Estadística I · 2020. 3. 8. · base para el estudio de los temas dela próxima Unidad, donde...

Ciclo Básico a DistanciaFACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

Estadística ITomo II (cap. 4, 5 y 6)

AUTORIDADES Mgter. JHON BORETTO Decano Dra. MARÍA LUISA RECALDE

Vicedecana Cr. FACUNDO QUIROGA MARTÍNEZ Secretario Técnico Cr. DIEGO CRIADO DEL RÍO

Secretario de Administración Mgter. GERARDO HECKMANN Secretaria de Asuntos Académicos Lic. JUAN SAFFE Secretario de Extensión Cr. MATÍAS LINGUA

Secretario de Asuntos Estudiantiles Dr. ANDRÉS MATTA Secretaria de Ciencia, Técnica y Relaciones Internacionales Mgter. CLAUDIA CARIGNANO Prosecretaria de Evaluación Institucional y Acreditación de Carreras Cr. HUGO PRIOTTO Director de la Carrera Contador Público Mgter. MARCELO CAPELLO Director de la Carrera de Licenciatura en Economía Lic. TOMÁS GASTÓN Director de la Carrera de Licenciatura en Administración

CICLO BÁSICO A DISTANCIA ÁREAS QUE PARTICIPAN

Coordinación Académica Secretaría de Asuntos Académicos Mgter. Gerardo Heckmann Coordinación Organizativa de Divisiones a Distancia Lic. David Taborda

Área de Formación Docente y Producción Educativa Coordinador General Oscar Margaría Asesora pedagógica Dra. Adela Coria Equipo de producción en tecnología educativa y comunicación Mgter. Gabriela Sabulsky Lic. Cecilia Botino Lic. Víctor R. Cacciagiú Lic. Laura Delmonte Lic. Vanesa Guajardo Esp. Verónica Pacheco Lic. María Florencia Scidá Administración Lic. Nora Ceballos

Proyecto “Elaboración de material didáctico en formato digi-tal para Estadística I” en el marco del Programa de Apoyo y Mejoramiento a la enseñanza de grado de la UNC aprobado por Res. HCS Nº583-2015.

Coordinadora del Proyecto: Margarita Díaz

AUTORES Norma Patricia Caro Rosana Beatriz Casini Margarita Díaz Fernando García Mariana González Martín Saino María Inés Stímolo Los autores agradecen especialmente a los Profesores Asistentes por la colaboración prestada en la resolución y revisión de las actividades. María Inés Ahumada Lorena Anaya Verónica Arias Mariana Guardiola Roberto Infante Adrian Moneta Pizarro Olga Padro Andrea Righetti Julio Rosales

Proyecto “Fortalecimiento del Ciclo Básico a Distancia” en el marco del Programa de Apoyo y Mejoramiento a la enseñanza de grado de la UNC aprobado por Res. HCS Nº 604-2014.

Coordinadora del Proyecto: Dra. Adela Coria Maquetación de materiales Lic. Víctor R. Cacciagiú y Lic. Ismael Rodríguez Diseño gráfico y audiovisual Lic. Laura Delmonte Asesoramiento y diseño pedagógico - didáctico Esp. Verónica Pacheco y Lic. Vanesa Partepilo Asesoramiento y diseño comunicacional Lic. Cecilia Botino y Lic. María Florencia Scidá

Capítulo 4Variable aleatoria

ÍNDICE

Capítulo 4: Variable aleatoria

1. Introducción 173 2. Variable aleatoria: concepto 173 3. Variable aleatoria discreta 175 4. Variable aleatoria continua 181 5. Esperanza y varianza de una variable aleatoria 190 6. Desigualdad de Tchebycheff 204 7. Resumen de Unidad 210 8. Referencias Bibliográficas 211 Soluciones y respuestas al Capítulo 4 212


173


1. Introducción Tanto en la vida cotidiana como en el campo científico estamos habi-

tuados a observar fenómenos aleatorios cuyos resultados se expresan me-diante números; por ejemplo el monto de las importaciones de las empresas locales, el número de personas en la cola de un banco, la velocidad de cone-xión a la red, etc. Incluso en problemas de naturaleza puramente cualitativa es muy frecuente recurrir a la codificación numérica. En situaciones tales como el diagnóstico de un paciente “sano” o “enfermo”, preguntas del tipo ¿estudias o trabajas?, etc., las respuestas son usualmente codificadas con 0 y 1. En ge-neral, cada resultado de un experimento se puede asociar con un número si se especifica una regla de asociación. Esta regla de asociación se llama variable aleatoria.

Así, al asociar números a los elementos del espacio muestral se define

la variable aleatoria, pudiendo distinguirse entre variables aleatorias discre-tas y continuas.

En esta Unidad definiremos la función de probabilidad y de distribución

de una variable aleatoria, y las propiedades que deben cumplir. Detallaremos las medidas estadísticas más importantes que se emplean en la descripción de los modelos de probabilidad y las propiedades que verifican cada una de ellas, vinculando muchos conceptos con los desarrollados en la Unidad 3. Para es-tudiar las propiedades básicas de las variables aleatorias discretas, se aplica-rán herramientas discretas como suma y resta, mientras que en el estudio de las variables aleatorias continuas se requerirá de integrales y derivadas.

Estos conceptos serán desarrollados en forma general y servirán como

base para el estudio de los temas de la próxima Unidad, donde abordaremos más detalladamente algunas distribuciones de probabilidad de variables que responden a determinados experimentos aleatorios.

Finalmente, presentaremos la Desigualdad de Tchebycheff que nos

permite encontrar cotas de probabilidad para una variable, cuando se desco-noce la función de probabilidad de la misma.

2. Variable aleatoria: concepto En la Unidad anterior, a partir de fenómenos aleatorios hemos definido

un espacio de probabilidad E = {W, F, P}, el cual está formado por el conjunto W de resultados posibles a los que denominamos eventos, F el álgebra de con-juntos y/o familia de eventos y una probabilidad asociada a cada resultado del conjunto W y por consiguiente del conjunto F. El conjunto W puede ser finito, infinito numerable o infinito no numerable y sus elementos, a los que denomi-namos eventos simples, pueden ser números o no.

174

Consideremos para introducirnos en el tema el siguiente ejemplo: se extraen tres artículos producidos por una máquina para observar su calidad. El espacio muestral es:

Ω ={BBB, BBD,BDB,DBB,BDD,DBD,DDB,DDD}

Donde B= el artículo no es defectuoso y D= el artículo es defectuoso.

Si se está interesado en conocer el número de artículos defectuosos en este experimento, necesitamos definir una variable X = cantidad de artículos con defectos, que puede asumir los valores 0, 1, 2 y 3, como podemos observar en la siguiente imagen.

Sabiendo que en un lote de 15 artículos se encontraron 3 defectuosos y

que el muestreo se realiza con reemplazo, podemos calcular las probabilida-des asociadas a cada valor de X.

Así, la probabilidad de seleccionar un artículo defectuoso será:

• P(D) = 3/15 = 0,20 de lo que se deduce que P(B) = 0,80 La probabilidad para cada valor de X puede obtenerse como:

• P(BBB)=P(X=0)= 0,80.0,80.0,80 = 0,512 • P(BBD) U P(BDB) U P(DBB) = P(X=1) =(0,80.0,80.0,20) +

(0,80.0,20.0,80) + (0,20.0,80.0,80) = 0,384 • P(BDD) U P(DDB) U P(DBD) = P(X=2) =(0,80.0,20.0,20) +

(0,20.0,20.0,80) + (0,20.0,80.0,20) = 0,096 • P(DDD) = P(X=3) = 0,20.0,20.0,20 = 0,008

Hemos definido entonces, a partir de los elementos del espacio mues-

tral Ω, un nuevo conjunto X con probabilidad igual a 1 y cada elemento de X tiene una probabilidad mayor o igual a cero.

Dada la variable X y las probabilidades de sus elementos, se puede defi-

nir su función de probabilidad en la siguiente tabla.

Tabla 1 - Función de probabilidad

x p (x) 0 0,512 1 0,384 2 0,096 3 0,008

Total 1,000


175

En la Tabla 1, cada valor particular de la variable X tiene un valor de pro-babilidad asociado y la suma de estas probabilidades, para todos los valores que puede asumir la variable, es igual a 1. Por lo tanto, X es una variable alea-toria.

Entonces, una variable aleatoria es una función que asigna a cada ele-mento de un espacio muestral un número real. Las probabilidades del espacio muestral son transferidas a los números reales definidos. Una variable aleatoria X es una función real definida sobre el espacio muestral

X: Ω → R

Tal que [X < x] es un evento aleatorio para todo x que pertenece a los reales.

Acumulando los valores de probabilidad, se obtiene la función de pro-babilidad acumulada o función de distribución, donde cada valor representa la probabilidad que una variable aleatoria asuma valores iguales o menores a un valor determinado.

Para nuestro ejemplo, la función de distribución a la que simbolizare-

mos F(X), se muestra en la Tabla 2.

Tabla 2 - Función de distribución

Leyendo la tabla, podríamos calcular por ejemplo, la probabilidad de

encontrar dos artículos defectuosos o menos que sería P(X < 2) = F(2) = 0,992.

La función de distribución F(X) de una variable aleatoria X, se define como una función que asigna a cada valor del conjunto de los números reales un número real entre cero y uno inclusive. F(X) es igual a la probabilidad de que X asuma un valor menor o igual a un valor particular x.

F(X) = P(X ≤ x), xÎ R En el ejemplo desarrollado, la variable aleatoria es discreta ya que el

espacio muestral a partir del cual se define es finito, lo mismo ocurriría si fue-se infinito numerable. Analizaremos ahora en detalle este tipo de variables.

3. Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria es discreta cuando el número de valores que puede asumir es contable (ya sea finito o infinito).

La función de probabilidad en este caso es denominada función de

cuantía e indica una probabilidad para cada valor posible de la variable aleato-ria.

x F (x) 0 0,512 1 0,896 2 0,992 3 1

p( ) P(X )x x

176

De esta manera, si xi es un valor posible de X, entonces p(xi) >0. Si no lo es, p(xi) = 0.

