Estatica 0-1 .Vectores. Sistemas Equivalentes. Ecuaciones Equilibrio_13_14
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Mecánica
1. Estática 2. Cinemática 3. Geometría de masas 4. Dinámica 5. Teoría de máquinas
CONTENIDOS EXÁMEN
26 de noviembre
Cada tema tiene: - lecciones de teoría - clases de problemas - 1 práctica (2h) - Problema(s) de meta o auto-evaluación
22 de enero
Calificación
(1) Exámen primera parte. Nota ≥ 4 para promediar (2) Exámen segunda parte. Nota ≥ 4 para promediar (3) Prácticas. Se requiere nota ≥ 5 para aprobar
Si se supera la asignatura, la nota final se calcula mediante la siguiente fórmula:
Promedio 5 para aprobar
( ) 2.0)3(8.02
)2()1(×+×
+= NotaNotaNotafinalNota
Recursos
BIBLIOGRAFÍA PRINCIPAL * Mecánica vectorial para ingenieros: estática, dinámica Beer, Johnston, Mazurek, Eisenberg
1. Apuntes de los profesores 2. Problemas propuestos 3. Problemas resueltos 4. Problemas de auto o meta-evaluación 5. Foro de dudas
TUTORÍAS: Los profesores están disponibles para atender dudas. Las citas se solicitan con antelación a su profesor.
BIBLIOGRAFÍA ADICIONAL * Ingeniería mecánica: estática, dinámica. Riley, Sturges. * Curso de mecánica. Bastero, Casellas, Bastero.
* Mecánica del punto y del sólido rígido. Agulló. * Mecánica clásica. Kibble. * Física. Alonso, Finn.
Tema 1: Estática
1.1. Magnitudes escalares y vectoriales 1.2. Repaso de álgebra vectorial
1.7. Rozamiento 1.8. Aplicaciones del rozamiento. Cuñas 1.9. Aplicaciones del rozamiento. Bandas
1.3. Fuerzas y Momentos equivalentes 1.4. Ecuaciones de equilibrio 1.5. Casos de cuerpos sujetos a 2 y 3 fuerzas
1.6. Peso. Cálculo del centro de masas
Magnitudes físicas en mecánica
Fuerza Velocidad Momento angular Posición Aceleración Momento lineal Momento de una fuerza, torque, par
masa Longitud tiempo Volumen trabajo presión Superficie Potencia Energía
Magnitudes escalares Magnitudes vectoriales
Quedan determinadas por: • un valor numérico y • las unidades en las que está expresado
Quedan determinadas por: • módulo (valor numérico y unidades) • dirección (línea de acción) • sentido
1. Estática 1.1. Magnitudes escalares y vectoriales
Magnitudes físicas en mecánica
A la hora de dar el Valor numérico con el que se especifican tanto magnitudes escalares como el módulo de magnitudes vectoriales hay que tener muy en cuenta la precisión de dicho valor, que depende de:
1) La precisión de la medida, si se trata de un dato 2) La precisión de los cálculos realizados a partir de los datos
La solución numérica de un problema no puede ser más precisa que el menos preciso de los puntos anteriores. Hoy en día con el uso de calculadoras, la precisión del resultado está generalmente limitada por la precisión de los datos
Los datos de un problema rara vez son conocidos con una precisión mayor que el 0.2%. Por eso la solución no puede tener más de esta precisión. Basándonos en esto, daremos las soluciones que empiecen por 1 con una precisión de 4 dígitos y con 3 dígitos en cualquier otro caso
Ejemplos: 40.2 N y 15.58 N ó 1556 m y 37.4 m
Error: 0.1/40.2 = 0.0025 (0.25%) y 0.01/15.58 = 0.0006 (0.06%)
1. Estática 1.1. Magnitudes escalares y vectoriales
Magnitudes físicas en mecánica 1. Estática
1.1. Magnitudes escalares y vectoriales
Unidades
Sistema internacional (SI)
Magnitudes vectoriales Diferentes formas de expresar vectores
34.6 N 20.0º
• módulo • dirección • sentido
Flecha
Componentes vectoriales
Coordenadas referidas a una base de vectores unitarios
Muchas veces, en el libro, las soluciones están expresadas de esta forma:
FxFz
FyQPF
+=zyx FFFF
++=
=
z
y
x
FFF
F
Componentes en direcciones arbitrarias Componentes ortogonales
222zyx FFFF ++=
1. Estática 1.1. Magnitudes escalares y vectoriales
Magnitudes vectoriales
