Estimación de intervalos de dispersión aleatoria y … intervalos.pdf · 0,10 0,20 0,30 0,40 g(u)...

Estimación de intervalos de dispersión aleatoria y confianza

Aseguramiento de la calidad analítica

Muestra y población

Valor verdadero y medición

Precisión, (dispersión aleatoria)

Valor esperado

Desviación sistemática, bias

Valor “Correcto”

17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 2

Valor de med. Valor de mediciónMedia

Valor verdadero


Población

La totalidad de los elementos posibles de interés.

La muestra será analizada y se extraerán conclusiones respecto a la población.

Parte de la población

Muestra Población


Por ejemplo:• Lote• Producción anual• Extensiones de suelo contaminado• Cuerpos de agua

La selección de una muestra debe ser:

• aleatoria• representativa • independiente• repetible muchas veces


Descripción

Parámetros Valores característicos

La descripción se realiza mediante:

Muestra

Media: µ

Por ejemplo:

Población

x


Los parámetros de la población se aproxima mediante los valores conocidos de la muestra.

Media: µ

Desviación estándar: σ

Frecuencia π

x

p̂

s

En relación a la población, a los valores característicos siempre se les atribuye una incertidumbre.

Valores estimados


Población, muestra MuestraPoblación


¡ Lo que el cliente desea conocer! ¡Lo que conoce el analista!

Población Muestra


Población, muestraConclusiones

Parámetros de la población Conclusión directa

¿En qué rango de valores (intervalo de dispersión) es de esperarse que se encuentran los valores caracteristicos de una muestra de una población determinada?

Inte

rval

o de

dis

pers

ión

alea

tore

a de

los

val

ores

cara

ctrí

st.

conf

ianz

a de

los α/2α/2α/2α/2

1 -

αα αα

α/2α/2α/2α/2

α/2α/2α/2α/2s,x, ⇒σσσσµµµµ


Valores caracterís-ticos de la muestra Conclusión indirecta

¿En qué rango de valores (Intervalo de confianza) es de esperarse que estén los parámetros de la población a la que pertenece una muestra determinada?

Inte

rval

o de

dis

pers

ión

alea

tore

a de

los

val

ores

Inde

rval

o de

co

nfia

nza

de lo

s pa

rám

etro

s

1 - α : Nivel de confianza α: Probabilidad de error

α/2α/2α/2α/2

α/2α/2α/2α/2

1 -

αα αα

α/2α/2α/2α/2

s,x, ⇐⇐⇐⇐σσσσµµµµ


Intervalo de dispersión aleatoria Generalidades

Conclusión respecto a la muestra, partiendo de la población, son conocidos los parámetros de la población (µµµµ, σσσσ)

Fundamentos Distribución normal estándar

En ella la distribución de los valores es conocida.

-1,9

600

1,96

00

0,10

0,20

0,30

0,40

g(u)

1 - α α α α = 95%

αααα / αααα


0,00

0,10

-4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00u

αααα /2 αααα /2

Probabilidad de error α: Probabilidad de que los valores conocidos de la muestra puedan ubicarse fuera del IDA

nivel de confianza P = 1 - α: Probabilidad de que los valores conocidos de una muestra caigan en el IDA

El intervalo en donde los valores de medición serán encontrados „habitualmente“ se conoce como intervalo de dispersión aleatoria (IDA). IDA


IDACálculo del IDA para parámetros característicos de posició n

IDA de dos colas IDA de una cola

(((( )))) σσσσµµµµ αααα−−−−−−−−≥≥≥≥ 1uxσσσσµµµµ αααα

−−−−±±±±====

21

uxValor individual (((( )))) σσσσµµµµ αααα−−−−++++≤≤≤≤ 1ux

(((( )))) nux 1

σσσσµµµµ αααα−−−−−−−−≥≥≥≥n

ux2

1

σσσσµµµµ αααα

−−−−±±±±====Media (((( )))) n

ux 1

σσσσµµµµ αααα−−−−++++≤≤≤≤


Los valores conocidos inferior y superior establecen los valores límites del IDA.

