ESTUDIO Y OPTIMIZACIÓN DE SENSORES DE MICROONDAS

PARA LA CARACTERIZACIÓN Y MONITORIZACIÓN

DE MATERIALES EN PROCESOS INDUSTRIALES

TESIS DOCTORAL

Beatriz García Baños Directores: José Manuel Catalá Civera

Felipe L. Peñaranda Foix

ÍNDICE.

1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS 2

1.1. Sensores de microondas para la monitorización de

procesos

4

1.2. Objetivos 12

1.3. Estructura de la tesis 15

2. LAS PROPIEDADES DIELÉCTRICAS 22

2.1. La permitividad 25

2.2. La física de las propiedades dieléctricas 27

2.3. Técnicas de medida de las propiedades dieléctricas 31

SECCIÓN A. SENSORES BASADOS EN LÍNEAS

COAXIALES

50

3. MODELOS TEÓRICOS DE LA LÍNEA COAXIAL

ABIERTA EN UN EXTREMO

52

3.1. Principio de funcionamiento 53

3.2. Modelos teóricos 55

3.3. Apertura coaxial con un disco de protección 74

i

ii

4. OPTIMIZACIÓN DE LA SENSIBILIDAD DE UNA

SONDA COAXIAL

80

4.1. Modelo de la sonda coaxial utilizado 82

4.2. Definición de sensibilidad y optimización 83

4.3. Modelo para determinar el α óptimo 93

4.4. Resumen del procedimiento de diseño 102

4.5. Medidas y resultados 104

4.6. Conclusiones 109

5. ANÁLISIS DE UN RESONADOR COAXIAL 114

5.1. El resonador coaxial 114

5.2. Descripción de la celda 117

5.3. Modelo teórico del resonador 121

5.4. Modelo real del resonador 127

5.5. Modelo de la red de excitación 131

5.6. Efecto de la red de excitación 136

6. MÉTODOS DE CORRECCIÓN DEL EFECTO DE LA

RED DE ACOPLO

142

6.1. Acoplo variable. Modelo de A y α 143

6.2. Acoplo fijo. Método basado en el parámetro xe 155

6.3. Obtención del factor de calidad Qu 159

7. EL PROCESO DE CALIBRACIÓN 163

7.1. Tipos de errores de medida 165

Índice

7.2. Calibración de un puerto 166

7.3. Calibración de la sonda coaxial 170

7.4. Calibración con tres resonadores 173

8. APLICACIONES DE LOS SENSORES COAXIALES 180

8.1. Caracterización de materiales 183

8.2. Sensores para aplicaciones de control de humedad 199

8.3. Otras aplicaciones 218

SECCIÓN B. SENSORES BASADOS EN LÍNEAS

PLANARES

233

9. MODELOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS PLANARES 236

9.1. Sensores basados en líneas microstrip 236

9.2. Sensores basados en líneas coplanares 249

9.3. Simulaciones y comparación de las estructuras 258

10. OPTIMIZACIÓN DE UN SENSOR MICROSTRIP

MEDIANTE ESTRUCTURAS EBG

282

10.1. El sensor microstrip 284

10.2. Mejora de la sensibilidad 285

10.3. Definición de la sensibilidad 288

10.4. Topologías del sensor estudiadas 290

10.5. Medidas 291

iii

iv

11. DISEÑO DE UN SENSOR COPLANAR PARA LA

MONITORIZACIÓN DEL PROCESO DE CURADO DEL

POLIURETANO

300

11.1 Introducción. El proyecto MICROSHOE 301

11.2. Procedimiento general de diseño 304

11.3. Diseño de un sensor CPW para monitorización del

curado del PU

313

12. MEDIDAS Y RESULTADOS 330

12.1. El prototipo del proyecto MICROSHOE 331

12.2. Medidas realizadas 333

12.3. Otros prototipos 344

13. CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS 348

ANEXO A. MODELOS TEÓRICOS DE LA APERTURA

COAXIAL Y LA TRANSICIÓN COAXIAL-COAXIAL

362

A.1. Modelo multicapa monomodo 363

A.2. Modelo multicapa multimodo 368

A.3. Modelo de la transición coaxial-coaxial 379

ANEXO B. ALGORITMOS GENÉTICOS 388

B.1. Introducción a los GA 388

B.2. Terminología 390

B.3. Estructura de un GA 391

Índice

B.4. Ejemplo de funcionamiento de un GA 397

LISTA DE ACRÓNIMOS 402

LISTA DE SÍMBOLOS 404

v

1

Capítulo 1

Introducción y Objetivos.

La tecnología de microondas debe su origen al diseño y

desarrollo del radar, y sufrió una enorme expansión durante la

Segunda Guerra Mundial. En las primeras etapas de su desarrollo, la

invención de generadores de microondas como el klystron o el

magnetrón, abrieron la región de frecuencia de los gigahertzios del

espectro electromagnético a los ingenieros de comunicaciones. Las

microondas constituyen sólo una pequeña parte del espectro

electromagnético, pero su uso ha llegado a ser cada vez más

importante en la investigación de las propiedades de materiales.

Cada material posee un conjunto único de características

eléctricas que dependen de sus propiedades dieléctricas, y que

determinan cómo dicho material se va a comportar ante la presencia

de un campo electromagnético. La medida precisa de dichas

propiedades dieléctricas proporciona a los científicos e ingenieros una

información muy valiosa para poder incorporar ese material a su

aplicación, para poder realizar diseños precisos o para poder

monitorizar un determinado proceso y disponer de un mejor control

de calidad [Bru90, Che04, Den73, Kom01].

Así, la caracterización dieléctrica de materiales es esencial para

la adecuada selección e implantación de un determinado material

2

CAPÍTULO 1 para ser utilizado en una aplicación científica, médica o industrial

[Cha90]. En concreto, el conocimiento de las propiedades dieléctricas

de los materiales es necesario para poder evaluar el comportamiento

de guías, lentes, radomos, antenas, resonadores, circuitos, etc [Agi01,

Voe97].

La medida de las propiedades dieléctricas de tejidos biológicos

es crucial en medicina para detección de cáncer, aplicación de

hipertermia y diatermia por microondas, angioplastia, etc.; así como

para realizar estimaciones de la tasa de absorción de la energía

electromagnética en el cuerpo humano, tan de moda ante el aumento

incesante del uso de la telefonía móvil en nuestros días [Ath82, Jai94,

Thu92].

También, para poder mantener el ritmo de expansión de la

tecnología inalámbrica o la industria electrónica, los fabricantes están

desarrollando materiales innovadores que mejoran las capacidades de

los sistemas, y por ello hay una necesidad de conocer de forma

precisa las características eléctricas de estos nuevos materiales

[Bak01, Wei96].

Por otra parte, el conocimiento de las propiedades dieléctricas

es una herramienta muy útil para la investigación de los mecanismos

intermoleculares e intramoleculares de los materiales compuestos. Por

ello, numerosas aplicaciones en el área de procesado por microondas

de alimentos, gomas, plásticos o cerámicas se han visto beneficiadas

del conocimiento de las propiedades dieléctricas [Gan94, Kai93,

Knö01, Wei96].

3

Introducción y Objetivos

Estos datos también se utilizan para realizar de forma

indirecta medidas de otras propiedades de interés como pueden ser la

humedad, la densidad, la temperatura, etc. en aplicaciones sobre

maderas, medicamentos, suelos, productos agrícolas, cementos, etc

[Bak05].

1.1. SENSORES DE MICROONDAS PARA LA

MONITORIZACIÓN DE PROCESOS

Así pues, podemos decir que el estudio preciso de las

propiedades dieléctricas de materiales es muy importante en el

contexto de desarrollo en el que vivimos. Hay una gran cantidad de

aplicaciones en las que es muy útil el conocimiento de las propiedades

dieléctricas de los materiales en unas condiciones estáticas de la

muestra. Sin embargo, estas propiedades dieléctricas se suelen ver

alteradas si el material sufre un determinado proceso. Por ejemplo, en

procesos de secado, las propiedades dieléctricas de los materiales que

se están secando sufren un cambio drástico durante el proceso, puesto

que dichas propiedades están estrechamente ligadas al contenido de

humedad de los materiales. En procesos de curado o reticulación de

materiales, como por ejemplo el curado del poliuretano en el sector

del calzado, los componentes se someten a elevadas presiones y

temperaturas de forma que se produce un cambio en su estructura

molecular, lo que a su vez se refleja en un cambio de sus propiedades

dieléctricas [Fin91, Mij93, She86].

4

CAPÍTULO 1

Se abre así un nuevo campo de aplicación de la tecnología de

microondas, ya que el uso de sensores de microondas que permiten

caracterizar dieléctricamente materiales simultáneamente a la

aplicación de un determinado proceso, proporciona la información

necesaria para poder monitorizar la cinética del proceso y llevar a

cabo nuevas funcionalidades de control de calidad [Nyf00, Rou95].

Esto es posible porque los cambios que se producen en las

propiedades dieléctricas pueden ser correlados directamente con los

principales parámetros del proceso como por ejemplo, porcentaje de

humedad, viscosidad, grado de curado, etc.

Con la introducción de la ISO 9000, el mercado de las medidas

de microondas se ha extendido a una gran variedad de aplicaciones

posibles en diversos campos, como se puede ver en la figura 1.1.

Medidas de materiales – Monitorización de parámetros de calidad

>> ISO 9000 <<

Agricultura Suelos

Cereales

Semillas

Hortalizas

Alimentos Carnes

Frutas

Pan, galletas

Azúcar

Café, Té

Lácteos

Productos

Farmacéuticos

Construcción Cemento

Cerámicas

Ladrillos

Geotecnia

Análisis de estructuras

Industria del Vidrio

Industria Maderera

Industria del Papel

Tratamiento de ResiduosPapel/Textil

Abonos

Cenizas

MetalurgiaFundición

Petróleo, Gas,

Carbón

Industria químicaFertilizantes

Gomas

Combustibles

Pinturas

Láminas

Plásticos

Industria Textil

Equipamientos en Tecnología de

Procesos

Procesos de Secado

Transporte y Almacenamiento

Aplicaciones Médicas

Prótesis

Diatermia

Detección

Aplicaciones Científicas

Medidas de materiales – Monitorización de parámetros de calidad

>> ISO 9000 <<

Agricultura Suelos

Cereales

Semillas

Hortalizas

Alimentos Carnes

Frutas

Pan, galletas

Azúcar

Café, Té

Lácteos

Productos

Farmacéuticos

Construcción Cemento

Cerámicas

Ladrillos

Geotecnia

Análisis de estructuras

Industria del Vidrio

Industria Maderera

Industria del Papel

Tratamiento de ResiduosPapel/Textil

Abonos

Cenizas

MetalurgiaFundición

Petróleo, Gas,

Carbón

Industria químicaFertilizantes

Gomas

Combustibles

Pinturas

Láminas

Plásticos

Industria Textil

Equipamientos en Tecnología de

Procesos

Procesos de Secado

Transporte y Almacenamiento

Aplicaciones Médicas

Prótesis

Diatermia

Detección

Aplicaciones Científicas

Figura 1.1.- Campos de aplicación de los sensores de microondas para

monitorización de procesos industriales.

5

Introducción y Objetivos

El rápido desarrollo de los procesos de automatización

industrial y de ahorro energético ha propiciado una demanda

creciente de sensores para llevar a cabo la monitorización y el control

de los procesos. Los sensores de microondas presentan una serie de

ventajas frente a otro tipo de sensores:

• Al contrario que otro tipo de sensores (por ejemplo los

infrarrojos), las microondas penetran en el interior de los

materiales, y permiten medir las propiedades internas de los

materiales (no sólo en la superficie). Esto es crucial si se

desean medir materiales inhomogéneos, o granulares, o si se

desean obtener medidas representativas de un cierto volumen

de material.

• Las microondas permiten realizar medidas no destructivas y no

invasivas, es decir, sin necesidad de que haya contacto entre el

sensor y el material. Eso supone que se evitan problemas de

fricción de los componentes, desgaste, corrosión,

contaminación, etc.

• Los niveles de potencia de microondas utilizados por los

sensores son muy bajos (del orden de la milésima parte de la

potencia de pico de un teléfono móvil), por lo que no

representan ningún riesgo para las personas y no afectan a los

materiales que se miden.

• Las microondas no alteran ni contaminan el material, tal y

como lo hacen otros métodos tradicionales (adición de

químicos, centrifugación, etc.) de caracterización de materiales.

6

CAPÍTULO 1

• Al contrario que otro tipo de sensores, los sensores de

microondas son relativamente insensibles a factores

ambientales tales como polvo, vibraciones, luz ambiental, etc.

Esto los hace especialmente indicados para su implantación en

entornos industriales.

• Al contrario que con otras técnicas, la velocidad de

propagación de las microondas, así como las elevadas

frecuencias utilizadas (del orden de GHz) permiten realizar

una gran cantidad de medidas en breves intervalos de tiempo.

Esto permite la realización de estadísticas y promedios de las

medidas así como la implantación de funcionalidades de

control en tiempo real.

En cuanto a los factores que en algunos casos han impedido la

rápida implantación a gran escala de los sensores de microondas, se

pueden destacar los siguientes:

• Alto coste y grandes dimensiones de los equipos.

• Prejuicios contra la tecnología de microondas como una

tecnología muy complicada y abstracta.

• Pretensión de utilizar los mismos equipos de laboratorio en

entornos industriales, y necesidad de grandes esfuerzos de

adaptación a los procesos.

• Lentos y costosos procesos de calibración de los equipos.

Algunos de estos obstáculos han sido eliminados gracias a la

utilización de los circuitos integrados de microondas, a los equipos

7

Introducción y Objetivos provenientes de la electrónica militar o espacial, y mediante nuevas

técnicas de telecomunicaciones o computación.

El trabajo realizado en esta tesis pretende resolver algunos de

los problemas anteriores, favoreciendo la implantación a nivel

industrial de los sensores de microondas diseñados, y proporcionando

a la industria un medio eficaz de aumentar su competitividad gracias

a la mejora de la eficiencia en los procesos. En concreto, el estudio

realizado ha permitido diseñar sensores de un tamaño muy

manejable, cuya instalación y flexibilidad logística ha facilitado su

instalación si interferir en los procesos. Se ha potenciado el uso de

equipos de bajo coste, de forma que el sistema completo de medida

tenga un precio final competitivo que no suponga una gran inversión

tal y como ha sucedido tradicionalmente. Como ejemplo, se puede

destacar que se ha propuesto el uso de un reflectómetro de bajo coste

(cuyo precio estimado es de unos 4000 euros) en contraposición al

tradicional Analizador de Redes Vectorial (cuyo precio puede estar

alrededor de los 30.000 euros). Por otra parte, se ha potenciado la

simplicidad del sistema de medida desde el punto de vista del

operario, desarrollando métodos de autocalibración de los equipos, y

favoreciendo el entendimiento de los procesos a través de las

relaciones entre las propiedades dieléctricas de los materiales y las

propiedades de interés en cada caso. Estos son sólo unos pocos

ejemplos que muestran el interés general a lo largo del trabajo

realizado de proporcionar soluciones completas que permitan una

rápida implantación de los sistemas de medida desarrollados en su

destino final, ya sea el laboratorio o la industria.

8

CAPÍTULO 1

La monitorización de las características de materiales es un

problema común en procesos industriales. A menudo, la dificultad del

diseño del sensor se ve incrementada debido a las características del

proceso: el material que se desea medir fluye a lo largo de una

tubería, o se traslada sobre una cinta transportadora, o está

encerrado en un molde sometido a altas presiones y temperaturas

[Nyf00]. Las características deseadas para el sensor que mide un

material varían por tanto dependiendo de la aplicación concreta. En

general, están relacionadas con las características del proceso, las

características de la medida, las limitaciones del espacio, la respuesta

en frecuencia que determina la electrónica de la medida, las

características mecánicas y el coste de fabricación.

Hoy en día hay numerosos métodos de caracterización

dieléctrica de materiales (en condiciones estáticas de la muestra) o de

monitorización de dichas propiedades (si el material está sometido a

un cierto proceso y sus propiedades dieléctricas varían con el tiempo).

En general, un sistema de caracterización dieléctrica de materiales

está formado por varias partes principales (ver figura 1.2):

• Un equipo generador de la señal de microondas.

• El sensor propiamente dicho, que estimula al material que se

desea medir con la señal de microondas proveniente del

generador, y a su vez recoge la respuesta que el material

proporciona. También se denomina celda de medida o cabeza

sensora.

• Un equipo receptor de la señal que proviene del sensor.

9

Introducción y Objetivos

Material StreamForming Unit

Material

MicrowaveSensor

MicrowaveTransducer

Control and SignalProcessing Unit

Other Outputs Other Inputs

Control System Processor

Material StreamForming Unit

Material

MicrowaveSensor

MicrowaveTransducer

Control and SignalProcessing Unit

Other Outputs Other Inputs

Control System Processor

Fig. 1.2. Esquema del sistema de medida con el sensor de microondas, el

transductor y la unidad de procesado y control de señales. Imagen

tomada de [Nyf89].

• Una unidad de procesado de señal que contiene el software

necesario para calcular las propiedades dieléctricas del

material, y que puede incluir las funcionalidades de control

que se deseen (implementación de protocolos de calidad,

umbrales, alarmas, etc.).

Generalmente, las partes generadora y receptora de la señal de

microondas suelen agruparse en un único equipo que incluye además

una red de separación que impide que las señales de ambas partes

interfieran entre sí, este equipo puede ser un Analizador de Redes

Vectorial (VNA), u otro equipo que realice esta función (en general,

se denomina transductor).

Las propiedades dieléctricas de los materiales vienen

determinadas por un parámetro que se denomina permitividad

10

CAPÍTULO 1

Fig. 1.3.- Grupos de técnicas existentes en la actualidad para llevar a

cabo la caracterización dieléctrica de materiales.

''' εεε j−= . La permitividad es una cantidad compleja, cuya parte

real 'ε representa el almacenamiento de energía en el interior del

material, y la parte imaginaria ''ε representa el factor de disipación

de la energía en forma de calor. Como ya se ha dicho, una vez

conocido este parámetro, éste puede utilizarse para determinar otras

propiedades de interés, tales como la humedad, la densidad, la

concentración de algún constituyente; o bien se puede monitorizar su

valor a lo largo de un proceso, como el curado del cemento, el secado

de papel, etc.

Hoy en día, hay numerosos tipos de sensores de microondas.

Pese a la gran diversidad de técnicas de caracterización dieléctrica

que se pueden encontrar en la bibliografía, todas ellas pueden

clasificarse en cuatro grandes grupos. Estos grupos son: técnicas

basadas en circuitos concentrados, técnicas basadas en líneas de

11

Introducción y Objetivos transmisión, técnicas basadas en cavidades resonantes, y técnicas

basadas en la propagación en espacio libre. (Ver figura. 1.3).

Todas las técnicas que se acaban de mencionar, permiten

realizar la caracterización electromagnética de un material en

condiciones estáticas de la muestra. Aunque todas ellas permiten

conocer con mayor o menor precisión las propiedades dieléctricas de

materiales, hay que destacar que, debido a sus características, no

todas las técnicas pueden ser utilizadas para realizar la

monitorización de los materiales durante un proceso industrial.

Así, en esta tesis, se va a centrar el estudio en aquellos

sensores que por sus características son más adecuados para llevar a

cabo la monitorización de materiales en procesos industriales. En

concreto, se pretenden estudiar dos grupos de sensores, por un lado,

los basados en secciones de líneas de transmisión coaxiales (línea

coaxial abierta en un extremo y resonador coaxial abierto) y por otro

lado, los basados en líneas de transmisión planares (microstrip y

coplanar). Ambos grupos de técnicas tienen en común el modo de

propagación de la energía de microondas, en concreto, se trata del

modo TEM (transversal electromagnético).

1.2. OBJETIVOS

El objetivo general de la tesis es realizar el análisis y la

optimización del diseño de sensores de microondas, basados tanto en

guías de onda coaxiales como en circuitos planares, para poder llevar

12

CAPÍTULO 1 a cabo la caracterización dieléctrica de materiales, así como la

monitorización de materiales en procesos industriales.

Los objetivos específicos se pueden resumir en los siguientes

puntos:

• Proporcionar el análisis teórico de dos tipos de sensores:

- Basados en líneas de transmisión coaxiales, con especial

interés en la configuración de línea coaxial abierta en un

extremo, utilizada como línea de transmisión y como

resonador abierto.

- Basados en circuitos planares, en concreto las líneas

microstrip y coplanar, también utilizadas como línea de

transmisión y como resonador abierto.

• Estudiar los parámetros de diseño de los sensores estudiados

en el punto anterior, y aplicar nuevos algoritmos de

optimización de la sensibilidad de dichos sensores.

• Diseñar y fabricar prototipos específicos para la

caracterización y/o monitorización de materiales para diversas

aplicaciones. En concreto se considerarán las estructuras

coaxiales para la caracterización y monitorización de

materiales, y las estructuras planares sólo para la

monitorización de los mismos.

• Realizar una validación experimental en laboratorio, y si

procede, llevar a cabo la adaptación al entorno industrial y

13

Introducción y Objetivos

evaluar in situ el comportamiento del sensor durante el

proceso.

En cuanto a las contribuciones originales que se incluyen en

esta tesis, se pueden destacar las siguientes:

• En primer lugar, el estudio teórico realizado sobre sensores

coaxiales, incluye un método novedoso de análisis de este tipo

de estructuras que combina el análisis multimodal de las

estructuras con una conexión circuital de las distintas

discontinuidades de forma que se obtiene un modelo muy

preciso de este tipo de estructuras.

• Por otra parte, se ha estudiado un nuevo modelo de la red de

excitación de los resonadores coaxiales. Este estudio tiene

como objetivo ampliar el rango de aplicación de este tipo de

sensores, ya que permite modelar los efectos de la red de

acoplo en la respuesta del resonador. Dichos efectos

anteriormente no se podían evaluar, y el estudio realizado

permite eliminar los errores que introducen en las medidas.

• Para el diseño de sensores coaxiales se ha desarrollado un

nuevo método que permite optimizar de forma sistemática la

sensibilidad de dichos sensores en la monitorización de las

propiedades dieléctricas de materiales.

• En cuanto a los sensores basados en tecnología planar, se ha

estudiado la implementación de nuevas estructuras basadas en

patrones periódicos cuya aplicación en sensores de microondas

no ha sido reportada anteriormente en la bibliografía. La

14

CAPÍTULO 1

finalidad de dicho estudio ha sido la mejora de la sensibilidad

de los sensores planares (en particular los microstrip) en la

monitorización de materiales.

• Por último, se han realizado diseños originales y se han

fabricado prototipos de sensores que han permitido utilizar la

tecnología de microondas en diversas aplicaciones novedosas

tanto en el laboratorio como en entornos industriales.

1.3. ESTRUCTURA DE LA TESIS

Con el propósito de alcanzar los objetivos enumerados

anteriormente, la tesis se ha estructurado en una serie de secciones,

capítulos y anexos cuyo contenido se describe brevemente a

continuación.

En el segundo capítulo, se realiza una descripción de lo que

son las propiedades dieléctricas de los materiales, para proporcionar

una primera visión de la relación entre las propiedades microscópicas

de los materiales y las propiedades dieléctricas que se van a

determinar. Asimismo, el capítulo contiene una descripción de los

métodos actualmente disponibles para realizar la caracterización

dieléctrica de materiales en el rango de frecuencias de microondas.

Después del capítulo de introducción teórica a las propiedades

dieléctricas, comienza la sección de la tesis dedicada al estudio de los

sensores basados en líneas de transmisión coaxiales. El capítulo 3

contiene una revisión de los modelos teóricos que proporcionan la

respuesta de la apertura de la línea coaxial abierta en un extremo. De

15

Introducción y Objetivos todos los modelos existentes, se han seleccionado dos como base para

el posterior desarrollo del trabajo de investigación. Dichos modelos se

explican más detalladamente en el Anexo A.

Una vez vistos los modelos teóricos de la línea coaxial abierta

en un extremo, se describe en el capítulo 4 un procedimiento de

diseño de los sensores basados en este tipo de estructuras, de forma

que se optimice su sensibilidad para monitorizar cambios en las

propiedades dieléctricas de materiales.

Posteriormente, en el capítulo 5 se procede a describir el

diseño de un resonador coaxial abierto para caracterización o

monitorización de materiales dieléctricos. Este tipo de resonadores

está formado por un tramo de línea coaxial abierta en un extremo,

como las analizadas en los capítulos anteriores, y en el otro extremo

se coloca un cortocircuito o un circuito abierto, de forma que se

establece una onda estacionaria en su interior, y se convierte así en

una estructura resonante, cuya frecuencia de resonancia y factor de

calidad dependerán de las características del material colocado en el

extremo abierto.

En el capítulo 5 ya se explican los efectos que tiene la red de

excitación sobre la respuesta del resonador coaxial. Por ello, se ha

dedicado el capítulo 6 a describir una serie de métodos cuya finalidad

es modelar y corregir posteriormente dichos efectos de la red de

acoplo.

Cuando se realizan medidas de señales de microondas, todos

los elementos involucrados en la medida – sensor, cables, conectores,

16

CAPÍTULO 1 redes de separación, etc. – introducen efectos en las señales

transmitidas que se traducen en errores de medida. Es por tanto

necesario un proceso de calibración previo a la realización de las

medidas, para poder determinar las características de dichos errores y

poder corregirlos en las medidas posteriores. En el capítulo 7 se

explica el procedimiento de calibración general de medidas en

reflexión, así como un nuevo método de calibración de bajo coste

desarrollado en esta tesis.

Para terminar con la sección de sensores coaxiales, en el

capítulo 8 se resumen aquellas aplicaciones de dichos sensores que se

han considerado más interesantes por su novedad o por el amplio

abanico de posibilidades que han abierto a la utilización de este tipo

de sensores, tanto para la caracterización como para la

monitorización de materiales.

La segunda sección de la tesis trata de la utilización de los

sensores basados en líneas planares para monitorizar las propiedades

dieléctricas de materiales. Comienza en el capítulo 9 con una revisión

de los principales modelos de este tipo de líneas, así como las diversas

estructuras multicapa que se han considerado interesantes, en

concreto, las basadas en líneas microstrip y coplanar.

Tras comprobar que la estructura coplanar posee una mayor

sensibilidad que la microstrip en el seguimiento de las propiedades

dieléctricas de materiales, se propone en el capítulo 10 un método

para mejorar la sensibilidad de los sensores basados en líneas

microstrip, mediante la introducción de estructuras periódicas en el

plano de masa.

17

Introducción y Objetivos

Posteriormente, en el capítulo 11 se describe el procedimiento

de diseño de un sensor coplanar para realizar la monitorización del

proceso de curado del PU, como parte del estudio realizado en un

proyecto europeo denominado “MICROSHOE: Microwave Sensors

For Monitoring Of Polyurethane Injection/Casting Moulding

Processes In The Shoe Industry”. Así, en el capítulo 12 se presentan

los principales resultados obtenidos en el proyecto europeo con la

aplicación del sensor coplanar diseñado.

Finalmente, el capítulo 13 contiene las conclusiones de la tesis

y las líneas futuras hacia las que apuntan los estudios realizados.

Además del Anexo A que, como ya se ha dicho, contiene los

modelos utilizados para los sensores coaxiales y las transiciones

coaxial-coaxial, se ha incluido un Anexo B que describe brevemente el

funcionamiento de los Algoritmos Genéticos utilizados en la

optimización de algunas funciones a lo largo de la tesis.

18

CAPÍTULO 1

Referencias

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21

Capítulo 2

Las propiedades dieléctricas.

Uno de los objetivos principales de esta tesis es diseñar y

construir sensores de microondas para la caracterización de

materiales, es decir, para conocer sus propiedades dieléctricas. La

base de este tipo de medidas es la interacción que se produce entre

los campos electromagnéticos que se propagan y la materia, por eso

es necesario en primer lugar realizar una breve introducción a las

expresiones que rigen el comportamiento del campo electromagnético

al propagarse por un material. Estos temas han sido tratados en

profundidad en numerosos libros y artículos de investigación, como

por ejemplo en las referencias [And64, Bai85, Ble89, Gra96, Hip95a,

Ina00, Kit96, Mon87, Nee95, Ram94, Som85].

La cantidad fundamental con la que vamos a tratar a lo

largo de la tesis es la permitividad. Su símbolo es ε expresada en

F/m. Normalmente se utiliza su valor absoluto dividido por el de la

permitividad del vacío, que es , convirtiéndose

en una cantidad adimensional. Se denomina entonces permitividad

relativa y se expresa como

mF /108542.8 120 ×=ε

rε .

En este trabajo, se van a tratar materiales lineales, es decir,

cuya su respuesta varía linealmente con el campo electromagnético

aplicado. En rangos de intensidad de campo bajos, la mayoría de los

22

CAPÍTULO 2 materiales tienen un comportamiento lineal. En los procesos de

caracterización de las propiedades dieléctricas de materiales,

normalmente se utilizan niveles muy bajos de intensidad de campo,

por lo que se puede asumir que los materiales bajo estudio son

lineales y que el campo electromagnético aplicado no afecta a sus

propiedades dieléctricas [NPL03].

Del mismo modo, se evaluarán las propiedades dieléctricas de

los mismos suponiendo que son isótropos, es decir, que sus

propiedades son las mismas en todas las orientaciones del espacio. En

el caso en que esta condición no se cumpla (mezclas, materiales

compuestos, etc.), lo que implica esta suposición es que se obtiene

una media efectiva de las propiedades dieléctricas del material en el

volumen que se mide [NPL03]. Esta suposición permite trabajar con

la permitividad como un número complejo, y evita tener que

considerar un tensor para representar las propiedades dieléctricas de

los materiales.

Cuando los campos electromagnéticos se manifiestan como

ondas que se propagan a través del material, se pueden definir los

parámetros de propagación. En concreto, se define la impedancia de

la onda en el material η , y la velocidad de la onda en el material v .

Ambos parámetros se calculan directamente a partir de los valores de

permitividad y permeabilidad del material como sigue:

εμη =

(2.1.a)

με1

=v (2.1.b)

23

Las propiedades dieléctricas

Donde ε es la permitividad del material, y μ es la

permeabilidad del material. Con las expresiones anteriores, queda

claro que tanto la permitividad como la permeabilidad, son variables

que definen las propiedades electromagnéticas del material, y que van

a determinar cómo se va a comportar dicho material cuando se le

aplique un campo electromagnético. Los estudios realizados en esta

tesis se centran en el estudio de materiales no magnéticos, es decir, a

partir de ahora se supondrá que la permeabilidad relativa del

material será 1=rμ .

Como describe la ecuación 2.1.a, la permitividad afecta a la

relación existente entre el campo eléctrico y el campo magnético de la

onda que se propaga, es decir, provoca un cambio en la impedancia

de la onda. Cuando una onda llega a la superficie de separación entre

dos materiales de distintas permitividades, el cambio de impedancia

provoca que parte de la onda se refleje en dicha superficie y que parte

de la onda atraviese la superficie de separación y se propague a través

del segundo medio.

Pero la permitividad del material no sólo afecta en el hecho

de que parte de la energía se refleje, sino que la onda que continúa su

propagación por el material, sufre también otros cambios. En primer

lugar, una mayor permitividad provoca que la velocidad de la onda

disminuya, como se puede comprobar en la expresión de la velocidad

de propagación (ecuación 2.1.b). Y debido a esto, una menor

velocidad supone que la longitud de onda en el material es menor

cuanto mayor sea su permitividad.

24

CAPÍTULO 2

Fig. 2.1. Momento dipolar (P) adquirido por el alineamiento de los

dipolos en un material ante la presencia de un campo eléctrico

externo.

2.1. LA PERMITIVIDAD

Los materiales se componen normalmente de partículas con

carga eléctrica dispuestas de tal modo que cualquier región

macroscópica del material es eléctricamente neutra. Cuando se aplica

un campo eléctrico externo sobre el material, dicho campo actúa

ejerciendo una fuerza sobre cada carga individual, y la desplaza

ligeramente de su posición de equilibrio anterior, haciendo que el

material adquiera una determinada polarización (ver figura 2.1). La

polarización adquirida compensa en parte el campo eléctrico del

exterior, haciendo que aparezca un campo eléctrico en el interior del

material. Pues bien, la permitividad es una medida de la capacidad

de polarización del material bajo la acción de un campo externo, es

decir, si el material es fácilmente polarizado o no. La polarización que

se acaba de describir, es la provocada por el alineamiento de los

dipolos del material, que es el fenómeno que predomina en la banda

25

Las propiedades dieléctricas

de microondas [Jon83]. Sin embargo, hay otra serie de mecanismos

que también contribuyen al almacenamiento de la energía en el

material, es decir, que también contribuyen al valor de la

permitividad, y que se verán más adelante.

Como ya se ha visto, la permitividad es una variable

compleja, que se puede escribir como:

)tan1('''' δεεεε −=−= j (2.2)

donde '/'')tan( εεδ = se denomina tangente de pérdidas, y

representa la relación entre la parte real y la imaginaria de la

permitividad.

La parte real de la permitividad o constante dieléctrica 'ε , es

la parte reactiva de la permitividad, es decir, representa una medida

relativa de la densidad de energía electromagnética que se almacena

en el interior del material. El mínimo valor de r'ε es 1, que

corresponde al vacío; el aire posee una constante dieléctrica relativa

de 1.0006 aproximadamente, y el resto de sólidos y líquidos posee una

constante dieléctrica relativa mayor que 1. Su valor depende de

muchos factores diferentes: la densidad, la humedad, la temperatura,

composición, microestructura, etc. Además, también es fuertemente

dependiente de la frecuencia a la que se producen las variaciones del

campo eléctrico al que esté sometido el material.

La parte imaginaria de la permitividad ''ε o factor de

pérdidas, es una medida de lo disipativo que es el medio, es decir, da

una idea de la atenuación que sufrirá la onda que se propague por él.

La pérdida de potencia de la señal se produce porque, a medida que

26

CAPÍTULO 2 el campo se va propagando por el material, la fricción producida por

las cargas internas que se desplazan al ser polarizadas hace que la

energía electromagnética se vaya convirtiendo gradualmente en calor.

El mínimo valor del factor de pérdidas es 0, que corresponde a un

medio sin pérdidas. Este término incluye dos mecanismos diferentes

de pérdidas, los cuales son: las pérdidas por conducción que aparecen

por el movimiento libre de los portadores de carga, cuya magnitud

viene representada por la conductividad σ ; y las pérdidas provocadas

por el comportamiento de los dipolos, o pérdidas dieléctricas ''dε . La

relación entre ambos mecanismos de pérdidas se expresa como:

02''''

επσεεfd += (2.3)

2.2. LA FÍSICA DE LAS PROPIEDADES

DIELÉCTRICAS

Hay distintos mecanismos dieléctricos o efectos de la

polarización que contribuyen a la permitividad total del material

(conducción eléctrica, relajación dipolar, resonancias dieléctricas,

procesos no lineales, etc.) [NPL03]. Esto es debido a que los

materiales contienen diferentes tipos de portadores de carga que

pueden ser desplazados por la acción de un campo eléctrico. Según el

rango de frecuencias, será un mecanismo u otro el que contribuya al

almacenamiento de energía en el material (figura 2.2).

27

Las propiedades dieléctricas

Fig. 2.2. Representación cuantitativa de la parte real e imaginaria de

la permitividad en función de la frecuencia, en la que se muestran los

efectos de los distintos mecanismos de polarización y el rango de

frecuencias en el que típicamente aparecen dichos efectos.

De todos los mecanismos, el que predomina en el rango

frecuencia de las microondas es el de relajación dipolar. La relajación

dipolar se refiere a la respuesta que presentan los dipolos eléctricos

presentes en un material, que tienden a alinearse con la dirección del

campo eléctrico cuando se les aplica un campo electromagnético

alterno. El fenómeno de relajación dieléctrica de un material cuando

se estudia en función de la frecuencia del campo electromagnético

aplicado, tiene una respuesta típica que se muestra en la figura 2.3.

La figura muestra una resonancia en la respuesta dieléctrica del

material directamente relacionada con el fenómeno de relajación

dieléctrica. Este mecanismo se pone en marcha cuando se retira el

campo eléctrico que inducía un fenómeno de polarización en un

material dieléctrico.

28

CAPÍTULO 2

Fig. 2.3.- [NPL03] Respuesta típica de relajación de un material, en

este caso de agua destilada. En este diagrama se omiten el resto de

efectos que contribuyen al factor de pérdidas. La escala logarítmica

demuestra la lenta variación de las propiedades dieléctricas cuando se

debe a un proceso de relajación dipolar.

Dicho material tarda un cierto tiempo en recuperar su desorden

molecular inicial y por ello la polarización va decayendo

exponencialmente con una constante de tiempo τ denominada

tiempo de relajación. La frecuencia de relajación es la inversa del

tiempo de relajación. Cuando la frecuencia a la que varía el campo

eléctrico es menor a la frecuencia de relajación, los dipolos tienen

tiempo suficiente para seguir las variaciones del campo eléctrico, y

por eso la constante dieléctrica adquiere su máximo valor. Esto

significa que toda la energía de la fuente externa se está almacenando

en el material. A medida que la frecuencia se va incrementando, los

dipolos empiezan a ser incapaces de seguir el ritmo de las variaciones

del campo eléctrico, y el momento dipolar se retarda respecto al

rf

29

Las propiedades dieléctricas

Fig. 2.4. Diagrama Cole-Cole de los mismos datos representados en la

Fig 2.3, donde se muestra el valor del factor de pérdidas en función de

la constante dieléctrica.

campo eléctrico. Si la frecuencia sigue aumentando, llega a un punto

en el que la variación del campo es tan rápida que los dipolos son

incapaces de reorientarse según el campo, y dicha polarización deja

de contribuir al almacenamiento de energía en el material. Ello

supone una disminución de la constante dieléctrica del material, así

como un incremento en las pérdidas.

El modelo más simple de la relajación dipolar de un material

fue propuesto por Debye en 1912 [Deb12a, Deb12b], que llegó a la

conocida expresión:

ωτεε

εεj

sr +

−+= ∞

∞ 1 (2.4)

donde ∞ε es el valor al que tiende la constante dieléctrica a

frecuencias muy elevadas, sε es el valor de la constante dieléctrica

estática (DC), ω es la pulsación angular, y τ es el tiempo de

30

CAPÍTULO 2 relajación. La respuesta típica de un material con un único valor de

τ se puede ver en la figura 2.4. En dicha figura se representa en un

diagrama complejo, la parte real de la permitividad en función de la

parte imaginaria. Esta forma de representación se denomina

diagrama Cole-Cole [Col41, Pow93].

La expresión 2.4 modela la permitividad de un material que

tiene un único mecanismo que contribuya a la relajación dipolar. Sin

embargo, numerosos materiales muestran dos o más de estos

mecanismos [NPL03]. Por esta razón, se han desarrollado numerosos

modelos más completos como el de Cole-Cole [Col41], Cole-Davidson

[Dav51], Havriliak-Negami [Hav66], Dissado-Hill [Dis83], y muchos

otros.

2.3. TÉCNICAS DE MEDIDA DE LAS PROPIEDADES

DIELÉCTRICAS

En este apartado se pretende proporcionar una visión general

de las técnicas que se han desarrollado para caracterizar las

propiedades dieléctricas de materiales. Hay un gran número de

fuentes en las que se proporciona información más detallada sobre los

fundamentos teóricos de los distintos métodos, así como comparativas

entre ellos [Afs86, Agi02, And92, Bak01, Bak05, Bak98, Cla06, Che0,

Hew01, Hew93, Hip95a, Hip95b, Jai94, Jen90, Las98, Roh06, Zou90,

Zou92].

Las propiedades descritas hasta ahora, la permeabilidad y la

permitividad, son propiedades intrínsecas de los materiales

31

Las propiedades dieléctricas

dieléctricos. Sin embargo, como ya se ha visto, estos parámetros están

directamente relacionados con las propiedades extrínsecas que

exhiben dichos materiales. Así, los métodos de medida de las

propiedades dieléctricas se pueden dividir en dos grandes grupos

[Agi02, NPL03]:

• Aquellas técnicas de medida en las que las propiedades

dieléctricas se miden como una impedancia Z, o como una

admitancia Y. Este grupo de técnicas recibe el nombre de

métodos basados en circuitos concentrados, y se utilizan para

caracterizar materiales a frecuencias bajas (del orden de MHz).

• Aquellas técnicas en las que se considera que el material

dieléctrico está interactuando con ondas electromagnéticas

estacionarias o que se propagan, agrupados en las denominadas

técnicas de ondas. Engloban aquellas técnicas basadas en la

propagación por líneas de transmisión, y las basadas en la

propagación de la onda por el espacio libre.

Las técnicas pertenecientes a ambos grupos pueden a su vez

ser empleadas en resonadores. Los resonadores son celdas de medida

en las que los campos que hay en su interior están en condición de

resonancia, lo que permite tener una mayor interacción entre la onda

electromagnética y el material, y para determinados materiales, esto

les confiere una mayor sensibilidad que la del resto de métodos.

La elección de una técnica de medida u otra depende de una

serie de factores: El margen de frecuencias en el que se desea

caracterizar el material, el valor esperado de la permitividad, la

32

CAPÍTULO 2

(a) (b)

Fig. 2.5. Esquemas típicos de las celdas de medida en técnicas basadas

en circuitos concentrados. a) Configuración del sistema de medida, b)

Detalle de la celda capacitiva [Che04].

precisión de medida requerida, las propiedades del material (es decir,

homogéneo/mezcla, isotrópico/anisótropo,…), la forma del material

(líquido, sólido, granular, en forma de polvo o lámina), restricciones

en el tamaño de la muestra, medidas destructivas o no destructivas,

etc. A continuación se describen brevemente las principales técnicas

de medida de propiedades dieléctricas de materiales.

2.3.1. MÉTODOS BASADOS EN CIRCUITOS CONCENTRADOS

La característica principal de estos métodos es que utilizan

una capacidad cuyo valor se afectado por la presencia del material

que se desea medir [Agi01]. Normalmente, lo que se hace es colocar

una inductancia junto a la capacidad, de forma que se obtiene un

circuito resonante (ver figura 2.5) [Agi01, Cla06, NPL03]. La medida

de la frecuencia de resonancia y del factor de calidad de dicho

33

Las propiedades dieléctricas

circuito resonante permite obtener los valores de la permitividad del

material. Estas técnicas se basan en el principio de que la longitud de

onda es mucho mayor que las dimensiones de la muestra. Así, se

pueden utilizar expresiones aproximadas muy simples, aunque a su

vez, esto supone una gran limitación de estas técnicas, por lo que

estos métodos se utilizan típicamente hasta 100 MHz (algunos hasta

1 GHz) [NPL03, Che04].

2.3.2. PROPAGACIÓN EN LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

Estas técnicas utilizan el material que se desea medir como

parte de una línea de transmisión, y estudian el comportamiento de

los campos que se propagan por dicha línea. Midiendo el efecto de la

muestra sobre las características de transmisión de la línea o las

reflexiones producidas por la presencia de la muestra, la permitividad

se puede obtener a partir de las ecuaciones conocidas de los

coeficientes de transmisión o de reflexión [Agi03, Agi04, Roh06].

Los principales parámetros involucrados en este caso son los

parámetros de dispersión o parámetros S, que representan la

transmisión y reflexión de la celda de medida tanto en módulo como

en fase, referidos siempre a una impedancia característica. Para poder

llevar a cabo las medidas de los parámetros de dispersión, es

necesario utilizar un equipo como el Analizador de Redes Vectorial

(VNA), que mediante medidas de las ondas de tensión transmitidas y

reflejadas por la celda de medida, permite obtener los parámetros S

tanto en módulo como en fase. En la figura 2.6 se muestra un

diagrama simplificado de un Analizador de Redes Vectorial, en el que

34

CAPÍTULO 2

Fig. 2.6. Diagrama de bloques de un VNA. Imagen tomada de [Agi04]

se pueden ver los distintos bloques de los que está formado: una

fuente generadora de señal de microondas, una red separadora,

receptores, y un procesador que junto con la pantalla permite calcular

y visualizar los resultados.

Los métodos basados en líneas de transmisión se dividen en

métodos de transmisión, y métodos de reflexión. En los métodos de

transmisión, el material se coloca en la celda de medida de tal forma

que la onda lo atraviesa una vez [NPL03]. Se utilizan celdas de dos

puertos (en guía rectangular, coaxial o planar) y se extrae el valor de

permitividad generalmente a partir de la medida del parámetro S21

[Bak90, Bou97, Hew01, Lef96, Wan98, Wei74]. Las líneas coaxiales

presentan la ventaja de cubrir un gran ancho de banda, sin embargo,

las muestras en forma de toroide que se necesitan son difíciles de

mecanizar (ver figura 2.7.a) [Bel86, Bel90, Xu93]. En el caso de las

guías rectangulares, el margen de frecuencias es más estrecho debido

35

Las propiedades dieléctricas

(a) (b)

Fig. 2.7. Ejemplos de configuraciones de medidas en transmisión. A)

Línea coaxial con muestra en forma de toroide, b) Linea microstrip.

Imágenes de [Che04].

(a) (b)

Fig. 2.8. Ejemplos de configuraciones de medidas en reflexión. A)

Línea coaxial abierta en un extremo, b) Línea coaxial terminada en

cortocircuito.

a la aparición de modos superiores, pero las muestras con forma

rectangular son más fáciles de obtener [Bae97, Lau96, Tho97]. En

cuanto a las líneas planares (ver figura 2.7.b), las restricciones en la

36

CAPÍTULO 2 geometría de la muestra dependen del tipo concreto de línea que se

utilice (microstrip, coplanar, stripline, etc.) [Che04].

En los métodos de reflexión, el material se coloca

normalmente al final de la línea de transmisión (la celda tendría un

solo puerto), de forma que la onda pasa a través de él dos veces. La

permitividad del material es extraída entonces a partir de la medida

del parámetro S11 [Che04, NPL03]. Hay configuraciones de medida en

las que la muestra se coloca al final de la línea y antes de un

cortocircuito (ver figura 2.8.b) [Cha86, Che04, Nel73], y hay otras

configuraciones en las que se deja abierto un extremo de la línea, que

es el que se coloca en contacto con el material (ver figura 2.8.a). Un

ejemplo de estas últimas es el de la línea coaxial abierta en un

extremo [Gan94, Hew91, Mis90]. En ese caso, la onda es absorbida

por el material y por tanto la medida de permitividad se basa en la

reflexión producida en la superficie del material debido a la

desadaptación que éste produce en la línea.

2.3.3. PROPAGACIÓN EN ESPACIO LIBRE

A frecuencias superiores a los 3 GHz, es posible medir el

efecto producido por un material sobre una onda que se propaga en el

espacio libre desde una antena a otra (ver figura 2.9) [Agi02, Gho90].

Las muestras de material deben ser suficientemente grandes, de forma

que cubran todo el haz de la señal entre ambas antenas [Jan99]. De

nuevo se necesita información tanto de la amplitud como de la fase

de las señales, y se deben controlar las pérdidas sufridas por la señal

durante el trayecto entre las dos antenas.

37

Las propiedades dieléctricas

(a)

(b)

Fig. 2.9. Técnicas de medida de permitividades mediante la

propagación en el espacio libre. A) Configuración para medidas en

transmisión, b) Configuración para medidas en reflexión.

2.3.4. CIRCUITOS RESONANTES

Los métodos basados en celdas resonantes se utilizan

típicamente para caracterizar materiales de bajo factor de pérdidas.

La celda de medida se suele denominar cavidad o resonador. En este

tipo de técnicas, la constante dieléctrica de la muestra se determina

midiendo el cambio en la frecuencia de resonancia cuando el material

se introduce en la cavidad (o se coloca en contacto con el resonador,

si es abierto) [NPL03]. Por otra parte, el factor de pérdidas del

material se determina a partir de la medida del factor de calidad de

la celda con el material.

Muchas de las celdas de medida utilizadas en las técnicas

descritas anteriormente se pueden modificar para que se conviertan

en cavidades cerradas [Chu07, Nyf00, San05] o en resonadores

abiertos [Poz77, Tho58, Wen67] (ver figura 2.10).

38

CAPÍTULO 2

(a)

(b)

SampleSample

(c)

(d)

Fig. 2.10. Ejemplos de celdas resonantes para la medida de

permitividad. a) Resonador coaxial abierto, b) Cavidad cilindrica split,

c) Cavidad cilíndrica cerrada, d) Cavidad coaxial Split. Imágenes de

[Knö01] y [Che04].

Dependiendo del tipo de celda del resonador, así como de la

forma que tenga la muestra, las ecuaciones necesarias para la

obtención de la permitividad del material se basan en aproximaciones

perturbacionales [Kra92, Men95, Par79, Poh95, Ris71, Rze74] o en

análisis modales más complejos [Hum96, NPL03, Nyf00].

El gran inconveniente de estos métodos está en que la

permitividad del material se obtiene tan sólo en un punto de

39

Las propiedades dieléctricas

frecuencia, que es la frecuencia de resonancia de la cavidad o el

resonador abierto. Para obtener otros puntos en frecuencia, se pueden

utilizar modos resonantes superiores, como en [Bak05].

2.3.5. CONCLUSIONES

La adecuada elección de una de las técnicas descritas en los

apartados anteriores depende de muchos factores. Resulta

fundamental determinar en primer lugar cual es el margen de

frecuencias en el cual deseamos medir las propiedades dieléctricas. La

técnica de placas paralelas resulta válida en un margen de frecuencias

más bajas que el resto de técnicas (entre 1 MHz y 1 GHz), pero más

amplio. Las técnicas de sonda coaxial y línea de transmisión se

pueden emplear en un amplio margen de frecuencias, pero por encima

de 0.1 GHz y las de espacio libre son las que abarcan las frecuencias

más altas (hasta los 100 GHz). Como ya se ha mencionado, el método

de cavidad resonante sólo suministra datos para un valor concreto de

frecuencia.

Los siguientes aspectos a considerar serían el tipo de material

del que vamos a determinar sus características dieléctricas y los

valores estimados de rε . Muchas veces las propiedades del material

determinan la elección. Así, por ejemplo, la técnica de sonda coaxial

es más apropiada para líquidos o semisólidos, de elevado factor de

pérdidas. Las técnicas de transmisión en líneas también se utilizan

cuando el material tiene un factor de pérdidas medio o elevado, ya

que las pérdidas de la propia línea de transmisión enmascaran las

debidas a la muestra si éstas son muy pequeñas. Por otra parte, las

40

CAPÍTULO 2 cavidades resonantes son las más adecuadas para medir materiales

con factores de pérdidas bajos.

La técnica utilizada puede requerir también una mayor o

menor preparación de la muestra para efectuar la medida y,

dependiendo del material, esto puede ser más o menos posible. Así

por ejemplo la técnica de placas paralelas exige una lamina plana y

delgada como muestra. La técnica de línea de transmisión exige una

preparación considerable de la muestra para ser introducida en la

línea (coaxial o guía) que se utilice, frente a la técnica de la línea

coaxial abierta en un extremo, que requiere poca o ninguna

preparación de la muestra, que tan solo debe tener una superficie lisa.

La técnica de cavidad requiere formas muy concretas de muestras,

aunque el uso de resonadores abiertos hace que la forma de la

muestra sea mucho menos restrictiva.

41

Las propiedades dieléctricas

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49

SECCIÓN A

Sensores Basados en Líneas

Coaxiales

En esta sección se describe el análisis, diseño y optimización

de sensores basados en tramos de línea coaxial, tanto en

configuración de línea de transmisión como de resonador. Se

considera la utilización de este tipo de celdas de medida para realizar

la caracterización y la monitorización de las propiedades dieléctricas

de materiales, y al final de la sección se muestran los resultados

obtenidos.

50

51

Capítulo 3

Modelos teóricos de la línea

coaxial abierta en un extremo.

En los métodos basados en medidas de la reflexión, la

permitividad del MUT se obtiene a partir de la reflexión de la onda

producida por la discontinuidad en la impedancia debida a la

presencia de la muestra en la estructura de transmisión. Se pueden

utilizar varios tipos de medidas de reflexión, dependiendo de si se

deja un extremo de la línea radiando en abierto, o si se coloca un

cortocircuito al final de la línea. El tipo de línea de transmisión, así

como la forma en que se coloque la muestra, requieren un algoritmo

específico para poder obtener las propiedades dieléctricas del MUT a

partir de la medida de la reflexión.

De todos los tipos de líneas de transmisión, la línea coaxial es

comúnmente utilizada para realizar la caracterización de materiales

mediante medidas de la reflexión. Una sonda de medida realizada con

un tramo de línea coaxial, presenta una ventaja muy importante

frente a otro tipo de líneas, que es el gran ancho de banda en el que

se puede caracterizar el MUT.

Si la sonda coaxial se deja abierta en un extremo, su amplio

margen de frecuencias de trabajo, se combina con un fácil manejo y

52

CAPÍTULO 3 una gran versatilidad para poder caracterizar todo tipo de materiales

(sólidos, líquidos, láminas, granulares, etc.). Por ello, la sonda coaxial

abierta en un extremo se ha convertido en una técnica muy

interesante para la caracterización y monitorización de materiales en

entornos industriales [Cla93, Che04, Gre93, Hew01, Mos81, Nyf89].

En esta sección de la tesis, el interés se centra en los sensores

basados en la línea coaxial abierta en un extremo (open-ended coaxial

probe). Por ello, se realiza en este capítulo una revisión de los

modelos teóricos de este tipo de línea. De todos los modelos

existentes, se escogieron dos como base para el posterior desarrollo

del trabajo de investigación. Dichos modelos han sido descritos más

detalladamente en el Anexo A.

3.1. PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO

La figura 3.1 muestra una línea coaxial abierta en un extremo,.

Está formada por dos conductores de radios a y b, y entre ellos se

sitúa un dieléctrico de permitividad cε , que puede ser aire. En

general, se considerará que la apertura está rodeada por un plano

metálico infinito (flange), y está en contacto con el MUT, de

permitividad mε .

Las impedancias a ambos lados de la interfaz son diferentes,

por lo que cuando una onda se propaga por la línea coaxial, se

produce una reflexión de parte de la energía al llegar a la

discontinuidad, y dicha reflexión está determinada por las

impedancias que presentan los medios a ambos lados de la interfaz.

53

Modelos Teóricos de la línea coaxial abierta en un extremo

Fig. 3.1. Esquema de la línea coaxial abierta. La línea coaxial tiene dos

conductores de radios a y b, y un dieléctrico de relleno de permitividad

cε . La apertura de la línea está rodeada de un plano metálico (flange) y

se coloca en contacto con el MUT, de permitividad mε .

Debido a que la impedancia de la zona ocupada por el MUT está

directamente relacionada con las propiedades dieléctricas del

material, a partir de la medida de la reflexión en la discontinuidad, es

posible obtener dichas propiedades del MUT.

Tal y como se ha visto en el capítulo 2 (ver ecuación 2.3.a), la

impedancia del MUT está relacionada tanto con la permitividad

como con la permeabilidad, por tanto, en principio podrían

determinarse ambos valores siempre y cuando se realizasen suficientes

medidas independientes de la reflexión. Sin embargo, en la tesis se

consideran materiales no magnéticos, por lo que se realiza una única

54

CAPÍTULO 3 medida de la reflexión, y se determina únicamente la permitividad del

MUT.

3.2 MODELOS TEÓRICOS

En la bibliografía se pueden encontrar numerosos trabajos de

investigación sobre la línea coaxial abierta en un extremo, así como

detalladas revisiones sobre esta técnica [Gre93, Stu80, Pou97, Cla93,

Che04, Gan95].

Las sondas coaxiales han sido ampliamente estudiadas para

caracterizar materiales dieléctricos a frecuencias de microondas. El

sensor se pone en contacto con el material y se mide el coeficiente de

reflexión en la apertura. El principal problema cuando se utiliza una

sonda coaxial es que no existe una expresión analítica que relacione el

coeficiente de reflexión y la permitividad de la muestra. Es necesario

por tanto desarrollar modelos que permitan obtener la respuesta

aproximada de la sonda coaxial. Se trata de obtener una expresión

compleja que relaciona los radios del coaxial, la frecuencia de trabajo

y la permitividad de la muestra con el parámetro S11. Junto a estos

parámetros, tendremos también los efectos de la temperatura,

humedad, densidad del material, etc. lo que provoca variaciones y

errores respecto a las predicciones de los modelos, que son difíciles de

cuantificar.

El problema se reduce en la práctica a obtener expresiones

aproximadas que nos proporcionen el valor del coeficiente de reflexión

(o parámetro S11) en función de los parámetros principales de la

55

Modelos Teóricos de la línea coaxial abierta en un extremo

estructura: los radios interior y exterior de la sonda coaxial, la

frecuencia de trabajo, y la constante dieléctrica compleja del

material. El problema que así se define, se denomina problema

directo, y tiene como finalidad poder predecir la respuesta del

material cuando se le someta al campo electromagnético. Por otra

parte, se debe ser capaz también de obtener la permitividad del

material partiendo de las medidas de S11, y de los datos de la

estructura: los radios del coaxial y la frecuencia de trabajo. Este otro

enfoque se denomina problema inverso, y tiene como finalidad el

poder deducir las propiedades dieléctricas del material, a partir de las

medidas de su coeficiente de reflexión cuando se le ha sometido a un

campo de una determinada frecuencia.

