Estrategias Para Multiplicar y Dividir

Estrategias para la Enseñanza de la Matemática

Módulo 8: Actividades y materiales didácticos para enseñar a multiplicar, dividir y factorizar ¿Qué combinación de representaciones, materiales y actividades pueden ayudarnos a lograr una compresión más profunda de la multiplicación como repetición, saltos reiterados y homotecias, la división como repartición y cupo, las traducciones respectivas a la notación posicional, y la factorización como reordenamiento rectangular?

1. Desde dónde partimos 2. Repeticiones y máquinas repetidoras 3. Materiales concretos para algoritmos de multiplicación y división 4. Formación de rectángulos 5. Homotecia 6. Números primos 7. Máquinas divisoras 8. Tuberías repartidoras de aguas

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1. Desde dónde partimos

Piaget observó que los niños aprenden activamente: agarrando, colocando, moviendo, usando.

Presumiblemente los movimientos corporales asociados con dos (por ejemplo) dejan una traza en la mente /cerebro.

Esa traza sería el concepto que posee el niño de dos. Generalizando esta idea, Piaget propuso que el concepto de contar y de número natural

son adquiridos a través de la actividad. La actividad física real – no sólo observar y hablar.

Ruben Hersh What is Mathematics Really?, Oxford University Press, 1997.

En este módulo presentamos una serie de actividades basadas en diferentes representaciones para aprender los conceptos de la multiplicación y división. Partimos de la noción de repetición para luego mostrar cómo ciertas actividades pueden traducir la noción de repetición cuando se utiliza la notación posicional. También presentamos la multiplicación asociada a la idea de acercarse y alejarse, y a la de ampliación y reducción. De forma similar, introducimos el concepto de división como repartición y mostramos cómo se traduce la repartición en la notación posicional. Para la evaluación de este Módulo le proponemos que seleccione dos de ellas y las ponga en práctica. Luego debe enviar sus anotaciones, observaciones y conclusiones a su profesor tutor. Para cada una de ellas tiene que llenar el formulario que aparece bajo el botón “Formulario modelo”. Adicionalmente debe indicar sugerencias para mejorar cada una de las actividades seleccionadas. Antes de comenzar le brindamos algunas orientaciones que creemos pueden serle de suma utilidad:

• Cada actividad debe ser leída por cada estudiante. Deben ser releídas varias veces. Gran parte de la dificultad reside en la comprensión de la consigna de la actividad.

• Si a pesar de que los estudiantes hayan hecho varios intentos de comprensión todavía quedan dudas, entonces el profesor puede gradualmente comenzar a ayudar releyendo algunas partes críticas, hasta asegurarse que los estudiantes comprendan el problema planteado.

• Todo ese proceso de lectura y varias relecturas aclaratorias puede fácilmente tomar varios minutos.


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2. Repeticiones y máquinas repetidoras La metáfora central de multiplicar es la de repetir, por eso las actividades iniciales refuerzan esa idea. En "Encuentra las diferencias" hay que contar objetos repetidos, y en "Repeticiones I" y "Repeticiones II" es necesario dibujar y contar los elementos repetidos. Estas actividades pueden hacerse aún antes de aprender las tablas de multiplicación. La actividad "Múltiplos" propone varios desafíos que pueden realizarse sin conocer aún las tablas de multiplicar, contiene conjeturas de resultados generales que se sugieren y que pueden probarse con toda generalidad con argumentos espaciales. Estas pruebas son un primer acercamiento a la demostración matemática, al poder que posee el álgebra para establecer resultados generales y al interés de usar representaciones espaciales para visualizar resultados y demostraciones. "Máquinas Multiplicadoras" enfrenta al estudiante a conceptualizar la multiplicación como un operador y a armar operadores más complejos mediante la composición de operadores de multiplicación.


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Encuentra las diferencias ¿Cuántas caras hay? ____ ¿Cuántos ojos hay? ____ ¿Cuántas orejas hay? _____ ¿Cuántos pelos hay? _____

En las caras hay cuatro que son diferentes del resto. Márcalas con diferentes colores y escribe abajo en qué se diferencian. 1. _______________________________________________ 2. _______________________________________________ 3. _______________________________________________ 4. _______________________________________________


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Repeticiones I En una caja hay seis chocolates:

Dibuja esta caja repetida 4 veces para abajo. ¿Cuántos chocolates hay en total? _______ Ahora dibuja la caja repetida 5 veces para abajo. ¿Cuántos chocolates hay en total? _______


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Repeticiones II Cuatro niñitas llevan en sus mochilas 2 peras cada una. ¿Cuántas peras hay en total? _________ Las cuatro niñitas llevan en sus mochilas 3 cuadernos cada una. ¿Cuántos cuadernos llevan en total? ______ Las cuatro niñitas llevan en sus mochilas media manzana cada una. ¿Cuántas manzanas enteras hay en total? _________

Pinta las niñitas y sus mochilas.