Como vimos en el ejemplo, la variable aleatoria “número de artículos

defectuosos” tiene cuatro valores posibles y la suma de las probabilidades es igual a 1. Generalizando, si la variable asume k valores distintos, se cumple que la suma de las probabilidades es igual a 1:

11( )

k

ii

p x=

=∑

Por lo tanto, las propiedades de la función de cuantía son: 1. p(x) ³ 0

2. 1

1( )k

ii

p x=

=∑

Función de Distribución A partir de la función de cuantía es posible encontrar la función de acu-

mulación o función de distribución:

= ≤( ) ( )F a P X a

≤

= ∑( ) ( )i

ix a

F a p x

Si se desea calcular la probabilidad del evento a < x < b:

≤ ≤

≤ ≤ = − = ∑( ) ( ) ( ) ( )i

ia x b

P a X b F b F a p x

Con lo desarrollado hasta ahora podemos determinar las condiciones

que debe cumplir la función de acumulación. Propiedades de la función de acumulación: 1. F(x) ³ 0 2. El valor de la función de acumulación para el mayor valor de la varia-ble es uno.

F(x ) =1k 3. El valor de la función de acumulación para el menor valor de la varia-ble es cero.

1 0( )F x = 4. La función de acumulación es creciente, a un valor mayor de la varia-ble mayor es la probabilidad acumulada.

F(x+h) ³ F(x) 0 y entero.h∀ > Podemos graficar en general estas funciones, utilizando los gráficos

estudiados en la Unidad 2. Para la función de cuantía utilizaremos un gráfico de bastones, y para la función de distribución el diagrama escalonado en el que la función de acumulación se incrementa por saltos o escalones para cada una de los valores posibles de X.


177

Estas funciones son siempre escalonadas, puesto que la función de dis-tribución solamente se incrementa en un conjunto enumerable de puntos.

A continuación le presentamos ejemplos de aplicación, que le ayudarán

a comprender los conceptos presentados.

Ejemplo 1: Suponga que en una librería, durante la primera semana de un mes, se observa si la siguiente persona que compra una compu-tadora adquiere una notebook o un modelo de escritorio.

Sea

10

=

si el cliente compra una notebook si el cliente compra una computadora de escritorio

Y

Si 20% de los compradores durante esa semana eligen una notebook,

¿cuál sería la función de probabilidad para Y? La función de probabilidad sería:

En forma equivalente:

= ≠ ≠

0,80 si x=0( ) 0,20 si x= 1

0 si x 0 o x 1 p x

Ejemplo 2: En una empresa, el número de días laborables del mes en los que no se produce ninguna inasistencia por enfermedad, es una variable aleatoria con la siguiente función de probabilidad:

0 04 0 1 2 3 4 5

0+ =

= ∀

, con , , , , ( )

otro valor de x K x x y

p x

El valor de K es desconocido pero sabemos, que para que ( )p x sea fun-ción de probabilidad debe verificarse que sea mayor o igual a cero y que

11( )

k

ii

p x=

=∑ . Teniendo en cuenta esto se puede plantear que:

0 1 2 3 4 5 1

0 04 0 08 0 12 0 16 0 20 16 0 60 1

1 0 606

0 06667

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

,,

,

p p p p p pK K K K K K

K

K

K

+ + + + + =+ + + + + + + + + + =

+ =−

=

=

Reemplazando el valor de K obtenido, veamos ahora la función de cuantía y la función de distribución de la variable y sus gráficas.

Y p (Y) 0 0,80 1 0,20

Total 1,00

178

A partir de la tabla anterior podemos calcular las siguientes probabili-dades:

• Que entre dos y cuatro días del mes, inclusive, no se produzca ninguna

baja por enfermedad laboral.

2 42 4 2 3 4

2 4 0 147 0 187 0 227 0 56≤ ≤

≤ ≤ = = + +

≤ ≤ = + + =

∑( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) , , , ,i

ix

P X p x p p p

P X

También podemos calcular esta probabilidad utilizando la función de

acumulación:

2 4 4 12 4 0 735 0 1742 4 0 56

≤ ≤ = −≤ ≤ = −≤ ≤ =

( ) ( ) ( )( ) , ,( ) ,

P X F FP XP X

• Que más de 3 días no se produzca ninguna baja.

3 4 4 5 0 227 0 267 0 494 1 3 1 0 5084 0 49

> = ≥ = + = + =≥ = − = −≥ =

( ) ( ) ( ) ( ) , , ,( ) ( ) ,( ) ,

P X P X p pP X FP X

Ejemplo 3: Una compañía de seguros ofrece a sus asegurados varias opciones para el pago de primas. Para un asegurado seleccionado al azar, sea X = número de cuotas elegidas por el cliente para el pago de

la prima. La función de acumulación de X es:

p (x) F(x)

0 0,067 0,067 1 0,107 0,174 2 0,147 0,321 3 0,187 0,508 4 0,227 0,735 5 0,267 1,000

Total 1,000


179

x F(x)

2 0,30 4 0,40 6 0,45 8 0,60 10 0,75 12 1,00

¿Cuál sería la función de probabilidad de X?

= ∀

0,30 si x=20,10 si x=40,05 si x=6

( ) 0,15 si x=80,15 si x=100,25 si x=120 valor de x

p x

A partir de la información anterior, podemos determinar la probabilidad

de que el asegurado elija menos de 6 cuotas como:

6 2 4 0 30 0 10 0 406 4 0 40

= + = + == =

( < ) ( ) ( ) , , ,( < ) ( ) ,

P X p pP X F

Ahora les proponemos una serie de actividades que le permitirán afian-

zar los conceptos.

Actividad 1:

Considere el experimento que consiste en lanzar una moneda dos veces.

a) Determinar el espacio muestral asociado a este experimento. b) Si se define la variable aleatoria Y= número de caras en los dos lan-

zamientos, indicar los valores posibles de Y. c) Construir la función de probabilidad de Y. d) ¿Es Y una variable aleatoria discreta? Justificar la respuesta.

Actividad 2: Un técnico realiza el servicio a máquinas timbradores de bancos. El servicio puede durar 1, 2, 3 o 4 horas dependiendo del tipo de falla. Los distintos tipos de fallas se presentan aproximadamente con la misma frecuencia. Se pide:

a) Determinar la función de cuantía y la función de distribución de la variable X=número de horas que dura el servicio.

b) ¿Cuál es la probabilidad que el servicio dure 3 horas? c) Acaba de llegar una solicitud de servicio y no se sabe cuál es el tipo

de falla. Son las 15 hs. y los técnicos de servicio se retiran a las 5 de la tarde. ¿Cuál es la probabilidad de que el técnico de servicio tenga que trabajar horas extras hoy para reparar la máquina?

180

Actividad 3:

Sea X el número de veces por semana que un alumno ingresa al aula virtual de la materia y conociendo que:

X 1 2 3 4 5 6 7

p(x) 0,05 0,08 0,17 0,35 0,22 0,10 0,03 Se pide: a- Comprobar que es una función de cuantía. b- Graficar p(x). c- Graficar F(x). d- Calcular P( X ≤ 2). e- Calcular P(X > 5). f- Calcular P( 3 ≤ X < 9). Actividad 4: Sea X una variable aleatoria discreta, tal que:

2

0

p/ x = 1, 2, 3, 4, 5( )

para otro valor.

kxp x

=

Resuelva los siguientes puntos:

a) Determinar el valor de k para que p(x) = k x2, sea la función de pro-babilidad de X.

b) Determinar P (1 ≤ X < 4). c) Encontrar P (3 ≤ X ≤ 6). d) Graficar la función de probabilidad para los valores de X. e) Determinar la función de distribución y graficarla.

Actividad 5: Una variable aleatoria X tiene la siguiente función:

215

0

+=

p/ x = -1, 0, 1, 2, 3

( )

x

p x

Se pide:

a) Verificar que p(x) es función de cuantía y graficarla. b) Encontrar la función de acumulación.

Actividad 6: La tabla siguiente es una distribución parcial de probabilidades para las ga-nancias proyectadas de una empresa (en miles de pesos) durante el primer año de operación (los valores negativos indican pérdida). Se pide:

a) Completar la tabla. b) Indicar si x es una variable aleatoria discreta, justificando la respuesta. c) Determinar la probabilidad de que ésta empresa sea rentable.


181

4. Variable aleatoria continúa

El tipo de variable que toma cualquier valor dentro de un intervalo se denomina continua. Se asocia con espacios muestrales infinitos no numera-bles, permitiendo asignar a cada valor un punto único en un intervalo de nú-meros reales. Por ejemplo, si se elige al azar un compuesto químico y se de-termina su pH (X), entonces X es una variable aleatoria continua. Si se sabe más acerca del compuesto elegido para el análisis, entonces el conjunto de valores posibles podría ser un subintervalo de [0, 14], por ejemplo 5,5 < x 6, 5, pero X aún es continua.

En el caso de una variable aleatoria discreta, definimos su función de

probabilidad asignando una probabilidad positiva a cada uno de los posibles valores que puede asumir la variable, asegurándonos que la suma de las pro-babilidades asignadas sea igual a 1. Pero en la distribución de probabilidad de una variable continua, es matemáticamente imposible asignar probabilidades diferentes de cero a todos los puntos de un intervalo real (recordemos que entre dos números reales hay infinitos números reales), y satisfacer la condi-ción que la suma de las probabilidades de los distintos valores sea igual a 1. Por lo que la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua se debe describir de una manera diferente.

Ejemplo: Recordando lo estudiado al analizar las distribuciones de fre-cuencia por intervalo, podemos interpretar la frecuencia relativa de cada intervalo como su probabilidad. La distribución de frecuencia ob-

servada de la variable gastos (en pesos) realizados en un mes con tarjeta de crédito, para una muestra de compradores, es la siguiente:

Distribución de frecuencias del gasto con tarjeta de crédito Variable Clase LI LS MC FA FR Gastos 1 272,00 522,75 397,38 7 0,02 Gastos 2 522,75 773,50 648,13 30 0,08 Gastos 3 773,50 1024,25 898,88 51 0,13 Gastos 4 1024,25 1275,00 1149,63 102 0,26 Gastos 5 1275,00 1525,75 1400,38 105 0,26 Gastos 6 1525,75 1776,50 1651,13 65 0,16 Gastos 7 1776,50 2027,25 1901,88 36 0,09 Gastos 8 2027,25 2278,00 2152,63 4 0,01

Si seleccionamos un comprador al azar, la probabilidad que haya gasta-

do entre $272 y $522,75 es 0,02. La probabilidad de un valor exacto es cero, ya que la frecuencia de aparición de un valor particular, por ejemplo, un gasto exactamente igual a $1520,50 será prácticamente cero. Por lo tanto, para este tipo de variables, sólo vamos a calcular probabilidades en un intervalo

Recordemos que estas distribuciones se grafican utilizando el histogra-ma y el polígono de frecuencias, tal como se muestra en la parte a de la figura siguiente para el ejemplo planteado.

