Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
of 91
Transcript of Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
1/91
C PITULO
FL XION
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
2/91
apíllllo2 Flexión
C PITULO ::
FL XiÓN
Trataremos este tema de
la
flexión para las vigas de concreto reforzado por dos
procedimientos, en su orden:
el
método de diseño elástico también conocido como de los
esfuerzos de trabajo o
de
los esfuerzos admisibles y
el
denominado método
e
la resistencia
o de
la
resistencia última.
METODO ELASTICO
Generalidades
Se presenta el Método Elástico aquí por las siguientes razones principales :
El
Código del Instituto Americano del Concreto ACI-3 l 8-83, que es uno de los
documentos que sirvió de base para
la
elaboración del primer Código Colombiano de
Construcciones Sismo Resistentes CSR-84, así como
el
actualmente vigente ACI-318-
95, aceptan este método como una alternativa de diseño.
2
La Norma actual Colombiana NSR-98, en su Apéndice C-A, también lo acepta como
un
procedimiento alterno para el disciio a
la
flexión.
3. Muchas estructuras se han diseñado y se seguirán diseñando con este método por lo
que consideramos indispensable su conocimiento por parte del profesional en ejercicio
4
Su estudio es de especial importancia en
la
formación académica de los estudiantes de
esta área.
Existen dos hipótesis fundamentales en
la
teoría elástica y por consiguiente en su aplicación
a
la
viga de concreto:
-
La
sección de una viga sometida a flexión es plana antes y después de cargada o
deformada. Se concluye entonces que las deformaciones de las fibras son proporcionales a
su distancia al eje neutro.
- Las deformaciones de las fibras son proporcionales a los esfuerzos que las deforman con
una constante de proporcionalidad que es el Módulo de Elasticidad Ley de Hooke).
9
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
3/91
Estructuras de Concreto 1 _ _ _
La aplicación de estas hipótesis para una sección rectangular b x h) homogénea y elástica
en equilibrio implicaría diagramas de deformaciones y esfuerzos según esquemas adjuntos:
Figura
2 1
El momento interior resistente, igual al exterior actuante, será:
M = C ~ h = T ~ h
3 3
1 h 1en donde
e
= T = - * tb * - = -
t h
2 2 4
expresión esta similar a la obtenida en la aplicación
de la fórmula de la flexión:
f
Mc
3
f
h
M
=
2_
=
tbh
2
h 6
2
que nos permite diseñar obtener b x h) en una sección homogénea y elástica a partir del
momento actuante M, si se conoce el esfuerzo admisible o de trabajo f.
Al aplicar la teoría anterior a una viga de sólo concreto cargándola gradualmente, muy
pronto nos encontramos con el agrietamiento del concreto a la tracción que nos obliga a
reemplazarlo en el diagrama de esfuerzos p r
un
refuerzo metálico en una proporción tal
que su trabajo corresponda a esfuerzos y deformaciones admisibles. Por otra parte, aunque
las deformaciones del concreto a la compresión no son proporcionales a las cargas que las
producen, para un rango de esfuerzos pequeños
la
curva esfuerzos-deformaciones se acerca
10
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
4/91
-
- -
-
apítulo
2 Flex ión
a
la
recta y puede aceptarse la ley de variación lineal de los esfuerzos. De esta manera
tenemos entonces
el
denomina
do
método de diseño elástico, método de los esfuerzos de
trabajo o de los esfuerzos admisibles.
l
variar la proporción del acero en
la
sección producimos las siguientes clases de diseño
dentro del citado método elástico:
Diseño Balanceado:
Los materiales se han proporcionado de tal forma que los esfuerzos obtenidos para ambos,
concreto y refuerzo, son los de trabajo . Se supone entonces que
al
llevar a
la
falla una
sección así diseñada, esta se produciría simultáneamente para el concreto y su refuerzo.
Diseño sobre-reforzado:
La proporción del refuerzo
es
excesiva en la sección, de tal manera que
si
se llevara a
la
falla, esta se iniciaría en
el
concreto falla súbita).
Diseño sub-reforzado:
La proporción del refuerzo
es
escasa en la sección, de tal manera que si se llevara a la falla,
esta se iniciaría en el acero falla lenta).
Diseño Optimo:
Es un diseño sub-reforzado en donde
la
proporción final en los materiales obedece a un
estudio de costos.
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
5/91
Est ru
cturas de Cllllcreto I
METono
EL STICO
VIGAS RECTANGULARES CON ARMADURA A
LA
TRACCION
Generalidades
Se deducirán las principales
expre
siones utilizables para el diseño de vigas rectangulares
con armadura a la tracción, según el método elástico , y su fónna de tabulación.
A partir dcl funcionamiento de la sección con sus diagramas de esfuerzos
y dc ónnacione
s
según
la
figura:
f
r--- --t
T
T
3kd
el
d
h
d
k
i
·k
----
-Jo-
As
CORTE LONGITUDINAL
CORTE TR NSVERS L DIAGRAMA
DE
DEFORMACIONES
Figura 2.2
en donde denominamos:
d
=
Altura efectiva: distancia de la fibra más comprimida al centro de gravedad de las áreas
de
refucrzo
de tracción en secciones sometidas a flexión,
k = Constante menor
que
la unidad que multiplicada por la altura efectiva equivale a la
profundidad (kd) del eje neutro,
J =
Constante menor que la unidad
que
multiplicada por la altura efectiva equivale al brazo
Ud
) del pa r interior resistente,
fe = Esfuerzo máximo admisible o de trabajo del concreto a compresión,
fs
= Esfuerzo máximo admisible o de trabajo del acero a tracción,
obtenemos:
a) Del diagrama de d
'forma
ciones:
12
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
6/91
d - kd kd
y
f
= * k
e n
1- k
f.
p - \..
-
- --
Ec
__
__ apitulo 2 Flex ión
y
I )
expresiones que nos relacionan los esfuerzos en los materiales con la profundidad del
eje neutro.
f.
Llamando r =..2. obtenemos:
fe
I k
r= n
y
k
n r
(
2
o sea, la profundidad del ej e neutro para
el
caso en que conocemos los esfuerzos a los
cuales cstán trabajando los materiales, como en
cl
caso del diseño balan ceado.
b) Del corte longitudinal de
la
viga:
. k
J=
1
3
c) A partir de la igualdad
e
=
T:
en donde:
, As Area del refuerzo
p = cuantHl del refuerzo = ---- - = -
k
P
= - -
r
bd Area útil
(3)
4)
expresión que relaciona la cuantía del refuerzo con la profund idad dcl eje neutro
y
los
esfuerzos a los cuales estarán traba
jand
o los ma teriales así proporcionados en la
sección.
d) De ( 1 Y (4) obtenemos:
k
2
+
2npk - 2np = O
3
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
7/91
Estructuras
de COllcreto 1
Expresando la
prof
und
id
ad del eje neutro en función de
la
cantidad
de
refuerzo en la
sección se
ti
ene:
k - np + , (np 2
+
2np
(5)
e) Finalmente, a partir de Momento Exterior actuante
p
la
nteamos:
Momento Interior resistente,
M Tjd == Cjd
Para
el
primer caso:
M
A
s
f -d
sJ
M
' AJsjd
, de donde:
(6)
Para el
segundo
caso: M
I
fekjbd
2,
en
donde si
reemplazamos
fe Y
en función de k y k
2
en función de p , obtenemos un programa de diseño con p en función del momento
M_
I
Por otra parte, si llamamos K fckj, nos resulta
una
expresión tabulable en K de utilidad
2
para el diseño
por
esta modalidad:
(7)
1 ,M
De aquí
podemos
obtener: d ---=- ;
K b
1
en donde si k2 entonces:
En
el
proceso de tabulación antes mencionado procedemos
k -
np +
(np)2
+ 2np,
-
1-
f k
K I
f
k-
J 3 n
I - k 2
eJ
K
(8)
a partir
de
p calculando
I
y
k2 - _Una
muestra
K
de las tablas as í obtenidas se encuentra anexa en
el
Apéndice del presente texto_
A continuación aplicaremos las fórmulas antes deducidas en problemas de diseíio y revisión
de secciones rectangulares de concreto reforzado con armadura a
la
tracción, empezando
por los de revisión en atención a consideraciones didácticas_
4
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
8/91
apítulo
2 Flexión
Problema 2.1
Revisar el diseño a flexión para momento máximo en el centro de la luz de 8 metros de una
viga simplemente apoyada sometida a carga uniforme, determinando el momento resistente,
la carga w en kN/m que puede soportar en condiciones de seguridad y los esfuerzos a que
estarán trabajando los materiales, de acuerdo a la sección y datos adjuntos:
0.
50
Figura 2.3
Concreto : =
Refuerzo:
fy
=
n
21.1 MPa (211 kgf/cm
2
)
120 MPa (1200 kgf/cm
2
)
11.2
NOTAS: Para
la
distribución del refuerzo en la sección, se deben tener -en cuenta las
siguientes recomendaciones de la Norma NSR-98 sobre recubrimiento de las
annaduras y separación libre entre barras:
1) Refuerzo principal :
Estribos y espirales:
40
30
2) La separación libre entre las barras paralelas colocadas en una fila o capa no debe ser
menor que el diámetro db de la barra, ni menor de 25 mm ni menor de 1.33 veces el
tamaño del agregado grueso.
(Véase Secciones C.7.6 y C.7.7 de la NSR-98).
Solución:
Se trata de obtener los momentos resistentes por acero y
por
concreto de la
sección, determinar el admisible y a partir _de este, la carga w en kN/m y los
esfuerzos en los materiales, así :
1 Momentos resistentes por acero y concreto, Ms Y Me Y momento resistente de la
sección.
