Estructuras de Datos y Algoritmos - Dpto. de Sistemas ... · EDA-4 TEMA 4. Grafos y arboles...

Estructuras de Datos y AlgoritmosFacultad de Informatica

Universidad Politecnica de Valencia

Curso 2009/2010

Tema 4:

Grafos y arboles

FI– UPV: Curso 2009/2010

EDA-4

TEMA 4. Grafos y arboles

Objetivos

• Definiciones, representacion y recorrido de arboles y grafos.

Contenidos

1 Grafos: Definiciones basicas2 Representacion de grafos3 Arboles: Definiciones basicas4 Arboles binarios5 Representacion de arboles6 Recorridos de arboles binarios7 Recorrido de grafos8 Orden topologico en grafos acıclicos

Bibliografıa

• Introduction to Algorithms, de Cormen, Leiserson y Rivest (sec. 5.4, 5.5, 11.4 y 23.1)• Estructuras de datos y algoritmos, de Aho, Hopcroft y Ullman (capıtulos 3, 6 y 7)

FI– UPV: Curso 2009/2010 Pagina 4.1

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1. GRAFOS: DEFINICIONES BASICAS

Grafo dirigido: es un par G = (V,A) donde V es un conjunto finito de elementosllamados vertices y A ⊆ V × V es un conjunto de “pares ordenados” de vertices llamadosaristas.

Si (u, v) es una arista de G, se dice que el vertice v es adyacente a u.

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Grafo no dirigido: es un par G = (V,A) donde V es un conjunto finito de vertices yA ⊆ {{u, v} | u, v ∈ V ∧ v 6= u} es un conjunto de “pares no ordenados” de vertices.

Si a = {u, v} es una arista no dirigida, se dice que a une a u y v y que a incide en u y v.

Si {u, v} es una arista de G, se dice que el vertice v es adyacente a u. La relacion essimetrica.

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4 3

2


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Grado: para todo vertice v,

• grado de entrada es el numero de aristas que inciden en v;• grado de salida es el numero de aristas que emergen de v;• grado es la suma de los grados de entrada y salida de v.

El grado de un grafo es el maximo grado de sus vertices.

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Ejem.: El grado de entrada del vertice 1 es 2; el grado de salida es 1; el grado del vertice es 3. El grado del

grafo es 3.


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Camino desde un vertice u ∈ V a un vertice v ∈ V : es una secuencia 〈v0, v1, . . . , vk〉 devertices de G = (V,A) tal que v0 = u, vk = v, (vi, vi+1) ∈ A, 0 ≤ i < k.La longitud de un camino 〈v0, v1, . . . , vk〉 es el numero de aristas que lo forman.Camino simple: es un camino 〈v0, v1, . . . , vk〉 en el que todos sus vertices son distintos,excepto quizas el primero y el ultimo.Ciclo: es un camino simple 〈v0, v1, . . . , vk〉 tal que v0 = vk y el camino contiene al menosuna arista.Un bucle es un ciclo de longitud 1.

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Ejem.: El camino 〈0, 3, 1, 4〉 es simple y tiene longitud 3. El camino 〈0, 1, 4, 3, 1〉 no es simple.

Ejem.: El camino 〈1, 4, 3, 1〉 es un ciclo de longitud 3. El ciclo 〈5, 5〉 es un bucle.

Grafo acıclico: es un grafo sin ciclos.


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Subgrafo: G′ = (V ′, A′) es un subgrafo de G = (V,A) si V ′ ⊆ V ∧A′ ⊆ A.Subgrafo inducido: Dado V ′ ⊆ V , el subgrafo de G inducido por V ′ es G′ = (V ′, A′)tal que A′ = {(u, v) ∈ A | u, v ∈ V ′}.

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3 4

Subgrafo Subgrafo inducido por V ′ = {0, 1, 3, 4}


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Vertice alcanzable desde un vertice u: es cualquier vertice v para el que existe uncamino de u a v.Las componentes conexas en un grafo no dirigido son las clases de equivalencia devertices segun la relacion “ser alcanzable”.

• Un grafo no dirigido es conexo si ∀u, v ∈ V , v es alcanzable desde u. Es decir, si tieneuna unica componente conexa.

Las componentes fuertemente conexas en un grafo dirigido son las clases deequivalencia de vertices segun la relacion “ser mutuamente alcanzable”.

