ESTRUCTURA TEMPORAL DE TIPOS DE INTERÉS (ETTI), UN...
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1 ESTRUCTURA TEMPORAL DE TIPOS DE INTERÉS (ETTI), UN ANÁLISIS A LA VALORACIÓN DE ACTIVOS PAOLA MARCELA REYES RODRÍGUEZ UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES Y ECONÓMICAS SANTIAGO DE CALI 2012 No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la imagen e insertarla de nuevo.
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ESTRUCTURA TEMPORAL DE TIPOS DE INTERÉS (ETTI), UN ANÁLISIS A LA
VALORACIÓN DE ACTIVOS
PAOLA MARCELA REYES RODRÍGUEZ
UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES Y ECONÓMICAS
SANTIAGO DE CALI
2012
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ESTRUCTURA TEMPORAL DE TIPOS DE INTERÉS (ETTI), UN ANÁLISIS A LA
VALORACIÓN DE ACTIVOS
PAOLA MARCELA REYES RODRÍGUEZ
Trabajo de grado presentada para optar al título de : Economista
UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS SOCILAES Y ECONOMICAS
SANTIAGO DE CALI
2012
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CONTENIDO
RESUMEN ............................................................................................................... 5
INTRODUCCIÓN ..................................................................................................... 6
1. REVISIÓN DE LITERATURA ............................................................................. 8
1.1 DESARROLLO METODOLÓGICO A NIVEL INTERNACIONAL ....................... 8
1.2 METODOLOGÍAS APLICADAS PARA LA ESTIMACIÓN DE LA ETTI POR LOS BANCOS CENTRALES ................................................................................. 10
1.3 REVISIÓN DE LA LITERATURA DE LA ETTI PARA COLOMBIA ................... 11
2. MARCO TEÓRICO ............................................................................................ 12
2.1 HIPÓTESIS EXPLICATIVAS DE LA ETTI ....................................................... 12
HIPÓTESIS DE LAS EXPECTATIVAS: ................................................................. 12
HIPOTESIS DEL HÁBITAT PREFERIDO .............................................................. 13
HIPOTESIS DE LA PREFERENCIA POR LA LIQUIDEZ ...................................... 13
HIPOTESIS DE LA SEGMENTACIÒN .................................................................. 14
2.2 MARCO TEÓRICO PARA LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA DE LA ETTI .. 14
3. FORMULACIÓN MATEMÁTICA PARA LA ESTIMACIÓN DEL MODELO DE NELSON Y SIEGEL (1987) ................................................................................... 16
- CRITERIO DE OPTIMIZACIÓN ...................................................................... 18
- PROCEDIMIENTO DE ESTIMACIÓN DEL VECTOR DE PARÁMETROS DEL MODELO ............................................................................................................... 21
4. SIMULACION ..................................................................................................... 22
5. LA ETTI EN COLOMBIA ................................................................................. 24
CONCLUSIONES .................................................................................................. 29
BIBLIOGRÁFIA ...................................................................................................... 31
4
LISTA DE TABLAS
Pág.
Tabla 1. Metodologías aplicadas por Bancos Centrales del Mundo 10
Tabla 2. Parámetros obtenidos Modelos estimado con datos simulados 22
Tabla 3. Condiciones de los parámetros y formas de la curva de tipos
de interés 24
Tabla 4. Curva TES B en Pesos 25
Tabla 5. Curva TES B en UVR 25
Tabla 6. Curva CDT 25
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RESUMEN
En este documento se hace una revisión de la literatura sobre los diferentes
enfoques macroeconómicos y financieros que sustentan la formulación de la ETTI
(Estructura temporal de tipos de interés). Se realiza una simulación Montecarlo del
modelo de Nelson y Siegel (1987) al encontrarse que este predice con precisión el
precio de los activos financieros. Se analizan los diferentes tipos de curvas de
rendimientos que se pueden presentar en el mercado y se analiza el escenario
actual de la ETTI en Colombia.
Palabras Claves: ETTI, valorización de activos, curva de rendimientos.
6
INTRODUCCIÓN
Actualmente los inversionistas usan los activos financieros como instrumentos de
cobertura al riesgo y por tanto resulta importante determinar el proceso en que
estos son valorados en el mercado de capitales, una forma de obtener esta
información es a través de la curva de rendimientos cero cupones construida a
partir de la estructura temporal de tipos de interés (ETTI).
La Estructura Temporal de Tipos de Interés (ETTI) provee información de carácter
económico a los agentes que participan en el mercado de valores al servir como
instrumento de análisis entre la rentabilidad y el plazo para activos que posean el
mismo riesgo. Usualmente se utilizan activos emitidos por el Estado debido a que
no presentan riesgo de insolvencia ni problemas de liquidez. Surge la siguiente
pregunta: ¿Por qué es importante la ETTI para los agentes económicos y para los
analistas de los mercados financieros? Al construir la ETTI, se obtiene la curva de
rendimientos, que se asocia con la actividad económica real, la inflación y tasas de
interés que sirve como guía a los agentes sobre cuál es la estrategia de mercado
más conveniente que le permita obtener ganancias. De igual manera, estimar una
estructura temporal de tipos de interés permite, analizar el impacto de la política
monetaria y sus mecanismos de transmisión, desde una perspectiva
macroeconómica, y determina la valoración de activos y la evaluación del riesgo
asociado a las decisiones de inversión que sirve de guía en el diseño de
estrategias de cobertura, desde la perspectiva financiera.
