Estatica Dinamica 2015 i Semana 10 Cinematica

7/23/2019 Estatica Dinamica 2015 i Semana 10 Cinematica

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DICTADO POR :

PROF.:ING. JORGE CUMPAMORALES CICLO: 2015-II


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La cinemtica (del griego, kineo, movimiento) es larama de la mecnica clsica que estudia las leyes delmovimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causasque lo producen, limitndose esencialmente, al estudio de latrayectoria en funcin del tiempo.

Tambin se dice que la cinemtica estudia la geometra delmovimiento.

n la cinemtica se utili!a un sistema de coordenadas para

describir las trayectorias, denominado sistema dereferencia.


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1. ESPACIO ABSOLUTO. s decir, un espacio anterior a todos los ob"etos materiales

e independiente de la e#istencia de estos.

ste espacio es el escenario donde ocurren todos losfenmenos fsicos, y se supone que todas las leyes de lafsica se cumplen rigurosamente en todas las regiones deese espacio.

l espacio fsico se representa en la Mecnica Clsicamediante un espacio puntual eucldeo.


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2. TIEMPO ABSOLUTO

La Mecnica Clsica admite laexistencia de un tiempo absoluto quetranscurre del mismo modo en todaslas regiones del Universo y que esindependiente de la existencia de los

objetos materiales y de la ocurrenciade los fenmenos fsicos.


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2. MOVIL l mvil ms simple que podemos considerar es el punto material o

partcula. La partcula es una ideali!acin de los cuerpos que e#isten en la

$aturale!a, en el mismo sentido en que lo es el concepto de punto

geomtrico. ntendemos por punto material o partcula a un cuerpo de

dimensiones tan peque%as que pueda considerarse como puntiforme&de ese modo su posicin en el espacio quedar determinada al fi"arlas coordenadas de un punto geomtrico.

$aturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de uncuerpo estar en relacin con las condiciones especficas delproblema considerado.


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studiar el movimiento de un cuerpo quiere decir determinar suposicin en el espacio en funcin del tiempo, para ello se necesita unsistema de referencia.

n el espacio euclidiano un sistema de queda definido por loselementos siguientes.

a. un origen O, que es un punto del espacio fsico.

. una ase !ectorial del espacio !ectorial asociado a dic"o espaciofsico.


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'ecimos que una partcula se encuentra en mo!imiento con respecto

a un referencial si su posici#n con respecto a $l camia en eltranscurso del tiempo. n caso contrario, si la posicin del cuerpo no cambia con respecto al

referencial, el cuerpo est en reposo en dico referencial.

'e las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y elreposo de un cuerpo, vemos que amos conceptos son relati!os.


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n la igura emos representado

dos observadores, * y *+, y unapartcula . stos observadores utili!an los

referenciales %&' & %(&('(,respecti!amente.

*i * y *+ se encuentran en reposoentre s, describirn del mismomodo el movimiento de la partcula. ero si * y *+ se encuentran en

movimiento relativo, susobservaciones acerca delmovimiento de la partcula serndiferentes.


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ara el observador en ubicado en la tierra la L-$ describir una

rbita casi circular en torno a la T/00. ara el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es

una lnea ondulante. $aturalmente, si los observadores conocen sus movimientos

relativos, podrn reconciliar sus observaciones


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'ecimos que una partcula tiene un movimiento rectilneo

cuando su trayectoria medida con respecto a un observadores una lnea recta

1.POSICIN.

La posicin de la partcula en

cualquier instante queda definida

por la coordenada xmedida a partir

del origen O.

Si x es positiva la partcula se

localiza hacia la derecha de O y si x

es negativa se localiza a la izquierda

de O.


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2. DESPLAZAMIENTO.

l despla!amiento se define como el cambio de posicin. *e representa por el smbolo 1#. *i la posicin final de la partcula 2 est la dereca de su posicin

inicial , el despla!amiento # es positivo cuando el

despla!amiento es acia la i!quierda 1* es negativo

'

' '

x x x

r r r x i xi

=

= =

r r r


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3. VELOCIDAD MEDIA

*i la partcula se mueve de a 2 e#perimentando undespla!amiento 1# positivo durante un intervalo de tiempo 1t,entonces, la velocidad media ser

!

