estudio experimental de cascarones ABU-SITTA* - imcyc.com de Concreto... · ría, el comportamiento...

estudio

experimental

Trabajo presentado en el Congreso Inter- nacional sobre la Aplicación de Estructu- ras Laminares en Arquitectura, septiembre 1967. Organizado por el Instituto Mexica- no del Cemento y del Concreto y la In- ternational Association for Shell Struc- tures.

de cascarones SALMAN H. ABU-SITTA*

SINOPSIS

Existen tres características del problema de comportamiento de cascarones; la teo- ría, el comportamiento real de un modelo idealizado y el comportamiento real de un modelo práctico. La diferencia entre el pri- mero y el segundo representa la validez y / o la precisión de la teoría y de la solución matemática adoptada. La diferencia entre el segundo y el tercero representa el efecto de la hipótesis de que el concreto reforzado obedece las leyes convencionales de la elasticidad lineal.

Para examinar, estas relaciones, se cons- truyó un modelo de concreto en forma de paraboloide elíptico, de dimensiones en planta de 2.45 X 2.45 m y de un espesor de 9.5 mm, y se ensayó bajo los efectos de una carga uniformemente distribuida y un presfuerzo externo a través de las barras de liga. Se construyó un modelo idéntico de perspex, sólo un tercio más pequeño, y se ensayó bajo diferentes condiciones de frontera.

S e presentan detalles de los procedimientos y de los aparatos de ensaye. Se discuten algunos problemas del ensaye del modelo, tales como construcción, medición, comprobación y precisión final. Se muestra la distribución de esfuerzos e n ambos modelos sujetos a varias cargas.

La comparación entre los resultados de los dos modelos y la teoría muestra que las leyes lineales elásticas son válidas, la re- lación carga-deflexión permanece válida aún cuando la deflexión es varias veces el espesor, y la distribución de fuerzas y momentos en el borde es m u y diferente de las indica- das por la teoria.

SUMMARY

There are three sides to the problem of shell behaviour; the theory, the actual behaviour of the idelized model and the actual behaviour of the practica1 model. The difference between the first and the second represents the extent of the validity and ‘or the accuracy of the theory and the adopted mathematical solution. The difference between the second and third represents the ef fect of the assumption that the reinforced concrete obeys the conventional linear elastic laws.

In order to examine these relationships, a concrete model in the shape of elliptic paraboloid, 8’ X 8’ in plan and %‘’ thick was build and tested under the e f fec t of uniform normal loading and externa1 pres- tressing through the tie bars. An identical perspex model, only one third smaller, was built and tested using dif ferent boundary conditions.

Details of the testing apparatus and pro- cedure are given. Some problems of model testing such as construction, measurement, checking and final accuracy are discussed. Stress distribution in both models under various loading Es shown.

Comparison between the results of the two models and the theory shows thut the linear elastic laws are valid, the linear deflection-load relationship remains valid even the deflection is several times the thickness and the distribution of forces and moments at the edge is different from that predicted by the theory.

* Ph. D., B. Se., A.M.I., Struct. Ehgr.

44

! e x p e r i m e n t o s :

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0 examina r p ro to t i po

o extender la teoría

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dominio de la invest igación experimental

soluciones empÍricac soluciones aproximadas ( matemát icas) soluciones exactas ( matemáticas

c ( pocas) 4 --_ - - - - - ( m u c h a s )

hacia una es t ruc tu ra rea l i s ta

Fig. 1. Relación entre hipótesis y soluciones.

h i p ó t e s i s

1. PROPOSITOS DE LA INVESTIGA- CION EXPERIMENTAL

Debido a la complejidad de los problemas de cascarones, generalmente se intro- ducen algunas simplificaciones con el fin de facilitar la solución matemática. Estas simplificaciones se refieren: 1) al sistema estructural, 2) al material, ó 3) a las cargas,

El sistema estructural se simplifica des- preciando los esfuerzos por flexión, redu- ciendo así el problema a una ecuación di- ferencial de segundo orden, y prescribiendo las condiciones “clásicas” de frontera (vg. bordes libres, bordes empotrados, bordes continuos).

Se supone que el material es homogéneo e isotrópico; obedece las leyes de la elasticidad y tiene ciertas características de resistencia.

Se supone que las cargas son estáticas de un valor tal que las deflexiones resultantes no exceden el espesor del cascarón. La na-

turaleza y el valor de las cargas requiere un estudio de campo, mientras que el estudio de la estructura y del material se pueden hacer dentro de los límites de labo- ratorio.

Suponiendo conocidos la naturaleza y el valor de la carga, un modelo que repro- duzca exactamente una estructura real da- ría una característica más auténtica del comportamiento real de esa estructura. Al cambiar sistemáticamente ciertas propiedades en el modelo, se puede analizar el efec- to de las hipótesis simplificatorias sobre el comportamiento real de la estructura.