Los modelos que se van a ver a continuación representan la

solución del problema directo, es decir, proporcionan el valor del

coeficiente de reflexión (o la admitancia de entrada del coaxial) en

función de los parámetros de la estructura y del material que se esté

midiendo. La mayoría de ellos consisten en complicadas expresiones

por lo que suele resultar imposible obtener la solución del problema

inverso (es decir, despejar el valor de la constante dieléctrica del

material) analíticamente, por lo que se debe recurrir a métodos

numéricos iterativos para poder resolver el problema inverso. Algunos

modelos más simples, sin embargo, permiten evitar la utilización de

métodos iterativos (que suelen requerir mayores tiempos de

computación), mediante aproximaciones polinómicas de la respuesta

de la sonda, con lo que el problema inverso se reduce a la obtención

de las raíces del polinomio característico de la sonda, lo que reduce

56

CAPÍTULO 3 considerablemente el tiempo de cálculo, aunque también supone una

reducción en la precisión de los resultados. Según las exigencias

prácticas de tiempo y precisión, se escoge el modelo adecuado para la

aplicación en la que se utilizará el sensor coaxial.

En los modelos teóricos que caracterizan la respuesta de la

sonda coaxial, se suele añadir a la estructura del sensor, un plano

metálico infinito que rodea a la apertura. El plano infinito de

conductor perfecto, se añade para facilitar la obtención matemática y

la calculabilidad del modelo de la sonda. Sin embargo, en la práctica

el plano metálico no puede ser infinito, por lo que debe asegurarse

que es lo suficientemente grande como para que la hipótesis de que es

infinito no provoque un error apreciable en las medidas respecto a los

valores obtenidos por el modelo. Por otra parte, el plano metálico

finito puede en sí mismo actuar como un elemento resonante a

determinadas frecuencias, introduciendo errores en las medidas.

Un aspecto que diferencia a los distintos tipos de modelos, es

el hecho de que se puedan considerar varias capas dieléctricas de

materiales distintos, o si sólo consideran una capa dieléctrica de

grosor infinito. El hecho de poder diferenciar entre las distintas capas

y anchuras dieléctricas supone una complicación notable de las

expresiones que modelan la respuesta de la sonda, sin embargo hay

aplicaciones en las que esta capacidad puede ser muy interesante,

incluso imprescindible. Las sondas coaxiales tienen más éxito a la

hora de medir materiales líquidos o maleables, es decir, aquellos

materiales en los que es poco probable que se forme un hueco de aire

entre el material bajo prueba y la superficie del sensor. Con

57

Modelos Teóricos de la línea coaxial abierta en un extremo

materiales sólidos, sin embargo, este hecho es difícil de evitar, y esto

puede provocar grandes errores en las medidas. Sin embargo, el hecho

de poder modelar la respuesta de estructuras de varias capas permite

dejar una capa de aire (o de un líquido [Cla93]) de grosor conocido

entre la sonda y el material. Esto permite tener bajo control la

estructura y la geometría del sistema en el que se realiza la medida,

lo que minimiza la aparición de errores en la caracterización del

material.

A continuación se realiza una breve introducción de los

modelos más importantes que se han ido desarrollando a lo largo de

los años en los que las sondas coaxiales han sido estudiadas por

multitud de autores para su utilización en la caracterización de

materiales.

El modelo más sencillo es el que utiliza un circuito equivalente

con elementos concentrados [Bur80, Stu94, Mis90, Ber96, Lan94,

Stu80] para expresar el coeficiente de reflexión en la apertura del

coaxial como una función de la permitividad de la muestra.

El concepto a partir del cual se desarrolla este modelo se basa

en la aplicación del teorema de modelado de antenas, que relaciona el

cambio en la impedancia de una antena cuando ésta se inserta en un

material, con las propiedades dieléctricas y magnéticas de dicho

material. La expresión matemática de dicho modelo para materiales

no magnéticos es la siguiente:

0

0 ),,(),(η

εωηεω nZZ m = (3.1)

58

CAPÍTULO 3

Donde Z es la impedancia de la antena, ω es la frecuencia

angular, η es la impedancia intrínseca compleja del medio dieléctrico,

mε es la permitividad compleja del medio dieléctrico, 0η es la

impedancia intrínseca del vacío, 0ε es la permitividad del vacío y

0εε mn = es el índice de refracción del medio dieléctrico relativo al

del vacío.

Esta teoría asume que el material en el que se inserta la

antena, es infinito. En la práctica, para que esta condición se cumpla,

basta con que el campo radiado por la sonda esté contenido en su

totalidad dentro del material.

Burdette et al. [Bur80] partieron de una antena formada por

una línea coaxial cuyo conductor interior se introducía una cierta

distancia en el interior del material no magnético (figura 3.2.a), y

obtuvieron la expresión de la impedancia de dicha antena en función

de la permitividad del material. Observaron que cuando la longitud

del monopolo se aproximaba a cero (figura 3.2.b), la radiación de la

antena se hacía despreciable, aunque seguía habiendo campo en la

apertura de la antena.

59

Modelos Teóricos de la línea coaxial abierta en un extremo

Fig. 3.2. Coaxial con el conductor interior a) que penetra en el material

una cierta longitud, b) que no sobresale de la apertura.

Efectivamente, la potencia radiada por un monopolo es función

de la altura de dicho monopolo sobre el plano de masa, que en este

caso, sería la longitud del conductor central de la línea coaxial. Para

el caso del monopolo infinitesimal (o línea coaxial terminada en

abierto) la potencia radiada tiende a cero. Si se expresa la potencia

radiada ( rP ) en función de la corriente I que transporta la línea, y de

la resistencia de radiación rR , tenemos:

rr RIP 2= (3.2)

Se comprueba que cuando la potencia radiada se hace cero, la

parte real de la impedancia (resistencia de radiación) también se hace

cero. Eso significa que la admitancia de la sonda coaxial terminada

en abierto es puramente reactiva:

( ) 00, CjY ωεω = (3.3)

60

CAPÍTULO 3

La expresión anterior es válida cuando la línea acaba en el

espacio libre. Análogamente, haciendo uso de la teoría de modelado

de antenas que se acaba de ver, se puede hallar la expresión de la

admitancia cuando se haya inmersa en un material dieléctrico, que en

ese caso es:

( ) mm CjY εωεω 0, = (3.4)

donde mε es la permitividad del medio dieléctrico.

Como se acaba de ver, este modelo considera despreciable la

potencia radiada por la sonda coaxial, lo cual es una aproximación

válida siempre y cuando las dimensiones de la sonda sean

suficientemente pequeñas, y la longitud de onda sea suficientemente

grande. Esta relación se obtiene al inspeccionar la fórmula de la

potencia radiada:

( )2

2

2222

log)(

34

ababVPr

λπ

ηπ −

= (3.5)

en ella se comprueba que la potencia radiada es inversamente

proporcional a λ4 y directamente proporcional al cuadrado del área de

la apertura. Por lo tanto, este modelo no será válido en el momento

en el que la sonda empiece a radiar una potencia no despreciable,

como se verá más adelante.

Una primera mejora a este modelo de la sonda coaxial basado

en un circuito equivalente con un único condensador, fue la realizada

por Stuchly et al. [Stu80] y Gajda et al. [Gaj83], que añadieron el

efecto capacitivo provocado por la aparición de modos superiores en

61

Modelos Teóricos de la línea coaxial abierta en un extremo

Fig. 3.3. Circuito equivalente de la sonda coaxial abierta. Tramo de línea

de impedancia con los condensadores en paralelo para representar la

respuesta capacitiva de la apertura y el material. 0Z

la cercanía de la apertura. Este término era independiente del

material, y aparecía como un condensador en paralelo en el circuito

equivalente.

Seguían despreciándose las pérdidas por radiación con lo que la

validez del modelo seguía estando restringida a frecuencias a las

cuales las dimensiones eléctricas de la sonda eran lo suficientemente

pequeñas como para que no se produzca radiación y toda la energía

reactiva quede concentrada en los campos cercanos a la apertura. La

expresión final era:

0CjCjY mf ωεω += (3.6)

donde es la capacitancia debida únicamente al coaxial. fC

El principal problema del modelo de equivalentes concentrados

que se había planteado hasta ese momento, era que los diferentes

parámetros involucrados en la ecuación, debían obtenerse a partir de

medidas de dieléctricos ya caracterizados. Misra [Mis87, Sta90]

desarrolla un análisis quasi-estático de la admitancia de la sonda

62

CAPÍTULO 3 coaxial, de forma que obtiene la expresión para los distintos términos

del modelo equivalente.

Misra [Mis87] considera que sólo se propaga el modo TEM por

la línea coaxial, por lo que existe un campo magnético en la dirección

azimutal, Hφ y un campo eléctrico en la dirección radial, Eρ.

Mediante el principio de equivalencia y la teoría de imágenes, obtiene

la expresión del campo magnético en el medio dieléctrico:

∫ ∫−

=b

a

m ddR

jkREj

zHπ

ρφ φρφρρπωε

ρ0

2 '')exp('cos')0,'(),( (3.7.a)

( )22222 'cos'2)'(' φρρρρ −−++= zzR (3.7.b)

022 μεω mk = (3.7.c)

Donde mε es la permitividad del material y ( )0,'ρρE es la

intensidad de campo eléctrico radial en la apertura de la línea

coaxial.

En el interior de la línea coaxial, el campo magnético queda

expresado como suma del campo incidente y las infinitas reflexiones

que se producen en el plano de la apertura:

[ ] ∑∞

=

+Γ−−=1

0 )exp()()exp()exp(),(η

ηηηφ γρρ

ρ zRAzjkzjkAzH cc (3.8.a)

0022 μεεω cck = (3.8.b)

Donde Γ es el coeficiente de reflexión del modo fundamental,

nγ es la constante de propagación, ( )ρnR representa la dependencia

radial del campo magnético, y , son las amplitudes complejas 0A nA

63

Modelos Teóricos de la línea coaxial abierta en un extremo

relacionadas con la componente radial del campo magnético en la

apertura.

Aplica entonces la condición de contorno del campo magnético

tangencial, es decir, iguala ambas expresiones en el plano de la

apertura, y obtiene una expresión para la admitancia similar a la que

Markuvitz [Mar51] ya había proporcionado con anterioridad. El paso

que añade Misra es el de aproximar el campo eléctrico en la apertura

por una función inversamente proporcional al radio ( ) ρρρ /0, 0EE = .

De esta forma, llega a la siguiente expresión simplificada de la

admitancia normalizada en la apertura:

')cos()/ln( 0

2

drdrdR

eabk

jkY

Rjkb

a

b

ac

mm

φφπ

π −

∫ ∫ ∫= (3.9.a)

0022 μεεω mmk = (3.9.b)

Donde R está definido en la ecuación (3.7.b), y en la

(3.8.b). ck

En la expresión anterior, la exponencial del integrando puede

desarrollarse en serie de Taylor, y después se puede realizar una

aproximación quasi-estática y suponer que las dimensiones de la línea

coaxial son mucho menores que la longitud de onda, con lo que se

desprecian los términos de la serie a partir del cuarto término. La

expresión de la admitancia queda entonces simplificada:

( )( ) ( )( ) ( )2/5

2222

30

42

220

3

21

ln12lnln

2mmm

ab

ab

ab

Ij

ab

IjY ε

μπωε

μωε

ω⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −+−= (3.10.a)

64

CAPÍTULO 3

' )cos(0

2 drdrdRIb

a

b

a

nn φφ

π

∫ ∫ ∫ −= (3.10.b)

La expresión anterior es la más completa para el modelo de

equivalentes concentrados, y puede relacionarse término a término

con la formulación utilizada hasta entonces, permitiendo la obtención

analítica de los parámetros Cf, C0 , y añadiendo un nuevo término

que representa las pérdidas por radiación (G0):

02/54

0)( GCjCjY mmf εωωεωω ++= (3.11)

La simplicidad del modelo con equivalentes concentrados

permite una rápida obtención de la permitividad del material a partir

del coeficiente de reflexión en la apertura (de la admitancia en este

caso), aunque para mayores tamaños eléctricos de la sonda el modelo

deja de ser válido debido a la presencia de modos superiores que

obligan a realizar un análisis multimodal para obtener las

capacidades características.

En este modelo se considera sólo la existencia de una única

capa dieléctrica de grosor infinito. Trabajos posteriores [Ala98,

And86, Fan90] ampliaron la expresión al caso de tener una capa de

grosor finito o varias capas. Para ello, utilizaron el mismo

planteamiento que realizó Misra [Mis87], pero requirieron de un

análisis espectral para determinar los campos existentes en las

distintas capas de materiales, aplicando las condiciones de contorno a

los campos tangenciales en las discontinuidades.

La expresión (1) obtenida por Misra permite, como se ha visto,

hacer una expansión en series de la exponencial. La integral se

65

Modelos Teóricos de la línea coaxial abierta en un extremo

convierte entonces en un sumatorio de integrales que tienen la

particularidad de que sólo dependen de la geometría de la sonda, y

que al ser independientes de la muestra dieléctrica, permiten calcular

la admitancia de forma rápida [Bla97]. Si se mantiene un número de

términos relativamente grande, se incluyen los efectos de la radiación

de la sonda cuando las dimensiones eléctricas de la línea coaxial ya

no son pequeñas, por lo que mejora respecto al modelo equivalente de

circuitos concentrados.

A partir de (1) y tras desarrollar la serie de Taylor de la

exponencial, en [Bla97] se obtiene la expresión de la admitancia

normalizada en la que las integrales son independientes del medio

dieléctrico:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−+−⋅

⋅=

...1206

...720242

)/ln(

65

43

27

65

43

2

1

2

IkIkkI

IkIkIkIj

abkk

Y

mmm

mmm

c

mπ

(3.12)

Donde las se calculan mediante la ecuación (3.10.b). Son

las integrales que sólo dependen de la geometría de la sonda. Es

decir, una vez se tienen los datos del coaxial que se va a utilizar, sólo

es necesario calcular dichas integrales una vez, ya que sus valores

permanecerán invariantes aunque cambien las muestras.

nI

La admitancia obtenida con la expresión anterior, introduce un

cierto error debido a que no se tiene en cuenta el efecto de los modos

superiores. Por esta razón, Blackham [Bla97] propone una corrección

posterior sobre el valor de dichas integrales a partir de las medidas de

admitancia de ciertos materiales conocidos. Para ello, se obtienen a

66

CAPÍTULO 3

Fig. 3.4. Modelo de línea de transmisión equivalente. El efecto capacitivo

de la apertura de la línea coaxial se modela mediante un tramo de línea

equivalente cuya longitud ( LΔ ) hay que determinar.

partir de las medidas las integrales In’ que mejor adapten la respuesta

del modelo a la respuesta medida. Posteriormente se obtienen los

parámetros α , β y χ tales que:

))1()1(( 2

10'

−+−+=

nnn

nI

Iχβα

(3.13)

A partir de ese momento, los valores que se utilizan en el

modelo son las Como se puede observar, el hecho de utilizar las

variables

'nI

α , β y χ , permite optimizar todos los parámetros como un

grupo, en lugar de optimizar cada aisladamente. Podría realizarse

una optimización más sencilla utilizando tan sólo la variable nI

α

[Bou99], sin embargo, las otras dos variables dan mayores grados de

libertad a la optimización.

Otro modelo equivalente del sensor, desarrollado por

Gannouchi [Gan89], se basa en una línea de transmisión efectiva que

67

Modelos Teóricos de la línea coaxial abierta en un extremo

modela el campo alrededor de la apertura del coaxial (ver figura 3.4),

asumiendo que en las proximidades de la apertura, lo que se propaga

es un modo quasi-TEM.

La precisión de este método es comparable a la del método de

equivalentes concentrados, y su rango de validez de nuevo se limita a

frecuencias bajas, ya que también desprecia las pérdidas por

radiación. La expresión de la admitancia se simplifica enormemente,

quedando como:

)tan( LjYY ddL β= (3.14)

Donde es la admitancia característica de la línea de

transmisión equivalente, dY

dβ es la constante de propagación en el

material, L es la longitud de la línea de transmisión.

Evidentemente, la obtención de determinados parámetros de la

línea efectiva del modelo se basa en las medidas experimentales de

medios dieléctricos estándares, lo que afecta a la precisión obtenida.

Los modelos anteriores, tienen en común que asumen la

existencia del modo TEM en la apertura, es decir, son monomodo.

Sin embargo, se conoce la existencia de modos superiores reactivos,

cuyos efectos aumentan con la frecuencia. Estos modos superiores

pueden incluso llegar a propagarse por el material. Por lo tanto, los

modelos que desprecian los efectos de los modos superiores en la

apertura están cometiendo un error que irá en aumento con la

frecuencia. Como se ha visto, hay una posibilidad de “incluir” dichos

efectos de los modos superiores en el modelo monomodo realizando

posteriormente una serie de correcciones en la respuesta de la sonda a

68

CAPÍTULO 3 partir de datos experimentales de dieléctricos cuyas propiedades se

conocen [Bla97, Bou99].

Además de las restricciones impuestas por el rango de

frecuencias en el que los efectos de los modos superiores se pueden

considerar despreciables, otro inconveniente de estos modelos es que

sólo analizan el caso de tener una única capa de material en cuyo

interior se encuentran los campos que emergen de la sonda coaxial.

La forma más precisa de modelar el coaxial, es realizar un

análisis multimodo [Bak94, Chi95, Pan01] que tenga en cuenta

explícitamente la contribución de los modos superiores en la apertura.

El método que utiliza Baker [Bak94] permite analizar estructuras de

varias capas, y se basa en plantear las ecuaciones de Maxwell para los

campos a ambos lados de la apertura. Posteriormente, aplica la

transformada de Hankel con respecto a la coordenada radial, de

forma que el problema se reduce a una dimensión. Después se aplican

las conocidas condiciones de contorno a los campos tangenciales en

las discontinuidades y obtiene así la expresión para la admitancia de

la sonda. En estos modelos, más rigurosos que los anteriores, las

expresiones teóricas son exactas, ya que no realizan ninguna

simplificación, aunque en la práctica los cálculos deben considerar un

número de modos finito, por lo que se comete un cierto error al

truncar los sumatorios. Aun así, estos modelos proporcionan la mayor

exactitud, a costa de un mayor tiempo y complejidad en los cálculos.

Stuchly et al. centraron sus esfuerzos en reducir estas

exigencias computacionales sin perder precisión en el cálculo,

69

Modelos Teóricos de la línea coaxial abierta en un extremo

utilizando por ejemplo una función racional [Stu94, Ber96] para

modelar la respuesta de la sonda coaxial:

( )

( )∑ ∑

∑∑

= =

= =

⋅+

⋅

= 4

1

8

0

4

1

8

1

)(1

)(

m q

mqmmq

n p

npmnp

as

as

Yεβ

εα

(3.15)

Donde mε es la permitividad del material, ωσ js += es la

frecuencia compleja, a es el radio interior del coaxial, y npα , mqβ son

los coeficientes del modelo.

Los parámetros anteriores deben obtenerse mediante la

simulación de la respuesta de la sonda frente a varios materiales de

permitividades entre 1 y 80. En el caso de Stuchly [Stu94] los

coeficientes se obtienen analizando la admitancia de la sonda

mediante el método de los momentos, para 56 medios dieléctricos

distintos. Una vez obtenidos dichos parámetros, se puede ver que la

respuesta de la sonda queda como un polinomio en mε , es decir, se

puede obtener una expresión cerrada para resolver el problema

inverso, y no es necesario recurrir a métodos iterativos. Ésta es la

gran ventaja de este método, que es relativamente rápido en la

obtención de la permitividad del material a partir de las medidas de

admitancia, y que además mantiene la precisión en los resultados

porque los coeficientes han sido obtenidos teniendo en cuenta los

efectos de los modos superiores. Las desventajas de este modelo es

que necesita apoyarse en el análisis con el método de los momentos

70

CAPÍTULO 3 para poder obtener los coeficientes del modelo, y que sólo considera el

caso de tener una capa dieléctrica infinita.

Esta cuestión de ampliar los modelos al caso en el que la capa

dieléctrica tenga un grosor finito (y acabe con un plano metálico o

con una capa de aire), o al caso en que haya una multicapa de

dieléctricos bajo la sonda coaxial ha centrado el esfuerzo de muchos

autores. El análisis en estos casos puede realizarse asumiendo que sólo

existe el modo TEM en la apertura [Bak99, And94, Fan90] o

realizando un análisis multimodo para introducir el efecto de los

modos superiores [Bak94, Chi95, Lan93].

En estos casos, el planteamiento del problema es similar al que

realizó Misra para una capa dieléctrica, planteando las ecuaciones

para los campos a ambos lados de la discontinuidad de la apertura.

Sin embargo, debido a que las expresiones del campo en la zona de la

multicapa son más complejas, se suele recurrir a la utilización del

potencial vector para simplificar el cálculo de los campos en la zona

dieléctrica. Además, en el caso de Fan, por ejemplo, el análisis se

realiza en el dominio espectral, sobre las transformadas de Fourier-

Bessel de los campos, lo que simplifica las expresiones. El hecho de

recurrir al análisis espectral es muy común en los modelos que

analizan multicapas de materiales, ya que permiten expresar los

campos en el medio dieléctrico de forma particularmente sencilla.

Finalmente, las ecuaciones planteadas en la región del coaxial y en la

región de la multicapa se igualan en el plano de la apertura,

permitiendo obtener la expresión de la admitancia normalizada de la

sonda.

71

Modelos Teóricos de la línea coaxial abierta en un extremo

En este trabajo, se ha hecho uso de dos modelos de sonda

coaxial principalmente. Se trata del modelo multicapa monomodo

desarrollado por Bakhtiari en [Bak99] y el modelo multicapa

multimodo desarrollado por Baker en [Bak94]. Ambos modelos han

servido como base del estudio de sensores coaxiales realizado en la

tesis, y por ello se han descrito resumidamente en el Anexo A.

A continuación, en la Tabla 3.1, se enumeran las principales

características de los modelos teóricos descritos en este apartado.

72

CAPÍTULO 3

Tabla 3.1. Resumen de los principales modelos teóricos de la apertura

coaxial.

Nombre Modos

considerados

Nº de capas

dieléctricas Referencias

Circuito

Equivalente TEM Monocapa [Bur80, Mis90, Ber96]

Circuito

Equivalente TEM Monocapa [Stu80, Gaj83]

Modelo de

Antena TEM Monocapa [Mar51, Mis87]

Modelo de

Antena TEM Multicapa [Ala98, And86, Fan90]

Polinomial TEM Monocapa [Bla97]

Línea de tx.

Equivalente TEM Monocapa [Gan89]

Análisis

Espectral TEM+TM Monocapa [Bak99, And94, Fan90]

Análisis

Espectral TEM+TM Multicapa [Bak94, Chi95, Lan93]

Func. Racional TEM+TM Monocapa [Stu94, Ber96]

73

Modelos Teóricos de la línea coaxial abierta en un extremo

Fig. 3.5. Esquema de zona de la apertura de la línea coaxial con un disco

dieléctrico de protección. Se realiza un cambio en las dimensiones de los

conductores para que el disco dieléctrico no penetre en el interior de la

cavidad.

3.3. APERTURA COAXIAL CON UN DISCO DE

PROTECCIÓN

Hay múltiples aplicaciones en las que se desea medir un

material líquido o semisólido que puede llegar a penetrar en el

interior de la línea coaxial. Si no existe un dieléctrico de relleno entre

los dos conductores del coaxial, puede colocarse en la apertura de la

línea un disco dieléctrico que evite que los materiales puedan penetrar

en el interior de ésta. Conviene que el material dieléctrico utilizado

para el disco tenga una permitividad lo más pequeña posible, ya que

cuanto más elevada es la permitividad, más se confina el campo

eléctrico en el interior del propio disco, y menos cantidad de energía

llega a interactuar con el MUT, lo que se traduciría en una pérdida

de sensibilidad de la sonda coaxial.

Una forma de colocar dicho disco de protección es la que se

muestra en la figura 3.5. En ella se puede ver cómo se modifican los

radios de los conductores del coaxial en la zona donde se coloca el

74

CAPÍTULO 3 disco, con la finalidad de que éste quede apoyado (o pegado) en la

estructura, y no pueda penetrar al interior de la línea.

La estructura mostrada en la figura 3.5 presenta una

discontinuidad entre dos tramos de línea coaxial con conductores de

diferentes dimensiones y un cambio del material de relleno. Por

tanto, la introducción del disco de protección introduce cambios en la

respuesta de la apertura coaxial que deben modelarse adecuadamente.

En el Anexo A se incluye el modelo de dicha discontinuidad entre dos

coaxiales con conductores de diferentes dimensiones.

75

Modelos Teóricos de la línea coaxial abierta en un extremo

Referencias

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76

CAPÍTULO 3

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77

Modelos Teóricos de la línea coaxial abierta en un extremo

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waveguides”, Trans. Microwave Theory Tech., vol 42, Nº 2 Feb.

1994

79

Capítulo 4

Optimización de la sensibilidad de

una sonda coaxial.

El uso de las microondas en campos tales como las

comunicaciones, la medicina, biología, agricultura o la industria,

requiere de un conocimiento preciso de las propiedades dieléctricas de

los materiales, para poder predecir su comportamiento bajo la

influencia de los campos electromagnéticos. También es necesario en

muchas aplicaciones un seguimiento de las variaciones que se

producen en dichas propiedades dieléctricas cuando el material está

sometido a un cierto proceso. El control continuo de las propiedades

dieléctricas del material permite verificar en tiempo real las

condiciones del proceso. Como ya se ha visto en otros capítulos, una

técnica muy extendida para llevar a cabo esta caracterización o

seguimiento de las propiedades dieléctricas de materiales es la sonda

coaxial abierta en un extremo [And86, And94, Ath82, Bar02, Bla97,

Gan95, Gre93, Lan93, Lan94, Li95, Mis90, Pan01, Stu94]. Este

método ofrece ciertas ventajas frente a otro tipo de técnicas: las

medidas son no-destructivas y requieren un área de material pequeña,

permitiendo obtener la caracterización dieléctrica del material en un

amplio margen de frecuencias.

80

CAPÍTULO 4

Tal y como se ha visto en el capítulo anterior, hay numerosos

modelos que proporcionan la admitancia de la sonda coaxial en

función de las propiedades dieléctricas del material bajo prueba

(MUT) [And94, Bla97, Lan93, Li95, Pan01]. Esta admitancia

depende básicamente de la permitividad del MUT, de los radios de

los conductores de la sonda coaxial, y de la frecuencia de trabajo.

Cuando se diseña una sonda coaxial, es difícil obtener unas

reglas precisas para escoger adecuadamente estos parámetros de

diseño [Lan94]. Algunos criterios de selección del tipo de sonda

coaxial se muestran en [Ath82], pero estos criterios son válidos si la

frecuencia de trabajo es lo suficientemente pequeña como para que se

puedan aplicar los modelos circuitales equivalentes. Otros criterios

(tales como que las sondas pequeñas son más adecuadas para medir

materiales biológicos) se basan en la experiencia práctica más que en

un estudio exhaustivo de las ecuaciones involucradas.

En este capítulo de la tesis, se presenta el trabajo realizado en

el estudio de la sensibilidad de las sondas coaxiales para el

seguimiento de las propiedades dieléctricas de materiales. Como

resultado de este estudio, se establecen una serie de reglas de diseño

generales que permiten obtener la máxima sensibilidad de las sondas

coaxiales diseñadas [Gar04, Gar05].

81

Optimización de la Sensibilidad de una Sonda Coaxial

Fig. 4.1. Geometría de la sonda coaxial abierta radiando sobre una capa

de material dieléctrico semi-infinita.

4.1. MODELO DE LA SONDA COAXIAL UTILIZADO

En este apartado se describe brevemente el modelo de la sonda

coaxial utilizado para el estudio de la sensibilidad. La figura 4.1

muestra una línea coaxial abierta en un extremo. Está formada por

dos conductores de radios a y b, y entre ellos se sitúa un dieléctrico

de permitividad rcε , que puede ser aire. En general, se considerará

que la apertura está rodeada por un plano metálico infinito (flange),

y está en contacto con el MUT, de permitividad rmε .

El análisis teórico de la admitancia de la apertura de una

sonda coaxial abierta que se ha elegido para realizar este estudio es el

desarrollado por Ganchev et al. [Gan95]. Se trata de un modelo

sencillo, que permite obtener la respuesta de la sonda coaxial

considerando únicamente el modo fundamental en el análisis. Se trata

82

CAPÍTULO 4 por tanto de la versión monocapa del modelo desarrollado por

Bakhtiari en [Bak99], y descrito en el punto 1 del Anexo A.

Por tanto, despreciando el efecto de los modos superiores, la

admitancia compleja de la apertura de una línea coaxial abierta

radiando en un material dieléctrico semi-infinito se puede obtener con

la siguiente ecuación, mostrada en [Gan95]:

( ) ( )[ ]∫∞

−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=+=+−

=0

2

20000

ln11 dζ

ζ

aζkJbζkJ

abε

εjbgy

rmrc

rm

ζερρ

(4.1)

gρDonde es el coeficiente de reflexión de la línea coaxial, y

son respectivamente la conductancia y la susceptancia normalizadas

de la apertura, es el número de onda del vacío, J

b

0k 0 es la función de

Bessel de orden 0, rmεζ es la constante de normalización, y es la

permitividad compleja del MUT. Para más detalles, se puede

consultar la referencia [Gan95].

4.2. DEFINICIÓN DE LA SENSIBILIDAD Y

OPTIMIZACIÓN

En este estudio se va a considerar el uso de la sonda coaxial

para realizar un seguimiento de las propiedades dieléctricas de un

material, es decir, se va a considerar que la permitividad del material

va a cambiar de un valor inicial initialε (p.ej. cuando el proceso

comienza) a un valor final finalε (p. ej. cuando el proceso finaliza).

Aplicando la ecuación 4.1 con estos valores de las propiedades

83

Optimización de la Sensibilidad de una Sonda Coaxial

dieléctricas, se obtendrían los siguientes valores para la admitancia de

la sonda coaxial:

1

11 1

1ρρ

+−

=y initialrm εε = para (4.2.a)

2

22 1

1ρρ

+−

=y (4.2.b) finalrm εε = para

Si la sonda coaxial tiene una sensibilidad alta, pequeños

cambios en la permitividad producen cambios grandes en la respuesta

de la sonda. Eso significa que cuando las propiedades dieléctricas del

MUT cambien de initialε finalε a , interesa que los valores del coeficiente

de reflexión 1ρ 2ρ y de la sonda coaxial estén lo más separados

posible.

Por tanto, la sensibilidad de la sonda coaxial puede definirse

como la distancia entre los coeficientes de reflexión (en módulo y fase

por ser números complejos) medidos al principio y al final del proceso

considerado. La expresión de la sensibilidad tal y como se acaba de

definir quedaría como:

( ) ( ) ( ) ( )22221

221 φρφφρρ Δ+Δ=−+−=d (4.3)

La figura 4.2 muestra el criterio elegido para la definición de la

sensibilidad d entre los dos coeficientes de reflexión medidos ( 1ρ y

2ρ ).

84

CAPÍTULO 4

Fig. 4.2. La sensibilidad d ha sido definida como la distancia entre dos

medidas de la magnitud y la fase del coeficiente de reflexión de la sonda

coaxial. Dichas medidas corresponderán a dos estados diferentes del

MUT.

Por tanto, cuando se diseña una sonda coaxial que va a

realizar una monitorización continua de las variaciones de la

permitividad de un material, el objetivo es identificar qué valores de

los parámetros de diseño (dimensiones de la sonda coaxial y

frecuencia de trabajo) son los que maximizan el valor de la

sensibilidad d, tal y como se ha definido en la ecuación 4.3.

Hay otra serie de parámetros como el tamaño del plano

metálico que rodea la apertura coaxial (flange), o el grosor de la

muestra dieléctrica, cuya influencia en la respuesta del coaxial ha sido

investigada por otros autores [Lan94]. Dichos autores proporcionan

las dimensiones mínimas del plano metálico y el tamaño mínimo del

MUT (grosor y anchura en el plano XY) que proporcionan resultados

suficientemente precisos. Se van a escoger estas dimensiones mínimas

85

Optimización de la Sensibilidad de una Sonda Coaxial

como las óptimas en este estudio, y no se van a considerar como

variables del diseño, ya que los valores proporcionados en [Lan94]

representan un buen compromiso entre coste y precisión de las

medidas. Por tanto, no se aplicará la optimización a estos dos

parámetros.

La complejidad de la optimización de la sensibilidad reside en

la función que se desea maximizar (ecuaciones 4.1-4.3), con

interacciones no lineales entre las variables y muchos elementos co-

dependientes. Otros problemas son el tamaño del dominio del

problema y la definición de ciertas restricciones, que se detallarán

más adelante.

Estas consideraciones parecen indicar que los métodos de

búsqueda y maximización tradicionales pueden no ser adecuados para

encontrar la solución óptima en este caso. Por ello, en este problema

concreto, se elige utilizar Algoritmos Genéticos (GA) debido a su

robustez, ya que pueden trabajar con grandes dominios de búsqueda,

son aplicables sin necesidad de conocer las propiedades de la derivada

de la función a optimizar, y porque son capaces de encontrar

múltiples soluciones óptimas [Rah99]. Por tanto, se debe implementar

la función objetivo que se desea maximizar, que en este caso

representa la sensibilidad de la sonda coaxial como se ha mostrado en

la ecuación 4.3.

Pero, como ya se ha dicho, se deben definir también una serie

de restricciones a la función objetivo. Una condición que se debe

añadir a la función de la sensibilidad, es que la frecuencia de trabajo

no debe alcanzar la frecuencia de corte del primer modo superior, el

86

CAPÍTULO 4 TE10, para poder asegurar que sólo se propaga el modo fundamental

(TEM) por la línea coaxial. Otra condición que se impone durante el

proceso de optimización está relacionada con la impedancia de la

línea coaxial. Tal y como se plantea el estudio, se considera que el

radio del conductor interior del coaxial a, es una variable del proceso

de optimización. Entonces, para mantener una impedancia de línea

característica de valor Zc, el radio del conductor exterior b se obtiene

a partir de la conocida expresión de la impedancia de una línea

coaxial:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅=

60exp rccZ

abε

(4.4)

Y a partir de este momento, se considerará que la impedancia

de la línea coaxial es Ω= 50cZ .

Aplicando las condiciones anteriores, se realizó un estudio en el

que la sensibilidad definida en la ecuación 4.3 se maximizó para una

serie de materiales. En concreto, se utilizaron los GA para optimizar

varias líneas coaxiales rellenas de PTFE con las dimensiones de los

conductores y la frecuencia de trabajo como variables de la

optimización. Cada una de las optimizaciones consideraba un

material cuya permitividad inicial y final eran initialε finalε y .

A continuación se resumen los principales parámetros

utilizados en la ejecución de los GA. Para una mayor información

acerca de esta técnica de optimización, se ha incluido un Anexo

(Anexo B) que describe brevemente el funcionamiento de los GA.

o La población tiene 80 individuos.

87

Optimización de la Sensibilidad de una Sonda Coaxial

o La optimización termina tras 100 generaciones (se comprueba

que en la última generación, la desviación típica entre

individuos es baja, es decir, que la mayor parte de la población

ha convergido hacia alguna solución).

o Proceso de Selección: Se aplica una selección geométrica

normalizada (la probabilidad de un individuo de ser

seleccionado para la próxima generación depende del puesto

que ocupa tras ordenar todos los individuos en función de su

fitness). La probabilidad de seleccionar el mejor individuo se

ha fijado al 60%, para evitar convergencias prematuras a

máximos locales.

o Procesos de cruce (Crossover): Se aplican diferentes métodos

en cada generación:

• Cruce aritmético (Combinación lineal de los padres) con

5 pares de individuos

• Cruce heurístico (Extrapolación lineal hacia el padre

con mejor fitness) con 5 pares de individuos y 3

intentos en cada crossover (se queda con los mejores

individuos)

• Cruce simple (Intercambio de variables entre padres)

con 5 pares de individuos.

o Procesos de Mutación: Se aplican diferentes métodos

dependiendo de la generación:

88

CAPÍTULO 4

• Mutación al límite (Se iguala la variable al valor del

extremo del espacio de búsqueda): sobre 4 individuos en

todas las generaciones

• Mutación uniforme (Se iguala la variable a un valor

aleatorio del espacio de búsqueda): sobre 4 individuos

en todas las generaciones

• Mutación no uniforme (El valor escogido tiene una

función de probabilidad con un factor de forma, no es

uniforme): sobre 6 individuos en cada generación, el

factor de forma igual a 3 (es una gaussiana ancha en las

primeras generaciones, pero se estrecha hacia un punto

en las últimas generaciones).

• Mutación múltiple (Se aplica la no uniforme a todas las

variables del individuo): Sobre 4 individuos en cada

generación, con un factor de forma de 3.

Con los parámetros anteriores, la optimización con GA

proporcionaba una solución tras unos 30-40 minutos de tiempo de

cálculo. Algunos resultados del proceso de optimización obtenidos

para diferentes materiales cuyas propiedades dieléctricas están dentro

del rango [1-0j, 100-100j] se muestran en la Tabla 4.1, en la que se

muestran los valores óptimos obtenidos para los parámetros de

diseño, así como el valor de sensibilidad obtenido para cada caso.

89

Tabla 4.1. Parámetros óptimos de las sondas coaxiales obtenidos para varios materiales cuyas

permitividades cambian.

fd

fa *φΔ a b (mm)

initialε ρΔ to finalε (mm) (GHz) (rad) (mm*GHz)

10.74 35.94 1.5783 0.15 0.57 0.58 16.95 1-0j to 2-0j

2.72 9.10 6.2318 0.15 0.57 0.58 16.95

1.39 4.64 6.2972 0.01 0.79 0.79 8.69 5-j to 10-j

2.68 8.96 3.2468 0.01 0.79 0.79 8.69

1.15 3.86 2.9272 0.003 1.05 1.05 3.38 10-10j to 20-20j

0.44 1.47 7.6725 0.003 1.05 1.05 3.38

0.14 80-80j to 100-

100j

0.48 3.5509 0.0006 0.32 0.32 0.51

1.32 4.42 0.3862 0.0006 0.32 0.32 0.51

90

CAPÍTULO 4

A partir de la tabla 4.1, se puede ver que existen múltiples

configuraciones de la sonda coaxial que proporcionan la máxima

sensibilidad d, dados los valores de permitividad inicial y final de un

material.

A pesar de la variedad de dimensiones y frecuencias óptimas

obtenidas, se observa en la tabla 4.1 que el producto af permanece

constante en todas las soluciones óptimas para cada material. Este

resultado se esperaba ya que la frecuencia y las dimensiones se

escalan directamente en las ecuaciones de Maxwell, es decir, las

dimensiones en las que dichas ecuaciones son válidas, son siempre

relativas a la longitud de onda que se aplique. Más comentarios

acerca de este hecho se pueden encontrar en [Gre93] o [And94]. A la

vista de estos resultados, se puede decir que el proceso de

optimización de la sensibilidad puede reducirse a encontrar el valor

óptimo de una única variable af=α .

A partir de la tabla 4.1 puede deducirse también que la

maximización de la sensibilidad es fuertemente dependiente de la

diferencia de fases de los coeficientes de reflexión ( φΔ ), mientras que

la diferencia entre los módulos de los coeficientes de reflexión no tiene

apenas ninguna influencia sobre el valor final de la sensibilidad. Este

hecho es más apreciable para aquellos materiales que tienen valores

altos de la constante dieléctrica y las pérdidas. También se observó

que la diferencia entre los módulos del coeficiente de reflexión sufría

pocos cambios durante el proceso de optimización. Este hecho se

produce porque en general, la sonda coaxial no está adaptada al

MUT. El salto de impedancias en la apertura hace que el módulo del

91

Optimización de la Sensibilidad de una Sonda Coaxial

coeficiente de reflexión esté muy próximo a 1, especialmente cuando

el MUT tiene una constante dieléctrica elevada. Por tanto, las

variaciones que se obtienen en el módulo del coeficiente de reflexión

son pequeñas y la sensibilidad de la sonda coaxial depende casi

exclusivamente de las diferencias de fase obtenidas.

Este hecho permite concluir que el incremento del módulo del

coeficiente de reflexión no es estrictamente necesario en la

maximización de la sensibilidad. Por ello, a partir de este punto se

considerará sólo el incremento de fases en la optimización de la

sensibilidad. Aplicando este nuevo criterio a la ecuación 4.3, la

definición de sensibilidad se reduce a

21 φφφ −=Δ=d (4.5)

A modo de comprobación, se realizó un estudio estadístico de

la robustez de las soluciones óptimas obtenidas por los GA. Lo que se

pretendía era comprobar la variación resultante en los incrementos de

módulo y fase de las soluciones óptimas con pequeñas variaciones de

las variables de diseño obtenidas con los GA. Para ello, se genera

alrededor de las variables óptimas proporcionadas por los GA una

distribución normal con una cierta desviación típica, y se obtuvo el

nuevo valor de los incrementos de módulo y fase del coeficiente de

reflexión. Los errores máximos considerados (por debajo de los cuales

se encuentran el 95% de las muestras de las variables) fueron de 0.5

mm para las dimensiones, y de 1KHz para la frecuencia.

Como resultado de este estudio, se obtuvo que el incremento

de fase podría sufrir un empeoramiento de hasta 1.5º y este

92

CAPÍTULO 4 empeoramiento es mayor cuanto mayor sea la frecuencia de la

solución. En cuanto al incremento de módulo, prácticamente en todos

los casos se produce una mejora de dicha resolución aunque tan sólo

de 0.003 o 0.004. Estas variaciones respecto al valor del óptimo

también son más acusadas en aquellas soluciones con una frecuencia

de trabajo mayor.

Por lo general, se comprobó que las tolerancias de fabricación

(en torno a 0.1 mm) y las derivas en frecuencia de los equipos, no

suponen un problema a la hora de implementar en la práctica las

soluciones de diseño óptimas proporcionadas por los GA.

4.4. MODELO PARA DETERMINAR EL α ÓPTIMO

Se ha demostrado que la sensibilidad de la sonda coaxial para

medir cambios en las propiedades dieléctricas de un material depende

del parámetro α . Tanto el radio del conductor interior del coaxial

como la frecuencia puede elegirse libremente siempre y cuando se

mantenga constante el producto de ambos, que es el parámetro α .

Por tanto, el proceso de diseño de la configuración óptima del

coaxial, se ha reducido a encontrar el valor óptimo de dicho

parámetro. En este apartado, se realiza un análisis matemático de las

ecuaciones involucradas en esta búsqueda. Ello permite obtener una

expresión para calcular el α óptimo dados los valores de

permitividad del MUT initialε finalε y .

La sensibilidad de la sonda coaxial, que se va a maximizar,

corresponde a la ecuación 4.5, con

93

Optimización de la Sensibilidad de una Sonda Coaxial

2,1 para 11

argarg =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧+−

== iyy

i

iii ρφ (4.6)

Sustituyendo af=α , las admitancias se pueden obtener

insertando la ecuación 4.4 en 4.1, quedando: iy

260

exp2

60

11

02

2

00

00

ζζεζ

αζπαζεπ

εε

ρρ

dc

JZ

cJ

Z

y

rm

rcc

rcc

rm

i

ii

∫∞

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

=+−

=

(4.7)

1=i 2=iinitialrm εε = finalrm εε =Donde para , y para .

La sensibilidad d puede expresarse en función del parámetro α

insertando las ecuaciones 4.6 y 4.7 en la ecuación 4.5. Derivando la

ecuación 4.5 respecto a α , igualando a cero la derivada, y aplicando

algunas operaciones algebraicas, se obtiene que la expresión que debe

satisfacer el α óptimo es la siguiente:

0),(),(

),(),(

),(),(),(),(

),(),(),(),(

00

00

0000

0000

=−

−+

+

∫∫

∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∞∞

∞∞

∞∞∞∞

∞∞∞∞

ζαζ

ζαζ

ζαζ

ζαζ

ζαζζαζζαζ

ζαζ

ζαζζαζζαζ

ζαζ

dK

Cd

KC

dK

Cd

KC

dK

AdK

CdK

Cd

KA

dK

AdK

CdK

Cd

KA

fi

if

fifi

ifif

(4.8)

Donde

94

CAPÍTULO 4

[ ] [ ])(')(')()(2),( 3032023020 ζαζαζζαζαζαζ cJccJccJcJA ⋅−⋅⋅−⋅=

( )23020 )()(),( αζαζαζ cJcJC −=

2ζεζ −= initialiK 2ζεζ −= finalfK

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

6050

exp2

02

rc

cc

επ

03

2c

c π=

Y es la velocidad de la luz en el vacío. 0c

Mediante una rutina de minimización (función fminsearch de

Matlab©) se determinó el óptimo valor de α a partir de las

ecuaciones anteriores. La línea coaxial se consideró rellena de PTFE,

y los valores de permitividad inicial y final del MUT se variaron

entre [1-0j, 100-100j], como en el apartado anterior. En la figura 4.3

se muestra el resultado del óptimo α obtenido resolviendo la

ecuación (4.8).

En esta representación el valor de las constantes dieléctricas

inicial y final del MUT varían entre 1 y 25, mientras que el factor de

pérdidas es en todos los casos. Estos valores se escogieron

para la representación porque permiten observar en detalle el hecho

de que existe un máximo valor de

210'' −=rmε

α , que llamaremos cα , que no

puede ser superado ya que esto significaría que en el coaxial estaría

permitida la propagación del primer modo superior TE10.

95

Optimización de la Sensibilidad de una Sonda Coaxial

αFig. 4.3. Valor del parámetro óptimo (mm GHz) versus permitividad

inicial y final del MUT, para un factor de pérdidas constante e igual a

. 210'' −=rmε

Este valor cα puede calcularse a partir de la relación cc af=α ,

donde es la frecuencia de corte del primer modo superior del

coaxial. Efectivamente, si se aplica la ecuación 4.4 a la expresión de

la frecuencia de corte del modo TE

cf

10, se tiene:

rcrccc Za

cf

επε 2))60exp(1(50

+= (4.9)

A partir de la ecuación anterior, y teniendo en cuenta que se

considera una línea coaxial rellena de PTFE ( 1.2=rcε ), se puede

obtener el valor de cα :

9541.16)(*)( == GHzfmma ccα (4.10)

Este resultado concuerda con el observado en la figura 4.3.

96

CAPÍTULO 4

Puede ser conveniente evitar la propagación de modos de

orden superior mediante la definición de un cierto margen de

seguridad entre la máxima frecuencia permitida en la optimización, y

la frecuencia de corte del primer modo superior. Así, se protege la

utilidad de la solución frente a variaciones de la frecuencia de trabajo

provocadas por las oscilaciones de la fuente generadora de la señal de

microondas. Si se desea implementar este margen de seguridad en el

proceso de diseño, el máximo valor que el parámetro α podría

alcanzar sería menor que el obtenido en la ecuación 4.10. Por

ejemplo, si no se desea que la frecuencia de trabajo exceda el 80% de

la frecuencia de corte del modo TE10, se obtendría un

)(8.0)( GHzfmma cc ⋅=α .

En la figura 4.3, también se puede apreciar que el valor del α

óptimo es menor a medida que la constante dieléctrica inicial y final

del MUT aumenta de valor. Esto explica el hecho de que, a una

determinada frecuencia, la sensibilidad de las sondas coaxiales para

caracterizar materiales de alta permitividad es mayor cuanto menor

es el tamaño del coaxial. Esta conclusión cualitativa es a la que han

llegado otros autores en la bibliografía, como se puede ver en [Ath82,

Gre93, Stu94].

Observando la figura 4.3, se puede ver que la forma de la

función representada permite realizar una aproximación polinomial de

forma que se evite calcular el valor del α óptimo resolviendo la

compleja ecuación 4.8. Por tanto, se realizó una interpolación

bidimensional para obtener precisión y rapidez de cálculo. Asumiendo

97

Optimización de la Sensibilidad de una Sonda Coaxial

initialε finalεque se conocen los valores de permitividad del MUT y , la

expresión del óptimo α es la siguiente:

∑ ∑= =

−

− ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅≈

N

m

m

n

nm

final

n

initialnmnc

0 0,

11εε

α (4.11)

Donde representan los coeficientes de los polinomios de

grado N. nmnc −,

A modo de ejemplo, se obtuvieron los polinomios que mejor

ajustaban los valores del α óptimo calculado con la ecuación 4.8

para diferentes valores de permitividad inicial y final del MUT. Los

coeficientes de los polinomios de grados N = 1, 2 y 3

considerando materiales con valores de la constante dieléctrica en el

rango [1,100], y con pérdidas bajas ( ), medias (

nmnc −,

1=′′rmε210−=′′rmε ), y

altas ( 10=′′rmε 10=′′rmε y 0), se proporcionan en la Tabla 4.2 (a), (b)

y (c), respectivamente.

1=NTabla 4.2(a). Coeficientes del polinomio de grado para

la aproximación del parámetro α .

1=′′rmε 10=′′rmε 100=′′rmε210−=′′rmε 00c 2.36 1.74 2.78 6.74

0110 cc = 15.73 19.76 4.24 2.21

98

CAPÍTULO 4

Tabla 4.2(b). Coeficientes del polinomio de grado 2=Npara la aproximación del parámetro α .

100=′′rmε1=′′rmε 10=′′rmε210−=′′rmε 00c 1.92 1.80 1.79 1.41

1001 cc = 11.94 11.03 10.06 7.16 2002 cc = -7.14 -5.61 -5.77 -2.87

128.00 180.63 -6.86 -14.23 11c

Tabla 4.2(c). Coeficientes del polinomio de grado 3=Npara la aproximación del parámetro α .

100=′′rmε1=′′rmε 10=′′rmε210−=′′rmε 00c 1.24 1.53 1.58 2.21

1001 cc = 18.35 14.30 12.55 7.94 2002 cc = -25.94 -13.56 -10.05 -4.77

137.57 171.18 -18.96 -26.32 11c 3003 cc = 14.56 5.92 2.19 0.81

2112 cc = -29.42 -3.65 7.95 13.13

99

Optimización de la Sensibilidad de una Sonda Coaxial

Para poder evaluar la exactitud de las aproximaciones

polinomiales realizadas, en la figura 4.4 se muestra el valor del

coeficiente de correlación lineal de los polinomios de aproximación de

orden N (desde 1 hasta 8), para diferentes valores del factor de

pérdidas del MUT. Dicho coeficiente de correlación lineal ha sido

calculado como:

( ) ( )

( ) ( )∑∑

∑ ∑−−

−−=

ii

ii

i iii

yyxx

yyxxr

22 (4.12)

Donde x e y representan los valores del óptimo α obtenidos

con las ecuaciones 4.8 y 4.11 respectivamente, y yx , son los valores

medios de ambos vectores.

Tal y como se puede ver en la figura 4.4, dado un grado N del

polinomio, el comportamiento de la aproximación polinomial es mejor

para materiales de bajo factor de pérdidas. Además, como es lógico, a

medida que aumenta el grado del polinomio de aproximación, se

obtiene un coeficiente de correlación cada vez mejor. Se puede

concluir la necesidad de utilizar polinomios de grado mayor para

obtener el α óptimo si el MUT que se va a monitorizar presenta

valores de permitividad elevados.

100

CAPÍTULO 4

Fig. 4.4. Coeficiente de correlación lineal versus grado del polinomio de

aproximación del α óptimo. Se observa un mejor comportamiento del

polinomio para MUTs de bajas pérdidas, y cómo al aumentar el grado del

polinomio se obtienen cada vez mejores aproximaciones.

Las incertidumbres en el incremento de magnitud y fase del

coeficiente de reflexión obtenidos, debida a la aproximación

polinomial realizada para calcular α fue calculada para materiales de

constante dieléctrica entre 1 y 100. Dados los valores inicial y final de

la permitividad del MUT, los coeficientes de reflexión inicial y final

correspondientes se obtuvieron mediante la ecuación 4.7. Los errores

se calcularon comparando las desviaciones del coeficiente de reflexión

obtenidas cuando el α óptimo había sido calculado mediante la

ecuación 4.8, y cuando el α óptimo había sido obtenido con la

ecuación 4.11. Los errores resultantes para el incremento en la fase

del coeficiente de reflexión están por debajo de 0.3º y 0.7º para

101

Optimización de la Sensibilidad de una Sonda Coaxial

1=′′rmεfactores de pérdidas del MUT de and 210−=′′rmε

respectivamente, y por debajo de 5º para 10=′′rmε 100=′′rmε and si

5' >initialε 5' >finalε y . Por otra parte, los errores en el incremento de

la magnitud del coeficiente de reflexión estaban por debajo de 0.006,

0.02, 0.035 y 0.058 para materiales con , 1=′′rmε 10=′′rmε210−=′′rmε , y

100=′′rmε respectivamente. El hecho de que la incertidumbre obtenida

en el incremento de la magnitud del coeficiente de reflexión sea del

mismo orden que los valores mostrados para dicho incremento en la

Tabla 4.1 no tiene un efecto apreciable en la sensibilidad final

obtenida. La razón de ello es que la maximización de la sensibilidad

depende fuertemente del incremento de fase del coeficiente de

reflexión, mientras que el incremento del módulo no tiene apenas

influencia sobre el valor final de la sensibilidad, tal y como se ha

visto en apartados anteriores.

Por tanto, se puede concluir que la aproximación polinomial

propuesta para obtener el valor óptimo del parámetro α , permite un

cálculo rápido de los parámetros de diseño de la sonda coaxial con

una buena precisión. Se debe recordar que, si se calcula el parámetro

α utilizando estos polinomios, hay que asegurarse de que el valor

final de α que se vaya a utilizar no exceda el máximo valor

permitido, tal y como se obtuvo en la ecuación 4.10.

4.5. RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO DE DISEÑO

A partir de las expresiones del valor óptimo de α obtenidas en

el apartado anterior, se puede definir lo que sería el procedimiento de

102

CAPÍTULO 4

diseño de una sonda coaxial. Dados los valores de permitividad del

MUT initialε y finalε , el valor óptimo de α se puede calcular mediante

la ecuación exacta 4.8, o mediante la aproximación polinomial 4.11,

tal y como se ha descrito en el apartado anterior. A partir de dicho

valor de α obtenido, el radio del conductor interior del coaxial o bien

la frecuencia de trabajo pueden elegirse libremente. Si el MUT es

muy dispersivo (es decir, su permitividad varía fuertemente con la

frecuencia) es conveniente estimar los valores initialε finalε y a una

determinada frecuencia, y por tanto en este punto del diseño se fijaría

el valor de frecuencia y se obtendría el valor del radio del conductor

interior del coaxial a partir del valor obtenido de α . Por otra parte,

para materiales no dispersivos (por ejemplo ciertos polímeros), la

frecuencia puede considerarse como una variable del proceso de

diseño, dado un valor del radio del coaxial a. Finalmente, el radio del

conductor exterior del coaxial b se obtendría imponiendo una

impedancia de línea igual a 50Ω en el coaxial resultante. Con la

configuración obtenida, se obtiene la máxima sensibilidad del sensor

coaxial para monitorizar el MUT considerado.

El procedimiento de diseño que se acaba de describir fue

aplicado a los pares de valores de initialε finalε y de la figura 4.3. Con

el α óptimo calculado, se aplicó la ecuación 4.7 para obtener los

coeficientes de reflexión inicial y final. Finalmente, la sensibilidad de

los coaxiales fue obtenida con la ecuación 4.5. La figura 4.5 muestra

los resultados obtenidos para la sensibilidad de los coaxiales.

103

Optimización de la Sensibilidad de una Sonda Coaxial

αFig. 4.5. Sensibilidad final obtenida utilizando el valor de óptimo de la

figura 4.3, para materiales con factor de pérdidas . 210'' −=rmε

4.6. MEDIDAS Y RESULTADOS

El procedimiento descrito en el apartado anterior fue utilizado

para determinar los parámetros de diseño óptimos de una sonda

coaxial para monitorizar una serie de materiales. Para cada

experimento, se seleccionaron dos materiales diferentes que

representaban los valores de permitividad initialε finalε y . En un primer

experimento, se realizó el procedimiento de diseño de una sonda

coaxial para medir agua y propanol. Ambos líquidos son altamente

dispersivos, por lo que se eligió una frecuencia fija de 3 GHz durante

el proceso de diseño y se obtuvieron los radios del coaxial óptimos.

Los valores estimados de las permitividades initialε finalε y se tomaron

de [Gre01], y son los mostrados en la Tabla 4.3.

