Estudio de elementos de fábrica por superficies antifuniculares · 2018. 2. 11. · loga al...

Estudio de elementos de fábrica por

superficies antifuniculares

Trabajo de investigación tutelado José Galafel González

Ingeniero de Caminos Canales y Puertos

Director: Javier León González Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

Madrid, Junio 2011

Universidad Politécnica de Madrid

Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

Departamento de Mecánica de Medios

Continuos y Teoría de Estructuras

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS....................................................................................................................... 1

1.1 Motivación................................................................................................................................................. 1 1.2 Objetivos del trabajo..............................................................................................................................2 1.4 Estructura del trabajo ........................................................................................................................... 4

CAPÍTULO 2 ESTADO DEL ARTE...............................................................................................................................................5

2.1 Introducción .............................................................................................................................................5 2.2 Líneas de presión y análisis de estructuras por secciones .........................................................5 2.3 Análisis por soluciones de membrana ............................................................................................ 8 2.4 Análisis por bloques rígidos............................................................................................................... 9 2.5 Modelos colgados...............................................................................................................................10 2.6 Las Láminas de Heinz Isler................................................................................................................. 12 2.7 Funciones de tensiones y momentos............................................................................................. 15 2.8 Redes de líneas de compresión ......................................................................................................16 2.9 Conclusiones .........................................................................................................................................18

CAPÍTULO 3 UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES ANTIFUNICULARES ................................19

3.1 Introducción............................................................................................................................................19 3.2 Modelo físico ........................................................................................................................................ 20 3.3 Fundamentos ........................................................................................................................................ 25 3.4 Ejemplo explicativo ............................................................................................................................ 28 3.5 Desarrollo del modelo ....................................................................................................................... 32 3.6 Ecuaciones del método ..................................................................................................................... 36 3.7 Distintas condiciones de apoyos.....................................................................................................48 3.8 Comprobación del modelo............................................................................................................... 51

CAPÍTULO 4 ANÁLISIS Y EJEMPLOS......................................................................................................................................61

4.1 Arcos y bóvedas ................................................................................................................................... 63 4.2 Bóvedas ...................................................................................................................................................73 4.3 Cúpulas...................................................................................................................................................80

CAPÍTULO 5 ANÁLISIS DE TENSIONES............................................................................................................................... 87

5.1 Algoritmo para el análisis tensional ................................................................................................ 87 CAPÍTULO 6 CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN.............................................................. 95

6.1 Conclusiones......................................................................................................................................... 95 6.2 Futuras líneas de investigación........................................................................................................96

BIBLIOGRAFÍA.....................................................................................................................................................99

1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS

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CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS

1.1 Motivación

Existe en nuestro país un gran número de edificaciones construidas por medio de mampostería, que otorga un patrimonio a conservar para futuras generaciones. Estas edificaciones se encuen-tran repartidas por toda la geografía dando lugar a una importante diversidad de estilos y carac-terísticas constructivas. Tanto por los materiales utilizados como por las formas.

Estructuras romanas como acueductos y puentes, catedrales y ermitas románicas, castillos me-dievales, grandes catedrales góticas junto con un sin fin de puentes de piedra que a pesar de su antigüedad siguen dando servicio en la red de carreteras nacionales, merecen ser analizados y comprendidos.

. Fig. 1.1 Grabado de los arbotantes de la catedral de Burgos.

Todo este patrimonio debe de ser preservado y mantenido de la forma más eficiente, para lo que es imprescindible su estudio con las herramientas mas adecuadas. Se debe de tener en cuenta que estas estructuras, con el paso del tiempo han sufrido grandes transformaciones, como cam-bios en la cimentación, variaciones de la estructura o la carga. Sirvan de ejemplo las solicitaciones


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para las que se construyeron los puentes de piedra, que actualmente sufren las cargas de pesa-dos camiones.

La conservación de estas obras debe tener en cuenta su funcionamiento estructural, de forma que las modificaciones y procesos de conservación sirvan para mejorar la estabilidad de la obra y en ningún caso se realicen actuaciones que puedan poner en peligro la integridad de la estructu-ra. Se corre el riesgo de que una actuación mal concebida acabe con la estabilidad de una edifica-ción que se ha mantenido en pie cientos de años.

Los materiales usados en estas construcciones y sus peculiaridades, como la falta de resistencia a tracción, hace que el método de los análisis límite sea muy adecuado para la comprobación de estas estructuras ya que permite definir su seguridad conociendo únicamente la geometría de las cargas, sin tener en cuenta las características del material.

El estudio de estructuras de mampostería cuyo comportamiento se pueda considerar bidimen-sional, como puentes arco, está bien analizado por medio de las líneas de presión. Sin embargo en estructuras en las cuales no se pueda tener en cuenta el funcionamiento bidimensional por falta de simetría como puedan ser las bóvedas de crucería o arcos esviados, es necesario obtener superficies antifuniculares de las cargas que actúan sobre éstas, para poder realizar un análisis completo de su funcionamiento.

Estas superficies antifuniculares no solamente tienen utilidad dentro del análisis de estructuras de mampostería ya construidas, sino que también pueden ser aplicadas para el diseño de nuevas estructuras de hormigón, aprovechando las buenas capacidades resistentes a compresión que presenta este material. Se pueden desarrollar métodos basados en la plasticidad que estudien el comportamiento de piezas de hormigón por medio de superficies antifuniculares, de forma aná-loga al método de bielas y tirantes.

Las superficies antifuniculares y el análisis límite también pueden ser utilizados para comprobar y diseñar estructuras de hormigón. De forma similar al método de bielas y tirantes. Una superficie antifunicular puede servir para comprobar elementos más complejos.

1.2 Objetivos del trabajo

En este trabajo de investigación se revisa desde un punto de vista crítico, el estado actual del conocimiento en el análisis de estructuras tridimensionales de mampostería. Se analizan los distintos métodos existentes, describiendo sus principales utilidades e intentando encontrar lagunas dentro de la perspectiva del análisis límite. Del estudio de los distintos métodos, se ob-tienen ideas para desarrollar un sistema rápido y eficaz, coherente con las necesidades del análi-sis de estructuras ya existentes.

Se pretende crear las bases para un método global de análisis de estructuras de mampostería, basado en la plasticidad y las superficies antifuniculares. Diseñando un sistema que permita ob-tener de manera sencilla las superficies que únicamente trabajan a compresión, para las solicita-ciones a las que debe hacer frente la estructura estudiada. Este sistema a su vez comparará las superficies obtenidas con la geometría de la construcción analizada.

Este sistema permitirá mejorar la comprensión de este tipo de estructuras, siendo necesaria la interacción del usuario para poder decidir cuál de todas las soluciones es la que mejor se adapta al funcionamiento de la estructura.


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Una vez desarrollado el sistema se comprobarán los resultados obtenidos, validándolos con ex-periencias anteriormente realizadas por otros sistemas y demostrando la validez del método mediante el análisis de sus posibles mejoras.

El sistema se utilizará para comprobar la estabilidad de distintas tipologías estructurales a fin de comparar los distintos esquemas y su funcionamiento.

1.3 Encuadre del trabajo

El estudio de estructuras de mampostería tiene grandes peculiaridades frente al diseño de es-tructuras nuevas. En primer lugar, se debe tener en cuenta que no se trabaja con un material homogéneo ni isótropo; el material estará constituido por bloques de diversos tamaños con juntas en diversas posiciones. Esta gran cantidad de discontinuidades, complica su modelización por medio de métodos como el de los elementos finitos.

Otra peculiaridad, es el desconocimiento de las características de los materiales. Los elementos a analizar no podrán ser ensayados en muchos casos, y además sus características pueden ser dis-tintas en cada zona de la estructura. En muchas ocasiones la construcción de estos elementos se prolongaba durante décadas pudiéndose cambiar la procedencia de los materiales, además éstos pueden haber sufrido variaciones en sus características físico-químicas en el transcurso de los años.

Estas particularidades, hacen que el estudio de estructuras históricas deba de ser completamen-te distinto al de las convencionales. En las construcciones históricas, la recopilación de informa-ción así como la comparación con obras realizadas en el mismo periodo será clave.

Por estos motivos, las estructuras históricas han sido analizadas por variadas aproximaciones.

Podemos dividir los niveles de análisis de las estructuras en:

NIVEL I. Únicamente se tienen en cuenta las ecuaciones de equilibrio. La estática gráfica y los análisis límite pertenecen a este nivel.

NIVEL II. En este nivel se tienen en cuenta las ecuaciones de equilibrio y el control tensional de los materiales. Las tensiones se comprueban por medio de un método iterativo, el método des-arrollado aquí pertenece a este nivel.

NIVEL III. El equilibrio, las ecuaciones constitutivas y la compatibilidad son tenidos en cuenta en este nivel, al cual pertenecen los elementos finitos y los modelos de barras no lineales. Aunque más completos, estos sistemas tienen la desventaja de necesitar gran cantidad de datos para su aplicación.

El sistema desarrollado estará dentro de los métodos de análisis límite con análisis tensional y por tanto pertenecerá al Nivel II. Dentro de estos métodos, no es posible el análisis de los des-plazamientos y por consiguiente, no se puede analizar el estado de servicio de estas estructuras. Sin embargo permite analizar su seguridad sin necesidad de obtener gran cantidad de datos que, como se ha comentado, es muy complicado en este tipo de estructuras.

Dentro de los estudios de análisis límite, existen a su vez diversas aproximaciones. En todos ellos se buscan superficies antifuniculares o líneas de presión:

Métodos gráficos. En este caso, se analiza la estructura por partes, aplicando la estática gráfica a cada una de las secciones en las que se divide la estructura. Debido al gran con-sumo de tiempo este método está en desuso.


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Métodos computacionales. Con la aparición del ordenador, se han desarrollado di-versos programas que obtienen las superficies antifuniculares automáticamente. Mu-chos de ellos están basados en la estática gráfica, aunque algunos funcionan por medio de funciones matemáticas.

Métodos físicos. Otra opción para la determinación de superficies antifuniculares, consiste en la obtención de dichas superficies por medio de experimentos reales, como pueden ser tender cuerdas. Éstos resultan son muy complicados, si se desea comparar con la geometría de una estructura ya existente.

El sistema desarrollado en el presente trabajo aplica métodos computacionales utilizando las ecuaciones de equilibrio y aplicándolas sobre mallas existentes. Esta línea de estudio coincide con los trabajos realizados por Philippe Block dentro del MIT.

1.4 Estructura del trabajo

Este trabajo, comenzará enunciando y analizando los distintos estudios que existen sobre el análisis de estructuras de fábrica. Este será el punto de partida para la búsqueda de un método de comprobación de construcciones de fábrica, que pueda completar y mejorar los existentes.

En primer lugar, se introducirán los conceptos básicos de los elementos antifuniculares, descri-biendo las ecuaciones de equilibrio, que serán la base del programa de obtención de superficies antifuniculares.

A continuación, se desarrollarán todas las funciones aplicadas en el método, analizando la utili-dad de cada una y completando el conjunto hasta llegar a un sistema de ecuaciones, que permita obtener las superficies antifuniculares necesarias para el análisis de las estructuras.

Una vez desarrollado el sistema que obtenga superficies antifuniculares, se aplicará al estudio de estructuras históricas; completándose el programa, para poder introducir las geometrías a estu-diar y desarrollando las aplicaciones que permitirán realizar los estudios y las comparaciones.

Posteriormente, se comparará el funcionamiento del sistema con las soluciones obtenidas por otros métodos y se calibrará. Por otro lado, se analizará la cantidad mínima de datos necesaria para obtener resultados fiables, sin necesidad de aumentar el tiempo de cálculo.

Por último, se procederá a realizar modelos de estructuras con diversas tipologías, pretendiendo establecer una guía de funcionamiento para el estudio de cada una de ellas.

2. ESTADO DEL ARTE

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CAPÍTULO 2

ESTADO DEL ARTE

2.1 Introducción

En este capítulo, se analizan las teorías en las cuales se basa el método desarrollado, así como se enuncian estudios con los mismos principios y otros que representan alternativas al presente sistema.

En primer lugar, se explica el concepto de las líneas de presión. Este concepto es la base de las superficies de presión y ya ha sido utilizado para la comprobación de estructuras. Estas superfi-cies son la adaptación de las líneas de presión a estructuras tridimensionales.

Se presenta el análisis por bloques rígidos como método alternativo a los trabajos basados en la plasticidad, analizando sus diferencias y comparándolo con el sistema desarrollado aquí.

Existen distintos métodos basados en la plasticidad y las superficies antifuniculares, algunos des-arrollados en la experimentación real y otros por medio del análisis computacional. Estos méto-dos presentan diversas semejanzas con el que aquí se enuncia, dado que todos generan superfi-cies que se comparan con la geometría de la estructura. Estos sistemas han servido de base para el desarrollo de este método.

2.2 Líneas de presión y análisis de estructuras por secciones

Se desarrolla el concepto de línea de presión, como base de las superficies de presión, esta herramienta de análisis de primer nivel, aunque puede ser de nivel II con el análisis tensional, es de gran utilidad y ha sido empleada durante mucho tiempo para el análisis de estructuras de fábrica.

El concepto de línea de presión fue presentado alrededor de 1830 por Moseley en Inglaterra y por Méry en Francia, aplicado al colapso de arcos.

Se define la línea de presión como el lugar geométrico de los puntos de aplicación de las resul-tantes de las tensiones, que actúan sobre una familia de secciones definidas sobre un sólido pla-no sometido a un sistema equilibrado de fuerzas.

Este concepto ya había sido intuido por Hooke (ca. 1670), como el lugar geométrico del punto de paso de los esfuerzos por un sistema de planos de corte dados. (figura 2.1).

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Como se explicará más adelante, la línea de presión depende por tanto de la geometría de la estructura, de las fuerzas actuantes y de la familia de secciones que se elija. Según la definición, la línea de presiones no depende de las propiedades deformacionales del material, si bien, para conseguir un sistema equilibrado de fuerzas, se deben haber obtenido las reacciones en puntos del sólido vinculados cinemáticamente al exterior, es decir los apoyos de la estructura deben de ser admisibles.

En el análisis de estructuras de fábrica por medio de líneas de presión, se debe aceptar que la fábrica no resiste a tracción, la resistencia a compresión es infinita y la resistencia a cortante tam-bién lo es. Esto hace que este método solo analice su rotura como mecanismo.

Las líneas de presión permiten entender y analizar el equilibrio por medio del análisis límite. Encontrando las líneas de presión que permanecen dentro de una sección de la estructura, po-demos determinar su seguridad e incluso proponer distintos mecanismos de colapso.

Figura 2.1 Desarrollo de una línea de presión en un arco.(Santiago Huerta)

La línea de presión, es una técnica principalmente desarrollada para el análisis en dos dimensio-nes, como pueden ser arcos o cualquier estructura que su comportamiento pueda ser reducido a dos dimensiones.

Cualquier estructura tridimensional, puede ser analizada por medio de líneas de presión, utili-zando la técnica de secciones. Esta técnica se basa principalmente en dividir la estructura en múltiples arcos, de forma que cada uno de ellos sea antifunicular, teniendo en cuenta sus co-nexiones con los otros arcos.

La idea de la utilización del análisis por secciones en una bóveda de crucería fue de Scheffler (1857). Para estudiar el equilibrio estático de una bóveda de crucería, seccionaba las dos superfi-cies que se cruzan, en arcos de distintas geometrías.

Los cálculos de Scheffler, implicaban complicadas ecuaciones algebraicas, sin embargo sentó las bases para el análisis gráfico. En la práctica este método se utilizó por primera vez por Wittmann (1879), y Planat (1887), siendo Karl Mohrmann quien implantó el uso extensivo de esta técnica en la tercera edición de Ungewitter. [51] [54]

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Figura 2.2 Ejemplos de análisis gráfico (Wittmann 1879).

El trabajo de Mohrmann no se centra únicamente en las cúpulas, sino que también realiza análi-sis de edificios completos, incluyendo columnas y contrafuertes, siendo uno de los trabajos más completos en el análisis de iglesias y catedrales. Mohrmann, introdujo diversas aproximaciones para facilitar el análisis y la elección de las rebanadas a estudiar.

En el caso de una bóveda de crucería la elección de estas rebanadas es sencilla, sin embargo Mohrmann fue capaz de analizar formas mucho más complicadas y combinaciones de bóvedas, llegando incluso al análisis de cúpulas. Al determinar los planos de corte necesarios para realizar las secciones de las cúpulas, se imaginó esferas rodando por el extradós, presumiendo que las trayectorias que realizan estas esferas son las que toman las fuerzas. Este es un concepto muy interesante ya que relaciona las trayectorias de fuerzas con planteamientos como el de la energía mínima.

Posteriormente, esta idea fue utilizada por Sabouret (1924) y Abraham (1934), los dibujos expli-cativos de este último llevaron durante cierto tiempo a pensar que originalmente la idea era suya. [42]

Figura 2.3 Formas de secciones (Ungewitter 1890).

Para muchas estructuras sencillas el análisis por esta técnica puede ser suficiente. Sin embargo es muy importante la correcta elección de las secciones para la calidad de los resultados obtenidos, lo que hace a este método muy costoso en tiempo. Una vez que se han decidido las secciones correctas, analizarlas por medio de líneas de presión resulta rápido.

Figura 2.4 Análisis en pseudo-3D por Wolfe (1921).

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Barthel(1993), revisa los niveles de sofisticación y las aproximaciones necesarias para un buen análisis, entre otros datos analiza el tamaño necesario de las secciones. Smars(2000), diseñó el programa Calipous utilizando un interfaz de AutoCAD, el cual permite análisis en pseudo 3D. Block (2006) ideó un método utilizando este sistema de forma paramétrica e interactiva, redu-ciendo el tiempo de análisis gráfico. [49]

Figura 2.5 Análisis utilizando Calipous.

Este método de secciones resulta laborioso para geometrías complicadas, debido a la dificultad de la elección de las secciones correctas; ésto hace que este método solo se haya utilizado para el análisis de bóvedas de cañón y crucería. Por otro lado los resultados gráficos obtenidos le con-vierten en un método fácilmente comprensible. La catedral de Palma de Mallorca se analizó por Rubió i Bellver (1912) de esta forma.

El programa Vlasta, desarrollado en el departamento de hormigón estructural de la Universidad Politécnica de Madrid permite realizar estos mismos estudios.

Esta forma de trabajo utiliza la plasticidad y es muy útil para aproximaciones al funcionamiento general de la estructura, al ser muy gráfica mejora su rápida comprensión; pero en comparación con el sistema que aquí se explica, tiene el problema de que sus soluciones dependen comple-tamente de las secciones elegidas.

2.3 Análisis por soluciones de membrana

La teoría de análisis límite fue introducida por Heyman (1966), para el análisis de estructuras de mampostería. En su caso, para obtener las superficies antifuniculares en 3D necesarias para la comprobación de cúpulas y bóvedas, se utilizaron soluciones de formas geométricas analizadas matemáticamente. Para conocer la seguridad de una estructura, se comprobó si estas superficies, esferas, conos, etc…, quedaban comprendidas dentro de los limites de los paramentos. Por otro lado Heyman completaba estos análisis con la técnica de secciones. [42]

Una estructura determinada resultará segura según la teoría de la plasticidad siempre que se obtenga una superficie analítica, como puede ser un conoide, una esfera, etc., que para las cargas analizadas se encuentre en compresión y dentro de los paramentos.

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Figura 2.6 Conoide utilizado para el análisis de una bóveda de abanico.