• Un grafo dirigido es fuertemente conexo si ∀u, v ∈ V , v es alcanzable desde u.

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Grafo completo: es un grafo G = (V,A) en el que ∀u, v ∈ V , u 6= v, (u, v) ∈ A.Grafo etiquetado: es un grafo G = (V,A) acompanado de una funcion f : A → E,donde E es un conjunto cuyas componentes se denominan etiquetas.Grafo ponderado: es un grafo etiquetado con numeros reales (E ≡ R).Un grafo se considera denso si |A| ≈ |V |2.Un grafo se considera disperso si |A| <<< |V |2.


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2. REPRESENTACION DE GRAFOS: Matriz de adyacencias

Un grafo G = (V,A) se representa como G: matriz[V, V ] de booleanos. La componenteG[u, v] es 1 si (u, v) ∈ A; sino G[u, v] = 0.

Memoria: O(|V |2) → grafos densos |A| ≈ |V |2.Tiempo de acceso: O(1). Lista adyacentes: O(|V |). Lista incidentes: O(|V |).

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0

1 0 1 0 0

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1 // Representacion de Grafos: Matriz de adyacencia2 #include <vector>3 #include <iostream>4 using namespace std;5 class grafoDirigidoBitMat {6 int numVert;7 vector<bool> vec;8 int indice(int u, int v) const { return u*numVert+v; }9 public:

10 grafoDirigidoBitMat(int nvert) : numVert(nvert),vec(nvert*nvert) {}11 void insertar_arista(int u, int v) { vec[indice(u,v)] = true; }12 bool existe_arista(int u, int v) const { return vec[indice(u,v)]; }13 void imprime(ostream &s) const;14 };15 void grafoDirigidoBitMat::imprime(ostream &s) const {16 for (int u=0; u < numVert; ++u) {17 for (int v=0; v < numVert; ++v)18 s << ((vec[indice(u,v)]) ? ’1’ : ’0’) << ’ ’;19 s << endl;20 }21 }


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22 ostream& operator << (ostream& s, const grafoDirigidoBitMat &grafo) {23 grafo.imprime(s); return s;24 }25 int main(int argc, char *argv[]) {26 if (argc != 2) {27 cerr << "Uso: " << argv[0] << " maxNodos\n"; exit(0);28 }29 int numVert = atoi(argv[1]);30 grafoDirigidoBitMat gdmat(numVert);31 int u,v;32 while (cin >> u >> v) { // lectura de aristas33 if (0<=u && u<numVert && 0<=v && v<numVert)34 gdmat.insertar_arista(u, v);35 }36 // volcamos la matriz por salida estandar37 cout << "\nMatriz de adyacencia\n" << gdmat << endl;38 return 0;39 }


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2. REPRESENTACION DE GRAFOS: Listas de adyacencia

Un grafo G = (V,A) se representa como un vector de listas de vertices indexado por vertices;es decir, G: vector[V ] de V . Cada componente G[v] es una lista de los vertices emergentesy/o incidentes de/a v ∈ V .

Memoria: O(|V |+ |A|) → grafos dispersos |A| <<< |V |2.Tiempo de acceso: O(grado(G)). Lista adyacentes: O(grado(G)). (Lista incidentes:O(grado(G)) con listas de incidencia.)

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0

1

2

3

4

5

4 5 NIL

1 NIL

3 NIL

5 NIL

4 NIL

1 3 NIL

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2

0

1

2

3

4

3 1 NIL

0

1 4 NIL

4 3 2 NIL

3 0 1 NIL

4 2 1 NIL


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1 // Representacion de Grafos: Listas de adyacencia2 #include <iostream>3 using namespace std;4 class grafoListaAd {5 struct arista {6 int vertice_destino;7 arista *sig;8 arista (int v, arista *s) { vertice_destino=v; sig=s; }9 };

10 int numVert;11 arista **vec;12 public:13 grafoListaAd(int numVert);14 bool existe_arista(int u, int v) const;15 void insertar_arista(int u, int v, bool nueva=false);16 void imprime(ostream &s) const;17 };18 grafoListaAd::grafoListaAd(int numVert) {19 this->numVert = numVert;20 vec = new arista*[numVert];21 for (int i=0; i < numVert; i++) vec[i] = 0;22 }