Para calcular estos momentos debemos conocer antes k y j a partir de p:
= As = · 0.000387 =0.011727
P bd 0 30 0.44
15
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
9/91
Estructuras de Concreto 1 _ _
k =
-np
+ 1 + 2np
= -11.2 0.011727 + * 0.011727 1 + 2 * 11.2 * 0.011727 = 0.397747
kd (profundidad del eje neutro) = 0.175 m
j = 1- ~ =
Q } 9 ~ ~
= 0.867418
3 3
jd (brazo del par interior resistente) = 0.382 m
Ahora:
Momento resistente admisible, en unidades
de
kN·m, según
el
acero de refuerzo a
la
tracción, M
s
:
Ms = T jd = Asfs * jd =4*0.000387*120000*0.867418*0.44
= 70.90 kN·m (7.09 tr-m)
Momento resistente admisible, también en unidades de kN m, según el concreto a la
compresión, M c :
Me
= C jd =
1 fe
kjbd
2
=
1
*9500*0.397747*0.867418*0.30*0.44
2
2 2
= 95.18 kNm (9.52 tr-m)
El
momento resistente de la sección será el menor de los dos calculados, esto es, el
momento resistente admisible según el acero de refuerzo a la tracción: Ms =70.90 kN ·m
(7.09 tr-m) (diseño sub-reforzado).
La conclusión sobre el diseño como sub-reforzado
la
hubiéramos podido tener con
anterioridad evitándonos el cálculo
de Me
al comparar
la
p actual con
la
p balanceada:
k
Pbalanceada = 2r
n 11.2
en donde k = = 120 = 0.4700
n+r 11.2+ -
9.5
0.4700
Pbalanceada =
- -2 ·
= 0.018604 > Pactual = 0.011727
2 -
9.5
2) Carga a soportar en condiciones de seguridad:
16
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
10/91
_ _
apítulo 2 Flexión
M
actuante =
M
resistente
2
*82
= = 70.90 kNm :. w = 8.86 kN/m 0.886 tf/m)
8 8
w
exterior actuante =
w
total - peso propio de la viga:
w exterior actuante = 8.86 - 0.30*0.50* 1.00*24 = 5.26 kN/m
La carga exterior a la viga que puede soportar en condiciones de seguridad resulta de 5.26
kN/m 0.526 tf/m).
3) Esfuerzos de trabajo de los materiales:
f
s
: Para
el
momento resistente adoptado, que es el del acero de refuerzo trabajando a
su esfuerzo admisible a
la
tracción,
el
valor de fs será de 120 MP
a.
fe: Se puede calcular a partir del momento resistente adoptado,
el
cual igualamos a
Me:
70.90
2
fe
= 9.5 *
._
--
=
7.08 MPa 70.8 kgf/cm )
95.18
A manera de comprobación, también se puede usar
la
expresión:
fs
*
k 120
* 0
.3
97747
f
= _ =
= 7.08 MPa
e
n
l k 11.21-0.397747
fe resulta inferior a fe admisible ratificando que el diseño es sub-reforzado.
4) Solución por tablas:
A partir
de
p = 0.011727, obtenemos de las tablas respectivas por interpolación lineal
los valores de K
y
fe:
K = 1220.8 y fe = 7.08 MPa
2 2
Mresistente = Kbd = 1220.8 *0.30* 0.44 =70.90 kN m 7.09 tf.m)
El
valor de
fs
será igual al admisible o
120
MPa
\
200 kgf/cm
2
),
puesto que
el
diseño es
sub-reforzado.
17
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
11/91
Estructuras de Concreto 1 _
La carga a soportar
en
condiciones de seguridad se calcula
en
la misma forma del punto
_
Problema 2.2
Revisar el diseño a flexión para momento máximo en el centro de la luz de 8 metros
de
una
viga simplemente apoyada sometida a carga uniforme determinando el momento resistente,
la carga
w
en kN/m que puede soportar en condiciones de seguridad y los esfuerLOs a que
estarán trabajando los materiales, de acuerdo a la sección y datos adjuntos:
0.50
Figura 2.4
Concreto: = 21.l MPa (211 k /cm
2
Refuerzo: fs = 120 MPa
l200 k /cm
2
n 11.2
NOTA: Para la distribución de refuerzo en la sección en más de una fila,
se
debe tener en
cuenta la siguiente recomendación de la Norma NSR-98, Sección
C7
_6:
"Cuando se coloquen dos o más filas o capas de barras, las barras superiores deben
colocarse directamente encima de las inferiores y la separación libre entre filas no debe
ser menor de 25 mm."
Solución:
Se trata, como en el problema anterior, de obtener e momento resistente
admisible de la sección, la carga w en kN/m y los esfuer.los en los materiales_
1) Momento resistente de la sección:
Ca
lc
ulamos inicialmente p:
obtenemos d= h - Y en donde y es
la
distancia del centroide
de
las
áreas de las barras al borde inferior de la viga_
18
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
12/91
_ _ ____
apítulo
2 Flexión
3 7/8Q
1
" 0.05
0.06
4 *51 O* 60 + 3 * 387 * 110
Y
= ---- - --- _. -
=
78.1 mm
4*510+3*387
d
=
500 - 78.1 mm
=
421.9
mm
Figura 2.5
= 3201 =0.025290
P 300*421.9 '
cuantía superior a la balanceada (p bal = 0.018604),
por
lo tanto se trata de un diseño sobre-reforzado.
Calculamos entonces
k:
-- -- --
k =-np+
-J
(np 1 +2np =
11.2
*0.025290+ -)(11.2 *0.0252901 + 2 *11.2 *0.025290
= 0.520944
:. kd
=
219.8
mm
y j a partir de k:
J
=1- =
1- 0.520944
=
0.826352
d
348 6
.J = . mm
3 3
Finalmente, el momento resistente admisible de
la
sección estará dado por el concreto
a la compresión:
Me = Cjd = -f
e
kjbd
2
= 1 *9500 * 0.520944 * 0.826352 * 0.300 * 0.4219
2
2 2
=
109.19 kN·m (10.92 tfm
2) Carga a soportar en condiciones de seguridad:
M actuante
=
M resistente
w*8
2
-- - - = 109.19
8
: w =
13.65 kN/m (1.365 tf/m)
w exterior actuante = w total - peso propio de la viga
w exterior actuante =
13
.65 - 0.30*0.50*1.00*24 = 10.05 kN/m
NOTA: Debe notarse que no obstante que
la
armadura existente es aproximadamente el
doble de la correspondiente al problema anterior, la carga no es proporcional a
este aumento.
19
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
13/91
ructuras de Concreto J
3) Esfuerzos de trabajo dc los
matnialcs:
f
L
. :
Para
el
momento
resistente
adoptado quc es
el del
concreto trabajando
a su
esfuerzo
admisible
de
compresión.
el \ alor
de
fe serú de 9.5 MPa (95 kgti cm
c
)
. . 1- k
f,: ;\
partir
de
la
e:\presión: I = ni
* obtenemos:
, e
k
f = 11.2 *9.5 * . 0.52 0944 =97.X4
MPa
97X
kgflcm
c
)
, 0.520944
< f, admisible por ser un
d
iseño sobre-reforzado.
Problema
2.3
Re\isar
el
diseiio a Ilex ión
para momento má
xi
mo
en el
centro
de la luz dc X
metros de
una
\ iga simplemente
apo
y
ada sometida
a carga un iforme. de
terminando clmomcnto
resistcnte.
la carga
w
en
kN /m
que
puede resisti r en condiciones de
seguridad
y los esfucrzos a que
eslarún
trabajando
los
materiales
. de
acuerdo
a
la sección
y
datos
adjuntos .
Soluc ión
0.45
Figura 2.6
0.50
Concreto:
( =
21
.1
MPa
211
kgf
/c
m
C
)
Refuerzo:
f, = 170 MPa 1700 kgti cm
C
)
n
= 11.2
Se trata. como en los
casos anteriores
de obtener el momento resistente
admisible
de la
sección eotcjúndolo con
el
eorrespondicntc
al
problema
2.1
y
determinar
también la carga
w en kN por
metro
y
los esfuerzos
en
los
materiales.
1)
Mo
m
cn
to resistente de
la
sección:
Tenemos:
= = 4 *284 =
0.008415
P
bd
300 *
450
Comll eJemplo de utilización de las tablas. por interpolación lineal obtenemos:
20
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
14/91
___
Cfll ít
{¡ 2 Flexión
K = 12ú·U
= X.17 MPa
Por lo tanto:
M = Kbd
c
= 1264.1
* ) . 3 { )
) . 4 5 ~ = 76.79
kN
·m
7
.679
tfm)
Oc la comparación dc los momcntos resiste ntes de los problemas 2.1 y 2.3, ambos
obtcnidos para cl accro dc refuerzo a la tracci
ón
. dcntro del período del sub
refuerzo.
podcmos concl u
ir
que
hClll
os compensado
la di
sminución en
la
armadura
con un
aumcnto
cn cl
csfuerzo de la misma para lograr una tracción scmcjante,
quc con brazos del par interior resistente par
ec
idos
no
s perm
it
a obtener resultados
equiparables; esta aplicación será útil
en el
caso de di
fi
cultades en
la
acomodación
del refuerzo en una sección inmodificable.
Por otra parte, es claro que para este disei io sub-reforzado e l valor de f, serú
el
admisible o sea
170
MPa (1700
kgf
/
em
2
)
y
el re
obtcnido de las tabl as, de R.17
MPa (81.7 kgf/
cm
resulta inferior al fe admisible.
