Estudio Analisis Dinamico No Lineal y Discreto y Desarrollo de Un Sistema

TESIS

PARA PRESENTAR EL

EXAMEN DOCTORAL

PARA OBTENER EL GRADO DE

DOCTOR EN CIENCIAS EN INGENIERIA MECANICA

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICASECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

ANÁLISIS DINÁMICO NO LINEAL Y DISCRETO PARA UN SISTEMA DE ENSAMBLE Y MANUFACTURA AUTOMÁTICO

DE ESTRUCTURAS DE COLECTORES SOLARES MODULARES

P R E S E N T A

M. en C. Héctor Domínguez Aguirre

DIRECTORES DE TESISDr. José Ángel Ortega Herrera

Dr. Valery R. Nosov

México, D.F., Junio, 2010

México, D.F. Mayo del 2010

Este trabajo está licenciado bajo una licencia Creative Commons BY-NC-SA-2.5. Los usuarios de la información pueden copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra y hacer obras derivadas bajo las condiciones de la licencia Creative Commons de Atribución, Sin Uso Comercial y Licenciamiento Recíproco (CC Atribución-Sin Uso Comercial-Licenciamiento Recíproco 2.5-México).

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AL DOCTOR JOSÉ ÁNGEL ORTEGA HERRERASIN SU ASESORÍA Y APOYO ACADÉMICO

DESDE MIS INICIOS NO ESTARÍA AHORA AQUÍ

ÍNDICE DE CONTENIDO


RESUMEN.........................................................................................................................i

ABSTRACT.....................................................................................................................iii

INTRODUCCIÓN.............................................................................................................vPresentación...............................................................................................................................................vAntecedentes.............................................................................................................................................ixObjetivo general.........................................................................................................................................xObjetivos específicos.................................................................................................................................xJustificación..............................................................................................................................................xiAlcance....................................................................................................................................................xiiAportaciones principales........................................................................................................xii

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A MODELOS MATEMÁTICOS DE MICROMECANISMOS1.1 Introducción.........................................................................................................................................11.2 Descripción de diseños básicos de micromáquinas.............................................................................41.3 Análisis de errores en micromáquinas..................................................................................................71.4 Métodos de Calibración.....................................................................................................................131.5 Modelos de micromáquinas, microceldas y microfábricas................................................................16Referencias...............................................................................................................................................25

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS NO LINEAL DE DINÁMICA COMPLEJA EN MECANISMOS2.1 Introducción.......................................................................................................................................292.2 Deformación térmica..........................................................................................................................302.3 Compensación por expansión diferencial nominal............................................................................332.4 Efectos dinámicos y fuerzas de corte en máquinas herramienta........................................................352.5 Las vibraciones mecánicas debido a la estructura de la máquina......................................................412.6 No linealidades presentes en una máquina herramienta....................................................................45

2.6.1 Fricción......................................................................................................................................452.6.2 Saturación de actuadores...........................................................................................................512.6.3 Paso mínimo..............................................................................................................................522.6.4 Palabras finales de los modelos matemáticos............................................................................53

Referencias...............................................................................................................................................55


CAPÍTULO 3. DISEÑO DE ALGORITMOS DE MODELACIÓN Y CONTROL PARA MICROMECANISMOS DE ALTA PRECISIÓN3.1 Introducción.......................................................................................................................................573.2 Análisis de estabilidad e inestabilidad de sistemas dinámicos con retardo........................................583.3 Sistemas híbridos en máquinas de control numérico.........................................................................61

3.3.1. Sistemas híbridos.......................................................................................................................633.3.2 Modelo de una micromáquina fresadora CNC...........................................................................653.3.3. Definición de abstracciones y simulaciones..............................................................................673.3.4. Alcance de la dinámica del sistema híbrido. ............................................................................693.3.5 Extensiones a los sistemas híbridos............................................................................................74

3.4 Sistemas dinámicos Conmutables......................................................................................................753.4.1 Definición de Sistemas dinámicos conmutables........................................................................753.4.2 Péndulo simple conmutable.......................................................................................................783.4.3 Comportamiento complejo de un péndulo simple conmutable. ................................................803.4.4 Sistemas conmutables con transiciones aleatorias.....................................................................81

3.5 Modelos y algoritmos integrales de micromáquinas..........................................................................883.5.1 Modelación matemática de una microfresadora de tipo cartesiana............................................883.5.2 Análisis cinemático y dinámico de un micromanipulador robótico...........................................96

3.5.2.1 Análisis de la cinemática directa de un micro manipulador scara......................................963.5.2.2 Solución de la cinemática inversa de un microrobot scara...............................................1003.5.2.3 Dinámica de un micromanipulador tipo Scara.................................................................102

3.6 Diseño de controladores en micromáquinas de precisión................................................................1063.6.1 Introducción..............................................................................................................................1063.6.2 Control adaptivo.......................................................................................................................1073.6.3 Estabilidad de perturbaciones en una máquina........................................................................109

Referencias.............................................................................................................................................111

CAPÍTULO 4. SIMULACIÓN COMPUTACIONAL NO LINEAL Y DISCRETA DE MICROMECANISMOS DE ALTA PRECISIÓN4.1 simulación de sistemas híbridos de micromecanismos....................................................................1154.2 Caos en un oscilador armónico conmutable. ...................................................................................119

4.2.1 Comportamiento caótico de un oscilador armónico conmutable.............................................1194.2.2 Otros tipos de caos basados en un oscilador armónico conmutable.........................................1264.2.3 Oscilador armónico conmutable con transiciones aleatorias...................................................1284.2.4 Estabilizando el caos en un oscilador armónico conmutable...................................................131

4.3 Simulaciones cinemáticas y dinámicas de micromecanismos.........................................................1394.3.1 Simulación de una micro máquina CNC..................................................................................139

Referencias.............................................................................................................................................149


CAPÍTULO 5. DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE MICROMECANISMOS DE MANUFACTURA DE ALTA PRECISIÓN PARA EL ENSAMBLE AUTOMÁTICO DE COLECTORES SOLARES MODULARES5.1 Diseño mecánico de una micromáquina..........................................................................................1515.2 Diseño del control electrónico de una micromáquina......................................................................1555.3 Diseño del programa de control de movimiento..............................................................................158

5.3.1 Diseño del hardware de control de movimiento.......................................................................1585.3.2 Diseño de la interface en la PC con la tarjeta de control de movimiento.................................164

5.4 Diseño del ensamble automático de estructuras complejas: Caso del ensamble automático de un colector solar..........................................................................................................................................168

5.4.1 Introducción..............................................................................................................................1685.4.2 Estructura del Colector Solar....................................................................................................1695.4.3 Sistema de micromanufactura .................................................................................................1715.4.4 Descripción de elementos estructurales ..................................................................................1735.4.4 Método de ensamble automático propuesto.............................................................................1755.4.5 Modelo matemático para el proceso de ensamble....................................................................1795.4.6 Otros métodos propuestos de ensamble automático.................................................................1895.4.7 Análisis del costo-rendimiento de los colectores solares.........................................................192

5.5 Colaboración y complejidad en micromáquinas en el ensamble automático..................................199Referencias.............................................................................................................................................201

CONCLUSIONES.........................................................................................................203

RECOMENDACIONES Y TRABAJO A FUTURO..................................................207

BIBLIOGRAFÍA GENERAL.......................................................................................209

ANEXO A. USO DE ENERGÍAS LIMPIAS EN LA VIDA COMÚN......................A-1

ANEXO B. CÓDIGO FUENTE DE SOFTWARE DESARROLLADO..................B-1

ANEXO C. HERRAMIENTAS DE DESARROLLO COMPUTACIONAL............C-1

ANEXO D. PORTADAS DE PUBLICACIONES.....................................................D-1

ANEXO E. TALLERES LIBRES DE ARTES Y TECNOLOGÍAS........................E-1

ÍNDICE DE FIGURAS

ÍNDICE DE FIGURAS

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A MODELOS MATEMÁTICOS DE MICROMECANISMOS

Figura 1.1. Análisis del flujo de las fuentes de errores.....................................................................................7

Figura 1.2. Mapa de errores en una fresadora cartesiana convencional..........................................................11

Figura 1.3. Mapa de compensación de error ................................................................................................11

Figura 1.4. jerarquía: desde sensores y actuadores hasta la organización por grupos.....................................18Figura 1.5. Estructura de la escala de tiempo en cuanto a los ciclos de acción de cada uno de los niveles en la

jerarquía de la manufactura. .......................................................................................................................20

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS NO LINEAL DE DINÁMICA COMPLEJA EN MECANISMOS

Figura 2.1. Deformación térmica en un elemento viga libre............................................................................30

Figura 2.2. Representación de la deformación térmica de un cuerpo restringido por dos paredes....................31

Figura 2.3. Modelo armónico para las fuerzas de corte de una máquina herramienta en un plano....................36Figura 2.4. Planos fase para los osciladores en las direcciones Y y Z debidas a fuerzas de corte en un proceso

de maquinado en una fresadora convencional..............................................................................................37

Figura 2.5. Vista desde arriba del maquinado de una fresa con una herramienta de corte con cuatro dientes... 37

Figura 2.6. Modelo regenerativo de las fuerzas de corte en una fresa............................................................45Figura 2.7. Fuerzas de corte para las direcciones Y y Z obtenidas por simulación de corte de acero usando 4

herramientas de corte distribuidos uniformemente en el sujetador. ................................................................40

Figura 2.8. Ejemplo de fuerzas generalizadas en una máquina herramienta con 4 elementos dinámicos..........41Figura 2.9. Resultados de una prueba de movimiento circular mostrando el efecto de la fricción seca en una

maquina herramienta..................................................................................................................................46Figura 2.10. Modelo de fricción no lineal que muestra cuatro diferentes regiones o regímenes de

comportamiento..........................................................................................................................................47

Figura 2.11. Modelo de fricción en un diagrama a bloques.............................................................................49

Figura 2.12. Pruebas de fricción comparando un mecanismo desalineado con otro mejor alineado..................50

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.13. Torque de un motor moviendo una carga vertical. ......................................................................51

Figura 2.14. Prueba de micro paso con la posición del controlador y la real medida con un sensor láser..........53

CAPÍTULO 3. DISEÑO DE ALGORITMOS DE MODELACIÓN Y CONTROL PARA MICROMECANISMOS DE ALTA PRECISIÓN

Figura 3.1. Máquina de estados finitos por eje..............................................................................................68Figura 3.2. Secuencia de eventos y estados para el comando G01 de interpolación lineal en una máquina

herramienta. ..............................................................................................................................................69Figura 3.3 Modelo con una planta lineal y una retroalimentación no lineal para la prueba de estabilidad absoluta.

..................................................................................................................................................................72

Figura 3.4 a) Aproximación del modelo de fricción por una función en la región [k1, k2]. b) Criterio del círculo....74

Figura 3.5. Ejemplo de superficies de conmutación entre cuatro diferentes sistemas continuos.......................76

Figura 3.6. Representación de dos sistemas dinámicos en el espacio de fases...............................................77

Figura 3.7 Comportamiento dinámico del sistema conmutable completo.........................................................78

Figura 3.8. Péndulo simple conmutable con dos regiones de conmutación. ...................................................79Figura 3.9. Péndulo simple conmutable. a) sistema inestable con l1=1.0 y l2 = 1.1. b) sistema estable con l1=1.0

y l2 = 0.9. Posición inicial = 1.0.....................................................................................................................80

Figura 3.10. Regiones de conmutación para un péndulo simple con comportamiento complejo........................80

Figura 3.11. Transiciones en un sistema conmutable vistas como una secuencia de eventos...........................82

Figura 3.12. Transiciones aleatorias de un oscilador armónico conmutable.....................................................83

Figura 3.13. Péndulo aleatorio conmutable para (a) lb = 0.9 y lc = 0.8, (b) lb = 1.1 y lc = 1.2...............................85Figura 3.14 Péndulo aleatorio conmutable con lb = 1.1 y lc = 0.9 y Pa,b = 0.5, el sistema permanece cerca del

ciclo límite.................................................................................................................................................86

Figura 3.15 Péndulo aleatorio conmutable con lb = 1.1 y lc = 0.9 y Pa,b = 0.7. El sistema es inestable al infinito.

..................................................................................................................................................................87Figura 3.16 Péndulo aleatorio conmutable con lb = 1.1 y lc = 0.9 y Pa,b = 0.3. El sistema es asintóticamente

estable al infinito.........................................................................................................................................87

Figura 3.17. Esquema de la disposición de los ejes de movimiento de una micro fresadora.............................89

Figura 3.18. Modelo lineal de la mesa de movimiento XY de la micro máquina fresadora. ..............................90Figura 3.19. Diagrama a bloques de un control básico para un mecanismo lineal. Abstracción de uno de los ejes

ÍNDICE DE FIGURAS

horizontales de una micro máquina fresadora...............................................................................................91

Figura 3.20 Primer ciclo de reducción del modelo de control de los ejes horizontales......................................92

Figura 3.21. Lazo cerrado de control reducido para una planta lineal representando los ejes horizontales........93

Figura 3.22 Modelo dinámico lineal del eje vertical de la micro máquina fresadora..........................................94

Figura 3.23. Diagrama a bloques de la función de transferencia para el eje Z de movimiento vertical...............95

Figura 3.24 Diagrama de la cinemática de un robot Scara tipo RRRP.............................................................97

Figura 3.25. Planta generalizada con retroalimentación...............................................................................110

Figura 3.26. Planta con perturbación después de la transformación de los lazos cerrados.............................110

CAPÍTULO 4. SIMULACIÓN COMPUTACIONAL NO LINEAL Y DISCRETA DE MICROMECANISMOS DE ALTA PRECISIÓN

Figura 4.1. Modelo de una máquina híbrida. La máquina de estados finitos envía las señales de conmutación al

bloque continuo........................................................................................................................................116

Figura 4.2.Modelo global de la micro máquina de Control Numérico. ...........................................................116

Figure 4.3. Vistas del modelo de la micro fresadora para visualización en 3 dimensiones..............................117Figure 4.4. a) La señal de perturbación generada en la simulación y los picos muestran las transiciones de baja

a alta velocidad y viceversa. b) El controlador reacciona rápidamente a los cambios de estado.....................118Figura 4.5 Diferente comportamiento para un oscilador armónico conmutable definido por (a) α = 1.0 –

asintóticamente estable, (b) α = 2.5 – ciclo límite sencillo y (c) α = 3.0 un ciclo límite doble..........................120

Figure 4.6. Evolución dinámica del oscilador armónico conmutable =1 x 2 para α = 3.8 y x(0) = 0.9,

x 0=0 en los tiempos (a) t=100, (b) t =300 y (c) t= 1000......................................................................121

Figure 4.7. Evolución dinámica de un oscilador armónico conmutable en el régimen caótico =1x 2

(a) α = 3.5, (b) α = 3.8 y (c) α = 4.0 y x 0=0.9, x 0=0 ...................................................................123Figure 4.8 Valores promedios de la posición y la velocidad de un oscilador armónico conmutable en régimen

caótico con α = 4.0, (a) Posición, (b) Velocidad y (c) valor promedio en la escala de tiempo de [0,10000] ......124Figure 4.9 Plano fase de un oscilador armónico conmutable para α = 3.9 y condiciones iniciales (a)

x 0=0.5, x 0=0 y (b) x 0=1.24, x 0=0 ..............................................................................125Figura 4.10 Plano de fases de un oscilador armónico conmutable modificado dado por la ecuación X para (a) α

= 6.3 y (b) α = 6.75 y condiciones iniciales x 0=0.9, x 0=0 .............................................................126Figura 4.11 Evolución del atractor extraño para la frecuencia dada por ecuación 4.x con α = 0.8 y un mapa de

ÍNDICE DE FIGURAS

Bernoulli sobre el semi-eje negativo de la posición en (a) t=500, (b) t=1000 y (c) t=2000...............................127Figura 4.12 Destrucción de caos en un oscilador armónico conmutable con (a) frecuencia dada por ecuación 4.x

y valores iniciales x(0) > 1.25 y (b) frecuencia dada por ecuación 4.x y valores iniciales x(0) > 1.0.................128Figure 4.13 (a) Comportamiento caótico de un oscilador armónico aleatorio conmutable para α(z) con una

función de distribución de probabilidad uniforme entre [0,4] y (b) valores de α(z)..........................................129Figure 4.14 (a) comportamiento caótico de un oscilador armónico aleatorio conmutable para α(z) con una

función de distribución de probabilidad con una norma de 3.5 y varianza de 0.5 y (b) valores de α(z).............130

Figura 4.15. Efectos de pequeña retroalimentación de la velocidad en el oscilador armónico conmutable.......132Figura 4.16. Retroalimentación en el oscilador armónico conmutable caótico, (a) β = 0.05, (b)β = 0.08 y (c)β =

0.10.........................................................................................................................................................133Figura 4.17. Retroalimentación en el oscilador armónico conmutable caótico, (a) β = 0.20, (b) β = 0.30 y (c) β =

0.50.........................................................................................................................................................134Figura 4.18. Retroalimentación en el oscilador armónico conmutable caótico, (a) β = 0.60, (b) β = 0.80 y (c) β =

1.00.........................................................................................................................................................135Figura 4.19. Retroalimentación de posición en un oscilador armónico conmutable caótico. a) β = -0.02, (b) β =

-0.05 y (c) β = -0.08..................................................................................................................................137Figura 4.20. Retroalimentación de posición en un oscilador armónico conmutable caótico. a) β=-0.10, (b) β=-

0.50 y (c) β= -1.00.....................................................................................................................................138

Figura 4.21. Fuerza de corte para la simulación de una micro máquina........................................................142

Fig. 4.22. Fuerza distribuida al giro de la herramienta de corte.....................................................................143Figura 4.23 Diagrama a bloques del control PID de un solo eje de movimiento de una micro máquina de corte.

................................................................................................................................................................144

Figura 4.24. Representación del modelo de sistema híbrido de una micro máquina CNC..............................146

Figura 4.25. Modelo de simulación dentro del sistema híbrido......................................................................147

Figura 4.26. Resultados de simulación del sistema mostrado en 4.25 y un comando de posición de 10 mm...148

CAPÍTULO 5. DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE MICROMECANISMOS DE MANUFACTURA DE ALTA PRECISIÓN PARA EL ENSAMBLE AUTOMÁTICO DE COLECTORES SOLARES MODULARES

Figura 5.1 Vistas de la micro fresadora desarrollada como prototipo de micromáquina..................................151

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 5.2. Vistas de la fabricación de los motores a pasos para la micromáquina. (a) soporte del estator, (b) con

los devanados del estator y (c) el ensamble completo del motor..................................................................152

Figura 5.3 Tornillos de uno de los ejes de movimiento de la micromáquina...................................................153

Figura 5.4. Guías de movimiento de los ejes de la micro fresadora..............................................................153

Figura 5.5. Diagrama de los componentes mecánicos de un eje simple de la micro fresadora.......................154Figura 5.6.(a) Diagrama a bloques del sistema de control y (b) Diagrama esquemático de la tarjeta de control de

movimiento...............................................................................................................................................156

Figura 5.7 Vista de las tarjetas de control del sistema de movimiento...........................................................157

Figura 5.8. Topología de conexión en cadena tipo Daisy de los controles de movimiento...............................159

Figura 5.9. Diagrama de flujo de la implementación del programa de control en la tarjeta electrónica.............160Figura 5.10. Análisis de generación de pulsos de control para el motor a pasos. El intervalo de tiempo entre

pulsos está definido por la pendiente del perfil de velocidad deseado...........................................................161

Figura 5.11. Gráficas de generación del perfil de velocidad y la posición que este perfil genera.....................163Figura 5.12. Diagrama a bloques con los componentes de programación del sistema de control de movimiento.

................................................................................................................................................................164

Figura 5.13. Módulos del programa de control en la PC...............................................................................166

Figura 5.14. interface de usuario para el control de movimiento de dos ejes.................................................167

Figure 5.15. Celda hexagonal propuesta por Kussul y otros [4] para formar el colector solar..........................169

Figure 5.16. Estructura de soporte de un espejo plano triangular para el concentrador solar parabólico.........170Figura 5.17. Fotografías de una celda del colector solar y sus unidades básicas. a) y b) una celda triangular

sencilla y c) la estructura de un colector solar de dos zonas de espejos.......................................................174Figure 5.18. Identificación de nodos para (a) la región 1 y (b) la región 2 en el lado superior de la estructura del

colector solar............................................................................................................................................176

Figure 5.19. Pared externa de la primera zona de la estructura del colector solar..........................................177Figure 5.20. Corte de la pared longitudinal mostrando los número de nodos de la estructura del colector solar.

................................................................................................................................................................177Figura 5.21. Elementos barra identificados para la primera zona (a) elementos internos, (b) pared externa

(elementos superiores) y (c) barras cruzadas en la pared externa................................................................178Figure 5.22. Secuencia del ensamble de la primera región del colector solar. (a) estructura de ensamble básico.

(b) secuencia de ensamble para la primera región y (c) la secuencia de ensamble de los espejos.................180Figura 5.23. Distribución de los elementos de ensamble para la segunda región y la propuesta de ensamble

iniciando por el nodo C1,2,1.........................................................................................................................181Figura 5.24. Elementos compuestos de ensamble para nodos que comparten paredes de la estructura de

ÍNDICE DE FIGURAS

soporte. Ambos elementos son un reflejo uno de otro y van intercalados en la estructura dependiendo de su

posición y región.......................................................................................................................................182Figura 5.25. Evolución del ensamble de las regiones exteriores de la estructura de soporte de colectores

solares. En esta figura solo se ilustra una cara y una sección por limitantes de espacio, se supone que las

regiones interiores están completas...........................................................................................................183

Figura 5.26. Corte transversal de la estructura de soporte del colector solar.................................................184Figura 5.27. Simulación de un disco parabólico formado por elementos barra de 5 cm, con un disco de 2 m de

diámetro y foco a 1 m................................................................................................................................185Figura 5.28. Disposición de un concentrador solar parabólico de disco hexagonal de 2 m de diámetro y foco a

1m. Vista superior y lateral........................................................................................................................187Figura 5.29. Propuesta de estructura con un segundo nivel que genera la curva de la parábola deseada para el

concentrador solar....................................................................................................................................189Figura 5.30. Propuesta de construcción de pasillos de ensamble de elementos interiores para las diferentes

regiones de espejos. ................................................................................................................................190

Figura 5.31. Aproximación del disco usando segmentos tipo tesela..............................................................191

Figura 5.32. Formas en que el colector solar puede tomar a partir de regiones de espejos............................192

Figura 5.33. Factores que afectan la concentración de energía en el colector solar.......................................193Figura 5.34. Peso del concentrador solar para diferentes diámetros y tamaños de la barra base de la estructura

................................................................................................................................................................196

Figura 5.35. relación del costo total, diámetro del concentrador y tamaño de la barra base de la estructura....197

Figura 5.36. Factores de concentración de la energía solar en el colector.....................................................198

RESUMEN

RESUMEN

El principal objetivo de esta disertación es el de desarrollar técnicas

innovadoras dentro del campo de micromáquinas y micromecanismos para

procesos de manufactura y ensamble automático para la construcción de

estructuras de colectores solares modulares, así como realizar un estudio

matemático y computacional de sistemas dinámicos no lineales aplicados a

estos mismos sistemas.

Se ha usado un procedimiento de análisis de errores en micro mecanismos

obteniendo una matriz de transformación homogénea de seis grados de

libertad que contiene errores geométricos, de dinámica lenta y rápida y no

linealidades. El procedimiento para encontrar esta matriz puede ser usado

no solamente en micro mecanismos, sino también en máquinas

convencionales con el fin de mejorar sus rendimiento.

Como filosofía de desarrollo se ha hecho énfasis en la Integración de

diferentes herramientas de prototipos rápidos para el análisis y diseño de

micro mecanismos. Como resultado se ha desarrollado software de

simulación en diferentes lenguajes de programación y paquetes de

simulación y modelación computacional para cada uno de los módulos del

sistema, entre ellos podemos mencionar ptolemy, python, C, ensamblador y

matlab.

Es importante mencionar que la aportación mas innovadora de este trabajo

es el desarrollo de modelos dinámicos conmutables con gran potencial en el

área de sistemas dinámicos complejos y sus aplicaciones. El desarrollo de

i

RESUMEN

sistema conmutables se condujo hacia comportamientos caóticos en

sistemas determinísticos y aleatorios con una realización bidimensional e

implementando varios mapas caóticos. Finalmente, se abordó el problema

de estabilización del caos con valores muy pequeños de retroalimentación

de velocidad y posición.

Se ha desarrollado un sistema de control de movimiento que ha sido

implementado en una mesa de pruebas de inspección automática de

tarjetas electrónicas usando un sensor láser. Esta implementación tiene

aplicaciones industriales y en metrología.

Este trabajo incluye también varias piezas de software de análisis de

procesos de maquinado, modelos robóticos, automatización y construcción

de concentradores solares con micro espejos planos. Se ha propuesto el

uso de áreas geométricas superpuestas como mosaicos o teselas sobre la

superficie del concentrador solar. Esto permitirá una mejor paralelización del

proceso de ensamble, transporte a la zona final de instalación y mejor

administración desde el punto de vista económico. Las potenciales

aplicaciones de estás estructuras son varias y van desde arquitectura,

construcción de antenas y telescopios.

ii

ABSTRACT

ABSTRACT

The main goal for this dissertation is to develop novel techniques within the

field of micro machinery and micro mechanisms aim to manufacturing and

automatic assembly process, applied to the construction of modular solar

collectors with flat facet mirrors. In addition to that, a major goal is to develop

mathematical studies and computational developments of non linear

dynamical systems applied to micro mechanisms.

A novel six degrees of freedom machine error analysis has been applied to

micro mechanisms obtaining a homogeneous transformation matrix that

contains all geometrical, slow and fast dynamics and non linear errors. This

procedure can be used not only with micro mechanisms, but with

conventional mechanisms also in order to improve its performance.

A fundamental philosophy for development in this work it to integrate

different tools for rapid prototyping in these studies and designs of micro

mechanisms. Also, several pieces of software have been developed in

several programming languages and modeling and simulation packages, like

ptolemy, python, C, assembler and matlab.

It is also important to mention that the most innovative development are the

models of dynamical commutable systems, which we believe may have an

important role in non linear and complex dynamical systems. Studies done in

this area led us to complex behavior of very simple commutable systems,

such as harmonic oscillators. We found the rule for generating a chaotic

behavior in a bi-dimensonal realization with continuous and deterministic

iii

ABSTRACT

state variables. Extensions of those studies were done for random

parameters and state variables. Finally, chaos stabilization was done by

using small amount of velocity and position feedback into the chaotic system.

A motion control system was developed and implemented in an automatic

inspection system for printed circuit boards using a laser sensor. This

implementation has industrial and metrology applications.

This research also includes several pieces of software aim to analyze

machining process, robotic models, automation and construction of micro

facet flat mirrors solar collectors. This research proposes an algorithm for

automatic assembly of such solar collectors and also the use of different

geometrical pre-assembled regions like tessellations on the surface of the

concentrator. This would allow a better parallel assembly process,

transportation and final installation on site. This type of structures have other

uses in architecture, antennas and telecopes construction.

iv

Introducción

INTRODUCCIÓN

Presentación

El uso de energías limpias en el planeta es prioritario para disminuir los efectos en el cambio

climático y la energía solar representa una fuente prácticamente ilimitada y muy barata de

energía. Desarrollar tecnología energética que esté al alcance de la mayoría de la gente

debe de ser prioridad para cualquier sociedad en búsqueda de una mejor calidad de vida.

En este momento, la solar representa la fuente mas importante de energía en el planeta y

existen avances considerables al respecto. La figura i.1 muestra uno de los primeros diseños

de concentrador solar desarrollado en los 80s, este modelo representa un paraboloide

segmentado por áreas cuadradas y en el foco se conecta un motor térmico tipo Stirling.

El proceso de generación de energía en este caso es relativamente simple, el foco de la

parábola concentra la energía térmica del sol, en este punto se coloca un motor térmico que

transforma el calor en movimiento mecánico, este mueve un cigüeñal que transmite el

movimiento a un generador eléctrico. Este proceso puede apreciarse en la figura i.2.

v

Introducción

Figura i.1 Ejemplo de un colector solar con un motor térmico tipo Stirling desarrollado en los 80s.

Figura i.2. Proceso de generación de energía eléctrica con un concentrador solar.

vi

Introducción

A pesar de todo el desarrollo y el conocimiento del impacto negativo del uso de energías no

renovables como el carbón o el petróleo, el uso de energías renovables aún está muy poco

desarrollado y representa un porcentaje muy pequeño de la generación energética mundial

actualmente. La tabla i.1 muestra datos de la Agencia internacional de energía del 2002,

estos datos están ejemplificados en la figura i.3.

Tabla i.1. Generación mundial de electricidadCarbón 39.0%Petróleo 7.2%Gas 19.1%Nuclear 16.6%Hidráulica 16.2%otras (geotérmica, solar, eólica, etc.) 1.9%Fuente: Agencia Internacional de la EnergíaKey World Energy Statistics 2002

Figura i.3. Gráfica de la distribución de las fuentes de energía mundial en el 2002.

El desarrollo de tecnología relacionada a la generación de energía renovable y limpia es de

suma importancia para revertir los efectos negativos generados por cientos de años de uso

de carbón y petróleo, desde su generación, transformación, uso y manejo posterior de los

desechos. Es necesario empezar a ver esto como un flujo entero de energía.

vii

Generación de ElectricidadFuente: Agencia Internacional de Energía 2002

Carbón Petroleo GasNuclear Hidráulica otras

(geotérmica, solar, eólica, etc)

Introducción

La propuesta de usar micro máquinas se basa en el hecho que está tecnología hace un uso

mas eficiente de la energía de operación y se basa en la paralelización de tareas. La escala

de trabajo de estos dispositivos es obviamente pequeño y esto obliga al uso de múltiples

máquinas simultáneamente.

Hoy en día la tecnología está mas cerca de nosotros y los dispositivos y máquinas cada vez

se miniaturizan mas. Los procesos de manufactura y ensamble de dichos dispositivos deben

de hacerse de forma automática y eficiente; por ejemplo, el ensamble de un teléfono celular

actualmente requiere precisiones de hasta 10 micras que un robot convencional actual

requiere de componentes mecánicos de alta precisión, así como de sistemas de control mas

especializados. Todo esto hace que el proceso se vuelva mas caro y requiera aún mayor

nivel de entrenamiento.

Sin embargo, existen alternativas basadas en la miniaturización de las máquinas, en una

estrategia de acuerdo a la tendencia que siguen los dispositivos y elementos que se están

fabrican. Esto es básicamente, reducir o escalar el tamaño de máquinas convencionales para

fabricar componentes estándares, pero escalados.

Esto trae consigo retos y beneficios inmediatos. Por ejemplo, todo el software y sistemas de

control y comunicación son los mismos a los utilizados en las máquinas convencionales, solo

es necesario ir escalando los parámetros para ajustarlos a las nuevas dimensiones. Además,

los mecanismos se vuelven mas rígidos, estables y controlables al minimizar los

componentes y esto facilita la realización de movimientos de precisión en las máquinas.

Entre los nuevos retos se pueden mencionar aquellos que están relacionados con el

desarrollo de nuevos actuadores mas aptos para esas escalas, desarrollo de nuevos

sistemas de integración de manufactura y estratégicas para trabajar con múltiples máquinas

y micro-componentes y cambio de cultura de los fabricantes.

viii

Introducción

Los retos de usar micro mecanismos son relativamente nuevos y dada la escala de

operación, muchos de los modelos convencionales no aplican a este nivel. Es necesario

considerar mejor los elementos no lineales, los efectos de retardo y lazos de operación con

otros niveles jerárquicos, tanto hacia arriba como hacia abajo. Los capítulos 1 y 2 ofrecen

una descripción de estos modelos matemáticos.

De igual forma, el paralelismo y la colaboración entre micro máquinas presenta nuevos retos

en el esquema de control, por lo que el desarrollo de librerías de modelos, diseños de

controladores y estructuras de control es de gran impacto en estos desarrollos tecnológicos.

Estos puntos se irán abordando en el cuerpo de esta disertación.

Antecedentes

El grupo de Ingeniería Computacional y Matemática Aplicada de la Sección de Estudios de

Posgrado de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica dirigido por el Dr. José

Ángel Ortega Herrera, tiene una larga historia de desarrollo y estudios de modelos

matemáticos y computacionales aplicados a la ingeniería. Este grupo de investigación cuenta

con infraestructura computacional y software para realizar simulaciones y se está integrando

un grupo de desarrollo e investigación de modelos matemáticos en el área de mecatrónica.

El área de estudio de sistemas dinámicos, control y mecatrónica es de suma importancia

para poder ofrecer soluciones y desarrollos a la industria Mexicana y promover el intercambio

académico con otras instituciones tanto nacionales como internacionales, por lo que existe

gran interés de incursionar seriamente en este campo.

Este trabajo está principalmente basado en los desarrollos realizados por el Dr. Yuichi

Okazaki del AIST, la Agencia de Información Ciencia y Tecnología, de Japón y el Dr. Ernst

Kussul del CCADET, Centro de Ciencias Aplicadas y Desarrollo Tecnológico, de la UNAM. El

Dr. Okazaki tiene mas de 20 años desarrollando sistemas de micromáquinas e integrando

estos sistemas a la industria en Japón; mientras que el Dr. Kussul se ha enfocado al

ix

Introducción

desarrollo de micromáquinas de bajo costo con aplicaciones a la investigación y formación

académica de estudiantes en la UNAM. Además, se está integrando el trabajo del Dr. Adriano

de Luca hecho en el departamento de Computación del CINVESTAV en el área de sistemas

digitales usando FPGA's (field programming gate arrays) para el desarrollo de sistemas de

automatización, medición de precisión y control en tiempo real.

Héctor Domínguez Aguirre tiene un gran experiencia en cuanto a su formación académica y

profesional en áreas de automatización y diseño de mecanismos, mecatrónica, diseño de

sistemas computacionales, modelado matemático de sistemas de control lineal, no lineal e

inteligente, así como implementación y construcción de sistemas robóticos y control en

tiempo real. Su experiencia académica incluye una maestría en diseño mecánico en la SEPI-

ESIME-IPN, una maestría en Ingeniería en control por la Universidad de California en

Berkeley, un intercambio académico en Robótica y automatización en Tsukuba, Japón, así

como experiencia profesional como ingeniero de software para sistemas robóticos en Adept

Robotics, Inc en Livermore, California y múltiples experiencias de desarrollo en los

departamentos de control y computación CINVESTAV, el Instituto Mexicano del Petróleo y

CIATEQ en Querétaro.

Objetivo general

Desarrollar técnicas innovadoras dentro del campo de micromáquinas y micromecanismos

para procesos de manufactura y ensamble automático para la construcción de estructuras de

colectores solares modulares, así como realizar un estudio matemático y computacional de

sistemas dinámicos no lineales aplicados a estos mismos sistemas.

Objetivos específicos

Este trabajo pretende investigar de manera integral el modelado matemático de la dinámica

x

Introducción

de un micro mecanismo usando esquemas de máquinas inteligentes y arquitectura abierta.

De igual manera, se pretende desarrollar modelos matemáticos y software de simulación que

sean innovadores en el área y que potencialmente consideren la complejidad intrínseca de

un mecanismo de alta precisión.

Se diseñara software, hardware electrónico y mecanismos para probar el método de

desarrollo de sistemas con micro máquinas para aplicaciones en laboratorio con potencial

industrial.

Se analizará la estructura propuesta para la construcción de un concentrador solar con el fin

de optimizar su manufactura y potencial de fabricación y posible comercialización.

Finalmente, este trabajo de tesis doctoral intenta también demostrar que existe al menos un

procedimiento viable de ensamble automático de estructuras de colectores solares usando

micromáquinas de alta precisión.

Justificación

El área de automatización de sistemas de manufactura está tomando caminos cada vez mas

especializados enfocados en la optimización de procesos, el incremento en la precisión y la

reducción de errores mecánicos en el maquinado de piezas y ensamble. Existe una gran

demanda de productos cada vez mas pequeños y cercanos a la vida humana, entre ellos se

encuentran dispositivos médicos, de entretenimiento, de medición, científicos e inclusive de

producción industrial.

Es de suma importancia desarrollar tecnologías para resolver estos retos que se presentan

en el mundo actual. Una opción que se presenta son las micromáquinas y los sistemas de

fabricación automática usando estos sistemas pequeños en forma paralela y colaborativa.

xi

Introducción

Los retos en esta área son múltiples, para empezar muchos de los modelos matemáticos

existentes en la industria no pueden usarse tal cual en el mundo de mecanismos a escalas

mili o micrométricas, ciertos efectos no lineales derivados de fuerzas de fricción,

electrostáticas, de Van der Waals, etc.

Esto obliga a usar o desarrollar diferentes técnicas de control no lineal o inteligente dentro de

sistemas de micromáquinas; además de pensar en estrategias de trabajo colaborativo de

inclusive cientos o miles de micromáquinas en una microfábrica o un sistema de manufactura

automática.

Hay que resaltar que la escala de reducción del tipo de mecanismos y máquinas propuestas

en este trabajo de investigación y desarrollo tecnológico está en el rango de milímetros con el

fin de tener precisiones de micrómetros y hacer piezas que conformen un producto que una

persona pueda manejar. A diferencia de muchos sistemas usados en nanotecnología o

MEMS en cuyo caso los productos están en escala de nanómetros y cuyas aplicaciones

están aún fuera del mundo convencional de productos comerciales. En este trabajo se

intentará exponer los elementos matemáticos y técnicos que afectan a micro máquinas en

trabajo colaborativo en una celda de manufactura, tal es el caso de micro robots, micro

máquinas CNC y micro bandas transportadoras.

Alcance

Este trabajo de investigación pretende principalmente desarrollar modelos matemáticos,

algoritmos y procedimientos de análisis de micro mecanismos, así como de métodos de

ensamble automático de estructuras de colectores solares con espejos planos pequeños.

xii

Introducción

Aportaciones principales

La aportación mas innovadora de este trabajo es el desarrollo de modelos dinámicos

conmutables con gran potencial en el área de sistemas dinámicos complejos y sus

aplicaciones. Se han desarrollado modelos de sistemas complejos que generan un

comportamiento caótico a partir de la realización bidimensional de mapas caóticos discretos.

El sistema caótico conmutable es determinístico y continuo. Adicionalmente, se ha hecho

estudios con parámetros aleatorios y de estabilización y control del caos en estos sistemas.

Procedimiento de análisis de errores en micro mecanismos obteniendo una matriz de

transformación homogénea de seis grados de libertad que contiene errores geométricos, de

dinámica lenta y rápida y no linealidades.

Integración de diferentes herramientas de prototipos rápidos para el análisis y diseño de

micro mecanismos. Así como diferentes lenguajes de programación para cada uno de los

módulos del sistema, entre ellos podemos mencionar python, C, ensamblador y matlab.

Varias piezas de software de análisis de procesos de maquinado, modelos robóticos,

automatización y construcción de concentradores solares con micro espejos planos. Se ha

propuesto el uso de áreas geométricas superpuestas como mosaicos o teselas sobre la

superficie del concentrador solar. Esto permitirá una mejor paralelización del proceso de

ensamble, transporte a la zona final de instalación y mejor administración desde el punto de

vista económico.

Desarrollo de un sistema de control de movimiento que ha sido implementado en una mesa

de pruebas de inspección automática de tarjetas electrónicas usando un sensor láser

xiii

Introducción

xiv

Capítulo 1

CAPÍTULO 1.