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Múltiplos Un número es múltiplo de 3 si se puede poner como 3 filas iguales. Así 6 es múltiplo de 3 ya que 6 se puede poner como: ¿Es 9 múltiplo de 3? _______ ¿Es 9 el sucesor de un múltiplo de 3? _____ ¿Es 7 múltiplo de 3? _______ ¿Es 7 el sucesor de un múltiplo de 3? _____ ¿Es 12 múltiplo de 3? _______ ¿Es 12 el sucesor de un múltiplo de 3? _____ ¿Es 16 múltiplo de 3? _______ ¿Es 16 el sucesor de un múltiplo de 3? _____

¿Es cierto o no? La suma de un número con su sucesor es siempre múltiplo de 3 _____ La suma de un número, su sucesor y el sucesor de su sucesor es siempre múltiplo de 3 ___ La suma de tres números consecutivos es siempre múltiplo de 3 _____ La suma de un número con su antecesor y su sucesor es siempre múltiplo de 3. Un número es múltiplo de 4 si se puede poner como 4 filas iguales. Un número es múltiplo de 5 si se puede poner como 5 filas iguales. 8 es múltiplo de 4 pues se puede poner como 4 filas iguales.

¿Es 9 múltiplo de 4? _______ ¿Es 9 múltiplo de 5? _____ ¿Es 7 múltiplo de 4? _______ ¿Es 7 el sucesor de un múltiplo de 5? _____ ¿Es 12 múltiplo de 4? _______ ¿Es 12 el sucesor de un múltiplo de 5? _____ ¿Es 15 múltiplo de 4? _______ ¿Es 15 el sucesor de un múltiplo de 5? _____ ¿Es cierto o no? La suma de 4 números consecutivos es siempre múltiplo de 4 ____ La suma de 5 números consecutivos es siempre múltiplo de 5 ____


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Máquinas mágicas repetidoras Máquinas Multiplicadoras La máquina multiplicadora recibe los dos números que le entran y bota la multiplicación entre ambos:

Si le meten arriba el 2 y abajo el número 3 entonces bota el 6. Adivina: Si le meten arriba el 2 y abajo el 4 entonces ¿qué bota la máquina? _______ Si le meten arriba el 2 y abajo el 5 entonces ¿qué bota la máquina? _______ Si le meten arriba el 3 y abajo el 4 entonces ¿qué bota la máquina? _______ Si de la máquina sale un 9, entonces ¿qué podría haberle entrado? ______ Si de la máquina sale un 8, entonces ¿qué podría haberle entrado? ______ Si de la máquina sale un 14, entonces ¿qué podría haberle entrado? ______ Pepe armó este circuito:

Si le meten arriba 2, más abajo 3, más abajo 1 y más abajo 5, entonces ¿Qué bota como resultado? ______ Si le meten arriba 4, más abajo 2, más abajo 3 y más abajo 5, entonces ¿Qué bota como resultado? ______ Si del circuito sale un 8, adivina qué números pueden haberle echado: ____________ Si del circuito sale un 20, adivina qué números pueden haberle echado: ____________


