Probabilidad y Estadstica 2012UNIVERSIDAD TECNICA ESTATAL DE QUEVEDO

FACULTAD CIENCIAS DE LA INGENIERIAESCUELA DE INFORMATICA

CARRERA INGENIERA EN SISTEMAS

2012

ESCUELA DE INFORMATICA

TEXTO GUIA

PROBABILIDAD Y ESTADISTICAAUTOR- COMPILADORING. FERNANDO MACIAS TACHONG PREFACIOEl presente texto gua acomete ser claro, sencillo y simplificado. Los conceptos bsicos de Estadstica y Probabilidad, son un repaso a la relacin dinmica existente entre lgica y matemticas, disciplinas que por medio de reglas y tcnicas determinan si un argumento es vlido. La lgica es ampliamente aplicada en la filosofa, matemticas, computacin, fsica. En la filosofa para determinar si un razonamiento es vlido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lgica permite saber el significado correcto. En este contexto juegan un papel fundamental para las diferentes aplicaciones de estudio de la carrera de Ingeniera en Sistemas.Tomando en consideracin los avances tecnolgicos, surge la necesidad de analizar las relaciones entre el hombre con sus actividades y las matemticas para demostrar teoremas e inferir resultados matemticos que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computacin para revisar programas. Se desarrollo este manual, pensando en que los lectores son educandos y personas con experiencias referente al los temas de Lgica Matemticas y Algebra Elemental.

OBJETIVO GENERAL El conocimiento de la Estadstica permitir la determinacin de las modificaciones necesarias a fin de mantener la actividad de una empresa, cualquiera que esta sea, en un nivel deseado de calidad a partir del correcto manejo de los datos de dicha empresa. Manejar correctamente las tcnicas estadsticas con el fin de tomar decisiones correctas que afectan nuestra vida diaria. La Probabilidad permite a quien toma decisiones, analizar con informacin limitada- los riesgos y minimizar el azar inherente. Resolver problemas usando tcnicas de la Estadstica y de la Probabilidad.

CONTENIDOTEMA Pgs.PORTADA 1PORTADILLA 2PREFACIO 3CONTENIDO 4INTRODUCCION 6Tabla de contenidoCARRERA DE DISEO GRAFICO Y1MULTIMEDIA120111UNIDAD I. Estadstica descriptiva111. Conceptos Generales112. Datos estadsticos:132.1. Tipos de datos132.1.1. Niveles de medicin142.1.2. Datos de nivel nominal152.1.3. Datos de nivel ordinal162.1.4. Datos de nivel de intervalo162.1.5. Datos de nivel de razn.172.2. Distribucin de frecuencias182.2.1. Elaboracin de una distribucin de frecuencias202.2.2. Intervalos de clase y puntos medios de clase202.3. Representacin grfica de una distribucin de frecuencias212.3.1. HISTOGRAMA222.3. Polgono de frecuencias222.3.1. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA RELATIVA232.3.2. Otras representaciones grficas de datos253. Medidas de tendencial central283.1. Media aritmtica283.2. Media aritmtica ponderada283.3. Mediana303.4. Moda313.5. Media Geomtrica323.6. Media, mediana y moda de datos agrupados334. Medidas de dispersin364.1. Amplitud de variacin364.2. Desviacin media374.3. Varianza y desviacin estndar404.4. Medidas de dispersin para datos agrupados en una distribucin de frecuencias.434.4.1. Amplitud de variacin434.4.2. Desviacin estndar.434.5. Interpretacin y usos de la desviacin estndar474.5.1. Teorema de Chebyshev474.5.2. Regla emprica484.5.3. Dispersin relativa49UNIDAD II. Probabilidad51