Utilizando estas formulaciones, obtuvo resultados para una gran cantidad de tipologías estructu-rales. Este método es muy útil para obtener valores rápidos como pueden ser las reacciones de estructuras y análisis preliminares. Por otro lado existen multitud de superficies analizadas en estudios como los de Gree y Zelma y los de W. Flügge. [53]

La mayor limitación de este método es que utiliza formulaciones de superficies preestablecidas, lo cual hace que el estudio sea menos exacto cuanto más se aleja la estructura de dichas formas. Es un método que necesita de un conocimiento previo de las superficies que encajan en cada estructura, aunque sin embargo permite aproximaciones rápidas y elegantes. Al igual que en el sistema que aquí se expone, tiene en cuenta el comportamiento tridimensional del conjunto buscando superficies y funciona siguiendo la teoría de la plasticidad. La mejora que representa este sistema frente al indicado, es que no se hace necesario el conocimiento previo y el tanteo con distintas superficies.

2.4 Análisis por bloques rígidos

Se han desarrollado diversos modelos en los que no se considera la estructura como un conti-nuo, sino que se tiene en cuenta los bloques y la fricción entre ellos. Como sabemos en estas construcciones los materiales trabajan a niveles bajos de tensión, por lo tanto se consideran los bloques como indeformables para realizar los análisis.

La fábrica puede ser estudiada, como un conjunto de piezas independientes infinitamente rígi-das, que se mueven sin deformarse a través de giros y desplazamientos en sus juntas. Cada pieza tiene 6 grados de libertad (ux,uy, uz, �x, �y, �z), en un modelo 3-D y tan solo 3 en un modelo 2-D (ux, uy, �z). La formulación de las ecuaciones de compatibilidad cinemática constituye la única relación entre los movimientos de las piezas que forman la estructura.

En los últimos años, se han realizado modelos que tienen en cuenta la fricción basados en el continuo no lineal (Livesley (1978), Harvey (1988), Melbourne y Gilbert (1994) Hughes (1997), en estos modelos se tienen en cuenta las interacciones entre las piedras y por lo tanto son unos modelos muy completos (Baggio y Trovalusci(1993)) programaron un sistema, para obtener la carga última en estructuras de piedra y comprobaron que los resultados eran consistentes con la realidad. [31]

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Figura 2.7 Mecanismos de rotura y factor multiplicador de la carga P que produce dicha rotura, en estudio lineal (L) y no lineal (NL).

La principal ventaja de este método, lo mismo que en el desarrollado por superficies antifunicu-lares, es poder representar el fenómeno de agotamiento por colapso cinético, con pocos datos geométricos sin requerir datos mecánicos difíciles de conocer. Por otro lado, presenta la ventaja de que la carga final obtenida, no se ve condicionada por el nivel de tensiones existente.

Sin embargo, el método del bloque rígido resulta muy complicado y necesita datos que usual-mente no son fáciles de conseguir. Las características de los morteros o los tamaños de los blo-ques son complicados de obtener. Este método es muy útil para estructuras pequeñas o zonas de estructuras mayores en las cuales sea necesario un estudio muy preciso.

Figura 2.8 Mecanismo de rotura de un muro en “opus africanun” Carlo Baggio y Patricia Trovalusc, con distintos tipos de análisisi.

2.5 Modelos colgados

Este sistema, que consiste en colgar un elemento sin rigidez, como una tela o una cadena, para obtener una forma antifunicular, se ha utilizado de dos maneras distintas. En primer lugar para el diseño de nuevas estructuras antifuniculares y en segundo lugar para la determinación de super-ficies antifuniculares, que se puedan comparar con estructuras existentes y así determinar su funcionamiento y resistencia.

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Ya Hooke estableció la idea de la cadena colgante: “la forma de una cadena colgando, al ser in-vertida dará la forma de un arco rígido”, esta idea fue utilizada para el análisis de la rotura de la cúpula de San Pedro en Roma por Poleni, quien analizó la estabilidad de la cúpula colgando una cadena con los pesos proporcionales a los de la cúpula, frente a un dibujo a escala de la sección. [40]

Estos modelos físicos para determinar la seguridad de estructuras existentes resultan muy engo-rrosos, sobre todo en estructuras tridimensionales. Por otro lado, como en cualquier modelo físico, es necesaria una gran precisión y un conocimiento muy exacto de la estructura.

Para evitar los problemas derivados de los modelos físicos a escala se han desarrollado modelos virtuales, que hacen más manejable el problema de estructuras en 3-D.

Killian(2007), desarrolló un modelo virtual de superficies colgadas y estableció reglas para apli-car estos modelos partiendo de la geometría. Recientemente, el problema de encontrar una red contenida dentro de los límites de una bóveda, ha sido resuelto por Andreu (2007) implemen-tando una optimización .[4], [30]

Este sistema denominado Cadenary, permite obtener superficies antifuniculares, utilizando formulaciones que tienen en cuenta la aceleración y los movimientos por gravedad de los ele-mentos que componen la red, sin embargo, como en otros casos, es necesario decidir previa-mente la forma de la red para poder resolver el problema.

Figura 2.9 Modelos antifuniculares por Cadenary.

Estos modelos físicos han sido utilizados más habitualmente para el diseño que para la compro-bación de estructuras.

Heinrich Hübsch utilizó cadenas colgantes para diseñar casas en el siglo XIX. Gaudí utilizó mo-delos en tres dimensiones para la cripta de la colonia Güell, el modelo colgante de la cripta se realizó por un equipo entre los años 1898 y 1908.

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Figura 2.10 Maqueta antifunicular de cargas.

Obtener formas antifuniculares por medio de modelos colgados puede ser un proceso muy tedioso. En primer lugar se debe elegir la forma de la red de cuerdas a colgar, además el mínimo cambio en la arquitectura modifica toda la geometría del modelo. Por eso mismo los pesos de-ben de estar siendo corregidos en todo momento. La longitud de las cuerdas influirá en gran manera en los resultados obtenidos, el proceso entero exige un trabajo muy cuidadoso que debe ser realizado por especialistas, sin embargo estos modelos son buenas guías para el diseño de estructuras, permitiendo al ingeniero poder observar los cambios producidos, al variar la posición de las cargas y la geometría.

En este apartado, se hará una mención especial a Heinz Isler, dado que este ingeniero suizo ha sido el mayor constructor de laminas antifuniculares y sus métodos de obtención de formas por ensayos físicos debe ser estudiada con detenimiento, habiendo sido capaz de superar todos los problemas constructivos y los detalles necesarios para construir este tipo de estructuras.

En las siguientes páginas, se incorpora un documento en el que se explican su interés por las láminas y sus métodos para definir la geometría de estas.

2.6 Las Láminas de Heinz Isler

Heinz Isler fue un ingeniero suizo muy sensibilizado con la búsqueda de estructuras de hormigón de formas antifuniculares. Su primer contacto con la problemática de las láminas fue el proyecto de una lámina cilíndrica para cubrir una sala de conciertos, la dificultad de encontrar una forma para dicha lámina generó la inquietud que le llevó a desarrollar distintas formas de diseñar super-ficies antifuniculares.

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Figura 2.11 Encofrado con curvas arbitrarias para sala de concierto Kreuz Langenthal.

La primera técnica para el diseño de estructuras laminares ideada por Isler, tuvo por inspiración su propia almohada, a partir de su forma intuyó todas las posibilidades que pueden tener los elementos hinchables para el diseño de láminas de hormigón.

A partir de esa idea, el autor construyó una almohada hinchable altamente precisa. Para eso montó un comparador en una vigueta calibrada y tanteó la superficie con un sensor sin peso.

Figura 2.12 Medición de una membrana inflada.

Con este método experimental para encontrar la forma idónea, se abrió el camino a la “lámina burbuja, como la denomina Isler.

Figura 2.13 Lámina con forma natural.

Este método es valido para todos los bordes cerrados, sean éstos angulosos o redondos, bi/tridimensionales. También fueron realizadas algunas de estas otras formas, como por ejemplo, hexagonales para una gran sala de exposición de Mercedes en Sindelfingen, o una planta en for-ma de trébol para la residencia del arquitecto Balz en Stetten auf den Fildern cerca de Stuttgart.

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Figura 2.14 Lámina de la empresa Ehgartner, Viena.

El segundo método ideado por Isler para encontrar la forma de láminas antifuniculares fue des-arrollado a partir de una tela mojada. Una simple tela colgando fue la nueva solución al problema de la geometría de edificios antifuniculares. Observando una membrana colgante cargada por su peso propio, se puede encontrar un continuo tridimensional que sirve como forma de lámina.

Pronto surgió la idea de solidificar las formas con un líquido fraguante y así obtener de la manera más directa y más fácil un modelo de lámina, que entonces sólo debía ser girado para obtener la forma antifunicular.

Figura 2.15 Pabellón de hielo 1956, membrana colgante helada antes de darse la vuelta a ella.

Por último Isler, descubrió otra forma de desarrollar superficies validas para láminas, cuando participó en una presentación del plástico poliuretano, que era nuevo en aquel tiempo. El poliu-retano líquido que se vertió en un recipiente cuadrado, al espumar, brotó con una forma que de nuevo le llamo la atención Figura 2. 16. Se había formado un continuo tridimensional encima de una planta cuadrada, que cumple la exigencia de un cambio de curvatura constante y sin saltos.

Figura 2. 16 Forma de un proceso de espumar.

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Los métodos para el diseño de formas de cubiertas de Isler, dan una idea del gran potencial que tiene la experimentación física para la obtención de estructuras resistentes. Estos métodos son muy costosos y mantener la precisión es difícil. Por último sus métodos para encontrar la forma solo permitían el diseño y no el estudio de la seguridad de sus estructuras. [20]

2.7 Funciones de tensiones y momentos

Fraternali y Rocchetta [2002] y Fraternali [2003] propusieron un nuevo enfoque para bóvedas de fábrica con superficies aproximadas y lineales. El equilibrio esta relacionado con funciones dis-cretas de Airy, siendo este enfoque una aplicación en 3-D del método globalizado de tensiones. [16]

La función de Airy Ai(x), es una función especial, llamada así por el astrónomo británico George Biddell Airy. La función Ai(x) y la función relacionada Bi(x), son soluciones linealmente indepen-dientes de la ecuación diferencial ordinaria: [1]

0=−xyy´´ Donde y es una función desconocida de x e y(n) la enésima derivada de y.

Estas funciones, son solución de las ecuaciones de equilibrio, elasticidad y compatibilidad.

Este método busca la forma óptima para una estructura, utilizando a la vez diagramas de fuerza y funciones de tensiones de Airy. De esta forma, por medio de los diagramas de fuerza, sobre una malla de barras permite obtener superficies de forma intuitiva y utiliza las funciones de Airy para optimizar la superficie encontrada.

Como herramienta de evaluación para elementos de fábrica, obtiene formas de una manera ele-gante y permite un análisis muy preciso de tensiones. Sin embargo este método se diferencia con el de este documento, en que es necesario iterar y sus ecuaciones son complicadas lo que conlleva un mayor consumo de tiempo.

Figura 2.17 Evolución de un sistema basado en funciones de Airy.

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Una opción distinta, para determinar superficies antifuniculares, es utilizar la relación existente entre el momento resistido en una superficie plana con la superficie antifunicular. Este es el mismo principio que relaciona, el momento en una barra con el arco que es funicular para esas cargas.

Dado que por medio de los elementos finitos pueden ser obtenidos los momentos en una placa, estos pueden ser utilizados de la misma forma para obtener la superficie antifunicular. Este mé-todo no está todavía suficientemente desarrollado, aunque permitiría estudiar las formas antifu-niculares desde otra perspectiva también muy intuitiva.

En el capítulo 3.2, se comprueba la relación entre el momento y la forma antifunicular para una mejor comprensión.

2.8 Redes de líneas de compresión

Este sistema se basa en los mismos principios que las superficies formadas por líneas de presión que se enuncian en el capítulo 3. Fue propuesto originalmente por O´Dwyer, quién desarrolló métodos que formaban redes, en las cuales todas las líneas estaban comprimidas, de manera que fueran coherentes con las condiciones de contorno. El mayor problema de los sistemas de O´Dwyer fue el gran número de grados de libertad de estas estructuras. [37]

Figura 2.18 Distintas tipologías de redes de fuerzas.

En sus modelos, era necesario determinar en primer lugar las redes de líneas y la distribución de fuerzas, lo cual complicaba el sistema y obligaba al usuario a tener mucha experiencia e intuición para obtener soluciones consistentes.

Dentro de los métodos de redes de presión, debemos destacar el método de las redes de barras, que ha sido desarrollado por Philip Block, dentro del equipo de John A. Ochsendorf. Esta forma de trabajo es muy novedosa y permite obtener las superficies de presiones mas adecuada de una forma rápida. [6], [7]

Este método, se basa principalmente en la estática gráfica. Para ello se deberá establecer una red primaria horizontal, que será la proyección de la solución sobre el plano horizontal. Las cargas se aplicarán en los nudos de esta red. Seguidamente se establecerá una red secundaria, que repre-senta los polígonos de fuerzas de la solución, obligando al equilibrio de fuerzas en cada polígono. Esta solución ira multiplicada por unos factores que serán las variables de esta superficie.

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Figura 2.19 Superficies antifuniculares generadas por medio de distintas mallas, se muestran as redes primarias y secundarias en las que se

realiza el equilibrio de fuerzas.

El método de redes de barras, tiene como ventaja, que al ser principalmente gráfico, las solucio-nes obtenidas se pueden ver fácilmente. Por otro lado, gracias a su formulación, se han generado códigos de optimización que mejoran la obtención de la solución deseada.

Sin embargo, el principal problema que plantea este método, es la dificultad de desarrollar una red primaria que permita obtener los resultados deseados, cuando la estructura es complicada. Además de no estar desarrollado para trabajar con fuerzas horizontales como pueda ser el vien-to.

Por otra parte, este método permite análisis muy complicados. Un ejemplo puede ser la escalera de la figura, donde se compensan las reacciones en planta como si fuera un círculo cerrado y partiendo de ese esquema plano permite obtener la superficie antifunicular.

Figura 2.20 Modelo de escalera y conjunto de redes.

2. ESTADO DEL ARTE

19

2.9 Conclusiones

Durante estos años, y debido al avance en los sistemas informáticos, se ha producido un desa-rrollo de métodos para la obtención de superficies antifuniculares, la velocidad de los nuevos equipos permite resolver las difíciles ecuaciones de estos sistemas.

Sin embargo, todavía existe un gran trabajo por hacer para obtener métodos que permitan ana-lizar estructuras existentes, por medio de superficies antifuniculares. Los nuevos métodos, debe-rán ser precisos, teniendo en cuenta las dificultades del análisis de estructuras ya construidas.

Por otro lado, no se deben despreciar métodos como la técnica de rebanadas que produce bue-nos resultados sin necesitar un gran desarrollo computacional, ya que se basan únicamente en el análisis por líneas de presión.

Los métodos basados en soluciones de membrana, utilizan superficies matemáticas que se comportan únicamente a compresión, y permiten un acercamiento rápido y elegante al proble-ma, sin embargo, no son suficientes para estudios muy precisos.

Se ha podido observar, que existe una gran necesidad de métodos que no solo obtengan super-ficies antifuniculares, sino que lo hagan de una forma sencilla y que permitan predecir el com-portamiento de la estructura completa, así como sus distintos modos de fallo, para todos los tipos de carga existentes, siempre teniendo en cuenta las diferencias entre una estructura exis-tente con una proyectada.

En el diseño de superficies antifuniculares, se observa que los métodos existentes producen buenos resultados, siendo necesario determinar métodos que den suficiente libertad al diseña-dor y muestren todo el potencial de este tipo de estructuras.

Se ha prestado principal atención a los métodos de primer nivel y segundo nivel, dado que son los que resuelven la mayor parte de los casos con datos geométricos y pocos mecánicos (peso específico, y para métodos de 2º nivel capacidades resistentes, f ).

El método aquí desarrollado, presenta ventajas importantes sobre los métodos establecidos anteriormente. Al estar basado en la plasticidad, los datos necesarios para el estudio de la estruc-tura son pocos, únicamente su geometría y frente a otros sistemas basados también en superfi-cies antifuniculares, el expuesto aquí presenta la ventaja de ser un método intuitivo, en el cual no es necesario iterar, permitiendo además la obtención de estas superficies con fuerzas horizonta-les.

3. UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES ANTIFUNICULARES

20

CAPÍTULO 3

UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES AN-TIFUNICULARES

3.1 Introducción

En este capítulo se analiza un nuevo modelo para obtener superficies antifuniculares que corres-pondan a unas cargas predeterminadas: Dadas unas cargas y unas condiciones de contorno ob-tener aquel conjunto de superficies que resistan únicamente por compresión, sin sufrir flexiones ni tracciones.

En primer lugar, se establecerá un modelo que explique el funcionamiento físico del sistema, para posteriormente completarlo con el concepto de superficie de presiones. Los términos que desarrollen dicho concepto, se complementarán con los fundamentos de este modelo y permiti-rán el desarrollo del mismo.

La explicación del sistema se realizará por fases. En primer lugar, se formulará un modelo apoya-do en sus bordes, el cual evolucionará, para quedar apoyado solamente en sus esquinas. Por último se explicarán las modificaciones necesaria, que permitan contener fuerzas horizontales.

Estas superficies antifuniculares pueden tener diversas aplicaciones: Como el diseño de estructu-ras que se comporten principalmente a compresión, lo que resulta útil en el caso del hormigón debido a sus propiedades.

El buen funcionamiento de este tipo de estructuras, se puede comprobar en la gran cantidad de cubiertas antifuniculares construidas por el ingeniero Heinz Isler. Tal y como se indica en el capí-tulo 2, este ingeniero obtenía la geometría por medio de modelos con telas colgadas. El método que aquí se desarrolla permitirá la obtención de dichas superficies, evitando las complicaciones de un modelo reducido.

Figura 3.1 Gasolinera diseñada por Henry Isler.

Otra aplicación de este método y para la cual se ha centrado su desarrollo, es la comprobación de estructuras históricas de fábrica. Estas estructuras están integradas por materiales de difícil


20

caracterización debido a que pueden tener diversas procedencias, que pueden estar distribuidos en diferentes disposiciones y que han podido sufrir procesos completamente distintos a lo largo de su historia, estas incógnitas, complican en gran manera su modelado por elementos finitos.

Una característica importante de este tipo de estructuras, es su elevada resistencia a compresión, y su casi despreciable resistencia a tracción, lo que lleva a los teoremas de análisis límite y en concreto al teorema del límite inferior, que enuncia: Si la carga aplicada es de tal magnitud que es posible encontrar una distribución de tensiones tal que éstas se encuentren por debajo de la tensión de plastificación, satisfacen el equilibrio y las condiciones de contorno estáticas, esta carga no provocará el colapso de la estructura. Si es posible encontrar una línea de presiones que se encuentre en equilibrio bajo la acción de cagas exteriores, interior al espesor del arco, éste será estable.

Esta condición está enunciada para arcos, pero también será válida para superficies realizadas con fábrica. Si obtenemos una superficie de presiones, en equilibrio con las fuerzas actuantes en la estructura y esta superficie está contenida dentro de la fábrica, la estructura estará en equili-brio.

3.2 Modelo físico

Modelo por gomas elásticas

El proceso de obtención de superficies antifuniculares que se ha desarrollado y que más adelante se explicará, se basa en el comportamiento de un sistema de gomas elásticas como el siguiente:

Supónganse dos gomas elásticas, colocadas de forma ortogonal y suspendidas de un techo en puntos fijos. En el punto donde se cruzan ambas gomas se procederá a colgar un peso. Una vez colgado dicho peso y despreciando el peso propio, las dos gomas elásticas se deformarán man-teniéndose unidas en dicho punto.

Figura 3.2 Planta y alzado de gomas elásticas.

Analícese el sistema deformado: cada goma se ha alargado soportando una fracción del peso total, alcanzándose una geometría en equilibrio estático. El peso soportado está equilibrado por medio de la tensión de cada goma.