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3. Materiales concretos para algoritmos de multiplicación y división Aquí le presentamos tres actividades que pretenden enseñar con material concreto cómo hacer repeticiones de manera eficiente utilizando la notación posicional. El objetivo es que el estudiante logre aprender y entender el algoritmo de la multiplicación. Este es un paso crítico, pues generalmente los estudiantes no comprenden bien porqué funciona. Por ejemplo, no logran comprender por qué al multiplicar 34 por 52, se multiplica primero por 2 y empezando por la posición derecha, es decir, se hace primero 2 por 4, y luego 2 por 3, y no entienden porqué al multiplicar por 5 se corre una posición a la izquierda y finalmente se suma corrido. Al usar ábaco y la noción de repetición, el estudiante repite lo que tiene un ábaco varias veces y puede observar que puede comenzar por cualquier columna, pero en general es más eficiente hacerlo por la derecha. Puede también observar que repetir 10 veces significa un shift o corrimiento a la izquierda de las argollas. "Repite Abacos I" introduce la multiplicación usando el sistema posicional partiendo del hecho de mostrar mediante un ábaco el significado de multiplicar por un número entero menor que 10. Esto se traduce en repetir ábacos y luego sumarlos. Luego, en el caso de multiplicar por 10 toda la acción se traduce en un shift o movimiento a la izquierda de todas las argollas. En "Repite Abacos II" se introducen multiplicaciones por otras decenas. Estas se descomponen en un shift además de la repetición según el número de decenas. Finalmente, en "Repite Abaco III", se enseña a repetir un ábaco por cualquier número entero menor a 100. Con estas repeticiones con ábacos se pretende lograr que el estudiante vaya descubriendo por si mismo el algoritmo de multiplicación y acceda a una comprensión profunda de esta operación. A continuación le presentamos una actividad para enseñar el algoritmo de la división con notación posicional usando material concreto. Se trata de repartir argollas de un ábaco entre varios ábacos de manara que los receptores obtengan cada uno lo mismo. La idea central es hacer la repartición columna a columna. Cuando calza justo es muy fácil. Cuando no calza es necesario descomponer, traspasando argollas de una columna del ábaco a las otras columnas del ábaco, con el intercambio correspondiente a una argolla de una columna equivale a 10 argollas de la columna justo a su derecha. Esto se convierte en un puzzle pues hay que intentar llegar a una situación de distribución de argollas que calce justo para hacer la repartición. Al hacer este tipo de ejercicio y luego llevarlo a números al estudiante se le facilita entender porqué conviene empezar a dividir por la columna izquierda y a lograr una comprensión más profunda del algoritmo de la división. La actividad "Reparte con Ábacos" contiene varios de estos ejercicios para dividir por 2 y por 3. Veámoslo en estas actividades:


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Los siguientes videos ilustran el uso del ábaco en las actividades de repetición (multiplicación) y repartición (división): 302por2.rm 163por2.rm 220 divido por 2.rm 110 divido por 2.rm Existen diversos estudios del enorme impacto positivo del ábaco cuando es usado no sólo para presentar la posición y la forma de escritura de los números, sino que especialmente para ejecutar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones con números naturales y decimales. Por ejemplo, una referencia clásica es la del Director del TIMMS, James Stigler: Mental Abacus: the effect of abacus training on chinese children´s mental calculation. En cuanto a estudios con neuro-imagen está por ejemplo: Neural correlates underlying mental calculation in abacus experts: a functional magnetic resonance imaging study, de Hanakawa et Al. , publicado en NeuroImage 19 (2003) 296-307.


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Repite Abaco I

Repite 2 veces el ábaco siguiente:

¿Qué número obtienes?










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Repite Abaco II Repite 10 veces el ábaco siguiente:

¿Qué número obtienes? Repite 20 veces el ábaco siguiente:

¿Qué número obtienes? Repite 10 veces el ábaco siguiente y luego repite el resultado 2 veces:

¿Qué número obtienes? Compara estos dos últimos ejercicios. ¿Cómo son los resultados? Repite 30 veces el ábaco siguiente:



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Repite 10 veces el ábaco siguiente y luego repite el resultado 3 veces:


Compara estos dos últimos ejercicios. ¿Cómo son los resultados?


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Repite Abaco III Repite 12 veces el ábaco siguiente:

¿Qué número obtienes? __________

Repetir 12 veces el ábaco equivale a poner 12 ábacos iguales y sumarlos. Esto es lo mismo que poner 2 grupos: uno de 10 ábacos y otro de 2 ábacos. Repite entonces 10 veces el ábaco:

El resultado es _______

Repite ahora 2 veces el ábaco:

El resultado es _______

Suma los dos resultados: Compara con la repetición directa por 12. ¿Son iguales?

Repite 23 veces el ábaco siguiente pero descomponiendo en repeticiones de 20 y de 3 y sumándolas.

El resultado es ______


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Reparte con Abacos Reparte las argollas del ábaco de arriba en los 2 de abajo de manera que ambos queden iguales:

Reparte las argollas del ábaco de arriba en los 2 de abajo de manera que ambos queden iguales (Ayuda: la argolla sola de la columna de las decenas puedes descomponerla en 10 argollas de la columna de las unidades):


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Reparte las argollas del ábaco de arriba en los 2 de abajo de manera que ambos queden iguales:

Reparte las argollas del ábaco de arriba en los 2 de abajo de manera que ambos queden iguales:


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Reparte las argollas del ábaco de arriba en los 3 de abajo de manera que los tres queden iguales:



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Reparte las argollas del ábaco de arriba en los 3 de abajo de manera que los tres queden iguales y determina cuánto sobra que no se puede repartir en partes enteras:


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4. Formación de rectángulos En esta actividad se introduce con material concreto la noción de factorización. Por una parte este es un vehículo para ilustrar la división pero por otro lado también con la representación concreta puede introducirse al estudiante a la idea de razonamientos y demostraciones generales. Estas demostraciones se hacen argumentando sobre representaciones espaciales, pero que son de completa generalidad. Es un paso de pre-álgebra que prepara para las demostraciones en álgebra. Veámoslo en la siguiente actividad:


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Formando rectángulos: Factorizando Formar rectángulos se llama factorizar. Así 6 se puede factorizar por 3 pues 6 dulces se pueden poner como un rectángulo de 3 filas.

Un número que no se puede factorizar con al menos dos filas y dos columnas se llama primo. Busca todas las factorizaciones de los siguientes números. Aquellos que no se puedan factorizar márcalos como primos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ¿Es cierto o no? Si dos números distintos se pueden factorizar entonces la suma también se puede factorizar ___ Si dos números distintos se pueden factorizar por un mismo número entonces la suma también se puede factorizar____ El doble de cualquier número se puede factorizar _____ La suma de dos números primos distintos es primo ____


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5. Homotecia En esta actividad se introduce la multiplicación como homotecia y se usa como material concreto el microscopio. Es ideal que tengan uno a mano y vean que tiene marcas que indican cuántas veces agranda los objetos. Con este tipo de representación puede hacerse que los estudiantes logren descubrir resultados importantes como que si un lado de un cuadrado se aumenta al doble entonces su área aumenta cuatro veces. Otra manera de ver la homotecia es acercándose y alejándose de un objeto. En esta actividad acercar aumenta y alejar disminuye. El factor de aumento puede encontrarse experimentalmente, pero aquellos con más conocimiento de geometría lo pueden calcular exactamente. Veámoslo en esta actividad:


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Microscopio Dibuja en el platillo del microscopio una i y luego aumentada 2 veces en la pantalla.

Dibuja en el platillo del microscopio una A y luego aumentada 10 veces en la pantalla.

Dibuja en el microscopio un cuadradito y luego aumentado 5 veces en la pantalla.

¿Cuántos cuadraditos originales caben en el cuadrado aumentado? _____


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Acercarse y alejarse Fabrica una regla medidora portátil con una regla plástica transparente y fíjala a una distancia de 10 centímetros de tu ojo tal como se muestra en la figura siguiente:

Fabrica un rectángulo de 20 centímetros de largo por 5 de ancho. Mide el largo de un rectángulo tal como se ve en la regla a diferentes distancias y llena la tabla:

Distancia del rectángulo a la regla

Largo del rectángulo tal como se ve en la regla

5 centímetros

10 centímetros

15 centímetros

20 centímetros

25 centímetros

30 centímetros Adivina el largo del rectángulo si se midiera a 40 centímetros de la regla: ____ Adivina el largo del rectángulo si se midiera a 50 centímetros de la regla: ____ Adivina el largo del dedo si se midiera a 100 centímetro de la regla: ____


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6. Números primos Los números primos son muy importantes en matemática. En esta actividad se utiliza una metáfora espacial para desarrollar este concepto. Un número no primo siempre se puede factorizar, poner como un rectángulo de ancho al menos 2. Por ejemplo 6 dulces se pueden poner como un rectángulo de dos filas de 3 dulces cada una. Un primo es un número porfiado, pues no se puede poner como rectángulo de 2 o más filas. Por otro lado, dos números se dicen primos entre sí si no se pueden poner como rectángulos de al menos dos filas y en que uno de los lados sea común a ambos. Por ejemplo: 6 no es primo con 4 pues 6 y 4 ambos se pueden poner como rectángulos y con un lado común de dos. Sin embargo, 3 y 5 son primos entre sí, porque de partida ambos son primos, es decir, no se pueden poner como rectángulos de al menos dos filas. Además 4 y 9 también son primos entre sí, aunque ambos no son primos. Esto es porque 9 sólo se puede poner como un cuadrado de ancho 3, y el número 4 sólo se puede poner como rectángulo de ancho 2. Veámoslo en la siguiente actividad:


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Engranajes Cuenta el número de dientes del engranaje A ____ Cuenta el número de dientes del engranaje B ____ Cuenta el número de dientes del engranaje C ____

A B C

• Copia los tres engranajes, recórtalos y pinta verde un diente de A, rojo un diente de B y amarillo un diente C.