FACULTAD CIENCIAS DE LA INGENIERIAESCUELA DE INFORMATICACARRERA DE INGENIERIA EN SISTEMAS

PROBABILIDAD Y ESTADISTICAOBJETIVO GENERAL

El conocimiento de la Estadstica permitir la determinacin de las modificaciones necesarias a fin de mantener la actividad de una empresa, cualquiera que esta sea, en un nivel deseado de calidad a partir del correcto manejo de los datos de dicha empresa. Manejar correctamente las tcnicas estadsticas con el fin de tomar decisiones correctas que afectan nuestra vida diaria. La Probabilidad permite a quien toma decisiones, analizar con informacin limitada- los riesgos y minimizar el azar inherente. Resolver problemas usando tcnicas de la Estadstica y de la Probabilidad.C. FUNDAMENTACIN DE LA ASIGNATURA

La Probabilidad y Estadstica ha demostrado su importancia dada la necesidad que tienen todas las empresas de que las decisiones administrativas sean tomadas cientficamente, siendo esta materia la que permite, en base a un conjunto de datos y tcnicas. tomar las mejores decisiones.

D. OBJETIVOS EDUCATIVOS

Se espera que al final del presente curso el estudiante este en capacidad de tratar correctamente a un conjunto de datos usando las tcnicas estadsticas para obtener conclusiones vlidas. Propiciar el razonamiento crtico, que permita al alumno comprender y liderar procesos de cambios tcnicos en el desarrollo profesional.PLAN DE ESTUDIOSUNIDAD I. Estadstica descriptiva1. Conceptos Generales2. Datos estadsticos:2.1. Tipos de datos2.2. Distribucin de frecuencias2.2.1. Elaboracin de una distribucin de frecuencias2.2.2. Intervalos de clase y puntos medios de clase2.3. Representacin grfica de una distribucin de frecuencias2.3.1. Histograma2.3.2. Polgono de frecuencias2.3.3. Otras representaciones grficas3. Medidas de tendencia central3.1. Media aritmtica3.2. Media ponderada3.3. Mediana 3.4. Moda3.5. Media Geomtrica3.6. Media, mediana y moda de datos agrupados3.7. Seleccin de un promedio para datos de una distribucin de frecuencias.4. Medidas de dispersin4.1. Amplitud de variacin4.2. Desviacin media4.3. Variancia y desviacin estndar4.4. Medidas de dispersin para datos agrupados en una distribucin de frecuencias.4.4.1. Amplitud de variacin4.4.2. Desviacin estndar4.5. Interpretacin y usos de la desviacin estndar4.5.1. Teorema de Chebyshev4.5.2. Regla emprica4.5.3. Dispersin relativa4.5.4. Asimetra4.6. Otras medidas de dispersinUNIDAD II. Probabilidad2.1. Conceptos Generales2.2. Espacio muestral 1.1. Diagrama de rbol2.2.3. Eventos2. Conteo de puntos de la muestra2.1. Permutaciones2.2. Combinaciones3. Probabilidad de un evento4. Reglas aditivas5. Probabilidad Condicional6. Reglas multiplicativas7. Teorema de BayesUNIDAD III. Estadstica inferencial1. Conceptos generales2. Distribuciones probabilsticas discretas2.1. Introduccin2.2. Variables aleatorias2.2.1. Variable aleatoria discreta2.2.2. Variable aleatoria continua2.3. Media, variancia y desviacin estndar de una distribucin de probabilidad2.4. Distribucin probabilstica binomial2.5. Distribuciones probabilsticas acumulativas2.6. Distribucin probabilstica hipergeomtrica2.7. Distribucin probabilstica de Poisson3. Distribucin probabilstica normal3.1. Introduccin3.2. La familia de distribuciones probabilsticas normales3.3. Distribucin probabilstica normal estndar3.4. Aplicaciones de la distribucin normal estndar3.4.1. reas bajo la curva normal

F. SISTEMA DE EVALUACIONConsideramos que la evaluacin debe ser continua para analizar el aprendizaje, adems de la realizacin de trabajos grupales, individuales, investigaciones bibliogrficas, etc., de tal manera que se vayan cumpliendo los objetivos planteados. La calificacin ser el promedio de los valores asignados a cada una de las actividades que se desarrollan en cada unidad, tomando en cuenta la siguiente propuesta:EVALUACIONES CONTINUAS: 4 pTRABAJOS, CONSULTAS: 2 pEXAMEN FINAL: 4 pTOTAL: 10 pG. BIBLIOGRAFA

i. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA; Murray y Spiegel; Ed. Schaumii. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA; Walpole, Myers; Ed. Prentice mayiii. ESTADSTICA PARA ADMINISTRACIN Y ECONOMIA; Mason; Ed. Alfaomegaiv. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA; George Canavos; Ed. Mc Graw Hill