En la revisión de la literatura se encuentra una amplia gama de modelos con
enfoques teóricos macroeconómicos o financieros que permiten calcular la ETTI e
inferir sobre la forma en que se están valorando los activos en le mercado de
capitales, de estos sobre salen los modelos financieros como el modelo de Nelson
y Siegel (1987), el cual se destaca por su capacidad de predecir el precio de los
7
activos financieros bajo una formulación matemática compuesto por variables no
asociadas a la formación de expectativas por parte de los agentes.
El objetivo principal del trabajo es hacer una simulación al modelo de Nelson y
Siegel (1987) empleando el Solver de Microsoft Excel. Con esto se pretende
analizar el comportamiento de la ETTI ante sus posibles formas funcionales e
inferir sobre la forma en que se valoran los activos financieros según la curva de
rendimientos asociada a cada situación de mercado. .
Como objetivos adicionales se espera hacer un recorrido teórico sobre las
diferentes metodologías macroeconómicas y financieras usadas para estimar la
ETTI resumiendo los diferentes modelos que se han desarrollado en torno a la
curva de rendimientos, por un lado, y se pretende analizar la situación de la ETTI
en Colombia tanto para el sector financiero como para el sector real de la
economía, para lo cual se considera la información obtenida en la Bolsa de
Valores de Colombia, BVC, el Mercado Electrónico Colombiano, MEC, INFOVAL,
Banco de la República y páginas web de diferentes bancos como
www.grupoaval.com, y www.bancolombia.com, por el otro.
En este trabajo se realiza una revisión de la literatura de los desarrollos
metodológicos a nivel internacional y una revisión de la literatura para la ETTI en
Colombia, se presenta el Marco Teórico donde se encuentra las hipótesis
explicativas de la ETTI y la formulación matemática de esta tanto para los
enfoques macroeconómicos como los financieros. Luego se presenta la
formulación matemática al modelo de Nelson y Siegel (1987), la simulación y se
presentan los diferentes tipos de curvas. Finalmente se realiza el análisis de la
ETTI en Colombia, y se presentan las conclusiones.
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1. REVISIÓN DE LITERATURA
1.1 DESARROLLO METODOLÓGICO A NIVEL INTERNACIONAL
A través del tiempo, el desarrollo metodológico para la construcción de la ETTI
cuenta una variedad de modelos. Estos han surgido de diferentes metodologías y
enfoques teóricos que sustentan la construcción de la ETTI.
Desde el punto de vista teórico se encuentran diferentes desarrollos que pueden
ser clasificados así: el enfoque financiero: Determina la valoración de los activos a
plazo expresados en función del tiempo. encontrados en Vetzal (1994), Campbell,
Lo y McKinlay (1997), Moreno (2000). El enfoque macroeconómico, basados en
la relación de los tipos de interés al contado, tipos de interés a plazo y las
variables económicas como se encuentra en Shiller (1990) quien además sustenta
con resultados econométricos este tipo de modelos. Y finalmente el enfoque que
relaciona el financiero y el macroeconómico, encontrados en Pegan, Hall y Martin
(1996).
En relación con los métodos de estimación de la ETTI se encuentran por un lado,
los métodos de estimación econométrica o paramétricos los cuales requieren de
proceso de estimación, y por el otro se encuentran los métodos no econométricos
o no paramétricos que no requieren de un proceso de estimación para obtener los
tipos al contado que generan una estructura temporal discreta y que puede ser
transformada en continua mediante métodos de interpolación.
Dentro de la literatura de los métodos de estimación econométrica para la ETTI se
encuentran el método recursivo o bootstrapping como se presenta en Caks (1977)
y la aproximación de los tipos al contado por la tasa interna de retorno (TIR)
presentada por Buse (1970). En estos se encuentra que estos métodos son
adecuados para la estimación de la ETTI a corto plazo, pues para la estimación de
9
largo plazo se pueden presentar sesgos en la aproximación de la curva de
rendimientos.
Por su parte, para los modelos no econométricos se encuentran los modelos
Splines y la función de descuento con restricciones. Los modelos Splines generan
formas funcionales sencillas pero no ofrecen formas suaves para plazos más
largos y por tanto no asegura tipos forward positivos, estos modelos son
encontrandos en McCulloch (1971, 1975b), Vasicek y Fong (1982) y Contreras y
Navarro (1993). Los modelos con función de descuento con restricciones suponen
que el tipo forward converge asintóticamente como se encuentra en Nelson y
Siegel (1987) y Svenson (1994), en estos modelos el nivel y la tasa de
convergencia son parámetros a estimar, cabe anotar que el modelo de Svenson
(1994) es una extensión al modelo de Nelson y Siegel (1987) con un termino
adicional que ofrece mayor flexibilidad a la curva de rendimientos.
En conclusión, se encuentra variedad de metodologías y enfoques teóricos
asociados a la ETTI, pese a esto, en Núñez (1995) se concluye que los métodos
más adecuados para la estimación de la ETTI en el marcado de deuda pública son
los propuestos por Nelson y siegel (1987) y Svensson (1994). Según esto nuestro
interés será enfocar este trabajo hacia el modelo de Nelson y Siegel (1987), ya
que a través de este modelo se encuentran estructuras temporales suaves y
flexibles, sin embargo se destaca dos debilidades al emplear esta metodología: la
dificultad y costo de adquirir la información para la estimación de la ETTI y aunque
los modelos cuentan con buenos planteamientos matemáticos las curvas cero
cupón pueden ser aisladas de forma artificial.