182

146,63 597,98 1049,33 1500,68 1952,03 2403,38Gastos

0,00

0,07

0,14

0,21

0,28

frecu

enci

a re

lativ

a

Distribución de frecuencias del gasto con tarjeta de crédito.

(a) (b)

La frecuencia relativa de cada intervalo está representada por la super-

ficie del rectángulo correspondiente y el área total del gráfico es igual a 1. El polígono de frecuencias nos permite suavizar el gráfico, y observar mejor el comportamiento de la variable. Si tomamos muchas observaciones y hacemos los intervalos cada vez más pequeños, como en la anterior (b), el histograma tiende a una curva suave (igual al polígono de frecuencias) que denominare-mos función de densidad y simbolizaremos como ( )f x . Dicha función se muestra en la siguiente: Función de densidad de la variable gasto con tarjeta de crédito

Definición: Se dice que X es una variable aleatoria continua si existe una función, llamada función de densidad de X, que satisface las siguientes condiciones: 1) 0( ) f x para todo x≥ Esta condición exige que la función asuma sólo valores positivos o nulos.

2) 1( )f x dx∞

−∞∫ =

Los límites de integración ( , )−∞ ∞ denotan el menor y el mayor valor que asu-me la variable, respectivamente, de manera que, integrando para todo el reco-rrido de la variable, si se trata de una función de densidad, el resultado debe ser siempre igual a 1.

205,13740,07

1275,001809,93

2344,87

Gastos

0,00

0,04

0,08

0,13

0,17

frecu

enci

a re

lativ

a

104,83494,89

884,941275,00

1665,062055,11

2445,17

Gastos

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

frecu

enci

a re

lativ

a


183

La función de densidad f(x) no da probabilidades sino que indica el valor de las ordenadas que forman una curva. Las probabilidades corresponden al área formada entre valores de la variable limitada por la curva que correspon-de a la función de densidad. Por esta razón la condición 2 indica el área total bajo la curva (recordemos que la integral definida indica el área bajo la curva que corresponde a la función que integramos), la que tiene que ser igual a 1 para que sea función de densidad. Cuando esta condición no se cumple, existe la posibilidad, en muchos casos, de transformar la función de manera conve-niente para obtener una nueva función que satisface dicha propiedad.

De esta manera conociendo la función de densidad f(x), por integración

se puede calcular cualquier probabilidad. Por ejemplo la probabilidad, de que la variable x sea mayor que a y menor que b cuando se conoce f(x), se obtiene calculando el área entre a y b, lo que se expresa como:

( ) ( )b

a

P a X b f x dx≤ ≤ = ∫

Recordemos que cuando se trata de variables continuas, la integral de-

finida puede o no incluir los extremos del intervalo y el resultado será el mis-mo. Es decir que:

P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)≤ ≤ = < ≤ = ≤ < = < <

En el ejemplo planteado podemos conocer la probabilidad de que los

gastos con tarjeta de crédito se encuentren entre $250 y $500. Si conociéra-mos la función de densidad de la curva de la Figura 5 la probabilidad podría calcularse como:

500

250

250 500( ) ( )P X f x dx≤ ≤ = ∫

La función de distribución es la que proporciona la probabilidad acumulada para los diferentes valores de la variable. Para las variables continuas, será el área bajo la curva de la función de densidad a la izquierda de un valor particu-lar x, o sea acumulada desde el menor valor hasta un valor determinado de la variable. Simbólicamente:

'

' '( ) ( ) ( )x

F x P X x f x dx−∞

= ≤ = ∫

Función de distribución

El área hacia la izquierda será cada vez mayor a medida que aumenta el valor de la variable, por lo que la función de acumulación es una función mo-nótona creciente, su gráfica es una línea (similar a la Ojiva estudiada en el Unidad II), donde cada punto de la misma representa el área bajo la función de densidad hasta un punto x. Gráficamente se puede representar la función de acumulación como se muestra en la figura siguiente.

184

Función de distribución

Hemos visto que, conocida la función de densidad f(x), integrando la misma hasta un valor genérico cualquiera de la variable obtenemos la función de distribución F(x). Por otro lado, conocida la función de distribución F(x), derivando la misma respecto a la variable se obtiene la función de densidad f(x), en símbolos:

( )( ) '( )dF xf x F x

dx= =

Como ( )F x es una función no decreciente, la derivada ( )f x nunca será

negativa, además se sabe que ( )F ∞ =1 y por esto 1( )f x dx∞

−∞

=∫

Ahora, estamos en condiciones de expresar las propiedades de la fun-

ción de acumulación que son las siguientes: 1. F(x) ³ 0 2. El límite de la función de acumulación para el más alto valor de la variable

tiende a uno. 1lim ( )

xF x

→∞=

3. El límite de la función de acumulación para el menor valor de la variable tiende a cero.

0lim ( )x

F x→−∞

=

4. La función de acumulación es monótona creciente, a un valor mayor de la variable mayor es la probabilidad acumulada.

F(x+h) ³ F(x) 0h∀ >

Podemos calcular la probabilidad en un intervalo utilizando la función de acumulación de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )b a

P a X b F b F a

P a X b f x dx f x dx−∞ −∞

≤ ≤ = −

≤ ≤ = −∫ ∫

Para nuestro ejemplo la función de acumulación se representan en la Fi-

gura siguiente.


185

Distribución de frecuencias del gasto con tarjeta de crédito

La probabilidad de que los gastos con tarjeta de crédito se encuentren entre $250 y $500, que calculamos antes empleando la función de densidad, puede ser calculada utilizando la función de acumulación:

250 500 500 250( ) ( ) ( )P X F F≤ ≤ = −

Ahora le presentamos ejemplos de aplicación de los conceptos.

Ejemplo 1 Sea Y = tiempo (en horas) durante el cual un estudiante seleccionado al azar saca en préstamo un libro de la biblioteca de la universidad.

Suponga que Y tiene la función de densidad:

1 0 6180

( )

y yf y

y

<

186

Las gráficas correspondientes a las funciones de densidad y de distribu-

ción se muestran en la siguiente figura: Si el tiempo de préstamo es superior a 5 horas, pueden acumularse pe-

didos del libro en la biblioteca. Determinemos la probabilidad que ello ocurra:

6

5

2 2

1518

1 51 6 5360 3056

( )

( )

( )

,

P y ydy

F

≥ =

= −

= −

=

∫

O bien, empleado la función de distribución:

2

5 1 511 536

0 3056

( ) ( )

( )

,

P y F≥ = −

= −

=

¿Cuál será la probabilidad de que el tiempo del préstamo se encuentre entre 3 y 4,5 horas?

4 5

3

2 2

13 4 5184 5 3

1 4 5 3360 3125

,

( , )

( , ) ( )

( , )

,

P y ydy

F F

≤ ≤ =

= −

= −

=

∫

Empleado la función de distribución:

2 2

3 4 5 4 5 31 14 5 336 360 3125

( , ) ( , ) ( )

= ( , ) ( )

= ,

P y F F≤ ≤ = −

−

y 6543210

0.4

0.3

0.2

0.1

0y 6543210

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0y

P(y) F(y)

y

Figura 7 (a) (b)


187

En la Figura que sigue se muestran las zonas sombreadas correspon-

dientes a las probabilidades calculadas anteriormente

Ejemplo 2 La distribución de la cantidad de áridos (en toneladas) que vende una casa de materiales para construcción en una semana específica es una

variable continua X cuya función de densidad está dada por:

21 0 10( ) ( )

k x xf xx

− ≤ ≤= ∀

Debemos determinar el valor de k para encontrar la función de densi-

dad. Recordemos que una de las condiciones para que f(x) sea función de

densidad es 1

0

1( )f x dx =∫ . Entonces:

1

2

0

1 1( )k x dx− =∫

Desarrollemos la integral:

1 12 2

0 0

13

0

3

1 1

3

113

( ) ( )

= ( )

= ( )

k x dx k x dx

xk x

k

− = −

−

−

∫ ∫

Si igualamos el resultado a 1 podemos despejar el valor de la constante k.

311 13

2 13

32

( )

( )

k

k

k

− =

=

=

Y

f(Y)

Y

f(Y))

Y (b) (a)

188

Entonces, la función de densidad será:

23 1 0 120

( ) ( )

x xf x

x

− ≤ ≤= ∀

Ejemplo 3 La proporción de impurezas en un cierto producto químico es una va-riable aleatoria X con función de distribución dada por:

0 0

0 11 1

4

( ) x

xF x x

x

Podemos determinar la función de densidad, derivando la función de

distribución con respecto a X.

34'( )F x x= Por lo tanto,

34 0 10

( ) x xf x

x ≤ ≤=

∀

Se sabe que una unidad de producción con más de 40% de impurezas

no se puede vender. ¿Cuál es la probabilidad de que una unidad de producción seleccionada al azar no se pueda vender porque hay demasiadas impurezas?

4

0 40 1 0 401 0 400 974

( , ) ( , ) ( , ) ,

P x F≥ = −= −=

Podemos determinar también la mediana de la distribución. Recorde-mos que la mediana es el valor de la variable que acumula una probabilidad de 0,50. Por lo tanto, debemos encontrar el valor x0 tal que:

P(X< x0) = 0,50

Es decir:

0

40

40

0

0 50

0 50

0 50

0 841

( ) ,,

,,

F xx

xx

=

=

=

=

La mediana de esta distribución es 0,841. Empleando el mismo razona-miento podríamos obtener cualquier percentil de la distribución.

Ejemplo 4 Tenemos la siguiente función y queremos determinar si cumple las condiciones para ser considerada función de densidad:

3 0 280

( )

y yf y

y

≤ ≤= ∀


189

Debemos verificar que 0( )f y ≥ , y esto se cumple para todos los núme-

ros reales entre 0 y 2. Por otro lado, se tiene que verificar que 2

0

1( )f y dy =∫ .

Desarrollaremos la integral:

2 2

0 0

22

0

38

38 2

68

( )

f y dy ydy

y

=

=

=

∫ ∫

Por lo tanto,

1 0 220

( )

y yf y

y

≤ ≤= ∀

Ahora realice las actividades propuestas, que le permitirán afianzar los

conocimientos.

