1

EJES Y ÁRBOLES

Estado de Carga

Pasos a seguir en el diseño de un árbol de transmisión

Materiales

Disposiciones Constructivas

Cálculo del Diámetro

Chavetas

Velocidad Crítica de Ejes

Cuestiones

2

• Ejes: sirven para soportar piezas inmóviles o rotatorias de

máquinas, pero no transmiten ningún momento de giro. Por lo

general sometidos a flexión.

• Árboles: siempre rotatorios, sirven para transmitir un momento

de giro. Están sometidos a torsión y flexión.

• Tipos:

– Acodados o Cigüeñales

– Rectos: macizos o huecos

– Cilíndricos de Sección Variable

3

4

Eje no Giratorio

Árbol Biapoyado

5

Estado de Carga

• Árboles de transmisión giratorios, principalmente:

– torsión debida al par transmitido

– flexión debida a cargas transversales en engranajes, poleas

para cables o transmisiones por correa y cadena.

– aún cuando los esfuerzos radiales sean de valor constante,

por ser el eje giratorio éste se verá sometido a cargas

alternativas (menor valor de adm)

6

Estado de Carga

• Si Eje no giratorio (no transmite ningún par) y las poleas o

engranajes si giran con respecto a él (con cargas ). Se calculan

estáticamente como un eje o viga de sección circular con

fuerzas radiales (momentos flectores y tensión normal)

• También hay que considerar:

– el esfuerzo cortante debido a estas fuerzas radiales

– esfuerzos axiales

– en la mayoría de los casos los esfuerzos cortantes debidos a las

fuerzas transversales y las tensiones normales debidas a las

fuerzas axiales no son tenidos en cuenta, salvo en ejes cortos no

giratorios (pasadores, bulones, apoyos, etc.)

7

Pasos a seguir en el diseño de un árbol de transmisión

1.- Velocidad de giro del árbol.

2.- Potencia o par a transmitir.

3.- Geometría de los componentes

4.- Posición de los apoyos

5.- Geometría del árbol (chaveteros, ajustes a presión, árboles estriados, etc.).

6.- Distribución de torsores

7.- Fuerzas ejercidas sobre el árbol por los elementos de transmisión de potencia, (engranajes, poleas, ruedas dentadas para cadenas, etc.) y fuerzas de reacción sobre los apoyos en cada plano.

8. Diagramas de cortantes y flectores.

9. Seleccionar el Material

10. Cálculo a Resistencia.

11. Analizar cada punto crítico del árbol para obtener el mínimo diámetro aceptable del árbol para garantizar un coeficiente de seguridad frente al estado de cargas en ese punto.

12. Especificar las dimensiones finales

13. Detalles de diseño

8

Materiales

• Hasta Ø 150 mm, de redondo de acero.

• Cargas Bajas: aceros de construcción St 42-2, St 50, St 60 o St 70

• Grandes Exigencias: aceros al Carbono como F - 1120, F - 1130 o F - 1140, o aceros aleados y aceros de cementación, para.

• Para diámetros mayores y árboles fuertemente escalonados, forjados.

• Cada vez más, en mecanismos sometidos a bajas cargas, se emplean materiales sintéticos y todo tipo de plásticos.

• La elección depende de: r.p.m. ; σR; resistencia al desgaste, apoyos y escalonamientos, material disponible, herramientas, etc.

9

Tipos de

Aceros DIN UNE AISI % C % Otros

Resistencia a la flexión

alternativa / pulsatoria

[N/mm2]

bW bSch

Resistencia a la torsión

alternativa / pulsatoria

[N/mm2]

tW tSch

Límite

elástico

[N/mm2]

Carga de

Rotura

[N/mm2]

Dureza

Vickers

mínima -

HV

(endurecib

le hasta)

Aceros de construcción

St 42-2

St 50-2

St 60-2

St 70-2

Fe430 BFN

Fe490-2FN

Fe590-2FN

Fe690-2FN

1020

A570Gr.50

A572Gr.65

-

0,25

0,30

0

,4

0

0,50

220

260

300

340

360

420

470

520

150

180

210

240

180

210

230

260

250

290

330

360

420 - 500

500 - 600

600 - 720

700 - 850

115

(450)

135 (530)

165 (720) 190

Aceros al carbono

C 22,Ck 22

C 35,Ck 35

C 45,Ck 45

F-1120

F-1130

F-1140

1020

1035

1045

00,2

2

0,35

0,45

280

330

370

490

550

630

190

230

260

250

300

340

290

360

390

500 - 650

590 - 740

670 - 820

150

140 (530)

