UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN

Enrique Guzmán y Valle

Alma Máter del Magisterio Nacional

FACULTAD DE CIENCIAS

Escuela Profesional de Matemática e Informática

MONOGRAFÍA

ESTRUCTURA DE ANILLO

Estructura de anillo. Propiedades. Elementos idempotentes y nilpotentes.

Divisores de cero, dominio de Integridad o dominios enteros. Subanillos.

Ideales. Ideales maximales y primos. Anillo Cociente. Características de

Anillos. Homomorfismo de anillos. Importancia de la Estructura de

anillo en el currículo de la educación secundaria.

Examen de Suficiencia Profesional Res. N° 0579-2019-D-FAC

Presentada por:

Velasque Pichihua, Milagros Noemi

Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación

Especialidad: Matemática e Informática

Lima, Perú

2019

ii

MONOGRAFÍA

ESTRUCTURA DE ANILLO

Estructura de anillo. Propiedades. Elementos idempotentes y nilpotentes.

Divisores de cero, dominio de Integridad o dominios enteros. Subanillos.

Ideales. Ideales maximales y primos. Anillo Cociente. Características de

Anillos. Homomorfismo de anillos. Importancia de la Estructura de

anillo en el currículo de la educación secundaria.

Designación de Jurado Resolución N° 0579-2019-D-FAC

----------------------------------------------------------

Dr. Fernández Saucedo, Narciso

Presidente

---------------------------------------------------------

Mg. Espinoza Rojas, Hernán José

Secretario

-------------------------------------------------------------

Lic. Mendoza García, Julio Alejandro

Vocal

Línea de investigación: Currículum y formación profesional en educación.

iii

Dedicatoria:

A mis padres por su apoyo incondicional,

durante mis estudios y a Dios por guiar

siempre mi camino.

iv

Índice de contenidos

Portada………………………………………………………………………………............i

Hoja de firmas de jurado…………………………………………………………................ii

Dedicatoria…………………………………………………………………………………iii

Índice de contenidos………………………………………………………..……………...iv

Lista de figuras………………………………………………………………………...…...vi

Introducción…………………………………………………………………………….…vii

Capítulo I. Estructura de anillo……………………………………………………..………8

1.1 Definición……………………………………………………………..………………..8

1.2 Propiedades de anillos…………………………………………………………...…….11

1.3 Elementos idempotentes en un anillo……………………………………………...…..13

1.3.1 Definición………………………..…………………………………...................13

1.3.2 Teorema………………………..………………………………………………..14

1.4 Elementos nilpotentes en un anillo……………………………....................................15

1.4.1 Definición……………………………………..………………………………...15

1.4.2 Teorema………………………………………………..………………………..15

Capítulo II. Divisores de cero……………………………………………………..………16

2.1 Definición…………………….……………………..………………………………...16

Capítulo III. Dominio de integridad o dominio entero………………..…………………..17

3.1 Definición……………………………..………………………………………………17

3.2 Teorema…………………………..…………………………………………………...18

Capítulo IV. Subanillo…………………………..…………………………………...........20

4.1 Concepto de subanillo…………..………………...………………………………...…20

4.2 Definición…………………………………………………………………………..…20

v

Capítulo V. Teorema de caracterización de subanillos……………………........................23

Capítulo VI. Ideales de un anillo………………………………………………..………...25

6.1 Definición…………………………………………………………………..…………25

6.2 Definición ………………………………………………………………………..……25

6.3 Teorema…………………………………………………………………….................26

6.4 Ideales primos……………………………………………………………………........27

6.4.1 Teorema………………………………………………........................................27

6.5 Ideales maximales………………………………………………………………...…...28

Capítulo VII. Anillo cociente………………………………………………………...……29

7.1 Teorema……………………………………………………………………….............29

7.2 Característica de anillo……………………………………………………………...…30

7.2.1 Propiedad……………………………………………………………………......31

Capítulo VIII. Homomorfismo de anillos……………………………………………...….32

8.1 Teoremas…………………………………………………………………………...….33

Capítulo IX. Importancia de la estructura de anillos en el currículo de la educación

secundaria……………………..…………………………………………………………..34

9.1 Importancia………………………………………….………………..……………….34

Aplicación didáctica……………………………………………………..………………..35

Síntesis…………………………………………………………………..………………...42

Apreciación crítica y sugerencias……………………………………………..…………..44

Referencias……………………………………………..…………………………………46

Apéndice(s)………………………………..…………..…………………………………..47

vi

Lista de figuras

Figura 1. Representa la imagen de Amalie Emmy Noether…………………………….....47

Figura 2. Representa la imagen de David Hilbert.……………………..…………….........48

vii

Introducción

La presente monografía ha sido elaborada como soporte para rendir el examen de

suficiencia profesional y así obtener la licenciatura. El tema que se me asignó es la

Estructura de anillo.

En este trabajo monográfico se da a conocer la importancia de la estructura algebraica de

un Anillo, teniendo en cuenta los conceptos previos de los grupos. Debido a que es de

sumo interés para la comprensión y entendimiento de la estructura algebraica de los

anillos. Los temas que están contenidos en el trabajo monográfico, se dan principalmente a

partir de ciertos sistemas algebraicos que están constituidos con un solo propósito que es el

estudio de la Estructura algebraica de Anillo. Además, los Anillos se manifiestan a partir

de los números enteros, en donde se definen dos leyes de composición interna, las cuales

son llamadas adición y multiplicación.

Para ahondar más sobre las estructuras algebraicas de anillo, la investigación está

estructurada en IX capítulos: el capítulo I, las estructuras de anillo; el capítulo II, divisores

de cero; el capítulo III, dominio de integridad o dominio entero; el capítulo IV, el

subanillo; el capítulo V, el teorema de caracterización de subanillos; el capítulo VI, ideales

de un anillo; el capítulo VII, sobre el anillo cociente; el capítulo VIII, homomorfismo de

anillo; el capítulo IX, importancia de la estructura de anillos en el currículo de la

educación secundaria. Además, se presenta la aplicación didáctica, síntesis, apreciación

crítica y sugerencias, referencias y apéndices.