INTRODUCCIÓN A MODELOS MATEMÁTICOS DE MICROMECANISMOS

1.1 Introducción

En la larga historia de la mecanización y automatización de procesos industriales, mucho se

ha hecho por mejorar las formas en que se realizan las operaciones de manufactura. Desde

el diseño propio de los mecanismos hasta las formas y niveles de automatización de una

cadena completa de producción e inclusive plantas industriales en su totalidad.

Tradicionalmente, tanto los modelos matemáticos formales como los heurísticos, intentan

representar máquinas abordando solo una área específica de la misma; por ejemplo, ya sea

solo la parte mecánica, estructural, de producción, de servo control, etc. Sin embargo,

aunque estás aproximaciones han sido suficientes hasta hace aproximadamente 20 años,

debido a la aparición de nuevos mecanismos y demandas del mercado se ha obligado a

abordar el problema de modelación de máquinas utilizando formas mas completas y

complejas de representación, considerando a una máquina mas como un sistema dinámico

multimodal, es decir cuyos componentes cambian a diferentes frecuencias, y con múltiples

interrelaciones entre sus diferentes módulos y otras máquinas trabajando en colaboración

dentro de un proceso productivo.

Modelos teóricos como el de Meystel y Albus [1] consideran todos los niveles involucrados

dentro de un proceso de manufactura. Este tipo de modelos tienen una visión integral que

incluye la parte física de diseño y operación de los mecanismos, el control, manejo de

información y sistemas de gestión que pueden contener inteligencia artificial, heurísticas o

1

Introducción a modelos matemáticos de micro mecanismos

decisiones humanas. Estos modelos, que podríamos llamar cibernéticos por ver al sistema

como un todo a partir de sus partes, representan la mejor forma contemporánea para poder

entender los complejos sistemas que se ocupan actualmente.

Hoy en día, no solo la rapidez y la precisión son parámetros que hay que evaluar en una

máquina o proceso productivo, sino también la flexibilidad de configuración y el bajo

consumo de energía son parte fundamental de los sistemas modernos de manufactura. Este

es el principal motivador para buscar nuevas formas de fabricación y con ello abordar nuevos

retos técnicos, científicos y de logística.

De igual forma el desarrollo de las máquinas puede analizarse de acuerdo a la forma en que

se origina y como se administra la energía que mueve sus componentes mecánicos. Por

ejemplo, originalmente las máquinas eran completamente manuales, la energía y el control

se originan por fuerza bruta y es el operador quien determina como se va a utilizar la

máquina. Con la introducción de potencia de alguna fuente externa y la adición de controles

analógicos definidos dentro del mismo mecanismo o controlando la fuente de energía, se

obtiene mas eficiencia, velocidad y precisión comparado con las máquinas manuales.

El siguiente desarrollo histórico dentro de las máquinas fue la introducción del control digital y

el desarrollo de los sistemas servo/actuador. Esto permitió una mayor sofisticación en el

movimiento, una integración de procesos y su sistematización. Mientras que el siguiente

paso era el lógico, el permitir una autonomía de la máquina desarrollando sistemas

automáticos de control los cuales tenían una función muy objetiva y se basaba en la

introducción de sensores, los cuales generan señales que indican el estado de la máquina en

general.

En las últimas dos décadas se han desarrollado sistemas de información inteligente, los

cuales representan el siguiente paso en la evolución de las máquinas. Los sistemas

inteligentes permiten un mejor manejo de la información generada por los sensores y la

generación de cierta heurística en la energía de operación de la misma. Los sistemas

2

Capítulo 1

inteligentes permiten el manejo de entradas ambiguas, el uso de la experiencia y el know-

how de los procesos, así como la acumulación del conocimiento a través del aprendizaje [2].

Los retos y desarrollos actuales dentro de la tecnología de la manufactura nos indica que la

optimización de la energía consumida en un proceso de manufactura, así como la

coordinación de diferentes máquinas operando simultáneamente y dentro de una planta de

producción, representa el reto actual de desarrollo. El manejo de múltiples máquinas permite

la flexibilidad de los procesos, es decir, que una misma celda de producción sea capaz de

realizar actividades autónomas con el menor uso de energía y mayor calidad posible.

Esto último ha motivado el desarrollo de las micromáquinas las cuales pueden clasificarse en

diferentes formas dependiendo su escala con respecto al mundo de las personas. La idea de

escalar hacia abajo las operaciones de manufactura empezó hace ya mucho tiempo cuando

los primeros mecanismos de precisión para relojes y automatismos se construyeron.

Actualmente la escala de los micro mecanismos va desde los centímetros (10 -2m) hasta unos

cuantos átomos (10-10m), este tan amplio espectro de escalas obliga a concentrar recursos

en el desarrollo y análisis de para cada caso en particular.

Aunque el diseño de micromáquinas o micromecanismos depende en gran medida de la

escala en que se esté trabajando; sin embargo, existen ciertos parámetros comunes a todos

los niveles debido al tipo de operaciones a las cuales están creadas. Mientras mas pequeña

la escala, los modelos matemáticos se vuelven aún mas no lineales y la interacción entre

elementos aumenta la complejidad y su controlabilidad se vuelve más difícil. Es cuando

nuevas estrategias son requeridas.

Las micromáquinas ofrecen grandes ventajas en cuanto a la flexibilidad de los procesos de

producción que pueden desarrollar, así como en el mejor uso y manejo de la energía que

consumen para realizar las operaciones para las cuales están diseñadas; sin embargo,

nuevos retos de controlabilidad colectiva, de desarrollo de modelos matemáticos y de

estrategias de diseños se han abierto. Esto nos ha motivado a iniciar este trabajo de

3


investigación en de la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación del Instituto

Politécnico Nacional.

En el caso particular de este trabajo de desarrollo tecnológico, es necesario considerar la

infraestructura existente y las posibilidades de desarrollo con el fin de encontrar la mejor

estrategia. La experiencia personal de haber trabajado en el laboratorio Nacional de

Ingeniería Mecánica en la ciudad de Tsukuba en Japón dentro del grupo de máquinas de alta

precisión a cargo del Dr. Yuichi Okazaki y el hecho de haber cursado una maestría en la

Universidad de California en Berkeley en donde he tomado cursos de teoría de control (lineal

y no lineal) y de manufactura de precisión, se han combinado con el encuentro en México en

la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación con el Dr. José Ángel Ortega y el Dr.

Valery Nosov, además del Dr. Ernst Kussul del CCADET-UNAM, quien liderea el equipo de

trabajo en desarrollo de micromáquinas de bajo presupuesto en la UNAM, y con el Dr.

Adriano de Luca del Departamento de Computación del CINVESTAV-IPN con quien se ha

hecho el desarrollo del sistema de control electrónico y computacional.

En este capítulo se tratarán temas generales de diseño de máquinas y su aplicabilidad a los

micromecanismos, así como la descripción de modelos teóricos contemporáneos de

máquinas.

1.2 Descripción de diseños básicos de micromáquinas

El diseño de micromáquinas puede ser un gran reto al empezar a considerar efectos que en

escalas mayores no representan gran impacto; sin embargo, en pequeñas escalas pueden

cambiar completamente el comportamiento y demandar nuevos diseños y estrategias de

control. En general, el éxito o fracaso de una máquina de precisión puede evaluarse

respecto a seis aspectos de su funcionalidad abordados en [3]:

4

Capítulo 1

• Precisión dimensional

• Precisión angular

• Precisión de la forma

• Acabado superficial

• Precisión cinemática

• Alteraciones en la capa superficial

Cada máquina debe de ser diseñada de acuerdo a estos criterios y de alguna forma

medidos. Diferentes autores han propuestos varias metodologías para el diseño y medición

del rendimiento de máquinas. Nakazawa [3] establece una serie de estos principios. Los

principios de diseño de máquinas propuestos por Nakazawa se basan en cuatro

requerimientos funcionales buscando incrementar la precisión de la máquina. Estos son:

• La posesión de una referencia cinemática perfecta

• La posesión de un par cinemático perfecto los cuales ejecutan movimientos perfectos

con respecto a la referencia.

• Construcción para minimizar y prevenir el ruido en operación

• Poder detectar el movimiento con precisión

Uno de los principios mas importantes del diseño de máquinas propuestos por Nakazawa es

el principio de independencia funcional, el cual dice;

“Cuando un requerimiento funcional controlable existe, es preferible un sistema

en el cual las funciones son independientes a aquel en el cual las funciones no

son independientes”

Este principio fue originalmente desarrollado por Suh citado en [4] y aplica a una amplia

variedad de sistemas mecánicos. El segundo principio diseño de Nakazawa es el principio de

diseño total:

5


“Cuando las restricciones existen para ciertos elementos de evaluación, el

diseño total es mejor que el diseño aditivo o diseño combinacional.”

Por ejemplo, podría ser mejor diseñar una máquina totalmente nueva que cumpla con las

seis características críticas, que modificar un diseño ya existente o ensamblar una máquina

utilizando componentes existentes. Por supuesto que esta aproximación podría ser mas

costosa inicialmente.

Moore [5] propone una metodología de como lograr esto a partir de lo que él llama “Las

cuatro artes mecánicas.”:

• Geometría, desde el diseño en un plano, del cual parte de métodos de alineación,

revolución y la forma de construcción.

• Estándares de longitud, se refiere al elemento de medida de la máquina herramienta

del cual la máquina obtiene su precisión.

• Dividiendo el círculo, la división del círculo ha sido un reto dentro del diseño de

máquinas por siglos

• Curvatura, el rendimiento general de una máquina depende de la precisión total de

agujeros, ejes, bolas y otros componentes circulares, cilíndricos o esféricos.

Todos estos principios de diseño de máquinas, los cuales se han aplicado en el desarrollo y

producción de máquinas herramienta y robots en la última década del siglo pasado, son el

punto de partida del diseño de máquinas aún mas especializadas y hechas para realizar

operaciones en áreas tan diferentes como en aplicaciones médicas, de entretenimiento,

miniaturización y producción flexible y móvil de dispositivos personales y de precisión.

6

Capítulo 1

Uno de los factores mas importantes dentro del estudio de las máquinas de precisión, es el

análisis de las diferentes fuentes de error, para luego buscar la forma de compensación o

corrección de dicho error. Existen diferentes fuentes error con características muy

particulares. Esto se abordará en las secciones siguientes, así como su importancia en el

diseño y desarrollo en micromecanismos.

1.3 Análisis de errores en micromáquinas

La precisión de la máquina es inversamente proporcional al error de la misma, por lo cual es

de suma importancia minimizar el efecto de las diferentes fuentes de error en los

componentes de la maquinaria. De acuerdo a Dornfeld [6], los errores en máquinas tienen

cuatro diferentes fuentes: Errores geométrico, de Corte, de Manejo y ambientales. La figura 1

muestra las relaciones entre las fuentes de error, los elementos mecánicos que son

afectados, el proceso de generación del error y su efecto en la precisión final de maquinado.

Figura 1.1. Análisis del flujo de las fuentes de errores [6].

7


Los errores producidos por una máquina herramienta o el proceso de maquinado pueden ser

analizados desde diferentes puntos de vista. Ya sea desde la fuente del error, el sistema

mecánico que es afectado, la manera en que se da el proceso de generación del error o el

efecto final en el maquinado. El presente trabajo no tiene por objeto hacer un análisis

exhaustivo de estos puntos, pero es posible ver la referencia [7], la cual muestra excelentes

análisis de errores mecánicos y [8] en errores de origen térmico.

Desde el punto de vista de la compensación del error, es necesario analizar las variaciones

del maquinado desde un punto de vista geométrico considerando que una pieza de trabajo

es en realidad un objeto volumétrico definido por el espacio que ocupa. La calidad de la

geometría de la pieza de trabajo ya maquinada con respecto al diseño original, se relaciona

con los diferentes errores y compilando los efectos de variación con lo que se llama matriz

de error de la máquina herramienta.

Esta matriz de error puede ser solo una representación estática de los mismos [9]; sin

embargo, esta matriz puede mejorarse al adicionar los errores dinámicos, tanto de acción

lenta como los rápidos. Los errores dinámicos lentos, como la deformación térmica o el

desgaste acumulado de la herramienta de corte, tienen un efecto incremental y son

relativamente fáciles de compensar. En cambio, los errores dinámicos debidos a la estructura

de la máquina, vibraciones por el efecto del corte y errores de control o de cálculo de

trayectorias multidimensionales, son mucho mas difíciles de compensar y se requiere un

análisis mas exhaustivo de la naturaleza del error específico para poder determinar los

límites del diseño de la máquina misma. En [10], Altintas expone un análisis de las diferentes

fuerzas estáticas y dinámicas que afectan a una máquina herramienta convencional.

Generalmente las vibraciones generadas por el movimiento y la estructura misma de la

máquina representan una fuente considerable de error de acabado, mas que error

dimensional de las piezas de trabajo.

8

Capítulo 1

T uC =[ 1 − p y ax

p 1 −r b y− y r 1 cz

0 0 0 1] (1.3.1)

La ecuación (1) muestra una matriz de error con coeficientes estáticos donde ε es un escalar

que representa el error promedio de rotación en tres ejes [p, y, r] en la transformación

homogénea CTu que va un punto a otro, δ es el error promedio de translación sobre cada uno

de los ejes coordenados [x, y, z] y las constantes a, b y c son valores de offset de la máquina

herramienta en sí. Todos estos parámetros son encontrados experimentalmente y existen

estándares y normas internacionales como la ISO-232-2 que definen los procedimientos y el

equipo requerido para estas pruebas.

En trabajos previos [11] y [12] se han analizado las diferentes fuentes de error y se ha

propuesto una matriz de error aumentada que pueda considerar los errores dinámicos de

forma que sea posible compensar errores de naturaleza lenta, deformaciones estáticas a lo

largo de los ejes de movimiento y errores térmicos. De igual manera se han propuesto

metodologías para encontrar los parámetros requeridos en tales matrices de error

extendidas.

Estas matrices de transformación homogéneas que incluyen el error cinemático son

realmente útiles al analizar la transmisión y multiplicación de los errores en los diferentes

componentes en movimiento de una máquina; esto incluye máquinas herramientas, robots,

dispensadores de material, y cadenas cinemáticas en general. La ecuación 2 muestra la

transmisión del error cinemático a partir de una matriz de error de transformación homogénea

en donde aTb es la transformación geométrica del cuerpo a al cuerpo b, T0 son las distancias

de offset y ΔX es el vector columna aumentado con los incrementos en las distancias x, y, z.

9


Errorgeométrico = [ TWR − T CR ][ x y

z1 ]

= [1 − p y ax p 1 −r b y−y r 1 cz0 0 0 1

][ x y z1 ]

= [1 − p y x p 1 −r y−y r 1 z0 0 0 1

][1 0 0 a0 1 0 b0 0 1 c0 0 0 1 ][

x y z1

]= [R

1 1 ][I P0 1 ][ X1 ]= T b

a T 0 X

(1.3.2)

En la figura 2 muestra el mapeo de los errores tridimensionales producidos por una máquina

fresadora convencional generada a partir de mediciones de error en cada uno de los ejes de

movimiento y usando la cadena de matrices de transformación de error desde la pieza de

trabajo al último eje de movimiento enlazado en la cadena cinemática de movimiento. Este

mapa tridimensional muestra la superficie del error sobre la mesa de trabajo X-Y y como

cada punto tiene ya un error definido y que se puede compensar. La figura 3 muestra el

mapa de compensación de errores en el plano XY de la misma máquina fresadora analizada

en trabajos previos [11].

10

Capítulo 1

Figura 1.2. Mapa de errores en una fresadora cartesiana convencional.

Figura 1.3. Mapa de compensación de error

11


Para el caso de micro máquinas y micro mecanismos, los principios de diseño aplicados en

máquinas convencionales siguen vigentes. Sin embargo, existen ciertos criterios de

escalabilidad que deben de considerarse. Reduciendo el tamaño de una máquina no implica

que los parámetros de maquinado deban de escalarse en una razón proporcional o inclusive

generalizada para todos los parámetros. Algunos factores continuarán afectando de igual

manera, mientras que otros se reducirán al grado de no tener efecto alguno en el proceso; de

igual manera, al reducir el tamaño a escalas mucho menores, se presentarán nuevos efectos

que no influyen en la operación de máquinas convencionales, pero a nivel micro tienen un

efecto mayor en el proceso de maquinado o manipulación de piezas.

El Dr. Ernst Kussul y su equipo en el CCADET-UNAM (antes Centro de Instrumentos) han

realizado diferentes estudios sobre la escalabilidad de factores dinámicos en micro

mecanismos y aplicado en sus diseños de micromáquinas. En [13] y [14] ellos desarrollan un

amplio ensayo de diferentes efectos en micro máquinas y micro mecanismos, mencionando

como algunas fuerzas nuevas aparecen con un efecto mucho mayor en escalas pequeñas,

tal es el caso de las fuerzas electrostáticas y las de tensión superficial o capilaridad.

Hay que resaltar en escalas pequeñas, los efectos que pudieran tener las vibraciones se

reducen considerablemente al aumentar la frecuencia natural de vibración de la máquina

misma. En cambio fuerzas derivadas de efectos tribológicos tienen una gran influencia en el

movimiento de precisión, que inclusive pueden hacer que la máquina requiera un rediseño en

cuanto a sus componentes de contacto, buscando mejores opciones de materiales o

controles especializados. Igualmente vibraciones autoinducidas provenientes del proceso

mismo de maquinado también son difíciles de manejar, dichas vibraciones crean errores en

el acabado de la pieza de trabajo y se generan efectos de fuerzas no lineales y remanentes,

con retardos, debido a las fuerzas entre la herramienta de corte y la pieza de trabajo.

En los próximos capítulos se describirán métodos de compensación de errores dinámicos

enfocados principalmente a alcanzar diseños de micro máquinas de alta precisión

12

Capítulo 1

1.4 Métodos de Calibración

La correcta calibración de una máquina nos asegura una mejor referencia cinemática para el

cálculo de los movimientos de la misma; pero, para hablar de calibración de máquinas,

primero es necesario tocar el tema de medición. En nuestro caso tenemos que mencionar

tres principios fundamentales de medición: la precisión, repetibilidad y resolución de una

máquina.

La precisión está relacionada con el sesgo o bias de las mediciones en sí. En sentido

coloquial, hablar de la precisión de una máquina es hablar del rendimiento total de la misma;

en cambio, utilizar un concepto matemático de precisión es referirse a una medida

dimensional en la que intervienen factores estadísticos derivados de la acumulación de los

errores de la máquina, el proceso de maquinado y los instrumentos de medición.

Dentro del proceso de diseño y evaluación de una máquina, la precisión es a menudo

referida con el término de “tolerancia natural” la cual es el rango natural de variación en la

dimensión del proceso. Estimando la desviación estándar de la población, σ, de medidas de

un proceso de manufactura a través de medios convencionales, el diseño asociado de la

tolerancia debe de estar en el orden de ± 3σ. Esto es un rango de seis sigma de las

dimensiones mínima a máxima, D, de todo el proceso. Por supuesto que es considerando

que las mediciones tienen una distribución normal lo cual no es necesariamente el caso para

todas las máquinas. En este breve análisis se va a considerar de esta manera.

Como se ha mencionado en el segmento anterior de fuentes de error, dichas variaciones en

el proceso de manufactura provienen de diferentes orígenes y la naturaleza de cada uno de

estos errores ocasionan la aparición de dicho sesgo que para muchos pudiera parecer

aleatorio. En un sentido matemático estricto, la diferencia entre la dimensión nominal o la

deseada y la media es lo que definimos como sesgo o bias, Δ. Entre mas pequeño es el

sesgo, mas precisa se dice que es la máquina o el proceso. El sesgo se calcula como:

13


Dmedia=1N ∑i=1

N

Di (1.4.1)

donde N es el número de partes medidas.

La repetibilidad es la habilidad de obtener el mismo movimiento o medición dentro de ciertas

fronteras definidas. Esta repetibilidad en realidad indica la dispersión del proceso y es

calculado mediante la desviación estándar del mismo,

= 1N−1∑i=1

N

D i−Dmedia2 (1.4.2)

Dentro de las mediciones de máquinas se asume normalmente una repetibilidad

bidireccional, pero como se ha mostrado no es la generalidad. En un trabajo previo [11] he

mostrado como se puede encontrar dicha medida en particular para cada dirección y cada

eje y usar estos valores en la compensación del movimiento. Por otro lado, Slocum [7] tiene

una muy buena disertación sobre precisión y repetibilidad.

La resolución es simplemente el mínimo incremento identificable de la medición o del

movimiento. Es decir, para el caso de una máquina es el paso mínimo al cual se puede

comandar un movimiento. En máquinas de movimiento discretizado, como es el caso de

aquellas con motores a pasos, la resolución es el paso mínimo después de todo el tren de

transmisión del movimiento; en cambio, para máquinas con servomotores, la resolución es

en realidad un umbral de movimiento mínimo relacionado muy cercanamente con los factores

de error mecánico y los elementos de medición.

En teoría de la medida se considera el estudio de las incertidumbres como fundamental para

determinar el valor correcto de la variable en cuestión y el error de la medida.

Internacionalmente, los centros e institutos de metrología desarrollan estándares y criterios

para el manejo de la incertidumbre en las mediciones. Para el caso de las máquinas

herramientas, la incertidumbre en la medida se transforma en un error estadístico que debe

de ser considerado en la evaluación de su rendimiento. Tyler en [15] revisa diferentes ideas

14

Capítulo 1

referentes a la inducción matemática e inferencia probabilística que se involucra en un

proceso de medida poniendo un par de ejemplos interesantes para una pieza de trabajo y un

proceso de producción industrial en el que se rechaza o aprueba una pieza específica. Tyler

muestra como dependiendo de las condiciones consideradas para un proceso en particular,

la o las funciones de distribución de probabilidad en los componentes del proceso, las

correlaciones y el método de medición pueden afectar la referencia requerida en la máquina

herramienta.

El instituto nacional de estándares y tecnología de los Estados Unidos ha publicado un

documento de guia para el cálculo de incertidumbres en las mediciones [16]. Conocer la

incertidumbre intrínseca de una máquina nos permite evaluar también los límites de la

misma. Hay que resaltar la diferencia entre incertidumbre y error, pues en nuestro caso el

error puede ser compensando de alguna manera debido a que es una medida determinística,

mientras que la incertidumbre es solo posible tener una estimación y sin poder compensarla

exactamente, sino mediante una aproximación probabilística, lo cual está fuera de este

trabajo pero que representa un amplia área de investigación en la teoría de la medida.

Retomando el tópico de esta sección, el proceso de calibración de máquinas es

indispensable para definir una referencia cinemática y entre mejor esté realizada la

calibración, su referencia será mas próximo a lo perfecto. Éste, como se mencionó

anteriormente, es uno de los principios de diseño de una máquina de precisión.

La calibración en una máquina es el proceso o sistema con el que se encuentran los

parámetros de compensación de errores definidos en una matriz de error o algún otro

parámetro requerido por la máquina. Las referencias [17] y [18] muestran el trabajo en

conjunto desarrollado por el CIRP, College International pour la Recherche en Productique,

describiendo los criterios involucrados para la calibración de máquinas. Básicamente los

criterios pueden resumirse en la determinación de la rectitud, ortogonalidad de ejes de

movimiento, paralelismo, movimiento planar, interpolación circular o división del círculo y

parámetros relacionados con interpolación tridimensional y derivados de la cinemática de la

15


máquina en particular (offsets y desviaciones cinemáticas respecto al eje de movimiento).

El proceso para encontrar el error puede depender de los elementos de medición

disponibles. La precisión y resolución de los mismos determinará la calidad de los

parámetros de compensación de error. Sistemas de calibración estandarizados y certificados

por las entidades oficiales de medida son los ideales para hacer la calibración de las

máquinas herramienta; sin embargo, existen métodos desarrollados a partir de algoritmos de

optimización sobre todo aplicados en manipuladores robóticos de múltiples ejes [19].

El uso de colimadores y sistemas de calibración láser es lo mas común para realizar la

calibración de máquinas. En el caso de micro mecanismos estos dispositivos

convencionales de calibración como los mencionados aquí son imposibles de utilizar debido

al reducido espacio disponible; por lo que obliga a buscar métodos alternativos de calibración

o adaptar dichos dispositivos a tales circunstancias. Por otro lado, un beneficio de la

escalabilidad de los parámetros en los micromecanismos, hace también que se reduzcan los

errores dimensionales y acumulativos debido a la cinemática misma de la máquina.

1.5 Modelos de micromáquinas, microceldas y microfábricas

El desarrollado de tecnología en micro mecanismos tuvo sus inicios a mediados de la década

de los 90's principalmente en Japón, expandiéndose la investigación hacia Europa y Estados

Unidos. La inspiración acerca de la miniaturización de la tecnología proviene de la física,

particularmente de las ideas de Richard Feynman [20] que exponían un mundo miniaturizado

en donde la información de enciclopedias enteras podría caber, teóricamente, en la cabeza

de un alfiler.

Hablar de micromáquinas es referirse a un amplio espectro de escalas y diseños restringidos

a las condiciones ambientales y al tipo de operación para las que son hechas. El Dr. Ernst

Kussul y su equipo en [21] exponen un amplio análisis de la historia de las micromáquinas,

16

Capítulo 1

desde las aplicaciones en MEMS hasta la generación del orden de 100-200 mm que

permiten maquinar piezas de 50 μm a 5 mm. En Japón el desarrollo de micromáquinas y

micromecanismos es amplia y está distribuido en diferentes centros de desarrollo tecnológico

y universidades, como es el caso del AIST [22], la agencia de ciencia y tecnología para la

industria y centros académicos como el Tecnológico de Tokyo y las Universidades de Nagoya

y Osaka con amplio y reconocido desarrollo en el área.

Existen diferentes motivaciones tanto técnicas como comerciales para el desarrollo de

micromáquinas y micro sistemas de manufactura; entre las que se pueden mencionar el

consumo energía, la mejora en la precisión de maquinado, la portabilidad y flexibilidad,

reducción de costos y mantenimiento en micromáquinas como algunos de los principales

motivos tecno-económicos para el desarrollo e implementación de estos mecanismos y

sistemas de producción. Esto se agrega a la gran demanda de procesos productivos para la

manufactura y el ensamble de dispositivos domésticos cada vez más en la vida de las

personas, como es el caso de sistemas de entretenimiento como juegos de video,

dispositivos en medicina, deportes, computación y telecomunicaciones, en la industria

automotriz, en monitoreo remoto, seguridad y con una lista que cada vez se hace mas

grande y demandante. Por lo que nos obliga a revisar los modelos existentes de diseño,

manejo e implementación de máquinas y buscar mejoras en ellos.

El modelo teórico de máquinas y procesos expuesto por Albus [23] define los componentes

de un sistema inteligente de máquinas y expone una visión jerárquica de la organización de

los recursos y componentes en un sistema de manufactura. Este modelo jerárquico es en

realidad aplicable a cualquier tipo de organización de manufactura, no solamente el

inteligente y su implementación siempre depende de los objetivos propios del sistema a

desarrollar.

17


Figura 1.4. jerarquía: desde sensores y actuadores hasta la organización por grupos.

La figura 4 muestra la estructura jerárquica de control y monitoreo de una máquina

generalizada. En dicho esquema propuesto por Albus [23], cada unidad de la máquina se

divide en módulos internos que son: el Procesamiento Sensorial (PS), el Modelo del Mundo

(MM) y la Generación de Comportamiento (GC). El Procesamiento Sensorial se refiere a la

capacidad de adquirir información del mundo exterior a partir de los sensores disponibles y

adaptar su señal a un formato procesable por cada unidad. El Modelo del Mundo toma dicha

señal y la ordena a partir de un Juicio de Valor (JV), no ilustrado en la figura 4, enviándolo a

la Generación del Comportamiento que envía la señal a los actuadores o módulos esclavos

para su acción en el mecanismo. Este modelo es genérico en máquinas inteligentes y

propone la comunicación entre diferentes Modelos del Mundo de cada módulo con el fin de

mejorar dichos modelos y crear una mejor representación del exterior para mejorar su acción,

y por lo tanto su precisión y rendimiento.

18

Capítulo 1

El sistema es bastante intuitivo y su jerarquía va de abajo hacia arriba; empezando con los

sensores y actuadores que modifican y monitorean los parámetros de la máquina real, es

decir, el nivel de servo control que es la parte que está inmediatamente en contacto con el

mundo real; en la generación de primitivas se generan trayectorias básicas de movimiento,

este módulo incluye la cinemática de los mecanismos y realiza los cálculos de generación de

trayectorias tridimensionales tomando en cuenta perfiles de velocidad y aceleración. Los

comandos de comportamiento de la máquina en sí, manufactura de una pieza, coordinación

con otras máquinas y otras lineas de producción para el ensamble o generación final de un

producto se realizan en los niveles superiores. Cada nivel tiene una velocidad natural de

respuesta o ancho de banda para generar y procesar sus señales, estos tiempos de

respuesta se vuelven mas lentos yendo del nivel de los sensores y actuadores hacia niveles

superiores. La figura 5 muestra tiempos estándares de acción en cada nivel jerárquico,

considerando su historia y planes futuros.

19


Figura 1.5. Estructura de la escala de tiempo en cuanto a los ciclos de acción de cada uno de los niveles en la

jerarquía de la manufactura.

20

Capítulo 1

La figura 1.5 muestra el mismo modelo jerárquico de la figura 1.4, pero ahora se considera la

cobertura en el tiempo que naturalmente tiene cada nivel. Esto es, el ancho de banda de

cada uno de los niveles del modelo de un sistema de manufactura automática. En la figura

1.5 el eje horizontal en cada nivel es la escala del tiempo, al centro se encuentra el momento

actual de la dinámica del sistema; mientras que hacia la izquierda están los momentos

pasados, y a la derecha los momentos futuros. Con este esquema se pretende hacer ver

como los planes a futura y su historia están relacionados, además de que el sistema total

dinámico es multimodal.

Los niveles cercanos a los actuadores son los mas rápidos, mientras que los niveles

superiores son mas lentos, llegando a tener ciclos largos que pueden durar días. Los tiempos

de memoria y planeación están relacionados con los ciclos naturales en cada nivel. La

jerarquía muestra que en el nivel mas bajo está el servo control y tiene un horizonte de

tiempo medido en mílisegundos, que en el esquema se propone como ejemplo de alrededor

de 30 ms; en la realidad, este tiempo puede ir de 0.5 a 50 ms dependiendo del tipo de control

deseado en la mayoría de máquinas herramienta. En este tiempo de muestreo se genera una

actualización del Modelo de Mundo (MM), la producción de un Valor de Juicio (VJ) y la

Generación del Comportamiento (GC) a la salida en los actuadores.

Cabe mencionar que tanto los actuadores como los sensores que miden los variables en el

mundo real, tienen también un ancho de banda limitado y que esta característica puede ser

un factor limitante de su rendimiento. Por ejemplo, consideremos un sensor de temperatura

que solamente mide de 0 a 100 grados centígrados; lo que pasa fuera de este rango va a

estar oculto para el modelo matemático, aunque posiblemente pueda ser estimado por algún

método indirecto a partir de variables adicionales. También se puede mencionar el caso del

actuador o motor que debido a su propia inercia no puede acelerar rápidamente, lo que

puede ocasionar retardos o imposibilidad de compensar cambios rápidos de comportamiento.

Todos estos factores deberían de estar considerados en el Modelo del Mundo de los módulos

específicos mencionados.

21


Cada nivel tiene una estructura similar de medición, de la actualización de su modelo interno,

algoritmos de análisis y producción de la salida. La escala de tiempo aumenta conforme se

sube en los niveles jerárquicos, como se mencionó anteriormente, y la forma interna de

implementación particular de cada uno de los módulos depende de las demandas de diseño

y el número de señales que se manejen simultáneamente. Aquí entran factores de

rendimiento como es el caso del comportamiento en Tiempo Real, es decir, que las señales

de control se generen en los tiempos requeridos con el mínimo de retardos; entre otros

factores de rendimiento se pueden mencionar al consumo de energía, el número de señales

de control o los grados de libertad manejados simultáneamente por cada módulo. Sin lugar a

dudas, en las máquinas reales estos son parámetros y condiciones de operación

importantes, pero su análisis sale de esta introducción y se retomarán mas adelante.

La introducción de micromáquinas involucra no solo hacer un análisis en la escala en el

tiempo, sino también en el espacio; teniendo en cuenta que al reducir el espacio de trabajo

también variamos los requerimientos de tiempos de reacción de algunos módulos al

necesitar mayores anchos de banda para cubrir mas espectro de acción. Aunque la

miniaturización de máquinas puede cubrir niveles moleculares o inclusive atómicos, en este

trabajo solo se van a tocar niveles que llegan a las micras, lo que equivale a decir que

efectos cuánticos serán discriminados de los análisis aquí mostrados.

Un análisis de las implicaciones de la miniaturización de máquinas desde el punto de vista

mecánico se presenta en [21]. Kussul y su equipo publican en este estudio el análisis de un

par de micromáquinas: un micro torno y un micro manipulador. El enfoque final esta dirigido

hacia la implementación de micro fábricas y procesos de manufactura en el mundo real. En

[13] este mismo equipo realiza una exposición de los factores de escala y su efecto en

micromáquinas; en la tabla 1 se muestran factores de escala para diferentes fuerzas que

interactuan en una micromáquina. Este trabajo refiere a [24] en donde se hace un estudio

mas detallado sobre los efectos de la escala geométrica en diferentes fuerzas actuantes en

un micro mecanismo.

22

Capítulo 1

Fuerza Símbolo ecuación Efecto

de la

escalaElectromagnética Fmagnetica B

2Sm

S2 μ: permeabilidad; B: intensidad del

campo magnético; Sm: área de la

sección de corte del embobinadoElectrostática Festatica S m

2V 2

d 2

S0 ε: permitividad; V: voltaje aplicado;

Sm:área de la superficie; d: espacio

entre electrodos.Expansión

térmica

Ftermica E Sm LT L

S2 E: módulo de Young; L: longitud;

ΔL:expansión; T: temperaturaPiezoeléctrica Fpiezo S m

LEcL

S2 E: módulo de Young; L: longitud;

ΔL:expansión; T: temperaturaInercial Fi m ∂2 x

∂ t2S4 m: masa; t:tiempo; x:

desplazamientoViscosidad Fv c

S mL

∂ x∂ t

S2 c: coeficiente de viscosidad; x:

desplazamiento; Sm: área superficial;

L: longitud; t: tiempoElástica Fe E S m

LL

S2 E: módulo de Young; Sm: área de la

sección de corte; L: longitud;

ΔL:expansión; T: temperatura

En la tabla 1, S es el factor de escala debido a la reducción o ampliación del componente.

Por ejemplo, un factor S2 quiere decir que la variable física va a ser afectada de manera

cuadrática. Esto tiene un gran impacto sobre todo en el diseño y efectos activos, pasivos y de

perturbación en las micromáquinas. Supongamos que un motor a pasos lo reducimos

geométricamente en un factor de 4, manteniendo la forma y los materiales con el que está

construido; el efecto de la fuerza electromagnética actuando en el motor se reducirá en un

factor de 42= 16, lo que implica que la eficiencia del motor se reduce considerablemente y es

23


necesario hacer modificaciones de diseño y volver a estimar el efecto y alcance real de los

motores usados.

En cambio, al hablar de perturbaciones como es el caso de la deformación térmica o

vibraciones, su efecto se reduce también en un factor cuadrático para el caso de

deformaciones térmicas y en un factor de cuatro para el de las vibraciones debido a fuerzas

inerciales, esto último quiere decir que el sistema se vuelve mas rígido y robusto a

vibraciones mecánicas. Sin embargo, es curioso observar como algunas fuerzas se escalan

solo linealmente, como es el caso de la fuerza electrostática. Como algunos trabajos de

desarrollo de actuadores ya han demostrado [25] y [26], en el diseño de micro actuadores

finales en un manipulador, es de suma importancia contrarrestar los efectos electrostáticos

mas que cualquier otro en ese nivel.

Los desarrollos actuales en micromáquinas se están enfocando principalmente en el uso y

desarrollo de nuevos materiales para la construcción de actuadores y sensores, mejores

métodos de control, desarrollo de procesos industriales y de aplicaciones para

micromáquinas. El impacto económico es un factor fundamental para el futuro desarrollo de

estos dispositivos y, actualmente, otro factor a evaluar es el impacto ambiental y de huella de

ecológica que estas máquinas y procesos ocasionan.

Siempre ha existido un temor oculto en la cultura en contra de las máquinas y su impacto

social; con la entrada y evolución de las micromáquinas, aunado con el de la nanotecnología,

se hace mas evidente el gran impacto que estos nuevos dispositivos pueden tener en la vida

ordinaria, desde sus aplicaciones industriales y el desarrollo de soluciones en todas las áreas

de la vida humana: salud, transporte, entretenimiento, deportes, culinaria y educación entre

otros que se podrían mencionar.

Existen avances importantes en países como Japón [27], Alemania y Suiza en cuanto al

desarrollo de micro máquinas de precisión. Los retos actuales se centran en desarrollar la

tecnología localmente, a un costo que asegure su viabilidad económica y la generación de

24

Capítulo 1

técnicas colectivas de trabajo entre micromáquinas, mejores formas de control y

comunicación entre ellas y un manejo óptimo o eficiente de la energía requerida para el

desarrollo de su actividad. Así como de sistemas inteligentes dentro y fuera de las máquinas

y de monitoreo remoto que permitirían un mejor control a niveles superiores en la jerarquía

del sistema inteligente.

En los próximos capítulos se tratarán técnicas de control y cooperación en micromáquinas

enfocadas a una tarea particular.

Referencias

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[6] Dorfeld, D. Proc. International Machine Engineering conference (IMEC), JMTBA, Tokyo,

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25


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[9] Slocum, A.H. Ibid, pags 61-80

[10] Altintas, Yusuf. Manufacturing Automation. Cambridge University Press. 2000. Pags 65-

121.

[11] Dominguez, H. y Tomizuka, M. Error sources analysis for open architecture machine

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[12] Michaloski, J. Proctor, F., Dominguez, H., Soons et al. Improving CNC machining

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[13] Kussul E., Baidyk T., et al. Scaling down of microequipment parameters. Precision

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[14] Caballero-Ruiz A., Ruiz-Huerta L., Baidyk T., Kussul E. Geometrical errors analysis of a

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[15] Estler, W.T. Measurement as inference: Fundamental ideas. National Standar Institute of

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[16] Taylor, B. N. and Kuyatt, C. E. Guidelines foe evaluationg and expressing the uncertainty

of NIST measurement results. Natioal Institute of Standards and Technology. Gaithersburg,

MD. 1994

26

Capítulo 1

[17] Evans, C.J., Hocken, R.J. And Estler, W.T. Self-calibration: reversal, redundancy, error

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[18] Satori, S. And Zhang, G.X., Geometric error measurement and compesnation of

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[19] Driels, M.R., Using Passive End-Point Motion Constraints to Calibrate Robot

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[20] Feynman, R. P. Plenty of Room at the Bottom. Discurso para el American Physical

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[21] Kussul, E., Baidyk, T. Et al. Development of micromachine tool prototypes for

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[23] Albus, J.S., A theory of Intelligent machine systems. IEEE/RSJ International workshop on

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[24] Trimmer WSN. Microrobots and micromechanical systems. Sens Actuators. 1989:

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[25] Madow, MJ. Fundamentals of microfabrication: the science of miniaturization. Chapter 9:

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California; 2002.

[26] Ishihara H, Arai F, Fukuda T. Micro mechatronics and micro actuators. IEEE/ASME Trans

27


Mechatronics 1996: 1:68-79.



91.

28

Capítulo 2

CAPÍTULO 2.