La Fig. 1 explica estos puntos en forma diagramática, mostrando el campo posible de la investigación experimental. En general, el propósito de la investigación experimental en cascarones se puede resumir como sigue:

(i) Verificar la validez de la teoría exis- tente, así como las hipótesis relacionadas con los esfuerzos de flexión, condiciones de

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frontera, propiedades elásticas de material, etcétera. En este caso, la precisión de los resultados experimentales debe ser mayor que la de la teoría o su solución. Si se está ensayando la teoría, el modelo debe cumplir todas las hipótesis relativas al material. Si se están ensayando las propiedades del material, entonces la carga, la curvatura y las condiciones de frontera deben corresponder exactamente a las hipótesis de la solución teórica.

(ii) Extender la formulación teórica o la solución. En este caso, los resultados experimentales son la única fuente de informa- ción a partir de la cual se puede elaborar una teoría más refinada, o se pueden obtener valores aislados de la solución real de un problema complejo. Con estos valores aislados se pueden trazar curvas de algunas funciones importantes. Una combina- ción adecuada de estas funciones propor- cionaría fórmulas empíricas que pueden servir como soluciones aproximadas para un problema con pocas hipótesis simplificatorias.

(iii) Representar un prototipo. En este caso, el sistema de carga, la geometría, el material y todas las demás condiciones en el modelo son réplicas exactas del prototipo. A pesar de que el resultado del ensaye podría ser de valor para la solución de un problema en particular, éste no se puede extrapolar. Es inútil decir que, antes de iniciar un

programa de investigación, deben entender- se completamente el propósito, el alcance y el fondo teórico del experimento.

2. PROBLEMAS DE ENSAYE DEL MO- DELO

Los principales aspectos de estos problemas se pueden delinear en los siguientes puntos:

2.1. Similitud.-Se pueden encontrar las relaciones equivalentes necesarias por medio de análisis dimensional de las ecuaciones diferenciales. Estas relaciones compren- den similitud geométrica y elástica. La similitud elástica es una función de la carga aplicada (9) dividida entre el módulo de elasticidad ( E ) . La relación de Poisson de-

be ser la misma para dos estructuras similares.

2.2. Construcción.-Esta etapa puede te- ner algunos problemas debidos al tamaño pequeño del modelo y a la dificultad de construcción de sus partes más pequeñas. Cuando se ensaye una estructura real, puede usarse mortero de concreto o de yeso. Sin embargo, si se pretende verificar la teoría, el material de construcción debe ser homogéneo, y obedecer las leyes elásticas. Una diferencia de la curvatura correcta puede conducir a altos esfuerzos anorma- les, que son locales para superficies de curvatura Gausiana positiva y distribuirse ampliamente para curvaturas Gausianas negativas y nulas. En el análisis teórico, la variación en el espesor ( h ) afecta solamente los esfuerzos de flexión, para superficies de curvatura Gausiana positiva. Sin embzrgo, experimentalmente los esfuerzos se calculan a partir de las deformaciones medidas en las fibras superior e inferior. Así, las fuerzas directas son proporcionales a h y los momentos flexionantes proporcionales a h'. Los detalles de los apoyos ne- cesitan una consideración cuidadosa, ya que el espacio disponible limita la representa- ción total de las condiciones de borde. Ge- neralmente estas condiciones se interpretan como una libertad o una restricción de algunos grados de libertad seleccionados.

2.3. Cargas. - Las cargas uniformemente distribuidas se aplican comúnmente en una de las siguientes formas:

(i) Aplicación de una serie de cargas concentradas, ya sea de compresión o de tensión. Esto generalmente es muy útil para la aplicación de fuerzas horizontales o inclinadas. Pero la desventaja más seria de este método es que provoca esfuerzos locales elevados, y a menos que el número de puntos de aplicación de carga sea muy grande, los resultados pueden ser erróneos.]

(ii) Aplicación de pesos muertos tales como sacos de arena. Este método es simple y fácil de operar. Sin embargo, su principal desventaja es que provoca la acción de arco, lo que resulta en una distribución de la carga no uniforme.

(iii) Aplicación de carga por medio de aire a presión. El aire a presión general-

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mente está contenido en sacos de plástico que se ajustan a la curvatura en un lado mientras que los otros lados están apoyados en un marco de apoyo independiente. La carga se puede aplicar incrementando el aire a presión, el cual se puede leer en un manómetro con gran precisión. Este mé- todo requiere de un marco de carga ela- borado, y existen ciertas dificultades para mantener el aire a presión a un valor constante. Los sacos de aire tienden a curvarse y sus fronteras dejan una franja delgada sin carga. La aplicación de la carga es uniforme y normal a la superficie.