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23 bool grafoListaAd::existe_arista(int u, int v) const {24 for (const arista *r = vec[u]; r != 0; r = r->sig)25 if (r->vertice_destino == v) return true;26 return false;27 }28 void grafoListaAd::insertar_arista(int u, int v, bool nueva) {29 if (nueva || !existe_arista(u,v))30 vec[u] = new arista(v,vec[u]);31 }32 void grafoListaAd::imprime(ostream &s) const {33 for (int i=0; i < numVert; i++) {34 s << i << ":";35 for (const arista *r = vec[i]; r != 0; r = r->sig) {36 if (r != vec[i]) s << ",";37 s << r->vertice_destino;38 }39 s << endl;40 }41 }42 ostream& operator << (ostream& s, grafoListaAd &grafo) {43 grafo.imprime(s); return s;44 }


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45 int main(int argc, char *argv[]) {46 if (argc != 2) {47 cerr << "Uso: " << argv[0] << " maxNodos\n"; exit(0);48 }49 int numVert = atoi(argv[1]);50 grafoListaAd list_ad(numVert);51 int u,v;52 while (cin >> u >> v) { // lectura de aristas53 if (0 <= u && u < numVert && 0 <= v && v < numVert)54 list_ad.insertar_arista(u, v);55 }56 // volcado por salida estandar57 cout << "\nListas de adyacencia\n" << list_ad << endl;58 return 0;59 }


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Resumen: Representacion de grafos

EspacioMatriz de adyacencia Θ(|V |2)Listas de adyacencia Θ(|V |+ |A|)

Construccion del grafo (u, v) ∈ AMatriz de adyacencia Θ(|V |2) Θ(1)Listas de adyacencia Θ(|V |+ |A|) Θ(grado salida(u))

Recorrido sucesores Recorrido predecesoresMatriz de adyacencia Θ(|V |) Θ(|V |)Listas de adyacencia Θ(grado salida(u)) Θ(|V |+ |A|)Listas de incidencia Θ(|V |+ |A|) Θ(grado entrada(u))


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Ejercicio: Grafo traspuesto

El grafo traspuesto de un grafo dirigido G = (V,A) es un grafoGt = (V,At) donde (u, v) ∈ At si y solo si (v, u) ∈ A. Escribe dosalgoritmos que permitan construir el grafo traspuesto Gt a partirde G:

En el primer algoritmo los grafos se representaran mediantematrices de adyacencia.En el segundo algoritmo los grafos se representaran mediantelistas de adyacencia.

Calcula el coste computacional de los dos algoritmos.


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Se puede modificar el propio grafo:

1 void grafoDirigidoBitMat::trasponer () { // in place2 for (int u=0; u < vertices; ++u)3 for (int v=0; v < u; ++v) {4 bool aux = vec[indice(u,v)];5 vec[indice(u,v)] = vec[indice(v,u)];6 vec[indice(v,u)] = aux;7 }8 }

Coste: Recorrer la matriz Θ(|V |2)


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O bien devolver otra instancia de la clase:

1 grafoListaAd* grafoListaAd::trasponer() const { // devuelve OTRO grafo2 grafoListaAd* resul = new grafoListaAd(numVert);3 for (int u=0; u < numVert; ++u)4 for (const arista *r = vector[u]; r != 0; r = r->sig) {5 int v = r->vertice_destino;6 // le decimos true para no subir el coste innecesariamente:7 resul->insertar_arista(v,u,true);8 }9 return resul;

10 }

Coste: Recorrer la matriz Θ(|V |+ |A|)


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Ejercicio: Cuadrado de un grafo

El cuadrado de un grafo dirigido G = (V,A) se define comoG2 = (V,A′) tal que (u, w) ∈ A′ si y solo si para algun v ∈ V secumple que (u, v) ∈ A y (v, w) ∈ A en el grafo G.

Escribe dos algoritmos para calcular G2 a partir de G, suponien-do que este ultimo esta representado como una matriz deadyacencia y como lista de adyacencia.

Calcula el coste temporal de los algoritmos resultantes, justif-icandolo adecuadamente.