•módulo •cosenos directores
zz
yy
xx
FFFFFF
θ
θθ
cos
coscos
=
==
Los cosenos directores son los cosenos de los ángulos formados por el vector con los ejes coordenados
ó • módulo • dos puntos en la dirección del vector (M,N)
• módulo • vector unitario ( ) λ
1. Estática 1.1. Magnitudes escalares y vectoriales
Operaciones básicas 1. Estática
1.2. Álgebra vectorial
SUMA
Propiedades: conmutativa asociativa
kpjpipP zyx
++=
kqjqiqQ zyx
++=
( ) ( ) ( )kqpjqpiqpQP zzyyxx
+++++=+
Por componentes:
( ) ( )SQPSQPSQP
++=++=++
PQQP
+=+
Gráficamente:
Operaciones básicas
Resta
( ) ( ) ( )kqpjqpiqpQP zzyyxx
−+−+−=−
Multiplicación por un escalar
PPP
2=+
kapjapiapPa zyx
++=
kpjpipP zyx
−−−=−
1. Estática 1.2. Álgebra vectorial
P
− : vector igual a pero con distinto sentido P
Por componentes:
En general:
Geométricamente: Por componentes:
Producto escalar
Ejemplo: El trabajo se define como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento
escalarvectorvector =·
Por componentes: Definición:
θcos· PQQP =
Este producto de dos vectores da como resultado un escalar
zzyyxx qpqpqpQP ++=
·
Caso particular: El producto escalar de dos vectores es cero si éstos son perpendiculares
Propiedades: conmutativo distributivo no asociativo
PQQP
·· = ( ) 2121 ··· QPQPQQP
+=+
1. Estática 1.2. Álgebra vectorial
( ) ( )SQPSQP
···· ≠
Producto vectorial
vectorvectorvector =×
Por componentes: Definición:
VQP
=×
Este producto de dos vectores da como resultado un vector
( ) ( ) ( )kqpqpjqpqpiqpqpQP xyyxzxxzyzzy
−+−+−=×
θPQsenV =• módulo
• dirección: perpendicular al plano formado por • sentido: regla de la mano derecha
zyx
zyx
qqqpppkji
VQP
==×
yxzyx
yxzyx
qqqqqpppppjikji
kqqpp
jqqpp
iqqpp
QPyx
yx
zx
zx
zy
zy +−=×
Adjuntos:
Determinante:
1. Estática 1.2. Álgebra vectorial
QyP
Producto vectorial Propiedades:
no conmutativo distributivo PQQP
×≠× ( ) 2121 QPQPQQP
×+×=+×, es más, PQQP
×−=×
no asociativo
( ) ( )SQPSQP
××≠××
1. Estática 1.2. Álgebra vectorial
Ejemplo: El momento de una fuerza respecto a un punto O se define como el producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza por la propia fuerza
Caso particular: El producto vectorial de dos vectores es cero si éstos son paralelos
O
1r
1F
kFdFrFrM O
=×=×= 2211
d
O
2r
2F
d
El momento de dos fuerzas en la misma línea de acción no depende del punto de aplicación
Producto vectorial 1. Estática
1.2. Álgebra vectorial
Ejemplos de aplicación 1) Calcular el momento de la fuerza de 100 N con respecto al punto O
b) Calcular el momento con respecto al punto A de la fuerza que realiza el alambre sobre la placa de la figura. La tensión en el alambre es 200 N
N cm
r
kmNkji
FrM O ·1201000021.012.0 −=
−=×=
jmimjmsenimr 21.012.0º6024.0º60cos24.0 +=+=
La distancia perpendicular desde O a la línea de acción de la fuerza es d, la magnitud del momento será F·d. Aplicando la regla de la mano derecha, la dirección del momento es el eje z en sentido negativo. Si hacemos el cálculo con las componentes de los vectores:
r
( ) ( )kir m 08.0m 3.0 +=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )kji
kjiCDCDFF
N 128N 69N 120m 5.0
m 32.0m 0.24m 3.0N 200N 200
−+−=
=−+−
=== λ
( ) ( ) ( )kjikji
FrM A
mN 8.82mN 8.82mN 68.7
1289612008.003.0 ⋅+⋅+⋅−=
−−=×=
Sólido rígido 1. Estática
1.3. Fuerzas y momentos equivalentes
La mecánica es la ciencia que describe y predice las condiciones de reposo o movimento de cuerpos bajo la acción de fuerzas
• Varias disciplinas: - Mecánica del sólido rígido - Mecánica de sólidos deformables - Mecánica de fluidos
Se basa en 1) Leyes de Newton
A) LEY del PARALELOGRAMO. Si dos fuerzas actúan sobre una partícula, su efecto es el mismo que el que tendría otra fuerza (resultante) obtenida mediante la regla de adición vectorial de las fuerzas originales.
B) PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD. Las condiciones de equilibrio o movimiento de un sólido rígido permanecerán inalteradas si una fuerza que actúa sobre un punto del sólido se sustituye por otra del mismo módulo, línea de acción y sentido pero que actúe en un punto diferente.
2) Ley de gravitación universal
Ppio de transmisibilidad 1. Estática
1.3. Fuerzas y momentos equivalentes
¿Qué significa? Que las fuerzas F y F’ son equivalentes, es decir, las condiciones de equilibrio o movimiento no se alteran por ‘transmitir’ una fuerza a lo largo de su línea de acción. O sea, Las fuerzas son vectores ‘deslizantes’
Ppio de transmisibilidad 1. Estática
1.3. Fuerzas y momentos equivalentes
¿Qué significa? Que las fuerzas F y F’ son equivalentes, es decir, las condiciones de equilibrio o movimiento no se alteran por ‘transmitir’ una fuerza a lo largo de su línea de acción. O sea, Las fuerzas son vectores ‘deslizantes’
Usaremos este principio para reemplazar un sistema de fuerzas por otro más simple
Momento (torque) y par 1. Estática
1.3. Fuerzas y momentos equivalentes
FrM O
×=
Momento de una fuerza con respecto a un punto
Par de fuerzas: Dos fuerzas de la misma magnitud, distinto sentido y líneas de acción paralelas
( ) ( )FdrFM
FrFrrFrFrM BABA
==×=×−=−×+×=
θsin
El momento de un par de fuerzas es independiente del punto con respecto al que se calcule. O sea, Es un vector ‘libre’, no depende del punto de aplicación
El vector fuerza se define por su magnitud y dirección, además, su efecto sobre el sólido rígido depende de su punto de aplicación.
Sist. equivalentes Fuerza-par 1. Estática
1.3. Fuerzas y momentos equivalentes
Descomposición de una fuerza, en una fuerza aplicada en O y un par
FM O
⊥
FrM O
×=
Cualquier fuerza F que actúe sobre un cuerpo rígido puede ser trasladada a un punto arbitrario O siempre y cuando se agregue un par cuyo momento sea igual al momento de F con respecto a O
A la inversa, un sistema fuerza-par en el que se puede reemplazar por una sola fuerza equivalente
Ejemplo Encontrar la fuerza aplicada sobre la palanca equivalente a la fuerza-par dados
( ) kNBCFBCkmN
)400(º60cos)(·24 −=×=− mBC 06.0º60cos)( = mmBC 120=
mmmmmmBCOBOC 420120300 =+=+=
=
1. Estática 1.3. Fuerzas y momentos equivalentes
Reducción de un sistema de fuerzas a un sistema de fuerza-par
Sistemas equivalentes de fuerzas: son los que se pueden reducir al mismo sistema fuerza-par
Un sistema de fuerzas se puede reemplazar por un conjunto de fuerzas y pares aplicados en un cierto punto O
( )∑∑ ×== FrMFR RO
Las fuerzas y pares se pueden sumar vectorialmente para dar una fuerza y par resultante:
RsMM RO
RO
×+='
El sistema fuerza-par resultantes en O se puede mover a otro punto O’ si sumamos al par resultante el momento de R con respecto a O’:
Sist. equivalentes Fuerza-par
Condiciones de equilibrio 1. Estática
1.4 Condiciones de equilibrio
Condiciones de equilibrio:
∑ = 0extF ( )∑ ∑ =×= 0, extextO FrM
∑∑∑
=
=
=
0
0
0
,
,
,
extz
exty
extx
F
F
F
∑∑∑
=
=
=
0
0
0
,
,
,
extz
exty
extx
M
M
M
La estática es la parte de la mecánica que estudia el equilibrio: no hay movimiento, ni traslación ni rotación
• Aplicaciones: - Construcción (cálculo de estructuras) - Diseño mecánico (resistencia de materiales, elasticidad,…)
• Primer paso en el análisis del equilibrio es la identificación de las fuerzas en el llamado diagrama de cuerpo libre
• Incluir las dimensiones necesarias para calcular los momentos de las fuerzas.
