ESTRATEGIAS COMPUTACIONALES Y EL ARTE DE …distintos modelos numéricos para el comportamiento...

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C.

ESTRATEGIAS COMPUTACIONALES Y EL ARTE DE MODELADO EN EL ANÁLISIS NO-LINEAL DE ESTRUCTURAS CUASI-FRÁGILES

Guillermo Roeder-Carbo1, Miguel A. Guzmán2 y A. Gustavo Ayala3

RESUMEN En este trabajo se presentan algunos conceptos de modelado de estructuras con elementos finitos necesarios en la ejecución de un análisis que considere la no-linealidad del material. Se enfatiza el uso de los modelos de comportamiento para materiales cuasi-frágiles como el concreto y la mampostería. Finalmente se presentan dos ejemplos numéricos revisándose en uno de ellos el concepto de objetividad de mallas de elementos finitos.

ABSTRACT This paper presents some modeling concepts and strategies necessary to carry out nonlinear structural analyses of structures using finite elements. It is emphasized the use of constitutive models for quasi-brittle material, like concrete or masonry. Finally two numerical examples are presented, revising in one of them the concept of mesh objectivity in finite elements.

INTRODUCCIÓN Al intentar realizar un análisis no-lineal, muchos ingenieros estructurales frecuentemente encuentran algunos problemas pues, dentro de la teoría que se suele emplear en estos tipos de análisis, existen formulaciones donde se introducen diversos modelos constitutivos inelásticos y procedimientos de solución de sistemas de ecuaciones no-lineales extraños al analista que no está familiarizado con la solución de estructuras complejas construidas con materiales altamente no-lineales como es el caso del concreto y de la mampostería. A pesar de reconocer que el problema es no-lineal, en la mayoría de los casos se prefiere el uso de un análisis lineal elástico con el objetivo de evaluar y/o diseñar una estructura, el cual en muchas situaciones se piensa es suficiente. Desafortunadamente la incertidumbre en algunos aspectos que involucran estas hipótesis hacen que el comportamiento y la capacidad de la estructura no puedan ser directamente tratados con un análisis de este tipo. Entre los problemas que suelen encontrarse al realizarse un análisis está el definir un modelo constitutivo que se ajuste al comportamiento mecánico ante trayectorias de carga que se supone existirán en la estructura real y que se imponen en el modelo numérico. Estos modelos constitutivos deben incorporar variables que definan el estado interno o la evolución del proceso inelástico en el material y que, al establecer algunas hipótesis, se puedan relacionar con resultados experimentales. Cada modelo constitutivo se ajusta a un conjunto de reglas establecidas por teorías matemáticas tales como: la teoría de la plasticidad, conceptos de agrietamiento distribuido, modelos de daño del continuo, etc., que conducen a una serie de ecuaciones no-lineales que están relacionadas con la evolución del comportamiento inelástico del material.

1Estudiante de doctorado, Universidad Nacional Autónoma de México, Coordinación de Estudios de Posgrado en Ingeniería, Instituto de Ingeniería, México; [email protected]. 2Estudiante de Maestría, Universidad Nacional Autónoma de México, Coordinación de Estudios de Posgrado en Ingeniería, Instituto de Ingeniería, México; [email protected] 3Profesor Investigador, Universidad Nacional Autónoma de México, Coordinación de Estudios de Posgrado en Ingeniería, Instituto de Ingeniería, México; [email protected].

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XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puebla, Pue., México 2002

Sobre la base del método de los elementos finitos, en este artículo se presenta un panorama global de los conceptos generales utilizados en el análisis no-lineal de estructuras de materiales cuasi-frágiles como sería el caso de estructuras de concreto y/o mampostería. En especial se señalan algunas definiciones que comúnmente no son utilizadas por los ingenieros estructurales, tratando especialmente la diferencia entre los distintos modelos numéricos para el comportamiento inelástico de los materiales cuasi-frágiles y las estrategias de solución de sistemas de ecuaciones altamente no-lineales. Finalmente, se presentan dos ejemplos de aplicación en el cual en uno se muestra el concepto de objetividad de la malla y su importancia en el análisis no-lineal de estructuras cuasi-frágiles con elementos finitos.