10
1.2 METODOLOGÍAS APLICADAS PARA LA ESTIMACIÓN DE L A ETTI POR LOS BANCOS CENTRALES
A continuación se presenta una tabla resumen de los modelos usados para
estimar la ETTI por los Bancos centrales de países alrededor del mundo.
Tabla 1. Metodologías aplicadas por Bancos Centrale s del Mundo
Banco Central Metodología 1 Estimación
Disponible Frecuencia Minimización de error Amplitud
Bélgica SV NS
01/09/1997 Diaria Precio ponderado De 2 días a 16 años
Canadá SV 23/06/1998 Diaria Precio ponderado De 1 a 30 años
Finlandia NS 03/11/1998 Diaria Precio ponderado De 1 a 12 años
Francia SV NS 03/01/1992 Semanalmente Precio ponderado Hasta 10 años
Alemania SV 07/08/1997 01/01/1973
Diariamente Semanalmente Rendimiento De 1 a 10 años
Italia NS 01/01/1996 Diariamente Precio ponderado Hasta 10 años
Japón SS 29/07/1998 Semanal Precios De 1 a 10 años
Noruega SV 21/01/1998 Mensual Rendimiento Hasta 10 años
España SV NS
01/01/1995 01/01/1991
Diaria Mensual Precio ponderado Hasta 10 años
Suecia SV 09/12/1992 Semanal Rendimiento Hasta 10 años
Suiza SV 04/01/1998 Diaria Rendimiento De 1 a 30 años
Reino Unido
SV VRP
04/01/1982 Diaria Mensual
Precio ponderado De 1 semana hasta 30 años
Estados Unidos
SS 14/06/1961 Diaria Precios De 1 año a 10 años
Fuente: BIS Data Bank
1NS=Nelson-Siegel, SV=Svensson, SS=splines suavizados, VRP=variable de penalización por rugosidad
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Se encuentra que los Bancos Centrales de varios países muestran preferencia por
los modelos basados en funciones parsimoniosas como lo son el modelo de
Nelson y Siegel (1987) y Svensson (1994) (Bank for International Settlements,
1999). Estas metodologías se destacan a su gran capacidad de predicción y
porque en su formulación matemática del modelo no incluye variables de
formación de expectativas por parte de los agentes. Se concluye la importancia de
considerar el modelo de Nelson y Siegel (1987) para obtener la curva de
rendimientos, pues aunque el modelo de Svensson (1994) suele ser más
utilizados este es una extensión del modelo de Nelson y Siegel (1987).
1.3 REVISIÓN DE LA LITERATURA DE LA ETTI PARA COLOM BIA
Los trabajos relacionados a la curva de rendimientos aparecen en 1999 cuando la
Bolsa de Bogotá hace pública la curva de rendimientos para los papeles del
mercado TES tasa fija (CETES) (BVC 2002), posteriormente, el Banco de la
República publica entre el 2001 y el 2002 diferentes trabajos en este sentido
mostrando el interés en la curva de rendimientos.
Es así como Arango, Melo y Vásquez (2002) concluyen que la metodología de
Nelson-Siegel es la adecuada para estimar la curva TES tasa fija al encontrarse
que esta supera ampliamente la curva estimada a través de splines de McCulloch.
Melo y Vásquez (2002) encuentran semejanzas de la curva de rendimientos
estimada a través de splines cubicas y bajo el modelo de Nelson y Siegel.
Finalmente, en Julio, Mera y Revéiz (2002) quienes trabajan la curva cero cupón
con Splines Cúbicos suavizados y Bootstraping concluyen que el abanico de
modelos es extenso y los resultados que proporciones cada uno es importante en
los procesos de decisión haciendo notar que la eficacia del mercado es
determinantes en la calidad de los datos proporcionados por los métodos
utilizados.
12
En la revisión de la literatura se encuentra que ante la diversidad de metodologías
desarrolladlas alrededor de la ETTI en Colombia son ampliamente utilizados el
modelo de Nelson-Siegel y los B-splines Esto coincide con lo encontrado por el
BIS (Bank of International Settlements) tras el encuentro de los bancos europeos
en 1996, donde se discutieron las metodologías implementadas por los diferentes
bancos concluyendo que las curvas de Nelson-Siegel y Svensson son de fácil
interpretación y compresión para el análisis de las tasas de interés (BIS 2005).
2. MARCO TEÓRICO
2.1 HIPÓTESIS EXPLICATIVAS DE LA ETTI
Dado que la evolución y comportamiento futuro de los tipos de interés es incierto,
y sólo se cuenta con la certeza de la información actual sobre el rendimiento al
vencimiento de los bonos, se crea la necesidad de determinar el riesgo de
mercado cuando el agente queda expuesto a vender o comprar deuda en un
periodo futuro al posible movimiento en los precios de los activos, el cual
dependerá de la incertidumbre o volatilidad del mercado. Ante este escenario de
aversión al riesgo las decisiones de los agentes del marcado se basan en
disminuir el riesgo a futuro al que pueden ser expuestos.
Para la construcción de la estructura temporal de tipos de interés se ha apoyado
en diferentes hipótesis que se han convertido en teorías, entre las más
importantes se encuentran:
HIPÓTESIS DE LAS EXPECTATIVAS:
Ante el supuesto de que los agentes son neutrales al riesgo, estos elegirán su
portafolio de inversión según la rentabilidad esperada entre los diferentes
portafolios. De esta manera, las expectativas son las determinantes de la ETTI.