ANÁLISIS NO LINEAL DE DINÁMICA COMPLEJA EN MECANISMOS

2.1 Introducción

En este capítulo se pretende exponer los modelos teóricos de las variables dinámicas más

importantes para el estudio e implementación de micro mecanismos de alta precisión. Esta

tarea no es muy diferente al de las máquinas convencionales de alta precisión, en cambio

tiene gran impacto a considerar efectos físicos que no tienen mayor relevancia en escalas

convencionales. Al final del capítulo anterior se ha hecho un breve análisis de los efectos de

la escala ya expuestos por [1] y [2] y aquí se abordarán los efectos de las fuerzas

directamente.

En este espacio se van a considerar los efectos dinámicos y estáticos de las diferentes

fuerzas que actúan en una pieza mecánica, el modelo que se utiliza para su representación y

se agregarán comentarios pertinentes en cuanto a la forma en que se pueden llegar a

combinar entre ellos. Ciertos efectos, sobre todo los dinámicos, son no lineales y pueden

llegar a tener efectos no deseados en un proceso de manufactura. Por ende, es preciso

determinar el grado de importancia que puede llegar a tener en el comportamiento y

operación de una máquina.

Al final del capítulo se presentarán los diferentes factores que contribuyen al error en una

máquina, específicamente en una máquina herramienta cuya operación es el maquinado de

una pieza tridimensional. Trabajos previos pueden verse en [3] y [4].

29

Análisis no lineal de dinámica compleja en mecanismos

2.2 Deformación térmica

Existen diferentes factores que influyen en el proceso de incremento de temperatura en una

máquina, por ejemplo: el cambio en la temperatura ambiente, la acumulación de rebaba y

sobrantes de maquinados en los componentes móviles, las fuerzas de corte, la transmisión

de calor den punto de contacto entre la herramienta de corte y la pieza de trabajo, fricción de

los componentes mecánicos y componentes eléctricos como servomotores, controladores y

lamparas. Enfriamiento es el medio de disipación o transmisión de la temperatura y su

eficiencia y distribución a lo largo de la máquina debe de ser considerada en el análisis y el

modelo de control y compensación de errores.

Las diferentes fuentes de calor afectan la estructura de la máquina y todos los componentes

mecánicos, particularmente el husillo) sufren una deformación al variar la temperatura con

respecto a una referencia, usualmente 20 °C (temperatura ambiente). En la mayoría de los

materiales es posible utilizar una expresión lineal para describir una deformación térmica

como resultado del gradiente de temperatura. En este caso, la deformación térmica para

elementos viga está dada por

T=L2T

2h(2.2.1)

donde α es el coeficiente de deformación térmica, L es la longitud de la viga, h es la altura de

la misma, ΔT es el gradiente de temperatura y φT es el error de rectitud en la viga debido al

gradiente de temperatura.

Figura 2.1. Deformación térmica en un elemento viga libre.

Esta descripción proviene de hecho de que las fuerzas y el momento generado por una

30

Capítulo 2

expansión térmica en los elementos viga descritos como sigue

= y= yT

h

M= EI

T =M L2

2

2EI=L2T

2h

(2.2.2)

φT es el desplazamiento debido a la deformación en la dirección correspondiente y para

pequeños valores. Esta puede ser considerada cinemáticamente como una rotación sobre el

eje perpendicular al plano de movimiento. En el espacio, es posible calcular la deformación

como una resultante de los efectos térmicos que en el caso de vigas libres o no restringidas,

esto puede interpretarse como tres pequeñas rotaciones como sigue:

T =x0

2T2h x

T y=

y02T2h y

T r=z0

2T2h z

(2.2.3)

La figura 2.2 muestra la deformación térmica en una viga restringida por dos paredes, esto

ocasiona que la viga tenga una concavidad al expanderse y ocasione un error en la

orientación de la referencia cinemática.

Figura 2.2. Representación de la deformación térmica de un cuerpo restringido por dos paredes.

La deformación de expansión térmica representada en la figura 2.2, afecta a cada pieza de

31


material y las estrategias de medición y compensación están basadas en la distribución de

sensores térmicos en puntos críticos de la máquina, tales como guías, sujetadores de la

herramienta de corte o la pieza de trabajo y, especialmente, en los puntos de contacto entre

la pieza de trabajo y la herramienta de corte. En ciertos casos, es posible reemplazar un

elemento de medición con un buen modelo matemático implementado computacionalmente,

con el que se puede estimar el valor de la temperatura de acuerdo a indicadores indirectos.

Considerando un pequeño rango de temperatura, la expansión térmica está definida por el

coeficiente de expansión lineal y puede ser descrito de la forma:

L=T L0

L=L0 [1T ] (2.2.4)

Entonces, considerando la expansión cúbica, el incremento volumétrico será

V=L03 13T32T 23T 3 (2.2.5)

Es posible separar de manera lineal los tres componentes de la expansión polinomial y

usarlos en una compensación lineal en cada uno de los ejes

[x

y

z]=T [x0

y0

z0] (2.2.6)

Combinando los dos efectos de expansión y deformación, en una sola matriz de

transformación homogenea, tenemos

T TBA =[ xT T

yT T zT T

1]=[ 0 −p T y T xT

p T 0 −r T yT −y T r T 0 z T

0 0 0 1]

T TCA = T TB

A T TCB

(2.2.7)

La aparición en el modelo de restricciones geométricas y los materiales heterogéneos

requieren de un análisis mas profundo que queda fuera de éste capítulo. Sin embargo, la

idea principal es mantener todos las variables dentro de un formato de una Matriz de

Transformación Homogénea, de forma que el efecto total acumulativo entre componentes

acoplados cinemáticamente, es el resultado de multiplicaciones sucesivas de matrices de

transformación.

32

Capítulo 2

2.3 Compensación por expansión diferencial nominal.

Existe un amplio rango de sensores de temperatura que pueden ser usados y la elección de

una combinación adecuada necesita considerar el rango de temperatura, su ancho de banda

y el costo. Su implementación puede ser hecha a partir de una simple tabla que muestre la

longitud de cada eje de desplazamiento o agregando algún tipo de compensación dinámica a

la compensación geométrica descrita en la sección pasada; los valores de compensación

térmica dependen de la geometría y los materiales de cada componente mecánico y la

estructura de la máquina en general.

La Expansión Diferencial Nominal (EDN) es la diferencia entre la expansión de temperatura

estimada de la pieza de trabajo y la que el equipo de prueba mide a partir de una

temperatura estándar sujeta a 20°C. La expansión térmica de la misma escala o instrumento

usado para medir la retroalimentación de la posición causa un error Δxm en el desplazamiento

de la herramienta cuando se mueve a lo largo de un eje desde una posición de referencia

arbitraria x0 a un punto x. Este error es definido como el desplazamiento actual menos el

desplazamiento nominal o comandado. Asumiendo una expansión térmica libre de esfuerzos,

el error es igual a,

xm=∫x0

x xT x−20° C dx (2.3.1)

donde αx representa el coeficiente efectivo de expansión térmica de la escala o instrumento

de medición y Tx su temperatura. De igual manera, si la pieza de trabajo está maquinada al

tamaño adecuado a una temperatura elevada Tw, dicha pieza será demasiado pequeña

cuando se mida a la temperatura de referencia de 20 °C. Asumiendo de nuevo que la

expansión térmica está libre de esfuerzos, el error resultante en una dirección será,

xw=∫x 0

xwT w−20° C dx (2.3.2)

donde αx representa el coeficiente efectivo de la expansión térmica de la pieza de trabajo.

Hay que hacer notar que la expansión térmica de la escala y la pieza de trabajo se

cancelarán si ambas tienen la misma temperatura y el mismo coeficiente de expansión

térmica.

33


Entonces, por definición de la Expansión Diferencial Nominal que está dada como,

NDE= xm− xw (2.3.3)

La corrección EDN está permitida solo entre el equipo de prueba y la parte de la máquina

donde la pieza de trabajo está localizada. Es necesario hacer ver que la EDN es solamente

para mediciones y no deberá ser usada directamente para corregir las distorsiones térmicas

de la medición interna de la máquina. Lo que realmente se desea compensar es la diferencia

entre la pieza de trabajo expandida y el valor deseado del maquinado sobre ésta. Es

necesario mantener en mente que la pieza de trabajo va a reducirse una vez que se enfríe

después del corte.

Como referencia, la tabla 1 muestra una lista de coeficientes de expansión térmica para

materiales usados comúnmente en el maquinado.

Tabla 1. Coeficientes de expansión térmica para materiales comúnmente usados en la manufactura.

Material Coeficiente de Expansión térmica10-6 (°C)-1 10-6 (°F)-1

Aluminio (7075) 23.4 13.0Acero (1040) 11.3 6.3Acero Inoxidable (304) 17.2 9.6Hierro gris colado 10.5 5.8Berilio-Cobre (C17200) 16.7 9.3Cobre-Níquel (C71500) 16.2 9.0Magnesio (AZ31B) 26.0 14.4Titanio (Ti-6Al-4V) 8.6 4.8Tungsteno 4.5 2.5Níquel (200) 13.3 7.4Inconel (625) 12.8 7.1Super Invar 0.72 0.40

En este trabajo se están omitiendo procesos de maquinado térmicamente agresivos tales

como el maquinado en seco en razones de remoción de material altos. En estos casos,

efectos no lineales y de dinámicas de mayor grado aparecen y es necesario un esfuerzo

extra para realizar la compensación de dichos efectos. Algunas de estas no linealidades

serán tratadas en los puntos siguientes en este capítulo,.

34

Capítulo 2

2.4 Efectos dinámicos y fuerzas de corte en máquinas herramienta.

Las máquinas, en general y en particular las máquinas herramienta, en operación son un

sistema completamente diferente a aquel estático o en movimiento al aire. Los efectos de

vibración debido al contacto entre la herramienta de corte y la pieza de trabajo crean fuerzas

que dependen de las condiciones de corte particulares en ese instante; por ejemplo, la

velocidad de alimentación, la velocidad de rotación del husillo, la geometría de la herramienta

de corte, los materiales (tanto de la herramienta de corte como de la pieza de trabajo) y los

modos de vibración de la estructura de la máquina que pudieran ser excitados y amplificados

en errores de corte.

Encontrar las formas de parametrización de las fuerzas de corte es indispensable en un

sistema de compensación automática e inteligente de errores de maquinado. El primer paso

es identificar los modos de vibración de la estructura de la máquina y mantener en mente que

ese espectro de frecuencias son las mas probables en aparecer como perturbaciones al

sistema. Los modos de vibración pueden ser encontrados experimentalmente usando

acelerómetros o cualquier otro sensor con el ancho de banda adecuado para cubrir tanto

como sea posible del espectro de frecuencias analizadas. Debido a su naturaleza armónica,

es posible diseñar algoritmos de eliminación de perturbaciones solamente en aquellas

frecuencias específicas. Este diseño tiene la gran limitante del ancho de banda del actuador,

el cual puede no ser suficiente para compensar modos de excitación en altas frecuencias.

El modelo más común relacionado a las fuerzas de corte, es mostrado en la figura 2.3. La

frecuencia de respuesta tiene un perfil específico y su frecuencia natural está relacionada

con la estructura de la máquina; como se ha mencionado anteriormente, el material, el

número y forma de las herramientas de corte y la relación entre la velocidad de alimentación

del material y de rotación del husillo.

35


Figura 2.3. Modelo armónico para las fuerzas de corte de una máquina herramienta en un plano.

Este modelo bien conocido de la herramienta de corte representa un oscilador forzado

bidimensional de tipo masa-resorte excitado por el flujo de material entrante y la profundidad

del corte (F = {Fy, Fz}). La dinámica puede representarse simplemente como,

m yr y yk y y=F y

m zr z zk z z=F z(2.4.1)

donde m es la masa inercial de la herramienta de corte, k y r son la rigidez y el

amortiguamiento de la estructura de la máquina y las derivadas en el tiempo representan la

velocidad y aceleración del corte en el borde. Sin embargo, los componentes de la fuerza de

corte están correlacionados, si Fy y Fz son la fuerza de corte y la fuerza de fricción

respectivamente, su dependencia puede expresarse por el coeficiente de fricción en la forma

Fz= K Fy (2.4.2)

Está configuración entonces tiene un comportamiento semi-caótico [9] al acercarse las

condiciones de corte a un estado crítico como el incremento de la profundidad del corte o la

máxima anchura de la rebaba removida del material como se muestra en la figura 2.4.

Graficando las trayectorias fase para los componentes Y y Z de las fuerzas de corte en el

proceso de maquinado de una fresadora. Para esta simulación, los valores numéricos están

especificados para una amplia gama de aceros con bajo contenido de carbon y condiciones

de corte y propiedades de la máquina están dadas para condiciones típicas donde la

inestabilidad puede desarrollarse. La trayectoria fase entra a un ciclo límite el cual representa

los errores de acabado superficial.

36

Capítulo 2

Figura 2.4. Planos fase para los osciladores en las direcciones Y y Z debidas a fuerzas de corte en un proceso

de maquinado en una fresadora convencional.

Estas fuerzas pueden volverse inestables debido a los efectos regenerativos del paso de las

herramientas de corte después de que la anterior ha dejado material sin cortar que puede

acumularse hasta que no es posible removerlos. Varios fenómenos no deseados están

relacionados con estas fuerzas como errores en acabado e inestabilidad del proceso. Es

posible cambiar las condiciones del proceso de maquinado; por ejemplo, incrementando el

número de dientes en contacto con el material (Figura 2.5), entonces nuevos efectos

regenerativos aparecen en escena; esto incrementa la fuerza debido al paso del diente

previo agregado a la fuerza de corte del diente que entra.

Figura 2.5. Vista desde arriba del maquinado de una fresa con una herramienta de corte con cuatro dientes.

La figura 2.6 muestra un diagrama a bloques del efecto de fuerza regenerativa, G(s)

representa la función de transferencia de la estructura de la máquina herramienta, h es el

37


grosor instantáneo de la rebaba, b es el ancho de la rebaba, Ks el coeficiente de fuerza de

corte obtenido experimentalmente midiéndolo directamente del husillo, Fm es la fuerza media

aplicada y Fv es la fuerza variable de excitación de la estructura. En este caso, la fuerza de

corte tiene la forma

F = Ksbh = Fm + Fv (2.4.3)

donde el componente variable de la fuerza es

Fv = Ksbhv = Ksb (y0 – y) (2.4.4)

En el límite de la estabilidad cualquier vibración permanecería constante sin incrementar o

decrementar. Entonces, de acuerdo al criterio de Nyquist, la función de transferencia es

K sbG 1−e− j =−1 (2.4.5)

donde ε representa el retardo en el proceso. La función de transferencia es -1 debido la

condición |y0| = |y(t)| y es posible encontrar el límite básico de estabilidad de la anchura de la

rebaba blim como,

blim = -1/2 Ks Gmin (2.4.6)

Gmin es la parte real de la función de transferencia orientada entre el desplazamiento

perpendicular y la fuerza generada.

Figura 2.6. Modelo regenerativo de las fuerzas de corte en una fresa.

Para herramientas de corte con dientes múltiples, la fuerza de corte tiene una dinámica mas

complicada y muchos de los componentes armónicos están presentes; la fuerza resultante

puede ser descrita con sus dos componentes de su plano de acción como

38

Capítulo 2

F y=∑j=0

N−1

F y j j

F z=∑j=0

N−1

F z j j

(2.4.7)

donde φj es la inmersión angular instantánea del diente j. Entonces, arreglando las fuerzas

de corte en una matriz se obtiene

{F y

F z}=1

2 b K t [a yy a yz

a zy azz]{ y z} (2.4.8)

los elementos de la matriz a se conoces como coeficientes de fuerza de corte dinámico

direccional variables en el tiempo y están dados por,

[A t ]=[a yy= ∑j=0

N−1− g j

[ sen 2 jK r 1−cos2 j ] a yz= ∑j=0

N−1−g j

[1cos2 jK r sen 2 j ]

azy=∑j=0

N−1

g j [1−cos2 j−K r sen 2 j ] azz=∑j=0

N−1

g j [ sen 2 j−K r 1cos 2 j] ](2.4.9)

Los coeficientes de corte Kt y Kr son constantes y el parámetro b representa la profundidad

de corte axial. Hay que notar que las fuerzas de corte tienen un comportamiento armónico y

dependen de los parámetros múltiples particulares para cada operación de corte. Por

ejemplo, el número y forma de las herramientas de corte, el material de la pieza de trabajo, la

velocidad de rotación del husillo, la velocidad de alimentación de la pieza de corte, etc.

La figura 2.7 muestra las fuerzas de corte a partir de una simulación computacional para

acero y 4 dientes de corte distribuidos uniformemente en el sujetador. Los parámetros de

simulación fueron: 2 mm de contacto de corte, 0.1 mm/diente de velocidad de alimentación,

500 Hz de frecuencia de inestabilidad, 0° de ángulo de entrada y 105° de ángulo de salida, 4

dientes con 30° de ángulo de hélice, Kt = 1.8 MPa, Kr = 0.3, Ket = 24.2 (constantes

tangencial, radial y de borde) para una aleación T16A14V.

39


Figura 2.7. Fuerzas de corte para las direcciones Y y Z obtenidas por simulación de corte de acero usando 4

herramientas de corte distribuidos uniformemente en el sujetador.

El análisis de estabilidad es en realidad un efecto multi-regenerativo y los coeficientes de

fuerza de corte dinámicos direccionales variables en el tiempo tienen una forma mucho mas

compleja; sin embargo, estos pueden ser representados como funciones de transferencia

ordenadas en una matriz de función de transferencia orientada y los límites de estabilidad

son una serie de curvas sobre puestas relacionadas con la frecuencia de límite de acabado

para estas condiciones de corte.

40

Capítulo 2

2.5 Las vibraciones mecánicas debido a la estructura de la máquina.

El análisis de los modos de vibración de la estructura de la máquina es de suma importancia

para encontrar los modos naturales de vibración y así mejorar, ya sea el diseño mismo de los

componentes cinemáticos y de contacto o el control. Típicamente, una máquina herramienta

puede ser modelada por una serie de masas interconectadas por resortes en diferentes

direcciones.

La idea de realizar un análisis multimodal es encontrar una función de transferencia que

represente la estructura dinámica de los componentes mecánicos de la máquina. De acuerdo

a lo propuesto por Tlusky [11], de forma que considerando una masa generalizada con n

fuerzas, de forma que es posible encontrar la función de transferencia orientada como se

sigue,

yF=yF=∑

n

i=1

udii (2.5.1)

donde es el factor direccional sobre el sentido de i.

Figura 2.8. Ejemplo de fuerzas generalizadas en una máquina herramienta con 4 elementos dinámicos.

41


Lo que se busca específicamente es encontrar una función de transferencia entre la

herramienta de corte y la pieza de trabajo, de forma que sea posible minimizar cualquier

efecto no deseado en la tarea de corte, aumentando así la precisión de la máquina.

Dado que es posible calcular o estimar las fuerzas de corte de acuerdo a las condiciones de

operación descritas anteriormente, conocer las frecuencias naturales de oscilación del

mecanismo, es de suma importancia para evitar cualquier tipo de resonancia. Considerando

la distancia relativa entre la herramienta de corte y la pieza de trabajo como (xh – xp), donde

xh es la posición de la herramienta de corte y xp es la posición de la pieza de trabajo.

Considerando las fuerzas involucradas en el corte crean una fuerza de magnitud F0, cuyo

efecto es recíproco con sentido contrario tanto en la pieza de trabajo como en la herramienta

de corte. Los vectores de desplazamiento y de fuerzas para un sistema generalizado n-

dimensional serán dados por:

[ x]=[ x1, x2, ... , x t ; xw , ... , xn ][F ]=[0,0,... , 1 ;−1,. ..0 ]F0

(2.5.2)

La ecuación de movimiento para todo el sistema es

[M x][ x][C x ][ x ][K x][ x]=[F ] (2.5.3)

donde la masa local es [Mx], el amortiguamiento [Cx] y la rigidez [Kx] son matrices cuadradas

de dimensión [nxn], y la fuerza [F] es de dimensión [nx1]. La solución del problema de

valores propios lleva a una solución modal en forma matricial [P] de dimensión [nxn]:

[P ]=[P11 P12 ... P1t P1w ... P1n

P21 P22 ... P2t P2w ... P2n

⋮ ⋮ ⋮ . ⋮ . ⋮P t1 P t2 ... P tt P tw ... P tn

Pw1 Pw2 ... Pwt Pww ... Pwn

⋮ ⋮ ⋮ . ⋮ . ⋮Pn1 Pn2 ... Pnt Pnw ... Pnn

] (2.5.4)

[P ]=[[P ]1 [P ]2 ... [P ]t , [P ]w ... [P ]n ]

Cada columna representa un modo [P] de la estructura n-dimensional.

42

Capítulo 2

Para calcular la función de transferencia de un sistema multidimensional como el mostrado

anteriormente, es necesario representarlo en el dominio de Laplace de la forma:

[M ] s2[C ] s[K ]{X s}={F s} (2.5.5)

o

[B s]{X s}={F s} (2.5.6)

Entonces la matriz de la función de transferencia del sistema multidimensional será

[H s ]={X s}{F s}=

adj [B s]∣[B s]∣ (2.5.7)

donde ∣[B s ]∣ es la ecuación característica , y la solución de ∣[B s ]∣=0 proporciona los

valores propios del sistema multidimensional.

Los elementos de la matriz [H(s)] pueden ser encontrados experimentalmente de manera

iterativa. Por ejemplo, para encontrar el elemento h11 se utiliza un martillo instrumentado

golpeando el primer elemento cinemático, mientras se mide la respuesta con un

acelerómetro dispuesto sobre el centro de gravedad del mismo elemento; al mantener el

sensor en el mismo elemento e ir golpeando el resto de los componentes cinemáticos,

entonces tendremos los componentes h12 , h13 , etc. Al mover el sensor al centro de gravedad

del siguiente elemento y medir la respuesta del sistema al golpearlo por los componentes

mecánicos obtendremos el siguiente renglón de respuesta, y así sucesivamente. Es

necesario notar que debido a las propiedades de simetría de la matriz de transferencia, no es

necesario hacer las mediciones para todos los componentes, sino solamente en cualquier

mitad triangular de la misma.

Los resultados de las mediciones se transforman al espectro de la frecuencia para poder

análizarlas y ajustarlas a una función de transferencia de la forma generalizada:

hil=il , kil , k s

s22kn , k sn , k2 (2.5.8)

donde d , k ,n , k y k son las frecuencias naturales amortiguadas, sin amortiguar y la

razón de amortiguamiento modal para el modo k del sistema. Los parámetros y se

encuentran a partir del análisis de las raíces de la ecuación característica y su expansión en

43


fracciones parciales, de forma que =2n−d y =2 ; y y son la parte

real e imaginaria del valor complejo conjugado de los residuos de la ecuación característica.

De esta forma, la ecuación de transferencia completa puede ser expresada en forma

matricial como sigue:

[H s]=∑k=1

n

[R ]k

s22kn , k sn , k2

(2.5.9)

donde cada elemento de la matriz multidimensional [R]k=[ s]k refleja los residuos del

modo k en la fila i y la columna j. La respuesta en frecuencia de la estructura se obtiene

remplazando el valor de s= j , donde la frecuencia de excitación puede ser encontrada

en un rango que cubra todas las frecuencias naturales. Inclusive puede usarse la misma

ecuación para realizar análisis y simulación en el dominio de la frecuencia aplicando la

transformación Bilinear s=[2 1−z−1]/[ t 1z−1 ] , en donde t es el intervalo de

integración digital y z−1 es el operador de retardo en tiempo.

Los efectos estructurales al escalarse en micromecanismos tienden a hacer un corrimiento

hacia la derecha de las frecuencias naturales, es decir, que dichas frecuencias naturales de

vibración tienden a hacerse de mayor valor de frecuencia y su excitación puede regularse

mediante filtros pasa bajos o, conociendo su valor específico, con filtros de rechazo de

banda. Este tema se retomará en el capítulo 3.

Este análisis es un tanto complejo para sistemas multidimensionales, sin embargo el análisis

multimodal de la estructura representa las frecuencias en las cuales el mecanismo tiene mas

posibilidades de amplificar algún comportamiento no deseado; lo cual debe de cotejarse con

el diseño del control o la estrategia de compensación de errores dinámicos. Lo que queda

ahora es considerar los aspectos no lineales del sistema dinámico.

44

Capítulo 2

2.6 No linealidades presentes en una máquina herramienta.

Hablar de no linealidades en una máquina es referirse a casos muy específicos de la

dinámica. Este trabajo abordará solamente el modelo generalizado de fricción, saturación de

actuadores y backlash. Aunque el espacio dedicado en esta sección es muy limitado, al

menos se detallarán algunos de los modelos mas utilizados y se harán comentarios de sus

efectos en micromáquinas y maquinaria de alta precisión.

2.6.1 Fricción.

La fricción está presente en cualquier superficie que está en contacto mecánico con otra, tal

es el caso de guías, soportes de componentes y chumaceras. Debido a la naturaleza no

lineal de la fricción y a que en aplicaciones de alta precisión ésta tiene un impacto

considerable en el movimiento, se intenta minimizar su efecto usando lubricantes, en camas

de aire o levitación magnética.

La Fricción es una de las no linealidades que presentan gran reto para la compensación del

error que se genera a partir de su presencia dado que causa saltos inesperados cuando la

velocidad cruza el cero y cambia de dirección, esto es debido al efecto de la fricción seca

(zona de banda muerta) lo cual ejerce un retardo en el efecto del actuador hasta que su

torque sobre pasa el límite. La figura 2.9 muestra un movimiento circular estándar, el cual es

una prueba convencional efectuado en máquinas herramientas donde picos de velocidad

aparecen precisamente cuando alguno de los ejes de movimiento cruza por cero y el efecto

de la fricción es evidente.

45


Figura 2.9. Resultados de una prueba de movimiento circular mostrando el efecto de la fricción seca en una

maquina herramienta.

La fricción tienen diferentes modos de comportamiento y modelos matemáticos que los

describen; sus propiedades no lineales pueden requerir gran esfuerzo y energía para su

compensación. El modelo de fricción propuesto es mostrado en la figura 2.10 y depende del

torque aplicado, así como de la velocidad del sistema mecánico. Este modelo de fricción

tiene cuatro regímenes característicos separados de acuerdo a su comportamiento

específico.

46

Capítulo 2

Figura 2.10. Modelo de fricción no lineal que muestra cuatro diferentes regiones o regímenes de

comportamiento.

El primer régimen es la fricción estática está cercana a la zona cero de velocidad y es la

equivalente a la fuerza o torque requerido para poder mover las superficies de contacto a

partir de un estado estático. La segunda región es llamada de frontera de lubricación y es

una pequeña zona en donde a pesar de que la velocidad se incrementa, la fuerza requerida

para mover el sistema se mantiene constante.

El tercer régimen de la fricción es la zona de fluido parcial o de fricción inversa en donde a un

aumento de la velocidad, la fricción disminuye y es necesaria menos fuerza para vencerla. El

último régimen es el de fluido completo en donde la fricción es proporcional a la velocidad. A

partir de este modelo es posible derivar los valores de fricción que usualmente se utilizan en

los modelos matemáticos, la fricción de Coulomb y la viscosa, tal y como se muestra en la

figura 2.10. Una descripción detallada de este modelo de fricción puede encontrarse en [10]

Este modelo de fricción puede resumirse en la siguiente ecuación,

47


T f ,T ={0 =0,T=0T =0,0TT estático

''

T =0,T estático'−' T0

T estático'' TT estático

''

T estático'−' TT estático

'−'

T est' ' 0

T est'− ' 0

} (2.6.1)

T estático' ' = lim

0' 'T est

''

T estático'− ' = lim

0'− 'T est

'−'

T est' ' =T estático

'' e−/1''

T coul'' 1−e−/2

''

T visc' '

T est'− ' =T estático

'−' e−/1'−'

T coul'−' 1−e−/2

'−'

T visc'− '

(2.6.2)

donde T es el torque requerido, T+estático es el torque en fricción seca necesario para vencerla

en la dirección positiva, T-estático es el torque en fricción seca necesario para vencerla en la

dirección negativa, ω es la velocidad y Ω1 y Ω2 parámetros de normalización de las

velocidades de rotación.

El modelado de la fricción puede ser muy complejo debido a que implica efectos

retroalimentación y alimentación hacia adelante o directa. La mayoría de las técnicas de

compensación están basadas en un control directo y la identificación de los parámetros de

fricción a partir de algoritmos de identificación o control robusto. En este sentido, dichos

algoritmos utilizan modelos no lineales de fricción como el que se muestra en la figura 2.11,

la cual muestra una representación a bloques de la fricción.

48

Capítulo 2

Figura 2.11. Modelo de fricción en un diagrama a bloques.

El diagrama a bloques en la figura 2.11 muestra un sistema inercial en donde J es el valor de

la Inercia del sistema, B es el coeficiente de amortiguamiento viscoso, R es el coeficiente de

Resilencia y Ka y Kt son constantes de lubricación

El modelo de fricción propuesto por Dahl, tomado de [6], tiene un enfoque dinámico, en

donde la fricción está dada por la ecuación diferencial

dFdx= 1− F

F csgn v

a

(2.6.3)

donde v es la velocidad, σ es el coeficiente de rigidez, a es un parámetro que determina la

forma de la curva tensión-compresión (a=1 es usado comúnmente), Fc es la fuerza de fricción

de Coulomb y F es la fuerza de fricción.

En este caso, ciertas condiciones deben de entenderse por ejemplo ∣F∣Fc y por lo tanto

∣F 0∣F c . Entonces,

dFdt= dF

dxdxdt= dF

dxv= 1− F

F csgn v

a

v (2.6.4)

para a=1 tenemosdFdt= v− F

F c∣v∣

haciendo un cambio de variables, F=σz, entonces,

dzdt=v−

∣v∣F c

z (2.6.5)

49


Este modelo no considera varios efectos no lineales, pero es una buena aproximación y es

comúnmente usado para controles con identificación de parámetros y adaptivos, debido a su

relativa simplicidad y descripción dinámica.

En la práctica puede haber diferentes causas por las que exista un cambio de fricción entre

las superficies de contacto de los mecanismos, por ejemplo desalineamientos entre

componentes, aumento volumétrico debido al cambio de la temperatura o la presencia o no

de lubricante. La figura 2.12 muestra un caso que he medido en laboratorio de cambio de

fricción en un eje de movimiento con un desalineamiento entre el eje de movimiento y uno de

los soportes, comparado con el mismo eje con un mejor alineamiento entre los componentes

mecánicos. Este tipo de pruebas de medición del torque requerido por el motor para estimar

la fricción y algún posible desajuste mecánico son extremadamente útiles en la práctica para

mejorar el rendimiento de las máquinas y asegurar una buena calibración.

50

Capítulo 2

Figura 2.12. Pruebas de fricción comparando un mecanismo desalineado con otro mejor alineado.

La fricción como componente no lineal tiene un gran impacto en el movimiento de

micromecanismos y mecanismos de alta precisión en general; la mejor estrategia es realizar

un mejor diseño de los componentes cinemáticos y la lubricación entre los elementos en

movimiento, con esto se evitará requerir de actuadores capaces de contrarrestar los efectos

de la fricción o controladores mas sofisticados. Ahora, debido a la naturaleza dinámica de la

fricción, es común utilizar técnicas adaptivas de control, las cuales detectan las

características presentes de fricción y su acción depende de su medición y modelo utilizado.

2.6.2 Saturación de actuadores.

Los modelos de saturación de actuadores son relativamente simples, sin embargo sus

efectos en el sistema dinámicos se acumulan y pueden llegar a colapsar o inclusive destruir

al sistema por sobre calentamiento del actuador. La saturación de un actuador se presenta

cuando el sistema de control envía señales superiores a la capacidad del actuador y éste no

puede generar la respuesta deseada y puede ocasionar inclusive la destrucción del mismo.

Por ejemplo, cuando un motor requiere mover una carga superior a su torque nominal o

cuando la aceleración demandada para mover una carga determinada requiere un torque

instantáneo superior al torque instantáneo máximo del actuador.

51

-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

Torque de un motor moviendo una carga vertical

CMDVEL POSERR TRQ

tiempo [ms]


Figura 2.13. Torque de un motor moviendo una carga vertical.

La figura 2.14 muestra el torque de un motor, su comando de velocidad y el error generado al

mover una carga vertical que he medido en pruebas de saturación de motores en un sistema

mecánico con un tornillo de bolas. Se puede observar como el motor se satura en un par de

puntos durante la aceleración y desaceleración y esto ocasiona que el error en la posición se

incrementara. Este es un fenómeno que es necesario evitarse y que matemáticamente se

puede modelar utilizando funciones limitantes como el arco tangente, atan(), o discretizando

la función de torque del motor.

La saturación de actuadores y sensores es un problema que debe evitarse desde el diseño,

estimando el rango apropiado requerido para efectuar la operación deseada y medir los

parámetros de manera adecuada.

2.6.3 Paso mínimo

Esto se refiere al mínimo desplazamiento o acción diferenciable de un comando. Aunque

este no es un efecto no lineal, es una propiedad de los mecanismos que debe ser evaluada

con el fin de establecer su precisión. El procedimiento estándar para determinar este

parámetro es el comandar un movimiento escalonado con un paso que va disminuyendo

iterativamente hasta encontrar el valor mínimo en que el mecanismo puede moverse.

Regularmente se utiliza un sensor de posición de alta precisión como un láser.

52

Capítulo 2

Figura 2.14. Prueba de micro paso con la posición del controlador y la real medida con un sensor láser.

La figura 2.14 muestra una prueba de micro paso realizada en un eje de movimiento con un

tornillo de bolas en donde se muestran las diferencias entre la posición del encoder del servo

con la real medida con un sensor láser. Esta gráfica muestra diferentes efectos como la

fricción y backlash. Con esta información es muy útil para idear una buena estrategia de

control y compensación de errores.

2.6.4 Palabras finales de los modelos matemáticos

Existen por supuesto otras no linealidadades como el Backlash el cual se presenta en

mecanismos en los elementos de transmisión de movimiento cuando hay un cambio de

dirección, dado que existe un espacio de movimiento muerto o no movimiento en estos

componentes. Esta no linearidad genera un efecto similar a la histéresis y su modelación se

hace de forma discreta. La compensación es sencilla pues solo se agrega el valor que

reduce el error provocado por el backlash.

53

-6

-4

-2

0

2

4

6

4.43

0.51

-3.86

5.04

-5.04

Prueba de micro paso en un eje con tornillo de bolas

Servo (micrometros) Láser (micrometros)

Posi

ción

[um

]


Otras no linealidades como histéresis en el campo magnético de los motores, errores de

discretización, efectos de fuerzas remanentes como las de corte en herramientas con varios

cortadores (los cuales se verán a mayor profundidad en el capítulo 3) y no linealidades

intrínsecas de los sensores pueden modelarse e incluirse en los diseños de compensación

del error producido. La mayoría de estas no linealidades son difíciles de reproducir en

simulación y los controles, por lo que una de las técnicas de compensación es considerarlos

simplemente como perturbaciones y diseñar controladores robustos o adaptivos para

manejarlos. Sin embargo, en el caso de mecanismos de precisión el efecto agregado de

todos estos efecto puede ser considerablemente grande y obligar a rediseñar el mecanismo

o sustituir el origen de la no linearidad.

Por ahora, considerando los efectos combinados de las diferentes fuentes de error con la

finalidad de encontrar la desviación de la punta de la herramienta de corte con respecto de la

trayectoria deseada, es posible encontrar una representación en forma matricial que

represente la posición final de la punta de la herramienta de corte con respecto a la pieza de

trabajo. Esto es,

ErrorTotal=[R P0 1 ]geométrico[X d

Y d

Z d

1

[ xT T yT T zT T

1]térmico

[ X F Y F Z F

0 ]Fuerzas decorte

][ f x t f y t f z t

0]

(2.6.6)

El error total acumulado es

Error Total=[ 1 − p y ax

p 1 −r by

− y r 1 cz

0 0 0 1]

[[xd

yd

zd1][ 1 −p T yT x

p T 1 −r T y T − yT r T 1 z T

0 0 0 1][ 0 −ax a y x

ax 0 −a z y

−a y az 0 z0 0 0 1

]][ f x t f y t f z t

0]

(2.6.7)

54

Capítulo 2

Esta formula es útil para establecer una estrategia de compensación del error estático y

dinámico en una máquina. Aquí se consideran no solo los errores individuales de cada eje de

movimiento, sino también los que se generan por la interacción con otros ejes. En los

capítulos siguientes se tocarán temas específicos de control y simulación computacional de

estas máquinas, poniendo énfasis en las micromáquinas.

Con esta forma de matriz, se integra en una sola ecuación todos los efectos y es posible

proponer técnicas integradoras en los mecanismos, pues se consideran los efectos

interrelacionados entre diferentes ejes de movimiento. En los siguientes capítulos se

desarrollarán técnicas para la simulación y el control de micro mecanismos de alta precisión.

Referencias

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55


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[10] Hertmann, R. and Krener, A. Nonlinear Controllability and Observability. IEEE trans. on

Automatic Control. Vol. AC-22 No. 5 October 1977.

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Pergamon Press. 1967

[14] Altintas, Y. Manufacturing automation. Cambridge University Press. 2000

56

Capítulo 3

CAPÍTULO 3.

DISEÑO DE ALGORITMOS DE MODELACIÓN Y CONTROL PARA MICROMECANISMOS DE ALTA PRECISIÓN

3.1 Introducción

Hemos llegado al punto en que tenemos a disponibilidad una herramienta para empezar a

hacer el análisis de la compensación de errores en mecanismos de alta precisión. El reto

ahora es decidir que es lo que aplica y de que forma estos modelos representan realmente a

la máquina que estamos intentando reproducir de manera abstracta. La representación

matemática y computacional de un mecanismo puede hacerse de diversas formas y el reto

es poder encontrar un modelo que realmente sea similar a la realidad y pueda manejarse con

las herramientas disponibles. La estrategia de diseño que vamos a utilizar es primero

identificar el modelo matemático de la dinámica de la planta, para luego diseñar un

controlador que nos permita manejar el comportamiento dinámico del sistema total hacia lo

que deseamos.

Al intentar encontrar los algoritmos adecuados nos encontramos con el reto de decidir a que

grado vamos a intentar reproducir el sistema en cuestión. Supongamos, como es nuestro

caso, que requerimos de un modelo matemático que reproduzca el comportamiento dinámico

de un micromecanismo y diseñar un controlador capaz de manejar los efectos no lineales a

los que el mecanismo está sujeto en su régimen de alta precisión. Con alta precisión me

refiero a la generación de movimientos siguiendo alguna trayectoria dinámica (posición,

velocidad y aceleración) con resoluciones significativamente pequeñas comparadas con el

rango de movimiento alcanzado por el mecanismo.

Es de suma importancia encontrar o desarrollar nuevas formas para modelar, controlar y

57

Diseño de algoritmos de modelación y control para micro mecanismos de alta precisión.

manejar máquinas de precisión. Este capítulo muestra diferentes métodos para modelar

sistemas dinámicos no lineales mixtos, discretos y continuos. Estas características se

presentan naturalmente en sistemas mecatrónicos en donde una computadora o dispositivo

electrónico hace un control digital de un sistema continuo.

El primer paso es hacer un análisis de la estabilidad del sistema. Para eso hemos trabajado

algunos algoritmos para analizar la estabilidad de sistemas dinámicos con retardo, lo cual es

uno de los efectos no lineales mas comúnmente generados.

