Estrategias Para El Diseno de Algoritmos

Estrategias para el diseño de Algoritmos

Las estrategias más comunes para el diseño de algoritmos son: voraz, divide y vencerás, programación dinámica y backtracking.

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Algoritmo voraz

También conocido como ávido, devorador o goloso.

Los algoritmos voraces suelen ser bastante simples. Se emplean sobre todo para resolver problemas de optimización, como por ejemplo, encontrar la secuencia óptima para procesar un conjunto de tareas por un computador, hallar el camino mínimo de un grafo, etc.

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Algoritmo voraz

Habitualmente, los elementos que intervienen son: un conjunto o lista de candidatos (tareas a procesar, vértices del grafo, etc);

un conjunto de decisiones ya tomadas (candidatos ya escogidos);

una función que detemina si un conjunto de candidatos es una soluciónal problema (aunque no tiene por qué ser la óptima);

una función que determina si un conjunto es completable, es decir, si añadiendo a este conjunto nuevos candidatos es posible alcanzar una solución al problema, suponiendo que esta exista;

una función de selección que escoge el candidato aún no seleccionado que es más prometedor;

una función objetivo que da el valor/costo de una solución (tiempo total del proceso, la longitud del camino, etc) y que es la que se pretende maximizar o minimizar;

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Algoritmo voraz

Para resolver el problema de optimización hay que encontrar un conjunto de candidatos que optimiza la función objetivo. Los algoritmos voraces proceden por pasos. Inicialmente el conjunto de candidatos es vacío. A continuación, en cada paso, se intenta añadir al conjunto el mejor candidato de los aún no escogidos, utilizando la función de selección. Si el conjunto resultante no es completable, se rechaza el candidato y no se le vuelve a considerar en el futuro. En caso contrario, se incorpora al conjunto de candidatos escogidos y permanece siempre en él. Tras cada incorporación se comprueba si el conjunto resultante es una solución del problema. Un algoritmo voraz es correcto si la solución así encontrada es siempre óptima.

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Algoritmo voraz

El esquema genérico del algoritmo voraz es:

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Algoritmo voraz

El nombre voraz proviene de que, en cada paso, el algoritmo escoge el mejor "pedazo" que es capaz de "comer" sin preocuparse del futuro. Nunca deshace una decisión ya tomada: una vez incorporado un candidato a la solución permanece ahí hasta el final; y cada vez que un candidato es rechazado, lo es para siempre.

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Algoritmo voraz

Los algoritmos Voraces: Son algoritmos de órdenes bajos.

Los algoritmos Voraces: Se basan en hacer elecciones a partir de un conjunto de opciones.

En los algoritmos Voraces: La función selección determina la mejor opción del conjunto de opciones.

En los algoritmos Voraces: La función factible determina si un conjunto de opciones seleccionadas puede convertirse en una solución.

Ejemplo de este tipo de algoritmos: Kruskal, Dijskstra, Prim.

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Algoritmo voraz

Ejemplo:

Se desea pagar una cantidad de dinero a un cliente empleando el menor número posible de monedas. Los elementos del esquema anterior se convierten en:

candidato: conjunto finito de monedas de, por ejemplo, 1, 5, 10 y 25 unidades, con una moneda de cada tipo por lo menos;

solución: conjunto de monedas cuya suma es la cantidad a pagar;

completable: la suma de las monedas escogidas en un momento dado no supera la cantidad a pagar;

función de selección; la moneda de mayor valor en el conjunto de candidatos aún no considerados;

función objetivo: número de monedas utilizadas en la solución.

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Backtracking

Técnica general de resolución de problemas, que suele aplicarse sobre todo a juegos y problemas de óptimización.

Realiza una búsqueda exhaustiva y sistemática en el espacio de soluciones del problema.

Busca todas las posibles soluciones.

La solución de un problema de backtracking se puede expresar como una tupla (x1,x2,…,xn), que satisface una restricciones R(x1,x2,…,xn) y a veces optimizando una función objetivo.

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Backtracking

En cada momento el algoritmo se encontrará en un cierto nivel k, con una solución parcial (x1,x2,…,xk) (con k<=n).

Si puede añadirse un elemento xk+1 a la solución parcial se avanza

al nivel k+1.

Si no se prueban otros valores válidos para xk.

Si no existe ningún valor que sea válido por probar, se retrocede al nivel anterior k-1.

Se continua con este proceso hasta que la solución parcial sea una solución del problema o hasta que no queden más posibilidades por probar (en el caso de que no se encuentre ninguna solución o se busquen todas las soluciones del problema).

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Backtracking

• Se separa la búsqueda en varias búsquedas parciales o subtareas.

• Asimismo, estas subtareas suelen incluir más subtareas.

• El tratamiento general de estos algoritmos es de naturaleza recursiva.