2 Carga a soportar en condic iones de seguridad:
w l
2
W
*8
2
-
= =
6.79 kN·m
8 8
w
=
9.60 kN /m (0.960
If
/m)
w exterior actuante
=
w total - peso propio
de
la viga
w exterior actuante
=
9.60 - 0.30*0.50* 1.00*24
=
6 kN/m (0.600
tf
/m)
Los siguientes son prohlemas de dise
i¡o
de secciones rectangulares de concreto
re {¡r::ado con armadur" / la tracción
Problema 2.4
Diseñar la armadura necesaria a la flexión
en
una viga dc 0.30 x 0.50
m,
simplemente
apoyada
en
una luz de 8 metros. armada con concreto de =
21
1 MPa (211 kgf/em
2
) y
acero pa
ra
fs
=
120 MPa (1200 kgt cm\ n =
11.
2 Y las siguientes condiciones de carga:
a.
Carga uniforme total (incluyendo
el
peso propio): w = 10 kN /m 1
tf
/m)
w l·
2
10*8
2
Momento actuante = = =
R kN
·m
8 tr m)
8 8
21
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
15/91
Estructuras de Concreto I __
____
A partir de este momento actuante, se puede utilizar
la
fórmula-prog rama de
diseño (ver
el
capítulo
2:
Generalidades)
y
directamente obtener la cuantía p
o
utilizar las tablas así:
Momento actuante = M = Kbd
2
K = ~ = ~ = 1377.4
bd
2
0.30 0.44
2
Para este valor de K interpolamos el valor de p
=
0.013333
Armadura: As
= pbd =
0.013333*300*440
=
1760 mm
2
Refuerzo: 2
Ij
1
+
2 j>
7/8
(As
=
1794 mm
2
- siempre por exceso)
b. Carga unifonne total
w
= 3.6 kN/m (0.36 tf/m adicionada a una carga
concentrada P = 25.6 kN (2.56 tf) aplicada en el centro de la luz.
w f2
pe
3.6 * 8
2
25.6 * 8
Momento actuante = - - - =--- - - -= 80 kN·m (8 tf.m)
8 4 8 4
Para momentos actuantes
y
resistentes iguales, la armadura será también, como en
a : 2 j> 1
+
2 j> 7 /8.
Problema 2.5
En el problema anterior, obtener el diseño balanceado suponiendo w en kN/m constante
y
las siguientes condiciones adicionales:
a. Ancho de
la
viga
b
invariable e igual a 0.30 m
b. Altura útil
d
invariable e igual a 0.44 m
Solu ción
a. A partir del momento actuante, determinamos
la
altura efectiva
d
correspondiente a
un diseño balanceado utilizando
el
valor de k2 respectivo que podemos calcular u
obtener de la tabla correspondiente. Procedemos así:
k2 = lK en donde K =
i
* fe k j (fe en
kN m\
Para diseño balanceado
reemplazamos :
22
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
16/91
- -
_
(.'a Jífulo l Flexión
k
= _ _
n - r
1.2
ccc
-::-O =
0.4700
y
k 0.4700
J 1- ~ 1- - --- -
= (Uj4_D
11.2
-
. .
95
K
=
y; *
9: 00
' O
700
* 0
.H433
= 1HH2
.7
k
7-- I 00 7'()
. _ J
llrl L I
También de las tablas obtenemos
k2
= 0.0230 Yconocido el momento actuante =
[M .
XO
kN·m calculamos k b =0 .0230' -
o
= 0.3 6 m
0.30
As = 0.0IX604*300*376 = 2099 mm
c
Refuerzo:
Concreto:
2 < > I
Yx
+
1 I (A s ' 21 09 mm
2
)
b = 0.30 m; h = 0.432 m
Esta solución implica diversas alturas según los momentos actuantes y resul ta
impracticable con
la
variedad de momentos existentes
en
una viga y con mayor
razón
enel
caso en que esta haga parte del sistema de vigas de una estructura.
b. Altura útil
d
invariable e igual a 0.44 m.
En forma semejante al caso anterior:
0.0230
2
*
XO
-
, = 0.219 m
OA
A
s
=0.0IX604*2l9*440=
1793 mm
Refuerzo:
Concreto:
21
X + 1
>
1
(A
,
=
IXOO mm
2
)
b = 0.219
m;
h = 0.50 m
Lo mismo que en el caso anterior, esta solución con diferentes anchos según los
momentos actuantes resulta también impracticable.
NOTA: En las anteriores soluciones teóricas del problema. debe destacarse la
intluencia
de
la altura en la determinación
de
la cantidad de armadura; asÍ, la
solución >oh es comparable a la original del problema 2.4 con una mejor
utilización del concreto
en
contraposición con una mayor dificultad en
la
constrllcciún dc la viga. omitiendo otras consideraciones.
23
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
17/91
Estructuras de Concreto I
Diseñar la armadura necesaria a la flexión en una viga de 0.30 x 0.50 m, simplemente
apo yad a en una luz de X metros, armada en concreto de r¿ = 21.1 MPa (211 kgflcm ) y
acero para fs= 170 MPa
f
s
= 1700 kg f/cm \ n
O 11
.2 y una carga uniforme total
(incluyendo el peso propio) de w = 10 kN/m (1.0 tf/m). Complementar este diseño
obteniendo el balanceado para la condición de w constante.
a. Diseño para la sección propuesta:
M actuante =
X kN·m
(X tf.m)
M resistente = M = Kbd
2
K= X =
1377.4
OJO
* 0.44
2
Para este valor de K interpolamos el valor de
p
= 0.00921
Annadura:
As
= 0.00921 *300*440 = 1216 mm
2
Refuerzo: 2
q
7/
X
2 q 3/4 (A
s
= 1342 mm
2
)
Concreto: b = 0.30 m; h = 0.50 m
NOT
A: Nótese la disminución en el área de refuerzo necesaria con respecto al
problema 2.4 cuando aumentamos el esfuerzo admisible a la tracción en
el acero al cambiar la calidad del material.
b. Diseño balanceado:
Con la suposición de
w
constante y el mismo momento actuante, obtenemos d y h
para
b = 0.30
m:
M
80
d
=
k2 -
=
0.025 -
== OAOX
m
b
OJO
A, = 0.0 I0756*300*40X = 1317 mm
2
Refue rzo:
2
q
7/X 2
3/
4
(As = 1342
cn/)
que es igual
al
re
fu
erzo en
Con :reto:
' a' donde se colocó con un mayor exceso.
b = 0.30
111
; h = 0.46X m
Ahora ma11lenemos la altura útil d usada en a y calculamos b, con el mis mo
mom
ento actuante M:
24
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
18/91
0.025
2
*80
0.44
2
0.258 m
As : 0.010756*258*440
=
1221 mm
2
_
apítlllo 2 Flexión
Refuerzo: 4> 7/
8
24>3/4 A, = 1342 mm
2
) que también colocamos en
exccso en procura de sim etría.
Concreto: b = 0.258
m;
h = 0.50 m
La
solución balanceada, en el problema 2.5 implica diversas alturas o anchos
según los momentos actuantes y esta circunstancia restringe su utilización al plano
puramente teórico.
Continuando con el estudio sobre las secciones de concreto reforzado con armadura a
l
tracción seglÍn
el
método elástico exponemos ahora el denomillado Método
de l
Sección
Transformada u Homogénea el cual complementa las expresiones deducidas al comienzo
está mlly de acuerdo
COII l
formación académica preliminar sobre el tratamiento de las
secciones homogéneas
y
elásticas
y
tiene además algunas aplicaciones de utilidad en el
estudio de las secciones T y similares.
MÉTODO DE LA
SECCIÓN
TRANSFORMADA U HOMOGÉNEA
Generalidades
A continuación se deducirán las relaciones correspondientes al Método de la Sección
Transformada u Homogénea para la solución de los problemas de vigas rectangulares con
armadura a la tracción.
Partimos de una sección rectangular con armadura a la tracción y se requiere obtener una
sección o área de concreto teórico que reemplace el refuerzo resistiendo sus esfuerzos, para
lograr una sección homogénea o transfonnada a
la
cual se le pueda aplicar la fórmula de la
flexión:
x
\ A
\ J .
Figura 2.7
5
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
19/91
Estructuras de Concreto 1
f =
Mc,
en donde:
1
f
=
esfuerzo en la fibra considerada
c
=
distancia de la fibra considerada
al
eje neutro
1
= momento
de inercia de la sección homogénea y
estáticamente útil con respecto
al
eje neutro
Lo anterior es posible si en el diagrama de deformaciones hacemos que la
deformación
en
el acero
reemplazado
sea igual a la del concreto teórico
que
lo
reemplaza.
E,
deformación en el acero)
= E¡
deformación en el concreto teórico )
fs
f¡
según la ley de Hooke)
Es Ec
de donde:
1
También se
debe
lograr
que
la tensión en e l acero reemplazado sea igual a la tensión en el
concreto teórico
que
lo reemplaza:
T, tensión en el acero) = TI tensión en el concreto teórico)
de donde:
AJs
=
A[f[
nAs
=
Al
2)
Cumplidas
las condiciones anteriores, es decir, que el esfuerzo de tracción en el concreto
teórico
que
reemplaza al acero sea igual a fi n y
que
el área de este concreto sea n veces
el
área del acero reemplazado,
podemos
aplicarle a
la
sección homogénea
la fónnula
de
la
flexión, definiéndole con anterioridad la posición del eje neutro y su momento de inercia,
aSÍ:
Tornando momentos de las áreas estáticamente útiles con respecto a la posible situación del
ej
e neutro, resulta:
2
b; _ nA s d - x) = O, ecuación de segundo grado cn :\.
que re. uelta nos permite obtener la profundidad elel eje neutro : conocida esta .
podemos calcular el momento de inercia respecto al eje neutro:
6
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
20/91
apítulo 2 Flexión
en donde
\
momento de inercia de A
t
respecto a
su
centroide, resulta de pequeña
magnitud por lo que podemos no tomarlo en cuenta.