Por último, las estructuras algebraicas, resultan ciertamente productivas en la enseñanza

del nivel secundario, siendo esto de gran aporte, y dando como respuesta del porque las

propiedades, asociativas, conmutativas y distributivas son aplicadas en el área de

matemática.

8

Capítulo I

Estructura de anillo

1.1 Definición

Dado la terna (A , + , .) un anillo, se dice que tiene la estructura de anillo, si y sólo si:

1. (A , +) es un grupo abeliano.

2. (A , .) es un semigrupo.

3. El producto es distributivo a izquierda y derecha respecto a la adición.

a , b, c ∊ A: { ( ) ( )

De esta manera, también, sucede que la segunda ley de composición es

conmutativa diremos que el anillo (A, + , .) es conmutativo. Si existe elemento

neutro o identidad respecto del producto, que denotamos con 1, entonces se

llamará anillo con identidad o con unidad. Un anillo con identidad cuyos

elementos no nulos son inversibles se llama anillo de división (Rojo, 1995,

p.265).

Ejemplo 1: (contraejemplo)

(ℤ , + , .) es anillo.

Demostración:

i) (ℤ,+) debe ser grupo abeliano.

9

ii) + es asociativa en ℤ

iii) 0 es elemento neutro

Axioma: Inverso aditivo u opuesto

∀ m ∊ ℤ / -m ∊ ℤ, m + ( -m) = 0

Su negación:

m ∊ ℤ / ∀ n ∊ ℤ, m + n ≠ 0

m ∊ ℤ / ~ ( n ∊ ℤ, m + n = 0)

Ejemplo 2:

2 ∊ ℤ / ∀ n ∊ ℤ, 2 + n ≠ 0

Negación:

2 ∊ ℤ / ~ ( n ∊ ℤ, 2 + n = 0)

Es decir, no tiene neutro para la adición en ℤ, entonces no es grupo.

∴ (ℤ , + , .) no es anillo

Ejemplo 3:

(ℤ, + , .) es anillo.

+ : ℤ x ℤ ⟶ ℤ . : ℤ x ℤ ⟶ ℤ

(a, b) ⟶ a + b (a, b) ⟶ a . b

Esto es, la adición “+” y la multiplicación “.” Son L.C.I. definidas en ℤ.

i) (ℤ, +) es un grupo abeliano.

Para ello se comprueba:

(a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∊ ℤ (asociatividad)

Existe un elemento neutro: ∃ 0 ∊ ℤ / 0 + a = a + 0 = a, ∀ a ∊ ℤ

Todo elemento de A admite un opuesto aditivo.

∀a ∊ ℤ, ∃ –a ∊ ℤ / a + (–a) = (–a) + a = 0

a + b = b + a , ∀ a, b∊ ℤ (conmutatividad)

10

ii) (ℤ, .) es un semigrupo.

Se comprueba:

a . (b . c) = (a . b) . c , ∀a , b , c ∊ ℤ (asociatividad)

iii) Ley distributiva: a . (b + c) = a . b + a . c

(b + c). a = b . a + c . a , ∀ a, b , c ∊ ℤ (distributividad)

*) Luego, es fácil probar que la multiplicación es conmutativa en ℤ x ℤ

∴ (ℤ , +, .) es un anillo.

Ejemplo 4:

Dado como conjunto los enteros residuales módulo 5: ℤ5 = {[0], [1], [2], [3], [4]}

Para cada a = [3] , b = [2] en ℤ5, definimos “+” y “.”:

[3]+ [2] = [3 + 2] = [5] = [0]

Entonces: 0 el resto de dividir 3 + 2 entre 5

[3] [2] = [3 . 2] = [6] = [1]

Entonces: 1 es el resto de dividir 6 entre 5

i) Se puede comprobar que (ℤ5, +) es un grupo abeliano.

ii) (ℤ5, .) es un semigrupo. O sea, la multiplicación es asociativa en ℤ5.

Ejemplo 5:

ii) ∀ [3], ∀ [2] ∀ [1] en ℤ5, se verifica que (ℤ5, .) es semigrupo.

([3] [2])[1] = [3 . 2] [1]

= [(3 . 2) 1]

= [3 (2 . 1)]

= [3] [2 . 1]

= [3] ([2] [1])

iii) Distributivas:

∀ [3], ∀ [2], ∀ [1] en ℤ5

11

([2] + [1]). [3] = [2] [3] + [1] [3]

= [2 . 3] + [1 . 3]

= [6] + [3]

= [9]

= [4]

También se verifica la otra distributividad.

Sean [3], [2] y [1] en ℤ5

[3] . ([2] +[1]) = [3] [2] + [3] [1]

= [3 . 2] + [3 . 1]

= [6] + [3]

= [9]

= [4]

* [3], [2] en ℤ5, se cumple [3] [2] = [3 . 2] = [2 . 3] = [2] [3]

Entonces, la multiplicación es conmutativa en ℤ5.

∴ (ℤ5, +, .) es un anillo.

1.2 Propiedades de anillos

1) Rojo (1995) afirma: “Para el producto de cualquier elemento de un anillo por el neutro

para la primera ley es la siguiente manera” (p.266).

Como hipótesis) (A, + , .) es anillo.

Tesis) a . 0 ∧ 0 . a = 0

Demostración:

Para cualquiera que sea y ϵ A, por Axioma del elemento neutro se verifica:

y + 0 = y

a . (y + 0) = a . y

12

a . y + a . 0 = a . y

a . y + a . 0 = a . y + 0

Entonces, por ley cancelativa en el grupo (A , +)

a . 0 = 0

También se prueba análogamente 0 . a = 0.

Esta propiedad suele enunciarse de la siguiente manera: en todo anillo, el producto por

0 es 0.

2) Rojo (1995) afirma: “Para todo anillo, el producto del opuesto de un elemento, por

otro, es igual al opuesto de su producto” (p.266).