Al estar unidas las dos gomas en el punto del que pende el peso, el desplazamiento de ese punto es el mismo para las dos.


21

En este sistema, cada goma soporta el peso únicamente por medio de tracciones, ya que no es posible la existencia ni de compresiones, ni de flexiones. Si ahora, se realiza una simetría de la geometría obtenida respecto al plano del techo, esta nueva geometría soportaría el peso única-mente por medio de compresión.

Figura 3.3 Perspectiva de gomas deformadas

Este sistema que se ha definido, tiene distintas soluciones para soportar el mismo peso, depen-diendo de la tensión inicial de cada goma. Esta tensión inicial, se creará al alargar la goma para poder anclarla. Si se tienen dos sistemas como el descrito anteriormente, con tensiones de dis-tinto valor en cada goma, el sistema de mayor tensión se deformará menos. Al estar unidas en el mismo punto, su desplazamiento debería ser el mismo y para que esto ocurra, la fracción de peso equilibrada por cada goma, será distinta. Estas tensiones iniciales, serán los grados de liber-tad de cada sistema y variándolos, podremos obtener distintas geometrías antifuniculares para el mismo peso.

Se ha descrito un sistema formado por dos gomas que se cruzan. Ahora se pasará a un sistema más complejo. Supóngase que en vez de tener una goma en cada dirección, se tienen n gomas paralelas, que se cruzan con las m gomas de la dirección perpendicular, en n x m puntos. En estos n x m puntos de intersección, se coloca un peso, de la misma forma que se indicó anteriormente, de manera que sus desplazamientos sean los mismos. Al introducir el peso en cada uno de los puntos, el sistema se deformará y cada goma pasará a estar traccionada. Al aplicar la simetría correspondiente, se obtendrá una geometría, que estará formada por una cuadricula de gomas, que se cruzan en una superficie y que tal como se ha descrito anteriormente es antifunicular.

Obsérvese una de las gomas de este sistema: Está colgada por sus extremos y se cruza con n gomas en n puntos. De cada uno de estos puntos pende un peso: Dado que este peso es soste-nido por dos gomas, cada una sólo soportará una fracción de este. Esta goma, soportará las n fracciones de los n pesos colgados en ella, deformándose de manera que sus desplazamientos sean iguales a los de las gomas con las que se cruza.

Una vez realizada la simetría, cada goma funcionará como una línea de presión, es decir, tendrá una geometría, en la que solo existirán esfuerzos de compresión sin que haya tracción, ni fle-xión, para las fracciones de carga que debe soportar. A partir de este sistema se generará un mo-delo que permitirá obtener superficies de presión siguiendo las directrices indicadas.

Las superficies se formarán con dos o más familias de líneas de presión, correspondiendo cada familia, al conjunto de gomas en una misma dirección.


22

Estas líneas de presión, resistirán únicamente a compresión las fracciones de las cargas colocadas en la intersección con otras líneas y cada fracción de carga, será tal, que la deformada en cada punto coincida con la deformada de las líneas que se intersectan.

El sistema aquí definido, tiene grandes similitudes con el de una tela colgada, método que ya ha sido utilizado para el diseño de estructuras antifuniculares y que permite obtener una geometría antifunicular, de una forma rápida y muy intuitiva.

Existe sin embargo, una gran diferencia con el método que acabamos de comentar: En una tela colgada, todos los hilos que la forman tienen una misma longitud; En el sistema desarrollado, cada goma puede tener una longitud diferente, pudiendo de esta forma, controlar los diversos grados de libertad y obtener todas las superficies que son antifuniculares para unas cargas de-terminadas.

Modelo de línea antifunicular

Se comenzará estudiando el caso de una línea de empujes en equilibrio, con su correspondiente línea de cargas. Se buscarán las formas que resistan a compresión unas cargas predeterminadas. Las líneas de presión de este ejemplo, deberán funcionar como las gomas del modelo físico.

La superficie de presión de este modelo estará generada por líneas de presión, con característi-cas y formulaciones que más adelante explicaremos.

En la siguiente imagen se muestra una línea antifunicular y la respectiva línea de cargas para la cual es antifunicular.

Figura 3.4 Línea antifunicular.

En el siguiente dibujo, se observa un diferencial de arco en equilibrio, suponiéndose que las car-gas son siempre verticales y que conocemos la reacción horizontal del arco, Rx, que será cons-tante al ser nulas las cargas horizontales. Ny, es la componente vertical del axil en el arco:


24

Figura 3.5 Esfuerzos en un diferencial de línea.

Se hace equilibrio de momentos:

2

2dsxqdRdsN yxy ⋅+⋅=⋅ )(

Ny, es la componente vertical de la línea de presiones en ese punto y será igual a la suma de car-gas hasta el punto de estudio:

∫+=x

oyy dxxqRN )(

Siendo Ry, la reacción vertical en el punto 0.

Si suponemos:

dxds ≈ obtenemos la siguiente ecuación: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++⋅= ∫ 2

1 2dxxqdxxqR

Rdxdy x

oy

x

)()(

.

Si despreciamos el término: 2

2dxxq ⋅)(

por ser un infinitésimo de orden superior.

Integrando llegamos a: x

x

y

R

xdxxqR

y∫ ⋅−

= 0

)(

, y si volvemos a integrar:

x

y

R

xxqxR

y 2

2

⋅−⋅=

)(

El término 2

2xxqxR y ⋅−⋅ )(

es igual al momento que se produce en un punto de una viga apoya-da y por tanto la geometría de una línea antifunicular de unas cargas dadas será el momento que


25

producen esas cargas en una viga biapoyada dividido por la reacción horizontal en el punto de apoyo.

Esta ecuación permite obtener las formas antifuniculares para unas cargas dadas. Las líneas resul-tantes, serán las que formen la superficie buscada, y por tanto esas ecuaciones se cumplirán en todas las líneas del modelo.

En el sistema desarrollado, las cargas no podrán tener una disposición continua. Para que se pue-da implementar el modelo, será necesario suponer que las cargas son puntuales y están coloca-das en puntos determinados, para lo cual se deberán realizar los siguientes ajustes:

Para simplificar el ejemplo matemático, supóngase que las cargas son puntuales e igualmente separadas una distancia u. Si se busca la ordenada de la antifunicular, en cada punto de aplicación de la carga, recíprocamente obtendremos el momento que se produce en una viga biapoyada.

Al estudiar el momento que producen n cargas q1, q2,….qn, separadas una distancia u, en una viga de longitud u(n+1), obtendremos la geometría antifunicular para estas cargas.

Figura 3.6 Disposición de las cargas.

Se comenzará estudiando el momento, en el primer punto de aplicación de la carga, es decir para x=u:

uqnn

qnn

qnn

qnn

um ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

+−

++−

++

=1

13

12

211

11

)(

En el segundo punto de aplicación de la carga para x=2u:

uqnn

qnn

qnn

qnn

um ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

++−

++−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

11

312

211

111

)2(

Así se podrá construir una matriz, que al multiplicarla por el vector columna de las cargas dará un vector columna de los momentos, en cada punto de aplicación de la carga.

Llamando Q al vector de cargas y M al de la matriz con la que obtenemos el momento.


26

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−

−+−

+−

−+−

+−

−+

++−

+−

+−

+−

+

++−

+−

+−

+

++−

+−

+

=

11

13

12

12

11

11

1

11

12

11

11

12

1

11

12

11

11

1

11

12

11

1

nnn

nn

nn

nn

nn

nn

nnn

nnn

nnn

nnn

nn

nnn

nnn

nn

nn

uM

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

qnqqq

Q321

De esta forma la ordenada del antifunicular de unas cargas puntuales equidistantes será:

MQR

yx

1=

.

Por tanto, se puede deducir que la forma antifunicular dependerá de las cargas y de su disposi-ción, siendo inversamente proporcional a la reacción horizontal.


27

3.3 Fundamentos

Superficies de presión

En este trabajo se tratará del concepto de superficie de presión. Viniendo a describir una superfi-cie, que tiene las mismas propiedades de una línea de presión. Esta superficie trazará una geome-tría tal que para unas cargas dadas, éstas pueden ser soportadas únicamente a compresión.

Lo mismo que un arco soporta su propio peso y las cargas que gravitan sobre él, únicamente por compresión, estas superficies de presión presentarán para unas cargas dadas, la forma que debe-rá tener una estructura superficial, para la que únicamente existan compresiones.

Dichas superficies de presión tienen las mismas funciones que las de una línea de presión: Buscar una geometría, que permita soportar unas cargas a compresión, excluyendo la tracción y la flexión. De esta manera, se realizará una aproximación al comportamiento de materiales que sólo tienen capacidades resistentes a compresión, como son la fábrica y el hormigón.

Las superficies de presión podrán ser utilizadas para aquellas estructuras, en las que las líneas de presión no dan respuestas suficientes. Estas últimas, se utilizan para el análisis de estructuras lineales o con suficientes simetrías, estructuras como pueden ser arbotantes, arcos con cargas repartidas en todo su ancho o cúpulas con cargas concentradas en toda su superficie. Las super-ficies de presión, sin embargo, permitirán análisis en estructuras con un fuerte funcionamiento en tres dimensiones, como pueden ser puentes arco esviados, cúpulas con cargas puntuales, o bóvedas con distintos tipos de plantas y variedades de cargas, no necesariamente uniformes.

Tras hablar del tipo de materiales y del tipo de estructuras para las cuales son útiles las superfi-cies de presión, se puede pasar a analizar la utilidad de las mismas. Las superficies de presión se utilizan para análisis de nivel I, en los cuales se ponen en juego las ecuaciones de equilibrio, sin tener en cuenta las ecuaciones constitutivas y de compatibilidad. Este nivel de análisis, tiene gran aplicación en estructuras de fábrica, en las cuales no se pueden establecer los parámetros de los materiales. Por otro lado, las superficies de presión permiten determinar de una forma rápida y con pocos datos de los materiales, el funcionamiento real de una estructura, así como las zonas de la misma más próximas al fallo.

Los datos necesarios para analizar una estructura por medio de superficies de presión, se pueden sacar obtener tan solo de la geometría del edificio.

Por último, añadir que las superficies de presión tal y como las hemos definido, sirven para dise-ñar nuevas estructuras que soporten cargas únicamente a compresión. Al Igual que los arcos de hormigón, ahorran gran cantidad de material y por lo tanto reducen el peso propio, las superfi-cies de presión permiten definir láminas de hormigón, con el consiguiente ahorro de material y variedad en sus formas.

Una vez analizadas las líneas antifuniculares y definidas las superficies, se puede pasar al análisis de sus características. Estas superficies, para las cargas con las que son antifuniculares, estarán sometidas a compresión en todas las direcciones y por tanto se podrán dividir en conjuntos de franjas de planta recta, que también funcionarán totalmente a compresión; razón por la que se-rán líneas antifuniculares para un conjunto de cargas, o lo que es lo mismo, líneas de presión.

Éste es el fundamento del modelo, obtener una superficie antifunicular, por medio de líneas antifuniculares intersectándose de forma ordenada. De esta manera, los datos de partida única-mente serán las cargas y las tensiones en los bordes, y la solución será única.


28

En este modelo, al estar las superficies definidas por líneas, las cargas superficiales deberán ser introducidas en los puntos de intersección de las mismas.

Para poder evidenciar los mecanismos de una superficie antifunicular, son necesarias, al menos dos familias de líneas de presión. Se entiende como una familia de líneas, al conjunto de franjas de la superficie que en planta son paralelas, por lo tanto en una familia de líneas no hay intersec-ciones. Se hace necesaria la existencia de dos familias de líneas, cada una con una orientación distinta, para que las cargas puedan ser llevadas en cualquier dirección. En este modelo las fami-lias de líneas se llamarán X e Y.

Se debe aclarar que las familias de líneas de presión no tienen por qué ser ortogonales ni parale-las, como se verá únicamente es necesario que las líneas de presión se crucen en puntos.

A continuación, se va a demostrar el funcionamiento de una superficie de presión, formada por dos familias de líneas. Supongamos una porción cuadrada de la superficie antifunicular. Sobre esta porción actuarán la carga que tenga aplicada, así como las tensiones sobre sus bordes. Di-chas tensiones deberán ser de compresión, pero no necesariamente perpendiculares al borde, tal y como se observa en el dibujo.

Figura 3.7 Fuerzas en un diferencial de superficie antifunicular.

Cada línea, tan solo tiene fuerzas siguiendo su dirección. Por lo tanto, si las tensiones principales, de la superficie real, forman un ángulo respecto a la dirección de las líneas, esta inclinación debe-rá ser absorbida por dos líneas de direcciones distintas.

Esquemas del funcionamiento A continuación se van a describir de forma esquemática los principios del modelo. Se definirán las propiedades que deben tener las superficies antifuniculares, para de esta forma obtener las ecuaciones necesarias y posteriormente se enunciarán los datos y las incógnitas de las que se parte.

En la búsqueda de superficies antifuniculares utilizando líneas antifuniculares. Éstas deberán formar una superficie y sus puntos deberán ser únicos, es decir, si las líneas antifuniculares no estuvieran interrelacionadas las unas con las otras, resultará imposible obtener una superficie. Estas líneas antifuniculares deben cortarse. Partiendo de este principio se obtiene la primera ecuación, si dos líneas tienen puntos con las mismas coordenadas X,Y, su coordenada Z, también deberá ser igual.

Por otro lado, estas líneas al ser antifuniculares, deberán estar en equilibrio en compresión. Este principio gobernará la forma de la línea, dado que si se conocen las cargas sobre la línea y las


29

reacciones horizontales en los apoyos, sólo existe una geometría posible para que permanezca en equilibrio y en compresión. Las ecuaciones de cada línea necesarias para que permanezcan en compresión ya han sido comentadas anteriormente.

Las líneas deben cortarse y su geometría estará definida por las cargas que soporta cada línea. Por lo tanto, existirá una relación entre las cargas de cada línea y las cargas para las cuales desea-mos obtener la superficie antifunicular. Las cargas de la superficie, lógicamente, serán soportadas por las líneas sobre las que gravitan. En los puntos donde se cruzan dos líneas, la carga de la su-perficie se dividirá, repartiéndose a cada línea una fracción de la carga, y por tanto la carga de cada línea en el punto de cruce sumará la carga del total.

Una vez que se han establecido las relaciones que deben cumplirse entre las líneas antifunicula-res, así como las funciones para obtener la forma de dichas líneas, se va a realizar un modelo del análisis atendiendo a los datos de los que disponemos, a sus características y a las incógnitas que se desean resolver.

El dato de inicio y del cual se parte son las cargas, para las cuales la superficie es antifunicular, cargas que deberá resistir dicha superficie únicamente a compresión. Para unas cargas dadas existirán infinitas superficies posibles, cada una con distintas reacciones horizontales. Por esto los datos de partida para obtener una superficie antifunicular, serán las cargas y las reacciones horizontales en los extremos de cada una de las líneas. Variando estas reacciones horizontales, se podrá obtener todas las superficies que se comporten de la forma deseada frente a las cargas dadas.

Las incógnitas que se desean conocer son:

Por una parte la geometría de la superficie, es decir la ordenada para cada punto de la superficie, incógnita que coincide con la geometría de las líneas antifuniculares. Tal y como se ha comenta-do, dichas ordenadas deben coincidir cuando dos líneas se cruzan. De aquí se puede obtener una ecuación: Si se llama Zx a la ordenada de una línea en un punto de cruce y Zy a la ordenada de otra línea en el mismo punto de cruce se deberá cumplir Zx=Zy.

Por otro lado se tienen las incógnitas Z de cada línea, que deberán definir una geometría tal que dicha línea sólo tenga esfuerzos de compresión frente a las cargas que recibe. Así resulta otra ecuación, que relacionará la geometría de las líneas con las cargas y con las reacciones horizonta-les de cada línea.

Por último, también debemos relacionar las cargas de la superficie con las cargas de las líneas. Como ya se ha comentado, en cada punto de cruce las cargas de las líneas, sumarán la carga completa de la superficie en ese punto.

Así pues en un sistema tenemos de forma general 4 tipos de incógnitas:

-La geometría de las líneas en una dirección Zx.

-La geometría de las líneas en la dirección perpendicular a la anterior Zy.

-Las cargas que reciben cada tipo de líneas Qx y Qy.

Y cuatro ecuaciones:

-La geometría de cada línea debe ser antifunicular por tanto Zx será función de Qx y Rx.;Zy será función de Qy y Ry.

-En los puntos de cruce la geometría debe de ser la misma Zx= Zy.

-Las cargas en cada punto de cruce se deben repartir entre las líneas que se cruzan Q=Qx+Qy.

Con todas estas ecuaciones se puede obtener de forma lineal la geometría de la superficie y esta será única para los datos de cargas y de reacciones horizontales correspondiente.


30

3.4 Ejemplo explicativo

Para un mejor entendimiento del algoritmo, desarrollado para la obtención de superficies antifu-niculares, se desarrollará un ejemplo simple, enumerando todos los procesos para la obtención de estas superficies.

Este ejemplo se basará en obtener la superficie antifunicular para una carga P, la superficie estará formada únicamente por dos líneas de presión, si bien dos líneas de presión son muy escasas para definir una superficie, se ha optado por esta configuración para simplificar la explicación.

Las dos líneas se dispondrán de forma ortogonal, con la carga en el punto de intersección, a una de las líneas se denominará línea A y a la otra línea B, la línea A tiene una longitud de tres unida-des mientras que la línea B es de dos unidades.

Figura 3. 8 Planta de las líneas de presión.

En este caso, el objetivo será determinar la cota del punto de intersección, en la cuál las dos lí-neas trabajen únicamente a compresión, en una superficie de mayor tamaño se deberían deter-minar la cota de todos los puntos de intersección.

Las reacciones horizontales en cada línea, serán un parámetro dato y que al ser modificado darán todas las posibles soluciones del problema, de esta forma se denominará Rxa a la reacción hori-zontal de la línea A, y Rxb a la de línea B.

La carga P, deberá ser soportada por las dos líneas, soportando cada una de ellas una fracción de la carga. Se denominará Pa, a la carga soportada por la línea A y Pb a la carga soportada por la línea B, de esta forma.


31

ba PPP += Analicemos la línea A:

Por equilibrio se pueden obtener las reacciones:

32

1 ⋅= aAy PR 3

12 ⋅= aAy PR

Y por lo tanto para que exista equilibrio, únicamente con esfuerzos axiles, la dirección del seg-mento de la línea, deberá tener la misma dirección que la suma de las reacciones, y de esta forma se puede determinar la cota de la línea A en el punto de intersección, a esta cota se le denomina ha.

xa

a

a R

Ph 3

2⋅

=

Figura 3. 9 Línea de presión A.

Si ahora se analiza la línea B, de la misma forma se puede obtener las reacciones verticales:

21

1 ⋅= bBy PR 2

12 ⋅= bBy PR

Y por equilibrio, también se puede conocer la cota hb, en función de la reacción horizontal y la carga soportada:

xb

b

b R

Ph 2

1⋅

=

Figura 3. 10 Línea de presión B.


32

Para que las dos líneas puedan determinar una superficie deberán intersectarse, es decir:

ba hh = Que sustituyendo será:

xb

b

xa

a

R

P

R

P21

32

⋅=

⋅

Pa y Pb suman la carga P total:

( )

xb

a

xa

a

R

PP

R

P21

32

⋅−=

⋅

Despejando Pa:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅

⋅=

xbxa

xba

RRR

PP 2132

121

//

Y una vez despejado Pa, obtener ha es directo:

xa

xbxa

xba R

RRR

Ph 3

2

213212

1

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅

⋅=

//

De esta forma, se ha obtenido la superficie antifunicular para el caso de dos líneas, en el caso de más líneas se formará un sistema lineal de ecuaciones, en función de la geometría y las reaccio-nes horizontales.

