Estudio de la natalidad en China

Exploración matemática

Claudia Comes

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TABLA DE CONTENIDO

Introducción ............................................................................................................................................. 3

Elaboración del grafico mediante excel y estudio del mismo ........................................... 3

Linea de tendencia ................................................................................................................................. 5

Ecuación polinómica con método analítico ............................................................................... 5

Ecuación polinómica con método tecnológico ......................................................................... 9

Predicción de datos pasados y futuros ..................................................................................... 10

Comentario final .................................................................................................................................. 12

Bibliografía ............................................................................................................................................. 13

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INTRODUCCIÓN

En esta tarea, se investigarán distintas funciones que se adecuen a los datos de la

natalidad de China desde 1980 hasta 2010. Para encontrar la función más exacta

debemos observar la tendencia que sigue la grafica en respecto a la natalidad con el

paso de los años. Uno de los principales objetivos de este trabajo es llegar a predecir

como ha sido o será la población en el país, años atrás y años después de los

estudiados. Esto se hará aplicando la función determinada a partir de métodos

analíticos i tecnológicos.

He decidido escoger este tema debido a que estudio el bachillerato con modalidad

social y me interesa mucho todo lo que tiene que ver con las diferencias entre

poblaciones. Me decidí por la natalidad en China porque siempre supe que era un

país con una política de natalidad muy estricta, y pensé que seria interesante

estudiarla.

Me comprometo a llegar al objetivo planteado y poder calcular con la mejor

precisión como será el crecimiento de la natalidad en China con el paso de los años.

ELABORACIÓN DEL GRAFICO MEDIANTE EXCEL Y ESTUDIO DEL

MISMO He realizado un grafico con datos extraídos de la pagina internacional indexmundi. El

gráfico lo he elaborado con el programa Microsoft Office Excel.

Podemos reconocer dos variables distintas. Por un lado, están los años de estudio de

natalidad, que constan desde 1980 hasta 2010. A esta variable la llamaremos x. Por

otro lado, consideramos el numero de nacidos por cada mil habitantes en China. A

esta variable la llamaremos y. La segunda variable, se considera variable

dependiente de la primera, ya que dependiendo del año y de la evolución, el

porcentaje de nacimientos debido a mejoras en la sanidad, escolaridad o en el

mundo laboral, entre otros, será mayor o menor.

Debemos tener en cuenta que la natalidad no es una variable que aumente o

disminuya siempre, ya que llegará un punto en el que la tendencia a aumentar o

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reducir que tiene la grafica se estabilizará y empezará a ser más uniforme ya que

siempre van a haber niños naciendo. A la vez, y en consecuencia a lo expresado

anteriormente, los puntos no siguen un aumento progresivo, así que tampoco siguen

una tendencia matemática. Por tanto, las ecuaciones que obtengamos en esta

exploración matemática, siempre van a ser una aproximación.

La tabla de datos con la que he realizado el grafico es la siguiente:

1980 18,21

1985 21,04

1990 21,06

1995 17,12

2000 14,03

2005 12,40

2010 11,90

Fuente: www.indexmundi.com

La grafica realizada con Excel y que cuenta con los puntos de estudio, es la siguiente:

Fuente: elaboración propia

Tal y como podemos ver en el grafico, los puntos no siguen una tendencia lineal, es

decir, más bien presenta una curba. Esto se relaciona con las funciones polinomicas,

justamente con la de segundo grado. Posteriormente, veremos como se ajusta esta

ecuacion al grafico, y determinaremos cual es exactamente la funcion más exacta a

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

Natalidad en China 1980-2010

5

los datos del grafico. La función que encontremos no será exacta, y seguramente se

aproxime más a ciertos puntos que otros.

LINEA DE TENDENCIA En el siguiente grafico observaremos bien cual es la linea de tendencia del grafico

presentado. Esta linea nos ayuda a determinar las tendencias que siguen los datos y

poder desarrollar mejor nuestra predicción.

Fuente: elaboración propia

ECUACIÓN POLINÓMICA CON MÉTODO ANALÍTICO A continuación, analíticamente extraeremos una ecuación que se adecue a la grafica

y datos que presenta la tabla inicial.

Para obtener la función polinómica de segundo grado que buscamos utilizaremos la

base: f(x)=ax2+bx+c (ecuaciones cuadráticas). Escogemos varios puntos de la tabla,

concretamente escogeré tres, ya que aseguraré una ecuación más fiable. Tal y como

he expresado en la introducción, consideraremos “x” los años e “y” el índice de

natalidad.