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Solucion con matriz de adyacencia:

1 grafoDirigidoBitMat* grafoDirigidoBitMat::cuadrado() const {2 // devuelve otro grafo3 grafoDirigidoBitMat *resul = new grafoDirigidoBitMat(numVert);4 for (int u=0; u<numVert; ++u)5 for (int v=0; v<numVert; ++v) {6 bool camino=false;7 for (int w=0; w<numVert && !camino; ++w)8 camino = camino || (vec[indice(u,w)] && vec[indice(w,v)]);9 resul->vec[indice(u,v)] = camino;

10 }11 return resul;12 }

Coste:∑|V |

u=1

∑|V |v=1

∑|V |w=1 1 ∈ O(|V |3)


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Solucion con listas de adyacencia:

1 grafoListaAd *grafoListaAd::cuadrado() const {2 grafoListaAd *resul = new grafoListaAd(vertices);3 for (int u=0; u<vertices; ++u)4 for (const arista* r=vec[u]; r!=0; r=r->sig)5 for (const arista* s=vec[r->vertice_destino]; s!=0; s=s->sig)6 resul->insertar_arista(u, s->vertice_destino);7 return resul;8 }


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3. ARBOLES: DEFINICIONES BASICAS

Bosque: es un grafo no dirigido acıclico.

Arbol libre: es un grafo no dirigido acıclico conexo.

Arbol de recubrimiento de un grafo no dirigido G = (V,A): es un arbol libreT = (V ′, A′) tal que V ′ = V y A′ ⊆ A.

Grafo Bosque Arbol


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Teorema (Propiedades de los arboles libres):

Sea G = (V,A) un grafo no dirigido. Los siquientes predicados son equivalentes:

1. G es un arbol libre.2. Cualquier par de vertices esta conectados por un unico camino.3. G es conexo, pero si se elimina cualquier arista de A, el grafo resultante

no es conexo.4. G es conexo y tiene |V | − 1 aristas.5. G es acıclico, y tiene |V | − 1 aristas.6. G es acıclico, pero si se anade una arista, se crea un ciclo.

Arbol


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Arbol enraizado

Un arbol enraizado es un arbol libre con un vertice (o nodo) distinguido denominado raız.

7

3

8 12

10 4

11 2

56 1

9

raíz

Si existe un camino de un nodo x a un nodo y en un arbol T , se dice que x es antecesorde y, y que y es sucesor de x.Si (x, y) es el ultimo arco en el camino desde la raız r del arbol T hasta el nodo y,entonces x es el padre de y, e y es el hijo de x. La raız es el unico nodo en T que notiene padre. Si dos nodos tienen el mismo padre son hermanos.


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Arbol enraizado

Un nodo sin hijos lo denominaremos hoja. El resto son nodos internos.El grado de un nodo es el numero de hijos que tiene.Se llama profundidad de un nodo a la longitud del camino desde la raız a ese nodo.La altura de un arbol es la profundidad del nodo mas profundo.

7

3

8 12

10 4

11 2

56 1

9

profundidad 0

profundidad 1

profundidad 2

profundidad 3

profundidad 4

altura=4


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4. ARBOLES BINARIOS

Un arbol binario es un arbol en el que el maximo numero de hijos de cadanodo es 2 (hijo izquierdo e hijo derecho).

3

2

4 1

7

5

6

profundidad 0

profundidad 1

profundidad 2

profundidad 3

altura=3

Un arbol binario se dice que es completo (o lleno) si todas las hojas tienenla misma profundidad y todos los nodos internos tienen grado 2.Un arbol binario es casi-completo si el arbol es completo, a excepcion quizasen el nivel de las hojas, en el cual todas las hojas estan tan a la izquierdacomo sea posible.


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Propiedades de los arboles binarios completos

0

1

2

3

h=3

1=2_0

2=2_1

4=2_2

8=2_3

profundidad num. nodos

Arbol binario completo de altura h = 3, con 8 hojas y 7 nodos internos

Numero de nodos: La raız tiene 2 hijos de profundidad 1, cada uno de los cuales tienen 2hijos de profundidad 2, etc. → Nodos de profundidad i = 2i.

hojas: 2h y nodos internos: 20 + 21 + · · ·+ 2h−1 =∑h−1

i=0 2i = 2h − 1

nodos total: n =∑h

i=0 2i = 2h+1 − 1

. . . y la altura

n = 2h+1 − 1 → h = blog2 nc


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Propiedades de los arboles binarios

El maximo numero de nodos de profundidad i es 2i.

