Estructuras de Cables 02

Proyecto Final de Carrera

Mtodos generalizados para el clculo esttico de

estructuras de cables y simulacin de la interaccin

dinmica catenaria pantgrafo segn la norma

europea EN50318

D. Miguel Such Taboada

Director

Dr. D. Alberto Carnicero Lpez

Madrid, 25 de mayo de 2008

ndice general

1. Introduccin 1

2. Objetivos 3

3. Historia de la ecuacin de la catenaria 5

4. Clasicacin de las estructuras de cables 9

4.1. Estructuras de cables lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.1.1. Lneas de transmisin de energa elctrica . . . . . . . . . . 10

4.1.2. Catenarias de trenes de alta velocidad . . . . . . . . . . . . 12

4.1.3. Puentes colgantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1.4. Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.5. Sistemas de transporte por cables . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2. Estructuras de cables planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2.1. Cubiertas de edicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3. Estructuras de cables tridimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I Equilibrio esttico de estructuras de cables 24

5. Mtodos de clculo. Estado del arte 26

5.1. Mtodo de desplazamientos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.1. Redes de cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2. El mtodo de la rejilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

I

NDICE GENERAL II

5.3. Mtodo de la densidad de fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.4. Mtodo de determinacin de tensiones por mnimos cuadrados . . . 37

6. Desarrollo terico del mtodo propuesto 40

6.1. Formulacin en coordenadas locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2. Formulacin en coordenadas globales . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.2.1. Consideraciones sobre el cable elstico . . . . . . . . . . . . 47

6.3. Generalizacin a 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.4. Ensamblado y resolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.4.1. Referencias tericas del problema . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.4.2. Familia de mtodos Gauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . 52

6.4.3. Familia de mtodos de regin de conanza . . . . . . . . . . 54

7. Vericacin de la implementacin del modelo 57

7.1. Contrastacin con el mtodo de elementos nitos (MEF) . . . . . . 57

7.2. Simulacin de sistema de transporte triangular . . . . . . . . . . . . 59

7.3. Comparacin de un sistema de cables en 3D . . . . . . . . . . . . . 62

7.4. Comparativa de clculo de rigidez de una catenaria ferroviaria . . . 64

7.5. Sistemas de transporte por cables conectados por poleas . . . . . . 66

7.6. Clculo del pendolado de una catenaria de tren de velocidad alta . . 68

8. Ejemplo de aplicacin 73

8.1. Creacin de una malla de elementos nitos . . . . . . . . . . . . . . 73

9. Conclusiones 77

II Interaccin Dinmica Catenaria-Pantgrafo 79

10.Estado del Arte 81

11.Formulacin del problema dinmico en cables 84

11.1. Formulacin del elemento co-rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . 89

NDICE GENERAL III

12.Formulacin del contacto catenaria-pantgrafo 98

13.Integracin temporal 107

13.1. La familia -Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

13.2. El mtodo -Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

14.Validacin con la norma EN50318 114

15.Conclusiones 119

III Reduccin Dinmica mediante Fsica Multicuerpo 120

16.Estado del arte 122

17.Frecuencias naturales y modos de vibracin 124

17.1. Frecuencias propias en catenarias ferroviarias . . . . . . . . . . . . . 126

18.El mtodo de la superposicin modal 130

18.1. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

19.Mecnica multicuerpo 134

19.1. Acoplamiento de modelos fsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

19.2. Aplicacin a catenarias con modelos FEM . . . . . . . . . . . . . . 137

20.Modelo multicuerpo jerrquico para la reduccin del sistema 140

20.1. Formulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

20.2. Resultados y vericacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

20.3. Anlisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

21.Conclusiones 156

NDICE GENERAL IV

IV Conclusiones y Aportaciones Originales 158

V Bibliografa 163

ndice de guras

3.1. Ejemplo de tienda romana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2. Comparacin entre una parbola y una catenaria . . . . . . . . . . 7

4.1. Lnea de transporte de Energa elctrica . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2. Partes de una catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.3. Detalle de la sustentacin de una catenaria . . . . . . . . . . . . . 14

4.4. Puente sobre el ro Min, China . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.5. Puente sobre el ro Rdano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.6. Simulacin numrica de una arcada [AGR06] . . . . . . . . . . . . . 18

4.7. Primera pgina del libro de De Ulloa . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.8. Foto area de un telefrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.9. Simple estructura de tensegridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.1. Nodo de una red de cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2. Mtodo de los desplazamientos no lineales . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3. Red de cables con proyeccin ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.1. Sistema de Coordenadas Locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.2. Relacin entre coordenadas locales y globales . . . . . . . . . . . . . 44

6.3. Diagrama de cuerpo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.4. Simple estructura de cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.1. Validacin con MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.2. Esquema de la disposicin del sistema de transporte triangular . . . 60

V

NDICE DE FIGURAS VI

7.3. Situacin inicial y nal de la estructura . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.4. Clculo del equilibrio de un cable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.5. Catenaria utilizada por Wu y Brennan . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.6. Comparacin en la distribucin de rigidez . . . . . . . . . . . . . . 66

7.7. Contraste grco de los resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . 68

8.1. Posicin de equilibrio de la catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.2. Vano central de la catenaria con malla MEF . . . . . . . . . . . . . 75

8.3. Desplazamientos desde el equilibrio de los nodos . . . . . . . . . . . 76

11.1. Prisma diferencial sometido a esfuerzo axil . . . . . . . . . . . . . . 85

11.2. Deformacin de green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11.3. Deformacin plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

11.4. Deformacin del elemento corrotacional . . . . . . . . . . . . . . . . 90

12.1. Problema de contacto generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

12.2. Sistemas de referencia locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

12.3. Penetracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

12.4. Penetracin en arista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

14.1. Catenaria de referencia EN50318 (10 vanos) . . . . . . . . . . . . . 115

14.2. Geometra y desplazamiento en los vanos centrales a 250 km/h . . . 116

14.3. Geometra y fuerza de contacto en los vanos centrales a 250 km/h . 117

14.4. Geometra y desplazamiento en los vanos centrales a 300 km/h . . . 117

14.5. Geometra y fuerza de contacto en los vanos centrales a 300 km/h . 118

17.1. Catenaria denida por la norma EN50318 . . . . . . . . . . . . . . 127

17.2. Modo de vibracin 1 (1.0182 Hz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127




NDICE DE FIGURAS VII

19.1. Sistema multicuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

19.2. Catenaria ferroviaria EN50318 de 3 vanos . . . . . . . . . . . . . . . 138

19.3. Descomposicin de la catenaria por vanos . . . . . . . . . . . . . . . 138

19.4. Ampliacin de la ligadura en el hilo de contacto entre los vanos A y B139

20.1. Descomposicin de la catenaria por vanos . . . . . . . . . . . . . . . 141

20.2. Paso de vano modal a vano FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

20.3. Paso de vano FEM a vano Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

20.4. Fuerza de contacto: FEM vs. multicuerpo FEM-Modal . . . . . . . 145

20.5. Desplazamientos: FEM vs. multicuerpo (FEM+Modal) . . . . . . . 146

20.6. Fuerza de contacto con 15 metros de anlisis FEM . . . . . . . . . . 148




20.10.Fuerza de contacto con anlisis modal de 30 modos de vibracin . . 152

20.11.Desplazamiento con 15 metros de anlisis FEM . . . . . . . . . . . 152




20.15.Desplazamiento con anlisis modal de 30 modos de vibracin . . . . 154

20.16.Anlisis de tiempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

ndice de tablas

6.1. Ensamblado del sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2. Algoritmo de Gauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.3. Algoritmo de la regin de conanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.1. Comparacin de resultados (Caso I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2. Comparacin de resultados (caso II.a) . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.3. Comparacin de resultados (Caso II.b) . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.4. Desviacin del punto de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.5. Comparacin con los resultados de Peyrot . . . . . . . . . . . . . . 65

7.6. Comparativa de clculo de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.7. Contraste numrico de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.8. Datos de la catenaria CRU 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.9. Validacin de la catenaria CRU 220 con 1 vano . . . . . . . . . . . 71

7.10. Validacin O.Lopez-Garcia - Catenaria CRU220 - 4 vanos . . . . . . 72

14.1. Validacin con el modelo de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . 116

17.1. Sensibilidad del mallado de las frecuencias naturales . . . . . . . . . 128

20.1. Comparativa de resultados en fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

20.2. Comparativa de resultados en desplazamientos . . . . . . . . . . . . 151

VIII

Captulo 1

Introduccin

Los antecedentes de este trabajo se encuentran en la formulacin e implementa-

cin de mtodos numricos ecaces para el anlisis de las catenarias ferroviarias ms

habituales en Europa que vena realizando un grupo de investigacin en la ETSI-

ICAI de la Universidad Ponticia Comillas dirigido por el director de este proyecto.

El autor del mismo contact con dicho grupo y se plante la posibilidad de realizar

una formulacin e implementacin de un mtodo general para el anlisis esttico,

no slo de catenarias ferroviarias, sino de cualquier tipo de estructura de cables.

Adems, se plante la posibilidad utilizar dicho mtodo para continuar con el desa-

rrollo de un modelo de la interaccin dinmica entre el pantgrafo y la catenaria de

trenes de alta velocidad. Para ello, se estudi el trabajo realizado anteriormente y se

ha tratado de superar para cumplir con la normativa europea EN50318 relativa a la

validacin modelos de simulacin dinmica de la interaccin catenaria-pantgrafo.