2.4. Medición y evaluación.-Las deformaciones unitarias en modelos de una curvatura positiva Gausiana (v. gr. domos) son del orden de 50 millonésimas en la etapa elástica. Para obtener deformaciones más altas, debe hacerse una elección adecuada de la carga y del material con la relación q/E. Los medidores eléctricos de deformaciones pueden registrar deformaciones sin cambio en la carga. Estas deformaciones deben dis- minuirse y/o evaluarse para cada medidor, y corregir las 1ect;ras según sea el caso. La lectura final de las deformaciones debe obtenerse del promedio de varias lecturas, por cualquier método estadístico adecuado.

Las mediciones de las fuerzas redundantes en la frontera se pueden realizar en un ensaye por separado, ya que deformaciones pequeñas en la frontera producen altas deformaciones en la superficie del cascarón. La medición de la carga aplicada depende del sistema de cargas, pero la precisión en la medición de la carga debe corresponder con la precisión en la medición de las deformaciones.

Sin embargo, la precisión total no se puede deducir de lecturas aisladas de varios elementos. Se puede estimar del comportamiento general del modelo, de la comproba- ción del equilibrio y de comparaciones con modelos similares, como se muestra más adelante.

2.5. Procedimientos de ensaye.-El ensaye de los modelos de cascarones requiere de un funcionamiento correcto de los sistemas mecánico, eléctrico y de carga, simul- táneamente. Es necesario, por consiguiente,

comprobar estos sistemas individualmente y en conjunto.

El modelo del cascarón debe mantenerse sujeto a temperatura y humedad constante; los medidores activo y compensador deben estar adecuadamente aislados y mantenidos bajo las mismas condiciones.

La simetría se debe comprobar en puntos equivalentes a ambos lados del plano de simetría. ESto es especialmente importante cuando las lecturas de las deformaciones en la superficie toman varios ciclos de carga.

Las lecturas de las deformaciones deben tomarse en incrementos y decrementos de carga para eliminar el efecto de histéresis y los posibles asentamientos debidos a la mala colocación del modelo. El valor final de la deformación unitaria se tomará como el promedio de estas lecturas excluyendo las lecturas excesivamente altas o bajas. La carga y la deformación a las cuales se observa el comportamiento inelástico deben registrarse debidamente.

La presencia de grietas tiende a cambiar la relación carga-deformación y por consiguiente debe tomarse en cuenta especialmente en relación con la nueva distribu- ción de las fuerzas y momentos.

Las propiedades del material, en especial el flujo plástico, E y p, deben determinarse por medio de ensayes independientes.

3. ENSAYES DE LOS MODELOS DE CONCRETO

3.1. Propósitos del modelo.-Con el fin de entender el comportamiento de una estructura práctica, se construyó y se ensayó un modelo de concreto apoyado en vigas de borde. El propósito del ensaye fue:

(i) Comprobar la proporcionalidad de deflexiones y deformaciones en función de la carga, para un cascarón de concreto.

(ii) Examinar el estado de esfuerzos para un cascarón apoyado en las vigas de borde de dimensiones prácticas sujeto a efectos de cargas presforzadas y uniformemente distribuidas.

(iii) Comprobar este estado de esfuerzos con el predicho por las teorías clásicas y los resultados experimentales de un mode-

47

I 118

x = - ( x ' + y * ) e n cm

X

244 c m Fig. 2a.

Fig. 2b.

#

\

2 vars 0 318" acero in te rmed io

est. 0 1/8" @ 152 mm

7.6 cm

.- 1.3cm

I

lo de cascarón construido de un material isotrópico y homogéneo.

3.2. Detalles del modelo.-El modelo se construyó siguiendo la forma de un paraboloide helíptico cuya ecuación es

( x 2 + y2) en cm 1

118 2:-

como se muestra en la Fig. 2.

El cascarón es de planta cuadrada cuyos lados son de 2.45 m. La elevación paralela a cualquier lado es de 19.5 cm. El espesor nominal es de 9.5 mm. El cascarón está apoyado en cuatro arcos ligados, altamen- te reforzados, cuya sección transversal es 7.5 cm de peralte y 3.8 cm de ancho. Los arcos están ligados con barras de liga de alta resistencia, de + %", de tal forma que cada arco se encuentra articulado en un apoyo, y tiene libertad de moverse a lo largo de su claro y con respecto a los otros, Este sistema permite la medición de las

fuerzas en las barras de liga, aplicando fuerzas de presfuerzo, y asegurando los des- plazamientos simétricos para cualquier carga sin distorsión.

La cimbra se hizo de una serie de tiras de 19 mm de diámetro en forma de pará- bolas y se fijaron a una curva parabólica t ransversal . Se colocaron unas tiras de 2.5 X 0.6 cm y se fijaron a las tablas, se pintaron tres veces y se aceitaron antes de colocar el concreto.