NO-LINEALIDAD EN MATERIALES CASI-FRÁGILES Al observar el comportamiento de las estructuras, uno puede darse cuenta cuando es necesario realizar un análisis no-lineal considerando las propiedades inelásticas del material, deformaciones grandes o cambios en la geometría de la estructura. Existe una obvia separación de comportamiento, pero no necesariamente se puede decir que estos tipos de no-linealidad no ocurran simultáneamente. En este artículo solo se trata con la no-linealidad del material. La no-linealidad del material se manifiesta en la relación que existe entre las deformaciones y los esfuerzos. En materiales heterogéneos, como el concreto y la mampostería, el comportamiento no lineal se comienza a desarrollar mediante una localización de deformaciones debido a la aparición y evolución de discontinuidades. Esto ocurre después de alcanzar la resistencia del material, lo que se refleja como un decaimiento en la capacidad de carga (ver figura 1). A este tipo de fenómeno se le denomina ablandamiento por deformación(Bazant y Planas, 1998).

carga

platea

ablandamiento

desplazamiento

Figura 1 Curvas de Carga-Desplazamiento con y sin Platea de Fluencia

RELACIONES CONSTITUTIVAS Y SU FUNCIÓN EN EL ANÁLISIS NO-LINEAL Describir el comportamiento post-elástico de los materiales hace necesario establecer una funcional matemática que enlace el estado de esfuerzos con el de deformaciones y al cual generalmente se le llama relación constitutiva. Las ecuaciones que definen el modelo constitutivo se emplean para balancear las ecuaciones cinemáticas o de energía, estableciendo el nuevo comportamiento ocasionado por el daño o, en otros términos, el estado termodinámico actual de la estructura, ya que se define una nueva configuración que no permite retornar a la configuración original y que se señala como un proceso termodinámico con características irreversibles; es decir, la cantidad de energía desarrollada por otro proceso que no es el elástico.

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Se debe enfatizar que las relaciones constitutivas son solo simplificaciones matemáticas de un comportamiento físico bastante complejo del material ante estados de deformaciones al cual se le somete a algún sólido y que no existe un modelo perfecto que pueda representar su comportamiento real; sin embargo, se puede asignar el más aproximado teniendo en cuenta el problema físico que se está estudiando (ver tabla 1).

Tabla 1 Tipos de Análisis y la Aplicación de Relaciones Constitutivas

Tipos de Análisis Modelo Constitutivo Análisis Estructural Bajo Cargas de Servicio Elasticidad Lineal Cálculo de Carga Límite Plasticidad Perfecta Análisis con Vibraciones Amortiguadas Visco-elasticidad Precisión en el cálculo de Deformaciones Remanentes en Estructuras Sometidas a Cargas Cíclicas y Monótonas Elasto-Plástico con Endurecimiento

Análisis de deformaciones estacionarias por relajamiento debido a efectos de temperatura o cargas de larga duración Elasto-Viscoplasticidad Perfecta

Predicción de Tiempo de Vida por Cargas Cíclicas de Alta Frecuencia Daño Acoplado a la elasticidad

Predicción de Tiempo de Vida por Cargas Cíclicas de Baja Frecuencia Daño Acoplado a la Plasticidad

Predicción de Tiempo de Vida por Fatiga debido a las Deformaciones Estacionarias por Relajación Daño Acoplado a la ViscoPlasticidad

Predicción de la Estabilidad de una Grieta Pre-existente Elasticidad Lineal(de la cual el Campo de Esfuerzos en la Singularidad se derivan de las puntas de las Grietas)

Predicción de la Localización de las Deformaciones en Bandas de Corte y Falla Incipiente en el Material

Conceptos de Agrietamiento Distribuido, Plasticidad con Ablandamiento o Daño Acoplado a Deformaciones Plásticas

Es claro que la elección del mejor modelo matemático que se ajuste al comportamiento del material es una tarea del ingeniero analista y debe tomar en cuenta la relevancia del modelo que está utilizando para describir el fenómeno físico que se pretende simular considerando, además, que el modelo ofrece suficiente precisión en los resultados, según la teoría que se esté empleando. TEORÍA DE LA PLASTICIDAD La relación lineal de Hooke permite encontrar, mediante funcionales lineales, el esfuerzo en un punto del continuo al ser aplicada una deformación. El uso de esta relación lineal no siempre se justifica, debido a que ésta solo permite describir el comportamiento mecánico de un sólido donde se producen esfuerzos de pequeña magnitud, o los esfuerzos no sobrepasan el rango elástico (Roeder y Ayala, 2000) La descripción de la configuración de los estados de esfuerzos que superan la resistencia del material se puede hacer mediante ecuaciones que representen la fenomenología de las deformaciones en el rango inelástico. A las expresiones matemáticas, o criterios, que limitan el espacio de los esfuerzos admisibles en el continuo se les denomina superficies de fluencia, y con ellas se establece el comportamiento no-lineal del material. Entre los criterios más conocidos se pueden mencionar los siguientes: Von Mises, Drücker-Präger, Hill, Mohr-Coulomb, Rankine entre otros. En particular de utilidad en el análisis de estructuras de mampostería, se usa el modelo de Rankine Ortotrópico que se presenta en la ec. 1 (Lourenço, 1996; Roeder y Ayala, 2000; Roeder y Ayala, 2001; Roeder y Ayala, 2002).