104

CAPÍTULO 4

Tabla 4.3. Constante dieléctrica de los líquidos utilizados

a 3 GHz. Valores de [Gre01].

jinitial 19.1175.76 −=εAgua jfinal 67.214.4 −=εPropanol

Debido a los elevados valores de constante dieléctrica y factor

de pérdidas de los materiales considerados, para calcular el óptimo

valor de α se utilizó un polinomio con N=8 en la ecuación 4.11,

obteniendo 75.3=α , con un coeficiente de correlación lineal por

encima de 0.999. A partir de este valor, se calcularon los radios de los

conductores de la sonda coaxial, dando a=1.25mm, y b=4.2mm,

considerando que la línea coaxial iba a estar rellena de PTFE.

Para poder realizar las medidas, se construyó una sonda

coaxial con las dimensiones obtenidas tras el proceso de diseño, con

un plano metálico alrededor de la apertura (flange) de diámetro igual

a 70 mm. Las dimensiones de dicho plano metálico se escogieron

siguiendo las indicaciones dadas en [Lan94]. Para poder comparar la

sonda diseñada con otras sondas coaxiales comerciales de propósito

general, se realizaron las mismas medidas con la sonda coaxial abierta

HP85070B (a = 0.33 mm, b = 1.5 mm), y con una sonda coaxial

fabricada en el taller del grupo, a partir de una línea coaxial de

dimensiones a = 5 mm, b = 16.25 mm, rellena de PTFE. Se empleó

un analizador de redes vectorial (HP8510C) para realizar las medidas

del coeficiente de reflexión de la discontinuidad entre las sondas

105

Optimización de la Sensibilidad de una Sonda Coaxial

Fig. 4.6. Sensibilidad de diferentes sondas coaxiales midiendo agua y

propanol en un rango de frecuencias.Se observa que a la frecuencia

escogida para el diseño (3 GHz), la sonda que proporciona mayor

sensibilidad es la optimizada por el procedimiento propuesto (sonda 2).

coaxiales y ambos líquidos. Se utilizó el conocido procedimiento de

calibración que incluye medidas con las sondas coaxiales de un

cortocircuito, aire y agua.

La figura 4.6 muestra la comparación de la sensibilidad d en

función de la frecuencia para cada una de las tres sondas coaxiales,

obtenida aplicando la ecuación 4.5 a las medidas del coeficiente de

reflexión del agua y el propanol. A partir de la figura, se puede

concluir que a la frecuencia elegida (3 GHz), la sonda coaxial

optimizada (sonda 2) es la que tiene una mayor sensibilidad.

En un segundo experimento, el proceso de optimización se

aplicó análogamente para obtener la configuración óptima de medida

106

CAPÍTULO 4

Tabla 4.4 Permitividad estimada utilizada en el proceso de diseño.

Utilizada en la

optimización GHzf 1= GHzf 15=

PTFE 1.2=initialε 1.2=rε 1.2=rε

(De [Pan01])

Madera jfinal 205.04.2 −=ε jr 19.05.2 −=ε jr 22.03.2 −=ε

(De [Kab01])

de madera y PTFE. En este caso, los materiales son menos

dispersivos, como se puede ver en la Tabla 4.4. Por tanto, en este

caso se puede fijar el valor del radio del conductor interior del coaxial

a, y determinando la frecuencia óptima de medida. La sonda coaxial

de radios a = 1.25 mm, y b = 4.2 mm fue la utilizada en este caso

para realizar las medidas.

El procedimiento de diseño necesita partir de una estimación

de los valores de permitividad inicial y final del MUT (permitividades

de la madera y del PTFE en este ejemplo). Sin embargo, en este caso

la frecuencia de la medida no se conoce a priori, ya que es

precisamente la variable de diseño. Por esta razón, el valor medio de

la permitividad en el rango de frecuencias considerado para el diseño

[1 GHz, 15GHz] se utiliza como una estimación para el proceso de

diseño. Nótese que esta estimación es válida siempre y cuando los

materiales sean poco dispersivos, que es la hipótesis de partida en

este caso. Por tanto, los valores promedio de las permitividades a 1 y

15 GHz a partir de la Tabla 4.4 se utilizaron como estimaciones de

107

Optimización de la Sensibilidad de una Sonda Coaxial

initialε finalε y . Se empleó una aproximación polinomial del parámetro

α con N = 3 y un coeficiente de correlación lineal superior a 0.999.

En este caso, el valor del α óptimo obtenido era superior al cα de la

ecuación 4.10. Esto significa que la frecuencia proporcionada por el

polinomio era superior a la frecuencia de corte del modo TE10. Por

tanto, y de acuerdo con lo mostrado en la ecuación 4.10, el valor del

α óptimo se fijó a 95.16=α . Fijando entonces el valor del radio a al

de la sonda coaxial elegida (a = 1.25 mm), se obtuvo que la

frecuencia óptima de medida es f = 13.56 GHz.

Se realizaron medidas del coeficiente de reflexión de la sonda

coaxial aplicada sobre PTFE y madera en el rango de frecuencias de

1 a 15 GHz.

La figura 4.7 muestra los incrementos de módulo y fase del

coeficiente de reflexión de ambos materiales. Los resultados

representados muestran que el mayor incremento se produce en la

frecuencia óptima determinada por el proceso de diseño, lo que

confirma la validez del procedimiento propuesto.

También se representa en la misma figura la sensibilidad

calculada esta vez con la ecuación 4.3. De esta forma se pretende

demostrar que se habría obtenido la misma frecuencia óptima de

medida si se hubiese tenido en cuenta el incremento del módulo del

coeficiente de reflexión en la definición de la sensibilidad. Este hecho

justifica la simplificación de la ecuación 4.3 en la ecuación 4.5.

108

CAPÍTULO 4

Fig. 4.7. Sensibilidad, incremento del módulo e incremento de la fase del

coeficiente de reflexión medidos ( ρ ) del PTFE y la madera en función

de la frecuencia. Se puede ver cómo el máximo de sensibilidad de la

sonda se obtiene a la frecuencia determinada por el proceso de

optimización (f=13.56GHz). También se observa que la sensibilidad

depende en mayor medida del incremento de la fase, por lo que se

justifica que no se considere el incremento de módulo en el proceso de

diseño.

4.7. CONCLUSIONES

En este capítulo, se resume el estudio realizado sobre la

sensibilidad de las sondas coaxiales abiertas cuando se utilizan para

monitorizar cambios en las propiedades dieléctricas de materiales. Los

resultados obtenidos han permitido definir un procedimiento de

diseño sistemático de este tipo de sondas coaxiales, que ha sido

publicado en [Gar04, Gar05]. Asimismo, el método puede utilizarse

109

Optimización de la Sensibilidad de una Sonda Coaxial para diseñar sondas coaxiales destinadas a la caracterización de

materiales dieléctricos. Sin embargo, en ese caso, se aconseja que se

realice una representación de la sensibilidad en función de la

frecuencia (como la mostrada en la figura 4.6), para asegurarse de

que la sonda proporciona una buena discriminación a las frecuencias

de interés.

Este estudio ha sido realizado considerando que el MUT es

una capa semi-infinita, pero el procedimiento podría obtenerse

análogamente en el caso de tener una multicapa dieléctrica,

utilizando para ello el modelo multicapa de la admitancia de coaxial.

Los resultados experimentales demuestran la validez del

método propuesto. La maximización de la sensibilidad obtenida al

monitorizar cambios en las propiedades dieléctricas de materiales es

muy interesante en aplicaciones reales de control de procesos.

110

CAPÍTULO 4

Referencias

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111

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112

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admittance model for open-ended waveguides”, IEEE Trans. on

Microw. Theory Tech., Vol. 42, No. 8.

113

Capítulo 5

Análisis de un resonador coaxial.

Una vez se han descrito los modelos teóricos que proporcionan

la admitancia de la apertura de una línea coaxial en contacto con un

material dieléctrico, y el procedimiento de diseño de las dimensiones

óptimas de los conductores del coaxial que proporcionan la máxima

sensibilidad en la respuesta, se procede en este capítulo a describir el

diseño de un resonador coaxial abierto para caracterización o

monitorización de materiales dieléctricos. Este tipo de resonadores

está formado por un tramo de línea coaxial abierta en un extremo,

como las analizadas en los capítulos anteriores, y en el otro extremo

se coloca un cortocircuito o un circuito abierto, de forma que se

establece una onda estacionaria en su interior, y convirtiéndose así en

una estructura resonante, cuya frecuencia de resonancia y factor de

calidad dependerán de las características del material colocado en el

extremo abierto.

5.1. EL RESONADOR COAXIAL

Los resonadores coaxiales son celdas resonantes realizadas a

partir de un tramo de línea coaxial. Hay varias configuraciones

típicas de este tipo de celdas, tal y como se muestra en la figura 5.1.

114

CAPÍTULO 5

Fig. 5.1. Tres estructuras típicas de resonadores coaxiales. A) Resonador

coaxial de media longitud de onda, b) resonador coaxial abierto de cuarto

de longitud de onda, c) resonador coaxial con carga capacitiva.

Tal y como se muestra en la figura 5.1, las celdas coaxiales

resonantes constan de un tramo de línea coaxial terminado en sus dos

extremos mediante cortocircuitos o circuitos abiertos de forma que se

establezca en su interior una onda estacionaria a una cierta

frecuencia. Generalmente, las líneas coaxiales utilizadas deben

trabajar en régimen monomodo, es decir, sólo el modo TEM debe

propagarse por la línea. Para evitar posibles resonancias en la

dirección radial, se debe cumplir que [Che04]

(5.1) min)( λπ <+ ba

Donde a y b son los radios de los conductores interior y

exterior del coaxial respectivamente, y minλ es la longitud de onda

mínima que corresponde a la frecuencia de trabajo máxima.

Como se observa en la figura 5.1.c) en un resonador coaxial de

cuarto de longitud de onda, hay un extremo que tiene un

cortocircuito, mientras que el otro extremo se encuentra abierto. Este

extremo también provoca una reflexión casi total de la señal, por lo

115

Análisis del Resonador Coaxial

Fig.5.2. Distribución de los campos en el resonador coaxial de cuarto de

longitud de onda (n=0). Las flechas muestran la dirección del campo

eléctrico. Los puntos indican la dirección del campo magnético saliente

del papel, mientras que las cruces muestran el campo magnético entrante

al papel. Imagen de [Che04].

que también se crea en su interior una onda estacionaria. Sin

embargo, al estar abierto, permite utilizar la apertura coaxial en

contacto con un material, cuyas propiedades dieléctricas influirán en

la configuración de dicha onda estacionaria, y por tanto, en las

características de la resonancia. Como ya se tiene modelada la

respuesta de la apertura coaxial en contacto con un material

dieléctrico, se procede a extender el análisis de las celdas de medida

coaxiales al caso de tener un resonador de este tipo.

De acuerdo con las condiciones de contorno descritas, se tiene:

,...2,1,02

)12( =+= nnL πβ (5.2)

Donde L es la longitud del resonador. Por tanto, la relación

entre la longitud de onda a la frecuencia de resonancia y la longitud

del resonador es:

116

CAPÍTULO 5

Fig. 5.3. Configuración de la cavidad coaxial que se pretende diseñar. En

ella se aprecia la distribución del campo eléctrico (E) en el interior, así

como la colocación teórica de la sonda de excitación.

,...2,1,04

)12( =+= nnL λ (5.3)

La ecuación 5.3 indica que la longitud del resonador debe ser

un número impar de cuartos de longitud de onda. De esta forma, la

distribución de los campos eléctrico y magnético en la estructura es la

que se muestra en la figura 5.2, con un máximo de campo eléctrico en

la zona próxima a la apertura.

5.2. DESCRIPCIÓN DE LA CELDA

La celda coaxial resonante que se pretende diseñar es la

mostrada en la figura 5.3. En ella se aprecian las dimensiones de los

conductores a y b, así como el dieléctrico de relleno de la línea, que

117

Análisis del Resonador Coaxial

(b) (a)

(d) (c)

Fig. 5.4. Diferentes redes de excitación de la cavidad. (a),(b),(d) son

espiras que excitan el campo magnético del modo TEM, y (c) es una

sonda coaxial que acopla la energía al campo eléctrico.

será aire (ε =εrc 0). La longitud de la cavidad es L, y tal y como se

puede apreciar en la figura 5.3, se elige una frecuencia de resonancia

tal que la longitud de la línea a esa frecuencia sea 4/3λ . Esto se ha

elegido así para que a una frecuencia de resonancia en torno a los 2

GHz, el tamaño de la cavidad sea manejable (una estructura en 4/λ

resultaría pequeña y presentaría dificultades para poder incluir la red

de excitación).

En la figura 5.4, se muestran diferentes formas de excitar la

cavidad. En (a), (b) y (d) se pueden apreciar tres configuraciones

diferentes en las que el conductor central de la línea de excitación se

cierra para formar una espira. De esta forma, se obtiene el

equivalente a un dipolo magnético, y se excita en la cavidad el modo

118

CAPÍTULO 5 TEM resonante. En (c), sin embargo, la red de excitación está

formada por una sonda eléctrica. Se implementa mediante una línea

coaxial cuyo conductor central se prolonga penetrando en el interior

de la cavidad, mientras que el conductor exterior hace contacto con

la pared de la cavidad, para mantener el contacto entre las masas.

Una vez analizadas las distintas opciones, se decidió implementar la

red de excitación 2(c), por su simplicidad de fabricación.

En la Figura 5.5 se muestra la configuración elegida. Consta

de una línea coaxial cuyo conductor interior penetra en la cavidad

acercándose al conductor interior de la cavidad, de forma que cuanto

más cerca está de éste, mayor es la energía acoplada en la cavidad.

La distancia de separación entre la sonda eléctrica y el conductor

central de la cavidad (ver Fig. 5.6) se denominará gap a partir de

ahora.

Fig. 5.5. Configuración de la sonda de excitación de la cavidad coaxial.

Se trata de una línea coaxial cuyo conductor interior penetra en la

cavidad resonante, mientras que el conductor exterior queda en contacto

con la pared de la cavidad, para que ambas estructuras compartan la

misma masa.

119

Análisis del Resonador Coaxial

Fig. 5.6. Posición teórica de la sonda de excitación en la cavidad en

vacío. Para excitar el modo resonante se coloca la sonda en un punto de

máximo campo eléctrico. La cantidad de energía acoplada a la cavidad

depende de la distancia denominada gap.

Una vez elegida la sonda de excitación, la posición que debería

tener la sonda para excitar el campo eléctrico, sería a λ/4 (L/3) del

cortocircuito, ya que esa es la posición del máximo de campo E (Ver

Fig. 5.3). Sin embargo, en la práctica, al colocar un MUT (cuya

permitividad es mayor que la del vacío) en el extremo de la cavidad,

el campo eléctrico tiende a confinarse en el MUT, lo que provoca una

deformación de la distribución del campo que hace que el máximo de

campo se desplace hacia la muestra. Por esa razón, no se coloca la

sonda eléctrica en la posición teórica, sino desplazada hacia la

muestra. En concreto, se sitúa la sonda en el centro de la cavidad (a

L/2 del cortocircuito).

120

CAPÍTULO 5

Fig. 5.7. Modelo teórico de la cavidad en el que se ha dividido la

estructura en tres tramos caracterizados por su matriz S. Definición de

parámetros S a derecha e izquierda para la implementación de la

condición de resonancia.

5.3. MODELO TEÓRICO DEL RESONADOR

El modelo teórico de la cavidad describe las frecuencias de

resonancia descargadas, es decir, sin tener en cuenta el efecto de la

red de excitación. Para llevar a cabo dicho modelo, se sigue el

esquema de la figura 5.7 En ella se puede observar que la cavidad se

ha dividido en varios tramos. Cada tramo está caracterizado con su

matriz de parámetros S, y la conexión en cascada de las diferentes

matrices S permite obtener la respuesta de la estructura.

Como se puede ver en la figura 5.7, se modela un primer tramo

de línea coaxial de longitud L, en primer lugar se obtiene su

admitancia y posteriormente se obtiene su matriz de parámetros S

121

Análisis del Resonador Coaxial multimodal. Un segundo paso es obtener la matriz S de un

cortocircuito. Una vez obtenidas las dos matrices S anteriores, se

procede a realizar la conexión de ambas matrices y se obtiene lo que

llamaremos matriz Sder o la admitancia yder, por representar la red

existente a la derecha de la interfaz entre cavidad y MUT.

Por otra parte, se obtiene la caracterización de la apertura de

un coaxial a un material dieléctrico de una o varias capas (el MUT).

Para ello, se utiliza el modelo teórico desarrollado por Baker-Jarvis

en [Bak94], y descrito en el Anexo A de la tesis, que proporciona la

matriz S multimodal de dicha discontinuidad. Así, disponemos de la

matriz que llamaremos Sizq, y la admitancia yizq, que representa la red

a la izquierda de la interfaz entre cavidad y MUT.

Gracias a la potencia de este método de análisis en el que cada

tramo se modela como una red obteniendo su matriz de parámetros S

multimodal, y en el que posteriormente se conectan circuitalmente en

cascada los distintos tramos para obtener la respuesta total de la

estructura, es posible modelar numerosas configuraciones de medida.

Como ejemplo, se muestran en la figura 5.8 diferentes configuraciones

que pueden ser de interés como celdas de medida para otras

aplicaciones. Así, se puede obtener la frecuencia de resonancia de la

cavidad en el caso en que esté terminada en una guía cilíndrica al

corte rellena de un material (por ejemplo, para medir líquidos) y con

un radio diferente al de la cavidad, o se puede simular el caso en el

que los radios del coaxial se modifiquen en la zona de la apertura

(por ejemplo para confinar el campo en una pequeña zona alrededor

de la apertura). Para ello, se deben implementar los modelos teóricos

122

CAPÍTULO 5

a) b)

c) d)

Fig. 5.8. Otras configuraciones de celdas de medida alternativas que

podrían ser analizadas mediante la conexión circuital de las matrices de

dispersión multimodales que caracterizan los diferentes tramos. a) y b)

celda coaxial terminada en una guía cilíndrica al corte. C) y d) celdas

coaxiales con variación de las dimensiones de los conductores en la zona

de la apertura.

adecuados para obtener la matriz de dispersión característica en cada

caso. De cualquier forma, lo que se obtendría es una matriz Sizq

distinta, quedando el resto del modelo teórico igual.

123

Análisis del Resonador Coaxial

Una vez se tienen las matrices multimodales Sder y Sizq (o las

admitancias equivalentes), se puede calcular la frecuencia de

resonancia teórica de la cavidad realizando un proceso de

minimización que busque la frecuencia a la que se cumpla una de las

siguientes condiciones:

1=⋅ izqder SS (5.4.a) 0 =+ izqder yyimag (5.4.b)

0)( =+ izqder yyabs (5.4.c)

La frecuencia de resonancia es una magnitud compleja, que

permite obtener el valor del factor de calidad como sigue:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

QjffU 2

10 (5.5)

Donde representa la frecuencia de resonancia compleja de

la cavidad descargada, es decir, sin tener en cuenta la red de

excitación.

Uf

En las figuras 5.9 – 5.12, se muestran las dependencias de los

valores de la frecuencia de resonancia descargada , el factor de

calidad , y los valores de constante dieléctrica ( ) y factor de

pérdidas ( ) del material, para una cavidad con las siguientes

dimensiones a=2 mm, b=7 mm, L=85 mm.

Uf'rεQ

''rε

124

CAPÍTULO 5

0 20 40 60 80 100

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

ε 'r

Res

onan

ce F

requ

ency

(G

Hz)

ε ''r = 0.001

ε ''r = 0.01

ε ''r = 0.12

ε ''r = 1.5

ε ''r = 6

ε ''r = 7.5

ε ''r = 9

Fig. 5.9. Variación de la frecuencia de resonancia de una cavidad coaxial

en función de la constante dieléctrica del MUT, para diferentes valores

del factor de pérdidas. Datos: a=2 mm, b=7 mm, L=85 mm.

10-3

10-2

10-1

100

101

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ε ''r

Res

onan

ce F

requ

ency

(G

Hz)

ε 'r = 1

ε 'r = 11

ε 'r = 22

ε 'r = 42

ε 'r = 75

ε 'r = 90

Fig. 5.10. Variación de la frecuencia de resonancia de una cavidad

coaxial en función del factor de pérdidas del MUT, para diferentes

valores de la constante dieléctrica. Datos: a=2 mm, b=7 mm, L=85 mm.

125

Análisis del Resonador Coaxial

10-3

10-2

10-1

100

101

100

101

102

103

ε ''r

Qua

lity

Fac

tor

ε 'r = 1

ε 'r = 3

ε 'r = 5

ε 'r = 7

ε 'r = 10

ε 'r = 30

ε 'r = 75

Fig. 5.11. Variación del Factor de calidad Q de una cavidad coaxial en

función del factor de pérdidas del MUT, para diferentes valores de la

constante dieléctrica. Datos: a=2 mm, b=7 mm, L=85 mm.

0 20 40 60 80 100

100

101

102

103

ε 'r

Qua

lity

Fac

tor

ε ''r = 0.001

ε ''r = 0.1

ε ''r = 0.3

ε ''r = 1

ε ''r = 3.5

ε ''r = 6

ε ''r = 8.5

Fig. 5.12. Variación del factor de calidad de una cavidad coaxial en

función de la constante dieléctrica del MUT, para diferentes valores del

factor de pérdidas. Datos: a=2 mm, b=7 mm, L=85 mm.

126

CAPÍTULO 5

El análisis anterior permite obtener, a partir de las

propiedades dieléctricas del material que se coloca en contacto con el

resonador coaxial, los valores de frecuencia de resonancia descargada

y el factor de calidad. Aplicando un método iterativo, permiten

también resolver el problema inverso, es decir, a partir de los valores

de la frecuencia descargada y el factor de calidad, se puede obtener la

permitividad compleja del material que está en contacto con la

apertura del coaxial. Por las características del modelo aplicado, éste

material puede estar formado por varias capas dieléctricas de

diferentes grosores, o por un único material de grosor infinito.

5.4. MODELO REAL DEL RESONADOR

El modelo teórico de la cavidad tal y como se ha descrito,

describe la frecuencia de resonancia de la cavidad descargada, es

decir, sin tener en cuenta la red de excitación. Sin embargo, en la

cavidad real, debe existir una red que acople la energía al interior de

la cavidad. La existencia de esta red de excitación introduce una serie

de perturbaciones en los parámetros de la cavidad, por lo que su

efecto debe ser tenido en cuenta a la hora de obtener la frecuencia de

resonancia. [Can03, Can06, Col92, Kaj94, Kor95]

Tradicionalmente, lo que se hace es utilizar una configuración

de la red de excitación tal que el acoplo se energía sea muy débil

(condición de subacoplo, ver la figura 5.13), de forma que se puede

considerar despreciable la perturbación introducida por la red de

acoplo [Xu87, Can03, Can06, Coa03]. Bajo esas condiciones, se puede

127

Análisis del Resonador Coaxial realizar la caracterización de la cavidad utilizando el modelo teórico

descrito en el apartado 5.3. Sin embargo, este método tiene el

inconveniente de que al acoplar la energía muy débilmente a la

cavidad, no permite medir MUTs que tengan pérdidas medias o altas,

que absorben totalmente la energía y hacen que la resonancia

desaparezca [Xu87].

En esta tesis, se pretende ampliar el uso de la cavidad coaxial

para la caracterización de materiales tanto de bajas pérdidas como de

pérdidas medias o altas. Para ello, es necesario que el acoplo de la

energía en la cavidad sea suficientemente alto (debe existir

sobreacoplo, ver figura 5.13), por lo que la red de excitación

(a) (b)

Fig. 5.13 Resonancias para un cierto MUT con diferentes acoplos de

energía de la cavidad. Se puede comprobar como, a medida que aumenta

el nivel de acoplo, el círculo que describe el coeficiente de reflexión en la

Carta de Smith es mayor (a), y la frecuencia de resonancia es menor (la

resonancia en el módulo del coeficiente de reflexión se desplaza hacia la

izquierda) (b).

128

CAPÍTULO 5 introducirá una perturbación que no se podrá considerar despreciable.

Por ello, se ha desarrollado un modelo real de la cavidad, que permite

obtener la frecuencia de resonancia y el factor de calidad teniendo en

cuenta el efecto que introduce la red de acoplo.

Por tanto, el modelo de la cavidad real incluye, como ya se ha

dicho, la red de excitación como parte de la celda. Los parámetros

que definen la geometría del modelo se muestran en las figuras 5.14 y

5.15.

Fig. 5.14. Modelo real de la cavidad con las dimensiones del coaxial y

sonda eléctrica de acoplo (conector SMA).

129

Análisis del Resonador Coaxial

Fig. 5.15. Modelo real de la cavidad. División en tramos de la estructura

y conexión de las matrices S en cascada.

En cuanto a la simulación de la respuesta del conjunto, la

técnica empleada es la misma que en el modelo teórico, ya que la

estructura se divide en tramos caracterizados por su admitancia o por

su matriz de parámetros S multimodal, y después se conectan las

matrices en cascada para obtener la respuesta de la celda completa.

Posteriormente, se aplica la condición de resonancia para poder hallar

la frecuencia de resonancia y el factor de calidad. La división en

tramos realizada es la que se muestra en la figura 5.15.

En primer lugar se obtiene, como en el modelo teórico, la

matriz de parámetros S de un cortocircuito. Posteriormente se calcula

la matriz S de un tramo de línea coaxial de longitud L2. El tramo de

coaxial que contiene la red de acoplo se obtiene a partir de una serie

de matrices simuladas con el simulador FDTD Concerto [Con01] (ver

130

CAPÍTULO 5 figura 5.5), que han sido previamente calculadas para un tramo de

línea coaxial fijo de 10 mm, y para diferentes posiciones (gaps) de la

sonda de excitación. Por último, se obtiene la matriz que caracteriza

el tramo coaxial de longitud L3, y finalmente se obtiene la matriz

multimodal de la apertura en contacto con el MUT, utilizando como

en el modelo teórico, el método de Baker-Jarvis [Bak94] descrito en el

Anexo A.

Una vez obtenidas las matrices S multimodales de cada uno de

los tramos, se procede a realizar la conexión en cascada de todas

ellas, de forma que se obtienen los parámetros S de la celda completa.

Con el parámetro S11 de la cavidad descrita, podemos calcular

la frecuencia de resonancia y el factor de calidad. Estos valores

obtenidos son diferentes a los obtenidos con el modelo teórico, ya que

la red de excitación ha introducido una desviación en el

comportamiento de la cavidad que se traduce en una desviación de la

frecuencia de resonancia respecto a la frecuencia de resonancia

descargada de la cavidad.

5.5. MODELO DE LA RED DE EXCITACIÓN

El modelo real de la cavidad descrito en el apartado anterior

permite, mediante simulaciones electromagnéticas, comprobar los

efectos que la red de acoplo tiene sobre la resonancia de la celda

coaxial. A continuación, se describe el modelo teórico de dicha red de

acoplo, de forma que después se puedan interpretar los resultados de

131

Análisis del Resonador Coaxial las simulaciones y se puedan relacionar con las expresiones teóricas

descritas en este apartado.

Un resonador de un puerto conectado a un analizador de redes

vectorial (VNA) a través de una línea de transmisión, se puede

representar en los alrededores de una resonancia por los circuitos

equivalentes que se representan en las figuras 5.16.a) y 5.16.b).

Ambas figuras se pueden considerar modificaciones de la primera y la

segunda representación general de Foster [Fos24, Sun95].

En la figura 5.16, los elementos , , son parámetros

internos, ya que modelan el comportamiento del resonador aislado.

Las redes de acoplo se pueden modelar con un transformador ideal de

ratio n, y por una impedancia

0l 0c 0r

ee jxr + ee jbg + o admitancia , en la

primera y segunda forma de Foster, respectivamente. Las pérdidas

óhmicas debidas al mecanismo de acoplo se representan con y .

Los elementos y representan el almacenamiento extra de

energía producido por las estructuras de acoplo. Todos los parámetros

han sido normalizados respecto de la impedancia característica de la

línea, que normalmente es un parámetro real e igual a la resistencia

de fuente del VNA.

er eg

ex eb

Si se considera el circuito equivalente que se deriva de la

primera forma de Foster, la impedancia de entrada en el plano i se

puede escribir como:

( )Δ+++=+= ueeext jQrn

jbgyyy 11

020 (5.6)

132

CAPÍTULO 5

(a)

(b)

Fig. 5.16. Circuitos equivalentes de un resonador de microondas de un

puerto, en las proximidades de una resonancia, incluyendo el sistema de

medida (VNA). a) Primera forma de Foster. b) Segunda forma de

Foster.

133

Análisis del Resonador Coaxial

Donde

( ) 221

1

ee

ee

xr

rg

++

+= (5.7)

( ) 221 ee

ee

xr

xb

++

−= (5.8)

ff

ff u

u−=Δ (5.9)

0021

2 clf uu ππ

ω== (5.10)

0

00000

00

0 22 l

crrcflf

rQu === ππ

(5.11)

Donde f ,Qu u son la frecuencia y el factor de calidad de la

cavidad descargada (unloaded), es decir, sin tener en cuenta el efecto

de la red de excitación, f representa la parte real de f0 u. El factor de

acoplo, que representa el cociente entre la potencia disipada en el

circuito externo y la potencia disipada en el resonador aislado, puede

expresarse como:

( ) e

u

ee

ee

exQQ

xr

rrngrn

PP

k =++

+===

2202

02

0 1

1 (5.12)

Donde Qe puede definirse como el factor de calidad de la

propia red de acoplo. La frecuencia de resonancia cargada (fL) se

define como la frecuencia a la que la parte imaginaria de la

admitancia se anula, lo que ocurre si: ty

( ) ( ) ( ) ee

e

ue

e

ee

e

uu

e

L

u

u

LL Qr

xQr

kx

xr

xQ

rnQb

ff

ff

+=

+=

++=−=−=Δ

111 220

2 (5.13)

Con lo que queda:

134

CAPÍTULO 5

241

124

12

2

LL

LL

u

Lff

Δ−

Δ+

=Δ

+Δ

+= (5.14)

Por lo que:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

++⋅=

ee

e

ee

euL Qr

xQr

xff1214

1 22

2

(5.15)

A partir de (5.13):

( ) eeL

u

u

Le Qr

ff

ffx +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 1 (5.16)

Si tenemos en cuenta la siguiente aproximación:

δδ

δ 21

11 ≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++=Δ (5.17)

Donde

u

uf

ff −=δ (5.18)

Entonces, la ecuación (5.13) quedaría:

ee

e

u

uLLL Qr

xf

ff)1(

22+

=−

=≈Δ δ (5.19)

Por lo que:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⋅=ee

euL Qr

xff12

1 (5.20)

Y

135

Análisis del Resonador Coaxial

( ) eu

Lee Q

ffrx ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= 112 (5.21)

5.6. EFECTO DE LA RED DE EXCITACIÓN

Para poder evaluar el efecto de la red de acoplo sobre la

frecuencia de resonancia, se debe realizar un estudio en el que se varíe

la cantidad de energía que se introduce en la cavidad. Para ello, se

realizan una serie de simulaciones utilizando el modelo real de la

cavidad, descrito en el apartado 5.4, modificando el valor del gap

entre la sonda eléctrica y el conductor interior de la cavidad. Así,

cuanto menor sea el valor del gap, mayor es el acoplo de la energía, y

se puede comprobar el efecto progresivo que la red de acoplo tiene

sobre la respuesta de la cavidad descargada.

En la figura 5.17 se muestra el valor del parámetro S11 de la

cavidad real, considerando un MUT con 1.05 jr −=ε , para distintos

valores del gap, es decir, para distintos niveles de acoplo de la energía

en la cavidad. Se puede observar el efecto de la red de acoplo, de

desplazamiento de la frecuencia de resonancia hacia frecuencias más

bajas a medida que aumenta el nivel de acoplo. Este efecto lo

denominamos “frequency pulling”. En el límite en el que el acoplo es

muy débil, se puede suponer que la perturbación introducida por la

red de acoplo es despreciable, por lo que la frecuencia de resonancia

será muy parecida a la frecuencia resonancia de la cavidad

descargada.

136

CAPÍTULO 5

2.2 2.25 2.3 2.35 2.4 2.45 2.5

x 109

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Frequency (Hz)

|S11

| (dB

)

gap = 2 mm

gap = 1.3 mm

gap = 0.8 mm

gap = 0.2 mm

gap = 0.1 mm

gap = 0.5 mm

Fig. 5.17. Variación de la frecuencia de resonancia por el efecto de la

red de acoplo. Módulo del parámetro S11 para distintos valores del gap

entre la sonda de excitación y el conductor interior de la cavidad. Se

comprueba que a medida que aumenta el acoplo (disminuye el gap), la

resonancia se desplaza hacia la izquierda, y el valor de la frecuencia de

resonancia es menor. Simulación de una cavidad coaxial de dimensiones

a=2 mm, b=7 mm, L=85 mm, MUT con rε =5-j0.1.

Por lo tanto, de la figura 5.17 se puede concluir que si la

cavidad descargada tiene una frecuencia de resonancia determinada,

el efecto que introduce la red de acoplo (la sonda coaxial de

excitación) se refleja en una disminución del valor de dicha

frecuencia, que es proporcional al nivel de acoplo de energía en la

cavidad.

En la figura 5.18 se observa dicho efecto en la Carta se Smith.

El círculo que describe el coeficiente de reflexión en la resonancia de

la cavidad descargada correspondería al más pequeño que se observa

137

Análisis del Resonador Coaxial en la Carta (la resonancia más subacoplada), mientras que a medida

que aumenta el nivel de acoplo, el círculo se hace mayor, y la

frecuencia de la resonancia se desvía cada vez más del valor teórico

de la cavidad descargada.

0.2 0.5 1 2

j0.2

-j0.2

0

j0.5

-j0.5

j1

-j1

j2

-j2

gap = 2 mm

gap = 1.3 mm

gap = 0.8 mm

gap = 0.5 mm

gap = 0.2 mm

gap = 0.1 mm

Fig. 5.18. Variación de la frecuencia de resonancia por el efecto de la

red de acoplo. Parámetro S11 en la Carta de Smith para distintos valores

del gap. Simulación de una cavidad coaxial de dimensiones a=2 mm, b=7

mm, L=85 mm, MUT con rε =5-j0.1. Se observa cómo a medida que

aumenta el acoplo (menor valor del gap), el círculo en la Carta de Smith

aumenta de tamaño.

138

CAPÍTULO 5

A partir de las figuras anteriores se puede ver gráficamente la

dificultad que tiene el medir las resonancias muy subacopladas para

poder despreciar el efecto de la red de acoplo. Dichas resonancias

representan círculos muy pequeños en la carta de Smith, que son

difíciles de medir y son más sensibles al ruido de la medida. Por ello,

para poder ampliar el margen de uso de este tipo de resonadores,

conviene aumentar el acoplo e incluir un modelo que permita extraer

el efecto de la red de excitación. El capítulo siguiente de la tesis

describe varios métodos utilizados para la obtención de este modelo.

139

Análisis del Resonador Coaxial

Referencias

[Bak94] J. Baker, M.D. Janezic, “Analysis of an open-ended coaxial probe

with lit-off for nondestructive testing” Trans. On Instrum. And

Meas. Vol. 43 Nº 5 Oct.1994

[Can03] A. J. Canós, J. M. Catalá-Civera, F. L. Peñaranda-Foix, E. de los

Reyes Davó, “A new empirical method for extracting unloaded

resonant frequencies from microwave resonant cavities”, IEEE

MTT- Symposium Digest, 2003.

[Can06] A. J. Canós, J. M. Catalá-Civera, F. L. Peñaranda-Foix, E. de los

Reyes Davó, “A novel technique for deembeding the unloaded

resonance frequency from measurements of microwave cavities”,

IEEE Trans. Microwave Theory Tech., Vol. 54, pp.3407-3416, Aug.

2006.

[Coa03] K.J. Coakley, J. D. Splett, M.D. Janezic, R.F. Kaiser, “Estimation

of Q-factors and resonant frequencies”, IEEE Trans. on Microw.

Theory and Tech., Vol. 51, No.3, March 2003.

[Col92] R.E. Collin, Foundations for microwave engineering, New York:

McGraw-Hill, 1992.

[Con01] Concerto User Guide, Vector Fields Limited, Oxford (England),

1999.

[Che04] L.F.Chen, C.K.Ong, C.P.Neo, V.V.Varadan, V.K.Varadan,

Microwave Electronics: Measurement and Materials

Characterization. John Wiley & Sons, Ltd (2004).

[Fos24] R.M. Foster, “A reactance theorem”. Bell System Tech. J., vol. 3,

pp. 259-267. April 1924.

[Kaj94] D. Kajfez, Q factor, Oxford, MS: Vector Fields, 1994.

140

CAPÍTULO 5 [Kor95] T. Koryu Ishii, Handbook of microwave technology. Vol I:

Components and Devices, San Diego: Academic Press, 1995, Ch.3.

[Sun95] E.-Y. Sun and S.-H. Chao, “Unloaded Q measurement–The

Critical-Points Method”, IEEE Trans. Microwave Theory Tech.,

vol. 43, pp. 1983-1986, Aug. 1995.

[Xu87] D. Xu, L. Liu, Z. Jiang, “Measurement of the dielectric properties of

biological substances using an improved open-ended coaxial line

resonator method”, IEEE Trans. On Microw. Theory Tech., Vol.

MTT-35, No. 12, Dec. 1987.

141

Capítulo 6

Métodos de corrección del efecto

de la red de acoplo.

Como se ha visto en el capítulo anterior, una cavidad coaxial

real debe tener una red de excitación que acople la energía al modo

resonante. La existencia de esta red tiene un efecto sobre la

frecuencia de resonancia y sobre el factor de calidad del resonador.

Este efecto puede ser despreciado siempre y cuando el acoplo de la

energía sea muy débil, siendo éste el procedimiento de medida

utilizado tradicionalmente [Xu87, Can03, Can06, Coa03].

Sin embargo, la condición de acoplo muy débil supone una

limitación importante en el tipo de materiales que se pueden

caracterizar con esta técnica de medida. La razón es que, si se acopla

la energía muy débilmente a la cavidad, no se pueden medir MUTs

que tengan pérdidas medias o altas, ya que éstos absorben totalmente

la energía y hacen que la resonancia desaparezca [Xu87].

Por ello, para poder ampliar el margen de uso de este tipo de

resonadores, conviene aumentar el acoplo e incluir un modelo que

permita extraer el efecto de la red de excitación [Can03, Can06,

Col92, Kaj94, Kor95]. En este capítulo se describen varios métodos

desarrollados para la obtención de este modelo.

142

CAPÍTULO 6

Los modelos descritos en este capítulo se pueden dividir según

el procedimiento de medida que se debe realizar una vez

caracterizada adecuadamente la red de excitación. La primera de las

técnicas (llamada técnica de A y α ) se ha denominado de acoplo

variable, mientras que la otra técnica (basada en el parámetro ) se

han denominado de acoplo fijo. La razón es que, si se utiliza la

primera técnica para caracterizar la red de acoplo, cada vez que se

requiera medir un determinado MUT, es necesario obtener una serie

de medidas variando el nivel de acoplo para poder extraer el efecto de

la red de excitación. Sin embargo, con el método de acoplo fijo, una

vez realizada la caracterización de la red de excitación para un

determinado nivel de acoplo, este acoplo se considerará fijo, y sólo

será necesaria una medida del MUT.

ex

Los modelos que se van a describir, se centran en la corrección

del efecto que la red de excitación tiene sobre la frecuencia de

resonancia. El efecto que tiene la red de excitación sobre el factor de

calidad sigue un mecanismo más simple que el de la frecuencia de

resonancia, y ya ha sido analizado por numerosos autores [Gin57,

Mat64, Suc63]. Al finalizar el capítulo, se incluye un apartado en el

que se describe brevemente el método utilizado para obtener el factor

de calidad descargado Qu a partir de las medidas.

6.1. ACOPLO VARIABLE. MODELO DE A Y α

Un posible modelo que representa la modificación que sufre la

frecuencia de resonancia de la cavidad debida a los elementos de la

143

Métodos de corrección del efecto de la red de acoplo red de acoplo, es el descrito en [Can03, Can06]. Aunque este método

fue propuesto con anterioridad a la realización de esta tesis, los

estudios realizados en ella han permitido profundizar y ampliar el

modelo, mejorando la precisión de los resultados obtenidos [Gar05].

Básicamente, el modelo se reduce a la siguiente expresión que

relaciona la frecuencia de la cavidad real (fL) que incluye el efecto de

la red de excitación, y la frecuencia de la cavidad descargada (fU) que

es la que se obtiene tras imponer la condición de resonancia en el

modelo teórico (y no tiene en cuenta ninguna excitación):

ue

L fQAf ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= α1 (6.1)

Donde es el factor de calidad propio de la red de

excitación. Tal y como se explica en [Can03, Can06], los parámetros

A y α dependen del campo electromagnético en el interior de la

cavidad (dimensiones físicas, modo resonante, etc.), el tipo de red de

acoplo (sonda, espira, posición, etc.) y de la forma en la que se

modifique el valor de (posición, dimensiones, orientación, etc.), y

pueden obtenerse teóricamente a través de un análisis

electromagnético de la estructura.

eQ

eQ

En las figuras 6.1 – 6.3 se muestra el comportamiento típico de

la frecuencia de resonancia en función del parámetro , 1/ , y

1/eQ eQ

eQ α. En todos los casos se ha considerado una cavidad coaxial de

dimensiones a=2 mm, b=7 mm, L=85 mm, y un MUT con rε =5-

j0.1. En ellas se aprecia la forma en que, para valores pequeños de

, la cavidad está muy acoplada, y el efecto de “frequency pulling” eQ

144

CAPÍTULO 6 hace que el valor de frecuencia obtenido difiera en gran medida del

valor de la frecuencia de resonancia descargada. A medida que el

va aumentando, el nivel de acoplo de la energía en la cavidad es cada

vez menor, por lo que la frecuencia de resonancia obtenida se parece

cada vez más a la frecuencia de resonancia descargada. El valor de la

resonancia descargada puede obtenerse como aquel valor de

frecuencia que se obtiene en el límite en el que es infinito (el

acoplo es nulo).

eQ

eQ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 10-3

2.33

2.34

2.35

2.36

2.37

2.38

2.39x 10

9

1/Qe

f (H

z)

Fig. 6.1. Variación de la frecuencia de resonancia cargada en función

del nivel de acoplo. Los puntos negros son los diferentes valores de fL,

mientras que se ha representado el valor de fu con un punto rojo.

145

Métodos de corrección del efecto de la red de acoplo

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.032.33

2.34

2.35

2.36

2.37

2.38

2.39x 10

9

1/Qealpha

f (H

z)

Fig. 6.2. Variación de la frecuencia de resonancia cargada en función del

nivel de acoplo. Los puntos negros son los diferentes valores de fL,

mientras que se ha representado el valor de fu con un punto rojo.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 104

2.335

2.34

2.345

2.35

2.355

2.36

2.365

2.37

2.375

2.38

2.385x 10

9

Qe

f (H

z)

Fig. 6.3. Variación de la frecuencia de resonancia cargada en función

del nivel de acoplo. Los puntos negros son los diferentes valores de fL,

mientras que el valor de fu se ha representado con una línea roja.

146

CAPÍTULO 6

Por tanto, el procedimiento para llevar a cabo la

caracterización de la red de acoplo sería el siguiente. Para un cierto

material (por ejemplo aire), con un cierto nivel de acoplo se obtendría

una frecuencia de resonancia cargada fL. Si se varía el nivel de acoplo,

se podrían obtener, para el mismo material, múltiples valores de fL.

Por otra parte, mediante un análisis electromagnético se obtendría el

valor de la frecuencia de resonancia fu para ese material. Con todos

esos valores obtenidos, se aplicaría la expresión 6.1, y se obtendría

(por mínimos cuadrados) los valores de A y α que caracterizan el

efecto de la red de acoplo.

Una vez obtenidos los valores de A y α , el procedimiento de

medida de un material cuya permitividad es desconocida, se basaría

en realizar medidas con diferentes acoplos para obtener distintas fL.

Utilizando las frecuencias medidas y los parámetros A y α obtenidos

tras el procedimiento de caracterización de la red de acoplo, se

aplicaría la ecuación 6.1 para obtener el valor de fu. Tal y como se

explicó en el capítulo anterior, con dicha fu y el valor de factor de

calidad, se puede aplicar un método iterativo que permita obtener la

permitividad del material.

En principio, una vez caracterizada la cavidad con este

modelo, y obtenidos los parámetros A y α, se puede empezar a medir

MUTs y, mediante la ecuación (6.1), extraer el efecto de la red de

excitación y obtener la frecuencia de resonancia de la cavidad

descargada para cada MUT. Sin embargo, posteriormente se vio que

los parámetros A y α dependen también del MUT que se coloque en

contacto con la cavidad.

147

Métodos de corrección del efecto de la red de acoplo

También se observó que en el modelo, en unas determinadas

condiciones, hay múltiples valores de la pareja A y α que

proporcionan resultados similares, por lo que se comprobó que una

posibilidad era fijar uno de ellos, por ejemplo A=1, y obtener el valor

del otro (α), de forma que se ajustara la curva del modelo.

En las Figs. 6.4 y 6.5 se observa la variación del parámetro α

(con A=1) en función de fu y en función de la constante dieléctrica

del MUT ( 'ε ) respectivamente, para un determinado valor del factor

de pérdidas 001.0'' =ε . Simulaciones realizadas para otros valores de

pérdidas del MUT proporcionan una variación muy similar del

parámetro α.

Α=1 ε''=0.001

fU1.6e+9 1.8e+9 2.0e+9 2.2e+9 2.4e+9 2.6e+9 2.8e+9

0.68

0.70

0.72

0.74

0.76

0.78

0.80

0.82

0.84

0.86

α

Fig. 6.4.- Variación de α en función de la frecuencia descargada (fu) para

un valor de factor de pérdidas ( 001.0'' =ε ) y fijado el valor de A=1.

Cavidad coaxial de dimensiones a=2 mm, b=7 mm, L=85 mm.

148

CAPÍTULO 6

ε''=0.1

εr

0 20 40 60 80 100 120

α

0.70

0.72

0.74

0.76

0.78

0.80

0.82

Fig. 6.5.- Variación de α en función de la constante dieléctrica del MUT

(εr) para un valor de factor de pérdidas ( 1.0'' =ε ) y fijado el valor de

A=1. Cavidad coaxial de dimensiones a=2 mm, b=7 mm, L=85 mm.

Una vez comprobado que los parámetros A y α dependen del

MUT que se desea medir, el procedimiento de caracterización de la

red de acoplo se realizaría tal y como ya se ha descrito, pero

incluyendo medidas de varios materiales (no sólo aire) cuyas

propiedades dieléctricas sean conocidas y estén distribuidas en un

cierto rango de valores, de forma que se pueda estimar una curva

como la mostrada en la figura 6.5. Posteriormente, se utilizaría un

valor de los parámetros A y α dependiendo del valor de permitividad

estimado del MUT. Otra forma de aplicar el método sería

directamente obtener los parámetros A y α utilizando para ello un

material de permitividad conocida y parecida a la del MUT que se

desea medir, o si es posible, obtener los parámetros utilizando para

149

Métodos de corrección del efecto de la red de acoplo ello medidas del mismo MUT. Esta última opción es la que se va a

utilizar en las medidas del siguiente apartado.

6.1.1 APLICACIÓN PRÁCTICA DEL MÉTODO

Para la aplicación práctica de este método de caracterización

de la red de acoplo, se han fabricado varias versiones de cavidades

coaxiales que incluyen una estructura que permite variar la cantidad

de energía acoplada. La estructura simplificada es la que se muestra

en la figura 6.6, donde se observa un resonador coaxial de radios a, b,

rellena con un dieléctrico de permitividad rcε y cuya longitud es .

El MUT se coloca en el final abierto del resonador. La red de acoplo

variable consiste en una línea coaxial cuyo conductor central se

coloca a una cierta distancia del conductor central del resonador, y

dicha distancia es variable, de forma que entre ellos se establece un

acoplo capacitivo variable en función de la posición relativa entre

ambos conductores. Dicha posición es, por tanto, la que determina la

cantidad de energía que se acopla al resonador, esto es, el factor de

acoplo ( ).

1L

k

En la figura 6.7 se muestran dos ejemplos de las cavidades

construidas siguiendo la estructura de la figura 6.6. Ambas cavidades

tienen las siguientes dimensiones a=1.5mm, b=4.2mm, L1=4cm, y

εrc=2.1 (PTFE).

150

CAPÍTULO 6

Fig. 6.6. Configuración de la cavidad coaxial con una estructura de

acoplo variable. En función de la posición (L2) se varía la cantidad de

energía acoplada al resonador.

(a) (b)

Fig. 6.7. Cavidades coaxiales con estructuras de acoplo variable. A) La

posición del acoplo se realiza moviendo el conector en la dirección

vertical y fijándolo con tornillos laterales. B) Modificación de la cavidad

anterior, en la que la estructura de acoplo se mueve con una rosca para

obtener mayor robustez y un ajuste del acoplo más fino.

151

Métodos de corrección del efecto de la red de acoplo

Utilizando la cavidad coaxial de acoplo variable mostrada en

la figura 6.7 (con un ajuste fino del acoplo) se realizaron medidas de

varios materiales, para verificar el correcto funcionamiento del

método. En primer lugar, se muestran las gráficas características del

modelo, para la determinación de los parámetros A y α de la cavidad,

en el caso en que la cavidad se deja radiando al aire. Los resultados

de dichas medidas se muestran en las figuras 6.8 y 6.9.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0122.49

2.495

2.5

2.505

2.51

2.515

2.52

2.525

2.53

2.535

2.54x 10

9

1/Qealpha

f (H

z)

Fig. 6.8. Variación de la frecuencia de resonancia cargada en función del

nivel de acoplo cuando la cavidad se deja radiando al aire. Los círculos

rojos son los diferentes valores de fL medidos, el valor de fu se ha

representado con una cruz (valor de frecuencia límite cuando 1/Qealpha se

hace cero).

152

CAPÍTULO 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

2.495

2.5

2.505

2.51

2.515

2.52

2.525

2.53

2.535

x 109

Qe

f (H

z)

Fig. 6.9. Variación de la frecuencia de resonancia cargada en función del

nivel de acoplo cuando la cavidad se deja radiando al aire. Los círculos

rojos son los diferentes valores de fL medidos, el valor de fu se ha

representado con una línea negra (valor de frecuencia límite cuando Qe

se hace infinito).

Utilizando las medidas de la cavidad radiando al aire, con 41

niveles de acoplo diferentes, y realizando el ajuste de las curvas del

modelo tal y como se muestra en las gráficas 6.8 y 6.9, se obtuvieron

los parámetros A=-1.4741067, y α=0.845400, obteniendo una

fu=2.5360709 GHz, con un coeficiente de correlación lineal de las

curvas de r2=0.999499. El valor de fu obtenido está muy próximo al

valor teórico (fu=2.536124 GHz) que se calcula para la cavidad sin la

red de excitación.

Como se ha dicho en el apartado anterior, se realizaron

medidas con múltiples niveles de acoplo para cada uno de los

153

Métodos de corrección del efecto de la red de acoplo materiales considerados. Como ejemplo, se muestran en las figuras

6.10 - 6.11 las medidas de la resonancias tanto en la carta de Smith

como en el módulo del coeficiente de reflexión S11 de la cavidad

coaxial radiando sobre agua destilada a 25ºC y sobre arena de cuarzo

con un contenido de humedad del 4%, con múltiples niveles de

acoplo.

Para el cuarzo, se obtuvieron los parámetros A=-0.95483, y

α=0.70258, obteniendo una fu=2.47932 GHz, con un coeficiente de

correlación lineal de las curvas de r2=0.999499. De nuevo se observa

una buena aproximación de la frecuencia obtenida al valor teórico de

la misma (fu=2.47946 GHz).

(a) (b)

Fig. 6.10. Medidas de las resonancias de arena de cuarzo con un 4% de

humedad, tanto en la carta de Smith (a) como en el módulo del

coeficiente de reflexión S11 (b).

154

CAPÍTULO 6

(a) (b)

Fig. 6.11. Medidas de las resonancias de agua destilada a 25ºC, tanto en

la carta de Smith (a) como en el módulo del coeficiente de reflexión S11

(b).

En el caso del agua destilada, se obtuvieron los parámetros

A=-1.187522, y α=0.88642, obteniendo una fu=1.6465516 GHz, con

un coeficiente de correlación lineal de las curvas de r2=0.999499. El

valor de fu obtenido está muy próximo al valor teórico (fu=1.64643

GHz) que se calcula para la cavidad sin la red de excitación.

6.2. ACOPLO FIJO. MÉTODO BASADO EN EL

PARÁMETRO Xe

El método de acoplo fijo estudiado, se basa en la obtención de

la frecuencia de resonancia descargada fu a partir de la frecuencia

cargada fL, utilizando para ello un parámetro intermedio (xe) que

155

Métodos de corrección del efecto de la red de acoplo representa la reactancia característica de la red de excitación de la

cavidad. Se utiliza este parámetro porque la variación del parámetro

xe con la frecuencia fL, directamente relacionada con la constante

dieléctrica del MUT, tiene un comportamiento que se ajusta

perfectamente a una parábola para los diferentes niveles de acoplo de

la energía.

En las figuras 6.12 y 6.13 se muestra la forma que tiene dicho

parámetro xe en función de la frecuencia fL y en función de la

permitividad del MUT, respectivamente, para varios valores del

factor de pérdidas de los materiales, y para un determinado valor del

gap.

En las figuras 6.14 y 6.15 se han colocado en una única gráfica

las curvas del parámetro xe para dos valores diferentes de acoplo, en

función de fL y de la constante dieléctrica del MUT.

Gap = 0.5mm

fL (Hz)

1.6e+9 1.8e+9 2.0e+9 2.2e+9 2.4e+9 2.6e+9 2.8e+9

xe

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

9.0

9.5

εr'' = 1e-3 εr'' = 0.01εr'' = 0.1εr'' = 1εr'' = 10

156

CAPÍTULO 6

Fig. 6.12.- Variación de xe en función de fL para un gap de 0.5 mm, y

diferentes valores del factor de pérdidas del MUT. Cavidad coaxial de

dimensiones a=2 mm, b=7 mm, L=85 mm.

Gap = 0.5mm

εr

0 20 40 60 80 100 120

xe

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

9.0

9.5

εr'' = 1e-3 εr'' = 0.01εr'' = 0.1εr'' = 1εr'' = 10

Fig. 6.13. Variación de xe en función de la constante dieléctrica del MUT

(εr) para un gap de 0.5 mm y diferentes valores del factor de pérdidas.

Cavidad coaxial de dimensiones a=2 mm, b=7 mm, L=85 mm.

ε''=0.01

fL (Hz)

1.6e+9 1.8e+9 2.0e+9 2.2e+9 2.4e+9 2.6e+9 2.8e+9

xe

3

4

5

6

7

8

9

10

Gap = 0.1 mmGap = 0.5 mm

157

Métodos de corrección del efecto de la red de acoplo

Fig. 6.14. Variación de xe en función de fL para dos valores del gap

(0.1mm y 0.5mm) y factor de pérdidas constante. Cavidad coaxial de

dimensiones a=2 mm, b=7 mm, L=85 mm.

ε''=0.01

εr

0 20 40 60 80 100 120

xe

3

4

5

6

7

8

9

10

Gap = 0.1 mmGap = 0.5 mm

Fig. 6.15.- xe en función de la constante dieléctrica del MUT (εr) para

dos valores del gap . Cavidad coaxial con a=2 mm, b=7 mm, L=85 mm.

A modo de ejemplo, se muestra en la figura 6.16 la curva de xe

en función de fL, medida con una cavidad de dimensiones a=2 mm,

b=7 mm, L=85 mm, para un cierto valor del gap.

3

3.5

4

4.5

5

5.5

1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4fL (GHz)

xe

158

CAPÍTULO 6

Fig. 6.16. Medidas de xe en función de fL para un cierto valor del gap.

Cavidad coaxial de dimensiones a=2 mm, b=7 mm, L=85 mm.

Una vez se dispone del parámetro xe en función de la

frecuencia fL, es posible recuperar el valor de la frecuencia descargada

mediante la siguiente expresión:

eu

Le Q

ffx 21 ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (6.2)

Donde se puede ver que además de conocer el valor de fL, es

necesario conocer el valor de Qe (factor de calidad de la red de

excitación) para poder extraer de la frecuencia de resonancia el efecto

de la red de excitación.

La dificultad de aplicación de este método radica en la

necesidad de determinar el parámetro Qe, que a su vez es muy

sensible a las imprecisiones en la determinación de la longitud de

línea de la sonda de excitación [Can06, Kaj94]. Además, tanto el

parámetro Qe, como xe son muy sensibles al ruido presente en las

medidas, por lo que en la práctica este método es difícil de aplicar.