(-a) . b = - (a . b)

Demostración:

Por distributividad y producto por 0, se tiene:

(-a) . b = (– a) . b + a . b

= (– a + a) . b

= 0 . b

= 0

Es decir,

(– a) . b + a . b = 0

Entonces,

(– a) . b = – (a . b)

De manera similar se prueba que a . (– b) = – (a . b)

3) Rojo (1995) afirma: “Para todo anillo, el producto de los opuestos de dos elementos es

igual al producto de los mismos” (p.266).

(-a)(-b) = a . b

13

Demostración:

Empleando reiteradamente la propiedad 2), y por opuesto del opuesto, resulta

(– a) . (– b) = – [a . (– b)]

= – [– (a . b)]

= a . b

4) Rojo (1995) afirma: “Para todo anillo vale la distributividad del producto respecto de la

diferencia” (p.267).

(a – b) . c = a . c – b . c

Demostración:

Por definición, se sabe que a – b = a + (–b). Entonces, aplicando Axioma de distributividad

y la propiedad 2)

(a – b) . c = [a + (– b)] . c

= a . c + (– b) . c

= a . c + [– (b . c)]

= a . c – b . c

1.3 Elementos idempotentes en un anillo

1.3.1 Definición.

Dado (A, + , .) un anillo. Un elemento a de A, se dice que es idempotente, si y sólo si

a2

= a.

Ejemplos:

1) En el anillo de los enteros ℤ, a = 1 es idempotente, sin embargo, -1 no es idempotente.

2) En el anillo ℤ x ℤ con las operaciones usuales, los pares (1;0) y (0;1) son idempotentes.

14

3) En el anillo (ℤ6, + , .) de los enteros residuales módulo 6, se tiene que a = [3] es

idempotente, pues [3]2 = [3].

Prueba:

a2

= [3]2

= [3] . [3]

= [9]

[3]2 = [3]

∴ [3] es idempotente.

4) Dado E un conjunto, ((E) , ∆ , ∩) es un anillo con + = ∆ y . = ∩

En efecto:

∀ A ∊𝒫 (E) , A2 = A ∩ A = A

∴ Todo A ∊ (E) es idempotente.

1.3.2 Teorema.

En un anillo (A, + , . ) con unidad 1, si a es idempotente, entonces 1-a es

idempotente.

Prueba:

(1-a)2 = (1-a) (1-a)

= 1 (1-a) – a (1- a)

= (1 – a) – (a – a2)

= (1 – a) – (a – a)

= 1 – a – a + a

= 1 - a

∴ (1-a)2

= 1-a, entonces 1-a es idempotente.

15

Nota: Un concepto relacionado con el de elemento idempotente es el de elemento

nilpotente.

1.4 Elementos nilpotentes en un anillo

1.4.1 Definición.

Dado un anillo conmutativo A y con unidad, se dice que un elemento a de A es

nilpotente, si y sólo si an = 0 para algún natural n distinto de cero.

Ejemplo: En el anillo (ℤ8 , + , .) sea a = [2], existen n = 3 en ℕ

tal que: [2]3 = [2] . [2] . [2] = [8] = [0]

[2]3 = [0]

∴ [2] es nilpotente de grado 3.

1.4.2 Teorema.

Si a es nilpotente para el exponente n, entonces 1-a tiene inverso multiplicativo.

Demostración:

Para esto, es suficiente verificar la siguiente igualdad.

(1-a)( 1 +a + a2 + a

3 + … + a

n-1) = 1-a

n = 1. (pues a

n = 0)

∴ 1-a tiene inverso multiplicativo.

16

Capítulo II

Divisores de cero

2.1 Definición

Dado A un anillo. Ayres (1969) afirma: “Se dice que un elemento a ≠ 0 es un divisor de

cero, si existe un elemento b ≠ 0 en A tal que” (p.103).

a . b = 0 ∨ b . a = 0.

Ejemplo 1: Ayres (1969) afirma: “Los siguientes anillos ℤ, ℚ, ℝ, ℂ no tienen divisores de

cero, o sea , en cada sistema” (p.103). ab = 0 ⟶ a = 0 ∨ b = 0”

Ejemplo 2: En el anillo (ℤ6 , + , .), para

a = [3] ≠ [0], existe b = [2]≠ [0] en ℤ6 , tal que:

a . b = [3] [2] = [0]

∴ [3] es divisor de cero en ℤ6.

Ejemplo 3: Hallar los divisores de cero del anillo (ℤ8 , + , .),

Dado el anillo (ℤ8 , + , .), para a = [2] ≠ 0, existe b = [3] ≠ 0 en ℤ7, tal que: a . b = [4] .

[2] = [8] = [0]

∴ [4] es divisor de cero en ℤ8.

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Capítulo III

Dominio de integridad o dominio entero

3.1 Definición

Dado un anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero, es denominado

dominio de integridad. Las ternas (ℤ , + , .) , (ℝ , + , .) y (ℤ3, + , .) son dominios de

integridad. “Esto significa que, si A denota el conjunto de los enteros pares, entonces (A ,

+ , .) es anillo conmutativo, sin divisores de cero y sin elemento unidad; en consecuencia

no es dominio de integridad” (Rojo, 1995, p.272).

Ejemplo 1: Dado el anillo de los enteros residuales módulo 10.

ℤ10 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9]}

Tenemos que [5] es divisor de cero, pues [5] ≠ [0] y existe [4] ≠ [0] en ℤ10, tal que :

[5] [4] = [0] ¿o no? . Análogamente, [5] es un divisor de cero en ℤ10.

∴ ℤ10 no es dominio entero o de integridad.

Ejemplo 2: Los anillos (ℤ, + , . ), (ℚ, + , .), (ℝ, + , .) y (ℂ, + , .) no poseen divisores de

cero.

Es decir, ∀ a ≠ 0 ∧ ∀ b ≠ 0, resulta ab ≠ 0

∴ ( ℤ, + , . ), (ℚ, + , .), (ℝ, + , .) y (ℂ, + , .) son dominios de integridad.