( ) ( ) ( ) ( ) 2

1 1 2 2 1 1 2 2 2

2 2x y x y

xy

σ (κ ) σ (κ ) σ (κ ) σ (κ )f ατ

σ σ σ σ − + − − − −= +

+

(1)

donde σx, σy y τxy son los esfuerzos en direcciones x, y y z; 1σ y 2σ son los esfuerzos equivalentes en las direcciones x e y respectivamente. κ1 y κ2 son variables internas que representan la deformaciones equivalentes relacionadas a los esfuerzos equivalentes anteriores (Lourenço, 1996). El parámetro α calibra la resistencia a cortante, y se define de la siguiente forma:

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2u

tytx

τ

ffα = (2)

Una suposición importante en el análisis plástico de estructuras es la descomposición de la deformación total ( ) en una parte elástica ( ) y otra plástica (ε∆ elε∆ plε∆ ) (Lubliner, 1990). (3) el pl∆ε ∆ε ∆ε= + CONCEPTOS DE AGRIETAMIENTO DISTRIBUIDO El concepto de agrietamiento se puede clasificar en: agrietamiento discreto y agrietamiento distribuido(Rots, 1988). El primer concepto trata a una grieta como una discontinuidad geométrica; mientras que el segundo, la grieta se incluye considerando el medio continuo con un comportamiento modificado para introducir su efecto. Una hipótesis importante, en el análisis de estructuras que experimentan agrietamiento, es la descomposición de los incrementos de deformación total ( ) en deformación elástica ( ∆ ) y la deformación por agrietamiento ( ). Así, se tiene que:

ε∆ elεcrε∆

(4) crel ∆ε∆ε∆ε += Como se puede apreciar, esta es una hipótesis parecida a la que se usa en la teoría de la plasticidad con deformaciones pequeñas. La diferencia fundamental es que en los modelos de agrietamiento distribuido la deformación por agrietamiento es recuperable lo que no ocurre en plasticidad (ver figura 4).

Figura 4 Diferencias Esquemáticas entre la Teoría de la Plasticidad y los Conceptos de Agrietamiento

Distribuido MODELOS DE DAÑO La mecánica del daño del continuo ha sido introducida y muy utilizada para describir la degradación progresiva de las propiedades mecánicas que sufren los materiales cuando comienzan a formarse las grietas dentro de ellos(Simo y Ju, 1987a).

σ σ

Eo

Es< Eo

∆εp εε

EoEo

El desarrollo de modelos de daño se puede enmarcar dentro de dos formulaciones, una basada en el espacio de deformaciones y la otra en el espacio de los esfuerzos. Estas dos formulaciones pueden describir el comportamiento no-lineal y la respuesta general en el rango inelástico del material y, según el tipo de formulación utilizada, requieren la descomposición aditiva de los tensores de esfuerzos (formulación de esfuerzos) además de una hipótesis de deformaciones efectivas; o la descomposición aditiva de las

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deformaciones (formulación de deformaciones) utilizando también la hipótesis de esfuerzos efectivos. La descomposición aditiva es con respecto a las partes elásticas y la parte que describe el daño(ver figura 5). Generalmente, la parte que representa el daño, ya sea esfuerzos o deformaciones, se puede formular a partir de relaciones constitutivas definidas según la fenomenología del problema que se estudia. La siguiente clasificación, hecha sobre la formulación de deformaciones, define algunos tipo de daño.