UNIDAD I. Estadstica descriptiva1. Conceptos GeneralesQu se entiende por Estadstica?Podramos definir a estadstica como un trmino que encontramos frecuentemente en nuestro lenguaje diario. Y en realidad tiene dos significados ; en el uso ms comn , la estadstica se refiere a informacin numrica: podemos citar como ejemplos el nmero promedio de automviles Chevrolet vendidos mensualmente el ao pasado por la concesionaria Automotores Continental, el porcentaje de visitantes que tuvo el mes de mayo el Centro Comercial Moll del Sol, el nmero de alumnos matriculados en la modalidad a Distancia en la UTEQ, el nmero de asistente al ltimo clsico del AstilleroEstos ejemplos citados hacen de la estadstica un nmero o un porcentaje, aunque puede ser tambin una coleccin numrica de informacin. Las estadsticas pueden presentarse grficamente o en forma de enunciado (por lo general se utiliza una grfica para captar la atencin del lector y mostrar una gran cantidad de informacin), como por ejemplo la participacin y venta de un producto en el mercado caso helados pingino o la operadora de celular claro.La materia estadstica tiene un significado mucho ms amplio que la manera de recopilacin y publicacin numrica. La estadstica se define como:La ciencia que se ocupa de recolectar, organizar, presentar, analizar e interpretar datos para ayudar a una toma de decisiones ms efectiva. Generalmente, el estudio de la estadstica se divide en dos categoras: E. Descriptiva y E. Inferencial. La definicin de estadstica que se presento con anterioridad menciona la organizacin, presentacin, anlisis..de datos refiere a la ciencia que comnmente se conoce como E. Descriptiva.

Estadstica descriptiva, es el conjunto de mtodos para organizar, resumir y presentar los datos de manera informativa.

2. Datos estadsticos:2.1. Tipos de datosExisten dos tipos bsicos de datos: (1) Los obtenidos a partir de una poblacin cualitativa, y los que resultan de una poblacin cuantitativa. Cuando las caractersticas o variables en estudio es no numrica, se la denomina variable cualitativa o atributo. Ej. De esta variable son el gnero sexual, religin, tipo de automvil, estado o lugar de nacimiento y el color de ojos de una persona. Normalmente los datos cualitativos se resumen en Diagramas o grficos de barras.Cuando la variable estudiada se puede expresar numricamente, se denomina variable cuantitativa. Ej. Pueden ser el saldo de una cuenta de cheques, la edad de los alumnos del pre-universitario, el nmero de hijos de una familia, la cantidad de candidatos a ser elegidos para una funcin pblica. Las variables cuantitativas pueden ser discretas o continuas .Las variables discretas pueden asumir solo ciertos valores, y generalmente existen ciertas brechas o huecos entre ellos; como por ej. el nmero de dormitorios de una casa (1,2,3,4) el nmero de carros que pagan peaje en la va a Salinas(2000, 2520, 2600). Notemos en el primer ejemplo, en una casa pueden haber 3 o 4 dormitorios, pero no 3.5 por tanto hay una brecha; lo mismo sucede en el segundo ej se cuenta el nmero de vehculos. Por lo general las variables discretas son resultado de un conteo. Las observaciones de una variable continua pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo determinado, ejs son la presin de aire en un neumtico, la cantidad de cereal en una caja y el tiempo de vuelo para transportarlo por va area desde Manta a Quito, son variables de ndole continua. El vuelo de Manta a Quito puede tardar 2 horas 45 minutos, o 2 horas 45 minutos y 30 segundos o bien 2 horas 45 minutos y 32.2 segundos, dependiendo de la presin cronomtrica. Las variables continuas resultan generalmente de medir algo.2.1.1. Niveles de medicinLos datos pueden clasificarse de acuerdo con los niveles de medicin. Generalmente, el nivel de medicin de un dato determina los clculos q se pueden realizar para resumir y presentar la informacin, y las pruebas estadsticas que pueden desarrollarse. Por ej. Hay 6 colores de dulces en una funda; suponemos q al color caf le asignamos el valor 1, al amarillo 2, al azul 3, al naranja 4, al verde 5 y al rojo 6. Se suman los valores asignados a los colores, y el resultado se divide entre el nmero de dulces, resultando q el color medio es 3.56. Esto significa q el color promedio es azul o naranja? Otro ej. Es una carrera en la pista de la escuela, existen 8 competidores en la carrera de 400m, se reportan el orden de llegada y se indica q el valor promedio en el orden citado es 4.5 Qu indica el valor promedio de llegada? En ambos casos, el nivel de medicin no se ha utilizado en la forma adecuada.Existen 4 niveles de medicin: Nominal, Ordinal, de Intervalo y de Razn. El nivel ms bajo o ms primitivo es el nominal. El ms alto o el que proporciona la mayor cantidad de informacin acerca de la observacin, es el nivel de mediacin de razn.