Actividad 7: Sea X= error de medición de una pieza en un proceso productivo,

cuya función de densidad está dada por:

=0

21

)(xf

p/ 1 ≤ x ≤ 3

∀ otro valor

Se pide: a) Analizar si f(x) es función de probabilidad. Graficarla. b) Encontrar la función de distribución. Graficarla. c) Calcular P(X< 2). d) Calcular P(1,5 3

Se pide: a) Determinar el valor de k y encontrar la función de densidad. b) Encontrar P(X 1≥ ). c) Encontrar el percentil 10. d) Encontrar el valor de xo tal que P(X < x0) = 0,70

190

Actividad 9: La proporción de artículos defectuosos que genera un proceso pro-

ductivo es una variable aleatoria Y. Se tiene la siguiente función:

5

2

( )

0

y

f y

para 0 < y < 1 caso contrario

Se pide: a) Determinar si f(y) es función de densidad. En caso que no lo sea, realizar la transformación necesaria para que cumpla las condiciones. b) Calcular la Mediana. c) Si la proporción de artículos que no cumplen las especificaciones es supe-rior al 80%, es necesario realizar ajustes en el proceso de producción. Calcu-lar la probabilidad de que esto ocurra.

En la Unidad 2 se analizaron medidas de posición y dispersión para la distribución de frecuencias de una variable observada. De manera semejante, una distribución probabilística se resume indicando las medidas (media, va-rianza, desviación estándar, etc.) que la caracterizan.

5. Esperanza y varianza de una variable aleatoria

Esperanza Matemática El cálculo de la Esperanza matemática es similar al de la media aritmética,

aunque el concepto que representa es ligeramente distinto. Cuando tenemos un conjunto de valores observados de una variable, calculamos como medida de posición la media aritmética. Cuando, en cambio, trabajamos con una va-riable aleatoria consideramos los posibles valores de la misma dentro de un experimento, por lo que los valores son observables y el promedio será calcu-lado a priori. Es por ello que, en ese caso, hablamos de un promedio esperado. La Esperanza matemática es el valor promedio que se presentará si el experi-mento se repite muchas veces. Se puede pensar como un centro de gravedad en la distribución de frecuencias, el cual se mueve hacia un lado u otro depen-diendo del peso de las probabilidades. Si las probabilidades son mayores para los primeros valores de la variable entre ellos estará el valor esperado, y por el contrario si las probabilidades son mayores para los últimos valores de la va-riable allí se encontrará la esperanza matemática.

El cálculo de la Esperanza difiere según la variable aleatoria sea discreta

o continua, por lo que analizaremos cada caso por separado. Para una variable aleatoria discreta X con una distribución de probabi-

lidad P(X), el valor esperado, que se simboliza por E(X) o también por µ, se calcula como:

1

µ=

= = ∑[ ] ( )k

i ii

E X x p x

el sumatorio está referido a todos los valores de la variable aleatoria X.


191

Ejemplo 3 Se lanza una moneda 3 veces y observemos los resultados. El espacio muestral es:

Ω = {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss}

La probabilidad de cada evento es 1/8. A partir de este experimento, es

posible definir la variable aleatoria X= número de caras, que puede asumir los valores 0, 1, 2 y 3 y cuya función de probabilidad está dada por:

x p (x) 0 0,125 1 0,375 2 0,375 3 0,125

Total 1,000

Calculemos la esperanza matemática agregando una columna a la dere-cha donde realizamos el producto de los valores de la variable por su probabi-lidad.

x p (x) x p(x) 0 0,125 0 1 0,375 0,375 2 0,375 0,75 3 0,125 0,375

Total 1,000 1,5

Como puede observarse, el número de caras esperado es 1,5 para la ti-rada de tres monedas. Si bien no es posible que encontremos 1,5 caras, si se realiza el experimento un gran número de veces la proporción de veces que aparecerá cada valor de la variable es la misma y resultará un valor promedio de 1 ,5.

Ahora desarrollaremos ejemplos de los conceptos estudiados.

Ejemplos de aplicación

Ejemplo 1 Definiremos, para la tirada de tres monedas, el dinero ganado como una variable aleatoria Y que representa la ganancia (en pesos). Esta

variable asume tres valores $0, $50, o $100. Si el jugador obtiene 3 caras gana $100, si consigue dos caras se le abona $50 y su ganancia es $0 si obtiene 1 cara o ninguna. Así, a partir del experimento explicado anteriormente, se defi-ne una nueva variable aleatoria que reproduce el espacio muestral y se apro-pia de las probabilidades de los eventos que lo forman. La función de probabilidad y la función de acumulación de Y serán:

192

Para la variable Y= ganancia (en pesos) ¿Cuál será la ganancia espera-

da en el juego propuesto? Agregamos una columna a la derecha donde reali-zamos el producto de los valores de la variable por su probabilidad.

La ganancia esperada en el juego de la tirada de tres monedas es de $ 31,25. Puede ser que ganemos $ 100, $ 50 o nada, dependiendo del resultado obtenido después de la tirada. Si tiráramos 100.000 veces las monedas y re-gistráramos sus resultados, podríamos calcular la frecuencia relativa, obte-niendo un resultado similar a la ganancia promedio de $ 31,25 calculada como valor esperado. Si para jugar debemos apostar $20 y probamos jugar 100.000 veces, ¿nos convendría jugar? Sí, porque la ganancia promedio espe-rada será de $ 31,25 superior a nuestra apuesta de $ 20. ¿Y si la apuesta debe ser de $40? Piense cuál sería su decisión

Ejemplo 2 En una empresa, el número de días laborables del mes en los que no se produce ninguna ausencia por enfermedad, es una variable aleatoria

con la siguiente función de probabilidad.

El gerente de personal ha informado que si el número esperado de días

en los que no se producen inasistencias es mayor a 4, no será necesario tomar medidas adicionales.

Determinemos la esperanza de la variable X:

0 0 067 1 0 107 20 0 147 3 0 187 4 0 227 5 0 2673 205

[ ] . , . , . , . , . , . , ,E X µ= = + + + + +

=

El número esperado de días laborables del mes en los que no se produce

ninguna ausencia por enfermedad es 3,205. El gerente deberá implementar acciones.

y p (y) F (y) 0 0,50 0,50

50 0,375 0,875 100 0,125 1

Total 1,000

y p (y) y p (y) 0 0,50 0

50 0,375 18,75 100 0,125 12,5

1 31,25

x p (x)

0 0,067 1 0,107 2 0,147 3 0,187 4 0,227 5 0,267

Total 1,000


193

Analizaremos ahora cómo se determina la esperanza para una variable continua x con función de densidad f(x). La suma para todos los valores de la variable se obtiene integrando sobre todo el recorrido de x.

µ∞

−∞

= = ∫[ ] ( ) E X x f x dx

Retomaremos el ejemplo donde Y = tiempo (en horas) durante el cual

un estudiante seleccionado al azar saca en préstamo un libro de la biblioteca de la Universidad para su consulta. Recordemos que la función de densidad de Y era:

1 0 6

180

( )

y yf y

y

<

194

Se espera que transcurran 3,75 segundos entre llamadas.

Ejemplo 2 La distribución de la cantidad de áridos (en toneladas) que vende una casa de materiales para construcción en una semana específica es una

variable continua X cuya función de densidad está dada por:

23 1 0 120

( ) ( )

x xf x

x

− ≤ ≤= ∀

Esta empresa comprará un nuevo vehículo para el reparto de áridos si se

espera vender más de 0,5 toneladas. ¿Qué aconsejaría hacer? Calculamos la esperanza de la variable X:

( )

12

0

1

0

2 41 10 0

3 12

32

32 2 40 375

( )

( ) ( )

,

E x x

x x

= −

=

= −

=

∫

∫ 3

x dx

x - x dx

En función del resultado no se recomienda adquirir un nuevo vehículo.

Se espera vender 0,375 toneladas. Ahora, le proponemos resolver las siguientes actividades.

Actividad 10: Retomemos el caso de la compañía que ofrece a sus asegurados

varias opciones para el pago de primas. Para un asegurado seleccionado al azar, sea X = número de meses entre pagos sucesivos. La función de probabi-lidad de X es:

Calcular la esperanza de X e interpretar.

Actividad 11: Calcular los valores esperados de las distribuciones correspondientes a las Actividades 3 a 9 inclusive:

X f(X)

2 0,30 4 0,10 6 0,05 8 0,15 10 0,15 12 0,25


195

Actividad 12:

Un equipo de investigación debe preparar un proyecto para participar de una licitación. El costo de prepararlo es de $ 1.000 y las probabilidades de obtener un ingreso de $ 50.000, $ 20.000 ó $ 1.000 son de 0.60, 0.30 y 0.10 respec-tiva- mente. Si consideramos que la probabilidad de que el proyecto sea apro-bado es de 0,30 ¿Cuál sería la utilidad neta esperada? Actividad 13: Un conocido programa de televisión, ofrece un primer premio de $ 1.000.000 y un segundo premio de $ 500.000 a los concursantes que salgan sorteados y que enviaron al programa una etiqueta de un producto específico con su nom-bre. a) ¿Cuál es la esperanza matemática de una de las dos millones de personas que enviaron la etiqueta? b) ¿Valdría la pena gastar $3 en el producto más los 0,75 centavos de correo para participar en el sorteo? Analizar en base a la esperanza matemática. c) ¿Si consigue gratis la etiqueta, valdría la pena gastar $ 0.75 en el correo? Propiedades de la Esperanza

Las Propiedades de la Esperanza son las mismas que se analizaron para la media aritmética.

1) La Esperanza de una constante c es la constante. Esto es así porque si la variable sólo asume un único valor, el mismo tendrá probabilidad 1.

P X c 1 y:

2) La Esperanza de una constante más una variable es la constante más la Esperanza de la variable.

Demostración para variables aleatorias discretas:

E c c

E c X c E X

k

i ii 1

k k

i i ii 1 i 1

k

i ii 1

E c X c x p(x )

c p(x ) x p(x )

c x p(x )

196

Demostración para variables aleatorias continuas:

3) La Esperanza de una constante por una variable es la constante por la Es-peranza de la variable.



4) La Esperanza de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de sus esperanzas. Siempre que las variables se encuentren expresadas en la misma unidad de medida.