3.2 Análisis de estabilidad e inestabilidad de sistemas dinámicos con retardo

Diferentes efectos no lineales pueden ocasionar retardos de algunas de las variables de

estado del sistema dinámico. Estos retardos normalmente no son deseados y tienen que

utilizarse métodos avanzados de análisis y control. En este caso, ecuaciones diferenciales

ordinarias no son suficientes y es necesario utilizar métodos avanzados de análisis para

asegurar la estabilidad y efectividad de un controlador.

La siguiente disertación tiene como objetivo hacer un análisis de la fuente mas común de

inestabilidad en sistemas no lineales que son los retardos. Los retardos en un sistema se dan

naturalmente, como se vio en el capítulo 2, por efectos no lineales; por ejemplo la fricción,

backlash, no linealidades magnéticas que generan histéresis y saturación de actuadores.

El análisis de estabilidad en un sistema no lineal se hace usualmente con el desarrollo de

una función de Lyapunov. Funciones de Lyapunov son, en general, difíciles de encontrar.

Krasovskii [14] sugirió el uso de funcionales definidas en ecuaciones con retardo en lugar de

las funciones de Lyapunov y demostró teoremas generales de estabilidad basado en estos

teoremas; estas son llamadas comúnmente funcionales Lyapunov-Krasovskii.

Las funcionales degeneradas son no negativas, pero tampoco son funcionales definidas no

58

Capítulo 3

positivas. En el caso de estas funcionales el análisis de la estabilidad consiste en dos etapas:

En la primera etapa se construye una funcional positiva con derivada negativa. En la

segunda etapa se conecta con el estudio de la estabilidad de algunas desigualdades

funcionales generadas por una serie cero de una funcional no negativa construida

anteriormente [10-14].

Existe un número pequeño de ecuaciones con retardo cuyas condiciones de estabilidad

pueden ser expresadas en términos de sus coeficientes. Las mas estudiadas son las

ecuaciones lineales autónomas y no autónomas para las cuales se han establecido las

condiciones de estabilidad en [2-4]. Si la ecuación no lineal contiene términos lineales, su

estabilidad puede ser estudiada por el uso del teorema de estabilidad en su primera

aproximación. La estabilidad en problemas no lineales sin términos lineales es mas

complicado.

Considerando una ecuación diferencial funcional con retardo

x '= f t , x t , x t ∈Rn

xt=x ts , −h≤ s≤0, x t∈C [−h ,0] ,x s= s , −h≤s≤0

(3.2.1)

Suponiendo que la solución del problema de valores iniciales existe localmente. En general,

la solución del problema de calores iniciales no es continua en el semieje positivo [0,∞), pero

si se puede establecer que la solución trivial es asintóticamente, entonces todas las

soluciones con funciones iniciales desde el dominio de atracción son continuas.

Se entiende que la solución trivial x(t)=0 es estable si para cualquier ε > 0 existe una δ > 0 tal

que la solución x(t,φ) que corresponde a la función inicial φ satisface la desigualdad ⎟

x(t,φ)⎟ ≤ ε, t > 0 para cualquier función inicial φ : ∥∥C [−h ,0]≤ .

La solución trivial x(t) = 0 es llamada asintóticamente estable si la funcional arriba descrita es

estable y existe una Δ > 0 tal que

limt∞

x t ,=0,∥∥C [−h ,0]≤

(3.2.2)

59


El conjunto de todas las funciones iniciales φ tales que la condición anterior se mantiene es

llamado el dominio de atracción de la solución trivial. Si el dominio de atracción coincide con

todo el espacio C[-h,0], entonces lo solución trivial es asintóticamente estable globalmente.

Una funcional continua,

V t ,:R1 xC [−h ,0]R1 (3.2.3)

es llamada positiva definida (o negativa definida) si existe una función escalar, continua y no

decreciente ω (u) tal que ω (u) > 0, u > 0 y ω (0) = 0 y satisface la desigualdad,

V t ,≥∣0∣ ,V t ,≤−∣0∣ s∈C [−h , 0] (3.2.4)

en [Kolmanovskii1995] se establece que para una ecuación retardada como la de arriba,

existe una funcional positiva definida y continua tal que,

1) 1 ∣0∣≤V t ,≤2∥s∥C [−h ,0]2) 1 u ∞ ,u∞ ,

3) La derivada de la funcional V a lo largo de la solución considerada de una ecuación con

retardo es negativa definida:

V '≤−3 ∣x t ∣ (3.2.5)

entonces la solución trivial de una ecuación con retardo es asintóticamente estable

globalmente.

Supongamos ahora que para una ecuación con retardo existe una funcional degenerada

continua de la forma

V t , x , X t , xt , X t , x t =x t −G t , x t (3.2.6)

tal que en la esfera S H={xt∈X [−h ,0]:∥xt∥≤H } :

1) 1 ∣X t , x t ∣≤V t , x t , X t , x t ≤2∥x t∥C [−h ,0]

2) la funcional G(t,xt) satisface la condición de Lipschitz

∥G t , xt −G t , y t∥≤∥x t−y t∥,01,∀ xt , y t∈SH (3.2.7)

3) la derivada de la funcional degenerada a lo largo de la solución de la ecuación con retardo

es definida negativa:

V '≤−3 ∣x t ∣ (3.2.8)

Entonces la solución trivial de la ecuación con retardo es asintóticamente estable y la esfera

60

Capítulo 3

S H={xt∈C [−h ,0] :∥x t∥≤H } se encuentra en su dominio de atracción.

Un análisis a detalle de análisis de estabilidad en sistemas dinámicos polinomiales con

retardo a partir del uso de ecuaciones diferenciales funcionales puede encontrarse en [15].

Diferentes condiciones de los coeficientes para asegurar estabilidad global de la solución

trivial a partir de la funcional Lyapunov-Krasovskii V(t,xt) se describen en dicha referencia.

V t , xt =x2 t ∫t−hk

t

x2k2 sds (3.2.9)

La derivada de la funcional positiva definida V(t,xt) calculada a lo largo de la trayectoria

definida por la ecuación polinomial del sistema dinámico bajo las condiciones que aseguran

que la solución trivial es globalmente estable, es tal que V '≤− x2k2t .

De esta forma, es posible aproximar una función no lineal usando un polinomio de grado n,

donde n debe ser impar para poder aplicar los teoremas desarrollados en [15].

Existen casos en donde las ecuaciones del sistema dinámico con retardo h se pueda partir

de forma que tengamos una parte polinomial de grado impar y una parte no lineal f(t,x(t),x(t-

h)) continua; de forma que para asegurar que la solución trivial sea asintóticamente estable

globalmente, se requiere que,

∣ f t , x t , x t−h∣≤ x2k2 t x2k2 t /h ,≥0,≥0 (3.2.10)

En cuyo caso la solución trivial es asintóticamente estable globalmente y la esfera

∥x s∥C [−h ,0]≤min 4 ,

2 (3.2.11)

se encuentra en su dominio de atracción.

3.3 Sistemas híbridos en máquinas de control numérico

La operación de fresado o la remoción de material de una pieza de trabajo es de los mas

comunes operaciones de maquinado en la industria de manufactura y siempre requiere de

mejores técnicas para aumentar la precisión de forma eficiente. La máquina en sí misma

61


representa un reto para realizar un buen modelado debido a la interacción entre sus

componentes mecánicos, eléctricos, de control y software. Una máquina de control numérico

computacional (CNC) puede ser muy compleja y cambiar entre diferentes modos y

condiciones de operación requiere de estrategias de control eficientes para cada régimen en

particular.

Los modos de operación pueden ser identificados en un proceso de maquinado de real de

manera un tanto intuitiva. El conocimiento y experiencia pueden ser usados para aumentar la

eficiencia, reducir el consumo de energía y el esfuerzo computacional para la simulación y el

control. Además, ciertas trayectorias de los valores de las variables de estado pueden

generar inestabilidad debido a las fuerzas de corte y el daño en la herramienta de corte y de

la pieza de trabajo; tal es el caso de los ciclos de corte que generan retardos en el proceso.

Dichas trayectorias deben de ser evitadas y un simple control Proporcional-Integral-

Derivativo (PID) puede no ser suficiente para realizar tal tarea.

El principal propósito de aplicar una modelación de un sistema híbrido a una máquina de

CNC es el de poder obtener un modelo realista que sea capaz de cambiar entre diferentes

modos de operación y asegurar que el sistema sea estable y confiable. Los estados que

queremos modelar son situaciones en donde la dinámica del sistema cambia; por ejemplo,

en Fresado o en movimiento al aire de forma que se pueda usar el mejor controlador y evitar

las condiciones de inestabilidad que crean errores de acabado en la pieza de trabajo.

Cualquier sistema mecánico convencional está sujeto a los efectos de regímenes de fricción,

en particular a la discontinuidad o la zona de banda muerta cuando el movimiento alcanza su

valor mínimo. Por otro lado, cuando la máquina está cortando, la mesa se mueve bajo el

efecto de las fuerzas de corte adicionales las que dependen de la profundidad del corte, la

forma de la herramienta y la velocidad de alimentación de la pieza de trabajo, de forma que

el rendimiento de la máquina disminuye y deja errores en el acabado del material.

Como se mencionó en el capítulo primero, un proceso de manufactura puede verse como un

62

Capítulo 3

modelo jerárquico en donde en el nivel mas bajo se encuentran los actuadores, sensores y

controles empotrados. Este nivel es esclavo y depende del modulo generador de trayectoria

que envía los comandos de movimiento usando interpolaciones lineales, circulares o

polinomiales.

El siguiente nivel es el de la planeación de la trayectoria que depende en sí del software de

CAD/CAM que toma el prototipo virtual y calcula la trayectoria de la herramienta de corte

para generar la forma final. En este nivel podríamos colocar un módulo de comunicaciones el

cual enlazaría esta máquina con otras para coordinar tareas dentro de una celda de

manufactura o en la planta completa si conectáramos varias celdas de manufactura y líneas

de producción. Inclusive podríamos ir mas lejos al querer expandir dicha red a otras plantas,

redes de distribución, manejo de residuos o máquinas al fin de su vida útil, etc. Pero esto

está fuera de este trabajo, aunque es interesante ver y hacer notar el panorama completo de

un proceso de producción y la complejidad que involucra en su totalidad.

Cada nivel que se ha mencionado puede ser modelado como un sistema híbrido. En este

trabajo de disertación y en este capítulo solo se abordarán los niveles inferiores referentes a

una sola máquina. Al obtener el modelo correspondiente a una sola máquina, es posible

aspirar a extender el modelo, reproducirlo y adaptarlo para representar sistemas mas

complejos. En el caso de microfábricas, esta forma de abordar la modelación es de suma

importancia debido a la paralelización natural que se da al usar diferentes micromáquinas

trabajando en colaboración y coordinando sus tareas.

3.3.1. Sistemas híbridos

En general, un sistema híbrido describe la evolución de un estado o serie de parámetros en

el tiempo. Un trabajo publicado que muestra esta presentación puede verse en [19]. Basado

en la dinámica interna definida para cada estado discreto, el sistema dinámico puede ser

clasificado como:

63


a. Continuo, si los estados toman valores en un espacio Euclidiano Rn para algunos n ³ .

b. Discreto, si el estado toma valores en una serie contable o finita {q1, q2, ... }, donde q es el

estado y f un sistema discreto.

c. Híbrido, si parte de los estados toman valores en Rn mientras que otra parte del sistema

toma valores en una serie finita.

Los sistema híbridos son sistemas dinámicos que involucran la interacción de diferentes tipos

de dinámicas. Algunos de los sistemas híbridos mas útiles vienen de la interacción de

sistemas dinámicos continuos y dinámicas de estados discretos. Afortunadamente, el marco

teórico en el que los sistemas híbridos se han creado permite un amplio rango de

aplicaciones de ingeniería: sistemas mecánicos, procesos de maquinado y manufactura; en

circuitos eléctricos, por ejemplo en semiconductores o sistemas de potencia conmutable

usando capacitores; en procesos de control químicos, cuando las reacciones químicas son

controlados por válvulas o bombas; en computadoras empotradas, cuando una computadora

digital interactua con un ambiente analógico.

Un autómata híbrido es un sistema dinámico que describe la evolución en el tiempo de los

valores de una serie de variables de estado discretas y continuas. La definición formal de una

autómata híbrido es como sigue:

Un autómata híbrido H es una colección H =(Q, X, f, Init, D, E, G, R), donde

Q = {q1,q2, ...} es una serie de estados discretos;

X = ℜn es una serie de estados continuos;

f(•,•) : Q x X → ℜn es un campo vectorial;

Init ⊆ Q x X es una serie de estados iniciales;

Dom(•) : Q → P(X) es un dominio;

E ⊆ Q x Q es una serie de bordes o límites entre regiones;

G(•): E → P(X) es una condición de guarda para conmutar de una región a otra;

R(•,•) : E x X → P(X) es un mapa de reinicio.

64

Capítulo 3

Donde P(X) denota la serie de potencias (serie de todas las subseries) de X. Dom(q) ⊆ ℜn es

la serie de estados continuos y (q, x) ∈ Q x X es la serie de H.

Es conveniente visualizar un autómata híbrido como grafos direccionales (Q, E) con vértices

Q y fronteras E. Con cada vértice q ∈ Q, una serie de estados iniciales { x ∈ X | (q, x) ∈ Init}

asociados a un campo vectorial f(q,•) : ℜn → ℜn y un dominio Dom(q) ⊆ ℜn . Un borde (q, q')

∈ E que empieza en q ∈ Q y termina en q' ∈ Q. Con cada borde (q, q') ∈ E, hay una guarda

G(q,q') ⊆ ℜn y una función de inicialización R(q,q',•) : ℜn → P(ℜn) asociado a esta.

3.3.2 Modelo de una micromáquina fresadora CNC

Modelar una máquina usando la técnica de los sistemas híbridos demanda primero definir la

máquina de estados finitos y diferentes regímenes de operación. Los estados que se van a

modelar en una máquina CNC puede ser definidos como:

Q: = {Q0, Q1, Q2, Q3, Q4, Q5}

donde los estados son:

Q0 – Alto: La máquina no está en movimiento.

Q1 – Corte en el aire: la máquina no está sujeta a fuerzas externas debidas al corte de

fresado.

Q2 – Fresado: La máquina está sujeta a fuerzas externas de fresado.

Q3 – Corte en el Aire a baja velocidad: Sin corte con fricción no lineal.

Q4 – Fresado en baja velocidad: Proceso de fresado con fricción no lineal.

Q5 – Fallo: La máquina ha rebasado sus límites máximos en área de trabajo o corriente de

los motores.

Las variables de estado tienen una serie de valores iniciales y cada dominio es obtenido de

las especificaciones mismas de la máquina como sigue,

X: = {(x, y, z); (vx, vy, vz): X ∈ ℜ3x2}, variables de estado de la máquina.

65


Init: = {(0, 0, 0), (0, 0, 0)}, condiciones iniciales de la máquina (en el origen y en descanso)

Dom (Q1) = Dom(Q3), dominios para Q1 y Q3.

X ∈ [0,50], y ∈ [0,30] z ∈ [0,30] [mm], límites de movimiento.

|vx|∈ [0,40], |vy|∈ [0,40] |vz|∈ [0,25] [mm/s], límites de velocidad.

Dom (Q2) = Dom (Q4), dominios para Q2 y Q4.

x ∈ [0,50], y∈ [0,30] z∈ [0,30] [mm], límites de movimiento.

V: = {(vx, vy, vz): v r=vx2v y

2v z261 } , máxima razón de alimentación es 61 mm/s

Dom (Q0) : x∈[0,50], y∈[0,30] z∈[0,30] [mm], dominio para Q0 o estado inicial.

V: = {0, 0, 0}, máquina en reposo.

Dom (Q5) : x∈[0,50], y∈[0,30] z∈[0,30] [mm], dominio para el estado de fallo.

vx [∈ 0,10], vy [∈ 0,10] vz [∈ 0,10] [mm/s] (velocidad en modo de fallo)

E = {(Q1, Q2), (Q2, Q1), (Q1, Q3), (Q3, Q1), (Q2, Q4), (Q4, Q2),

(Q*, Q0), (Q*, Q5)}, bordes o transiciones entre estados.

Guarda (Q1, Q2) Fuerza < Ffresado (Medición externa), guardas de transición.

Guarda (Q2, Q1) Fuerza ≥ Ffresado (Medición externa)

Guarda (Q1, Q3) velocidad < Vfricción

Guarda (Q3, Q1) velocidad ≥ Vfricción

Guarda (Q2, Q4) velocidad < Vfricción

Guarda (Q4, Q2) velocidad ≥ Vfricción

Guarda (Q*, Q0) ,velocidad resultante (vr) = 0 (todos los ejes detenidos).

Guarda (Q*, Q5) x ∈ Dom (Q1) ó ix > imax ó iy > imax ó iz > imax ó vr >, máxima razón de

alimentación

(i representa la corriente en el motor, está relacionada a Ffresadora)

Las Inicializaciones son unitarias. Las variables de estado son continuas no cambian como

resultado de la conmutación.

Entradas ={Comando de movimiento, presencia de Pieza de Trabajo (booleano)}

66

Capítulo 3

Para visualizar mejor el sistema, la figura 3.1 representa la máquina de estados finitos (MSF)

para cada eje. En este modelo computacional hay tres MSF corriendo en paralelo y se

asume que controles superiores existen y comandan la máquina. El modelo lineal para un eje

simple consiste de un sistema mecánico estándar que se mueve a partir de un motor

conectado a un eje transmisor de movimiento, lo cual queda establecido por una ecuación

diferencial de segundo orden. Así se describe la planta formada por el motor, el tornillo y la

mesa. Sin embargo, se asumen ciertos criterios en este modelo:

● La pieza de trabajo es un bloque simple sin discontinuidades en ella.

● La generación del movimiento de alimentación es trapezoidal.

● Las fuerzas de fresado son armónicas.

● Los componentes mecánicos son cuerpos rígidos.

3.3.3. Definición de abstracciones y simulaciones

El siguiente paso dentro del proceso para definir un sistema híbrido es determinar qué tipo de

sistema es en base a un análisis de sus propiedades dinámicas. Dado que la evolución en el

tiempo depende del comando de entrada (Comando de Movimiento) y, tomando el comando

en código G como referencia, podemos determinar que tipo de trayectoria trapezoidal va a

ser requerida para ejecutar un movimiento dado. El código G es una serie de instrucciones

usadas en máquinas CNC para comandar desplazamientos discretos de los componentes

cinemáticos de la misma. En este caso vamos a reducir las instrucciones en código G a:

Valores de entrada, Comando_movimiento ={G00, G01, G02, G03, ALTO, FIN}

G00 – Movimiento rápido: Mueve a X,Y,Z con velocidad máxima. Sin interpolación. Sin Corte.

G01 – Interpolación lineal: Mueve a X,Y,Z con velocidad de alimentación F. Con interpolación

lineal.

G02, G03 – Movimiento circular (CW/ CCW).

67


Figura 3.1. Máquina de estados finitos por eje.

En el estado de OPERACIÓN, cada eje recibe un comando de velocidad a partir de los

cálculos de interpolación y se mantiene hasta que la máquina ha alcanzado su posición

objetivo (En-posición). En este modelo, el estado de En-posición está en un nivel jerárquico

mas alto y no es considerado. La velocidad igual a cero significa que el sistema está en

reposo y el modelo salta automáticamente a el estado de ALTO. Las abstracciones para los

comandos G00 y G01 están definidos como eventos externos y escritos dentro de paréntesis.

El tiempo está descrito en la parte inferior de la tabla t1 indicando el posible tiempo para cada

evento debido al hecho de que estos son No determinístico; internamente para el modelo la

secuencia de los comandos y el tiempo en que se realizan son desconocidos.

68

Capítulo 3

3.3.4. Alcance de la dinámica del sistema híbrido.

Encontrar el espacio de alcance, o el espacio de posibles estados y en que sus variables

pueden estar, de un sistema híbrido es en general un reto y una tarea pesada. El Espacio de

alcance es aquel de todos los posibles estados que una entrada específica puede generar.

Es esta caso, es posible visualizar los estados alcanzables y presentarlos, pero en la

mayoría de las máquinas esto es una tarea muy complicada.

Las flechas son usadas para representar el orden del estado inicial y final para cada

transición. El espacio alcanzable es la secuencia de estados posibles, en el caso de G00 y

G01 esto es,

G00 (No hay posibilidad de encontrar la pieza de trabajo), tenemos,Q00 (G00) Q3 Q1 Q3 Q0

Comando Q3 Q3Time t0 t0 t1 t2 t3

G00 espacio alcanzable {{Q0-Q3-Q1-Q3-Q0}, {Q0-Q3-Q0}}

Figura 3.2. Secuencia de eventos y estados para el comando G01 de interpolación lineal en una máquina

herramienta. Trayectoria monitoreada: Q0-Q3-Q4-Q2-Q1-Q3-Q0

69


G01 espacio alcanzable es {{Q0-Q3-Q1-Q3-Q0} {Q0-Q3-Q0} {Q0-Q3-Q2-Q1-Q3-Q0}

{Q0-Q3-Q2-Q4-Q0} {Q0-Q3-Q1-Q3-Q0} {Q0-Q3-Q4-Q3- Q0}

{Q0-Q3-Q4-Q2-Q4-Q0} {Q0-Q3-Q4-Q2-Q4-Q3-Q0}

{Q0-Q3-Q4-Q2-Q1-Q3-Q0} {Q0-Q3-Q4-Q0}}

En la figura 3.2, las flechas apuntan hacia el tiempo de transición para el evento; por ejemplo,

si la flecha alcanza t5 desde t3, entonces la transición está hecha en t5 desde un estado que

inicio en t3.

Se puede ahora realizar la clasificación del sistema híbrido a partir de estas abstracciones. El

comportamiento del sistema depende del comando de entrada y, una vez que conocemos la

secuencia de entrada, la posición relativa de la pieza de trabajo, entonces es posible conocer

los estados futuros.

3.3.5. CLASIFICACIÓN DEL SISTEMA CNC HÍBRIDO.

a. Determínistico/No-determínistico

Un autómata híbrido es llamado determinístico si para todos los estados iniciales (q 0, x0) ∈ Inicio existe al menos una ejecución máxima comenzando en (q0, x0). En otras palabras, si

hay una ejecución infinita, ésta es única. Debido al hecho que los estados del sistema

dependen del comando de movimiento, el sistema es no determinístico debido a que no se

conoce el tiempo en que un nuevo comando de entrada ocurrirá y cual será. Una vez que la

ejecución inicia, pueden existir diferentes comportamientos con las mismas condiciones

iniciales.

Por otro lado, la dinámica del sistema depende de la posición relativa y el tamaño de la pieza

de trabajo con respecto al origen; esta información no se incluye en el modelo inicial, por lo

70

Capítulo 3

que las transiciones de Q1/Q3 a Q2/Q4 o la dirección opuesta una vez que el fresado se ha

terminado, pueden ocurrir en cualquier momento. El sistema es No-determinístico.

b. Bloqueado/Sin bloqueo.

Un autómata híbrido es llamado Sin-bloqueo si para todos los estados iniciales (q 0, x0) ∈ Inicio existe una ejecución infinita comenzando en (q0, x0). Usando las abstracciones

descritas arriba, nos damos cuenta que el sistema retorna al estado original y la ejecución

comienza de nuevo en todos los casos. Entonces, el sistema es Sin-bloqueo. El estado inicial

es Q0 (condición de reposo) y una vez que la máquina recibe un comando, se mueve a Q3,

si la velocidad es mayor que Vfricición, entonces ocurre una transición a Q1.

En alguno de estos estados, Q3 o Q1, si la pieza de trabajo es detectada entonces hay una

transición a los estados de maquinado, Q2 o Q4 (baja velocidad y velocidad normal,

respectivamente). En cualquier momento, si la velocidad resultante es cero, lo que quiere

decir que la máquina se ha detenido completamente y el sistema está En-posición, entonces

ocurre una transición inmediata al estado Q0 y el ciclo comienza de nuevo.

Existen tres casos en donde un fallo puede acontecer, a) las variables de estado se

encuentran fuera de su dominio, b) la velocidad de alimentación en el fresado es mayor que

la velocidad máxima permitida y c) la carga máxima en los motores es mayor que la

permitida. En todos estos casos, la transición lleva al sistema a un estado de modo de

FALLO y la simulación se termina. Una terminación normal es cuando en Q0 se recibe un

comando de FIN y la simulación se acaba.

c. Estabilidad.

Debido al hecho de que el sistema es No-determinístico, no podemos aplicar fácilmente

algún método de análisis de estabilidad para sistemas híbridos ya establecidos. No

conocemos el periodo del flujo de cada estado, sin embargo podríamos inducir algún

71


comportamiento dentro del sistema híbrido en sí.

Todos los valores de escala de inicialización al cambiar de estado son identidades y la

cantidad de energía dentro del sistema se mantiene continua cuando conmuta de un estado

a otro. Es posible entonces probar la estabilidad en cada estado de manera individual, y

debido a la continuidad de la energía entre los estados y puede decirse que el sistema

híbrido es estable si la energía total del sistema no aumenta cuando se mueve de un estado

a otro.

En general, la dinámica de cada estado tiene la forma x=AxBu f x ,u

y=cT x

donde f x ,u representa los términos no lineales. Ahora es posible aplicar el concepto de

estabilidad absoluta para sistemas no lineales [6], el sistema puede ser representado como

se muestra en la figura 3.3

Figura 3.3 Modelo con una planta lineal y una retroalimentación no lineal para la prueba de estabilidad absoluta.

Donde G(p) es la función de transferencia lineal. La función continua f(t) se dice pertenece al

sector [k1, k2], si existen dos números no negativos k1 y k2 tales que

y≠0 k 1f y t

yK 2 (3.3.1)

El modelo de fricción usado proporciona uno de las aproximaciones mas realistas para la

fricción en máquinas herramienta. En general, muchos autores han sugerido usar modelos

conmutables para representar tales tipos de aproximación y ahorrar tiempo computacional

[7]. La fricción es una fuerza disipativa dentro del sistema y debido a la discontinuidad en el

origen, se crea un ciclo límite en la dinámica no lineal del sistema.

En este caso, se pueden utilizar las funciones descriptivas dentro de las pruebas de

72

G(p)

f(t)

e

-

y

Capítulo 3

estabilidad y respaldar los hallazgos con simulaciones. El criterio del círculo puede también

ser aplicado para la estabilidad. El criterio del círculo es una generalización del criterio de

Nyquist para sistemas no lineales. Si el sistema no lineal satisface las siguientes condiciones:

1. La matriz A no tiene valores propios sobre jω, y tiene ρ valores propios estrictamente

en la mitad del plano derecho.

2. La no linearidad f(t) pertenece al sector [k1, k2]

3. y lo siguiente es cierto:

a. 0 < k1 ≤ k2, el diagrama de Nyquist de G(jω) no entra al disco D(k1,k2) y lo engloba ρ

veces en sentido contrario a las manecillas del reloj.

b. 0 = k1 < k2, el diagrama de Nyquist de G(jω) permanece en la mitad del plano Re ρ

> -1/k2;

c. k1 < 0 < k2, el diagrama de Nyquist de G(jω) permanece en interior del disco

D(k1,k2)

d. k1 < k2 < 0, t el diagrama de Nyquist de - G(jω) no entra al disco D(-k1,-k2) y lo

engloba ρ veces en sentido contrario a las manecillas del reloj

Entonces el punto de equilibrio 0 del sistema es globalmente estable.

No es posible aplicar directamente el criterio del círculo al modelo de fricción usado aquí

debido a la discontinuidad en el origen. Sin embargo, es posible usar una aproximación al

dicho modelo para hacerlo continuo en el origen (Figura 3.4a). Como la función se aproxima

a cero, k1 ≤ B (fricción viscosa) y k2 es infinita, y el diagrama de Nyquist se muestra en la

figura 3.4b. La no linealidad se encuentra entre k1 y k2

La planta lineal Gc(jω) Gp(jω) debe de satisfacer los puntos 1 y 3a. Debido al hecho de que la

planta original es controlable y observable, entonces podemos diseñar un controlador G c(jω)

tal que satisface dichas condiciones.

73


Figura 3.4 a) Aproximación del modelo de fricción por una función en la región [k1, k2]. b) Criterio del círculo

d. Comportamiento Zenón

El comportamiento tipo Zenón proviene de la referencia que el antiguo filósofo Zenón de Elea

propuso a partir de una serie de paradojas para apoyar los puntos de vista de Parménides,

su maestro, mostrando que aceptando la pluralidad y movimiento se recae en

contradicciones lógicas. El comportamiento Zenón, en particular, está inspirado en la

conocida paradoja de Aquiles y la tortuga [21].

El comportamiento Zenón en sistemas híbridos describe la condición en que un número

infinito de ejecuciones pueden ser tal que un estado toma un número infinito de transiciones

en un tiempo finito. Entonces, tomando en cuenta las abstracciones anteriores, podemos

notar que todas las transiciones están bien definidas y no hay ejecuciones que puedan

generar una comportamiento Zenón o un lazo infinito de transiciones. Ademas, la dinámica

de la planta y el control son asintóticamente estables en su dominio.

3.3.5 Extensiones a los sistemas híbridos

Los sistemas híbridos están siendo ampliamente utilizados hoy en día, aunque aún existen

muchos retos por definir. Tal es el caso del desarrollo de métodos eficientes para la

74

Friction ForceF

s+

Fs-

v

k1

k2

Re G(jω)

Im G(jω)1/B

D(k1, k

2)

Capítulo 3

modelación matemática, pruebas de estabilidad, enlace con redes y estructuras jerárquicas y

sistemas complejos. En el siguiente punto se presentan algunos desarrollos hechos a partir

del uso de ciertos conceptos de sistemas híbridos pero reducidos a un sistema que hemos

llamado conmutable [22]. Esta metodología está en desarrollo y se reduce a una

discretización del espacio continuo a partir de la definición de cambios en la estructura

dinámica de un sistema. Estos pueden o no estar definidos con anticipación y es posible

extender su funcionalidad a eventos aleatorios. Lo sorprendente es la facilidad de como es

posible encontrar comportamiento complejo a partir de modelos dinámicos sumamente

simples.

3.4 Sistemas dinámicos Conmutables

Este es una de las principales aportaciones de este trabajo de investigación doctoral. Los

sistemas conmutables surgen de la generalización de los sistemas híbridos convencionales

hacia sistemas dinámicos cuyas propiedades físicas cambian su dinámica a partir de ciertas

reglas de conmutación. De ahí proviene el nombre de conmutables.

En esta investigación hemos hecho desarrollos muy interesantes en el campo de sistemas

complejos y de dinámica no lineal, los cuales se presentan en este capítulo y el siguiente.

3.4.1 Definición de Sistemas dinámicos conmutables

Consideremos un sistema dinámico conmutable autónomo de n regiones diferentes Sn cuya

dinámica actual está definida como:

x i=f i x i =i ,,n (3.4.1)

Donde i es el estado actual del sistema.

Las superficies de conmutación entre dos regiones del sistema conmutable son las

superficies:

ik x =0 i=k (3.4.2)

75


suponemos que ik 0=0 , por lo que la solución de estabilidad es la misma que para

sistemas continuos. Podemos decir que ∀ , , tal que con condiciones iniciales ∣xo∣ ,

la solución x es tal que ∑ ∂ik

∂x jf jkx≠0 .

Esto se puede mostrar gráficamente en el plano de fases con cuatro sistemas continuos

diferentes los cuales están conmutando entre sí cuando el estado general del sistema cruza

alguna de las superficies de conmutación ik (Figura 3.5).

Figura 3.5. Ejemplo de superficies de conmutación entre cuatro diferentes sistemas continuos.

Considere la dinámica de un sistema dinámico conmutable con dos regiones de conmutación

(figura 3.6) como sigue,

S1: x12x=0 xto=xo, xto=0

S2: x22x=0 x to=0, xto=vo

(3.4.3)

La solución para cada sistema es

x t =xoSen1 t−to (3.4.4)

y

x t = vo2

Sen2t−to (3.4.5)

76

S1

S2

S3

S4

x ϕik

x

Capítulo 3

Figura 3.6. Representación de dos sistemas dinámicos en el espacio de fases.

Proponemos superficies de conmutación sobre los ejes como se muestra

x t =0 S1S2x t =0 S2S1

(3.4.6)

Para este caso, el sistema se comportará como se muestra en la figura 3.7 y comparando

x0 con el punto alcanzado en el plano de fases después de una vuelta completa, podemos

concluir que,

si 1

2

221 entonces la solución es inestable.

12

221 , la solución es asintóticamente estable.

12

22=1 , la solución es estable.

(3.4.7)

77

x

xX0

V0

−X01

V02


Figura 3.7 Comportamiento dinámico del sistema conmutable completo.

Es muy interesante observar que las propiedades del sistema conmutable dependen de la

relación entre las frecuencias de los dos sistemas estables inicialmente.

3.4.2 Péndulo simple conmutable.

Para ejemplificar un sistema dinámico conmutable, se puede tomar el caso del péndulo

simple, el cual puede generalizarse a un oscilador armónico simple, que es solo un caso

particular del ejemplo anterior. El sistema dinámico es el siguiente,

ml mgSen =0 (3.4.8)

Para desplazamientos pequeños , sin≈ ,podemos considerar un sistema simplificado

como el siguiente

gl =0 (3.4.9)

la frecuencia natural del péndulo es la relación 2=glAhora, definamos un péndulo conmutable, en donde la superficie de conmutación esté

definida por un cambio paramétrico del valor de la longitud cuando el valor del ángulo del

78

x

xX0

−X01

−X012

X01

2

22

−X01

3

22

X01

2

2

Capítulo 3

movimiento sea paralelo a la vertical (figura 3.8). Comparando las frecuencias naturales en

los diferentes regímenes de conmutación, podemos concluir que el sistema es

asintóticamente estable si

12

221 1

222 g

l1gl2

(3.4.10)

l2l1 (3.4.11)

ahora, si 121 l2l1 el sistema es inestable o existe una excitación paramétrica.

Figura 3.8. Péndulo simple conmutable con dos regiones de conmutación.

Analizando la energía total del péndulo, tenemos

ET=Ec=ml 22

Ec=Ec ,2−Ec ,1=m 2 l2 2−l1 2

(3.4.12)

Para la condición cuando l2l1 la energía del sistema disminuye continuamente

aproximándose a cero, por lo que el sistema es asintóticamente estable. Para el caso en que

l2l1 , la energía aumenta continuamente, por lo que el sistema es inestable.

La figura 3.9 muestra la simulación para el sistema del péndulo simple conmutable con l1=1.0

y l2 = 1.1 y l1=1.0 y l2 = 0.9.

79

l

mg

S1S2

θ

1l2


Figura 3.9. Péndulo simple conmutable. a) sistema inestable con l1=1.0 y l2 = 1.1. b) sistema estable con l1=1.0

y l2 = 0.9. Posición inicial = 1.0.

3.4.3 Comportamiento complejo de un péndulo simple conmutable.

Propongamos ahora un sistema de péndulo simple con dos regiones de conmutación

definidas como sigue:

S1: XX=0 1=1S2: X1X2,0

2 X=0 2=1X2,0(3.4.13)

donde es un parámetro real positivo y X2,0 son las condiciones iniciales del sistema 2

al momento de conmutación y las regiones de conmutación para S1 es x0 y para S2

x0 . La figura 3.10 muestra las dos regiones del sistema dinámico conmutable

propuesto.

Figura 3.10. Regiones de conmutación para un péndulo simple con comportamiento complejo.

80

S1

x

x

S2

Capítulo 3

La solución del primer sistema es trivial y representa tres cuartos de una circunferencia. Sin

embargo para el segundo sistema, tenemos condiciones iniciales definidas por el valor de la

posición y velocidad cero. La solución tendrá la forma:

X2=X2,1cos1X2,0 t−t1X2 t=2=X2,01X2,0

(3.4.14)

Entonces, la solución en los siguientes segmentos serán:

X1,01 =−X2,01X2,0=X1,0

0 1−X1,00

X1,02 =X1,0

1 1−X1,01

⋮X1,0

n =X1,0n−11−X1,0

n−1 o Xn1=Xn 1−Xn

(3.4.15)

Si 0X1,00 1 y 04 la solución es una secuencia clásica. Cuando 0 los

puntos X1,0 son cercanos a cero.

Este sistema tiene diferentes regímenes de comportamiento dependiendo del valor del

parámetro y de las condiciones iniciales.

Estos regímenes van desde un sistema asintóticamente estable para pequeño, ciclos

límite simples o complejos hasta la inestabilidad. Las simulaciones computacionales

muestran este comportamiento complejo, pero determinístico.

3.4.4 Sistemas conmutables con transiciones aleatorias

En general, consideremos un sistema dinámico conmutable como una sucesión continua de

subsistemas dinámicos Si, donde cada uno de estos subsistemas o estados es una versión

partida de la dinámica completa. Las transiciones de uno de estos subsistemas a otro

permiten cambios en los parámetros que determinan la nueva dinámica; sin embargo, las

variables de estado y sus primeras derivadas pueden seguir siendo continuas. Este trabajo

puede verse publicado en [23]

81


El sistema de un oscilador armónico simple, como el del péndulo descrito anteriormente,

puede ser descrito por una secuencia de subsistemas bidimensionales como,

S : S1 S2 S3 S4 ... Si ... (3.4.16)

donde cada Si es un oscilador armónico simple con frecuencia ωi.

La transición entre subsistemas es definida por las condiciones dadas por las líneas o

superficies de conmutación, que también pueden ordenarse en una secuencia en donde

existe una relación entre una y las siguientes,

L : L1,2 : L2,3 : L3,4 : L4,5 :... : Li ,i1 (3.4.17)

La figura 3.11 muestra una representación de la evolución de un sistemas conmutable

basado en las ecuaciones mostradas arriba.

Figura 3.11. Transiciones en un sistema conmutable vistas como una secuencia de eventos.

Para el caso de un oscilador armónico simple la dinámica de cada subsistema S i está dada

por,

S i : xi2 x=0 ; x∈R; x , x∈i (3.4.18)

Donde i es la región en donde Si está activa antes de conmutar al siguiente subsistema.

Supongamos que el oscilador armónico conmutable se describe por

S={Sa : xa2 x=0 ; x∈R , x , x∈Qa : I− III

Sb : xb2 x=0 ; x∈R , x , x∈Qb : IV

Sc : xc2 x=0 ; x∈R ; x , x∈Qc: IV

} (3.4.19)

Sa es el subsistema inicial y la conmutación hacia el cuadrante IV, el subsistemas S b o Sc en

la forma S a⋅S bSc⋅Sa⋅Sb

S c⋯ y la transición sigue las reglas dadas por las condiciones

aleatorias,

82

Capítulo 3

L={La , b : x0, x=0, P z ≤0.5La , c : x0, x=0, P z0.5Lb , a : x=0, x0, P z=1Lc , a : x=0, x0,P z =1 } (3.4.20)

En este caso, z es una variable aleatoria con distribución centrada en 0.5.

Es preciso resaltar que dentro de cada subsistema la dinámica se mantiene determinística, y

solamente la condición de transición des subsistema Sa a los subsistemas Sb o Sc es

aleatoria. Este comportamiento puede ser expresado por la figura 3.12.

Figura 3.12. Transiciones aleatorias de un oscilador armónico conmutable.

Considerado ωa = 1, es posible determinar las condiciones de estabilidad o inestabilidad a

partir de las relaciones entre las frecuencias naturales en cada subsistema. Recordando que

si 1 > ωa2, la solución es inestable y para 1 < ωa

2,la solución es asintóticamente estable [15].

Podemos observar que el sistema secuencial descrito originalmente tiene una secuencia de

estados probables, donde,

1a

21

21a

21

2⋯ (3.4.21)

83


donde 2 es la frecuencia natural del siguiente subsistema probable dependiendo de los

valores de la variable aleatoria z y de las condiciones de conmutación L.

