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ESTALMAT-Andalucía Actividades 15/16 Sevilla 17/10/15. Cuadrados Mágicos (Sesión 4 de Primer Curso)______________________________________________________________________

Ana García y Manuel Martínez - 1 -

I CHING El libro de los cambios

El origen de cualquier cultura se basa en leyendas, dioses, seres mitológicos y héroes. La antigua cultura china no fue una excepción y la filosofía Feng Shui se asienta justamente en leyendas y adivinaciones a través de los elementos de la tierra. Originalmente era una forma de conocimiento que estudiaba los cambios que ocurren en la naturaleza.

Los símbolos del Feng Shui provienen del libro de los cambios - I Ching -, libro que tiene más de 3000 años. En él aparece la leyenda del Lo Shu:

Existía en la antigua china un emperador, Fu Xi, uno de los primeros monarcas de las primeras dinastías, nacido de una joven y del dios del Trueno. Este rey sabio enseñó a su pueblo a pescar con redes ( inspirado en las telas de las arañas), a cocinar con fuego, a domesticar animales. Su sabiduría provendría de su capacidad para observar la Naturaleza y los fenómenos terrestres y celestiales. Fu Xi estaba dispuesto a descifrar las leyes naturales, pues notaba que todo lo que sucedía seguían ciertos patrones comunes de existencia. Él fue el primero en ofrecer sacrificios y culto a los espíritus, y él fue el que, en una inundación del río Lo (río Amarillo) descubrió una serie de marcas que formaban un patrón numérico en el caparazón de una tortuga. En concreto sobre el caparazón se escribían los números del 1 al 9 en un cuadrado 3x3 y la suma en cualquiera de las direcciones

(horizontal, vertical, diagonal) era siempre la misma. A ese cuadrado se le llamó Lo Shu. Este cuadrado se convirtió en la base de la numerología china y de la astrología, además de la base del Feng Shui. Estos números y su colocación cobraron un significado simbólico de predicción de los cambios en la tierra y en el cielo, y por lo tanto una especie de oráculo . Desde entonces estos cuadrados se han utilizado como amuletos.

Representación de Fu Xi

ACTIVIDAD Nº1

Completa este cuadrado con los números del 1 al 9, de manera que la suma de los números de cada fila, de cada columna y de las dos diagonales sea la misma cantidad.

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CUADRADO MÁGICO DE ORDEN 3

Un cuadrado mágico de orden n es un cuadrado de nxn números donde la suma de los números de cada una de sus filas, columnas, y diagonales es la misma. Un cuadrado mágico de orden n es normal cuando los números que contiene son los números naturales del 1 en adelante.

ACTIVIDAD Nº 2 Explica por qué cada número ocupa la casilla que ocupa, ¿no podrían situarse en otras casillas?. ACTIVIDAD Nº 3 ¿Cuántos cuadrados mágicos normales de orden 3 puedes encontrar? ACTIVIDAD Nº 4 ¿Existe alguna relación entre el primero que encontraste y todos los demás?

Bagua



OTRA VERSIÓN DE LA LEYENDA

Un cierto día se produjo el desbordamiento de un río; la gente, temerosa, intentó hacer una ofrenda al dios del río Lo (uno de los desbordados) para calmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacían, aparecía una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla porque nadie acertaba a saber la cantidad de sacrificios que debían realizar, hasta que Fu Xi se dio cuenta de las peculiares marcas del caparazón de la tortuga, de este modo pudieron incluir en su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el dios satisfecho y volviendo las aguas a su cauce.

Lo que tenía eran los números naturales del 1 al 9, dispuestos en forma de cuadrado, de tal forma que la suma horizontal, vertical y diagonal de los grupos de tres cifras formados daba siempre la misma cantidad.

The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei).

Compilado por Bao Yunlong en el siglo XIII, edición de la Dinastía Ming, 1457-1463.

Biblioteca del Congreso de los EE.UU.

Este cuadrado mágico chino, el primero de cuantos se conocen tienen otra simbología: Por ejemplo, en las cuatro esquinas están los números pares ( Yin ), y los números impares (Yang) forman una cruz central. El número 5, que está en el centro, simboliza la Tierra, y los cinco elementos del universo oriental ( Agua, fuego, madera, metal y Tierra ).



La suma constante de las filas, columnas y diagonales se conoce con el nombre de constante mágica.

CUADRADOS MÁGICOS DE ORDEN 4 ACTIVIDAD Nº 5 ¿Existen cuadrados mágicos de orden 2 (2x2)? ACTIVIDAD Nº 6 ¿Cuánto será la constante mágica en un cuadrado mágico normal de orden 4? ACTIVIDAD Nº 7 ¿De cuántas maneras se podrían colocar los números del 1 al 16 en un cuadrado 4x4, aunque no fuera un cuadrado mágico?. ¿Crees que sería fácil obtener uno al azar?.

ACTIVIDAD Nº 8 Te vamos a presentar uno especialmente interesante, complétalo

16 13

6

1



El cuadrado mágico que acabamos de formar es especialmente importante porque es el más famoso dentro de la civilización occidental, ya que lo hizo famoso un pintor, Alberto Durero, al incluirlo en un grabado, llamado Melancolía .