Ejemplo 3: Dado el anillo ℤ5 = {[0], [1], [2], [3], [4]}

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Si se multiplican dos elementos cualesquiera diferentes de cero en ℤ5, entonces su producto

es diferente de cero, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Tabla 1

Multiplicación de clases en ℤ5

[0] [1] [2] [3] [4]

[0] [0] [0] [0] [0] [0]

[1] [0] [1] [2] [3] [4]

[2] [0] [2] [4] [1] [3]

[3] [0] [3] [1] [4] [2]

[4] [0] [4] [3] [2] [1]

Nota. En la tabla anterior, se muestra la multiplicación de clases en ℤ5.

Fuente: Autoría propia.

Es decir: ∀ [a] ∊ ℤ5 , [b] ∊ ℤ5; [a] ≠ 0 ∧ [b] ≠ 0 → [a][b] ≠ 0

O también: [a][b] = 0 → [a] = 0 ∨ [b] = 0

3.2 Teorema

Trujillo, Chirinos, Giles, Yauri y Dávila (2014) aseguran que el anillo (ℤn, +, .) es un

dominio de integridad, sí y sólo si, n es primo. (n ≥2).

Demostración:

⟶) ℤn es dominio entero (hipótesis), demostremos que n es primo.

Supongamos que n no es primo, entonces existen p y q en ℤ+, tal que:

1 < p < n ∧ 1 < q < n; donde n = pq; luego:

[n] = [p q] = [p] . [q]; pero [n] = [0]

es decir: [p] ≠ [0] ∧ [q] ≠ [0] → [p] . [q] = [0]

Esto significa que ℤn tiene divisores de cero, entonces ℤn no es dominio entero.

Luego, debemos afirmar que n es primo.

19

⟵) n es primo (hipótesis), probemos que ℤn es dominio entero.

Para que ℤn sea dominio entero, se cumple:

[a] [b] = [0] ⇒ [a] = [0] ∨ [b] = [0]

⟺ [a] [b] = [0] ⇒ [a b] = [0]

Por definición de clases de equivalencia:

De [a . b] = [0], por igualdad de clases deduce que a . b es múltiplo de n

De manera equivalente, significa:

n es divisor de a b ⇒ n es divisor de a ∨ n es divisor de b (pues n es primo)

⇒ n / a ∨ n / b

⇒ [a] = [n] ∨ [b] = [n]

⇒ [a] = [0] ∨ [b] = [0]

∴ ℤn es un dominio de integridad.

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Capítulo IV

Subanillo

4.1 Concepto de subanillo

Rojo (1995) afirma: “Dado (A , + , .) un anillo. Un subanillo de (A , + , .) es una parte no

vacía de A que tiene estructura de anillo con las mismas leyes de composición” (p.272).

4.2 Definición

Dado el subconjunto no vacío S ⊂ A es un subanillo de (A , + , .) si y sólo si (S ,

+) es subgrupo de (A , +), y además S es cerrado para el producto. Es claro que

una parte no vacía S ⊂ A es un subanillo de (A , + , .) si y sólo si para todo par de

elementos a ∊ A y b ∊ A se verifica a – b ∊ A y a . b ∊ A (Rojo, 1995, p.272).

Ejemplo 1: Si m ∊ ℤ. Entonces el conjunto de todos los múltiplos enteros de m

S = {r . m / r ∊ ℤ} es un subanillo de (ℤ , + , .).

En efecto, si x ∊ S ˄ y ∊ S, entonces x = r . m ˄ y = r’ . m.

Luego x – y = r . m – r’. m = (r – r’) . m = r’’ . m

Es decir

x – y ∊ S

21

Por otra parte, Rojo (1995) afirma:

“ x ∊ S ˄ y ∊ S ⇒ x = r . m ˄ y = r’. m ⇒

⇒ x . y = (r . m . r’) . m ⇒ x . y = r’’. m ⇒ x . y ∊ S”

∴ S es un subanillo del anillo (ℤ , + , .) (p.272).

Ejemplo 2: Trujillo et al. (2014) refieren que dado el anillo (ℤ , + , .) de los números

enteros y S = {3 k / k ∊ ℤ}, el conjunto de los números enteros que son múltiplos de 3. Es

decir 3ℤ.

Veamos que (S , + , .) es un subanillo de (ℤ , + , .).

i) (S , +) es subgrupo conmutativo de (ℤ , +): Por el teorema de caracterización de

subgrupos:

∀ a , b ∊ S , a = 3t , b = 3h; t , h ∊ ℤ.

⟹ a – b = 3 (t –h ); (t –h ) ∊ ℤ ⟹ a – b ∊ 3ℤ.

∴ (S , +) es un subgrupo conmutativo de (ℤ , +). Además; + es conmutativa en S, pues S

⊂ ℤ. Además, como a y b son enteros, entonces se hereda la propiedad conmutativa

(abeliano).

ii) (S , .) es un semigrupo.

∀ a , b, c ∊ S; a = 3 h, b = 3k, c = 3 t; h, k, t en ℤ.

(a . b). c = ((3h) (3k))3t; h, k, t ∊ ℤ

= (3h) ((3k) (3t))

= a. (b . c)

∴ . es asociativa.

Es decir (3ℤ, .) es semigrupo.

iii) Ley distributiva, se cumple porque se hereda la propiedad distributiva de . respecto a +

en ℤ.

∀a = 3 h, b = 3k, c = 3t ∊ S , se cumple:

22

a (b + c) = (3h)(3k) + (3h)(3k)

(b + c) a = (3k)(3h) + (3k)(3t)

Como S = 3ℤ un anillo y S ⊂ ℤ

∴ 3ℤ es un subanillo de ℤ.

Ejemplo 3: Dado el anillo (ℤ8, + , •) de los enteros residuales módulo 8.

Del teorema de caracterización de subgrupos: [a] - [b] ∊ ℤ8

[a] - [b] = [a] + [-b]

= [a + (-b)]

= [a - b]

Tal que : x ∊ [a] ∧ y ∊ [b]

x – y ∊ [a - b]

Demostración:

x ∊ [a] ∧ y ∊ [b]

x a(mód. 8) ∧ y b(mód. 8)

8 (x – a) ∧ 8 (y – b)

8 (x – a) ∧ 8 (b – y)

8 ((x – a) + (b – y))

8 (x – y) – a + b

8 (x – y) – (a – b)

(x – y) (a – b) (mód. 8)

x – y ∊ [a - b]

∴ x ∊ [a] ∧ y ∊ [b] es subanillo de ℤ8.

