ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
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ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Definición:
Una estructura algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacio y una relación o ley de constitución interna definida en el.
Definición:
Sea A un conjunto no vacio. Llamaremos ley de composición interna (o simplemente ley de composición) definida sobre A a toda aplicación:
¿ : A x A A
Si x, y ϵ A escribimos
¿(x , y)=x∗y
Al elemento x*y lo denominamos la composición (por *) de x con y.
Ejemplo:
La operación suma y producto entre números en N, en Z, en Q, en R, y en C.
Definición:
Se llama MONOIDE a todo par (A,*) formado por un conjunto A y una ley de composición *. Diremos también que * define sobre A una estructura de monoide.
Obsérvese que a veces se sobreentenderá la ley de composición * definida sobre A y se denotara (A, *) simplemente por A, y nos referiremos al monoide A.
Por ejemplo, si A denota cualquiera de los conjuntos numéricos N, Z, Q, R, C y * la suma ordinaria + o el producto ordinario . de números, se obtienen los siguientes monoides:
¿¿¿¿¿
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Definición:
Diremos que un monoide (A,*) es finito si el conjunto A es finito. La descripción de monoides finitos se hace mediante tablas de composición.
Ejemplo.
i. A={0 ,1,2 }
* 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1
Es el monoide definido por:
0 * 0 = 0 0 * 1 = 1 0 * 2 = 21 * 0 = 1 1 * 1 = 2 1 * 2 = 02 * 0 = 2 2 * 1 = 0 2 * 2 = 1
Composiciones n-arias.
Sea (A, *) un monoide. Las composiciones x * y ϵ A si x, y ϵ A constituyen las composiciones binarias de los elementos de A.
Si x, y, z, denotan elementos de A dados en un cierto orden, podemos obtener los siguientes elementos de A vía composiciones binarias:
x * (y * z)
(x * y) * z
Análogamente, con elementos x, y, z, v de A, dados en un cierto orden, podemos formar los siguientes elementos de A vía composiciones binarias:
a = x * (y * (z * v))b = x * ((y * z) * v)c = (x * y) * (z * v)d = (x * (y * z)) * ve = ((x * y) * z) * v
En general, dados n elementos x1, x2, ... xn de A en un cierto orden, llamaremos composición n-aria de los mismos a todo elemento de A que se obtenga de x1, x2, ... xn por sucesivas composiciones binarias, conservando siempre el orden inicial.
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Las composiciones n-arias no tienen por qué ser necesariamente iguales entre sí. Por ejemplo, en el monoide (Z, -) de enteros con la diferencia como ley de composición, existen elementos x, y, z en Z cuyas composiciones ternarias no coinciden.
Ejemplo:8 – (5 – 3) = 6(8 – 5) – 3 = 0
Definición: Sea (A, *) un monoide y sea n ϵ N, n>2. Diremos que * es n-asociativa si cualesquiera que sean x1, x2, ... xn en A, dados en un cierto orden, coinciden entre sí todas sus composiciones n-arias. Diremos que * es asociativa si es n-asociativa, cualquiera que sea n.
Definición:
Se denomina SEMIGRUPO a todo monoide cuya ley de composición es asociativa.
Teorema.Un monoide (A, *) es un semigrupo si y sólo si, * es 3-asociativa, o sea, sí y solo si,
x * (y * z) = (x * y) * z
Ejemplo.Los monoides numéricos (N, +), (N, .), (Z, +), (Z, .) son semigrupos.
Ejemplo.Verificar si el siguiente monoide es o no semigrupo.
* a b ca a b cb b b bc c c c
Debemos comprobar si * es asociativa
a * (b * c) = (a * b) * cAl evaluar
a * b = b * c b = b
b * (c * a) = (b * c) * a b * c = b * a
b = b
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c * (b * a) = (c * b) * a c * b = c * a c = c
Por tanto, el monoide constituye un semigrupo por ser asociativo.
Conmutatividad.
Sea (A, *) un monoide.
Definición:
Diremos que x, y ϵ A conmutan entre sí si x * y = y * x
Diremos que (A, *) es un monoide conmutativo (o también que * es conmutativa) si todo par de elementos de A conmutan entre sí.
Definición: Un Semigrupo en el cual la ley de composición es conmutativa constituye un SEMIGRUPO CONMUTATIVO.
Identidad e Inverso.
Sea (A, *) un monoide. Resulta natural estudiar la existencia en A de elementos que gozan de las propiedades análogas al 0 en el monoide (Z, +) y al 1 en el monoide (N, .), a saber
m + 0 = 0 + m = m cualquiera que sea m ϵ Z
n . 1 = 1 . n = n cualquiera que sea n ϵ N
Entonces, Definición:
Se dice que un elemento e ϵ A esi. Identidad a la izquierda de * si
e * a = a
cualquiera que sea a ϵ A.
ii. Identidad a la derecha de * si
a * e = a
cualquiera que sea a ϵ A.