Melancolía de Alberto Durero

Alberto Durero, pintor alemán nacido en Nuremberg, realizó en 1514 el grabado La Melancolía, que se puede ver en el Germanisches National Museum de Nuremberg o en la Bibliothèque nationale de France, Paris. En este grabado, Durero pintó en lugar destacado un cuadrado mágico de orden 4. Fue realizado en plancha de cobre. Su constante mágica es 34.

El cuadrado está formado por los números del 1 al 16, distribuidos en otras tantas casillas (cuatro por cada lado), la constante mágica es 34, que se obtiene como suma de los números de cualquier fila, columna, diagonal principal, y en cuatro de las submatrices de orden 2 en las que puede dividirse el cuadrado, sumando los números de las esquinas, los cuatro números centrales, los dos números centrales de las filas (o columnas) primera y última, etc. Alberto Durero, muy aficionado a los juegos numéricos, incluyó también la fecha de ejecución de la obra, que se puede leer combinando las dos casillas centrales de la última fila: 15-14. Además se piensa que aparece la fecha de la muerte de su esposa en la última fila: 4 de Enero de 1514 (4-1514-1).



Algunas disposiciones particulares en el cuadrado mágico de Durero que suman la constante mágica.

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

¿Por qué Durero representó ese cuadrado mágico en el grabado?

El grabado de Durero está cargado de simbología.

Observa bien el grabado ¿Cuántos objetos relacionados con la Geometría encuentras? Una esfera, un poliedro y un compás.

La melancolía era considerada en la antigüedad como uno de los cuatro humores que formaban parte del cuerpo humano (Cuatro líquidos que conformaban la personalidad y el estado de una persona). Este estado (seguro que alguna vez os habéis sentido así) sería similar a un estado depresivo, de tristeza, somnoliento, perezoso. Observa la actitud tanto de los dos personajes (ángeles), como el del perro famélico. Este estado también se asociaba en el Renacimiento al estado del artista en un momento de la creación. (De nuevo observar la cara del ángel grande)

En el Medievo y Renacimiento ciertos astros estaban asociados a los cuadrados mágicos de distinto orden:

Saturno era el culpable del estado del melancólico, muestras de la presencia de Saturno son los objetos asociados a este planeta: El reloj de arena y la balanza, atributos de Saturno. La esfera y el poliedro, dos elementos geométricos, ciencia dedicada a la medida de la tierra. Saturno era desde la antigüedad el dios asociado a la agricultura.

Pero para contrarestar el efecto de Saturno tenemos a Júpiter, materializado en el cuadrado mágico de orden 4, el talismán. En efecto, en el Renacimiento se consideraban estos objetos aritméticos como amuletos, algunos fueron utilizados como repelentes de la peste. Por otro lado observar la “coincidencia”, la constante mágica es 34, 3+4=7, siete peldaños tiene la escalera que te eleva a otro estado, 7 son los planetas, 7 son los días de la semana. El siete siempre ha tenido múltiples connotaciones mágicas y exotéricas.

Por último el compás, asociado a la Geometría, asociado por tanto a la inteligencia, como un instrumento para la creación del artista, como un amuleto para llamar a la creatividad.

Saturno Orden 3 Jupiter Orden 4 Marte Orden 5 Sol Orden 6 Venus Orden 7 Mercurio Orden 8 Luna Orden 9



Templo hindú de Parashvanatha

Un cuadrado también de orden 4 se encontró en las paredes del templo de Parashvanatha, en la India. Este cuadrado data del año 1100.

La sagrada Familia de Barcelona

Otro cuadrado mágico, también de orden 4, se encuentra en la fachada de la Pasión, del Templo Expiatorio de la Sagrada Familia de Barcelona, templo ideado y comenzado a construir por Antonio Gaudí. Está junto al grupo escultórico del Beso de Judas, y se debe a Joseph María Subirachs, escultor que en 1987 recibió el encargo de proseguir el recubrimiento escultórico de esta Fachada.

Obsérvalo, ¿encuentras algo extraño?.

Como se puede ver el cuadrado mágico, también 4 x 4, es

La constante mágica en este caso es 33 que coincide con la edad que tenía

Jesucristo cuando lo

crucificaron. Estructuralmente, es muy similar al cuadrado mágico de Melancolía, pero dos de los números del cuadrado (el 12 y el 16) están disminuidos en dos unidades (10 y 14) con lo que aparecen repeticiones. Esto permite rebajar la constante mágica en 1. Esta es la única pega de este cuadrado mágico, lo que quizás le quite algún mérito pero seguramente era necesario para darle el sentido espiritual pretendido. Este cuadrado mágico no es normal.

También se ha atribuido la elección de este número como una velada alusión a la supuesta adscripción masónica, que nunca ha sido demostrada, de Gaudí, ya que 33 son los grados tradicionales de la masonería.