13
Esta hipótesis esta fundamentada en Fischer (1930), Hicks (1946) y Lutz (1940).
Se encuentran diferentes planteamientos asociados a la hipótesis de las
expectativas como son: Las expectativas puras o insesgadas, e hipótesis de las
expectativas locales o de la rentabilidad al vencimiento, en Cox, Ingersoll y Ross
(1981) encuentran que las expectativas locales es consistente con el modelo de
equilibrio general.
La hipótesis de las expectativas insesgadas postula que los tipos de interés se
moverán para igualar la rentabilidad esperada de estrategias de inversión
equivalentes, independientemente del plazo de los bonos de cada una de ellas
HIPOTESIS DEL HÁBITAT PREFERIDO
Establecida por Modigliani y Sutch (1966), Descansa sobre la premisa de que los
inversores que hacen coincidir la vida de sus activos con la de sus deudas
soportando el menor riesgo posible, al ser agentes adversos a riesgo los agentes
cambian de hábitat según la prima por plazo o compensación de manera que se
eliminen los excesos de demanda u oferta por parte de los inversores. Longstaff
(1990) muestra que la hipótesis de las expectativas es compatible con la
existencia de primas variables si el periodo en el que se supone que la teoría se
cumple no coincide cn el periodo en el que se miden los precios de los bonos.
HIPOTESIS DE LA PREFERENCIA POR LA LIQUIDEZ
Formulada inicialmente por J.R. Hicks (1946). Supone una preferencia por la
liquidez, por lo cual las primas de riego tienen que ser positivas y posiblemente
crecientes en función del plazo de inversión, adicionalmente supone la preferencia
por el corto plazo y las decisiones de inversión a largo plazo dependerán de la
prima o rendimiento.
14
HIPOTESIS DE LA SEGMENTACIÒN
Propuesta por Culberston (1957) la cual supone que no hay una relación
sistemática entre los rendimientos de los activos de plazos distintos, que se
determinan a partir de la igualdad de la oferta y demanda de activos para cada
uno de los plazos. Considera individuos adversos al riesgo que no están
dispuestos a invertir fuera de su hábitat, por tanto no hay un mercado general de
bonos si no que el rendimiento de estos se determina en mercados segmentados
para cada plazo de tiempo.
2.2 MARCO TEÓRICO PARA LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA DE LA ETTI - ENFOQUE MACROECONÓMICO
Los estudios mas destacados de este enfoque son Singleton (1989), Cambell
(1986b), Backus, Gregor y Zin (1989), Sayler (1990), Constantinides (1992),
Boudoukh (1993) o Backus y Gregory (1993).
A partir del enfoque macroeconómico la ETTI se determina bajo la estructura
matemática de un modelo de equilibrio general que relaciona el rendimiento de los
activos con las variables económicas a través de una maximización intertemporal
de la utilidad esperada de un agente representativo como se expresa a
continuación en la ecuación de Euler.
max��� �� � ����∝
����
Donde es el factor de descuento constante, U(.) es ka función de utilidad y ���� es el consumo del periodo t+s.
15
Al denotar �� al valor de la cartera óptima de activos en términos del bien de
consumo, la condición de primer orden o ecuación de Euler es:
�� �������� � �` ������` ��� � � 1
A partir de esta ecuación se obtiene el precio de los bonos cupón cero para
cualquier plazo como se expresa a continuación:
���� ������ �����/�� ���! � ��"���
Donde "��� es la relación marginal de sustitución intertemporal o factor de
descuento estocástico.
Bajo este enfoque se encuentra que es necesario hacer supuestos concretos
sobre las preferencias, dotaciones, además de requerir supuestos restrictivos
sobre la inflación para garantizar la consistencia en términos nominales.
- ENFOQUE FINANCIERO
Este enfoque se basa en formulaciones en tiempo continuo que determinan la
valoración de activos en un escenario de no arbitraje, Melino (1988), Vetzal (1994)
y Moreno (2000) revisan los aportes en esta área.
A continuación se presenta la formulación de Nelson y Siegel (1987) que sustenta
la ETTI bajo el enfoque financiero.
16
3. FORMULACIÓN MATEMÁTICA PARA LA ESTIMACIÓN DEL M ODELO DE NELSON Y SIEGEL (1987)
Las operaciones realizadas en el mercado financiero se asocian a diferentes
plazos que generan diferentes tipos de interés en un momento del tiempo, de esta
forma, la variable tipo de interés adquiere el calificativo de temporal. Esta variable
no es observable directamente en el marcado, por ello se recurre a los precios de
cotización de los títulos de renta fija o títulos de estado sin prima por riesgo de
insolvencia para poder deducir el tipo de interés que rige en el mercado. La
construcción de la curva temporal de tipos de interés emplea un método de ajuste
no lineal, para la cual se han desarrollado diferentes metodologías. Por tanto, se
encuentra que la estructura temporal de tipos de interés (ETTI) es la relación
funcional que proporciona información sobre los distintos tipos de interés en un
mercado, en función del plazo en que es aplicado.
Nelson y Siegel (1987) proponen un modelo en el cual se espera que la curva de
tipos forward sea asintótica para plazos muy largos, puesto que los inversores no
diferencian entre el tipo de interés forward de un año y del próximo año al
incorporar esta propiedad en el modelo. Este modelo recoge los componentes de
la estructura temporal de tipos de interés a través de tres parámetros: el nivel, la
pendiente y la curvatura de la curva.