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iii. Identidad de * si es simultánea la identidad a la izquierda y a la derecha de *.
Ejemplo:
En el monoide
* 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1
El elemento identidad será e = 0
0 * 0 = 0 0 * 1 = 11 * 0 = 1 0 * 2 = 22 * 0 = 2
Notación.
Se denotará con (A, *, e) un monoide con elemento identidad e.
Definición:
Sea (A, *, e) un monoide con identidad.
Sea a ϵ A.
Diremos que
i. Posee un inverso a la izquierda (respecto de e) si existe b ϵ A tal que
b * a = e
ii. Posee un inverso a la derecha (respecto de e) si existe c ϵ A tal que
a * c = e
iii. Posee un inverso (respecto de e), o que es inversible, si existe d ϵ A tal que
d * a = a * d = e
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Definición:
Sea el par (A, ) , donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria
(A, ) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo sí:
i. * es asociativa. ii. * posee elemento identidad en A.
iii. Todo elemento de A es inversible en A respecto de .
Ejemplo:
El siguiente monoide
* 1 a b1 1 a ba a b 1b b 1 a
i. Es asociativo: 1 * (a * b) = (1 * a) * b
1 * 1 = a * b (comprobación)
1 = 1
ii. Posee elemento identidad: 1
1 * a = a a * 1 = a1 * b = b b * 1 = b
iii. Todo elemento es inversible
a * b = b * a = 1
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Definición:
Un grupo constituye un Grupo Abeliano ó Grupo conmutativo es cuando además de ser un grupo, es conmutativa
Definición:
Si G = (A , ) es un grupo, se dice que es un grupo finito si el conjunto A es finito y su cardinal se llama orden del grupo.
Ejemplos
1) El par ( Z , ) donde Z es el conjunto de los números enteros y es una operación definida como a b = a + b + 3 forma un grupo abeliano.
Comprobación:
es una ley de composición interna en Z pues si a y b ϵ Z , a + b + 3 ϵ Z
es asociativa pues
(a * b) * c = (a + b +3) c = a + b +3 + c +3 = a + b + c + 6 y a * (b * c) = a (b + c + 3) = a + b + c + 3 + 3 = a + b + c + 6 tiene elemento neutro e = –3 , pues a e = a entonces a + e +3 = a ❑
⇒ e = –3
y e a = a entonces e + a + 3 = a ❑⇒ e = –3
tiene inverso a * a’ = –3 ❑
⇒ a + a’ + 3 = –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a derecha
a’ * a = -3 ❑⇒ a’ + a + 3 = –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a izquierda
es conmutativa pues a * b = a + b + 3 = b + a + 3 = b * a
Otros ejemplos:
1) ( Z , + ) ; ( Q , + ) ; ( R , + ) y ( C , + ) son grupos abelianos . También se llaman grupos aditivos debido a la operación aditiva.
2) ( N , + ) No es grupo. No tiene neutro ni inverso de cada elemento. 3) (N0 , + ) No es grupo. Tiene neutro, el 0, pero no tiene inverso aditivo. 4) ( Q , ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo. 5) ( R , ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo. 6) ( Q – { 0 } , ) y ( R – { 0 } , ) Son grupos.
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Definición:
Un subconjunto B ≠ø del conjunto A es un subgrupo de (A , *) si y solo sí (B , *) es un grupo.
Por ejemplo, (Z, +) es un subgrupo de (Q, +).
Si en estas estructuras se introduce una nueva ley de composición interna con ciertas restricciones, se obtienen ternas ordenadas del tipo (A, *, ) que también son estructuras algebraicas.
Estas nuevas estructuras son:
Definición:
Dados, un conjunto A ≠ ø y dos leyes de composición interna * y , la terna ordenada (A , * , ) tiene estructura de Anillo si y solo si
a) es asociativa. b) posee elemento neutro en A. c) Todo elemento de A es inversible en A respecto de . d) es conmutativa. Estas 4 propiedades muestran que ( A , ) es un grupo abeliano.
e) es asociativa. Esta propiedad muestra que (A, ) es un semigrupo.
f) distribuye doblemente sobre . Es decir, si a, b, c ϵ A
a (b c ) = ( a b ) (a c ) y (b c ) a = (b a ) ( c a )
Resumiendo podemos decir que: (A, *, ) es un Anillo sii (A , ) es un grupo abeliano ; ( A , ) es un semigrupo y la segunda operación distribuye sobre la primera.
Una aclaración oportuna
Como la operación es aditiva y la operación es multiplicativa, es común representarlas con los conocidos signos de la suma y el producto, pero en todos los casos deberá respetarse la definición que corresponde a cada operación.Con esta aclaración debe quedar claro que ( A , + , ) representa una estructura algebraica, talvez un anillo, pero que la operación + y la operación no representan la suma y el producto conocido, salvo ello esté expresamente indicado.