• Coloca el diente amarillo de C encajado con el verde de A, y dale una

vuelta entera a C. ¿Alcanza a dar una vuelta completa A y se vuelven a encontrar el diente amarillo con el verde? ____ ¿Cuántas vueltas completas deben darse a C para que se vuelvan a encontrar el diente amarillo con el verde? ____ En ese caso ¿Cuántas vueltas completas da A? _____ ¿Cuántas vueltas completas deben darse a C para que se vuelvan a encontrar el diente amarillo con el rojo de B? ____ En ese caso ¿Cuántas vueltas completas da B? ____ ¿Cuántas vueltas completas deben darse a A para que se vuelvan a encontrar el diente verde de A con el rojo de B? ____ En ese caso ¿Cuántas vueltas completas da B? _____


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Dos números distintos se dicen primos entre sí cuando la única forma que se vuelvan a encontrar dos dientes de dos engranajes es cuando al engranaje más chico se le dan tantas vueltas como dientes tiene el engranaje más grande. Esto significa que si son primos entre sí entonces el número más chico que es múltiplo de los dos es el producto de los dos números. También significa que ambos números no tienen un factor común mayor que no sea el uno. Adivina, adivina ... ¿Es 4 primo con 6? ____ ¿Es 4 primo con 9? ____ ¿Es 6 primo con 9? ____ ¿Es 3 primo con 5? ____ ¿Es 3 primo con 6? ____ ¿Es 4 primo con 7? ____


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7. Máquinas divisoras A continuación están cuatro actividades de división. Primero “Divide y reparte” que contiene la noción básica de repartir, en este caso repartir chocolates entre amigos y que todos reciban la misma cantidad. En las dos actividades que siguen se introduce el ábaco para repartir de manera de ayudar a que el estudiante comprenda cómo utilizar la noción posicional para formar el algoritmo de la división. Este punto es crucial, y tal como en la multiplicación, lo usual es que los estudiantes no entiendan porqué funciona. Veámoslo en esta actividad:


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Divide y Reparte Dibuja una hilera con 8 chocolates. Ahora reparte los 8 chocolates entre estas 2 cajas de manera que ambas cajas queden con el mismo número de chocolates. Dibuja los chocolates repartidos dentro de las cajas:

¿Cuántos chocolates quedan en la caja de arriba? _______ ¿Cuántos chocolates quedan en la caja de abajo? _______ Paty tiene 16 chocolates y tiene que repartirlos en 4 cajas en partes iguales: una para MERCE, otra para ISI, otra para PEPE y otra para TOMY. Dibuja los chocolates repartidos dentro de las 4 cajas:

¿Cuántos chocolates le tocan a PEPE? ______


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Divide y reparte ábacos I Divide el siguiente ábaco en 2 iguales:

Escribe como queda uno de ellos:

Divide el siguiente ábaco en 2 iguales:





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Divide y reparte ábacos II Para dividir en 3 el siguiente ábaco:

conviene ordenarlo en grupos de a 3. Por ejemplo, como: O también como:

Así dividirlo en 3 queda: como:

pero sobra:


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Usando esta estrategia divide el siguiente ábaco en 2 iguales:

Primero reordénalo en grupos de dos:

Ahora divídelo y muestra cómo queda:

y el resto es:


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8. Tuberías repartidoras de aguas En esta última actividad se utiliza el agua para dividir (repartir) números por número naturales. Veámoslo a continuación:


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Reparte Agua Si a la tubería A le echas 20 unidades de agua, entonces ¿al repartirla en dos tubos iguales cuánto marcará la altura del agua en cada tubito de la derecha? ____

A B C

Si a la tubería A le echas 30 unidades de agua, entonces, al repartirla en los dos tubos iguales B y C, de manera que ambos queden con la misma cantidad de agua, ¿cuánto marcará la altura del agua en cada tubito de la derecha? _____ Si a la tubería A le echas 50 unidades de agua, entonces ¿al repartirla en dos tubos iguales cuánto marcará la altura del agua en cada tubito de la derecha? _____ Ahora repartimos el agua de A en cuatro tubos iguales:

A B C D E

Si a la tubería A le echas 40 Unidades de agua, entonces ¿al repartirla en 4 tubos iguales cuánto marcará la altura del agua en cada tubito de la derecha? _____ Si a la tubería A le echas 20 unidades de agua, entonces ¿al repartirla en dos tubos iguales cuánto marcará la altura del agua en cada tubito de la derecha? _____


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