• Indicar todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema con su magnitud, dirección y punto de aplicación, incluyendo el peso. Sustituir todas las interacciones con el entorno por fuerzas en el diagrama
• Elegir y hacer un croquis del cuerpo o sistema de estudio. Aislarlo del exterior
Ejemplo Metodología
Diagrama de cuerpo libre 1. Estática
1.4 Condiciones de equilibrio
• Hay fuerzas como el peso y otras fuerzas conocidas aplicadas sobre el sistema cuya magnitud es fácil de indicar en el diagrama
• Otras son desconocidas, su magnitud, dirección y sentido dependen de la configuración del sistema. Generalmente son las reacciones que el suelo y/u otros cuerpos que “sujetan”, se oponen a un posible movimiento del sistema
Fuerzas de reacción: Se realizan en los puntos de apoyo o enlace a otros cuerpos. Se desconocen a priori, se obtienen de las ecuaciones de equilibrio
Diagrama de cuerpo libre 1. Estática
1.4 Condiciones de equilibrio
• Para obtener las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo “libre” por los apoyos y enlaces uno imagina qué pasaría con el cuerpo si esa reacción no estuviera
Reacciones en apoyos y enlaces 1. Estática
1.4 Condiciones de equilibrio
T T
HILOS O CUERDAS
Transmiten la tensión de tracción, no de compresión ni flexión
POLEAS Si no existe rozamiento, las
poleas sólo cambian la dirección de las fuerzas
T T
T T
Reacciones en apoyos y enlaces 1. Estática
1.4 Condiciones de equilibrio
Reacciones equivalentes a una fuerza con dirección conocida
2 Dimensiones 3 Dimensiones
Rodillos o patines Balancín Superficie sin
fricción
Cable corto Eslabón corto
Collarín sin fricción
Perno sin fricción en ranura
Apoyo esférico Superficie sin fricción Cable
Reacciones en apoyos y enlaces 1. Estática
1.4 Condiciones de equilibrio
¿Qué dirección tienen estos apoyos?
Reacciones equivalentes a una fuerza con dirección desconocida
2 Dimensiones
3 Dimensiones
Rodillos sobre superficie rugosa Rueda sobre riel
Articulación
Superficie rugosa
Superficie rugosa Rótula (bola y cuenca)
Reacciones en apoyos y enlaces 1. Estática
1.4 Condiciones de equilibrio
Reacciones equivalentes a una fuerza y un momento (par) con dirección desconocida.
2 Dimensiones
3 Dimensiones
Apoyo fijo, empotramiento
Apoyo fijo, empotramiento
Reacciones en apoyos y enlaces 1. Estática
1.4 Condiciones de equilibrio
T T
2T
∑ = 0yF
∑∑∑
=
=
=
0
0
0
z
y
x
M
M
M
∑∑∑
=
=
=
0
0
0
z
y
x
F
F
F
α
T
T
R
∑ = 0F
T T R
∑ = 0OM
Para pensar: ¿Cuál es la reacción del soporte en la polea de la derecha?
Reacciones en poleas 1. Estática
1.4 Condiciones de equilibrio
Condiciones de equilibrio 1. Estática
1.4 Condiciones de equilibrio
Ejemplo: Cuerpo sujeto a dos fuerzas
• Para que haya equilibrio las dos fuerzas han de tener la misma línea de acción (no vale con direcciones paralelas), igual magnitud, sentido opuesto
• Condiciones de equilibrio:
∑ = 0extF ( )∑ ∑ =×= 0, extextO FrM
Condiciones de equilibrio 1. Estática
1.4 Condiciones de equilibrio
Ejemplo: Cuerpo sujeto a tres fuerzas
• Para que haya equilibrio, las líneas de acción de las tres fuerzas deben intersectar en un punto
T
T
R
• Equilibrio mg
G
R1
R2
• No hay equilibrio porque las fuerzas no son concurrentes
Haría falta otra fuerza para conseguir el equilibrio. Por ejemplo una fuerza de rozamiento