El maximo numero de nodos en un arbol binario de altura h es2h+1− 1. El maximo numero de nodos internos es 2h− 1. El maximonumero de hojas es 2h.

La altura mınima de un arbol binario con n nodos es blog2 nc.Para cualquier arbol binario no vacıo, si n0 es el numero de hojas yn2 es el numero de nodos de grado 2, entonces n0 = n2 + 1.

Ejercicio. Arboles k-arios. Un arbol k-ario es un arbol en el que elmaximo numero de hijos de cada nodo es k (ası, un arbol binario es unarbol k-ario con k = 2). ¿Cuantas hojas tiene un arbol k-ario completode altura h? ¿Y cuantos nodos internos?


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5. REPRESENTACION DE ARBOLES

Arboles (numero de hijos sin acotar)

• Listas (ordenadas) de hijos.

• Hijo mas a la izquierda-Hermano derecha: variables dinamicaso vectores.

• Con vectores y direccion del padre.

• Otros . . .

Arboles binarios

• Hijo izquierdo e Hijo derecho para cada nodo: variablesdinamicas o vectores.

• Arbol binario (casi-completo): vector (“heaps”).

• Otros . . .


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Listas (ordenadas) de hijos

1

3

10

5 6 7 11 12

2 9

4 8

1

2

3

4

5

6

7

10

8

9

10

11

12

NIL

5 6 NIL7

NIL

11 12NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

2 3 NIL9

4 8 NIL

raíz


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Hijo mas a la izquierda-Hermano derecha: variables dinamicas o vectores

B I

D H

A

C

J

E F G K L

2

3

4

....

8

9

10

....

12

13

14

16

17

....

15

K

F

L

E

16

12

7

15

3

17

8

NIL

NIL

13

NIL

14

C

D

A

H

I

G

J

10

9

2B

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

raíz

clavehizq her_d

A

C

E F G K L

D H

B I

J

raíz

hizq her_dclave


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Con vectores y direccion del padre

1

10

5 6 7 11 12

4 8

2 91

10

5 6 7 11 12

4 8

2 9

33

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3 3 31 1 94 4 4 10 103

El nodo i es la raız del arbol si T [i] = i. Cada nodo apunta a supadre: T [i] = padre(i).


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Arboles binarios: variables dinamicas o vectores(opcionalmente, puntero al padre)

C

B

D A

G

E

F

2

3

4

....

8

9

10

....

12

13

14

16

17

....

15 F

E

15

3

17

A

D

C

G

2B

NIL

12

NIL

raíz 8

NIL NIL

NIL

NIL NIL

NIL

clavehderhizq

C

B

D A E

F

G

hizq hderclave

raíz


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Arboles binarios (casi-completos): vector

raiz: T[1]padre[i]=[i/2]hizquierdo[i]=2ihderecho[i]=2i+1

A

B C

G

KH I J L

FED

1

5

8 9 10 11 12

6 7

32

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A ID H JE F G K L

13 14 ...

CB

hizquierdotalla=12raíz

padre

hderechoFI– UPV: Curso 2009/2010 Pagina 4.35

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6. RECORRIDOS DE ARBOLES BINARIOS

A veces puede interesar un recorrido sistematico y eficiente de todos los nodos del arbol.

A

B C

D E F

GH I

J

Recorrido en preorden: A B D E H J I C F G

Recorrido en inorden: D B H J E I A F G C

Recorrido en postorden: D J H I E B G F C A

Recorrido en niveles: A B C D E F H I G J

Coste de todos los algoritmos Θ(n), siendo n el numero de nodos del arbol → despues de lallamada inicial, la funcion se llama recursivamente exactamente 2 veces para cada nodo delarbol: una vez para su hijo izquierdo y otra para su hijo derecho.