Se analiza ahora el caso en el que existan fuerzas horizontales, en estos casos las líneas tan solo podrán soportar las fuerzas en su misma dirección, debiéndose descomponer estas en las dos direcciones de las líneas de presión.

Supóngase que se introduce una única fuerza horizontal en el punto de intersección y con la dirección de la línea A, es decir:

Figura 3. 11 Línea de presión A sometida a fuerza horizontal.


33

En este caso se conocerá directamente las reacciones horizontales, que serán en un extremo datos y en el otro extremo la suma de esta reacción con la fuerza vertical. Para obtener las reac-ciones verticales sabiendo que los segmentos se cruzan en el mismo punto tenemos:

)( xxa

ay

xa

aya FR

R

R

Rh

+==

221

Como las reacciones verticales deben de sumar la carga Pa que se lleva la línea de presión:

)( xxa

aya

xa

aya FR

RP

R

Rh

+

−==

211

Y desarrollando se obtendrá el valor de la cota en función de la carga Pa, la reacción y la fuerza vertical:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+

⋅+

=

)(

)(

xxa

xaxxa

aa

FRRFR

Ph

21

12

Y de esta forma igualando esta ecuación a la de la línea B, se puede obtener la superficie para este caso con fuerza horizontal.

Este método es directo, partiendo de unas cargas y unas reacciones horizontales se obtiene una superficie antifunicular sin necesidad de iterar.


34

3.5 Desarrollo del modelo

A continuación se muestra la formulación del modelo desarrollado. Se hará por partes amplian-do la eficacia del modelo sucesivamente. Tal y como se ha comentado se comenzará por una superficie apoyada en todos los bordes para pasar a una superficie apoyada en sus esquinas y por último a una superficie con fuerzas en todas las direcciones.

La búsqueda de la superficie antifunicular, se realizará dividiendo esta en familias de líneas de presión.

En todo momento, las superficies se apoyarán en el plano coordenado Z=0. Este plano de trabajo se dividirá en una cuadrícula, en la que la superficie a obtener se definirá por su coordenada Z en cada punto de la cuadrícula. La coordenada Z, se obtendrá por medio de las líneas de presión en dicho punto, estas líneas serán antifuniculares para la carga que soportan.

También estarán dispuestas de manera que formen una superficie única.

Por lo tanto el problema se puede resumir de la siguiente forma:

Dado un conjunto de cargas verticales, obtener las líneas antifuniculares que soportan estas car-gas y definen una superficie.

Cada línea, deberá soportar las cargas que gravitan sobre ella, y que serán a su vez, una fracción de las cargas de la superficie. Dado que las líneas se intersectan, llevando cada una, una fracción de la carga.

Superficie apoyada en toda la planta En primer lugar se resolverá el problema de determinar una superficie antifunicular de planta cuadrada y apoyada en todo su contorno. Para su determinación se tomaran dos familias de lí-neas de presión, perpendiculares y paralelas a los lados del cuadrado en planta, con n líneas y m líneas de presión cada una. Como ya se ha comentado no es necesario que la planta sea cuadrada ni que las líneas de presión sean perpendiculares, únicamente se toman estos supuestos por sencillez.

En la siguiente imagen (3.12) se muestra la planta del conjunto de líneas a la que se hace referen-cia, para este problema. En esta imagen se pueden ver los puntos de intersección, que son aque-llos donde cada recta en planta corta a otra recta.

Figura 3.12 Vista en planta de las líneas de presión en el modelo.


35

Se va a suponer también, que las cargas verticales para las que queremos determinar la superficie son puntuales y están aplicadas en los puntos de intersección.

En la siguiente imagen, se muestra la notación que se va a utilizar y los puntos de aplicación de las cargas.

Figura 3.13 Vista en planta de las cargas en el modelo.

En este caso la carga q11 se repartirá entre la línea X1 y la línea Y1. La fracción de carga vertical que recibe la línea X1 en el punto 11 se denomina qx11 y la de la línea Y1 qy11. Para que la tota-lidad de las cargas de la superficie sea transmitida a las líneas se deberá cumplir:

qx11+qy11=q11.

Tal como se ha demostrado antes las líneas cumplirán la siguiente función :

MQR

zx

1=

que garantizará que tan solo funciona a compresión. En este caso z representa el vector de alturas de la línea en cada punto de intersección.

A continuación se definen los vectores y matrices que serán necesarios en el modelo así como su forma de utilización.

Se utilizarán vectores y matrices para representar un mismo elemento, esto se debe únicamente a la búsqueda de una formulación matemática sencilla. Cada elemento de la matriz será igual a un elemento de un vector manteniéndose el orden.

En los vectores los términos se ordenarán de arriba abajo y de izquierda a derecha.

Definición de vectores:

Se debe aclarar que la notación vectorial se utiliza para simplificar le algoritmo de cálculo en algunas operaciones matemáticas teniendo el mismo significado que las matrices.

-.Q: vector de las cargas de la superficie antifunicular que se desean encontrar. Será un dato y tendrá la siguiente forma:


36

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

qmnqnq

qq

Q2111211

expresando de forma ordenada las cargas verticales en cada punto de intersección.

-.Qx y Qy: vectores de las cargas que reciben las líneas de la familia X y las de la familia Y respec-tivamente.

Se debe cumplir Q=Qx+Qy. Estos vectores son incógnitas.

-.Z: Vector de cotas. Este vector expresa la cota en cada punto de intersección de líneas, presenta la siguiente forma:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zmnznz

zz

Z2111211

.

Asimismo existirán los vectores Zx y Zy que representan las cotas en las líneas de la familia X y en las de la familia Y respectivamente. Se cumplirá que Zx=Zy=Z.

Obtención del vector de cotas:

Para obtener el vector Z de cada familia de líneas, se partirá de la fórmula:

MQR

zx

1=

.

Rx se definirá para cada línea, existiendo Rx1 para la línea 1 de la familia x, Rx2 para la línea 2 de la familia x y así sucesivamente.

Para obtener las cotas del momento, se deberá utilizar una matriz M ampliada, partiendo de la matriz M del apartado anterior y que será distinta para la familia x y para la familia y. Tendremos Max y May, respectivamente.

Las características de estas matrices son:

-.Max.

Esta matriz cumple que : xxx QMaZ =

Y tiene la siguiente forma:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⋅

⋅

=

MR

MR

MR

Max

xm

x

x

100

010

001

2

1

Tendrá nxm filas y nxm columnas, siendo n el número líneas de una familia.


37

El termino M representa la matriz de obtención del momento definida anteriormente, Rxm representa la reacción horizontal de cada línea y multiplica a cada término de la matriz M.

-.May.

Esta matriz cumple que : yyy QMaZ =.

Y tiene la siguiente forma:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

TnnTTnTTTnTTT

May2313

2221211211

Siendo cada término:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

MabR

MabR

MabR

Tab

yn

y

y

100

010

001

2

1

Mab es el término ab de la matriz M; por ejemplo : 111

+=mm

M y Ry1, (donde R y 1 es la reac-

ción horizontal de la línea 1 de la familia y).


38

3.6 Ecuaciones del método

Como ya se ha indicado, se busca la definición de la superficie por medio de las alturas en cada punto de intersección de las líneas. Como dato, tenemos las cargas de esta superficie, y debere-mos encontrar que carga soporta cada línea.

En primer lugar, para que las líneas definan una superficie, las alturas en los puntos de intersec-ción deben de ser iguales.

Z=Zx=Zy.

Las líneas deben funcionar solamente a compresión, por lo tanto según las ecuaciones anterio-res:

yyxx

yyy

xxx

QMaQMa

QMaZ

QMaZ

=

=

=

La suma de las cargas que soportan cada línea, debe dar la carga total.

)( xyxx

yx

QQMaQMa

QQQ

−=

=+

Operando:

QMaMaMaQ

QMaQxMaMa

QMaQMaQMa

yyxx

yyx

yxyxx

⋅+=

=+

=+

−1)(

( )

En estas operaciones los vectores, tanto de cargas como de cotas, tienen nxm elementos, siendo n el numero de líneas de una familia y m el número de la otra familia. Las matrices son cuadradas de lado nxm de esta forma se mantiene la lógica en las sumas y multiplicaciones.

Por tanto se puede obtener el conjunto de cargas que recibe la familia de líneas de presión x, conociendo el conjunto de cargas verticales de la superficie.

La obtención de las cotas de la superficie es directa a partir de:

xxx QMaZ = De esta forma se ha conseguido un método, gracias al cual, dadas unas cargas verticales se obtie-ne la forma de la superficie antifunicular, suponiendo que dicha superficie está apoyada en todos sus bordes.

Se puede hacer variar la precisión del método aumentando el número de líneas, pudiéndose hacer tanto en una dirección como en otra.

Para determinar las diferentes superficies antifuniculares correspondientes a unas cargas dadas, se debe variar las reacciones horizontales.

De esta forma, se pueden obtener superficies tan distintas como las que se muestran a continua-ción, para su obtención se ha desarrollado un programa en el sistema MATLAB que con las ecuaciones anteriormente planteadas obtiene geometrías antifuniculares y permite su análisis.

Además como se verá en le capítulo 5 este programa se ha desarrollado para poder obtener las fuerzas axiles en cada barra y posteriormente analizar las tensiones de la estructura.


39

Figura 3.14 Superficie antifunicular con carga uniforme.

Figura 3.15 Superficie antifunicular con carga puntual centrada.

Figura 3.16 Superficie antifunicular con reacciones horizontales en una dirección mayor que en otra.

Figura 3.17 Superficie antifunicular y planta de reacciones horizontales de la superficie, en este caso las reacciones horizontales se concen-

tran en los bordes.


40

Figura 3.18 Superficie antifunicular y planta de reacciones horizontales de la superficie, en este caso las reacciones horizontales se concen-tran en el centro.

Modelo apoyado únicamente en las esquinas El método que se ha analizado hasta ahora, venía suponiendo que la superficie apoyaba en todos sus bordes; ahora se estudiarán las modificaciones necesarias para obtener una superficie anti-funicular apoyada únicamente en sus esquinas, que nos permitirá estudiar estructuras como las bóvedas de crucería.

Los conceptos que se van utilizar serán los mismos que en el apartado anterior, con la única dife-rencia, de que ahora se va a suponer que las familias de líneas, en vez de apoyar en la cota 0, apo-yarán sobre otras líneas de presión, siendo éstas últimas las que apoyan en la cota 0, a estas líneas se les llamará líneas de presión de borde.

Estas nuevas líneas, recibirán como cargas las propias de la superficie y las reacciones verticales de aquellas que apoyan sobre ellas, además deberán cumplir relaciones de antifunicularidad.

Este modelo se basará también en dos o más familias de líneas de presión.

Se comienza analizando las líneas de presión de borde, es decir las que delimitan el contorno.

Recibirán cargas de la superficie y de los apoyos de las otras familias de líneas, que nacen de ellas, manteniendo su forma antifunicular.

Para obtener las reacciones verticales de las líneas, que serán las cargas de las líneas de borde, en cada apoyo, haremos equilibrio de momentos, como si se tratara de una viga biapoyada.


41

Figura 3.19 Disposición de las cargas.

Reacción en el apoyo izquierdo:

qnn

qnn

qnn

qnn

Ri1

13122

111

1 ++

+−

++−

++

=

Se buscará unas matrices de reacciones Rx y Ry para cada familia de líneas. Estas matrices pre-sentarán la siguiente forma:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

xndxni

dxix

dxix

dxix

x

RRRRRRRR

R33

22

11

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ymddydydy

ymiiyiyiyy RRRR

RRRRR

321

321

Siendo Rx1i la reacción de la primera línea de la familia x en el apoyo izquierdo, Rx1d la reacción de la primera línea de la familia X en el apoyo derecho. Y así sucesivamente.

Para simplificar, se calcularán las reacciones a partir de la matriz de cargas Q, que será igual al vector de cargas y tendrá la siguiente forma:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

qnmmqmqmqqnqqqqnqqqqnqqq

Q

321333231323222121312111

Los términos de esta matriz, se hacen coincidir exactamente con los del vector de cargas. Se podrá pues, aplicar este proceso para las matrices de cargas Qx y Qy, convirtiéndolas en los vec-tores Qx y Qy con la misma forma que Q.

A partir de ahí se definirán las matrices Lx y Ly como:

yy

xx

QLRy

LQRx

⋅=

⋅=

Que tendrán la siguiente forma, tal y como se puede deducir de la ecuación anterior.


42

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

+−

+−

+−

+−

++

=

111

11

12

12

11

11

1

nn

n

nn

nn

nn

nn

nnn

Lx

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−

+−

+

++−

+−

+=

111

12

11

11

12

11

1

mm

mm

mm

m

mmm

mm

mm

Ly

Llamando Qb a las cargas de la superficie que soportan cada línea de borde, la altura de cada una, tal y como se ha calculado hasta ahora, será:

))(( QbLQMR

z xx

+⋅=1

,

Pudiéndose definir la matriz con la geometría de las líneas de borde, de la familia x y la familia y, Zbx y Zby como:

))((

))((

QbQLMR

Z

QbLQMRx

Z

yyy

by

xxbx

+⋅=

+⋅=

1

1

Una vez conocidas las alturas de las líneas de borde, se deberá saber cómo afectan éstas a las alturas de las líneas internas.

Figura 3.20 Alzado de una línea de presión apoyada a distintas alturas.

Tal y como se observa en la figura, las líneas apoyarán sobre sus líneas de borde, siendo por tanto necesario modificar su altura, por medio de una cota de corrección, zc, que representa cómo se eleva la línea al apoyarse en sus líneas de borde, en vez de apoyarse en el plano de cota 0.

Estas nuevas alturas de corrección, se obtendrán multiplicando las alturas de las líneas de borde por la matriz H, que da para cada punto de intersección, la altura de la recta que une las dos lí-neas de borde.


42

Figura 3.21 Reacciones en viga biapoyada inclinada.

Éstas matrices serán:

11

1

1

2

1

11

1

1

2

1

1

1

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

Hx

11

11

1

1

21

2

1

11

1

1

m

m

m

m

m

m

mm

m

m

mmm

m

H y

))((

))((

QbQRLMRy

HZ

QbLQRMR

HZ

yyycy

xxx

xcx

1

1

Al inclinar las líneas, la forma seguirá siendo válida, no siendo así las reacciones que soportan las líneas de borde. Estas reacciones variarán de la siguiente forma:

xid R

d

zzR

Siendo zd y zi las cotas de los apoyos, d la longitud en planta de la línea y Rx, la reacción horizon-tal. Para incluir esta variación de reacciones es necesario un proceso iterativo, dado que zd y zi, dependen de si mismas.

Debido a que en las estructuras a analizar las diferencias de cotas entre líneas de borde son pe-queñas, respecto a la longitud y que las reacciones horizontales son pequeñas, respecto a las reacciones verticales en los apoyos, en la mayor parte de los casos estos efectos podrán ser des-preciados.

De esta forma, se definen dos vectores Zcx y Zcy, provenientes de las matrices Zcx y Zcy con la misma estructura que el vector Z, de forma que la altura real, será representada por otro vector Zr que cumplirá:

cyyr

xcxr

ZZZ

ZZZ

Una vez definidas las alturas de las líneas en cada punto, se enunciará la ecuación que establece que en los puntos de corte la altura es igual:


44

cyycxxr ZZZZZ +=+=

Que sustituyendo por sus ecuaciones y cumpliendo la antifunicularidad queda:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅+ ))(())(( QbQLM

RHQMQbLQM

RHQM yy

yyyayxx

xxxax

11

Dado que las cargas de cada familia, deben de sumar el total de las cargas de la superficie:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⋅+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅+

+=

+=

))((()())(( QbQQLMR

HQQMQbLQMR

HQM

QQQ

QQQ

xyy

yxayxxx

xxax

yx

yx

11

Despejando Qx:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

)())((()(

))((()()((

QbMR

HQbQLMR

HQM

QLMR

HQMLQMR

HQM

xxy

yyay

xyy

yxayxxx

xxax

11

11

Los vectores Q y Qx y las matrices Q y Qx, tienen los mismos términos, por lo tanto se podrán expresar directamente todas las matrices de carga como vectores y despejar Qx.

Así se obtienen superficies antifuniculares, para cualquier tipo de carga y con apoyos únicamente en sus esquinas.

Con este mismo modelo se puede obtener superficies apoyadas en sus 4 bordes, estableciendo que la altura en sus bordes siempre sea 0.

Así mismo si se desea una forma en la que dos lados opuestos estén apoyados, (como por ejem-plo para simular una bóveda de cañón), se deberá establecer en esas dos líneas de borde estén a altura 0.

Se muestran a continuación ejemplos de superficies obtenidas con este método y con carga uniforme e igual a 1.

Figura 3.22 Superficies antifunicular apoyada en las esquinas con carga uniforme y reacciones horizontales que producen dicha superficie.


45

Figura 3.23Superficie antifunicular apoyada en las esquinas con carga uniforme reacciones horizontales que producen dicha superficie, en

este caso uniformes.

Figura 3.24 Superficie antifunicular apoyada en las esquinas con reacciones horizontales distintas en cada dirección.

Figura 3.25Superficie antifunicular apoyada en las esquinas con carga puntual en el centro.

Figura 3.26 Superficie antifunicular apoyada en dos de sus bordes.

Figura 3.27Superficis antifunicular apoyada en dos de sus bordes con reacción horizontal mayor en el centro.

Modelo con fuerzas en todas las direcciones En los casos anteriores, se ha desarrollado un modelo en el que no se tiene en cuenta la posibili-dad de que existan fuerzas no gravitatorias. La superficie obtenida es únicamente antifunicular para fuerzas en la dirección Z.

Sin embargo, existen muchas situaciones en las cuales puede ser interesante, obtener superficies antifuniculares teniendo en cuenta fuerzas en otra dirección. Por ejemplo, en muchas estructuras


45

será necesario tener en cuenta el empuje de tierras, para poder comprobar su estabilidad. Estos empujes, incluyen una componente horizontal que habrá que tener en cuenta en la obtención de la superficie antifunicular. El caso de los arbotantes, en las catedrales góticas, es otro modelo en el que será necesario tener en cuenta los esfuerzos horizontales.

En el diseño de estructuras, también es interesante tener en cuenta fuerzas en otras direcciones. Puede ser el caso, de estructuras con pretensado o con otros elementos apoyados sobre la mis-ma.

Este modelo, se basará en los principios que hemos enunciado anteriormente, la superficie se generará por medio de líneas de presión, pero en este caso, las líneas de presión deberán ser antifuniculares para fuerzas en otras direcciones. Cada línea de presión solo soportará fuerzas horizontales en su misma dirección.

Las fuerzas exteriores con dirección X, serán soportadas por la familia de líneas de presión de dirección X, y las de dirección Y, por la familia de líneas de dirección Y. Por lo tanto las cargas horizontales para las que se obtendrá la superficie antifunicular, serán soportadas por la familia correspondiente y las de dirección vertical, por las dos familias.

Por otro lado, las líneas permanecerán apoyadas en las líneas de borde, manteniéndose en vigor todo lo comentado en el modelo apoyado, analizado en el apartado anterior.

En resumen, se obtendrá la línea de presión antifunicular para unas cargas verticales y unas car-gas con la misma dirección que la línea.

Línea de presión con fuerzas en su dirección Ahora, se analizará la línea de presión en el caso de que existan fuerzas con la misma dirección que la línea. Para ello, se buscará la línea de presión para unas cargas verticales y unas cargas hori-zontales, en la cual sus dos arranques permanecen en la misma cota, tal y como se muestra en la siguiente figura, las cargas se encontrarán situadas en los puntos de intersección.