El refuerzo se calculó de acuerdo con la teoría de la membrana para una carga de trabajo de aproximadamente 500 kg/m2. Los esfuerzos de tensión se resistieron en cada esquina por 18 alambres de alta resistencia de 1/16" de diámetro, colocados perpendi- cularmente a la diagonal y espaciados a intervalos de 2.5 a 5 cm a partir de la esquina de apoyo. Además, se colocó una malla de alambres similares a intervalos de 30 cm en la superficie total para resistir la con- tracción.

48

Fig. 2. Detalles del modelo de concreto.

~--___ tubo d e cob re d e 22 mrn diám exter ior ,

- _.__. placa d e base d e 9.5 rnm d e espesor . e s f e r a d e ca rga d e 22 mrn d e diárn. 7-

deta l le d e una esquina

d i recc iÓn

m o v i m i e n t o posible

Fig. 2c.

t Las proporciones de la mezcla de diseño

cemento portiand común 1 parte agregado fino 2 3/4 partes relación A/C 0.44

La graduación del agregado fino fue para

fueron:

una mezcla de aproximadamente 230 kg. Mallas,

inglesas 7-14 25-52 52-100 100 a charola

Pesos, kg 136 45 35 11

El concreto se colocó, se vibró y se con- troló el espesor del cascarón desde la mitad hasta los extremos de las vigas de borde.

3.3. Sistemas de carga y de medición.- La carga de aire a presión se aplicó a tra- vés de cuatro sacos de P.V.C. de aire, la- minados de u n espesor de 0.5 mm. Los sacos se conectaron a un compresor de una

capacidad de 4.4 m'/h, a unos rnanómetros de agua y de mercurio y a una altura de agua variable para mantener la presión del aire constante. Las lecturas de carga se hicieron con una precisión de 2.50 kg m', y los incrementos de carga de 100 kg/m2.

El marco de carga de acero se hizo para resistir una carga de trabajo de aproximadamente 2 O00 kg/m2. Se hizo independiente del modelo excepto para recibir su carga en las cuatro esquinas.

Se usaron 150 celdas de deformación para medir las deformaciones unitarias en las superficies inferior y superior del cascarón. Se hicieron ensayes de calibración y se cn- contraron cambios lineales a una velocidad de 1 X lo-.; unidades de deformación p x hora. Todas las lecturas fueron dependien- tos del tiempo y se corrigierm de acuerdo con el valor particular de calibración para cada medidor.

49

Fig. 3. Marco de carga y modelo de concreto.

Las lecturas individuales fueron el promedio de deformaciones para incrementos y decrementos $e la carga. Se consideró como valor de la deformación para un medidor en particular la línea recta que se pudo dibujar a partir de 30 a 40 lecturas individuales para cada manómetro. Las fuerzas y los momentos calculados se basaron en

el espesor “real” en el punto de medición. La fuerza de presfuerzo se aplicó a tra-

vés de las barras de liga apretando y aflo- jando las tuercas de cada extremo de dichas barras. Las Figs. 3, 4, 5, y 6 muestran detalles

de los sistemas de carga y de medición. Ma- yores detalles del ensaye del modelo y de

Fig. 4. Dispositivos medidores de deformaciones.

50

Fig. 5. Dispúsitivo medidor de la carga.

los resultados de todos los ensayes se presentan en otro artículo.?

3.4. Ensayes en especímenes.-Puesto que los valores más importantes para la conver- sión de deformaciones unitarias a esfuerzo son E y p, y en vista del hecho de que estos valores pueden variar para el concreto de tal forma que pheden afectar la preci- sión total, se hicieron vanos ensayes para

encontrar sus valores. Se usaron dos tipos de 'especímenes: Vi-

gas de 10 X 10 X 50 cm y franjas de 5 X 30 cm que se cortaron de la superficie del cascarón después de ensayar el modelo hasta la falla.

Con el fin de determinar E, los especíme- nes se sujetaron a ensayes dinámicos: ensaye de la velocidad de pulso ultrasónico,

G - 122 c m

cm

cm

cm

cm

cm

cm

1 2 3 4 5 7 9

Fig. 6. Distribución de los medidores de deformación en el modelo de concreto.

51

l

160

140

120

0 100 )r>

1 O -

80 X

. - E

4 .-

L c 60

X Q,

Q, U

40

20

O

\ deflexión hacia arr iba

20 40 60 80 100 120 140 160 180

Fig. 7. Perfil de deflexiones a lo largo de la línea centro y de Ia diagonal.

y ensaye de resonancia longitudinal, y ensayes estáticos en los que se midieron las deflexiones bajo cargas dadas. De estos ensayes se determinó E = 3.2 X 10- kg/cm2 2 10 por ciento y este dato se adoptó para todos los cálculos subsecuentes. Debido a estas variaciones en E, p. se consideró nulo.