170

(720)

Aceros aleados de gran resistencia

25CrMo4

F-1256

4130

00,2

5

1,1 Cr

0,2 Mo

430

730

300

450

540

800 - 950

186 (610)

Aceros moldeados de baja aleación resistentes a la abrasión

34Cr4

F-8221

5132

00,3

4

1,1 Cr

480

810

330

550

640

900 - 1100

229 (670)

Aceros de cementación

C 15,Ck

15

16MnCr5

F-1511

F-1516

1015

5115

00,15

0,16

0,95 Cr

260

390

420

670

180

270

210

430

290

590

500 - 650

800 - 1100

140 (840)

210 (840)

Denominación, composición y características mecánicas de los aceros comúnmente empleados en la fabricación de ejes y árboles

10

11

12

13

Dis

posi

cion

es

Con

stru

ctiv

as

14

Dis

posi

cion

es

Con

stru

ctiv

as

15

Árboles sin Voladizos

16

Ejes - Piñónt

2,5 m engranajes cilíndricoss

1,6 m engranajes cónicos

17

Ejes Piñón - biapoyados, sin voladizos

18

Ejes Huecos

19

Operaciones sobre Ejes Huecos

Montaje Desmontaje

Fijación

20

SOPORTES DIN 15058

Ø < 100 mm un soporte de eje Ø > 100 mm dos soportes

Los tornillos de sujeción no deben ser sometidos a esfuerzo por la presión del eje.

21

Diámetro

d del ejea

b

(1)C1 C2

d1

(2)f g h

Tornillos

rosca

según

rosca

normal

sujeción

DIN 13

rosca

fina

Peso

Kg.

aprox.margendiámetro

preferente

más de

15

hasta 25

18

20

22

25

20 5 60 36 916

17

18

3

4

4,5

10 M8 M8x1 0,042

más de

25

hasta 40

28

(30)

32

(35)

36

40

25 6 80 50 11

22

23

24

4,5

5,5

6

12 M10 M10x1 0,085

Más de

40 hasta

63

45

50

(55)

56

(60)

63

30 8 100 70 13

31

33

35

36

37

6.5

7

7.5

8

9

9.5

16 M12 M12x1.5 0.190

Dimensiones para los soportes de ejes

22

d l r c

20 36 1.6 1.0

22 36 1.6 1.0

25 42 1.6 1.0

28 42 1.6 1.0

32 58 2.0 1.6

36 58 2.0 1.6

40 82 2.0 1.6

45 82 2.0 1.6

50 82 2.5 2.0

55 82 2.5 2.0

60 105 2.5 2.0

70 105 2.5 2.0

80 130 3.0 2.5

90 130 3.0 2.5

Dimensiones

Estandarizadas para

Extremos de Ejes

Cilíndrico-Rectos

23

Un rodamiento fijo y el otro libre

24

25

Rodamientos Oscilantes

26

27

Agujeros y Ranuras de Engrase

28

Cálculo del Diámetro

• Diámetros Normalizados Ejes y Árboles (UNE 10018)

• Ejes a Flexión

• Árboles de Modo Aproximado

• Torsión de Ejes Circulares

29

Diámetros Normalizados Ejes y Árboles (UNE 10018)

Serie de Diámetros

– 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 125, 140, 160, 180, 200, 220, 240, 260, 280, 300, 320, 340, 360, 380, 400, 420, 440, 460, 480, 500

– Para Ø > 100 mm, si es preciso utilizar valores distintos, se elegirán de forma que terminen en 2, 5 y 8 mm.

Longitud

– 25 mm ≤ Ø ≤ 45mm: Lmáx: 5.000 mm

– 50 mm ≤ Ø ≤ 55mm: Lmáx: 6.000 mm

– Ø ≥ 60mm: Lmáx≤ 6.950 mm

30

Ejes a Flexión

• badm = 80 a 120 N/mm2 para ejes en reposo de St 50;

o bien badm = bSch/(4..5)

• badm = 60 N/mm2 para ejes giratorios de St 50; o bien

badm = bW/(4..6)

bb b adm3

b3

b

Mσ = σ

π·d32

Md=2,17

31

Árboles de Modo Aproximado

t t3t dm3

t

M Mτ = τ d=1,72 π·d

16

• adm = 14....18 N/mm2 prescindiendo de la flexión, St 50; o bien adm = tSch/(12...14)

• adm = 35….45 N/mm2 para torsión pura en acero St 50; o bien adm = tSch/(4...5)

32

Torsión de Ejes Circulares

• Las secciones transversales perpendiculares al eje antes de la aplicación de la carga, permanecen planas y perpendiculares al eje después de que los torsores han sido aplicados.