Aplicando la fónnula de la flexión:
Mx
f e = - - , de donde:
Ix-x
Me = fe x- x en la cual:
x
fe =
esfuerzo de compresión máximo admisible en la fibra más comprimida.
M
=
momento resistente por concreto a la compresión
=
Me
De la misma fonna:
M d-
x)
f
l
= , de donde:
Ix-x
nM d- x)
f = . por
lo
tanto:
s Ix-x
- fs I x-x 1 l
M s - ( ) , en a cua .
n d -x
fs
=
esfuerzo de tracción admisible en el acero
M
=
momento resistente por acero a la tracción
=
Ms
Finalmente, a partir del diagrama de esfuerzos en la sección homogénea:
:,
Figura 2.8
27
d - x
fs=nfe
-
x
f
_ fs
_x
e -
n d - x
expresiones similares a las obtenidas
anteriormente
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
21/91
Estructuras de Concreto 1
Problema 2.7
Resolver el problema 2.1 utilizando el Método de la Sección Transformada u Homogénea.
Solución:
0.44
0.
50
Figura 2.9
Concreto: =
Refuerzo: fs =
n
=
2
21 .1 MPa (211
kgf
/
cm
)
?
120 MPa (1200 kgf/cm-)
11.2
Se obtendrá inicialmente la sección homogénea a la cual se
le
aplicará
la
fórmula de la flexión calculando los momentos resistentes por compresión,
tracción
y
el admisible de
la
sección como requisito para determinar
la
carga
que debe soportar en condiciones de seguridad
y,
finalmente, a partir del
diagrama de esfuerzos se calcularán los esfuerzos en los materiales.
1. Obtención de la sección homogénea:
0.44
A l = nAs = 11.2*4*387 = 44.8 (barras de 7/8 )*387 = 17338 mm
2
x · · ~
x
d·x
0.30
Figura
2
10
28
Tomando momentos de las áreas
estáticamente útiles con respecto a la
posible situación del eje neutro, resulta:
300x
*
2-17338
* 440- x)= O
2
x2
115.59x-50858.13=0
x = 175 mm
x = 265 mm
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
22/91
_ _
_____
_ _
_________________
apítulo2 Flex ión
Momento de inercia por facilidad en el manejo de las cifras, lo calculamos
. . . 4 30*17.5
3
r
* 2.22
4
* 2
1I11clalmenteencm): I
x
-
x
= +44.80 +173.38 26 .5
. 3 64
I x-x = 53594 + 53 + 121756 = 175403 cm
4
- 0.001754 m
4
Debe notarse el orden de magnitud del momento de inercia del área transfonnada
con respecto a su propio centro de gravedad, que como lo anotamos arriba, nos
pennite no tomarlo en cuenta.
2. Momentos resistentes por compresión
y
tracción
y
admisible de la sección:
Momento resistente admisible
por
concreto a la compresión :
f
_ Mx
c -
9500 * 0.001754
- -- .- - - - -= 95 .22 kN m
Ix-x
0.175
Momento resistente
por
acero a la tracción:
nM d -
x)
fs =
. Ix-x
fs *I
x
-
x
n d-x)
120000*0.001754
11.2*0.265
70 .92
kN·m
Momento resistente admisible de la sección: 70.92 kN·m 7.09 tf.m)
3. Carga a soportar en condiciones de seguridad
M actuante = M resistente
e
2
8
2
~ ~ 70.92 kN·m
8 8
w
=
8.87 k
N/
m 0.
88
7 tf/m)
w
exterior actuante
=
w
total - peso propio de la viga
w exterior actuante = 8. 87 - 0.30*0.50* 1.0*24
=
5.27 kN/m
La carga exterior a la viga que puede soportar en condic iones de seguridad resulta
de 5.27 kN/m 0.527
tf
/m)
4. Esfuerzos de trabajo de los materiales
f
s
: Para el momento resistente adoptado, que es el del acero de refu
er
zo
trabajando a su
esf
uerzo admisible a la tracción,
el
valor de
fs
será de 120
1
MP
a
1
200 kgf/cm-).
29
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
23/91
Estructuras de Concreto 1 _ _ _
fe : A partir del diagrama de esfuerzo s:
f
V
x=0.175
·
_
,=0.265
f t ~ = 10.71
MPa
Figura 2.11
f
c=
0.175* 1
0 71
=
7.07 MPa
0.265
fe
= 7.07 MPa (70.7
kgf
/cm
2
)
puesto que fe fe máximo admisible
se
confirma
el
diseño sub reforzado.
La secuencia de resultados parciales y
el
resultado final nos permiten concluir que
son igualmente utilizables e intercambiables en forma total o parcial los dos
métodos propuestos en los problemas 2 1 y 2.7 para la revisión de una sección
diseñada a la flexión.
Una aplicación especialmente útil del método de
l
secc/On transformada u
homogénea es
l
revisión de diseños a
l
flexión de vigas con sección
enforma de
T o similares A continuación incluimos algunos ejemplos de esta aplicación
Problema 2.8
Revisar el diseño a flexión para momento máximo en
el
centro de la luz de 8 metros de un
viga T simplemente apoyada sometida a carga uniforme, determinando
el
moment
resistente, la carga
w
en kN/m que puede soportar en condiciones de seguridad y
lo
esfuerzos a que estarán trabajando los materiales, de acuerdo a
la
sección y datos adjuntos.
I
0.20 I b
-0.30
1
0
.
20
I
b-0.70
Figura 2.12
30
Concreto:
=
21
.1 MPa (211 kgf/cm
2
)
Refuerzo:
fs
= 120 MPa (1.200 kgf/cm
2
)
n = 11.2
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
24/91
apítulo 2 Flexión
Solución: Primero se debe revisar que la sección cumpla los requisitos geométricos de
la Norma NSR-98 para su consideración como viga T y luego se obtienen
la sección homogénea, los momentos resistentes, la carga a soportar y los
esfuerzos en los materiales.
l . Revisión de la sección T según Norma: Las vigas aisladas en las cuales la forma T
se utiliza para proporcionar
un
ala como área adicional de compresión, deben tener un
espesor de ala
no
menor que
la
mitad del ancho del alma, y un ancho efectivo de ala no
mayor que 4 veces
el
ancho del alma (Véase artículo C.8.5.7).
En nuestro caso:
b (ancho efectivo de ala) 4b'
t (espesor de ala) b /2
2. Obtención de la sección homogénea:
b < 4x300 = 1200 mm
t =300.,.2=
150mm
At = nAs = 11.2*(4*510 + 3*387) = 35851 mm
2
d = 421.9 mm (ver problema 2.2).
Obtención de
x:
7 15
J
x - 150 \300 (x
150f
35851 * 421.9- x)
vl 2
2
x
2
+639x-130837=0
x=
163
.1 mm;d-x=258.8mm
Momento de inercia en cm
4
, por la misma razón del problema anterior:
70
16.31
3
I
x
-
x
3
40*1.31
3
+ 35851 *25.88
2
=341327.71 cm
4
3
Ix-x = 341328 cm
4
- 0.003413 m
4
3. Momentos resistentes:
Momento resistente admisible por concreto a
la
compresión:
f
_ Mx
Ix-x
Me
_
fe Ix-x 9500*0.003413
x 0.1631
198.8
kN·m (19.
88 tfm)
31
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
25/91
Es tructuras de Concreto [ ____________________
Momento resistente admisible por acero a
la
tracción:
fs
= nM d -
x ...
M =
~ = ~ = ~ 2 0 0 0 0 ~ O O Q ~ ~ g
Ix-x
s n d -
x 11 2
* 0.2588
Ms = 141.3 kN·m 14.13
tfm
Momento resistente admisible
de
la sección:
14
1
3
kN·m - 14.13 tf.m.
Diseño sub-reforzado).
4. Carga a soportar en condiciones
de
seguridad:
Maetuante
=
Mresistente
Wf
W *8
2
=
= 141.3kNm
8 8
w
=
17.66 kN/m 1.766 tf/m)
w exterior actuante = w total - peso propio
de
la viga
w exterior actuante = 17.66 - 0 21 * 1.00*24 = 12.62 kN/m 1.262 tf/m)
La carga exterior a la viga que puede soportar en condiciones
de
seguridad resulta
de 12.62 kN/m 1.262 tf/m).
5
Esfuerzos de trabajo de los materiales:
f
s
: Para el momento resistente adoptado, que es el del acero de refuerzo
trabajando a su esfuerzo admisible a la tracción, el valor de fs será de
120
MPa.
f : A partir del diagrama de esfuerzos:
x=163 1
d x=258.8
~
= 10 71
MPo
Figura 2.13
32
f =163 1 * 10 71 =6.75 MPa
e 258.8
fe
= 6.75 MPa 67.5 kgf/cm
2
)
puesto que
f < f
máximo admisible
se
confirma el i s e ~ o sub-reforzado.
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
26/91
-
-
- ---- -- -
- -
_
p
tulo 2 Flexión
NOTA: A manera de conclusión, hacemo notar el aumento considerable de la co
mp
resión
proporcion
ad
o por
la
aleta
de
la viga T que con vierte
al
diseño sobre reforzado
del prob lema 2.2
en
un diseño sub reforzado
y
que además hace efectiva, en
cuanto a momento resistente de la sección, la adición de armadura con respecto al
problema 2
.1
Problema
2.