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6. Recorridos de arboles binarios: PREORDEN

La clave de la raız se imprime antes de los valores de sus subarboles

A

B C

D E F

GH I

J

9 void nodo_abb::preorden() {10 cout << valor << endl;11 if (h_izq != 0) h_izq->preorden();12 if (h_der != 0) h_der->preorden();13 }


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6. Recorridos de arboles binarios: INORDEN

La clave de la raız se imprime entre los valores de su subarbol izquierdo y derecho

A

B C

D E F

GH I

J

14 void nodo_abb::inorden() {15 if (h_izq != 0) h_izq->inorden();16 cout << valor << endl;17 if (h_der != 0) h_der->inorden();18 }


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6. Recorridos de arboles binarios: POSTORDEN

La clave de la raız se imprime despues de los valores de sus subarboles

A

B C

D E F

GH I

J

19 void nodo_abb::postorden() {20 if (h_izq != 0) h_izq->postorden();21 if (h_der != 0) h_der->postorden();22 cout << valor << endl;23 }


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6. Recorridos de arboles binarios: NIVELES

En lugar de una pila (recursion) se utiliza una cola.

24 void abb::por_niveles() {25 cola *c = new cola(); // una cola de nodo_abb*26 nodo_abb *n;27 c->insertar(raiz);28 while (c->extraer(n)) {29 if (n != 0) { // se puede poner if (n) {30 cout << n->valor << endl;31 c->insertar(n->h_izq);32 c->insertar(n->h_der);33 }34 }35 delete c;36 }


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Ejemplo arboles binarios: arbol de expresiones

Utilizacion de la estructura AB para representar expresiones aritmeticas con operadoresbinarios.

raız: operador principal

nodos internos: operadores de subexpresiones

hojas: operandos

(niveles: precedencia relativa de evaluacion)

x

+ -

e

a b

dc/

Recorrido en preorden: × + / a b c − d enotacion prefija o polaca

Recorrido en inorden: (((a/b) + c) × (d−e))notacion infija

Recorrido en postorden: a b / c + d e − ×notacion postfija o polaca inversa


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7. RECORRIDOS DE GRAFOS

Metodo para recorrer de forma sistematica y eficiente un grafo.

Recorrido en profundidad: generalizacion del recorrido en preorden deun arbol

Recorrido en amplitud: generalizacion del recorrido en niveles de unarbol

En todos los algoritmos de recorrido de grafos supondremos que el grafoesta implementado con listas de adyacencia.


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Recorrido en profundidad de un grafo

Dado un grafo G = (V,A) y un vertice v ∈ V , la estrategia de recorridoen profundidad (Depth-First Search (DFS)), explora sistematicamentelas aristas de G de manera que primero se visitan los vertices adyacentesa los visitados mas recientemente. De esta forma, se va profundizandoen el grafo; es decir, alejandose progresivamente de v.Este proceso continua hasta que todos los vertices alcanzables desde elvertice de la llamada original han sido descubiertos.Esta estrategia admite una implementacion simple de forma recursiva yproporciona:

Ordenamientos de los vertices.

Clasificacion de las aristas.

Algunas aplicaciones:

Calcular un posible orden topologico y comprobar si el grafo es acıclico.

Encontrar las componentes fuertemente conexas de un grafo.


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El algoritmo DFS asocia los siguientes datos a cada vertice v del grafo:

d[v] ⇒ instante en que el vertice v es descubierto

f[v] ⇒ instante en que finaliza la exploracion del vertice v

pr[v] ⇒ el vertice predecesor de v en el arbol generado (arbol deexploracion primero en profundidad, es un subgrafo del grafo original).

El color asociado al vertice, que puede ser de 3 tipos:

• WHITE ⇒ cuando nunca ha sido explorado,

• GRAY ⇒ mientras esta siendo explorado,

• BLACK ⇒ cuando ya ha sido explorado.

Al principio todos los vertices se ponen de color WHITE. Se utiliza unatributo time como contador para marcar los instantes.


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1 void grafo::dfs_visit(int u) {// algoritmo recursivo del DFS2 color[u] = GRAY;3 d[u] = ++time;4 for (arista *r = vec[u]; r != 0; r = r->sig) {5 int v = r->vertice_destino;6 if (color[v] == WHITE) { pr[v] = u;7 dfs_visit(v); }8 }9 color[u] = BLACK;

10 f[u] = ++time;11 }12 void grafo::dfs() {13 for (int u=0; u < numVert; ++u) { color[u] = WHITE;14 pr[u] = -1; }15 time = 0;16 for (int u=0; u < numVert; ++u)17 if (color[u] == WHITE) dfs_visit(u);18 }

Coste Θ(|V |+ |A|)