Un cdigo certicado permite validar catenarias para que puedan ser instaladas

en las lineas ferroviarias europeas cumpliendo con lo establecido en las normas de

interoperabilidad. La mayora de los mtodos de anlisis estticos de estructuras de

cables estn formulados de forma especca para cada problemtica. En el caso de

cambiar alguno de los parmetros que denen el problema o tratar de extenderlos

a otros tipos dejan de ser vlidos. Por otro lado, actualmente existen pocos cdigos

de simulacin de la interaccin catenaria-pantgrafo aptos para certicar catenarias

1

CAPTULO 1. INTRODUCCIN 2

ferroviarias. El trabajo realizado en este campo es el que se resume en el documento

presentado. El documento se dividir en tres partes claramente diferenciadas. En

la primera parte se proceder al desarrollo, formulacin y validacin del mtodo

para calcular el equilibrio esttico de cualquier estructura de cables. En la segun-

da parte, se desarrollar, formular y validar el modelo de interaccin dinmica

pantgrafo-catenaria y se validar segn la normativa europea EN50318. Para ello

se implementar una herramienta nueva de elementos nitos en MATLAB para po-

der implementar los nuevos modelos numricos. La tercera parte, aprovechando la

exibilidad del cdigo de elementos nitos y la potencia del mtodo presentado en

la segunda parte, trata de obtener un modelo simplicado que permita optimizar el

diseo de catenarias ferroviarias en un tiempo razonable. Cada parte consta de una

breve revisin del estado del arte sobre cada uno de los temas a tratar, la formula-

cin terica de cada uno de los mtodos, la validacin de los respectivos mtodos y

diferentes casos de estudio y una breve conclusin.

Captulo 2

Objetivos

Los objetivos planteados en la realizacin de este proyecto son:

1. Realizar una profunda revisin sobre los mtodos empleados hasta el momento

para la resolucin de problemas de estructuras con cables.

2. Recopilar todos los trabajos posibles, experimentales o tericos, que presenten

resultados con los que validar los modelos que se desarrollen.

3. Desarrollar un modelo general para el clculo de la posicin de equilibrio

esttico de estructuras tridimensionales de cables basado en la ecuacin exacta

de la catenaria.

4. Implementar dichos modelos en un cdigo ampliamente utilizado de propsito

general como es Matlab. La implementacin debe ser lo sucientemente exible

para permitir la reproduccin de cualquier problema de estructuras con cables.

5. Vericar, empleando la informacin recogida en la literatura cientca, la va-

lidez del mtodo desarrollado comprobando su exactitud, robustez y exibili-

dad.

6. Desarrollar un modelo de la interaccin dinmica pantgrafo-catenaria basado

en el mtodo de los elementos nitos que tenga la precisin requerida por la

norma europea EN50318 [CEN99].

3

CAPTULO 2. OBJETIVOS 4

7. Implementar en un cdigo de propsito general una herramienta que permita

resolver problemas mediante el mtodo de los elementos nitos. Debe hacer-

se de una manera lo sucientemente exible como para introducir el nuevo

modelo dinmico de interaccin catenaria-pantgrafo.

8. Vericar la validez del mtodo mediante los requisitos especicados en la nor-

ma europea EN50318 y comprobando su exactitud, robustez y exibilidad.

9. Desarrollar un modelo reducido de la interaccin catenaria-pantgrafo median-

te la aplicacin de tcnicas multicuerpo jerrquicas con asignacin dinmica

de modelos.

10. Introducir dicho modelo en la herramienta de elementos nitos desarrollada

en este proyecto.

11. Extraer las conclusiones oportunas en cuanto a la validez de los modelos.

Captulo 3

Historia de la ecuacin de la

catenaria

Desde que el hombre aprendi a anudar y tejer bras naturales, formando as

las primeras cuerdas, las ha utilizado para construir diferentes estructuras. En un

principio, stas tan solo servan como herramientas de caza y pesca. Posteriormente

comenzaron a utilizarse con nes constructivos; los barcos de antiguas civilizacio-

nes como la vikinga o la egipcia ofrecen una de las primeras referencias de estos

usos, pues estaban provistos de redes para soportar y fortalecer sus velas [CCH84].

Sin embargo, el mbito nutico no fue el nico beneciado: a nivel ms cotidiano,

las primeras civilizaciones tambin se ayudaban del uso de cuerdas en tensin para

levantar tiendas, as como para dotar de ms estabilidad a las carpas una vez levan-

tadas (sirvan como ejemplo las tiendas que solan transportar las legiones romanas

durante las largas campaas de guerra).

Por otro lado, tambin se hizo necesario salvar desniveles para poder despla-

zarse con ms comodidad y velocidad. Ya en las civilizaciones del mundo antiguo,

chinos e incas necesitaron, al aumentar las relaciones sociales y econmicas de la

poca, cruzar ros y montaas con mayor velocidad. Con este n se construyeron

los primeros puentes colgantes. Estos puentes tenan la virtud de ser fciles de fa-

bricar y requeran un material muy ligero. Los primeros eran muy rudimentarios.

5

CAPTULO 3. HISTORIA DE LA ECUACIN DE LA CATENARIA 6

Figura 3.1: Ejemplo de tienda romana

No pasaban de cuerdas o cadenas anudadas, pero la tcnica de fabricacin se fue

perfeccionando con el tiempo, obtenindose los precursores de los cables de acero

tan usados hoy en da.

Con el avance de la ciencia y la tecnologa empezaron a surgir nuevas estruc-

turas de cables. La electricacin de las ciudades hizo necesario el transporte de

electricidad a travs de grandes lneas areas. Asimismo, los ferrocarriles abandona-

ron progresivamente el motor de vapor, y empezaron a estudiarse nuevos mtodos

para transmitir energa a los trenes. Los edicios, entregados al arte, empezaron

a disearse con cubiertas curvas utilizando entramados de cables en tensin. La

complejidad creciente de este tipo de estructuras hizo necesario entender mejor el

comportamiento mecnico de los materiales.

Ya en el siglo XV, Leonardo da Vinci haba empezado a preguntarse cmo se

comportara un cable en tensin. En alguno de sus bocetos, Da Vinci fue el primero

en dibujar una catenaria. En 1615 Beeckman dise un puente colgante suponiendo

que la curva que ste adoptaba era una parbola. No obstante, esta solucin no fue

ampliamente conocida hasta que, dos siglos despus, volviera a ser redescubierta

por el ingeniero ruso Fuss, ahijado de Euler, a quien se encarg que diseara un

puente sobre el ro Neva en San Petersburgo. Galileo, en Discorsi e dimostrazioni

matematiche, intorno due nuove scienze, publicado en 1638, arm que la forma


que debe adoptar una cadena al ser colgada entre dos puntos debe ser parablica,

conclusin a la que lleg tomando como modelo el vuelo de un proyectil [Irv81].

A mediados del siglo XVII el astrnomo, fsico y matemtico holands Christiaan

Huygens ya saba que Galileo estaba equivocado. No obstante, como dijo Huygens,

la diferencia entre las dos curvas no es muy grande tal y como se ve en la gura 3.2.

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4 ParabolaCatenaria

Figura 3.2: Comparacin entre una parbola y una catenaria

En 1690 Jacob Bernoulli public Acta Erudiatorum, documento en el que se ex-

plica por primera vez el concepto de integral. Para mostrar la potencia de la nueva

herramienta de clculo, Jacob propuso utilizarla para resolver denitivamente el

problema al que Galileo no supo dar la solucin correcta. Este reto fue resuelto de

facto por tres personas: John Bernoulli (hermano de Jacob), Leibnitz y Huygens.

Bernouilli y Leibniz aplicaron el clculo diferencial, por aquel entonces recin des-

cubierto. Huygens, por su parte, utiliz un mtodo grco. Es difcil saber quin lo

hizo primero, ya que las respuestas se publicaron en un corto espacio de tiempo y

la mala relacin entre los autores no facilit la tarea.

Los hermanos Bernoulli adems formularon la ecuacin diferencial de equilibrio de

una cadena sometida a diferentes estados de carga. Dentro de sus anlisis llegaron

a incluir la deformacin elstica de los cables aplicando la ley de Hooke a sus ecua-

ciones.


Huygens fue quien le dio el nombre de catenaria a la curva. Este nombre proviene

de la palabra latina catenarius, que signica cadena. Tambin se le llam funi-

cular, basado en la denominacin latina para cuerda. Hoy en da se reserva esta

denominacin para los vehculos o artefactos cuya traccin se realiza por medio de

una cuerda, cable o cadena.

El incremento de la complejidad de los problemas estructurales continu plan-

teando nuevos retos similares al de la forma de la catenaria. Un profundo estudio en

el estudio de la historia de la resistencia de materiales se encuentra en el excelente

libro de Timoshenko Historia de la resistencia de materiales [Tim83]. Por otro

lado, no se debe olvidar la estrecha relacin de este tema con el ncleo central del

presente trabajo: la resistencia de materiales ha desempeado un papel fundamental

en el diseo y construccin de un sinnmero de obras de la ingeniera, cuya belleza

an hoy nos sigue sobrecogiendo.

Captulo 4

Clasicacin de las estructuras de

cables

Hoy en da el uso de los cables para la formacin de estructuras se halla am-

pliamente extendido. Este fenmeno se explica al comparar el coste que suponen

las estructuras rgidas con el desembolso, signicativamente menor, que demandan

las estructuras de cables. Atendiendo a su conguracin espacial, stas se pueden

dividir en tres grandes grupos: las estructuras de cables lineales, usadas generalmen-

te en transporte, ya sea de energa o de objetos; las estructuras de cables planas,

que gozan de una creciente popularidad debido a su belleza artstica, y que se usan

principalmente en edicaciones a modo de cubiertas (deben incluirse en este grupo

las estructuras en forma de membrana); y, por ltimo, las estructuras tridimensio-

nales, las menos usuales y quizs las de menor inters prctico en la actualidad, a

pesar de que en la naturaleza se encuentran muy a menudo mallas tridimensionales,

compuestas por bras exibles con una innidad de utilidades.