6.3. OBTENCIÓN DEL FACTOR DE CALIDAD QU

Como se ha comentado, los apartados anteriores se centran en

el estudio de los métodos para corregir el efecto de la red de acoplo

sobre la frecuencia de resonancia de la cavidad. Es decir, los métodos

anteriormente descritos tienen como finalidad la obtención de la

frecuencia descargada fu a partir de la medida de la resonancia de la

cavidad. En este apartado, se describe un método conocido para la

159

Métodos de corrección del efecto de la red de acoplo obtención del factor de calidad descargado Qu a partir de las medidas

[Gin57, Mat64, Suc63] ambos parámetros son necesarios para poder

obtener la permitividad del MUT, estando la frecuencia de resonancia

estrechamente ligada al valor de la constante dieléctrica del MUT,

mientras que el factor de calidad está ligado al factor de pérdidas del

MUT.

El método de corrección del factor de calidad se basa en

determinar las pérdidas introducidas por la propia celda de medida

(la cavidad coaxial) y posteriormente eliminar dicho efecto de las

medidas de los materiales. Las pérdidas introducidas por la cavidad

están provocadas porque los conductores no son perfectos,

presentando un cierto valor de resistencia superficial que hace que

parte de la energía se disipe en las paredes. Dichas pérdidas no deben

ser confundidas con las pérdidas introducidas por el propio MUT, por

lo que es necesario determinar su magnitud y corregir el factor de

calidad de las medidas posteriormente.

Para ello, se debe realizar una medida con la cavidad en vacío

(aire), cuyo factor de calidad teórico se ha calculado previamente con

los modelos de la cavidad, y se sabe que es igual a Qu=Qteórico. Una

vez se tiene el factor de calidad medido para el aire, Qmedido, se aplica

la siguiente expresión [Gin57, Kaj94]:

teóricoceldamedido QQQ111

+= (6.3)

De la que se podría despejar el término debido al factor de

calidad de la celda de medida: Qcelda. Ahora cada vez que se mida un

160

CAPÍTULO 6 material se aplica la siguiente expresión y se obtiene el factor de

calidad del material (Qu):

celdamedidou QQQ111

−= (6.4)

De esta forma se obtiene el factor de calidad debido

únicamente a las pérdidas en el material, habiendo extraído el efecto

de las pérdidas de la propia cavidad.

161

Métodos de corrección del efecto de la red de acoplo

Referencias

[Can03] A. J. Canós, J. M. Catalá-Civera, F. L. Peñaranda-Foix, E. de los

Reyes Davó, “A new empirical method for extracting unloaded

resonant frequencies from microwave resonant cavities”, IEEE

MTT- Symposium Digest, 2003.

[Can06] A. J. Canós, J. M. Catalá-Civera, F. L. Peñaranda-Foix, E. de los

Reyes Davó, “A novel technique for deembeding the unloaded

resonance frequency from measurements of microwave cavities”,

IEEE Trans. Microwave Theory Tech., Vol. 54, pp.3407-3416, Aug.

2006.

[Coa03] K.J. Coakley, J. D. Splett, M.D. Janezic, R.F. Kaiser, “Estimation

of Q-factors and resonant frequencies”, IEEE Trans. on Microw.

Theory and Tech., Vol. 51, No.3, March 2003.

[Col92] R.E. Collin, Foundations for microwave engineering, New York:

cGraw-Hill, 1992. M

[Gar05] B. García-Baños, F.L. Peñaranda-Foix, P.J. Plaza-González, D.

Polo-Nieves, “Nueva técnica de medida de humedad basada en un

resonador coaxial abierto”, Simposium de la Unión Científica

Internacional de Radio – URSI, Gandía (España) 2005.

[Gin57] E.L. Ginzton, Microwave measurements. New York: McGraw-Hill,

1957 (Chapter 9).

[Kaj94] D. Kajfez, Q factor, Oxford, MS: Vector Fields, 1994.

[Kor95] T. Koryu Ishii, Handbook of microwave technology. Vol I:

Components and Devices, San Diego: Academic Press, 1995, Ch.3.

[Mat64] G.L. Matthaei, L. Young, A.M.T. Jones, Microwave filters,

impedance matching networks and coupling structures. New York:

McGraw-Hill, 1964, Ch. 11.

162

CAPÍTULO 6 [Suc63] M. Sucher, J.Fox, Handbook of microwave measurements, New

York: Polytechnic Press 1963, Ch. 7.

[Xu87] D. Xu, L. Liu, Z. Jiang, “Measurement of the dielectric properties of

biological substances using an improved open-ended coaxial line

resonator method”, IEEE Trans. On Microw. Theory Tech., Vol.

MTT-35, No. 12, Dec. 1987.

163

Capítulo 7

El proceso de calibración.

Cuando se realizan medidas de los parámetros de dispersión

mediante un analizador de redes (VNA: Vector Network Analyzer),

todos los elementos involucrados en la medida – cables, conectores,

redes de separación, etc. – introducen efectos en las señales

transmitidas que se traducen en errores de medida. Es por tanto

necesario un proceso de calibración previo a la realización de las

medidas, para poder determinar las características de dichos errores y

poder corregirlos en las medidas posteriores. En la bibliografía pueden

encontrarse numerosas referencias sobre el proceso de calibración en

medidas con un VNA [Agi01, Cox99, Eng79, Eul91a, Eul91b, Mor03,

Rol03, Wil03].

En esta tesis se estudian métodos de caracterización y

monitorización de las propiedades dieléctricas de materiales mediante

celdas de medida en reflexión, es decir, con un único puerto. La

utilización de este tipo de equipos requiere la calibración de un solo

puerto del VNA, ya que no se requieren medidas de transmisión.

En este capítulo se describe el proceso de calibración general

para medidas en reflexión. También se describe el caso particular de

calibración de la sonda coaxial abierta, por la peculiaridad de los

patrones que utiliza. Asimismo, se describe un método de calibración

164

CAPÍTULO 7 con patrones de bajo coste desarrollado en esta tesis. Aunque los

patrones de calibración son diferentes, el fundamento en el que se

basa el proceso de calibración es común a todos los casos, lo único

que los diferencia es el plano en el que se desee realizar la calibración.

7.1. TIPOS DE ERRORES DE MEDIDA

Los errores que aparecen en las medidas de los parámetros de

dispersión mediante un VNA, se pueden clasificar en tres grupos:

errores sistemáticos, errores aleatorios y errores de deriva [Agi01,

Che04, Cox99].

Los errores sistemáticos incluyen los errores debidos a la

desadaptación de los componentes, la directividad, interferencias y la

respuesta en frecuencia. Los errores de adaptación aparecen porque

hay múltiples reflexiones en el dispositivo bajo prueba (DUT Device

Under Test) que no son detectadas en el detector de onda incidente

del VNA. Los errores de directividad se deben a señales que se

detectan en el detector de onda reflejada, pero no son reflejadas por

el DUT. Los errores de interferencia se deben a señales que se llegan

al detector de onda transmitida sin que hayan pasado por el DUT.

Los errores de respuesta en frecuencia se deben a las pérdidas, el

desfase introducido en la señal, y la curva de respuesta de los

detectores. Estos errores están causados por imperfecciones en el

sistema de medida. La mayor parte de estos errores no varían con el

tiempo, por lo que pueden ser caracterizados mediante el proceso de

calibración y ser corregidos matemáticamente durante las medidas.

165

El proceso de calibración

Los errores aleatorios son impredecibles y no pueden ser

corregidos mediante la calibración. La principal fuente de este tipo de

errores es el ruido de los componentes de medida. La forma de

minimizar estos errores es realizar varias veces la misma medida y

aplicar un promediado.

Los errores de deriva se producen porque hay algún cambio en

las condiciones de medida después de realizarse la calibración. La

variación de la temperatura suele ser la principal causa de derivas.

Durante las medidas, se deben mantener en la medida de lo posible

las condiciones de medida en las que se encontraban los equipos en el

momento de la calibración. Para eliminar este tipo de errores, se debe

realizar un nuevo proceso de calibración.

7.2. CALIBRACIÓN DE UN PUERTO

Los errores sistemáticos pueden corregirse mediante el proceso

de calibración. Este proceso calcula los errores sistemáticos a partir

de medidas de estándares de referencia conocidos. Cuando se realizan

posteriormente las medidas, los errores sistemáticos calculados en la

calibración se eliminan matemáticamente.

En los métodos de caracterización de materiales mediante

medidas de la reflexión, se utiliza un único puerto del VNA, por lo

que es necesaria la calibración de un puerto. Esta calibración es más

sencilla que la calibración completa de los dos puertos, que tiene en

cuenta los errores que se producen tanto en transmisión como en

reflexión. Asimismo, el número de errores sistemáticos que se

166

CAPÍTULO 7 determinan es menor. En concreto, con la calibración de un puerto se

miden y corrigen los errores de directividad, adaptación de la fuente

y respuesta en frecuencia [Agi01, Che04, Cox99].

En la figura 7.1 se muestra el diagrama de flujo en el caso

ideal de medida de la reflexión de un dispositivo. En ese caso, como

no hay elementos que introduzcan errores, el parámetro de dispersión

S11 medido (S11m) es igual al parámetro S11 real del dispositivo (S11a).

En la figura 7.2 se muestra el diagrama de flujo para un caso real de

medida, en el que se ha supuesto que los errores sistemáticos pueden

ser modelados mediante una red equivalente de dos puertos [Che04,

Cox99, Eng79]. Se observa que, debido a la existencia de dichos

errores, la relación entre el parámetro S11 medido (S11m) y el

parámetro S11 real del dispositivo (S11a) es la siguiente:

aS

aRDm SE

SEES

11

1111 1−

+= (7.1)

Donde ED representa el error de directividad, ER es el error de

la respuesta en frecuencia, y ES es el error de adaptación de la fuente.

Fig. 7.1. Diagrama de flujo del caso ideal de medida de la reflexión

(parámetro S11) en el que se observa que el parámetro S11 medido (S11m)

es igual al parámetro S11 real del dispositivo (S11a).

167

El proceso de calibración

Fig. 7.2. Diagrama de flujo del caso real de medida de la reflexión. En

este caso se modelan los errores como una red equivalente de dos

puertos. ED representa el error de directividad, ER es el error de la

respuesta en frecuencia, y ES es el error de adaptación de la fuente.

Para poder determinar los tres términos de error (ED, ES y ER)

y así obtener el valor real de la reflexión S11a a partir de la reflexión

medida S11m, es necesario obtener tres ecuaciones con los términos de

error como las tres incógnitas y resolver el sistema resultante. Por

esta razón, es necesario realizar medidas de tres estándares o

patrones conocidos, es decir, de los que se conozca el valor de S11a.

Debido a que los términos de error son magnitudes complejas, las

medidas de la reflexión deben realizarse tanto en módulo como en

fase.

En principio, se puede utilizar cualquier patrón de medida

para obtener las tres ecuaciones necesarias del proceso de calibración,

ya que la única condición que se debe cumplir es que el valor teórico

de reflexión (S11a) de dichos patrones sea una cantidad conocida. Sin

embargo, debido a la naturaleza de los errores que se pretenden

corregir, los patrones deben cumplir además que sus medidas de

168

CAPÍTULO 7

0.2 0.5 1 2

j0.2

-j0.2

0

j0.5

-j0.5

0

j1

-j1

0

j2

-j2

0

SHORT

LOAD

OPEN

Fig. 7.3. Ejemplo de medida del parámetro S11 de los tres patrones

generalmente utilizados para la calibración de un puerto: Corto (Short),

abierto (Open) y carga adaptada (Load). Se observa que la reflexión de

los tres patrones está distribuida en puntos dispares de la Carta de

Smith.

reflexión estén distribuidas por toda la Carta de Smith, es decir,

conviene tener tanto patrones reflexivos (S11a próximo a 1) como

absorbentes (S11a próximo a 0) [Agi02, Wil90]. Por esta razón, se

utilizan generalmente como patrones de calibración un corto, un

abierto (ambos son altamente reflexivos y con fases opuestas) y una

carga adaptada, y la técnica de calibración se denomina OSL (Open

Short and Load). En la figura 7.3 se muestra un ejemplo de los

parámetros S11 medidos de estos tres patrones.

Otra posibilidad es utilizar más de tres patrones en el proceso

de calibración. En ese caso, el sistema de ecuaciones que se obtiene es

169

El proceso de calibración sobreestimado, ya que hay más ecuaciones que incógnitas, y se debe

utilizar un algoritmo como mínimos cuadrados para obtener los

parámetros de error [Cox99, Wil90, Wil03]. Esta posibilidad es muy

interesante si se van a medir DUTs con comportamientos muy

diferentes, ya que los patrones redundantes pueden cubrir las zonas

de la Carta de Smith que quedan “libres” entre los tres patrones de

calibración iniciales.

Conviene aclarar que también se puede entender el proceso de

calibración como un proceso en el que se traslada el plano de medida

(es decir, el punto en el que se obtiene el S11m, que generalmente será

el puerto del VNA) hasta el plano de referencia (aquél en el que se

tiene el S11a). Por tanto, la medida de los patrones de calibración debe

realizarse colocándolos en lo que se considere el plano de referencia

[Gar07]. De esa forma se corrigen todos los errores entre el plano de

medida, y dicho plano de referencia, pero no los que se introduzcan

por detrás de éste. Por ello, dependiendo del punto en el que se sitúe

el plano de referencia, pueden utilizarse unos patrones de calibración

u otros. Un ejemplo de ello es la calibración de la sonda coaxial que

se describe a continuación.

7.3. CALIBRACIÓN DE LA SONDA COAXIAL

En el caso particular de la sonda coaxial abierta en un

extremo, la configuración de medida y el modelo de error utilizado

para la calibración son los mostrados en la figura 7.4.

170

CAPÍTULO 7

Fig. 7.4. Configuración de medida en reflexión con la sonda coaxial y

modelo de error (matriz equivalente) para la calibración. Se observa que

el plano de medida está situado en el puerto del VNA, mientras que el

plano de referencia está situado en el interfaz entre la apertura de la

sonda coaxial y el MUT.

En la figura 7.4 se observa que el plano de medida está situado

en el puerto del VNA, mientras que el plano de referencia está

colocado en la apertura de la sonda coaxial. De esta forma, es posible

obtener los valores teóricos del coeficiente de reflexión (S11a) mediante

los modelos teóricos de la apertura coaxial [Gan95, Mis90].

La definición de los planos de referencia y medida utilizada en

este caso tiene la ventaja de que la calibración corrige todos los

errores producidos entre ambos planos, y al incluir la propia sonda

coaxial, se corrigen también los errores que la posible desadaptación

de la propia sonda pueda introducir en las medidas. Sin embargo,

171

El proceso de calibración este método presenta la dificultad de que ya no es posible utilizar los

patrones tradicionales de calibración OSL, debido a que el plano de

referencia está definido en la propia apertura de la sonda coaxial.

Debido a que es necesaria la utilización de patrones cuya

respuesta en el plano de referencia sea totalmente conocida, tanto en

magnitud como en fase, se utilizan generalmente un plano metálico

(sustituyendo al cortocircuito), el aire (sustituyendo al circuito

abierto) y un líquido de propiedades dieléctricas conocidas (a ser

posible de elevado factor de pérdidas), por ejemplo el agua

(sustituyendo la carga adaptada) [Gan95, Gre93, Mis90]. Con el uso

de dichas cargas, se consigue que sus coeficientes de reflexión sigan

estando repartidos por la Carta de Smith. Sin embargo, otros autores

recomiendan el uso únicamente de un líquido de propiedades

conocidas, realizando múltiples medidas con diferentes distancias

entre la apertura del coaxial y un plano metálico inmerso en dicho

líquido [Gan95]. Otro método de calibración propuesto es una

variante de esta técnica, se trata de utilizar una capa dieléctrica (de

propiedades conocidas) de un cierto grosor y llevar a cabo múltiples

medidas variando la anchura del gap de aire entre el sensor y la capa

dieléctrica con un preciso dispositivo mecánico [Gan95]. Hay que

tener en cuenta que la muestra utilizada para la calibración mediante

esta última técnica debe presentar un cambio apreciable del factor de

reflexión al variar el gap de aire.

172

CAPÍTULO 7

7.4. CALIBRACIÓN CON TRES RESONADORES

Como ya se ha dicho, la calibración para medidas en reflexión

típica es la OSL, que utiliza como patrones un corto, un abierto y

una carga adaptada. Estos patrones son generalmente frágiles y caros

(un kit de calibración de tres cargas puede costar alrededor de 4000

euros), lo que aumenta considerablemente el coste del sistema de

medida. Por esta razón, y dentro de un programa de colaboración con

la Universidad Santo Tomás (USTA) en Bucaramanga (Colombia),

se ha desarrollado en esta tesis un método de calibración que utiliza

unos patrones diferentes a los tradicionales OSL [Gar07]. En

concreto, se propone utilizar como patrones una serie de resonadores

fabricados en tecnología microstrip, cuya principal ventaja radica en

su bajo coste de fabricación, lo que hace de esta posibilidad una

atractiva solución para poder obtener un sistema de medida de bajo

coste.

Como ya se ha dicho, la ecuación 7.1 permite realizar la

calibración de las medidas en reflexión utilizando tres patrones

conocidos, con la condición de que sus medidas de reflexión estén

repartidas por la Carta de Smith. En la figura 7.5 se muestra el

coeficiente de reflexión medido de tres resonadores microstrip. Se

puede observar en la figura cómo las respuestas están distribuidas por

toda la Carta de Smith, combinando puntos de alta reflectividad con

otros puntos de reflectividad muy baja. La clave está en utilizar

resonadores cuyas frecuencias de resonancia estén contenidas en el

margen de frecuencias considerado.

173

El proceso de calibración

Los resonadores pueden fabricarse muy fácilmente en

tecnología microstrip. En la figura 7.6 se muestra un ejemplo de

varios resonadores fabricados en dicha tecnología.

0.2 0.5 1 2

j0.2

-j0.2

0

j0.5

-j0.5

0

j1

-j1

0

j2

-j2

0

Fig. 7.5. Medidas del parámetro S11 de los tres resonadores propuestos

como patrones de calibración de bajo coste. Se observa que las respuestas

están repartidas por la Carta de Smith, combinando puntos de alta y baja

reflectividad.

174

CAPÍTULO 7

Fig. 7.6. Ejemplo de resonadores fabricados en tecnología microstrip. La

fabricación de este tipo de estructuras es sencilla y barata.

Aunque se utilizan otros patrones diferentes, el procedimiento

de calibración es el mismo que en la técnica OSL, por lo que es

necesario disponer del valor teórico de dichos patrones para poder

tener el sistema de ecuaciones y determinar así los términos de error.

En el estudio realizado, se propone utilizar las medidas de los

patrones realizadas tras una previa calibración del VNA como valores

de S11a de los patrones. Esta calibración previa del VNA sí que

requiere de los patrones OSL, pero lo importante es que esta

caracterización de los patrones puede ser realizada externamente (por

ejemplo, en la UPV) y ser utilizada posteriormente (por ejemplo en la

USTA) como valores teóricos de la reflexión de los nuevos patrones

de bajo coste.

Como ejemplo de aplicación, se muestran las medidas de

reflexión realizadas con un VNA (HP8510C) en un rango de

frecuencias desde 2 GHz a 2.5 GHz, de un DUT, en este caso, otro

175

El proceso de calibración resonador, por combinar puntos de alta y baja reflectividad en dicho

margen de frecuencias. La calibración se realizó con los tres

resonadores cuyas respuestas aparecen en la figura 7.5. Los

parámetros S11 de los tres resonadores no coinciden con el del DUT

en ningún punto de frecuencia, es decir, la propia respuesta del DUT

no se ha utilizado en ningún punto de frecuencia como un patrón de

calibración.

En la figura 7.7 se muestra el resultado de la calibración con los tres

resonadores, comparada con la calibración realizada con la técnica

OSL. Ambos métodos proporcionan resultados muy similares, tanto

en la magnitud como en la fase de las medidas de la reflexión, lo que

demuestra la validez del método propuesto.

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

x 109

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Frequency, Hz

|S1

1|

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

x 109

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

x 109

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

angl

e(S 1

1),

rad

Cal with OSL Technique

Cal with 3 Resonances

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

x 109

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Frequency, Hz

|S1

1|

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

x 109

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

x 109

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

angl

e(S 1

1),

rad

Cal with OSL Technique

Cal with 3 Resonances

Fig. 7.7. Medidas del coeficiente de reflexión de un resonador calibrado

con tres resonadores y con los patrones tradicionales OSL. Se observa

que ambas opciones proporcionan resultados muy similares tanto en

módulo como en fase.

176

CAPÍTULO 7

Como se ha visto, el uso de tres resonadores microstrip como

estándares de calibración de bajo coste es una posibilidad que

proporciona resultados precisos, al menos en un margen de

frecuencias relativamente estrecho. En el caso en que se deseen

realizar medidas en un margen de frecuencias más amplio, se propone

utilizar varios resonadores más con resonancias repartidas por todo el

ancho de banda de interés, y realizar una calibración con más de tres

patrones para mantener la precisión.

177

El proceso de calibración

Referencias

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[Agi02] Agilent Technologies, “Specifying Calibration Standards for the

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Calibration Schemes for Precision RF Vector Network Analyzer

Measurements”, IEEE Trans. On Instrum. And Meas., Vol. 52, No.

4, pp. 1266-1272, Aug. 2003.

[Rol03] I. Rolfes, B. Schiek, “LRR – A self-calibration technique for the

calibration of Vector Network Analyzers”, IEEE Trans. On Instrum

and Meas., Vol. 52, No. 2, pp. 316-320, Apr. 2003.

[Wil90] D. Williams, “De-embedding and Unterminating Microwave

Fixtures with non-linear least squares”, IEEE Trans. On Microwave

Theory Tech., vol. 38, No. 6, pp. 787-791, Jun. 1990.

[Wil03] D. F. Williams, J.C.M. Wang, U.Arz, “An optimal Vector Network

Analyzer calibration algorithm”, IEEE Trans. On Microw. Theor.

Tech., Vol. 51, No. 12, pp. 2391-2401, Dec. 2003.

179

Capítulo 8

Aplicaciones de los sensores

coaxiales.

En este capítulo se resumen los principales resultados

obtenidos aplicando los sensores coaxiales desarrollados en diversas

aplicaciones. Se muestran las medidas de caracterización de

materiales realizadas tanto con sondas coaxiales abiertas como con

resonadores coaxiales. También se describe la monitorización de las

características de varios materiales, realizadas principalmente con

celdas resonantes coaxiales.

Algunas de las aplicaciones mostradas han sido desarrolladas

para su aplicación en el laboratorio, mientras que otras han sido

diseñadas para su aplicación dentro de algún proceso o cadena de

producción. La posibilidad de utilizar las celdas de medida como

parte de un proceso industrial, para la monitorización no invasiva y

on line de alguna característica de interés, hace de estos sensores una

solución particularmente interesante para la implementación de

nuevas funcionalidades de control en los procesos industriales. La

prueba de ello es que las principales aplicaciones desarrolladas en esta

tesis y resumidas en este capítulo, han surgido como respuesta a

problemas tecnológicos planteados desde la misma industria, y en el

180

CAPÍTULO 8 marco de proyectos de investigación solicitados por empresas de

diversos sectores, como se verá a lo largo del capítulo.

En primer lugar se muestran los resultados obtenidos en la

caracterización dieléctrica de una serie de materiales. Se comienza

con materiales de referencia, cuyos valores de permitividad han sido

determinados por otros autores y pueden contrastarse en la

bibliografía. De este modo se realiza la comprobación del buen

funcionamiento tanto de las celdas coaxiales diseñadas, como de los

modelos teóricos de dichas celdas desarrollados en la tesis.

Posteriormente, se muestran ya aplicaciones concretas de los

sensores coaxiales diseñados. Por un lado cabe destacar las

aplicaciones destinadas al control de la humedad de determinados

materiales mediante la caracterización y monitorización de las

propiedades dieléctricas de dichos materiales. Los sensores

desarrollados han generado un particular interés en este ámbito de

aplicación, debido a su capacidad de monitorizar la humedad de

forma continua y en tiempo real, y a su flexibilidad de instalación sin

interferir con el proceso industrial.

Por otro lado, destaca la flexibilidad de los sensores coaxiales

para ser utilizados en múltiples configuraciones de medida para la

caracterización de materiales y la monitorización de procesos, tal y

como se muestra en el último apartado.

Debido a la variedad de celdas de medidas utilizadas, se

muestra en la Tabla 8.1 las características de las celdas que se han

utilizado para realizar las medidas descritas en este capítulo.

181

Tabla 8.1. Características de las celdas de medida coaxiales.

Fotos Nombre Tipo a (mm) b (mm) εrc L (cm)

Sonda HP

(HP85070B) Sonda 0.33 1.5 3.01 -

Sonda 1 Sonda 1.25 4.2 2.1 -

Cavidad 1 Cavidad 1.25 4.2 2.1 4

Sonda 2 Sonda 5 16.5 2.1 -

Cavidad 2 Cavidad 5 16.5 2.1 5

Cavidad 3 Cavidad 2 7 1 8.5

182

CAPÍTULO 8

En las distintas columnas se especifica el tipo de celda

(cavidad coaxial o sonda coaxial), así como los radios de los

conductores interior y exterior (a y b respectivamente), el valor de

permitividad del dieléctrico de relleno del coaxial (εrc), y en el caso de

los resonadores, la longitud de la celda (L).

8.1. CARACTERIZACIÓN DE MATERIALES

MEDIDAS DE MATERIALES DE REFERENCIA

Para poder comprobar la validez de los métodos desarrollados

para la caracterización de las celdas coaxiales, se realizaron una serie

de medidas de diversos materiales, comparando los resultados

obtenidos con los que aparecen en la bibliografía o los proporcionados

por los fabricantes. En la Tabla 8.2 se muestran los resultados de

permitividad obtenidos con la cavidad coaxial 3 para diferentes

materiales.

183

Tabla 8.2. Medidas de permitividad de materiales.

Medidas Referencias

MUT ε’r ε’’r F(GHz) ε’r ε’’r F(GHz) Ref.

Agua (20-22ºC) 77.86 6.887 1.66 77.95 6.298 1.66 [Bla97]

Aire 1.0009 0.0008 2.55 1.0005 - - [RF01]

Aceite Mineral 2.6 0.12 2.45 2.7 - - [RF01]

Ácido oleico 2.8 0.14 2.45 2.5 0.15 2 [Asi01]

PVC 2.83 0.0138 2.5 2.85 0.05 2 (1)

FR4 4.98 0.154 2.39 4.2-4.9 0.014 0.1 [RF01]

Madera Pino 2.26-2.31 0.23-0.28 2.49 2-2.6 - - [Asi01]

PTFE 2.03-2.05 0.0003 3 2.03 0.0001 - [Ast01]-[Kom03]

Plexiglass 2.46 0.0641 2.48 2.2-3.4 - - [RF01]

Rohacell 1.15 0.011 2.53 1.1 - - [Pat01]

Styrofoam 1.13 0.00047 2.53 1.03 0.000103 10 [Mic01]

Polietileno 2.24 0.0018 2.49 2.2 0.004 2.45 [Asi01]

Nylon 2.68 0.0223 2.46 2.4 0.02 - [Mic01]

(1) Medidas realizadas por M. Janezic con equipos del NIST (celda de medida en transmisión).

184

CAPÍTULO 8

En la Tabla 8.2 se puede apreciar la validez de los métodos de

caracterización desarrollados, así como la dificultad para obtener

referencias de valores estándares de permitividad de diferentes

materiales, ya que es muy difícil encontrar materiales cuyas

propiedades se mantengan constantes en todos los lotes de

fabricación, y que puedan servir de referencia para realizar este tipo

de comprobaciones [NPL03, Afs80, Gan95, Gre01]. Sin embargo, se

puede decir que existen materiales como el PVC o el PTFE, cuyas

propiedades se pueden considerar como constantes

independientemente de la muestra, y que por tanto han sido

utilizadas por numerosos autores para la validación de métodos de

medida de propiedades dieléctricas. Cabe destacar que para estos

materiales, se ha obtenido una precisión muy buena en los resultados.

Para comprobar el comportamiento de las sondas coaxiales

para la caracterización de materiales en un cierto ancho de banda, se

realizaron medidas de la permitividad de diversos materiales,

incluyendo líquidos. De nuevo, debido a la dificultad de encontrar

estándares para la medida de permitividad de diferentes materiales,

se ha optado por comparar los resultados obtenidos con una de las

sondas diseñadas en esta tesis (sonda coaxial 1) con los resultados

proporcionados por una sonda coaxial de propósito general

proporcionada por HP (sonda HP). En las figuras 8.1-8.9 se muestran

los resultados de dichas medidas de permitividad.

En las figuras 8.1 y 8.2 se muestran las medidas de la

constante dieléctrica y del factor de pérdidas del agua a 20ºC. En

este caso, se pueden comparar las medidas con el modelo Cole-Cole

185

Aplicaciones de los sensores coaxiales proporcionado en [Bla97] que permite obtener la permitividad del

agua destilada a esa temperatura en función de la frecuencia,

utilizando la siguiente expresión:

ατπεε

εε −∞

∞ +−

+= 1)2(1 fjS

r (8.1)

Con 2.5=∞ε , 5.78=Sε , , y 12103.8 −⋅=τ 0=α [Bla97]. Cabe

decir que diversos autores han proporcionado diferentes

aproximaciones para la permitividad del agua en función de la

frecuencia [Hip88, Mal56, Nys92, NBS58], pero todos ellos

proporcionan resultados similares.

2 3 4 5 6 7 8 9 1062

64

66

68

70

72

74

76

78

80

Frecuencia (GHz)

ε'r

Sonda HPSonda 1Cole-Cole

Fig. 8.1. Constante dieléctrica del agua entre 2 y 10 GHz. Medidas

realizadas con la sonda coaxial 1 y con la sonda coaxial de HP.

Comparación con el modelo teórico (Cole-Cole) obtenido en [Bla97].

186

CAPÍTULO 8

2 3 4 5 6 7 8 9 105

10

15

20

25

30

35

Frecuencia (GHz)

ε'' r

Sonda HPSonda 1Cole-Cole

Fig. 8.2. Factor de pérdidas del agua entre 2 y 10 GHz. Medidas

realizadas con la sonda coaxial 1 y con la sonda coaxial de HP.

Comparación con el modelo teórico (Cole-Cole) obtenido en [Bla97].

2 3 4 5 6 7 8 9 105

6

7

8

9

10

11

Frecuencia (GHz)

ε'r

Sonda HPSonda 1

Fig. 8.3. Constante dieléctrica del alcohol entre 2 y 10 GHz. Medidas

realizadas con la sonda coaxial 1 y con la sonda coaxial de HP.

187

Aplicaciones de los sensores coaxiales

2 3 4 5 6 7 8 9 103

4

5

6

7

8

9

10

Frecuencia (GHz)

ε'' r

Sonda HPSonda 1

Fig. 8.4. Factor de pérdidas del alcohol entre 2 y 10 GHz. Medidas

realizadas con la sonda coaxial 1 y con la sonda coaxial de HP.

2 3 4 5 6 7 8 9 103

3.2

3.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4

4.6

4.8

5

Frecuencia (GHz)

ε'r

Sonda HPSonda 1

Fig. 8.5. Constante dieléctrica del propanol entre 2 y 10 GHz. Medidas

realizadas con la sonda coaxial 1 y con la sonda coaxial de HP.

188

CAPÍTULO 8

2 3 4 5 6 7 8 9 100.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Frecuencia (GHz)

ε'' r

Sonda HPSonda 1

Fig. 8.6. Factor de pérdidas del propanol entre 2 y 10 GHz. Medidas

realizadas con la sonda coaxial 1 y con la sonda coaxial de HP.

2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Frecuencia (GHz)

ε r

Sonda HPSonda 1

ε 'r

ε ''r

Fig. 8.7. Constante dieléctrica y factor de pérdidas del aire entre 2 y 10

GHz. Medidas realizadas con la sonda coaxial 1 y con la sonda coaxial de

HP.

189

Aplicaciones de los sensores coaxiales

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Frecuencia (GHz)

ε r

Sonda HPSonda 1

ε 'r

ε ''r

Fig. 8.8. Constante dieléctrica y factor de pérdidas del PTFE entre 2 y

10 GHz. Medidas realizadas con la sonda coaxial 1 y con la sonda coaxial

de HP.

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Frecuencia (GHz)

ε r

Sonda HPSonda 1

Fig. 8.9. Constante dieléctrica y factor de pérdidas del PTFE entre 2 y

10 GHz. Medidas realizadas con la sonda coaxial 1 y con la sonda coaxial

de HP.

190

CAPÍTULO 8 MEDIDAS A BAJA FRECUENCIA (1-100 MHz)

Para demostrar la capacidad de caracterización en un gran

ancho de banda de las sondas coaxiales, se realizó también una

caracterización dieléctrica (en este caso de alcohol) en un rango de

frecuencias más bajas, desde 1 MHz hasta 100 MHz, realizando de

nuevo una comparación entre los resultados de las sondas 1 y 2

diseñadas en la tesis con los proporcionados por la sonda de HP. Los

resultados aparecen en las figuras 8.10 y 8.11.

0 20 40 60 80 10020

25

30

35

40

45

50

55

Frecuencia (MHz)

ε'r

Sonda HPSonda 1Sonda 2

Fig. 8.10. Constante dieléctrica del alcohol desde 1 hasta 100 MHz.

Comparación de las medidas obtenidas con tres sondas coaxiales de

diferente tamaño. Se puede observar que al tratarse de medidas a

frecuencias relativamente bajas, la incertidumbre en las medidas

disminuye para la sonda de mayor tamaño (Sonda 2).

191

Aplicaciones de los sensores coaxiales

0 20 40 60 80 100-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Frecuencia (MHz)

ε'' r

Sonda HPSonda 1Sonda 2

Fig. 8.11. Factor de pérdidas del alcohol desde 1 hasta 100 MHz.

Comparación de las medidas obtenidas con tres sondas coaxiales de

diferente tamaño. Se puede observar que al tratarse de medidas a

frecuencias relativamente bajas, la incertidumbre en las medidas

disminuye para la sonda de mayor tamaño (Sonda 2).

En los resultados se observa que la mayor incertidumbre se

obtiene para las medidas realizadas con la sonda de HP, que es la de

menor tamaño, mientras que esta incertidumbre es mucho menor en

las medidas realizadas con la sonda 2, que es la de mayor tamaño.

Este hecho concuerda con lo estudiado en el capítulo 4, en el que se

optimizaba la sensibilidad de las sondas coaxiales. En efecto, en el

capítulo 4 se vió que obtenido un determinado valor de α óptimo, que

proporcionaba la máxima sensibilidad de la sonda diseñada, el

producto del radio del conductor interior por la frecuencia de medida

era constante. Por tanto, si se desea realizar medidas a bajas

frecuencias (como es este caso), ello nos llevaría a elegir sondas de

192

CAPÍTULO 8 mayor tamaño (radio a grande), para que el producto af se

mantuviese constante. Por esa razón la sonda coaxial de mayor

tamaño (Sonda 2) es la que proporciona una medida con menor

incertidumbre que las otras dos.

CARACTERIZACIÓN DE MEZCLAS LÍQUIDAS

Mediante las sondas coaxiales abiertas, se ha visto cómo es

posible caracterizar materiales en un cierto ancho de banda, de forma

precisa. Además, este tipo de sondas está especialmente indicado para

caracterizar líquidos, ya que éstos no presentan problemas de

contacto con la superficie de la sonda (siempre y cuando se evite la

formación de burbujas de aire en la apertura de la sonda) [NPL03].

Por otra parte, las mezclas líquidas son utilizadas en

determinadas ocasiones para obtener materiales con un rango de

valores de permitividad que varían entre los valores de cada uno de

los componentes líquidos utilizados [Smi90]. Por ello, es interesante

obtener con precisión la caracterización dieléctrica de dichas mezclas

líquidas.

En las figuras 8.12 y 8.13 se muestran las medidas realizadas

con la sonda coaxial 1 de las mezclas de agua destilada y glicerina

entre 1 y 4 GHZ. Las mezclas se realizaron variando la proporción

volumétrica de los dos componentes como XGYH, es decir, X partes

volumétricas de glicerina (G) con Y partes volumétricas de agua (H).

Todas las muestras se prepararon de 100 mL. Por esta razón, aparece

un pequeño rizado en las medidas, que se debe principalmente a que,

al tratarse de muestras pequeñas, la energía de microondas que

193

Aplicaciones de los sensores coaxiales

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

10

20

30

40

50

60

70

80

Frecuencia (GHz)

ε'r

G4G1H3G2H2G3H1G4HH

Fig. 8.12. Constante dieléctrica de las mezclas de glicerina (G) y agua

(H) entre 1 y 4 GHz realizadas con la Sonda coaxial 1. Las proporciones

volumétricas se indican como XGYH, donde X es el número de partes

volumétricas de glicerina, e Y es el número de partes de agua.

emerge de la sonda coaxial no queda enteramente contenida en el

interior de las muestras, sino que parte de ella llega a los bordes (al

contenedor de la muestra) y se refleja de nuevo hacia la fuente. Sin

embargo, es posible observar claramente cómo las propiedades

dieléctricas varían adecuadamente a medida que se modifican las

proporciones volumétricas de la mezcla líquida.

En las figuras 8.14 y 8.15 se muestran las medidas realizadas

con la sonda coaxial 1 de las mezclas de agua destilada y alcohol

entre 1 y 4 GHZ. Las mezclas se realizaron variando la proporción

volumétrica de los dos componentes como XAYH, es decir, X partes

volumétricas de alcohol (A) con Y partes volumétricas de agua (H).

194

CAPÍTULO 8

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

20

25

Frecuencia (GHz)

ε"r

G4G1H3G2H2G3H1G4HH

Fig. 8.13. Factor de pérdidas de las mezclas de glicerina (G) y agua (H) realizadas

con la Sonda coaxial 1. Las proporciones se indican como XGYH, donde X es el

número de partes volumétricas de glicerina, e Y es el número de partes de agua.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

10

20

30

40

50

60

70

80

Frecuencia (GHz)

ε'r

A4A1H3A2H2A3H1A4HH

Fig. 8.14. Constante dieléctrica de las mezclas de alcohol (A) y agua (H) entre 1 y

4 GHz realizadas con la Sonda coaxial 1. Las proporciones volumétricas se indican

como XAYH, donde X es el número de partes volumétricas de alcohol, e Y es el

número de partes de agua.

195

Aplicaciones de los sensores coaxiales

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

20

25

Frecuencia (GHz)

ε"r

A4A1H3A2H2A3H1A4HH

Fig. 8.15. Factor de pérdidas de las mezclas de alcohol (A) y agua (H) entre 1 y 4

GHz realizadas con la Sonda coaxial 1. Las proporciones volumétricas se indican

como XAYH, donde X es el número de partes volumétricas de alcohol, e Y es el

número de partes de agua.

CARACTERIZACIÓN DE EMULSIONES AGUA/ACEITE

Las emulsiones agua en aceite (w/o) están presentes durante y

al final de la producción de diferentes tipos de industrias, tales como

refinerías de petróleo, plantas químicas, farmacéuticas, etc. Por ello,

hay numerosas aplicaciones de calentamiento por microondas para

tratar o separar este tipo de emulsiones [Cla83, Per06]. Sin embargo,

la mayoría de los estudios sobre las propiedades dieléctricas de

emulsiones se han realizado, por razones económicas, a frecuencias

relativamente bajas (0.1 a 100 MHz), a las que ocurren fenómenos de

relajación debidos a la polarización interfacial que dificultan la

196

CAPÍTULO 8 correcta caracterización dieléctrica de este tipo de mezclas [Cla83,

Per06].

Por ello, se realizó una caracterización de las emulsiones

mediante una sonda coaxial (sonda 2), en un margen de frecuencias

de trabajo en la región de microondas de 1–4 GHz (lejana a los

mecanismos de polarización interfacial), y que incluye la frecuencia

estándar de calentamiento (2.45 GHz) utilizada en numerosas

aplicaciones de tratamiento y separación de emulsiones.

Por otra parte, las investigaciones realizadas hasta el momento

hacen comparaciones entre emulsiones w/o (agua en aceite) y o/w

(aceite en agua), pero no entre emulsiones de un mismo tipo. En este

trabajo se compararon por primera vez dos emulsiones w/o, con dos

tipos de aceites diferentes: el primero con características polares

(aceite vegetal: ácido oleico) y el segundo con comportamiento apolar

(aceite mineral: SAE 40).

De la caracterización dieléctrica realizada, se pudo demostrar

la posibilidad de utilizar las propiedades dieléctricas para la

determinación simultánea del tipo de emulsión y del contenido de

agua. Este trabajo fue publicado en [Per06], y ha sido objeto de

estudio en otra tesis.

En la figura 8.16 se muestran como ejemplo las micrografías de

dos de las emulsiones estudiadas realizadas con el microscopio de

barrido electrónico Cryo-SEM, realizadas con aceite vegetal, y con

diferentes proporciones de agua y aceite.

197

Aplicaciones de los sensores coaxiales

50μm50μm

50μm50μm

(a) (b)

Fig. 8.16. Micrografía de dos de las emulsiones w/o (agua en aceite) estudiadas. A)

Emulsión de agua en aceite vegetal con 15% de volumen de agua. B) Emulsión de

agua en aceite vegetal con 50% de volumen de agua.

ε´2 4 6 8 10 12 14

ε´´

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

OLEIC ACIDMINERAL OIL

W50/50O

W50/50O

W40/60O

W40/60O

W30/70O

W30/70O

W15/85O

W15/85O

ε´2 4 6 8 10 12 14

ε´´

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

OLEIC ACIDMINERAL OIL

W50/50O

W50/50O

W40/60O

W40/60O

W30/70O

W30/70O

W15/85O

W15/85O

Fig. 8.17. Diagrama Cole-Cole de los dos tipos de emulsiones (con aceite vegetal –

ácido oleico- y mineral), para muestras de diferentes proporciones volumétricas de

aceite (O) y agua (W). Las proporciones se indican como WX/YO, donde X es la

proporción de agua e Y es la proporción de aceite.

198

CAPÍTULO 8

La diferente estructura molecular de los distintos tipos de

emulsiones estudiadas queda reflejada en los valores de las

propiedades dieléctricas obtenidos, tal y como se muestra en la figura

8.17. En ella se observa el diagrama Cole-Cole de las emulsiones

realizadas con los dos tipos de aceite, vegetal y mineral, para

muestras con diferentes proporciones volumétricas de aceite y agua.

Las proporciones se indican como WX/YO, donde X es la proporción

de agua (W) e Y es la proporción de aceite (O).

La figura 8.17 permite observar las diferencias entre las

propiedades de las emulsiones realizadas con aceite vegetal (de

carácter polar, con mayores pérdidas y constante dieléctrica) y las

realizadas con aceite mineral (de carácter apolar). Por otra parte

queda reflejada la clara influencia que la cantidad de agua de la

emulsión tiene en las propiedades dieléctricas. Se demuestra, por

tanto, la posibilidad de utilizar dichas propiedades para la

determinación del tipo de emulsión y del porcentaje de agua.

8.2. SENSORES PARA APLICACIONES DE CONTROL

DE HUMEDAD

Conocer el contenido de humedad de un determinado material

tiene un enorme valor económico en la fabricación y el procesado de

materiales. Dicha información es útil para determinar el valor de las

materias primas, para realizar el diseño de los equipos, para controlar

el proceso y para realizar controles de calidad de los productos. Así,

la determinación de humedad es crucial en agricultura, en las

199

Aplicaciones de los sensores coaxiales industrias madereras, en el procesado de alimentos y medicamentos,

en la evaluación de materiales compuestos, etc.

Los métodos tradicionales de determinación de humedad

requieren lentos procesos de secado de los materiales que son

laboriosos e inaplicables en aplicaciones continuas. Por otro lado,

existen métodos más rápidos como los sensores por infrarrojos (IR),

que proporcionan una medida de la humedad superficial del material

de forma no destructiva.

Los sensores de microondas proporcionan una solución muy

interesante a este tipo de aplicaciones, ya que proporcionan una

medida de la humedad existente en todo un volumen del material (no

sólo en la superficie), lo que es particularmente importante cuando

existen gradientes de humedad en el interior del material. Además,

los sensores de microondas no necesitan estar en contacto con el

material, lo que permite realizar medidas sin interferir el proceso, con

una mayor flexibilidad logística y de instalación. Además, se trata de

equipos robustos que no se ven apenas afectados por las condiciones

ambientales (polvo, luz ambiental, vibraciones), que sí afectan a otro

tipo de sensores en entornos industriales.

Por todo ello, se ha comprobado el interés por este tipo de

sensores de microondas para su aplicación en determinados procesos

que se verán a continuación. En todos ellos, el contenido de humedad

(moisture, M) se ha determinado en base húmeda, utilizando la

siguiente expresión:

DW

Wmm

mM

+= 100(%) (8.2)

200

CAPÍTULO 8

Donde es la masa de agua, y es la masa del material

seco. Wm Dm

SENSOR PARA MATERIALES ESPOLVOREADOS I

Para poder estudiar las posibilidades de los sensores coaxiales

para la determinación del contenido de humedad de materiales

espolvoreados, se hizo un estudio con un material de referencia como

es la arena de cuarzo. En primer lugar se realizó el diseño de las

dimensiones del sensor coaxial siguiendo el método descrito en el

capítulo 4, obteniendo un sensor optimizado con las dimensiones de la

cavidad coaxial 1. Posteriormente, se realizaron medidas con la

cavidad coaxial 1 de las propiedades dieléctricas de muestras de arena

de cuarzo con diferentes contenidos de humedad entre el 0% y el 5%

(colocando la cavidad en contacto con el material). No se

consideraron de interés contenidos de humedad superiores al 5%, ya

que se observaba la saturación del material. En la figura 8.18 se

muestran algunas de las resonancias obtenidas con dicha cavidad

para las diferentes muestras, y en la figura 8.19 se muestra la

variación de la frecuencia de resonancia en función del contenido de

humedad del material.

201

Aplicaciones de los sensores coaxiales

2.42 2.43 2.44 2.45 2.46 2.47

x 109

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Frequency (Hz)

|S11

| (dB

)

0%

1%

2%

3%

4%

5%

Fig. 8.18. Medidas de arena de cuarzo con diferentes contenidos de humedad (%)

realizadas con la cavidad coaxial 1 en contacto directo con el material.

-1 0 1 2 3 4 5 62.43

2.44

2.45

2.46

2.47

2.48

2.49x 10

9

Moisture (%)

Fre

s (H

z)

MUT

Coaxial Cavity

MUT

Coaxial Cavity

a) b)

Fig. 8.19. Variación de la frecuencia de resonancia de la cavidad coaxial 1 en

función de la humedad de la arena de cuarzo (%). Medidas realizadas con contacto

directo entre la cavidad y el material.

202

CAPÍTULO 8

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.101.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

'rε

''rε

M=0%

M=1%

M=2%M=3%

M=4%

M=5%

Fig. 8.20. Diagrama Cole-Cole de las muestras de arena de cuarzo en función de la

humedad (%). Medidas realizadas con la cavidad coaxial 1 en contacto directo con

el material.

A partir de las medidas mostradas en la figura 8.18, se

obtuvieron las propiedades dieléctricas de la arena de cuarzo en

función del contenido de agua. Dichos resultados aparecen en el

diagrama Cole-Cole de la figura 8.20.

Para simular una aplicación real, en la que el material se

mueve sobre una cinta transportadora y el sensor se coloca a una

cierta distancia de ellos, se realizaron medidas para comprobar la

capacidad del sensor de proporcionar cambios en su respuesta en

función del contenido de humedad del cuarzo. El hecho de separar el

material de la superficie del sensor hace que se requiera de una mayor

penetración del campo eléctrico, por lo que el diseño del sensor

cambia, siendo en este caso más óptima la cavidad coaxial 2.

203

Aplicaciones de los sensores coaxiales

En la figura 8.21 se muestran los resultados obtenidos con la

cavidad coaxial 2 midiendo una capa de aire de 1 mm, una capa de

un material plástico para simular la cinta transportadora (0.42 mm

de grosor) y el cuarzo con diferentes porcentajes de humedad. En la

figura 8.22 se muestran los resultados obtenidos con la cavidad

coaxial 1 midiendo una capa de aire de 0.5 mm, una capa de un

material plástico de 0.35 mm de grosor y el cuarzo con diferentes

porcentajes de humedad. En ambas figuras se comprueba la

viabilidad de poder detectar con precisión el nivel de humedad de la

arena de cuarzo, a pesar de no haber contacto directo entre el sensor

y el material.

-1 0 1 2 3 4 5 61.774

1.776

1.778

1.78

1.782

1.784

1.786

1.788

1.79

1.792

1.794x 10

9

Moisture (%)

Fre

s (H

z)

MUT

Conveyor Belt

Coaxial Cavity

Air Layer ( Lit-off )

MUT

Conveyor Belt

Coaxial Cavity

Air Layer ( Lit-off )

a) b)

Fig. 8.21. Variación de la frecuencia de resonancia de la cavidad coaxial 2 en

función de la humedad de la arena de cuarzo (%). Medidas realizadas con una capa

de aire de 1mm, una capa de material plástico de 0.42 mm, y el cuarzo con

diferentes porcentajes de humedad (0-5%).

204

CAPÍTULO 8

0 1 2 3 4 5 62.444

2.446

2.448

2.45

2.452

2.454

2.456

2.458

2.46

Moisture Content (%)

F res (G

Hz)

MUT

Conveyor Belt

Coaxial Cavity

Air Layer ( Lit-off )

MUT

Conveyor Belt

Coaxial Cavity

Air Layer ( Lit-off )

a) b)

Fig. 8.22. Variación de la frecuencia de resonancia de la cavidad coaxial 1 en

función de la humedad de la arena de cuarzo (%). Medidas realizadas con una capa

de aire de 0.5mm, una capa de material plástico de 0.35 mm, y el cuarzo con

diferentes porcentajes de humedad (0-5%).

SENSOR PARA MATERIALES ESPOLVOREADOS II

En este apartado se resume un ejemplo de aplicación de los

sensores coaxiales a la monitorización del contenido de humedad de

un material espolvoreado, con unas características muy similares a las

de la arena de cuarzo estudiado como referencia. En primer lugar se

realizó el diseño de las dimensiones del sensor coaxial siguiendo el

método descrito en el capítulo 4, obteniendo un sensor optimizado

con las dimensiones de la cavidad coaxial 1. En las figuras 8.23 y 8.24

se muestran las propiedades dieléctricas de dicho material en función

de la humedad, obtenidas con dicha cavidad. En ellas se pueden

205

Aplicaciones de los sensores coaxiales observar dos zonas diferenciadas, relacionadas con la forma en que el

agua enlaza con la estructura interna del material. Para contenidos

de humedad pequeños, el agua enlaza fuertemente con las moléculas

de la estructura, mientras que para contenidos de humedad mayores,

el agua cada vez se enlaza más débilmente, hasta que el material se

satura y el agua queda libre. El cambio de comportamiento se

produce en un cierto valor del contenido de humedad, que es

característico de cada material, y que se suele denominar valor de

humedad higroscópica por estar relacionado con el valor de humedad

alcanzado por el material en condición de equilibrio. Por otra parte,

se observa que a partir del valor de saturación del material (alrededor

del 8%), la dispersión de las medidas aumenta debido a la

acumulación del agua en ciertas zonas del material.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 112

4

6

8

10

12

14

16

Water Content(%)

Rea

l( εr)

Permittivity Measurements at 2.45 GHz

Hygroscopic Humidity

Fig. 8.23. Constante dieléctrica del material estudiado en función del contenido de

humedad. Medidas realizadas con la cavidad coaxial 2. Se observa un cambio de

pendiente en el punto de humedad higroscópica en el que el agua deja de estar

ligada a la estructura molecular del material.

206

CAPÍTULO 8

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

Water Content (%)

Imag

( εr)

Permittivity Measurements at 2.45 GHz

Hygroscopic Humidity

Fig. 8.24. Factor de pérdidas del material estudiado en función del contenido de

humedad. Medidas realizadas con la cavidad coaxial 2. Se observa un cambio de

pendiente en el punto de humedad higroscópica en el que el agua deja de estar

ligada a la estructura molecular del material.

Después de estudiar las propiedades del material estudiado se

realizó el diseño de la cavidad coaxial para realizar la monitorización

in situ del material en el entorno industrial. De nuevo se aplicó el

procedimiento de diseño descrito en el capítulo 4, y se diseñó un

sensor optimizado con las dimensiones de la cavidad 2.

Posteriormente se comprobó que el sensor diseñado detectaba

correctamente las variaciones de humedad con una configuración con

cinta transportadora similar a la estudiada en el caso de la arena de

cuarzo. La respuesta obtenida con la cavidad 2, con una capa de aire

de 1 mm, la cinta transportadora (0.42 mm) y el material, se

muestran en la figura 8.25.

207

Aplicaciones de los sensores coaxiales

-2 0 2 4 6 8 10 121.78

1.8

1.82

1.84

1.86

1.88

1.9

1.92

1.94

1.96

Water Content(%)

Res

onan

t F

requ

ency

(G

Hz)

MUT

Conveyor Belt

Coaxial Cavity

Air Layer ( Lit-off )

MUT

Conveyor Belt

Coaxial Cavity

Air Layer ( Lit-off )

a) b)

Fig. 8.25. Variación de la frecuencia de resonancia de la cavidad coaxial 2 en

función de la humedad del material (%). Medidas realizadas con una capa de aire

de 1mm, una capa de material plástico de 0.42 mm, y el material con diferentes

porcentajes de humedad (0-8%).

En la figura 8.26 se muestra el sensor coaxial diseñado, así

como la configuración de medida elegida para realizar la

monitorización in situ del material, y ejemplos de las pruebas

realizadas para verificar el funcionamiento antes de la implantación

en el entorno industrial final. Se observa que el sensor coaxial está

colocado sobre un soporte de PTFE colocado por debajo de la cinta

transportadora que lleva el material.

208

CAPÍTULO 8

a) b)

c) d)

Fig. 8.26. Ejemplo de utilización del sensor coaxial diseñado para la monitorización

contínua del contenido de humedad del material considerado. A),b) detalles de la

configuración de medida con un soporte de PTFE para colocar el sensor. C),d)

Colocación del sensor para la realización de pruebas en movimiento antes de la

instalación final.

209

Aplicaciones de los sensores coaxiales SENSOR PARA MATERIALES GRANULARES

Otro de los campos de aplicación de los sensores de humedad

con microondas es el de los productos alimenticios. En ese sentido, la

empresa Nestlé solicitó el diseño de un sensor y la medida de las

propiedades dieléctricas en función del contenido de humedad de

varios tipos de alimentos para perros, con formato granular de

tamaño variable.

En la figura 8.27 se muestra la sonda coaxial 2, con la que se

realizaron las medidas, así como la configuración de medida utilizada

con un soporte cilíndrico para colocar las muestras en contacto con el

sensor. En las figuras 8.28-8.32 se muestran los diferentes tipos de

alimentos estudiados, así como la variación de sus propiedades

dieléctricas obtenida a 3GHz con la sonda coaxial 2.

a) b)

Fig. 8.27. a) Sonda coaxial 2 utilizada para las medidas de los alimentos.b)

Configuración de medida de los alimentos, con soporte cilíndrico para colocar los

alimentos en contacto con el sensor.

210

CAPÍTULO 8

1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.90.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

Permittivity of Batch 6 at 3 GHz

Real(εr)

Imag

( εr)

M =4.54%

εr = 1.57-j0.29

M = 6.92%

εr = 1.67-j0.33

M = 8.21%

εr = 1.77-j0.36

a) b)

Fig. 8.28. a) Aspecto del lote de alimentos Nº6, b) Diagrama Cole-Cole del material

con diferentes contenidos de humedad a una frecuencia de 3 GHz.

1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Permittivity of Batch 3 at 3 GHz

Real(εr)

Imag

( εr)

M = 5%

εr = 1.53-j0.22

M = 7.71%

εr = 1.71-j0.29

M = 10.39%

εr = 1.80-j0.32

a) b)

Fig. 8.29. a) Aspecto del lote de alimentos Nº3, b) Diagrama Cole-Cole del material

con diferentes contenidos de humedad a una frecuencia de 3 GHz.

211

Aplicaciones de los sensores coaxiales

1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.650.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Permittivity of Batch 2 at 3 GHz

Real(εr)

Imag

( εr)

M = 4.06% M = 4.81%

M = 5.47%

εr = 1.35-j0.20 εr = 1.44-j0.21

εr = 1.55-j0.24

a) b)

Fig. 8.30. a) Aspecto del lote de alimentos Nº2, b) Diagrama Cole-Cole del material

con diferentes contenidos de humedad a una frecuencia de 3 GHz.

1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.850

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Permittivity of Batch 7 at 3 GHz

Real(εr)

Imag

( εr)

M = 4.89%

M = 5.93%

M = 7.66% M = 9.12%

εr = 1.49-j0.15

εr = 1.55-j0.20

εr = 1.56-j0.21 εr = 1.68-j0.26

a) b)

Fig. 8.31. a) Aspecto del lote de alimentos Nº7, b) Diagrama Cole-Cole del material

con diferentes contenidos de humedad a una frecuencia de 3 GHz.