• daño frágil: también denominado daño elástico, desarrolla solo deformaciones elásticas en el material intacto y el daño ocurre de acuerdo a las deformaciones totales después de sobrepasar un valor límite de deformación;

• daño dúctil: El daño se desarrolla con deformaciones plásticas después de sobrepasar una deformación límite;

• daño por efectos de temperatura o cargas de larga duración; • daño por fatiga con bajas frecuencias de repetición de cargas; • daño por fatiga con altas frecuencias de repetición de cargas.

1 ε 1 ε

1 ε 1 ε

σ σ

σ

M

M

-1

σa) Formulación de deformaciones

b) Formulación de esfuerzos

Figura 5 Formulaciones de Deformaciones y Esfuerzos para los Modelos de Daño

Una característica importante de los modelos de daño basados en estos dos tipos de formulaciones es la simplicidad en el desarrollo de algoritmos para su implementación numérica dentro contexto de los elementos finitos (Simo y Ju, 1987b; Roeder y Ayala, 2001).

PROCEDIMIENTOS NUMÉRICOS EN LOS ELEMENTOS FINITOS NO-LINEALES Una consecuencia lógica, al realizar un análisis con elementos finitos no-lineales, es encontrar que la relación entre el vector de fuerzas y el vector de desplazamientos es no-lineal. Las razones son las ya mencionadas, la dificultad estriba en saber como resolver este problema. El procedimiento típico de solución de una estructura en el rango lineal con elementos finitos es de subdividir el dominio geométrico del sólido que se estudia, obtener las matrices de rigidez de cada elemento y ensamblar o sumar todas las contribuciones según los grados de libertad considerados, incluir las condiciones cinemáticas de frontera que hacen que el sistema de ecuaciones, producto de este ensamblaje, sea determinado y, finalmente, resolver este sistema considerando las acciones que son impuestas y que están asociadas a los grados de libertad activos en el modelo numérico. El procedimiento de solución para el análisis no-lineal de estructuras sigue los mismos pasos a los del análisis lineal modificándolos; sin embargo, para repetir este proceso de solución, cambiando las matrices de rigidez de cada elemento en cada incremento de carga que se impone para alcanzar el valor de la carga total. Este

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cambio de la matriz de rigidez del elemento se hace al verificar numéricamente cuándo se están rebasando los límites permisibles de los esfuerzos que marca el inicio del proceso de daño en cada punto de integración del elemento. El procedimiento de solución general para cualquier problema, sea lineal o no-lineal, se basa en resolver las siguientes ecuaciones: ( ),interno externo ( )f u historia f u= (5) donde finterno representa el vector de fuerzas internas y fexterno el vector de fuerzas externas aplicadas. u es el vector de desplazamiento e historia es el vector de variables internas que asociadas al proceso inelástico. Las fuerzas internas dependen de la historia de variables internas como los desplazamiento y las deformaciones. Las fuerzas externas pueden, o no, depender de los desplazamientos. Una descripción general del problema sería, teniendo los desplazamientos en un tiempo t, encontrar los incrementos de desplazamientos (∆u) en el tiempo t+∆t (ver ec. 6). (6) t t tu u u+∆ = +∆ definiendo g como el vector de fuerzas no-equilibradas se tiene: (7) ( ) ( ) ( ) 0ext intg u f u f u∆ = ∆ − ∆ = Es así que el problema estructural se adapta a la forma general de sistemas de ecuaciones no-lineales que son resueltos con procedimientos de Newton-Raphson regular, o modificado, empleando un esquema incremental iterativo(ver figura 6). Estos procedimientos también se pueden hacer más eficientes con métodos de continuación si el camino de la respuesta no se muestra muy irregular(Bathe, 1996).

f ext

Carga, W

Desplazamientos, w

t

t+∆tf ext

-g1

f int,1

∆u0

∆u1

δu1

Figura 6 Procedimiento incremental iterativo combinado con continuación En particular en estructuras cuasi-frágiles se puede presentar un camino irregular de la respuesta por la súbita pérdida de rigidez, lo que hace necesario emplear procedimientos que permitan acelerar la convergencia y seguir obteniendo la respuesta de la estructura en condiciones no óptimas de solución (ver figura 7).