• El diámetro no cambia y las líneas radiales permanecen recatas y radiales después de la torcedura.

33

1· = l·r Ley de Hooke

= G

1· ·G r

l

2

1 1

1 1

· · · · Ir r

o oMt r dA r dA

r r

tM ·l =

I·G

φ, G y l son constantes, luego ζ varía

con el radio

34

Árboles a Flexión y a Torsión

22 ' '

3v b 4

i

·2

1 árboles macizos

1M = M d=2,17 b ; b árboles huecos

1

d1,065 para 0.5d

bT

b i

aM

M

dd

• badm = 40 a 60 N/mm2 para árboles de St 50; o bien badm =

bW/(4..5)

• badm = 100 a 150 N/mm2 para árboles de engranajes de acero de bonificación

t

b

pulsatoriaa 1,2 para

alternativa

t

b

alternativaa 1,7 para

pulsatoria

35

CHAVETAS

36

Chaveteros

Las longitudes recomendadas son: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 32, 36, 40, 45, 50, 56

37

• CORTADURA:

s

F T 2·Tτ = = =

A (D/2)·(b·L) D·b·Ly

d

Sτ = 0,5 ·

N

CORTADURAmind

2·TL =

τ ·D·b

• APLASTAMIENTO:

y

d

S σ =

Nc

F T 4·Tσ = = =

D hA D·L·h( )·L·( )2 2

APLASTAMIENTO

dmin

4·T

σ ·D·hL =

Chavetas

38

Chavetas Paralelas. Datos de Aplicación ( UNE 1710 )

39

Secciónb x h

Anchob

Alturah

Chaflánb1

Longitudl(2)

NominalTolerancia

h9Nominal

Tolerancia (1)

Mínimo Máximo de a

2 x 2 2 0 2 0 0,16 0,25 6 20

3 x 3 3 -0,025 3 -0,025 0,16 0,25 6 36

4 x 4 4 0 4 0 0,16 0,25 8 45

5 x 5 5 -0,030 5 -0,030 0,25 0,40 10 56

6 x 6 6 6 0,25 0,40 14 70

8 x 7 8 0 7 0,25 0,40 18 90

10 x 8 10 -0,036 8 0 0,40 0,6 22 120

12 x 8 12 8 -0,090 0,40 0,6 28 140

14 x 9 14 0 9 0,40 0,6 36 160

16 x 10 16 -0,043 10 0,40 0,6 45 180

18 x 11 18 11 0,40 0,6 50 200

20 x 12 20 12 0,60 0,8 56 220

22 x 14 22 0 14 0 0,60 0,8 63 250

40

Secciónb x h

Anchob

Alturah

Chaflánb1

Longitudl(2)

NominalTolerancia

h9Nominal

Tolerancia (1)

Mínimo Máximo de a

25 x 14 25 -0,052 14 -0,110 0,60 0,8 70 280

28 x 16 28 16 0,60 0,8 80 320

32 x 18 32 18 0,60 0,8 90 360

36 x 20 36 0 20 1,00 1,2 100 400

40 x 22 40 -0,062 22 0 1,00 1,2 - -

45 x 25 45 25 -0,130 1,00 1,2 - -

50 x 28 50 28 1,00 1,2 - -

56 x 32 56 32 1,6 2,00 - -

63 x 32 63 0 32 1,6 2,00 - -

70 x 36 70 -0,074 36 0 1,6 2,00 - -

80 x 40 80 40 -0,160 2,5 3,00 - -

90 x 45 90 0 45 2,5 3,00 - -

100 x 50 100 -0,087 50 2,5 3,00 - -

41

Velocidad Crítica de Ejes

• Aun sin la presencia de cargas externas, el eje se deforma durante la

rotación

• La deformación, considerada como una función de la velocidad, presenta

sus valores máximos en las llamadas velocidades críticas

• La magnitud de la deformación depende de la rigidez del eje y de sus

soportes, de la masa total del eje y de las partes que se le adicionan, del

desequilibrio de la masa con respecto al eje de rotación y del

amortiguamiento del sistema.

• Sólo la más baja (primera) y ocasionalmente la segunda tienen importancia.

Las otras son tan altas que están muy alejadas de las velocidades de

operación.

42Distintas deformadas según disposición

43

Primera Velocidad CríticaEje de masa despreciables que lleva una sola masa (m)

– k es la constante del resorte del eje (fuerza requerida para producir una deformación unitaria en el punto de localización de la masa).También puede expresarse como.