5) La Esperanza del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus esperanzas. 6) La esperanza de la variable desvío respecto a la esperanza es nula.


iE c X c X f (x )dx

c f (x)dx x.f (x)dx

c x.f (x)dx

k

i ii 1

k

i ii 1

E c.X c.x p(x )

c x p(x )

E c.X c.E X

iE c.X c.x.f (x )dx

c x.f (x).dx

E X 0

k

i ii 1

k k

i i ii 1 i 1

E X x .p(x )

x p(x ) p(x )


197



Veamos un ejemplo de aplicación de propiedades.

El margen neto de cada contrato lo simbolizamos por X, oscila aleatoriamente entre el 2 y el 6 por ciento, y su función de densidad es:

2 6160 en otro caso

si ( )

x xf x

≤ ≤=

Calcularemos la esperanza matemática de X:

66 3

2 2

4 33316 48

,x xE X x dx= = = ∫

El margen neto promedio esperado es del 4,33%. Supongamos que queremos determinar la esperanza matemática de la varia-ble Margen neto que se agrega a reservas y que es un 20% del margen neto. Definimos una nueva variable aleatoria Y = 0,2 X. Aplicaremos la propiedad de la esperanza del producto de una constante por una variable.

0 20

0 200 20 4 333 0 8667

( , ) , ( ) , , ,

E Y E xE x

= == × =

El margen neto esperado que se agrega a reservas es 0,8667%. Consideremos ahora la Rentabilidad bruta, definida como uno más el

10% adicional sobre margen bruto.La nueva variable aleatoria es W = 1 + 1,1X. Aplicamos la propiedad de la esperanza del producto de una constante por una variable y la de la suma de una constante más una variable.

1 1 10

1 1 101 4 7667 5 7667

( , ) , ( ) , ,

E W E xE x

= + = += + =

La rentabilidad bruta esperada es 5,7667.

E x x .f (x).dx

x.f (x).dx f (x).dx

198

Las actividades presentadas a continuación le permitirán afianzar el concepto de esperanza de una variable aleatoria.

Actividad 14: Un distribuidor de aparatos electrodomésticos vende tres modelos

diferentes de heladeras verticales con capacidad de 13,5; 15,9 y 19,1 pies cúbi-cos de espacio de almacenaje, respectivamente. Sea X = cantidad de espacio de almacenaje que compra un cliente. Suponga que X tiene la siguiente fun-ción de cuantía: a) Calcular la esperanza de X. b) Si el precio de una heladera con capacidad de X pies cúbicos es 25X – 8,5. ¿Cuál es el precio esperado que paga el siguiente cliente? Actividad 15: El equipo de investigación de la actividad 12, evaluó cómo pueden variar sus ingresos ante cuatro escenarios económicos diferentes. Los cuatro escenarios a analizar son: Un aumento del 30% del ingreso Un aumento fijo de $5000 en el ingreso Los dos incrementos anteriores, simultáneamente. La aplicación de un impuesto adicional de $120 más el 0,10 sobre el ingreso. Determine, aplicando propiedades, el ingreso esperado para cada escenario. A partir del ingreso encuentre la utilidad neta esperada en cada caso. Varianza y desviación estándar

Si comparamos la esperanza matemática con un centro de gravedad,

podemos preguntarnos cuán atraídos están los valores de la variable a este valor. Hemos visto que la medida que nos indica la concentración de los datos alrededor de la media es la varianza, que se calcula como el promedio de las distancias al cuadrado de los valores de la variable.

La varianza permite medir la dispersión de los datos alrededor de la es-peranza matemática. Se define como la esperanza de los desvíos al cuadrado de los valores de la variable respecto a la esperanza matemática.

22( ) XV X E Xσ µ= = −

La fórmula de cálculo, al igual que para la Esperanza, difiere según el ti-

po de variable. Para una variable aleatoria discreta la varianza se calcula como:

2

1

µ=

= − ∑( ) ( )k

i ii

V X x p x

Para una variable aleatoria continua la fórmula será:

2µ

∞

−∞

= − ∫( ) ( ) V X x f x dx

X 13,5 15,9 19,1 p(x) 0,20 0,50 0,30


199

En la figura que sigue, la gráfica A corresponde a una variable con va-

rianza pequeña, por lo que habrá alta probabilidad de que se presenten valo-res cercanos a μ, mientras que en la gráfica B la dispersión es mayor.

En la Unidad 3, se desarrolló una fórmula de cálculo para la varianza que

no necesita computar los desvíos. Partiendo de la definición de variable alea-toria y siguiendo los mismos pasos se llega ahora a la siguiente expresión:

22 = − ( )V X E X E X

Recordemos que la varianza da un resultado que es un valor de la varia-

ble al cuadrado, y está expresado en la unidad de medida de la variable al cua-drado (p.e. cm2, días2, cantidades2, etc.). La raíz cuadrada de la varianza de-fine el desvío estándar que está expresado en la misma unidad de medida que la variable

22 = − ( )V X E X E X


Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1: Consideremos el lanzamiento de una moneda 3 veces y definamos la

variable aleatoria X= número de caras, que puede asumir los valores 0, 1, 2 y 3. Su función de probabilidad, según analizamos, está dada por:

x p (x) 0 0,125 1 0,375 2 0,375 3 0,125

Total 1,000 Habíamos calculado la esperanza matemática, resultando 1,5 el número de caras esperado para la tirada de tres monedas. Calcularemos ahora la E(x2), agregando una columna a la derecha donde realizamos el producto de los va-lores de la variable al cuadrado por su probabilidad.

X

P(X)

200

x p(x) x2 p(x) 0 0,125 0 1 0,375 0,375 2 0,375 1,5 3 0,125 1,125

Total 1,000 3 Por lo tanto:

22

23 1 50 75

( )

( , ) ,

V X E x E x = − = −=

Ejemplo 2: Trabajaremos con la variable aleatoria Y = tiempo (en horas) durante

el cual un estudiante seleccionado al azar saca en préstamo un libro de la bi-blioteca de la Universidad para su consulta. Recordemos que la función de densidad de Y era:

1 0 6180

( )

y yf y

y

<


201

Aplicamos la fórmula: 22 2

18 162

( )

σ = = − = −=

yV Y E Y E Y

La desviación estándar es

2

1 4142

( ) ,

σ= =

=yDS Y

El desvío promedio alrededor del valor esperado es 1,4142.

El desvío estándar mide la dispersión de la variable aleatoria alrededor de la esperanza matemática en términos absolutos. Una medida de dispersión relativa, que no tenga en cuenta la unidad de medida de la variable considera-da es el coeficiente de variación cuya fórmula de cálculo es la misma conside-rada en el Capítulo III. Esto es:

( ) ( )

xCV XE Xσ

=

Las siguientes actividades le permitirán integrar los conocimientos ad-

quiridos.

Actividad 16: Calcular la varianza para la variable aleatoria X de la actividad 14.

Actividad 17 Calcular e interpretar las varianzas de las distribuciones correspondientes a las actividades 3 a 9 inclusive. Actividad 18: A un profesional se le plantea la posibilidad de invertir un excedente de dinero en cualquiera de estas tres alternativas: A: Inmuebles B: Préstamo C: Acciones El inversor tiene interés en recuperar el capital aportado en un plazo relativa-mente corto, durante el cual cabe suponer que la evolución errática de la eco-nomía podrá presentar cualquiera de las siguientes situaciones con probabili-dades: S1: contracción (12%) S2: reanimación (27%) S3: expansión (41%) S4: crisis (20%) Un experto financiero ha construido una matriz de porcentajes de resultados previsibles sobre el capital invertido.

S1 S2 S3 S4

A 2,5 8 4,5 -1,5 B 2,5 2,5 2,5 2,5 C 0 7,5 9,5 -2

¿Cuál de las tres alternativas proporciona mayor rentabilidad esperada? ¿Cuál es la alternativa menos riesgosa? (Tenga en cuenta que el riesgo de una inversión está relacionado con su variabilidad).

202

Propiedades de la Varianza

Enunciaremos las Propiedades de la Varianza, que debe relacionar con

las estudiadas en la Unidad II.

1) La Varianza es no negativa.

2) La Varianza de una constante es cero.

3) La Varianza de una constante por una variable es el cuadrado de la cons-tante por la Varianza de la variable.



4) La Varianza de una constante más una variable es igual a la Varianza de la variable.



V X 0

2V c E c c = 0

2V c.X c .V X

k2

i ii 1

k22

i ii 1

V c.X cx c . p(x )

c x .p(x )

22

22

V c.X c x .f (x).dx

c x .f (x).dx

V c X V X

k2

i ii 1

V c X c x c . p(x )

V X

2V c.X c x c .f (x).dx

V X


203

5) La Varianza de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas.

Siguiendo el ejemplo desarrollado en las propiedades de la Esperanza Matemática, obtengamos la varianza y el coeficiente de variación de la varia-ble margen neto de cada contrato (X), y de las variables margen neto que se agrega a reservas (Y) y rentabilidad bruta (W).

Utilizando la fórmula de cálculo resulta:

66 4

2 2

2 2

2

2

2016 64

20 4 331 22

1 22 1 1054

( )

( ) ,( ) , %

( ) , , %

x xE X x dx

V XV X

DS X

= = =

= −

=

= =

∫

La variabilidad promedio del margen neto de cada contrato es de

1,1054%. A partir de las medidas calculadas podemos encontrar el coeficiente de

variación:

1 1054 0 25514 333

( ) ,( ) ,( ) ,

= = =DS XCV XE X

La variabilidad promedio del margen neto es del 25,51% de la esperan-

za matemática. Podemos encontrar ahora la varianza y el coeficiente de variación de la

variable margen neto que se agrega a reservas (Y) y rentabilidad bruta (W) aplicando propiedades:

2

2

0 200 20

0 04 1 22 0 0488

0 0488 0 22110 2211 0 25510 8667

( ) ( , )( ) ( , ) ( )( ) , , , %

( ) , , %( ) ,( ) ,

( ) ,

V y V xV y V xV y

DS YDS YCV YE Y

=

=

= × =

= =

= = =

2

1 1 101 10

1 21 1 22 1 4762

1 4762 1 2151 215 0 21075 7667

( ) ( , )( ) ( , ) ( )( ) , , ,

( ) , ,( ) ,( ) ,

( ) ,

= +

== × =

= =

= = =

V W V xV W V xV W

DS WDS WCV WE W

Comparando los coeficientes de variación de las variables podemos

concluir que W presenta menor variabilidad relativa.