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a) Comportamiento por daño gradual

f b) Comportamiento por daño súbito f

Un pde arestriposteprob

Se pque finito

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u

Figura 7 Respuesta en Estruct

rocedimiento muy utilizado para poder resolver estos tiprco. Básicamente este procedimiento amplía el sistemcción adicional que es la longitud de un radio de arco criormente se varia utilizando un algoritmo de búsqu

lemas de minimización en programación matemática(Cr

λ2q

λ3qλ1q

Car

ga, λ

q

∆l

λ0q

p0 δp0

δp1δ

FIGURA 6 PROCEDIMIENTO TÍPICO

EJEMPLOS DE APL

resentan dos ejemplos de aplicación, aplicando el concse deben tener en cuenta al momento de desarrollar us se han realizado con el programa NLFEM(Roeder et a

u

uras Cuasi-Frágiles

os de comportamiento es el control por loa de ecuaciones no-lineales introduciendon un valor inicial asignado (ver figura 6)

eda lineal u otro método que se utiliza isfield, 1991).

Desplazamiento

p2

DE LONGITUD DE ARCO

ICACIÓN

epto de objetividad de malla y algunos crn análisis no-lineal. Los modelos de eleml., 2001).

ngitud o una y que en los

iterios entos

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MODELO DE CONCRETO REFORZADO Este primer ejemplo fue diseñado con el fin de estimar el efecto de la cuantía y de la disposición del acero de refuerzo en vigas conectadas de concreto reforzado. En esta estructura se utilizó el modelo de Drücker-Präger para la falla en compresión del concreto y un modelo de agrietamiento distribuido para evaluar el daño por tensión. Se hizo primero un análisis lineal con el objeto de conocer las zonas en tensión y compresión para este modelo de comportamiento del material. En la solución del problema no-lineal se tomó un criterio para los anchos de bandas de agrietamiento que está relacionado al tamaño máximo del agregado(Bazant y Planas, 1998). Este criterio se define con la siguiente desigualdad: (8) 3 a ad h d≤ ≤ 5 donde da es el tamaño máximo del agregado en el concreto. Los parámetros inelásticos que se introdujeron (ver tablas 2 y 3) han sido obtenidos del trabajo hecho por Mahaidi y Hong (1997).La energía de fractura a la tensión en el concreto es Gf=25.0 N-m/m2 y se usa en el modelo de agrietamiento distribuido. Para el modelo de plasticidad de Drücker-Präger se utilizan los valores iniciales de los ángulos de fricción y dilatancia iguales a 30o. El ablandamiento se considera de tipo exponencial en ambos modelos de comportamiento. Para el acero de refuerzo se considera el modelo de plasticidad perfecta de Von Mises.

Tabla 2 Propiedades Elásticas e Inelásticas del Concreto Tipo Parámetros Valores Elástico Módulo de Young 2.05939E+10 N/m2 Elástico Relación de Poisson 0.20 Inelástico Resistencia a Compresión 10.3920E+06 N/m2 Inelástico Resistencia a Tensión 3.60000E+06 N/m2

Tabla 3 Propiedades Elásticas e Inelásticas del Acero de Refuerzo Tipo Parámetros Valores Elástico Módulo de Young 2.05939E+11N/m2 Elástico Relación de Poisson 0.20 Inelástico Esfuerzo de Fluencia 4.87000E+08 N/m2 Inelástico Resistencia a Tensión 3.60000E+06 N/m2 Los elementos finitos utilizados son isoparámetricos de ocho nudos para el análisis de esfuerzos planos(ver figuras 7 y 8). Con este modelo combinado se ha podido obtener un diagrama de carga desplazamiento bastante acorde con el diagrama obtenido de los resultados experimentales (ver figura 9). Sobre la estructura se impusieron desplazamientos prescritos de hasta 18 mm(en los puntos donde se indican en las flechas de la figura 7) con pasos de carga de 1% desplazamiento total. El segundo modelo ( ver figura 10) servirá para estudiar como puede afectar en los resultados la disposición incorrecta de las mallas. El modelo es una viga de concreto simple (Rots, 1988) con una pequeña abertura en el centro. Este modelo cuenta con los siguientes parámetros: módulo de Young y de relación de Poisson de 20000 N/mm2 y 0.20 respectivamente, energía de fractura a la tensión de 113 J/m2 y una resistencia a la tensión de 2.4 N/mm2.