Para poder obtener la forma de esta línea de presión, se deberán conocer las reacciones vertica-les en los apoyos. Estas incógnitas se obtendrán definiendo las cotas de cada uno de los apoyos, Si por ejemplo se establece en la ecuación que la diferencia de cotas entre apoyos sea 0.

ZapoyoBZapoyoA

Figura 3.28 Línea antifunicular con fuerzas horizontales.


47

Si se establece que la cota del apoyo sea la 0, el apoyo B también estará en la cota 0.

La cota en cada punto será la altura del punto anterior, más la dirección de la resultante de los esfuerzos por la separación horizontal.

uFuerzaXFuerzaZ

ZiZi ⋅+=+1

Denominando Fuerza Z, a la suma de las fuerzas verticales desde el apoyo A hasta el punto i y análogamente Fuerza X, a la suma de fuerzas en la dirección de la línea de presión.

Esto se puede entender como equilibrio de momentos:

( ) uFuerzaZZiZiFuerzaX ⋅=−+⋅ 1 La fuerza horizontal por la diferencia de cotas, debe de ser igual a la fuerza vertical por la distan-cia.

Por lo tanto la cota Z del apoyo B en una línea de presión con n puntos intermedios será:

).....()....(

......)()(

)()(

nxxx

znzzza

xx

zzza

x

zzaza

FFFHFFFR

FFHFFR

FHFR

HR

Zb++++−−−−

++++−−

++−

+=21

21

21

21

1

1

Siendo Rza la reacción vertical en el apoyo A y H la reacción horizontal en la dirección de la línea en el mismo apoyo.

Si en esta ecuación se despeja Rza, dado que Zb=0 tenemos:

nxxxxxx

xnxx

znzz

xx

zz

x

z

za

FFFHFFHFHH

FFFHFFF

FFHFF

FHF

R

++++

+++

++

+++++++

+++++

++

+=

21211

21

21

21

21

1

1

1111..

.....

Una vez despejada Rza se puede establecer en función de las fuerzas verticales:

xnxxxxx

xxxzn

xnxxxxz

xnxxxxxz

za

FFFHFFHFHH

nFFFHF

FFFHFFHF

FFFHFFHFHF

R

++++

+++

++

+++⋅++

++++

++⋅+

++++

+++

++

⋅

=

21211

2121212

212111

1111

111

111

)(.....)(

)(

De esta forma se puede determinar Rza según los datos iniciales. De igual manera, se puede de-finir las coordenadas Z de cualquier punto en relación a los datos iniciales:

121

1

21

2

1

1

21211

121

121

21

21

1

1

1111

−

−

−

−

++++−

−−++

−+

−+++

+++

++

+⋅=

++++−−−−

++++−−

++−

+=

xnxx

zn

xx

z

x

z

xxxxxza

xnxx

znzzza

xx

zzza

x

zzaza

FFFHF

FFHF

FHF

FxnFFHFFHFHHRZn

FFFHFFFR

FFHFFR

FHFR

HR

Zn

....

....)(

).....()....(

......)()(

)()(

Siendo Zn la cota del punto n.

Pudiendo cambiar la matriz Max, que quedará de la siguiente forma:


48

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΓΓ

Γ=

nMax

00020001

Donde G1, representa una matriz en la cual cada fila proporciona la cota de un punto de la línea de presión 1 y cada columna es el factor que multiplica la carga vertical. Este tiene la siguiente forma:

∑∑

∑∑

−=

=

=

−=

=

=

+−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++⋅

1

1

1

1

1

111 zi

Qii

jxj

ni

ii

jxj FHFH

HRza

La matriz May tendrá los mismos elementos, manteniendo la forma explicada anteriormente.

Del mismo modo las matrices Lx y Ly deben variar, de forma que las cargas que reciban los bor-des, sean las de las reacciones sobre los soportes en este nuevo caso.

Así las matrices tendrán los términos que antes hemos despejado de Rza y análogamente de Rzb.

Figura 3.29 Superficie antifunicular apoyada en dos de sus bordes con fuerza horizontal y alzado representando dicha fuerza.

.

Figura 3.30Superficie antifunicular apoyada en las esquinas con carga puntual horizontal en el punto señalado.


49

Figura 3.31 Superficie antifunicular apoyada en las esquinas con fuerza horizontal en el punto señalado.

Figura 3.32Superficie antifunicular apoyada entonos sus bordes con fuerza puntual horizontal.

Figura 3.33 Superficie antifunicular apoyada en las esquinas con fuerza horizontal en una dirección.

Figura 3.34Superficie antifunicular apoyada en dos de sus bordes con fuerza puntual.

3.7 Distintas condiciones de apoyos

En el modelo que se ha descrito en los apartados anteriores se parte siempre de una planta rec-tangular, ésta se ha seleccionado debido a que sirve para modelizar gran cantidad de estructuras góticas y el algoritmo es el mas sencillo, sin embargo las ecuaciones enunciadas permiten obte-ner superficies antifuniculares con cualquier planta.

Apoyos intermedios Si se desea diseñar una superficie que disponga de un apoyo intermedio, tan sólo se deberá in-troducir una carga de valor igual al de la reacción en dicho apoyo y sentido contrario.

Para obtener el valor de dicha reacción se pueden definir dos líneas de presión consecutivas o realizarán iteraciones. Si se realizan iteraciones se iniciará el modelo con una carga negativa, de valor cualquiera en el punto en el cual se desea apoyar, obteniendo una altura para dicho punto. Teniendo en cuenta el valor de la altura aumentaremos o disminuiremos la carga según se bus-


50

que reducir o aumentar dicha altura. Repitiendo este proceso hasta que la altura en dicho punto sea 0, entonces el valor de la carga vertical será el de la reacción en el apoyo.

En la siguiente figura, se muestra una superficie obtenida con este método y con apoyo en su punto central:

Figura 3. 35 Superficie con apoyo central

Plantas especiales Si se pretende que la superficie sirva para estructuras de planta distinta a la cuadrada, se seguirá un planteamiento igual al caso del apoyo intermedio. Se generarán apoyos, es decir puntos don-de la cota es cero, de forma que estos simulen la planta a estudiar.

Para el cálculo de estos puntos se iterará buscando la reacción en cada uno.

En la siguiente figura, se muestra el octógono utilizado para simular la planta circular de una cú-pula. Para obtener esta figura, se necesita que las cuatro líneas de borde tengan cota cero, e in-cluir como nuevos apoyos, los puntos señalados por un círculo en la figura.

Figura 3. 36 Planta con la cuadrícula de líneas de presión inscrita en una circunferencia.


51

De este modo se obtendrán superficies de planta circular como la siguiente:

Figura 3. 37 Superficie antifunicular de planta circular.

Este mismo método, es válido para obtener superficies de puentes arco esviados. En la próxima figura (3.38) se muestra una superficie de presión de un puente arco esviado, sometido al peso propio más una carga puntual de 10 toneladas en el punto medio de su clave.

Figura 3. 38 Superficie antifunicular de planta esviada.

La calidad de las superficies obtenidas dependerá esencialmente de la densidad del líneas, siendo necesario realizar superficies con suficiente densidad de líneas, para simular adecuadamente la planta.


52

3.8 Comprobación del modelo Introducción Una vez desarrollado el modelo, se deberá comprobar su correcto funcionamiento. Consideran-do que el programa desarrollado trabaja de una forma adecuada, si las superficies que genera, al ser solicitadas por las cargas para la cual han sido obtenidas, solamente sufren esfuerzos de compresión, no existiendo ni tracción ni momentos flectores.

Para poder analizar las soluciones del sistema se utilizarán, dos programas: (VLASTA y ANSYS).

Por un lado el programa VLASTA, desarrollado en Fhecor Ingenieros Consultores como resulta-do de la tesis de José Luis Martinez Martinez, que determina las líneas de presión para cargas dadas; de esta forma se podrá comparar los resultados con un programa de funcionamiento similar al desarrollado.

Adicionalmente se analizarán varios modelos, con el programa de elementos finitos ANSYS. Con este programa utilizando una superficie generada por el método de superficies antifuniculares determinaremos los esfuerzos y su comportamiento, en el caso de que nuestra superficie fuera una estructura real.

Análisis con programa VLASTA El programa VLASTA, está diseñado para determinar la seguridad y el funcionamiento de estruc-turas y elementos bidimensionales de fábrica. Es un programa muy completo, que permite anali-zar si la línea de presiones está incluida dentro de la geometría de la fábrica, e incluso comprobar la resistencia de las secciones, introduciendo como datos las características de la fábrica.

Los datos de la geometría, se introducen en el programa punto a punto, o como arcos de circun-ferencia o de elipse, lo que simplifica considerablemente el proceso. Para la determinación de la línea de presiones, toma como datos las cargas provenientes del peso propio de la plementería y del relleno, y las sobrecargas que se introduzcan. Se debe introducir de la misma manera la reac-ción horizontal y la elevación del punto inicial, para obtener la línea de presiones, variando estos valores se busca la línea de presiones que mejor queda dentro de los paramentos de la plemen-tería.

Por lo tanto la forma de introducción de cargas es idéntica a la del modelo. Las mayores diferen-cias con él sistema residen en que el programa VLASTA solo obtiene líneas de presiones y no superficies. Por otro lado esta simplificación, permite dividir la línea de presiones en más ele-mentos, sin penalizar el tiempo de cálculo.

Para comparar el funcionamiento de los dos programas, se analizará una misma estructura, apli-cando las mismas cargas y comparando las soluciones obtenidas. Si el sistema de superficies funciona correctamente, las soluciones deberían ser idénticas, con la única diferencia de que una solución sería en dos dimensiones y la nuestra en tres dimensiones.

La estructura a analizar será un puente arco de 8,50 m de luz con una flecha de 1,2 m, el espesor de la plementería será constante e igual a 0,70 m. en clave el relleno tendrá un espesor de 0,40 m.

El peso específico de los materiales será: plementería 23 kN/m3, relleno 18 kN/m3.


53

Estos datos son los que se toman de partida en el programa VLASTA. En este punto se comienza a iterar para obtener una línea de presiones que permanezca entre el intradós y el extradós del puente.

La solución obtenida es la siguiente:

Figura 3. 39 Línea de presiones generada por el programa VLASTA.

Tal y como se observa en la imagen, para obtener esta solución, se ha partido de los siguientes datos:

Elevación de la línea de presión : 0,3 Reacción horizontal: 1800 kN Reacción Vertical: 504 kN Fuerza vertical en extremo: 673 kN Ancho de la estructura: 6 m.

Estos datos serán los mismos que se introducirán en el modelo de superficies, realizando las conversiones necesarias debidas al ancho.

Se decide generar una superficie de 36 + 36 Líneas de presión, para minimizar en lo posible los efectos de diferentes discretizaciónes, con los valores anteriores obtenemos la siguiente superfi-cie:

Figura 3. 40 Superficie de presiones obtenida.


54

Resultando una superficie con simetría en una dirección, de esta manera será comparable a la obtenida por el programa VLASTA.

En el modelo también se puede obtener una comparación de la superficie de presiones con el intradós y el extradós de la estructura a estudiar. Como se puede observar con el sistema, la superficie obtenida también queda dentro de la plementería.

Figura 3. 41 Secciones de la superficie.

Por último se compara las dos soluciones obtenidas, superponiendo la línea de presiones del programa VLASTA con la sección central de nuestra superficie de presiones.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 2 4 6 8 10 12 14

Figura 3. 42 Comparativa de resultados.

Como se puede observar en la gráfica las dos líneas son muy parecidas, existiendo únicamente diferencias en los puntos de aplicación de la carga vertical. Esto es debido a que al tener los dos programas distintas discretizaciones, el punto de aplicación de la carga no es exactamente el mismo y por lo tanto cambia ligeramente la forma de la línea de presiones.

En cualquier caso, se puede señalar que los resultados son correctos y que el sistema funcionan-do en dos dimensiones, obtiene soluciones correctas.


55

Análisis por medio de elementos finitos. Una vez comprobado el funcionamiento del modelo en dos dimensiones, se pasará a estudiarlo en tres dimensiones. Realizando superficies antifuniculares con el método desarrollado y con la geometría obtenida se generarán modelos de elementos finitos.

Estos modelos, se someterán a las mismas cargas para las cuales fue obtenida la superficie y los esfuerzos producidos deberán ser únicamente de compresión.

Para evitar en lo posible efectos de distorsión por falta de precisión en la geometría, la malla original a utilizar será de 36 + 36 líneas de presión, y será una superficie de planta cuadrada y 4 apoyos.

La primera superficie, se obtendrá para una carga vertical uniforme en la superficie de 1 kN/m2; como reacciones horizontales se disponen reacciones de 100 kN en las líneas exteriores y 1 kN en el resto de líneas de presión.

De esta forma, en la superficie obtenida, las cargas pasarán a las líneas de presión de los bordes y de allí a los apoyos, en la imagen (3.43) se muestra la superficie obtenida.

Figura 3. 43 Superficie de presiones para carga uniforme.

Esta geometría, será comprobada con dos modelos de elementos finitos distintos; en primer lugar se analizará la superficie con elementos tipo barra. Denominado BEAM188 es un elemento tridimensional, que soporta momentos flectores, compresiones y tracciones. La sección de este elemento tipo barra se introduce como rectangular de 1 metro de ancho por 30 cm. de canto.


56

Figura 3. 44 Vista general del modelo de ANSYS con elementos barra.

Una vez introducida la geometría de la superficie, colocando los elementos siguiendo la malla original, se pasa a introducir las cargas, éstas deben de ser las mismas que las utilizadas para ge-nerar el modelo. En este caso se introducen los apoyos como fijos, esto generará momentos, dado que al variar la geometría, la superficie inicial variará.

En la siguiente imagen, se muestra la deformada de la estructura, como se ve, en la zona de los apoyos, la estructura sufre un giro y por lo tanto existirán momentos, esto es debido a que al estructura esta apoyada rígidamente.

Figura 3. 45 Desplazamientos generados al someterse a carga uniforme.

En las siguientes imágenes se muestran los momentos y los axiles de la estructura:


57

Figura 3. 46 Momentos en cada elemento.

Figura 3. 47 Planta de axiles en las barras.

Como se puede ver, los momentos son próximos a cero, en toda la estructura, únicamente au-mentando y ligeramente en las esquinas y el centro de los bordes de la estructura. Ésto es debido a que al estructura se deforma y en los puntos de mayor deformación y mayor carga el momento crece.

En la segunda imagen (3.47), se muestran las tensiones en las barras. Se puede ver que son todas de compresión, aumentando en los bordes y creciendo considerablemente al llegar a las esqui-nas.

Considerando el canto asignado a la estructura, se puede afirmar que los momentos son despre-ciables frente a las compresiones que existen en esta estructura.

Se continuará analizando esta misma superficie. Para obtener más datos sobre su comporta-miento y poder comprobar la distribución de esfuerzos en dos dimensiones, se estudiará la su-perficie obtenida por medio de elementos finitos tipo lámina, concretamente elementos tipo


58

SHELL 63; este elemento admite tensiones en su superficie y momentos, el canto introducido es de 0,3 m. para mantener los criterios del modelo anterior.

En este modelo se introducen los apoyos libres en sentido horizontal, de esta forma no existirán tantos momentos como en el modelo anterior, introduciendo en estos apoyos las reacciones horizontales para las cuales se ha generado la superficie.

En la siguiente imagen se muestra la estructura generada:

Figura 3. 48 Vista general del modelo con elementos placa.

Las cargas se introducen de la misma manera que en el modelo anterior, respetando las cargas para las cuales se ha obtenido la superficie, en la siguiente imagen se muestra la deformada ob-tenida:

Figura 3. 49 Desplazamientos.

Se puede observar que en este caso no existe giro apreciable en las esquinas, esto es debido a que los apoyos se han definido como móviles.


59

Figura 3. 50 Momentos en dirección X.

Figura 3. 51 Momentos en dirección Y.

En las imágenes anteriores, se muestran los momentos en la lámina en los dos sentido X e Y, se puede observar que los momentos son nulos en toda la superficie, únicamente existiendo pe-queños momentos en las zonas de concentración de tensiones como son las esquinas, aun así estos momentos se pueden considerar despreciables.

En las siguientes imágenes, se muestra las tensiones principales, considerándose como positiva la tracción.


60

Figura 3. 52, 3.53 y 3.54 Tensiones principales primera segunda y tercera respectivamente. Se puede observar como las tracciones son de un orden de magnitud menor que las compresio-nes, estas tracciones son debidas a falta de exactitud al pasar de la superficie antifunicular a la geometría de la lámina, y la discretización de los modelos de todas formas se puede afirmar que la lámina funciona a compresión, dado que los esfuerzos de tracción son despreciables.

En la siguiente imagen se muestra el mapa vectorial de las tensiones principales, en azul se mues-tran los vectores de la tercera tensión principal, que son compresiones. Se observa claramente


61

como las cargas viajan hacia los lados del cuadrado y posteriormente por los lados hasta los apo-yos situados en las esquinas.

Este comportamiento también se observaba en la distribución de tensiones y es debido a que se aumenta la reacción horizontal de las líneas de presión extremas con respecto a las interiores.

Figura 3. 55 Vectores de las tensiones principales. Conclusión. Con estos ejemplos se ha demostrado que el funcionamiento del modelo es correcto, generan-do superficies antifuniculares para las cargas dadas, ya sea en un funcionamiento en dos dimen-siones como un comportamiento tridimensional.

Siendo por lo tanto apto para el análisis de estructuras de fábrica por el teorema de análisis límite o para el diseño de estructuras antifuniculares.

4. ANÁLISIS Y EJEMPLOS

62

CAPÍTULO 4

ANÁLISIS Y EJEMPLOS

En este capítulo se utiliza el método desarrollado en el capítulo anterior. Se realizaran diferentes modelos de estructuras de fábrica, con los que se persiguen varios objetivos:

En primer lugar, se desea establecer una guía de utilización del sistema diseñado, de manera que se enuncien las reglas que permitan la modelización de estructuras similares, de una forma rápi-da y eficaz.

También se pretenden comparar los resultados obtenidos por este modelo con los obtenidos por otros diferentes, calibrando de esta forma el funcionamiento del método.

Por último, los modelos que se desarrollen, permitirán obtener información del funcionamiento de estructuras de fábrica tridimensionales.

Las estructuras a modelizar van a ser las construcciones de fábrica más comunes, como bóvedas, cúpulas, torres o puentes. Estas estructuras ya han sido estudiadas exhaustivamente con otros sistemas, permitiendo de esta manera validar el programa desarrollado y analizar las ventajas que tiene frente a otros tipos.

Las estructuras se van a analizar desde la perspectiva de los teoremas de análisis límite. Se estu-diará el equilibrio de la estructura de fábrica, analizando las superficies de presión que quedan dentro de los paramentos de la misma. En este análisis no se estudiarán deformaciones, tan sólo se determinará si una estructura es estable, encontrando la superficie que permanece dentro de los paramentos de la misma y se encuentre en equilibrio con las cargas que soporta.

Para poder analizar los datos obtenidos se ha desarrollado dentro del programa un post proce-sador, que va a permitir estudiar las desviaciones de la superficie con relación a los paramentos de la estructura.

Para el funcionamiento de este post procesador hay que introducir la siguiente información:

Geometría del intradós y el extradós de la fábrica; así se podrá comparar si la superficie de presiones se encuentra o no dentro de la estructura.

Además, el programa solicita también la densidad de la fábrica. De esta forma se auto-matiza la obtención y posición de las cargas de peso propio.

Un último dato solicitado aunque no obligatorio, es la geometría y la densidad del relle-no. El programa puede definir también las cargas que provienen del material depositado por encima de la estructura portante.

Una vez facilitados estos datos al programa, éste obtendrá las desviaciones de la superficie frente a la estructura, y definirá de forma gráfica los puntos de fallo, mejorando el análisis.

