Estadística Inferencial. Sesión 4. Estimación por intervalos

Contextualización.

Como se definió en la sesión anterior la

estimación por intervalos es utilizada

para medir la confiabilidad de un

estadístico. Existen diferentes métodos

tal es el caso de los intervalos de

confianza para medias o para

proporciones poblacionales.

En esta sesión aprenderemos a medir

esta confiabilidad a través de la

diferencia entre dos medias

poblacionales independientes, la

diferencia entre dos proporciones

poblacionales y la varianza poblacional.

Fuente: http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/img/image1075.gif

Introducción.

Un problema industrial que surge con frecuencia es el de comparar dos

métodos de producción y determinar cuál es mejor y por cuánto.

Como se menciona en el enunciado anterior en muchas ocasiones lo que

necesitamos es comparar la eficiencia de dos métodos, esto lo podemos

hacer a través de conocer sus medias poblacionales. Podemos comparar

que tan iguales son, si existen entre ellas alguna diferencia y que tan

significativa es.

Para situaciones de este tipo podemos estimar la diferencia entre las

medias poblaciones considerando las muestras que se tienen de cada una

de las poblaciones.

Explicación.

Intervalos de confianza para diferencias de medias y proporciones.

Los límites de confianza para la diferencia entre dos medias poblacionales, en

el caso de poblaciones infinitas y tienen desviación estándar conocidas σ1, σ2

están dados por:

𝑥 1 − 𝑥 2 ± 𝑧𝑐𝜎1

2

𝑛1+

𝜎22

𝑛2

; Donde 𝑥 1, 𝑛1 y 𝑥 2, 𝑛2 son las medias y el tamaño respectivos de las

dos muestras tomadas de la población.

Explicación.

De manera similar, los límites de confianza de la diferencia entre dos

proporciones de poblaciones, donde estas son infinitas, están dados por:

𝑃 1 − 𝑃 2 ± 𝑧𝑐𝑃1(1−𝑃1)

𝑛1+

𝑃2(1−𝑃2)

𝑛2

; Donde P1 y P2 son las proporciones muestrales y n1 y n2 son los

tamaños de las dos muestras tomadas de las poblaciones.

Explicación.

Valores de zα/2 para los niveles de confianza más usados:

Nivel de

confianza

α α/2 zα/2

90% .10 .05 1.645

95% .05 .025 1.960

99% .01 .005 2.576

Explicación.

Ejemplos:

Problema 1. Una muestra de 150 focos de marca A mostró una vida media

de 1400 horas y una desviación estándar de 120 horas. Una muestra de

200 focos de marca B mostró una vida media de 1200 horas y una

desviación estándar de 80 horas. Determinar los límites de confianza para

a) 95% y b) 99% de las vidas medias de las poblaciones de marcas A y B.

Los límites de confianza de la diferencia de dos medias de las marcas A y B

están dados por:

𝑥 1 − 𝑥 2 ± 𝑧𝑐

𝜎12

𝑛1+

𝜎22

𝑛2

Explicación.

a) Sustituyendo los valores en la formula, tenemos que:

1400 − 1200 ± 1.96(120)2

150+

(80)2

100= 200 ± 24.8

Por lo tanto, se tiene un límite de confianza de 95% de que la diferencia de las

medias poblacionales está entre 175 y 225 horas.

b) Los límites de confianza para el 99% son:

1400 − 1200 ± 2.58(120)2

150+

(80)2

100= 200 ± 32.6

Por tanto, se tiene una confianza de 99% de que la diferencia de las medias

poblacionales está entre 167 y 233 horas.

Explicación.

Problema 2. En una muestra aleatoria de 400 adultos y 600 adolescentes que vieron

cierto programa de televisión, 100 adultos y 300 adolescentes indicaron que les gustó.

Determinar los límites de confianza para a) 95% y b) 99% de la diferencia de

proporciones de todos los adultos y todos los adolescentes que vieron el programa y

les gustó.

Los límites de confianza para la diferencia de proporciones de los dos grupos están

dados por:

𝑃 1 − 𝑃 2 ± 𝑧𝑐

𝑃1(1 − 𝑃1)

𝑛1+

𝑃2(1 − 𝑃2)

𝑛2

Donde los subíndices 1 y 2 se refieren a los adolescentes y adultos, respectivamente,

por lo tanto tenemos que P1= 300/600= 0.5 y P2 = 100/400 = 0.25, éstas son las

proporciones de adolescentes y adultos que si les gusto el programa.

Explicación.

a) Los límites de confianza de 95%:

0.5 − 0.25 ± 1.960.5 (1 − 0.5)

600+

0.25 (1 − 0.25)

400= 0.25 ± 0.06

Por tanto, se tiene una confianza de 95% de que la diferencia verdadera en

proporciones se encuentra entre 0.19 y 031

b) Los límites de confianza para 99%:

0.5 − 0.25 ± 2.580.5 (1 − 0.5)

600+

0.25 (1 − 0.25)

400= 0.25 ± 0.08

Por tanto, se tiene una confianza de 99% de que la diferencia

verdadera en proporciones se encuentra entre 0.17 y 0.33.

Explicación.

Intervalos de confianza para la varianza poblacional de una

distribución normal.

Fórmula para calcular los límites de confianza de 95% utilizando la

distribución ji cuadrada:

𝑆 𝑛−1

𝑥0.975≤ 𝜎 ≤

𝑆 𝑛−1

𝑥0.025

Conclusión.

En esta sesión aprendimos a estimar los límites

de confianza para diferencias de dos medias y

dos proporciones poblacionales independientes,

así como también para la varianza poblacional.

Se demostró que esta estimación permite inferir

si hay o no diferencia significativa entre los

valores de las poblaciones en cuestión.

En la siguiente sesión iniciaremos nuestro

aprendizaje con las Pruebas de hipótesis, su

definición y sus componentes así como también

conoceremos los dos tipos de errores que se

pueden tener en este método de estimación.

Fuente: http://2.bp.blogspot.com/-

ptynw2VvMwE/T20hHTSwDpI/AAAAAAAABG0/a4eUgkL11I8/s320/que-es-una-

hipotesis.JPG

Bibliografía.

Spiegel, M., Schiller, J., Alu Srinivasan, R. (2010). Probabilidad y

Estadística.(3era.ed.). México: Editorial McGraw-Hill. ISBN-13: 978-

607-15-0270-4