23

Capítulo V

Teorema de caracterización de subanillos

Dado (A , + , .) un anillo y S un subconjunto no vacío de A. Se cumple:

S es subanillo de A ⇔

i) ∀ a , b en S ⇒ a – b ∊ S

ii) ∀ a , b en S ⇒ a . b ∊ S

Ejemplo 1:

Dado (ℤ , + , .) el anillo de los números enteros y S = 5ℤ = { 5k / k ∊ ℤ}, el conjunto de los

números enteros que son múltiplos de 5.

En base al teorema de subanillos, veamos que (S, + , . ) es un subanillo de (ℤ, + , . ).

a) Para todo a, b ∊ S , a = 5t, b = 5h; t, h ∊ℤ.

⇒ a – b = 5t - 5h ; t, h ∊ ℤ

⇒ a – b = 5(t - h); (t - h) ∊ ℤ

⇒ a – b ∊ 5ℤ.

b) ∀a, b ∊ S = 5ℤ ⇒ a = 5h, b = 5k; h, k en ℤ.

⇒ a . b = (5h) (5k) ; h, k, ∊ ℤ

= 5(h k) ; 5 ∊ ℤ ⇒ a . b ∊ 5ℤ

∴ 5ℤ es un subanillo del anillo ℤ

24

Ejemplo 2:

Dado el anillo M2(ℝ) = { (

) ∊ } de las matrices cuadradas de

orden 2 con coeficiente en ℝ, con las operaciones usuales de adición y multiplicación de

matrices. Además, sea el conjunto:

(S) = { (

) ∊ ( ) ∊ }

Por el teorema de caracterización de subanillos, se prueba que S es un subanillo M2(ℝ)

25

Capítulo VI

Ideales de un anillo

6.1 Definición

Dado (I , + , .) un subanillo de (A , + , .).

I es un subanillo de A, es un ideal a izquierda de A si y sólo si

x ∊ A ˄ a ∊ I ⇒ x . a ∊ I

I es un subanillo de A, es un ideal a derecha de A si y sólo si

a ∊ I ˄ x ∊ A ⇒ a . x ∊ I

6.2 Definición

Dado I un subconjunto de un anillo A, se dice que es un ideal de A, si y sólo si:

1) (I , +) es un subgrupo de (A , +)

2) Para todo a en A y para todo b en I, se tiene: a . b ∊ I ∧ b . a ∊ I

Ciertos requisitos que se aplican al subconjunto I ⊂ A, para que sea un ideal, son las

siguientes:

i. I ≠ ø

ii. a ∊ I ˄ b ∊ I ⇒ a – b ∊ I

26

iii. a ∊ I ˄ b ∊ I ⇒ a . b ∊ I

iv. a ∊ I ˄ b ∊ A ⇒ a . b ∊ I ˄ b . a ∊ I

Ejemplo 1: Dado el subanillo S de todos los múltiplos del entero a es un ideal de ℤ.

En cambio, ℤ no es un ideal de ℝ.

Rojo (1995) afirma: “Todo anillo (A , + , .) admite dos ideales: el mismo A y {0}, y

son llamados ideales triviales. Todo otro ideal, si existe, se llama ideal propio no

trivial” (p.273).

Ejemplo 2: El conjunto ℤ es un subanillo del conjunto de los números racionales ℚ. Pero,

ℤ no es ideal de (ℚ, +, •) porque si a ∊ ℚ ∧ b ∊ ℤ ⟶ a . b ∧ b . a no necesariamente está en

ℤ. Por ejemplo:

Dados, a = 4/3 en ℚ ∧ b = 5 en ℤ, entonces: a . b =

∉ ℤ

Ejemplo 3: En el anillo (ℤ , + , .), los ideales de ℤ son los subconjuntos I = nℤ, con n ≥ 0.

Se tiene:

a) Se demostró que nℤ es un subgrupo de (ℤ , +)

b) Si a ∊ ℤ ∧ b ∊ nℤ, entonces:

a . b = a ( n . k)

= n (a . k)

= n . h , con h = a . k ∊ ℤ

⟹ a . b ∊ nℤ

También b . a ∊ nℤ

∴ I = nℤ es un ideal de (ℤ, +, .).

6.3 Teorema

Dado I1 y I2 son ideales del Anillo A, entonces I1 ∩ I2 , es un ideal de A.

Demostración:

27

i) I1 ∩ I2 es un subgrupo de (A, +) porque (I1, +) y (I2, +) son subgrupos.

ii) Sea a ∊ A ∧ b ∊ (I1 ∩ I2); entonces:

a ∊ A ∧ (b ∊ I1 ∧ b ∊ I2) ⟹ a . b ∊ I1 ∧ a . b ∊ I2

⟹ b . a ∊ I1 ∧ b . a ∊ I2

Porque, I1 y I2 son ideales de A.

⟹ a. b ∊ I1 ∩ I2 ∧ b . a ∊ I1 ∩ I2

∴ De i) y ii); I1 ∩ I2 es un ideal de A.

6.4 Ideales primos

Dado S un ideal de un anillo conmutativo A es un ideal primo, si y sólo si:

∀ a , b ∊ A, a . b ∊ S ⟶ a ∊ S ∨ b ∊ S.

Ejemplo 1:

En el anillo ℤ.

El ideal P = {7 s : s ∊ ℤ}, que también se escribe P = (7), es un ideal primo porque si a . b

∊ P ∨ 7 a ∨ 7 b; con lo que a ∊ P ∨ b ∊ P.

Ejemplo 2:

En el anillo ℤ.

El ideal k = {14 s : s ∊ ℤ} ∨ k = (14) no es ideal primo pues por ejemplo:

28 = 4 . 7 ∊ k pero ni 4 ni 7 están en k.

6.4.1 Teorema.

Ayres (1969) afirma: “Dado el anillo ℤ un ideal propio S = {ms : s ∊ ℤ, m ≠ 0} es un ideal

primo si y sólo si, m es un entero primo” (p.106).