El valor cn en la mediana depende del número de valores de medición tabulados.

(((( )))) n1 cn

ux ⋅⋅⋅⋅−−−−≥≥≥≥ −−−−σσσσµµµµ ααααn

21

cn

ux~ ⋅⋅⋅⋅±±±±====

−−−−

σσσσµµµµ ααααMediana (((( )))) n1 cn

ux ⋅⋅⋅⋅++++≤≤≤≤ −−−−σσσσµµµµ αααα

Ejemplo: para el valor individual se lee:

σσσσµµµµσσσσµµµµ αααααααα

−−−−

−−−−++++≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−

21

21

uxu


IDAAplicación

El IDA se aplica, por ejemplo, cuando se realiza:

• cumplimiento con valores límites permisibles o valores nominales,pruebas de valores de garantía o

• elaboración de diagramas de control de calidad para control de procesos

Los valores más comunes para la probabilidad de error α son:


Los valores más comunes para la probabilidad de error α son:

1 1 1 1 −−−− αααα90,0% 0,1 -1,2816 0,9 1,2816 0,05 -1,6449 0,95 1,644995,0% 0,05 -1,6449 0,95 1,6449 0,025 -1,9600 0,975 1,960099,0% 0,01 -2,3263 0,99 2,3263 0,005 -2,5758 0,995 2,575899,9% 0,001 -3,0902 0,999 3,0902 0,0005 -3,2905 0,9995 3,2905

u(1 (1 (1 (1 −−−− α/2)α/2)α/2)α/2)

IDA 1 cola IDA 2 colas

u(1 (1 (1 (1 −−−− α)α)α)α)αααα//// 2222 u(α/2)(α/2)(α/2)(α/2) 1 1 1 1 −−−− αααα//// 2222

Nivel de confianza

αααα u(α)(α)(α)(α) 1 1 1 1 −−−− αααα


IDA Probabilidad y precisión

u

10% de probabilidad

u

99% de probabilidad


Diferencia entre la probabilidad

de una afirmación y su precisión

u

90% de probabilidad


IDA Distribución χχχχ2

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0 10 20 30 40 50 60

χχχχ 2

g(2 )

f = 4 f = 10 f = 30

Para definir el IDA de la desviación estándar se utiliza la distribución χ2.

Funciones de densidad de distribuciones χ2


2

22f

sfσσσσ

χχχχ ⋅⋅⋅⋅====

Cuando la varianza s2 de una muestra procede de una población con la varianza σ2, entonces la variable χ2 sigue una distribución χ2 con el parámetro f = n - 1.

La distribución χ2 es asimétrica y con una f creciente se aproxima paulatinamente a la distribución normal.

Los valores bajo la curva (G(χ2)) se tabulan en función de las grados de libertad f.


IDACálculo del IDA de la desviación estándar.

IDA de dos colas:

σσσσχχχχ

σσσσχχχχ αααααααα

⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅

−−−−

fs

f

2

21;f

2

2;f

IDA de una cola:

1nf −−−−====


(((( )))) σσσσχχχχ αααα ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤ −−−−

fs

21;f(((( )))) σσσσ

χχχχ αααα ⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥f

s2

;f

IDA de una cola:

superiorinferior


IDA Resumen de fórmulas

(((( )))) σσσσµµµµ αααα−−−−−−−−≥≥≥≥ 1uxσσσσµµµµ αααα

−−−−±±±±====

21

uxValor individual(((( )))) σσσσµµµµ αααα−−−−++++≤≤≤≤ 1ux

uxσσσσµµµµ −−−−≥≥≥≥

nux

21


−−−−±±±±====Media (((( )))) n

ux 1

σσσσµµµµ αααα−−−−++++≤≤≤≤

dos colas una colaValor característico


(((( )))) nux 1

σσσσµµµµ αααα−−−−−−−−≥≥≥≥

(((( )))) n1 cn

ux ⋅⋅⋅⋅−−−−≥≥≥≥ −−−−σσσσµµµµ αααα

n2

1c

nux~ ⋅⋅⋅⋅±±±±====

−−−−

σσσσµµµµ ααααMediana

(((( )))) n1 cn

ux ⋅⋅⋅⋅++++≤≤≤≤ −−−−σσσσµµµµ αααα

σσσσχχχχ


⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅

−−−−

fs

f

2

21;f

2

2;f

(((( )))) σσσσχχχχ αααα ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤ −−−−