Módulo de ruptura promedio 22 kg/cm2 Resistencia promedio a la com-

presión (8 meses) 470 kg,'cm' Resistencia promedio a la ten-

sión 57.5 kg/ cm2

4. RESULTADOS DEL MODELO DE CONCRETO

4.1. Perfil de deflexiones.-En la etapa elástica (600 kg/'cm2) las deflexiones y las deformaciones unitarias varían linealmente con la carga aplicada.

La Fig. 7 muestra el perfil de deflexiones en la di.agona1 y en la línea central para las cargas aplicadas, de presfuerzo y uniformemente distribuida. Cada punto de esta fi- gura es el promedio de cuatro lecturas.

A pesar de que la viga de borde está al-

52

tamente reforzada para simular un apoyo libre, la deflexión a lo largo de la línea central es casi uniforme.

Una fuerza total horizontal de 540 kg en las vigas de liga produce una deflexión hacia arriba en el centro mayor que la defle- xión hacia abajo producida por una carga vertical total de 1800 kg. Esto muestra el efecto importante de las fuerzas horizontales que se discutirá más adelante.

4.2. Distribrtción de esfrterzos pnrn cnrgri uniformentente distribitida.-Las Figs. 8 a 11 muestran las fuerzas N,, N,,, y los momentos M,, M,, que obran en la cuarta parte del área del cascarón. Para comparación, los valores teóricos se superpusieron en los primeros tres datos. Estos valores se obtuvieron a partir de la solución del problema de flexión basado en condiciones simplemente apoyadas (véase por ejemplo la re- ferencia 3).

Deberá notarse que N, en el extremo A no es nulo como lo predice la solución por flexión, ni tiene un valor constante alto como lo predice la solución por membrana. Tampoco M, es nulo’en la frontera; presenta un cambio muy cara-terístico desde po- sitivo en el centro hasta negativo cerca de la esquina, debido a la deflexión de la viga de borde. La niisma situación se presenta en una viga continua cuando uno de los apoyos se asienta. Al examinar la pendientc de los momentos flexionantes, se encontró que la fuerza cortante “efectiva” que actúa sobre el cascarón en el borde es hacia abajo en el centro y hacia arriba cerca de la esquina.

En la Fig. 9, si se realiza XM iy, se aproximará bastante, en perfil y magnitud, a la misma suma para los momentos flexionantes teóricos basados en la condición de simplemente apoyada. Esto significa que el momento flexionante experimental en el borde tiene valores iguales y opuestos.

4.3. Distribrtción de esfrcerzos para vigns de borde e x t erítn nteii i e presforradas.-Se aplicó una fuerza de tensión de 540 kg en cada barra de liga. Esta fuerza corresponde a deforinacioncs unitarias de 20 >, 10 Ti en cada barra de liga, y de 240 S 10 ’ cni de desplazaniiento horizontal hacia adentro de cada una de las esquinas paralela al borde.

Las Figs. 12 a 15 muestran la distribución de N,, M,, N,, y M,, respectivamente sobre la cuarta parte del cascarón.

Parece que el efecto más grande del presfuerzo es en N , (paralelo a la fuerza aplicada) que es de tensión principalmente.

Los momentos flexionantes son muy altos y penetran en la superficie del cascarón. En la porción central del borde, los momentos fiexicnantes presentan una forma típica de “perturbación” pero no se anulan tan rá- pido conio lo predice la teoría. Los momentos torsionantes también son muy altos debido al cambio rápido del desplazamiento normal en ambas direcciones desde cero en la esquina hasta un valor máximo en el centro.

Es obvio que no existe gran ventaja al presforzar el cascarón. Puesto que la viga de borde tiene que resistir las fuerzas de tensión altas y momentos flexionantes po- sitivos, su presfuerzo local puede ser de un valor alto.

4.4. Fnllrr del modelo de concreto.-La primera grieta apareció bajo una carga uniforme de aproximadamente 500 kg m2, en la fibra inferior de la viga de borde donde se presenta una alta concentración de esfuerzos. No se presentaron mayores grietas hasta que falló completamente el modelo a una carga de aproximadamente 2 200 kg, m2. La falla fue repentina y completa; tomó la forma de un círculo inscrito dentro de la frontera cuadrada dejando intactas las esquinas y las vigas de borde.

La Fig. 16 muestra una esquina típica después de la falla.

No hubo evidencia de que la falla fue por resistencia. En ningún momento los esfuerzos estuvieron cercanos a los críticos.

Schmidt‘ realizó una serie de ensayes sobre el pandeo de cascarones esféricos de traslación de aluminio. Propuso la siguien- te fórmula para el pandeo:

h‘ R2 q,.r = fl E -

donde,

R -- radio de curvatura (1 = coeficiente sugerido por Schmidt de

0.15 para cascarones de concreto reforzado.