Así, la función Nelson y Siegel (1987) que describe el tipo forwardrate at maturity
se expresa como sigue:
# "� � � $ % exp ()*+, - $ . *
+, exp ()*+/ - 2 (1)
Donde ),,,( 2121,0 ττββββ = representa el vector de parámetros a determinar.
• 01, 03 : constantes positivas de tiempo asociada con la ecuación (1)
2 Siguiendo la formulación Nelson y Siegel (1987)
17
• 45 positivo, 41, y 43son los parámetros restantes del modelo.
El término 45, representa la constante que determina el nivel de la curva, por su
parte,41 678 9: 0⁄ �, es el término exponencial que es monótono decreciente con
el vencimiento cuando % es positivo y monótono creciente si % es negativo. Por
último,43 : 0⁄ � 678 9: 0⁄ �, es el término que señala la forma que tendrá la curva.
De esto se encuentra que el rendimiento a maturity de un bono, denotado como
R(m) es el promedio de los tipos forward y la curva de rendimientos asociada al
modelo muestra el mismo rango de la forma:
∫=m
dxxrmmR0
)(/1)(
Un modelo más parsimonioso que genera el mismo rango de las curvas es dado
por la solución de la ecuación con tasas iguales es:
[ ])/exp()/()/exp()( 210 τττββ mmBmmR −•+−•+= (2)
Este modelo también es derivado de una aproximación a la solución en casos de
tasas desiguales expandiendo un poder de series de tiempo en la diferencia entre
tasas. Este último modelo puede ser visto como una constante mas a la función de
Lagurre, la cual sugiere un método para la generalización acorde de modelos. La
función de Lagurre consiste en un polinomio de tiempo con término de decadencia
exponencial y es una clásica aproximación de funciones.
Para obtener el rendimiento como una función a maturity se integra el modelo
(2)de cero a m y se divide por m para obtener:
[ ] )/exp()//()/exp(1)()( 2210 τβττβββ mmmmR −•−−−•++= (3)
Este modelo representa un modelo lineal considerando el coeficiente τ el cual es
asociado al tiempo.
18
Acorde a lo expresado anteriormente se puede decir que el modelo de Nelson y
Siegel parte de la curva de tipos forward instantánea en cualquier momento t. Este
modelo presenta una gran capacidad para representar diferentes tipos de
curvaturas posibles en el mercado, como los son las curvas en forma de “U” o de
“S”, dependiendo de los valores de % y .; además, tienden a una forma
asintótica producto del parámetro �.
- CRITERIO DE OPTIMIZACIÓN
La finalidad principal de la estimación de la estructura temporal de tipos de interés
es estimar los tipos al contado3, ya que estos tipos no son conocidos a partir de la
información disponible asociada al precio del título ( itP , ), su valor nominal ( iN ), el
cupón ( iC ), y las fechas de pago de estos ( ii Mm ,...1= ) y el vencimiento ( iM ) ,
para el conjunto ni ,...,2,1= . A partir de la siguiente expresión se realiza esto:
i
i
i Mti
M
m
mtiit NCP ,
1
,, δδ ⋅+⋅= ∑=
El factor de descuento mt ,δ definido a partir del modelo de Nelson y Siguel (1987)
se expresa así:
−+
−−+−−=
1
2
1
1210 expexp1)(exp)(τ
βτ
τββββδ mm
mmm
El precio teórico del título i en un momento del tiempo t se expresa a través e la
siguiente función:
3También se puede obtener los tipos a plazo o la función de descuento
19
it
t
i
i
t
i
tttiti
M
m t
i
it
t
i
tttitiit
MM
MMN
mm
mmCP
i
i
,
,1
2
,1
,1,2,1,0
1 ,1
,2
,1
,1,2,1,0,
expexp1)(exp
expexp1)(exp
ετ
βτ
τβββ
τβ
ττβββ
+
−+
−−+−−+
+
−+
−−+−−⋅= ∑
=
Donde it ,ε es el error aleatorio independiente e idénticamente distribuido (idd)
mediante una distribución normal con media 0 y varianza 2
εσ para todo i=1…, itn ,
donde itn , es el número de títulos en la semana t. para estimar el vector de
parámetros correspondiente a la semana t, se minimiza los errores al cuadrado
(SEC) entre el precio observado de un titulo en un momento dado ( tiP, ) y el precio
ajustado por el modelo (tiP ,
ˆ ) expresado así:
2
1
,
2
1
,
,,
),ˆ())ˆ(()ˆ( ∑∑==
−==itit n
i
ti
n
i
tittt itPPeSEC ββ
Cuyo sistema de ecuaciones normales se representa a continuación:
20
...2,1,0
10
1,
,
ecuacionSEC
kkpara
ecuacionSEC
t
t
kt
t
=∂
∂=∨
=∂
∂
τ
β
Para resolver esto se emplea el proceso de minimización mediante el algoritmo de
Newton-Raphson.