fs

21;f

(((( )))) σσσσχχχχ αααα ⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥

fs

2;fDesviación estándar


Intervalo de dispersión aleatoria Ejemplo El dispositivo de envasado del dosificador automático de una

sustancia, indica que la cantidad dosificada está distribuida normalmente, con µ = 10,0 g ± 2%.

Un cliente prueba 12 envases y encuentra en promedio 9,87 g con

s = 0,27 g. ¿Están correctos los envases?

Qué deberá probarse? 1. La posición, esto es, la media

2. La dispersión, esto es, la desviación estándar


σ = 0,2 g

n = 12

Valores inicales

µ = 10,0 g σ = ? VK = 2%Valores nominales:

%100VK ⋅⋅⋅⋅µµµµσσσσ====

100VK⋅⋅⋅⋅µµµµ====σσσσ 2,0

100210

100VK ====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅µµµµ====σσσσ

Valores medidos:

g87,9x ====

s = 0,27 g Realizar los cálculos !

Pregunta: en qué intervalo se puede esperar a los resultados muestrales?


IDAEjemplo

nivel de confianza 95 % 99%

α = 0,01 α/2 = 0,005 995,0201,0

1 ====−−−−α = 0,05 α/2 = 0,025 975,0205,0

1 ====−−−−

nux

21

un/ob


−−−−±±±±====

1. Prueba de la media


0577,096,110122,0

u10x205,0

1un/ob ⋅⋅⋅⋅±±±±====±±±±====

−−−−0577,05758,210

122,0

u10x201,0

1un/ob ⋅⋅⋅⋅±±±±====±±±±====

−−−−

11,010x un/ob ±±±±==== 15,010x un/ob ±±±±====g11,10xg89,9 ≤≤≤≤≤≤≤≤ g15,10xg85,9 ≤≤≤≤≤≤≤≤

El IDA no contiene a la media calculada.

El IDA sí contiene a la media calculada.

Probablemente la dosificación es menor. La dosificación es correcta

96,1u2

1====

αααα−−−−


IDAEjemplo

σσσσχχχχ


⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅

−−−−

fs

f

2

21;f

2

2;f

1nf −−−−====

11112f ====−−−−====

2. Prueba de la desviación estándar

Valor de medición: 9,87 g ± 0,27 g, n = 12

Valor nominal: µ = 10,0 g ± 0,2 g

nivel de confianza: 95% 99%


2,0119201,21

s2,0118158,3 ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅ 2,0

117569,26

s2,0116032,2 ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅

g28,0sg12,0 ≤≤≤≤≤≤≤≤ g31,0sg10,0 ≤≤≤≤≤≤≤≤

(((( )))) (((( )))) 2,011

s2,011

2975,0;11

2025,0;11 ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅

χχχχχχχχ (((( )))) (((( )))) 2,011

s2,011

2995,0;11

2005,0;11 ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅

χχχχχχχχ

En ambos niveles de confianza la desviación estándar calculada cae dentro del IDA. No hay desviaciones.


Conclusión indirectaIntervalo de Confianza (IC)

Los intervalos de confianza de los parámetros están estrechamente relacionados con los IDA de los valores característicos y pueden ser derivados de ellos.

A cada valor característico de una muestra corresponde un indicador sobre la exactitud del cálculo. Este indicador se obtiene mediante el IC .

dos situaciones


IC - Cálculo mediante la distribución normal con σ

IC - Cálculo mediante la „distribución t“

dos situacionesµµµµ⇒x

σ conocida. σ desconocida.