53

I 2 3 4 5 7 9

Fig. 8. IWribución de N, para carga normal.

Fig. 9. Distribución de M, para carga normal.

cn b,

Fig. 10. Distribución de N,, para carga normal.

Y /-

C U D = 500 k g / m 2

Fig. 12. Distribución de N, para presfuem.

Q, O

I 2 3 4 5 7 9

Fig. 14. Distribución de N,, para presfuerzo.

i

I / / / / 2 3 4 5 7 9 I

Fig. 15. Distribución de M,, para presfuerzo.

Fig. 16. Esquina típica del modelo de concreto después de la falla.

Se encontró ( y - - 0.11 para el inodelo de concreto.

Esta reducción se debe sin duda alguna a la fluencia de los apoyos a lo largo de las vigas de borde, mientras que en los ensayes de Schmidt, los modelos estuvieron apoyados en vigas de borde muy peraltadas.

5. ENSAYES EN EL MODELO PERSPEX

5.1. Propósito dcl ttLodelo.-Una vez que se obtuvieron los resultados experimentales del inodelo de concreto, se requirió:

(i) Verificar la proporcionalidad entre las deflexiones y deformaciones unitarias y la carga, para un cascarón de un material isotrópico y homogéneo.

( i i ) Verificar los resultados del iiiodelo de concreto, Especialmente en la construc- c i h del niodelo de perspex que puede con- trolarse con un alto grado de precisión..

( i i i ) Investigar el efecto de las condiciones de frontera.

5.2. Detalles ¿el viodelo.-El modelo fue idéntico al de concreto, sólo un tercio más pequetio. Este modelo se muestra en las fi- guras 17 y 18. El modelo estuvo soportado en cuatro esquinas. El borde por sí mismo estaba libre (BL) , apoyado en una viga de 2.5 cm de peralte por 1.3 cm de ancho que

corresponde al modelo de concreto (VBl) o apoyado cn una viga de 3.9 cni de peralte y 1.3 cm de ancho (VB2).

Mbdulo de elasticidad E = 3.2 >~ 10' kg cin2 Relación de Poisson = 0.35 Resistencia a la tensión = 810 kg ciii2

Resistencia al cortante = 770 kg cin2 Coeficiente lineal de ex-

pansión tbrmica = 7.3 >\ 10 .-* c. El modelo se cortb de una capa esférica

por inedio de cuatro planos vertialcs. 5.3. Sisfcntns de ?tieaiciólt !/ de cnrgn.-

Todos los sistemas fueron similarts n los usados para el modelo de concreto. c:)n pocas excepciones. Las fuerzas redundantes en los arcos se iiiidieron independicntriiicn- te, aliviando las esquinas de cargas y iiii- diendo la fuerza necesaria para restituirlas.

Para activar los med idores , se u s a r o n unas fuentes de potencia transistorizadas de corriente directa y de bajo voltajc. altanien- te estabilizadas. En ensayes realizados en un cuarto de 2.1 i, 3 m a temperatura constante no existieron variaciones de más de * 0.25 C en cualquier exppriinento. La variación máxiiiia registrada en la defor- mación unitaria fue de 1 \. 10 .* en un período de 24 hs.

La carga se inidió con una pre:isión de

62

2.5 cm

H 1.3 crn

K J

I H G F E D C B A

3.2 m m

(ii I

1098 7 6 5 4 3 2 l O

, Fig. 17. Detalles del modelo de perspex.

1.3 kg/’m’, siendo la carga máxima de ........ 32 kg/m2 para BL y de 115 kg/m’ para VB1 y VB2. La relación q/’E fue la misma para los modelos de concreto y perspex.

El flujo plástico es uno de los problemas más importantes al usar perspex. Se midió bajo condiciones diversas y se encontró que:

(i) La configuración del flujo plástico es esencialmente la misma, pero tiende a in- crementarse para cargas más altas. La re- cuperación fue satisfactoria.

(ij) No se observaron deformaciones sig- nificantes después de 45 minutos.

En todos los ensayes subsecuentes, las deformaciones unitarias se midieron des- pués de 45 mn de aplicación de carga.

6. RESULTADOS DEL MODELO DE PERSPEX

6.1. Perfil de def1exiones.-La relación carga-deflexión presentó un comportamien- to lineal aún para bordes libres, donde la deflexión en A, es aproximadamente cuatro veces el espeSor para una carga. de

38 kg/m‘. Esto no concuerda con algunas hipótesis de la teoría no lineal (por ejemplo la de Reissner:).

6.2. Distribución de esfuerzos para cargas uniformemente distribuidas.-La dis t r ibu- ción de esfuerzos para las cargas uniformemente distribuidas (CUD) en el modelo perspex (VB1) es idéntica en característi- cas a la del modelo de concreto. La varia- ción de la distribución de esfuerzos está muy influida por las condiciones de frontera.