CUADRADOS MÁGICOS NORMALES DE ORDEN N ACTIVIDAD Nº9 La constante mágica, o el valor de la suma de cada una de las filas, columnas y diagonales de un cuadrado mágico, hemos visto que se puede obtener a partir del total de números que tenemos que utilizar. Calcula la constante para un cuadrado de orden n , que tiene n2 números: ACTIVIDAD Nº10 Utilizando los cubos encajables, ¿podrías crear una estructura con la que se pudiera visualizar el cálculo?, es decir dar una demostración visual.



ACTIVIDAD Nº11 Construye un cuadrado mágico con los números 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 y 17. ¿Qué número ocupa la casilla central?. ¿Encuentras alguna similitud con el cuadrado mágico de orden 3 normal? ACTIVIDAD Nº12 Existe un cuadrado mágico formado por nueve números impares consecutivos entre los que aparecen siete números primos. ¿Cuáles son estos números? Escribe un cuadrado mágico formado por ellos. ACTIVIDAD Nº13 Construye un cuadrado mágico con 9 múltiplos de 5 consecutivos ACTIVIDAD Nº14 ¿Se podrán construir cuadrados mágicos con otros tipos de números además de con los naturales? ¿e incluyendo al cero? Construye los siguientes cuadrados mágicos:

1. Con los números naturales del 0 al 8

2. Con los números de la siguiente serie: 1,4,7,…….

3. Con los números enteros de valor absoluto menor o igual que 4

4. Con los números de la serie: 0.5 , 0.8, 1.1,……



ACTIVIDAD Nº15

Observa que en los casos anteriores (desde la actividad 11) las diferencias entre los números consecutivos de las series es siempre la misma. Si a esa diferencia le llamamos d y al primer número de la serie le llamamos a :

• Expresa todos los números que entrarían en el cuadrado mágico 3x3 • Con esos números forma el cuadrado mágico



CREANDO CUADRADOS MÁGICOS DE ORDEN 3 NO NORMALES

ACTIVIDAD Nº16

¿Qué relación hay, en cualquier cuadrado mágico de orden 3, entre la constante mágica y el número que se encuentra en la posición central?. Demuestra este resultado

ACTIVIDAD Nº17

Terminar el siguiente cuadrado para que sea mágico:

ACTIVIDAD Nº18

Dados 3 números al azar no repetidos, ¿se puede construir siempre un cuadrado mágico de orden 3, con números naturales, entre los que estén contenidos los 3 y sin repetir números?. ¿Dónde se deben colocar los números?. ¿Deben de cumplir alguna condición los 3 números para que se cumpla?

67 43

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PROPIEDADES DE LOS CUADRADOS MÁGICOS

ACTIVIDAD Nº19

Investigar qué ocurre si en un cuadrado mágico (supongamos de orden 3) sumamos o restamos a todas las casillas la misma cantidad.

ACTIVIDAD Nº20

Investigar qué ocurre si en un cuadrado mágico (supongamos de orden 3) multiplicamos o dividimos a todas las casillas la misma cantidad.

ACTIVIDAD Nº21

Investigar qué ocurre si en un cuadrado mágico (supongamos de orden 3) sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos a las casillas homólogas de otro cuadrado mágico.



CONSTRUCCIÓN DE CUADRADOS MÁGICOS DE ORDEN IMPAR.

Hay diversos procedimientos que permiten construir cuadrados mágicos de orden impar. A continuación vamos a ver uno de ellos.

Si se desea construir un cuadrado mágico de orden m, éste contendrá los números enteros 1, 2, 3, …, m2 . Detallamos a continuación el proceso:

Paso 0: Se construye un rombo de lado m (impar) que contenga en su interior un cuadrado de orden m.

Paso 1: Se escriben los números del 1 al m2 de la siguiente forma: se escribe el 1 en la esquina superior de rombo, y a continuación todos los demás números en diagonal. Cuando se complete la primera diagonal, se continúa con la siguiente diagonal, que se encuentra debajo de la anterior. Se repite este procedimiento hasta rellenar todas las diagonales con los números 1, 2, 3, …, m2 de forma consecutiva. El cuadrado mágico se encontrará inscrito en el rombo que se ha construido inicialmente.

Paso 2: Se trasladan los números de las cuatro esquinas del rombo a las casillas vacías que hay en el lado opuesto del cuadrado mágico que se está construyendo.

Paso 3: Se eliminan las esquinas del rombo y se obtiene un cuadrado mágico de orden impar de orden m.

Veamos un ejemplo de cómo construir un cuadrado mágico de orden 7.



Y en efecto, se comprueba que es un cuadrado mágico de orden 7, ya que las sumas en horizontal y en vertical, y las diagonales principal y secundaria suman lo mismo.

Observamos en el paso anterior que la constante mágica es 175 y que el valor central que es 25, está situado en el centro del cuadrado mágico de orden 7.

ACTIVIDAD Nº 22

1. Construye un cuadrado mágico de orden 5 utilizando el procedimiento descrito anteriormente.

2. Construye otros cuadrados mágicos de otros órdenes impares (5, 9, …, etc.). 3. Investiga si existe algún procedimiento que permita construir cuadrados

mágicos de orden par.

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