estudio de funciones

Universidad Nacional del Comahue – Centro Universitario Regional Zona Altántica Matemática II: Estudio de funciones – Geogebra

Nuevas Tecnología de la Información y la Comunicación aplicadas al estudio de la Matemática

Índice de contenido1) Introducción...............................................................................................................................................12) Descarga e instalación del programa.........................................................................................................13) Destrezas necesarias..................................................................................................................................2

3.1) Graficar una función.......................................................................................................................................23.2) Puntos de intersección entre funciones...........................................................................................................23.3) Recta por dos puntos......................................................................................................................................43.4) Recta en función de un punto y una dirección................................................................................................63.5) Segmentos......................................................................................................................................................73.6) Ordenada y abscisa de un punto.....................................................................................................................8

4) Analizando una función...........................................................................................................................104.1) Puntos críticos de una función......................................................................................................................104.2) Intervalos de crecimiento:.............................................................................................................................13

1) IntroducciónEste texto es otro intento por acercar la enseñanza de la matemática a las nuevas

tecnologías... No es autosuficiente (en el sentido del estudio de la materia). Muy por el contrario no existen definiciones teóricas en este documento, estás deben ser consultadas en la bibliografía y apuntes de clase; simplemente tendrán la posibilidad de repensar situaciones de clase en un contexto de utilización de la computadora y sus programas.

En el presente capítulo analizaremos: puntos críticos, extremos, inflexiones, crecimiento y decrecimiento de funciones reales, con la ayuda de un programa de computadoras llamado: GeoGebra. Este programa es multiplataforma (puede ser utilizado tanto en sistemas operativos GNU/Linux como Windows o MAC) pero además, mucho más importante, es un programa libre... esto permite que además de utilizar el programa en la universidad podemos compartirlo con los estudiantes, y Uds. a su vez son sus amig@s.

Se desarrollan una serie de actividades para las cuales se indica el modo de utilización del programa.

Las instrucciones sugeridas, como su modo de utilización son orientativos, no es el único modo (en general) en que estas tareas pueden ser realizadas, simplemente una propuesta de trabajo, si es de interés del lector profundizar en el tema se sugiere documentarse con algún manual, disponible en la web de GeoGebra.

Cada tanto te proponemos la realización de alguna tarea, te lo indicaremos con lo siguiente: este lápiz te indicará que debes ponerte a trabajar!

2) Descarga e instalación del programaEl sitio oficial de GeoGebra es la fuente de información recomendada.

Desde este sitio puede gestionarse la descarga del programa (para diferentes plataformas de trabajo: GNU/Linux, MAC, Win2).

Desde la página oficial de GeoGebra encontrarán enlaces hacia:

Prof. Nicolás Rosbaco Página 1/13

http://www.geogebra.org/cms/

http://www.geogebra.org/cms/es/download

GeoGebra y el análisis de funciones

• Materiales Introductorios

• Foro de Usuarios

3) Destrezas necesariasCon el objeto de poder analizar funciones, con la utilización de este programa, será

necesario desarrollar una serie de habilidades en su uso. A tal efecto se propone la realización de una serie de actividades previas al análisis de funciones, que permitirán al lector/a adquirir destrezas para el correcto uso del programa y comprensión de las consignas que oportunamente se proponen para el estudio de funciones reales.

Una observación muy importante: a diferencia de lo que ocurre con el programa wxMaxima (que también utilizamos en otro capítulo), con GeoGebra obtendremos resultados aproximados, esto si bien no es determinante a la hora de elegir uno u otro software es importante tenerlo presente.

3.1) Graficar una función

Para graficar una función será suficiente con definirla correctamente, del mismo modo en que se haría en la carpeta. Por ejemplo, si deseamos graficar la siguiente función:

f x=14⋅x3

−12⋅x2

−14⋅x−1 , haremos lo que se muestra en la Figura 1.

Como podemos observar es muy simple graficar una función.

Graficar las siguientes funciones, para cada una de ellas debes elegirles colores diferentes✔ f x=−x23

✔ gx =12⋅x2

−1

3.2) Puntos de intersección entre funciones

Un problema muy habitual en los cursos de matemática consiste en la determinación de puntos de intersección entre curvas. Generalmente las curvas, las funciones que representan, modelan determinada situación.

El modo habitual de trabajo consiste en:

• Representar gráficamente las funciónes

• Utilizar algún método apropiado para resolver las ecuaciones que surgen de la igualación entre las funciones.