20
Después de realizar el proceso de estimación de los parámetros se calcula el
precio ajustado así:
−+
−−+−−+
+
−+
−−+−−⋅= ∑
=
t
i
it
t
i
tttiti
M
m t
i
i
t
i
tttiitiit
MM
MMN
mm
mmCP
i
i
,1
,2
,1
,1,2,1,0
1 ,1
2
,1
,1,2,,0,
ˆexpˆ
ˆexp1ˆ)ˆ(ˆexp
ˆexpˆ
ˆexp1ˆ)ˆˆ(ˆexpˆ
τβ
ττβββ
τβ
ττβββ w
Para obtener la tasa de rendimiento ajustada itr ,ˆ se sustituyen los precios teóricos
por los ajustados en la siguiente expresión:
ii
i
i
M
iti
m
it
M
m
iti rNrCP−−
=
+⋅++⋅= ∑ )1()1( ,,
1
,
Se usará
∑=
=tn
s st
it
it
d
d
1 ,
,
,1
1
α como el criterio de ponderación de los errores donde itd , es
la duración del título i de la semana t, que corresponde con la duración modificada
propuesta por Hicks (1946), definida como:
itit
it
itPr
Pd
,,
,
,
1⋅∂∂−
=
Al finalizar con la ponderación de los errores se procede con la estimación
considerando la suma de cuadrados ponderada (SECP) así:
2
,,
1
,
2
,
1
, )ˆ())ˆ(()ˆ(,,
itit
n
i
ittit
n
i
ittt PPeSECPitit
−== ∑∑==
αβαβ
Con la definición teórica del modelo de Nelson y Siegel (1987) se rechazan
valores negativos en 0,tβ y 1,tτ , puesto que estos parámetros recogen el tipo de
interés para plazos infinitos y posición de la curvatura respectivamente.
Adicionalmente se debe cumplir que el tipo de interés a corto plazo representada
como 10 ββ +=c debe ser siempre positivo. Con los parámetros estimados se
calculan los factores de descuento para cualquier fecha de vencimiento.
21
- PROCEDIMIENTO DE ESTIMACIÓN DEL VECTOR DE PARÁMETRO S DEL
MODELO
El método para realizar la minimización es el método de Newton. Este supone
aplicar un procedimiento iterativo representado así:
j
j
jjj Hβ
ββ∂Φ∂
+= −+
1
1
Donde:
• Φ es la función a optimizar
• H es la matriz de segundas derivadas de la función Φ respecto al vector de
parámetros
Con el proceso de interacción se obtienen distintos valores para los parámetros
hasta que se halla conseguido el nivel de convergencia del modelo. Este criterio
consiste en que la mejora de la función objetivo es casi nula relacionándola con la
diferencia en los parámetros obtenidos en una iteración y la siguiente, la cual debe
ser próxima a cero.
- BONDAD DE AJUSTE
En el proceso de estimación del modelo de Nelson y Siegel se minimizan la suma
de cuadrados ponderados de los errores entre el precio observado y el precio
ajustado, cuyo objetivo es obtener el valor de los parámetros que ajustan la
estructura temporal de tipos de interés. Para valorar la bondad de ajuste se estima
la cuantía de los errores entre la curva de rendimientos y la curva de tipos
estimada por el modelo así:
it
n
i
itit
tn
rr
ECM
it
,
2
1
,,
,
)ˆ(∑=
−=
22
4. SIMULACION
Para la simulación de los datos se empleará el Solver de Nelson y Siegel de
Microsoft Excel, donde se emplea el proceso de simulación Monte Carlo para
generar las variables aleatorias normalmente distribuidas para el precio y cupones
de los títulos de renta fija, esto se hace con el fin de que los datos usados no
presenten ningún patrón en su comportamiento, por ende en lo errores de
estimación.
En primera medida se analiza el comportamiento de la ETTI a través de un
proceso de simulación de los datos para obtener la curva de rendimientos
aplicando los datos al solver de excel bajo el modelo de Nelson y Siegel (1987),
como se expresa en la siguiente formulación.
[ ] )/exp()//()/exp(1)()( 2210 τβττβββ mmmmR −•−−−•++=
Para este caso el proceso se repetirá hasta obtener los diferentes tipos de curvas.
Tabla 2. Parámetros obtenidos para el Modelo de Nel son y Siegel (1987) para
la simulación realizada con Solver Microsoft Excel.
Simulación β0 β1 β2 τ1
|β1| |β2| Largo plazo
Corto plazo
Mediano plazo
Decadencia
1. Creciente cóncava 5.77 -8.19 6.16 0.785 8.19 6.16
2. Creciente 7.30 -2.80 -1.39 0.41 2.80 1.39
3. Decreciente convexa 9.49 5.80 -4.40 0.987 1.47 0.50
4. Decreciente 2.50 2.70 1.80 1.50 2.70 1.80
23
Gráfica 1. Representación gráfica modelos estimados
1. Creciente cóncava
2. Creciente
3. Decreciente convexa
4. Decreciente
Con estos resultados se hace una representación de una situación hipotética que
se puede presentar en el mercado de valores y que puede servir de ayuda a los
inversionistas en el proceso de toma de decisiones de inversión. En una situación
de mercado con una curva de rendimientos cero cupón decreciente representará a
los inversionistas que los tipo de interés a corto plazo son más elevados que los
tipo de interés a largo plazo, por su parte, la curva creciente refleja una situación
normal en el mercado de valores donde los intereses de títulos a corto plazo son
inferiores a los títulos de largo plazo. Las curvas, crecientes o decrecientes, con
montículos representaran a los inversionistas situaciones de mercados donde
algunos tipos de interés de corto plazo son más elevados que los títulos de largo
plazo y viceversa.