9
Revisar
el
diseño a flexión para momento máximo en
el
centro de la luz de
12
metros de
una viga doble T sim
pl
emente apoyada sometida a carga uni
fo
rme, determinando el
momento resi stente, la carga w en kN/m que puede soportar en condiciones de seguridad y
los esfuerzos a que estarán trabajando los materiale
s,
de ac uerdo a la sección y datos
adjuntos:
Solución:
x
o
d x
Figura 2.
14
Concreto : =
Refuerzo : fs
n =
0 15
0 .94
0 75
1.00
0.10
21.1 MPa (211 kgf/cm
2
)
120 MPa (1200 kgf/cm
2
11.2
Primero se debe revisar que
la
sección cump
la
lo s requisitos geométricos de
la Norma NSR-98 para su consideración como un sistema de vigas T y
luego se obtiene la sección homogénea, los momentos resistentes. la carga a
soportar y los esfuerzos
e l
los materiales.
1.
Revisión de la sección T según Norma: El ancho de losa efectivo como ala de una
viga T , no debe exceder
o
de la longitud de la viga. El
al
a e
fe
ctiva que se proyecta
hacia cada lado del alma no debe exceder:
a) 8 veces el espesor de la losa, ni
33
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
27/91
Estructuras de Concreto I _ _ _____
b) la mitad de la distancia hasta el alma siguiente (Véase el Artículo
C.8.5.7).
En nuestro caso:
b (ancho efectivo de ala)
;
1 4 = 12.00/4 = 3.00 m; b = 1.00 m
b (ancho efectivo de ala):::; 16t + b'
=
16*0.15 + 0.25
=
2.65 m
b (ancho efectivo de ala):::; separación centro a centro del sistema
=
1.00 m
2. Obtención de la sección homogénea:
At = nAs = 11.2*15*510 = 85680 mm
2
Obtención de
x:
2000*x
2
x-150?
1500 85680 940-x)
2 2
X
+1242.7x-389657=0
x = 259.4 mm; d - x = 680.6 mm
Momento de inercia (en cm
Ix-x
200*
25
.94
3
__
150*
25
.94 -15)3 + 856.80*68.062= 5067011
cm
4
(0.050670
m
4)
3 3
3. Momentos resistentes:
Momento resistente admisible
por
concreto a la compresión:
f _ Mx
Ix-x
Me
_
fe
Ix-x __
9500 * 0.050670
x 0.2594
Momento resistente admisible
por
acero a la tracción:
120000* 0.050670
11.2 * 0.6806
1855.7 kN·m (185.57 tfm)
797.7 kN·m (79.77
tfm)
Momento resistente admisible de la sección: 797.7 kN-m (79.77 tfm)
(Diseño sub-reforzado).
34
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
28/91
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
29/91
Estructuras de Concreto I
METODO EL STICO
VIGAS RECTANGULARES CON ARMADURA A LA TRACCION y A LA
COMPRES
ION
Generalidades
A continuación se deducirán las principales expresiones utilizables para el diseño de vigas
rectangulares con annadura a
la
tracción y a la compresión, según el Método Elástico.
A partir del funcionamiento de la sección con sus diagramas de esfuerzos
y
defonnaciones
según la figura:
A
f
s
-
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
30/91
___
____ _______
__________ Capít do 2 Fl exión
La viga con annadura simple o sólo a tracción resiste un momento
M)
= Kbd
2
Y está
provista de una cantidad de refuerzo As) = pbd.
La diferencia entre cI momento actuante y el que toma como simplemente armada es
~ =
M -
M)
Y
debe ser resucIta con annadura adicional a traeción y annadura de compresión,
así:
Annadura adicional a tracción:
A
s
=
( ) por
lo
que:
- fs d-d
~
Annadura total a tracción: A
S1
+ A
s
=Pbd+ S ( ~ ~ d )
Por otra parte:
Annadura a compresión: A ~ = ~ M
)
en donde
-el
valor de puede calcularse a
. d-d
partir del diagrama de defonnaciones basado en las hipótesis de que la sección es plana
antes y después de defonnada y que las defonnac iones de las fibras son proporcionales
a sus distancias
al
eje neutro y a los esfuerzos que las producen:
~ c _
r
~
Ec ~ ~ ~
kd kd - d d - kd
kd-d
-
kd
o
de donde:
f
= f kd- d
s s d _ kd
las cuales son expresiones de
elásticamente obtenidas.
Sin embargo, teniendo en cuenta que
la
condición de elasticidad del concreto disminuye a
medida que aumentamos los esfuerzos y sus defonnaciones; que las defonnaciones en el
acero a compresión y el concreto que
lo
rodea deben ser simultáneamente iguales y que
la
fluencia lenta en el concreto a compresión en contacto con las barras significa
defonnaciones adicionales en el acero aumentando su esfuerzo de compresión, se especifica
para el diseño que el esfuerzo de compresión en el acero se tome como dos veces el
calculado elásticamente, pero no mayor que el valor admisible en tracción .
Por lo tanto se tomará:
kd-d
2 f ~
= 2nfc kd
5: fs
o
kd-d
2 f s ~ = 2fs - - - 5:
fs
d- kd .
37
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
31/91
Estructuras de Concreto 1
y la armadura de compresión se
rá
:
, i1M
A
= - - -----
--
s 2f;(d-d )
expresiones estas que aplicaremos a continuación .
Problema 2.10
Diseñar la amladura necesaria a la flexión en una viga de 0.30 x 0.50 m simplemente
apoyada en una luz de 8 metros, armada en concreto de =
21.1
MPa y acero para fs =
120 MPa, n = 11.2 y una carga exterior de 10 .52 kN/m (1.052 tf/
m).
(Nótese que la carga
sobre la viga es ahora el doble de la que soportaba en condiciones de seguridad en el
problema 2.1).
Solución: Se debe obtener el momento actuante según la carga propuesta y hacer el
diseño correspondiente según las relaciones deducidas .
1. Obtención de M actuante y comparación con Mi:
Cargas: peso propio viga: 0.30*0.50*1.00*24
carga sobre la viga
M actuante
f 2
14 .12 *8
2
8 8
2 2
Mi =
Kbai
bd = 1882.7*0.30*0.42
i1M = Momento adicional sobre Mi
2. Armaduras:
w
i1M
Armadura a
la
tracción:A
s
=
A
si
A
s
2 =
Pbarbd
__
. ;
fs(d-d )
3.60 kN/m
10.52 kN /m
14.12 kN/m
112 .96 kN·m
99.63 kN·m
13.33 kN·m
A.
=
0.018604*0.30*0.42 13.33
s 120000*(0.42-0.05)
As
=
0.002344 0.0003
=
0.002644 m
2
(2644 mm
2
)
Colocamos > 1 en la fila inferior y
4>
7/8 en la segunda fila.
38
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
32/91
. Capitulo 2 Flex ión
d l
' ~ .
n
;
Anna ura a a compreslOn:
As
= (
)
Sl r
s ~
IS
d-d .
kd-d '
Calculamos = n[,. , en donde k = 0.4700, kd = 197.4 mm v d' = 50 mm
. .
.
=
11.2
*9
.
5* 197.4-50 =
79.4
MPa
. 197.4
2f s =
158.8
MPa > admisible
Por lo tanto :
13.33 ?
2
~
= ti - ) = 0.0003 m- (300 mm )
120000 ,0.42
.05
Colocamos
34>
1/2
3. Localización de la armadura transversal y longitudinalmente:
En la sección transversal resulta:
chequeo de d' : 40 + 12.7/2 = 46.35 - 50 mm
chequeo de
d:
0.50
4*510*60+2*387*
1
10
z = =
73.8 - 80
mm
4*510
+
2*387
d = h - z = 500 - 80 = 420 mm
Figura
2.17
En la sección longitudinal resulta:
X2
(7
2)
- = . reemplazando:
~ M
'); ;2 J ~ ~
X2 = 4
2
*13.3 = 1.89
112.96
Teóricamente,
la
x =
1.37
m
armadura
de
compresión es necesaria hasta una
distancia x = 1.37 m a cada lado del
centro de la viga.
l/2 L/2
Figura
2.
18
39
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
33/91
Es rur3S e Concreto 1
PLIC CIÓN
DE
L SECCIÓN TR NSFORM D P R VIG S CON
RM DUR
L COMPRESIÓN
A partir de las relaciones correspondientes a
la
sección transformada y la especificación que
pem1ite el uso de dos veces el área de
la
armadura en compresión al computar el área de la
sección transformada u homogénea, se obtienen las expresiones necesarias para la revisión
de una sección rectangular doblemente armada o con armadura a
la
compresión.
Partimos de una sección rectangular con armadura a la tracción y a la compresión y se
requiere reemplazar el refuerzo por
un
concreto teórico que resista lo que el refuerzo para
lograr una sección transformada u homogénea a la cual se le pueda aplicar la fórmula de la
flexión.
A
s
1 2 A t= 1 2 (2n- 1) A s
d
d
x
d-d
d h
X
X
d h
f
d-x
r
b b
At=nA
s
Figura
2.19
Obtención de
la
sección transformada :
De la sección correspondiente:
At = nAs
Para computar el área teórica de concreto a la compresión tomamos dos veces el área de la
armadura en compresión siempre que el esfuerzo de compresión resultante en el acero no
sea mayor que el admisible a tracción. Con esto se pretende no sólo obtener una sección
homogénea si no también, recuperar sus características de elasticidad necesarias para la
aplicación de este método.
A
- ?