4.1. Estructuras de cables lineales

Las estructuras de cables lineales tienen la caracterstica de avanzar en una

dimensin. En general, cada cable de la estructura slo conecta con otro cable en

9

CAPTULO 4. CLASIFICACIN DE LAS ESTRUCTURAS DE CABLES 10

un punto llamado habitualmente nudo, si bien en algunos casos, como en el de las

catenarias ferroviarias, se forman mallas verticales para aumentar la rigidez, con

lo que conectara con ms de un cable. Para avanzar sin contactar con el suelo, la

estructura est soportada con unos apoyos cuya distancia depende de la tensin

del cable, su peso y la cada permitida. A los tramos de cable conectados entre dos

apoyos se les llama vanos. La tensin de la lnea suele transmitirse a travs de

poleas situadas en los apoyos. Sin embargo, debido al rozamiento que aparece en

estas poleas no es posible tener un cable continuo con una sola tensin, sino que se

deben formar diferentes tramos independientes mecnicamente. A continuacin se

presentan algunas de las tipologas ms habituales.

4.1.1. Lneas de transmisin de energa elctrica

La red de transporte de energa elctrica es la parte del sistema de suministro

elctrico constituida por los elementos necesarios para llevar hasta los puntos de

consumo, y a travs de grandes distancias, la energa generada en las centrales

hidroelctricas, elicas, trmicas, de ciclo combinado o nucleares.

Para ello, la energa elctrica producida debe ser transformada previamente a

un nivel superior de tensin. Esto es necesario, ya que, para un determinado nivel

de potencia a transmitir, al elevar el voltaje se reduce la corriente y, por lo tanto,

se reducen las prdidas por efecto Joule.

Parte fundamental de la red de transporte de energa elctrica son las lneas

de transporte. Se llama lnea de transporte de energa elctrica o lnea de alta

tensin al medio fsico mediante el cual se realiza la transmisin de la energa

elctrica a grandes distancias. Est constituida tanto por el elemento conductor,

usualmente cables de aleaciones de cobre o aluminio, como por sus elementos de

soporte, las torres de alta tensin.

Al estar stas formadas por estructuras hechas de perles de acero, como medio

de sustentacin del conductor se emplean aisladores de disco, y herrajes para sopor-

tarlos. El proceso de tendido de una lnea para transporte de energa elctrica es una


tcnica bien conocida. Se colocan unas poleas ancladas a las cadenas de aisladores

que cuelgan de las crucetas de las torres y se pasa el cable. Posteriormente se pro-

cede al tensado y al engrapado del cable a las cadenas de aisladores; las compaas

suelen exigir que las cadenas de aisladores queden en posicin vertical. El proceso

para obtener esta disposicin se denomina engrapado.

Figura 4.1: Lnea de transporte de Energa elctrica

Existen diversos mtodos de clculo para determinar la posicin de las grapas;

sin embargo, la mayora de ellos son muy simplicados, como lo demuestra la gran

variedad de resultados que se obtiene para clculos realizados sobre un mismo con-

junto de vanos. A un conjunto de vanos unidos por poleas se le llama cantn. Con el

mtodo presentado en este trabajo sera posible calcular de manera exacta, teniendo

en cuenta tanto la deformacin elstica debido a la tensin como a la provocada

por una distribucin de temperaturas en los cables, la longitud y la tensin de cada

tramo, as como la distancia entre el suelo y el cable conductor. Adems es posible


calcular el punto en el que se deben anclar las grapas. Esta informacin es crtica

para el diseo de la lnea ya que la capacidad de la misma depender de la altura

a la que estn los conductores en su punto mnimo. Algunas herramientas actuales

ofrecen clculos aproximados, pero generalmente no incorporan el efecto produci-

do por la temperatura del cable. Gracias al modelo desarrollado no slo es posible

realizar dicho clculo de una forma rpida y able, sino que adems es posible apli-

car mtodos de optimizacin de estructuras para mejorar el diseo de este tipo de

lneas, minimizando as coste, consumo y riesgo de fallo.

4.1.2. Catenarias de trenes de alta velocidad

En el sector ferroviario, con la palabra catenaria se denomina a todo el conjunto

de elementos que constituye la lnea area de transporte y suministro de energa

elctrica a los trenes. Est situada sobre los rales y avanza mayoritariamente en su

misma direccin, aportando la energa elctrica necesaria mediante un elemento de

frotacin denominado pantgrafo. El elemento fundamental de la catenaria es el

cable de frotacin con el pantgrafo de la locomotora; a este cable se le denomina

hilo de contacto(ver gura 4.2). Para que el rozamiento entre el pantgrafo de la

locomotora y el hilo de contacto sea lo ms homogneo posible, es necesario que el

hilo de contacto mantenga constante su altura respecto a los carriles.

Cuando las velocidades a las que se desplazan los trenes son relativamente bajas,

de hasta 50 km/h aproximadamente, es suciente en el montaje de los hilos de

contacto que la diferencia de altura entre los apoyos y el centro del vano sea del 1

por 1000 de la longitud del vano, y con un mximo de 20 cm, valores que se pueden

conseguir mediante el propio tense mecnico del hilo de contacto.

Sin embargo, cuando la velocidad aumenta, esta diferencia de alturas entre el

apoyo y el centro del vano se vuelve ms crtica, siendo necesaria una mayor uni-

formidad en las alturas. Como el tense mecnico del hilo de contacto no puede

aumentar indenidamente, es necesario tender otro cable, denominado sustenta-

dor, y sujetar el hilo de contacto al nuevo cable tendido mediante unas retenciones,


0 20 40 60 80 100 1200.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Distancia [m]

Altu

ra [m

]Hilo SustentadorHilo de contactoPendolaPendola en Y

Figura 4.2: Partes de una catenaria

denominadas pndolas, situadas longitudinalmente cada cierta distancia. De esta

forma, y mediante la mayor o menor longitud de las pndolas, se consigue mantener

constante la altura del hilo de contacto sobre los rales.

A la hora de montar estas estructuras es necesario conocer la longitud de las

pndolas antes de ensamblar la catenaria. Aunque se realizan aproximaciones para

minimizar el gasto de material, debido a la inexactitud de los mtodos se tiene que

realizar un calibrado manual midiendo cada pndola. Estos tendidos cubren grandes

distancias y el proceso de calibrado supone un gran gasto de tiempo y de dinero.

Como se muestra ms adelante, la metodologa tratada resuelve el problema con

suciente precisin como para acelerar dicho proceso. Otro problema de especial

inters desde un punto de vista cientco y tecnolgico es la interaccin dinmica

entre el pantgrafo y la catenaria. Adquiere gran importancia en las lneas de alta

velocidad ya que, para que el tren funcione con normalidad, es necesario que el


Figura 4.3: Detalle de la sustentacin de una catenaria

pantgrafo no se despegue del cable y que no se produzca una vibracin excesiva. Los

mtodos actuales para resolver problemas de dinmica del slido deformable, como

por ejemplo el mtodo de los elementos nitos, pueden tardar entre 8 y 10 horas

en calcular una respuesta de los que entre un 10 y 15% de este tiempo se consume

en el clculo de la conguracin de referencia. O. Lopez-Garcia et al. utilizaron

una metodologa que permita reducir el tiempo de clculo de la conguracin de

equilibrio incial, tal y como explican en [LGCT06]. Pese a que su modelo da tan

buenos resultados como el mostrado en este trabajo, resulta demasiado rgido para

su aplicacin en problemas ms generales y de mucho inters como, por ejemplo, el

estudio de la zona de contacto entre un cantn y el siguiente, donde se produce una

leve discontinuidad en la interaccin entre la catenaria y el pantgrafo. El modelo

que se presenta en este trabajo, aunque utiliza una idea similar, resulta mucho ms

exible y permite resolver los diferentes problemas que presentan las estructuras de

cables, siendo por tanto una ecaz herramienta para el diseo de dichas estructuras.


4.1.3. Puentes colgantes

Una de las construcciones que ms ha impulsado el avance de este tipo de es-

tructuras han sido los puentes colgantes. El primer puente colgante del que se tiene

constancia es el construido en Yunnan, China, alrededor del 65 a.C. (si bien la

identidad de su constructor constituye una incgnita) [Ron78]. En el Imperio del

centro, tanto este puente como los que lo sucedieron se caracterizaban por colgar

suspendidos de cadenas de hierro, algo que an tardara siglos en llegar a Europa.

Por su parte, los Incas ya haban comunicado los Andes, antes de la llegada de

Cristbal Coln, por medio de puentes colgantes. stos estaban pensados para el

trnsito a pie en cualquier poca del ao, y se construan con cuerdas tejidas a base

de una hierba muy comn en Sudamrica, el ichu (algunos siguen en pie hoy da,

gracias a sucesivas restauraciones efectuadas con las mismas tcnicas tradicionales

que emplearon los primitivos artces)[Wri00].

El diseo de estos puentes, junto a los que se construiran siglos ms tarde en

Europa, mejor con el paso de los aos. En estos primeros puentes colgantes el

tablero estaba soportado directamente sobre los cables, por lo que tena la forma

de una catenaria cuya cada aumentaba conforme la cadena o cable se destensaba.

Se aadan, adems, otros cables o cadenas a mayor altura para usarlos a modo de

barandilla (un ejemplo de este tipo de puentes lo se puede encontrar en la gura

4.4).

Ms adelante el diseo incorporara cables secundarios, unidos al principal, que

lograran mantener la plataforma en posicin horizontal. Este esquema mejorado,

que cuenta con una ejemplar representacin en el famoso puente sobre la Golden

Gate (puerta dorada) de San Francisco, ha perdurado hasta nuestros das.

Se conoce que, ya en el siglo XVII, haba puentes hechos con cuerdas Europa.

Muchos de ellos se construyeron con nes blicos y hay constancia de ello en diversas

crnicas de la poca [Dre32]. Se cree que el primer puente europeo hecho con cadenas

se construy en Inglaterra en 1741. Contaba con 60 m de luz y, al estar destinado al

uso diario de los trabajadores de las minas inglesas, su tosquedad lo situaba a aos


Figura 4.4: Puente sobre el ro Min, China

luz del renamiento alcanzado por las estructuras chinas. Por lo dems, en Inglaterra

no se vuelve a tener constancia de la existencia de ningn otro puente construido a

base de cadenas hasta el ao 1814. En lo que respecta al continente, la introduccin

en l de puentes colgantes de cables cont entre sus pioneros con los seores Sequin

d'Annonay [Dre32], quienes, en 1823 propusieron al gobierno francs un diseo para

la construccin de un puente de grandes dimensiones en Tournon, atravesando el

ro Rdano, cuyo boceto es el de la gura 4.5. Empezaron construyendo un modelo

de 19 m de largo y 60 cm de ancho sobre el ro Galore en Saint Vallier para obtener

datos experimentales. El puente se abri en agosto de 1825.

