )

2

0 3

2 2

1 1

1

Y A A Y Y

A A

+ + + =

+

(57)

( )0 32 2

1

1

Y A A Y Y

A A

+ +=

+ + (58)

( )( )

2

0 32 2

1 1

1

Y A A Y Y

A A

+ + + =

+ + (59)

( )( )

0 3

2 2

1

1

Y A A Y Y

A A

+ +=

+ + (60)

Utilizando la ecuacin (72) se puede eliminar la variable Y3 de la ecuacin (60)

( ) ( )

( )( )

2

0 4

0 2 3

2 2

11

1

1

Y A A A Y Y A A

A A AY

A A

+ + ++ +

+ + +=+ +

(61)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 3 2 2

0 0 4

2 2 2 3

1 1 1 1

1 1

A A A Y A A Y A A A A YY

A A A A A

+ + + + + + + + +=

+ + + + + (62)

Etapa 3

( )

2 4

3 1

Y A Y

Y A

+=

+ (63)

7/23/2019 Etapas Contracorriente

10/16

CL01_A00_BM_EtapasContracorriente_V0.doc 10 de 16

Utilizando la ecuacin (60) se puede eliminar la variable Y2 de la ecuacin (63)

( )

( )

0 3

42

3

11

1

Y A A Y A YA A

YA

+ + ++ +

=+

(64)

( ) ( )( ) ( )

2

0 3 4

3 2

1 1

1 1

Y A A Y A A A Y Y

A A A

+ + + + +=

+ + + (65)

( )

( )( )

( )( )

( )

2

0 4

3 2 2

111

1 1 1 1

Y A A A Y A AY

A A A A A A

+ + ++ =

+ + + + + +

(66)

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

0 4

3 2 2

1 1 1 1

1 1 1 1

A A A A A Y A A A YY

A A A A A A

+ + + + + + + =

+ + + + + +

(67)

( )( )( )( )

( )( )( )

2 2

0 4

3 2 2

1 1 1

1 1 1 1

A A Y A A A YY

A A A A A A

+ + + + + =

+ + + + + +

(68)

( )( )

2 3

0 4

3 2 31

Y A A A Y

Y A A A

+ + +

= + + + (69)

( )( )

2 3

0 4

3 2 3

1 1

1

Y A A A Y Y

A A A

+ + + + =+ + +

(70)

( )( ) ( )

2

0 4

3 2

1

1 1

Y A A A Y Y

A A

+ + +=

+ + (71)

( )( )

20 4

3 2 3

1

1

Y A A A Y Y

A A A

+ + +=

+ + + (72)

Resumen

Etapa 1

( )0 2

11

Y A YY

A

+=

+ (73)

Etapa 2

7/23/2019 Etapas Contracorriente

11/16

CL01_A00_BM_EtapasContracorriente_V0.doc 11 de 16

( )( )

0 3

2 2

1

1

Y A A Y Y

A A

+ +=

+ + (74)

Etapa 3

( )( )

2

0 4

3 2 3

1

1

Y A A A Y Y

A A A

+ + +=

+ + + (75)

General

1

0 1

0

0

Ni

N

i

N Ni

i

Y A A Y

YA

+=

=

+

=

(76)

Esta ecuacin expresa la composicin de la corriente de salida de una etapa ideal enfuncin de la composicin de la corriente de entrada RN+1 proveniente de una etapasuperior y la corriente de entrada al sistema Y0.

7/23/2019 Etapas Contracorriente

12/16

CL01_A00_BM_EtapasContracorriente_V0.doc 12 de 16

Etapas 1 y 2

0 212

0

Y Yr

Y

= (77)

Utilizando la ecuacin (74) se puede eliminar la variable Y2 de la ecuacin (77)

( )0 30 2

12

0

1

1

Y A A Y Y

A Ar

Y

+ +

+ += (78)

( ) ( )( )

2

0 0 3

12 2

0

1 1

1

A A Y Y A A Yr

A A Y

+ + +=

+ + (79)

( ) ( )

( )

2

0 3

12 2

0

1 1 1

1

A A Y A A Yr

A A Y

+ + + =+ +

(80)

( ) ( )( )

2

0 3

12 2

01

A A Y Yr

A A Y

+ =

+ + (81)

( ) ( )( )

0 3

12 2

0

1

1

A A Y Yr

A A Y

+ =

+ + (82)

( )( ) ( )( )( )

0 3

12 2

0

1 1

1 1

A A A Y Yr

A A A Y

+ =

+ + (83)

( )( )( )

2

0 3

12 3

0

1

1

A A Y Yr

A Y

=

(84)