A - A - (2 - I A
n
s s - n f s
Para obtener x tomamos momentos de las áreas estáticamente útiles con respecto a
la
posible situación del ej e neutro:
40
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
34/91
apitulo 2 Flexión
?
b; =
+
(2n
- ]
A . ~ x - d )= nAs(d - x), ecuación que resolvemos para
x.
A partir de x calculamos el momento de inercia:
en donde podemos no tener en cuenta los momentos de inercia de las áreas transformadas
con respecto a sus propios centros de gravedad.
Definida la sección homogénea, aplicamos la fórmula de la flexión:
fe = esfuerzo de compresión en el concreto = M ~
I x-x
[
_ f d ' . . I
, .
- M(d - x). f nM(d - x)
t - es uerzo e tracclOn en e concreto teonco - - - ..
s
= ------- --- -
Ix-x Ix-x
f
fu
d
-, I - M(x-d ).
f
2nM(x-d )
t =
es
erzo e
compreslOn en
e concreto teonco
= - - -- --- --
. . s = -
Ix-x
Ix-x
Siendo M en las expresiones anteriores
el
Momento actuante = Momento resistente
De igual manera:
Me
= M resistente por compresión
Ms
= M resistente por tracción
fe1x-x
x
fs 1 x-x
~ d -
x
y
Finalmente, a partir del diagrama
de
esfuerzos de la sección homogénea, podemos conclu ir :
f C ~
_
~ d
x
Jd X
I t ~
- n
Figura 2.20
41
f = fs x
e n
d
x
, x
-d
'
fs
=
2nfc - --
; f
s
x
x-d '
= 2fs - - ; fs
d-x
Expresiones estas coincidentes con
todas las anteriormente expuestas.
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
35/91
Estructuras de Concreto 1 _ _ _
Problema 2.11
Revisar el
diseño
a flexión para momento máximo en el centro de la luz de 8 metros de la
viga simplemente apoyada sometida a la carga uniforme utilizada en el problema 2.10.
Solución: La sección resultado del diseño a flexión del problema 2.10 y los materiales
respectivos son los siguientes:
0.42
Figura 2.21
0.50
Co
ncreto:
f
=
21
1 MPa (211 kgf/cm )
Refuerzo: fs
=
120 MPa 1200 kgti cm
2
)
n
=
11.2
En primer
ténnino
se debe
obtener
la sección homogénea a la cual se le aplicará la fórmula
de la flexión calculando los momentos resistentes por compresión , tracción y
el
admisible
de la sección como requisito para determinar la C¡lrga que puede soportar en condiciones de
seguridad y finalmente a partir del diagrama de esfuerzos se calcularán los esfuerzos en lo s
materiales.
l. Obtención de la sección homogénea:
Al =
nA,
= 11.2*(4*510
+
2*387)
=
31517 mm
2
A; I ) A ~ = 21.4*3*129 = 8282mm
2
1/2 A t
Figura
2.22
4
x-d
d-x
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
36/91
_ _
_ _ _ _
________
_ _ _ _ _
__ _ __ Capítulo
Flex
ión
Obtención
de :\:
-
:>00 - +X2X2
*
(x
- 1517 * (420 -
X)
2
+
2653x
-- 9100X = 0
Momento
de inercia en
cm
4
:
x - 197 mm
d-x=223
mm
x - d = 147 m
30 * 19.7 3
1[*
1 27 4 o
[
* 2.54 4
1 , _ . \
+
2 1 . 4 * 3 * +82 .82*14 .7 -+11 .2*4*- - -
-- +
] M M
*? 2 )4
+ 1 1 . 2 2 - ---+315.17*22.3
2
64
1x-x = 76454 +
X.
19 +
17X97
+
91.49
+
26.69
+
156731 =
251208
cm
4
2.
Momentos
resistente
s:
Momento resistente
admisible
por compresión:
9500
* 0.002512 = 121.14 kN.m (12.1 1 trm)
0.197
Momento
resistente por acero a la tracción:
f,
1
- x
M, =
.,
,
.
n(d
- xl
120000* 0.00251 2 . ,
= 120.69
kN'111
( 12.07 tt·m)
11.
2*
0.223
Momento
resis tente ad misible de la sección: 120 .69 kN ·m (12.07 tf.m).
La diferencia entre los dos momentos resistentes se
debe
a la aprox imación en la
adopción
del refuer:to en el problema 2.10.
3 Carga
él soportar
en condiciones de seguridad:
M
t u ~
=
r s
ste
nt
e
43
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
37/91
Estructuras de Concreto 1
e? 8
2
= ~ = 120.69 kN· m
w
= 15.09 kN/m
8 8
w exterior actuante = w total - peso propio de la viga
w
exterior actuante = 15.09 - 0.30*0.50* 1.00*24 = 11 .49 kN/m 1.149 tf/m)
La carga exterior a la viga que puede soportar en condiciones de seguridad resulta
de 11.49 kN/m, la cual resulta un poco mayor a la carga de diseño del problema
2.10 porque en la colocación del refuerzo de dicho problema se procedió por
exceso.
4. Esfuerzos de trabajo de los materiales
f : Para el momento resistente adoptado. que es el del acero de refuerzo
trabajando a su esfuerzo admisible a
la
tracción, el valor de fs será de 120
MPa.
fe: A partir del diagrama de esfuerzos:
197
223
.fa
120 _
t n m
10.71
Pa
Figura 2.23
Conclusiones:
f = 197 *
1Q 22
=9.46 MPa
e 223
fe=9.46 MPa 94.6 kgf/cm
2
)
Debería obtenerse f
=
9.5 MPa 95
?
kgf/cm-) y
la
aproximación se debe a la
razón arriba expuesta de la diferencia
entre el refuerzo colocado y el
teóricamente calculado.
La breve muestra del tratamiento de la flexión por el Método Elástico nos permite sacar
conclusiones, algunas de las cuales expresamos a continuación:
44
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
38/91
_.___ ______ __ _ _
apitulo
2 Flex ión
l . El Método Elástico
como
su nombre lo indica se basa en
consideraciones
de
elasticidad
que
sólo son completamente válidas para
el
acero; en el concreto el
diagrama defonnaciones-esfuerzos no es una recta
y
la proporcionalidad de las
defonnaciones con respecto a los esfuerzos que las producen sólo es aceptable para
pequeñas deformaciones y esfuerzos pero a medida que estos crecen la
proporcionalidad va dejando de ser correcta
2 El módulo de elasticidad del concreto Ee es sólo válido para un esfuerzo y una
defonnación admisibles; si el esfuerzo varía también cambiará Ee
Y
por tanto el valor
E
de
n =
que hemos
considerado constante en todos los casos.
Ee
3. En el Método Elástico el factor de seguridad de un diseño
no
se detennina exactam ente
en función
de
consideraciones tales como importancia o probabilidad de presentac ión
de las cargas
de
la indeterminación de un diseño o del funcionamiento de la
estmctura
así diseñada del control de calidad
de
los materiales y de la construcción. Sólo lo
suponemos
admisible
y
así lo
podemos
verificar por medio del Método de la
Resistencia Ultima que estudiaremos a continuación .
Las consideraciones anteriores entre otras son las que han relegado al Método Elástico a
una
simple alternativa
de
diseño en el Apéndice C-A
de
la
Norma NS
R-98 y en el Apéndice
A del
ódigo
ACI-318-95. Sin embargo
de
la anterior exposición teórica del método y su
elemental aplicación presentada para algunos casos de normal ocurrencia nos rati
fi
camos en
el concepto expresado sobre la necesidad que tienen los estudiantes de l área de su
conocimiento como parte esencial en su formación académica y con mayor razón si en
alguna parte de su ejercicio profesional lo pudieran encontrar.
5
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
39/91
Estructuras de Concreto I
METODO DE L RESISTENCI ULTIM
Generalidades:
Por el Método Elástico o de los Esfuerzos de Trabajo el
diseñador
obtiene los esfuerzos y
deformaciones que se presentan en una
estmetura
sometida a las cargas para las cuales se
diseiia, suponiendo
parámetros
elásticos de los materiales.
Por el Método de la Resistencia Ultima, también llamado
solamente
Método. de
la
Resistencia, el diseñador podrá estudiar el comportamiento de la estructura en el instante de
fa
ll
a; por lo tanto, si este instante se hace lo suficientemente
mayor
que el ele su trabajo para
las cargas que soporta normalmente se podrá tener un diseño con factores de
segur
idad
apropiados.
Este trabajo de la estructura en su última resistencia no es posible conocerlo a partir del
Método Elástico, en vista ele
que el comportamiento
de los materiales inelásticos en el
instan te ele fall a es diferente al supuesto dentro del
período
elástico
de
su funcionamiento
es decir, para su trabajo con
cargas
, esfuerzos y
deformaciones
admisibles .
Como una in troducción al estudio ele l comportamiento de la
est
ructura
en
el instante de
f:l lla, ano tam os que los el
ementos
de concreto reforzado sujetos y
diseñado
s a flexión por
cua lquier md lldo apropiado, deben fallar
cuando
el acero a tracción alcanza su límite
elástico. En otras pa labras, si gradualmente se aumenta la carga hasta que f, = f
y
, el
elemento
resistirá
carga
adicional en la
medida
en
que
se
aumenta
el
brazo
del
par
interior
resistente y
hasta
que la falla definitiva se presente por aplastamiento del concreto a
compresión aunque inicialmente la falla se debió a la fluencia del acero.
A continuación estableceremos las relaciones existentes en la sección en el instante de la
falla
para
vigas rectangulares
con
armadura a la tracción.