IC IC de la media

1. σ es conocida

Para el IDA de la media:

µµµµ

nu

1

σσσσµµµµ αααα ⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−− n

u1

σσσσµµµµ αααα ⋅⋅⋅⋅++++

−−−−

En ésta área cae con la probabilidad (1 - α)

x

nux

σµ α

−

±=1

infsup/


nux

nu

21

21

σσσσµµµµσσσσµµµµ αααααααα

−−−−

−−−−++++≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−

nu

21

αααα

−−−− nu

21

αααα

−−−−

xCuando cae en éste intervalo (lo que ocurre con la probabilidad (1 - α) ), entonces la distancia de µ µ µ µ respecto a es máxima para

nu

21

σσσσαααα ⋅⋅⋅⋅

−−−−

x

x µµµµ

nu

21

σσσσαααα ⋅⋅⋅⋅

−−−−

nα

−2

1

Es decir, cae dentro de estos límitesx


ICIC de la media

Por tanto, para un IC del valor medio µµµµ puede enunciarse:

1. σ es conocida.

nux

21

σσσσ±±±±====µµµµ



(((( )))) µµµµ≤≤≤≤σσσσ−−−− αααα−−−− nux 1 (((( )))) n

ux 1

σσσσ++++≤≤≤≤µµµµ αααα−−−−

IC de una cola:

inferior superior


ICIC de la media

2. σ es desconocida

El procedimiento es el mismo que el para IC con σ conocida.

La distribución de la desviación entre s und σ es considerada a través de la


La distribución de la desviación entre s und σ es considerada a través de la „distribución t“.

ns

xt

µµµµ−−−−====Def.:


IC Distribución t Distribución t

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

g(t

); g

(u)

Es continua, simétrica, con forma de campana y tiene

La distribución t es muy semejante a la distribución normal N(0;1).


0.00

-8.0 -6.0 -4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0t; uf = 1 f = 2 f = 5 f = 10 N(0,1)

forma de campana y tiene un área de variación de -∞s +∞.

La forma de la distribución t es independiente de µ und σ y se determina solamente a través de los grados de libertad (gl)

1nf −−−−====

Cuanto menores son los gl, son mayores las desviaciones respecto a N(0;1). Para gl mayores, la distribución t se convierte en la distribución normal N(0;1).


Valores característicose

Grados de libertad (gl)

El número de grados de libertad (gl) de una cantidad aleatoria se define mediante el número de observaciones „libres“ disponibles, de los datos muestrales n menos la cantidad a de parámetros muestrales calculados (estimado).

anf −−−−====


Para n valores de medición cuya suma es conocida, se eligen libremente n - 1.

Dada la suma de 3 cantidades, se puede disponer libremente de2 cantidades; la tercera se comprometió en la suma..

Ejemplo:

(((( ))))

1n

xx

v

2i

ni

1i

−−−−

−−−−

====∑

====

==== n - 1 es el grado de libertad de la varianza


IC Distribución t

La distribución t tiene, junto con una menor altura, una extensión claramente mayor respecto a la distribución normal.

Distribución t

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

-8.0 -6.0 -4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0t; u

g(t

); g

(u)

f = 1 f = 2 f = 5 f = 10 N(0,1)


Para gl ≈ 150 los valores de la distribución t se aproximan a la distribución normal.

DN N(0;1) f = 2 f = 5 f = 150

95,0% ± 1,960 ± 4,303 ± 2,570 ± 1,97699,0% ± 2,576 ± 9,925 ± 4,032 ± 2,60999,9% ± 3,291 ± 31,599 ± 6,869 ± 3,357

Distribución t límites 2 colas

Los valores para el área bajo la campana están tabulados.


IC IC de la media

2. σ es desconocida.

Con ayuda de los valores t puede determinarse los ICs.