212

CAPÍTULO 8

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.80.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5Permittivity of Batch 1 at 3 GHz

Real(εr)

Imag

( εr)

M = 5.76%

M = 7.6% M = 8.76%

εr = 1.30-j0.27

εr = 1.42-j0.29 εr = 1.59-j0.31

a) b)

Fig. 8.32. a) Aspecto del lote de alimentos Nº1, b) Diagrama Cole-Cole del material

con diferentes contenidos de humedad a una frecuencia de 3 GHz.

Como resumen de los resultados obtenidos, se muestra en la

Tabla 8.3 el incremento en la permitividad obtenido para cada

muestra cuando existe en el material un incremento del contenido de

humedad del 5%. De esta manera, se puede ver la discriminación que

se alcanza con el sensor para cada tipo de alimento estudiado.

Si se observa la Tabla 8.3, y sabiendo que una desviación del

4% en el contenido de humedad de trigo a 1GHz proporciona un

incremento de la permitividad de Δε=0.3-j0.1 [Nel99], se confirma que

los cambios observados en la permitividad de los alimentos estudiados

son comparables a los obtenidos por otros autores para productos

similares comúnmente utilizados en estudios de este tipo.

213

Aplicaciones de los sensores coaxiales

Tabla 8.3. Incremento de la permitividad obtenido para

cada muestra (a 2GHz).

Muestra ΔM (%) Δε’ Δε’’

Lote Nº 1 5% 0.35 0.09

Lote Nº 2 5% 0.47 0.21

Lote Nº 3 5% 0.32 0.07

Lote Nº 6 5% 0.3 0.14

Lote Nº 7 5% 0.29 0.095

SENSOR PARA MEDIDAS EN MATERIALES CERÁMICOS

Otra de las aplicaciones de los sensores coaxiales para la

medida de humedad es la de los materiales cerámicos. Un ejemplo de

dichos materiales se muestra en la figura 8.33. En ellos, es importante

conocer no sólo el nivel de humedad en un cierto volumen del

material, sino también conocer el perfil de humedad a lo largo de una

muestra. La información acerca de la distribución del agua a lo largo

de la muestra es importante para la fabricación de estos materiales, y

tradicionalmente esta información se realiza dividiendo las muestras

en pequeñas porciones cuya humedad se determina secando la

muestra y determinando la pérdida de peso que ha tenido. Por ello, el

sensor coaxial propuesto representa una solución para obtener dichos

perfiles de forma rápida y no destructiva.

214

CAPÍTULO 8

(a) (b)

Fig. 8.33. Muestras de diferentes materiales cerámicos con forma cilíndrica.

Con estos materiales se realizaron dos tipos de medidas. En

primer lugar se midieron las propiedades dieléctricas de diferentes

muestras de material con tres contenidos de humedad distintos (0%,

15% y 25%) en un rango de frecuencias entre 1 y 4 GHz. Para ello, se

realizó el diseño de una sonda coaxial optimizando su sensibilidad en

dicho rango de frecuencias, obteniendo como resultado la sonda

coaxial 1.

Los resultados obtenidos para la permitividad de las muestras

se muestran en las figuras 8.34 y 8.35, donde se observa cómo, a

pesar de las variaciones entre las propiedades de las distintas

muestras, se puede distinguir claramente el nivel de humedad entre

los tres valores proporcionados.

215

Aplicaciones de los sensores coaxiales

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 109

0

20

40

60

80

100

120

140Side Measurements

Frequency (Hz)

Rea

l (ε r

)

0%

25%

15%

Fig. 8.34. Constante dieléctrica de las diferentes muestras para cada nivel de

humedad proporcionado (0%, 15% y 25%). Medidas realizadas con la sonda coaxial

1.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 109

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Side Measurements

Frequency (Hz)

Imag

( εr)

0%

15%

25%

Fig. 8.35. Factor de pérdidas de las diferentes muestras para cada nivel de humedad

proporcionado (0%, 15% y 25%). Medidas realizadas con la sonda coaxial 1.

216

CAPÍTULO 8

En un segundo estudio, se utilizó la cavidad coaxial 1 para

obtener los perfiles de humedad de diferentes muestras rectangulares

proporcionadas. El estudio consiste en obtener la frecuencia de

resonancia de la cavidad en diferentes posiciones desplazando la

cavidad a lo largo de la muestra, sabiendo que la frecuencia de

resonancia será menor para aquellas zonas más húmedas (que tendrán

permitividades más altas, como se acaba de ver), y será mayor para

aquellas zonas más secas. De esta forma, se obtiene una imagen de la

distribución de la humedad a lo largo de las muestras, y es

interesante poder comparar los perfiles de muestras con diferente

contenido de agua. Además, para evitar la incertidumbre por posibles

defectos en el contacto entre la cavidad y el material, se colocó la

cavidad a una distancia de 1 mm de cada muestra.

Los resultados obtenidos en este estudio se muestran en la

figura 8.36. En ella se pueden ver tres zonas que delimitan los perfiles

de humedad de las muestras secas (0% de humedad) en azul, las

muestras con humedad intermedia (15%) en rojo, y las muestras más

húmedas (25%) en verde. Independientemente del nivel de humedad,

todos los perfiles revelan que las muestras están más húmedas por el

centro que en los extremos, como se esperaba. En las muestras secas

apenas hay variación de la frecuencia de resonancia en función de la

posición a lo largo de la muestra. Sin embargo, a medida que la

muestra contiene más humedad, se observan mayores gradientes

dentro de cada muestra. Además, se observa que generalmente hay

un lado de la muestra que presenta una mayor concentración del

agua, lo que puede ser debido a la posición de la muestra durante el

217

Aplicaciones de los sensores coaxiales

2.42

2.44

2.46

2.48

2.5

2.52

2.54

0 5 10 15 20

Posiciones

Frec

. Res

onan

cia

(GH

z)

1

3

4

5

7

8

10

12

13

14

15

16

17

182.42

2.44

2.46

2.48

2.5

2.52

2.54

0 5 10 15 20

Posiciones

Frec

. Res

onan

cia

(GH

z)

1

3

4

5

7

8

10

12

13

14

15

16

17

18

Fig. 8.36. Perfiles de humedad obtenidos midiendo la frecuencia de resonancia de la

cavidad en diferentes posiciones a lo largo de cada muestra. La franja azul delimita

las muestras secas (0%), la franja roja corresponde a los perfiles de las muestras de

humedad intermedia (15%), y la franja verde a los perfiles de las más húmedas

(25%).

tiempo que está almacenada, o bien por la forma de extraer cada

muestra a partir del material original. Lo que es evidente es que se

puede extraer información muy útil sobre la homogeneidad de la

distribución de la humedad a lo largo de la muestra con medidas

rápidas y no destructivas del material.

8.3. OTRAS APLICACIONES

Como ya se ha comentado, las celdas coaxiales tienen la gran

ventaja de ser muy versátiles y de que su diseño y fabricación es

relativamente simple. Por ello, se han desarrollado numerosas celdas

218

CAPÍTULO 8 coaxiales de medida con diferentes configuraciones dependiendo del

propósito para el que han sido diseñadas, aplicando el procedimiento

de diseño descrito en el capítulo 4 para garantizar la máxima

sensibilidad en los sensores diseñados. En este último apartado se

resumen algunos ejemplos de estas celdas coaxiales de medida.

8.3.1. KIT PORTÁTIL DE MEDIDAS DIELÉCTRICAS

En primer lugar, se ha diseñado una cavidad coaxial, en

concreto se trata de la cavidad 3, como parte de lo que se ha

denominado un kit portátil de medidas dieléctricas. Dicho equipo se

muestra en la figura 8.37, donde se puede ver la cavidad coaxial junto

con el reflectómetro (varias versiones) y el PC. El sistema completo

diseñado tiene la ventaja de que es muy cómodo de utilizar, y

combina las ventajas de la cavidad coaxial con la precisión del

reflectómetro y el coste competitivo del sistema total.

Este equipo está pensado para facilitar la utilización de los

sensores de microondas en entornos que no son laboratorios, por

usuarios no expertos en microondas. Es en esos entornos donde la

inversión que supone adquirir un Analizador de redes para poder

utilizar un sensor de microondas no es fácil, y este hecho ha supuesto

una de las principales razones por las que el uso de los sensores de

microondas en la industria no ha sido tan generalizado, a pesar de

que las ventajas que éstos pueden ofrecer están claras. Por ello, se ha

diseñado este equipo de medida que permite obtener las propiedades

dieléctricas de materiales combinando la precisión de los modelos más

completos con una interfaz simple para el usuario que le permite

219

Aplicaciones de los sensores coaxiales

(a) (b)

Fig. 8.37. Versiones del kit portátil de medidas dieléctricas desarrollado. Se observa

la cavidad coaxial 3 junto con el equipo reflectómetro y un PC que contiene el

software de control implementado en Labview.

representar los datos, guardarlos, comparar medidas, realizar

estadísticas, etc. Las medidas representadas en la Tabla 8.2 han sido

realizadas con este equipo.

8.3.2. SENSOR COAXIAL PARA INSERCIÓN EN MOLDES

A continuación se muestra el diseño de una cavidad coaxial

realizada en el interior de un tornillo, para su instalación en moldes

cerrados en cuyo interior se desea realizar la monitorización de un

determinado material. Este diseño se ha realizado como parte de un

estudio solicitado por la compañía Dow Chemicals para la

investigación de las reacciones de curado de elastómeros y otro tipo

de materiales poliméricos.

220

CAPÍTULO 8

(a) (b)

Fig. 8.38. Cavidad coaxial insertada en el interior de un tornillo.a) Cavidad coaxial

y equipo refelctómetro, b) detalle de la cavidad coaxial con una tapa dieléctrica de

protección.

En la figura 8.38 se muestra el equipo diseñado, que contiene

la cavidad coaxial insertada dentro de un tornillo que va enroscado al

molde, y que por otra parte está unido al reflectómetro que lleva todo

el hardware de microondas.

En la figura 8.39 se muestra un ejemplo de los resultados

obtenidos con el sensor coaxial instalado en el molde para la

monitorización de la reacción química de fabricación de un polímero.

En concreto, se muestra la variación de la freucencia de resonancia y

del factor de calidad del sensor durante la reacción, para diferentes

proporciones de los componentes A y B utilizados en la mezcla.

221

Aplicaciones de los sensores coaxiales

1550

1570

1590

1610

1630

1650

1670

1690

1710

1730

1750

0 100 200 300 400 500 600Time (s)

Fr (M

Hz)

A/B 100/60A/B 100/60A/B 100/62A/B 100/58A/B 100/64

(a)

15

17

19

21

23

25

27

29

31

33

35

0 100 200 300 400 500 600 700Time (s)

Q

A/B 100/60A/B 100/60A/B 100/62A/B 100/58A/B 100/64

(b)

Fig. 8.39. Ejemplo de los resultados obtenidos con el sensor coaxial instalado en el

molde. Detección de la proporción de los componentes A y B utilizados en la

reacción (A/B) a)Medidas de la frecuencia de resonancia del sensor a lo largo de la

reacción.b) medidas del factor de calidad Q del sensor durante la reacción.

222

CAPÍTULO 8

El estudio realizado reveló que el sensor coaxial proporciona

una información muy valiosa acerca de las características de la

reacción, como el tipo de formulación, la cantidad de catalizador, la

densidad de la mezcla o la formulación utilizada. El hecho de que el

sensor pueda proporcionar de forma continua y en tiempo real toda

esta información sin interferir con el proceso es crucial para poder

controlar de forma eficiente la reacción, lo que permite ahorrar

materias primas y energía, y por supuesto obtener materiales con

unas características determinadas y con una calidad superior a la

obtenida con los métodos tradicionales de fabricación.

8.3.3. SENSOR COAXIAL EN CELDA DE VASO

Como ya se ha comentado, una de las ventajas de los sensores

coaxiales es su flexibilidad para poder ser instalados en diferentes

configuraciones de celdas de medida. Dentro del estudio solicitado por

Dow Chemicals, existía el interés de disponer de una celda de medida

que permitiese realizar controles de ciertas reacciones en el

laboratorio, con mezclas líquidas de poco volumen. Así, se diseñó la

celda de medida con forma de vaso, en cuyas paredes está integrado

el sensor coaxial, de forma que se puede realizar la monitorización de

la reacción que tiene lugar en el interior del vaso de forma similar a

la realizada en el interior del molde. La diferencia es que en este caso

no existe contacto entre el sensor y los materiales, ya que éstos están

contenidos en el vaso que se coloca en el interior de la celda de

medida.

223

Aplicaciones de los sensores coaxiales

En la figura 8.40 se muestra un esquema de la celda de medida

con forma de vaso, con el sensor coaxial integrado en la pared lateral

de la celda, y varias fotos del equipo final integrado con el

reflectómetro, un calefactor y los sensores de temperatura.

(a)

(b) (c)

Fig. 8.40. Sensor coaxial en celda de vaso. A) Esquema de la celda de medida con el

sensor coaxial integrado en la pared lateral. b) Equipo completo con la celda de

medida, el reflectómetro, el calefactor y los sensores de temperatura. C) Ejemplo de

utilización en los laboratorios de Dow Chemicals.

224

CAPÍTULO 8

En la figura 8.41 se muestra un ejemplo de los resultados

obtenidos con el sensor coaxial en la celda de vaso. En concreto, se

muestran las variaciones de la respuesta del sensor monitorizando

uno de los componentes de la mezcla mientras es sometido a

variaciones de temperatura. Gracias a la combinación del sensor

coaxial con el equipo calefactor y los sensores de temperatura, fue

posible realizar un estudio de los efectos térmicos que se producen en

la reacción debido a los cambios de temperatura, lo cual es de sumo

interés para poder comprender los mecanismos químicos que ocurren

en el interior del molde en el proceso industrial.

225

Aplicaciones de los sensores coaxiales

Constant Temperature

2350

2352

2354

23562358

2360

23622364

2366

23682370

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Time (s)

Fr (M

Hz)

(a)

2350

2352

2354

2356

2358

2360

2362

2364

2366

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

Time (s)

Fr (M

Hz)

+5ºC -10ºC

(b)

Fig. 8.41. Resultados obtenidos con el sensor coaxial en la celda de vaso.

Detección de efectos térmicos en los componentes gracias a la

incorporación al equipo del calefactor y los sensores de temperatura. A)

Medidas del componente A a temperatura constante, b) Medidas del

componente sometido a variaciones de temperatura.

226

CAPÍTULO 8 8.3.4. MOLDE INTELIGENTE

Otra de las aplicaciones desarrollada consiste en diseñar un

molde con el sensor coaxial integrado en el fondo de dicho molde,

para la monitorización de una reacción química que tiene lugar en su

interior, pero en este caso se deseaba que el equipo fuese inalámbrico,

por lo que el equipo transductor y el sensor se comunicaban con el

PC a través de una antena instalada en el exterior del molde. Esta

aplicación fue desarrollada dentro de un proyecto de investigación

realizado con el instituto tecnológico INESCOP (Instituto

Tecnológico del Calzado y Conexas) para la mejora de la eficiencia de

la fabricación de calzado, y todo el conjunto del sensor integrado en

el molde fue denominado “molde inteligente”.

En la figura 8.42 se muestra un ejemplo de la estructura

fabricada con dos moldes y dos sensores coaxiales cuyas dimensiones

fueron optimizadas siguiendo el procedimiento de diseño descrito en

el capítulo 4. Además se observa el equipo transductor y la antena de

comunicación con el PC. Al haber dos sensores midiendo

simultáneamente, el equipo reflectómetro debe ser capaz de separar y

controlar las señales de ambos sensores, por lo que fue necesario

instalar un switch, además de adaptar el software de medida.

Otra particularidad de esta aplicación, reside en el hecho de

que todo el equipo debía estar integrado en el mismo molde, por lo

que el sistema de medida iba a ser sometido a variaciones de

temperatura considerables. Por ello, fue necesaria la instalación de un

227

Aplicaciones de los sensores coaxiales equipo de ventilación, así como la evaluación de las condiciones de

trabajo del sistema y del rango de temperaturas de funcionamiento.

(a) (b)

(c) (d)

Fig. 8.42. Sensores coaxiales instalados en moldes con comunicación

inalámbrica con el PC. a) Equipo de medida con dos moldes y sistema de

transmisión con la antena; b) Detalle del sensor coaxial con disco

cerámico de protección; c) Interior del molde con el reflectómetro, d)

Vista lateral con rejilla de ventilación de los equipos.

228

CAPÍTULO 8 8.3.5. SENSOR DE CAMPO CERCANO (NEAR FIELD

MICROWAVE SENSOR)

Otra de las aplicaciones que resultan de interés en el campo de

la caracterización de materiales, es el caso de los materiales

laminares, cuyo grosor es pequeño (del orden de λ/100). Este hecho

supone una complejidad añadida ya que la caracterización dieléctrica

de dichos materiales requiere de la colocación de un plano metálico

por la cara del material opuesta al sensor, y al tratarse de materiales

laminares delgados, los modelos electromagnéticos son sumamente

sensibles a los errores en la determinación del grosor del material. Por

ello, este tipo de sensores se denominan de campo cercano (near

field), debido a que deben ser diseñados para ser muy sensibles en la

zona próxima a la apertura, y a su vez deben tener un sistema que

permita obtener con precisión el grosor del material que se desea

caracterizar.

El sistema diseñado para este tipo de aplicaciones es el que se

muestra en la figura 8.43, donde se observa el soporte con el sensor

en la parte superior, un material laminar colocado sobre un plano

metálico y un posicionador de precisión con un micrómetro que indica

el grosor del material.

229

Aplicaciones de los sensores coaxiales

Fig. 8.43. Near Field Microwave Sensor. Se observa el soporte con el

sensor en la parte superior, un material laminar colocado sobre un plano

metálico y un posicionador de precisión con un micrómetro que indica el

grosor del material.

230

CAPÍTULO 8

Referencias

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m

[Ast01] http://www.astrolab.com/main.asp

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measurements using a coaxial probe” Trans. On Instrum. And

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Deckker, New York, Chapter 9, 1983.

[Gan95] S. Ganchev, N. Qaddoumi, “Calibration and measurement of

dielectric properties of finite thikness composite sheets with open-

ended coaxial sensors”, Trans. On Instrum. And Meas., Vol. 44, Nº

6, Dec. 1995.

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dielectric reference liquids at frequencies up to 5 GHz”, NPL Report

CETM 33, published by NPL, 2001.

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aqueous solutions and their interpretation: Pt.1. Critical survey of

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[Kom03] V. Komarov, S. Wang, J. Tang, “Permittivity and Measurement”,

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Solutions, National Boureau of Standards Circular 589, Nov. 1958.

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Proceedings of the 16th IEEE Vol. 1, pp. 237-242, May1999.

[NPL03] A Guide to the Characterisation of Dielectric Materials at RF and

Microwave Frequencies, NPL, London, 2003.

[Nys92] A. Nyshadam, C.L. Sibbald, S.S. Stuchly, “Permittivity

measurements using open-ended sensors and reference liquid

calibration – an uncertainty analysis”, IEEE Trans. On Microw.

Theory Tech., Vol. 40, No 2, pp. 305- 314, Feb 1992.

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[Per06] R. Pérez-Páez, B. Garcia-Baños, J. Pitarch, J.M. Catalá-Civera,

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Internacional de Radio, URSI, Oviedo, 2006.

[RF01]http://www.rfcafe.com/references/electrical/dielectric_constants_str

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[Smi90] G.S.Smith, W.R.Scott, “The use of emulsions to represent dielectric

materials in electromagnetic scale models”, IEEE Trans. On

Antennas and Propagation, Vol. 38, No 3, pp.323-334, March 1990.

232

233

SECCIÓN B

Sensores Basados en Líneas

Planares

El interés de esta sección se centra en el diseño de un sensor

planar para la aplicación práctica de monitorización del proceso de

curado del PU. Por ello, se va a realizar el análisis, diseño

optimización de sensores basados en tecnología planar (microstrip y

coplanar). Finalmente, se describe el diseño final del sensor y se

muestran los resultados obtenidos.

234

235

Capítulo 9

Modelos teóricos de las líneas

planares.

En este capítulo, se realiza un análisis teórico de las

estructuras microstrip y coplanar, realizando una comparación entre

las características de ambos tipos de líneas para su utilización en la

monitorización de propiedades dieléctricas de materiales.

9.1. SENSORES BASADOS EN LÍNEAS MICROSTRIP

Las líneas microstrip, cuya geometría se muestra en la figura

9.1, han sido ampliamente utilizadas en numerosas aplicaciones como

interconexiones, alimentadores, filtros, acopladores, antenas, etc. Una

línea microstrip consiste en un plano de masa y una tira conductora

separados por una capa dieléctrica (substrato). Debido a su

inhomogeneidad característica, los modos que se propagan son

híbridos, ya que parte de los campos eléctrico y magnético son

radiados por encima de la tira conductora. Los modelos teóricos de

este tipo de líneas normalmente consideran que se propaga un modo

236

CAPÍTULO 9

Fig. 9.1.- Sección de una línea microstrip. El plano de masa y la tira

conductora están separados por un substrato dieléctrico.

quasi-TEM, que es el modo dominante, tanto si se utilizan como

líneas de transmisión o como resonadores abiertos [Gup79, Hin04]. En

dichos modelos, se define una permitividad efectiva effε que incluye

los efectos de la parte de los campos que se propaga por la región de

aire (o de dieléctrico) que se encuentra por encima de la tira

conductora. Por esta razón, si se coloca un material dieléctrico por

encima de la línea microstrip, la permitividad efectiva de dicha línea

dependerá en parte de las propiedades dieléctricas de dicho material.

Los modelos teóricos permiten extraer el valor de la permitividad del

material a partir del valor de la permitividad efectiva de la línea

microstrip.

Han sido desarrollados numerosos métodos para obtener la

permitividad efectiva de la línea microstrip. En [Yam68] se empleó un

método variacional para extraer las propiedades de la línea

microstrip, mientras que en [Far74] se propone el cálculo numérico de

la función de Green en la estructura. También los métodos numéricos

como FEM o FDTD se han utilizado con éxito para obtener valores

precisos de los parámetros de la línea microstrip [Hor69]. Sin

embargo, una desventaja común a todos los métodos anteriores es el

237

Modelos teóricos de las líneas planares elevado coste computacional. Por esta razón, Wheeler desarrolló el

método llamado Conformal Mapping (CM) [Whe64, Whe65], y este

método ha sido utilizado por otros autores [Gup79, Shu94, Sri99,

Sva92a, Sva92b] obteniendo resultados satisfactorios. El método CM

requiere poco tiempo de cálculo y los resultados muestran una

precisión comparable a la de los obtenidos por otros métodos. En

[Gup79], el método desarrollado por Wheeler se utilizaron para

obtener la permitividad efectiva de una línea microstrip con un único

substrato. La generalización al caso de tener una línea con múltiples

substratos la propuso Svacina en [Sva92a], para el caso de tener 3

capas dieléctricas entre el plano de masa y la tira conductora, y en

[Sva92b] para el caso general de N capas. Utilizando estas ecuaciones,

algunos autores aplicaron el método en [Shu94, Sri99] para obtener

diseños de antenas utilizando líneas microstrip con substratos

multicapa.

Por lo que respecta al uso de este tipo de líneas como sensores

de microondas, se han realizado varios estudios que presentan

diferentes configuraciones de medida. En [Bif01, Fra04, Kha06,

Ste78], la celda microstrip se utiliza para monitorizar el contenido de

humedad en alimentos y otros materiales. En [Bah80], se presenta el

análisis de una línea microstrip cubierta con un material dieléctrico

con pérdidas. También se ha investigado el uso de líneas microstrip y

coplanar para llevar a cabo medidas de banda ancha de la

permitividad y la permeabilidad de materiales en configuraciones

monocapa [Hin04] y multicapa [Grz01].

238

CAPÍTULO 9 9.1.1. MODELO TEÓRICO DE LA LÍNEA MICROSTRIP

MONOCAPA

Hay numerosos modelos de la línea microstrip, sin embargo,

como ya se ha comentado, algunos de ellos conllevan un gran coste

computacional. Cuando se desea diseñar y optimizar circuitos

basados en líneas microstrip, es deseable disponer de expresiones

cerradas que proporcionen directamente los parámetros de la línea en

función de su estructura. Normalmente, las ecuaciones de diseño

incluyen expresiones de la impedancia característica y de la

permitividad efectiva de la línea, así como las expresiones de los

parámetros de propagación. Como ya se ha comentado, si lo que se

desea es caracterizar un material, los modelos permiten extraer el

valor de permitividad del material a partir de las expresiones de la

permitividad efectiva de la línea, bien mediante expresiones directas o

mediante métodos iterativos.

Las características de propagación de la línea microstrip se

pueden intuir a partir del aspecto que tienen los campos eléctrico y

magnético, representados en la figura 9.2. En la línea microstrip, los

campos tienen una naturaleza evanescente, y su pérdida de amplitud

depende básicamente de la relación entre la anchura de la tira

conductora y la altura del substrato dieléctrico h . Si la anchura

de la línea microstrip es despreciable en relación con la longitud de

onda, el efecto de bordes en la tira conductora puede considerarse

nulo [Bif01].

W

239

Modelos teóricos de las líneas planares

Fig. 9.2. Distribución de los campos eléctrico y magnético en la línea

microstrip. Imagen de [Bak01].

Si se utiliza un substrato dieléctrico de permitividad alta, el

campo se confina casi totalmente entre el plano de masa y la tira

conductora, y se puede asumir que el modo que se propaga es un

modo TEM. Este análisis aproximado también se puede aplicar en el

caso de que las medidas se realicen a frecuencias bajas [Hor69]. Pero,

en general, el modo que se propaga es un modo híbrido, como ya se

ha dicho, debido a que parte de los campos eléctrico y magnético se

propagan a lo largo de la línea por el espacio que hay por encima de

la tira conductora.

La geometría básica de una línea microstrip con un único

substrato dieléctrico es la que se muestra en la figura 9.3. Los

principales parámetros de la estructura son: la anchura (W ) y la

altura ( ) de la tira conductora, el altura del substrato dieléctrico

( ), y su permitividad relativa (

t

h rε ).

240

CAPÍTULO 9

Fig. 9.3. Principales parámetros en la línea microstrip con un único

substrato dieléctrico. Imagen de [Gup79].

Si , se han proporcionado fórmulas muy simples para

calcular la impedancia característica de la línea ( ), y su

permitividad efectiva [Gup79]:

0→t

0Z

Whrr

eff 1211

21

21

+⋅

−+

+=

εεε (9.1)

( )[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥+++

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=1 para

444.1ln667.0393.1120

1 para 4

8ln60

0

hW

hWhW

hW

hW

Wh

Z

eff

eff

επ

ε (9.2)

El error relativo de las fórmulas anteriores ha sido evaluado en

[Gup79] y es menor que el 1%. Por otra parte, la ecuación de diseño

más utilizada, que representa la relación en función de la

impedancia de la línea y de la permitividad del substrato, es la

siguiente:

hW /

282 −

= A

A

ee

hW (9.3.a)

241

Modelos teóricos de las líneas planares

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

−+−−−=

rr

r BBBh

Wεε

επ

61.039.0)1ln(2

1)12ln(12 (9.3.b)

Donde 9.3.a se aplica si 1/ ≤hW y 9.3.b se aplica si ,

y el resto de términos se definen como sigue:

1/ ≥hW

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

++

=rr

rrZA

εεεε 11.023.0

11

21

600 (9.4)

rZB

επ

02377

= (9.5)

El modo quasi-TEM que se propaga por la línea microstrip, se

atenúa debido a las pérdidas del substrato y de los conductores. Las

expresiones de dichas pérdidas son las siguientes:

)1(2tan)1(0

−

−=

reff

effrd

kεε

δεεα (9.6)

σωμ

α2

1 0

00 WZWZRS

c == (9.7)

Donde δtan es la tangente de pérdidas del substrato

dieléctrico, ω es la frecuencia angular y σ es la conductividad del

metal de los conductores.

9.1.2. MODELO TEÓRICO DE LA LÍNEA MICROSTRIP

MULTICAPA

Si se desean considerar varias capas dieléctricas, tanto en el

espacio entre la tira conductora y el plano de masa, como en el

espacio que hay por encima de la línea, la técnica CM permite

obtener expresiones analíticas simples para la permitividad efectiva

242

CAPÍTULO 9

Fig. 9.4. Estructura microstrip con 3 capas: un único substrato

dieléctrico y dos capas dieléctricas situadas por encima de la línea.

de la línea, si se considera un modo quasi-TEM en la estructura.

Como ejemplo, se muestra en la figura 9.4 una estructura microstrip

con 3 capas.

Las expresiones para la estructura multicapa de la figura 9.4

han sido obtenidas mediante CM en [Sva92b]. La permitividad

efectiva de la línea puede obtenerse como sigue (si se cumple que

): 1/ ≤hW

( )( ) 33213

221

31221

221

21 1)1(

qqqqqq

qqqq

rr

rrrreff +−−−

−−+

++

=ε

εεε

εεε (9.8)

( )( )

( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅

⎢⎣

⎡⋅

+−+

+=

21

1

21

1

1

21

21

11

2cos

2sin

2ln

41

2

hhh

hhh

h

hhhh

hq

e

e

ππω

ωπ

(9.9)

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

−−= 1ln2

121

2112 hh

hhqq e

e

πωω

(9.10)

243

Modelos teóricos de las líneas planares

( )

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

⋅

⋅−+

−−−=

2121

1

23

21213

2sin

2cos

22

ln

21

hhhhhh

hhqqq

ee

e

e

e

e

πυπυυ

ω

ωυ

(9.11)

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

+= 92.02

08.17ln2

21

21

hhhh

eω

πωω (9.12)

( )( ) ( )⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+−+

= −23

21

121

42tan2 hh

hhhh

ee πω

ππ

υ (9.13)

Otra posible estructura que puede ser interesante para realizar

medidas, es la microstrip multicapa cubierta de metal. La capa de

metal permite aislar la línea del entorno que la rodea, en el caso en

que dicho entorno pudiese perturbar de alguna forma las medidas. En

ese caso, la línea deja de ser microstrip y se convierte en una línea

stripline multicapa (ver figura 9.5). La estructura general con N

capas ha sido analizada en [Rao87, Yam68], mediante métodos

variacionales, obteniendo complejas expresiones para la permitividad

efectiva y la impedancia característica de la línea.

La estructura simplificada que se muestra en la figura 9.5, con

sólo dos capas dieléctricas, ha sido analizada en [Sti68], con fórmulas

precisas que incluyen los efectos de las paredes metálicas que pueden

rodear totalmente a la línea stripline. En [Dar99a, Dar99b], sin

embargo, se considera que la línea stripline está formada por capas

infinitas en el plano XY, por lo que obtiene expresiones empíricas

muy sencillas para los parámetros de la línea. En concreto, en

[Dar99b], se proporcionan las siguientes fórmulas para la

244

CAPÍTULO 9

Fig. 9.5.- Línea microstrip con cubierta metálica. En este caso, la línea

se ha convertido en una línea stripline con dos capas dieléctricas.

permitividad efectiva y la impedancia de la línea, considerando la

estructura mostrada en la figura 9.5:

0tot

toteff C

C=ε (9.14)

)2,,(2)2,,(2 2211 hbWChbWCC rqrqtot =⋅+=⋅= εε (9.15)

)( 0210

rrrtottot CC εεε === (9.16)

)),('()),((),,( 0

bWkKbWkKbWC ri

riqεε

ε = (9.17)

)2tanh(),(')2sech(),(bWbWk

bWbWkππ

==

(9.18)

Donde la función es la integral elíptica completa de

primera especie. En la literatura pueden encontrarse soluciones

aproximadas para el cociente . Por ejemplo, de [Gup79]:

)(kK

)'(/)( kKkK

0.707k0

)'1()'1(2ln

)'()(

≤≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

=

kkkK

kK π

1k0.707 )1()1(2ln

)'()(

≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

=π

kk

kKkK

(9.19)

245

Modelos teóricos de las líneas planares

Fig. 9.6. Ejemplo de resonador microstrip lineal, con un primer tramo de

línea para la excitación y un segundo tramo que constituye el resonador.

La impedancia característica de la línea se puede obtener con

la siguiente expresión:

1

1

22

11

1

1

112

1

21

0

)(1

22)'(

460

−

−

=

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

=

hbr

rhb

r

rr

k

hW

hWk

Z

ζεπ

εζ

εεε

π

π (9.20.a)

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

=xxx

112ln)(ζ (9.20.b)

Las fórmulas anteriores son aproximaciones válidas para el

caso en el que la altura de la tira conductora sea despreciable

( ), y se cumplan las condiciones y . 0→t 5.02/ 1 >hW 5.02/ 2 <hW

9.1.3. MODELO TEÓRICO DEL RESONADOR MICROSTRIP

En el caso de que se desee utilizar la línea microstrip como un

resonador, hay múltiples configuraciones posibles, destacando el

resonador lineal (figura 9.6) y el resonador en anillo [Gup79]. Debido

a su simplicidad de fabricación, el interés de este estudio se centra en

246

CAPÍTULO 9 el resonador lineal. Consiste en una sección de línea microstrip

terminada en un circuito abierto, cuya longitud es un múltiplo de la

longitud de onda en la línea.

Una vez aplicado el modelo de la estructura miscrostrip

adecuado, y obtenidos los valores de impedancia característica de la

línea, así como la permitividad efectiva de la misma, se puede

calcular la longitud del resonador ( L ) necesaria para una

determinada frecuencia de resonancia ( ), así como del factor de

calidad ( ) del resonador resultante [Gup79]: rf

Q

effrfNc

NLε

λ22

0== (9.21)

αβ

2=Q (9.22)

con

0

2

c

f effr επβ = (9.23)

δεε

εεβααα tan

)1(2

)1(0

0 −

−+=+=

reff

effrSdc WZ

R (9.24)

Donde es el número de la resonancia, N λ es la longitud de

onda en la línea, es la velocidad de la luz en el vacío, 0c β es la

constante de propagación en la línea y 0β en el vacío, es la

resistencia superficial del metal de los conductores, es la

impedancia característica de la línea, W es la anchura de la tira

conductora, y

SR

0Z

δtan es la tangente de pérdidas del substrato.

247

Modelos teóricos de las líneas planares

Debido al efecto de bordes que existe en el extremo abierto del

resonador, en la práctica la frecuencia de resonancia se desvía

ligeramente del valor teórico estimado. En [Gup79] se proporciona

una estimación de la permitividad efectiva real de la línea microstrip

conocida la frecuencia real de resonancia del resonador, utilizando un

término de corrección de la longitud física del resonador que se

determina empíricamente a partir de la medida en vacío de la

frecuencia de resonancia del mismo:

2

22

22

)(4 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Δ+=

rreff f

NcLLf

cNλ

ε (9.25)

Con la expresión anterior, la permitividad efectiva puede

estimarse de forma aproximada a partir de la longitud del resonador

( L ), la frecuencia de resonancia ( ), y el número de la resonancia

( ); donde rf

N LΔ es el término de corrección de la longitud de la línea

debido al efecto de bordes. [Gup79].

En el caso en que se utilice el resonador para realizar la

caracterización de un material dieléctrico, a partir del valor de la

permitividad efectiva y aplicando el modelo de la línea apropiado

según la estructura, se puede obtener de forma directa o iterativa el

valor de la permitividad del material que constituya una de las capas

dieléctricas, siempre y cuando se conozcan el resto de parámetros de

la estructura (permitividades y anchuras de las capas).

248

CAPÍTULO 9

Fig. 9.7. Estructura de una línea CPW con los principales parámetros:

anchura de la tira conductora (s), separación entre la tira y los planos de

masa (w), altura de los conductores (t), y altura (h) del substrato

dieléctrico de permitividad (εr).

9.2. SENSORES BASADOS EN LÍNEAS COPLANARES

Una línea coplanar (CPW) consiste en una tira conductora

formada por una fina capa de metal depositada sobre la superficie de

una lámina dieléctrica, con dos planos de masa que discurren

adyacentes y paralelos a la tira conductora, en la misma superficie

que ella [Wen69], tal y como se muestra en la figura 9.7.

Las líneas CPW han recibido mucha atención en el pasado,

debido a las ventajas que presenta respecto a las líneas microstrip,

especialmente por lo que respecta a los circuitos integrados de

microondas (MMICs) [Bed92].

La razón es que en la configuración CPW, todos los elementos

conductores se encuentran en la misma superficie, lo que facilita la

conexión de elementos externos al circuito. Sin embargo, los campos

249

Modelos teóricos de las líneas planares que se propagan a lo largo de una CPW están menos confinados que

en una línea microstrip, por lo que su sensibilidad a elementos

externos es mayor, favoreciendo la aparición de efectos indeseados

tales como acoplo entre líneas adyacentes [Ghi87], efecto de bordes en

el plano de masa, etc. Esto es una desventaja si se utiliza la CPW

para transmitir, pero es una característica muy deseable cuando se

pretende utilizar una línea de transmisión como sensor dieléctrico, ya

que se obtiene una mayor sensibilidad para detectar cambios en el

material cercano al sensor. En [Wen69] se explican además otra serie

de ventajas de este tipo de líneas para aplicaciones específicas como

desplazadotes de fase o aisladores.

Análogamente al caso de la línea microstrip, la técnica de CM

se ha aplicado para obtener de forma sencilla los parámetros de la

línea. Tal y como se ha comentado, la principal ventaja de esta

técnica frente a las herramientas CAD multimodo disponibles (que

implementan técnicas como FEM, FDTD o BEM), es que CM

proporciona resultados con una aproximación bastante precisa y con

menores requerimientos computacionales.

CM consiste en transformar una configuración de línea planar

en otra cuyos parámetros sean equivalentes a los de la línea inicial,

pero puedan obtenerse de forma más sencilla. Wheeler utilizó el

método CM para calcular los parámetros de líneas de transmisión en

[Whe64, Whe65]. En el caso de la línea CPW, la particularización del

método CM desarrollada por Schwarz-Christoffel permitió obtener la

capacitancia de la línea, pero sólo es aplicable para estructuras

homogéneas [Ghi87]. Esta es una gran limitación, ya que en la

250

CAPÍTULO 9 mayoría de los casos, la sección de la línea está formada por varias

capas dieléctricas, y por tanto es inhomogénea. Para poder superar

esa limitación, se desarrolló el método de la Capacitancia Parcial

(PC). Este método permite aproximar la capacitancia total de la

línea como una combinación en serie o paralelo de las capacitancias

de las subregiones homogéneas. Estas subregiones son caracterizadas

individualmente mediante la técnica CM [Ghi87]. En [Fou80] este

planteamiento es utilizado para evaluar la influencia de las múltiples

capas en un diseño CPW. A partir de este estudio, son múltiples las

referencias que aplican la técnica PC [Bed89, Bed92, Che97, Gev94,

Gev95, Ghi87]. Una generalización de la aproximación PC para CPW

multicapa con un número arbitrario de capas y de permitividades de

las capas fue presentado por Svacina en [Sva92].

Varios autores [Car99, Zhu95, Zhu96] han investigado la

precisión del método CM y han demostrado que dicho método es

poco preciso cuando se aplica a estructuras CPW en las que las

permitividades de las capas aumentan a medida que éstas se separan

del plano de los conductores. Esta restricción no es importante en

aplicaciones de transmisión en las que se utilizan circuitos CPW

sobre AsGa, ya que el AsGa tiene una constante dieléctrica bastante

elevada. Sin embargo, esta limitación del método CM es crítica

cuando se pretende modelar un sensor CPW, ya que normalmente se

coloca una fina capa protectora en contacto con las tiras conductoras,

y el MUT se coloca por encima de ésta. La capa protectora debe

tener una permitividad lo más baja posible para favorecer la

penetración de los campos en el MUT, y tener así una mayor

251

Modelos teóricos de las líneas planares sensibilidad a las variaciones que éste pueda sufrir. Por esa razón, el

sensor CPW es uno de los ejemplos de configuraciones en las que la

técnica CM ha sido cuestionada [Ghi03].

Para resolver este problema de la técnica CM, Zhu introdujo

ciertas modificaciones en las expresiones obtenidas mediante la

técnica PC [Zhu95], con aproximaciones empíricas. Sin embargo, este

método proporciona resultados erróneos para ciertas configuraciones

[Zhu95, Ghi03]. Carlsson [Car99] vuelve a retomar el problema y

realiza un estudio de la pérdida de precisión mostrando resultados

para diferentes valores de la permitividad de un substrato CPW de

dos capas.

Finalmente, Ghione proporciona una solución a este problema

en [Ghi03]. Este autor sugiere la utilización de una capacitancia serie

equivalente (SPC) para analizar estructuras en las que la

permitividad de las capas aumenta a medida que éstas se separan de

las tiras conductoras, mientras que la técnica de PC convencional

(que modela las capas mediante capacitancias en paralelo

equivalentes) se considera adecuada para modelar el resto de

configuraciones.

En lo que respecta al uso de líneas CPW para caracterizar

materiales, Janezic analizó en [Jan97] tres técnicas para medir la

permitividad de substratos dieléctricos utilizando medidas de líneas

CPW. En [Stu98], Stuchly presenta configuraciones distribuidas de

dos y tres líneas CPW para realizar medidas no destructivas de

varios líquidos. Distintos planteamientos aparecen en [Boo99, Boz00,

Lue02, Ong00, Raj01] para realizar medidas de propiedades

252

CAPÍTULO 9 dieléctricas de materiales. En [Hin03], se estudia la caracterización

simultánea de la permitividad y la permeabilidad de materiales.

9.2.1. MODELO TEÓRICO DE UNA LÍNEA COPLANAR

La línea CPW está formada por una tira conductora central y

dos planos de masa paralelos a ella y colocados en el mismo plano.

Los principales parámetros de la estructura se muestran en la figura

9.8. En las figuras 9.7 y 9.8 se muestran dos nomenclaturas diferentes

y comúnmente utilizadas en la bibliografía.

Análogamente al caso de la línea microstrip, la línea CPW

presenta una estructura inhomogénea, por lo que los modos que se

propagan son modos híbridos. Además, parte de los campos eléctrico

y magnético escapan al espacio que hay por encima de los planos

conductores. Este hecho se ilustra en la figura 9.9.

Fig. 9.8. Sección de una línea de transmisión coplanar, con una tira

conductora central de anchura 2a, y una separación entre los planos de

masa una distancia 2b. Estructura simple con dos capas dieléctricas, un

substrato y un superestrato.

253

Modelos teóricos de las líneas planares

Fig. 9.9. Distribución de los campos eléctrico y magnético en una línea

CPW. Se puede observar cómo parte de los campos se propaga por la

región que hay por encima de los conductores. Imagen de [Hin02].

Las líneas CPW han sido estudiadas mediante modelos

multimodo así como mediante aproximaciones quasi-estáticas. Lo más

común son los análisis mediante CM, que incluye los efectos de la

dispersión del modo quasi-TEM.

9.2.2. MODELO TEÓRICO DE LA LÍNEA CPW CON 2 CAPAS

Para la estructura de la figura 9.7, si se considera el caso en el

que , 0→t ∞→2h y 01 εε =r , se pueden obtener expresiones simples

y precisas para la capacitancia equivalente y la permitividad efectiva

de la estructura. La capacitancia total por unidad de longitud de la

línea (Ctot), puede calcularse como la suma de las capacitancias del

semiplano superior (aire) y del semiplano inferior (dieléctrico). Como

regla general, esta aproximación es válida si la altura del substrato

( ) es mayor que la extensión lateral de la línea (b). 2h

Las capacitancias equivalentes de los semiplanos inferior y

superior (dieléctrico y aire respectivamente) son:

254

CAPÍTULO 9

baC rL 012 εε= (9.26)

baCU 02ε= (9.27)

Y la capacitancia total de la línea es

LUtot CCC += (9.28)

El valor de la permitividad efectiva de la línea CPW con la

configuración anterior es:

21+

= reff

εε (9.29)

Para la estructura de la figura 9.7, si , con una altura de

substrato finita y

0→t

2h 01 εε =r , la técnica CM puede aplicarse para

obtener las expresiones siguientes [Stu98]:

)()'(30

0 kKkKZ

effεπ

= (9.30)

)'()()()'(

211

1

1

kKkKkKkKr

eff−

+=ε

ε (9.31)

wssk2+

= (9.32)

21' kk −= (9.33)

)4)2(sinh()4sinh(

1 hwshsk

+=

ππ (9.34)

211 1' kk −= (9.35)

Donde el cociente puede obtenerse con la ecuación

9.19.

)'(/)( kKkK

255

Modelos teóricos de las líneas planares 9.2.3. MODELO TEÓRICO DE LA LÍNEA CPW MULTICAPA

En múltiples aplicaciones prácticas, como es el caso del sensor

CPW, aparece una multicapa de dieléctricos entre los que se

encuentra embebida la estructura del CPW, como se muestra en la

figura 9.10. Como ya se ha comentado, un método electromagnético

apropiado para resolver problemas de potencial bidimensionales es el

método de CM, que “mapea” los contornos y los transforma en una

configuración más simple, en la que la ecuación de Laplace tiene

soluciones más sencillas. A través de este método, varios autores han

proporcionado diferentes expresiones para obtener la permitividad

efectiva de una línea CPW multicapa (con N capas). La técnica PC

se utiliza conjuntamente con el CM para obtener la permitividad

efectiva de la estructura.

1h

12/ −n h

12/ +n h

n h

1rε

12/ −nε

rnε

12/ +nε

a

b

Fig. 9.10. Estructura CPW con múltiples capas dieléctricas de diferentes

permitividades y anchuras.

256

CAPÍTULO 9

Tal y como se ha descrito, los parámetros característicos de la

estructura CPW de la figura 9.10 pueden obtenerse como sigue:

2ffLffU

eff

εεε

+= (9.36)

( )2

1 12

( ) ( ')( ') ( )

N

neffu r n n

n n

K k K kK k K k

ε ε ε ε −=

⎡ ⎤= + − ⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ (9.37)

( )1

11

12

( ) ( ')( ') ( )

Nn

effl rN n nNn n

K k K kK k K k

ε ε ε ε−

++

= +

⎡ ⎤= + − ⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ (9.38)

Donde:

bak =

(9.39)

2' 1k k= − (9.40)

sinh 2

sinh 2

nn

n

ah

kb

h

π

π

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎠ n = 2 ... N -1 (9.41)

2' 1n nk k= − (9.42)

Donde es la suma acumulativa de las alturas de las n

capas. nh

9.2.4. RESONADOR COPLANAR

Un resonador coplanar consiste en un tramo de línea CPW con

una longitud L terminada en circuito abierto o cortocircuito (figura

9.11). A partir de sus dimensiones y de los valores de permitividad

efectiva obtenidos mediante el modelo adecuado de la estructura, se

obtiene la frecuencia de resonancia del resonador. Esta relación entre

257

Modelos teóricos de las líneas planares

Fig. 9.11. Ejemplo de resonador coplanar. Primero hay un tramo de

línea de excitación (en este caso microstrip), y después está el tramo

coplanar que constituye el resonador.

la permitividad efectiva de la estructura CPW y la frecuencia de

resonancia es la misma que se mostraba para el caso del resonador

microstrip (ecuación 9.20). Es evidente que una variación de la

permitividad de alguna de las capas de la estructura CPW provocaría

un cambio de la permitividad efectiva de la estructura y por tanto

variaría la frecuencia de resonancia del resonador.

9.3. SIMULACIONES Y COMPARACIÓN DE LAS

ESTRUCTURAS

Siguiendo con lo expuesto en los apartados anteriores, se

desarrollaron una serie de funciones en Matlab©, que implementan los

modelos teóricos descritos para poder obtener los parámetros

característicos de las estructuras microstrip y coplanar. A

continuación se muestran algunos de los resultados obtenidos con

dichas funciones, corroborando en la medida de lo posible los

resultados con aquellos proporcionados con otros autores.

258

CAPÍTULO 9

En la figura 9.12 se muestra la respuesta de una línea

microstrip con 2 capas en función de la relación para diferentes

valores de la permitividad del substrato. También se muestran los

resultados proporcionados en [Yam68a] para la misma estructura.

Como puede comprobarse, los valores obtenidos coinciden con los de

otros autores.

hW /

(a)

(b)

10-2

10-1

100

101

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

W/h

λ/λ 0

εr = 2.65

εr = 4.20

εr = 8.90

εr = 11.7

εr = 20.0

εr = 51.0

(c)

Fig. 9.12. (a) Estructura simulada, línea microstrip de dos capas.

Respuesta de la línea en función de la relación W/h para distintos

valores de la permitividad del substrato. (b) Resultados de [Yam68a], (c)

Resultados de este trabajo. Datos de la simulación: 1rε =[2.65, 9.20,

8.90, 11.7, 20.0, 51.0], W/h=[0.01,10].

259

Modelos teóricos de las líneas planares

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

DUT relative permittivity

Rel

ativ

e E

ffec

tive

Per

mitt

ivity

microstrip

coplanar

Fig. 9.13. Comparación de la permitividad efectiva de una línea

microstrip y una línea coplanar en función de la permitividad de una de

las 2 capas. Parámetros de la simulación: Microstrip : h=4mm,

W=5mm, 1rε =1, 2rε =[1,50]. CPW : ∞, ∞, 1h 2h 1rε =1,

2rε =[1,50], a=5mm, b=7.5mm.

En la siguiente simulación, se comparan las respuestas de una

línea microstrip y una línea CPW, ambas con 2 capas. La

permitividad efectiva se muestra como función de la permitividad

relativa de una de las capas en la figura 9.13. Esta situación pretende

recrear un escenario simple de monitorización de un material (MUT).

La línea tiene un substrato cuyas propiedades son constantes, y se

coloca en contacto con un material (MUT) cuyas propiedades varían

en un cierto rango. En la figura 9.13 se puede ver que, si hay una

variación en las propiedades dieléctricas de una de las capas (se

supone que dicha capa se trata del MUT que se está monitorizando),

la variación resultante en la permitividad efectiva de la línea CPW es

260

CAPÍTULO 9 mayor que la variación que se produce para la línea microstrip. Éste

era el resultado esperado, ya que la distribución de campos en la línea

CPW, hace que gran parte de la energía total que viaja por la línea

se propague por el espacio ocupado por el MUT, haciendo que la

estructura CPW sea mucho más sensible.

En la figura 9.14 se muestra la comparación del parámetro

K=1/ effε para la línea microstrip, la línea CPW, y para una

cavidad completamente rellena del MUT, que por tanto, es igual a

K=1/ rε . Este valor es interesante, ya que la cavidad

completamente rellena es el caso de máxima sensibilidad a los

cambios del material. Este tipo de gráfica permite comparar

directamente la sensibilidad de diversas estructuras y ver de forma

gráfica cómo se acercan al límite actual de sensibilidad de una

estructura.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

εr

1/S

QR

T( ε

eff)

microstrip

coplanarfilled cavity

K

rε0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

εr

1/S

QR

T( ε

eff)

microstrip

coplanarfilled cavity

K

rε

Fig. 9.14. Comparación del parámetro K de una línea CPW, una línea

microstrip, y una cavidad copletamente rellena (Kref), en función de la

variación del MUT.

261

Modelos teóricos de las líneas planares

Con los resultados anteriores, parece lógico plantear el uso de

estructuras microstrip para llevar a cabo la caracterización de

substratos dieléctricos, ya que el confinamiento del campo en el

substrato hace que la medida sea menos sensible a perturbaciones

externas a la estructura, mientras que la estructura CPW presenta

una clara ventaja a la hora de implementar un sensor para

monitorizar las propiedades dieléctricas de un material colocado en

las proximidades de éste. Como se ha comentado anteriormente, el

interés del estudio realizado con las estructuras planares está

centrado en el diseño de un sensor para monitorizar un material en

un proceso industrial, por lo que a partir de ahora se muestran los

resultados más relevantes relativos a la estructura CPW.

A continuación se muestran varias configuraciones de

estructuras CPW. Para comenzar, se muestra en la figura 9.15 una

simulación propuesta en [We69] para verificar uno de los modelos de

CPW programados. Se trata de la impedancia de una línea CPW de

una capa en función de la relación a/b, con la constante dieléctrica

relativa como parámetro. En primer lugar, se muestra la estructura

simulada, así como la permitividad efectiva resultante para la línea

CPW.

262

CAPÍTULO 9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.710

0

101

102

103

a/b

Rel

ativ

e E

ffec

tive

Per

mitt

ivity

εr = 1

3

6

10

20

40

80

120

250

(a) (b)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

100

101

102

103

a/b

Cha

ract

eris

tic I

mpe

danc

e of

cop

lana

r w

aveg

uide

(O

hms)

εr=1

36

250

80

4020

(c) (d)

Fig. 9.15. (a) Estructura analizada. (b) Variación de la permitividad

efectiva en función de la relación a/b para diferentes substratos.

Variación de la impedancia obtenida (c) en [Wen69], y (d) en este

trabajo. Parámetros de la simulación: a=[1,10]mm, a/b=[0.01,0.7];

εr1=1; , h1=h2=∞, εr2=[1, 3, 6, 10, 20, 40, 80, 120, 250].

263

Modelos teóricos de las líneas planares

En la figura 9.16 se muestra la misma simulación realizada en

[Whe64], en la que se obtiene la impedancia de una línea CPW de 3

capas en función de la anchura w de la línea, variando la constante

dieléctrica del substrato. En primer lugar, se muestra la estructura

analizada y la variación de la permitividad efectiva.

(a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 10-4

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

w

Rel

ativ

e E

ffec

tive

Per

mitt

ivity

s=20 μm, εr2=1.0

s=20 μm, εr2=3.78

s=20 μm, εr2=10

s=200 μm, εr2=1.0

s=200 μm, εr2=3.78

s=200 μm, εr2=10

(b)

Fig. 9.16. (a) Estructura CPW analizada. (b) Variación de la permitividad

efectiva en función de la anchura de línea w para diferentes valores de la

constante dieléctrica del substrato.

264

CAPÍTULO 9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-3

0

20

40

60

80

100

120

140

w (m)

Z 0 (o

hms)

s = 200 μ m

s = 200 μ m

εr2 = 1

εr2 = 3.78

εr2 = 10

(c) (d)

Fig. 9.16. Variación de la impedancia de la línea CPW obtenida (c) en

[Whe64], y (d) en este trabajo. Parámetros de la simulación: w=[20,800]

μm, s=[20μm, 200μm], h2= 200μm, εr1= 1, εr2= [1,3.78,10], εr3= 1;

h1= 50*h2, h3= 50*h2.

En la siguiente simulación, se estudia la capacitancia total de

una línea CPW de tres capas en función de la permitividad del

substrato 2rε . Los resultados aparecen en la figura 9.17. También se

muestra el resultado obtenido en [Car99] para la misma simulación.

265

Modelos teóricos de las líneas planares

(a) (b)

10

010

110

210

310

410

-11

10-10

10-9

10-8

εr2

Tot

al C

apac

itanc

e (F

/m)

(c)

Fig. 9.17. (a) Estructura analizada. (b) Variación de la capacitancia

total en función del substrato en [Car99], y (c) en este trabajo.

Parámetros de la simulación: a=5μm, b=15μm, h1=0.5mm-1μm,

h2=1μm, εr1=25, εr2=[1,10e4], εr3=1; =100cm. 3h

266

CAPÍTULO 9

En la figura 9.18, se muestra la capacitancia total de una línea

CPW de tres capas en función de la permitividad del substrato 2rε .

También se muestra el resultado obtenido en [Ghi03] para la misma

simulación.

(a)

100

101

102

103

10-11

10-10

10-9

εr2

Tot

al C

apac

itanc

e

(b) (c)

Fig. 9.18. (a) Estructura CPW analizada. (b) Variación de la

capacitancia total de la línea en función de la constante dieléctrica del

substrato en [Ghi03], y (c) en este trabajo. Parámetros de la simulación:

a=5μm, b=15μm, h1=50cm, h2=1μm, εr1=25, εr2=[1,10e3], εr3=1;

=50cm. 3h

267

Modelos teóricos de las líneas planares

En la siguiente simulación, se obtiene la respuesta de una línea

CPW de 4 capas recubierta de metal, en función de la anchura de la

tira conductora para diferentes valores de permitividad de la cuarta

capa. Los resultados aparecen en la figura 9.19. Esta estructura

corresponde a un hipotético sensor introducido en una estructura de

metal, con una primera capa de aire (un pequeño hueco entre el

sensor y el metal), una segunda capa que correspondería con el

substrato de la línea CPW, una tercera capa por encima de los

conductores a modo de protección, y una cuarta capa que

correspondería con el MUT.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

a (m)

Rel

ativ

e E

ffec

tive

Per

mitt

ivity

εr4 = 1.00

εr4 = 3.25

εr4 = 5.50

εr4 = 7.75

εr4 = 10.00

(a) (b)

Fig. 9.19. (a) Estructura CPW de 4 capas simulada. (b)Variación de la

permitividad efectiva en función de la anchura de la tira conductora,

para diferentes valores de la constante dieléctrica de la cuarta capa.