Si tomamos todas las transiciones hasta la conmutación n-ésima, la condición de estabilidad

está dada por

a2

2a2

2a2n

2 1 (3.4.22)

El sistema es asintóticamente estable en el origen (el punto de equilibrio). Si

a2

2a2

2a2n

2 1 (3.4.23)

el sistema es inestable y tiende a ∞.

Considerando que la frecuencia natural ω en un péndulo simple está dada por la relación

2= gl y que es posible normalizar la longitud de un péndulo paramétrico de forma que el

subsistema dinámico Sa tiene la = 1. Entonces, las condiciones de estabilidad/inestabilidad

están relacionadas con el término

[ la2 l

2 la2 l

2 ... ] (3.4.24)

el cual es equivalente a las condiciones descritas arriba para la frecuencia natural.

Si los subsistemas Sb y Sc tienen frecuencias naturales ωb y ωc definidas por las longitudes lb

y lc, entonces se puede decir que:

lb < 1 y lc < 1, la secuencia de longitudes es menor que 1 y el sistema es asintóticamente

estable.

lb > 1 y lc > 1, la secuencia de longitudes es mayor que 1 y el sistema es inestable.

lb > 1 y lc < 1, entonces si el número de conmutaciones en que aparece b es nb y el número

de conmutaciones en que aparece c es nc, entonces si

∏nb lb

2∏nc l c

21 entonces el sistema es asintóticamente estable.

∏nb lb

2∏nc l c

21 Entonces el sistema es inestable.

84

Capítulo 3

En realidad, la dinámica de este sistema continua y evoluciona en un número infinito de

conmutaciones; entonces, es posible aproximar el comportamiento general a un proceso

estocástico descrito por una cadena de Markov donde los subsistemas futuros no dependen

de los previos.

(a) (b)Figura 3.13. Péndulo aleatorio conmutable para (a) lb = 0.9 y lc = 0.8, (b) lb = 1.1 y lc = 1.2

En este caso se tienen una distribución de probabilidades para dos eventos (S b y Sc)

definidos por la probabilidad de ir de Sa a Sb, Pa,b, y la probabilidad de ir de Sa a Sc, Pa,c;

donde Pa,c = 1 - Pa,b . La frecuencias naturales en Sa y Sb están definidas por las longitudes lb

y lc respectivamente. Entonces, podemos usar un valor esperado de la longitud,l=E [l ]=lb Pa , blc P a , c (3.4.25)

E[l] describe una longitud promedio l que depende de los valores para la conmutación de

Sa a Sb o Sc. Con esta definición de la longitud promedio, es posible describir una nueva

condición para la estabilidad usando el valor medio de la longitud.

Si l=E [l ]1 , entonces el péndulo aleatorio conmutable es asintóticamente estable.

Si l=E [l ]1 , entonces el péndulo aleatorio conmutable es inestable.

85


Como ejemplo, consideremos la probabilidad de que la dinámica del sistema vaya de Sa a Sb

es Pa,b = 0.5 y la = 1.0 y la condición inicial x(0) = 0.9. La figura 3.13 (a) describe el caso

donde lb = 0.9 y lc = 0.8, 3.13(b) lb = 1.1 y lc = 1.2, entonces la solución es asintóticamente

estable.

La figura 3.14 muestra el caso donde lb = 1.1 y lc = 0.9 y Pa,b = 0.5, entonces el sistema

permanece cerca del ciclo límite al infinito.

Figura 3.14 Péndulo aleatorio conmutable con lb = 1.1 y lc = 0.9 y Pa,b = 0.5, el sistema permanece cerca del

ciclo límite.

La figura 3.15 muestra una solución cuando la probabilidad Pa,b = 0.7 y lb = 1.1 (el sistema

es inestable), mientras que lc = 0.9. En este caso, todo el sistema se vuelve inestable en el

infinito. La figura 6 muestra el mismo sistema pero con Pa,b = 0.3, dado que la probabilidad

de que el sistema sea estable es mayor que la probabilidad de que sea inestable, entonces al

infinito todo el sistema es asintóticamente estable.

86

Capítulo 3

Figura 3.15 Péndulo aleatorio conmutable con lb = 1.1 y lc = 0.9 y Pa,b = 0.7.

El sistema es inestable al infinito.

Figura 3.16 Péndulo aleatorio conmutable con lb = 1.1 y lc = 0.9 y Pa,b = 0.3. El sistema es asintóticamente

estable al infinito.

87


Estos ejemplos demuestran el potencial de análisis de estabilidad que tienen los sistemas

conmutables determinísticos y aleatorios.

3.5 Modelos y algoritmos integrales de micromáquinas

Considerando los métodos y herramientas presentados hasta ahora, en esta sección se

presentarán algunos ejemplos en micromáquinas y micromecanismos desde un punto de

vista mas integral y siguiendo la metodología de máquinas inteligentes. A partir de ahora se

presentarán dos ejemplos, una máquina mini fresadora y un mini manipulador robótico tipo

Scara de cuatro grados de libertad. Si vemos estos ejemplos dentro de un proceso de

producción, se está considerando la transformación y transferencia de productos, los cuales

son básicos en una microfábrica.

3.5.1 Modelación matemática de una microfresadora de tipo cartesiana

La construcción del modelo matemático de cualquier mecanismo puede hacerse empezando

por una aproximación lineal y aumentarle paulatinamente niveles de complejidad. En el caso

de una micro máquina no es diferente e iniciamos con un análisis de la dinámica y el tipo de

movimientos involucrados en la misma.

La estructura de una fresadora convencional tiene dos módulos importantes: la mesa de

desplazamiento en los ejes X, Y y el eje vertical en donde está montado el husillo. La figura

3.17 muestra la disposición de los ejes de movimiento en una máquina fresadora

convencional. Los ejes horizontales son estables por naturaleza, en cambio el eje vertical

debe de compensar siempre la acción de la gravedad y en caso de que el tornillo no pueda

soportar la carga del husillo, debe de usarse algún medio de frenado para evitar que el eje se

caiga.

Cada uno de los ejes se mueve con un motor a pasos hecho en el laboratorio y el control es

88

Capítulo 3

diseñado también en este proyecto, por lo que tenemos un sistema en lazo abierto en donde

la posición del motor a pasos es en realidad un contador interno del controlador. Sin

embargo, vamos a considerar para este análisis el caso en que se trata de un motor

conectado en un lazo cerrado o con retroalimentación, es decir, que existe un elemento de

medición de la posición o la velocidad que contiene información actualizada de estas

variables y disponible al controlador.

El esquema mostrado en la figura 3.17 muestra la disposición cinemática de los ejes de

movimiento. Existen dos ejes horizontales (X-Y), uno sobre el otro, mientras que el eje

vertical (Z) soporta el husillo , que es el motor que hace girar la herramienta de corte. El

movimiento se transmite de los motores a la mesa usando tornillos con un desplazamiento

de 1 mm por vuelta.

Figura 3.17. Esquema de la disposición de los ejes de movimiento de una micro fresadora.

La tabla 3.1 describe las características de diseño de la micro máquina analizada aquí.

89


Tabla 3.1. Resumen de características de diseño de una micro fresadora

Eje X Eje Y Eje Z

Distancia del viaje [mm] 30 50 30

Velocidad lineal máxima [mm/s] 100 100 50

Resolución de movimiento [μm] 50 50 50

Masa del eje [grs] 80 460 212

Máxima carga de trabajo [grs] 100 50 80

Este trabajo no tiene el propósito de describir el diseño mecánico a detalle de una micro

máquina herramienta, sino que me centraré en la descripción general del diseño y la forma

en que el diseño se traduce en el modelo matemático.

Empecemos a analizar el modelo de control a partir de la dinámica de la máquina a controlar.

En mecanismos es de suma importancia encontrar las dependencias cinemáticas entre los

elementos móviles, la figura 3.18 muestra el modelo dinámico básico de la mesa coordenada

definida para los ejes X-Y.

Figura 3.18. Modelo lineal de la mesa de movimiento XY de la micro máquina fresadora.

90

Capítulo 3

En la figura 3.18, Jx y Jy representan los momentos de inercia de los elementos en la mesa

que se mueven en cada una de esas direcciones. Estas masas incluyen guías, soportes,

tornillos de movimiento y la mesa en sí. El modelo gráfico contiene elementos de fricción y de

resorte representados como una capacitancia y resistencia. Bx y By son los coeficientes de

amortiguamiento del modelo lineal de los mecanismos X-Y. Las fuerzas de movimiento, Fx y

Fy son representaciones del torque generado por los motores de cada eje. La fuerza FM es la

generada por la operación de maquinado.

Al definir el modelo dinámico de cada uno de los ejes en el espacio de la frecuencia,

podemos utilizar la función de transferencia del torque de entrada a la velocidad rotacional de

la forma,

P s=K eq

JsB(3.5.1)

donde Keq es la ganancia lineal de la planta, J la inercia total soportada por el movimiento, B

es el amortiguamiento viscoso del sistema.

Al agregar elementos al sistema de control de forma que podamos encontrar la función de

transferencia en relación con la posición lineal deseada y la actual. La figura 3.19 muestra el

diagrama a bloques de un solo eje de desplazamiento.

Figura 3.19. Diagrama a bloques de un control básico para un mecanismo lineal. Abstracción de uno de los ejes

horizontales de una micro máquina fresadora.

91


En el modelo a bloques que se muestra en la figura 3.19 los parámetros descritos son:

yd - la posición deseada

ey – error de la posición

eω – error en la velocidad angular

t – torque de entrada

ω – velocidad angular

v – velocidad lineal

y – posición actual. Salida del sistema.

Kp – Constante de ganancia proporcional del lazo de control de posición.

Kωp – Constante de ganancia proporciona del lazo de control de velocidad.

Kωi – Constante de ganancia integral del lazo de control de velocidad.

Keq – Ganancia natural de la planta.

J – Inercia total.

B – Amortiguamiento viscoso

R – Radio entre la velocidad lineal y la velocidad angular.

Al reducir este modelo a una sola expresión tenemos el diagrama siguiente,

Figura 3.20 Primer ciclo de reducción del modelo de control de los ejes horizontales.

Al reducir el primer lazo de control lineal, la función de transferencia queda como,

92

Capítulo 3

GLC=

GLA

1GLA

=Keq Kp

SK I S JSBK eqKp

SK I =

K eq KpSK I

JS 2S BK eq KpK eqK I

(3.5.2)

Donde GLC es la función de transferencia del sistema en lazo cerrado y GLC es la

función de transferencia en lazo abierto.

El diagrama a bloques queda como,

Figura 3.21. Lazo cerrado de control reducido para una planta lineal representando los ejes horizontales.

Reduciendo la función de transferencia tenemos que,

G y0=

K P R K eqKpSK I

S JS2S BK eqKpK eqK I

(3.5.3)

G y LC=K P R K eq Kp

SK I

S JS 2S BK eqKpK P R K eq Kp

SK I

=K P R K eqKp

SK I

JS 3S2 BK eq KpS K eqK IK P RK eqKp

K P R K eqK I

(3.5.4)

Donde G y0 es la función de transferencia directa. G y0 es la función de transferencia en

lazo cerrado. Esta relación proporciona el modelo de control lineal de cada uno de los ejes de

movimiento horizontales.

La función de transferencia tomando en cuenta la señal de entrada al motor del eje es de la

forma,

93


V s=G p sU s

G p s =1

J eq sB eq

(3.5.5)

donde,

J eq=J

K t Kpk eqR

y Beq=BKp

K eq

k t k pk eqR

(3.5.6)

Jeq y Beq son parámetros a encontrar.

Para el modelo del eje vertical usamos la aproximación que se describe en la figura 3.22

Figura 3.22 Modelo dinámico lineal del eje vertical de la micro máquina fresadora.

El modelo dinámico del sistema vertical contiene dos elementos dinámicos acoplados, el eje

de movimiento y el sistema del husillo. El sistema está sometido a la fuerza de gravedad y a

las fuerzas dinámicas generadas en el proceso de maquinado; aunque solo una fuente de

control de movimiento, τ. Los parámetros B, amortiguamiento viscoso, y K, constante del

resorte, se definen en las interfaces de los elementos cinemáticos.

El modelo dinámico del sistema mostrado se puede describir a partir de los desplazamientos

relativos de los componentes cinemáticos como sigue,

94

Capítulo 3

m1 x1B1 x1B3 x1− x2 K x1−x2=R

m2 x2B2 x2B3 x2− x1K x2−x1=0(3.5.7)

Aplicando una transformación de Laplace y eliminando x2, entonces,

x1

T=n2 s

2n1 sn0

R2 s s3d 2 s2d 1 sd 0

(3.5.8)

n2=1m1

d 2=m1 B2B3m2 B1B3

Rm1m2

n1=B1B2

m1m2

3

d1=k m1m2B1B2B¿ B2B3

Rm1m2

n0=k

m1m2d0=

K B1B2 Rm1m2

(3.5.9)

La función de transferencia del torque de entrada a la velocidad angular es,

T=

n2 s2n1sn0

s3d 2 s2d 1sd 0

(3.5.10)

De esta forma el modelo de control en diagrama a bloques para el eje vertical queda como se

muestra en la figura 3.23.

Figura 3.23. Diagrama a bloques de la función de transferencia para el eje Z de movimiento vertical.

La función de transferencia de la señal de voltaje al motor a la velocidad lineal es,

V s=2 s

21 s0

s32 s21 s0

(3.5.11)

95


donde β2, β1, β0, α2, α1, α0 son seis parámetros a identificar.

Las fuerzas no lineales que afectan cada uno de los ejes, por ejemplo la fricción, saturación,

etc. Como se describió en el capítulo 2, pueden agregarse a los modelos lineales como

perturbaciones o fuerzas externas al sistema. Si dicha perturbación no sobre pasa ciertos

límites definidos por los requerimientos de precisión y rapidez del sistema, entonces el

modelo lineal es mas que suficiente para representar a cada uno de los ejes.

En general, el torque efectivo, Tg, que la mesa horizontal recibiría en la operación de corte es

T g=h p

2gf [mmesamtrabajogF z ] (3.5.12)

donde hp es la relación de desplazamiento lineal por vuela del motor (en este caso h p = 1

mm/vuelta), μgf es el coeficiente de fricción de las guías y normalmente es de 0.1, mmesa es el

peso de la mesa, mtrabajo es el peso de la pieza de trabajo, g es la fuerza de gravedad y F z es

la fuerza normal generada por la operación de corte y corresponde aproximadamente a 10%

de la fuerza de corte máxima.

Con estos datos es posible empezar a diseñar un mejor controlador y a generar simulaciones

computacionales mas precisas del comportamiento dinámico del sistema mecánico y del

controlador.

3.5.2 Análisis cinemático y dinámico de un micromanipulador robótico

Como ejemplificación del análisis de una micromáquina, se incluye aquí el estudio cinemático

y dinámico de un micromanipulador robótico tipo scara. Un micromanipulador tipo scara tiene

la función principal de transportar material de un proceso a otro dado su espacio de trabajo y

construcción mecánica.

96

Capítulo 3

3.5.2.1 Análisis de la cinemática directa de un micro manipulador scara

Consideremos un micromanipulador dispuesto cinemáticamente como se muestra en la

figura 3.24

Figura 3.24 Diagrama de la cinemática de un robot Scara tipo RRRP.

La cinemática directa puede describirse en forma de una matriz de transformación

homogéneas usando los conceptos de translación tipo tornillo [24].

g st=[R P 0 1 ] (3.5.13)

La figura 3.24 representa los movimientos de cada eje; considerando que la posición inicial

en reposo puede ser encontrada con la transformación,

97


g st 0=[1 0 0 00 1 0 l1l2

0 0 1 l0

0 0 0 1] (3.5.14)

considerando las velocidades de rotación en los ejes sobre el plano principal de movimiento,

1=2=3=[001] (3.5.15)

con puntos sobre cada eje en

q1=[000] q2=[0l1

0 ] q2=[ 0l1l 2

0 ] (3.5.16)

La torsión sobre cada eje es

i=[−i x qi

i] (3.5.17)

sustituyendo

1=[−[001]x[

000]

[001] ]=[000001]

2=[−[001]x [

0l1

0 ][001] ]=[

l1

00001]

3=[−[001 ]x [

0l1l2

0 ][001] ]=[

l1l 2

00001]

98

Capítulo 3

4=[v4

0 ]=[001000] (3.5.18)

De forma que la cinemática directa puede ser encontrada con la secuencia de

transformaciones homogéneas,

g st =e11 e

22e33 e

44 g st 0

=[R P 0 1 ] (3.5.19)

Cada matriz exponencial describe una transformación homogénea derivada de cada punto

de muestra sobre los ejes de movimiento. Las matrices exponenciales son:

e11=[cos1 −sen1 0 0

sen1 cos1 0 00 0 1 00 0 0 1

]e22=[cos2 −sen2 0 l1 sen2

sen2 cos 2 0 l11−cos20 0 1 00 0 0 1

]e33=[cos3 −sen3 0 l1l2 sen3

sen3 cos3 0 l1l2 1−cos30 0 1 00 0 0 1

]e44=[1 0 0 0

0 1 0 00 0 1 4

0 0 0 1] (3.5.20)

Al realizar las operaciones de multiplicación entre matrices y reducción usando equivalencias

trigonométricas, tenemos que al sustituir los resultados en la transformación gst, tenemos que

99


R=[cos 123 −sen 123 0sen 123 cos 123 0

0 0 1] (3.5.21)

y

P =[−l1 sen−l2 sen 12l1 cosl 2cos 12

l04] (3.5.22)

El movimiento de un punto p hacia un punto q se obtiene sustituyendo estas matrices en

g st

3.5.2.2 Solución de la cinemática inversa de un microrobot scara

Consideremos una configuración cinemática de la forma

g st =e11e

22e33e

44 g st 0

=[cos1 −sen1 0 xsen1 cos1 0 y0 0 1 z0 0 0 1

]:=gd(3.5.23)

El primer paso es resolver para θ4 y aplicando gst(θ) al marco de referencia montado en la

parte final del manipulador,

P =[−l1 sen1−l2 sen 12 l1 cos1l2cos 12

l04]=[xyz ] (3.5.24)

Rápidamente y por sustitución directa, se encuentra que

4= z−l0 (3.5.25)

Re-escribiendo la ecuación de cinemática directa de la forma,

e11e

22 e33=gd gst

−1 0 e−44 :=g 1 (3.5.26)

Digamos que p es un punto sobre el eje del movimiento de ξ3 y q un punto sobre el eje de ξ1,

y aplicando g1 a p para luego substraer q en ambos lados, así como sus normas, tenemos

100

Capítulo 3

∥e 11e 22 p−q∥=∥e 1 1 e 22 p−q∥=∥e 22 p−q∥=∥g1 p−q∥:=

(3.5.27)

Esta transformación queda

g 1 p=gd g st−1 0e

44 p (3.5.28)

[cos −sen 0 xsen cos 0 y0 0 1 z0 0 0 1

][1 0 0 00 1 0 l1l2

0 0 1 l 0

0 0 0 0]−1

[1 0 0 00 1 0 00 0 1 4

0 0 0 1]−1

[px

p y

p z

1]:= (3.5.29)

Esto se resuelve usando el subproblema cinemático 3 [24] que corresponde a la rotación a

una distancia determinada

∥v−e u∥2=

u '=u−T uv '=v−T v

(3.5.30)

entonces

' 2=2−∣T p−q∣2 (3.5.31)

por lo tanto,

0=atan2 T u '×v ' , u 'T v ' (3.5.32)

donde atan2(x,y) es el ángulo en radianes entre el eje x positivo de un plano y el punto dado

por las coordenadas (x,y) sobre éste.

Por la ley de cosenos y resolviendo para =0−

∥u '∥2∥v '∥2

−2∥u '∥∥v '∥cos= '2 (3.5.33)

luego entonces,

2=0±cos−1∥u '∥2∥v '∥2−' 2

2∥u '∥∥v '∥ (3.5.34)

Esta ecuación tiene cero, una o dos soluciones posibles.

101


Ahora, aplicando g1 al punto p' sobre el eje ξ3

e11e

22 e33=e

11 e 2 2 p ' :=g1 p ' (3.5.35)

y tomando p ' '=e22 p ' tenemos

e11 p ' '=g1 p ' (3.5.36)

donde u = p'' y v = g1p'. Aplicando el subproblema cinemático 1 tenemos

u '=u−T u y v '=v−T v (3.5.37)

si T u=T v y ∥u '∥=∥v '∥ entonces podemos encontrar θ1 usando

u '×v '= sen∥u '∥∥v '∥u '⋅v '=cos∥u '∥∥v '∥ (3.5.38)

por lo que,

1=atan T u '×v ' .u ' T v ' (3.5.39)

si u' = 0, entonces hay un número infinito de soluciones debido a que p = q, ambos puntos

están sobre el mismo eje de rotación.

Re-arreglando la ecuación de la cinemática directa ahora desplazando el valor conocido de

θ1 y θ2 al lado derecho de la misma, tenemos:

e33=e−

22e−11 gd gst

−1e−4 4 :=g 2 (3.5.40)

aplicando esta transformación a un punto p sobre el eje ξ3 y resolviendo usando el

subproblema cinemático 1.

e33 p3=g2 p3 (3.5.41)

con u '=u−T u y v '=v−T v . Las condiciones son T u=T v y ∥u '∥=∥v '∥ ,

entonces

3=atan T u '×v ' ,u ' T v ' (3.5.42)

Hay un número máximo de dos soluciones para este tipo de manipulador y es debido a la

multiplicidad que tiene la solución de θ2.

102

Capítulo 3

3.5.2.3 Dinámica de un micromanipulador tipo Scara.

Digamos que g Sli =e1 1⋯e−

i i g Sli 0 representa la configuración del marco de referencia

Li relativo al marco de referencia en la base del robot S.

La velocidad del cuerpo al centro de masa del enlace i-ésimo esta dada por

Bslib =J sli

b (3.5.43)

donde J slib es el Jacobiano del cuerpo correspondiente a g sli y tiene la forma

J slib =[1

⋯i 0⋯0] (3.5.44)

donde j =Ad

e j j⋯e

i i gsli 0−1 j ; j≤i

La energía cinemática del enlace i-ésimo esta dada por

T i , =12 V sli

b T M iV slib

= 12T iT M i J i

(3.5.45)

donde Mi es la matriz de inercia generalizada

M=[mI oo I ] (3.5.46)

I es el tensor de inercia del enlace determinado.

La energía cinemática total es

T , =∑i=1

n

T i , =12T M (3.5.47)

M ∈ℜn×n es la matriz de inercia del manipulador. En términos del Jacobiano de los

enlaces, ji es definida como

M =∑i=1

n

J iT M i J i (3.5.48)

La energía potencial del enlace i-ésimo es

V i =mi ghi (3.5.49)

103


donde mi es la masa del enlace i-ésimo y g es la constante de gravedad.

La energía potencial total es

V =∑i=1

n

V i =∑i=1

n

mi ghi (3.5.50)

entonces el Lagrangiano esta dado por

L , =∑i=1

n

T i , −V

= 12T M −V

(3.5.51)

y aplicando esto a las ecuaciones de Lagrange

ddt∂ L∂i−∂ L∂i=i (3.5.52)

donde i representa el torque del actuador o motor y cualquier otra fuerza no conservativa

generalizada aplicada a la juntura i-ésima.

Al desarrollar las ecuaciones de movimiento tenemos

∑j=1

n

M ij j ∑j , k=1

n

ijk j k∂V∂i

=i ; i=1 ...n (3.5.53)

donde

i , j , k=12 ∂M ij

∂ k∂M ik ∂ j

−∂M kj ∂ i (3.5.54)

La dinámica total puede ser descrita como,

M C , N , = (3.5.55)

C ij , =∑k=1

n

j , k k=12∑k=1

n ∂M ij∂k

∂M ik ∂ j

−∂M kj ∂ i k (3.5.56)

−M , =−∂V∂i−i (3.5.57)

i es el término de la fricción viscosa del enlace i-ésimo y es el vector de torques de

los actuadores.

104

Capítulo 3

La dinámica de un robot scara idealizado está dada considerando,

1=[000001] 2=[

l1

00001] 3=[

l1l2

00001] 4=[

001000] (3.5.58)

Asumiendo que los marcos de referencia de cada eslabón se encuentran inicialmente

alineados con el marco de referencia montado en la base del manipulador y localizados en

los centros de masa de cada uno de los eslabones, la matriz de inercia de los eslabones

transformada es la siguiente,

M ' i=[ I 0− pi I ][mi I 0

0 I ][I pi

0 I ]=[ mi I mi pi

−mi p i I ](3.5.59)

Pi es la locación del origen del marco de referencia del enlace i-ésimo relativo al marco de

referencia de la base S.

Por lo que la dinámica M C , N , = está descrita por las matrices,

M =[2 cos2 cos2 0 cos2 0

00 0 0 m4

] (3.5.60)

donde

= I Z1r12m1l1

2m2l12m3l1

2m4

= I Z2 I Z3I Z4l22m3l2

2m4M 2r22

=l1 l2m3l1L2m4l1m2 r2

= I 23 I 24

(3.5.61)

La matriz de coriolis queda como

105


C , =[− sin2 2 − sin2 12 0 0 sen2 1 0 0 00 0 0 00 0 0 0

] (3.5.62)

para N , el único término de gravedad está activo en 4 , por lo que

N , =[000m4 g] (3.5.63)

Con estas ecuaciones es posible diseñar un control tipo múltiple-entrada y múltiple-salida y

controlar las posición y velocidad de cada uno de los ejes del robot en tiempo real. Para

robots de diferente configuración es posible usar el mismo procedimiento y encontrar las

ecuaciones diferenciales que describen la dinámica del sistema.

3.6 Diseño de controladores en micromáquinas de precisión

3.6.1 Introducción

Este trabajo no pretende ser un catálogo de sistemas de control que cualquier libro de texto

contemporaneo tiene incluido, sino presentar opciones viables de sistemas de control

avanzado para su uso en micro mecanismos. Podemos mencionar una lista bastante

atractiva de opciones:

• Identificación de parámetros usando un controlador adaptivo.

• Observador de perturbaciones.

• Control basado en un modelo interno o rechazo de perturbaciones.

• Linearización por retroalimentación.

• Diseño de un controlador de modelo interno con parámetros adaptivos.

• Combinación de control óptimo tipo H∞ para minimizar la matriz del presupuesto del

error de la máquina.

• Modelos de control de sistemas híbridos.

106

Capítulo 3

Estos métodos son muy poderosos para lidiar con sistemas no lineales o sistemas lineales

con perturbaciones no lineales. Un factor crucial de estos métodos es determinar cuales son

los parámetros de la máquina que corresponden al modelo de control y si es posible

determinarlos en la realidad con el sistema en operación.

En esencia, el diseño de controladores se puede reducir el procedimiento al diseño de un

filtro. También es posible, y algunas veces necesario, poder trabajar en sistemas híbridos

entre digitales y continuos. Por ejemplo, poder traducir del espacio del dominio de s al

dominio de z usando una transformación biliniar con el fin de acelerar los cálculos debido a

que toma información con retardo y no efectúa ninguna integración o división.

Para empezar, hagamos un recuento de las fuentes de perturbación en un micro mecanismo:

• Fuerzas de corte, que provocan los lóbulos de inestabilidad.

• Fricción

• Acoplamiento mecánico:

• La mesa X-Y (motor-caja de engranes-tornillo)

• El eje vertical, Z (motor-caja de engranes-tornillo)

• Térmicas

• Modos de vibración estructural

• frecuencia del PWM (en motores a pasos)

• Método de interpolación

Y los principales objetivos a resolver son:

• Rechazo de perturbaciones y seguimiento de trayectorias

• Optimización del consumo de la energía

• Control de la corriente del motor (potencia)

Estos son los principales temas a resolver y debido a la naturaleza tan variada de estos

107


mecanismos, es posible proponer métodos que automáticamente encuentren los parámetros

de control, como en lo métodos adaptivos, y ejerciten alguna estrategia de optimización,

como es el caso de los controles óptimos o robustos. Muchas de estas estrategias están

mejor definidas para los sistemas lineales, mientras que las no linealidades se puede reducir

su efecto en la dinámica mediante algún filtro o mejorando el mecanismo en cuestión.

3.6.2 Control adaptivo

El control adaptivo viene en varias formas, aunque básicamente su estrategia es encontrar el

valor real de ciertos parámetros de control, a partir de algoritmos de optimización midiendo o

estimando ciertos valores del sistema. El modelo de Referencia para un Sistema Adaptivo o

MRSA se refiere al problema de identificar o estimar parámetros desconocidos de un

sistema. La planta o proceso actual se asume con una estructura conocida, es decir, que se

conocen como se relacionan dichos parámetros entre sí, aunque no se conozca su valor.

Consideremos un sistema de una entrada simple y una salida simple descrita por,

y k1=−∑i=1

n

a i y k1−i ∑j=0

m

b ju k− j =Tk (3.6.1)

donde T=[a1 , ... ,an ,b0, ... ,bm ] y T k =[−y k , ... ,− y k1−n , u k , ... ,u k−m]

lo que necesitamos es predecir el valor y i , i≤k de la forma,

y i = T i−1 (3.6.2)

El error de predicción es

e i = y i −y i (3.6.3)

El estimador que usa un algoritmo de mínimos cuadrados y que minimiza el error es

J=∑i=1

k

[ y i− T k i−1]2 (3.6.4)

dado el algoritmo de adaptación de forma recursiva quedaK1=k F k1k e0 k1

F k1=F k −F k k T k F k 1T k F k k

(3.6.5)

108

Capítulo 3

para poder implementar este algoritmo se puede usar un predictor paralelo puesto que no

tiene sesgo o bias.

La condición de estabilidad para que el algoritmo adaptivo sea convergente está dada por

1A z−1

−2,=max

k2k 2 es estríctamente positivo y real.

Para mejorar la estabilidad del algoritmo es posible agregar un compensador C(z-1) de forma

que

C z−1A z−1

−2, =max

k2 k 2 es estríctamente positivo y real.

La teoría desarrollada para los controles adaptivos es demasiado extensa para incluirse en

este trabajo. Sin embargo, lo que se desea exponer es la versatilidad de usar algoritmos que

identifican parámetros internos a partir de la medición de variables de estado y sus

derivadas. Esto permite dejar modelos mas simples y ajustar los parámetros de acuerdo a las

condiciones presentes en un momento dado; las cuales pueden cambiar en otra operación.

Textos clásicos sobre este tema pueden ver en [25] y [26].

3.6.3 Estabilidad de perturbaciones en una máquina

A partir del lema Kalman-Yakubovitch o el lema real positivo) [27] es posible analizar la

estabilidad a las perturbaciones de un sistema dinámico como una máquina tipo servo. Este

lema dice:

Sea

Z z =C sI−A−1BD (3.6.6)

donde A es una matriz tipo “Hurwitz”, es decir que A es una matriz cuadrada con

todos sus valores propios reales y negativos. AB es controlable y AC es

observable. Entonces Z(s) es estrictamente real y positiva si y solo si existe una

matriz P simétrica y positiva, matrices W y L y una constante positiva ε, tal que:

PAAT P=LT L− PPB=CT−LTWW TW=DT D

(3.6.7)

109


Lo que al usar este lema implica que P, L y ε existen si y solo si

Z s≡1KC SI−A−1B=1KG s (3.6.8)

es estrictamente real positiva.

Ahora consideremos el siguiente lema. Supongamos un sistema con una planta definida por

G y una perturbación Ψ como el que se muestra en la figura 3.25.

Figura 3.25. Planta generalizada con retroalimentación.

G=C sI−A−1 B que es global y asintóticamente estable sí

−KY 0 y Z s=1KG s son estrictamente reales positivas.

Supongamos ahora que las no linealidades se encuentran en el sector definido por,

[−K min y ][−K max y ]0 (3.6.9)

Esto se representa como se muestra en la figura 3.26(a) y resumida en la figura 3.26(b).

(a)

110

Capítulo 3

(b)

Figura 3.26. Planta con perturbación después de la transformación de los lazos cerrados.

donde

GT≡G

1KminG y T=−K min y . Kmin tiene que elegirse para estabilizar GT.

K=Kmax−K min

La nueva descripción dinámica considerando perturbaciones no lineales como la que se

describe aquí, queda como:

x= A−BK minC x−BT

y=CT=[−K min] y

(3.6.10)

Si A−BK minC es Hurwitz, entonces el sistema es globalmente estable si

Z T=1K TGT s es estrictamente real positiva. Donde KT=1KmaxG j1KminG j

0,∀∈R .

En este lema lo podemos aplicar a las no linealidades que afectan a una máquina de control

numérico de forma que podamos preveer problemas de estabilidad y poder diseñar un

compensador adecuado para casos específicos. Por ejemplo, diseño de compensadores a

baja velocidad para el caso de la fricción, o compensadores en alta velocidad, movimiento

vertical o de algo torque o aceleración para el caso de saturación de los motores.

Con este breve análisis, solo se ha tocado sólo una arista de lo que es teoría de control.

Existen deferentes procedimientos de como lidiar con no linealidades, la propuesta de este

trabajo es separar las condiciones críticas para cada caso y aplicar diferentes tipos de

compensadores de acuerdo a cada una de las situaciones combinando esto con los sistemas

híbridos. En el siguiente capítulo se describirá un ejemplo sencillo de este procedimiento.

111


Referencias

[1] Lygeros J., Johansson K. H., Simic S., Zhang J., and Sastry S. Dynamical Properties of

Hybrid Automata. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 48, No. 1, January 2003.

[2] Altintas, Y. Manufacturing Automation. Cambridge University Press. 2000.

[3] Kaan, E. Altintas, Y. High speed CNC system design. Part II and III. International Journal

of Machine Tools and Manufacture. 41 (2001)

[4] Jensen, A.A and Shin, Y.C. Stability Analysis in Face Milling Operations, Part 1 and 2.

Transactions of ASME. Vol .121 Nov. 1999.

[5] Kim, J. Oh, S, Cho, D, Hedrick, K. Robust Discrete-Time Variable Structure Control

Methods.

[6] Slotine, J.J. and Li, W. Applied Nonlinear Control. Prentice Hall. 1991. Absolute Stability.

pp 142.

[7] Armstrong-Helouvry, B., Dupont, P and Canudas de Wit, C. A survey of Models, Analysis

and compensation techniques for the control of machines with friction. Automatica. Vol. 30.

Vol. 7 pp. 1083-1138. 1994

[8] Koo, J., Pappas, G., Sastry, S. Mode Switching Synthesis for Reachability Specifications.

[9] Hale, J. K. and Verduyn Lunel, S. M. Introduction to Functional Differential Equations.

Springer-Verlag, New York, 1993.

[10] Kolmanovskii, V. B. y Myshkis, A. D. Introduction to Theory of Functional Differential

Equations and their Applications. Kluwer Acad. Publ., Dorderecht, 1999.

112

Capítulo 3

[11] Kolmanovskii, V. B. y Nosov, V. R. On the stability of first-order neutral type equations.

Prikladnaja Matematica i Mechanica, 34:587–594, 1971.

[12] Kolmanovskii, V. B. y Nosov, V. R. Stability of Functional Differential Equations. Acad.

Press, London, 1986.

[13] Kolmanovskii, V. B. y Nosov, V. R. Stability and periodic modes of control systems with

aftereffect. Springer- Verlag, New York, 1993.

[14] Krasovskii, N. N. Stability of Motion: Application of Liapunov Direct Method to Differential

Systems and Equations with Delays. Stanford Univ. Press, Stanford, 1963.

[15] Nosov, V. R., Ortega Herrera, J. A., Stability of fifth degree equations with delay.

Functional Differential Equations, 10:541–554, 2003.

[16] Arnold, D.N. Lectures on Functional Analysis. Department of Mathematics, Pennsilvania

State University. 1997

[17] Levin, J.J. y Nohel, J.A. On a nonlinear delay equation. Journal of Mathematical analysis

and applications 8, 31-44, 1964.

[18] Hale, J.K. Averaging methods for Differential Equations with retarded arguments and a

small parameter. Journal of differential equations 2, 57-73. 1966.

[19] Domínguez, H. Ortega, J.A. y Nosov, V.R.. Hybrid system model and simulation of a CNC

machine. Applied Math III. 8-12 de Octubre del 2007

[20] Koo, T.J. y Sastry, S.S. Notes on hybrid Systems. Departmen of Electrical Engineering.

University of California at Berkeley. Spring 2002.

113


[21] http://es.wikipedia.org/wiki/Paradojas_de_Zen%C3%B3n

[22] Nossov, V.R., Dominguez, H. y Ortega, J.A. Estabilidad de un péndulo con

conmutaciones Applied Math II. 8-12 de Octubre del 2007

[23] Nossov, V.R., Dominguez, H. y Ortega, J.A. Two dimensional chaos in a random

commutable pendulum. IFAC-CHAOS 09. London, UK 22-24 June 2009

[24] Murray, R.M, Li, Z. y Sastry, S.S. Mathematical Introduction to Robotic Manipulation.

CRC Press. 1994.

[25] Landau, Y.D. Adaptive control. Dekker. 1979.

[26] Niejmiejer, H. y Van der Schaft, A.J. Nonlinear dynamical control systems. Springer-

verlag. 1990.

[27] Khalil, H.K. Non linear systems. Macmillan publishing company. 1992.

114

Capítulo 4

CAPÍTULO 4

SIMULACIÓN COMPUTACIONAL NO LINEAL Y DISCRETA DE MICROMECANISMOS DE ALTA PRECISIÓN

4.1 simulación de sistemas híbridos de micromecanismos.

El principal objetivo de representar un sistema dinámico usando un modelo de un sistema

híbrido es poder acercarse lo mas posible a la realidad. Una máquina física real es una

mezcla de componentes analógicos y continuos con componentes digitales y discontinuos;

los primeros son aquellas piezas electromecánicas que efectúan el movimiento, mientras que

los segundos se refieren a los componentes de procesamiento digital, a ciertos aspectos no

lineales y eventos no deterministas que afectan el comportamiento dinámico.

Este modelo híbrido incluye una descripción completa yendo de la dinámica de los ejes al

nivel de comandos de movimiento. Este modelo es usado por cada eje con algunas

adaptaciones dependiendo de las condiciones de movimiento y la máquina de estados finitos

usada en el modelo discreto, el cual incluye dominios, límites y transiciones. La figura 4.1

muestra el modelo para el bloque continuo del eje X de la micromáquina descrita en el

capítulo 3.

Figura 4.2 muestra el sistema total para los tres ejes coordinados X, Y y Z. Este nivel está

dividido en tres secciones: la zona de comandos (lado derecho del modelo), donde los

interruptores de control y las señales de control are generada (parte media) y la salida con la

visualización (lado derecho), donde la Posición se presenta gráficamente y con un modelo

virtual de la máquina en sí.

115

Simulación computacional no lineal y discreta de micro mecanismos de alta precisión

Figura 4.1. Modelo de una máquina híbrida. La máquina de estados finitos envía las señales de conmutación al

bloque continuo.

Figura 4.2.Modelo global de la micro máquina de Control Numérico.

El modelo de Realidad Virtual proporciona una visualización mas realista para la simulación.

La figura 4.3 muestra algunas vistas del modelo virtual usado en esta simulación.

El modelo de simulación nos permite probar diferentes condicione de operación y

transiciones; por ejemplo la transición de ir de baja a alta velocidad y de la operación de

movimiento en el vacío y fresando. Este modelo computacional es muy flexible y es posible

remplazar bloques completos y actualizar parámetros en ejecución. Este modelo usa un

sistema lineal para representar la planta y un controlador simple tipo Proporcional-Derivativo

como ejemplo para realizar el control de posición y velocidad.