Para un IC de dos colas , la media µ:

stx αααα±±±±====µµµµ


(((( )))) µµµµαααα ≤≤≤≤−−−− −−−− ns

tx 1;f (((( )))) ns

tx 1;f ααααµµµµ −−−−++++≤≤≤≤

Para un IC de una cola:

inferior superior

ntx

21;f

αααα−−−−±±±±====µµµµ


ICIC de la desviación estándar

El IC de dos colas es igual a:

2

2;f

2

21;f

fs

fs

−−−−

⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅αααααααα χχχχ

σσσσχχχχ


Para un IC con límite superior (una cola):

Para un IC con límite inferior (una cola):

(((( ))))2

;f

fs0

ααααχχχχσσσσ ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤<<<<

(((( ))))σσσσ

χχχχ αααα

≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅−−−−

21;f

fs

�


ICIC de la desviación estándar

fs

f

2

21;f

2

2;f

−−−−


σσσσχχχχ

σσσσ

Para el IC de la desviación estándar se tiene :

Por tanto, se obtienen las siguientes ecuaciones:


2

2;f

fs

⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤ααααχχχχ

σσσσ 2

21;f

fs

−−−−

⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥ααααχχχχ

σσσσ

Con esto se definen los valores límite del intervalo que contiene a σ con la probabilidad definida. Esto es el IC de la desviación estándar σ.

sf

2

2;f

≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅

ααααχχχχσσσσ

2

2;f

f

ααααχχχχ⋅ y análogamente

límite superior límite inferior


IC Resumen de las fórmulas

(((( )))) nux 1

σσσσµµµµ αααα−−−−−−−−≥≥≥≥

(((( )))) nux 1

σσσσµµµµ αααα−−−−++++≤≤≤≤n

uxn

ux2

12

1

σσσσµµµµσσσσαααααααα

−−−−

−−−−++++≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−

dos colas una cola

Media

σ conocida


2

2;f

2

21;f

fs

fs

−−−−


σσσσχχχχ

(((( ))))2

;f

fs0

ααααχχχχσσσσ ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤<<<<

(((( ))))σσσσ

χχχχ αααα

≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅−−−−

21;f

fsDesviación estándar

σ desconocidans

txns

tx2

1;f2

1;f

−−−−

−−−−++++≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− αααααααα µµµµ

(((( )))) ns

tx 1;f ααααµµµµ −−−−−−−−≥≥≥≥

(((( )))) ns

tx 1;f ααααµµµµ −−−−++++≤≤≤≤


IC Ejemplos La concentración de una solución debe ser de 1,50% con σ de 0,01%.

La solución es medida 5 veces, con 1,48%; 1,47%; 1,50%; 1,48% y 1,49%. Se cumple con la norma (α = 5%)?

IC de la media :

Solución: Calcular el IC de la media y de la desviación estándar y comparar con los valores nominales (Sollwerten).


Datos iniciales:

5011,0

t484,15

011,0t484,1

205,0

1;4205,0

1;4

−−−−

−−−−++++≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− µµµµ

5011,0

7765,2484,15

011,07765,2484,1 ⋅⋅⋅⋅++++≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅−−−− µµµµ

0137,0484,10137,0484,1 ++++≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− µµµµ

498,1470,1 ≤≤≤≤≤≤≤≤ µµµµ

La concentración es demasiado baja.

ns

tx2

1;f

αααα−−−−±±±±====µµµµ

%011,0s ====%484,1x ====

n = 5

α = 5%

Mediciones: Requerimientos:

µµµµ = 1,50%σ ≤σ ≤σ ≤σ ≤ 0,01%


IC Ejemplo

2

2;f

2

21;f

fs

fs

−−−−


σσσσχχχχ

2

205,0

;4

2

205,0

1;4

4011,0

4011,0

−−−−

⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅χχχχ

σσσσχχχχ

IC de la desviación estándar:


4844,04

011,01433,114

011,0 ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅ σσσσ

0316,00066,0 ≤≤≤≤≤≤≤≤ σσσσ

La dispersión es correcta.