1

E0y0

E1y1

R1

x1

2

E2y2

R2x2

R3x3

7/23/2019 Etapas Contracorriente

13/16

CL01_A00_BM_EtapasContracorriente_V0.doc 13 de 16

Etapas 1, 2 y 3

0 3123

0

Y Yr

Y

= (85)

Utilizando la ecuacin (75) se puede eliminar la variable Y3 de la ecuacin (85)

( )( )

2

0 4

0 2 3

123

0

1

1

Y A A A Y Y

A A Ar

Y

+ + +

+ + += (86)

( ) ( )( )

2 3 2 3

0 0 4

123 2 3

0

1

1

A A A Y Y A A A Yr

A A A Y

+ + + + +=

+ + + (87)

( ) ( )( )

2 3

0 4

123 2 3

0

1 1

1

A A A Y Yr

A A A Y

+ + + =+ + +

(88)

( ) ( )( )

2 3

0 4

123 2 3

01

A A A Y Yr

A A A Y

+ + =

+ + + (89)

( ) ( )

( )

2

0 4

123 2 3

0

1

1

A A A Y Yr

A A A Y

+ + =

+ + + (90)

( )( ) ( )( )( )

2

0 4

123 2 3

0

1 1

1 1

A A A A Y Yr

A A A A Y

+ + =

+ + + (91)

( ) ( )( )

3

0 4

123 4

0

1

1

A A Y Yr

A Y

=

(92)

1

E0

y0

E1

y1

R1

x1

R4

x4

2

E2

y2

R2

x2

3

E3

y3

R3x3

7/23/2019 Etapas Contracorriente

14/16

CL01_A00_BM_EtapasContracorriente_V0.doc 14 de 16

Caso General Mltiples Etapas

( )0 101

0

0

1

Ni

Ni

aN Ni

i

A Y Yr

A Y

+=

=

=

(93)

( ) ( )

( )

1

0 1

0

1

0

0

1

1

Ni

N

i

aN Ni

i

A A A Y Y

r

A A Y

+=

=

=

(94)

( )( )( )

0 1

1 1

0

1

1

N

N

aN N

A A Y Yr

A Y

+

+ =

(95)

( )( )( )

0 1

1 1

0

1

1

N

N

aN N

A A Y Yr

A Y

+

+

=

(96)

Resumen Grado de Remocin

Etapa 1

( ) ( )( )

0 2

1 2

0

1

1

A A Y Yr

A Y

=

(97)

Etapas 1 y 2

( )( )( )

2

0 3

12 3

0

1

1

A A Y Yr

A Y

=

(98)

Etapa 1, 2 y 3

( ) ( )( )

3

0 4

123 4

0

1

1

A A Y Yr

A Y

=

(99)

General Etapas 1 a N

( )( )

( )

0 1

1 1

0

1

1

N

N

aN N

A A Y Yr

A Y

+

+

=

(100)

7/23/2019 Etapas Contracorriente

15/16

CL01_A00_BM_EtapasContracorriente_V0.doc 15 de 16

Si se ingresa solvente puro

1 0NX + = (101)

recordando que

1 1N NY m X+ += (102)

En este caso la curva de equilibrio ajustada debe pasar por el origen ya que se estconsiderando un componente puro. La ordenada al origen bdebe ser 0

1 0NY + = (103)

( )( ) ( )

1

1 1 1

1

1 1

N N

aN N N

A A A Ar

A A

+

+ +

= =

(104)

( ) ( )

( )

1

1 1

1 1

1

N

aN N

A Ar

A

+

+

=

(105)

( )

( )1 1

11

1

aN N

Ar

A

+

=

(106)

1

0

11aN N

i

i

r

A=

=

(107)

7/23/2019 Etapas Contracorriente

16/16

CL01_A00_BM_EtapasContracorriente_V0.doc 16 de 16

Relaciones Auxiliares

( ) ( )2 2 31 1 1A A A A A+ + = + + + (108)

( ) ( ) ( )2

2 21 1 1 2 1 1A A A A A A A A A+ + = + + = + = + (109)

( ) ( )2

2 21 1 2 1 1 1A A A A A A A A A+ = + + = + + = + (110)

( )( )2 2 3 2 31 1 1 1A A A A A A A A A+ + = + + = (111)

( )( )2 3 2 3 4 2 3 41 1 1 1A A A A A A A A A A A A+ + + = + + + = (112)

( )( )2 3 41 1 1A A A A A+ + + = (113)

( ) 10

1 1N

i N

i

A A A +

=

=

(114)