– δ es la deformación estática, (deformación producida por una fuerza mg, en el punto de localización de la masa), y g es la constante de gravitación.

-1

c rad·skn = m-1

c rad·sgn =

-1

c

981 cm·sg 1n = = 300 r.p.m.cm cm

44

Primera Velocidad Crítica

Eje de masa despreciable con varias masas concentradas

unidas a él: Ecuación de Rayleigh-Ritz

2

·

·

-1

j

n1

c j

n1

rad·s

g· W n =

W

n

n

• Wn peso de la masa enésima

• δn deformación estática de la masa

enésima

• j número de masas

45

Primera Velocidad Crítica

Eje de masa despreciable con varias masas concentradas

unidas a él: Ecuación de Dunkerley

2 2 2 2c 1 2 3

1 1 1 1 = + + + .... n n n n

• nc primera veloc. crit. del sistema de masas múltiples

• ni veloc. crít. si sistema de masa i aislado

46

Velocidades Críticas más Altas

Sistema con dos masas:

11 1 22 2 11 22 12 21 1 24 2

1 1 - a ·m +a ·m + a ·a - a ·a · mm = 0

w w

w1 primera veloc. crit. w2 segunda veloc. crit.

aii coeficientes de influencia

a12 deformación en el punto de localización de la masa nº 1

producida por una carga unitaria localizada en el punto de

la masa nº 2

a11 es la deformación producida por una carga unitaria en el

punto nº 1, etc.

47

211 1 12 2 13 3

221 1 22 2 23 3

231 1 32 2 33 3

1a ·m - a ·m a ·m w

1a ·m a ·m - a ·m w

1a ·m a ·m a ·m - w

0

Velocidades Críticas más Altas

Sistema con masas múltiples:

48

Deformadas de Vigas Cargadas Transversalmente

Y

O

dØ

Ø

dx

ds

x

m1m

A B

Deformada de una viga sometida a flexión

·2

Z flector en el punto2

d yE·I = M

d-

x

Generalmente se desprecia el efecto del esfuerzo cortante

49

Obtener la ecuación de la

elástica en una viga apoyada en

sus extremos, sometida a una

carga transversal, puntual,

según se representa en la

figura siguiente.

·P

M=2

x · ·2

Z 2

d y PE·I = -

d x 2x

Multiplicando ambos miembros por dx e integrando

·2

Z 1

dy P·xE·I = - C

dx 4

por simetría, la pendiente para x = L/2 ha de ser nula2

1

P·LC =

162 2

z 2

P·x P·LE·I = - + x+ C

4 16

dy

dx

la flecha en el apoyo es cero, es decir, para x = 0, y = 0 C2 = 0

3 2 3

máxz z

P x L ·x P LL y = - - y x= = - 2E·I 12 16 E·I 48

50

Diámetros de alma 7/8/13/16/19 mm.

7 y 8 mm: Largo 1,2 y 1,3 m con cabezal de mandril de 10 mm.

o boquillas.

6 mm: Largo 2,2 m para trabajos continuos con piedras o

paños de 7".

9 mm: Largo 2,3 m. para trabajos continuos con piedras de más

de 8".

51

Máquina de eje flexible (7 velocidades):

Máquina portátil especialmente concebida para la industria de moldes, matrices, modelos de madera y metálicos, fundición de metales y plásticos.

Rectificados interiores, industrias de calderería y acero inoxidable. De gran utilidad para fabricantes de mostradores, frigoríficos,

fregaderos, etc.Industria química y otras.

Vibrador de Hormigón

52

CuestionesIndicar:

1. ¿Cuál es un eje en

voladizo?

2. Árbol Giratorio

3. Sometido a Flexión y

Torsión

53

Indicar:

1. Disposiciones

Imposibles

2. Eje con un solo voladizo

3. En cuál los rodamientos

han de colocarse por

lados opuestos

54

El árbol de transmisión de la figura gira a 450 rpm. Ambos engranajes actúan

como motrices respecto de la rueda que engrana con cada uno de ellos,

transmitiendo los esfuerzos proporcionales a la potencia indicada para cada

uno. Representar las fuerzas y momentos que solicitan el eje debido al

acoplamiento y engranajes sobre un modelo 3D.

55

Representar el diagrama de momentos torsores para el eje de la figura anterior, indicando los valores numéricos que le definen.

56

A continuación se representan seis árboles de transmisión, mostrando distintas situaciones de cargas: estáticas, alternativas de flexión, axiales y cargas de torsión. Indicar para cada una la descripción del estado de carga que soporta el eje

57

58

59