ESTATICA DE FLUIDOS

1. DEFINICION

Estudia a los fluidos en reposo, ideales o reales, líquidos o gases, esto es sean

incomprensibles o comprensibles.

Si no hay movimiento, entonces no se manifiestan las fuerzas viscosas por lo que la

estática de los fluidos ideales a la estática de los fluidos reales y por consiguiente

solo se manifiestan las fuerzas normales; en otras palabras el estudio se limitara a la

variación de las presiones en el interior de una masa fluida en reposo.

2. ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA ESTATICA DE FLUIDOS

La ecuación general de la dinámica aplicada a una partícula en reposo (

) se escribe:

En esta suma de fuerzas debemos considerar las fuerzas que enumeramos en el

primer capitulo, específicamente las superficiales y las de volumen o másicas.

Dentro de las fuerzas másicas consideremos un campo general de fuerzas o sea las

fuerzas inerciales en general, dentro de las que se encuentra el peso.

Definamos pues en cada punto del campo, el vector (de componentes X, Y, Z en

un sistema cartesiano), que será la fuerza activa aplicada a la unidad de masa de

fluido y que es función de la coordenada x, y, z del punto considerado.

Tenemos un paralelepípedo elemental en el interior de una masa fluida en repaso y

estudiemos su equilibrio en este campo general de fuerzas.

En los diferentes ejes las ecuaciones de equilibrio son:EJE X

EJE Y

EJE Z

De donde se obtiene:

Estas ecuaciones son las ecuaciones fundamentales de la estática de fluidos que en

forma vectorial se escribe:

……………………..(55)

Si las ecuaciones (54) las multiplicamos respectivamente por dx, dy, dz y las

sumamos se obtiene sucesivamente.

………(56)

………………………..(57)

……………………………….(58)

Luego “la diferencia de presión entre dos puntos infinitamente próximos es igual al

trabajo que efectuaría la fuerza de volumen, relativa a la unidad de volumen, si se

le hiciera seguir a su punto de aplicación un camino cualquiera que una estas dos

puntos”.

3. ALGUNAS APLICACIONES DE LAS ECUACIONES FUNDAMENTAKES

DE LA ESTATICA DE FLUIDOS

a) Presión alrededor de un punto de una masa fluida en reposo

En este caso dx, dy, dz, son tan pequeños que tiende a cero,

Luego: se convierte en:

Entonces: “ La presión alrededor de un punto es la misma”

b) Variación de la presión en el interior de una masa fluida en reposo

En la ecuación (57) por unidad de mas se tendrá en este caso:

X = 0 ; Y = 0 ; z = -g

Luego :

………………………….. (59)

Aplicando esta ecuación aun fluido incompresible e integrando entre dos puntos

se tiene:

……………………..(60)

Como representa el paso de un

cilindro de liquido de sección unidad y de altura

se puede enunciara: “la diferencia de

presión entre dos puntos de una masa fluida en

reposo es igual al peso de una columna fluida de

área unitaria y de altura igual a la diferencia de cotas entre dichos puntos”.

La ecuación (60) se puede también escribir:

……………………(61)

En la ecuación (60) si (superficie horizontal) entonces las presiones en

dichas superficies son iguales , a también que la superficie libre de los líquidos,

si la curvatura terrestre no es importante, es horizontal.

c) Principio de PASCAL

Tenemos la ecuación:

Si por procedimientos aumentamos la presión en una cualquiera de los puntos en

una cantidad Δ po por ejemplo; entonces deberá producirse un aumento de

presión Δ p en el otro punto, luego:

Para que esta ecuación siga siendo valida se deberá cumplir que

Luego: “Todo aumento de presión producido en un punto, se transmite

íntegramente a toda la masa fluida ”. Este es el principio PASCAL y tiene

aplicaciones muy importantes tales como en las prensa hidráulicas, sistemas

hidráulicas de control, etc.

d) Influencia de la Comprensibilidad y de la aceleración de la gravedad

Integremos la ecuación que da la diferencia de presiones entre dos puntos de una

masa fluida comprensible en reposo:

………………………..(62)

En el caso general la integral solo puede calcularse si se conocen las leyes

La ley puede calcularse de acuerdo a la ley de Newton por la expresión:

go = aceleración de la gravedad a la altitud cero

R = radio de la Tierra

z = altitud del punto considerado

La variación depende del fluido. En el caso de líquidos se tendrá en cuenta

el coeficiente de comprensibilidad X (aplicaciones en Oceanografía) y ene el

caso de gases, por ejemplo en le calcuelo de la variación de la temperatura en las

diversas capas de la atmósfera aplicando las correspondientes leyes de cambio

de estado del aire atmosférico

Si retrata de una atmósfera constante, la ley de MARIOTTE permite obtener:

………………………….(63)

Si la temperatura es variable en la atmósfera entonces:

…………(64)

……………(65)

En el estudio de la atmósfera y considerado que realmente esta muy complicada

para conocerla entonces se define una atmósfera convencional correspondiente a

condiciones medios que permite la comparación de ensayos de aviación. Esta es

la atmósfera Standard cuyas condiciones a la altitud cero son:

de mercurio 0 101325 Pa, To= 288°k,

y el aire es asimilado a un gas perfecto.