42
35
e
º
'
O
28
'
i
8
e ;
2 1
'
v
:¿
u
Qi
8
14
-€
w
O
O
1050
e
: 875
0 .00 1
0.002 0.003 0.004
De orm ción unit ri
o
e
Fig ura 2.24
46
700
1-1-
1/
o
O
i
f =420
y
f ,350
,
1,=240
I
5 10
15
20
Deformaci6n
o
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
40/91
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
41/91
btructuras dc ( Ollcrctll
¡
. .._ --
expresión
que
nos permite conocer la
profundidad
del eje neutro en función
de
r
y
la
calidad de los materiales,
También en el instante
de
la falla. podemos
expresar
los
momentos
resistentes últimos
como:
Aceptando
que los elementos de concreto reforzado diseí íados a f1exión deben fallar
cuando
el acero de tracción alcanza su límite elástico,
tomamos
el
momento
correspondiente a la
tracción
como
el inicial y resistente último
de
la sección:
que
reagrupamos:
M
=p*
f
I _ ~ _
Pf
y
bd
2
u y 0,85 * k ¡
k
en
donde
m
_ _
_ constituye
una
propiedad
intrínseca del
concreto
en
sus
diferentes
O.85k¡
calidades y cuya
evaluación
experimental a través
de numerosos ensayos dio como
resultado:
m =
0.59, que reemplazamos
en la fórmula de M ~ obteniendo:
expresión esta
conocida
como la
fórmula
general
de
la resistencia última.
Ahora bien. en la deducción anterior partimos de la falla inicial por
el
acero de refuerzo lo
cual imp lica
seccio
nes sub-reforzadas; para
poder garantizar
esta
situación
debemos obtener
antes la cuantía necesaria
para una
falla sÍmultánea
de
acero y concreto, es decir, la
cuantía
bal anceada ' a partir de ella
garantizar
el sub-refuerzo apropiado.
De acuerdo
con el
diagrama de
defor
maciones de la figura 2.26 y
suponiendo que
el acero falle por tracción
simultáneame
nte con el concreto a compresión ,
podemos
al mismo tiempo tener Euc y EY :
E l l C
kud d - kud
ku
=
__
- - u --c
_
¡:uc +
y
48
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
42/91
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
43/91
Estructuras de Concreto I
. - -_ ._
= 21.1 MPa (2 I kgf/cn/ ) y f, = 240 M
Pa
(24 00 kgticnh
f ( f f \
M'u= 0 .
51
6071
f ,
0. 5
9
) . 5 1 6 0 7 1
+.
d
C
=
) . 3 5 9 f ~
bd::>
t
v
.
t
y
te
)
= 21.1 MPa (211 kgl/c 11
c
) y
=
420 MPa (4200
kgti'cm\
, _ , _ . _ * r f } > _ ::>
Mu-0.425 f vll 0.)9
0 . 4 ~
., d - 0.318f
c
bd
fy \ fy te
Estos resultados de
M'u
coinciden con suficiente aproximación con el valor promedio
obtenido experimentalmente para esta expresión por el investigador Sr. Charles Whitney:
Este invcstigador propuso una mctodo logía de sencilla aplicación para cl diseño por la
resistcncia última de scccioncs de concrcto rcforzado cuyos fundamcntos cxponcmos a
continuación.
Método de Whitncy
Sc trata dc
obtcner
una cxpresión dc momento resistente último para vigas rectangulares
somctidas a flexión con armadura a la tracción, suponicndo una distribución rcctangular de
los esfuerzos dc compresión C0 110 diagrama equivalentc con un esfucrzo unitario dc
0 . 8 5 f ~ , complementando con las expresiones usadas actualmcnte cn el discño y su
tabulación.
A parti r de las seccioncs longitudinal y transversal adjuntas en las cuales reemplazamos
cl
bloque real de compresiones por uno cquivalcntc dc forma rcctangular, sicndo todos los
esfuerzos de compresión iguales a
0 . 8 5 f ~
resulta:
r
ud
I
1
d
Q
d·
0.851'c
H
b
Figura 2.27
50
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
44/91
________
___________ apítulo]
¡exión
Para la compresión C
u
=
Tu
en
el
instante de falla:
0.85 ~ a b = AJ
y
= pbdfy
pfy
a = - d, expresión que nos permite
0.85f¿
conocer
la profundidad del bloque rectangular de compresiones en función de
p
y los
materiales.
También
en
el
instante de la falla, el momento resistente último
que
, como antes lo hemos
dicho . está
detemlinado por el
acero de tracción
al
llegar a su límite elástico,
lo
expresamos
como:
pfy
I
2 . 8 5 f ~ d
j
reaorupando:
M'
=pf 1 0.59 pfy Jbcl
2
que es la misma fórmula general de la
t
Y
resistencia última presentada antes.
Sólo con
el
propósito de establecer una expresión límite de
a
en función de d ,
trabajamos con el momento resistente último
por
el concreto en compresión:
M ~ ,
= Cu(d - a / 2) =
0 . 8 5 f ~
ab d - a / 2)=
0 . 8 5 ~ 1
~
bd
2
, que igualado al
d
2d
promedio obtenido
por
el Sr. Whitney para el caso de momento máximo o
de
falla para la p
balanceada, nos dará el valor máximo de a :
M'
= l I f bd
2
O . 8 5 ~ ( 1 - ~ ) f b d 2
u /3
e
d 2d
e
amaximn = 0.537 d
Adicionalmente, y con el propósito de establecer comparación, podemos
obtener
el valor de
kud, profundidad del eje neutro, en función de
a
; del problema anterior:
pfy
ku = -
8 5 f ~ k¡
en donde reemplazamos:
pfy a
O . 8 5 f ~ d
k u d ~
k¡
Si
tomamos k 1 = 0.85 para resistencias a compresión del concreto
menores o iguales a 28 MPa 280 kgticm2¡, resulta:
kud = 1.18 a
5
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
45/91
Estructuras dc
Concreto
I
La Norma Sismo Resistente Colombiana NSR-98 (Sección C I 0.2) Y
el
Códigu del Instituto
American o del Concreto ACI , aceptan como suposiciones
ele
eliseilo q l l ~
la mú
x im
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
46/91
_ ____ _ apitlllo 2 Flexión
Coeficiente de Carga
Es un factor de seguridad con respecto a las cargas exteriores. La Norma NSR-98 lo dcfine
como coeficient
e que tiene en cuenta las
desviaciones
inevitables
de
las cargas reales
con
respecto a las cargas nominales y las incertidumbres que se tienen ell el análisis
estructura
l
al transformar las cargas en efectos internos de los elementos . Una carga
mayorada
es
por
consiguiente la ca rga resultante de multiplicar la carga nominal por un coeficiente de carga.
A continuación, las combinaciones de carga más usuales:
Para
cargas
verticales: U
=
l O 1.7 L, en donde:
U
=
carga total mayorada o factorizada
O = carga muerta
L
=
carga
viva
Para cargas verticales y horizontales sismo) combinadas:
Alterna tiva:
U = 0.75 lA O + 1.7 L) + 1.0 E
U
= 1.05
O
1.28 L 1.0 E en donde
E = Fuerza sísmica. Las fuerzas sísmicas obtenidas según la Norma
NSR -98 son cargas mayoradas con un coeficiente de ca rga de
1.4
U
= 0.9 0 1.0
E
Para cargas verticales y horizontales viento) combinadas:
Alternativa:
U = 0.75 (lA O +
1 7
L +1.7 W)
U
= 1.05 0 1.28
L
1.28
W,
en donde
W
=
carga de
viento
U
= 0.9 O 1.3 W
Para
cargas verticales y horizontales
(empuje
lateral o presión hidrostática) combinadas:
U = lA O 1.7 L 1.7 H, en donde
H
= carga debida
al empuje lateral del
suelo
o a presión
hidrostátiea
Para cargas verticales y fuerzas y efectos causados
por
expansión o contracción debidas a
cambios de temperatura, retracción de fraguado, flujo plástico, ca mbios de humedad ,
asentamientos di ferenciales o combinación de varios de estos efectos :
53
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
47/91
Estructuras de Concreto 1
_.
-
II 075 140
+ 1.71. +
14T)
l i
1.05 D i 1 X L I 1.05 T.
en
donde
T
represen
ta la
s
~ r z s
y efectos distintos a las cargas ve rtical
es
y que enunciamos arriba.
NOT A: De los resultados anteriores se toma el más desfavorable y en Illllgún caso se
trabajará con
un
U inferior
al
utilizado para cargas ve rticales.
Para trabajar en las condiciones especíticas de nuestro medio. el diseilador podrá escoger
desde los j ~ l c t o r e s anteriores hasta
los
siguientes que recomendamos ligeramente superiores
yen los cuales, además, puede considerar incluidos los efectos de
la
retracción de fraguado
y fluencia lenta, así:
Para cargas verticales:
U
c
1.6 0 + 2.0
L
En estructuras de tipo corriente, es decir aquellas
en
que
la
carga viva
no
exceda del 40'X de
la
carga muerta, utilizamos:
U
1.7
(O + L)
Para cargas verticales y horizontales (sismo) combinadas:
U = 0.75 x 1.7 (O
+
L +1.0 E
U
1.275
(O
+
L)
+ 1.0
E,
en donde
Para cargas verticales y horizontales (viento) combinadas:
U
= 0.75 x
1.7
(D + L + W)
U =
1.275 (O
+
L + W)
Para cargas verticales y horizontales (empuje lateral o presión hidrostática) combinadas:
U= I .7 D+L+ I I )
Pero siempre teniendo en cuenta el uso de la combinación más desfavorable.
oeficiente de Reducción de Resistencia q
Es un
coeliciente que reduce
la
capacidad de
la
sección para tener
en
cuenta \ariaciones
en
la
calidad de los materiales. deficiencias
en la
ejecución de
la
obra disei'iada y las
indeterminaciones del diseilo. La Norma NSR-98
lo
define como e l coeticiente qu e toma
en
cuenta las desviaciones inevitables entre
la
resistencia real y
la
resistencia nominal
del
elemento y la fórma y consecuencia de su tipo de falla .