204

Observe que el producto de una constante por una variable no modifica el coeficiente de variación.

Aplique los conocimientos adquiridos en las siguientes actividades.

Actividad 19: A partir de los escenarios de la Actividad 15, encuentre la variabili-

dad de los ingresos e identifique el escenario cuya ganancia sea más homogé-nea.

Actividad 20:

Una transformación de variable muy usada es µσ−

=x

XZ

Z se denomina variable estándar o variable estandarizada. Si la esperanza de X es 10µ = y la varianza 2σ =X , determine la esperanza y varianza de Z.

6. Desigualdad de Tchebycheff

En los ejemplos planteados hasta el momento, se conoce la distribución teórica de probabilidad de la variable. No obstante, si estamos estudiando una variable donde la distribución teórica tiene una gráfica como en la figura que sigue, donde no es tan fácil encontrar la función de densidad, ¿cómo podemos hacer para calcular probabilidades?

En ese caso debemos aplicar la Desigualdad de Tchebycheff.

La desigualdad de Tchebycheff es una regla que vincula la esperanza y la desviación estándar, permitiendo encontrar cotas de probabilidad de que la variable aleatoria asuma valores dentro o fuera de un intervalo simétrico con respecto a la esperanza. Esta expresión permite calcular probabilidades apro-ximadas dentro o fuera de un intervalo para distribuciones de probabilidad desconocidas.


205

Vamos a considerar primero un intervalo simétrico alrededor de la es-peranza matemática de la distribución, como la zona sombreada de la siguien-te figura:

Dada una variable aleatoria X, cualquiera sea su distribución de

probabilidad, con Esperanza ( )E x y Varianza ( )V x , puede afirmarse que la probabilidad de que se presenten valores de la variable que se alejen de su

Esperanza en más de una distancia d , no supera a ( )V xd .

En símbolos:

{ } 2− > <( )Pr ( ) V xX E x dd

(1)

De otra manera, también se puede decir que la probabilidad que se pre-

senten valores de la variable que se alejen de su Esperanza en menos de una distancia d , es mayor a 1 ( )V xd−

En símbolos:

{ } 21− ≤ ≥ −( )Pr ( ) V xX E x dd

(2)

Como vemos, la probabilidad depende de la amplitud del intervalo y de

la varianza de la variable. Demostraremos esta desigualdad para una variable continua X (en for-

ma similar se puede demostrar si la variable es discreta). Si consideramos la esperanza E(x) y la constante d, vemos que el reco-

rrido de la variable queda dividido en dos regiones: Región 1 (R1): que incluye a los valores que están fuera del intervalo si-

métrico, es decir, ( ) ( ), ,E X d E X d −∞ − ∪ + ∞ Región 2 (R2): que incluye a los valores que están dentro del intervalo

simétrico, es decir, ( ) ( ),E X d E X d − + La varianza de X será igual a:

1 2

2

2 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) R R

V X x f x dx

V X x f x dx x f x dx

µ

µ µ

∞

−∞

= −

= − + −

∫

∫ ∫

E(X)-d E(X) E(X)+d

d d

206

Si en el segundo miembro sólo se incluyen los valores fuera del interva-lo, la varianza será mayor:

1

2( ) > ( ) R

V X x f x dxµ− ∫

Si se reemplaza x µ− por d, la desigualdad se mantiene con mayor ra-

zón:

{ } { }

1

1

2

2

22

( ) > ( )

( ) > ( )

( )( ) > Pr - > Pr - > <

R

R

V X d f x dx

V X d f x dx

V XV X d X d X dd

µ µ⇒

∫

∫

Veamos una aplicación de la desigualdad de Tchebychef.

Sea X una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad se des-conoce con E(X)= 100 y DS(X)= 7.

Determinaremos el valor máximo de probabilidad que un valor particu-

lar de la variable X se desvíe en 10 o más del promedio esperado, es decir, la probabilidad fuera del intervalo [µ -d; µ + d]:

{ }

{ }

2

49100 10 0 49100

( )Pr

Pr ,

V xX dd

X

µ− > <

− > < =

La probabilidad máxima que un valor de la variable se aleje en 10 o más

del promedio esperado es de 0,49. Para este ejemplo, ¿cuál es el valor mínimo de la probabilidad que un

valor particular de la variable se desvíe como máximo en un 20% del prome-dio esperado?

Debemos encontrar la probabilidad dentro del intervalo [µ -d; µ + d],

siendo d = 0,20 x 100 = 20 y µ = 100.

{ }

{ }

21

49100 20 1 0 88400

µ− ≤ ≥ −

− ≤ ≥ − =

( )Pr

Pr ,

V xX dd

X

Como se observa en los ejemplos, la regla de Techebycheff sólo permite establecer cotas de probabilidad para intervalos simétricos, en los que el nú-mero d que se suma y resta a la media es mayor que la desviación estándar. Su importancia radica en que para su aplicación sólo se requiere conocer la esperanza y la varianza de una variable aleatoria, la que puede ser discreta o continua, con distribución simétrica o asimétrica.

Una expresión alternativa de la desigualdad de Tchebycheff puede ob-

tenerse expresando el número d en unidades de desviación estándar, es de-cir, d kσ= . Las expresiones (1) y (2) pueden escribirse de la siguiente mane-ra:


207

{ }

{ }

2

2 2

2

2

2 2

2

1

1

11

σµ σσ

σµ σσ

− > <

<

− ≤ ≥ −

≥ −

Pr

Pr

X kk

k

X kk

k

En los problemas en los que se conozca la función de probabilidad de la variable no tiene sentido su utilización, ya que se cuenta con información para obtener probabilidades exactas de cualquier intervalo.

En las aplicaciones siguientes se conocen las funciones de probabilidad

y se puede obtener la probabilidad exacta de que la variable aleatoria asuma valores en cualquier intervalo de su recorrido. Se construyen dos intervalos simétricos: 1) sumando y restando a la esperanza una cantidad igual a dos veces la desviación estándar y 2) sumando y restando a la esperanza tres ve-ces la desviación estándar y se calcularan las probabilidades dentro de estos intervalos. Luego vamos a comparar ese valor de probabilidad con las cotas establecidas por la desigualdad de Tchebycheff, para verificar con ejemplos que esta desigualdad siempre se cumple.

Ejemplo 1: Consideremos una variable aleatoria X que representa el número de

veces que concurrió un cliente a un comercio el último mes con la siguiente función de probabilidad y dada la siguiente información:

X 1 2 3 4 5 6 7

p(x) 0,05 0,08 0,17 0,35 0,22 0,10 0,03

La esperanza y el desvío estándar de X son los siguientes:

4 031 35,,

µσ

==

En la Tabla que sigue calcularemos los intervalos simétricos: sumando y res-tando a la esperanza matemática dos, y tres veces el desvío estándar (k = 2 y k = 3 respectivamente):

K µ - k σ µ + k σ 2 4,03 - 2 x 1,35 = 1,33 4,03 + 2 x 1,35 = 6,73 3 4,03 – 3 x 1,35 = -0,02 4,03 + 3 x 1,35 = 8,08

Calculemos la probabilidad exacta dentro del intervalo con la función de cuan-tía correspondiente y la misma probabilidad con la desigualdad de Tche-bycheff. Los resultados se muestran en la tabla siguiente.

K Intervalo Probabilidad Exacta Tchebychef 2 2 ≤ x ≤ 6 0,92 > 0,75 3 1 ≤ x ≤ 7 > 0,89

208

Ejemplo 2: Trabajemos ahora con la variable aleatoria continua Y = tiempo (en

horas) durante el cual un estudiante seleccionado al azar saca en préstamo un libro de la biblioteca de la Universidad para su lectura, cuya función de densi-dad es la siguiente:

1 0 6180

41 41

( )

,

y yf y

yµσ

< 0,75 3 0 ≤ x ≤ 6 1 > 0,89

De los ejemplos anteriores podemos concluir que la desigualdad de

Tchebycheff nos da una aproximación de la probabilidad, que sólo tiene utili-dad cuando es totalmente desconocida la función de probabilidad de la varia-ble.

Aplique los conceptos estudiados en las siguientes actividades.

Actividad 21: Sea X: unidades vendidas en una empresa, una variable aleatoria

con E(X) = 10 y V(X) = 9. Encontrar la cota que corresponde a la probabilidad que se venda una cantidad que supere a la esperanza en dos desviaciones estándar (en valores absolutos). Actividad 22: Una máquina fabrica tornillos de 160 mm de longitud media con desviación típica de 10mm. Si no se conoce la función de densidad que corresponde a la longitud de los tornillos, calcule: a) La probabilidad que un tornillo seleccionado al azar mida entre 140 y 180 mm. b) La probabilidad que un tornillo seleccionado al azar difiera en más de 15 mm de la media. c) La proporción de tornillos que miden más de 190 mm o menos de 130 mm. Actividad 23: Sea X una variable aleatoria con media y varianza finita. Si E(X)=20 y V(X)= 4, se pide: a) Encontrar el valor de k que se necesita para que el intervalo comprenda el 95% y el 99% de los valores de la variable. b) Encontrar P(18 ≤ X ≤ 22).


209

Actividad Integradora Esta actividad se ha realizado sobre la propuesta presentada por el

El propietario de una playa de estacionamiento de una determinada ciu-dad se encuentra analizando su estrategia de precios para el próximo año, dado que un importante organismo público trasladará su sede al barrio. La ubicación exacta aún se desconoce, pero se sabe que estaría localizado en algún punto de una zona de 500 metros cuadrados, definiéndose un cuadran-te donde en uno de los vértices se encuentra la playa de estacionamiento.

De acuerdo al estudio de mercado elaborado por una consultora, la dis-

tancia de la playa a la nueva sede tiene asociada la siguiente función de pro-babilidad:

320 1 0 10

( - ) ( ) x x xf x

x ≤ ≤=

∀

donde X =distancia de la nueva sede a la playa de estacionamiento (en kiló-metros).

Las cocheras son alquiladas por hora o mediante una tarifa fija mensual. Dada la inminente instalación de este organismo, el propietario de la playa está analizando la posibilidad de otorgar descuentos sobre la tarifa mensual a los empleados del organismo. En el estudio de mercado se indica que el des-cuento sobre la tarifa mensual requerido por los empleados para alquilar una cochera es una función creciente respecto a la distancia desde la dependen-cia:

y=4x+50 donde Y = descuento sobre la tarifa mensual requerido para alquilar una co-chera.