En el caso de utilizar el problema simplemente graficaremos als curvas correspondiente y aprovecharemos la “magia” de GeoGebra para determinar intersecciones entre elementos geométricos.

Página 2/13 Prof. Nicolás Rosbaco

http://www.geogebra.org/forum

http://www.geogebra.org/cms/es/help



Sean las funciones f x=14⋅x3

−12⋅x2

−14⋅x−1 y gx =−x−12 . Lo primero que

haremos es graficar las funciones Figura 2


Figura 1: Graficando una función

Figura 2: Graficando dos funciones

Introducimos en la linea de entradas la función tal como lo haríamos en nuestra carpeta


Luego, para determinar los puntos de intersección entre las curvas, utilizaremos un comando de GeoGebra, que se denomina: intersección1.

La manera correcta de utilizar el comando es la siguiente: intersección[f(x),g(x)]

Podemos ver el resultado en la Figura 3

Puede observarse en la ventana izquierda de GeoGebra que los objetos A,B y C son los puntos de intersección entre las curvas, el punto C ha quedado fuera del área gráfica, en función de la escala utilizada.

Determinar los puntos de intersección entre las curvas graficadas en la tarea anterior.

3.3) Recta por dos puntos

Es posible determinar una recta (la gráfica de la misma y su ecuación) a partir de dos puntos, esto se hace de un modo muy simple utilizando otro comando de GeoGebra, en este caso el comando: Recta.

Definiremos dos puntos, para ello debemos escribir: A=(1,1) y B=(5,1), en la linea de entradas de GeoGebra (ver Figura 4)

1 En versiones anteriores de GoeGebra este comando se llamaba: intersecta, la sintaxís es la misma


Figura 3: Puntos de intersección



Una vez definidos los puntos y representados en el área gráfica de GeoGebra, representamos la recta que los contiene. Como ya dijimos utilizamos para ello el comando Recta del siguiente modo: Recta[A,B]

Podemos ver el resultado en la Figura 5

En la ventana izquierda del programa se puede visualizar lo siguiente:

• La recta (como objeto geométrico) se identificó con la letra (minúscula, las mayúsculas están destinadas a identificar puntos, o vertores) a.

• La ecuación implícita de la recta es x2⋅y=3 . Si probamos con el botón derecho del ratón sobre la expresión de la recta podremos advertir (entre una serie de opciones) la de visualizar la ecuación en forma explícita


Figura 4: representado puntos


Representar la recta que contiene a los puntos de intersección determinados en la tarea anterior. Expresar la ecuación de esa recta de forma explícita.

3.4) Recta en función de un punto y una dirección

Puede ser necesario determinar la ecuación de una recta paralela, o perpendicular con determinada dirección.

A modo de primer ejemplo determinaremos la ecuación de una recta perpendicular con a (la del ejemplo anterior) que contiene al punto D=(2,2)

Para ello:

• Definiremos el punto D: esto ya lo hemos hecho, simplemente escribimos D=(2,2) en la linea de entrada de comandos del programa.

• Representaremos la recta: para ello utilizamos un nuevo comando: Perpendicular. Y lo haremos del siguiente modo: perpendicular[D,a]

• Al comando le indicamos, la dirección respecto de la cuál será perpendicular y el punto que contiene la recta

En la Figura 6 podemos ver el resultado (hemos aplicado un poco de estilo al gráfico)


Figura 5: comando RECTA



Representar la recta, perpendicular con la que contiene los puntos p1=2,3 y p2=−1,1 , y que pasa por el origen de coordenadas

Copia el modelo presentado en la Figura 6 y luego:✔ Determina el punto de intersección entre las rectas a y b✔ prueba que pasa con el siguiente comando: Recta(A,b)

3.5) Segmentos

Un segmento esta determinado por dos puntos. Pues bien este es el modo de definir un segmento con GeoGebra utilizaremos un nuevo comando el comando segmento. Su sintaxis es la siguiente: Segmento[A,B]

Se aprecia en la ventana izquierda de GeoGebra (Figura 7) que el segmento ha sido identificado con una letra minúscula (a) y que se expresa su medida (aproximada)


Figura 6: comando PERPENDICULAR


Determinar el segmento de extremos A y B, donde:✔ A es punto de intersección entre las rectas de ecuación y=−x1 y la recta x y=0✔ B=(3,1)

3.6) Ordenada y abscisa de un punto

En ocasiones es necesario utilizar la ordenada y/o la abscisa de un punto para determinar otro.