Figura 4.5: Puente sobre el ro Rdano

Tras este breve recorrido histrico por la evolucin de los puentes colgantes, cabe

adelantar algunos comentarios relativos a las dicultades y problemas que presentan.

En los puentes colgantes se dan dos tipos de problemas diferentes: el anlisis de la


respuesta no lineal de los cables y el anlisis de los pilares. La metodologa que se

desarrolla en este trabajo hace posible la resolucin esttica de ambos problemas, si

bien es preferible el trabajo conjunto con elementos nitos para obtener un anlisis

ms detallado de las tensiones en los pilares. Gran parte de la rigidez de los puentes

colgantes proviene de la tensin de los cables. Debido a la naturaleza geomtrica

de esta rigidez, el sistema modica de forma no lineal sus propiedades frente a

cargas externas. Cuanto mayor es la tensin a la que se est sometida la estructura,

ms se puede aproximar a un modelo lineal. Sin embargo, en estructuras menos

rgidas estos modelos responden peor. Este problema es importante estudiarlo, ya

que resulta crtico frente a la respuesta dinmica ocasionada por agentes externos.

4.1.4. Arcos

A travs de los siglos, los arcos se han revelado no slo como un indispensable

elemento estructural en todo tipo de construcciones, sino tambin como reejo de

la evolucin de las tcnicas arquitectnicas, a menudo revelando con su forma la

pertenencia de un edicio a uno u otro periodo histrico: el progresivo perfeccio-

namiento de su diseo ha permitido evolucionar hacia la construccin de edicios

cada vez ms esbeltos. Un recorrido por la evolucin de los arcos debe comenzar

con la inevitable mencin al estilo romnico, caracterizado por la omnipresencia

de los arcos de medio punto. El origen de estas estructuras data de los tiempos de

esplendor de la antigua Mesopotamia, pasando con posterioridad a Roma (de donde

procede la particular denominacin del estilo romnico). Los creadores de las anti-

guas catedrales romnicas infundieron en stas la capacidad de transmitir quietud y

recogimiento dotndolas de paredes gruesas, compactas y sin apenas ventanas para

poder levantar naves que, a pesar de todo, eran, en comparacin, bastante estre-

chas. Esto era debido en gran parte a la inecacia de los arcos de medio punto que

estaban situados sobre puertas y columnas.

El uso de los arcos apuntados u ojivales se introdujo en la arquitectura de la

mano de los rabes y ms adelante surgira otro tipo de arcos apuntados que sera


caracterstico del estilo gtico. El uso de este tipo de arcos, adems de modicar

estticamente los edicios, aument la ecacia de la estructura, pues, gracias a su

verticalidad, las presiones laterales se reducan considerablemente respecto a las pro-

ducidas con la utilizacin del arco de medio punto, permitiendo as salvar mayores

espacios. La evolucin, a lo largo de los aos, de esa idea que gener la transicin

a los arcos apuntados, llev a considerar la introduccin de los arcos con forma de

catenaria en la construccin. Al verse sometida a una fuerza distribuida vertical, la

catenaria, por razones geomtricas, tan slo soporta tensin axial. Aplicando esta

idea a los arcos se obtiene una estructura que slo se ver sometida a este tipo de

esfuerzos, aumentando considerablemente la altura a la que se pueden elevar las

columnas, as como la resistencia de las mismas.

Utilizando esta idea, y ayudndose por modelos experimentales de cuerdas, An-

toni Gaud dise la Sagrada familia en 1883, iglesia que, como es sabido, sigue en

construccin hoy en da.

Figura 4.6: Simulacin numrica de una arcada [AGR06]

Con la metodologa presentada en este trabajo se podran reproducir los anlisis

realizados por Gaud e incluso obtener curvas nuevas conociendo unos pocos datos

como, por ejemplo, los puntos mximos deseados o la longitud de los arcos. Una vez

obtenida la geometra podran introducirse en programas de clculo de estructuras

para conrmar que el diseo tiene las propiedades deseadas.


4.1.5. Sistemas de transporte por cables

Al igual que puentes colgantes, ya existan telefricos hechos con cuerdas en

Sudamrica antes de que fuera descubierta por los europeos. De Ulloa, un escritor

espaol, describe en su libro Viaje histrico por la amrica meridional, tal y como

se cuenta en [Dre32], un tipo de puente llamado tarabita usado para cruzar los

valles de la cordillera de los Andes.

Figura 4.7: Primera pgina del libro de De Ulloa

Un cable hecho de bamb se enviaba de un lado del valle, donde quedaba ata-

do a un poste, a la otra ladera del valle, donde una polea serva para tensar el

sistema. Elevando un extremo por encima del otro, y utilizando una canasta su-

cientemente grande para que un hombre se pudiera sentar en ella, era posible cruzar

sin dicultad. Para facilitar el regreso se colocaba otro artilugio similar inclinado en

direccin opuesta. De esta forma a los habitantes de la zona les era posible cruzar

en relativamente poco tiempo la Cordillera de los Andes.

Por otro lado, los telefricos son sistemas muy utilizados en la actualidad pa-


ra el transporte de pasajeros. Generalmente se construyen con nes tursticos, ya

que permiten transitar por terreno muy abrupto y en condiciones desfavorables sin

necesidad de instalar una gran cantidad de postes. Esto los hace especialmente in-

teresantes para remontes de alta montaa; de hecho, es uno de los sistemas ms

populares en las estaciones de esqu abiertas al pblico.

Figura 4.8: Foto area de un telefrico

Utilizando una conguracin de tres cables es posible transportar objetos entre

dos puntos cualesquiera en un rea, en lugar de hacerlo entre dos puntos jos, como

ocurre en los funiculares tradicionales. Una de las dicultades que entraa este

mtodo es el control de dicho sistema, ya que la posicin del objeto a transportar

depende de las tensiones aplicadas en los dos extremos libres del sistema. Con la

metodologa presentada se pueden conocer tanto la posicin del objeto conocidas las

tensiones como las tensiones necesarias para transportar el objeto al punto deseado.

4.2. Estructuras de cables planas

Una estructura de cables es plana cuando tiene forma de malla o membrana. Este

tipo de estructuras, debido a su ligereza, cuenta con una rigidez especca bastante

elevada; como en los casos unidimensionales, gran parte de la rigidez inherente del

sistema viene dada por la tensin de los materiales.


4.2.1. Cubiertas de edicios

Las primeras estructuras de este tipo, tal y como las se conocen hoy en da,

fueron las cuatro cubiertas de los pabellones construidos por el ingeniero ruso

V.G.Shookhov para una exposicin en Nizjny-Novgorod en 1896. Durante los aos

treinta algunas cubiertas de tamao medio se construyeron en Estados Unidos y en

Europa, si bien ninguna goz de relevancia signicativa. Cuando, en 1950, Matthew

Nowicki diseo la State Fair Arena se di un gran paso en el desarrollo de este

tipo de cubiertas. Por desgracia, ese mismo ao Nowicki muri en un accidente a-

reo, pero su trabajo fue continuado por el arquitecto William Henry Deitrick y el

ingeniero Fred Severud, quienes en 1953 completaron el edicio.

Durante una visita a Estados Unidos, un estudiante alemn de arquitectura,

llamado Frei Otto, vio los dibujos del Raleigh Arena en la ocina de Nueva York

de Fred Severud. Otto se dio cuenta de que el proyecto aunaba muchas de sus

mismas ideas para conseguir una construccin con la mnima cantidad de material.

Tras su graduacin en 1952, Otto comenz a investigar sobre cubiertas colgantes.

Su investigacin, que fue presentada en su tesis doctoral Das Hngende Dach (La

cubierta colgante), se convirti en el primer documento dedicado exclusivamente a

este tipo de estructuras.

Tras interesarse por el trabajo realizado por Otto, Peter Stromeyer, dueo de

una de las mayores compaas de fabricacin de tiendas de campaa del mundo,

contact con el arquitecto, con lo que comenz una fructfera relacin. En 1957

Otto abri un centro de investigacin sobre construccin de estructuras ligeras en

Berln para optimizar el proceso. En 1964 aadi dicho centro de investigacin al

homnimo de la Universidad de Stuttgart, cuyo trabajo, desarrollado entre los aos

1957 y 1965, fue publicado en los dos volmenes de Tensile Structures [OTS67].

Frei Otto fue el responsable de la construccin y el desarrollo de gran cantidad de

las estructuras tensadas construidas durante los 60 y los 70. Entre ellas, la primera

gran estructura fue la del pabelln de Alemania de la exposicin universal de 1967

en Montreal.


La creciente complicacin de este tipo de estructuras ha sido la responsable de

gran parte del desarrollo de las tcnicas de clculo para la obtencin de la geometra

de equilibrio durante la etapa de diseo. Estos mtodos se han desarrollado desde

mediados del siglo XX cuando la potencia de los ordenadores no era an compa-

rable a la que existe hoy en da. Por ello, estos mtodos suelen ser muy rgidos y

estn sujetos a diferentes restricciones con el n de simplicar los clculos. Con el

procedimiento que se describe en este trabajo es posible estudiar el comportamiento

esttico de este tipo de estructuras, tanto las formadas por cables como aqullas for-

madas por membranas con rapidez y precisin lo que permitira disear estructuras

an ms complejas.