2.1.2. Datos de nivel nominalEn el nivel nominal de la medicin, las observaciones solamente se pueden clasificar o contar. O existe algn orden especfico entre las clases, un ej. Es la clasificacin de seis colores en la funda, simplemente se clasifican los dulces segn el color; no hay un orden natural. Esto quiere decir q primero se puede reportar la cantidad de dulces color caf o las naranjas, o las de cualquier otro color. El gnero sexual es otro ej. De nivel de medicin nominal; supongamos q contamos el nmero de estudiantes q asisten a un juego de futbol utilizando su identificacin escolar y se reporta cuanto son hombres y cuntos son mujeres. Se puede reportar primero la cantidad de varones o la de fminas. Para el nivel nominal de medicin la nica medicin posible es un conteo.2.1.3. Datos de nivel ordinalEl nivel ordinal supone que cada categora tiene mayor jerarqua que la siguiente.Las propiedades del nivel de datos ordinal son:1. Las categoras para los datos son mutuamente excluyentes y exhaustivas.2. Dichas categoras para los datos se clasifican por intervalos, o se ordenan de acuerdo con las caractersticas particulares que poseen.

2.1.4. Datos de nivel de intervaloEste nivel incluye todas las caractersticas del nivel ordinal pero, adems, la diferencia entre los valores tiene un tamao constante; un ej. De nivel de medicin de intervalo es la Temperatura, p ej. Suponiendo las temperaturas ms altas en tres das consecutivos de invierno en la ciudad de Boston son 28.31 y 20 F. Estas temperaturas pueden ordenarse fcilmente, pero tambin se puede determinar la diferencia entre las mismas; esto es posible a q un F representa una unidad de medicin. Las diferencias iguales entre 2 puntos de temperaturas son las mismas, sin importar la posicin en q se encuentra la escala. Esto quiere decir q la diferencia entre 10 F y 15F es 5, y la diferencia entre 50F y 55F tambin es 5. Las propiedades de la escala de intervalo son:1. las categoras para los datos son mutuamente excluyentes y exhaustivas.2. Las categoras en cuestin estn ordenadas de acuerdo con la cantidad de las caractersticas q poseen.3. Diferencias iguales en la caracterstica se representa por diferencia iguales en la medicin. Hay pocos Ejs. de la escala de medicin de intervalo: La Temperatura Y la medicin de calzado.