Parámetros de la simulación: a=[1mm,5mm], b=10mm, h1=0.1mm,

h2=0.4mm, h3=5mm, h4=1cm, εr1=1, εr2=4, εr3=2; εr4=[1,10].

268

CAPÍTULO 9

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.054.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

h4 (m)

Rel

ativ

e E

ffec

tive

Per

mitt

ivity

εr4 = 1.00

εr4 = 3.25

εr4 = 5.5

εr4 = 7.75

εr4 = 10.00

(a) (b)

Fig. 9.20. (a) Estructura CPW de 4 capas simulada. (b)Variación de la

permitividad efectiva en función del grosor de la cuarta capa, para

diferentes valores de la constante dieléctrica de dicha capa. Parámetros

de la simulación: a=[1mm,5mm], b=10mm, h1=0.1mm, h2=0.4mm,

h3=5mm, h4=1cm, εr1=1, εr2=4, εr3=2; εr4=[1,10].

En la figura 9.19, se puede observar que a medida que el hueco

entre la tira conductora y el plano de masa disminuye, aumenta el

incremento en la permitividad efectiva cuando el material de la

cuarta capa cambia sus propiedades dieléctricas. A continuación se

estudia una variación en la anchura de la cuarta capa (ver figura

9.20). En la figura 9.20 se comprueba el hecho de que una capa fina

de material proporciona una mayor variación de la permitividad

efectiva, para la configuración elegida. A medida que la capa se hace

más gruesa, la respuesta del sensor tiende al valor que tendría cuando

la capa de material es infinita.

269

Modelos teóricos de las líneas planares

En la figura 9.21 se muestra un estudio del efecto que tiene el

medio que rodea al sensor en su respuesta, para ello se estudia un

sensor formado por un substrato (capa 1), una capa protectora (capa

2) y un material (capa 3). En primer lugar, se muestra la

configuración de 3 capas en la que el substrato del CPW tiene una

altura finita y aire por encima de ella. Después, se considera que

dicha capa tiene un grosor infinito. Por último, se considera que el

sensor está rodeado de metal, con un hueco de aire entre el substrato

y el metal. Se muestra la permitividad efectiva del sensor en función

de las dimensiones de los conductores a y b.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 10-3

2.75

2.8

2.85

2.9

2.95

3

3.05

3.1

3.15

a (m)

ε eff

b=3mm

b=4mm

b=5mm

b=6mm

b=7mm

b=8mm

b=9mm

b=10mm

(a) (b)

Fig. 9.21. (a) Estructura de CPW con 3 capas, en la que la tercera capa

(substrato) tiene un grosor finito y aire por encima. (b) Variación de la

permitividad efectiva en función de a y b. Parámetros: a=[0.1mm, 8mm],

b=[3mm, 10mm], h1=2mm, h2=1.5mm, h3=1cm, 1rε =4.25, 2rε =2,

3rε =4.5.

270

CAPÍTULO 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 10-3

2.95

3

3.05

3.1

3.15

3.2

a (m)

ε eff

b=3mm

b=4mm

b=5mmb=6mm

b=7mm

b=8mm

b=9mm

b=10mm

(c) (d)

Fig. 9.21. (c)Estructura de CPW con 3 capas, en la que la tercera capa

(substrato) tiene un grosor infinito. (d) Variación de la permitividad

efectiva en función de a y b. Parámetros: a=[0.1mm, 8mm], b=[3mm,

10mm], h1=∞, h2=1.5mm, h3=1cm, 1rε =4.25, 2rε =2, 3rε =4.5.

271

Modelos teóricos de las líneas planares

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 10-3

2.55

2.6

2.65

2.7

2.75

2.8

2.85

2.9

2.95

a (m)

ε eff

b=1mm

b=2mm

b=3mmb=4mm

b=5mm

b=6mm

b=7mm

b=8mm

b=9mm

b=10mm

(e) (f)

Fig. 9.21. (e)Estructura de CPW con 4 capas rodeada de metal. (f)

Variación de la permitividad efectiva en función de las dimensiones de

los conductores a y b. Parámetros de la simulación: a=[0.1mm, 8mm],

b=[1mm, 10mm], h1=1cm, h2=3mm, h3=1.5mm, h4=1cm, 1rε =1,

2rε =4.25, 3rε =2, 4rε =4.5.

Como se puede observar en la figura 9.21, la estructura del

sensor coplanar es muy dependiente de la configuración elegida, por

lo que una simulación precisa de las condiciones de medida puede ser

crucial a la hora de diseñar un sensor de este tipo para una aplicación

específica.

En la figura 9.22 se muestra un ejemplo de simulación para el

diseño de un sensor CPW, en el que se simula un cambio de las

propiedades dieléctricas del MUT, y se representa la variación de

permitividad efectiva del sensor en respuesta a dicho cambio. Se han

272

CAPÍTULO 9 simulado dos configuraciones, la del sensor abierto (configuración de

3 capas) y la del sensor rodeado de metal (4 capas).

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 10-3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

a (m)

| εef

f1 -

εef

f2|

b=1mm

b=2mm

b=3mm

b=4mm

b=5mmb=6mm

b=7mm

b=8mm

b=9mm

b=10mm

(a) (b)

Fig. 9.22. (a)Estructura de CPW con 3 capas, en la que el MUT varía su

permitividad. (b) Incremento obtenido en la permitividad efectiva en

función de las dimensiones de los conductores a y b. Parámetros de la

simulación: a=[0.1mm, 8mm], b=[1mm, 10mm], h1=2mm, h2=1.5mm,

h3=1cm, 1rε =4.25, 2rε =2, 3rε =[2.1 - 4.5].

273

Modelos teóricos de las líneas planares

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 10-3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

a (m)

| εef

f1 -

εef

f2|

b=1mm

b=2mm

b=3mmb=4mm

b=5mm

b=6mmb=7mm

b=8mm

b=9mm

b=10mm

(c) (d)

Fig. 9.22. (c)Estructura de CPW con 4 capas rodeada de metal. (d)

Incremento obtenido en la permitividad efectiva en función de las

dimensiones de los conductores a y b. Parámetros de la simulación:

a=[0.1mm, 8mm], b=[1mm, 10mm], h1=1cm, h2=2mm, h3=1.5mm,

h4=1cm, 1rε =1, 2rε =4.25, 3rε =2, 4rε =[2.1 - 4.5].

En la figura 9.22 se puede ver cómo hay determinadas

combinaciones de las dimensiones a,b que proporcionan mayores

incrementos en la permitividad efectiva cuando el material cambia

sus propiedades. A medida que la línea CPW aumenta de tamaño,

parece que la sensibilidad a dichos cambios aumenta, observándose

un límite al que parecen tender las curvas. También se observa que al

rodear el sensor de metal, se obtiene una disminución de la

sensibilidad respecto al sensor abierto. Este hecho es un

inconveniente, que compensa el hecho de que el metal protege el

sensor de interferencias externas en la medida.

274

CAPÍTULO 9

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280

281

Capítulo 10

Optimización de un Sensor

Microstrip Mediante Estructuras

EBG.

Como se ha visto en el capítulo 9, las líneas microstrip tienen

unas características de propagación que favorecen el confinamiento de

los campos en la región entre los dos conductores. Esta característica

es un inconveniente si se desea utilizar dicha línea para

caracterización o monitorización no invasiva de materiales, ya que las

hace menos sensibles a los cambios de permitividad en la región que

hay por encima de la tira conductora.

A pesar de ello, los sensores microstrip han sido utilizados no

sólo en campos como la microelectrónica [Bak01], sino también en

numerosas aplicaciones de control de procesos (curado de

polímeros/resinas [Day90], mezclas líquidas [McK00], degradación de

compuestos [Cor04], absorción de humedad [Tra98], etc.) En dichas

aplicaciones, el material (MUT) sufre un determinado proceso, y el

objetivo es monitorizar los cambios físicos/químicos del MUT

relacionándolos con los cambios de sus propiedades dieléctricas.

282

CAPÍTULO 10

Sin embargo, hay ciertos materiales cuyas propiedades

dieléctricas sufren cambios muy pequeños durante el proceso (por

ejemplo, el curado de determinados compuestos de caucho [Lod04]),

lo que limita enormemente la capacidad de estos procesos de ser

controlado mediante microondas. Por tanto, hay ciertos casos en los

que mejorar la sensibilidad de este tipo de sensores es un aspecto

clave [Lod04, Tra98].

En este capítulo, se muestra un estudio realizado para este

tipo de sensores planares, en el que se demuestra que la sensibilidad

del sensor puede ser incrementada reduciendo la velocidad de grupo

de la onda en el sistema MUT-sensor. Así, el tiempo de interacción

entre la onda y el MUT aumenta, haciendo que el sensor sea más

sensible a cualquier cambio de las propiedades del MUT.

Para conseguirlo, se ha desarrollado un método que se basa en

el llamado “efecto de onda lenta” inherente a ciertas estructuras

electromagnéticas periódicas (EBGs) [Pov05]. Las ventajas de

incorporar este tipo de estructuras a líneas microstrip, se han

demostrado en filtros, antenas, osciladores, etc. [Gri03, Joa95, Pov05,

Rad98]. Sin embargo, hasta el momento no se han encontrado

estudios sobre las ventajas que puedan tener las EBG al incorporarlas

a un sensor microstrip. En concreto, se estudia el incremento de

sensibilidad que proporciona la incorporación de un patrón periódico

simple, formado por agujeros en el plano de masa del sensor.

283

Optimización de un sensor microstrip mediante estructuras EBG

Fig. 10.1. Ejemplo de configuración de medida para la caracterización de

un material (MUT) con un sensor microstrip en configuración como

celda de transmisión.

10.1. EL SENSOR MICROSTRIP

El sensor microstrip es una estructura que permite monitorizar

las propiedades dieléctricas de un material, colocándolo por encima

de la tira conductora, tal y como se muestra en la figura 10.1, y

realizando medidas de forma continua, a una determinada frecuencia,

de las características de transmisión del sistema sensor-MUT.

Como ya ha sido observado para otro tipo de sensores, un

parámetro que puede utilizarse como referencia para monitorizar el

estado del MUT es el desfase que sufre la onda al propagarse por el

sistema. Es decir, para monitorizar los cambios de permitividad del

MUT, es suficiente controlar el valor de fase del parámetro de

dispersión S21 [Gar05]. Conviene recordar, que el modo quasi-TEM

que se propaga por el sensor se extiende en parte hacia la región

ocupada por el MUT, por encima de la tira conductora. Por tanto, un

cambio en las propiedades dieléctricas del MUT modifica las

284

CAPÍTULO 10 condiciones de propagación, y se produce un cambio en el desfase

producido por la onda [Bak01]. Por tanto, el mejor sensor es aquél

que proporcione una mayor interacción entre la onda y el MUT, ya

que esto significará que es más sensible a los cambios experimentados

por el MUT.

Si consideramos que el MUT sufre un determinado proceso, en

el momento inicial, las propiedades dieléctricas del MUT son 1ε , y el

desfase sufrido por la onda al propagarse por el sistema es 1φ .

Durante el proceso, cualquier cambio de las propiedades del MUT (de

1ε pasa a 2ε ) inmediatamente se traduce en un cambio del desfase de

la señal (de 1φ a 2φ ), permitiendo realizar un control en tiempo real

del proceso.

10.2. MEJORA DE LA SENSIBILIDAD

En este estudio, la estrategia utilizada para mejorar la

sensibilidad de los sensores microstrip se basa en la reducción de la

velocidad de grupo de la onda que se propaga por el sistema, para

provocar una mayor interacción entre el sensor y el MUT.

Si se estudia la línea microstrip considerando un periodo

artificial en la estructura [Joa95], el diagrama de dispersión de las

bandas de esta estructura periódica ficticia se puede representar como

aparece en la figura 10.2, con el efecto de “doblado” de las bandas en

los bordes de la zona de Brillouin. En la figura 10.2, la relación de

dispersión del modo guiado en la línea microstrip aparece como una

línea gris contínua, que relaciona la frecuencia f con el vector de onda

285

Optimización de un sensor microstrip mediante estructuras EBG

Fig. 10.2. Curvas típicas en el diagrama de bandas de un sensor

microstrip, con (negro) y sin (gris) el efecto EBG. La región de

frecuencias prohibidas o band gap se ha sombreado en gris. A la derecha,

obtención de la velocidad de grupo mediante la derivada de las bandas.

k a lo largo del eje de la línea microstrip. Una demostración de esto

puede encontrarse en [Joa95]. La velocidad de grupo en la línea

microstrip (v), puede determinarse obteniendo la pendiente de la

banda en el diagrama [Joa95, Pov05].

Análogamente, si se introduce adecuadamente un patrón

periódico en la estructura, la nueva estructura EBG tiene un

diagrama de bandas con las características que se muestran en la

figura 10.2 (línea contínua negra). Este tipo de estructuras muestran

una región de frecuencias, llamado “band gap”, (sombreada en gris)

en la que la propagación está prohibida dentro de la estructura. En

los bordes de dicha banda, la velocidad de grupo (v’) del modo que se

propague, tiende a ser cero [Joa95, Pov05]. La figura 10.3 muestra un

zoom de esta región del diagrama de bandas.

286

CAPÍTULO 10

Fig. 10.3. Cambios en el vector de onda provocados por un cambio en las

propiedades dieléctricas del MUT, para ondas con baja velocidad de

grupo (negro), y mayor velocidad de grupo (gris).

Para un valor determinado de la frecuencia de trabajo,

indicado con una línea horizontal punteada, se obtiene un gran

cambio en la velocidad de grupo, comparado con la estructura

microstrip tradicional. Una gran disminución de la velocidad de

grupo, conlleva un gran aumento del tiempo que invierte la onda en

atravesar el sensor, y por tanto, permanece mucho más tiempo en

contacto con el MUT.

Con la introducción de la estructura EBG, se espera obtener

una menor velocidad de grupo en el sistema sensor-MUT, pero para

clarificar un poco más el efecto que tiene esta menor velocidad en el

incremento de fase del sensor, se muestra la figura 10.3. En ella se

muestra el efecto de un cambio de la permitividad del MUT para dos

ondas que se propagan con diferente velocidad de grupo. Este

principio está explicado en [Sol02]. A una frecuencia constante, el

cambio en el vector de onda , es mayor para la onda que se propaga k

287

Optimización de un sensor microstrip mediante estructuras EBG con una menor velocidad de grupo ( 'kΔ ), que el que se obtiene ( )

para la onda con mayor velocidad de grupo. La acumulación de fase

experimentada por la onda al atravesar el MUT viene determinada

por . El cambio de fase para un cambio dado en la permitividad

es proporcional a

kΔ

jkLe

kLΔ y por tanto, será mayor para aquellas ondas

con menor velocidad de grupo.

Para poder cuantificar la mejora en la capacidad del sensor

microstrip para detectar cambios en el MUT, al introducir la

estructura EBG, se define la sensibilidad como sigue.

10.3. DEFINICIÓN DE LA SENSIBILIDAD

Este parámetro es muy útil para poder evaluar y comparar las

diferentes configuraciones del sensor. Se va a definir en este estudio

como la relación entre el desfase de la onda proporcionado por el

sensor φΔ frente a un cambio relativo de las propiedades dieléctricas

del MUT ( 1εεΔ ). Se normaliza por el máximo incremento de fase

que puede tener la onda, que es 180º (corresponde a dos señales de

fases opuestas), y queda:

1801

)(1801

112

12

1

⋅−

−=⋅

Δ

Δ=

εεεφφ

εεφ

s (10.1)

Si una configuración del sensor proporciona cambios pequeños

en el desfase de la onda 0≈Δφ , incluso si se producen cambios

apreciables de las propiedades dieléctricas del MUT (altos valores

de 1εεΔ ), el parámetro de sensibilidad que se acaba de definir será

muy pequeño, y dicha configuración del sensor no se considerará

288

CAPÍTULO 10

Fig. 10.4. Sensor microstrip tradicional, layout de la estructura.

adecuada para poder monitorizar el material. Por el contrario, los

sensores que proporcionen grandes cambios en el desfase de la onda

(valores de φΔ cercanos a 180º), incluso para pequeños cambios de

las propiedades del MUT (valores de 1εεΔ pequeños), tendrán un

valor de sensibilidad s elevados. Estos sensores son los adecuados, ya

que valores altos de sensibilidad implican una mayor facilidad para

poder implementar las funcionalidades de control del proceso.

Dado un MUT que experimenta un cierto proceso, el valor de

1εεΔ está determinado, y no se puede modificar ya que sólo depende

de las propiedades fisico-químicas del MUT. El objetivo es por tanto,

conseguir que el sensor tenga una sensibilidad lo mayor posible para

que pueda detectar dichos cambios. Esto se consigue si el sensor

responde a dichos cambios produciendo un incremento del desfase en

la onda ( φΔ ) próximo a 180º. Es obvio que la maximización de la

sensibilidad del sensor se convierte en un aspecto clave en aquellos

casos en los que el material experimente cambios muy pequeños en

sus propiedades dieléctricas durante el proceso.

289

Optimización de un sensor microstrip mediante estructuras EBG

Fig. 10.5. Sensores microstrip con estructuras EBG. a) Detalle de las

diferentes capas. B) Layout de la configuración con el patrón periódico

grabado en el plano de masa. C) Layout de la configuración con dos

defectos introducidos en el patrón periódico.

10.4. TOPOLOGÍAS DEL SENSOR ESTUDIADAS

En este trabajo, se estudian tres configuraciones del sensor

diferentes, y se han comparado en términos de su sensibilidad. Las

tres topologías son las que aparecen en la figura 10.4 y 10.5. La figura

10.4 muestra el layout de la celda microstrip tradicional. En la figura

10.5 se muestran las configuraciones que contienen las estructuras

EBG. Estas estructuras consisten en un patrón periódico de agujeros

grabados en el plano de masa de la línea microstrip (ver figura

10.5.a)), tal y como se propone en [Gri03, Rad98]. La existencia de

estos agujeros distorsiona la distribución de corrientes en el plano de

290

CAPÍTULO 10 masa, lo que produce cambios en las características de propagación

de la línea microstrip. Como resultado, se produce el efecto EBG, tal

y como se demuestra en [Gri03, Joa95, Rad98]. Con las explicaciones

de los apartados anteriores, y si se elige la frecuencia de trabajo

adecuadamente, se espera que la introducción de estos simples

patrones grabados en el plano de masa produzca un incremento en la

sensibilidad del sensor microstrip.

La figura 10.5.b) muestra la configuración en la que el patrón

periódico de agujeros en el plano de masa tiene un espaciado

constante entre los agujeros. En la figura 10.5.c) se muestra la otra

configuración EBG, en la que el efecto de onda lenta inherente a este

tipo de estructuras se ve incrementado por la presencia de dos

defectos (un espaciado diferente entre los agujeros) distribuidos a

lo largo del sensor [Gri03, Joa95]. Se sabe que la introducción de

estos defectos provoca la aparición de efectos resonantes en la

respuesta del sensor [Gri03, Joa95]. Se espera que este hecho

incremente aún más el tiempo total de interacción entre la onda y el

MUT, y por tanto, la sensibilidad del sensor.

3d

10.5. MEDIDAS

Para poder comparar el comportamiento de las tres

estructuras mostradas en las figura 10.4 y 10.5, las tres

configuraciones se fabricaron sobre un substrato de fibra de vidrio

( 7.4=rε ) de 1.6 mm de grosor. Los patrones periódicos se realizaron

mediante fotolitografía con las siguientes dimensiones: w = 2.5mm,

291

Optimización de un sensor microstrip mediante estructuras EBG

Tabla 10.1. Propiedades dieléctricas de los materiales.

Nombre Material Permitividad

M1 Aire 1

M2 PTFE 2.06 – j10-4

M3 PMMA (Plexiglass) 3.26 – j10-3

M4 PU (Poliuretano) 2.93 – j0.29

M5 Arena de cuarzo 2.22 – j10-4

M6 Agua (22ºC) 73.4 – j18.2

M7 Agua (46.5ºC) 70 – j12

a= 5mm, d1 = d2 = 20mm, d3 = 30mm, L = 30cm, para obtener los

efectos de las EBG en un rango de frecuencias entre los 3 y los 5 GHz

[Gri03, Rad98].

Por simplicidad, en lugar de medir un material cuyas

propiedades dieléctricas cambien de 1ε a 2ε , se realizan medidas de

dos materiales diferentes, de permitividades 1ε y 2ε . Los materiales

considerados y sus propiedades dieléctricas se muestran en la Tabla

10.1. Las propiedades dieléctricas de los diferentes materiales fueron

medidas con una sonda coaxial abierta (HP85070B).

Para poder obtener la sensibilidad de cada configuración del

sensor, se mide el parámetro de dispersión S21 utilizando un VNA

(HP8720B). Se aplica entonces la ecuación 10.1, en la que el cambio

en el desfase φΔ se calcula restando la fase del parámetro S21 cuando

el sensor está en contacto con el segundo material ( 2φ ) menos la fase

292

CAPÍTULO 10

Tabla 10.2. Comparación de la sensibilidad s.

MUT

21 εε →

s

(Fig. 4)

s

(Fig. 5.b))

s

(Fig. 5.c))

Theor. Max.

s

M1 → M2 0.27 0.76 0.99 1

M1 → M3 0.20 0.44 0.44 0.44

M1 →M4 0.19 0.51 0.51 0.51

M1 → M5 0.25 0.79 0.81 0.81

M6→ M7 0.25 0.81 1.29 1.68

del parámetro S21 cuando el sensor está en contacto con el primer

material ( 1φ ).

Los resultados obtenidos para diferentes combinaciones de

materiales se muestran en la Tabla 10.2. En esta tabla, también se

incluye el máximo valor de sensibilidad que se podría alcanzar en

cada caso. Se puede observar un aumento drástico de la sensibilidad

cuando se introducen las estructuras EBG. De hecho, para algunos

materiales, dichas estructuras hacen que se obtenga el máximo de

sensibilidad posible.

Las pruebas se hicieron con materiales de pérdidas bajas,

medias y altas. Cabe destacar que el hecho de introducir las

estructuras EBG mejora el comportamiento de los sensores también

en el caso de que los materiales tengan pérdidas altas. Este hecho es

importante, ya que al introducir el patrón periódico en el plano de

masa, se introducen unas pérdidas de propagación mayores que en el

293

Optimización de un sensor microstrip mediante estructuras EBG sensor microstrip tradicional. Sin embargo, se demuestra que este

hecho no supone una restricción a la hora de utilizar los sensores, ya

que las pérdidas totales obtenidas en este estudio eran de 15dB en el

peor caso. Con este valor de pérdidas, se está muy por encima del

mínimo nivel de potencia detectable por el VNA. Por el contrario,

otro tipo de sensores como los resonadores microstrip [Gen02, Ito74,

Ver05], pueden no ser adecuados para poder medir materiales de

pérdidas altas [Gen02, Ver05]. Con la estrategia propuesta en este

trabajo, los efectos resonantes característicos de las EBG pueden ser

aprovechados incluso con materiales de altas pérdidas.

Para mostrar el efecto sobre la sensibilidad en función de la

frecuencia, se han realizado medidas de la respuesta del sensor para

un caso particular. El primer material considerado es aire, y el

segundo material es politetrafluoroetileno (PTFE). Con esos dos

materiales, la expresión de la sensibilidad (1) queda:

1801

1

φεε Δ

≈→≈Δ s

(10.2)

A partir de (2), se deduce que la máxima sensibilidad que se puede

obtener considerando esos materiales es 1=s . Las figuras 10.6 y 10.7

muestran el resultado del incremento φΔ en función de la frecuencia,

obtenido para las configuraciones estudiadas, y comparado con el

obtenido para el sensor microstrip tradicional. En las figuras 10.6 y

10.7 se observa que el incremento de fase es similar para las tres

topologías estudiadas en la región de frecuencia lejos del bandgap,

pero es notablemente mayor para las estructuras EBG cuando la

frecuencia de trabajo está próxima a los bordes del bangap.

294

CAPÍTULO 10

0 1 2 3 4 5 60

50

100

150

200

Frequency (GHz)

Band GapTopology Fig. 5.bTopology Fig. 4

|Δφ| (

deg.

)

0 1 2 3 4 5 60

50

100

150

200

Frequency (GHz)

Band GapTopology Fig. 5.bTopology Fig. 4

|Δφ| (

deg.

)

Fig. 10.6. Cambio de desfase en función de la frecuencia. Comparación

entre el sensor tradicional (Fig. 10.4) y el sensor con un patrón

periódico grabado en el plano de masa (Fig. 10.5.b).

0 1 2 3 4 5 60

50

100

150

200

Frequency (GHz)

Band GapTopology Fig. 5.cTopology Fig. 4

|Δφ| (

deg.

)

0 1 2 3 4 5 60

50

100

150

200

Frequency (GHz)

Band GapTopology Fig. 5.cTopology Fig. 4

|Δφ| (

deg.

)

Fig. 10.7. Cambio de desfase en función de la frecuencia. Comparación

entre el sensor tradicional (Fig. 10.4) y el sensor con dos defectos en el

patrón periódico grabado en el plano de masa (Fig. 10.5.c).

295

Optimización de un sensor microstrip mediante estructuras EBG

Para la estructura de la figura 10.5.b) (ver figura 10.6), el

incremento de fase obtenido es pequeño dentro de la región del band

gap (entre 3 y 5 GHz, aproximadamente), ya que en dicho rango de

frecuencias está prohibida la propagación de cualquier modo a lo

largo de la estructura. Sin embargo, en el caso de la estructura de la

figura 10.5.c), aparecen dos picos en el incremento de fase dentro de

la región del band gap (ver figura 10.7), correspondientes a los dos

modos resonantes que aparecen debido a la presencia de los dos

defectos en el patrón de agujeros [Gri03, Joa95].

Cosideremos que, en la figura 10.6, se escoge la frecuencia de

trabajo igual a 4.96 GHz (que corresponde al borde del band gap de

la estructura de la figura 10.5.b). Se puede observar que el cambio de

desfase obtenido con el sensor tradicional es º1.46=Δφ , mientras que

la topología del sensor de la figura 10.5.b) proporciona un cambio de

desfase notablemente mayor ( º1.137=Δφ ).

Análogamente, consideremos que la frecuencia de trabajo se

escoge igual a 5.2 GHz (que corresponde al borde del band gap de la

estructura de la figura 10.5.c). En este caso, el cambio de desfase

obtenido con el sensor tradicional es de º7.47=Δφ , mientras que la

topología del sensor mostrada en la figura 10.5.c) incrementa el

cambio de desfase hasta º5.178=Δφ , valor muy próximo al máximo

teórico de 180º.

Esta mejora se debe a la menor velocidad de grupo de la onda

cerca de los bordes de la banda, lo que implica una mayor interacción

entre la onda y el MUT. Para comprobar este hecho, se ha calculado

el tiempo requerido por la onda para propagarse a lo largo del

296

CAPÍTULO 10 sistema sensor-MUT. La velocidad de grupo de la onda se obtiene con

la conocida ecuación:

1−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=ωβv

(10.3)

Donde β es la constante de propagación y ω es la frecuencia

angular. β puede obtenerse siguiendo el método descrito en [Wei74],

a partir de las medidas de los parámetros de dispersión S21 y S11. El

cálculo del tiempo de propagación es simple una vez que se dispone

de la velocidad de grupo y conocida la longitud del sensor. Se obtiene

que el tiempo requerido por la onda para propagarse por el sensor

tradicional es de 1.9 ns. Este tiempo es mayor (4.3 ns) para la

configuración con EBG mostrada en la figura 10.5.b), y aún mayor

(5.4 ns) para la estructura mostrada en la figura 10.5.c).

Como ya se ha dicho, el efecto producido por la introducción

de las estructuras EBG predomina en las frecuencias correspondientes

a los bordes del band gap [Pov05], donde disminuye la velocidad de

grupo. Estas frecuencias, en las que se aumenta la interacción entre la

onda y el MUT, pueden sintonizarse al valor de interés mediante un

diseño adecuado del patrón periódico [Gri03, Rad98].

297

Optimización de un sensor microstrip mediante estructuras EBG

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298

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299

Capítulo 11

Diseño de un Sensor Coplanar

Para la Monitorización del Proceso

de Curado del Poliuretano.

Una vez se dispone de las herramientas adecuadas para llevar

a cabo el análisis de las estructuras planares, es posible realizar el

diseño de una determinada configuración para poder monitorizar las

propiedades dieléctricas de un material. Debido a las características

de propagación de los campos, el sensor CPW resulta ser más sensible

que el microstrip. Se ha desarrollado un método para poder

incrementar la sensibilidad de los sensores microstrip introduciendo

patrones EBG. Sin embargo, la utilización del sensor microstrip con

las estructuras EBG supone la realización de medidas de la

transmisión de la celda (dos puertos bidireccionales), lo que en la

práctica supone una complejidad añadida en los sistemas de

transmisión/recepción de las señales. Por ello, en el caso práctico que

se muestra a continuación, se optó por la utilización de un resonador

CPW de forma que se combina la sensibilidad y robustez de la

estructura CPW con la sencillez de los equipos para la medida en

reflexión (un único puerto), lo que también supone un importante

ahorro en el coste del sistema final de medida.

300

CAPÍTULO 11

Por ello, este capítulo se centra en el diseño de un sensor CPW

para llevar a cabo la monitorización de las propiedades dieléctricas de

un material. En primer lugar, se explica brevemente el proceso

general de diseño de un sensor CPW, para después realizar el diseño

concreto de una estructura para la monitorización continua de un

polímero (Poliuretano, PU) durante el proceso de curado. El diseño

para esta aplicación concreta está englobado dentro de un proyecto

europeo titulado “MICROSHOE: Microwave Sensors For Monitoring

Of Polyurethane Injection/Casting Moulding Processes In The Shoe

Industry”, al que, por brevedad, nos referiremos como Proyecto

Microshoe. Los resultados obtenidos con el sensor diseñado para esta

aplicación se muestran en el siguiente capítulo.

11.1. INTRODUCCIÓN. EL PROYECTO MICROSHOE

El poliuretano (PU) es uno de los polímeros más versátiles,

utilizado en la fabricación de numerosos productos, como por ejemplo

las suelas del calzado. El PU se fabrica con una mezcla de dos

componentes básicos, a los que llamaremos A y B, con bases de poliol

e isocianato, respectivamente. Estos dos componentes se presentan

como líquidos y se dosifican desde sus tanques de almacenamiento a

través de tuberías hacia una cámara en la que se mezclan.

Inmediatamente después de mezclarse, la mezcla se introduce en un

molde, en el que tiene lugar la polimerización, resultando un material

sólido que es el PU. En la figura 11.1 se muestra una máquina típica

para la fabricación y moldeo de suelas de PU.

301

Diseño de un Sensor CPW Para la Monitorización del Curado del Poliuretano

Fig. 11.1. Máquina para fabricar y moldear las suelas hechas de PU. En

cada uno de los moldes se inyecta la mezcla y se cierra, produciéndose en

su interior la reacción química que produce el PU sólido.

La reacción que produce el PU es una reacción exotérmica y

rápida, ya que el polímero sólido se puede obtener transcurridos unos

minutos. El calor generado por la reacción puede utilizarse para

vaporizar un agente líquido, produciendo en ese caso el llamado PU

espumado (Foam PU).

Los componentes químicos del PU deben ser mezclados en la

relación volumétrica exacta, y la mezcla debe ser introducida en el

molde inmediatamente. Pequeñas variaciones en la mezcla (debida a

errores de dosificación, contaminación de alguno de los componentes,

etc.), alteran en gran medida el progreso de la reacción, y conllevan

cambios drásticos en las características finales del PU obtenido. En la

figura 11.2 se muestra el resultado de un proceso de curado

deficiente. El PU defectuoso obtenido debe ser desechado, lo cual

302

CAPÍTULO 11

Fig. 11.2. Suela de PU defectuosa debido a un proceso de hidrólisis. Las

variaciones de los componentes o de las condiciones del proceso de

curado del PU provocan drásticas consecuencias en el producto final.

supone un enorme gasto de materia prima y una gran pérdida de

eficiencia del proceso total.

Parece evidente que en un proceso industrial como el descrito,

la existencia de un sensor que monitorizase en tiempo real las

características de la reacción de forma no invasiva tendría numerosos

beneficios. En primer lugar, con un sensor de este tipo se puede

determinar una curva estándar de la cinética de la reacción, lo que

permitiría identificar por ejemplo el momento en el que se considera

que el PU ya está curado, sin depender exclusivamente de los datos

proporcionados por el fabricante, que no tienen en cuenta las

condiciones cambiantes del proceso.

Además, la monitorización del proceso permitiría determinar

de forma inmediata cualquier variación de las condiciones de la

mezcla, permitiendo modificar dinámicamente las condiciones del

303

Diseño de un Sensor CPW Para la Monitorización del Curado del Poliuretano

proceso, mejorando la calidad final del producto, reduciendo el

consumo de materia prima, y por tanto aumentando la eficiencia

total del proceso.

11.2. PROCEDIMIENTO GENERAL DE DISEÑO

En este apartado, se explica el procedimiento general de diseño

de un sensor planar. El objetivo es disponer de un sensor que permita

monitorizar en tiempo real los cambios en el estado físico o en las

propiedades químicas de un cierto material, mientras éste está

sometido a cierto proceso (curado, secado, calentamiento, etc.). La

expresión “tiempo real” significa que la escala de tiempos de las

medidas permite modificar las condiciones del proceso. La posibilidad

de poder observar las propiedades del MUT de esta forma, permite

implementar nuevas funcionalidades de control, identificar puntos

clave en el proceso, optimizar el proceso, adaptarlo a las nuevas

condiciones y, por tanto, mejorar la eficiencia.

Normalmente, el interés se centra en determinar una

propiedad física/química del material durante el proceso (como la

viscosidad, humedad, temperatura, etc.), que es importante para

poder identificar las etapas del proceso. Sin embargo, puede que esta

propiedad puede ser muy difícil de medir de forma continua y en

tiempo real sin interferir con el proceso. Los sensores planares de

microondas aparecen como una alternativa para poder determinar de

forma indirecta esa propiedad de interés.

304

CAPÍTULO 11

El diseño de un sensor planar para la determinación indirecta

de una propiedad física/química, requiere una medida previa de las

propiedades dieléctricas del MUT y la identificación de la relación

entre dichas propiedades dieléctricas y la característica que se desea

determinar. Debido al amplio uso de las microondas como la base de

celdas de medida de propiedades dieléctricas, esta opción ofrece a

priori la ventaja de poder partir de toda una gama de técnicas de

medida de la permitividad como base para el desarrollo de sensores

para la monitorización y el control de los procesos.

La finalidad del proceso de diseño es determinar las

dimensiones de la estructura planar (anchura de la tira conductora,

grosor de las capas, etc.) de tal forma que un cambio en las

propiedades del MUT se traduzca en un cambio apreciable de la

respuesta del sensor. Esto se consigue tras un proceso de

optimización, en el que los parámetros del sensor se determinan de

forma que la permitividad efectiva del mismo dependa en la mayor

medida posible, de las propiedades dieléctricas del MUT.

Como se ha visto en capítulos anteriores, el modo quasi-TEM

característico de las líneas planares se propaga tanto por el substrato

dieléctrico (o materiales por debajo de la tira conductora), como por

la región que hay por encima de la misma (ocupada por el MUT y

normalmente una capa dieléctrica de protección del sensor). El sensor

más sensible a los cambios del MUT es aquél que confine una mayor

parte de la energía en la zona ocupada por el MUT [Hin02].

Con las consideraciones anteriores, el procedimiento general de

diseño se puede resumir como sigue. El punto inicial es el MUT que

305

Diseño de un Sensor CPW Para la Monitorización del Curado del Poliuretano

va a ser sometido a un cierto proceso, y del cual se quiere monitorizar

en tiempo real los cambios en sus propiedades dieléctricas durante el

proceso. Se supone que dichas propiedades dieléctricas están

correladas de alguna forma con el parámetro de interés del proceso

(viscosidad, humedad, densidad, etc.). En primer lugar, es necesario

disponer de una medida previa de las propiedades dieléctricas del

MUT. Al menos es necesario hacer una estimación de la permitividad

del MUT antes de que comience el proceso ( 1ε : condición inicial), y

cuando el proceso termina ( 2ε : condición final). Una vez que ambos

valores de permitividad se conocen aproximadamente, se puede

asumir que las propiedades del MUT cambiarán en el margen

determinado por esos dos valores durante el proceso.

Con la información anterior, se elige el tipo de sensor (en este

caso se trata de un sensor CPW), y se eligen los parámetros de dicho

sensor que se pueden optimizar en el diseño, así como aquellos

parámetros que se van a considerar fijos durante el proceso de

optimización. Normalmente, parámetros como la altura del substrato

del sensor, o la impedancia intrínseca de la línea suelen permanecer

inalterados, mientras que se varían otros como el grosor de la capa de

protección o la anchura de la tira conductora.

Como ya se ha dicho, es deseable que la permitividad efectiva

del sensor planar dependa fuertemente de las propiedades dieléctricas

del MUT. Como se está considerando el caso en el que la

permitividad del MUT varía entre dos valores ( 1ε y 2ε ), la

permitividad efectiva del sensor también variará entre dos valores.

Esos valores corresponderán a la respuesta del sensor en el momento

306

CAPÍTULO 11 inicial del proceso ( 1effε ) y en el momento final ( 2effε ). Por tanto, el

proceso de diseño consiste en determinar la permitividad efectiva del

sensor en las dos condiciones y en modificar la estructura de forma

que se incremente lo máximo posible la diferencia entre ambos

valores ( max effεΔ ).

En el caso de que se diseñe una celda resonante, un cambio

apreciable en la permitividad efectiva del sensor se traducirá en un

incremento de la frecuencia de resonancia de la celda de medida. Por

tanto, el parámetro final que se maximiza es la diferencia entre la

frecuencia de resonancia del sensor con el material inicial, y con el

material final.

11.2.1. DETALLES DE IMPLEMENTACIÓN

A continuación se muestran una serie de detalles que deben

tenerse en cuenta dentro del proceso de diseño general de un sensor.

Para ello, se muestran una serie de pequeños ejemplos implementados

en Matlab© de diseño de estructuras CPW para la monitorización de

un MUT ficticio, cuyas propiedades dieléctricas se va a suponer que

varían entre los valores 1=MUTε , y 1.2=MUTε . Por sencillez se

supone un medio sin pérdidas. Las conclusiones extraídas de este

apartado son válidas cuando se tienen en cuenta factores de pérdidas

no nulos.

Para comenzar, se realiza el diseño de una estructura CPW de

6 capas. Las capas inferior y superior simulan que el sensor está

rodeado de aire. Por debajo del sensor se considera una primera capa

de aire y el substrato del sensor. Por encima del sensor se considera

307

Diseño de un Sensor CPW Para la Monitorización del Curado del Poliuretano

1 1.5 2 2.5 3

x 10-3

0.008

0.0085

0.009

0.0095

0.01

0.0105

0.011

0.0115

0.012

|εeff (εMUT=1) - εeff (εMUT =2.1)|

a (m)

b (m

)

0.36

0.365

0.37

0.375

(a) (b)

Fig. 11.3. (a) Estructura CPW de 6 capas simulada. (b) Incremento de

la permitividad efectiva obtenido para las distintas combinaciones de las

variables a y b. Parámetros de la simulación: a=[1,3]mm, b=[8,12]mm,

h1=50cm, h2=2mm, h3=1mm, h4=1cm, εr1=1, εr2=5, εr3=2.1; εr4=εMUT=1,

εMUT=2.1.

una capa protectora y el MUT. El incremento obtenido en la

permitividad efectiva de la estructura es evaluado en función de la

anchura de la tira conductora y la distancia entre los planos de masa

(parámetros a y b), en un cierto rango de valores. En este caso, los

grosores de las capas dieléctricas se consideran fijos en las

simulaciones. En la figura 11.3 se muestra la estructura simulada, así

como los resultados obtenidos para el incremento en la permitividad

efectiva.

La figura 11.3 permite ver una característica interesante del

diseño de este tipo de sensores. En el margen de valores considerado,

308

CAPÍTULO 11 se observa que hay un máximo global en el incremento de la

respuesta del sensor, que ocurre para una determinada combinación

de las dimensiones a y b. Por esta razón, el proceso de diseño se

simplifica ya que se puede utilizar un método de minimización de

funciones como Newton-Raphson que Matlab© ya tiene implementado

en la función fminsearch, para obtener los parámetros que optimizan

la respuesta del sensor. La única salvedad es que fminsearch realiza la

minimización de la función que se le indica, mientras que en el diseño

se pretende maximizar el incremento de la permitividad efectiva. Por

ello, se debe tener en cuenta que lo que se va a hacer es minimizar el

valor negativo del incremento absoluto de la permitividad efectiva,

esto es min effεΔ− En efecto, el resultado proporcionado por la

función fminsearch para el ejemplo de diseño anterior, es a=1.54mm,

b=11.9mm, que corresponde con el punto óptimo que se muestra en

la figura 11.3, con un incremento de la permitividad efectiva de

effεΔ =0.37589.

En un proceso de optimización más general, no sólo se diseñan

las dimensiones de los conductores del CPW, sino que también se

optimizan los grosores de algunas capas. Si consideramos como

variables de diseño las dimensiones a,b y las alturas del substrato

( ) y de la capa protectora ( ) (ver figura 11.3.a)), los resultados

obtenidos para la estructura óptima son los siguientes: a=0.36016mm,

b=0.36955mm, =5.1mm, =0.82μm,

2h 3h

2h 3h effεΔ =0.5273.

Como se puede comprobar, no se ha añadido ningún tipo de

restricción al proceso de optimización, por lo que se han obtenido

resultados que en la práctica no se podrían implementar. Por

309

Diseño de un Sensor CPW Para la Monitorización del Curado del Poliuretano

ejemplo, la distancia entre la tira conductora y los planos de masa es

demasiado pequeña, así como el grosor de la capa protectora. Por

tanto, es necesario aplicar una serie de restricciones al proceso de

optimización. Dichas restricciones se pueden resumir en los siguientes

puntos:

• Márgenes superior e inferior para las dimensiones de los

conductores (a,b)

• Consistencia entre los valores a,b (b>a).

• Márgenes superior e inferior para el grosor de las capas

intermedias (en algunos casos el límite inferior puede ser 0).

• Impedancia intrínseca de la línea (en el vacío) resultante

cercana a 50Ω.

La última condición es muy importante en el proceso de

diseño, ya que siempre que se diseña una nueva estructura es

deseable que su impedancia intrínseca esté cercana al valor de la

impedancia de los puertos que van a acceder a ella (generalmente

50Ω), ya que así se evita tener fuertes reflexiones de la energía en los

puertos de acceso, lo que podría enmascarar las reflexiones del propio

sensor y dificultaría enormemente la detección de las variaciones del

MUT. La técnica que se ha empleado para introducir una restricción

de este tipo en la función que se desea optimizar (que recordemos es

min effεΔ− ), es la de multiplicar dicha función por otra que tiene la

forma que se muestra en la figura 11.4. En ella se observa que para

valores de la impedancia de la línea lejanos a 50Ω, el valor de la

función inicial se ve penalizado al multiplicarse por un factor que

310

CAPÍTULO 11

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Z0

Con

stra

int V

alue

Fig. 11.4. Función que se ha empleado para introducir la restricción de

la impedancia de línea. Se multiplica la función que se desea optimizar

por la función que se muestra en la figura. Si la impedancia de la línea se

aleja de 50Ω, el valor de la función inicial se ve penalizado.

tiende a 0, cosa que no ocurre para aquellas estructuras cuya

impedancia resultante sea cercana a 50Ω.

Para introducir las restricciones en el proceso de optimización,

se debe utilizar la función de Matlab© que lo permite, que en este

caso es fmincon. Los resultados de la estructura óptima obtenidos son

los siguientes: a=1.9 mm, b=2.4 mm, =3.2 mm, = 45.37μm, 2h 3h

effεΔ = 0.5046, Z0= 49.999Ω. Como se puede observar, el límite

inferior de la capa protectora se ha puesto a 0, y, como es lógico, el

proceso de optimización tiende a hacer desaparecer esta capa, ya que

así la penetración de los campos en el MUT es mayor, lo cual

aumenta considerablemente la sensibilidad del sensor. También se

311

Diseño de un Sensor CPW Para la Monitorización del Curado del Poliuretano

puede ver que al introducir las restricciones, disminuye ligeramente el

incremento de la permitividad efectiva obtenido por el sensor, pero

hacen que el diseño se convierta en algo realizable en la práctica.

Por último, se realiza un diseño simple de una estructura

CPW variando sólo las dimensiones de los conductores a y b, pero en

este caso se hace un barrido de las permitividades inicial y final del

MUT, en el margen 1-50. Para cada combinación de permitividades,

se optimiza el valor de las dos variables y se comprueba que el valor

óptimo de a y b obtenido es el mismo para todas las combinaciones

(a=1.54mm, b=11.9mm). Esto significa que las dimensiones óptimas

de los conductores del sensor son independientes de las características

del material que se desea medir. Sin embargo, como se mostrará en el

siguiente apartado, los grosores de las capas intermedias, sí que

dependen del MUT, además de depender de la configuración elegida

para implementar el sensor. Es por tanto posible realizar un diseño

preliminar del sensor, sin conocer previamente las características

dieléctricas del MUT. Sin embargo, el sensor obtenido no estaría

totalmente optimizado, ya que los grosores de las capas deben ser

considerados también en la optimización de la sensibilidad. Este

resultado es diferente de lo que se obtiene en otro tipo de sensores,

como por ejemplo el sensor coaxial abierto, en el que las dimensiones

óptimas de los conductores dependen de las características inicial y

final del MUT.

312

CAPÍTULO 11

11.3. DISEÑO DE UN SENSOR CPW PARA

MONITORIZACIÓN DEL CURADO DEL PU

Una vez descrito el procedimiento general de diseño de una

estructura CPW para monitorizar un material, se muestra un ejemplo

concreto de diseño de un sensor para monitorizar el proceso de

curado del poliuretano (PU). Una vez descrita la aplicación concreta,

se puede realizar un diseño preliminar del sensor, siguiendo el proceso

de diseño general tal y como se ha descrito en apartados anteriores.

Para ello, se dispone de los valores de permitividad del material al

inicio y al final del proceso, es decir, se conoce la permitividad de la

mezcla de los componentes y del PU ya curado. Dichos valores son

los siguientes:

jinicial −= 5.4ε jfinal 1502 .−=ε

Como se puede comprobar, la permitividad de la mezcla al

inicio de la reacción es superior a la del PU ya curado. Esto es debido

a que la reacción de curado de un polímero supone la creación de

numerosos enlaces entre los monómeros, lo que dificulta su movilidad

y por tanto empeora la capacidad del material para polarizarse, lo

que se traduce en una menor permitividad.

Una vez conocido el margen de valores de permitividad del

material, hay que definir la configuración de la celda de medida. Para

ello, se sabe que la reacción del PU se produce en el interior de un

molde, por lo que se considerará que el sensor va a estar rodeado por

una estructura metálica. En la figura 11.5 se muestra la colocación

del sensor en el molde para la monitorización no invasiva del proceso.

313

Diseño de un Sensor CPW Para la Monitorización del Curado del Poliuretano

Fig. 11.5. Colocación del sensor en la tapa del molde, en cuyo interior

tiene lugar la reacción de curado del PU. El sensor queda integrado en la

tapa, por lo que no interfiere en el proceso.

Por otra parte, se decide que el sensor no esté en contacto

directo con el PU, ya que siempre es conveniente proteger la

superficie sensible del mismo frente al desgaste, el rozamiento, etc.

que podría sufrir. Por tanto, se considera que hay que introducir una

capa de protección entre el PU y el sensor.

A continuación se muestran las opciones elegidas para el

posible diseño del sensor (ver figura 11.6). En la tabla 11.1 se

muestran los diferentes materiales considerados, así como las

permitividades utilizadas en los modelos para realizar los diseños.

Figura 11.6. Posibles configuraciones del sensor CPW para la

monitorización del PU.

314

CAPÍTULO 11

Tabla 11.1. Materiales considerados para el diseño.

Nombre Descripción Permitividad

AIR Aire 1

PTFE Politetrafluoroetileno 2.1-j10-4

PU Poliuretano 4.5-j 2-j0.15

FR4 Substrato de circuitos impresos 4.5

Tras haber definido las diferentes configuraciones, se utilizan

los modelos programados en Matlab© para optimizar el incremento de

la permitividad efectiva del sensor, variando diferentes parámetros

como las dimensiones de los conductores y los grosores de algunas

capas.

A continuación se muestra una tabla con los resultados

obtenidos tras optimizar las cuatro configuraciones. En la Tabla 11.2

se especifican las dimensiones óptimas, las permitividades efectivas

medidas por el sensor en los instantes inicial y final, así como los

incrementos de permitividad efectiva obtenidos en cada caso. Debido

a las restricciones comentadas anteriormente, algunas de las variables

se limitan durante el proceso de diseño. Por ejemplo, la capa de aire

entre el sensor y el plano metálico que simula el molde se considera

que no puede ser menor de 5mm, excepto en la configuración IV, en

la que no se considera dicha capa. Otro caso similar es el del

substrato FR4, que por restricciones de fabricación, no puede tener

un grosor inferior a 1mm. El resto de restricciones impuestas en el

proceso de diseño son las comentadas en apartados anteriores.

315

I II III IV

Fig. 11.7. Parámetros considerados para la optimización en cada una de las configuraciones del sensor.

Tabla 11.2. Dimensiones óptimas obtenidas tras el diseño (todas las dimensiones en mm).

Configuración a b h1 h2 h3 h4 1_effε 2_effε effεΔ

I 5.6 10 5 5 1 10 2.6-j0.18 1.9-j0.40 0.7338

II 5.6 10 1.5 5 1 10 2.9-j0.27 2.2-j0.14 0.7120

III 5.6 10 5 1 1 10 2.8-j0.29 2.1-j0.09 0.7280

IV 5.6 10 1 0.5 1 10 7.69-j0.7 7.05-j0.4 0.7068

316

CAPÍTULO 11

Después de realizar el estudio para cada una de las

configuraciones, se pueden destacar las siguientes observaciones:

• Se ha comprobado que hay otras combinaciones de

dimensiones a y b que proporcionan incrementos en la

permitividad efectiva ligeramente superiores a los mostrados

en la Tabla 11.2. Sin embargo, limitando el tamaño final del

sensor, se han escogido los valores mostrados en la Tabla 11.2.

• Debido a la cercanía del plano metálico al sensor en la

configuración IV, los valores de permitividad efectiva son

diferentes a los obtenidos en el resto de configuraciones, pero

el incremento final es del mismo orden.

• Se comprueba que las dimensiones óptimas del sensor son las

mismas independientemente de la configuración elegida. Sin

embargo, los grosores óptimos de las diferentes capas sí que

varían de una configuración a otra.

• La configuración que mayor sensibilidad presenta a los

cambios del PU es la configuración I. Esto es lógico, ya que las

capas de dicha configuración (aire y PTFE) tienen unas

propiedades dieléctricas bajas que hacen que el campo esté

menos confinado en ellas y pueda llegar mayor cantidad de

energía al PU.

• En las configuraciones I y II, el grosor de la capa de aire tiene

poca influencia en el incremento de permitividad efectiva

obtenido.

317

Diseño de un Sensor CPW Para la Monitorización del Curado del Poliuretano

Fig. 11.8. Apoyo del sensor sobre la estructura de metal sujeta con

tornillos. La distancia d no debe ser muy grande para favorecer la rigidez

del equipo.

Después de realizar el diseño preliminar del sensor, parece que

una configuración como la I ó la III sería la adecuada para

monitorizar el PU. Sin embargo, la configuración III es más fácil de

fabricar, ya que los circuitos impresos (como es el caso del sensor

CPW) son comúnmente fabricados sobre substrato FR4, y además, el

hecho de tener una capa superior (PTFE) y otra inferior (FR4), le

confiere una mayor robustez a la estructura.

Aunque ya se han obtenido unos valores óptimos para las

dimensiones a y b de los conductores del sensor, debido a que la

estructura del sensor debe ser robusta, conviene escoger un valor de b

que no sea grande, ya que el plano metálico del sensor va apoyado

sobre una estructura metálica que es la que le va a proporcionar al

sensor la rigidez. En la figura 11.8 se muestra cómo va apoyado el

sensor sobre la estructura metálica.

318

CAPÍTULO 11

Como se puede ver en la figura 11.8, la distancia d no debe ser

muy grande para que el sensor pueda aguantar suficiente presión,

pero a la vez, conviene que d sea suficientemente mayor que b si se

quiere que la estructura metálica de apoyo no afecte a la respuesta

del sensor. El valor de b óptimo obtenido es de 10mm. Pero por la

razón que se acaba de ver, conviene que d y b sean más pequeños. Sin

embargo, a medida que b se hace más pequeño, la sensibilidad del

sensor también disminuye, por lo que se debe encontrar un

compromiso entre rigidez y sensibilidad. Una vez decidido el valor de

b, se puede obtener el valor de a que proporciona la mayor

sensibilidad posible. Para ello se utiliza la tabla 11.3, en la que se

muestra además el incremento de permitividad efectiva obtenido para

cada combinación de las dimensiones.

Tabla 11.3. Valores óptimos de a en función del b elegido.

efεΔ b (mm) a (mm)

1 0.544 0.2839

2 0.924 0.4684

3 1.248 0.5591

4 1.548 0.6135

5 1.857 0.6492

6 2.159 0.6748

7 2.461 0.6942

8 2.803 0.7092

9 3.553 0.7205

10 4.577 0.7280

319

Diseño de un Sensor CPW Para la Monitorización del Curado del Poliuretano

Según los valores de la Tabla 11.3, se podría escoger un b entre

7 y 9 mm, obteniendo una pérdida de sensibilidad inferior al 5%

respecto a la que se obtiene con el valor óptimo (b=10 mm).

Además de elegir las dimensiones de los conductores, se debe

calcular la longitud del sensor de forma que se obtenga una celda

resonante a la frecuencia requerida. En este punto, se debe comentar

que el procedimiento de diseño del sensor debe considerar el tipo de

equipo va a generar y detectar las señales. En el segundo capítulo se

comentó que lo usual es utilizar un VNA para llevar a cabo esta

tarea. Sin embargo, el hecho de que el coste de un VNA sea elevado,

ha propiciado el desarrollo de nuevos equipos que, con menores

prestaciones (medidas sólo de parámetros de reflexión, menor número

de puertos, menores rangos de frecuencia, etc.), puedan llevar a cabo

las tareas de generación y detección de señales con una calidad

suficiente [Cox99, Eng77, Pol05]. En este caso, el sensor se iba a

utilizar junto con un reflectómetro que actuaba como una VNA de

bajo coste. Este equipo permite obtener medidas del parámetro de

reflexión S11 (módulo y fase) en un margen de frecuencias que va

desde 1.5 GHz hasta 2.6 GHz.

En principio, se decide que con el sensor en vacío (sin MUT),

la frecuencia de resonancia del sensor esté alrededor de 2.4 GHz. Al

introducir la mezcla inicial, la permitividad efectiva del sensor

aumenta, por lo que su frecuencia de resonancia disminuirá hasta

cierto valor. Dicho valor debe asegurarse de que esté dentro del rango

de funcionamiento del reflectómetro (por encima de 1.5GHz). A

medida que el PU se vaya formando, la permitividad resultante

320

CAPÍTULO 11

Fig. 11.9. Estructura de la celda resonante compuesta por un tramo de

línea de excitación (L1) seguida de un gap (g) en la tira conductora y el

sensor de longitud L.

disminuye, por lo que la frecuencia de resonancia vuelve a aumentar,

aunque siempre permanecerá por debajo del valor en vacío. Por

tanto, se debe asegurar que la frecuencia de resonancia del sensor en

vacío esté alrededor de 2.4GHz y que la frecuencia de resonancia con

el material inicial esté por encima de 1.5GHz. Esta condición es muy

importante ya que con este tipo de sensores varía enormemente la

respuesta en función de las propiedades del MUT, y puede ser

necesario tener que escoger un diseño que no proporcione la máxima

desviación debido a las limitaciones del reflectómetro que se esté

utilizando.

La estructura total de la celda que se va a utilizar en las

simulaciones de diseño es la que se muestra en la figura 11.9, donde

se observa un tramo de línea de excitación (L1) de 1 mm de longitud

(esta longitud no influye en los resultados) seguido de un hueco (g)

en la tira conductora que proporciona el acoplo de la energía hasta un

321

Diseño de un Sensor CPW Para la Monitorización del Curado del Poliuretano segundo tramo de línea que es el sensor propiamente dicho (de

longitud L).

La estructura del hueco entre dos líneas CPW que se muestra

en la figura 11.9 se puede simular como un simple equivalente

capacitivo, utilizando el modelo descrito en [Gev96] para obtener la

respuesta.

En la figura 11.10 se recogen los resultados obtenidos para la

frecuencia de resonancia del sensor en vacío en función de las

dimensiones a,b elegidas (de la Tabla 11.3) y de la longitud L del

resonador. Se ha marcado con una línea discontinua la frecuencia

2.4GHz, por ser la frecuencia deseada para el sensor en vacío.