Los valores escogidos son los siguientes:

Año 1980= 18’21

Año 1995= 17’12

Año 2010= 11’90

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

Natalidad en China 1980-2010

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He escogido estos tres datos porque 1980 y 2010 son los extremos de mi estudio y

1995 es el año intermedio. Con estos datos, obtendremos las siguientes ecuaciones:

f(1980)=18’21

a*(1960)2+b*1960+c=18’21

f(1995)=17’12

a*(1995)2+b*1995+c=17’12

f(2010)=11’90

a*(2010)2+b*2010+c=11’90

Ahora tenemos que solucionar este sistema para conocer a, b y c. Se trata de un

sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas por lo que no será muy difícil llegar a su

solución. El sistema es el siguiente:

Primera ecuación: a*(1980)2+b*1980+c=18’21

Segunda ecuación: a*(1995)2+b*1995+c=17’12

Tercera ecuación: a*(2010)2+b*2010+c=11’90

Para despejar e ir encontrando las variables a, b y c. Restamos la segunda ecuación-

primera ecuación. Y la tercera ecuación-segunda ecuación. De esta manera

encontramos dos ecuaciones únicamente que no contendrán la incógnita c.

Segunda-Primera= (3980025a+1995b+c=17’12)- (3920400a+1980b+c=18’21)=

59625a+15b=-1,09

Tercera-Segunda= (4040100a+2010b+c=11’90)- (3980025a+1995b+c=17’12)=

60075a+15b=-5,22

Una vez obtenidas ambas ecuaciones vamos a resolver el sistema, pero primero

restaremos las dos ecuaciones obtenidas para que nos quede la incógnita a y sea más fácil

resolverlo.

(60075a+15b=-5,22)-( 59625a+15b=-1,09)= 450a=-4,13

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450a=-4,13

Ahora, tras de obtener el valor de a sustituimos en alguna de las dos ecuaciones

anteriores el valor de a i encontraremos el valor de b.

60075*

+15b=-5,22

b=36,409

Con los valores de a y de b ahora debemos sustituir los mismos en alguna de las tres

ecuaciones iniciales y de esta manera hallar el valor del parámetro c.

3920400*

+1980*36,409+c=18’21

c=-36091

Después de todo el proceso hemos obtenido los siguientes resultados:

a=

b= 36,409

c= -36091

La función polinómica resultante es la siguiente:

f(x)=

x2 +36,409x -36091

Una vez obtenida la función, vamos a representarla en la grafica para poder

compararla con la grafica ya expuesta previamente. Podremos ver si nuestra función

es precisa o si por el contrario, es más aproximada. Haremos el grafico con el

programa Excel:

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Fuente: elaboración propia

A continuación adjunto la tabla de valores del gráfico:

Años Natalidad

1980 18,26

1985 18,35555556

1990 17,99222222

1995 17,17

2000 15,88888889

2005 14,14888889

2010 11,95

Para observar la precisión de la formula vamos a volver a poner el grafico inicial

junto a su tabla de valores:

Años Natalidad

1980 18,21

1985 21,04

1990 21,06

1995 17,12

2000 14,03

0

5

10

15

20

1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

Natalidad en China (ecuación obtenida)

9

2005 12,40

2010 11,90

Fuente: elaboración propia

Todo y que la aproximación es bastante precisa, podemos ver que ésta se aplica a la

perfección en los datos de 1980, 1995 y 2010, ya que son los cuales hemos utilizado

para llegar a la ecuación obtenida.

ECUACIÓN POLINÓMICA CON MÉTODO TECNOLÓGICO Aun así, y habiéndolo intentado esta ecuación es quizás una de las más precisas por

lo que ahora buscaremos otra mediante un método tecnológico en vez de analítico,

y podremos concluir evaluando cual se adecua más de las dos.

Para encontrar la función utilizaremos Excel. Para hallarla debemos introducir los

datos iniciales de natalidad y años y el programa nos dará la expresión que

representan estos. Se supone que la función será más precisa que la obtenida de

modo analítico.

La función que nos ha dado es la siguiente:

F (x) = -0,2762x2 + 0,6652x + 19,4

Representada en el mismo grafico que contiene los datos iniciales, queda así:

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

Natalidad en China 1980-2010

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Fuente: elaboración propia

Tal y como habíamos dicho, la función obtenida tecnológicamente, es siempre más

precisa que la analítica. Sigue a la perfección la tendencia de una ecuación de

segundo grado polinómica.