28

6.5 Ideales maximales

Ayres (1969) afirma: “Dado S el ideal propio de un anillo conmutativo A, es ideal

maximal si no hay en A ningún ideal propio que contenga propiamente a S” (p.106).

Ejemplo 1:

El ideal P = {7 s : s ∊ ℤ }, es un ideal maximal de ℤ, ya que el único ideal de ℤ que

contiene propiamente a P es ℤ mismo.

Ejemplo 2:

El ideal K = {14 s : s ∊ ℤ} no es maximal porque k está contenido propiamente en P que ,

a su vez, está contenido propiamente en ℤ.

29

Capítulo VII

Anillo cociente

Como el grupo aditivo de un anillo A es abeliano, todos sus subgrupos son subgrupos

invariantes. “Esto quiere decir que, cualquier ideal S del anillo es un subgrupo invariante

del grupo aditivo A y el grupo cociente A / I = {a + I : a ∊ A} es el conjunto de todas las

clases laterales distintas de I en A” (Ayres, 1969, p.106).

7.1 Teorema

Ayres (1969) afirma: “Dado un ideal I de un anillo A, el grupo cociente A / I es un anillo

con respecto a la adición o multiplicación de clases laterales (clases residuales)” (p.107).

Se designa al anillo por A / I y llamarlo anillo cociente de A con respecto a I.

De las explicaciones de adición y multiplicación de clases residuales se sigue que:

a) La aplicación A ⟶ A / I : a ⟶ a + I es un homomorfismo de A sobre A / I.

b) I es el elemento cero del anillo A / I.

c) Si A es un anillo conmutativo, también lo es A / I.

d) Si A tiene elemento unidad u, también lo tiene A / I y es u + I.

e) Si A carece de divisores de cero, A / I puede o no tener divisores de cero. Pues, si

bien.

30

(a + I) . (b + I) = a . b + I = I

Indica que a . b ∊ I, no implica necesariamente que a ∊ I o que b ∊ I.

7.2 Característica de anillo

Dado un anillo A con elemento cero z y supóngase que existe un entero positivo n tal que:

n . a = a + a + a + … + a = z , ∀ a ∊ A. “Esto quiere decir que, el menor entero positivo n

con tal propiedad se llama característica de A. Si no existe un entero semejante, se dice

que A tiene característica cero” (Ayres, 1969, p.103).

Ejemplo 1:

Los anillos ℤ, ℚ, ℝ, ℂ tienen característica cero, pues para estos anillos, se cumple:

na = n . a

Ejemplo 2:

Dado A un anillo con elemento cero z, entonces:

∀ a ∊ A, a . z = z . a = z.

En efecto: Como a + z = a , se sigue que:

a . a = (a + z) a

= (a . a) + z . a

Como a . a = (a . a) + z; entonces:

(a . a) + z . a =(a . a) + z

Utilizando la ley de cancelación, se tiene que

z . a = z.

Análogamente: a . a = a (a + z) = a . a + a . z y a . z = z.

Ejemplo 3:

Dado A un anillo con identidad 1. Sea f: ℤ ⟶ A la aplicación definida por:

f(a) = m . 1 , si a ∊ ℤ

31

donde a . 1 significa:

a . 1 = 1 + 1 + … + 1 (a veces) si 0 < a

a . 1 = 0 si a = 0

a . 1 = - ((-a) . 1 ) = - (1 + 1 + … + 1) si m < 0.

- m veces

Además, en el caso m < 0 , la validez de

a . 1 = (-1) + (-1) + … + (-1) (-m veces)

= (-m) . (-1)

7.2.1 Propiedad.

Dado A un anillo (con identidad) de característica m ≠ 0. Entonces cualquiera que sea

a ∊ A es m . a = a + a + … + a = 0. (m veces)

En efecto:

m . a = a + a + … + a

= 1 . a + 1 . a + 1 . a

= (m . 1) . a

= 0 . a

= 0

32

Capítulo VIII

Homomorfismo de anillos

Dados (A, +, ∙) y (A1, +, ∙) dos anillos y f: A →A1 una función.

Se dice que f es un homomorfismo de A en A1 si y sólo sí, f satisface:

1) f es homomorfismo entre grupos aditivos.

f(a + b) = f(a) + f(b)

2) f(a.b) = f(a) . f(b); ∀a, b en A

Ejemplo 1: Dados A y A1 dos anillos, definimos la función:

f: A →A1 / f(a) = 0; ∀a ∊ A

Entonces f es un homomorfismo y se llama homomorfismo cero.

Ejemplo 2: Si A = ℤ el anillo de los enteros y A1 = ℤ x ℤ el anillo ya tratado

anteriormente.

Definimos: f : ℤ → ℤ x ℤ

a → (a, 0)

∀ a, b en ℤ, tenemos:

(1) f(a + b) = (a + b, 0)

= (a, 0) + (b,0)

= f(a) + f(b)

33

(2) f(a . b) = (a . b, 0)

= (a, 0) . (b, 0)

= f(a) . f(b)

∴ De (1) y (2), f es un homomorfismo de ℤ en ℤ x ℤ.

Ejemplo 3:

Sea f : ℤ → ℤ x ℤn / f(a) = [a]

Se prueba que f es un homomorfismo de anillos.

Nota: Si A tiene elemento unidad 1 y A1 tiene unidad 1’, no siempre ocurre que f(1) = 1’ .

Sin embargo probemos la siguiente:

Proposición:

Si f : A → A1 es suryectiva, entonces f(1) = 1’.

En efecto:

Como f es suryectiva ⇒ ∃ a ∊ A / φ(1) = 1’

Es decir: 1’ = f(a) = f(1 . a)

= f(1) . f(a)

= f(1) 1’

= f(1)

⟹1’= f(1)

8.1 Teoremas

Dado f un homomorfismo del Anillo A en un anillo A1, entonces, se cumple:

1) f(0) = 0

2) f(-a) = -f(a), ∀ a ∊ A

3) f(a1 – a2) = f(a1) - f(a2), ∀ a , a2 ∊ A

4) f(a-1

) = f(a) -1

34

Capítulo IX

Importancia de la estructura de anillos en el currículo de la educación secundaria

9.1 Importancia

El estudio de los Anillos sirve como soporte teórico matemático del profesor de

matemática para el Diseño Curricular de los sistemas de números, en este caso de los

enteros, racionales y reales.