Las Figs. 19 y 20 muestran la variación de iVy, M,, N , y M,, a lo largo de la línea central para diferentes condiciones de frontera. Debido a la falta de vigas de borde, las fuerzas y los momentos resultaron relativamente altos.

7. DISCUSION DE LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES

7.1. Precisión.-Los errores en los valores medidos pueden deberse a estas fuentes: construcción del modelo, aplicación de

63

Fig.

: 6 4

- P

- ct

X V 8 1

+ V B 2

-2.0

E -1.5 \"

= -0.5

cn -1.0

L

>i

-0.3

I I -0.2

5 5 -0.1 \

I

t 0.1 c I 19. Ny y My a lo largo de la línea centro sujeta a carga uniformemente distribuida.

Fig.

N x kg/cm

-2 5 -

-2 o - E

\ - 1 5 O

17, Y

-

;-LO - G z 3c

-1.5 0 o - ~ , t‘

C U D = 50 k g / n 2

20. N,. y M? a lo largo de la línea centro siijeta a carga uniformemente distribuida.

los nedidores de deformación y equipo aso- ciado, y al sistema de carga.

Para estimar la precisión de los expzri- mentos se hicieron las siguientes observa- ciones.

(i) La desviación máxima de una defor- mación unitaria promedio y corregida respecto a la línea recta más aproximada es de 0.5 X 1P.’.

(ii) Comprobación del equilibrio: Comprobación vertical en 1 8 del área

en planta del modelo de concreto:

Carga total aplicada 346 kg hacia abajo

Fuerzas en el borde: Suma de las coinpo- n e n t e s verticales de las f u e r z a s cortantes N , , Suma de las compo- n e n t e s verticales de ias fuerzas prrpendi- culares al borde S u m a d2 la f u e r z a cortante ‘.efectiva” (verti c a l s )

355 kg hacia arriba

120 kg hacia arriba

15 kg hacia arriba 18 kg hacia abajo 26 kg

65

Diferencia 372 - 346

1 7 por ciento 372

Comprobación horizontal sobre la mitad del área del modelo perspex en el centro del claro:

Viga de borde: VB1 VB2 Suma de las fuerzas direc-

tas N , o N , 18 17.5 Fuerza en la viga de bor-

de, kg 6.8 8.4 Fuerza en la barra de li-

12.4 10.0 ga* kg Diferencia + 1.2 + 0.9

(* Precisión en la medición i 0.5 kg)

_-- ~

El error total tiene un valor máximo de 7 por ciento.

7.2. Fuerzas horizontales y verticales en E Z paraboloide eliptico.-El paraboloide elíp- tico tiene la ventaja de transmitir cargas verticales hacia abajo a fuerzas horizontales relativamente más grandes. Las fuerzas horizontales ocurren principalmente como fuerzas de membrana en la superficie del cascarón equilibradas en el borde por dos fuerzas de tensión en la viga de borde y en la barra de liga.

Estas fuerzas de tensión son más del doble de la carga total aplicada, lo cual muestra la importancia del movimiento horizontal. Las deflexiones producidas por el presfuerzo son mucho más altas que las producidas por las cargas equivalentes hacia abajo (4.1 anterior). Los ensayes realizados sobre el modelo perspex con bordes libres mostraron que un desplazamiento horizontal en la esquina produce un desplazamien- to vertical comparable en el centro.

Es evidente que la ventaja estructural del paraboloide elíptico se obtiene restrin- giendo sus esquinas horizontalmente. Las fuerzas de restricción (fuerzas en las barras de liga) varían de acuerdo con la rigidez de la viga.

La parte tomada por la viga de borde, de- terminada por medio de la teoría y la expe- rimentación, se discuten en otras publica- ciones.';

7.3. Comparación entre los modelos de concreto y perspex-El análisis elástico de

los cascarones involucra la hipótesis de que el material obedece las leyes de la elasticidad. Las cascarones de concreto reforzado no satisfacen estas hipótesis debido a la va- riación en la homogeneidad y compactación de la mezcla, intensidad y distribución del refuerzo, etc. Además, para examinar esto, se han comparado los resultados experimentales de los modelos de concreto y perspex. Las Figs. 2 1 y 22 muestran las comparaciones de las fuerzas y momentos bajo condiciones similares; la similitud se ha verifi- cado por relaciones adimensionales obtenidas a partir de las ecuaciones diferenciales que las gobiernan.

La buena precisión mostrada en las figu- ras es muy significante debido a los méto- dos totalmente diferentes, a los materiales, a las dimensiones de los dos modelos y a la existencia de deformaciones unitarias muy pequeñas.

Sin embargo, las discrepancias entre los dos modelos se pueden atribuir a las siguientes razones:

(i) La relación de Poisson de los dos materiales tendría que ser la misma para comparaciones exactas.