En la siguiente figura se observa una salida de resultados:


63

Figura 4. 01 Ejemplo de salida de resultados.

En esta figura se pueden ver los resultados obtenidos al comparar un arco esviado con su super-ficie de presiones. En el primer dibujo se muestran en planta, mediante un cierto código de colo-res, las diferencias de alturas de la superficie. Los números positivos expresan la separación de la superficie frente al extradós, por el contrario los números negativos indican que la superficie queda por debajo del intradós.

Con este dibujo se muestran diversas secciones de la estructura y su superficie de presiones. La sección corte horizontal, representa un corte paralelo al eje X que pasa por el centro. Las líneas azul y verde son el intradós y el extradós respectivamente y la línea roja la superficie de presio-nes.

El corte vertical es una sección realizada en un plano paralelo al eje Y, que pasa por el centro. El corte oblicuo es un corte que pasa por la diagonal. Estas secciones aportan gran cantidad de información que permite mejorar el encaje de las superficies de presiones.

El proceso de obtención de una superficie en el interior de los paramentos es complicado, debi-do a la gran cantidad de variables que pueden ser modificadas. Este proceso se puede simplificar realizando un estudio previo de la estructura en cuestión.

En este capítulo se analizará el funcionamiento de bóvedas y arcos, estructuras éstas que pueden ser estudiadas por medio de líneas de presiones, lo cuál proporcionará información y referencias importantes sobre el funcionamiento de estos modelo. Más adelante se estudiarán otras estruc-turas como cúpulas, que brindarán un patrón de análisis.


64

4.1 Arcos y bóvedas

Las primeras estructuras estudiadas son los arcos y las bóvedas. La razón de su elección está en que al tratarse de estructuras que pueden ser analizadas por medio de líneas de presión, permi-ten obtener resultados que serán validados de forma sencilla. Conforman, pues, un perfecto punto de partida para el estudio de las superficies de presión. También la aplicación de los teo-remas de análisis límite son de gran utilidad en la comprobación de este tipo de estructuras.

Primero, se basará el análisis en la determinación del tamaño óptimo de la cuadrícula. Para obte-ner resultados válidos, se irán realizando diferentes supuestos, aumentando el número de líneas de la cuadrícula. En cada supuesto se hallará la carga de colapso y se estudiará su evolución, de-terminando el supuesto que ofrezca una precisión suficiente.

En segundo lugar se analizará una bóveda que soporte una carga puntual en su clave. Este mode-lo permite obtener la superficie de influencia en un arco de dos dimensiones, lo que conduce a conocer mejor el funcionamiento de las bóvedas ante cargas puntuales y a establecer la forma de modelizar una carga puntual en una bóveda, únicamente con líneas de presión.

Por último, y a partir de todos los datos anteriores, se procederá al análisis de estructuras de arcos esviados. Este tipo de estructuras son abundantes y presentan un funcionamiento que no puede ser definido en exclusiva por modelos de líneas de presión. A través de este estudio será más fácil conocer su auténtico funcionamiento.

Todas las bóvedas correspondientes a las estructuras a analizar partirán de la misma geometría. Tanto el intradós como el extradós estarán definidos por una circunferencia de 6,9 metros de radio con una luz de 12 metros, y un espesor entre el intradós y el extradós de 0,3 m.

Se considerará también un relleno sin capacidad estructural, que tendrá un sobre espesor en clave de 0,6 m. El peso específico de estos materiales es de 23 kN/m3 para la sillería y de 18kN/m3 para el relleno.

Figura 4. 02 Alzado de modelo de arco a estudiar.

Tal como ya se indicó, se estiman diversos supuestos variando el número de líneas de presión con las que se realiza el modelo. Concretamente para este estudio se ha considerado la bóveda con 3, 5, 9, 15 y 25 líneas.


65

Para introducir los datos del modelo, se proporcionará la geometría del intradós en cada punto de cruce de líneas de presión. La geometría del relleno va a ser constante, con un valor 4,8 me-tros sobre la cota de apoyos.

Respecto al ancho del arco se dará el valor fijo de 1 metro entre líneas de presión, ya que al reali-zar un análisis comparativo con los modelos en dos dimensiones se establece que no se produ-cen diferencias significativas.

Una vez realizados los modelos, se introduce una carga lineal en la clave, que se incrementará hasta obtener el valor máximo; de esta forma se analizará su evolución al variar el número de líneas de presión.

En los modelos de arcos, las reacciones horizontales que ocurren en sentido perpendicular al mismo tienen que ser muy pequeñas, dado que estas reacciones sólo pueden ser compensadas con el alabeo de las líneas de presión de borde.

Para obtener las reacciones horizontales en el sentido del puente, se puede proceder por tanteo, pero como valor de inicio es recomendable tomar aquél que permita que el ángulo de arranque de la superficie sea igual que en el modelo.

Como ejemplo, se comenzará con el modelo de 5 líneas.

Si suponemos un valor de la reacción vertical en apoyos, para un valor de espesor medio del arco de 2,3 m. será:

KNicalacciónvert

anchoficopesoespecíespesorluzicalacciónVert

3172

233212

2

=⋅⋅

=

⋅⋅⋅=

,Re

Re

Considerando el ángulo de arranque aproximadamente igual a 45º

kNicalacciónvert

zontalacciónhori

ontalacciónhorzicalacciónvert

3171

31745

45

===

=

ºtanRe

Re

)ºtan(Re

Re

A continuación se muestra el resumen de resultados para cada uno de dichos ejemplos:

Figura 4. 03 Resultados para arco con tres líneas.


66

En las imágenes anteriores, se observan los resultados obtenidos para el ejemplo con 3 líneas de presión. En este caso la reacción horizontal para el peso propio consigue un valor de 65 kN, y la carga lineal en la clave máxima supone 80 kN.

Figura 4. 04 Resultados para arco con cinco líneas.

Para el ejemplo con 5 líneas de presión, la reacción horizontal alcanza 105 kN y la carga máxima en clave obtenida llega a 120 kN.

Figura 4. 05 Resultados para arco con nueve líneas.

En el modelo de 9 líneas se llega a ver que la superficie de presión está ya en contacto con el intradós y el extradós debido a una diferencia mínima de milímetros, siendo la carga que produ-ce esta superficie de 135 kN y, la reacción horizontal para el peso propio de 170 kN, pudiendo considerar estos resultados perfectamente válidos.


67

Figura 4. 06 Resultados para arco con quince líneas.

La superficie con 15 líneas de presión obtiene una carga máxima de 140 kN, y una reacción hori-zontal sin carga de 190 kN.

Figura 4. 07 Resultados para arco con veinticinco líneas.

Por último, la superficie de 25 líneas de presión, arroja unos resultados con una carga de 142 kN y una reacción horizontal de 195 kN. En la siguiente imagen se puede observar la superficie ob-tenida con 25 líneas para la carga indicada:

Figura 4. 08 Superficie antifunicular de arco formada por 25 líneas de presión.


68

En los casos anteriores se observa cómo aumenta la carga máxima al aumentar el número de líneas. Para superficies generadas con 3 ó 5 líneas no se obtienen resultados satisfactorios. Sin embargo, para superficies por encima de 9 líneas, la carga no aumenta sensiblemente cuando lo hace el número de líneas de presión, convergiendo la solución para este arco en un valor de 142 kN.

Por tanto, se concluye que a partir de 10 líneas de presión se obtienen resultados considerados como válidos en el análisis de estructuras con cargas gravitatorias.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 5 10 15 20 25 30Número de líneas de presión.

Car

ga ú

ltim

a

Figura 4. 09 Gráfico de evolución de resultados frente al número de líneas de presión.

Arco recto Arco sometido a carga puntual Hasta ahora se ha analizado el comportamiento del arco con una carga distribuida linealmente en toda la clave. Por comparación entre modelos de líneas de presión y modelos de superficies de presión, se determinarán los ajustes que llevan a un correcto estudio de un arco sometido a carga puntual únicamente con líneas de presión.

Para esto se compararan los resultados de superficies de presión con los obtenidos mediante modelos de dos dimensiones, y analizando las diferencias se establece la relación necesaria para poder determinar el ancho equivalente a considerar en análisis de cargas puntuales con modelos en dos dimensiones.

Se partirá de una superficie integrada por 15 líneas de presión, lo cual proporciona resultados de una gran exactitud, sin sufrir demoras en el cálculo.

Se partirá del supuesto de que existen reacciones horizontales de pequeña magnitud en sentido perpendicular a la dirección del puente, de esta forma se mejorará la transmisión de las cargas en esta dirección. Para compensar estas pequeñas cargas (en este caso del 10%), se puede suponer que las líneas de presión presentan quiebros en planta. De este modo las cargas quedarán com-pensadas y las desviaciones permanecerán dentro de los paramentos, manteniéndose estable el sistema.

Este alabeo de la estructura, coincide con las fisuras de Sejourné, que aparecen en los bordes de las bóvedas de crucería.


69

Figura 4. 10 Variación del ángulo de la línea de presión para soportar carga horizontal.

Figura 4. 11 Superficie antifunicular de arco con carga puntual centrada.

En la imagen se muestra una superficie generada por una carga puntual. Puede observarse cómo ésta afecta no solamente a la línea de presión central, sino también a las líneas contiguas.

Figura 4. 12 Resultados del arco con carga puntual centrada.

En la salida de resultados, se advierte cómo aproximadamente la mitad de las líneas se ven afec-tadas en su geometría debido a la carga puntual.


70

Ahora la carga máxima obtenida llega a ser de 250 kN, lo que supone un incremento importante respecto al del caso de carga lineal en clave.

Se prosigue insertando una carga puntual en el lateral de la clave del modelo anterior. Los resul-tados serán los siguientes:

Figura 4. 13 Superficie antifunicular de arco con carga puntual en un borde.

Figura 4. 14 Resultados del arco con carga puntual en borde.

Se observa que los resultados se corresponden con los del caso de una carga centrada. También aquí, las líneas adyacentes al punto de carga son afectadas y soportan por tanto parte de esa carga, siendo capaces de modificar su geometría. Se obtiene un resultado final de carga última de 190 kN.

De esta forma, queda demostrada la importancia que el ancho tomado para la determinación de la carga última tiene en este tipo de estructuras.

Para puentes arco de características análogas al estudiado, se puede establecer que la carga pun-tual resistida aumenta con respecto a la carga lineal en clave en un 76 %. Por tanto, será acertado aumentar en esa proporción el ancho de reparto de la carga cuando se realicen estudios del an-cho de influencia con modelos de dos dimensiones.

Cuando se supone que la carga está situada en un lateral de la estructura, la carga que puede soportar aumenta en un 33%, tal y como se observa en los resultados obtenidos.


71

Bóvedas esviadas Las bóvedas esviadas constituyen una parte importante de los puentes de fábrica ejecutados; en éstos su dirección es oblicua con relación al obstáculo que salva. Tienen pues, un comportamien-to muy diferente a los puentes estudiados anteriormente.

El hecho de que la bóveda no sea simétrica es la causa por la que los estudios con modelos de dos dimensiones no producen valores exactos.

Sin embargo, el método aquí desarrollado permite modelar puentes arcos esviados y así poder determinar la importancia del esviaje y hasta qué punto éste influye en su comportamiento.

Para este supuesto teórico, se ha decidido modelar un puente arco con la misma sección que los anteriores, pero con un esviaje de 27º. Se estudiará para cargas lineales en la clave de la bóveda, para cargas lineales de dirección perpendicular a la del puente y para cargas puntuales en la clave. Con todos los resultados que se obtengan, se analizarán y estudiarán las diferencias existentes con los puentes rectos.

Figura 4. 15 Superficie de un arco esviado.

Carga lineal en clave Se comenzará por aplicar al puente modelo de 12 metros de luz, con esviaje de 27º, una carga lineal en la clave de la bóveda, que se aumentará hasta llegar a la carga máxima para la que existe equilibrio.

En este caso la carga máxima es de 140kN, tal y como se muestra en el resumen de datos.

Figura 4. 16 Superficie de un arco esviado con carga en clave.


72

Figura 4. 17 Resultados para el arco esviado con carga en clave.

Por lo tanto y recordando que la carga que producía rotura en arcos rectos también era de 140 kN, si la carga está dispuesta en clave, el puente se comportará de la misma manera, no existien-do diferencia con el caso del puente recto.

Carga lineal perpendicular En esta ocasión se analiza el sistema con la carga aplicada de forma perpendicular a la dirección de la vía. Constituye este supuesto un caso muy similar al que se suele producir en la vida real.

Figura 4. 18 Arco esviado con carga centrada.


73

Figura 4. 19 Resultados de un arco esviado con carga centrada.

La carga máxima que se soporta con esta disposición es de 170 kN. Si se recuerda para la hipó-tesis del arco recto, la carga máxima era de 140 kN; por tanto, la diferencia entre un puente arco recto y un puente arco esviado para cargas rectas llegará a ser un 20%, considerando como luz del puente esviado la separación entre los dos paramentos medida en un lateral.

En este tipo de estructuras disponer las líneas de presión en el sentido real de transmisión de las cargas, mejora sensiblemente la calidad de los resultados, siendo posible modelar la estructura con una discretización menor. Carga puntual Por último, se procede a examinar el comportamiento de un puente arco esviado sometido a la acción de una carga puntual. Aplicando el modelo anterior, se calcula la carga puntual máxima y esto permitirá comprobar si dicho resultado mejora o no respecto a los anteriormente conside-rados.

Las siguientes imágenes muestran la superficie de presión y la salida de resultados obtenidos.

Figura 4. 20 y 21 Caso de carga puntual centrada.


74

De esta forma la carga puntual máxima que soporta el arco llega a ser de 300kN. En comparación con la carga máxima obtenida en ensayos de arcos rectos, podemos decir que ha producido un incremento del 20 %, resultado que coincide con el obtenido para el caso de carga lineal. Y así se podrá establecer el valor con el que se incrementa la carga cuando se contemplan puentes esvia-dos. En estos casos, las reacciones horizontales tienen dirección perpendicular a las líneas de apoyo del puente, siendo de la misma magnitud en las dos direcciones de líneas de presión.

Se puede observar que las cargas se transmiten a los apoyos en al dirección de menor luz, lo cuál es un comportamiento lógico y permite intuir la mejor disposiciónd e als líneas de presión si se desea optimizar el modelo.

4.2 Bóvedas Una vez que ha sido comprobado el programa con arcos, se pasará al análisis de bóvedas. Hay que indicar que estas estructuras no responden a un tipo de funcionamiento lineal, sino que actúan como superficies. Se trata, por tanto, de elementos estructurales óptimos para ser exa-minados con el programa.

La bóveda se define como una obra de mampostería o fábrica, de forma curva, que sirve para cubrir el espacio comprendido entre dos muros o una serie de pilares alineados. Un tipo muy extendido de ésta es la bóveda de crucería.

Existen diferentes teorías acerca del origen de la bóveda de crucería. Se han buscado sus antece-dentes en las cúpulas de arcos entrecruzados de algunos edificios del arte islámico así como en las bóvedas de ciertas iglesias de Georgia y Armenia. Parece, sin embargo, que la bóveda de cru-cería gótica debió evolucionar a partir de la bóveda de arista, ya utilizada en el románico. Los antecedentes más directos de las bóvedas de crucería del gótico se encuentran en construccio-nes tardorrománicas.

Tal y como se ha indicado ya en los anteriores capítulos, el programa estaba originalmente dise-ñado para trabajar con dos familias de líneas de presión. Esto produce buenos resultados siem-pre que la carga sea transmitida hasta los apoyos en direcciones paralelas a esas dos familias. Sin embargo, en las bóvedas de crucería se encuentra el problema de que la carga no se transmite únicamente paralela a los arcos fajones y a los arcos formeros, sino que en este tipo de bóvedas gran parte de la carga se traslada a través de la diagonal, dado que es el camino más corto para llegar a los apoyos.

Una superficie generada por dos líneas de presión podría simular ese comportamiento diagonal. La carga transmitida a través de la diagonal se podría considerar como una suma de transmisio-nes en zig-zag, tal y como se muestra en la imagen; de esta forma se puede asemejar el compor-tamiento al modelo real.

Figura 4.22 Transmisión de cargas por las líneas de presión.


75

Este sistema, basado en la utilización de dos familias, podría producir resultados fiables, pero el hecho de que en este modelo la carga no se pueda desplazar siguiendo la trayectoria natural y directa, sino sólo a través de rodeos, conducirá a que la geometría obtenida sea más basta y por lo tanto resulte más difícil encajarla en una determinada superficie. Si la estructura real presenta un quiebro importante en las zonas diagonales, el modelo con dos líneas de presión sólo podría reproducirlo modificando el número de líneas.

Para resolver esta situación se pueden adoptar dos soluciones. La primera, aumentar la densidad de la cuadrícula. Efectivamente, al introducir un mayor número de líneas de presión, estas se adaptarán mejor a la geometría existente. Esta solución presenta el inconveniente del aumento del tiempo de cálculo; y las soluciones con tantas líneas, pueden llegar a ser muy complicadas de manejar y de estudiar.

La segunda solución consiste en añadir una tercera familia de líneas de presión que actúa en la dirección de la diagonal. Esta tercera familia de líneas de presión se comportará de igual forma que las otras dos familias y por lo tanto, soportará la parte correspondiente de la carga y pasará por los puntos de la cuadrícula ya generada intersectando al resto de las líneas.

Precisamente, en este caso no será necesario introducir gran cantidad de líneas. Con introducir dos líneas, una por cada diagonal, los resultados obtenidos proporcionarán gran precisión.

Para poder implementar las nuevas líneas en el modelo, y dado que se van a utilizar para análisis de estructuras reales, estas líneas podrán ser introducidas siguiendo un proceso contrario al utilizado para las otras dos familias. Partiendo de la solución final, que es la geometría existente, podemos suponer una reacción horizontal que permita calcular las cargas resistidas. Una vez obtenidas dichas cargas, pueden ser introducidas en la matriz de carga de las otras dos familias con sentido contrario. Así, de esta forma, el funcionamiento del programa no variará.

Se analizará ahora el funcionamiento del programa paso a paso a partir de la introducción de la tercera línea.

En primer lugar, el programa va a tomar la geometría intermedia entre el intradós y el extradós. Así se consigue que las líneas de presión estén siempre contenidas dentro de la estructura y localizadas en su punto intermedio, no siendo necesario analizarlas posteriormente. Como la superficie generada y buscada tiene que estar también contenida en la estructura para conseguir el equilibrio, se va a cumplir la norma de intersección.

Para poder obtener la carga que absorbe cada línea de presión deberemos primero definir una reacción horizontal. La introduciremos por tanteo, siendo una de las variables para llegar a super-ficies de presión correctas.

Conseguida la geometría y definida la reacción horizontal, se obtendrán las cargas tal y como se describen a continuación:


75

Figura 4.23 Fragmento de arco dividido en segmentos.

En la figura anterior se muestra un fragmento de arco. Como se sabe, las cargas deben mantener la misma geometría. Por tanto, en el primer tramo se verifica que:

A

h

H

F 11

B

h

H

F 22

Siendo F1, la componente vertical de la carga en el primer tramo y F2 en el segundo tramo. H es la componente horizontal que es constante ∆h1, ∆h1, A y B, son los parámetros geométricos que se observan en la figura.

La carga en el punto nexo entre el tramo 1 y 2 corresponderá a la diferencia entre la componente vertical en los dos tramos:

B

hH

A

hHQ

FFQ

21

21

Aparece así una matriz con las cargas que en cada punto absorben las líneas de la tercera familia, que a su vez se deberá restar a la matriz de cargas, dado que ésta última representa las cargas que absorben las dos familias de líneas de presión iniciales.

Figura 4.24 Superficie de bóveda de crucería.