4.3. Estructuras de cables tridimensionales

Utilizando esta metodologa tambin es posible resolver situaciones en las que

intervengan cables interconectados formando redes tridimensionales de cables. Las

aplicaciones ms relevantes de este tipo de disposiciones son las denominadas Es-

tructuras de Tensegridad. Surge as el concepto de tensegridad como principio es-

tructural basado en el uso aislado de componentes en compresin dentro de una red

de componentes en tensin, de forma que los elementos de compresin no se toquen

y los elementos en tensin denan el sistema espacialmente. Estas estructuras son


Figura 4.9: Simple estructura de tensegridad

muy utilizadas en arte, ya que la forma que describen una vez completadas son muy

estilizadas. En un mbito ms prctico, este tipo de estructuras establece el com-

portamiento mecnico de clulas y molculas, as como el del ADN [Ing93]. Adems,

a nivel molecular, diversos estudios han analizado su utilidad para desentraar el

movimiento de los organismos unicelulares [CI99].

Parte I

Equilibrio esttico de estructuras de

cables

24

25

En esta primera parte se propone un nuevo mtodo para el clculo de la posi-

cin de equilibrio esttico de estructuras tridimensionales de cables. Este mtodo

se basa en las ecuaciones analticas de la catenaria y supone una generalizacin de

la aplicacin previa para el clculo de equilibrio inicial de catenarias realizado por

el equipo de investigacin en mecnica computacional del ICAI coordinado por el

director de este proyecto. En los siguientes captulos se profundizar en el mtodo

y estarn estructurados de la siguiente manera: En primer lugar se expone una re-

visin de los principales mtodos de clculo utilizados para su resolucin, captulo

5. A continuacin, el captulo 6 presenta el mtodo terico propuesto para la reso-

lucin de estructuras de cables a partir del desarrollo de las ecuaciones analticas

de la catenaria. El captulo 7 presenta diferentes casos que permiten comprobar la

robustez, precisin y exibilidad del modelo terico y su implementacin prctica,

contrastando los resultados con otros publicados en diversas revisas cientcas. El

captulo 8 muestra una de las aplicaciones prcticas para las que se est empleando

el modelo en la actualidad. Por ltimo, el Captulo 15 presenta brevemente las con-

clusiones del trabajo. Las referencias empleadas en el desarrollo del trabajo sern

presentadas en orden alfabtico al nal del documento.

Captulo 5

Mtodos de clculo. Estado del arte

La mecnica de los medios continuos trata de predecir el comportamiento de

los cuerpos cuando sobre ellos actan fuerzas externas, comportamiento ste que

depende de una serie de parmetros divisos en dos grandes grupos: por un lado, pa-

rmetros intrnsecos, basados en las propiedades del cuerpo o sistema que se estudia

(geometra, masa o elasticidad), y, por otro lado, parmetros circunstanciales, que

dependen del estado en que se encuentre el sistema (fuerzas externas, velocidad o

posicin). El comportamiento, pues, viene regido por un conjunto de ecuaciones en

derivadas parciales acopladas, que tiene solucin analtica en los casos ms sencillos.

Sin embargo, cuando se trata de aproximar una realidad ms compleja habitualmen-

te se emplean mtodos numricos de integracin, como el mtodo de los elementos

nitos, el de las diferencias nitos, mtodos espectrales, elementos de contorno, etc.

Utilizando un mtodo numrico es posible encontrar solucin al problema de

equilibrio inicial de sistemas de cables. En la mayora de las estructuras, la con-

guracin de referencia es conocida ya que esta no depende de la distribucin de las

tensiones internas. En las estructuras tensadas, como son las formadas por cables,

la conguracin inicial depende de las tensiones internas, que son a priori descono-

cidas, y que deben ser determinadas. La resolucin de este problema constituye lo

que se denomina problema de equilibrio inicial y es el paso previo a la obtencin

de la respuesta (ya sea esttica o dinmica) de una estructura tensada frente a una

26

CAPTULO 5. MTODOS DE CLCULO. ESTADO DEL ARTE 27

accin exterior.

Una manera de clasicar los diferentes mtodos de resolucin consistira en la

diferenciacin entre los parmetros especicados por el diseador y los que son

tratados como incgnitas [HA82]. Los parmetros involucrados en un problema de

equilibrio inicial son los siguientes:

La topologa de la estructura, que dene las conectividades de los miembros

que la forman.

Las cargas externas. Incluir stas suele complicar el problema de equilibrio

inicial, ya que la magnitud y la direccin de las cargas pueden depender de la

conguracin inicial de referencia

La geometra de la estructura, uno de los dos parmetros clave del problema de

equilibrio inicial, y especialmente importante para calcular las tensiones que

actuarn en la estructura en cada momento: para una estructura en tensin,

la curvatura es el parmetro que ms afecta al comportamiento estructural;

La distribucin de las fuerzas internas, que se revela como el segundo parme-

tro clave, pues para conseguir un diseo seguro y econmico es fundamental

encontrar una distribucin de fuerzas apropiada.

El problema de equilibrio inicial es un problema esttico puro, por lo que no

es necesario introducir ecuaciones dinmicas. Sin embargo, algunos mtodos, como,

por ejemplo, el mtodo de desplazamiento no lineal, utilizan ecuaciones cinemticas

para resolver el problema tal y como se comentar posteriormente. Este mtodo en

concreto requiere la especicacin de ciertas propiedades del material, si bien dicha

especicacin no tiene por qu referirse necesariamente a las propiedades reales:

pueden usarse propiedades cticias para controlar la solucin de la conguracin de

referencia [HA82].

Como se ha mencionado anteriormente, las cargas externas pueden complicar el

problema de equilibrio inicial, por lo que se suele asumir que los miembros de la


estructura no tienen peso y que ninguna carga acta en los nodos. Sin embargo, para

obtener una solucin completa, las fuerzas externas estarn presentes en muchas de

las ecuaciones expuestas en este captulo, aunque normalmente sean despreciadas.

Inicialmente, el nico requisito sobre la conguracin de referencia es que debe

estar en equilibrio. Considrese un nodo i en un red de cuatro cables, como se puede

observar en la gura 5.1. Las ecuaciones de equilibrio en las direcciones x,y y z en

el nodo se pueden escribir como:

Tijxj xiLij

+ Tikxk xiLik

+ Tilxl xiLil

+ Timxm xiLim

+ Fxi = 0, (5.1)

Tijyj yiLij

+ Tikyk yiLik

+ Tilyl yiLil

+ Timym yiLim

+ Fyi = 0, (5.2)

Tijzj ziLij

+ Tikzk ziLik

+ Tilzl ziLil

+ Timzm ziLim

+ Fzi = 0, (5.3)

Como el equilibrio inicial es un problema esttico, cualquier conguracin con

la que se satisfagan las ecuaciones anteriores en cada nodo ser una solucin del

problema. Dependiendo de cual de los mtodos de resolucin que se exponen a

continuacin se utilice, las incgnitas de estas ecuaciones pueden ser las tensiones, las

longitudes o las posiciones obtenindose diferentes soluciones. No obstante, algunas

soluciones son mejores ya que no todas responden a la realidad fsica que se busca.

Figura 5.1: Nodo de una red de cables


A continuacin se describirn los diferentes mtodos que han sido utilizados

por diferentes autores para obtener estas soluciones anteriormente. Se realizar un

breve resumen de cada uno de ellos, resaltando a la vez tanto sus ventajas como sus

inconvenientes.

5.1. Mtodo de desplazamientos no lineales

Entre los primeros mtodos aplicados en la resolucin de problemas de equili-

brio inicial cobra especial relevancia el mtodo del desplazamiento no lineal. ste

se basa en la tcnica de los elementos nitos para el anlisis del comportamien-

to estructural con grandes desplazamientos. Con frecuencia, el mismo algoritmo se

aplica en la resolucin tanto de problemas de equilibrio inicial como de problemas

en los que aparezcan cargas externas. Sin embargo, este mtodo se ve aquejado de

grandes desventajas ya que es preciso tensar previamente la estructura para aproxi-

marse al equilibrio lo que ralentiza mucho el proceso ya que requiere varios clculos

consecutivos.

El mtodo de los desplazamientos no lineales se puede resumir de la siguiente

forma: primero, se establece una malla de elementos en equilibrio con una distribu-

cin distribucin de fuerzas jada por el diseador. Se crea una forma tridimensional

de la malla desplazando los puntos de soporte de forma casi vertical a partir de sus

posiciones iniciales hasta los puntos en los que estar anclada la estructura, y, por

ltimo, se usa un algoritmo iterativo para obtener la conguracin de equilibrio de

la estructura deformada.

5.1.1. Redes de cables

Argyris fue uno de los primeros investigadores en utilizar el mtodo de los des-

plazamientos no lineales para resolver problemas de equilibrio inicial en redes de

cables, tal como describe en [AAB74]. Su mtodo fue desarrollado para encontrar

la forma de las cubiertas usadas en el estado olmpico de Munich, construido pa-


ra las olimpiadas de 1972 usando barras para representar los cables en su modelo

numrico.

Barnes detalla en [Bar88] un mtodo similar en el que a una estructura inicial-

mente desequilibrada se le permite experimentar una vibracin amortiguada hasta

estabilizarse en una posicin de equilibrio.

Cualquiera de estos mtodos permite conocer la geometra en equilibrio del pro-

blema. Sin embargo, los desplazamientos en los nodos jos pueden aumentar hasta

que aparezca una distribucin de fuerzas desfavorable. Por eso, una vez que los

nodos jos han llegado a sus posiciones nales se realiza un ajuste de fuerzas modi-

cando las longitudes iniciales de los elementos mediante el siguiente procedimiento.

Un elemento tipo barra con un comportamiento elstico que cumpla la ley de Hooke

conserva la longitud total y, por lo tanto, considerando

L0 +L0 = L0 +L0,

donde L0 es la longitud antes del reajuste y L0 es la obtenida tras el mismo, se

obtiene la relacin de la ecuacin 5.4.