-4%
-2%
0%
2%
4%
6%
0 2 4 6 8 100%
2%
4%
6%
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0%
2%
4%
6%
0 2 4 6 8 10
24
Tabla 3. Condiciones de los parámetros y formas de la curva de tipos de
interés
Forma de la curva de los
Tipos de interés β0 β1 β2 τ1 Condición
Creciente, cóncava + - + + | β1| ≥ |β2|
Creciente + - - + | β1| ≥ |β2|
Decreciente, convexa + + - + | β1| ≥ |β2|
Decreciente + + + + | β1| ≥ |β2|
Forma ∩ , por encima de β0 + + + + |β1| < |β2|
Forma ∩, cruza β0 + - + + |β1| < |β2|
Forma∪, por debajo de β0 + - - + |β1| < |β2|
Forma ∪, cruza β0 + + - + |β1| < |β2|
5. LA ETTI EN COLOMBIA
A continuación se presenta los β`s que calcula BVC (Bolsa de valores de
Colombia) para la curva de rendimientos4 siete días de negociación en MEC
(Mercado electrónico Colombiano) a través de INFOVAL, se debe destacar que
estos valores son proporcionados de forma diaria en la página del MEC y por tanto
conseguir esta información histórica es compleja.
4La bolsa de valores emplea la metodología de Nelson y Siegel para la estimación de estos Betas
25
Tabla 4. Datos para la curva de rendimientos para TES B en Pesos
Fecha β0 β1 β2 τ1
25/09/2011 8.600.528 -3.677.997 -3.880.721 1.417.202
10/10/2011 8.180.126 -3.217.431 -3.832.342 1.196.967
12/10/2011 8.391.198 -3.476.283 -3.035.531 1.524.539
18/04/2012 8.037313 -2.995572 -1.312907 2.555264
28/05/2012 7.454087 -2.352746 -2.265182 1.031722
03/06/2012 7.653393 -2.595299 -2.053566 1.385561
02/07/2012 7.868022 -2.631455 -2.688335 1.868667
Tabla 5. Datos para la curva de rendimientos para T ES B en UVR
Fecha β0 β1 β2 τ1
25/09/2011 4.448.484 -2.348.934 -0.001662 3.448.515
10/10/2011 4.333.812 -2.857.694 0.02465 2.262.402
12/10/2011 4.117.896 -2.943.946 0.039383 1.66
18/04/2012 4.076055 -1.631404 -0.228654 2.473415
28/05/2012 3.711875 -1.624225 -0.007321 1.028292
03/06/2012 3.7113997 -1.446642 -0.0602 1.1444607
02/07/2012 3.767546 -1.711635 0.096833 1.263327
Tabla 6. Datos para la curva de rendimientos para CDT
Fecha β0 β1 β2 τ1
25/09/2011 4.643.768 0.286825 4.481.105 1.212.701
10/10/2011 4.813.105 0.039477 4.779.843 1.082.673
12/10/2011 5.086.955 0.209808 5.029.408 1.383.075
18/04/2012 5.024994 0.586075 4.709136 1.051265
28/05/2012 4.914788 0.904723 4.311028 1.773639
03/06/2012 4.983624 0.788991 4.479121 1.521015
02/07/2012 4.630721 0.867962 4.307077 0.495408
26
Se puede notar que los niveles de los parámetros (β`s) se mantienen durante los
periodos observados reflejando un comportamiento similar, sin embargo se puede
destacar la similitud entre los parámetros de mediano plazo β2 y largo plazoβ0.
También se debe destacar que para todas las curvas se presenta una forma
cóncava creciente reflejando la estabilidad en la valoración de activos del mercado
financiero en Colombia.
Gráfica 2. TES TF Cierre Mayo-12 vs Junio-12
Fuente: www.grupoaval.com
A través de los datos encontrados en INFOVAL se puede decir que a lo largo del
2011 y lo corrido del 2012 se presenta una estabilidad en las tasas de interés,
pues en los datos observados para cada una de las curvas calculadas los niveles
de los Betas se mantienen, sin embardo de su forma cóncava creciente se debe
decir que hay unas expectativas inflacionarias leves en el corto plazo pero se
5,00%
5,50%
6,00%
6,50%
7,00%
7,50%
Ago.
2012
Abr.
2013
Nov.
2013
May.
2014
Sep.
2012
Oct.
2015
Jun.
2016
Oct.
2018
Jul.
2020
Jul.
2024
Ago.
2026
Cierre 31 de May. 2012 Cierre 28 jun. 2012
27
confía en la estabilidad del largo plazo y el cumplimiento de las metas de inflación.
Lo anterior muestra el control ejercido por el Banco de la república y su interés por
controlar la política monetaria, con intervenciones durante este año que han
llevado a incrementar las tasas de interés
Gráfica 3. Tasa interbancaria BR mensual
Fuente: http://banrep.gov.co
Se concluye que la curva de rendimientos estimada a través del modelo de Nelson
y Siegel es una herramienta útil que permite a los agentes determinar como se
están valorando los activos financieros para tomar sus decisiones de inversión,
pese a esto, se debe resaltar el pobre uso que se le da a la ETTI pues se
encuentra que en nuestro país se ha limitado a datos diarios que proporciona la
BVC sin ir más allá del sistema financiero.