116

Hybrid System Level3

error

2

Stop

1

VelocityX

TF X

Switch

1s position

velocity

feed rate

ComCode

Workpiece

Disturbance Mode

Plant Mode

Stop

error

FSM X

0

Command

Switch_d

CuttingForceX

VelocityX

AxisX

5

Workpiece

4

ComCode

3

Feed rate2

CuttingForceX

1CommandSignalX

Interpolation and CommandControl Level

Workpiece

Position

VR CNC

STOP

ST OP

STOP

Scope

20.07

20.02

3.957e-005

Position

Machine

1s

CommandSignalZ

CuttingForceZ

Feed rate

ComCode

Workpiece

VelocityZ

Stop

error

Hybrid Z

CommandSignalY

CuttingForceY

Feedrate

ComCode

Workpiece

VelocityY

Stop

error

Hybrid Y

CommandSignalX

CuttingForceX

Feedrate

ComCode

Workpiece

VelocityX

Stop

error

Hybrid X

Vx

Vy

Vz

Vr

[Feedrate]

[Feedrate]

0

0

0

Errors

Workpiece

Fx

Fy

Fz

CuttingForce

0

0

1

1

0

1

0

1

CommandZ

CommandY

CommandX

In1Out1

CommandSignalY

In1Out1

CommandSignal Z

In1Out1

CommandSignal X

Capítulo 4

La figura 4.4 (a y b) muestra la posición y la velocidad durante la transición de los estados de

baja y alta velocidad. La acción de control es hecha de manera eficiente y no hay sobre tiro ni

errores mayores ni en la posición ni velocidad. En este caso, hay ciertas transiciones de Q1 a

Q3 y de Q2 a Q4; esto quiere decir que una pieza de trabajo se encontró con la herramienta

de corte y entonces la máquina termina el corte y regresa al estado de movimiento en vacío.

Figure 4.3. Vistas del modelo de la micro fresadora para visualización en 3 dimensiones.

117


Figure 4.4. a) La señal de perturbación generada en la simulación y los picos muestran las transiciones de baja

a alta velocidad y viceversa. b) El controlador reacciona rápidamente a los cambios de estado.

118

Capítulo 4

4.2 Caos en un oscilador armónico conmutable.

El oscilador armónico es fundamentalmente el ejemplo mas simple de un sistema dinámico.

Estudiado desde la antigüedad pareciera que no tiene nada mas que ofrecer en nuestro

tiempos. Estos estudios originales presentados aquí muestran que aún los sistemas mas

simples, pueden tener comportamientos extremadamente complejos cuando se hacen ciertas

modificaciones a la estructura dinámica. Lo importante aquí es cómo se hacen esas

modificaciones y cuándo. Ciertamente, este punto es una de las contribuciones mas

importantes en este desarrollo doctoral.

Creemos que la mayor contribución en este trabajo ha sido el encontrar este tipo de

conportamiento caótico en una realización bidimensional, de manera determinística y

mostrando un comportamiento complejo tan solo variando un solo parámetro. Este trabajo ha

sido desarrollado en la sección de estudios de posgrado e investigación de la escuela

superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica del Instituto Politécnico Nacional.

Desafortunadamente, este proyecto no fue aprobado por conacyt como parte de un programa

de estudios y desarrollo de aplicaciones en sistemas complejos.

4.2.1 Comportamiento caótico de un oscilador armónico conmutable

Consideremos un oscilador armónico conmutable como el descrito en la sección 3.4 con su

frecuencia natural definida de una manera aún mas compleja. Tomemos un punto arbitrario

P1 sobre la trayectoria sobre el semi eje positivo de la posición en el espacio fase y la

frecuencia definida por,

={2i−1=12i=1x t2i−1 , 0≤≤4} (4.2.1)

El parámetro α es un número real que define el valor de la frecuencia natural en la región

donde la trayectoria permanece. x(t i+1) es un valor real sobre el semi-eje negativo de la

posición, la cual corresponde al punto de cruce del estado S i a Si+1. El punto de regreso P(ti+3)

119


en la trayectoria continua está dado por la ecuación,

={2i−1=12i=1x t2i−1 , 0≤≤4} (4.2.2)

(a) (b)

(c)

Figura 4.5 Diferente comportamiento para un oscilador armónico conmutable definido por (a) α = 1.0 –

asintóticamente estable, (b) α = 2.5 – ciclo límite sencillo y (c) α = 3.0 un ciclo límite doble.

La ecuación anterior coincide con la ecuación logística discreta en una dimensión, la cual

está plenamente estudiada por Sharkovskii [6] y Yorke y Li [7]. En estos trabajos se muestra

120

Capítulo 4

que la solución de la ecuación logística discreta puede tener un comportamiento diferente

dependiendo del valor del parámetro α. Las trayectorias del oscilador armónico conmutable

tienen un amplio rango de comportamiento conforme se modifica el parámetro α.

(a) (b)

(c)

Figure 4.6. Evolución dinámica del oscilador armónico conmutable =1 x 2 para α = 3.8 y x(0) = 0.9,

x 0=0 en los tiempos (a) t=100, (b) t =300 y (c) t= 1000.

121


Dicho comportamiento dinámico va desde lo asintóticamente estable a tener un ciclo límite

simple, un ciclo límite mas complejo y hasta llegar al caos, es decir, la periodicidad del

sistema dinámico es infinita. Estos comportamientos se alcanzan conforme α va de 0 a 4.

La figura 4.6 muestra tres diferentes casos de α y mismas condiciones iniciales de

={2i−1=12i=1x t2i−1 , 0≤≤4} (4.2.3)

Cuando 3.45 el comportamiento del oscilador armónico conmutable podría ser caótico

y la trayectoria va llenando toda la región, es decir, se convierte en una trayectoria ergódica

al tomar todos los estados posibles dentro de una región determinada. Los teoremas

expuestos en [6] y [7] muestran que para estos valores de α, el mapa de Poincarè discreto en

una dimensión en la región de (0,1) por si mismo podría ser caótico; luego entonces, la

trayectoria continua en dos dimensiones generada por el oscilador armónico conmutable

también puede decirse que es caótico sobre las mismas bases.

La figura 4.6 muestra la evolución del caos para =3.8 y x 0=0.9, x 0=0 en tiempos

diferentes. La figura 4.7 muestra un comportamiento caótico para diferentes valores del

parámetro α, α = 3.5, 3.8, 4.0 y x 0=0.9, x 0=0 . Conforme el parámetro α tiende a 4, el

sistema evoluciona de forma que crea una región densa en forma de anillo y no se acerca al

punto de equilibrio, que es el origen. Al llegar α a 4, no queda ninguna zona vacía al interior y

se dice que se llegó a un estado ergódico. La simplicidad de este modelo es tal que cada

ciclo de la trayectoria es construido solamente por ¾ de un círculo (estado S 2i-1) y ¼ de una

elipse (S2i); además, cada trayectoria es determinística y es posible calcular cualquier punto

de manera analítica en cualquier momento después de establecidas las condiciones iniciales.

122

Capítulo 4

(a) (b)

(c)

Figure 4.7. Evolución dinámica de un oscilador armónico conmutable en el régimen caótico =1x 2

(a) α = 3.5, (b) α = 3.8 y (c) α = 4.0 y x 0=0.9, x 0=0 .

La figura 4.8 muestra los valores de la posición instantánea x(t) y la velocidad x 0 del

oscilador armónico conmutable y los valores promedios de la posición y la velocidad son

diferentes a cero al evolucionar el sistema al infinito. La velocidad promedio tiene un pequeño

valor positivo, mientras que el promedio de la posición es negativo al infinito. Esto es debido

123


al hecho de que cada tiempo de transición a través de las diferentes regiones de

conmutación dependen de la frecuencia natural en el momento, la cual toma diferentes

valores en cada etapa. El tiempo que toma una revolución Trev de ir de un punto P(ti) a P(ti+3)

para un oscilador armónico conmutable esta dado por,

T rev=32

22i

(4.2.4)

(a) (b)

(c)

Figure 4.8 Valores promedios de la posición y la velocidad de un oscilador armónico conmutable en régimen

caótico con α = 4.0, (a) Posición, (b) Velocidad y (c) valor promedio en la escala de tiempo de [0,10000]

El término 32

del tiempo de revolución es una constate que representa la suma de los

tiempos de transición de la posición x(t i) a x(ti+1) y de la posición x(ti+2) a x(ti+3). El segundo

124

Capítulo 4

término es la transición del punto P (t i+1) a P(ti+2). Para x(ti+1) cercano a (-1) la frecuencia

natural ω en el cuadrante IV es cercano a cero y el tiempo de transición de x(t i+1) a x(ti+2) es

grande, entonces x(t), ti ≤ t ≤ ti+2 es negativo y la posición promedio tiene un pequeño valor

negativo en todos los tiempos, pero el promedio de la velocidad es positivo. Cabe hacer notar

que en un oscilador armónico estándar el promedio de la posición y la velocidad es cero.

Es claro a partir de estas figuras que el atractor caótico extraño ( ω-limite) de las trayectorias

de un oscilador armónico conmutable es independiente de las condiciones iniciales para x(0)

variando desde –β a , β donde β = (1 + 1/ α). Un sistema con α= 4 produce un

comportamiento caótico comenzando en una condición inicial hasta un valor de β = 1.25.

También la serie de ω-limite de un oscilador armónico conmutable depende continuamente

de las variaciones de α para casi todos sus valores. La figura 4.x muestra dos casos de

atractores extraños para α= 3.9 y condiciones iniciales de x 0=0.5 ; x 0=0 y

x 0=1.24 ; x 0=0 , y aún comenzando cualquier trayectoria por debajo del valor de 1.25

se sigue un comportamiento caótico similar.

(a) (b)

Figure 4.9 Plano fase de un oscilador armónico conmutable para α = 3.9 y condiciones iniciales (a)

x 0=0.5, x 0=0 y (b) x 0=1.24, x 0=0

125


4.2.2 Otros tipos de caos basados en un oscilador armónico conmutable.

El atractor extraño puede aparecer en un oscilador armónico conmutable no solamente para

una frecuencia definida por la ecuación siguiente, pero también con otras definiciones de la

misma. Por ejemplo, consideremos una frecuencia un poco diferente a la formula original.

Caos aparece para frecuencias naturales dadas por la ecuación

={2i−1

2i2 =1x t11} (4.2.5)

para 66.75 y, en este caso, la figura 4.10 muestra el comportamiento dinámico con

frecuencias naturales determinadas de la forma descrita arriba.

(a) (b)

Figura 4.10 Plano de fases de un oscilador armónico conmutable modificado dado por la ecuación X para (a) α

= 6.3 y (b) α = 6.75 y condiciones iniciales x 0=0.9, x 0=0

Otros casos de comportamiento caótico se muestra cuando la frecuencia natural en S 2i está

dada por,

={ ;−0.5≤x t i101−x t i1−x t i1

;−1x t i1−0.5} (4.2.6)

Cuando α=2, el mapa de x(ti) en x(ti+3) coincide con el mama de Bernoulli unidimensional

126

Capítulo 4

definido por

x i1={2i , x i=0.50, x i 0.52 ix i , 0.5x i1} (4.2.7)

y la dinámica completa tiene un comportamiento un poco diferente, pero aún caótico. La

evolución continua del sistema correspondiente a este caso se muestra en la figura 4.11.

(a) (b)

(c)

Figura 4.11 Evolución del atractor extraño para la frecuencia dada por ecuación 4.x con α = 0.8 y un mapa de

Bernoulli sobre el semi-eje negativo de la posición en (a) t=500, (b) t=1000 y (c) t=2000.

127


Cuando α sobre pasa ciertos límites definidos por el mapa, el comportamiento caótico es

destruido por inestabilidad. La figura 4.12 muestra dos diferentes formas de destrucción de

caos para frecuencias dadas. La destrucción del caos para la frecuencia dada por la

ecuación 4.X (7) y valores iniciales x(t) > 1.25 parece a la condición cuando el oscilador

armónico se vuelve inestable. En este caso, la trayectoria hace un número infinito de

rotaciones con amplitudes que se incrementan rápidamente. Para una frecuencia dada por la

ecuación 4.X (10) y valores iniciales mayores que 11 haciendo que la trayectoria se

vaya directamente a -∞, lo cual es un comportamiento cualitativamente diferente.

(a) (b)

Figura 4.12 Destrucción de caos en un oscilador armónico conmutable con (a) frecuencia dada por ecuación 4.x

y valores iniciales x(0) > 1.25 y (b) frecuencia dada por ecuación 4.x y valores iniciales x(0) > 1.0.

4.2.3 Oscilador armónico conmutable con transiciones aleatorias

Ahora consideremos el sistema dinámico conmutable descritas por

S={S a : xx=0 x∈ℜ , x∈Qa : I− IIIS b : xb

2 x=0 x∈ℜ , x∈Qb : IV } (4.2.8)

y condiciones de conmutación dadas por la ecuación determinística

128

Capítulo 4

L={La ,b : x=0Lb ,a : x0} (4.2.9)

Sin embargo, la frecuencia natural de Sb está definida por la ecuación

b2= z1−x0 (4.2.10)

donde x0 es el valor de la posición del péndulo en Lab en el momento de la conmutación.

donde x0 es el valor de la posición del péndulo en Lab en el momento de la conmutación.

En el caso determinístico aparece el caso en el péndulo conmutable para α = 4.

Consideremos el caso en el caso en que α es una variable aleatoria con función de

distribución de probabilidad g(x) en la región [a,b].

Cuando el parámetro α(z), y por lo tanto la secuencia de frecuencias naturales en el

cuadrante IV, está definida aleatoriamente, la dinámica para esté sistema conmutable puede

ser modelado como una cadena de Markov.

S a⋅S b⋅S a⋅S b⋅ ⋅ ⋅ (4.2.11)

Cuando la frecuencia natural en Sa es a=1 con probabilidad P(z) = 1.

(a) (b)

Figure 4.13 (a) Comportamiento caótico de un oscilador armónico aleatorio conmutable para α(z) con una

función de distribución de probabilidad uniforme entre [0,4] y (b) valores de α(z).

129


/a) (b)

Figure 4.14 (a) comportamiento caótico de un oscilador armónico aleatorio conmutable para α(z) con una

función de distribución de probabilidad con una norma de 3.5 y varianza de 0.5 y (b) valores de α(z).

Cada sub-sistema de conmutación tiene un valor diferente de α(z) , y es posible usar el valor

esperado para remplazar el parámetro asignado aleatorio (longitud, en el caso de un péndulo

conmutable) y definida la frecuencia natural actual en el cuadrante IV.

E []==∫a

b

z d z (4.2.12)

es el valor promedio de un gran número de transiciones y g(z) es la función de

distribución de probabilidad de α(z) . Así que, basado en el valor promedio, es posible

caracterizar el comportamiento de acuerdo a los modelos analizados anteriormente. Si es

menor que 1.0, el sistema es asintóticamente estable; para entre 1.0 y 2.5 el sistema

tiene un ciclo límite; entre 2.5 y 3.6 un ciclo límite doble y entre 3.6 y 4.0 tiene un

comportamiento caótico. Por encima de 4.0 el sistema es inestable. Estos números

provienen del hecho de que la dinámica de la conmutación en sí está basada en un mapa

caótico, en este caso el mapa de Poincarè, y el valor de α define el comportamiento dinámico

como se explica en [6] y [7].

La función de distribución de probabilidad puede ser definida como se desee. Ahora

consideremos una función de distribución de probabilidad uniforme definida entre 0 y 4.0. La

figura 4.13 muestra un oscilador armónico conmutable con la serie de α(z) basada en una

130

Capítulo 4

función de distribución de probabilidad uniforme definida de 0 a 4.

Si usamos ahora una función de distribución de probabilidad de tipo gausiana y centrada en

3.5 con una varianza de 0.5, entonces el sistema se comportará de una forma

cualitativamente diferente. La figura 4.14 (a) muestra la evolución de un oscilador armónico

aleatorio conmutable y en (b) los valores que el valor de α(z) tomó en esa simulación. De

hecho, es posible variar el tipo de distribución de probabilidad y así obtener diferente

comportamiento caótico dependiendo de como se defina el valor de α(z).

4.2.4 Estabilizando el caos en un oscilador armónico conmutable

Consideremos un sistema dinámico conmutable determinístico con una frecuencia natural ω i

y sujeto a una energía externa u tal que,

S i : xi2 x=u , x∈R ,x , x ∈i∈R

2 (4.2.13)

Considerando que u es un término proporcional a la velocidad, u= x , donde β es un valor

escalar. Variando u es posible estabilizar la dinámica caótica al origen, el punto estable. Los

resultados de las simulaciones muestras como una pequeña retroalimentación tiene grandes

efectos en el comportamiento dinámico del oscilador armónico conmutable, tal y como la

teoría del caos predice. La figura 4.15 muestra el efecto de la retroalimentación de la

velocidad con pequeños valores de la constante de retroalimentación

131


(a) (b)

(c)

Figura 4.15. Efectos de pequeña retroalimentación de la velocidad en el oscilador armónico conmutable

(a) β = 0, (b) β = 0.01 y (c) β = 0.03

Al aumentar la constate de retroalimentación β, la trayectoria invierte su comportamiento

caótico reduciendo su periodicidad desde el caos, con periodicidad infinita, a un doble o

simple periodo. La figura 4.16 muestra como al llevar β de 0.05 a 0.10 la trayectoria llega a

un ciclo límite sencillo alejado de su comportamiento caótico original. Notamos que a pesar

de que los incrementos de la constante de retroalimentación son pequeños, los efectos en el

132

Capítulo 4

comportamiento dinámico son considerablemente visibles. La figura 4.17 muestra como el

valor de β va de 0.2 a 0.5 cuando el ciclo límite empieza a contraerse hacia el origen o punto

de equilibrio. Este es un comportamiento muy interesante que muestra como la

retroalimentación puede estabilizar al sistema caótico y reducir el tamaño del ciclo límite.

(a) (b)

(c)

Figura 4.16. Retroalimentación en el oscilador armónico conmutable caótico, (a) β = 0.05, (b)β = 0.08 y (c)β =

0.10

133


(a) (b)

(c)

Figura 4.17. Retroalimentación en el oscilador armónico conmutable caótico, (a) β = 0.20, (b) β = 0.30 y (c) β =

0.50

Al seguir aumentando el valor de β el comportamiento dinámico del sistema originalmente

caótico se vuelve asintóticamente estable en su punto de equilibrio usando pequeños valores

de retroalimentación de la velocidad solamente. Este resultado es sumamente importante en

estabilización de sistemas caóticos conmutables y potencialmente es de aplicación en otros

sistemas caóticos.

134

Capítulo 4

Si esta constante β de retroalimentación de la velocidad es de un valor superior, esto solo

hace que la trayectoria se aproxime mas rápidamente al equilibrio. La figura 4.18 ejemplifica

como la trayectoria entra a una región de atracción entre el área alrededor del equilibrio y el

ciclo límite.

(a) (b)

(c)

Figura 4.18. Retroalimentación en el oscilador armónico conmutable caótico, (a) β = 0.60, (b) β = 0.80 y (c) β =

1.00

135


Ahora consideremos la estabilización del caos en un oscilador armónico conmutable usando

retroalimentación de la posición. En este caso, el término de energía externa u en el modelo

dinámico del sistema está dado por,

S i : xi2 x=u= x x∈R , i∈R

2 (4.2.14)

β es un valor escalar.

Para el caso de la retroalimentación de la posición, la dinámica que describe al sistema

queda como,

S i : xi2 x=− x

S i : xi22 x=0

(4.2.15)

Está nueva dinámica muestra que hay una nueva definición de la frecuencia natural que es

afectada por la retroalimentación de la posición en el sistema caótico. Debido al hecho de

que la frecuencia natural original del oscilador armónico conmutable está definida en forma

de segmentos, entonces el efecto de la retroalimentación será diferente dependiendo de la

región actual en la que se encuentre el sistema. Ahora, considerando que la

retroalimentación de la nueva frecuencia natural está definida como,

={2i−12 =1−

2i2 =1x t i1

2−} (4.2.16)

como para todos los casos ω tiene que ser positivo y real, entonces para 2i−1 , β < 1.

Para la segunda región, 1x t i12 , por lo que para todo β < 0 ambas condiciones

se cumplen y debido a que x t i1 es el punto de conmutación de la región I a la región II y

puede tomar cualquier valor entre [0,-1], cualquier β positivo fallará las condiciones descritas

arriba. Así que solo β negativo funcionará en esta caso para crear un efecto en la dinámica

del sistema.

Al hace β mas negativo, la evolución del oscilador armónico conmutable lleva su trayectoria

a un ciclo límite y no a un punto de equilibrio. Se nota que para pequeños valores de β, el

efecto es similar a la retroalimentación de la velocidad. La figura 4.19 muestra algunos

136

Capítulo 4

ejemplos de pequeños valores de la retroalimentación de la posición.

(a) (b)

(c)

Figura 4.19. Retroalimentación de posición en un oscilador armónico conmutable caótico. a) β = -0.02, (b) β =

-0.05 y (c) β = -0.08

Cuando el valore de β se incrementa, el comportamiento dinámico del sistema se va a un

ciclo límite que crece solamente a lo largo del la dirección de la velocidad, mientras que la

posición se mantiene dentro de sus límites normales. La figura 4.20 muestra ejemplo de la

137


retroalimentación de posición con valores relativamente grandes.

(a) (b)

(c)

Figura 4.20. Retroalimentación de posición en un oscilador armónico conmutable caótico. a) β=-0.10, (b) β=-

0.50 y (c) β= -1.00

Obviamente existen diferencias entre la retroalimentación de la velocidad y la posición en su

efecto a l sistema del oscilador armónico conmutable caótico. La retroalimentación de la

velocidad lleva la evolución de la trayectoria a un punto de equilibrio, mientras que la

retroalimentación de la posición lo lleva a un ciclo límite. Combinando ambos tipos de

138

Capítulo 4

retroalimentaciones es posible generar comportamiento aún mas complejo e intentar hacer

que el sistema se estabilice inclusive en un punto cualquiera. Esto es un trabajo a futuro.

4.3 Simulaciones cinemáticas y dinámicas de micromecanismos

Para realizar las simulaciones computacionales de los mecanismos propuestos se han

utilizado diferentes herramientas dependiendo de lo que se pretende. Por ejemplo, se ha

utilizado matlab para hacer la simulación primera del mecanismo híbrido de un CNC debido a

la cantidad de librerías o toolboxes disponibles para intentar diferentes configuraciones; sin

embargo, matlab es un programa que requiere de una licencia que es considerablemente

costosa cuando se van agregando componentes y realmente no es tan viable tomando en

cuenta las restricciones económicas y de trabajo en México.

Por este motivo, las herramientas usadas en simulaciones se fueron concentrando en el uso

de software libre. Particularmente herramientas como Ptolemy para el desarrollo de sistemas

híbridos y el lenguaje de programación python han sido extensivamente usados en estos

modelos.

La parte esencial de una simulación es tener claro cual es el modelo matemático que

deseamos reproducir dentro de la computadora, cuales son las variables que deseamos

analizar y cual es la estrategia a usar en la manipulación de las variables.

4.3.1 Simulación de una micro máquina CNC

La modelación y simulación de una micro máquina es una tarea compleja pues, al igual que

una máquina convencional, las fuerzas que interactuan en la misma tienen entre sí gran

relación, se generan retardos y retroalimentaciones a través de diferentes formas. Podemos

mencionar entre las fuentes que agregan cierta complejidad a la dinámica de la máquina a

las fuerzas de corte, los lazos de vibración y los elementos de transmisión de movimiento.

139


En este trabajo se va a presentar un ejemplo de simulación para una micro máquina como la

mostrada en la figura 3.17 en el capítulo anterior. La mayoría de los modelos matemáticos de

simulación fueron tomados de [11]. La máquina a simular se toma a partir del diseño

propuesto de una micro fresadora y tiene las siguientes características:

Micro máquina de corte de tres ejes de movimiento lineal ortogonales entre sí.

Maximos deplazamientos lineales:

X: 80 mm Y: 40 mm Z: 30 mm

Velocidades de desplazamiento máximos:

Vx: 100 mm/s Vy: 100 mm/s Vz: 80 mm/s

A partir de la construcción del prototipo, se han medido los pesos de cada uno de los

componentes de la mesa. Los valores de las masas son:

mx = 460 grs my = 210 grs mz = 75 grs

La pieza de trabajo promedio será de 30 grs

El paso de los tornillos usados para cada ee es de 1 mm/ revolución y su diámetro es de 1/8''

o 3.175 mm. El tornillo mas largo para el eje x tiene un peso de 8 grs, mientras que para los

otros ejes el peso del tornillo es de 6 grs.

Las inercias axiales J para cada uno de os ejes del tornillo se estimaron a partir de la

consideración que el tornillo tiene una geometría cilíndrica. Los valores de inercia de los

tornillos son:

Jtx = 40.3225 grs mm2

Jty = Jtz = 30.2418 grs mm2

Vamos a considerar, siguiendo la norma en estos casos, que el coeficiente de fricción de las

guías con la mesa es μgf = 0.1

La escala de reducción propuesta entre el motor y el tornillo es de 14:1, rg = 0.071

140

Capítulo 4

Consideraremos que la fricción viscosa es prácticamente cero, B ≈ 0 y que la fuerza normal

que afecta el movimiento de los ejes es alrededor del 10% de la fuerza de corte generada.

El siguiente dato que necesitamos es la fuerza dinámica de corte máxima. Este valor se va a

tomar considerando una operación de corte de una pieza de trabajo de alguna aleación de

aluminio (por ejemplo 6061-T6), lo cual es un trabajo estándar y ligado al posible diseño del

concentrador solar analizado en este trabajo.

Para el análisis de las fuerzas de corte se requieren de diferentes parámetros que dependen

de las condiciones específicas de operación. Para esta demostración vamos a asumir lo

siguiente:

La herramienta de corte tiene dos cortadores con un diámetro total de 1/32'' o 0.79 mm. Con

un ángulo de entrada de corte a 0 grados y de salida de 135 grados girando a 200 RPM.

Las constantes de corte usadas en la simulación dependen del tipo de material que se usa y

normalmente se obtienen de manera experimental y representadas en tablas de operación,

las usadas en este trabajo consideran el maquinado de Aluminio 6061-T6 y fueron obtenidas

de [12]:

Constante en la dirección tangencial, Ktc = 693.8 N/mm2

Constante en la dirección radial, Krc = 274.05 N/mm2

Constante de borde en la dirección axial, Kte = 19.98 N/mm

Constante de borde en la dirección radial, Kre = 10.74 N/mm

Al ejecutar el programa de simulación para encontrar las fuerzas involucradas en el corte,

encontramos las gráficas de fuerza mostrados en la figura 4.21 y 4.22.

141


Figura 4.21. Fuerza de corte para la simulación de una micro máquina.

142

Capítulo 4

Fig. 4.22. Fuerza distribuida al giro de la herramienta de corte.

La máxima fuerza de corte generada es de 50.47 N. Este valor se tomará en cuenta para el

modelo dinámico el cual considera que la fuerza máxima vertical es el 10% de la fuerza de

corte; en este caso sería Fz = 5.47 N.

Calculando ahora las cargas estáticas y dinámicas de los ejes, tenemos,

Eje X Eje Y Eje ZCargas estáticasTgf – Torque debido a la fricción 8,80E-004 8.41E-4 8.20E-4 NmTlf – Torque debido a pérdidas en baleros 4.01E-4 4.01E-4 4.01E-4 NmTf – Torque reflejado en el tornillo 8.03E-3 8.03E-3 8.03E-3 NmTs – Torque estático total 9,31E-003 9,27E-003 9,25E-003 NmTsr – Torque total reflejado en el motor 6.63E-4 6.62E-4 6.61E-4 Nm

Cargas dinámicasJtw – Inercia de la mesa y pieza de trabajo 1,24E-008 6.08E-9 2.66E-9 Kgm2

Jl – Inercia del tornillo 1.01E-8 7.56E-9 7.56E-9 Kgm2

Je – Inercia total reflejada en el motor 1,11E-009 1.07E-9 1.05E-9 Kgm2

143


Como puede apreciarse, los valores de las fuerzas y torques generados son muy reducidos

debido a la escala de trabajo. Para consultar el cálculo de estos valores puede verse [11 pp.

160-163].

Para la generación del movimiento se propone el uso de motores a pasos los cuales tienen

dos polos y cuya dinámica electromagnética quedará fuera de este ejercicio de simulación.

Desde el punto de vista mecánico la dinámica total de cada eje será descrita como,

T m t =J ed t dt

B t T s t (4.3.1)

donde Je es la inercia dinámica total reflejada al motor, B es la fricción equivalente (que

puede ser solo la fricción viscosa) y Ts es el torque de perturbación estática reflejado al

motor.

La función de transferencia para el eje Y que solo carga la pieza de trabajo, se encuentra

tomando en cuenta la señal de entrada al motor del eje es de la forma,

V s=G p sU s

G p s=1

J e sB(4.3.2)

Tomando en cuenta la aplicación de un control básico tipo PID como primera aproximación,

entonces tenemos el siguiente diagrama a bloques,

Figura 4.23 Diagrama a bloques del control PID de un solo eje de movimiento de una micro máquina de corte.

La cual al reducir los lazos queda como,

144

Capítulo 4

G y LC=K P R K eq Kp

SK I

S JS 2S BK eqKpK P R K eq Kp

SK I

=K P R K eqKp

SK I

JS 3S2 BK eq KpS K eqK IK P RK eqKp

K P R K eqK I

(4.3.3)

Donde G y0 es la función de transferencia directa. G y0 es la función de transferencia en

lazo cerrado. Keq es la ganancia natural de la planta y en nuestro caso diremos que Keq = 1.

La cual requerirá de sintonización para cada uno de los ejes de movimiento. Regularmente

en la práctica se eligen los parámetros de control de forma que el control proporcional de una

buena velocidad de respuesta sin que genere sobre pasos de señal y menos inestabilidad, el

control integral es relativamente pequeño para compensar los errores acumulativos y se deja

hasta el final el control derivativo como parámetro de optimización.

Utilizando un modelo muy sencillo de simulación con una simple función de transferencia

para encontrar la respuesta modificando los valores de las constantes de control, de forma

que la entrada sea la misma que la salida, es decir, con ganancia unitaria. Considerando que

R=14, Keq = 1, Jeq=1.11e-9, y B ≈ 0, es posible ir optimizando los valores de Kp, Kωp y Kωi.

Al reemplazar los valores encontrados para cada eje tenemos que la representación de la

planta de control quedará como:

G ycl=0.01s0.7e-41.11e-9 s30.1e-3 s20.01s0.7e-4

(4.3.4)

Esta planta, junto con las perturbaciones, puede incluirse en el modelo del sistema híbrido de

la operación de la micro máquina. La figura 4.24 muestra la construcción de los estados de la

máquina de estados finitos que representa la operación de la micro fresadora.

145


Figura 4.24. Representación del modelo de sistema híbrido de una micro máquina CNC.

Cada uno de los estados contiene la dinámica que representa localmente su

comportamiento.

146

Capítulo 4

Figura 4.25. Modelo de simulación dentro del sistema híbrido.

La figura 4.25 muestra la planta usada para cada uno de los ejes en las simulaciones. Esto

es en realidad solo un ejemplo de lo que se puede hacer para sintonizar el control de la micro

máquina antes de que se use. Sin embargo, el control definitivo se hace ya con la micro

máquina real.

Este tipo de modelos de simulación permiten agregar y quitar elementos, modificar la

estructura del control y permitir diferentes tipos de análisis y perturbaciones dentro del

sistema a analizar. La figura 4.26 muestra por ejemplo algunos resultados de la simulación

del sistema mostrado en 4.25. El comando de movimiento es a 10 mm y la velocidad que

alcanza es un pico de 100 mm/s, los resultados muestran ciertas oscilaciones de la velocidad

cuando se compensa la no linealidad de la fricción.

Este procedimiento puede usarse para modelar cualquier tipo de micro mecanismo y estudiar

su control antes de ser construido. Estos resultados permiten optimizar mejor la micro

máquina y permitir identificar posibles fuentes de error, problemas de diseño o inclusive

fuentes de inestabilidades que pudieran inclusive dañar los componentes mecánicos.

147


La mejora de los diseños y del control es una tarea constante dentro de las micro máquinas y

es por eso que el desarrollo de herramientas de simulación y análisis se vuelven de suma

importancia. Además, es necesario crear bibliotecas de estos algoritmos e implementaciones

con el fin de acelerar nuevos desarrollos y la transferencia de las experiencias a nuevos

participantes dentro del proceso de desarrollo de estos proyectos.

Figura 4.26. Resultados de simulación del sistema mostrado en 4.25 y un comando de posición de 10 mm

148

Capítulo 4

Referencias

[1] Alligood, K.T. Chaos: an introduction to dynamical systems., Springer-Verlag, New York,

1997.

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[7] Sharkovskii, O. M. Co-existence of cycles of a continuous mapping of a line onto itself,

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[10] Guckenheimer, J. y Holmes, Ph. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and

Bifurcations of vector fields, Springer Verlag, New York, 2002.

149


[11] Altintas, Y. Manufacturing automation. Cambridge University Press. 2000

[12] Xu, M, Jerard, R.B. Y Fussell, B.K. Energy-based cutting force model calibration for

milling. Computer-aided design and applications, Vol. 4, Nos. 1-4, 2007, pp 341-351.

150

Capítulo 5

CAPÍTULO 5

DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE MICROMECANISMOS DE MANUFACTURA DE ALTA PRECISIÓN PARA EL ENSAMBLE AUTOMÁTICO

DE COLECTORES SOLARES MODULARES

5.1 Diseño mecánico de una micromáquina

En este punto se describe el diseño y la construcción de una micro máquina tipo fresadora.

La filosofía ocupada en esta actividad está basada en la minimización de costos y

maximización de la eficiencia de la máquina. Además de que se intenta probar la idea de que

es posible construir este tipo de máquinas en talleres pequeños de desarrollo científico y

tecnológico.

Los componentes de la micro máquina fueron maquinados prácticamente de forma artesanal

en tornos y fresadoras de un pequeño taller. La construcción se realizó en latón por ser un

material de fácil acceso y de bajo costo y la fabricación fue hecha de manera artesanal con el

fin de tener cierta flexibilidad en el prototipo y que sirviera de buen ejercicio didáctico en esta

investigación.

Figura 5.1 Vistas de la micro fresadora desarrollada como prototipo de micromáquina.

151

Diseño e implementación de micro mecanismos para el ensamble automático de colectores solares modulares

La micro fresadora es de tipo cartesiano con tres ejes de movimiento, todos ortogonales

entre sí, los cuales están controlados con motores a pasos y una caja de engranes que

aumentan el torque de los motores.

Los motores usados en esta micro máquina también fueron hechos en el laboratorio. La

figura 5.2 muestra algunas fotos del proceso de fabricación de los mismos. Se trata de

motores a pasos con dos polos los cuales son relativamente fáciles de controlar. Los rotores

están hechos con un par de imanes permanentes, mientras que los estatores tienen cuatro

devanados que generaran el campo magnético que mueve al motor.

(a) (b)

(c)

Figura 5.2. Vistas de la fabricación de los motores a pasos para la micromáquina. (a) soporte del estator, (b) con

los devanados del estator y (c) el ensamble completo del motor

152

Capítulo 5

Cada uno de los ejes está movido a través de un tornillo hecho en el laboratorio con un paso

de 1 vuelta por milímetro. Esto permite que los pasos sean fáciles de calcular en el sistema

métrico y facilita el control y análisis.

Figura 5.3 Tornillos de uno de los ejes de movimiento de la micromáquina.

Cada uno de los ejes restringe la dirección de su movimiento mediante un canal en forma de

'V' que permite su deslizamiento en una sola dirección. El maquinado de este canal se

realizó con una herramienta de corte hecha en el laboratorio y una fresadora de control

numérico. De forma que se asegura el paralelismo de las dos guías en un eje. Los problemas

de paralelismo en máquinas herramienta en general son fuentes importantes de errores.

Figura 5.4. Guías de movimiento de los ejes de la micro fresadora.

153


Figura 5.5. Diagrama de los componentes mecánicos de un eje simple de la micro fresadora.

El mecanismo final tiene una relación de engranes de 14:1 desde el motor, la razón del paso

del tornillo es de 1 mm por vuelta, el motor a pasos es de cuatro fases, es decir, cuatro pasos

por vuelta, por lo que la resolución del movimiento de este mecanismo es de 17.85 micras

por paso. Lo cual es suficientemente preciso considerando que puede existir un error de ±20

micras en el movimiento. Lo requerido en este caso, y dado las restricciones del proceso de

manufactura del mecanismo es un movimiento con una precisión de 50 micras.

154

Capítulo 5

5.2 Diseño del control electrónico de una micromáquina

El control electrónico de los mecanismos está basado en un diseño modular y de bajo costo.

El control actual está basado en un micro controlador del tipo PIC de 8-bits modelo

PIC16F648 con un reloj a 20 Mhz y 4Kb de memoria EEPROM, servicios de interrupciones,

tres temporizadores (uno a 16-bits y dos a 8-bits) y una serie de instrucciones reducidas

permitiendo un mejor rendimiento en la ejecución de los programas. Además tiene dos

puertos de entrada/salida de 8 bits cada uno, con posibilidad de direccionar los puertos de

manera independiente.

La figura 5.6(a) muestra a grandes rasgos los componentes que forman parte del control

electrónico. El control e interface con el usuario está en la PC, la cual se comunica con el

micro controlador vía seria y enviando los comando de control a cada uno de los ejes. La

tarjeta de control envía las señales al sistema de potencia que a su vez manda la corriente

requerida a los estatores de los motores a pasos que se están usando en este prototipo.

Cabe mencionar que se utilizó una tarjeta de desarrollo para hacer el prototipo y que se

planea como un trabajo a futuro la mejora del control electrónico de forma que fácilmente

pueda integrarse a una micromáquina. El diseño de la tarjeta electrónica personalizada a una

micromáquina, es decir de dimensiones no mayores a 30 mm x 30 mm, también está

pendiente como un trabajo futuro.

La comunicación con este micro controlador se hace a partir de un puerto serial de tipo

USART que contiene registros dedicados para el almacenamiento temporal de datos y el

manejo de las interrupciones y banderas que permiten el manejo de dicha comunicación

serial. Este micro controlador requiere de circuitos externos para hacerlo compatible con

protocolos de comunicación serial como RS-232, RS-422 o RS-485. La figura 5.6(b) muestra

un diagrama esquemático aproximado de la tarjeta de control electrónico usado para las

pruebas preliminares en este desarrollo.

155


El control de potencia hacia los motores a pasos se hace con otros dispositivos. En nuestro

caso se usan transistores de potencia conectados en un puente tipo 'H' de hasta 2 amperes

para los motores a pasos.

(a)

(b)

Figura 5.6.(a) Diagrama a bloques del sistema de control y (b) Diagrama esquemático de la tarjeta de control de

156

Capítulo 5

movimiento.

Una vista general del hardware usado se muestra en la figura 5.7. La tarjeta de desarrollo

contiene un micro procesador PIC de bajo costo, la cual está conectada a la PC vía seríal

RS-232 y a la tarjeta de control de potencia hacia los motores a pasos. Todo este prototipo

será optimizado en trabajos futuros usando un micro procesador con mayor capacidad de

computo y en una tarjeta electrónica diseñada para que ocupe un tamaño mínimo, la

comunicación con la PC se cambiará a tipo USB de alta velocidad y la potencia se ajustará al

tipo de micro motores usados en las micro máquinas.

Figura 5.7 Vista de las tarjetas de control del sistema de movimiento.