(ii) Los valores de E y h variaron para el modelo de concreto.

(iii) La rigidez de la viga de borde de concreto es más alta que la del modelo perspex de las mismas dimensiones, debido a la presencia de las barras de refuerzo.

La comparación muestra que se puede suponer con seguridad, para el análisis elás- tico de cascarones, que el concreto cumple con las leyes convencionales de la elasticidad. Parece ser que esta conclusión se apli- ca a superficies sujetas a fuerzas de ten- sión dominantes, tales como superficies de curvatura Gausiana negativa o nula sujeta a condiciones de carga adversas.

Porcentaje de la carga total

u n i f o r m e - mente apli-

Fuerza en la barra de liga: cada

Modelo de concreto 30.2

Modelo Perspex (VB2) 30.0

7, (VB1) 37.0

Y , (Borde Libre) 40.5

66

kg- crn /cm

- 0.02

- 0.01

G 0 concreto o----

iínea O - perspex Y línea 9 - concreto

- 0.01

O

+ 0.01

+ 0.02

+ 0.03

t iínea 2 - perspex iínea 7 - concreto

% línea 6 - perspex iínea 4 - concreto I

- 0.02

- 0.01

O

+ 0.01

+ 0.02

+ 0.03

+ 0.04

iínea 10 - perspex iínea i - concreto

\ \

'. '. A 0 C D E G 1 K

Fig. 21. Comparación de M, debido a carga uniformemente distribuida entre los modelos perspex y de concreto.

k g h n o-----o concreto

(c + tx

ínea 10- perspex ínea 1 -concreto

línea 6 - perspex línea 4 - concreto

Fig. 22. Comparación de N,, debido a carga uniformemente distribuida entre los modelos

8. CONCLUSIONES

Para un paraboloide elíptico, se puede concluir que:

(i) Las deflexiones y las deformaciones unitarias se comportan linealmente para el concreto y el perspex aun para deflexiones que exceden el espesor del cascarón.

(ii) El concreto puede suponerse con seguridad como un material homogéneo e iso- trópico, y que cumple con la ley de Hooke.

(iii) Las teorías e x i s t e n t e s solamente pueden predecir las fuerzas de membrana con suficiente precisión en la parte central del cascarón. En los bordes, las fuerzas y los momentos difieren de la solución teórica en un cierto grado que depende de la in- fluencia de las condiciones prácticas de frontera. Esto enfatiza tres puntos: la importancia de los experimentos como ayuda o alternativa para la teoría, la importancia de la viga de borde que no está totalmente investigada, y la gran sensibilidad del pa-

de concreto.

raboloide elíptico para moverse horizontalmente.

(iv) La ventaja del presfuerzo reside en la viga de borde, y no en el cascarón pro- piamente dicho. Las hipótesis que gobiernan la teoría de la perturbación local no están completamente satisfechas.

AGRADECIMIENTOS

Los ensayes se realizaron en el Univer- sity College, de Londres. Este agradeci- miento se dirige en especial al Prof. Chilver y al personal académico del Departamento de Ingeniería Civil de dicha Universidad.

REFERENCIAS

1. KELLY, D. R. Ph. D. Thesis, University cf London, 1963.

2. AJW-SITTA, S. H. “The Stresses in Doubly- Curved Shell Roofs of Positive Gaussian Curvature”, Ph. D. thesis University of London, 1964.

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3. DIKOVICH, V. V. “Cascarones rectangulares de revolución” (en ruso), Raseet procht- pinctbennyx Konstr., Moscú, 1958.

4. SCHMIDT, H. “Ergebnisse von Beulersuchen mit Doppelt gekrummten Schalenmodellen aus Aluminium, Proc. of the Symposium on Shell Research, Delft, 1961.

SIMBOLOS Y ABREVIACIONES

x, y, z 1 ccordenadas cartesianas.

N,, N , , N,, = fuerzas cortant- y directas de membrana.

M,, M,, M,, L momentos f l e x i o n a n t e y torsionante.

q = c a r g a aplicada, uniformemente distribuida.

E módulo de elasticidad.

p = relación de Poisson.

5. REISSNER, E. “On axisymmetrical deforma- tions of shells of revolution”, Proc. of Sym- pcsia in Appl. Math., Vol. 111, 1950.

6. ABU-SITTA, S. H. “The Influence of Prac- tical Boundary Conditions of Synclastic Shells”, the International Symposium on Shell Structures in Engineering Practice, Biidapest, agosto-septiembre, 1965.

h = espesor del cascarón.

R = radio de curvatura.

CY = coeficiente de pandeo.

BL = borde libre.

VB1 viga de borde de ................ 1.3 x 2.5 cm(0.5” x 1.00”).

VE2 = viga de borde de ................ 1.3 X 3.9 cm(0.5” X 1.55”).

,

O

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