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Recorrido en profundidad de un grafo: Ejemplo

Grafo:8 verticesaristas:0 10 20 30 41 42 33 13 45 66 75 77 5


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dfs_visit(0)(0,4) is a TREE EDGEdfs_visit(4)(0,3) is a TREE EDGEdfs_visit(3)

(3,4) is a FORWARD/CROSS EDGE(3,1) is a TREE EDGEdfs_visit(1)


(2,3) is a FORWARD/CROSS EDGE(0,1) is a FORWARD/CROSS EDGE

dfs_visit(5)(5,7) is a TREE EDGEdfs_visit(7)

(7,5) is a BACK EDGE(5,6) is a TREE EDGEdfs_visit(6)

(6,7) is a FORWARD/CROSS EDGE


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v d[v] f[v] pr[v]0 1 10 -11 5 6 32 8 9 03 4 7 04 2 3 05 11 16 -16 14 15 57 12 13 5


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Clasificacion de las aristas. Una arista (u, v) es de tipo:

TREE o del arbol: si el vertice v ha sido descubierto a traves dedicha arista. Estas aristas definen el bosque del recorrido primero enprofundidad, formado por uno o mas arboles.

BACK o hacia atras: si v es un antecesor de u en el arbol del recorridoprimero en profundidad.

FORWARD o hacia adelante: si v es un descendiente de u en el arboldel recorrido primero en profundidad.

CROSS o de cruce: ningun vertice es antecesor del otro.

El recorrido DFS puede ser utilizado para clasificar las aristas a medidaque las va procesando. Cuando desde un vertice u se considera la arista(u, v), se puede observar el color del vertice destino v:

WHITE indica que es una arista del arbol o TREE.

GRAY indica que es una arista hacia atras o BACK.

BLACK indica que es hacia delante o de cruce. Si d[u] < d[v] es haciadelante y si d[u] > d[v] es de cruce.


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Relacion de tipo “parentesis”: en la busqueda primero en profundidad,dados dos vertices del grafo u y v, se cumple exactamente una de estastres posibilidades:

los intervalos [d[u], f [u]] y [d[v], f [v]] son enteramente disjuntos. Eneste caso, ni u es descendiente de v en el arbol DFS ni v descendientede u.

el intervalo [d[u], f [u]] esta contenido enteramente dentro del inter-valor [d[v], f [v]] y u es descendiente de v en el arbol DFS.

el intervalo [d[v], f [v]] esta contenido enteramente dentro del intervalor[d[u], f [u]] y v es descendiente de u en el arbol DFS.

La relacion de estos intervalos tambien sirve para clasificar las aristas,ası la arista (u, v) es:

del arbol si d[u] < d[v] < f [v] < f [u]hacia atras si d[v] < d[u] < f [u] < f [v]de cruce si d[v] < f [v] < d[u] < f [u]


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Orden topologico

Un orden topologico de un grafo dirigido acıclico G = (V,A) es unaordenacion de los vertices de forma que si (u, v) ∈ A, entonces u apareceantes que v. (La solucion no es unica.) Ejem.: prerrequisitos de losestudios.

¡No es posible la ordenacion topologica cuando existen ciclos!

c

b

ed

a

a b d e c

d a e b c

Orden no unico.Ordenacion de vertices en eje horizontal con las aristas de izquierda a derecha.


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Orden topologico

Dado un grafo G = (V,A), el DFS puede usarse para determinar si esacıclico y, en ese caso, obtener un orden topologico.

El grafo es acıclico si no tiene ninguna arista hacia atras.

El orden en que finaliza la exploracion de los vertices (valor guardadoen f [v]) es un orden topologico invertido.