0.046 0.048 0.05 0.052 0.054 0.056 0.058 0.06 0.0621.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

L (m)

f res (

GH

z)

b = 2mm

b = 3 mmb = 4 mm

b = 5 mm

b = 6 mm

b = 7 mmb = 8 mm

b = 9 mm

Fig. 11.10. Frecuencia de resonancia del sensor en vacío, en función de

la longitud del mismo, para diferentes dimensiones de los conductores

(a,b), tomados de la Tabla 11.3.

322

CAPÍTULO 11

Se puede observar que, para valores de b superiores a 7mm, la

longitud necesaria para que el resonador cumpla la condición en vacío

es prácticamente independiente de las dimensiones a,b de los

conductores.

Para obtener la figura 11.10, se ha realizado la simulación del

sensor CPW en vacío, es decir, sustituyendo el MUT por aire. En el

resultado de la frecuencia de resonancia, hay que tener en cuenta que

hay un efecto debido a la red de acoplo (en este caso el hueco en la

tira conductora) que hace que la frecuencia de resonancia obtenida en

la simulación sea ligeramente inferior a la frecuencia natural del

resonador [Can03, Can06]. Este efecto es más o menos acusado

dependiendo del nivel de acoplo de la energía en el resonador [Can03].

Como se ha comprobado, al variar las dimensiones a,b del CPW, si se

mantiene la anchura del hueco (g), varía el nivel de acoplo y por

tanto el efecto de la red de excitación varía de una configuración a

otra. Lo que se ha hecho para evitar este efecto, es modificar el valor

del hueco (g) para las distintas combinaciones de a,b, de forma que se

mantuviera constante el nivel de acoplo (un acoplo mínimo para

minimizar la desviación respecto a la frecuencia natural de resonancia

del sensor). Así, podemos asegurar que la red de acoplo está

afectando mínimamente y por igual en todas las configuraciones, por

lo que la variación de la frecuencia obtenida se debe sólo a las

diferentes dimensiones del resonador.

En la tabla 11.4 se resumen los datos obtenidos en la figura

11.10, y se muestra el valor del hueco (g) utilizado para cada

323

Diseño de un Sensor CPW Para la Monitorización del Curado del Poliuretano

Tabla 11.4. Valores de b y L para obtener una frecuencia de

resonancia en vacío de 2.4GHz.

b (mm) L (mm) g (mm)

2 49.20 3.5

3 51.30 5.3

4 52.67 7.3

5 53.55 9

6 54.22 11

7 54.72 13

8 54.84 14.5

9 54.85 18

simulación. Se especifica la longitud del resonador para obtener una

frecuencia de resonancia en vacío de 2.4GHz.

Con las consideraciones anteriores, se escogen los siguientes

valores para el sensor CPW: a=2.803mm, b=8mm, L=54.84mm.

A continuación se evalúa la frecuencia de resonancia cuando se

introduce la mezcla inicial y finalmente, al obtener el PU (ver figura

11.11). Así se puede comprobar si las frecuencias de resonancia

obtenidas se encuentran dentro de los márgenes detectables por el

reflectómetro. Dichos límites se muestran en la figura con trazo

discontinuo. Para la figura 11.11 se han utilizado unas dimensiones

de los conductores de a=2.803mm, b=8mm, y una longitud del

resonador variable.

324

CAPÍTULO 11

0.04 0.042 0.044 0.046 0.048 0.05 0.052 0.054 0.056 0.058 0.061.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

L (m)

Fre

s (G

Hz)

PU (4.5-j)

PU (2-j0.15)AIR

Lim Inf Trans

Lim SupTrans

Fig. 11.11. Frecuencias de resonancia del sensor en vacío, con la mezcla

inicial (εr=2-j0.15) y con el PU (εr=4.5-j), en función de la longitud del

resonador. Dimensiones de la línea CPW: a=2.803mm, b=8mm.

En la figura 11.11 se puede ver que con una longitud L entre

50 y 55mm, las frecuencias de resonancia del sensor durante todo el

proceso de curado del PU permanecen dentro de los límites

detectables por el transductor. Para mayor información, se muestra

en la figura 11.12 el incremento de la frecuencia de resonancia ( )

obtenido entre el punto inicial del proceso (mezcla de componentes) y

el punto final (PU curado) en función de la longitud del sensor, para

las mismas dimensiones del CPW que se han considerado en la figura

11.11.

resfΔ

325

Diseño de un Sensor CPW Para la Monitorización del Curado del Poliuretano

0.04 0.042 0.044 0.046 0.048 0.05 0.052 0.054 0.056 0.058 0.06420

440

460

480

500

520

540

560

580

600

620

L (m)

Incr

(F re

s) (M

Hz)

Δf re

s(M

Hz)

0.04 0.042 0.044 0.046 0.048 0.05 0.052 0.054 0.056 0.058 0.06420

440

460

480

500

520

540

560

580

600

620

L (m)

Incr

(F re

s) (M

Hz)

Δf re

s(M

Hz)

Fig. 11.12. Incremento de la frecuencia de resonancia obtenido entre el

punto inicial del proceso (εr=2-j0.15) y el punto final (εr=4.5-j) en

función de la longitud del sensor. Dimensiones de la línea CPW:

a=2.803mm, b=8mm.

Según los resultados de la figura 11.12, parece que interesaría

coger la mínima longitud L posible, ya que el incremento de

frecuencia de resonancia disminuye a medida que L aumenta.

Volviendo a la figura 11.11, podemos ver que con una L=51 mm

estarían las frecuencias de resonancia del vacío y los dos estados del

material dentro de los márgenes detectables por el reflectómetro. Por

tanto, se escogería esta longitud como la mejor en este caso.

En la figura 11.13 se muestra el diseño final del resonador que

cumple con las condiciones impuestas a lo largo del proceso de diseño.

326

CAPÍTULO 11

Fig. 11.13. Diseño final del resonador obtenido tras la optimización.

327

Diseño de un Sensor CPW Para la Monitorización del Curado del Poliuretano

Referencias

[Can03] A.J. Canós, J.M. Catalá-Civera, F.L. Peñaranda-Foix, J.Monzó-

Cabrera and E. de los Reyes, “A new empirical method for

extracting unloaded resonant frequencies from microwave resonant

cavities”, IEEE MTT-Symposium Digest, pp.1823-1825, 2003.

[Can06] A. J. Canós, J. M. Catalá-Civera, F. L. Peñaranda-Foix, E. de los

Reyes Davó, “A novel technique for deembeding the unloaded

resonance frequency from measurements of microwave cavities”,

IEEE Trans. Microwave Theory Tech., Vol. 54, pp.3407-3416, Aug.

2006.

[Cox99] M.G. Cox, M.P. Dainton, P.M. Harris, N.M. Riddler, P.R. Young,

“A generalised treatment of the uncertainty in calibration and

measurement of vector-indicating microwave reflectometers”,

National Physical Laboratory Report CETM 10, Sept. 1999.

[Gev96] S. Gevorgian, A. Deleniv, T. Martinsson, S. Galchenko, P. Linner

and I. Vendik, “CAD Model of a gap in coplanar waveguide”,

International Journal of Microwave and Millimeter-Wave Computer-

Aided Engineering, Vol. 6, No. 5, pp. 369-377, 1996.

[Eng77] G.F. Engen, “The six-port reflectometer: an alternative network

analyzer”, IEEE Trans. On Mcirowave Theory and Techniques,

Vol. 25, No. 12, Dec. 1977, pp. 1075-1080.

[Pol05] D. Polo, P. Plaza-Gonzalez, B. García, A.J. Canós, “Design of a low

cost reflectometer coefficient system at microwave frequencies”, 10th

International Conference on Microwave and RF Heating, Módena,

Italy, Sep. 2005.

328

329

Capítulo 12

Medidas y resultados.

En este capítulo, se muestran los principales resultados

obtenidos con sensores planares CPW. En concreto, se muestran

algunos de los resultados obtenidos en el proyecto Microshoe, así

como otros ejemplos de sensores CPW diseñados durante el período

de la tesis.

Tal y como se ha visto en el capítulo de diseño, la celda del

sensor CPW diseñada es una celda resonante, por lo que, para

monitorizar un material, basta con tener medidas en tiempo real de

la frecuencia de resonancia y el factor de calidad de dicha celda, una

vez que estos se han correlado con los parámetros de interés. En un

paso intermedio, sería posible obtener las propiedades dieléctricas del

MUT, aunque esto no es necesario. Puede ser interesante obtenerlas,

por ejemplo, si el MUT va a ser sometido a un campo

electromagnético (por ejemplo para calentamiento), ya que la

permitividad proporciona la información necesaria para predecir el

comportamiento de dicho material cuando se le aplique el campo.

Sin embargo, en aplicaciones industriales en las que lo que se

pretende obtener es una herramienta de control del proceso, no suele

ser de interés conocer las propiedades dieléctricas del MUT, debido a

330

CAPÍTULO 12 su carácter abstracto, si el material no va a ser sometido a la acción

de un campo electromagnético.

Este es el caso de los resultados que se muestran en este

capítulo, en los que se proporcionan las medidas de la frecuencia de

resonancia (fr) y el factor de calidad (Q) de la celda resonante CPW.

Cabe destacar, que en determinados casos, el comportamiento del

factor de calidad es muy similar al de la frecuencia de resonancia, lo

que parece indicar, que en esos casos, sería posible realizar la

monitorización utilizando sólo la frecuencia de resonancia. Sin

embargo, debido al método utilizado para poder obtener con precisión

la frecuencia de resonancia (interpolando la respuesta en la Carta de

Smith) [Gin57, Kaj63, Kaj94a, Kaj94b], sigue siendo necesaria la

detección de las señales en módulo y fase [Gin57, Kaj94a, Kaj94b].

Por otra parte, hay casos en los que una variación de las condiciones

provoca cambios muy sutiles que no se pueden apreciar observando

sólo la frecuencia de resonancia, mientras que sí son apreciables en la

respuesta del factor de calidad.

12.1 PROTOTIPO DEL PROYECTO MICROSHOE

A continuación se muestran una serie de fotos del prototipo

construido, así como de su integración en el molde de curado del PU.

Se puede observar cómo el sensor está colocado en la tapa

metálica del molde, quedando integrado en la estructura del molde, y

proporcionando así una monitorización no invasiva del proceso de

curado en el interior del mismo.

331

Medidas y resultados

(a) (b)

(c) (d)

Fig. 12.1. Prototipo de sensor para el proyecto Microshoe. A) Colocación

del sensor en la tapa del molde. B), c) y d) Detalles del sensor

construido.

332

CAPÍTULO 12

12.2. MEDIDAS REALIZADAS

A continuación, se muestran algunos de los resultados

obtenidos con el prototipo mostrado en el apartado anterior. Se

muestran principalmente las gráficas de las frecuencias de resonancia,

ya que, como se ha comentado, las del factor de calidad son muy

similares. Además, se muestra en algunos casos de interés, la llamada

“cinética de la reacción”, es decir el incremento de la respuesta del

sensor durante el proceso. Este parámetro es muy interesante desde el

punto de vista químico, ya que permite saber en qué momentos está

teniendo lugar la reacción con más intensidad.

En la figura 12.2 se muestra un ejemplo de los cambios que se

pueden observar en las resonancias proporcionadas por un sensor

durante el proceso de curado del PU. En primer lugar, se tiene una

mezcla líquida con unas determinadas propiedades dieléctricas, que

hacen que el sensor proporcione la respuesta de la izquierda. A

medida que el proceso de curado va teniendo lugar, la permitividad

de la mezcla va disminuyendo, por lo que la respuesta del sensor se

desplaza hacia la derecha. También se muestra la respuesta obtenida

con el reflectómetro, con la resonancia del sensor representada en la

Carta de Smith. La interpolación realizada permite la obtención de la

frecuencia de resonancia y el factor de calidad con una mayor

precisión [Kaj63, Kaj94a, Kaj94b].

333

Medidas y resultados

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5-25

-20

-15

-10

-5

0

MezclaMezcla inicialinicial

PUPUcuradocurado

|S11

| (dB

)

Frequencia (GHz)1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5-25

-20

-15

-10

-5

0

MezclaMezcla inicialinicial

PUPUcuradocurado

|S11

| (dB

)

Frequencia (GHz)

(a) (b)

Fig. 12.2. Desplazamiento de la resonancia del sensor durante el proceso

de curado del PU. a) Ejemplo de la variación en el módulo de S11. b)

Ejemplo de medidas realizadas en dos instantes diferentes con el

reflectómetro.

Las medidas se realizaron con las mismas condiciones que en el

proceso industrial real, y ello permitió investigar diferentes aspectos

del proceso, así como evaluar el comportamiento del sensor in situ.

Por comodidad, a los componentes de la mezcla (con bases de

poliol e isocianato), se les denomina componentes A y B. Cuando se

indica que se ha realizado una mezcla estequiométrica significa que

ambos componentes tenían una relación de volúmenes adecuada para

proporcionar un PU de buena calidad (los reactivos están en

cantidades proporcionales a sus coeficientes estequiométricos). En el

caso en que se utilice una proporción volumétrica diferente, se indica

cuál de los dos componentes se ha utilizado en exceso.

334

CAPÍTULO 12

1550

1600

1650

1700

1750

1800

1850

0 50 100 150 200 250 300

Time (s)

Res

onan

t fre

quen

cy (M

Hz)

CompactFoam

Fig. 12.3. Evolución de la frecuencia de resonancia del sensor CPW

durante el proceso de curado de dos tipos de PU, espumado (foam) y

compacto.

12.2.1. PU COMPACTO Y PU ESPUMADO

El proceso de curado fue monitorizado utilizando el sensor

CPW para dos tipos de PU, compacto y espumado. Se utilizaron

cantidades estequiométricas de los dos componentes A y B. En la

figura 12.3 se muestra la evolución de la frecuencia de resonancia

durante el proceso de curado de ambos tipos de PU.

En ambos casos, el efecto de la formación del PU se puede

observar en la frecuencia de resonancia del sensor. Se puede ver cómo

la frecuencia de resonancia aumenta a medida que la reacción

progresa. Esto significa que, durante el proceso de curado, el aumento

de la viscosidad de la mezcla líquida provoca una disminución

335

Medidas y resultados drástica de la movilidad molecular, y por tanto, se produce una

disminución de la permitividad del material. Este hecho provoca un

aumento de la frecuencia de resonancia. Debido a que el cambio en la

permitividad del material está provocado directamente por el cambio

de la viscosidad, la tasa de reacción puede controlarse mediante la

inspección de la curva de la frecuencia en función del tiempo.

A partir de la figura 12.3, se observa que la mayor tasa de

reacción se produce al comienzo del proceso, ya que la pendiente de

la curva de frecuencia es grande en esta etapa de la reacción. A

medida que transcurre el tiempo, la tasa de reacción va disminuyendo

progresivamente, lo que es lógico debido a que cada vez hay menos

porcentaje del polímero que pueda generar nuevos enlaces. Al final de

la reacción, la frecuencia de resonancia es cada vez más constante,

indicando una menor tasa de reacción. El final del proceso de curado

se alcanzaría teóricamente al alcanzar una respuesta plana del sensor,

cuando el tiempo tiende a infinito. Sin embargo, a partir de la curva,

se puede ver que la frecuencia de resonancia permanece casi constante

a partir de 80-90 segundos, lo que puede ser utilizado como un

indicador de que el material ha alcanzado un grado de curado cercano

al 100%.

La figura 12.3 también nos permite identificar claramente una

diferencia entre los dos tipos de PU estudiados. Durante el proceso

completo, la frecuencia de resonancia del PU compacto es menor que

la obtenida para el PU espumado. Esto es debido a la presencia de

burbujas de aire en la mezcla del PU espumado, lo que provoca una

disminución de la permitividad de la mezcla (ya que el aire tiene una

336

CAPÍTULO 12

0,01

0,1

1

10

100

1 10 100 1000

Time (s)

log

(d/d

t (R

eson

ant f

requ

ency

)

CompactFoam

Fig. 12.4. Derivada de la frecuencia de resonancia del sensor respecto al

tiempo durante la reacción de los dos tipos de PU.

permitividad menor que el PU), y esto provoca un incremento de la

frecuencia de resonancia del sensor. Cabe destacar que la diferencia

resultante entre las curvas de ambos tipos de PU es notable, de unos

100MHz, a lo largo del proceso de curado.

Se puede obtener más información acerca del proceso si se

observa la cinética de la reacción, es decir, la derivada de la curva de

respuesta del sensor con respecto al tiempo. En la figura 12.4 se ha

representado esta derivada para los dos tipos de PU estudiados.

De acuerdo con lo mostrado en la figura 12.4, los mayores

valores para el incremento en la respuesta del sensor (que

corresponden con los mayores valores de la tasa de reacción) se

producen en los 10 primeros segundos del proceso. Cuando se va

produciendo la vitrificación del PU y la movilidad del sensor

337

Medidas y resultados disminuye, se observa una caída de la derivada de la frecuencia con

respecto al tiempo, que ocurre desde los 10 segundos hasta los 80

segundos aproximadamente. En este punto, se puede decir que el PU

ha alcanzado su grado final de curado, ya que la derivada, es decir, la

tasa de reacción es muy pequeña, y la dispersión de los puntos indica

que no hay cambios apreciables en la viscosidad del material por

encima de los 80 segundos. Si se prolonga más el proceso de curado,

puede que el material sufra un proceso de “sobrecurado” que

produzca una degradación del PU final.

Por lo que respecta a los dos tipos de PU estudiados, se puede

ver que la reacción es más rápida para el PU espumado al principio,

ya que el valor de la derivada es mayor en este tipo de PU. Sin

embargo, a partir de las medidas, parece que el momento final de la

reacción se alcanza simultáneamente en ambos tipos de PU.

12.2.2. CAMBIO EN LAS PROPORCIONES DE LOS

COMPONENTES

En este apartado se estudia cómo se pueden monitorizar

cambios en las proporciones volumétricas de los dos componentes A y

B del PU compacto. En la figura 12.5 se muestra la frecuencia de

resonancia en función del tiempo para diferentes relaciones

volumétricas de los componentes. En el momento de las pruebas, la

relación estequiométrica utilizada era 100/59 (que corresponde con la

medida “Steq.”). Durante el estudio, se introdujeron mezclas líquidas

con diferentes ratios A/B, mostrando evidentes diferencias al

monitorizarse el curado. Las medidas “B” y “BB” corresponden a

338

CAPÍTULO 12

1660

1680

1700

1720

1740

1760

1780

1800

0 50 100 150 200 250 300

Time (s)

Res

onan

t fre

quen

cy (M

Hz)

Steq.AAABBB

Fig. 12.5. Respuesta del sensor durante el tiempo de reacción para

diferentes relaciones volumétricas en las mezclas de los componentes del

PU compacto.

una mezcla con exceso de material B (ratios de 100/61 y 100/62

respectivamente). Análogamente, las medidas “A” y “AA”

corresponden con un exceso de material A en la mezcla (ratios de

100/57 y 100/56 respectivamente).

En la figura 12.5 se observa una disminución de la frecuencia

de resonancia para las mezclas con exceso de B en la mezcla. Es

interesante ver que un exceso de A (lo que equivale a una falta de B)

provoca una respuesta del sensor que va en la dirección contraria

(frecuencias de resonancia mayores).

A partir de la figura 12.5 es evidente la posibilidad de utilizar

este tipo de sensores para la detección sistemática de relaciones

incorrectas de las mezclas iniciales. No sólo es posible detectar las

339

Medidas y resultados

1700

1720

1740

1760

1780

1800

1820

1840

1860

1880

1900

0 100 200 300 400 500 600 700Time (s)

Res

onan

t Fre

quen

cy (M

Hz)

A/B 100/60A/B 100/62A/B 100/64

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 100 200 300 400 500 600 700Time (s)

Qua

lity

Fact

or

A/B 100/60A/B 100/62A/B 100/64

(a) (b)

Fig. 12.6. Respuestas del sensor, (a)frecuencia de resonancia, (b)Factor

de calidad Q, durante la reacción de curado para diferentes relaciones

volumétricas de los componentes A/B de la mezcla.

desviaciones en los momentos iniciales del proceso, sino que también

sería posible encontrar la correlación entre los valores de la respuesta

del sensor y una cuantificación del valor de la relación volumétrica

real que se ha aplicado.

A continuación se muestra un ejemplo de las curvas que se

obtienen con el sensor tanto para la frecuencia de resonancia (ver

figura 12.6), como para el factor de calidad, donde se puede apreciar

que la información que se puede extraer de ambas es similar. Se

observa que el factor de calidad es más sensible a los cambios que se

producen durante la reacción, pero como contrapartida, también es

más sensible a errores de interpolación, ruido, etc.

12.2.3. CONTAMINACIÓN CON AGUA

Como ya se ha comentado, el uso de los sensores permite

también detectar la contaminación o degradación de alguno de los

340

CAPÍTULO 12

1575

1625

1675

1725

1775

1825

0 50 100 150 200 250 300

Time (s)

Res

onan

t Fre

quen

cy (M

Hz)

0% H2O0.05% H2O0.1% H2O0.2% H2O

Fig. 12.7. Respuesta del sensor durante el curado para diferentes niveles

de contaminación con agua de uno de los componentes (poliol).

componentes de la mezcla. En este caso, se estudia la contaminación

con agua de uno de los componentes, el poliol. Este estudio simula la

absorción de la humedad ambiente de dicho componente, que supone

una causa de degradación importante del PU final obtenido. Los

resultados de este estudio se muestran en la figura 12.7.

Cuando la humedad penetra en el poliol, la permitividad de la

mezcla se espera que aumente, debido a la naturaleza polar de las

moléculas del agua. Por tanto, se espera que la frecuencia de

resonancia disminuya cuando el nivel de agua aumente. Sin embargo,

en la gráfica se observa el comportamiento contrario, ya que a

medida que se añade agua, la frecuencia de resonancia disminuye.

Esto significa que la permitividad de la muestra está disminuyendo al

aumentar la cantidad de agua. La explicación de este hecho puede ser

341

Medidas y resultados que se produzca una reacción entre el agua y la mezcla de los

componentes, provocando que las moléculas pierdan su carácter

polar, y por tanto, su movilidad al aplicar el campo electromagnético

es menor.

Conviene destacar que cantidades pequeñas de agua provocan

cambios apreciables en la respuesta del sensor, facilitando la

posibilidad de implementar de forma automática la detección de

humedad en los componentes.

12.2.4. ENVEJECIMIENTO DE LOS COMPONENTES

Otra de las causas de la obtención de PU defectuoso, es el

hecho de que los componentes de la mezcla inicial, se almacenan

durante un periodo de tiempo variable hasta ser utilizados en el

proceso de fabricación del PU. Este tiempo de almacenaje produce

cambios en sus características, que modifican las condiciones

posteriores del proceso de curado. Si los parámetros del proceso

(proporción A/B, tiempo, etc.) se mantienen en sus valores

nominales, el PU resultante es defectuoso y la mayor parte de las

veces debe desecharse. Es importante, la detección de los cambios

producidos en los componentes in situ, para poder modificar

adecuadamente las condiciones del proceso.

En este estudio se consideran tres períodos diferentes de

almacenamiento de los componentes A y B. Después de dichos

períodos, los componentes son mezclados y tiene lugar el proceso de

curado. La respuesta del sensor durante los procesos de curado se

muestra en la figura 12.8. Dicha respuesta muestra un cambio

342

CAPÍTULO 12 evidente hacia frecuencias más altas a medida que aumenta el

envejecimiento de los componentes.

Si se observa la cinética de la reacción (ver figura 12.9), se

puede apreciar que, al inicio del proceso (los primeros 25 segundos),

los materiales envejecidos tienen una mayor tasa de reacción. Sin

embargo, en este caso, el tiempo total de reacción es el mismo en los

tres casos.

158016001620164016601680170017201740176017801800

0 50 100 150 200 250 300

Time (s)

Res

onan

ce F

requ

ency

(MH

z)

4 days21 days33 days

Fig. 12.8. Respuesta del sensor en función del tiempo para diferentes

periodos de envejecimiento de los componentes.

343

Medidas y resultados

0

2

4

6

8

10

12

5 15 25 35 45

Time (s)

d/dt

(Res

onan

t Fre

quen

cy)

4 days21 days33 days

Fig. 12.9. Cinética de la reacción para diferentes periodos de

envejecimiento de los componentes.

12.3. OTROS PROTOTIPOS

Una vez desarrollado el procedimiento de diseño, y teniendo en

cuenta las condiciones particulares de cada proceso que se desea

monitorizar, se han construido diversos prototipos de sensores

similares al del proyecto Microshoe. Como ejemplo, se muestran

varias imágenes de otro sensor construido también para llevar a cabo

la monitorización del curado del PU, pero construido esta vez con

diferentes materiales.

En este caso se decidió imprimir el sensor sobre un substrato

de la serie Rogers 4000®, en concreto el 4003. Además, el substrato se

coloca por encima de las pistas conductoras, por lo que hace a la vez

de capa protectora de la superficie sensora. Por esta razón se eligió

este substrato, ya que se trata de un laminado cerámico reforzado

344

CAPÍTULO 12 con fibras de vidrio que se comporta muy bien a altas temperaturas

(bajo coeficiente de expansión, permitividad estable), y a la vez es un

material resistente (sometido a presión).

En la figura 12.10. y 12.11 se muestran diferentes detalles del

sensor construido para esta aplicación, así como el sistema total en el

que está integrado, junto con el reflectómetro y un PC para poder

visualizar y procesar los resultados.

(a) (b)

(c) (d)

Fig. 12.10. Diferentes detalles del sensor CPW construido, así como el

sistema formado junto con el reflectómetro y el PC.

345

Medidas y resultados

Fig. 12.11. Detalles técnicos y dimensiones del sensor CPW construido.

346

CAPÍTULO 12

Referencias

[Gin57] E.L. Ginzton, Microwave measurements. New York: McGraw Hill,

1957.

[Kaj63] D. Kajfez, “Graphical analysis of Q circles”, IEEE Trans. Microw.

Theory Tech., Vol. MTT-12, pp. 453-454, Sept. 1963.

[Kaj94a] D. Kajfez, “Linear fractional curve fitting for measurement of high

Q factors”, IEEE Trans. On Microw. Theory and Tech., Vol. 42,

No. 7, July 1994, pp. 1149-1153.

[Kaj94b] D. Kajfez, Q factor. Osford, MS: Vector Fields, 1994.

347

Capítulo 13

Conclusiones y Líneas Futuras.

A continuación se resumen las principales conclusiones que se

derivan de los resultados obtenidos en la tesis, así como las líneas

futuras hacia las que apunta el trabajo realizado.

En el segundo capítulo se ha descrito la relación entre las

propiedades dieléctricas de los materiales con la polarizabilidad de los

mismos, es decir, la capacidad microscópica o molecular de estos

materiales de ser polarizados cuando los iluminamos con una onda

electromagnética. Esta relación nos permite identificar procesos de

cambio en los cuales la polarizabilidad puede verse alterada y

consecuentemente modificar las propiedades dieléctricas de los

materiales durante el proceso. Esta diferencia en las propiedades

dieléctricas puede ser aprovechada mediante los métodos descritos en

la tesis para monitorizar o seguir los cambios mediante sensores de

forma no destructiva ni intrusiva en el proceso.

La primera sección de la tesis se ha centrado en el estudio de

los sensores basados en la línea coaxial abierta en un extremo,

ampliamente utilizada por su gran ancho de banda, la comodidad del

manejo y la posibilidad de caracterizar todo tipo de materiales.

Tras revisar en el capítulo 3 los diferentes modelos teóricos de

la línea coaxial abierta, se ha desarrollado en el capítulo 4 un nuevo

348

CAPÍTULO 13 método de diseño general de este tipo de sondas para la obtención

sistemática de la sensibilidad óptima en el seguimiento de cambios en

las propiedades dieléctricas del MUT. El método propuesto presenta

la ventaja de que, a través del estudio de las ecuaciones involucradas,

ha reducido el proceso de diseño a la obtención de un único

parámetro a partir del cual se obtienen el resto de las variables de la

sonda coaxial. Además, se han propuesto expresiones muy simples

para la obtención rápida de dicho parámetro. Este nuevo método ha

dado lugar a las siguientes publicaciones y congresos:

o Beatriz Garcia-Baños, Jose Manuel Catalá Civera, Antoni

Josep Canós Marin, Felipe L. Peñaranda Foix, “Design rules

for the optimisation of the sensitivity of open-ended coaxial

microwave sensors for monitoring changes in dielectric

materials”, Measurement Sciencie and Technology, Vol. 16,

2005, pp. 1186-1192.

o Beatriz García-Baños, R. Pérez-Páez, J. Pitarch, Miguel

Contelles-Cervera and Jose M. Catalá-Civera, “Moisture

Monitoring with Maximum Sensitivity using Optimized Open-

Ended Coaxial Microwave Sensors” Iteckne, Vol. 5, pp. 87-94,

2006.

o Beatriz García Baños, Felipe L. Peñaranda Foix, Daniel Polo

Nieves y Miguel Contelles Cervera, “Optimización de los

parámetros de diseño de sondas coaxiales para la

caracterización de materiales dieléctricos” Congreso Nacional

349

Conclusiones y líneas futuras

de la Union Cientifica Internacional de Radio URSI,

Barcelona, 2004.

Este procedimiento de diseño ha sido realizado considerando

que el MUT es una capa semi-infinita, pero el procedimiento podría

extenderse al caso de tener una multicapa dieléctrica, utilizando para

ello el modelo multicapa de la admitancia de coaxial. Esta línea

futura que se plantea podría resultar muy interesante para realizar la

optimización sistemática de la sonda coaxial en aplicaciones de

monitorización sin contacto con el MUT, en las que se debe

considerar una o varias capas intermedias entre el sensor y el MUT.

Posteriormente, en el capítulo 5, se procede a describir la

configuración del resonador coaxial abierto, formado por un tramo de

línea coaxial abierta en un extremo y cuya frecuencia de resonancia y

factor de calidad dependen de las características del MUT. En dicho

capítulo se demuestra que la red de excitación que acopla la energía

al resonador coaxial tiene unos efectos sobre la frecuencia de

resonancia obtenida, que sólo pueden despreciarse en el caso en que el

acoplo de energía sea muy débil. En esta tesis, se ha ampliado el uso

de la cavidad coaxial para la caracterización de materiales tanto de

bajas pérdidas como de pérdidas medias o altas. Para ello, es

necesario que el acoplo de la energía en la cavidad sea

suficientemente alto, por lo que la red de excitación debe ser

modelada correctamente y sus efectos eliminados de la respuesta del

resonador.

350

CAPÍTULO 13

Por ello, se ha dedicado el capítulo 6 a describir una serie de

métodos cuya finalidad es modelar y corregir dichos efectos de la red

de acoplo en la frecuencia de resonancia del resonador.

El primer método, denominado de acoplo variable, requiere de

la medida del MUT con varios niveles de acoplo para poder realizar

el ajuste del modelo propuesto. Este método proporciona muy buenas

aproximaciones de la frecuencia de resonancia descargada del

resonador, si se utiliza para realizar las medidas una estructura de

acoplo variable como las diseñadas en esta tesis. Sin embargo, se ha

comprobado que la existencia de dos parámetros (A y α) a veces no

es la más adecuada, ya que introduce en algunas ocasiones

demasiados grados de libertad en el modelo. Podría estudiarse una

modificación de las expresiones haciendo un estudio del

comportamiento del modelo en función de las características del

MUT, tanto de la constante dieléctrica como del factor de pérdidas.

El segundo método desarrollado, modela la red de excitación

utilizando para ello el parámetro xe que representa la reactancia

característica de la red de excitación de la cavidad. Se ha visto que la

dificultad de aplicación práctica de este método radica en la

necesidad de determinar también el parámetro Qe, que es muy

sensible a las imprecisiones en la determinación de la longitud de

línea de la sonda de excitación. Sería muy interesante realizar un

estudio en el que se mostrara la cuantificación del efecto que tiene el

error en la determinación de la longitud de línea sobre xe y el resto

de parametros del resonador (Qu, Qe, k, fL, fu). Esta cuantificación

351

Conclusiones y líneas futuras permitiría realizar un estudio más profundo del comportamiento del

modelo utilizado.

Después de analizar los métodos para la corrección del efecto

de la red de acoplo sobre la frecuencia de resonancia, se hace una

breve referencia a un método conocido para corregir el efecto sobre el

factor de calidad del resonador. En la realización de medidas, se ha

observado, dependiendo del material con el que se ha fabricado el

resonador, que las pérdidas introducidas por la propia celda coaxial

hacen que el factor de calidad del resonador sea bajo, lo cual dificulta

en ocasiones la caracterización de materiales de bajas pérdidas. Se

está estudiando en estos momentos la utilización de celdas con un

baño de oro o de otro metal de alta conductividad, para estudiar la

mejora del factor de calidad de la celda de medida.

Este estudio realizado sobre el modelado preciso de la

respuesta del resonador coaxial ha dado lugar a las siguientes

publicaciones y congresos:

o Beatriz Garcia-Baños, F.L. Peñaranda Foix, J.M. Catala-

Civera, “Extension of the unitary property for the generalized

scattering matrix of microwave networks” Microwave and

optical Technology Letters, Vol. 50 Issue 2, pp. 356-358, 2007.

o F.L. Peñaranda Foix, J.M. Catala-Civera, A.J. Canos-Marin,

and B. Garcia-Baños, “Practical expression for frequency

deviation due to insertion hole in cylindrical cavity” IEE

Electronics Letters Vol. 43 Nº24, 2007.

352

CAPÍTULO 13

o Felipe L. Peñaranda-Foix, B. García-Baños, Jose M. Catalá-

Civera, Antonio J. Canós, “Modelado eficiente de sondas

coaxiales mediante el tratamiento de singularidades” Congreso

Nacional de la Union Cientifica Internacional de Radio URSI,

Asturias 2006.

o F.Peñaranda-Foix, J.M. Catalá-Civera, A.J. Canós-Marin,

B.García-Baños, “Frequency Deviation Due to a Sample

Insertion Hole in a Cylindrical Cavity by Circuital Analysis”,

IEEE_MTT Symposium, Hawaii 2007.

En el capítulo 7 se describen los modelos utilizados para la

calibración de los sensores, así como un nuevo método de calibración

de bajo coste desarrollado como parte de un proyecto de colaboración

con una universidad colombiana. Este método de calibración con

patrones de bajo coste ha dado lugar a la publicación:

o B. García-Baños, R. Pérez-Paez, J.M. Catalá-Civera,

“Reflection Measurements calibration with a tunable

resonator” Iteckne, Vol. 4, No.1, pp. 47-50, 2007.

En el capítulo 8, se muestran los resultados obtenidos que se

han considerado más relevantes por su novedad o por el abanico de

posibilidades que han abierto al uso de los sensores de microondas. Se

ha comprobado la gran versatilidad de este tipo de celdas de medida,

que permite su adaptación a diversos entornos y aplicaciones

diferentes. Así, los sensores diseñados se pueden agrupar en diferentes

categorías:

353

Conclusiones y líneas futuras

o Sensores portátiles (Kit Portátil de medidas dieléctricas): Se

han diseñado sensores portátiles que, junto con el

reflectómetro resultan en un sistema robusto, fácil de usar y de

bajo coste.

o Sensores para control de procesos industriales en línea: Se han

diseñado poniendo especial interés en su robustez y su

estabilidad. Su diseño ha sido complementado con software de

control y completos sistemas de calibración que permiten

obtener una alta repetitividad en las medidas. Destacan los

sensores para control de humedad en materiales sólidos

(cerámicos), granulares y espolvoreados, así como los sensores

integrados en moldes para el control de reacciones de curado

(Sensor de tornillo y Molde inteligente).

o Sensores para laboratorios industriales: Se han diseñado con la

finalidad de ser utilizados en los laboratorios de las industrias,

con muestras tomadas en la línea de producción. Se han

diseñado para obtener medidas con precisión, siendo

relativamente fáciles de utilizar y pudiendo realizar medidas

rápidas de varias muestras similares. En este grupo destaca el

sensor coaxial en vaso, con control de temperatura incluido.

o Sensores para laboratorios científicos: Estos sensores se han

dotado de los algoritmos más completos para proporcionar la

máxima precisión. Su coste es mayor y su utilización no es tan

simple como la de los anteriores. Destaca el sensor de campo

cercano (Near field Microwave Sensor), así como las sondas de

354

CAPÍTULO 13

caracterización de materiales en sus múltiples formas (mezclas

líquidas, emulsiones, materiales laminares) y rangos de

frecuencia.

Como resultado, también se han obtenido las siguientes

publicaciones acerca de las aplicaciones descritas:

o Felipe L. Peñaranda-Foix, Pedro J. Plaza-Gonzalez, Beatriz

García-Baños, Daniel Polo-Nieves “A non-destructive method

of mesauring the dielectric and magnetic properties of

laminate materials in open cavities”, IEEE MTT Symposium

Digest, pp. 1821-1823, 2004.

o Beatriz García-Baños, Felipe L. Peñaranda Foix, Pedro J.

Plaza González, Daniel Polo Nieves, “Nueva técnica de medida

de humedad basada en un resonador coaxial abierto” Congreso

Nacional de la Union Cientifica Internacional de Radio URSI,

Valencia 2005.

o D. Polo, P. Plaza-González, B. García, A. J. Canos, “Design

of a low cost reflectometer system at microwave frequencies”

International Conference on Microwave and High Frequency

Heating Ampere, Módena 2005.

o R. Pérez-Páez , B. García-Baños , J. Pitarch, Jose M. Catalá-

Civera, “Caracterización dieléctrica de macroemulsiones

mediante el uso de sonda coaxial” Congreso Nacional de la

Union Cientifica Internacional de Radio URSI, Asturias 2006.

355

Conclusiones y líneas futuras

o Miguel Contelles-Cervera, J. Pitarch, Beatriz García-Baños,

Felipe L. Peñaranda-Foix, José M. Catalá-Civera and R.

Pérez-Páez, “Analysis of waveguides loaded with a lossy

anisotropic material recovered with adjacent materials”

Iteckne Vol. 5, pp. 95-103, 2006.

o Edgar F. Castillo M, R. Pérez-Páez, Johanna M. Bastos B.,

Luz S. Zambrano B. and Beatriz García-Baños, “Separation of

Oil-Water-Sludge Emulsions Coming from Palm Oil Mill

Process through Microwave Techniques” International

Conference on Microwave and High Frequency Heating

Ampere, Rumania 2007.

o R. Pérez-Páez, Beatriz García-Baños, Johanna M. Bastos B.,

Jose M. Catala Civera, “Caracterización no invasiva de

emulsiones W/O a frecuencias de microondas” X Seminario

Internacional de Medio Ambiente y Desarrollo Sostenible,

Colombia, 2007.

Además de las publicaciones, se encuentra en proceso de

exposición pública la patente “Método para la monitorización no

invasiva del curado de un material plástico termoestable mediante el

uso de microondas y dispositivo microondas para la aplicación de

dicho método” con número P200800285.

En cuanto a las líneas futuras, las aplicaciones prácticas que se

podrían incluir en este capítulo crecen día a día debido a la aparición

de nuevas aplicaciones, así como el diseño de modificaciones que

permiten resolver nuevos retos en la configuración de los sensores. En

356

CAPÍTULO 13 este sentido, la potencia del método de análisis utilizado permite

modelar de forma eficiente nuevas celdas de medida mediante la

conexión en cascada de discontinuidades, y se continúa trabajando en

el diseño de nuevos tipos de celdas.

La segunda sección de la tesis comienza en el capítulo 9 con

una revisión de los modelos teóricos de diversas estructuras multicapa

basadas en líneas microstrip y coplanar. Una vez considerados ambos

tipos de estructuras para la monitorización de materiales, sería

interesante ampliar el rango de aplicación de dichas estructuras

también a la caracterización de materiales.

Tras comprobar que la estructura coplanar posee una mayor

sensibilidad que la microstrip en el seguimiento de las propiedades

dieléctricas de materiales, se propone en el capítulo 10 un método

para mejorar la sensibilidad de los sensores basados en líneas

microstrip, mediante la introducción de estructuras periódicas en el

plano de masa. Esta novedosa aplicación de las características de las

estructuras periódicas ha dado lugar a las siguientes publicaciones:

o B. García-Baños, Francisco Cuesta-Soto, A. Griol, Jose M.

Catalá-Civera, J. Pitarch, “Enhancement of microwave planar

sensors with EBG structures” IEEE Sensors Journal, Vol. 6,

pp: 1518-1522, 2006.

o B. García-Baños, F. Cuesta-Soto, A.Griol, J.M. Catalá-Civera,

“EBG materials: Application in microwave sensors for

industrial process monitoring” Third Workshop on

357

Conclusiones y líneas futuras

Metamaterials and Special Materials for Electromagnetic

Applications and TLC, Italia 2006.

o B. García-Baños, J. Pitarch, R. Pérez, F. Peñaranda-Foix,

“Aplicación de estructuras EBG en sensores planares de

microondas” Congreso Nacional de la Union Cientifica

Internacional de Radio URSI, Asturias 2006.

Se ha comprobado que la introducción de estas estructuras es

altamente eficiente y provoca aumentos notables de la sensibilidad,

sin embargo, también supone la colocación de discontinuidades

abruptas que hacen que el coeficiente de reflexión de dichas

estructuras sea muy alto. Este hecho no ha supuesto un problema ya

que la utilización de estos sensores se basa en la medida de la fase y

no del módulo de la transmisión, sin embargo, hay casos (por ejemplo

en materiales con pérdidas muy elevadas) en los que la reflexión

puede enmascarar la monitorización de la fase de la señal

transmitida. Convendría, por tanto, como línea futura, realizar un

diseño de las estructuras periódicas que tuviese una forma adiabática

para minimizar las reflexiones y evitar este problema cuando pudiera

surgir. Asimismo, son numerosas las estructuras periódicas que se

podrían estudiar para mejorar aún más la sensibilidad de los sensores

planares (redes/filas de agujeros en el plano de masa o en el substrato

de la línea coplanar, etc.) y que son un tema de investigación muy

interesante y novedoso en este campo de aplicación.

En los capítulos 10 y 11 se ha descrito el diseño de un sensor

coplanar para realizar la monitorización del proceso de curado del

PU, y se han presentado los principales resultados obtenidos en el

358

CAPÍTULO 13 proyecto europeo MICROSHOE con la aplicación del sensor coplanar

diseñado. Se ha demostrado la capacidad del sensor para detectar

cambios en numerosos parámetros de la reacción, como relaciones

volumétricas de la mezcla, contaminación con agua, envejecimiento

de los componentes, etc. Por tanto, se ha abierto un vasto campo de

aplicación de estos sensores, ya que la monitorización de procesos de

fabricación de polímeros, plásticos, etc. es una necesidad actual vital

para poder dotar a estos materiales de unas características

diferenciadas, y poder obtener productos finales de mayor valor

añadido. Además, la utilización de sensores para realizar el

seguimiento in situ de la reacción ha permitido alcanzar un mayor

nivel de comprensión de la naturaleza de las reacciones químicas que

tienen lugar en el interior de los moldes de reacción. El estudio sobre

este tipo de reacciones no ha hecho más que comenzar, pudiéndose

ampliar al comparar los resultados obtenidos con los sensores de

microondas con los estudios realizados sobre los productos finales

mediante técnicas como la calorimetría (DSC: Differential Scanning

Calorimetry). Este tipo de estudios ya ha comenzado proporcionando

nuevas perspectivas que ayudan a adquirir un mayor entendimiento

de este tipo de reacciones.

Para finalizar, durante el desarrollo de la tesis, el desarrollo de

nuevas técnicas de análisis, optimización, diseño, etc. ha sido muy

fructífero y ha permitido la interacción con otros investigadores,

proporcionando resultados muy interesantes en colaboración con

otros grupos y otras disciplinas. A continuación se resumen las

publicaciones obtenidas en este sentido:

359

Conclusiones y líneas futuras

o J. Pitarch, Beatriz García-Baños, Miguel Contelles-Cervera,

R. Pérez-Páez, and F. Peñaranda-Foix, “Analysis and

Optimization of Electric Field Distributions in Multimode

Microwave Heating Applicators Excited by Multiple Input

Sources” Iteckne, Vol. 5, pp. 24-34. 2006.

o Francisco Cuesta-Soto, Alejandro Martínez, Beatriz García-

Baños, Javier Martí, “Numerical Analysis of All-optical

Switching Based on a 2-D Nonlinear Photonic Crystal

Directional Coupler”, IEEE Journal of Selected topics in

Quantum Electronics, Vol. 10, No. 5, pp. 1101-1106, 2004.

o Francisco Cuesta Soto, Beatriz García Baños, Javier Martí,

“Compensating intermodal dispersion in Phc directional

couplers” Optics Letters , Vol. 30, pp. 3156-3158, 2005.

o Jaime Pitarch-Portero, J.M. Catala-Civera, F.L. Peñaranda

Foix, Beatriz Garcia-Baños, “Modeling Microwave Power

Structures Based on K-furcated Waveguides Arbitrarily Filled

with Materials By Modal Techniques” Journal of Microwave

Power and Electromagnetic Energy, Vol. 41 Issue 4, pp. 46-61,

2008.

o F. Cuesta-Soto, Beatriz García-Baños, A. Håkanson, J.

García, P. Sanchis and J. Martí, “Intermodal dispersion

conpensation in a PhC directional coupler.”, PECS-VI:

International Symposium on Photonic and Electromagnetic

Crystal Structure, Grecia 2005.

360

CAPÍTULO 13

o J. Pitarch, M. A. Solano, B. García, R. Pérez y J. Catalá,

“Caracterización modal eficiente de guías de onda

bianisótropas” Congreso Nacional de la Union Cientifica

Internacional de Radio URSI, Asturias 2006.

o Jaime Pitarch, José M. Catalá-Civera, Felipe L. Peñaranda-

Foix and Beatriz García-Baños, “Solving Rectangular-Shaped

Waveguides Partially-Filled with Anisotropic Materials by

Modal Techniques”, International Conference on Microwave

and High Frequency Heating Ampere, Rumania 2007.

361

Anexo A

Modelos teóricos de la apertura

coaxial y la transición coaxial-

coaxial.

En la tesis, se ha realizado un estudio de los sensores coaxiales

en dos tipos de celdas de medida de materiales. En primer lugar, se

ha estudiado la sonda coaxial abierta en un extremo. Por ello, es

necesario utilizar una serie de modelos que permiten obtener la

respuesta de la apertura coaxial radiando sobre una multicapa de

dieléctricos. De todos los modelos existentes en la bibliografía, y

descritos en el capítulo 3 de la tesis, se han escogido dos para su

utilización en este trabajo. Se trata de un modelo monomodo de la

apertura de la línea coaxial sobre una multicapa, desarrollado por

Bakhtiari en [Bak99], y por otro lado, un modelo multimodo de la

apertura coaxial radiando sobre una multicapa, desarrollado por

Baker-Jarvis en [Bak94a]. Este segundo modelo es más preciso por

considerar la contribución reactiva en la apertura de los modos

superiores, aunque ello hace que tenga mayores requerimientos

computacionales y de tiempo de simulación. El primer modelo es más

rápido y conveniente en caso de que la capa de material que se coloca

en contacto con la línea coaxial tenga una permitividad baja, ya que

362

ANEXO A en ese caso los modos superiores no tienen unos efectos notables en la

respuesta de la sonda.

En segundo lugar, se ha considerado el uso de un disco

dieléctrico de protección del sensor coaxial en la zona de la apertura.

Colocando dicho disco, se evita que los materiales líquidos o

semisólidos puedan penetrar en el interior del sensor coaxial. Como se

vio en el capítulo 3, las dimensiones del coaxial se modifican

ligeramente en la zona donde se coloca el disco, para que la

estructura resultante tenga una cierta robustez y evitar que el propio

disco se vea desplazado hacia el interior del sensor. Por ello, es

necesario también disponer de un modelo de la transición entre dos

coaxiales con conductores de diferentes dimensiones.

Los tres modelos mencionados se resumen a continuación.

A.1 MODELO MULTICAPA MONOMODO

A continuación se resume el modelo de la línea coaxial abierta

radiando sobre una multicapa de dieléctricos desarrollado por

Bakhtiari [Bak99]. Este modelo sólo considera los efectos del modo

TEM en la apertura, es decir, se trata de un modelo monomodo de la

línea coaxial abierta. Se eligió este modelo por su robustez y por su

rapidez en el caso de tener una única capa de material. Además, el

desarrollo teórico está enfocado a la programación, es decir, la teoría

del modelo está bien estructurada y permite una programación

relativamente sencilla.

363

Modelos teóricos de la apertura coaxial y de la transición coaxial-coaxial

En [Bak99] se realiza el estudio teórico de una línea de

transmisión coaxial (con un conductor interior de radio a y un

conductor exterior de radio b terminada en circuito abierto radiando

sobre una serie de N capas dieléctricas cuya permitividad y

dimensiones son conocidas (se consideran planos infinitos con una

cierta anchura en la dirección z). La última capa puede ser un plano

conductor perfecto (σ = ∞) de anchura despreciable o dieléctrica

infinita en la dirección +z. (Ver figura A.1)

(a)

(b) (c)

Fig. A.1. a) Línea de transmisión coaxial de conductor interior de radio

a y conductor exterior de radio b, abierto en un plano conductor perfecto

y secciones de una línea coaxial radiando en una multicapa dieléctrica

terminada b) en un plano conductor perfecto y c) en un medio semi-

infinito.

364

ANEXO A

Si sólo se considera el modo TEM en la apertura, la estructura

contiene las componentes Eρ, Eφ y Hz, que no dependen de la

coordenada angular φ. Los campos se pueden expresar en función de

un potencial eléctrico y magnético:

),,()(1),(

),,(1),(

2

0

zkj

zH

zzE

nn

n

nn

n

φρεωμ

ρ

φρε

ρ

Π∇∇⋅+−=

Π×∇=

(A.1)

donde el potencial debe satisfacer la ecuación de onda de

Helmholtz en cada región:

0),(112

22

2

22

2

=Π⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂∂

+∂∂

+∂∂ zk

z nn ρρρρρ

(A.2)

Si se realiza la transformada de Hankel del potencial vector, la

ecuación de onda queda reducida a una dimensión, lo que permite

obtener la expresión del potencial vector en términos de ondas

estacionarias y progresivas.

Por lo tanto, se obtienen también las expresiones para los

campos transformados eléctricos y magnéticos:

[ ]njkn

zjkn

n

zn

zzn eRAeRAjk

zRE )()(),(~ −−+ −=ε

(A.3.a)

[ ]njkn

zjknn

zz eRAeRAjzRH )()(),(~ −−+ −= ω (A.3.b)

donde R es la variable de la transformación de Hankel, y se

denomina número de onda radial.

365

Modelos teóricos de la apertura coaxial y de la transición coaxial-coaxial

En la región de la multicapa, las expresiones de los campos

deben cumplir las condiciones de contorno de continuidad en los

planos en los que se producen los cambios de material.

En la región del coaxial, los campos también se expresan como

suma de las ondas incidentes y reflejadas. Una vez se calcula la

transformada Hankel de los campos, éstos se pueden expresar como:

RRaJRbJAYRH

RRaJRbJARE

c)()()1()(~

)()()1()(~

0000

0000

−Γ−−=

−Γ+−=

ρ

ρ

(A.4)

donde Γ es el coeficiente de reflexión complejo.

El siguiente paso es forzar la continuidad del flujo de potencia

que atraviesa la superficie de la apertura. Para ello se utiliza el

teorema de Poynting, con la particularidad de que ahora se aplica

sobre los campos transformados.

Una vez se igualan los flujos de potencia a ambos lados de la

apertura, se obtiene la expresión de la admitancia de la línea coaxial

en la apertura, normalizada respecto a la admitancia característica de

la línea ( cc YY ε0= donde Y0 es la admitancia característica en

vacío, y cε es la permitividad del dieléctrico que rellena la línea

coaxial). Dicha expresión es:

( ) ( )[ ] ( )∫∞ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=+=0

20000

ln

1 dζζFζ

aζkJbζkJ

abε

εjbgy

cr

rsss

(A.5)

366

ANEXO A

Donde y son la conductancia y susceptancia

normalizadas de la apertura, ksg sb

0 es el número de onda en el vacío, 1rε

es la permitividad de la primera capa (la más próxima a la apertura),

y J0 es la función de Bessel de orden 0.

Como variable para la integración se utiliza el parámetro de

normalización

0kℜ

=ζ (A.6)

donde ℜ es una variable que representa el número de onda

radial.

Por otro lado, a partir de las condiciones de contorno, se

obtiene la función:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−=

1

12 1

11

1ρρ

ζεζ

r

F (A.7)

Donde 1ρ es el coeficiente de reflexión de la primera capa.

Para un medio de N capas, 1ρ debe calcularse recursivamente

a partir de la siguiente expresión:

2102

1

1

11 ζε

βκβκρ

−−

+

+

+−

= rizkj

ii

iii e (A.8)

Donde

2

21

1 ζε

ζε

εε

κ−

−= +

+ ir

ir

ir

iri (A.9)

367

Modelos teóricos de la apertura coaxial y de la transición coaxial-coaxial

2102

1

2102

11

1

1ζε

ζε

ρ

ρβ−+

+

−++

+

+

−=

irizkj

i

irizkj

ii

e

e (A.10)

con zi dado por:

⎩⎨⎧

≤≤+−≤≤

= ∑= itocortocircuenterminadacapaésima-N 1

zdirección laen infinita capaésima-N11

1 NiNi

dzi

jji (A.11)

Para Ni = :

⎩⎨⎧ +

= −− itocortocircuen terminadacapa ésima-N

zdirección laen infinita capa ésima-N 0 2

02 ζερNrNzkjN e

(A.12)

Los cálculos anteriores deben empezar en i = N-1 y avanzar

hasta i = 1.

Por lo que respecta al problema inverso, en este caso se debe

recurrir inevitablemente a un proceso iterativo, ya que es imposible

despejar analíticamente la constante dieléctrica del material de la

expresión de la admitancia de entrada del coaxial. Se debe por tanto

proporcionar una estimación inicial del valor de la permitividad que

se desea obtener, y mediante sucesivas iteraciones se va refinando

dicho valor hasta obtener una solución lo suficientemente precisa.

A.2 MODELO MULTICAPA MULTIMODO

En este apartado se describe el modelo de un coaxial radiando

sobre una estructura infinita, que puede ser de una única capa o bien

multicapa, pero ahora considerando los efectos de los modos

368

ANEXO A

Fig. A.2.-Geometría de un coaxial radiando sobre una capa infinita.

superiores que aparecen en la apertura.

A.2.1. CASO MONOCAPA INFINITA

Se plantea inicialmente el caso como una única capa infinita,

tal y como se muestra en la figura A.2, para luego incluir el efecto de

la multicapa.

El análisis se realizará multimodo y considerando únicamente

lo modos T.M. del coaxial, siguiendo el modelo propuesto por Baker-

Jarvis en [Bak94a].

El campo en el coaxial es (considerando que el eje z de

propagación es de salida del coaxial hacia el material):

( ) ( )( ) ( ) ( )

∑∞

=

⋅⋅+⋅− ⋅⋅⋅Γ+⋅⋅Γ+⋅=1

10000

1m

zmmm

zzr

cm

cc

eNrgNeer

E γγγ (A.13.a)

( ) ( )

( ) ( )( )

∑∞

=

+−

−Γ+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Γ−

=1

10

0

0001

m

zcmpmc

m

rcm

c

zczc

eNrgj

N

ee

rH γ

γγ

ϕγ

εωεη

(A.13.b)

donde

369

Modelos teóricos de la apertura coaxial y de la transición coaxial-coaxial

( ) ( ) ( )( ) ( )rk

akakrkrg cm

cm

cmcmm ⋅⋅

⋅⋅

−⋅= 'Y'Y'J'J 0

0

011

(A.14)

( )[ ] rcrcc μμεεωγ ⋅⋅⋅⋅−= 00

220 (A.15.a)

( )[ ] [ ] rcrccmc

m k μμεεωγ ⋅⋅⋅⋅−= 00222 ' (A.15.b)

Debe aclararse que como onda incidente se considera

únicamente el modo TEM normalizado a la unidad, no habiendo

términos de la forma ( ) zcme ⋅−γ , que serían modos TM superiores

incidentes. Se supone que estos modos TM no existen en incidencia.

Es decir, el coaxial se debe excitar lo suficientemente lejos de la

apertura como para garantizar que no hay modos superiores.

Evidentemente sí se consideran los reflejados en la discontinuidad,

que son los de la forma ( ) zcme ⋅+γ .

Los términos y son términos de normalización del

campo eléctrico, cuyo valor puede verse en [Bak94a], es la

constante de propagación del modo TEM del coaxial y son las

constantes de propagación de los modos TM superiores.