Por ejemplo: nos interesa pintar el segmento que resulta de la proyeccción sobre el eje X del segmento a ilustrado en la Figura 7. Para ello debemos:

• definir dos nuevos puntos, serán los extremos del nuevo segmento. Los llamaremos M y N

• la ordenada de ambos puntos será 0, ya que reposan sobre el eje X

• las abscisas coinciden con las abscisas de los extremos del segmento original. Es decir: la abscisa del punto M coincide con la del punto A; y la del punto N coincidirá con la abscisa de B.

Para obtener la abscisa de un punto se utiliza el siguiente comando: x(nombrePunto)

Para obtener la ordenada de un punto se utiliza el siguiente comando: y(nombrePunto)

Veamos el ejemplo en la Figura 8 como funciona esta alternativa.

Respecto del ejemplo anterior✔ Representar la proyección sobre el eje Y del segmento referido✔ Ahora intenta lograr lo que se ilustra en la Figura 9


Figura 7: comando SEGMENTO




Figura 8: ABSCISA de un punto

Figura 9: Tarea


4) Analizando una funciónAhora sí!!!. Con todo lo estudiado hasta el momento estamos en condiciones de avanzar en

el estudio de las funciones.

4.1) Puntos críticos de una función

Los extremos de una función se determinan a partir del estudio de la primera derivada.

Consideremos la siguiente función: f x=13⋅x3

−x2

12⋅x−1 , la graficamos y

determinamos la primer derivada. Para ello utilizamos el comando derivada del siguiente modo: Derivada[nombreFunción], veamos en la Figura 10 el resultado

La función esta representada en color negro, y la derivada en color rojo.

¿Cuáles con los puntos críticos de esta función?

✔ Prueba repetir la situación de la figura anterior (Figura 10)✔ Ahora modifica la función f(x) y verifica que ocurre con la derivada

Si una función admite un extremo (local o relativo) ello ocurre en un punto crítico... Buscaremos las raíces de la primer derivada.

Para ello debemos reconocer lo siguiente:

• en la ventana izquierda del programa podemos visualizar que el programa asigno el nombre g(x) a la función derivada


Figura 10: Derivada de una función



• determinar las raíces de la función g(x) es equivalente a determinar las intersecciones entre la función (g(x)) y el eje X

Para determinar las intersecciones utilizamos el comando intersección (página 2), pero a diferencia de lo que hemos hecho, en este caso, no interceptaremos dos funciones... sino dos elementos geométricos: una curva (que representa una función) y el eje X (que es en definitiva otra curva)

y ahora para obtener la segunda derivada derivamos la primer derivada...


Figura 11: raices de la derivada

Figura 12: Segunda derivada


Estamos en condiciones de verificar que:

• donde la primer derivada se anula y la segunda es negativa, la función tiene un máximo relativo o local

• donde la primer derivada se anula y la segunda es positiva, la función tiene un mínimo relativo

Ahora indagaremos en el valor máximo y mínimo de la función:

• El máximo valor es la ordenada correspondiente al punto donde la función se maximiza

• El mínimo valor es la ordenada correspondiente al punto donde la función se minimiza

• Para obtener la ordenada de un punto ( x0 ), de la función f x , calculamos: f x0

Obtener las coordenadas del punto de inflexión de la función f x

Determinar extremos e inflexión de la siguiente función: f x=13⋅x3

2⋅x2

14⋅x−1

Para hacerlo te proponemos que completes la siguiente planilla:


Figura 13: extremos de la función



Función que se desea estudiarpuntos críticos:

Primera derivada:raíces de la primer derivada

Segunda derivada:raíces de la segunda derivada:

Máximo/s:Mínimo/s:Infexión/es:

4.2) Intervalos de crecimiento:

Analizar los intervalos de crecimiento de una función, implica estudiar el signo de la primer derivada. Para ello resulta imprescindible conocer:

• la derivada de la función

• las raíces de la función derivada

Remitiéndonos al ejemplo analizado en el punto anterior, sabemos que las raíces de la función son: x1≃0,29 y x2≃1,71 .

De la lectura del gráfico (Figura 13) se desprende que:

• en el intervalo real: −∞ ;0,29∪1,17 ;∞ la primer derivada es positiva

• en el intervalo real: 0,29 ;1,17 la derivada es negativa

Es decir: {x∈−∞ ;0,29∪1,17 ,∞⇒ f ' x0⇒ f x crecientex∈0,29;1,17⇒ f ' x0⇒ f xdecreciente


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