En la atmósfera Standard se distinguen dos zonas:

Para 0 < z < 11000 metros (Troposfera) en donde se admite una disminución

de temperatura de 0.65 grados para cada 100 metros.

Para 11,000 < z < 25000 metros (Estratosfera ) se admite una temperatura

constante igual a la que se obtiene para 11000m. en la Troposfera, ósea T =

216.5 °k. la presión se calcuela según la ley isotérmica.

e) Fuerzas de presión sobre una pared plana

Consideremos una placa de Superficie S sumergida en un líquido cuyo peso

volumétrico vale .Esta placa esta inclinada un ángulo “” respecto a la

superficie libre horizontal y su centro de gravedad “G” se encuentra a una

distancia “h” del plano de carga (sup. libre). Con fines de aplicación práctica es

necesario conocer el valor de la fuerza “F”, resultante de las acciones del fluido

sobre la placa, así como su punto de aplicación. En general este punto de

aplicación se encuentra debajo de “G” y a una distancia “d” de dicho punto.

Sobre un elemento de área ds actuara una fuerza “dF” la que dad por:

La resultante buscada “F” será la suma de todas las fuerzas elementales df:

Pero por definición del centro de gravedad de la superficie “S”:

Luego, podemos escribir:

……………………..(66)

El producto h tiene el significado de una “parte media” sobre la placa puesto

que “h” es la cota del centro de gravedad de la misma.

Para calcular el punto de aplicación de “F” llamado también “centro de empuje”

hagamos pasar por “G” el eje Gx y consideremos que dF s encuentra a una

distancia “X” del origen G y “F” a una distancia “d” del mismo punto.

Tomemos momentos respecto al eje G y, perpendicular a Gx:

Se deberá cumplir que:

Pero por definición del centro de gravedad: además ó

momentos de inercia del área “S” respecto al eje Gy; luego:

……………………(67)

Esta ecuación puede analizarse para distintos valores del ángulo “”.

f) Fuerzas de presión una superficie albeada

El principio es el mismo, pues sobre cada elemento de superficie se ejerce una

fuerza elemental “dF” normal a este elemento. Se descompone esta fuerza

elemental en 3 componentes según las tres ejes coordenadas.

Se obtiene así los componentes de la resultante por integración de los

componentes elementales. En consecuencia se calcularán las componentes Fx,

Fy e Fz.

En resumen se obtiene:

a) “La componente Fx (ó Fy) sobre una pared S es idéntica (en resultante y

línea de aplicación) al empuje que se ejerce sobre la proyección Sx de esta

pared sobre un plano vertical yz, perpendicular a la dirección considerada”.

b) La componente vertical “Fz” sobre una pared S, en la dirección vertical es

igual al peso de la columna fluida limitada hacia abajo por la pared s y hacia

arriba por la superficie libre. Esta componente pasa por el centro de

gravedad de dicha columna fluida.

Este resultado puede usarse para demostrar el principio de Arquímedes, que

lo haremos a continuación.

g) Principio de Arquímedes

Lo demostraremos a partir del cálculo de las fuerzas hidrostáticas sobre una

superficie alabeada. Consideremos una esfera.

En la figura a) solo se han considerado 2 fuerzas al mismo nivel y cutas

componentes horizontales se anulan, no así las verticales que s sumas, actuando

hacia abajo en el hemisferio ABC (fig. b), esta resultante es Fv1.

Para l hemisferio inferior ADC sucederá que la resultante también será vertical

pero dirigida hacia arriba (fig. c) Fv2 y de mayor magnitud que Fv1.

La resultante general será vertical e igual a la suma algebraica de estas dos

fuerzas; ósea Fv = Fv2 – Fv1

Pero esta diferencia es igual al peso del volumen liquido desalojado por la

esfera; con lo que hemos demostrado al principio de Arquímedes.

Si consideramos que la esfera tiene un peso W, entonces puede ocurrir:

Si el equilibrio de la esfera es estable

Si la esfera tiende a ir hacia el fondo

Si la esfera tiende a ir hacia la superficie.

h) Equilibrio de cuerpos totalmente sumergidos

El equilibrio de estos cuerpos se estudia según la posición relativa del centro de

gravedad “G” del cuerpo y del centro de gravedad “M” del fluido desplazado.