En base a la información suministrada, se pide: a) Determinar la función de distribución de la distancia de la nueva sede a la playa de estacionamiento. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el organismo se instale a no más de 300 metros? c) Determine la esperanza y la desviación estándar de la distancia. d) Calcule la esperanza y la varianza de la variable aleatoria Y =descuento sobre la tarifa mensual requerido para alquilar una cochera

210

Resumen de la unidad

Variables aleatorias discretas Variables aleatorias continuas Función de cuantía Función de densidad

k

ii 1

p( ) P(X )p( ) 0

p( ) 1

x xx

x

P(X x) 0(x) 0 para todo x

(x)dx 1

f

f

Función de acumulación Función de distribución

i

ix a

F(a) P(X a) p( )x

a

F(a) P(X a) (x)dxf

Cálculo de probabilidades Cálculo de probabilidades

i

i

ix a

ia x b

P(X a) p( )

P(a X b) p( )

x

x

a

b

a

P(x a) f (x)d(x)

P(a x b) f (x)d(x)

Esperanza y varianza Esperanza y varianza k

i ii 1

E(X) x p(x )

k

2i i

i 1

V(X) x p(x )

E(X) x.f (x)dx

2

µ∞

−∞

= − ∫( ) ( ) V X x f x dx

DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF Cota mínima de probabilidad

(Probabilidad en el intervalo µ-d; µ+d) Cota máxima de probabilidad

(Probabilidad fuera del intervalo µ-d; µ+d)

2

2

2

2

2

Pr d X d 1d

Pr X d 1d

1Pr X k 1k

2

2

2

Pr X dd

1Pr X kk


211

7. Referencias Bibliográficas

- Berenson, M y Levine, D (2003) Estadística Básica en Administración. Con-ceptos y Aplicaciones. 6º Edición Prentice Hall. Díaz Margarita (2003). Notas de Probabilidad y Variable Aleatoria . Asocia-ción Cooperadora de la Fac. Cs. Económicas de la U.N.C. - Díaz Margarita … [et.al.] (2004) Estadística I: Guía de Estudio. -1ra Ed. Cór-doba Asociación Cooperadora de la Fac. de Cs. de la U.N.C., 2009.338 páginas 27x21 cm ISBN 978-987-1436-21-7. - Peña, Daniel (2001) Fundamentos de Estadística. Editorial Alianza. - Saino Martin (2009). Cálculo de Probabilidades. Guía de aplicaciones prác-ticas correspondiente a los Capítulos III a VI del programa de Estadística I. Asoc Coop F.C.E. (U.N.C.).

212

Soluciones y respuestas al Capítulo 4 Guía de Estadística

Actividad 1 a) Espacio muestral Ω= ( C; C) , ( S; C ) , ( C; S ) . ( S; S ) Probabilidad de cada evento= 1/4 b) Los distintos valore de la variable Yi se determinan a partir del análisis de los distintos eventos del espacio muestral

EVENTOS yi

S S 0 C S

1 S C C C 2

c) Función de probabilidad

d) Y es una variable aleatoria discreta ya que el espacio muestral asociado es finito.

Actividad 2

a) Función de cuantía Función de distribución

yi p( yi) 0 1/4

1 1/2

2 1/4 Total 1 Es función de probabilidad

xi p( xi)

1 0,25

2 0,25

3 0,25

4 0,25

Total 1

xi F( xi) 1 0,25 2 0,5 3 0,75 4 1

Soluciones y respuestas al Capítulo 4 – Guía de Estadística

213

b) P( x= 3) = 0,25 c) P(x>2)=P(x > 3)=0,50 Actividad 3 a) Para verificar que sea función de cuantía

xi p( xi) 1 0,05

2 0,08 3 0,17 4 0,35 5 0,22 6 0,1 7 0,03

Total 1

Sí es función de cuan-tía. La suma de las probabilidades es igual a 1.

a) Gráfico de bastones, para la función de cuantía

b) Función de distribución

xi F( xi)

1 0,05

2 0,13

3 0,3

4 0,65

5 0,87

6 0,97

7 1

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

1 2 3 4 5 6 7

214

a) P(X≤ 2) =0,08+0,05 = 0,13 b) P(x > 5) = P( x ≥ 6 ) = 0,010+0,03 = 0,13 c) ( 3 ≤ x < 9 ) = P(3 ≤ x ≤ 7 ) = 0,17+0,35+0,22+0,10+0,03 = 0,87 Actividad 4 a) K 12 + k 22 + k 32 + k 42 + k 52 = 1

k.( 1+4+9+16+25 ) = 1 k. 55 = 1 k= 1/55

Función de cuantía f(x) = 1/55 . x2 para x= 1,2,3,4,5

0 para todo otro valor b) Función de cuantía

P (1 ≤ X < 4)= P (1 ≤ X ≤3 ) = 0,02+ 0,07+0,16 = 0,25 a) P (3 ≤ X ≤ 6) = P (3 ≤ X ≤ 5) = 0,16+0,29+0,45 = 0,91 b) Gráfico de la función de cuantía

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

F(x)

xi p( xi) 1 0,02 2 0,07 3 0,16 4 0,29 5 0,45

Total 1,00


215

a) Función de distribución

xi F( xi) 1 0,02 2 0,09 3 0,25 4 0,55 5 1,00

Actividad 5 a) Para ver si es o no función de cuantía valuamos la función dada en los dis-tintos valor y vemos si esta suma es o no igual a 1. 1/15( -1+2) +1/15(0+2)+1/15(1+2)+ 1/15(2+2) +1/15(3+2) = 1/15 ( (1) + (2) + (3) + ( 4) + (5) ) = 1/15 . (15) = 1 Entonces concluimos que si es función de cuantía Podemos expresarla en una tabla (dado que es una variable discreta).

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

1 2 3 4 5

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 1 2 3 4 5 6

F(x)

216

xi p( xi) -1 0,07 0 0,13 1 0,20 2 0,27 3 0,33

Total 1,00 Gráfico de la función de cuantía

a) Función de acumulación

xi F( xi) -1 0,07 0 0,20 1 0,40 2 0,67 3 1,00

Actividad 6 a)

Se determina por diferencia = 1-0.1-0.18-0.35-0.17-0.05 b) Es una variable discreta porque asume solo 6 valores, su espacio muestral es finito. c) Probabilidad de que sea rentable =P(X>0)= 0.78

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

1 2 3 4 5

xi p( xi) -100 0,05

0 0,17 50 0,35

100 0,18 150 0,15

200 0,1 Total 1


217

Actividad 7

a) 3

∫ 1 1/2 dx =1/2 . ( x 3 ) = 1/2 .( 3-1) = 1 Por lo tanto si es función de densidad

1

b) Para determinar la función de distribución debemos integrar entre el menor de los limites ( en este caso 1) y hasta un valor que denominaremos “u” com-prendido en este ejemplo entre 1≤ x ≤ 3

u ∫ 1 1/2 dx = 1/2 . ( x

u ) = 1/2 ( u-1) 1

0 x3

c) P( x< 2) = F(2) = 0,5 o bien ∫ 1/2𝑑𝑥21

d) P( 1,5 < x < 2) = F(2) - F(1,5) = 0,25 o bien ∫ 1/2𝑑𝑥21,5

e) P(90) = P( X < x1) = 0,90

F(x1) = 0,90 Usando la función de distribución 1/2 ( x1 – 1 ) = 0,90

Despejando x1 = 2.8 es el percentil 90, es decir, el valor de la variable que supera el 90% de los casos. Actividad 8 a) Donde f(x) = F´(x)

= 2kx

Para que sea función de densidad:3

0

2 1k xdx =∫ Integrando y valuando obtenemos: K(32 – 02)=1 K9=1 K=1/9 Entonces el valor de k que hace que esta función sea de densidad es k= 1/9

218

f(x) = 2/9x 0≤ x ≤ 3

0 para todo otro valor de x

b) P( x ≥ 1 ) = 1 – F( 1) = 1 – 1/9 . 12 = 1-1/9 = 8/9 = 0,89 o bien ∫ 2/9𝑥 𝑑𝑥31 c) P10 es equivalente a plantear P( x ≤ X1) = 0,10 F( x1) = 0,10 1/9 . x1

2 = 0,10 Entonces x1 despejando resulta igual a x1= 0,95= P10 d) P( x ≤ xo) = 0,70 F( xo) = 0,70 1/9 xo

2 = 0,70 Entonces x0 despejando resulta igual a x0= 2.51 Actividad 9 Para verificar si es o no función de densidad planteamos 1 5

0

12y dy =∫

Integrando y valuando obtenemos 1/2 ( y6 /6 1 ) = 1 0 1/2 ( 1/6 ) = 1 1/12 ≠ 1 no da igual a “1” por lo que así planteada no es función de densidad. Para que lo sea debemos multiplicar a la función dada por “12”, con lo cual la función de densidad será f(y) = 6 y5 0 ≤ y ≤ 1 0 para todo otro valor de y b) Me = y1 tal que P( y ≤ y1) = 0.50 Obtenemos la función de distribución

� 6 𝑦5 𝑑𝑦 = 6 𝑦6

6� =0𝑢

𝑢

0𝑦6

y6=0.5 Despejando obtenemos un valor de mediana y1 = 0.89


219

d) P( y > 0,80) = 1- F(0,8) = 1 – 0,86 = 0,738 También puede calcularse como

� 6 𝑦5 𝑑𝑦1

0,8

Actividad 10

x f(x) x f(x) 2 0,3 0,6

4 0,1 0,4 6 0,05 0,3 8 0,15 1,2 10 0,15 1,5 12 0,25 3

1 7 Esperanza

Se espera que el número de meses promedio entre pagos sucesivos sea igual a 7. Actividad 11 Calcular los valores esperados de las distribuciones correspondientes a las Actividades 3 a 9 inclusive.

Actividad Esperanza

3 4,03

4 4,091

5 1,667

6 73

7 2

8 2

9 0,857 Los valores se esperanza se calcularon teniendo presente el tipo de variable.