Este trabajo fue realizado en colaboración con el departamento de computación del centro de

investigación y estudios avanzados del instituto politécnico nacional (CIVESTAV-IPN) como

parte de un proyecto de desarrollo de un sistema de inspección automática de la deformación

térmica residual en tarjetas electrónicas (PCB) usando un sensor láser, bajo la tutela del Dr.

Adriano de Luca Penaccia [12]. Este proyecto fue financiado por el CINVESTAV-IPN.

157


5.3 Diseño del programa de control de movimiento

5.3.1 Diseño del hardware de control de movimiento.

Se propone un sistema de control modular y escalable que cubra los requerimientos mínimos

del problema. El sistema de control de movimiento estará separado del sistema de control y

adquisición de información del sensor láser, con el fin de minimizar las tareas del controlador.

Los cálculos de mayor peso serán realizados en la PC, enviando solo comandos básicos a

las tarjetas de control correspondientes.

El control de movimiento será realizado en una cadena tipo daisy, en donde los controles se

conectarán en forma serial escuchando el mismo bus de datos, como se muestra en la figura

5.8. Cada control tendrá a su cargo de 1 a dos ejes independientes y la comunicación con la

PC se realizará con un protocolo establecido. El protocolo de comunicación serial de la PC a

los controles de movimiento será formado por 6 bytes descritos en la tabla 1.

Tabla 1. Descripción de los datos usados para la comunicación entre la PC y los controladores

BYTE DESCRIPCIÓN

ACK Acknowledge o reconocimiento. 0xFF

ID | EJE Número de identificación del controlador y número de

eje a recibir el comando. Medio byte por cada dato.

CMD Número de comando

OPT1 Opción 1 del comando. 0XFF si no tiene esta opción el

comando.

OPT2 Opción 2 del comando. 0XFF si no tiene esta opción el

comando.

CRC Verificación del CRC. Se utiliza un XOR para los datos

acumulados.

158

Capítulo 5

Figura 5.8. Topología de conexión en cadena tipo Daisy de los controles de movimiento.

Está topología en cadena tipo Daisy permite la expansión del número de ejes que este

sistema puede manejar. Aunque para la aplicación actual esta topología está sobrada, futuros

desarrollos justifican este desarrollo.

Cada controlador tiene un diseño modular y escalable, lo que permite usar un tipo de tarjeta

de control para una aplicación y poder reemplazarla por otra en caso de requerir mayor

velocidad o rendimiento. La implementación de este prototipo se realizó con un

microprocesador PIC16F458A, el cual es de bajo costo y tiene 4Kb de memoria de programa,

lo cual nos permitió experimentar con diferentes implementaciones. Sin embargo, es posible

usar otro procesador con menos memoria para una implementación final.

La implementación del control de los motores a pasos se dividió en dos diferentes etapas:

desarrollo de las comunicaciones y desarrollo del control de movimiento en sí. Las

comunicaciones se hacen en forma serial creado un flujo de datos a partir de un protocolo

establecido a partir de la idea de escalabilidad del sistema. Cada módulo de control escucha

el bus de datos y si el dato recibido es direccionado para su configuración, entonces recibe el

resto de los datos y los interpreta de forma que pueda realizar la tarea asignada en el

comando enviado. La figura 5.9 muestra el diagrama de flujo de los bloques involucrados en

la comunicación del sistema de control.

159


Figura 5.9. Diagrama de flujo de la implementación del programa de control en la tarjeta electrónica.

La trayectoria del movimiento se hace en un solo eje y es solo una interpolación lineal básica

lo que se calcula, es decir, un movimiento de punto a punto con un perfil de velocidad dado.

En nuestro caso, el perfil de velocidad es de tipo trapezoidal con la finalidad de suavizar la

trayectoria y disminuir el riesgo de pérdida de pulsos de los motores a pasos.

La generación de pulsos se hace a partir del análisis del perfil de velocidad requerido. En

nuestro caso es un trapezoide, el cual permite que el arranque y el final se suavicen. Aunque

es posible usar perfiles de trayectoria aún mas suaves, esto obligaría a resolver ecuaciones

160

Capítulo 5

mas complejas y en nuestro caso hay ciertas restricciones en cuanto al control en tiempo real

y los tiempos de reacción debido al rendimiento del procesador que estamos usando. Este

asunto es en realidad un balance entre rendimiento y costo del sistema y en este momento el

costo es un factor de mayor peso, mientras el rendimiento básico se cumpla.

Figura 5.10. Análisis de generación de pulsos de control para el motor a pasos. El intervalo de tiempo entre

pulsos está definido por la pendiente del perfil de velocidad deseado.

En la figura 5.10 se muestra el perfil de velocidad deseado para un movimiento de punto a

punto con una velocidad específica. En nuestro caso estamos usando motores a pasos, por

lo que N representa el número de pasos de interpolación requerido para la fase de

movimiento. N1 son los pasos en la etapa de aceleración, N2 pasos en la etapa de velocidad

constate y N3 en la desaceleración. El número total de pasos N estará dado por la suma de

todos los pasos en cada una de las etapas del movimiento.

N = N1 + N2 + N3 (5.3.1)

El número de pasos requeridos en cada etapa está dado por

161


N 1=l1u

=vn

2

2Au

N 2=l2 u

N 3=vn

2

2Du

(5.3.2)

donde A es la acceleración, vn es la velocidad nominal, D la desaceleración y Δu el

desplazamiento por cada paso del motor.

Para estimar el tiempo entre cada uno de los pasos (k) en cada etapa del movimiento

usamos:

aceleración:

para k=1, N1

v k =v022k Au

T i k =2u

v k v k1(5.3.3)

siguiente k

velocidad constante:

para k=1, N2

T i=uvn

(5.3.4)

siguiente k

En desaceleración:

para k=1, N3

v k =v22k Du

T i k =2u

v k v k1(5.3.5)

siguiente k

162

Capítulo 5

Este algoritmo genera los tiempos entre cada paso, lo que se utilizará para la generación del

movimiento de un punto a otro moviéndose a una velocidad deseada. La figura 5.11 muestra

el cálculo fuera de línea de los pasos y la trayectoria de un movimiento del origen a 150 mm.

El eje secundario de la figura 5.11b muestra la generación de los pasos del motor

relacionado con el tiempo en que cada paso se genera.

Figura 5.11. Gráficas de generación del perfil de velocidad y la posición que este perfil genera.

Este valor de tiempo se traduce a un valor del timer de 16-bits del microcontrolador

PIC16F648A con un reloj base a 20 Mhz., es decir que cada pulso de reloj corresponde a 50

ns.

163

0 500 1000 1500 20000

50

100

150

200

0

1000

2000

3000

4000Posición

tiempo ms

posi

ción

0 500 1000 1500 20000

20406080

100120

perfil de velocidad

tiempo ms

vel m

m/s


5.3.2 Diseño de la interface en la PC con la tarjeta de control de

movimiento

El programa en la computadora tiene diferentes módulos que componen su funcionamiento:

comunicaciones, generación del comando, cálculo de la trayectoria e interface de usuario.

Cada módulo es independiente y su implementación está hecha en lenguaje java utilizando

múltiples hilos de programación para cada módulo. La figura 5.12 muestra un diagrama a

bloques con los componentes principales de programación del sistema de control de

movimientos.

Figura 5.12. Diagrama a bloques con los componentes de programación del sistema de control de movimiento.

El protocolo de comunicación es relativamente simple, utiliza los comando descritos arriba en

la tabla 1 para enviar las instrucciones a la tarjeta específica de control de movimiento,

mientras que ésta regresa la información también en un flujo de datos de forma que cada

paquete tiene dentro la información de quien lo envía, a que comando se refiere y el valor

que corresponde a la instrucción requerida. Los comando básicos se dividen en instrucciones

para escribir un dato en la tarjeta, instrucciones para leer algún valor de la tarjeta de control,

e instrucciones de comando de algún evento en la tarjeta, por ejemplo iniciar el movimiento,

164

PotenciaSecuencia de

control de motores

Control de Moviemiento

Generación de trayectorias(Microprocesador)

Control de ProcesoInterface de usuario

PCOtras Máquinas en la celda

Motores

Capítulo 5

paro de emergencia o reinicio del proceso.

El cálculo de la velocidad se hace en la PC y éste se traduce a un valor del temporizador

interno del microprocesador, el cual va a ser activado en una interrupción que maneja la

palabra de control de los pasos del motor correspondiente. Actualmente, solo una tarjeta de

control controla un solo eje, pero se pretende que una sola tarjeta puede manejar hasta dos

ejes dependiendo de la necesidad de puertos libres.

En esta configuración, la tarjeta de control de movimiento se centra en los cálculos para el

generar la secuencia de palabras de control al puerto en donde está conectado el motor a

pasos que va de una posición inicial a la posición final; mientras que el la PC se van a

generar la generación de la trayectoria, los cálculos de definición de área de inspección en la

tarjeta de prueba y las operaciones de interface de usuario y manejo y procesamiento de

datos posterior a la adquisición. Cada operación tiene un hilo de programación y se corre

independiente, esto permite poder definir prioridades entre cada uno de los hilos de

programación de forma que los procesos mas importantes que impliquen control en tiempo

real puedan ser realizados mas frecuentemente que aquellos que no son tan indispensables.

El mismo programa puede ser cambiado y actualizado a conveniencia debido a la

arquitectura modular y abierta con la que está diseñado. Esto es, en caso de que se desee

cambiar el protocolo serial a algún otro como serial rápido, firewire o ethernet, solo se

requerirá de actualizar las clases que definen los objetos instanciados para tal efecto,

manteniendo las llamadas a rutinas de servicio con el mismo nombre y funcionamiento.

165


Figura 5.13. Módulos del programa de control en la PC

El programa de control de movimiento en la PC debe de generar la estrategia de captura de

datos dependiendo de la operación en particular que se desee realizar. Al mismo tiempo

requiere de la sincronización con el sensor de luz coherente y el software de adquisición de

datos de la medición de la altura de la tarjeta a inspección.

El software de control en la computadora está basado en una combinación de Java y Python.

Se utiliza Java para el control a bajo nivel y comunicación con el hardware, mientras que

python se usa para el cálculo de las trayectorias de alto nivel, la manipulación de los datos y

la generación de salidas y presentación en la pantalla de los resultados. La figura 5.14

muestra la interface de control del usuario hecha en java.

166

Capítulo 5

Figura 5.14. interface de usuario para el control de movimiento de dos ejes

167


5.4 Diseño del ensamble automático de estructuras complejas: Caso del ensamble automático de un colector solar.

5.4.1 Introducción

Hoy en día fuentes de energía alternativa como la solar están en constante demanda. Un

gran número de proyectos de investigación se concentran en encontrar nuevos métodos para

la generación de energía de manera mas eficiente y barata. Este es el caso de los

concentradores solares, en donde la energía solar se condensa en una región específica.

Este punto caliente puede ser usado tanto para calentar agua como para la generación de

energía eléctrica.

La forma mas común de los concentradores solares es un paraboloide en donde en el foco

se concentra la energía solar. Idealmente, un colector solar concentra mas energía

proporcionalmente al área de colección; esto significa que mas energía se concentra en el

foco. Un disco parabólico de un concentrador, puede generar temperaturas sobre 700 grados

C dirigida a un motor Stirling localizado en el foco [4-6]; sin embargo, la construcción de

concetradores grandes no es fácil y muy costoso al aumentar el área de colección.

Un método alternativo para la construcción de concentradores solares grandes esta

propuesto en [3]. Este método consiste en incrementar el área construyendo celdas

hexagonales, las cuales se forman por espejos planos simples de cara triangular. Este

proyecto se hizo en colaboración con el Centro de Ciencias Aplicadas y Desarrollo

Tecnológico (CCADET) de la UNAM bajo la tutela del Dr. Ernst Kussul.

168

Capítulo 5

5.4.2 Estructura del Colector Solar.

Esta propuesta considera el uso de espejos planos para la creación de superficies

equivalentes a un concentrador parabólico. La idea básica es la de construir pequeñas

unidades hexagonales consistentes en segmentos triangulares hechos con espejos planos

sobre una estructura ajustable, como se muestra en la figura 5.15. El colector completo

puede ser construido a partir de componentes básicos y pequeñas estructuras y su

crecimiento es, de esta forma, lineal.

Figure 5.15. Celda hexagonal propuesta por Kussul y otros [4] para formar el colector solar.

La celda hexagonal es dividida en tres zonas, cada zona está formada por un espejo plano

de forma triangular, el cual está orientado de acuerdo al ángulo requerido para el lugar de

foco específico. Esta orientación está determinada por una fórmula parabólica que depende

de la distancia focal y está dada por y= x2

4F. En general, el número de espejos planos

triangulares sencillos para un área determinada con un número n de zonas concéntricas está

dado por la ecuación

N=6 x n2 (5.4.1)

Donde n es el número de zonas de espejos del colector y N es el número total de triángulos y

esto está descrito en la tabla 5.1. La descripción completa del sistema puede verse en [3].

169

EspejosTriángulares

Capa Superior

Capa Inferior


Tabla 5.1. Componentes de diferentes tamaños de colectores solares compuestos por segmentos triangulares.

Número de zonas

(n)

Número de espejos

(N)

Lado del triángulo (a)

(metros)

Distancia focal (F)

(metros)

Razón de concentración η

(soles)3 54 0.05 0.28 11.510 600 0.05 0.933 12220 2400 0.05 1.866 37725 3750 0.05 2.332 52230 5400 0.05 2.8 666.540 9600 0.05 3.732 954.250 15000 0.05 4.665 1238.6

El ensamble de la superficie completa reflejante está basada en los sujetadores de cada

espejo de manera flexible los cuales soportan el espejo plano triangular y permite la

modificación de su orientación con respecto al centro de toda la superficie parabólica del

espejo. Una descripción general del sistema puede ser encontrado en [4]. La figura 5.16

muestra el soporte básico para los espejos triangulares.

Figure 5.16. Estructura de soporte de un espejo plano triangular para el concentrador solar parabólico.

La figura 5.16 muestra un soporte sencillo para un espejo plano triangular. La dimensión a es

170

Capítulo 5

la longitud de cada barra que forma el triángulo, h es la altura del soporte respecto a la

superficie de la base y a1 es la longitud de la barra localizada en la base del soporte.

5.4.3 Sistema de micromanufactura

La propuesta original [4] para este tipo de colectores solares recomienda el uso de una

instalación de micro fábrica para la construcción y el ensamble automático de estos

componentes. Los detalles del diseño mecánico necesitan de ser revisados antes de que las

propuestas de manufactura y ensamble sean implementados; sin embargo, es posible

abordar tópicos generales de esta instalación. Por ejemplo, evaluar el grado de complejidad y

analizar el impacto de la colaboración de máquinas en el proceso de ensamble.

Se ha mencionado en el capítulo I sobre el impacto de las micromáquinas en la industria. La

reducción de maquinaria ha existido desde hace mucho tiempo cuando expertos maquinistas

desarrollaron mecanismos de precisión como relojes e instrumentos musicales. Hoy en día,

estamos rodeados de dispositivos que contienen piezas de precisión y componentes

intrínsecos de tamaño extremadamente reducido. Cada día se crean dispositivos mas

pequeños que entran en el mercado y en muy diversas aplicaciones. Esta situación ha

motivado a la industria a buscar mejores, mas eficientes y confiables soluciones, y la

reducción de máquinas ha probado ser un buen camino.

Micromáquinas se encuentran en una amplia gama de tamaños y aplicaciones. Un paso

inicial fue dado al tomar tecnología procedente de la industria de semiconductores y se

desarrollo lo que se conoce como MEMS (del inglés Micro Electro Mechanical Systems), los

cuales pueden ser considerados como dispositivos en 2 ½ dimensiones por que solamente

se construyen sobre un plano y se cambia la profundidad. Esta tecnología es muy útil para el

desarrollo de micromecanismos en la escala de micrones.; sin embargo, para la mayoría de

necesidades en escala real, éstos son muy pequeños y otras soluciones son requeridas.

171


Japón es no de los países con mas desarrollo en la reducción de maquinas. Esta

aproximación consiste en tomar una máquina regular y, simplemente, escalar sus

dimensiones. Algunos ejemplos de esta estrategia pueden verse en [8 – 10]. Diversos

grupos a nivel mundial han estado trabajando en esta dirección desde la década de los 90's y

las investigaciones actuales se concentran en el desarrollo de la colaboración de múltiples

máquinas, su autonomía y explorar el uso de diferentes materiales y el desarrollo de nuevos

actuadores, sensores y mecanismos con mejores rendimientos. Nuestra investigación se

concentra en desarrollar mejores diseños y estrategias de control de manera holística o

integral para este tipo de máquinas.

Para la instalación propuesta, se necesita una célula de micro-fábrica para el maquina de las

barras del concentrado, uniones, micro tornillos y el cortado de los espejos. En orden de

evaluar la complejidad de este ensamble, primero analicemos el número de componentes y

la manera en que éste crece al escalar el tamaño del colector.

De la figura 5.15, tomemos solamente la primera zona de espejos la cual tiene 6 triángulos.

Cada triángulo equilátero, figura 5.14, está formado por una estructura de componentes

descritos por la tabla 5.2.

Tabla 5.2. Número de componentes barra del colector solar.

nA

36∑i=1

n

i−12n

B

18∑i=1

n

i−6 n

C

6∑i=1

n

i

1 24 12 63 180 90 3610 1860 930 33020 7320 3660 126025 11400 5700 195030 16380 8190 279040 29040 14520 492050 45300 22650 7650

172

Capítulo 5

Cada vértice tiene un número asignado a este, cada enlace o barra tiene un identificador, por

lo que para n zonas en el colector solar, habrá 16∑i=1

n

i vértices con doce (dos en cada

lado) puntos de ensamble para cada barra. Esto significa que para 50 regiones con una

unidad triangular de 50 mm de largo y cerca de 15 grados de inclinación promedio con

respecto al centro, dará un diámetro aproximado de 4.83 metros, equivalente a 18.32 m2.

5.4.4 Descripción de elementos estructurales

Este colector solar tiene tres tipos de barras: a) para los triángulos (arriba y abajo), b) la barra

cruceta, y c) la barra vertical que se encuentra entre los planos superior e inferior. La pieza

de conexión entre las barras es un elemento maquinado previamente hecho. Su forma y

naturaleza es fundamental para el proceso de ensamble y los movimientos requeridos en

éste; este punto de conexión también debe de permitir cierta flexibilidad pues el ensamble

completo cambia de curvatura para obtener la dimensión parabólica y el punto focal

requeridos. El espejo y sus sujetadores están también hechos en serie y diseñados para un

ensamble simple y rápido.

La microfábrica propuesta estaría compuesta por una máquina fresadora, una máquina para

la manufactura de micro tornillos, un sistema para cortar espejos, robots manipuladores y

bandas de transportación. La intención de estas máquinas es trabajar de manera

colaborativa para la construcción de una microfábrica.

El sistema de ensamble tiene que seguir cierto patrón de movimiento en dos niveles y

también en la estructura media. Las células son básicamente hexágonos hechos de unidades

triangulares en dos planos los cuales son paralelos entre sí. La figura 5.17 muestra

fotografías de un sistema básico triangular (a) y (b) y la estructura completa (c). El ensamble

manual de solamente dos zonas del colector solar, como se muestra en la figura, ha tomado

173


cerca de una semana de trabajo paciente de poner cada pieza en su lugar y alinear los

elementos. Esta sola operación justifica el desarrollo de técnicas de ensamble automático. El

diseño final de los componentes aún no es el definitivo. Es posible realizar diferente mejoras,

pero la idea general ya está patentada por E. Kussul y sus colaboradores y desarrollos

futuros pueden realizarse en colaboración con múltiples instituciones.

Figura 5.17. Fotografías de una celda del colector solar y sus unidades básicas. a) y b) una celda triangular

sencilla y c) la estructura de un colector solar de dos zonas de espejos.

174

(a) (b)

(c)

Capítulo 5

5.4.4 Método de ensamble automático propuesto

El algoritmo de ensamble propuesto es relativamente simple. La idea fundamenta se basa en

el algoritmo del caracol para crear las trayectorias de ensamble de los componentes; cada

componente tendrá un identificador único y la secuencia de ensamble será definida por una

descripción de como los elementos están ordenados. Cada celda será puesta junta por mini

robots de ensamble, moviendo alrededor en un ángulo dado y colocando las barras superior

e inferior primero con los nodos conectores y entonces las barras transversales siguiendo la

secuencia definida.

La colocación de los mini tornillos es la tarea mas complicada y se propone un conector de

tipo clip para facilitar tanto el ensamble como el desensamble en caso de requerir algún

mantenimiento o reemplazo al final de su vida útil.

El método de identificación de componentes es simple. Primero se asigna un identificador a

cada nodo y luego a los elementos de la estructura. Cada nodo puede ser identificado por

una tripleta de números, cada lado (uno para el lado superior y dos para el lado inferior), la

región desde el centro, y el número del nodo en esta región contando a partir del eje principal

inicial- De forma que la combinación puede ser identificada por C lado , región ,nodo . En esta

definición consideremos que el nodo central como la región 0 (cero) o C1,0,1 . La figura 5.18

muestra un ejemplo de identificación de nodos para (a) la región 1 y (b) región 2.

175


(a)

(b)

Figure 5.18. Identificación de nodos para (a) la región 1 y (b) la región 2 en el lado superior de la estructura del

colector solar.

La pared externa de la primera zona tendrá nodos y componentes como se muestra en la

176

Capítulo 5

figura 5.19; mientras que la figura 5.20 muestra un corte longitudinal del eje principal de

nodos al alejarse del centro.

Figure 5.19. Pared externa de la primera zona de la estructura del colector solar.

Figure 5.20. Corte de la pared longitudinal mostrando los número de nodos de la estructura del colector solar.

Los diferentes elementos de la estructura, como barras y piezas de conexión pueden

correlacionarse directamente con el número de nodos. En el caso de las piezas de conexión

hexagonal, está correlación es directa. Para barras, simplemente se toma los dos nodos en

los cuales dicha barra funciona como elemento de conexión. Esto puede expresarse como

E side−b , zone−b ,node−bside−a , zone−a ,node−a . La figura 5.21 muestra las barras identificadas para la primera zona. De

la misma manera, es posible identificar las superficies de soporte de los espejos como una

tripleta de nodos coordenados, en este caso el parámetro de la posición del elemento de

arriba o abajo puede ser omitida dado que solo existen espejos en el lado superior del

177


colector solar.

Una ves que cada elemento puede ser identificado, entonces es posible pensar en algoritmos

de ensamble y, por lo tanto, los comando de las máquinas que forman la celda de ensamble

automático. Luego entonces, comenzando de la premisa que que la primera barra es E1,0,12,0,1

y que el mecanismo de ensamble de barras asume dicha tarea, el objetivo principal ahora es

el de medir el número de movimientos requeridos para el ensamble y compararlo con otras

estrategias de ensamble.

Figura 5.21. Elementos barra identificados para la primera zona (a) elementos internos, (b) pared externa

(elementos superiores) y (c) barras cruzadas en la pared externa.

178

(a) (b)

(c)

Capítulo 5

5.4.5 Modelo matemático para el proceso de ensamble

La aplicación requiere un tipo de manufactura a lotes, que permita la paralelización de la

misma. Primero, el maquinado de las piezas individuales como barras, nodos de conexión,

sujetadores, espejos, etc. Y luego el proceso de ensamble e instalación de la figura

geométrica final. Estos tres procesos son independientes y pueden ser realizados en paralelo

una vez que el ensamble comienza.

Esta propuesta consiste en la construcción de estructuras básicas que después serán

usadas para completar la geometría deseada. Tomemos un segmento estructural básico

consistente de cuatro elementos diferentes ( E1,1,21,1,1 , E2,1,2

1,1,2 , E2,1,21,1,1 y E2,1,2

2,1,1 ) y dos nodos de

conexión ( C1,1,2 y C2,1,2 ) , considerando que esta estructura será unida a C1,1,1 y C2,1,1 ). Esta

estructura está representada en la figura 5.22 (a). que los elementos 1, 2, 3 y 4 están en su

posición, es posible poner las dos barras transversales ( E1,1,61,1,1 y E2,1,6

2,1,1 ) que unen a cada una

de las estructuras de los nodos C1,1,1 y C1,1,6 y C 2,1,1 y C 2,1,6 (Figura 5.22 b).

Una vez que E1,1,61,1,1 y E2,1,6

2,1,1 están en su posición, la estructura o el mecanismo de ensamble

rota para colocar los siguientes elementos y así hasta completar la vuelta. También existe un

elemento entre los dos pisos de la estructura, este elemento E2,1,61,1,1 va de los nodos C1,1,1 y

C 2,1,6 en forma transversal que sirve para darle mayor rigidez mecánica a la estructura y éste

se colocaría al tiempo que E1,1,61,1,1 y E2,1,6

2,1,1 son ensamblados.

179


Figure 5.22. Secuencia del ensamble de la primera región del colector solar. (a) estructura de ensamble básico.

(b) secuencia de ensamble para la primera región y (c) la secuencia de ensamble de los espejos.

El siguiente elemento transversal entre los niveles 1 y 2 se coloca en forma de reflejo con

respecto a los vecinos como se mostró anteriormente en la figura 5.22(c)

El siguiente nivel de ensamble es para la región 2. En este nivel es posible ensamblar las

paredes hacia los nodos de la siguiente capa, como se ha realizado para el nivel interior; sin

embargo, se nota que existen nodos intermedios en los cuales hay dos paredes compartidas

(Ver figura 5.23) y para esto se proponen elementos compuestos como los que se muestran

en la figura 5.24.

180

Capítulo 5

Figura 5.23. Distribución de los elementos de ensamble para la segunda región y la propuesta de ensamble

iniciando por el nodo C1,2,1.

Para la región 2, estas estructuras compuestas van intercaladas. Aunque la disposición en

realidad dependería de criterios de diseño basados en la distribución de fuerzas estáticas y

dinámicas dentro de la estructura en sí y este análisis está fuera del desarrollo de este

trabajo.

181


Figura 5.24. Elementos compuestos de ensamble para nodos que comparten paredes de la estructura de

soporte. Ambos elementos son un reflejo uno de otro y van intercalados en la estructura dependiendo de su

posición y región.

Una vez terminada la segunda región, las regiones exteriores se ensamblan de manera

similar usando el mismo algoritmo, como se ilustra en la figura 5.25.

182

Capítulo 5

Figura 5.25. Evolución del ensamble de las regiones exteriores de la estructura de soporte de colectores

solares. En esta figura solo se ilustra una cara y una sección por limitantes de espacio, se supone que las

regiones interiores están completas.

La vista longitudinal de la estructura a lo largo de las regiones se muestra en la figura 5.26.

183


La propuesta es que exista un ángulo entre cada uno de los elementos a lo largo de la curva

de la parábola que forma el concentrador. Esto requiere que el elemento de conexión permita

este ajuste a la curvatura de la parábola.

Figura 5.26. Corte transversal de la estructura de soporte del colector solar.

Una vista completa en simulación de un disco de 2 metros de diámetro con el foco a 1 metro

de su centro, se muestra en la figura 5.27.

184

Capítulo 5

Figura 5.27. Simulación de un disco parabólico formado por elementos barra de 5 cm, con un disco de 2 m de

diámetro y foco a 1 m.

Cortes transversales del mismo plato muestran la disposición de una capa de nodos y sus

elementos de interconexión. Esta estructura debe de ajustarse a la paraboloide requerida y

para esto se ha usado una descripción paramétrica de la parábola en cuestión. Los

parámetros de entrada son el diámetro del disco y la distancia del foco al centro de la

parábola. Considerando que una parábola puede formase en forma paramétrica mediante

las ecuaciones:

y=2pt 2

x=2pt (5.4.2)

donde p=F/2 y F es el la distancia del foco de la parábola al centro de la misma.

185


Considerando que la distancia entre el nodo C1,0,1 y C1,2,3 es el de la barra de conexión, L,

entonces encontramos la posición que ajusta tal distancia para ambos nodos, manteniendo el

primero como dato conocido.

Esto es,

L2= x2−x12 y2− y1

2 (5.4.3)

donde (x1,y1) son las coordenadas del nodo inicial y (x2,y2) coordenadas del siguiente nodo

sobre la curva de la parábola. L es la longitud de la barra de interconexión entre nodos.

Sustituyendo los valores de (x,y) para el caso paramétrico, tenemos al final que resolver la

ecuación de cuarto orden,

0=t 241−2t1

2 t22−2t1 t2t1

4t12− L2p (5.4.4)

Al resolver los puntos nodales equidistantes sobre la parábola, ahora es necesario calcular

los puntos sobre el mismo nivel de altura para cada una de las regiones. En este caso, la

propuesta es usar celdas hexagonales que irán creciendo conforme se alejan del centro.

Cada lado hexagonal tendrá tantos elementos intermedios de conexión inter nodal como el

número de región en la que se encuentre; por ejemplo, supongamos que deseamos armar la

primera región, lo que corresponde solo a un hexágono con seis nodos y seis barras de

conexión; para la segunda región se agrega un nodo intermedio y, por lo tanto, dos barras en

cada lado; para la tercera región son dos nodos intermedios y tres barras, y así

sucesivamente.

Para hacer la generación de dichos nodos y barras de conexión, solo usamos un generador

geométrico de forma iterativa en donde a partir de un nodo inicial, se incluirán tantos

elementos de conexión como el número de región en la que se encuentra en la dirección

definida por los 60 grados, aumentando en sentido de las manecillas del reloj, de acuerdo al

algoritmo descrito anteriormente. La disposición de los nodos y barras de conexión para un

disco de 2 metros de diámetro y con el foco a 1 metro de distancia del centro, se muestra en

la figura 5.28.

186

Capítulo 5

Figura 5.28. Disposición de un concentrador solar parabólico de disco hexagonal de 2 m de diámetro y foco a

1m. Vista superior y lateral.

187


Bajo estás consideraciones, el número de regiones depende de como se ajustan las barras a

la curvatura de la parábola. Como la curva de la parábola depende del diámetro y la distancia

del foco, habrá casos en donde el plato será muy plano y otros en donde tendrá una

curvatura mas pronunciada y se parecerá mas a un tazón que a un plato.

La tabla 5.3 muestra los valores esperados de número de nodos y de barras totales de la

estructura del concentrador solar para un diámetro y distancia focal dados. El criterio usado

aquí es solo que la distancia focal es la mitad del diámetro, pero estas dos distancias son en

realidad independientes y sujetas a optimización.Tabla 5.3 Diferentes diámetros y número de componentes del colector solar

Los valores de la tabla 5.3 dan una buena idea de la complejidad de la operación de

ensamble. En donde para armar un disco de colector solar se requieren ensamblar casi 15

mil elementos en 1500 nodos aproximadamente.

Otra opción es poner un segundo nivel sobre una estructura recta (figura 5.29), este segundo

nivel tendría la altura necesaria para generar la curva parabólica dirigida hacia el punto de

concentración de calor. Sin embargo, esta versión tiene la desventaja de usar mas materiales

y por lo tanto ser mas cara y pesada y que es muy probable que la altura del segundo nivel

sea demasiado grande y perdería la rigidez original.

188

diametro [m] foco[m] regiones nodos barras totales0.25 0.13 4 60 5280.5 0.25 7 168 1554

0.75 0.38 9 270 25381 0.5 12 468 4464

1.25 0.63 15 720 69301.5 0.75 17 918 8874

1.75 0.88 20 1260 122402 1 22 1518 14784

2.25 1.13 25 1959 190502.5 1.25 28 2436 23856

2.75 1.38 30 2790 273603 1.5 33 3366 33066

3.25 1.63 35 3780 371703.5 1.75 38 4446 43776

3.75 1.88 41 5166 509224 2 43 5676 55986

Capítulo 5

Figura 5.29. Propuesta de estructura con un segundo nivel que genera la curva de la parábola deseada para el

concentrador solar.

Además de esta propuesta de ensamble automático, es posible explorar mas opciones, como

el pre-ensamble de paredes que se pueden usar como pasillos en donde micro-robots

pueden desplazarse para realizar el ensamble de los elementos interiores y espejos a lo

largo de estas paredes. Esta propuesta está ilustrada en la figura 5.30.

5.4.6 Otros métodos propuestos de ensamble automático

La superficie de desplazamiento de los micro robots de ensamble puede tener la forma de la

parábola y rieles que coincidan con los pasillos de ensamble. Esto permitiría a los micro

robots trabajar siempre a una misma altura y efectuar las mismas operaciones para cada

región de ensamble. Ver figura 5.30.

189


Figura 5.30. Propuesta de construcción de pasillos de ensamble de elementos interiores para las diferentes

regiones de espejos.

Otra posibilidad es la de ensamblar partes de la parábola de manera independiente y

paralela, de manera que facilite la manufactura y ensamble del concentrador. Por ejemplo, se

plantea construir regiones triples con celdas hexagonales y celdas con regiones

complementarias para completar una forma regular del colector solar completa. La última

capa usaría unidades de conexión de forma triangular para facilitar el ensamble general

hexagonal. Ver figura 5.31.

En la propuesta mostrada en la figura 5.31 la región S0 es la superficie base y puede

considerarse como una versión en escala de la parábola. Las regiones S1 a S6 son regiones

simétricas de una sección de parábola. Las regiones R1 a R12 son terminaciones de forma

para el concentrador solar, cada una de estas regiones tienen la curvatura correspondiente

para esta zona.

190

Capítulo 5

Existen varias desventajas al dividir las regiones de ensamble del concentrador. Por ejemplo

el proceso de ensamble de las regiones. Por lo que se plantean otras formas de ensamble de

acuerdo a la geometría.

Figura 5.31. Aproximación del disco usando segmentos tipo tesela.

Otras distribuciones geométricas propuestas usando teselas se muestran en la figura 5.32.

Las teselas originalmente fueron mosaicos construidas a partir de pequeñas piezas, de igual

forma existe una teoría matemática que se refiere a la teselación o repetición de patrones

geométricos sobre una superficie. De igual manera, la figura 5.32 muestra la propuesta de

usar teselas sobre la superficie parabólica del concentrador solar.

Futuros proyectos podrán generalizar el análisis de superficies y analizar tanto geometrías

regulares como irregulares y su relación práctica con el ensamble y el costo.

El potencial de estas estructuras es enorme, pueden de igual manera escalarse

adecuadamente para su utilización en arquitectura (construcción de domos, paredes, etc.),

acústica, maquinado, antenas, telescopios, dispositivos médicos, MEMS y entretenimiento.

Por lo que creemos que la continuación de este trabajo puede ser sumamente útil.

191


Figura 5.32. Formas en que el colector solar puede tomar a partir de regiones de espejos.

5.4.7 Análisis del costo-rendimiento de los colectores solares

El rendimiento de un colector solar puede medirse a partir de su grado de concentración de

192

Capítulo 5

energía en el foco. Este análisis puede encontrarse en [3] y [4], lo que aquí se reproduce

para efectos ilustrativos.

Consideremos un espejo triangular de lado de longitud 'a', localizado en el perímetro del

concentrador; de forma que el círculo circunscrito tiene radio,

r=23 a cos30 º=1

3 a (5.4.5)

La proyección del círculo circunscrito dentro del receptor será una elipse con un diámetro

menor de D'min igual a 2r y un diámetro mayor de

D'max = 2r

cos2 (5.4.6)

donde α es el ángulo de concentración del espejo. Ver figura 5.33.

Figura 5.33. Factores que afectan la concentración de energía en el colector solar.

Para obtener el área que contiene todos los rayos reflejados del espejo triangular, es

necesario corregir el tamaño de la elipse tomando en cuenta la divergencia de los rayos del

193


sol. El valor medio del ángulo de divergencia, σ, para el sol es de 0.009 radianes.

Después de las correcciones, los valores de la elipse serán,

D'min=2r L

D 'max=2r L

cos2 (5.4.7)

de la figura 5.33 vemos que

L F

cos2 (5.4.8)

donde F es la distancia focal del espejo. Por lo que sustituyendo esto en D'min y D'max y

tomando en cuenta la geometría del colector solar, podemos decir que,

Dmin=2r F

cos2 ,

Dmax=

2r F

cos2 cos2

=2r cos2 F

cos22

(5.4.9)

donde

r=3a3 (5.4.10)

Considerando que cada espejo triangular tiene diferente orientación y esto afecta la forma de

contribución energética al punto focal. Considerando que el número de espejos triangulares

(N) se deriva de una progresión aritmética, de forma que N=6n2, donde n es el número de

zonas; el área de concentración solar será dada por,

AC=N a2 sen60º

2=

33n2 a2

2(5.4.11)

donde los 60º vienen de la consideración de máximo ángulo del espejo.

La razón de concentración de energía η puede ser obtenida de la ecuación,

=ACmAr

(5.4.12)

194

Capítulo 5

donde η m es el coeficiente de reflexión de los espejos. A r es el área de colección en el foco y

depende del tamaño del espejo. El factor de concentración máximo se obtiene al reducir A r a

un punto.

El costo de manufactura de un sistema de este tipo es sumamente importante para

determinar su competitividad comercial y factibilidad de fabricación. Un concentrador solar

comercial de 3 metros de diámetro actualmente tiene un costo de fabricación entre $600 y

$900 dólares americanos.

El primer acercamiento al análisis del costo de este tipo colectores solares se hará a partir

del costo del material utilizado. Consideremos que en promedio el costo de un kilogramo de

aluminio es de $2.50 USD, mientras que el costo de un espejo convencional como el

propuesto a utilizar en este sistema es de $12 USD por metro cuadrado.

El estimado del peso depende directamente del número de elementos barra en el colector y

el tamaño de las mismas. Con estos valores será posible calcular el peso total de la

estructura y, por lo tanto, su costo aproximado. Por supuesto que dentro de estos cálculos no

se consideran por ahora datos de los nodos conectores, ni material que quede si usar como

parte del proceso de manufactura.

Numéricamente se ha desarrollado un pequeño programa para el cálculo del peso y de la

cantidad de la colección de energía solar. Como demostración se presenta en la figura 5.33

gráficas del peso del colector solar para diferentes diámetros y cuatro longitudes de la barra

base para el soporte de los espejos planos.

195


Figura 5.34. Peso del concentrador solar para diferentes diámetros y tamaños de la barra base de la estructura

En la figura 5.34 se muestra como la longitud de la barra de la estructura afecta en gran

medida el peso del colector solar y los diferentes tamaños del concentrador. Puede

apreciarse como la función de peso es no lineal y que para diámetros grandes del

concentrador una barra pequeña puede ser contra producente y generar un gran peso.

La figura 5.35 muestra la relación entre el costo total, tamaño del concentrador y el tamaño

de la barra básica de la estructura. El costo también es una función no lineal del los

parámetros geométricos y, como se muestra en esta gráfica, para diámetros mayores de 3

metros, el costo puede duplicarse al usar barras de longitudes pequeñas. Por lo que es

conveniente usar el tamaño adecuado para cada diámetro de colector.

196

1 2 3 4 5 60

100

200

300

400

500

600

700

800

Peso total del disco para varias longitudes de elementos barra

Peso total AL [5cm] Peso total AL [10cm] Peso total AL [15cm] Peso total AL [20cm]

diámetro [m]

Pes

o to

tal i

nclu

yend

o es

pejo

s [k

g]

Capítulo 5

Figura 5.35. relación del costo total, diámetro del concentrador y tamaño de la barra base de la estructura.

La figura 5.36 muestra la razón de concentración en soles para un concentrador de 6 metros

de diámetro y con diferentes distancias focales. Es notable como para el caso en donde el

foco está muy cerca, la concentración es considerablemente mayor, lo que está también

relacionado con el tamaño del espejo. Sin embargo, con una distancia focal pequeña y

espejos también pequeños, el costo y el peso del concentrador son mucho mayores,

provocando que sean inviables económicamente y de un difícil manejo para su construcción,

instalación y mantenimiento.