- Si M esta encima de G el equilibrio es estable fig. a.

- Si M esta debajo de G el equilibrio es inestable fig. b.

- Si M y G coinciden el equilibrio es indiferente fig. c.

i) Equilibrio de cuerpos flotantes

Definiciones

- Cuerpo flotante : es un cuerpo sólido que permanece en

equilibrio mientras parcialmente sumergida en un líquido, tal es el caso de

un barco, una boya, etc.

- Plano de flotación : es el plano de la superficie libre del

liquido sobre el cual flota el cuerpo.

- Línea de flotación : Es la línea según la cual el plano de

flotación corta la superficie lateral del cuerpo flotante o flotador.

- Flotación : Es el área limitada, en el plano de flotación,

por la línea de flotación.

- Centro de flotación : Es el baricentro de la flotación.

- Eje de flotación : Es el eje vertical que pasa por el centro

de gravedad del barco y es normal al plano de flotación.

- Carena : Es la parte sumergida del flotador. A menudo la

palabra carena se usa para designar el volumen de la parte sumergida.

- Desplazamiento : Es el volumen de la carena multiplicado

por le peso volumétrico del liquido.

- Centro de carena o centro de empuje : Es el centro de

gravedad del volumen de liquido desplazado.

- Empuje : Es la resultante de las fuerzas de presión sobre el

flotador; es vertical hacia arriba, pasas por le centro de carena y tiene una

modulo igual al desplazamiento.

Determinación de la posición del Metacentro

Consideremos un cuerpo flotante de equilibrio e inclinémoslo un pequeño

ángulo curre que la formula de la carena ha variado no así su volumen, por

consiguiente el centro de empuje inicial C, cambio de posición, siendo C’ esta

ultima. En consecuencia por C’ pasara la línea de acción del empuje que tendrá a

restablecer el equilibrio, alrededor del eje longitudinal que pasa por 0. si

prolongamos la línea de acción del empuje que pasa por C’ hasta cortar al eje de

flotación inicial el equilibrio del campo.

Para ángulos pequeños se demuestra que la distancia se puede calcular

por la expresión:

……………………….(68)

= radio metacéntrico

I = momento inercial de la flotación con respecto al eje de inclinación

longitudinal que pasa por el punto O.

V = volumen de la carena.

La estabilidad del equilibrio se traduce por la condición:

………………..(69)

y esta estabilidad será mayor mientras las distancia metacéntrica sea

mayor, ósea que sea la mas pequeña posible y que el radio metacéntrico

sea el mas grande posible.

A la distancia se le denomina distancia metacéntrica.

j) Masa fluida sometida a una aceleración lineal

Sea un deposito contenido un liquido en reposo, posición (a);

Sometamos al deposito a una horizontal constante “a” según el eje escogido “x”,

posición (b). en este caso instantáneamente la superficie libre, en principio

horizontal, adopta una inclinación como la mostrada. Nos proponemos encontrar

la inclinación de esta superficie por efecto de la aceleración.

Las componentes d la fuerza activa por unidad de mas será:

; debido a que sobre la superficie libre actúa la misma

presión, la atmosférica en este caso.

ctexgaz ………………………(70)

las superficies de igual presión son perpendiculares al vector F .

k) Masa fluida a una rotación uniforme

Consideremos un vaso vertical de radio “R” que contiene un liquido en reposo

hasta una altura h fig. (a). Si hacemos girar la vaso alrededor de su eje oz con

una velocidad angula una velocidad angular , una partícula situada a una

distancia “x” de dicho eje estará sometida; por unidad de masa, a la acción de la

fuerza ; por consiguiente:

Entonces:

En la superficie libre se tendrá ; luego:

la traza de la superficie libre en el plano xoz tendrá por ecuación:

Ecuación podrá escribirse:

………………………… (71)

Para hallar la constante C escribamos que:

………………………………(72)

Reemplazando (72) n (71) tendremos:

…………………………(73)

Analizando esta ecuación tendremos:

a) Para

b) Para

Con esto se ve que el descenso del vértice e igual al ascenso sobre los

costados. En otras palabras la maldición de esta variación, permitirá

determinar la velocidad de rotación .

c) Para

La intersección del

plano de la superficie

con la nueva

superficie de es un

circunferencia de

diámetro que

como se ve es

independiente de la velocidad de rotación .

Estos resultados obtenidos solo son validos hasta el instante en el que el

vértice del paraboloide formado toca exactamente el punto “O”; si el fondo

del recipiente se descubre lo anterior no es valido.

La superficie libre y todas las superficies de igual presión son paraboloides

de revolución de eje oz.