1 void grafo::dfs_visit(int u) {2 color[u] = GRAY;3 d[u] = ++time;4 for (arista *r = vec[u]; r != 0; r = r->sig) {5 int v = r->vertice_destino;6 if (color[v] == WHITE) { pr[v] = u;7 dfs_visit(v);8 } else if (color[v] == GRAY) es_aciclico = false;9 } // es_aciclico esta a true antes de empezar DFS

10 color[u] = BLACK;11 f[u] = time;12 topologic_sort.push_front(u); // insertar al ppio13 }


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Recorrido en profundidad de un grafo: Ejemplo 2

Grafo:110 10 21 32 43 23 43 55 74 64 71 81 98 109 10

dfs_visit(0)(0,2) is a TREE EDGEdfs_visit(2)

(2,4) is a TREE EDGEdfs_visit(4)

(4,7) is a TREE EDGEdfs_visit(7)(4,6) is a TREE EDGEdfs_visit(6)







(5,7) is a FORWARD/CROSS EDGE(3,4) is a FORWARD/CROSS EDGE(3,2) is a FORWARD/CROSS EDGE


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Recorrido en profundidad de un grafo: Ejemplo 2

v d[v] f[v] pr[v]0 1 22 -11 10 21 02 2 9 03 17 20 14 3 8 25 18 19 36 6 7 47 4 5 48 15 16 19 11 14 110 12 13 9

Un posible orden topologico: 0 1 3 5 8 9 10 2 4 6 7


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Otro algoritmo para el orden topologico, sin DFS

1 void grafo::orden_topologico_sin_dfs() { // test aciclicidad2 int u,v; arista *r;3 for (v=0; v < numVert; ++v) grado_entrada[v] = 0;4 for (v=0; v < numVert; ++v)5 for (r = vec[v]; r != 0; r = r->sig)6 grado_entrada[r->vertice_destino]++;7 col->vaciar();8 for (v=0; v < numVert; v++)9 if (grado_entrada[v] == 0) col->insertar(v);

10 for (n = 0; col->extraer(u); n++) {11 topologic_sort.push_back(u); // insertar al final12 for (arista *r = vec[u]; r != 0; r = r->sig) {13 grado_entrada[r->vertice_destino]--;14 if (grado_entrada[r->vertice_destino] == 0)15 col->insertar(r->vertice_destino);16 }17 }18 es_aciclico = (n == numVert);19 }


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Recorrido en amplitud de un grafo

Dado un grafo G = (V,A) y un vertice s ∈ V , la estrategia derecorrido en amplitud o en anchura (Breadth-First Search (BFS)),explora sistematicamente las aristas de G de manera que primero sevisitan los vertices mas cercanos a v.

Algunos algoritmos importantes de grafos tienen una estructura similaral BFS. Por ejemplo, el algoritmo de Prim para encontrar el arbol deexpansion de mınimo coste, o el algoritmo de Dijkstra para encontrarlos caminos mas cortos desde un vertice dado.

El algoritmo BFS explora todos los vertices a distancia k del verticeorigen s antes de empezar a explorar los vertices a distancia k + 1.Al igual que DFS, se utiliza un vector de tipo “color” para marcar losvertices del grafo como no visitados (WHITE), visitandose (GRAY) oya visitados (BLACK).

Tambien se genera un vector de predecesores para obtener un arbol.


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Recorrido en amplitud de un grafo

1 void grafo::bfs(int vertice) {2 cola.clear();3 for (int u=0; u < numVert; ++u) {4 color[u]=WHITE; pr[u]=-1; d[u]=numVert+1;5 // numVert+1> cualquier distancia en el grafo6 }7 cola.push_back(vertice);8 d[vertice] = 0;9 while (!cola.empty()) {

10 int u = cola.front(); cola.pop_front(); // extraer11 for (arista *r = vec[u]; r != 0; r = r->sig) {12 int v = r->vertice_destino;13 if (color[v] == WHITE) {14 color[v]=GRAY; d[v]=d[u]+1; pr[v]=u;15 cola.push_back(v);16 }17 }18 color[u] = BLACK;19 }20 }


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Recorrido en amplitud de un grafo: Ejemplo

Grafo:110 10 21 32 43 23 43 55 74 64 71 81 98 109 10


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Recorrido en amplitud de un grafo: Ejemplo

Cola: salen< 0 <entranCola: salen< 2 1 <entranCola: salen< 1 4 <entranCola: salen< 4 9 8 3 <entranCola: salen< 9 8 3 7 6 <entranCola: salen< 8 3 7 6 10 <entranCola: salen< 3 7 6 10 <entranCola: salen< 7 6 10 5 <entranCola: salen< 6 10 5 <entranCola: salen< 10 5 <entranCola: salen< 5 <entran

v d[v] pr[v]0 0 -11 1 02 1 03 2 14 2 25 3 36 3 47 3 48 2 19 2 110 3 9


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