220

Actividad 12

Situaciones posibles Ganancia Neta Probabilidad

No se aprueba el proyecto -1000 0,7

Se aprueba y se obtiene un ingreso de $50.000 49000 0,18



Total

1 La probabilidad 0,18, por ejemplo, surge de multiplicar 0,30 que es la probabi-lidad de que sea aprobado por 0,60 que es la probabilidad de obtener un in-greso de $50.000 Esperanza = $ 9.830 Actividad 13

Premio Probabilidad 1000000 0.0000005

500000 0.0000005 0 0.9999990

La probabilidad de ganar $1.000.000 se obtiene como 1/2.000.000 y la pro-babilidad de ganar $500.000 se obtiene como 1/1.999.999 (suponiendo que la etiqueta del 1º premio se retira del sorteo) a) Esperanza = $ 0,75 b) No porque la ganancia esperada es menor que el costo c) No porque la ganancia esperada es igual al costo Actividad 14 a)

xi p(xi) xi p(xi) 13,5 0,2 2,7

15,9 0,5 7,95 19,1 0,3 5,73 Total 1 16,38 Esperanza

b) Definimos a W= precio esperado donde W = 25x-8,5

E(W) = E( 25 x- 8,5) = 25. E( x) – E(8,5) = 25. 16,38 – 8,5 = 401 es el precio promedio esperado.

Actividad 15

1- Definimos una nueva variable w con el incremento del 30% W= x + 0,30 x W= 1,30 x Y aplicamos propiedades de la esperanza E(W) = E( 1,30 x ) = 1,30 . 9830 = $ 12779


221

2-Definimos una nueva variable w con el incremento de $5000 W = X + 5000 Y aplicamos propiedades de la esperanza E( W) = E ( X+5000) = 9830 + 5000 = $ 14830 3- Definimos una nueva variable W con ambos incrementos W = 1,30 X + 5000 Y aplicamos propiedades de la esperanza E(W) = E( 1,30 x + 5000) = E(1,30 x ) + 5000 = 1,30 . 9830 + 5000 = $ 17779 4- Definimos una nueva variable w con ambos incrementos planteados en este punto W = 0,90 X - 120 E(W) = 0,90 . 9830 - 120 = $8727 Actividad 16

xi2 pi

36,45 126,405 109,443 272,298

E(x2) V(x) = 272,298 – (16,38)2 = 3,99 Actividad 17

Actividad Esperanza E(X2) Varianza

3 4,03 18,07 1,83

4 4,091 17,8 1,06

5 1,667 4,333 1,56

6 73 10550 5221

7 2 4,333 0,33

8 2 4.5 0.5

9 0,857 0,75 0,02 Actividad 18 a) Analizaremos las esperanzas de cada una de las opciones

Opción A valores pi xi pi

S1 2,5 0,12 0,3

S2 8 0,27 2,16

S3 4,5 0,41 1,845

S4 -1,5 0,2 -0,3

1 4,005 Esperanza opción A

222

Opción B valores pi xi pi

S1 2,5 0,12 0,3

S2 2,5 0,27 0,675

S3 2,5 0,41 1,025

S4 2,5 0,2 0,5

1 2,5 Esperanza opción B

opción C valores pi xi pi

S1 0 0,12 0

S2 7,5 0,27 2,025

S3 9,5 0,41 3,895

S4 -2 0,2 -0,4

1 5,52 Esperanza opción C

La opción C tiene mayor rentabilidad esperada. Veamos las 3 varianzas.

Varianza A 10,74

Varianza B 0

Varianza C 22,52

Se recomienda calcular los CV ya que las esperanzas de las tres opciones son diferentes. La menos riesgosa es la opción B Actividad 19 V(X) = $2 368.741.100

1- Definimos una nueva variable W con el incremento del 30% W= X + 0,30 X W= 1,30 X Y aplicamos propiedades de la varianza V(W) = V( 1,30 x ) = (1,30)2 . V (X) 2-Definimos una nueva variable W con el incremento de $5000 W = X + 5000 Y aplicamos propiedades de la varianza V( w) = V ( X+5000) = V (X) + V(5000) = V(x) 3- Definimos una nueva variable W con ambos incrementos W = 1,30 X + 5000 Y aplicamos propiedades de la varianza V(W) = V( 1,30 X + 5000) = V(1,30 X ) + V( 5000) = (1,30)2 . V(x)


223

4- Definimos una nueva variable W con ambos incrementos planteados en este punto W = 0,90X - 120 V(W) = 0,92 . V(x) Actividad 20) E(Z) = E( (X-10) 1/ 2) = 1/2 . [E(X)- E(10) ] = 1/2 ( 10-10) = 0 V(Z) = V( ( X-10) 1/2 ) = 1/4 ( V(X) + V(10)) = 1/4 ( 2+2 ) = 1 Actividad 21

{ }

{ }

2

2 2

2

2

2 2

2

1

1

11

Pr

Pr

X kk

k

X kk

k

σµ σσ

σµ σσ

− > <

<

− ≤ ≥ −

≥ −

En este caso debemos utilizar la primer expresión , en donde para este caso k=2 Entonces el valor de probabilidad buscado será 1/4 = 0,25 Actividad 22 a) P( 140 ≤X ≤ 180) = P(140 – 160 ≤X- μ ≤ 180) = P(-20 ≤X - μ ≤ 20) =

b) P( X – μ ≤ 20) = 1- 102/202 = 1-0,25 = 0,75 c) P( X – μ > 15 ) < 102 /152 = 0,4444

d) P( X 190 ) =

e) P( X – μ > 30 ) < 102 /30 2 = 0,1111 Actividad 23 a) P( X – μ ≤ k ) ≥ 1-1/k2 = 0,95

Despejando el valor de k 1-0,95 = 1/k2

0,05 = 1/k2

1/0,05 = k2 Entonces k = 4,47 ( aprox) Para el caso de 99% el procedimiento es similar y el valor de k = 10 b) P( 18-20 ≤ |𝑋 − 𝜇|≤ 22-20 ) = P( -2 ≤ |𝑥 − 𝜇|≤ 2 ) = 1- 4/4 = 0 (prob mí-nima).

Ciclo Básico a DistanciaFACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

Estadística ITomo II (cap. 4, 5 y 6)

AUTORIDADES Mgter. JHON BORETTO Decano Dra. MARÍA LUISA RECALDE

Vicedecana Cr. FACUNDO QUIROGA MARTÍNEZ Secretario Técnico Cr. DIEGO CRIADO DEL RÍO

Secretario de Administración Mgter. GERARDO HECKMANN Secretaria de Asuntos Académicos Lic. JUAN SAFFE Secretario de Extensión Cr. MATÍAS LINGUA

Secretario de Asuntos Estudiantiles Dr. ANDRÉS MATTA Secretaria de Ciencia, Técnica y Relaciones Internacionales Mgter. CLAUDIA CARIGNANO Prosecretaria de Evaluación Institucional y Acreditación de Carreras Cr. HUGO PRIOTTO Director de la Carrera Contador Público Mgter. MARCELO CAPELLO Director de la Carrera de Licenciatura en Economía Lic. TOMÁS GASTÓN Director de la Carrera de Licenciatura en Administración

CICLO BÁSICO A DISTANCIA ÁREAS QUE PARTICIPAN

Coordinación Académica Secretaría de Asuntos Académicos Mgter. Gerardo Heckmann Coordinación Organizativa de Divisiones a Distancia Lic. David Taborda

Área de Formación Docente y Producción Educativa Coordinador General Oscar Margaría Asesora pedagógica Dra. Adela Coria Equipo de producción en tecnología educativa y comunicación Mgter. Gabriela Sabulsky Lic. Cecilia Botino Lic. Víctor R. Cacciagiú Lic. Laura Delmonte Lic. Vanesa Guajardo Esp. Verónica Pacheco Lic. María Florencia Scidá Administración Lic. Nora Ceballos

Proyecto “Elaboración de material didáctico en formato digi-tal para Estadística I” en el marco del Programa de Apoyo y Mejoramiento a la enseñanza de grado de la UNC aprobado por Res. HCS Nº583-2015.

Coordinadora del Proyecto: Margarita Díaz

AUTORES Norma Patricia Caro Rosana Beatriz Casini Margarita Díaz Fernando García Mariana González Martín Saino María Inés Stímolo

Proyecto “Fortalecimiento del Ciclo Básico a Distancia” en el marco del Programa de Apoyo y Mejoramiento a la enseñanza de grado de la UNC aprobado por Res. HCS Nº 604-2014.

Coordinadora del Proyecto: Dra. Adela Coria Maquetación de materiales Lic. Víctor R. Cacciagiú y Lic. Ismael Rodríguez Diseño gráfico y audiovisual Lic. Laura Delmonte Asesoramiento y diseño pedagógico - didáctico Esp. Verónica Pacheco y Lic. Vanesa Partepilo Asesoramiento y diseño comunicacional Lic. Cecilia Botino y Lic. María Florencia Scidá

Capítulo 5Modelos de probabilidad

ÍNDICE

Capítulo 5: Modelos de probabilidad

1. Introducción 227 2. Modelos de probabilidad para variables discretas 227 2.1 Modelo Bipuntual 228 2.2 Modelo Binomial 232 2.3 Modelo Hipergeométrico 245 2.4 Modelo Poisson 250 3. Modelos de probabilidad para variables continuas 261 3.1 Modelo Exponencial 261 3.2 Modelo Normal 268 4. Ejercicios de Integración 281 5. Referencias Bibliográficas 282 Soluciones y respuestas al Capítulo 5

284

Capítulo 5: Modelos de Probabilidad

227

Capítulo 5: Modelos de probabilidad

1. Introducción En la Unidad 3 comenzamos a estudiar la teoría de las probabilidades,

como nexo entre la estadística descriptiva y la estadística inferencial. En este Capítulo trabajaremos dentro de las distribuciones de probabilidad con mode-los especiales para variables discretas y continuas.

En la Unidad 4 se trabajó el significado de variable aleatoria, a su vez las

clasificamos según su naturaleza en discretas o continuas. También hemos presentado la distribución de probabilidad y calculado esperanza y varianza.

Con estos conceptos vamos a identificar y plantear modelos particula-

res de probabilidad de amplio uso en situaciones que ocurren cotidianamente, como la cantidad de piezas defectuosas en una producción de 100 artículos, las llamadas en espera en una central telefónica en una hora, los ingresos de los empleados de una fábrica, el tiempo de realización de una tarea, entre otras

Los modelos de variables discretas que consideraremos son: Bipuntual, Binomial, Hipergeométrico y Poisson. Para el caso continuo, analizaremos los modelos Normal y Exponencial.

A continuación, procederemos a caracter

Estadística I · 2020. 3. 8. · base para el estudio de los temas dela próxima Unidad, donde...

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