' '

' '

m

m

x xxv

t t t

r r r x i xi

v t t t t t

= =

= = =

r r rr


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3. VELOCIDAD MEDIA La velocidad media tambin puede

interpretarse geomtricamente para ello setra!a una lnea recta que une los puntos y3 como se muestra en la figura. sta lneaforma un tringulo de altura # y base t.

La pendiente de la recta es #4t. ntoncesla velocidad media es la pendiente de larecta que une los puntos inicial y final de lagrfica posicin5tiempo


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4. VELOCIDAD INSTANTNEA s la velocidad de la partcula en cualquier instante de

tiempo se obtiene llevando al lmite la velocidad media esdecir, se ace cada ve! ms peque%o el intervalo de tiempoy por tanto valores ms peque%os de #. or tanto6

"

"

lim# $

lim# $

t

t

x dxv

t dtr dr dx

v it dt dt

= =

= = =

r rr


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4. VELOCIDAD INSTANTNEA *i una partcula se mueve de a 3. medida que 3 se apro#ima ms y

ms a los intervalos de tiempo se acen cada ve! menores. medidaque 3 se apro#ima a el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo deesta manera las pendientes a la tangente. or tanto, la velocidadinstantnea en es igual a la pendiente de la recta tangente en el punto

. La velocidad instantnea puede ser positiva (punto ), negativa(punto 0) o nula (punto 3) seg7n se trace la pendiente correspondiente


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5. RAPIDEZ MEDIA.La rapide! media se define como la distancia total de latrayectoria recorrida por una partcula *T, dividida entre eltiempo transcurrido t, es decir,

# $ TrapS

vt

=


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. ACELERACIN MEDIA .

*i la velocidad de la partcula al pasar por esv

y cuando pasaporP es v durante un intervalo de tiempo 1t, entonces6

La aceleracin media se

define como

''

medv v vat t t

= =


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. ACELERACIN INSTANTANEA .

La aceleracin instantnea se obtiene llevando al lmite laaceleracin media cuando t tiende a cero es decir

"

lim# $

# $

t

v dva

t dt

d dx d xadt dt dt

= =

= =


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La posicin de una partcula que se mueve enlnea recta est definida por la relacin

'etermine6 (a) la posicin, velocidad yaceleracin en t 8 9& (b) la posicin, velocidad yaceleracin en t 8 : s& (c) la posicin, velocidad

y aceleracin en t 8 ; s & (d) el despla!amientoentre t 8 9 y t 8 < s&

%&x t t=


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La ecuaciones de movimiento son

Las cantidades solicitadas son

%& ttx =%! tt

dt

dxv ==

tdt

xd

dt

dv

a &!

===

(n t) "* x) "* v) "* a) ! m+s

(n t) s* x) !& m* v) vmax) ! m+s* a) "

(n t) , s* x) xmax) % m* v) "* a) -!

m+s

(n t) & s* x) "* v) -%& m+s* a) , m+s


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=. L >L0>/?$ >@A@ -$>/?$ 'L T/A@ a 8 f(t).

*e sabe que a ) d!*dt, entonces podemos escriir


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:. L >L0>/?$ >@A@ -$>/?$ ' L @*/>/?$ a 8f(#).

*e sabe que a ) !d!*ds, entonces podemos escriir


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:. L >L0>/?$ >@A@ -$>/?$ ' L BL@>/'' a 8f(v).

*e sabe que a 8 dv4dt o tambin a ) !d!*ds, entoncespodemos escriir


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4. LA ACELERACIN ES CONSTANTE a = constante

este caso se le denomina movimiento rectilneo uniforme ylas ecuaciones obtenidas son


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l auto mostrado en la figura se mueve en lnea recta de tal

manera que su velocidad para un perodo corto de tiempo esdefinida por pies4s, donde t es el tiempo el cualest en segundos . 'etermine su posicin y aceleracincuando t 8 C,99 s. >onsidere que cuando t 8 9. * 8 9