197

1 2 3 4 5 6$0.00

$200.00

$400.00

$600.00

$800.00

$1,000.00

$1,200.00

$1,400.00

Costo de materiales del concentrador solarUS$ vs m

b=5cm b=10cm b=15cm b=20cm

diametro (m)

Cos

to d

e m

ater

iale

s (U

S$)


Figura 5.36. Factores de concentración de la energía solar en el colector.

Se han desarrollado programas computacionales para el cálculo de estos parámetros, lo que

permite encontrar valores óptimos para dimensiones deseadas del concentrador solar.

Tomando en cuenta que se desea un concentrador con un diámetro específico, con distancia

focal dentro de un rango de valores y una serie de restricciones de peso, costo y

concentración de energía solar.

198

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 70

500

1000

1500

2000

2500

3000

Factores de concentraciónDiámetro 6 metros

0.05 0.1 0.15 0.2

distancia focal (m)

Fact

or d

e co

ncen

traci

ón (s

oles

)

Capítulo 5

5.5 Colaboración y complejidad en micromáquinas en el ensamble automático

Este tópico se considera como enlace para trabajos futuros. En el caso del ensamble

automático de estructuras similares al mostrado en este trabajo en el concentrador solar, es

posible realizar diferentes tareas de forma paralela y coordinar dichas actividades.

Las características principales de un sistema de manufactura con micro máquinas son:

Agentes independientes de control, comunicación local inter-máquinas, Estimación del

estado de otras máquinas con respecto al interno, robustez al cambio de condiciones de

operación.

Los agentes de control son programas que proporcionan autonomía a tareas específicas

dentro de un sistema. Cada agente contiene información sobre el ambiente, el sistema

mismo y el algoritmo que le permitirá realizar la operación para la cual es creado. La

interacción entre agentes puede convertirse en un reto, por lo que se usan reglas simples y

prácticas de comunicación-acción de la red de máquinas.

Los sistemas de comunicación entre micro máquinas son parte esencial de la colaboración

autónoma. En el caso de ensamble de estructuras geométricamente bien definidas como la

del concentrador, es posible usar los algoritmos de ensamble automáticos y permitir mayor

flexibilidad en la comunicación, pudiéndose reducir a simple monitoreo de la operación.

La comunicación es indispensable y un requisito para la flexibilidad del sistema, un buen

sistema de información permite a las máquinas compartir información del entorno, del estado

de operación de las máquinas en sí, del sistema de control y del sistema global. En un

sistema de comunicación hay una serie de parámetros a considerar con el fin de evaluar su

rendimiento, tal como el ancho de banda, la velocidad de transmisión, la robustez al ruido, la

topología de comunicación, la entropía de los canales de comunicación. Estos parámetros

199


deben de evaluarse de acuerdo al número de máquinas interactuando simultáneamente y a

la velocidad de comunicación requerida.

La estimación del estado de otras máquinas con respecto a la propia depende directamente

del modelo matemático y de la cantidad de información disponible de cada uno de los

sensores en el sistema global. Estos algoritmos ven en la geometría de las operaciones, la

física de las máquinas y en los niveles de interacción, tal y como se planteó inicialmente en el

capítulo I. Estos modelos están intrínsecamente relacionados con complejidad y la

construcción de redes de información a un nivel semántico de interpretación.

Finalmente, la robustez del sistema a cambios del ambiente es una característica a evaluar

como parte de la flexibilidad del sistema mismo. Esta característica permite su escalabilidad y

auto-estabilización en caso de que ocurran perturbaciones que puedan ser auto-

regenerativas o catastróficas. Los algoritmos de análisis prueban la red misma de

intercambio de energía e información entre máquinas y controles, cambios en la topología de

la disposición de las máquinas en las operaciones ya sea agregando o quitando unidades de

operación.

Pruebas estadísticas y probabilísticas son indispensables, así como simulaciones fuera de

línea con el fin de evaluar con un bajo riesgo los casos identificados de operación,

perturbaciones y situaciones de eventos a los que el sistema pueda ser afectado.

Este campo sin duda es uno de los mayores campos de desarrollo en un futuro cercano.

Para el control de los robots normalmente se desarrollan modelos basados en máquinas de

estados finitos que incluyen las consideraciones, modelos matemáticos y elementos externos

que puedan modificar las variables internas de las máquinas y del sistema en general.

200

Capítulo 5

Referencias

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Dish, Contractor Report, SAND93-7098 (unlimited release). 1993.

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lifestyle. About Dish/Engine Concentrating Solar Power, August 16, 2005, 7.

http://thefraserdomain.typepad.com/energy/2005/08/about_dishengin.html

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Development of Micro Mirror Solar Concentrator, The 2-nd IASME/WSEAS International

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[5] Kussul E., Baidyk T., Lara F., Saniger J., Bruce N., Estrada C., Micro facet solar

concentrador, International Journal of Sustainable Energy, 2008, Vol.27, Issue 2, pp.61-71.

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Facet Solar Concentrator, The 2-nd IASME/WSEAS International Conference on Energy and

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201


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board inspection system unsing a laser sensor. Report for SONY-Mexico. CINVESTAV-

Mexico Abril, 2010.

202

Conclusiones

CONCLUSIONES

Este ha sido un trabajo interdisciplinario, colaborativo y multi-institucional, a

pesar de las diferentes restricciones de recursos. Estos resultados son el

resultado de varios años de trabajo académico y profesional que se han

combinado con la experiencia y asesoría de diferentes instituciones en

México.

En esta disertación se ha usado un marco teórico basado en el desarrollo

de máquinas inteligentes, modular y escalable, de forma que se consideran

sus componentes de manera integral e inter-relacionados y no separados.

El desarrollo se ha enfocado al análisis de mecanismos de alta precisión

principalmente.

De igual manera, se ha generado un procedimiento de análisis de errores

en micro mecanismos obteniendo una matriz de transformación homogénea

de seis grados de libertad que contiene errores geométricos, de dinámica

lenta y rápida y no linealidades. Este procedimiento puede usarse de igual

manera en mecanismos convencionales y de bajo costo con el fin de

encontrar la mejor estrategia de compensación de estos errores, ya sea por

software o haciendo cambios en la mecánica, sensores o actuadores.

En esta investigación se han analizado diferentes fuentes de

comportamiento dinámico que pueden afectar el rendimiento de una micro

máquina. Incluyendo el desarrollo de software de simulación y métodos de

modelación matemática para la integración en modelos computacionales de

203

Conclusiones

estas máquinas.

En este trabajo se ha optado por el uso de modelos híbridos para la

descripción matemática de micro mecanismos. Esto ha derivado en lo que

creemos es la aportación mas importante, el desarrollo de sistemas

dinámicos conmutables y su estudio. La modelación de máquinas usando

sistemas híbridos permite simulaciones mas reales en condiciones

especificas de operación.

El estudio de sistemas dinámicos conmutables se basa en la discretización

paramétrica de sistemas dinámicos continuos, cambiando o conmutando su

dinámica a partir de una serie de reglas bien establecidas. Estos sistemas

han sido estudiados con propiedades determinísticas y aleatorias,

encontrando propiedades básicas de estabilidad.

La continuación del estudio de las reglas de conmutación condujo al

descubrimiento de sistemas caóticos conmutables con realización en dos

dimensiones, con una dinámica determinística y bastante sencilla. El

potencial de desarrollo y aplicaciones es vasto y sin duda un campo de

estudio muy interesante. En este trabajo también se incluyen progresos en

sistemas aleatorios con potenciales aplicaciones en sistemas complejos,

sociales, biológicos y económicos.

Se ha desarrollado un sistema electrónico de control de movimiento usando

un procesador tipo PIC y programado en Ensamblador en este dispositivo

comunicándose a la PC usando una interface programada en Java. Este

sistema ha sido implementado en una mesa de pruebas para la inspección

automática de la deformación térmica residual en tarjetas electrónicas

usando un sensor láser.

204

Conclusiones

Como parte del desarrollo de métodos de ensable automático de

concentradores solares con micro espejos, se ha hecho un análisis de la

estructura y la geometría del disco concentrador y su relación con el tamaño

de los espejos. El análisis incluye determinar el número de elementos a

ensamblar, el tamaño del espejo con relación al peso y costo total del disco

y los factores de concentración en el foco de la parábola.

Finalmente, el ensamble automático de la estructura básica del

concentrador solar con micro espejos planos propuesto por el grupo del Dr.

Ernst Kussul, es posible usando micro mecanismos y un algoritmo basado

en la pronta identificación de cada uno de los componentes que forman la

estructura: barras, nodos de conexión y espejos, y una disposición

adecuada del dispositivo de ensamble que puede ser un micro manipulador

robótico.

Se han propuesto diferentes estrategias de ensamble, la mas interesante es

la que usa mosaicos o teselas superpuestas sobre la superficie de la

parabola, estas áreas geométricas pueden ensamblarse por separado y de

manera paralela lo que facilitaría el uso de micro manipuladores para el

ensamble de estructuras mas pequeñas que después formarán el disco

concentrador.

205

Conclusiones

206

Recomendaciones y trabajo a futuro

RECOMENDACIONES Y TRABAJO A FUTURO

Este trabajo de investigación tiene varios caminos a seguir, el estudio de sistemas dinámicos

complejos y de sistemas conmutables, el desarrollo e implementación de micro fábricas de

manufactura y ensamble usando las técnicas aquí expuestas y el desarrollo de técnicas para

el diseño y ensamble de estructuras flexibles y complejas como la propuesta en los

concentradores solares expuestos aquí.

En la literatura existen muchas referencias sobre métodos de modelación y simulación de las

fuerzas involucradas en el proceso de maquinado de materiales, sin embargo aun es

necesario realizar pruebas experimentales enfocadas a micro maquinados en diferentes

materiales, involucrando las fuerzas no lineales que aparecen a este nivel.

En el camopo de los sistema dinámicos complejos aplicados en ingeniería hay un gran

número de problemas abiertos e identificados durante la realización de este trabajo de

investigación, empezando por el hecho de que el número de elemntos que interactuan en

cualquier proceso de manufactura (micro o convencional) generan efectos de retardos

internos, retroalimentaciones y dinámica y flujo de energía e información en el sistema como

un todo. Es de esperarse que ciertas condiciones puedan generar inestabilidad o

comportamiento difícil de controlar.

El estudio de sistemas conmutables, deterministicos y no deterministicos, tiene un enorme

potencial en sistemas complejos y sistemas dinámicos no lineales. La esencia de esta

aproximación es la conmutación de las condiciones dinámicas del sistema a partir de una

regla establecida. Tanto las condiciones como la regla de cambio pueden ser aleatorias;

entender bien las reglas y condicionees de cambio nos puede permitir realizar simulaciones

de historias de evolución de la dinámica establecida y determinar las posibilidades de

207

Recomendaciones y trabajo a futuro

alcanzar objetivos deseados. Potenciales campos de aplicación los encontramos en física,

química, economía, ciencias sociales y biología.

En cuanto a las aplicacinoes de ingeniería de este desarrollo, tenemos diversos campos de

desarrollo a diferentes niveles, desde el desarrollo de controladores electrónicos adepatados

a las condiciones físicas de las micro máquinas, desarrollo de métodos de comunicación en

redes de micro máquinas, algoritmos de colaboración en manufactura y ensamble

automático. Iniciando con el desarrollo de infraestructura de desarrollo, sistemas de medición

y evaluación de procesos; por lo que se recomienda realizar inversión en infraestructura de

desarrollo de ingeniería en micro máqunias y micro fábricas enfocadas en aplicaciones de

manufactura. Colaboración nacional e internacional es necesaria para el buen progreso de

estos proyectos.

Finalmente, los desarrollos en el área de tecnologías en energía renovables serán prioritarios

en los años próximos, por lo que tener un paso adelante podría definir inversiones en

investigacióny progresos. En el caso particular de la manufactura de concentradores solares

definitivamente tendrán un gran impacto social y los desarrollos hechos en esta dirección

pueden extenderse a otras fuentes de energía renovable y de baja emisión de partículas de

carbono, como es el caso de energías eólicas.

El uso y desarrollo de herramientas de software en todos estos procesos serán de gran

utilidad para los equipos de investigación y desarrollo. Estas piezas de software podrán

dejarse disponibles bajo licencias creative commons o similares, de manera que la evolución

de futuras versiones de estos paquetes beneficien a la comunidad. Similar propuesta puede

aplicarse en desarrollos industriales.

208

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217


218

Anexo A

ANEXO A

USO DE ENERGÍAS LIMPIAS EN LA VIDA COMÚN

El uso de energías limpias en el planeta es prioritario para disminuir los efectos en el cambio climático

y la energía solar representa una fuente prácticamente ilimitada y muy barata de energía. Desarrollar

tecnología energética que esté al alcance de la mayoría de la gente debe de ser prioridad para cualquier

sociedad en busqueda de una mejor calidad de vida.

En primera instancia debemos de analizar nuestra actual situación y el transfondo cultural que nuestras

actividades diarias tienen. Consideremos por ejemplo la experiencia de cocinar. La mayoría de los

hogares urbanos requieren de gas natural para calentar los alimentos y, en los países en donde el

invierno es mas duro, para calentar los hogares. La energía calórica requerida depende de la

temperatura requerida para cocinar los alimentos y del tiempo en que esta actividad se desarrolla; por

ejemplo, la tabla 1 muestra el umbral de temperatura de ebullición en que aceites naturales usados en

las cocinas.

Tabla 1. Temperaturas de ebullición de diferentes aceites de cocina

Aceite Temperatura de ebulliciónGirasol 120 – 150 °CMaíz 150 – 180 °COlivo 180 – 200 °C

Los valores mostrados en la tabla 1 nos llevan a pensar que una temperatura adecuada en las estufas de

cocina debería de estar alrededor de los 250 a 280 °C. Cuando el aceite sobre pasa su temperatura de

ebullición, empieza a desintegrarse estructuralmente y quemarse, produciendo sustancias tóxicas y

peligrosas para la salud a largo plazo.

A-1

Uso de energías limpias en la vida común

La tabla 2 muestra la energía requerida para calentar en uso doméstico de diferentes fuentes

combustibles y su eficiencia. Podemos ver que el gas natural tiene una eficiencia apenas mayor al 50 %

en cuanto a la energía que se transforma en calor, mientras que la leña en una chimenea convencional

apenas un 10% considerando un gran gasto de biomasa y producción de partículas de carbono que se

van a la atmósfera, contribuyendo con esto al aumento del calentamiento global.

La producción de calor a partir de energía eléctrica se presenta con una eficiencia del 100%, sin

embargo el sentido común nos dice que no es así debido a la eficiencia en la conversión de los

materiales termoeléctricos que no es realmente del 100%.

Tabla 2. Comparación del consumo promedio doméstico en Estados Unidos de diferentes fuentes de energía calórica.

Combustible Valor energético Energía usable en uso

doméstico

eficiencia

Gas Natural 1 millón BTU por 1000

pies cúbicos

650,000 BTU por 1000

pies cúbicos

65%

Propano 92,000 BTU por galón 59800 BTU por galón 65 %Electricidad 3413 BTU por kilowatt-

hora

3413 BTU por kilowatt-

hora

100%

Chimenea convencional 2.45 millones de BTU

por pila de maderos 4 ft

x 4 ft x 8 ft

10 %

Fuente: Fact Sheet F-9441, Heating Your Home with Wood by Joseph F. Gerling and Max R. Craighead, Oklahoma

Cooperative Extension Service-Division of Agricultural Sciences and Natural Resources.

Por otro lado, no se consideran los efectos producidos durante la generación de la energía eléctrica. La

tabla 3 y la figura 1 muestran el origen de la energía eléctrica a nivel mundial y el carbón y los

hidrocarburos representan mas del 50% del origen de toda la electricidad a nivel mundial. El impacto

ambiental, social y político que tiene esto es, indiscutiblemente, de máxima importancia en nuestros

días.

A-2

Anexo A

Tabla 3. Generación mundial de electricidadCarbón 39.0%Petroleo 7.2%Gas 19.1%Nuclear 16.6%Hidráulica 16.2%otras (geotérmica, solar,

eólica, etc) 1.9%Fuente: Agencia Internacional de la EnergíaKey World Energy Statistics 2002

Figura 1. Generación mundial de electricidad.

Regresando a la generación de calor, el consumo doméstico gas natural en México por regiones se

puede apreciar en la tabla 4. De acuerdo a estos datos, existe mayor consumo de gas natural en lugares

desérticos o con alto índice de desarrollo industrial, con lo que podemos deducir que se utiliza en la

generación de electricidad para refrigeración y procesos de fabricación.

A-3

Generación de ElectricidadFuente: Agencia Internacional de Energía 2002

Carbón Petroleo GasNuclear Hidráulica otras

(geotérmica, solar, eólica, etc)


Tabla 4. Consumo de Gas Natural en México

Zona Geografica de

distribución Umbral de consumo por usuario

GJ/mes m3/mes

La Laguna-Durango 1.62 43.98

Cuautitlan-Texcoco 1.68 46.33

Norte de Tamaulipas 2.01 54.41

Puebla-Tlaxcala 1.7 46.95

Ciudad Juarez 6.66 184.15

Rio Panuco 1.45 39.22

Queretaro 1.67 45.62

Guadalajara 1.56 43.68

Toluca 2.6 72.44

Nuevo Laredo 3.62 94.09

Saltillo 3.33 90.56

Monterrey 2.97 80.77

Bajio 1.69 47.1

DistritoFederal 1.59 43.52

Hermosillo 2.59 71.02

Chihuahua 5.69 156.14

Mexicali 1.74 45.5*Información de la Comisión de Regulación de Energía

La factura total del consumo doméstico de gas natural incluye el costo de la adquisición del gas (precio

de gas x consumo en m3), el cargo por servicio, el cargo de distribución volumétrico (precio de

distribución x consumo en m3) y el IVA (Impuesto al Valor Agregado).

Los precios al público de productos petrolíferos y gas natural en México se muestra en la figura 2.

A-4

Anexo A

Figura 2. Precios de gas natural en México. Fuente CRE con datos de Pemex

Todos estos datos nos servirán de referencia para justificar el desarrollo de tecnologías para la

generación, transporte, almacenamiento y uso de energías renovables y limpias (sin generación de

partículas hacia la atmósfera). Tal es el caso de la energía solar, energía eólica y la de las mareas

marinas.

A-5


A-6

Anexo B

ANEXO B

CÓDIGO FUENTE DE SOFTWARE DESARROLLADO

% Este programa resuelve las ecuaciones involucrada% en un proceso de maquinado% Autor: Héctor Domínguez% Liccencia: CC By-NC-SA

clear all close all

% Inicializa y llama el programa de solución% de la ecuación diferencial x0=[0;0;0;0]; tspan=[0 100]; options=odeset('MaxStep',.1);

[t,x]=ode45('milling',tspan,x0,options);

% Grafica resultados figure(1) plot(t,x(:,1),t,x(:,2),':'); title('Velocidad y posición para X') xlabel('Tiempo [s]') figure(2) plot(t,x(:,3),t,x(:,4),':'); title('Velocidad y posición para Y') xlabel('Tiempo [s]') figure(3) plot(x(:,1),x(:,3)); title('posición') xlabel('X [mm]') ylabel('Y [mm]') figure(4) plot(x(:,2),x(:,4)); title('Velocidad') xlabel('X [mm/s]') ylabel('Y [mm/s]') figure(5) plot(x(:,1),x(:,2),':'); title('X - plano fase') figure(6) plot(x(:,3),x(:,4),':'); title('Y - plano fase') figure(7) xn=x(:,1)+0.5*t plot(xn,x(:,3)*0.1+5); title('acabado de la superficie')

B-1

Código fuente de software desarrollado

XFF = fft(x(:,1));

PXFF = XFF.* conj(XFF);

%xlabel('Frecuencia (Hz)')

B-2

Anexo B

function dz = milling(t,z)% Programa que simula el proceso de corte en una% máquina fresadora% El programa está basado en el artículo: % Chaotic dynamics of the cutting process. Igor Grabec. % International Journal of machine tools manufacturing. % Vol 28 No.1 pp. 19-32.1988

% constantes de entrada C1 = 0.3; C2 = 0.7; C3 = 1.5; C4 = 1.2; Ro = 2.2; ho = 0.25; % mm vo = 6.6; % msec^-1 Ko = 0.36; wo = 2.7e4; %sec^1

% entradas: velocidad de alimentación y profundidad de corteVi = 0.5; Hi = 0.5; V = Vi - z(2); H = Hi - z(3);

% Razón de la frecuencia de operación y resonancia A = 1; B = 0.5;

%Amortiguamiento, incrementa el comportamiento no lineal Dx = 0; Dy = 0;

% Fo es requerido para calcular la fuerza de corte Fo = 0.5;

% Fuerza de corte F = Fo*H*(C1*(V-1)^2 +1)*stepU(H)*stepU(V);

%Factor debido a la deformación de sizallamiento plático R = Ro*(C4*(V-1)^2 +1);

% Velocidad de fricción Vf = V - R*z(4);

% coeficiente de fricción K = Ko*(C2*(Vf-1)^2+1)*(C3*(H-1)^2+1)*stepU(F)*sign(Vf);

% serie de ecuaciones diferenciales% en este caso es una serie de ecuaciones lineales dz = zeros(4,1); % a column vector dz(1) = z(2); dz(2) = F - Dx*z(2) - A*z(1); dz(3) = z(4); dz(4) = K*F - Dy*z(4) - A*z(3);

B-3


% Este programa calcula los lóbulos de estabilidad % en un proceso de corte de máquinado% en un proceso de maquinado% Autor: Héctor Domínguez% Liccencia: CC By-NC-SA

close all

Omega = [10;1500]; % Rango del ángulo omega_c = 200; % Frecuencia de chattering Kf = 1e10; % constante de corte omega_n = [250;150]; % Frecuancias naturales para X e Y damp = [0.012;0.01]; % Parámetros de amortiguamiento stiff = [2.26e8;2.13e8]; % Rigidez Theta = [pi/6;-pi/4]; % Ángulos de entrada y salida de la herramienta de corte [lobe,ns,a_lim,n,omega,Real_G,epsilon, PHI] = stabilityLobes(Omega,omega_c,Kf,omega_n,damp,stiff,Theta);

% Grafica resultados

close all

loglog(n(:,2),a_lim,':',n(:,3),a_lim,':',n(:,4),a_lim,':',n(:,5),a_lim,':',n(:,6),a_lim,':',n(:,7),a_lim,':',n(:,8),a_lim,':',ns,lobe);

figure semilogx(omega,Real_G)

figure subplot(2,1,1); plot(lobe) subplot(2,1,2); plot(ns);

B-4

Anexo B

# Este programa está hecho en Python # Aplica la licencia CC By-NC-SA

__author__="H ©ctor Dom ¨nguez Aguirre"√ √__date__ ="$26/11/2009 11:06:55 PM$"

from matplotlib import cmfrom numpy import *from math import *import matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib import rcParamsfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Calcula el n mero de elementos dependiendo el n mero de regiones√∫ √∫

def init_var(regiones,barra,radio,altura,foco):

seq = range(1,regiones+1) indice = sum(seq) bar_A = 36 * indice - 12 * regiones bar_B = 18 * indice - 6 * regiones bar_C = 6 * indice print "Regiones:",regiones print "numero de barras tipo A:", bar_A print "numero de barras tipo B:", bar_B print "numero de barras tipo C:", bar_C print "n mero de barras totales:",bar_A+bar_B+bar_C√∫ #considera una barra de aluminio de longitud 'barra' y 10mm x 3 mm espesor x ajuste de m a mm volumen_barra=barra*3*10*1000 #la densidad del aluminio fundido es de 2.6e-6 kg/mm^3 densidad_AL=2.6e-6 densidad_AS4=1.79e-6 densidad_vidrio=2.5e-6 peso_barra=volumen_barra*densidad_AL*1000 print "peso barra AL unitaria (grs):",peso_barra #considerando que el peso del nodo conector es aproximadamente la mitad de la barra peso_conector=peso_barra/2 print "peso conector (unitario grs):",peso_conector #el peso total sera peso_total=peso_barra*(bar_A+bar_B+bar_C)+peso_conector*(2*bar_C) print "peso total de la estructura (sin espejos kgs):",peso_total/1000 #Calculo para fibra de Carbono peso_barra=volumen_barra*densidad_AS4*1000 print "peso barra AS4 - Fibra de Carbono unitaria (grs):",peso_barra #considerando que el peso del nodo conector es aproximadamente la mitad de la barra peso_conector=peso_barra/2 print "peso conector (unitario grs):",peso_conector #el peso total sera peso_estructura=(peso_barra*(bar_A+bar_B+bar_C)+peso_conector*(2*bar_C))/1000. print "peso total de la estructura AS4 (sin espejos kgs):",peso_estructura #n mero total de espejos√∫ total_espejos=6*regiones**2

B-5


print "n mero total de espejos",total_espejos√∫ #volumen en m^3 area_espejo = sqrt(3)*barra/4.0 espesor_espejo=0.008 volumen_espejo=area_espejo*espesor_espejo #peso en kgs peso_espejo=volumen_espejo*densidad_vidrio*1e6 #Ajuste del peso de espejos peso_espejo=peso_espejo*10 #print "peso de un espejo", peso_espejo," peso total espejos: ", peso_espejo*total_espejos peso_total = peso_estructura + peso_espejo*total_espejos print "peso total: ", peso_total #print "altura: ",altura #valor medio para el sol sigma=0.009 #valor del ndice de reflexi n de los espejos√≠ √≥ eta_espejo=0.9 #c °lculo de distancia de la orilla al foco√ L=sqrt(radio**2 + (foco-altura)**2) # °ngulo del ltimo espejo√ √∫ alpha=2.*atan(radio/L) print "alfa: ", alpha*180./math.pi #c °lculo del °rea total del concentrador solar√ √ Ac=(1.5)*sqrt(3)*regiones**2 * barra**2 #c °lculo del di °metro del receptor√ √ Drmax=(2.*(barra/sqrt(3.))*cos(alpha/2.)+sigma*foco)/(cos(alpha/2.)**2) #print "Dmax :",Drmax #c °lculo del °rea del receptor√ √ Ar=math.pi*Drmax**2/4. print "Ac : ",Ac," Ar: ",Ar #print "Ac : ",Ac #c °lculo del factor de concentraci n en soles√ √≥ eta=Ac*eta_espejo/Ar #imprime factor de concentraci n√≥ print "Factor de concentraci n (Fsoles): ", eta√≥ #precio del material del concentrador costoALporKG=2.50 costoAL=costoALporKG*peso_estructura costoEspejoAreaM2=12 CostoEspejos=costoEspejoAreaM2*Ac CostoTotal=costoAL+CostoEspejos print "Costo del Al: ", costoAL, " Costo de los espejos: ", CostoEspejos print "Costo Total: ", CostoTotal

#implementaci n de una par °bola en forma param ©trica√≥ √ √def disco(radio,foco,barra):

x=zeros(1) y=zeros(1) z=zeros(1) h=zeros(1) xt=0.0 zt=0.0

B-6

Anexo B

t=0.0 region=0 coef=zeros(5) while xt < radio: p=2*foco t1=t coef=calcoef(t1,barra,p) t=solve4d(coef) xt=2*p*t yt=0.0 zt=2*p*t**2 x=append(x,xt) y=append(y,yt) z=append(z,zt) h=append(h,zt) region+=1 for j in range(2,8):for k in range(1,region+1): xt=xt+barra*cos(j*math.pi/3) yt=yt+barra*sin(j*math.pi/3) x=append(x,xt) y=append(y,yt) z=append(z,zt) init_var(int(round(len(h))),barra,radio, max(y), foco) rcParams['font.size'] = 8 fig=plt.figure() ax=fig.add_subplot(111) titulo="X-Y view\nDia = "+str(2*radio)+" F = "+str(foco)+ " bar size = "+str(barra) ax.plot(x,y,'-o',ms=5,lw=2,alpha=0.7,mfc='red', label=titulo) ax.legend() #plt.show() fig2=plt.figure() a2x=fig2.add_subplot(111) titulo="X-Z view\nDia = "+str(2*radio)+" F = "+str(foco)+ " bar size = "+str(barra) a2x.plot(x,z,'-o',ms=5,lw=2,alpha=0.7,mfc='red', label=titulo) a2x.plot([0], [0], [foco], '-o',ms=10,lw=2,alpha=0.7,mfc='blue') a2x.legend() #plt.show() fig3d = plt.figure() bx = Axes3D(fig3d) titulo="3D view\nDia = "+str(2*radio)+" F = "+str(foco)+ " bar size = "+str(barra) bx.plot(x, y, z,'-o',ms=5,lw=2,alpha=0.7,mfc='red', label=titulo) bx.plot([0], [0], [foco], '-o',ms=10,lw=2,alpha=0.7,mfc='blue') bx.legend() plt.show()

# Soluci n de una ecuaci n polinomial de cuarto orden√≥ √≥# ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

def solve4d(c): poly=poly1d([c[0],c[1],c[2],c[3],c[4]],r=0)

B-7


x=poly.r #print max(x.real) return max(x.real)

# Actualiza coeficientes para resolver el siguiente paso parametrizadodef calcoef(t1,L1,p): c=ones(5) c[0]=1.0 c[1]=0.0 c[2]=1-2*t1**2 c[3]=-2*t1 c[4]=t1**4+t1**2-L1**2/(4*p**2) return c

B-8

Anexo C

ANEXO C

HERRAMIENTAS DE DESARROLLO

Esta es una lista del software usado en las simulaciones computacionales desarrolladas en este trabajo de investigación

Ptolemy

Página web: http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/

Descripción:

El proyecto Ptolemy estudia la modelación, simulación y diseño de sistemas concurrentes, tiempo real e incrustrados. El enfoque del proyecto se centra en el ensamble de componentes concurrentes. La clave del proyecto es el uso de modelos computacionales bien definidos que gobiernan la interacción entre los componentes. Un problema mayor en modelos computacionales es la mezcla heterogenea de modelos. El software Ptolemy se ejecuta sobre Java.

Principal uso en la investigación:

El software Ptolemy fue usado en la construcción de modelos híbridos de máquinas y sistemas dinámicos. De igual forma fue esencial para el desarrollo de los ejemplos de dinámica conmutable. El software permite construir modelos computacionales basados en máquinas de estados finitos con dinámica continua internamente. Además permite la visualización en diferentes formas.

Python

Página web: www.python.org/

Descripción:

Python es un lenguaje de programación multiparadigma. Esto significa que más que forzar a

C-1

http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/

http://www.python.org/

Herramientas de desarrollo

los programadores a adoptar un estilo particular de programación, permite varios estilos: programación orientada a objetos, programación estructurada y programación funcional. Otros paradigmas están soportados mediante el uso de extensiones.

Python es un lenguaje de programación muy poderoso que puede aglomerar otros lenguajes como C, C++, Fortran y Java. Cuenta con variadas y diferentes librerías disponibles. Muchas muy poderosas y de gran calidad de programación; por ejemplo, las librerías de cálculo matemático y científico y las de visualización y conectividad en internet o con otros dispositivos.


Python se usó para el modelado dinámico de sistemas robóticos, máquinas y el cálculo de los parámetros de modelación y simulación para el ensamble de los concentradores solares. De igual manera, Python fue usado en el desarrollo del prototipo del sistema de control de movimiento del sistema de inspección automática de tarjetas electrónicas usando un sensor láser.

Matlab

Página web: http://www.mathworks.com/

Descripción:

MATLAB® es un lenguaje de alto nivel y un ambiente interactivo que permite realizar tareas computacionales intensivas. Tradicionalmente, Matlab es un lenguaje usado extensivamente en proyectos académicos, de investigación e ingeniería. El ambiente cuenta con un gran número de librearías de desarrollo muy poderosas, algunas son capaces de servir de interface con hardware de control, monitoreo o computacional. Este software es propietario, lo que quiere decir que se requiere de la compra de una licencia para usarlo y muchas de sus librerías requieren de sus propias licencias de uso.


MATLAB® se uso principalmente en la simulación de las condiciones de corte en un proceso de máquinado y en las simulaciones de control de máquinas, incluyendo Máquinas de control numérico, robots y mecanismos en general.

C-2

http://www.mathworks.com/

Anexo C

Eagle

Página web: http://www.cadsoftusa.com/

Descripción:

EAGLE es un editor de sistemas eléctricos y electrónicos de manera sencilla y poderosa. Contiene un gran número de librerías con componentes disponibles. El nombre de EAGLE viene del acrónimo en inglés: Easily Applicable Graphical Layout Editor

El programa consiste de tres módulos principales:

Editor de CapasEditor esquemáticoAuto ruteador

Los cuales comparten una sola interfase, facilitando con esto la integración de las heramientas.


El paquete EAGLE se uso en el diseño electrónico del sistema de control de movimiento.

Comentarios finales.

De igual forma existen distribuciones de Linux con software específico para aplicacinoes en ingeniería, tal como CAE LINUX. La gran parte de los desarrollos en esta investigación se desarrollaron en UBUNTU LINUX y usando software libre.

C-3

http://www.cadsoftusa.com/

Herramientas de desarrollo

C-4

Anexo D

ANEXO D

PORTADAS DE PUBLICACIONES

Artículos publicados

Hybrid system model and simulation of a CNC machine.Hector Domínguez, Jose Angel Ortega and Valery R. NosovApplied Math III. 8-12 de Octubre del 2007

Estabilidad de un péndulo con conmutacionesValery R. Nossov, Hector Dominguez and Jose A. OrtegaApplied Math II. 8-12 de Octubre del 2007

Complex dynamics in an ideal conmutable pendulumValery R. Nossov, Hector Dominguez and Jose A. Ortega5th Internatinoal conference on electrical engineering, computing science and automatic control 2008. 12-14 de Noviembre del 2008.

Stability of some polinomial equations with delayVelery R. Nosov, Jose A. Ortega and Hector DominguezFunctional Differential Equations. Volume 16, 2009, No. 3-4. pp 584-600

Two dimensional chaos in a random commutable pendulumValery R. Nosov, Hector Dominguez and Jose A, OrtegaIFAC-CHAOS 09. London, UK 22-24 June 2009

On the design of an automatic electronic board inspection system unsing a laser sensorHector Dominguez, Adriano de Luca, and Arturo RedondoReport for SONY-Mexico. CINVESTAV-Mexico. 1 de Marzo, 2010

D-1

Portadas de publicaciones

Documentos listos para publicación

Chaos in a commutable harmonic oscillatorValery R. Nosov, Hector Dominguez and Jose A. Ortega

Continuous realization or arbitrary one dimensional Poincaré mapValery R. Nosov, Hector Dominguez and Jose A. Ortega

Stabilizing chaos in a commutable harmonic oscillatorValery R. Nosov, Hector Dominguez and Jose A. Ortega

Design of an automatic assembly system of a solar collector using micro machines.Hector Dominguez and Jose A. Ortega

Design of an Automatic Inspection System for Printed Circuit Boards using a Laser Sensor Hector Dominguez, Adriano de Luca, and Arturo Redondo

Optimización de colectores solares basados en micro espejosHector Dominguez, José A. Ortega Herrera y Valery R. Nossov

D-2

Anexo D

ARTÍCULOS PUBLICADOS

D-3


D-4

Anexo D

D-5


D-6

Anexo D

D-7


D-8

Anexo D

D-9


D-10

Anexo D

D-11


ARTÍCULOS EN VÍAS DE PUBLICACIÓN

D-12

Anexo D

D-13


D-14

Anexo D

D-15


D-16

Anexo D

D-17


D-18

Anexo E

ANEXO E

TALLERES LIBRES DE ARTES Y TECNOLOGÍAS

El ser humano tiene un largo camino por recorrer aún hacia un mejor reconocimiento de sí mismo entre

sus semejantes y el entorno que lo rodea y que lo ha puesto en donde está. La ciencia y la tecnología

son herramientas que complementan ese camino y proporcionan información para que individual y

colectivamente se generen percepciones, que se podría llamar modelos, de su ser y hacer en el univeso.

Esta constante búsqueda del entendimiento humano debe de ser parte fundamental de cualquier

sociedad; sin embargo, debido al estilo de vida urbano actual, la sociedad vive tiempos dominados por

el consumismo y la dispersión, en lugar de la creación y concentración de esfuerzos. En un mundo con

mas de seis mil millones de personas, viviendo con recursos energéticos limitados y en directa

competencia con el entorno y la naturaleza, es necesario replantear muchos estilos de vida y

costumbres a los cuales hemos llegado como humanidad.

Por eso y como aportación a nuestra sociedad, se plantea la creación de lo que estamos llamando

Talleres Libres de Artes y Tecnologías, los cuales, en esencia, son centros comunitarios de desarrollo

científico y tecnológico. Se plantean dentro de un sistema complejo y distribuido que es nuestra

sociedad, para la exploración de la inteligencia colectiva de la gente a través del entendimiento de

necesidades locales, la solución de éstas usando herramientas científicas, tecnológicas, artísticas y

culturales, y la cooperación como medio de desarrollo y entendimiento, a través del intercambio de

información, experiencia, medios y materiales entre estos talleres libres.

La propuesta es que estos espacios y organizaciones, se conviertan en algo común de la estructura de

una comunidad. Que no dependan de algún organismo público o privado, sino que sean espacios como

ahora lo son los parques, las calles, los ríos o el aire que respiramos. Por supuesto que para poder llegar

a este estado es necesario un gran trabajo de conscientización y de esfuerzo común en una sociedad.

Los Talleres Libres son localizados en su área de operación, con el fin de enfocar esfuerzos y crear un

E-1

Talleres libres de artes y tecnologías

lugar en donde el talento local pueda establecerse sin la necesidad de que tenga que emigrar, dejando a

su comunidad sin ese talento. Al resolver necesidades locales con recursos locales se asegura un mejor

entendimiento de este contexto, de los recursos en la zona, del contexto que origina la necesidad, y esto

asentaría las condiciones para encontrar una solución mas óptima mas rápidamente.

Pero también son distribuidos de manera que se genere una diversidad de conocimiento, esfuerzos y

perspectivas de entendimiento. Para que sea posible compartir estos conocimientos y experiencias, se

plantea una red de intercambio de información y esperiencias usando redes semánticas de información

y un sitestema de reconocimiento de la propiedad intelectual entre los creadores y usuarios. El impacto

de esta red de colaboración se basa en las características que se plantean en los sistemas complejos,

pequeñas perturbaciones pueden crear grandes efectos en un entorno global. Esto es el efecto mariposa.

Los primeros pasos se están dando y se están formado grupos independientes de desarrollo de

proyectos de ciencia y tecnología independientes y con un enfoque social tomando en cuenta el

contexto local y global, el entorno y el impacto que estos esfuerzos pueden ocasionar.

Los talleres libres plantean un ambiente abierto, de intercambio de conocimiento y de experiencias, con

métodos flexibles de reconocimiento de la propiedad intelectual que den opciones a los creados y

dueños de conocimiento, individual o colectivo, de proteger efectivamente el mismo. La propuesta no

pretende competir sino colaborar, y también propone una forma de desarrollo científico y tecnológico

mas cercano a la sociedad, enfocado a la solución de problemas muy locales y puntuales, con

tecnología y ciencia apropiada y apropiable, con el fin de que en un periodo de tiempo corto, poder

crear la ciencia y tecnologías propias.

Si desea saber mas sobre el proyecto, puede consultar la página de internet:

http://www.tallereslibres.org/

E-2

http://www.tallereslibres.org/

Estudio Analisis Dinamico No Lineal y Discreto y Desarrollo de Un Sistema

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