0N mN( )c0γ

( )cmγ

Si ahora aplicamos la transformación de Hankel a estos

campos, los campos transformados quedan como:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

∑∞

=

⋅⋅+⋅− ⋅⋅⋅Γ+⋅⋅Γ+⋅=1

00000

~m

zmmm

zzr

cm

cc

eNDNeeDE γγγ ζζζ (A.16.a)

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

∑∞

=

+−−

Γ+Γ−

=1

00

0000

~

m

zcmmmc

m

rcm

c

zczc

eNDj

Nee

DH γγγ

ϕ ζγ

εωεη

ζζ (A.16.b)

donde se han definido las funciones ( )ζ0D y ( )ζmD como las

funciones transformadas de 1/r y g1m(r) respectivamente, de tal forma

que:

370

ANEXO A

( ) ( ) ( )ζ

ζζζ

baD

⋅−⋅= 00

0JJ (A.17.a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )bgbbagaak

D mmcm

m 101022 JJ'

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−

= ζζζ

ζζ (A.17.b)

Por otra parte, el campo en el medio infinito podemos

obtenerlo a partir de la ecuación de onda:

( ) 0,11 22

2

22

2

=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂∂

+−∂∂

⋅+∂∂ zrHk

zrrrr ϕ (A.18)

donde se ha supuesto la invarianza en ϕ y donde es el

número de onda del medio, definido como:

k

101022

rrk εεμμω= (A.19)

siendo 1rε y 1rμ la permitividad eléctrica y la permeabilidad

magnética del medio infinito.

Si se aplica la transformada de Hankel a la ecuación de onda

anterior, se tiene que el campo en el medio es:

( ) 0,~222

2

=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

∂∂ zHkz

ζζ ϕ (A.20)

de tal forma que la solución del campo magnético es:

( ) ( ) ( ) zz eBeAzH ⋅+⋅− ⋅+⋅= 11,~ γγϕ ζζζ (A.21)

donde A y B son funciones de la variable transformada ζ , y a

su vez las amplitudes de las ondas progresivas y regresivas en z,

respectivamente. Y la variable 1γ es la constante de propagación en

el material, definida como:

2221 k−= ζγ (A.22)

371

Modelos teóricos de la apertura coaxial y de la transición coaxial-coaxial

Si se considera que en el medio infinito no se tiene onda

reflejada, sólo aparecerá onda progresiva, y los campos

electromagnéticos serán:

( ) ( ) zeAzH ⋅−⋅= 1,~ γϕ ζζ (A.23.a)

( ) ( ) z

rr eA

jzE ⋅−⋅⋅

⋅⋅⋅= 1

10

1,~ γζεεω

γζ (A.23.b)

Si se ahora identifican las componentes tangenciales de campo

eléctrico y magnético en la discontinuidad del coaxial con el espacio

abierto, es decir en z=0, se tiene:

( )( ) ( ) ( )10

1

1000 1

rmmmm j

ANDNDεωε

γζζζ =Γ+Γ+ ∑

∞

= (A.24.a)

( ) ( )( ) ( ) ( )ζζ

γ

εωεη

ζ ANDj

NDm

mmcm

rcm

c=

−Γ+

Γ− ∑∞

=1

00

00

1 (A.24.b)

Si se calcula la transformada inversa de la ecuación A.24.b,

resultante de identificar los campos magnéticos, se tiene:

( )( ) ( )

( ) ( )∫

∑∞

=

∞

=

=

=−

Γ+Γ−

0 1

11

00

0

J

11

ζζζζζ

γ

εωεη

drA

Nrgj

Nr m

mmcm

rcm

c (A.25)

Ahora se integra por la izquierda y por la derecha esta

ecuación, multiplicando por la función peso Rn(r) definida como:

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

==

0 ,

0 , 1

1 nrg

nrrR

n

n (A.26)

llegando a:

372

ANEXO A

( ) ( )( )

( ) ( )∫∞

=⋅⋅=

=−

Γ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0

200

0

0 Ln

ζζζζζ

γ

εωε

γ

εωεδ

dDA

NFj

Nabj

m

mmcm

rcmc

rcm

(A.27)

Donde el índice m empieza en 0 (m=0, 1, 2,...), la función mδ

es la función delta, y la función ( )2mF es:

( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=0m ,

'Y1

'Y1

'2

0m ,

20

20

2

2

akbkk

abLn

F

cmcmcm

m

π

(A.28)

Asimismo, si ahora se utiliza la continuidad del campo

eléctrico, ecuación (A.24.a), se puede despejar la amplitud ( )ζA :

( ) ( )( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Γ+Γ+= ∑

∞

=1000

1

10 1m

mmmr NDND

jA ζζ

γεωε

ζ (A.29)

Si se sustituye esta amplitud en (A.27), se llega a:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫

∫∞

=

∞

=

∞

=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅Γ+⋅⋅Γ⋅=

=⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅

00 1

2

0 00100 Ln

mnnmmnnn

cn

nc

n

dNDDYNFY

dNDYDNabY

ζ

ζ

ζζζζζ

ζζζζζδ (A.30)

ecuación que se puede escribir de forma matricial como sigue:

Γ⋅=rr

11 QP (A.31)

donde cada vector o matriz es:

373

Modelos teóricos de la apertura coaxial y de la transición coaxial-coaxial

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )tm

nnmnmnnc

nnm

nc

nn

dNDDYNFYQ

dNDYDNabYP

ΓΓΓ=Γ

⋅⋅+=

⋅⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∫

∫∞

=

∞

=

...

Ln

10

0 12

1

0 001001

rζ

ζ

ζζζζζδ

ζζζζζδ

(A.32)

En la expresión anterior, el coeficiente de reflexión calculado

Γm es el coeficiente de reflexión para los modos TEM (Γ0) y los m

modos superiores TM considerados cuando incide desde el coaxial

únicamente el modo TEM.

Una vez programado el modelo anterior, se realizaron una serie

de pruebas numéricas y se comprobó la existencia de singularidades

en los integrandos de las expresiones de los parámetros de dispersión

de la sonda coaxial (ecuación A.32). En efecto, en [Bak93, Bak94b] se

comenta que es necesario aplicar técnicas de integración de contorno

en el cálculo de dichas integrales para poder obtener resultados

correctos. Este hecho hace que la eficiencia del método disminuya

drásticamente, sobretodo si se considera en los cálculos un número

elevado de modos. Además, la integración numérica de funciones con

singularidades introduce un cierto error que puede llegar a ser

importante. Este inconveniente con el cálculo de este tipo de

integrales ya ha sido constatado por otros autores [Bak93, Bak94b].

Por esta razón, se ha realizado un procedimiento matemático

para evitar la aparición de dichas singularidades en el modelo, de

forma que se pueda llevar a cabo la integración numérica de las

expresiones de forma mucho más eficiente. Se ha comprobado que con

una serie de transformaciones de las funciones integrando se pueden

374

ANEXO A

Figura A.3. Geometría de la estructura multicapa en el eje z. Las capas

dieléctricas tienen un grosor d, y un determinado coeficiente de reflexión

en las discontinuidades.

obtener los parámetros de dispersión del modelo de una forma mucho

más rápida y fiable. La razón es que la eliminación de las

singularidades en los integrandos permite utilizar algoritmos de

integración numérica más rápidos, como lo es el método de Gauss, y

además, se evitan los errores residuales producidos por el mal

condicionamiento de las funciones que se integran. Este método de

eliminación de las singularidades ha sido descrito en detalle y sus

resultados han sido publicados en [Peñ06].

A.2.2. CASO MULTICAPA

La extensión del análisis anterior al caso multicapa es

inmediato. Se verá primero un rápido análisis del coeficiente de

reflexión que se obtiene en cada capa, siguiendo un procedimiento

similar al utilizado en [Bak94b].

375

Modelos teóricos de la apertura coaxial y de la transición coaxial-coaxial

La estructura multicapa, en torno a la capa i cualquiera,

podría estar representada por la figura A.3.

Si se considera que los modos T.M. en una capa i cualquiera

están representados por los campos de las ecuaciones (A.23.a y

A.23.b), pero con ondas progresivas y regresivas como las mostradas

para el campo magnético en la ecuación (A.21), y de forma similar los

de las capas anterior (i-1) y posterior (i+1), e imponiendo la

continuidad de las componentes tangenciales de campos eléctrico y

magnético, se tiene:

110)1()(~~

++=+⋅+⋅−

=−==⋅−⋅= iizi

di

didzi BAHeBeAH iiii

iϕ

γγϕ (A.33.a)

0)1()(~~

=+==

ziridzir EE

( ) ( )1110

111

0+

−+

+

+++

−+ −=− i

ziiri

iziizii

ri

i BeAj

eBeAj

γγγεωε

γεωε

γ

(A.33.b)

donde se debe tener en cuenta que para cada capa se considera

unos ejes independientes, empezando con z=0 en la parte superior de

la capa y terminando en z=d. Además, conviene recordar que la

constante de propagación iγ es:

iririi k ,0,022222 μμεεωζζγ −=−= (A.34)

Si se define el coeficiente de reflexión en cada capa como:

1

11;

+

++ =Γ=Γ

i

ii

i

ii A

BAB

(A.35)

Se llega a la siguiente expresión general e iterativa:

376

ANEXO A

111

111

1,

1,

1

1

1,

1,

1

1

2

+⋅⋅

⋅Γ−Γ+

−⋅⋅

⋅Γ−Γ+

⋅=Γ

+

+

+

+

+

+

+

+

⋅⋅−

iir

iir

i

i

iir

iir

i

i

di

iie

γεγε

γεγε

γ (A.36)

de tal forma que cuando se está en la última capa, cuando

i=N, el coeficiente de reflexión Γ es el siguiente, dependiendo de

cómo esté terminada esta última capa (pared eléctrica, magnética o

espacio abierto e infinito):

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=Γ ⋅⋅−

⋅⋅−

Inf. , 0P.M. , P.E. ,

2

2

NN

NN

d

d

N ee

γ

γ

(A.37)

Así pues, si ya se puede calcular el coeficiente de reflexión para

los modos TM del espacio abierto en cualquier capa de la estructura

multicapa, se debe aplicar el mismo procedimiento que antes para

calcular el coeficiente de reflexión en el coaxial abierto radiando sobre

la estructura abierta multicapa.

El campo sobre la primera de estas multicapas será el

siguiente, de forma similar al descrito en las ecuaciones (A.23.a y

A.23.b), pero considerando que sobre esta primera capa hay onda

progresiva y regresiva:

( ) ( ) ( )( )zz eeAzH ⋅+⋅− ⋅Γ+⋅= 111,~ γγ

ϕ ζζζ (A.38.a)

( ) ( ) ( )( zz

rr eeA

jzE ⋅+⋅− ⋅Γ−⋅⋅

⋅⋅⋅= 11

110

1,~ γγ ζζεεω

γζ ) (A.38.b)

Siguiendo con el mismo razonamiento que antes, ahora se

deben identificar los campos eléctricos y magnéticos tangenciales en

377

Modelos teóricos de la apertura coaxial y de la transición coaxial-coaxial

la discontinuidad (z=0), llegando a unas ecuaciones similares a las

ecuaciones (A.24.a) y (A.24.b), pero con el término 1Γ , que es debido

a la reflexión en la capa primera:

( )( ) ( ) ( )( )10

11

100 11

rmmm j

ADDεωε

γζζζ ⋅Γ−=Γ+Γ+ ∑

∞

= (A.39.a)

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

1

000 1

1Γ+=

−Γ+

Γ− ∑∞

=ζζ

γ

εωεη

ζ ADj

Dm

mcm

rcm

c (A.39.b)

Siguiendo con los mismos pasos que en el caso de una única

capa, se llega a una ecuación matricial similar a la ecuación (A.31):

Γ⋅=rr

22 QP (A.40)

donde cada uno de los vectores y matrices son, de forma

similar a los descritos en la ecuación (A.31):

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )tm

nmnmnc

nnm

nc

nn

dDDYFYQ

dDYDabYP

ΓΓΓ=Γ

⋅⋅⋅⋅Γ−Γ+

⋅+⋅⋅=

⋅⋅Γ−Γ+

⋅⋅⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅=

∫

∫∞

=

∞

=

...11

11Ln

10

01

11

22

0 01

1102

rζ

ζ

ζζζζζζζδ

ζζζζζζζδ

(A.41)

Nótese que en estas expresiones aparece el término

( )( ) ( )( )ζζ 11 11 Γ−Γ+ debido al efecto de la multicapa.

Por lo que respecta al problema inverso, al igual que en el caso

monomodo, en este caso se debe recurrir también a un proceso

iterativo. Se debe por tanto proporcionar una estimación inicial del

valor de la permitividad que se desea obtener, y mediante sucesivas

iteraciones el algoritmo obtiene una solución que cumpla las

ecuaciones.

378

ANEXO A A.3. MODELO DE LA TRANSICIÓN COAXIAL-COAXIAL

A continuación se muestra el análisis de la discontinuidad

coaxial-coaxial mediante la técnica desarrollada en [Can99], que es

equivalente a la mostrada en [Law92], [Nei89] o [Wex67], pero

simplifica los cálculos. La estructura se puede dividir en varios casos,

(ver figura A.4). El primer caso consiste en un coaxial 1 cuya zona de

dieléctrico está totalmente contenida en la zona de dieléctrico del

coaxial 2. El segundo caso es el simétrico del primero, por lo que a

efectos de simulación son el mismo caso. En el tercer y cuarto caso, la

zona del dieléctrico del coaxial 1 no está contenida en la del otro.

(a) (b)

(c) (d)

Fig. A.4. Posibles transiciones entre dos coaxiales. En el caso (a), el

dieléctrico del coaxial 1 está contenido en el del coaxial 2. En el caso (c),

esto no se cumple. El caso (b) y el (d) son los simétricos del (a) y (c),

respectivamente.

379

Modelos teóricos de la apertura coaxial y de la transición coaxial-coaxial

A.5. Descomposición del caso (c). Se observa que está formada por una

discontinuidad tipo (a) y otra de tipo (b) unidas por un tramo de línea de

longitud cero.

Si se observa más detalladamente el caso c, se puede

comprobar que este caso se puede analizar tal y como se muestra en

la figura A.5.

Nótese que la discontinuidad se ha descompuesto en dos

discontinuidades, una tipo a y otra tipo b, de tal forma que unidas en

cascada por un tramo de línea de longitud cero constituyen la

discontinuidad tipo c. Por lo tanto, pudiendo considerar 4 posibles

discontinuidades diferentes, basta con analizar una única

discontinuidad, la del caso a, para poder tener todas las posibilidades

cubiertas.

Para analizar la discontinuidad, se utilizan las siguientes

funciones base para el campo eléctrico y magnético en un coaxial de

radios interior y exterior r=a y r=b, respectivamente, recordando que

sólo se analizan los modos TEM y TM, en particular los TM0n, es

380

ANEXO A decir los que no tienen variación angular. Así pues, para el campo

eléctrico, dichas funciones base son:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≠⋅

=⋅=)(T.M. 0 , r

(T.E.M.) 0 , 1

0n1

0

pgN

pr

Nepp

p (A.42)

Donde:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )rkbkbk

rkrkakak

rkrg cpcp

cpcpcp

cp

cpcpp 1

0

011

0

011 Y

YJ

JYYJ

J −=−= (A.43)

0 , Ln

10 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= p

ab

N (A.44.a)

0 , 1≠= p

IN

Npp (A.44.b)

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−

⋅⋅

⋅=⋅⋅= ∫

=

= akbkkdrrrgI

cpcpcp

br

ar pNp 20

20

221 Y

1Y

12π

(A.45)

Se han puesto las funciones base multiplicadas por una

constante Np que se calculan mediante las ecuaciones (A.44.a) y

(A.44.b) para tener el campo eléctrico normalizado. Los números de

onda kcp son la solución de la siguiente ecuación trascendente:

( )( )

( )( )bk

bkakak

cp

cp

cp

cp

⋅

⋅=

⋅

⋅

0

0

0

0

YJ

YJ

(A.46)

Y para el campo magnético, se tienen las funciones base:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≠⋅=⋅⋅

=⋅=⋅⋅=)(T.M. 0 , r

(T.E.M.) 0 , 1

0n1

0000

peYgYN

peYr

YNhppppp

p (A.47)

donde Yp son las admitancias de cada uno de los modos:

381

Modelos teóricos de la apertura coaxial y de la transición coaxial-coaxial

r

r

r

rYμε

πμμεε

η⋅

⋅=

⋅⋅

==120

11

0

00 (A.48.a)

rrcp

r

rrcp

r

p

rp

k

j

kk

jjY

εεμμω

εωε

εμ

εωεγ

εωε

0022

0

02

00

−=

−== (A.48.b)

Una vez definidas las funciones base, podemos escribir los

campos eléctricos y magnéticos en cada lado de la discontinuidad

como sigue (véase el procedimiento descrito en [Can99], páginas 399 y

siguientes, o en [Law92], [Nei89] o [Wex67]):

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅−=

⋅+=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅−=

⋅+=

∑

∑

∑

∑

−+

−+

−+

−+

qqqq

qqqqr

pppp

ppppr

rhbbH

rebbE

:II Medio

rhaaH

reaaE

:I Medio

2

2

1

1

ϕ

ϕ (A.49)

donde se considera que el medio I (el de la izquierda de la

figura A.4, con radios a1 y b1) tiene como pesos del desarrollo del

campo eléctrico los coeficientes y , para las ondas progresivas y

regresivas, respectivamente y considerando progresivas las ondas

hacia la derecha, y el medio II (el de radios a

+pa −

pa

2 y b2 en la misma figura

A.4) tiene como pesos del desarrollo del campo eléctrico los

coeficientes y , considerando también como positivo o

progresivo el sentido de la derecha de la misma figura. Asimismo, el

superíndice (1) o (2) indica en qué medio se está trabajando.

+pb −

pb

382

ANEXO A

Como en la discontinuidad tenemos continuidad de

componentes tangenciales de campo eléctrico y magnético, se cumple

que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ⋅−=⋅−= −+−+

=q

qqqp

pppzrhbbrhaaH 21

0ϕ (A.50)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ⋅+=⋅+= −+−+=

qqqq

ppppzr rebbreaaE 21

0 (A.51)

Aplicando el análisis modal, descrito en [Can99], [Law92],

[Nei89] o [Wex67], se puede multiplicar la ecuación del campo

eléctrico, por la función base ( ) ( )rem2 e integrar en la zona dieléctrica

del medio II. De esta forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫∑ ∫=

=−+=

=−+ ⋅+=⋅+

q

brar qmqq

p

brar pmpp drrrerebbdrrrereaa 2

2221

112 (A.52)

Donde se ha tenido en cuenta que la integral de la izquierda

sólo se extiende desde r=a1 hasta r=b1, ya que desde r=a2 hasta r=a1

y desde r=b1 hasta r=b2 el campo eléctrico en el medio II es cero.

Y, de forma similar, sobre la ecuación de continuidad de

campo magnético tangencial se puede aplicar algo parecido,

multiplicando ambos términos de la igualdad por la función base

e integrando en la zona dieléctrica del medio I. De esta forma

se tiene:

( ) ( )rhm1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∑ ∫∑ ∫=

=−+=

=−+ ⋅−=⋅−

q

brar qmqq

p

brar pmpp drrrhrhbbdrrrhrhaa 1

1211

111 (A.53)

Estas dos últimas ecuaciones podemos escribirlas de forma

matricial como sigue:

383

Modelos teóricos de la apertura coaxial y de la transición coaxial-coaxial

( ) ( )( ) ( )−+−+

−+−+

−⋅=−⋅+⋅=+⋅

bbaabbaarrrr

rrrr

21

21

BBAA

(A.54)

donde los vectores +ar , −ar , +br

y −br

son los vectores columna

de los pesos del desarrollo en serie del campo eléctrico en el medio I y

II, y las matrices , , y son: 1A 2A 1B 2B

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫

∫∫=

=

=

=

=

=

=

=

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1

1

1

1

2

2

1

1

212

111

222

121

;

; br

ar qmmq

br

ar pmmp

br

ar qmmq

br

ar pmmp

drrrhrhdrrrhrh

drrreredrrrere

BB

AA (A.55)

Pero por ortogonalidad, la matriz es la unidad y, por otra

parte, se puede comprobar que 2A

111 Ψ⋅Ψ=B y que ,

donde las matrices 2112 Ψ⋅⋅Ψ= tAB

1Ψ e 2Ψ son matrices diagonales con las

admitancias de cada modo:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=Ψ

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=Ψ

2

22

21

20

2

1

12

11

10

1

...000...............0...000...000...00

;

...000...............0...000...000...00

PP Y

YY

Y

Y

YY

Y

(A.56)

Por tanto, las ecuaciones matriciales de continuidad son:

( )( ) ( )−+−+

−+−+

−⋅Ψ⋅=−⋅Ψ+=+⋅

bbaabbaa

trrrr

rrrr

211

1

AA

(A.57)

De esta forma, tenemos que los parámetros S son:

384

ANEXO A

( ) ( )( )

( )12122

211

1112

11121

111

1111

12

1

SAA

SA

⋅+−=ΣΨ⋅⋅Ψ+Ψ⋅=Σ

+⋅=ΣΨ−Ψ⋅Ψ+Ψ=Σ

−

−

tL

LL

(A.58)

donde se ha definido 1LΨ como:

1211 AA ⋅Ψ⋅=Ψ tL (A.59)

Y la matriz tiene los siguientes valores: 1A

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≠≠⋅⋅

=≠+−

⋅⋅

≠=

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

=

0;0 ,

0;0 ,

0;0q , 0

0;0 , Ln

2121

21

201

2021

0

1

120

10

1

pqINN

pqk

agbgNN

p

qpabNN

qpqp

cq

qqq

qpA (A.60)

donde la función ( ) ( )rg p2

0 se define como

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )rkbkbk

rkrkakak

rkrg cpcp

cpcpcp

cp

cpcpp ννννν Y

YJ

JYYJ

J0

0

0

0 −=−= (A.61)

Para 0=ν , y donde el superíndice (2) indica que se toman los

números de onda del medio II, o guía número 2 de radio interior r=a2

y exterior r=b2.

Por otra parte, el parámetro ( )21qpI se ha definido como sigue:

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

1

1

11

20

221

10

12122

11

11

21

21

br

ar

pqcqqpcpcpcq

brar pqqp

rgrgkrgrgkkk

r

drrrgrgI=

=

=

=

−−

=

=⋅= ∫ (A.62)

385

Modelos teóricos de la apertura coaxial y de la transición coaxial-coaxial

Referencias

[Bak93] S. Bakhtiari, S. Ganchev, “Open-ended rectangular waveguide for

nondestructive thickness measurement and variation detection of

lossy dielectric slabs backed by a conducting plate” IEEE Trans. On

Instrum. And Meas. Vol. 42, No 1, Feb. 1993.

[Bak94a] J. Baker, M.D. Janezic, “Analysis of an open-ended coaxial probe

with lit-off for nondestructive testing” Trans. On Instrum. And

Meas. Vol. 43 Nº 5 Oct.1994

[Bak94b] S. Bakhtiari, S. I. Ganchev and R. Zoughi, “Analysis of Radiation

from an Open-Ended Coaxial Line into Stratified Dielectrics”, IEEE

Trans. on Microw. Theor. Tech., Vol. 42, N. 7, July 1994, pp. 1261-

1267.

[Bak99] S.Bakhtiari “Modelling Techniques”, Training Workshop on

advanced microwave techniques. Sept. 1999.

[Can99] A.J. Canós Marín, “Análisis Modal de Discontinuidades en Guías

de Onda”, Proyecto Final de Carrera (PFC), ETSIT de la UPV,

Junio 1999.

[Law92] W. Lawson and P. E. Latham, “The Scattering Matrix

Formulation for Overmoded Coaxial Cavities”, IEEE Trans. on

Microw. Theor. Tech., Vol. 40, N. 10, Oct. 1992, pp. 1973-1977.

[Peñ06] F.L. Peñaranda-Foix, B.García-Baños, J.M. Catalá-Civera, A.J.

Canós, “Modelado eficiente de sondas coaxiales mediante el

tratamiento de singularidades”, XXI Simposium Nacional de la

Unión Científica Internacional de Radio, URSI, Oviedo, Sept. 2006,

pp. 1698-1701.

[Nei89] J.M. Neilson, Peter E. Latham , Malcolm Caplan and Wesley G.

Lawson, “Determination of the Resonant Frequencies in a Complex

386

ANEXO A

Cavity Using the Scattering Matrix Formulation”, IEEE Trans. on

Microw. Theor. Tech., Vol. 37, N. 8, Aug. 1989, pp. 1165-1170.

[Wex67] A. Wexler, “Solution of Waveguide Discontinuities by Modal

Analysis”, IEEE Trans. on Microw. Theor. Tech., Vol. 15, N. 9,

Sep. 1967, pp. 508-517.

387

Anexo B

Algoritmos Genéticos.

En el capítulo 4 de la tesis, se ha realizado la maximización de

la sensibilidad de sensores coaxiales mediante la técnica de

optimización conocida como Algoritmos Genéticos (GA). En este

anexo se pretende dar una breve descripción del funcionamiento de

estos algoritmos, para una mejor comprensión del trabajo mostrado

en el capítulo 4. Asimismo, se añaden al final una serie de referencias

sobre esta técnica, para poder profundizar acerca de la información

de este anexo.

B.1 INTRODUCCIÓN A LOS GA

En primer lugar, conviene conocer cuál es la posición de los

GA dentro de los distintos tipos de técnicas de optimización y

búsqueda de extremos de funciones. En general, se pueden distinguir

tres grandes grupos de técnicas de optimización:

1) Basadas en cálculo: Se dividen en:

1.1) Indirectas: Para encontrar extremos, resuelven las

ecuaciones no lineales que se obtienen al igualar el

gradiente de la función a cero.

388

ANEXO B

1.2) Directas: Se mueven por la función con la dirección del

máximo gradiente para encontrar el extremo.

Estas técnicas encuentran extremos de la función en una

determinada zona alrededor del punto de partida, y se detienen si

encuentran un máximo local, por lo tanto no encuentran posibles

máximos globales que estén más lejos. Por otra parte, estas

técnicas dependen de que las derivadas de las funciones estén bien

definidas, cosa que en muchos casos prácticos no ocurre.

2) Técnicas enumerativas: Estas técnicas son atractivas por su

simplicidad, simplemente se define un espacio de búsqueda y el

algoritmo busca los valores de la función objetivo en todos los

puntos de la región de uno en uno. Sin embargo es evidente que

en grandes regiones de búsqueda estos algoritmos son muy poco

eficientes.

3) Técnicas aleatorias (búsqueda aleatoria) La búsqueda aleatoria en

sí no sería más eficiente que los métodos enumerativos, pero de lo

que se trata no es de una búsqueda totalmente aleatoria, sino de

técnicas "aleatorizadas" entre las que se encuadran los GA. Los

GA utilizan esta opción para guiar la búsqueda dentro de una

determinada codificación del espacio de búsqueda. Podemos decir,

que una búsqueda aleatorizada no implica necesariamente una

búsqueda sin dirección.

Los GA tienen la ventaja de que al buscar en muchos puntos

de la región a la vez, tienen menor probabilidad de encontrar

389

Algoritmos Genéticos

extremos locales y no globales que los que buscan punto a punto. Los

GA han ganado popularidad en los últimos años como una

herramienta muy robusta para una gran variedad de problemas en

ingeniería, ciencia, economía, finanzas, etc.

B.2 TERMINOLOGÍA

Los GA son una técnica numérica de optimización, es decir,

son procedimientos de búsqueda de parámetros basados en los

mecanismos de la genética natural. Combinan la estrategia de la

selección natural de los más adaptados y fuertes junto con un

intercambio estructurado de información en una población de

"individuos" creados artificialmente.

Los GA en general requieren que un problema de optimización

de una función se traduzca en un conjunto de parámetros codificados

de una cierta forma que se deben optimizar. Estos parámetros sin

codificar se denominan fenotipos, y una vez codificados son los

bloques en los que se basa la optimización de los GA y se llaman

genes o genotipos. Una cadena de genes es lo que se llama

cromosoma, y en realidad representa una posible solución o individuo.

Por ejemplo, si se define un problema con dos parámetros que se

quieren optimizar, se tendrán dos genes, y si se decide codificar cada

gen con 10 bits, los individuos o cromosomas serán cadenas de 20

bits.

Un conjunto de cromosomas o individuos forma una población,

y dentro de la población es necesario definir un criterio que permita

390

ANEXO B clasificar y decidir qué individuos son los mejores, y este criterio se

basa en asignar a cada individuo un valor de "salud" (fitness). Para

ello lo que se hace es decodificar los genes o parámetros de los que

está compuesto el individuo, evaluar con ellos una función objetivo

(que es la que se desea optimizar) y en base a lo que se acerquen esos

resultados al óptimo que buscamos se le asigna al individuo un mayor

o menor valor de salud.

B.3. ESTRUCTURA DE UN GA

Los GA operan sobre una población de soluciones potenciales

aplicando los principios de supervivencia del mejor para producir

cada vez mejores aproximaciones a la solución. En una población se

escogen los mejores para combinarlos entre sí creando nuevos

individuos que formarán la siguiente generación, y cuyas

características darán mejores resultados (mayores niveles de salud)

que los de la generación anterior. Es decir, las generaciones son el

resultado de cada iteración del GA, y cada vez sus individuos deben

ir convergiendo hacia el óptimo de la función objetivo.

La convergencia de la búsqueda en un GA hacia la solución

puede verse analizando la varianza del nivel de salud de la población.

Es decir, cuando la varianza de la salud de la población en las

sucesivas generaciones (iteraciones) es nula, esto significa que se ha

alcanzado la convergencia absoluta a la solución. A veces es suficiente

alcanzar bajos niveles de varianza para dar por válida la solución que

proporciona el GA.

391

Algoritmos Genéticos

(a) (b) (c)

Fig. B.1. Ejemplos de funciones objetivo implementadas para llevar a

cabo una optimización con los GA. A) Función de Ackley, b) función de

Langermann, c) función de Goldstein-Price.

La estructura de un GA es la siguiente:

El primer paso consiste en definir la función objetivo, es decir,

aquella función cuyos máximos o mínimos se quieren obtener y que

representará las condiciones en las que se desenvuelvan las sucesivas

generaciones. Debe implementarse con cuidado porque de ella

depende si el GA podrá trabajar bien y encontrar las soluciones o no.

Hay una serie de funciones objetivo ya implementadas que se utilizan

como base en gran cantidad de problemas (funciones de Jong,

Rosenbrock, Ackley, etc.) o bien pueden ser definidas totalmente por

el usuario. En la Figura B.1 se muestran a modo de ejemplo, varias

funciones objetivo. A la función objetivo también se le pueden añadir

una serie de restricciones, de forma que las posibles soluciones serán

calificadas no sólo según lo que se acerquen al extremo de la función

objetivo sino también en la medida en que cumplan dichas

restricciones.

392

ANEXO B

Otra decisión que se debe tomar es la representación que se va

a utilizar para codificar las variables o parámetros, ya que de esto

dependerá la forma en que trabajen los procesos que constituyen el

GA. Se podrán utilizar representaciones reales, enteras o binarias, o

incluso mixtas dentro de un mismo individuo.

También hay que decidir el tamaño que tendrán la población o

poblaciones, ya que cuantos más individuos tenga una población,

mayor diversidad hay, pero el coste computacional aumenta (ya que

recordemos que en cada iteración se decodifica cada individuo y se

evalúa en él la función objetivo).

Una vez se han tomado estas decisiones, se inicializa el

algoritmo con una primera población de individuos cuyas

características se escogerán aleatoriamente, es decir, los individuos

estarán distribuidos de forma totalmente aleatoria por todo el espacio

de búsqueda del óptimo.

Si el criterio de optimización no se alcanza con esta primera

población, entonces empieza la creación de una nueva generación. Los

individuos sufren un proceso de selección en base a su nivel de salud

para formar los nuevos individuos, es decir, los padres elegidos darán

lugar a los hijos mediante un proceso de recombinación. Algunos de

estos hijos sufrirán un proceso de mutación de sus características con

una determinada probabilidad, lo que introduce la necesaria

aleatoriedad en la búsqueda del óptimo, para evitar convergencias

prematuras hacia extremos locales.

393

Algoritmos Genéticos

POBLACIÓN INICIAL

EVALUACIÓN FITNESSCálculo de adecuación de las soluciones posibles (fitnessde cada individuo de la población)

SELECCIÓN Obtención de los padres con mejor fitness para la siguiente generación

RECOMBINACIÓN Realización del cruce entre los padres y obtención de los hijos

MUTACIÓN Modificación de algunos hijos para introducir aleatoriedad en la búsqueda

SUSTITUCIÓN O REINSERCIÓN

Obtención de la siguiente generación de individuos

PARADA

NO

MOSTRAR SOLUCIÓN

SÍ

Evaluación de la condición de parada (Número poblaciones, mínima varianza en el fitness, etc.)

POBLACIÓN INICIAL

EVALUACIÓN FITNESSCálculo de adecuación de las soluciones posibles (fitnessde cada individuo de la población)

SELECCIÓN Obtención de los padres con mejor fitness para la siguiente generación

RECOMBINACIÓN Realización del cruce entre los padres y obtención de los hijos

MUTACIÓN Modificación de algunos hijos para introducir aleatoriedad en la búsqueda

SUSTITUCIÓN O REINSERCIÓN

Obtención de la siguiente generación de individuos

PARADAPARADA

NO

MOSTRAR SOLUCIÓN

SÍ

Evaluación de la condición de parada (Número poblaciones, mínima varianza en el fitness, etc.)

Fig. B.2. Diagrama de flujo de un GA, en el que se observa que,

partiendo de una población inicial de posibles soluciones, se itera la

evaluación de cada solución y la creación de nuevas generaciones que van

convergiendo hacia la solución final.

Una vez se ha obtenido una nueva población mediante la

sustitución total de los padres por los hijos, o mediante un proceso de

reinserción de los mejores individuos de la nueva generación dentro

de la anterior, entonces se evalúa de nuevo si se ha alcanzado el

criterio de optimización, y si no es así, el ciclo continúa y se repiten

los procesos anteriores en otra nueva iteración del algoritmo.

En la Figura B.2 se muestra el diagrama de flujo de un GA,

donde se representan las fases del algoritmo anteriormente descritas.

394

ANEXO B

Hay que añadir que, para conseguir mejores resultados, se

puede optar por la introducción de múltiples poblaciones que se

desarrollan en paralelo, sufriendo procesos casi independientes, ya que

en algunas fases se realiza un intercambio de individuos o

información entre ellas, ampliando la zona de búsqueda y logrando

más rápidamente la convergencia al óptimo.

A continuación se presentan por separado los distintos

procesos que sufren los individuos hasta alcanzar el óptimo de la

función a optimizar.

B.3.1 SELECCIÓN

Una vez se evalúa la función objetivo para cada individuo y se

le asigna un nivel de salud, el proceso de selección determina qué

individuos se eligen para recombinarse y obtener los nuevos. Los

padres se elegirán en función de su salud según uno de los siguientes

algoritmos: Selección de la ruleta (Roulette-wheel Selection),

Muestreo estocástico universal (Stochastical Universal Sampling),

Selección local (Local Selection), Selección por corte (Truncation

Selection), Selección por turnos (Tournament Selection).

B.3.2. RECOMBINACIÓN

El proceso de recombinación (también llamado crossover o

cruce) viene definido por la representación que se ha decidido utilizar

para representar las características (genes) de los individuos. Se

divide en dos grandes grupos: recombinación para valores reales y

para valores binarios. Para valores reales destacan la recombinación

395

Algoritmos Genéticos

discreta, la recombinación intermedia, la recombinación lineal o la

recombinación lineal extendida. Para valores binarios se utilizan los

algoritmos de cruce en un punto, cruce en muchos puntos, cruce

uniforme y cruce "desordenado".

B.3.3. MUTACIÓN

Una vez se han obtenido los hijos, sus variables se modifican

añadiendo pequeños valores aleatorios con una determinada

probabilidad (a mayor número de dimensiones para un individuo, con

menor probabilidad se mutan sus valores). Si la probabilidad de

mutación es muy grande, la búsqueda se vuelve demasiado aleatoria,

pero un valor razonable ayuda a evitar convergencias prematuras

hacia extremos locales. Incluso el tamaño de la mutación puede ir

cambiando a lo largo de la evolución del algoritmo. En variables

binarias, la mutación consiste en cambiar algún bit aleatoriamente de

1 a 0 o viceversa, y el efecto real de la mutación dependerá del tipo

de codificación utilizada (natural, Gray, etc).

B.3.4. REINSERCIÓN

Si se han producido un menor número de hijos que el número

de individuos de la población original, entonces para mantener el

tamaño de la población en la nueva generación, se reinsertarán los

hijos creados en la población antigua. De igual forma, si el número de

hijos supera el tamaño de la población, deberá aplicarse algún

algoritmo que seleccione qué hijos formarán parte de la nueva

generación.

396

ANEXO B

Fig. B.3. Función objetivo utilizada en el ejemplo de funcionamiento del

GA, con un máximo global y dos cordilleras de máximos locales.

B.4. EJEMPLO DE FUNCIONAMIENTO DE UN GA

A continuación se muestran unas gráficas que ilustran el

comportamiento de un GA durante el proceso de optimización de una

función. En la Figura B.3 se muestra la función objetivo elegida para

este ejemplo.

Como se puede observar, dicha función presenta un único

máximo global que representa el óptimo de la función. Se ha escogido

una función objetivo que depende únicamente de dos variables para

poder obtener gráficas en tres dimensiones.

Una vez se inicializa el algoritmo, se obtiene una primera

población de individuos con únicamente 2 genes, ya que la función

depende sólo de 2 variables como ya se ha dicho. Esta población

397

Algoritmos Genéticos

Fig. B.4. Población inicial en el GA. Los asteriscos representan los

individuos de la población inicial, distribuida aleatoriamente en el

espacio de búsqueda de la función objetivo (representada aquí mediante

curvas de nivel).

inicial contiene individuos que están distribuidos de forma totalmente

aleatoria por todo el espacio de búsqueda del óptimo. En la Figura

B.4 se muestra la población inicial obtenida en este ejemplo.

Una vez inicializado, el algoritmo comienza a evaluar las

posibles soluciones (individuos) y a realizar las funciones de selección,

combinación, mutación y reinserción, de forma que las sucesivas

generaciones de individuos están cada vez más próximas al óptimo de

la función. Este hecho se muestra en la Figura B.5, donde se observa

la población de individuos después de 100 iteraciones del algoritmo

(generación número 100).

La Fig. B.5 muestra cómo la mayor parte de los individuos se

encuentran ya muy próximos al óptimo de la función objetivo,

398

ANEXO B

Fig. B.5. Generación 100 del algoritmo. Se observa que la mayor parte de

los individuos están ya muy próximos al máximo local, aunque debido a

los procesos de diversidad, aún hay algunos individuos que exploran

óptimos locales.

aunque debido a los procesos de mutación y combinación (necesarios

para evitar la convergencia prematura a óptimos locales), hay

algunos individuos que exploran otras regiones del espacio de

búsqueda de la función, sobretodo alrededor de otros óptimos locales.

Una vez se alcanza el criterio de parada, es decir, una vez se

alcanza un máximo de iteraciones del algoritmo, o bien se obtiene

una varianza de la salud de la población inferior a un umbral (lo que

indica que la mayor parte de los individuos han convergido hacia el

óptimo), el GA se detiene y proporciona los valores de los genes (las

variables) del individuo que posee una mejor salud (está situado en el

óptimo de la función objetivo).

399

Algoritmos Genéticos

Referencias

[Ben99] Bentley P. From Coffee Tables to Hospitals: Generic Evolutionary

Design, Evolutionary design by computers, Morgan-Kauffman, pp.

405-423. (1999)

[Ber00] Berlanga A., Isasi P. Segovia J. “Interactive Evolutionary

Computation with Small Population to Generate Gestures in

Avatars”, Proceedings of GECCO, Artificial Life, Adaptative

Behavior, and agents (2000)

[Cha95] Chambers L. (1995) Practical handbook of genetic algorithms.

Vols. 1,2. CRC Press.

[Dav91] L. Davis, The handbook of genetic algorithms, Van Nostrand

Reingold, New York. (1991)

[Gol89] D. Goldberg, Genetic Algorithms in search, optimization and

machine learning, Addison-Wesley.

[Hol91] Holland J. H., “The Royal Road for Genetic Algorithms: Fitness

Landscapes and GA Performance”. Proceedings of the First

European Conference on Artificial Life, Cambridge, MA: MIT

Press. pp.1-3, 6-7. (1991)

[Hou01] C.R. Houck, J.A. Joines, M.G. Kay, “A genetic algorithm for

function optimization: A Matlab implementation”. North Carolina

State University, USA.

[Mac02] Machado, P., Cardoso, A., “All the truth about NEvAr. Applied

Intelligence”, Special issue on Creative Systems, Bentley, P. Corne,

D. (eds), Vol. 16, Nr. 2, pp. 101-119, Kluwer Academic Publishers,

2002.

[Mic94] Z. Michalevicz, Genetic Algorithms + Data structures = Evolution

Programs, AI Series, Springer-Verlag, New-York.

400

ANEXO B [Row00] Rowland D. “Evolutionary Co-operative Design Methodology: The

genetic sculpture park”, Proceeedings of the Genetic ad Evolutionary

Computation Conference Workshop, Las Vegas (2000).

[Sae02] Y.Sáez, O.Sanjuan, J.Segovia “Algoritmos Genéticos para la

Generación de Modelos con Micropoblaciones”, AEB’02 Mérida,

España (2002).

[Vic99] F.J. Vico, F.J. Veredas, J.M. Bravo, J. Almaraz, “Automatic design

sinthesis with artificial intelligence techniques”, Artificial

Intelligence in Engineering, Vol. 13 (1999), pp. 251-256.

401

Lista de Acrónimos.

ANA Automatic Vectorial Network Analyzer

AsGa Arseniuro de Galio

BEM Boundary Element Method

CAD Computer-Aided Design

CM Conformal Mapping

CPW Coplanar Waveguide

DUT Device Under Test

EBG Electromagnetic Band Gap

FDTD Finite Differences in Time Domain

FEM Finite Element Method

FR4 Substrato de circuitos planares

GA Algoritmos Genéticos

HP Hewlett Packard

INESCOP Instituto Tecnológico del Calzado y Conexas

IR Infrarrojos

MMICs Microwave Monolithic Integrated Circuits

MUT Material Under Test

NIST National Institute of Standards and Technology

(Colorado, USA)

NPL National Physics Laboratory (England)

OSL Open, Short and Load

PC Partial Capacitance Method

PE Pared Eléctrica

402

PM Pared Magnética

PMMA Plexiglass

PTFE Politetrafluoroetileno (Teflon)

PU Poliuretano

PVC Polyvinilchloride

SEM Scanning Electron Microscope

SNA Scalar Network Analyzer

SPC Series Partial Capacitance

TEM Transversal Electro-magnético

UPV Universidad Politécnica de Valencia

USTA Universidad Santo Tomás (Bucaramanga, Colombia)

VNA Vectorial Network Analyzer

403

Lista de Símbolos.

CAPÍTULO 2. LAS PROPIEDADES DIELÉCTRICAS

ε Permitividad

0ε Permitividad del vacío

rε Permitividad relativa

'ε Constante dieléctrica

''ε Factor de pérdidas

H Campo magnético

E Campo eléctrico

B Densidad de flujo magnético

D Desplazamiento eléctrico

J Densidad de corriente ζ Densidad de carga μ Permeabilidad

rμ Permeabilidad relativa

σ Conductividad η Impedancia intrínseca del medio

v Velocidad de la onda electromagnética

δ Ángulo de pérdidas ''dε Factor de pérdidas dieléctricas

f Frecuencia

ω Frecuencia angular

rf Frecuencia de relajación

404

τ Tiempo de relajación

∞ε Límite de alta frecuencia de la permitividad

sε Permitividad estática o Límite DC de la permitividad

Z Parámetros de Impedancia

Y Parámetros de Admitancia

S Parámetros de Dispersión

CAPÍTULO 3. MODELOS TEÓRICOS DE LA LÍNEA COAXIAL

ABIERTA EN UN EXTREMO

a Radio del conductor interior de la línea coaxial

b Radio del conductor exterior de la línea coaxial

cε Permitividad del dieléctrico de relleno de la línea coaxial

mε Permitividad del MUT

S11 Parámetro de dispersión. Coeficiente de reflexión.

Z Impedancia de antenna

ω Frecuencia angular η Impedancia intrínseca del medio dieléctrico

0η Impedancia intrínseca del vacío

0ε Permitividad del vacío

0μ Permeabilidad del vacío

n Indice de refracción del medio dieléctrico

rP Potencia Radiada

I Corriente

rR Resistencia de radiación

Y Admitancia

λ Longitud de onda

405

Lista de Símbolos

0C Capacitancia equivalente de la apertura coaxial

fC Capacitancia equivalente del tramo coaxial

H Campo magnético

E Campo eléctrico ρ Coordenada radial

k Número de onda

Γ Coeficiente de reflexión del modo TEM

nγ Constante de propagación

nA Coeficientes de amplitud de la componente radial del

campo magnético

G0 Conductancia de radiación βχα ,, Parámetros de optimización

dY Admitancia característica de la línea de transmisión

equivalente

dβ Constante de propagación en el material

L Longitud de la línea de transmission

s Frecuencia compleja

CAPÍTULO 4. OPTIMIZACIÓN DE LA SENSIBILIDAD DE UNA

SONDA COAXIAL

a Radio del conductor interior de la línea coaxial

b Radio del conductor exterior de la línea coaxial

rcε Permitividad del dieléctrico de relleno de la línea coaxial

rmε Permitividad del MUT

rm''ε Factor de pérdidas del MUT ρ Coeficiente de reflexión.

406

y Admitancia de la apertura del coaxial

J0 Función de Bessel de orden 0 g Conductancia normalizada de la apertura coaxial

b Susceptancia normalizada de la apertura coaxial

k0 Número de onda del vacío ζ Parámetro de normalización

initialε Permitividad inicial del MUT

finalε Permitividad final del MUT

y1 Admitancia inicial de la apertura coaxial

y2 Admitancia final de la apertura coaxial

1ρ Coeficiente de reflexión inicial de la sonda coaxial

2ρ Coeficiente de reflexión final de la sonda coaxial

d Sensibilidad de la sonda coaxial φ Fase del coeficiente de reflexión

Zc Impedancia característica de la línea coaxial

f Frecuencia

α Parámetro de optimización. Representa el radio a

normalizado a la longitud de onda.

c0 Velocidad de la luz en el vacío

cα Valor de α a la frecuencia de corte del modo superior TE10

N Grado del polinomio de aproximación del parámetro α

cn,m-nCoeficientes del polinomio de aproximación del parámetro

α r Coeficiente de correlación lineal

x, y Vectores del cálculo del coeficiente de correlación lineal r

x , y Valores medios de los vectores x, y

407

Lista de Símbolos

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE UN RESONADOR COAXIAL

a Radio del conductor interior de la línea coaxial

b Radio del conductor exterior de la línea coaxial

rcε Permitividad del dieléctrico de relleno de la línea coaxial

rε Permitividad del MUT

r'ε Constante dieléctrica del MUT

r''ε Factor de pérdidas del MUT

S11 Coeficiente de reflexión.

0ε Permitividad del vacío

L Longitud del resonador coaxial

λ Longitud de onda β Constante de propagación del coaxial

E Campo eléctrico

Sder Matriz S a la derecha del plano de referencia

Sizq Matriz S a la izquierda del plano de referencia

yder Admitancia a la derecha del plano de referencia

yizq Admitancia a la izquierda del plano de referencia

fu Frecuencia de resonancia descargada (unloaded)

Qu Factor de calidad descargado

fL Frecuencia de resonancia cargada (loaded)

f0 Parte real de fu

L2, L3 Longitud de diferentes tramos coaxiales

l0 Inductancia interna característica del resonador

c0 Capacitancia interna característica del resonador

r0 Resistencia interna característica del resonador

re Impedancia de la red de excitación

408

xe Reactancia de la red de excitación

ge Conductancia de la red de excitación

be Susceptancia de la red de excitación

ytAdmitancia total del sistema red de acoplo + resonador

coaxial

yex Admitancia de la red de excitación

y0 Admitancia del resonador aislado

n Ratio del transformador ideal

f Frecuencia

uω Frecuencia angular de resonancia descargada (unloaded)

k Factor de acoplo

Pex Potencia disipada en el circuito externo al resonador

P0 Potencia disipada en el resonador aislado

Qe Factor de calidad de la red de excitación

CAPÍTULO 6. MÉTODOS DE CORRECCIÓN DEL EFECTO DE

LA RED DE ACOPLO

a Radio del conductor interior de la línea coaxial

b Radio del conductor exterior de la línea coaxial

rcε Permitividad del dieléctrico de relleno de la línea coaxial

'ε Constante dieléctrica del MUT

''ε Factor de pérdidas del MUT

S11 Coeficiente de reflexión.

0ε Permitividad del vacío

A Parámetro de caracterización de la red de acoplo

α Parámetro de caracterización de la red de acoplo

409

Lista de Símbolos

xe Reactancia de la red de excitación

fu Frecuencia de resonancia descargada (unloaded)

Qu Factor de calidad descargado

fL Frecuencia de resonancia cargada (loaded)

Qe Factor de calidad de la red de excitación

k Factor de acoplo

L1 Tramo de longitud fija del resonador coaxial

L2 Posición de la sonda de excitación en el resonador

r2 coeficiente de correlación lineal

Qmedido Factor de calidad medido

Qteórico Factor de calidad descargado teórico

Qcelda Factor de calidad de la cavidad coaxial

CAPÍTULO 7. EL PROCESO DE CALIBRACIÓN

S11 Coeficiente de reflexión.

S11m Coeficiente de reflexión medido (plano de medida)

S11a Coeficiente de reflexión real (plano de referencia)

ED Error de directividad

ES Error de adaptación de fuente

ER Error de respuesta en frecuencia

CAPÍTULO 8. APLICACIONES DE LOS SENSORES COAXIALES

a Radio del conductor interior del coaxial

b Radio del conductor exterior del coaxial

L Longitud de la cavidad coaxial

410

rcε Permitividad del dieléctrico de relleno de la línea coaxial

'ε Constante dieléctrica del MUT

''ε Factor de pérdidas del MUT

f Frecuencia

rε Permitividad del MUT

sε Límite de la permitividad en DC (Parámetro del diagrama

Cole-Cole)

∞ε Límite de la permitividad a frecuencias altas (Parámetro

del diagrama Cole-Cole)

τ Período de relajación (Parámetro del diagrama Cole-Cole)

α Orden de la relajación (Parámetro del diagrama Cole-Cole)

M Contenido de Humedad

Wm Masa de agua

Dm Masa seca de material

Fres Frecuencia de resonancia de la cavidad

CAPÍTULO 9. MODELOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS

PLANARES

W Anchura de la tira conductora (línea microstrip)

ih Grosor de la capa i

0ε Permitividad del vacío

riε Permitividad relativa de la capa i

effε Permitividad efectiva de la línea planar

t Altura de los conductores

0Z Impedancia característica de la línea

cα Coeficiente de pérdidas de conducción

411

Lista de Símbolos

dα Coeficiente de pérdidas dieléctricas

0k Número de onda en el vacío

δ Ángulo de pérdidas

SR Resistencia superficial del metal

ω Frecuencia angular

0μ Permeabilidad del vacío

σ Conductividad del metal

iq Factor de relleno de la capa i

ijh Medida acumulativa del grosor desde la capa i a la j

totC Capacitancia total por unidad de longitud (con dieléctricos

en las capas)

0totC

Capacitancia total por unidad de longitud (con vacío en las

capas)

K Integral elíptica completa de primera especie

L Longitud del tramo de línea del resonador

rf Frecuencia de resonancia Q Factor de calidad

N Número de la resonancia

λ Longitud de onda en la línea

0c Velocidad de la luz en el vacío β Constante de propagación en la línea

0β Constante de propagación en el vacío

LΔ Término de corrección empírica de la longitud del

resonador

s Anchura de la tira conductora (línea CPW)

w Separación entre los planos de masa y el conductor central

(línea CPW)

412

2a Anchura de la tira conductora (línea CPW)

2b Separación entre los planos de masa (línea CPW)

LC Capacitancia por unidad de longitud del semiplano inferior

UC Capacitancia por unidad de longitud del semiplano

superior

CAPÍTULO 10. OPTIMIZACIÓN DE UN SENSOR MICROSTRIP

MEDIANTE ESTRUCTURAS EBG

1ε Permitividad del MUT al inicio del proceso

2ε Permitividad del MUT al final del proceso

1εεΔ Incremento de permitividad relativo

S11 Parámetro de dispersión (reflexión)

S21 Parámetro de dispersión (transmisión)

1φ Desfase de la onda con el MUT inicial

2φ Desfase de la onda con el MUT final φΔ Incremento en el desfase de la onda

f Frecuencia

k Vector de onda

v Velocidad de grupo de la onda

v’ Velocidad de grupo de la onda con EBG

kΔ Incremento del vector de onda

' kΔ Incremento del vector de onda con EBG

L Longitud del sensor

s Sensibilidad del sensor

w Anchura de la tira conductora del sensor

a Radio de los círculos de la EBG

413

Lista de Símbolos

d1Distancia entre centros de los círculos de la EBG

(configuración 1)

d2Distancia entre centros de los círculos de la EBG

(configuración 2)

d3Distancia entre centros en los defectos de la EBG

(configuración 2)

Mi Material i

CAPÍTULO 11. DISEÑO DE UN SENSOR COPLANAR PARA LA

MONITORIZACIÓN DEL PROCESO DE CURADO DEL

POLIURETANO

1ε Permitividad del MUT al inicio del proceso

2ε Permitividad del MUT al final del proceso

1effε Permitividad efectiva del sensor al inicio del proceso

2effε Permitividad efectiva del sensor al final del proceso

MUTε Permitividad del MUT

2a Anchura de la tira conductora (línea CPW)

2b Separación entre los planos de masa (línea CPW)

riε Permitividad relativa de la capa i

ih Grosor de la capa i

effεΔ Incremento en la permitividad efectiva del sensor

0Z Impedancia característica de la línea

S11 Parámetro de dispersión (reflexión)

L1 Longitud del tramo de línea de excitación

g Longitud del hueco entre las tiras conductoras (acoplo

414

capacitivo)

L Longitud del resonador CPW

resfΔ Incremento de la frecuencia de resonancia

ANEXO A. MODELOS TEÓRICOS DE LA APERTURA COAXIAL

Y LA TRANSICIÓN COAXIAL-COAXIAL

a Radio del conductor interior de la línea coaxial

b Radio del conductor exterior de la línea coaxial

cε Permitividad del dieléctrico de relleno de la línea coaxial

nε Permitividad de la capa n del MUT

N Número de capas dieléctricas

n Capa dieléctrica

0ε Permitividad del vacío

0μ Permeabilidad del vacío

H Campo magnético

E Campo eléctrico

k Número de onda

Π Potencial vector ρ Coordenada radial

R Variable de transformación de Hankel

Γ Coeficiente de reflexión complejo

Yc Admitancia del coaxial

Y0 Admitancia característica en vacío

J Función de Bessel

sg Conductancia normalizada de la apertura coaxial

415

Lista de Símbolos

sb Susceptancia normalizada de la apertura coaxial

k0 Número de onda del vacío

1rε Permitividad de la primera capa

ℜ Número de onda radial ζ Parámetro de normalización

1ρ Coeficiente de reflexión de la primera capa

ω Frecuencia angular η Impedancia intrínseca del medio dieléctrico

( )c0γ Constante de propagación del modo TEM ( )cmγ Constante de propagación de los modos TM

0N , mN Términos de normalización del campo eléctrico

A, B Amplitudes de las ondas progresivas y regresivas en la

dirección z

Rn(r) Función peso

mδ Función delta de Kronecker

Γ0 Coeficiente de reflexión del modo TEM

Γm Coeficiente de reflexión de los m modos TM

id Grosor de la capa i

iγ Constante de propagación de la capa i

Γi Coeficiente de reflexión de la capa i

pe Funciones base para el campo eléctrico en el coaxial

kcp Números de onda

Yp Admitancia carácterística de cada modo

hp Funciones base para el campo magnético en el coaxial

+pa

Coeficientes de las ondas progresivas del desarrollo del

campo E (Medio I)

416

−pa

Coeficientes de las ondas regresivas del desarrollo del

campo E (Medio I)

+pb

Coeficientes de las ondas progresivas del desarrollo del

campo E (Medio II)

−pb

Coeficientes de las ondas regresivas del desarrollo del

campo E (Medio II)

a1 Radio interior del coaxial de la izquierda

b1 Radio exterior del coaxial de la izquierda

a2 Radio interior del coaxial de la derecha

b2 Radio exterior del coaxial de la derecha

1Ψ Matrices diagonales con las admitancias de los modos

(Medio I)

2Ψ Matrices diagonales con las admitancias de los modos

(Medio II)

Σ Matrices de parámetros de dispersión multimodales

417