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Con igual margen de tolerancia en la interpretación de este tema, debemos decir que el elemento neutro de la operación aditiva se representa con 0 (cero) y el neutro de la operación multiplicativa con 1 (uno) sin que ellos sean necesariamente el 0 y 1 conocidos.
Si además
g) conmutativa. Es decir , : a, b A a b = b a entonces tenemos un Anillo conmutativo. h) posee elemento neutro en A. Es decir / , si
entonces tenemos un Anillo con identidad ó Anillo con unidad.
i) Todo elemento de A distinto de cero es invertible en A respecto de .
Es decir , a 0 , / a a´ = a´ a = e entonces se llama Anillo de división.
Ejemplos
1.- ( N , + , ) con las operaciones conocidas no es un anillo, pues en N no existe neutro para la adición. 2.- ( N0 , + , ) con las operaciones conocidas no es anillo, pues N0 carece de inversos aditivos.
3.- ( Z , + , ) con las operaciones conocidas, es un anillo conmutativo con unidad.
Anillos sin divisores de cero
Un anillo (A , , ) se dice sin divisores de cero si y solo sí elementos no nulos de A dan producto no nulo.
En símbolos:
(A , , ) carece de divisores de cero si y solo sí , : a, b A si y entonces a b 0
Anillo de integridad
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(A , , ) es un Anillo de integridad si y solo sí (A , , ) es un anillo y 0 es su único divisor de cero
Dominio de integridad
La terna (A , , ) se llama Dominio de integridad si y solo sí (A , , ) es un Anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero.
Dicho de otra manera, un Dominio de integridad es un Anillo conmutativo con identidad y de integridad.
Ejemplos
1.- ( Z , + , ) con las operaciones conocidas es un dominio de integridad. 2.- ( Q , + , ) ; ( R , + , ) y ( C , + , ) con las operaciones conocidas son dominio de integridad.
3.- Los polinomios en una indeterminada ( o más ) con coeficientes en Q , R ó C forman dominio de integridad con las operaciones conocidas.
Cuerpo
La terna ordenada ( A , + , ) es un cuerpo, o tiene estructura de cuerpo si y solo si ( A , + , ) es un anillo de división conmutativo.
Esto es: ( A , + , ) es un cuerpo si y solo si ( A , + , ) es un anillo conmutativo, con unidad cuyos elementos no nulos admiten inverso multiplicativo.
Un cuerpo queda caracterizado por las siguientes estructuras:
( A , + , ) es un cuerpo si y solo si a) ( A , + ) es un grupo abeliano.b) ( A – {0} , ) es un grupo abeliano.c) distribuye respecto de +
Ejemplos
1.- ( Z , + , ) con las operaciones conocidas, no es cuerpo, pues Z carece de inversos multiplicativos.
2.- ( Q , + , ) ; ( R , + , ) y ( C , + , ) con las operaciones conocidas son cuerpos.
3.- Todo cuerpo es un dominio de integridad.
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Para proveer de un ejemplo de estructura algebraica no tan conocida, definiremos el conjunto Zn
llamado conjunto de los enteros modulo n.
Definición:
Enteros módulo n (Zn)
Si n es un número entero tal que n 2 , se denomina Zn al conjunto Zn = { 0 , 1 , 2 , 3 ,..., n-1}
Este conjunto, provisto de las operaciones de suma y producto definidas así:
+ suma : si h y k pertenecen a Zn , entonces h + k es igual al resto de la división de h + k por n. Ejemplo: si n = 8 ; h = 5 y k = 7 , entonces h + k = 4
producto : si h y k pertenecen a Zn , entonces h k es igual al resto de la división de h k por n. Ejemplo: si n = 8 ; h = 5 y k = 7 , entonces h k = 3
La terna (Zn , + , ) es un anillo conmutativo con unidad. Se llama Anillo de los enteros módulo n.
( Zn , + , ) es un dominio de integridad si y solo sí n es primo.
Esto puede verse en las siguiente tablas de operaciones en el conjunto Zn
Para n = 3 Zn = { 0 , 1 , 2 } las tablas de operaciones son:
Para la suma Para el producto
+ 0 1 2 0 1 20 0 1 2 0 0 0 01 1 2 0 1 0 1 22 2 0 1 2 0 2 1
El producto No posee divisores de cero
Para n = 4 Zn = { 0 , 1 , 2 , 3 } las tablas de operaciones son:
Para la suma Para el producto
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+ 0 1 2 3 0 1 2 30 0 1 2 3 0 0 0 0 01 1 2 3 0 1 0 1 2 32 2 3 0 1 2 0 2 0 23 3 0 1 2 3 0 3 2 1
El producto posee divisores de cero
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