3
3,5
4
4,5
5
5,5
01
/01
/20
11
01
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01
/06
/20
12
TIB
28
En relación con la teoría asociada a la ETTI en Colombia, se encuentra que la
política monetaria dirigida por el Banco de la República se basa en la teoría de la
formación de expectativas por parte de los agentes, por esto, a través de los
mecanismos de transmisión generados por la dinámica de la economía sus
objetivos se centran en mantener la tasa de inflación, el crecimiento del producto y
la generación de empleo.
Sin embargo, diferentes estudios permiten decir que en Colombia el modelo de
formación de expectativas por parte de los agentes no se cumple. Arango, Melo,
León y Gonzales (2006) plantean la poca credibilidad en cuanto a las metas de
inflación propuestas por el banco central al igual que el no cumplimientos de las
expectativas al encontrar que acciones tomadas por el Banco de la República
(tasas de subastas, datos sobre la inflación) generan movimientos empinados en
la curva cero cupón, es decir, ante intervenciones del Banco de la República, en
el mercado de valores se presentan valoraciones altas a tipos de interés para
títulos de corto plazo y tipos de interés de largo plazo. En este mismo orden de
idas, Vélez (2008) expresa que la formación de expectativas no se cumple ya que
se asocia a la información pública con la que cuentan los agentes económicos
que genera el efecto rebaño, es decir, con el desarrollo de los medios de
comunicación los agentes cuentan con mayor facilidad de acceder a la información
(dispositivos móvil, computadores, mayor acceso al internet) y con esto tomar sus
decisiones.
Pese a esto es importante resaltar que en Melo y Castro (2010) basados en la
metodología empleada por Dieblod et al (2006) encuentran a través de una
parametrización del modelo de Nelson y Siegel (1987) una relación entre la
pendiente y la curva de rendimientos cero cupón con la tasa interbancaria, la
inflación, la brecha del producto y el índice de mercados emergentes, donde se
desataca una relación bidireccional de la estructura de las variables económicas y
29
la curva de rendimientos cero cupón, siendo mas fuerte el sentido de la relación de
las variables macro a la curva de rendimientos, esto implica que ante movimientos
o decisiones tomadas por el Banco de la República se genera un efecto en el
marcado de deuda pública que afecta la forma de la curva de rendimientos.
CONCLUSIONES
La curva de rendimientos es una herramienta utilizada para describir las tasas de
rendimientos de un conjunto de papeles, con la misma estructura crediticia, pero
con diferentes períodos al vencimiento, como un medio para representar de forma
aproximada, la estructura a plazos de las tasas de interés. Su principal utilidad se
da en las decisiones de política monetaria, sobre la proyección de los ciclos de
expansión o contracción de la economía. Igualmente, su conocimiento es de gran
interés para quienes planifican sus inversiones, tomando decisiones a partir de la
valoración, negociación o cobertura sobre instrumentos financieros.
Ante el fenómeno de globalización financiera se crea la necesidad de la
proliferación de nuevas técnicas e instrumentos de tipo financiero para la toma de
decisiones por parte de los agentes, también se debe considerar en este tema el
desarrollo de los sistemas informáticos y de comunicaciones que faciliten la
interconexión de los mercados que se orienten mas a la relación riesgo-
rendimiento, y en este sentido se sugiere la ETTI como una técnica útil para la
toma de decisiones de inversión, ya que ha sido adoptada por los sistemas
financieros de varios países, pese a esto, se encuentra la necesidad de explorar
más la ETTI en Colombia de manera que se pueda determinar de manera más
explícita la relación entre la ETTI y la actividad económica real, pues hasta ahora,
sólo se tiene como instrumento para la toma de decisiones en el sistema
financiero
30
Como se expresa en las funciones matemáticas el modelo de Nelson y Siegel
(1987) es un modelo no lineal que requiere un trato diferente a los modelos
económicos lineales en cuanto al proceso de la información y software requerido
para el proceso de los datos. Por esta razón, se usó el solver de Excel por su
facilidad de uso como una herramienta para generar la simulación del modelo bajo
estudio para entender el comportamiento de la ETTI. Se observa que la
formulación matemática expresada en el modelo de Nelson y Siegel (1987) no
depende de la teoría de formación de expectativas en sus términos estructurales,
si no que ofrece una representación parsimoniosa y tradicional de los rendimientos
de los títulos valores a través de diferentes parámetros de tiempo
Se ha demostrado en diferentes estudios la gran capacidad de predicción de este
modelo, pues se ha comprobado la alta correlación entre los precios de los títulos
valores estimados a través de la curva de rendimientos y los observados lo que
crea la confianza suficiente para usar la ETTI como fuente de información para
tomar las decisiones de inversión por parte de los agentes
Dada la dificultad de predecir el comportamiento económico y financiero de un
país, la estimación de la ETTI, a través de la formulación matemática del modelo
de Nelson y Siegel (1987), ofrece una alternativa diferente de realizar predicciones
del comportamiento de los precios de los títulos valores que no depende de la
formación de expectativas. Los diferentes estudios referentes a la estimaciones de
la curvas de rendimientos indican que existe una alta correlación entre el valor
presente y el valor a largo plazo del bono estimado por las curva de rendimiento,
indicando su gran utilidad como referente para la toma de decisiones de inversión.
Se destaca que aunque el modelo de Nelson y Siegel es el más adoptado para la
estimación de la curva de rendimientos, esta también puede ser estimada por
otros modelos no paramétricos como lo son el modelo de Svenson y las teorías de
Splines, que presentan un buen comportamiento al respecto.
31
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