Datos iniciales:

%011,0s ====%484,1x ====

n = 5

α = 5%

Mediciones: Requerimientos:

µµµµ = 1,50%σ ≤σ ≤σ ≤σ ≤ 0,01%

Muestra y población Intervalo de desviación aleatoria � Número mínimo de mediciones

nux

21

σσσσ±±±±µµµµ==== αααα−−−−n

ux2

1

σσσσ⋅⋅⋅⋅====−−−−µµµµ αααα−−−−

xun

21 −−−−µµµµ

σσσσ⋅⋅⋅⋅==== αααα−−−−

2

21 x

un

−−−−µµµµσσσσ⋅⋅⋅⋅==== αααα−−−−

Intervalo de desviación aleatoria


2

2

21

x d

un σσσσ⋅⋅⋅⋅

>>>>αααα−−−−

2 x −−−−µµµµ

2

2

21

x


−−−−µµµµ====


2

2

21

d


====αααα−−−−

xd −−−−µµµµ====

Número mínimo de mediciones

α = Probabilidad de error


Número mínimo de mediciones/muestras

2

2

21

x d


>>>>αααα−−−−

µµµµ−−−−==== xd

2

21

s d

u5,01n

⋅⋅⋅⋅++++≈≈≈≈αααα−−−−

σσσσσσσσ−−−−==== s

d

Media Desviación estándar


µµµµ−−−−==== xdσσσσ

====d

A través de estes ecuaciones se puede estimar que número mínimo de mediciones se necesita para lograr la precisión d deseada.

Media: d es la diferencia mínima que se puede identificar al usar ese número de muestras.

d es la desviación estándar relativa.

Lit.: Lothar Sachs Angewandte Statistik Springer-Verlag 1990


Ejemplo: media

2

2

21

x d


>>>>αααα−−−−

µµµµ−−−−==== xd

σσσσ αααα

Número mínimo de muestras

El resultado debe tener la precisión de 0,1 g/mLD.E. del Método A: 0,05 g/ml y

del Método B. 0,15 g/mL¿Número de muestras para identificar una diferencia de las medias de 0,1 g/mL con la probabilidad de error de α = 5% ?

σσσσ αααα


d = 0,1 σσσσ = 0,05 αααα = 5%

2

2

205,0

1

x 05,01,0

un ⋅⋅⋅⋅

>>>>−−−−

9604,005,01,0

96,1n 2

2

x >>>>⋅⋅⋅⋅

>>>> 1n x ≥≥≥≥

d = 0,1 σσσσ = 0,15 αααα = 5%

2

2

205,0

1

x 15,01,0

un ⋅⋅⋅⋅

>>>>−−−−

64,815,01,0

96,1n 2

2

x >>>>⋅⋅⋅⋅

>>>> 9n x ≥≥≥≥

Una determinación sóla es suficiente Hay que medir por lo menos 9 veces.

A B


Ejemplo Desviación estándar

2

21

s d

u5,01n

⋅⋅⋅⋅++++≈≈≈≈αααα−−−−

σσσσσσσσ−−−−==== s

d

Número mínimo para desviación estándar

σσσσ = 1,5 αααα = 1% s = 2

¿ Para distiguir una diferencia de dispersión de 0,5 teniendo una desviación estándar de 1,5 o 0,5 se necesita cuantas mediciones?

σσσσ = 0,5 αααα = 1% s = 1

2


2

s 5,05,158,2

5,01n

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++≈≈≈≈

31ns ≈≈≈≈

30,9529,951ns ====++++≈≈≈≈

2

201,0

1

s

5,15,0

u5,01n

⋅⋅⋅⋅++++≈≈≈≈−−−−

0,33335,15,0

d ========

2

s 5,05,058,2

5,01n

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++≈≈≈≈

2ns ≈≈≈≈

1,1250,1251ns ====++++≈≈≈≈

2

201,0

1

s

5,05,0

u5,01n

⋅⋅⋅⋅++++≈≈≈≈−−−−

0,15,05,0

d ========

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