Aun así, la obtenida analíticamente coincide más ciertos puntos del grafico, es decir

en los puntos de estudio. La función obtenida tecnológicamente sigue un grado de

precisión casi imposible de conseguir de modo analítico, por lo que esta se asemeja

más a la línea de tendencia de la función original.

PREDICCIÓN DE DATOS PASADOS Y FUTUROS La siguiente parte del trabajo se base en poder predecir como ha sido la natalidad en

China antes de 1980 y como lo será después de 2010. Vamos a tomar como años de

estudio 1965 y 2020.

Para encontrar el índice de natalidad de esa época por cada 1000 habitantes en

China, vamos a utilizar la función obtenida analíticamente.

f(x)=

x2 +36,409x -36091

1965(-413/45000)*19652+36,409*1965-36091=15,22

2020(-413/45000)*20202+36,409*2020-36091=6,17

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

Natalidad en China 1980-2010

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Como observamos la natalidad seguirá reduciéndose según la ecuación obtenida. Tal

y como he dicho al inicio del trabajo, una de las restricciones de estos modelos

polinómicos es que la natalidad no aumenta o disminuye gradualmente sino que se

estabiliza y aplicando este tipo de funciones no se puede presenciar ese

estancamiento. Aun así, esta predicción se trata de una aproximación.

Para concluir vamos a volver a analizar la ecuación obtenida respecto a los datos

iniciales:

Tabla de datos inicial

1980 18,21

1985 21,04

1990 21,06

1995 17,12

2000 14,03

2005 12,40

2010 11,90

Tabla obtenida analíticamente

1980 18,26

1985 18,35555556

1990 17,99222222

1995 17,17

2000 15,88888889

2005 14,14888889

2010 11,95

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Gráfica resultante de la ecuación obtenida analíticamente

COMENTARIO FINAL Tal y como hemos comentado antes, los puntos más exactos son los que se han

estudiado para obtener la función, y a medida que los demás puntos se acercan a

estos son a la vez más exactos.

Debemos tener en cuenta que todo y que la precisión de la función no es del todo

buena, es correcta para un nivel medio de matemáticas.

Una de las limitaciones de las ecuaciones polinómicas de segundo grado es que no se

pueden tener en cuenta factores naturales a la hora de ser graficadas ya que en el

tema de estudio, que es la natalidad en China, se deben considerar factores como la

evolución de la sociedad, posibles crisis, guerras, etc. Es por ello que la predicción de

1965 y 2020 no es muy exacta, ya que seguro que han intervenido muchos otros

elementos a la hora de estudiar la natalidad.

Siempre es importante determinar cuales han sido posibles errores y si existe otro

método de encontrar una función más exacta. En el caso de la población, la función

logística es la más utilizada para hacer predicciones, ya que describe

matemáticamente la transición demográfica.

0

5

10

15

20

1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

Natalidad en China (ecuación obtenida)

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Este tipo de función fue desarrollada teniendo en cuenta la necesidad de obtener

unos cálculos prospectivos de la población, entre otros aspectos. La función logística

se define por:

Donde P es la población y “e” es la constante de Euler y “t” representa el tiempo.

Tras la realización de la exploración puedo concluir diciendo que se han cumplido

mis objetivos y he sido capaz de predecir con precisión como evolucionará la

población en China en 2010 y como fue en 1980.

BIBLIOGRAFÍA Office. Crear un grafico. Fecha de consulta: 24/12/2013.

http://office.microsoft.com/es-es/excel-help/crear-un-grafico-HP001233728.aspx

Funciones polinómicas. Representación. Excel, 2007. Fecha de consulta:

24/12/2013.

http://escritorioalumnos.educ.ar/datos/recursos/pdf/matematica/excel_polinomica

s.pdf

Apuntes de clase.

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AUTOEVALUACIÓN Criterios Descripción Puntuación

A La exploración es coherente y está bien organizada

3

B La presentación matemática es, en cierto grado, adecuada

1

C Hay indicios de un importante compromiso personal

3

D Hay indicios de una reflexión significativa 2

E Se utilizan unas matemáticas pertinentes y acordes con el nivel del curso. Se demuestra una comprensión limitada

3