En el programa únicamente se han implementado las dos diagonales como una tercera familia, aunque también se puede hacer con todas las líneas que sean necesarias, lo cual puede ser de


77

carácter obligatorio en otro tipo de estructuras con geometrías más dispares y que presenten cambios bruscos. Para las estructuras más sencillas, con las dos diagonales asimiladas como una tercera familia de líneas de presión es suficiente.

Bóveda Sta. Maria de BellPuig Como demostración de la utilidad del presente método, se estudiará ahora el análisis de una bóveda gótica paso a paso.

La bóveda elegida es la de la iglesia de Sta. María de BellPuig. Ha sido seleccionada por Alejandro Ramos por tratarse de una de las más representativas de entre todas las bóvedas góticas españo-las.

La iglesia de Bellpuig comenzó a reformarse en el siglo XIV en estilo gótico. Estaba planificada como una gran basílica con planta de cruz latina. En su reconstrucción la nave central se acortó y se redujeron las dimensiones de la iglesia.

Presenta un ábside central en forma de pentágono y dos ábsides menores, uno en cada lado de la nave. El techo original se realizó en madera con bóveda ojival.

La geometría, obtenida también por Alejandro Ramos a partir de planos de distintas reparacio-nes, viene descrita y definida por las secciones de la bóveda en los arcos formeros y fajones, en las diagonales y por supuesto por el centro.

Figura 4.25 Iglesia de Santa María de Bellpuig.

La bóveda, de planta cuadrada, tiene 9,6 m de luz, presentando arcos formeros y fajones apunta-dos. Con estos datos podemos reconstruir la geometría uniendo con arcos entre las diagonales y los arcos fajones.

Se parte de una división en planta formada por una cuadrícula que contempla 13 líneas de pre-sión, tal y como se ha desarrollado en las argumentaciones anteriormente expuestas. Los resul-tados obtenidos mediante este planteamiento resultan algo ajustados. No obstante tal y como se ha indicado en explicaciones ya dadas, es posible modelizar las diagonales como una tercera familia de líneas de presión.

Para poder introducir el intradós y el extradós, se divide la geometría de la bóveda con 13x13 líneas, lo que supone tanto para el intradós como para el extradós los 169 puntos que son preci-sos para la correcta definición.


78

Tras la introducción de los datos que configuran la geometría, es el momento de aquellos que se refieren y caracterizan al material:

A la plementería se le asigna un peso específico de 26 kN/m3. El relleno se supone que alcanza una altura de 2/3 de la flecha y su peso específico se puede estimar en 17kN/m3.

Definidos todos los datos necesarios para el análisis de la estructura, es obligatorio continuar con los de las reacciones horizontales, que son las que van a aportar la configuración estable.

Se comienza tanteando las reacciones de los arcos diagonales y posteriormente se ajustan con las reacciones de las familias en X y en Y.

La figura muestra una solución para la estructura representada.

Figura 4.26 Resultados de la bóveda.

Los resultados obtenidos, es decir, las reacciones horizontales para las cuales se ha conseguido que la superficie esté contenida entre el intradós y el extradós, demostración de que la estructu-ra es estable, son:

Reacción Horizontal en dirección X: 36,7 kN/m.

Reacción Horizontal en dirección Y: Coincidente con la anterior.

Reacciones horizontales en las diagonales: 142,7 kN.

Estos resultados se pueden observar en la imagen.


79

Figura 4.27 Superficie de la bóveda indicando las proyecciones de las reacciones horizontales en esquinas y muros.

Como ya se ha comentado, ésta es tan sólo una de las posibles soluciones que producen estabi-lidad. Deberíamos analizarla integrándola con el resto de la estructura para comprobar que las reacciones que se han obtenido son admisibles. En el caso de que no lo sean, se seguirán bus-cando otras soluciones alternativas que presenten reacciones admisibles para la estructura.

Una vez obtenidas las reacciones horizontales, se comparan éstas con las que pueden ser sopor-tadas por los muros que se sitúan en los laterales de la bóveda. Un estudio de equilibrio lleva a considerar una nueva superficie que reduzca las reacciones horizontales y por lo tanto la solu-ción sea estable.

Como se ha comentado antes, este proceso será iterativo hasta conseguir una solución comple-tamente estable.

Si analizamos detenidamente la forma, se podrán definir en cierta manera datos sobre las reac-ciones horizontales posibles.

Figura 4.28 Sección central de la bóveda.

Tal y como se muestra en la anterior sección realizada por el centro de la bóveda, es imposible establecer una línea de presiones perfectamente vertical en la zona de arranque. Si esta línea de presiones no es vertical, significa que siempre existirá una determinada reacción horizontal.

Esta carga disminuirá al acercarse a los arranques, dado que la forma en ese punto permite líneas de presiones mucho más verticales.

Con estas consideraciones se realiza un nuevo modelo, de forma que se consigue reducir al máximo las reacciones horizontales en dichos puntos.


80

Figura 4.29 Superficie obtenida al minimizar las reacciones horizontales. En la figura anterior se muestra una imagen del modelo obtenido con reacciones menores en la zona de muros.

En este modelo, las tensiones horizontales se han reducido a mas de la mitad, estableciéndose una media de 15 kN/m, siendo estas reacciones mayores en la parte central y llegando a cero en los puntos inferiores.

Dado que los muros usualmente tienen espesores superiores al medio metro y considerando una peso específico del muro de 23 kN/m3, se puede establecer que las reacciones horizontales tomarán una directriz altamente vertical una vez entren en el muro.

Figura 4.30 Sección vertical de la superficie y los paramentos.

Merece especial atención la sección anterior, dado que se pueden obtener diversas conclusiones interesantes, como se puede observar en dicha sección, la línea de presiones ya comienza a tener una dirección más vertical, facilitando de esta manera la entrada de la sección en el muro.

Por otro lado, se observa que los puntos donde se produce mayor curvatura de la línea son los extremos, ésto es debido a que en esos puntos es donde entra la mayor parte de la carga, estan-do dicha carga absorbida en los puntos centrales por las diagonales.

En último lugar, se observa en dicha imagen que en este modelo la diagonal está mucho más marcada, esto es debido a que absorbe una cantidad de carga mayor.


81

4.3 Cúpulas

Por ultimo, se analizará otra forma estructural de gran aplicación en las obras de mampostería: las cúpulas.

La cúpula, es un elemento arquitectónico que se utiliza para cubrir un espacio de planta circular, cuadrada, poligonal o elíptica, mediante arcos de perfil semicircular, parabólico u ovoidal, rotados respecto de un punto central de simetría.

Dentro de las cúpulas, existen algunas con aberturas y óculos. Estos espacios abiertos para la entrada de luz o con otros fines constructivos, producen discontinuidades en las superficies de presión. Para poder modelar estas aberturas y cualquier otra, se aplicará el método que se des-cribe a continuación:

Dado que una abertura es una superficie que no puede transmitir tensiones, estas deberán que-dar anuladas en dicha superficie, pudiendo existir tensiones solo en el contorno de la abertura, pero nunca perpendiculares a la misma.

Figura 4.31 Distribución de tensiones alrededor de un hueco de la superficie.

Es decir, en el modelo será necesario alcanzar una solución que no contemple tensiones perpen-diculares al contorno. Para ello, se analizaran las líneas de presión que cortan al hueco. Las fuer-zas que transmiten estas líneas de presión, se descompondrán en dos componentes: una según la dirección paralela al contorno y otra perpendicular al contorno, y a su vez en una fuerza hori-zontal y otra fuerza vertical.

Conocidas dichas fuerzas perpendiculares al contorno, se irán insertando en los puntos del con-torno fuerzas contrarias y del mismo valor a las que se debe anular, ejecutando el programa para obtener una nueva superficie de presión.


82

Con esta nueva superficie de presión, se procederá nuevamente analizando la fuerza existente y variando las fuerzas introducidas para conseguir otra vez su anulación. Se repetirá este proceso hasta que la diferencia entre las fuerzas existentes en la superficie y las introducidas sea despre-ciable.

Así se consigue que la zona que abarca el hueco, esté libre de tensiones de ningún tipo, tal y como ocurre en la realidad.

Análisis del Panteón Para empezar se estudiará una cúpula muy singular: el panteón de Roma. El Panteón de Agripa o Panteón de Roma, es un templo circular construido en Roma en el siglo II a comienzos del Impe-rio romano, y está dedicado a todos los dioses (la palabra panteón significa templo de todos los dioses). En la ciudad se le conoce popularmente como La Rotonda, de ahí el nombre de la plaza en que se encuentra.

Esta construcción con una cúpula semiesférica sobre un tambor circular, era típica de la arquitec-tura de la época. Se observa también en la Villa Adriana en Tívoli, en las termas de Agripa, en las de Caracalla, y en general en todas las salas levantadas en los primeros tiempos del imperio. Las pechinas no se generalizarían hasta más tarde, en tiempos de Diocleciano.

Figura 4.32 Grabado del Panteón. El espacio interno de la rotonda está constituido por un cilindro cubierto por una semiesfera. El cilindro tiene una altura igual al radio, y la altura total es igual al diámetro, por lo que se puede inscribir una esfera completa en el espacio interior. El diámetro de la cúpula mide 43,44 m (150 pies), lo que la convierte en la mayor cúpula de fábrica de la historia. Por comparar indiquemos que la cúpula de la Basílica de San Pedro fue construida un poco más pequeña por respeto a ésta.

En este caso, al tratarse de una geometría de revolución, el análisis resulta más sencillo, puesto que conociendo una sección podemos obtener todos los puntos de la cuadrícula.

Una vez introducida la geometría, considerando el hueco central, se procede a iterar hasta con-seguir una solución. En este caso al ser una bóveda de planta circular las reacciones horizontales mantienen la misma distribución que las tensiones circunferenciales. Esto es lógico dado que las tensiones radiales en los extremos son prácticamente verticales, mientras que las tensiones hori-zontales que mantienen la cúpula para que no se abra, están contenidas en el plano horizontal y por tanto las reacciones horizontales, pasan a ejercer esa misma función, la de impedir que la se abra.

Puesto que las reacciones horizontales, tienen que imitar el comportamiento de las tensiones circunferenciales, se puede obtener de una forma mucho más rápida la solución estable.

En la siguiente imagen se muestran los resultados de dicha solución.


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Figura 4.33 Resultados obtenidos para la cúpula del Panteón.

En ella se observa que el cilindro del panteón no es perfectamente vertical, lo cual se debe úni-camente a la discretización del modelo, para poderlo introducir en el programa, sin que invali-demos la solución lo que demuestra la gran estabilidad de esta estructura.

En la imagen siguiente, se puede ver la superficie de presiones de la solución, solución que está obtenida para una fuerza circunferencial de 15 kN.

Figura 4.34 Superficie antifunicular del Panteón.

Es importante señalar que para la obtención de las fuerzas horizontales, se siguieron las reglas básicas de obtención de tensiones en la base de una semiesfera. Partiendo de estas fuerzas radiales y circunferencia-les descompuestas, se modelizó la superficie antifunicular que cumple con la estabilidad. Fórmulas clásicas de la estática pueden ser aproximaciones correctas para comenzar a estudiar estas estructuras.


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Cúpula de San Francisco el Grande La Basílica de san Francisco el Grande, es de planta central y circular, con vestíbulo y ábside. La cubierta se resuelve mediante una gran cúpula, custodiada por seis pequeños domos, que ro-dean la base del edificio por el norte y por el sur. Estos elementos encuentran su corresponden-cia en el espacio interior del templo, conformado por una amplia rotonda y seis pequeñas capi-llas circundantes (tres a cada lado). La capilla mayor se sitúa en el ábside y preside todo el con-junto. Los materiales de construcción combinan sillares de granito, empleado principalmente en la fachada principal, y ladrillo enfoscado.

Supera en diámetro a las cúpulas de Santa Sofía (31,8 m), en Estambul; a la de la Catedral de San Pablo (30,8 m), en Londres; y a la de Los Inválidos (24 m), en París.

Los problemas técnicos surgidos durante su construcción, obligaron a adoptar una solución de escasa elevación para la misma, en la línea del modelo empleado en el Panteón de Agripa. Está realizada en ladrillo macizo, fabricado a pie de obra, en una sola hoja. En su arranque, la hoja pre-senta un grosor de tres metros, que va descendiendo hasta la coronación, donde el espesor es inferior al metro.

El domo está coronado por una linterna circular, con capitel y cruz de hierro forjado sobre la flecha.

La obtención de la geometría, se hace a partir de los planos proporcionados por el Ministerio de Cultura, parametrizando las secciones y obteniendo de éstas los puntos necesarios. En la siguien-te imagen se muestran el plano y las secciones a considerar.

Figura 4.35 Sección a estudiar de la cúpula.

Para modelizar se puede seguir manteniendo la cuadricula de 13 líneas de presión, dado que está produciendo buenos resultados; para el peso específico de los materiales se considerará 23 kN/m3.

La planta se modeliza como un circulo apoyándose discontinuamente, tal y como se observa en la estructura real. En cuanto a la linterna, en la zona del centro de la cúpula desaparece la carga;


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pudiendo seguir el procedimiento enunciado anteriormente para la formación de óculos. La carga debida al peso propio de la linterna, se introduce en la zona donde ésta se debe apoyar, así quedarán representados, los efectos que produce la linterna sobre el resto de la estructura.

Con estos datos se obtiene un resultado en equilibrio para reacciones horizontales, que corres-ponde a 11kN/m. Las reacciones horizontales serán fácilmente absorbidas por los importantes muros en los que apoya la cúpula, los cuales alcanzan espesores de hasta 5 metros en algunas zonas, por lo que dichas reacciones se pueden permitir y la solución puede considerarse valida.

En la siguiente imagen, se puede observar la superficie de presiones obtenida en la solución.

Figura 4.36 Superficie antifunicular de la cúpula.

En el resumen de resultados mostrados a continuación, se observa cómo aparece la forma del hueco en la superficie completamente plana, lo que es debido a que no soporta ningún tipo de carga. En esta misma zona, se puede observar cómo el intradós y el extradós coinciden para evi-tar que se introduzca el peso propio en esa zona.

Se observa que la superficie de presiones se ajusta considerablemente al centro de la sección de la estructura, por lo tanto podemos concluir, que la forma de la estructura resulta muy acertada y su comportamiento ha de ser necesariamente bueno.


86

Figura 4.37 Secciones y resultados obtenidos.

Análisis de la cúpula frente al viento Como ya se ha comentado, el programa está diseñado para que no solamente calcule superficies de presión para cargas verticales, sino que también pueda calcular superficies de presión cuando existan cargas horizontales. Dicho esto se procede a calcular la cúpula de San Francisco el Gran-de frente a las acciones del viento.

Para la determinación del valor de estas acciones, utilizaremos el Código Técnico de La Edifica-ción.

Como sabemos la cúpula está situada en el centro de Madrid, por lo tanto pertenece a la zona A y el valor de la presión dinámica es de 0,42 kN/m2.

Figura 4.38 Valores básicos de la velocidad del viento en España.

Considerando que se encuentra en una zona urbana general, podemos tomar un coeficiente de exposición de 2,6. Para el cálculo del coeficiente de presión, utilizaremos las tablas que incluye el CTE para el análi-sis de cubiertas esféricas.


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Figura 4.39 Gráficos para la determinación de los coeficientes de presión.

De esta forma dado que:

peb ccqq ⋅⋅=

La presión del viento sobre nuestra cúpula será de 0,9 kN/m2. Esta fuerza se introduce en el programa, con dirección X.

Se muestra a continuación la solución obtenida.

Figura 4.40 Superficie de presiones soportando viento.

Se observa que no existen grandes diferencias frente a la solución sin viento, sin embargo, se puede ver cómo en el corte horizontal, la superficie de presión se desplaza, adaptándose ligera-mente para soportar las cargas de viento. Como era de esperar, en una estructura de esta dimen-sión el viento no genera problemas.

5. ANÁLISIS DE TENSIONES

88

CAPÍTULO 5

ANÁLISIS DE TENSIONES

Hasta ahora se ha desarrollado un sistema que permite obtener superficies antifuniculares y comprobar que éstas se encuentran dentro de los paramentos de la estructura a analizar. De esta forma únicamente se tienen en cuenta las ecuaciones de equilibrio, y por lo tanto, el análisis de estructuras se encontraría dentro de los análisis de Nivel I. En este capítulo se completará el método para poder realizar el análisis tensional de la estructura, así se podrá comprobar si el material soporta las tensiones además de encontrarse en equilibrio. Así el sistema se situará dentro del Nivel II.

El procedimiento a seguir para poder realizar el análisis tensional será el siguiente: En primer lugar, se obtendrán superficies antifuniculares para las cargas que soporta la estructura. De estas superficies se elegirá la que quede dentro de los paramentos, garantizando así que se cumplen las ecuaciones de equilibrio. Con esta superficie obtenida se obtendrán las tensiones y se com-probarán que son admisibles en toda la estructura. En el caso de que las tensiones no sean admi-sibles en algún punto, se deberá seleccionar otra superficie que se encuentre dentro de los pa-ramentos y realizar el análisis tensional hasta encontrar la superficie correcta.

Para poder realizar el análisis tensional, deberemos desarrollar dentro del sistema un algoritmo que permita obtener las tensiones en todos los puntos de la superficie y otro algoritmo que de-termine si estas tensiones pueden ser soportadas por los materiales que constituyen la estructu-ra.

5.1 Algoritmo para el análisis tensional Como ya se ha comentado, partiremos de unas cargas con las cuales se conseguirá la superficie antifunicular que analizaremos. Esta geometría será la base para la obtención de las tensiones. Se comenzará obteniendo las fuerzas en cada una de las direcciones de las líneas de presión que forman la superficie.

Figura 5.01 Diagrama de fuerzas en línea de presión.


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Cada línea de presión sigue, como ya se ha comentado, la dirección de la fuerza sobre esa línea. Por lo tanto al partir de la geometría de la superficie, se puede determinar la dirección que toma la fuerza en cada punto.

La componente horizontal de la fuerza en cada punto será la suma de la reacción horizontal de la superficie en el extremo, más las fuerzas horizontales introducidas en cada punto de la línea, hasta llegar al punto analizado.

Tal y como se observa en la figura, se puede concluir que conociendo la fuerza horizontal y la dirección, se obtendrá la componente vertical de la fuerza y componiendo estas, la magnitud total de la fuerza en cada punto.

Las ecuaciones utilizadas son:

∑=

=

+=ai

i

FxextiRxFxa1

Que representa que la fuerza horizontal en un punto es igual a la suma de la reacción horizontal en un extremo más las fuerzas horizontales aplicadas desde el extremo al punto.

FyFx

yx=

ΔΔ

=α

xFxy

FyΔ⋅Δ

=

x

FxextiRxy

Fy

ai

i

Δ

+⋅Δ

=∑=

=1

22 FyFxF +=

Siendo Fx la componente horizontal de la fuerza, Fy la vertical y � el ángulo que forman.

Conociendo el ángulo que forma la línea de presión y las fuerzas horizontales aplicadas, se dedu-ce la componente vertical de la fuerza. Una vez que son obtenidas las dos componentes de la fuerza, la magnitud total es directa.

Se generarán matrices que contengan en cada término la fuerza total en cada uno de los puntos de la superficie para cada familia de líneas de presiones.

Una vez conseguidas las fuerzas en cada punto, se obtendrán las tensiones dividiendo éstas entre el espesor de la estructura. Para el espesor en cada punto se utilizará la geometría del intradós y el extradós, que se ha introducido previamente.

Dado que estamos trabajando en plasticidad, se supondrá que la sección estudiada ha alcanzado la plasticidad en todos sus puntos y por lo tanto la distribución de tensiones formará un rectán-gulo. La resultante de estas tensiones deberá dar una fuerza de la misma magnitud y con la mis-ma excentricidad que en el modelo.