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estribos de 6.35 mm @ 125

10 var. 9.5mm

Figura 7 Modelo de Concreto Reforzado de una conexión de Vigas

Figura 8 Modelo de elementos finitos de las vigas de concreto reforzado

Gráfica Carga vs. Desplazamiento

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

Desplazamiento (mm)

Car

ga (N

)

NuméricoExperimental

Figura 9 Comparación de Resultados Experimentales y Numéricos

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Figura 10 Modelo de Viga de concreto Simple Se presentan dos mallas, la primera tiene una mala disposición de los elementos (ver figuras 11). Como una consecuencia de ello los resultados son de mala calidad, lo cual indica la falta de objetividad de las malla, comparado a los resultados en la distribución de daño que se obtiene con una malla más regular(ve figura 12).

Figura 11 Primera Malla y Localización de Deformaciones por Agrietamiento en el Modelo de Viga de

Concreto Simple

Figura 12 Malla apropiada y Localización de Deformaciones por Agrietamiento en el Modelo de Viga de Concreto Simple

En este caso se observa claramente que, a pesar de que la primera malla es más fina que la segunda, los resultados están influenciados por la dirección de las mallas, lo que se le conoce como dependencia de malla. Esta dependencia es de dos tipos: dependencia de tamaño y dependencia de orientación. El afinar el tamaño de los elementos salva el problema de localización de deformaciones por tensión; pero, la orientación de las mallas no permite obtener resultados objetivos. Uchida, Rokuko y Koyagani (1994) encontraron que, en modelos de agrietamiento distribuido, las localizaciones de deformación agrietamiento tienden a desarrollarse

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paralelas las líneas de los elementos finitos, como se observa en la figura 10. Es lógico suponer que los mejores modelos son aquellos donde se disponen las líneas de las mallas de manera que siguen las trayectorias reales de las grietas; sin embargo, las trayectorias generalmente no se conocen hasta que se realiza el análisis. Es así que los modelos de agrietamiento que toman en cuenta el ancho de agrietamiento deben considerar las distribución real de los agrietamiento para definir las mallas de elementos finitos.

RECOMENDACIONES FINALES Se ha presentado algunos de los conceptos que se emplean en el análisis no-lineal de estructuras con elementos finitos. Algunas recomendaciones son necesarias para realizar un análisis no-lineal, estas recomendaciones son las siguientes:

• Primero se debe considerar que, para el tipo de material que se está utilizando, existen resultados experimentales que permitan estimar: la resistencia a la tensión y compresión del material, la energía de fractura y definir una curva de ablandamiento a partir de la observación del material después de alcanzar los valores límites de resistencia.

• Existen criterios para definir el ancho de la banda de agrietamiento, esto tiene mucho que ver con el tamaño y la orientación de la malla de elementos finitos que se debe utilizar. La intención es de obtener resultados objetivos con el máximo de tamaño posible del elemento en la malla. Debe tomarse en cuenta que esto aun es tema de investigación, y todavía no se han encontrado valores definitivos de los ancho de bandas de agrietamiento según el material, tamaño del elemento y trayectoria de carga aplicada al modelo.

• Realizar un análisis elástico-lineal. Este análisis puede dar información relevante para saber si se esta sobrepasando los límites de resistencia del materia. El objetivo es estimar el primer paso de carga. Se debe mencionar que no hay una regla definitiva para estimar el tamaño adecuado del paso de carga, es un criterio que el analista debe cultivar tomando en cuenta las observaciones de las curvas de trayectoria del comportamiento de la estructura.

• La revisión de los resultados deben hacerse en los puntos de integración. Esto es muy importante; el comportamiento inelástico en el elemento finito se observan sobre los puntos de Gauss donde se integra numéricamente para obtener la matriz de rigidez del elemento. Un procedimiento usual en los elementos finitos no-lineales es de integrar las ecuaciones de flujo en el punto de Gauss empleando algoritmos de retorno para forzar a que los esfuerzos se encuentren dentro del espacio permisible de esfuerzos(Simo y Hughes, 1998; Belytschko et al., 2000) y, posteriormente, se calcule la matriz tangente que debe ser utilizada en la fase de integración del elemento finito. Si algunos elementos tienen un nudo en común, y en uno de los elementos uno de sus puntos de integración se produce una incursión en el rango de comportamiento no-lineal del material, el extrapolar los resultados a ese nudo ocasiona una pérdida de información importante al ser los valores de los esfuerzos, o deformaciones, regularizados, o promediados, con los de los otros elementos que posiblemente no estén incursionando en el rango inelástico.

Es obvio que también es muy importante que el ingeniero esté familiarizado con la mecánica de medios continuos y ciertos aspectos computacionales implicados en ella que no son difíciles de aprender.

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