Realizando las transposiciones didácticas adecuadas en su enseñanza de la educación

secundaria.

35

Aplicación didáctica

Sesión de aprendizaje

Título: “La multiplicación en ℤ”

I. Datos informativos:

1.1. UGEL :06

1.2. INSTITUCIÓN EDUCATIVA : CEAUNE

1.3. ÁREA : Matemáticas

1.4. GRADO : 2do

año

1.5. TIEMPO : 90 minutos

1.6. DOCENTE : VELASQUE PICHIHUA, Milagros Noemi

II. Aprendizaje esperado:

III. Secuencia didáctica:

Situación

de

aprendiza

je

Estrategias

Recurs

os

didácti

cos Tie

mp

o

(min

.) Evaluación

Criteri

os

Indica

dores

Instru

mentos

Inicio

Presentación:

La profesora saluda, da la bienvenida a los

estudiantes e indica las normas del aula. Luego la

profesora sigue a señalar el propósito de la sesión:

“Reconoce la multiplicación de los Enteros”.

1. La profesora recoge los saberes previos, con las

siguientes preguntas:

¿Qué son los números enteros?

¿Quiénes forman a los números enteros?

Papelo

gráfo

Plumon

es

Mota

10

m.

Compo

rtamien

to y

orden

Es

puntual

a la

hora de

ingresa

r al

salón

de

clase.

Registr

o

auxiliar

Competencia Capacidades Indicadores

Actúa y piensa

matemáticamente en

situaciones de cantidad.

-Comunica y representa ideas

matemáticas.

-Elabora y usa estrategias para la

multiplicación en ℤ a partir de

diferentes condiciones.

-Reconoce las propiedades de

multiplicación de números enteros.

-Utiliza la definición de multiplicación

en ℤ, para encontrar la solución a los

problemas propuestos.

-Resuelve ejercicios, utilizando las

operaciones de los números enteros.

36

Proceso

Multiplicación en ℤ

Ley de signos para la multiplicación:

Papelo

gráfo

Plumon

es

Pizarra

30

m.

Comun

ica y

represe

nta,

ideas

matemá

ticas

Razona

miento

y

Demost

ración

Muestr

a

interés

en la

realizac

ión de

las

activida

des

propues

tas.

Lista

de

cotejo

para

evaluar

actitude

s.

Cierre

- La profesora insta a los estudiantes que se organicen

y procedan a observar los signos de los números

dados.

- Los estudiantes plantean estrategias para formar los

números enteros.

- Resuelve ejercicios de multiplicación en ℤ. Entrega

ejercicios para resolver.

Hoja de

práctica

15

m.

Comun

ica y

represe

nta

ideas

matemá

ticas.

Resolu

ción de

Proble

mas

Interpre

ta

coheren

temente

sus

resultad

os.

Lista

de

cotejo

37

IV. Referencias:

Armas, G. J. (2004). Matemática. Lima, Perú: Editorial Bruño.

Baldor, A. (1976). Álgebra. La Habana, Cuba. Editorial Cultural en La Habana.

Coveñas, N. (2000). Matemática. Lima, Perú: Editorial Bruño.

Rubiños, T. L. (2006). Enciclopedia Matemática. Lima, Perú: Editorial Rubiños.

38

Ficha de coevaluación

Nº

Integrantes

Líder

Actividades

Trabaja Ordenado Responsable

SI NO SI NO SI NO

38

39

Contenidos en la sesión sobre multiplicación en ℤ

Si se multiplican dos números enteros se siguen los siguientes pasos.

1° Procede a multiplicar sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí).

2° Luego se le coloca a la respuesta el signo + si ambos números son de igual signo, y se

coloca el signo − si son de signos diferentes.

Regla de los signos

(+) ⋅ (+) = +

(−) ⋅ (−) = +

(+) ⋅ (−) = −

(−) ⋅ (+) = −

Multiplicación entre factores negativos

Por ejemplo:

a) (−20) . (−4) = +80

b) (-5) ⋅ (−3) = +15

Multiplicación entre factores de diferente signo

Por ejemplo:

a) (+5) ⋅ (−3) = −15

b) (−5) ⋅ (+6) = -30

Propiedades

Clausura: Si a , b, c ∊ ℤ, entonces a . b ∊ ℤ. Ya que, al multiplicar dos números

enteros, el producto también es un número entero.

Ejemplo:

40

(+4) ⋅ (-3) ∊ ℤ

(+4) ⋅ (-3) = (-12) ∊ ℤ

Conmutativa: Si a , b, c ∊ ℤ, entonces.

a . b = b . a

Ejemplo:

(-6) ⋅ (7) ∊ ℤ

(-6) ⋅ (7) = (7) ⋅ (-6)

-42 = -42

Asociativa: Si a , b, c ∊ ℤ, entonces:

(a . b) . c = a . (b. c)

Ejemplo:

[8 . -3] . -5 = 8 . [-3 . -5]

(-24) . -5 = 8 . (15)

120 = 120

Distributiva respecto a la adición: Si a , b, c ∊ ℤ, entonces.