L0 =L0 +L0

1 + =L0 +L0

1 + TAE

. (5.4)

Despus de este paso de ajuste la estructura ya no est en equilibrio, por lo que

se necesitan algunas iteraciones para establecer el equilibrio nal tanto de longitu-

des como de fuerzas. El mencionado paso de ajuste modica el valor de las fuerzas

respecto a las establecidas inicialmente. No obstante, dada la levedad de esta varia-

cin, se obtendr una solucin en la que la distribucin de fuerzas ser cercana a

la jada inicialmente. Otra forma de mantener el control sobre las fuerzas es usar

un mdulo de elasticidad muy pequeo para los cables a costa de perder el control

sobre la longitud de los mismos.

El mtodo de los desplazamientos no lineales se puede resumir de la siguiente

manera.

Las variables especicadas por el ingeniero son:


Figura 5.2: Mtodo de los desplazamientos no lineales

la topologa de la estructura

las condiciones de contorno, y

las propiedades de los materiales.

Las incgnitas del problema son:

la geometra de la estructura, y

la distribucin de fuerzas internas.

La solucin est restringida por la siguiente condicin:

se debe especicar una distribucin de fuerzas inicial.

5.2. El mtodo de la rejilla

Los mtodos de resolucin de problemas de equilibrio inicial han sido desarrolla-

dos para evitar los problemas asociados al mtodo de los desplazamientos no lineales.

Con el n de obtener un problema lineal equivalente muchos de estos mtodos im-

ponen ciertas restricciones sobre la solucin. En particular, el desarrollo original de

Siev y Eidelmann de 1962, pionero entre estos mtodos, permite resolver la posicin

de equilibrio inicial de redes de cables asumiendo una condicin de ortogonalidad

sobre las mismas.


Figura 5.3: Red de cables con proyeccin ortogonal

Su mtodo usa las ecuaciones 5.1-5.3 a las que aplica las restricciones sobre la

geometra, las condiciones de contorno y la distribucin de esfuerzos internos de la

red obteniendo como resultado un problema lineal cuya nica incgnita es la altura

de cada nodo[SE64]. Siev y Edelmann proponen asumir que la proyeccin horizontal

del cable es ortogonal; es decir, xi = xk = xm y yi = yj = yl (vase gura 5.1), con

una malla de tamao l. Aplicando esta modicacin sobre las ecuaciones 5.1- 5.3:

Tijl

Lij+ Til

l

Lil= 0 (5.5)

Tikl

Lik+ Tim

l

Lim= 0 (5.6)

Puesto que TijlLijy Til

lLilson las componentes horizontales de las fuerzas de

los cables en la direccin x, y TiklLiky Tim

lLimlas componentes horizontales en

la direccin y y que no se introducen cargas externas en el plano horizontal, se

demuestra que las fuerzas en dicho plano son constantes. Llamando Hix y Hiy a las

fuerzas horizontales en el nudo i en las direcciones x e y respectivamente, se pueden

reescribir las ecuaciones 5.3 como sigue:


Hix (zj 2zi + zl) +Hiy (zk 2zi + zm) + Fiz = 0 (5.7)

Si se especican las componentes horizontales, la ecuacin 5.7 es lineal y sus

nicas incgnitas son las coordenadas z de los nodos libres. La ecuacin 5.7 es

la forma discreta de la ecuacin de equilibrio vertical de una membrana, como se

demuestra en [TWK59]:

Hx2z

x2+ Hy

2z

y2+ Fz = 0, (5.8)

donde Hx y Hy son las componentes horizontales de la distribucin de fuerzas de

tensado (N/m) en las direcciones x e y, respectivamente, y Fz es la intensidad de

carga vertical (N/m2).

El mtodo de la rejilla se puede resumir de la siguiente manera:

Las variables especicadas por el diseador son:

topologa estructural, y

condiciones de contorno.


geometra de la estructura, y

distribucin de fuerzas internas.

Las restricciones para la solucin del problema son las siguientes:

limitado a cables rectos,

fuerzas horizontales constantes a lo largo de los cables, y

limitado a redes de cables con proyecciones planas rectas.


5.3. Mtodo de la densidad de fuerza

En la seccin 5.2 se ha obtenido una solucin del problema de equilibrio inicial

mediante la resolucin de un sistema de ecuaciones lineales equivalentes. Sin embar-

go, debido a las restricciones impuestas sobre los problemas, con el mtodo anterior

slo se pueden resolver algunos de ellos. El mtodo de la densidad de la fuerza nos

permite abordar aquellos problemas sobre los que no se pueden aplicar todas las

restricciones.

Para obtener el sistema lineal equivalente, este mtodo utiliza el articio mate-

mtico, desarrollado en [GB88], que se detalla a continuacin. Inicialmente se parte

de las ecuaciones de equilibrio de fuerzas 5.1 5.3 que son no lineales ya que la

longitud de cada elemento es una funcin de las coordenadas de los nodos. Especi-

cando las fuerzas y las longitudes, a partir de ahora denominadas q, en lugar de

especicar las fuerzas de cada elemento las ecuaciones anteriores se ven modicadas

de la siguiente manera:

qij (xj xi) + qik (xk xi) + qil (xl xi) + qim (xm xi) = 0 (5.9)

qij (yj yi) + qik (yk yi) + qil (yl yi) + qim (ym yi) = 0 (5.10)

qij (zj zi) + qik (zk zi) + qil (zl zi) + qim (zm zi) = 0 (5.11)

Con este cambio de variables se ha conseguido obtener un sistema de ecuaciones

lineales cuyo estado de equilibrio tiene la densidad de fuerza indicada en cada ele-

mento sin necesidad de imponer ninguna otra restriccin. Este mtodo es apropiado

para obtener una primera aproximacin; pero, si se desea estudiar ms a fondo la

estructura, es necesario aplicar un anlisis posterior como los detallados en las sec-

ciones 5.1 y 5.2. La diferencia entre los mtodos anteriores es que el mtodo de

los desplazamientos no lineales utiliza un nmero de ecuaciones igual al nmero de

grados de libertad, mientras que el nmero de ecuaciones usado por el mtodo de

la densidad de fuerza es igual al nmero de restricciones adicionales impuestas, que

en la mayora de los casos suele ser menor que el nmero de grados de libertad,


como se demuestra en [Sch74]. Esta nueva metodologa introducida por Schek ha

suscitado, sin embargo, el estudio y desarrollo posterior de este mtodo para su uso

en aplicaciones diversas solventado las dicultades propias del mtodo.

Mollaert aplic el mtodo de la densidad de fuerza a estructuras compuestas tan-

to por cables como por elementos rgidos trabajando a compresin como detalla en

[Mol84]. Para obtener la solucin fuera del plano de los nodos jos, separ los miem-

bros en tensin de aquellos en compresin cambiando, a continuacin, los elementos

substrados de cada subestructura por fuerzas externas equivalentes diseando, de

esta forma cada parte por separado.

Asimismo, el mtodo de la densidad de fuerza se us de forma conjunta con el de

optimizacin por mnimos cuadrados para generar el patrn de corte de estructuras

compuestas por membranas, tal y como se sugiere en [MT90]. Gracias a la simpli-

cidad de la formulacin de este mtodo como la del de optimizacin por mnimos

cuadrados, se pueden resolver problemas muy complejos en poco tiempo aunque se

usen mallas muy nas.

Estas propiedades hacen que el mtodo de la densidad de fuerza sea preferible

ante otros mtodos, como por ejemplo el de la relajacin dinmica, a la hora de

obtener estos patrones.

En la formulacin de Schek se asume que la directriz de los cables es recta,

lo cual va dejando de ser cierto a medida que la densidad de fuerza de los cables

disminuye. No obstante, en la referencia [HA82] se extiende el mtodo a uno ms

general donde esta directriz es curva, adems de aadir elementos que reejan la

fsica de una membrana. Esta ampliacin se basa en asumir la matriz de rigidez

geomtrica como

KGxg = 0 (5.12)

donde KG es la matriz de rigidez geomtrica de la estructura y xg el vector de coor-

denadas nodales (x, y y z). La ecuacin 5.12 se puede aplicar a cualquier modelo de

elementos nitos estructural y, aunque parece una ecuacin de rigidez normal, las

incgnitas son las coordenadas nodales en lugar de sus desplazamientos. Para es-


tructuras compuestas nicamente por elementos barra, el conjunto de ecuaciones de

5.12 es idntico al que se obtiene utilizando el mtodo de la densidad de fuerza. Pa-

ra elementos simples estas matrices se pueden calcular analticamente; sin embargo,

al implementar muchos otros elementos stas deben ser calculadas por integracin

numrica. Incluso tras conociendo la geometra la determinacin de las tensiones en

elementos complejos puede ser problemtica.

Christou implement un elemento catenaria elstica en el mtodo de la densidad

de fuerza, considerando as la carga distribuida por los cables como reeja [Chr96].

Con la matriz de rigidez obtenida se puede resolver la geometra de equilibrio del

problema, tras lo que se requiere un proceso iterativo para hallar la tensin en los

cables la cual esta regida por una ecuacin no lineal. No obstante, en estructuras

muy tensas es comn despreciar las cargas distribuidas.

Ms recientemente, Lai et al. han empleado el mtodo de la densidad de fuerza

para disear la forma de un reector desplegable con aplicaciones espaciales como

describen en [LYP98]. Para ello, transformaron la membrana original en una red de

cables equivalentes para, de esta forma, utilizar el conjunto de ecuaciones 5.9 - 5.11.

Estos trabajos muestran como el mtodo de la densidad de la fuerza no ha perdido

su vigencia al pasar las dcadas, pues, aunque fue introducido hace ms de treinta

aos, en [LS71], an hoy surgen nuevas reas de aplicacin.

El mtodo de la densidad de fuerza se puede resumir de la siguiente manera:


Topologa estructural, y

condiciones de contorno.


Geometra de la estructura, y

distribucin de fuerzas internas.

Las siguientes son las restricciones adicionales del mtodo:


se encuentra limitado a elementos cable rectos, y

la densidad de fuerza ha de estar jada para cada elemento.