54
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
48/91
_ _ _ _ _ _
apitlllo
2 Flexión
La Nonna NSR-98 define la aplicación del
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
49/91
Estructuras de Concreto I ________________________
Esta expresión también puede escribirse:
. cjlM
n
= Kbd
2
, en donde K = cjlpfy 1-
059p
f:
1
s tabulable en función de p
fe /
De aquí: d = k ~ c j l ~ n = k l ~ ~ n , en donde el valor de k
es igualmente tabulable.
Expresando cjlM
n
en función de a :
(
a)
P
fy
cjlM
n
=cjlAsfy d , en donde a= d.
2
0 8 5 f ~
Este valor de a es tabulable en
la forma:
a
P
fy b t ..
d
- = , tam len en unclOn e p
d 0 8 5 f ~
De la figura 2.29:
jd
=
d -
,
este valor de j se puede tabular en la forma de:
2
. a
J= 1
2d
El valor de p máxima de diseño en la formulación usual la obtenemos a partir de la
expresión general deducida antes:
u .
Pmáxima
diseño = 0.75 0.85- k¡ --- , en la cual
SI
reemplazamos k ) = 0.85
fy
u
+&y
(para concretos con
~
28 MPa o 280 kgf/cm\ u = 0.003 Y
y
= fylEs Y
multiplicamos el numerador
y
el denominador por Es = 200000 MPa resulta:
Pmáxima
diseño = 0.75*0.7225 * 600 , expresión a
la
que debemos acceder en
fy
600+ fy
unidades de MPa. En el caso de concretos con por encima
de
28 MPa (280
kgf/cm
2
)
se debe calcular
el
valor de k
l
por la fórmula del 13
1
arriba enunciada.
(Véase tablas de diseño elaboradas con los procesos arriba . descritos en el
Apéndice de este texto).
56
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
50/91
apítulo
Flexión
Refuerzo Mínimo de lementos en Flexión
En
cuanto
al refuerzo
mínimo
de elementos a flexión, dice la Norma
NSR-98
en la
Seeción
C.l0.S que
en
cualquier sección de un elemento sometido a flexión
donde
debido al
análisis se requiera refuerzo a tracción, exceptuando lo prescrito cn los artículos C.I O.S.2,
C.I O.S.3, C.l O.S.4 y
C.I
0.5.5, el As suministrado no debe ser
menor
que el dado por:
. K l
As(mlJl)=p(mlJl)db
w
=-41
db
w
~ : d b w
para
f
en
MPa
y t
y
Para secciones en forma de
T ,
donde el ala esté sometida a tracelOn
y
el
alma
a
compresión, el As suministrado no debe ser menor que el valor obtenido
por medio
de las
ecuacIOnes:
donde b , es el ancho del alma y br cl del ala.
Los requisitos anteriores pueden dispensarse si, en todas las secciones del elemento la
cuantía de refuerzo a tracción suministrada es mayor al menos en un tercio a la requerida
por análisis.
En losas estructurales de espesor uniforme, el área mínima
y
el espaeiamiento máximo de l
refuerzo en la dirección dc
la
luz deben
ser
los que se requieren para retraceión y variación
de temperatura dc acuerdo con la Sección C. 7 .12. El espaciamiento má ximo de l refuerzo no
debe
exceder
del mínimo de tres veces cl
cspesor
de la losa o zapata,
ni
500
mm .
Con el propósito de limitar el agrietamiento
por
flexión en vigas y losas que trabajen en un a
dirección,
el
refuerzo para tracción por flcxión debe distribuirse uniformem
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
51/91
Estructuras de Concreto 1
de espesor dd recubrimi ento de cOllcrdo medido desde la fibra extrema
sometida a tracción hasta el centro
de
la barra. en .
A úrea efecti va. por barra. del concreto sometido a tracción que circunda el
refuerzo de flexión a tracción. Se calcula como el área de concreto que tiene
el mismo centroide que
d i c l ~ o
refuerzo. dividida por el número de barras o
alambres de refuerzo. en mm de concreto por barra o alambre.
Alternativamente. en los casos en los que f\ no excede de 420 MPa. el refuerzo de tracción
por fle.'\ión en \'igas debe distribuirse de tal manera que el ancho de la viga. dividido por
el
número de barras. o paquete de barras . no exceda 225 mm para concreto que no estú
expuesto
a
la intemperie.
ni
125 mm para concreto expuesto a
la
intemperie.
A continuación problemas de aplicación de los conceptos antes expuestos.
Problema 2.12
Diseñar la armadura necesaria a la flexión en una viga de 0.30 x 0.50 m. simplemente
apoyada en una luz dc
II
mctros. armada en concreto de = 21.1 MPa
211
kgtlcm
2
) y
acero para f\ o • 240 Ml'a (2400 kgUcm
2
) y una carga total de lI.lI í kN /m
O.lIlIó tf
/
m.)
(Nótese que esta carga cs la obtenida como soportada en condiciones de seguridad por
la
viga del problema
2
l . de sección. luz. tipo de carga. condiciones de apoyo
y
materiales
idénticos a este problema. cuando la sección estaba reforzada con
4 q 7 g- ).
Solución: Se trata de obtener una carga última y un momento actuante último a partir
del cual obtenemos p
l. Obtención de \v
u
, F de S. y
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
52/91
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
53/91
E5tructuras de Concreto 1
Problema 2.13
Revisar el diseño a flexión para momento máximo en
el
centro de
la
luz de 8 metros de una
viga simplemente apoyada sometida a carga unifonne, con materiales y refuerzo como
aparece en la sección adjunta, determinando su momento resistente último de diseño, la
carga w en kN /m que puede soportar cuando el factor de seguridad sea de 2.0 y cual sería el
factor de seguridad resultante
si
consideramos que la carga total actuante es de 8.86 kN/m
0.886 tf/m ,
carga esta obtenida
en
el problema
2 1
como soportada en condiciones de
seguridad por una viga similar de acuerdo a un diseño por el Método Elástico .
0.44 0.50
Figura 2.30
2
Concreto: fb = 21.1 MPa 211 kgf/cm )
Refuerzo: fy = 240 MPa 2400 kgf/cm
2
Solución: Se trata de obtener el momento resistente último de diseño a partir de la
cuantía p existente, luego la carga a soportar para un factor de seguridad
suministrado y finalmente
el·
factor de seguridad cuando la carga
w
es
suministrada como segura en un diseño elástico, obteniéndose así el factor de
seguridad de este método para el problema antes citado.
1 Obtención de
p:
= =
~ 8 7
= 0.011727
P bd 300 440
2
Obtención de
c M
n
A partir de las fórmulas:
60
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
54/91
-----
-
_____
Capítulo 2 Flexión
a= rfy d =
0.011727*240*440=69.1mm
0 . 8 5 f ~
0.85 * 21.1
~ n
= 0.9*4*0.000387*240000*(0.44 - 0.0691-7-2) = 135.57 kN·m
A part ir de las tablas:
~ M n
= Kbd
2
para K correspondiente a
p
= 0.011727
~ M n = 2333.4*0.30*0.44
2
= 135.52 kN·m, obteniéndose resultados iguales.
3. Carga
w
en kN/m que puede soportar para un factor de seguridad de 2.0:
e
8
2
W
u
W
u
~ n = 135.57 kN·m = = -
--
8 8
W
u
= 16.94 kN/m
Si
el factor de seguridad es 2.0;
U
= 2.0*0.9 =
1.
8
W = 16.94 = 9.41 kN/m, concluyéndose que
el
resultado obtenido en
el
1.8
problema
2.1
implica un factor de seguridad por
encima de 2.0.
4. Factor de Seguridad para una carga total actuante de 8.86 kN/m:
. 16.94
SI W
U
=
16.94 kN/m, entonces
U
= = 1.912
Y
8.86
F.deS. = 1 9 1 ~ = 2 1 2
0.9
Problema 2.14
que sería el correspondiente al diseño por el Método
Elástico en
el
problema 2.
1.
Diseñar
la
armadura necesaria a flexión en una viga de 0.30 x 0.50
m,
simplemente apoyada
en una luz de 8 metros, armada en concreto de
=
21.
I
MPa 21
I
kgf/cm
2
)
y aceros
p ~ r a
fy
= 240 MPa (2400 kgf/cm
2
) y como alternativa para
fy =
420
MPa
(4200 kgf/cm\ si
soporta una carga uniforme total de 10 kN/m, de la cual el 80 es carga muerta y
el
20 es
carga vIva.
61
\\
-
,-
)
-
8/16/2019 Estructuras de Concreto 1 4a Edición - Capitulo 2_Flexión
55/91
Es
tructuras de
Concreto
I
Solución: Se trata de obtener un momento actuante y con un factor de carga apropiado
un momento último de diseño, a partir del cual obtenemos las armaduras para
cada calidad de acero.
l. Momento actuante, coeficiente de carga y momento último de diseño:
w pc 10*8
c
Momento
actuante
=
M = - - = = 80
kN·
m
8 8
Utilizando un coeficiente de carga U = 1.6 D 2.0 L resulta:
w
u
= 1.6*0.80* 10+ 2.0*0.20* 1