(a + b ) . c = (a . c) + (b . c)

(La multiplicación distribuye en la suma y la resta)

Sea: a = 5 , b = -7 y c = 6 a, b y ∊ ℤ

[(5 + (-7)] . (6) = (5 . 6) + (-7 . 6)

[-2] . (6) = (30) + (-42)

-12 = -12

41

Ejercicios de aplicación

1. Resolver los siguientes ejercicios, teniendo en cuenta la Ley de signos:

(+5) ⋅ (−7) =

(+5) ⋅ (−3) . (−9) =

(+5) ⋅ (−3) . (+3) =

[(+22) ⋅ (−44)] . (7) =

(5) . [(-13) ⋅ (−32)] =

2. En cada uno de los siguientes enunciados, colocar verdadero (V) o falso (F) según

corresponda:

(+3) ⋅ (−32) = (+64) ( )

(+8) ⋅ (+3) . (+10) = (+ 420) ( )

(+3) ⋅ (−3) . (+3) = ( -3) ( )

[(+13) ⋅ (−4)] . (-7) = (+364) ( )

(4) . [(-12) ⋅ (−32)] = (-1232) ( )

3. Escribir: > , < ó =, según corresponda:

(-21) (-5) ----------(-11) (-5)

(-17) (+25) ………(-15) (-22)

(-39) (-6) ………...(+ 75) (+6)

(+67) (+7)………..(-7) (-65)

(-60) (-4)…………(-30) (-5)

42

Síntesis

En la presente monografía, se expone los conceptos y definiciones del tema de estructura

de anillos, para lo cual lo dividimos en tres partes.

En la primera parte se describe la Estructura de Anillos, en donde es comprendida las

propiedades básicas y se introduce el concepto de ideales. La definición de un Anillo está

dada de la siguiente manera. El terceto (R, + , ) tiene la estructura de Anillo si y sólo si:

a) (R, +) es un grupo abeliano

b) (R, +) es un semigrupo

c) Distributividad: x . (y + z ) = x .y + x . z

(y + z) . x = y . x + z . x ∀ x, y, z ∊ R

Nombrando así sus definiciones, axiomas, demostrando sus propiedades, mostrando

ejemplos relacionados al tema de estructuras algebraicas en el cual se comprueba la

definición de estructura de Anillo.

En la segunda parte se describe las definiciones, teoremas y ejemplos de los subtemas

tales como: Elementos idempotentes que se da cuando un elemento x pertenece un

conjunto R, si y sólo si x2 = x y Elementos nilpotentes que es cuando un elemento x

pertenece al conjunto R, si y sólo si xn = 0 para algún natural n. Divisores de cero, es

cuando en un anillo (R, + , .) están elementos no nulos que dan producto nulo. Dominio de

integridad, se le llama así a todo anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero.

Subanillos, son una parte no vacía del anillo (R, + , .) que tienen la estructura de anillo con

las mismas leyes de composición. Ideales de un Anillo, es cuando un subanillo J de R

cumple con ser un ideal a izquierda y a derecha, entre ellos están los maximales y primos.

Anillo Cociente, se le denomina al conjunto de todas las clases laterales.

Características de anillos, es cuando en un anillo R con elemento cero existe un entero

positivo, para todo x que pertenece a R. Homomorfismo de anillos, se da en el grupo

43

aditivo de un anillo R1 sobre el grupo aditivo R2 que preserva la segunda operación

(multiplicación).

En la tercera parte se describe la Importancia de la Estructura de anillos en el currículo

de la educación secundaria; además se desarrolla una sesión de clase relacionada al tema

de estructuras de anillos, tomando en cuenta los conocimientos previos para desarrollar y

aplicar dicho tema en los estudiantes de nivel secundario.

44

Apreciación crítica y sugerencias

Apreciación crítica

En esta monografía expongo y presento los conceptos, las definiciones, los teoremas, las

propiedades y ejemplos basados en el tema de Estructura de anillos, considerando los

subtemas tales como: elementos idempotentes y nilpotentes, divisores de cero, dominio de

integridad, subanillos, ideales de un anillo, anillo cociente, características de anillos,

homomorfismo de anillos.

Para iniciar esta monografía fue necesario en primer lugar, estudiar muy a fondo la

estructura de grupos, siendo esto como base fundamental para el buen entendimiento sobre

el tema a realizar que en este caso es la estructura de anillos.

El tema de estructura de anillos es importante en el currículo de la educación secundaria

ya que se le considera como punto principal a los números enteros, siendo éstos aplicados

en la vida real de los estudiantes.

En el Diseño Curricular, la enseñanza de los enteros, racionales, y reales presenta desde

una orientación empírica y pragmática (utilidad cotidiana), dejando de lado los

conocimientos propiamente matemáticos. Un buen diseño debería considerar lo cotidiano y

los contenidos científicos didácticamente presentados.

Sugerencias

El Currículo Nacional de Educación Básica debería considerar una combinación

adecuada de las necesidades cotidianas del alumno, con la necesidad social de

introducirlos en el conocimiento de las ciencias en este caso de las matemáticas.

45

En el Diseño Curricular se debería garantizar la participación interdisciplinaria de

educadores matemáticos, psicólogos, antropólogos y sociólogos para un diseño pertinente

en función de la conclusión anterior.

El estudio de los anillos es parte fundamental en el estudio de las estructuras

algebraicas, razón por la cual es importante en la formación de docentes de matemática;

sobre la base del estudio de la teoría de grupos y en perspectiva del estudio posterior de

cuerpos de espacios vectoriales, y otras estructuras.

46

Referencias

Ayres, F. (1969). Teoría y Problemas de Álgebra Moderna. Bogotá: Editorial McGraw –

Hill, Inc.

Gentile, E., R. (1967). Estructuras algebraicas I OEA 3. Buenos Aires: Editorial Eva V.

Chesneau.

Rojo, A. (1995). Álgebra I. Buenos Aires: Editorial El Ateneo.

Trujillo, F., Chirinos, D., Yauri, A., Giles, M., & Dávila, V., (2014). Introducción a las

Estructuras Algebraicas. Lima: Editorial Universitaria de la Universidad Nacional

de Educación Enrique Guzmán y Valle.

47

Apéndice(s)

Apéndice A: Amalie Emmy Noether (1882-1935)

https://en.wikiquote.org/wiki/File:Noether_retusche_nachcoloriert.jpg Figura 1. Representa la imagen de Amalie Emmy Noether. Fuente: Recuperado de

48

Apéndice B: David Hilbert (1862 – 1943)

http://www.matematicasdigitales.com/hilbert-un-sombrero-y-alguna-anecdota-mas/

Figura 2. Representa la imagen de David Hilbert. Fuente: Recuperado de