5.4. Mtodo de determinacin de tensiones por m-

nimos cuadrados

Todos los mtodos descritos anteriormente consideran la geometra de la estruc-

tura como una incgnita del problema; ahora bien, puede darse el caso de que la

geometra de la estructura sea conocida de antemano. En estas situaciones se debe

determinar la distribucin de fuerzas que satisface el sistema de ecuaciones, para lo

cual se presentan dos mtodos que derivan de la ecuacin:

At=f, (5.13)

representando 5.13 la forma matricial de las ecuaciones 5.1 - 5.3 se obtiene

A, =L

t, = T,

f = F,

donde

= x, y, z

= j, k, l,m

= 1, 2, ..., N

siendo los grados de libertad y los nodos adyacentes al nodo de estudio deno-

minado por .

El problema se resuelve diferente manera segn la discusin del sistema de ecua-

ciones 5.13. Si el sistema es incompatible, es decir, que tiene ms ecuaciones que

incgnitas, entonces es necesario utilizar un mtodo para buscar la solucin que se

aproxime ms al equilibrio. Esto se puede hacer empleando el mtodo de los mnimos

cuadrados que se resume en la siguiente expresin.

A

TAt = AT f, (5.14)

No obstante es preciso remarcar que con este mtodo tan solo obtiene el equili-

brio de la estructura en el sentido de los mnimos cuadrados. Una de sus mayores


desventajas es que no se tiene ningn control sobre la distribucin de fuerzas, no se

pueden restringir las fuerzas de compresin y, adems, la distribucin de las mismas

puede resultar muy irregular aunque jando algunas de ellas se puede controlar me-

jor. Frente a estas desventajas cabe sealar un rasgo positivo: la solucin se obtiene

con mucha rapidez puesto que viene dada por la resolucin de un sistema simtrico

de ecuaciones lineales.

Si, por el contrario, el sistema es compatible indeterminado, con un nmero

innito de soluciones para obtener el equilibrio, entonces se dene y resuelve una

distribucin exacta de tensiones t*. En general, este sistema de fuerzas no llevar al

equilibrio por lo que las tensiones se pueden expresar como la suma de un conjunto

de fuerzas ideales y de sus respectivas desviaciones del equilibrio,

t = t*+f. (5.15)

Como las fuerzas ideales se especican directamente, f se convierte en la incg-

nita del problema. La ecuacin 5.13 se puede reescribir como en la ecuacin 5.16, y

su solucin ptima se dene como el conjunto de desviaciones que tengan la menor

norma eucldea.

At = ft*. (5.16)

Recurriendo a una formulacin clsica de multiplicadores de Lagrange, como re-

eja la expresin 5.17, es posible resolver el problema de optimizacin cuya solucin

ptima es la que se escribe de forma explcita en 5.18

tTt 2kT [At (fAt*)] mn . (5.17)

t = AT(AA

T)1

(fAt*) . (5.18)

Si la geometra de la estructura y la distribucin de fuerzas jadas son compa-

tibles la distribucin de fuerzas de 5.15 vara muy poco de la especicada. Por ello,

dado que cumple el equilibrio de manera exacta debe obtenerse una solucin bastan-

te suave. Sin embargo, en caso de que sean incompatibles, pueden aparecer grandes


desviaciones en la fuerzas. Una ventaja del sistema indeterminado con ms incg-

nitas que ecuaciones es que el diseador tiene algn control sobre la distribucin de

fuerzas aunque la geometra se especique de manera exacta. Por el contrario, si el

sistema es indeterminado o hiperesttico el procedimiento slo est compuesto por

matrices simtricas.

El mtodo se puede resumir como sigue:


topologa de la estructura,

condiciones de contorno, y

geometra de la estructura.

La incgnita del problema es

la distribucin de fuerzas internas.

Se concluye aqu la presentacin de las tcnicas de resolucin de estructuras de

cables ms empleadas. Junto a estas tcnicas existen otros mtodos particulares

que permiten resolver multitud de problemas especcos. Algunos de estos mtodos

se utilizarn para contrastar los resultados. En el captulo siguiente se presenta el

desarrollo terico del modelo propuesto que no puede ser encuadrado en ninguno

de los grupos anteriores ya que todos estos tratan de resolver el equilibrio mediante

la proyeccin geomtrica de las tensiones tal y como muestra la ecuacin 5.3. Sin

embargo, el mtodo propuesto obtiene las tensin horizontal y vertical de forma

analtica lo que le permite mayor exibilidad al diseador de la estructura que

puede jar valores geomtricos, topolgicos y fsicos indistintamente.

Captulo 6

Desarrollo terico del mtodo

propuesto

El estudio de las aplicaciones de la seccin 3 revela que algunas de stas, como

pueden ser las lneas de transporte de energa elctrica, las catenarias de los ferroca-

rriles o los funiculares, requieren un tratamiento ms exacto de su comportamiento.

Por ejemplo, pequeas desviaciones entre el modelo y la realidad pueden ser muy

relevantes tanto para clculos estticos como dinmicos, crticos en el dimensiona-

miento de las estructuras. Ciertamente todas estas aplicaciones requieren un mo-

delado que responda a su realidad fsica pero, en algunos casos, las hiptesis que

usualmente realizan los modelos desarrollados en la seccin anterior no permiten re-

producir el comportamiento real de cada cable. La verosimilitud de estas hiptesis

se apoya en la analoga entre estructuras de cables y estructuras de barras, es decir,

en el tratamiento de estructuras de cables muy tensos como elementos de directriz

recta. Esto es cierto cuando despreciar las cargas distribuidas es plausible.

Aunque algunos de los mtodos analizados en la seccin 5 utilizan elementos

curvos para modelar los cables, tarde o temprano han de aplicarse ciertas simpli-

caciones con las que se pierde la precisin necesaria. Otra forma en la que este

tipo de mtodos aborda casos en los que la tensin en los cables sea pequea es

discretizar el cable continuo en elementos rectos ms pequeos asimilables a los

40

CAPTULO 6. DESARROLLO TERICO DEL MTODO PROPUESTO 41

eslabones de una cadena. Sin embargo, esto conlleva un considerable aumento del

nmero de incgnitas que resulta, especialmente crtico para aquellos casos en los

que concurran en grandes desplazamientos.

Este capitulo presenta la formulacin analtica de un mtodo de clculo de es-

tructuras de cables empleando la ecuacin exacta de la catenaria. La implementacin

de ste mtodo en el lenguaje de programacin MATLAB

Rpara la resolucin de los

distintos casos expuestos ms adelante se ha consolidado en una herramienta llama-

da CALESCA. En primer lugar se desarrollar en coordenadas locales la ecuacin de

la catenaria para ms adelante extenderla a un sistema generalizado de coordenadas

globales que, nalmente, sern transformadas a una base tridimensional. Mediante

la correcta manipulacin de las mismas se podr estudiar con precisin la fsica del

problema de equilibrio inicial.

El clculo analtico de las tensiones de los cables permite conocer su valor exacto.

Este hecho hace que el mtodo presentado diera de los mtodos usados en la ac-

tualidad, los cuales emplean proyecciones geomtricas de las tensiones de los cables,

consideradas constantes en muchos casos errneamente. La resolucin a partir de un

punto de vista terico ofrece la posibilidad de obtener de forma precisa la posicin

y la tensin de cualquier punto de la estructura, as como la longitud exacta entre

dos puntos de la misma.

6.1. Formulacin en coordenadas locales

El comportamiento esttico de un cable se rige, como se anticip en la seccin

3, por un conjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas. Para su deduccin,

considrese un cable simplemente colgado entre los puntos A y B, tal y como se

muestra en la gura 6.1. El origen de coordenadas de O est situado sobre la

vertical de M , siendo ste el punto mnimo de la curva.

Tratando el cable como inextensible, el peso de la porcin de cable desde el

punto M hasta un punto cualquiera P ser ws, donde s es la longitud del cable


c 1

2

O

M

A

B

1

2

Figura 6.1: Sistema de Coordenadas Locales

entre dichos puntos. Esta fuerza actuar sobre el centro de gravedad de la porcin

de cable MP , la cual ser compensada por la tensin del cable en P y en M

denominadas, respectivamente, T y H. Al ser M el punto mnimo de la curva, H

tan solo tiene componente horizontal. Utilizando el equivalente reducido al centro

de gravedad, se aplican las ecuaciones de equilibrio de fuerzas en los ejes horizontal

y vertical segn el diagrama de cuerpo libre de la 6.3, con lo que se obtiene

T cos = H (6.1)

T sin = ws (6.2)

con lo que, escribiendo H = wc y dividiendo 6.1 por 6.2, resulta

s = c tan (6.3)

sta es la forma intrnseca de la ecuacin de la catenaria, en la cual la constante c

es conocida como la constante de la catenaria. La forma cartesiana de la ecuacin 6.3

es

c dd

= s


y derivando de nuevo se obtiene

c d2

d2=ds

d=

(1 +

(d

d

)2) 12Integrando esta ecuacin resulta

c sinh1d

d= +K1

donde K1 es la constante de integracin. Dado que el origen de coordenadas est

situado bajo el punto mnimo de la curva, M, en = 0 dd

= 0, y por lo tanto

K1 = 0, resultando

d

d= sinh

c(6.4)

Integrando de nuevo se obtiene

= c cosh

c+K2

donde K2 es otra constante de integracin. Si en el punto = 0, = c, se deduce

que K2 = 0, y por lo tanto

= c cosh

c(6.5)

que es la ecuacin cartesiana de la catenaria respecto del sistema O. A partir

de las ecuaciones 6.3 y 6.4 se obtiene que la longitud de arco de cable es

s = c sinh

c(6.6)

La tensin del cable se obtiene por la suma de cuadrados de las ecuaciones 6.1

y 6.2, con lo que se obtiene

T 2 = w2(s2 + c2

)de lo que, utilizando 6.5 y 6.6, se deduce

T = w

y, por lo tanto,

T = wc cosh

c(6.7)


stas son las ecuaciones bsicas de la catenaria, que se pueden encontrar en

diferentes libros de mecnica clsica, as como en parte de la bibliografa referente

al estudio de estructuras de cables [Pug68, Irv81].