90

Figura 5.02 Sección sometida a esfuerzo axil con excentricidad.

Por lo tanto para conseguir las tensiones se aplicará:

)( eh

bN −⋅⋅⋅=2

2σ

)( eh

b

N

−⋅⋅=

22

σ

De esta forma se obtendrán las tensiones en cada uno de los puntos.

Para la determinación de las tensiones se ha supuesto un reparto rectangular. Este reparto debe ser corregido por medio de un factor que relacione las tensiones rectangulares con el verdadero comportamiento del material, teniendo en cuenta el diagrama tensión deformación.

Se analizarán ahora los distintos modos de reparto de tensiones en función de los diagramas tensión-deformación. Empezaremos analizando un diagrama lineal y uno de plasticidad perfecta. Estos diagramas son los casos extremos, estando el resto comprendidos entre estos dos casos.

En el supuesto de un diagrama tensión-deformación lineal sin resistencia a la tracción como el que se muestra en la figura, las deformaciones y las tensiones serán:

Figura 5.03 Diagramas tensión-Deformación, deformación y tensiones en la sección.

En este caso, si queremos asimilar este comportamiento a uno plástico perfecto tendremos:

Figura 5.04 Sección semejante en material plástico.


91

α y β serán los parámetros que deberemos determinar para que ambos diagramas sean similares; para esto igualaremos axiles y momentos.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−⋅⋅⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅=

⋅⋅⋅=⋅

=

22322

2

ahaf

ahafM

afaf

N

yy

yy

ββα

βα

Por lo tanto, sustituyendo:

43

32

2

32

2232

=

⋅⋅⋅=⋅

=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

α

α

β

β

afaf

N

ahah

yy

Éstos son los parámetros α y β que utilizaremos en el caso de tener un diagrama lineal como el anterior.

Si se analiza un diagrama tensión-deformación perfectamente plástico, sin tracción como el si-guiente, se tendrá que los valores de α y de β serán 1 y 1.

Figura 5.05 Diagramas tensión-Deformación, deformación y tensiones en la sección. Por lo tanto, en cualquier material se puede asimilar su comportamiento al de un material per-fectamente plástico, afectando los valores de resistencia máxima y superficie comprimida por unos parámetros α y β comprendidos entre 0,75 y 1 en el caso de α, y 0,66 y 1 para el caso de β.

En el caso del hormigón, la normativa EHE adapta el diagrama parábola rectángulo utilizando unos valores de α de 0,85 y β de 0,8. Para el caso de elementos de mampostería como los que estamos estudiando, se deberán tomar unos valores similares que deberán ser determinados dependiendo de la curva tensión-deformación del material.

En el caso de no disponer de suficiente información, los valores utilizados en el hormigón pue-den servir de aproximación.


92

Algoritmo para el análisis de secciones Una vez que se han obtenido las tensiones en cada punto, es necesario determinar si el material será capaz de soportarlas. Para esto es preciso comparar el estado tensional de cada punto con una condición de rotura previamente establecida.

En este caso se ha optado por tomar como criterio de referencia el desarrollado por B. Bandar-loo, A. A. Tasnimi y M.S. Mohammadi, de la universidad de Teherán. Este trabajo, realizado a partir de los trabajos de Jonson y Thompson, y Drysdale, propone una superficie de rotura de tipo elipsoide, tomando como datos las tensiones normales en dos direcciones ortogonales cua-lesquiera y la tensión tangencial.

Para el desarrollo de dicha superficie de rotura, se completó una campaña de ensayos de paredes realizadas con elementos de fábrica sin armar. Los materiales utilizados fueron bloques de mam-postería con una resistencia media a compresión de 4 Mpa, ensayados según el ASTM C-1314-02. Como mortero se utilizó uno estándar realizado con cemento Pórtland.

Programa de ensayos El programa de ensayos consistió en llevar hasta la rotura los paneles de mampostería bajo un estado de tensiones biaxial. En los ensayos, los ángulos entre las tensiones principales y las juntas fueron limitados a 0º o 90º.

Se consideraron cinco relaciones entre las dos tensiones principales pn ff / siendo fn y fp las ten-

siones aplicadas normalmente a las juntas y paralelas a las juntas respectivamente. Estas relacio-nes fueron 0; 0,2; 0,5,1;2;5.

Los paneles se diseñaron con una dimensión de 950X95x220 mm. de los cuales el área central de 600 mm2. fue la seleccionada para tomar las mediciones.

Figura 5.06Maquinaria de ensayos con panel de mampostería.

El ensayo se llevó a cabo por medio de un anillo de reacción y un sistema de carga biaxial, tal y como se muestra en la imagen. Para evitar el efecto de confinamiento producido en las zonas de carga de los paneles, se introdujeron láminas de teflón en el contacto mampostería-panel de carga.

En la siguiente imagen se muestran los resultados obtenidos. Se puede apreciar el aumento de resistencia en los casos en los que existe compresión en las dos direcciones principales. Este aumento es del orden del 35 % con respecto a la resistencia en compresión simple.


93

Figura 5.07Curvas de superficies de fallo en forma adimensional.

Con estos resultados se propone una superficie de rotura. Ésta se representará en un sistema cartesiano, referido a las tensiones paralelas y normales a las juntas y las tensiones tangenciales:

)( ,, xyyx τσσ. La superficie seleccionada y que mejor encaja con los resultados obtenidos es un

elipsoide girado. Cuya formulación será:

01222 =−+++= xyyyxx DCBAf τσσσσ

Donde A, B, C y D son cuatro parámetros del material. Para asegurar que la superficie sea con-

vexa se deberá cumplir : 042 <− ACB .

Los valores de estos parámetros son:

21

mxfA=

mymxffB

β=

21

myfC =

mymxffD

γ=

Donde mxf es la resistencia de la fábrica con fuerzas paralelas a los tendeles, myf la resistencia

frente a fuerzas perpendiculares a los tendeles, el parámetro β representa el efecto de dos fuerzas normales actuando a la vez y γ controla la contribución de los esfuerzos cortantes. En la siguiente imagen se muestra los ensayos necesarios para la obtención de cada uno de estos parámetros.

Figura 5.08 Ensayos para conseguir los parámetros que definen la superficie de rotura.

5.2 Coeficientes de seguridad

Todavía no existe un código o manual que recoja el formato de seguridad a utilizar en estructu-ras existentes. En este tipo de estructuras, al estar ya en funcionamiento, el grado de descono-


94

cimiento sobre las cargas y el comportamiento de los materiales es distinto y por lo tanto, los coeficientes de seguridad también deberían de serlo.

Se pueden distinguir tres planteamientos distintos de la seguridad: los estados límites, las técni-cas basadas en al fiabilidad y el coeficiente global de seguridad.

Estados límites Este planteamiento de la seguridad fue desarrollado por E.Torroja y A.Páez, siendo editado por primera vez en las recomendaciones HA 61 para estructuras de hormigón. El resto de instruccio-nes han ido adoptando este formato de seguridad. Se basa en comparar los efectos de las accio-nes mayorados, genéricamente Ed, con la respuesta de la estructura Rd, de manera que si se cumple Ed<Rd, para todos los estados límite contemplados la estructura se considera satisfacto-ria. De otra forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≤= geometría

fRREE

material

materialddks ;

γαγ

Donde Ek representa el efecto característico de las acciones(entendido como resultado de una

distribución estadística o un valor nominal o “promedio” ) ; sγ es el coeficiente de mayoración de las solicitaciones; Ed es el valor de cálculo de la respuesta estructural, que se obtiene a partir de

los datos geométricos y de las resistencias materialf . A éstas se les aplica un coeficiente de mino-

ración materialγ para tener en cuenta la diferencia entre el comportamiento real de las piezas y el de las probetas ensayadas de esos materiales.

Esta forma de proceder ha sido utilizada comúnmente para hormigón, acero e incluso ladrillos. Sin embargo, no existe para la fábrica un formato desarrollado, no estando todavía definidos los coeficientes parciales necesarios para su correcto funcionamiento.

Por otro lado se debe señalar que la técnica de los estados límite está asociada con un plazo tem-poral, en el que ha de asegurase con una probabilidad de fallo la estabilidad de la estructura. La mayoría de las estructuras de fábrica no se construyeron con estos criterios, y además ya han demostrado su comportamiento a lo largo del tiempo, lo cual se deberá tener en cuenta en los posibles estudios.

Técnicas basadas en la fiabilidad Estas nuevas técnicas son muy prometedoras, pero aún resultan difíciles de aplicar a estructuras ya construidas, ejecutadas muchas veces sin normativa y con métodos muy diferentes a las ac-tuales.

En esta técnica se tratará de recopilar un mínimo de información para, abordar el estudio de su seguridad dentro del marco de la fiabilidad estructural; se caracterizaran las acciones, y las resis-tencias R y por último se cuantificará la seguridad real de la estructura en términos de probabili-dad de fallo o colapso mediante el concepto de índice de fiabilidad �. El problema en los estu-dios de fiabilidad será saber cuál es el valor mínimo del índice � que permite considerar un ele-mento estructural fiable, lo que depende, entre otras cosas, del tipo de análisis realizado.

Este método tiene varios inconvenientes. Por un lado, realizar todas las comprobaciones necesa-rias lo convierte en inviable económicamente, el número de ensayos es demasiado importante. Por otra parte, no se puede conocer el índice de fiabilidad con el que la estructura fue proyecta-da, y por lo tanto es imposible establecer la evolución de la fiabilidad de la estructura, teniendo en cuenta los posibles cambios ocurridos tanto en las acciones como en la capacidad resistente.


95

Una forma de utilización de los coeficientes de fiabilidad para estructuras que vayan a ser refor-madas o que tengan cambios en las cargas, es partir de la hipótesis de que la situación inicial es aceptable y por tanto aceptar la estructura si:

12 ββ ≥

Siendo 2β el coeficiente de fiabilidad de la nueva estructura y, 1β el índice de fiabilidad de la estructura existente. Sin embargo para poder considerar la situación inicial aceptable, es necesa-rio realizar un estudio detallado.

Coeficiente global de seguridad Para el sistema de análisis de estructuras existentes, se ha optado por utilizar un sistema pareci-do al de los estados límite, manteniendo las reservas que conllevan las incertidumbres existentes y el comportamiento particular de estas estructuras. Esta forma de proceder, usada, aunque con matizaciones, hasta 1999 por la norma DIN 1045 para estructuras de hormigón plantea el llama-do “coeficiente global” de seguridad como marco de referencia en los términos siguientes.

El programa desarrollado es capaz de analizar dos tipos de rotura:

Formación de mecanismo:

RdQQE ijqijgjd =+= ∑γλ, Resistencia de la sección:

RdQQE ijqijgjd =+= ∑γλ, Para la obtención del coeficiente de seguridad global se determinará la mayor carga que es capaz de resistir la estructura para cada uno de los tipos de rotura. Cada tipo de rotura tendrá una combinación de cargas distintas, ya que por ejemplo, en el caso de formación de mecanismos, el peso propio será favorable y por lo tanto no se deberá mayorar.

Una vez obtenidas las distintas combinaciones de cargas que producen la rotura del elemento

estudiado, el coeficiente global de la estructura será el menor de los gλ obtenidos para cada uno de los modos de fallo.

[ ]gMin λλ =

Este valor de λ será el coeficiente de seguridad global de la estructura. Se debe tener en cuenta que los valores de la resistencia de los materiales no han sido minorados, dado que ya se conoce de forma suficientemente fiable la geometría de la estructura y se puede definir por medio de ensayos un comportamiento de los materiales de acuerdo con la realidad, teniendo en cuenta siempre la dispersión de estos valores dentro de la estructura.

6. CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN

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CAPÍTULO 6

CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN

6.1 Conclusiones El análisis de estructuras de fábrica por medio de superficies de presión es una técnica que pro-duce buenos resultados porque permite analizar la seguridad de estas estructuras y sus posibles formas de rotura con muy pocos datos.

Las teorías de plasticidad permiten analizar formas de comportamiento de las estructuras sin tener en cuenta parámetros como el módulo de deformación. Dado que estos parámetros son difíciles de determinar, métodos como el propuesto resultan idóneos para el análisis de estruc-turas de fábrica, al menos en un alto número de casos.

Sin embargo, el análisis de estructuras tridimensionales mediante este tipo de métodos no ha podido ser desarrollado completamente hasta la aparición de los modernos ordenadores. Para el estudio de este tipo de estructuras siempre se ha optado por el análisis en rebanadas, siendo para ciertas estructuras sin simetría en geometría o en cargas, mucho más lento.

Es muy importante el desarrollo de un método que permita obtener superficies de presión de estructuras tridimensionales de una forma sencilla, para el buen análisis de este tipo de estructu-ras. El método permite obtener la seguridad de una estructura frente a todo tipo de cargas está-ticas, utilizando únicamente como datos de partida la geometría de la estructura y el valor de la carga, datos todos estos más fáciles de determinar. Una mejora que presenta este método es el cálculo con cargas horizontales. Además, la búsqueda de las diferentes soluciones es rápida, modificando adecuadamente las reacciones horizontales.

Otra ventaja de este método es que la formulación es conceptualmente sencilla, dado que úni-camente utiliza las ecuaciones básicas de equilibrio de la estática. No se acude a la compatibili-dad de deformaciones ni a la ecuación constitutiva. En segundo nivel se pueden controlar las tensiones.

Para determinar su correcto funcionamiento se han desarrollado comprobaciones, llegando a la conclusión de que los resultados obtenidos son correctos y no difieren sensiblemente de los resultados obtenidos por medio de otros procedimientos. Estos análisis se han completado es-tudiando distintas estructuras existentes.

Se considera, por tanto, que el uso de superficies de presiones para determinar la seguridad de estructuras existentes es de gran utilidad como herramienta de análisis, cuando como sucede casi siempre, hay muy pocos datos, siendo necesaria todavía una gran evolución en los métodos y en el empleo de los resultados, estudiando las formas de rotura de este tipo de estructuras y su relación con las superficies de presión.


97

Este procedimiento facilita al ingeniero la comprobación de los mecanismos resistentes de estas construcciones, pero requiere de la iteración continua y controlada para dar con el rango de so-luciones posibles.

Se ha demostrado también la aptitud de este método para el diseño de estructuras antifunicula-res, manteniendo un alto grado de libertad para la elección de la forma más acertada.

6.2 Futuras líneas de investigación

Desarrollo del método

En este trabajo se ha desarrollado un método con capacidad suficiente para el análisis de todo tipo de estructuras tridimensionales por medio de superficies de presión. Sin embargo, existen varios puntos donde este método debe ser optimizado para facilitar su utilización.

En primer lugar, es necesario determinar un algoritmo de optimización que permita obtener la solución óptima para una estructura, de una forma directa y sin necesidad de iterar, modificando los distintos valores de las reacciones horizontales. Este problema ya se encuentra resuelto para el caso de estructuras en dos dimensiones, tal y como se demuestra en el trabajo de Alejandro Ramos.

Para esto es necesario determinar qué superficie de presión es la óptima, es decir, la más segura en relación con los paramentos de la estructura, de todas las infinitas soluciones que se pueden encontrar. Se deberán analizar los distintos criterios, como por ejemplo, aquella superficie que de media se aleja menos de la superficie media de los paramentos, o la que produce un menor empuje lateral, lo que está ligado a las condiciones de vinculación.

Para mejorar la calidad de los modelos obtenidos sin perjudicar el tiempo de cálculo, en un futu-ro se incorporarán al modelo las discretizaciones horizontales que mejor se adapten a cada tipo de estructura, de forma que, al definir la estructura, el sistema automáticamente prepare las fa-milias de líneas de presión que mejor encajen.

El sistema se preparará para incorporar líneas de presión unidas a las superficies. De esta forma, se podrán estudiar de forma conjunta elementos superficiales como bóvedas, acoplados con elementos lineales como pueden ser los arbotantes.

En definitiva, se pretende crear un sistema que permita el análisis completo de todos los elemen-tos que integran una estructura de fábrica. Así, en el caso de una estructura complicada como puede ser una catedral, se podrán analizar las subestructuras que la componen y las interaccio-nes entre estos elementos. Por ejemplo, el programa al estudiar un muro, tendrá en cuenta los esfuerzos provenientes de la bóveda superior que habrá sido calculada previamente.

Esta herramienta también pretende ser un posible preprocesador para herramientas basadas en los elementos finitos. Una vez obtenidas las superficies de presión, estas serán la base de la geo-metría de un modelo de elementos finitos, en el que no existirán tracciones ya que parte de la superficie de presión antifunicular.

Una vez determinada una superficie de presión válida, es necesario estudiarla a nivel seccional para comprobar que las tensiones producidas pueden ser soportadas por dicha estructura. Por eso mismo es necesario mejorar el análisis tensional teniendo en cuenta el comportamiento biaxial de la estructura.

En un futuro, la herramienta desarrollada contará con una interfaz gráfica más potente que facili-tará la detección de los puntos de fallo y permitirá una visión más ágil de todas las partes de la estructura analizada.


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Desarrollo de los métodos de colapso de estructuras bidimensionales

Los mecanismos de colapso de estructuras bidimensionales están bien determinados y se cono-cen los factores que los producen. Sin embargo, ese conocimiento debe ser ampliado para es-tructuras tridimensionales.

En este sentido se pretende mejorar el postprocesador de detección de líneas de rotura, de for-ma que permita realizar análisis paramétricos de la forma de rotura de estructuras tridimensiona-les. Con este conocimiento se podrán definir los puntos críticos de las distintas tipologías estruc-turales.

Se considera importante mejorar la herramienta para que permita comprobar estructuras ante desplazamientos impuestos y no solamente ante cargas. Los movimientos pueden ser produci-dos por asentamientos de la cimentación o variaciones en los estratos donde apoya la estructura, y en muchos casos ponen en peligro la estabilidad de la misma. Ante estos desplazamientos la herramienta buscará superficies antifunicualres en la geometría deformada para poder definir la variación de la seguridad. En modo alguno se introducen condiciones de rigidez o relaciones tenso-deformacionales.

Desarrollo de superficies de presión para diseño de estructuras en hormigón

El método que se propone en este trabajo también comprende las superficies antifuniculares en hormigón estructural, buscando la geometría resistente coherente con la del elemento a estu-diar. El papel de la armadura es aportar la fuerza de reacción. Este planteamiento es un comple-mento, más que una alternativa, a los ya clásicos de bielas y tirantes.

Figura 6.01 Superficie de presión en encepado de hormigón de seis pilotes.

La forma de la superficie de presión viene determinada por las fuerzas que soporta y las reaccio-nes horizontales. En una estructura como un encepado, no existen esas reacciones horizontales. Sin embargo, la armadura dispuesta en el hormigón realizará esa función, lo mismo que la cuerda de un arco. En las superficies de presión el acero soportará las tracciones equilibrándose con las reacciones.

Para su dimensionamiento, de la misma forma que se comprueban estructuras de mampostería, se deberá introducir las superficies de presión dentro del encepado. Para conseguir que la super-ficie entre, se deberán aumentar las reacciones horizontales hasta el punto en el que la flecha de


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la superficie de presión sea admisible. Las reacciones horizontales que permitan esta solución serán las tracciones para las cuales se deberá dimensionar la armadura de dicho encepado.

El análisis de estructuras de hormigón por medio de superficies de presión es una alternativa de cálculo que todavía no se ha desarrollado y puede permitir realizar comprobaciones de forma rápida, teniendo en cuenta la plasticidad de las estructuras, respetando ciertas reglas como los ángulos que deben formar las líneas o la disposición de la armadura. En segundo nivel se deberán tener en cuenta las capacidades resistentes del acero. Se trata en todo caso de una herramienta para comprobación en estado límite último, nunca en servicio.

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Estudio de elementos de fábrica por superficies antifuniculares · 2018. 2. 11. · loga al...

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