• ¿Por qué se llaman algoritmos de vuelta atrás?. Porque en el caso de no encontrar una solución en una subtarea se retrocede a la subtarea original y se prueba otra cosa distinta (una nueva subtarea distinta a las probadas anteriormente).

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Backtracking

Es un método sistemático que realiza una búsqueda exhaustiva de las soluciones, pero esta búsqueda no es caótica, sino organizada.

Puede obtener una o todas las respuestas factibles o bien la respuesta óptima entre todas las factibles.

Ejemplos de problemas: Coloreado de un grafo, ocho reinas.

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Backtracking

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Backtracking

• En general representamos la solución como un

vector a = (a1,a2,...,an), donde:

• Cada ai es seleccionado de un conjunto Si.

Puede representar, por ejemplo:

• Una situación donde ai es el i-ésimo elemento de una

permutación.

• Un subconjunto (ai es verdadero sii el i-ésimo elemento

del universo pertenece al conjunto.

• Secuencia de movimientos en un juego o camino en un

grafo, donde ai contiene el i-ésimo evento en la

secuencia.

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Backtracking

Problemas que consideraremos:

Problemas de Decisión: Búsqueda de las soluciones que satisfacen ciertas restricciones.

Problemas de Optimización: Búsqueda de la mejor solución en base a una función objetivo.

Cada solución es el resultado de una secuencia de decisiones.

En algunos problemas de este tipo se conoce un criterio óptimo de selección en cada decisión: técnica voraz

En otros problemas se cumple el principio de optimalidad de Bellman y se puede aplicar la técnica de la programación dinámica.

Existen otros problemas en los que no hay más remedio que buscar.

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Backtracking

En definitiva, el algoritmo realiza una búsqueda en profundidad en el árbol de soluciones del problema.

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x1

x2

x3

Backtracking

En definitiva, el algoritmo realiza una búsqueda primero en profundidad en el árbol de soluciones del problema.

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2 10 14

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4 5 8 9 13 17 18

x1

x2

x3

Backtracking. EjemploProblema 8-Reinas

El problema de las 8-Reinas consiste en colocar 8 reinas en un tablero de ajedrez de tamaño 8*8 de forma la reinas no se amenacen según las normas del ajedrez. Se busca encontrar una solución o todas las soluciones posibles.

Este problema puede resolverse utilizando un esquema de backtracking.

Cualquier solución del problema estará formada por una

n-tupla (x1,x2,…,xn), dónde cada xi indica la columna donde

la reina de la fila i-ésima es colocada.

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Diferencia entre fuerza bruta y búsqueda con retroceso:

si se comprueba que (x1,…,xi) no puede conducir a ninguna solución, se evita formar las ti+1 tn tuplas que comienzan por (x1,…,xi)

Para saber si una n-tupla es solución, suele haber dos tipos de restricciones:

explícitas: describen el conjunto Ci de valores que puede tomar xi (todas las tuplas que satisfacen estas restricciones definen un espacio de soluciones posibles);

implícitas: describen las relaciones que deben cumplirse entre los xi

(qué soluciones posibles satisfacen el predicado

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El problema consiste en colocar ocho reinas en un tablero de ajedrez sin que se den jaque (dos reinas se dan jaque si comparten fila, columna o diagonal).

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Formulación 1:

Formulación 2: Puesto que no puede haber más de una reina por fila, podemos replantear el problema como: “colocar una reina en cada fila del tablero de forma que no se den jaque”.En este caso, para ver si dos reinas se dan jaque basta con ver si comparten columna o diagonal.

Por lo tanto, toda solución del problema puede representarse con una 8-tupla (x1,…,x8) en la que xi es la columna en la que se coloca la reina que está en la fila i del tablero.

El espacio de soluciones consta de 88 8-tuplas (16.777.216 8-tuplas)

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64

84.426.165.368


Formulación 3: Puesto que no puede haber más de una reina por columna, sólo hace falta que consideremos las 8-tuplas (x1,…,x8) que sean permutaciones de (1,2,...,8)

El espacio de soluciones consta de 8! 8-tuplas (40.320 8-tuplas)

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Volviendo al planteamiento general:

Para facilitar la búsqueda, se adopta una organización en árbol del espacio de soluciones.

En el ejemplo, con la 2ª formulación y para el problema de las cuatro reinas (en un tablero 4 4):

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algoritmo BackTracking(ent k:entero;

entsal X:vector[1..n]de valor)

{Pre: X[1..k-1] es completable}

variable v:valor

para todo v en Ci hacer

X[k]:=v;

si completable(X,k) entonces

si Sol(X,k) entonces

guardar(X,k)

fsi;

si k<n entonces

BackTracking(k+1,X)

fsi;

fsi

fpara

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La llamada inicial es

...

BackTracking(1,X);

...