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!"#C#$%ara el sistema dereferencia considerado y

sabiendo que la velocidad esfuncin del tiempo v 8 f(t). Laposicin es

>uando t 8 C s, resulta

>L0>/?$. *abiendo

que v 8 f(t), la aceleracin sedetermina a partir de a 8 dv4dt

>uando t 8 C s


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-n proyectil peque%o es disparado verticalmente acia aba"o

dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de


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&elocidad' -sando elsistema de referencia mostrado y

sabiendo que a ) f!- podemosutili!ar la ecuacin a ) d!*dt paradeterminar la velocidad comofuncin del tiempo esto es

@*/>/?$6 *abiendo que v 8f(t), la posicin se determinaa partir de la ecuacin v 8d*4dt


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-na partcula metlica est su"eta a

la influencia de un campo magnticotal que se mueve verticalmente atravs de un fluido, desde la placa asta la placa D, *i la partcula se

suelta desde el reposo en > cuando* 8 =99 mm, y la aceleracin se midecomo

donde * est en metros. 'etermine&(a) la velocidad de la partculacuando llega a D (* 8 :99 mm) y (b)el tiempo requerido para moverse de

> a D


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'ebido a que a 8 f(*), puede

obtenerse la velocidad comofuncin de la posicin usando vdv8 a d*. >onsideramos ademsque v 8 9 cuando * 8 =99 mm

La velocidad cuando * 8 9,: mes

l tiempo que demora en

via"ar la partcula de > a Dse determina en la forma

>uando * 8 9,: m el tiempoes


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*ea y D dos partculas que se mueven en lnea recta como

se ve en la figura. *us posiciones respecto a @ sern %y%/.La posicin relativa de D con respecto a ser.

La velocidad relativa d con respecto a D ser.

La aceleracin relativa se e#presa en la forma

B A B Ax x x= ABAB xxx +=

B A B Av v v= ABAB vvv +=

B A B Aa a a=

ABAB aaa +=


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La posicin de una partcula puede depender de

la posicin de otra u otras partculas. n la figura la posicin de D depende de la

posicin de . 'ebido a que la longitud del cable >'E que

une ambos bloques es constante se tiene tan

"

"

A B

A B

A B

x x cons te

v v

a a

+ =+ =

+ =e/ido a que slo una de las coordenadas

de posicin xA o xB puede elegirse

ar/itrariamente el sistemaposee un grado de

li/ertad


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qu la posicin de una partcula depende dedos posiciones ms.

n la figura la posicin de D depende de laposicin de y de >

'ebido a que la longitud del cable que une a losbloques es constante se tiene

0omo solo es posi/le elegir dos de las

coordenadas* decimos que el sistema posee

OS grados de li/ertad

A B Cx x x ctte+ + =

"or"

"or"

=++=++

=++=++

CBA

CBA

CBACBA

aaadt

dv

dt

dv

dt

dv

vvvdt

dx

dt

dx

dt

dx


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l collar y el bloque D estnenla!ados como se muestra en la

figura mediante una cuerda que pasaa travs de dos poleas >, ' y . Laspoleas > y son fi"as mientras que lapolea ' se mueve acia aba"o con

una velocidad constante de 0 pul*s.*abiendo que el collar inicia sumovimiento desde el reposo cuando t) 1 y alcan!a la velocidad de =2

pulg*s cuando pasa por L, 'eterminela variacin de altura, la velocidad y laaceleracin del bloque D cuando elcollar pasa por L


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*e anali!a en primer lugar elmovimiento de .

l collar tiene un A0-B, entoncesse determina la aceleracin y eltiempo

( ) ( )[ ]

( )

""

s

in.1in.2

s

in.!

==

+=

AA

AAAAA

aa

xxavv

( )

s%%%.!s

in.1

s

in.!

"

==

+=

tt

tavv AAA


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0omo la polea tiene un 345 se calcula el

cam/io de posicin en el tiempo t.( )

( ) ( ) in.,s%%%.!s

in.%"

"

=

=

+=

DD

DDD

xx

tvxx

(l movimiento del /loque 6 depende del

movimiento de collar y la polea. (l

cam/io de posicin de 6 ser7

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] "in.,in.2

"

"

"""

"""

=++

=++++=++

BB

BBDDAA

BDABDA

xx

xxxxxx

xxxxxx

( ) in.!&" = BB xx


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erivando la relacin entre las posiciones

se o/tiene las ecuaciones para la velocidad

y la aceleracin

constant

"

in. in.! % "s s

!2 lg+

A D B

A D B

B

B

x x x

v v v

v

v pu s

+ + =+ + =

+ + =

= in.