6.2. Formulacin en coordenadas globales

Las ecuaciones anteriores son tiles en el caso de estudiar un nico cable. Pero si

se trata de estudiar varios cables, es necesario obtener las ecuaciones en un sistema

ms general que el empleado anteriormente. Para ello se de ha desarrollado una

metodologa similar a la empleada en [Cel06], que ser generalizada ms adelante

para estructuras ms complejas.

x1

xm i n

x2

c 1

2

O

O

y2

y1

M

A

B

2

1

Figura 6.2: Relacin entre coordenadas locales y globales

Para ello, considerando el sistema Oxy se aplica la ecuacin 6.5 a los extremos,

los cuales aparecen en la gura 6.2, de lo que resulta:

2 = c coshx2 xmin

c(6.8)

y

1 = c coshxmin x1

c(6.9)


Aplicando la ecuacin 6.6 a los mismos puntos se obtiene:

s2 = c sinhx2 xmin

c(6.10)

y

s1 = c sinhxmin x1

c(6.11)

Restando 6.8 de 6.9:

2 1 = y2 y1 = c cosh x2 xminc

c cosh xmin x1c(6.12)

Sumando 6.10 de 6.11:

l = c sinhx2 xmin

c+ c sinh

xmin x1c(6.13)

Aplicando la siguiente identidad hiperblica a 6.12

cosh a cosh b = 2 sinh 12(a + b) sinh 1

2(a b) (6.14)

se obtiene:

y2 y1 = 2c sinh(x2 x1

2c

)sinh

(x1 + x2

2c xmin

c

)(6.15)

Despejando xmin de 6.15 se obtiene:

xmin =x1 + x2

2 c asinh

(y2 y1

2c sinh(x2x12c

))(6.16)

Se puede apreciar que el mnimo de la curva depende exclusivamente de la posi-

cin de los extremos y de la constante. Suponiendo que stos son conocidos, puede

deducirse fcilmente la tensin vertical y horizontal en los extremos utilizando un

sistema de coordenadas locales como el presentado en la seccin 6.1. El diagrama

de cuerpo libre de la gura 6.3 representa un cable desde el punto mnimo hasta

uno de sus extremos en un sistema de coordenadas local O.

Aplicando un balance de fuerzas en la direccin horizontal se obtiene:


Figura 6.3: Diagrama de cuerpo libre

Th = T cos (6.17)

Sustituyendo en 6.17 T por su valor, hallado en 6.7, se obtiene

Th = wc cosh

ccos (6.18)

En el punto mnimo = 0, cosh(c

)= 1 y cos = 1; por lo tanto

Th = wc (6.19)

Esta tensin horizontal permanece constante a lo largo de todo el cable, ya que

no hay ninguna otra fuerza externa horizontal. La componente vertical de la tensin

en los extremos puede hallarse compensando las fuerzas verticales:

Tv = T sin = ws (6.20)

Sustituyendo en 6.20 s por su valor, hallado en 6.6, resulta

Tv = wc sinh(c

)(6.21)

Dada la posicin de los extremos del cable, y, por tanto, siendo conocidas la

distancia horizontal, d, y vertical, v, entre sus extremos el estado de dicho cable


queda denido por las variables c, l y T . Asimismo se pueden utilizar las ecuacio-

nes 6.7 y 6.13 para que, dada una de ellas, puedan calcularse las otras dos. La forma

explcita y adimensionalizada de stas referida al primer extremo es:

El (c, l) =l

c sinh x2 xmin

c c sinh xmin x1

c= 0 (6.22)

Ec (c, T ) =T

w c cosh xmin x1

c= 0 (6.23)

De aadirse otro cable quedara perdida la informacin de la posicin de uno de

los extremos, con lo que apareceran tres nuevas incgnitas. stas seran resueltas

con las tres ecuaciones de balance de fuerzas en dichos puntos. Por lo tanto, para

todo sistema bien denido, existir un nmero nito de soluciones.

6.2.1. Consideraciones sobre el cable elstico

Si se considera la elasticidad de los materiales, la longitud nal del cable, lf ,

depender de la tensin del cable y de las propiedades del mismo. La ley de Hook

en su forma integral es

l =

L

T (x)

EAds

y, sustituyendo en ella la tensin obtenida en la ecuacin 6.7, se obtiene

L =wc

2EA

{c

2

[senh

(2 (xmin x1)

c

)+ senh

(2 (x2 xmin)

c

)]+ (x2 x1)

}Por lo tanto, la longitud real del cable para cada estado de carga sera

Lfinal = Lreposo +L

Al ser muy pequeo este incremento de longitud, la variacin del peso por unidad

de longitud se puede considerar constante, wLreposo wLfinal.sta sera la formulacin completa para un solo cable perfectamente exible o

para una cadena sin rozamiento colgada entre dos puntos. Un sistema ms complejo

estara compuesto de ms elementos interconectados en nodos. Para resolver este


tipo de estructuras es necesario la generalizacin de este mtodo a un sistema de

referencia tridimensional.

6.3. Generalizacin a 3D

Tal y como formul Newton, las fuerzas en cualquier punto de un sistema me-

cnico en reposo deben estar equilibradas. Por ello, en cada nodo de unin de dos

o ms cables las fuerzas deben equilibrarse simultneamente. Para aplicar las ecua-

ciones de equilibrio, estas tensiones deben descomponerse en un sistema de ejes

ortogonales. Ya que la nica fuerza distribuida aplicada sobre el cable es la grave-

dad, y solo est contenida en el plano vertical, las tensiones de los mismos tambin

pertenecen al plano vertical que pasa por los extremos. En el sistema local para

un cable contenido en un plano, la tensin en los extremos se puede dividir en Th

y Tv. Para aplicar una matriz de transformacin ortogonal se denominar Tp a la

tensin que aparecera en el plano perpendicular al que une los extremos del cable

que siempre ser Tp = 0. Utilizando la matriz de giro alrededor de un eje en la

direccin z,

T =

x

y2x2 y

y2x20

yy2x2

xy2x2

0

0 0 1

es posible obtener las tensiones en el sistema global de coordenadas a partir de las

expresiones deducidas en la seccin anterior. Estas tensiones tan slo dependen de

las posiciones relativas de los extremos del cable, la densidad lineal, w, y la constante

de la catenaria, c. Tv correspondera a la componente en el eje z de la tensin y Th

estar en el plano horizontal en la direccin que une a los extremos, o lo que es lo

mismo:


Tx

Ty

Tz

=

xy2x2

yy2x2

0

yy2x2

xy2x2

0

0 0 1

Th

Tp

Tv

(6.24)Gracias a ello es sencillo descomponer las fuerzas de cada nudos en sus componen-

tes verticales y horizontales para obteniendo las siguientes ecuaciones de equilibrio

esttico: T + Fp = 0 (6.25)

Donde T = (Tx, Ty, Tz)Ty Fp = (Fpx, Fpy, Fpz)

T. Estas ecuaciones se pueden aplicar

a cada nodo, siempre que todas las fuerzas que conuyen en el sean incgnitas. Si

algn nodo es de contorno las reacciones (fuerzas exteriores) sern incgnitas.

6.4. Ensamblado y resolucin

Una vez conocidas las ecuaciones que denen la fsica del problema, se dene un

sistema de ecuaciones no lineales de la siguiente forma.

G (x) = 0 donde

G = (G1, G2, ..., Gn)x = (x1, x2, ..., xn)(6.26)

Dependiendo del tipo de problema las funciones objetivo, Gi, pueden ser de

dos tipos: de equilibrio o de compatibilidad. Las primeras responden al equilibrio

esttico en los tres grados de libertad (ecuacin 6.25). Las otras, ms especcas de

este tipo de estructuras, ajustan la compatibilidad entre la forma, la longitud y la

tensin. La forma de la catenaria se rige por el valor de la constante de la catenaria,

c, fundamental para conocer la longitud y la tensin en el cable, relacionadas por

las ecuaciones 6.22 y 6.23.

Por otro lado, en el vector x (cuadro 6.1) pueden diferenciarse dos tipos de

incgnitas: posiciones nodales, (xi, yi, zi), y propiedades del cable, la constante de la

catenaria, c, la longitud del cable, l y la tensin del cable, T . Para que el problema

est correctamente denido, deben denirse tantas incgnitas como ecuaciones. En


cada nudo interno existen tres ecuaciones de equilibrio, una en cada direccin; en

cada nodo de contorno en los que se desee conocer o utilizar las reacciones tambin

aparecern tres ecuaciones de equilibrio; y por cada cable se debern cumplir dos

ecuaciones de compatibilidad ms. Por otro lado, el nmero de incgnitas ser el

mismo ya que: en cada nudo interno se desear conocer su localizacin geomtrica; en

cada nudo de contorno se calcularn las reacciones respecto a los ejes coordenados;

y en cada cable se podrn averiguar dos de las tres propiedades caractersticas: c,

l y T . Esta sera la disposicin ms simple ya que, sin modicar la cantidad de

ecuaciones y de incgnitas, es posible aportar informacin adicional como podra

ser alguna coordenada nodal pudiendo conocer as ms informacin sobre los cables.

A modo de resumen se muestra la siguiente tabla:

Nudos internos Nudos de contorno Cables

Ecuaciones

Fi = 0

Fi = 0 Ec,El

Incgnitas xi, yi, zi Fextxi , F

extyi , F

extzi Dos entre c, l, T

Tabla 6.1: Ensamblado del sistema de ecuaciones

Sirva como ejemplo la estructura que se muestra en la gura 6.4. sta esta

compuesta por los cables 1, 2 y 3 de longitudes conocidas conectados en el nodo 1

en el que se aplica una fuerza externa, Fp = (Fpx, Fpy, Fpz)T.

Figura 6.4: Simple estructura de cables

Adems del nodo 1 hay otros tres nodos que pertenecen al contorno y por lo

tanto no formarn parte de las incgnitas ya que no se desea conocer las reacciones

CAPTULO

Estructuras de Cables 02

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