Nótese que el árbol no se construye explícitamente sino implícitamente mediante las llamadas recursivas del algoritmo de búsqueda.

El algoritmo no hace llamadas recursivas cuando:

k = n+1, o cuando

el nodo generado no es completable (PODA).

Backtracking :búsqueda primero en profundidad (DFS) en un árbol y con detección de soluciones parciales no completables (poda)

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Las restricciones para este problema consisten en que dos reinas no pueden colocarse en la misma fila, ni en la misma columna ni en la misma diagonal.

Por ejemplo, el problema de las 4-Reinas tiene dos posibles soluciones: [2,4,1,3] y [3,1,4,2].

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Soluciones


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Programación Dinámica

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Es una técnica ascendente (bottom-up): se empieza con los subcasos más pequeños (y sencillos) y se combinan sus soluciones obteniendo respuestas para subcasos de tamaños cada vez mayores, hasta que finalmente se llega a la solución del caso original.

Los algoritmos de Programación Dinámica: Pretenden evitar las repeticiones que se crean en la propia definición del problema.

Programación Dinámica

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Los algoritmos de Programación Dinámica: •Regularmente utilizan más recursos de memoria•El algoritmo se basa en una definición recursiva del problema, aunque el algoritmo en sí no es necesariamente recursivo.•Ejemplos: Fibonacci, Cálculo de combinaciones,

Divide y vencerás

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La técnica de diseño de algoritmos llamada "divide y vencerás" (divide and conquer) consiste en descomponer el problema original en varios sub-problemas más sencillos, para luego resolver éstos mediante un cálculo sencillo. Por último, se combinan los resultados de cada sub-problema para obtener la solución del problema original.

Divide y vencerás

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Los algoritmos de Divide y Vencerás: Típicamente son algoritmos recursivos. Dividen el problema en subproblemas ajenos del mismo tipo que el problema original. Resuelven el problema en base a soluciones de casos mas simples del mismo problema.Suelen combinarse con algoritmos mas simples para mejorar el desempeño. Tiene que ser posible descomponer el caso en subcasosy recomponer las soluciones parciales de forma eficiente.

Divide y vencerás

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Esta técnica es la base de los algoritmos eficientes para casi cualquier tipo de problema como, por ejemplo: Puntos más cercanos, algoritmos de ordenamiento (quicksort, mergesort, entre muchos otros), multiplicar números grandes (Karatsuba), multiplicación de matrices, análisis sintácticos (analisis sintáctico top-down) y la transformada discreta de Fourier.

Algoritmos Probabilistas

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Los algoritmos probabilísticos o probabilistas son aquellos que basan el resultado devuelto en decisiones aleatorias, de tal forma que, en promedio se obtienen una buena solución al problema planteado, dada una distribución de datos de entrada.Su precisión mejora a medida que crece el tiempo disponible para el algoritmo.El análisis de los algoritmos probabilistas es, a menudo, muy difícil.Ejemplos: Integración Numérica Aproximada, comprobación de primalidad


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Se pueden distinguir fundamentalmente cuatro grandes categorías:

* Algoritmos numéricos, que devuelvan una aproximación al resultado, frecuentemente en forma de intervalo. Son útiles cuando la solución exacta es demasiado costosa (o directamente imposible de calcular, como por ejemplo, para números irracionales) y una aproximación es lo suficientemente buena. Este tipo de algoritmos suelen ofrecer resultados más precisos cuanto mayor tiempo se dedica a su cálculo.


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* Algoritmos de Monte Carlo, que siempre devuelven una solución aunque esta a veces no sea correcta. Son útiles cuando una aproximación no es suficiente (por ejemplo, en un problema de decisión). Cuentan con el inconveniente de no saber con exactitud si la respuesta es acertada, pues sólo existe una cierta probabilidad de éxito. Cuantas más veces se ejecute, más seguro se estará de la corrección de la solución.


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* Algoritmos de Las Vegas, similares a los de Monte Carlo pero que nunca devuelven una solución errónea, con el inconveniente de que pueden no terminar o devolver solución. Esto garantiza que la respuesta sea la buena, pero no garantiza que el algoritmo funcione. Como en los casos anteriores, cuanto mayor es el tiempo dedicado al cálculo, más fiable es la solución. No debe confundirse este tipo de algoritmos con aquellos deterministas, como el simplex en programación lineal, que son muy eficientes para la mayoría de los posibles datos de entrada pero desastrosos para unos pocos. Nótese que dichos algoritmos siempre devuelven una solución correcta.


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* Algoritmos de Sherwood, los cuales devuelven siempre una respuesta, la cual es forzosamente exacta. Aparecen cuando un algoritmo determinista conocido es más rápido en el caso medio que en el peor. El uso del azar permite reducir, e incluso eliminar, la diferencia entre buenos y malos ejemplares.

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