!2s

Bv =

"

in.1 "s

A D B

B

a a a

a

+ + =

+ =

in.

1 s

1 lg+

B

B

a

a pu s

= =


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La ca"a > est siendo

levantada moviendo elrodillo acia aba"o conuna velocidad constantede !)3m*sa lo largo de

la gua. 'etermine lavelocidad y laaceleracin de la ca"a enel instante en que s ) 4m . >uando el rodillo esten D la ca"a se apoyasobre el piso.


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La relacin de posiciones se determina teniendo en cuentaque la longitud del cable que une al bloque y el rodillo novaria.

>uando s 8 = m, la posicin de la ca"a > ser

*e determina aora la posicin #, cuando s 8 = m

, 2

C Ax x m+ + =

, , ! %C C

x m s m m x m= = =

% , 2 %A A

m x m x m+ + = =


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La velocidad se determina derivando la relacin entre lasposiciones con respecto al tiempo

La aceleracin ser

( )!+

!!& # $ "

% #, + $

!& !& %

*, +

C A

A A

A

C A

A

C

dx dxx x

dt dt

x m m sv v

x

v m s

+ + =

= = + +

=

%

%

!& !& !& 8!& 9

, %#"$ % #, $

!& 1 !& 1 8!& 19

*",2 +

C A A A A A A

C A

A A A A

C

C

dv x v x a x vd

a vdt dt x x x x

a

a m s

= = = + + + + +

= +

+ + +

=


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l sistema representado parte delreposo y cada componente se

mueve a aceleracin constante.*i la aceleracin relativa delbloque > respecto al collar D es


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-n ombre en estsosteniendo una ca"a *

como se muestra en lafigura, caminando aciala dereca con unavelocidad constante de

9,G m4s. 'etermine lavelocidad y laaceleracin cuandollega al punto . La

cuerda es de C9 m delongitud y pasa por unapeque%a polea '.


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C. La aceleracin de una partcula se define mediante la

relacin . La partcula parte de # 8 :G pulgen t 8 9 con v 8 9. 'etermine6 (a) el tiempo en el cual lavelocidad de nuevo es cero& (b) la posicin y la velocidadcuando t 8 G s, (c) La distancia total recorrida por la partcula

desde t 8 9 a t 8 G s.

;. La aceleracin de una partcula est definida por la relacina ) 50!, con a e#presada en m4s: y v en m4s. *abiendo que

para t 8 9 la velocidad es


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G. l bloque tiene unavelocidad de C,< m4s acia ladereca. 'etermine lavelocidad del cilindro D

(. Los collares y D desli!an a lolargo de las barrar fi"a que

forman un ngulo recto y estnconectadas por un cordn delongitud L. 'etermine laaceleracin a% del collar D

como una funcin de & si elcollar se mueve con unavelocidad constante aciaarriba !


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I. -na partcula que se mueve alo largo del e"e % conaceleracin constante , tieneuna velocidad de =,G m4s en elsentido negativo de las % parat ) 1, cuando su coordenada %

es 4,2 m. tres segundos mstarde el punto material pasapor el origen en el sentidopositivo. JFasta qu

coordenada negativa se adespla!ado dica partculaK.

). 'etermine la rapide! !6 a la

cual el punto locali!ado sobreel cable debe via"ar acia elmotor A para levantar laplataforma a ra!n de !.) 2m*s.


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. 'etermine la velocidad delbloque si el bloque D tieneuna velocidad de : m4s aciaarriba

*+. 'etermine la velocidad del

bloque si el bloque D tieneuna velocidad de : m4s aciaarriba


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=9. 'etermine la velocidad con lacual el bloque asciende si el

e#tremo del cable en esalado acia aba"o convelocidad de : m4s aciaaba"o

**.


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ara levantar el embala"e

mostrado mediante el apare"ose usa un tractor. *i el tractoravan!a con una velocidad !.'etermine una e#presin

para la velocidad ascendente!/del embala"e en funcin de%. 'esprecie la peque%adistancia entre el tractor y su

polea de modo que ambostengan la misma velocidad.

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