2.1.5. Datos de nivel de razn.Prcticamente todos los datos cuantitativos son el nivel de razn de la medicin. El nivel de razn es el nivel de medicin ms alto. Esta medida tiene todas las caractersticas del nivel de intervalo, pero adems el punto 0 s tiene significado, y la razn (o cociente) entre dos nmeros tambin es significativa. Ejs de la escala de razn son los salarios, las unidades de produccin, el peso, los cambios de precios de las acciones, la distancia entre un conjunto de oficina y la estatura. El dinero es un ej.; Si se tiene 0 dlares, entonces no se posee fondos. El peso otro ej, ya q si la escala de una bascula esta en cero, hay una total ausencia de peso. La razn entre 2 nmeros tambin tiene significado; si una persona gana $30.000 al ao vendiendo 2.2. Distribucin de frecuenciasTOMA DE DATOS Los datos son colecciones de cualquier cantidad de observaciones relacionadas. Podemos recopilar el nmero de telfonos marca Nokia que se vendieron para el da del padre. Una coleccin de datos se conoce como conjunto de datos; una sola observacin es un dato puntual.ORDENACIONUna ordenacin es una colocacin de los datos numricos tomados, en orden creciente o decreciente de magnitud. La diferencia entre el mayor y el menor de los nmeros se llama recorrido o rango de los datos. Por ejemplo, si la altura mayor de los 100 estudiantes es 74 pulgadas y la menos es de 60 pulgadas, el rango es 74 60 = 14 pulgadas.DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIACuando se dispone de gran nmeros de datos, es til el distribuirlos en clases o categoras y determinar el nmero de individuos pertenecientes a cada clase, que es la frecuencia de clase. Una ordenacin tabular de los datos en clases, reunidas las clases con las frecuencias correspondientes a cada una, se conoce como una distribucin de frecuencia o tabla de frecuencias. La Tabla 2-1 es una distribucin de frecuencia de alturas (registradas con aproximacin de pulgada) de 100 estudiantes de la Universidad XYZ.Tabla 2-1Alturas de 100 estudiantes en la Universidad X Y ZAlturas(pulgadas)Nmero de Estudiantes

60 6263 6566 6869 7172 7451842278

Total 100

La primera clase o categora, por ejemplo, comprende las alturas de 60 a 62 pulgadas y viene indicada por el smbolo 60 62. Puesto que 5 estudiantes tienen una altura perteneciente a esta clase, la correspondiente frecuencia de clase es 5.Los datos ordenados y resumidos como en la distribucin de frecuencia anterior, se suelen llamar datos agrupados. Aunque con el proceso de agrupamiento generalmente se pierde parte del detalle original de los datos, tiene la importante ventaja de presentarlos todos en una sencillo cuadro que facilita el hallazgo de las relaciones que pueda haber entre ellos, puestas as de manifiesto.2.2.1. Elaboracin de una distribucin de frecuenciasREGLAS GENERALES PARA FORMAR LAS DISTRIBUCUIONES DE FRECUENCIAS 1.- Determinar el mayor y el menor entre los datos registrados y as encontrar el rango (diferencia entre el mayor y el menor de los datos).2.- Dividir el rango en un nmero conveniente de intervalos de clase del mismo tamao. Si esto no es posible, utilizar intervalos de clase de diferente tamao o intervalos de clase abiertos. El nmero de intervalos de clase generalmente se toman entre 5 y 20 dependiendo de los datos. Los intervalos de clase se eligen tambin de forma que las marcas de clase o puntos medios coincidan con datos realmente observados. Esto tiende a minorar el llamado error de agrupamiento.3.- Determinar el nmero de observaciones que caen en cada intervalo de clase, es decir, encontrar las frecuencias de clase. Lo mejor para esto es utilizar una hoja de conteo.2.2.2. Intervalos de clase y puntos medios de clase Los trminos clase e intervalo de clase se utilizan a menudo indistintamente, aunque el intervalo de clase es realmente un smbolo para la clase.El punto medio tambin se conoce como marca de clase, se localiza a la mitad entre los lmites inferiores de 2 clases consecutivas; se calcula sumando el lmite inferior de la clase al lmite superior de la misma, y dividiendo el resultado entre 2. Tomando la tabla del ej. Anterior el lmite inferior de la primera clase es 60 y el siguiente lmite es 63. El punto medio de clase es 61.5, q se obtiene de (60+63)/2.Para determinar el intervalo de clase, se resta el lmite inferior de una clase, del lmite inferior de la siguiente; El intervalo de clase de los datos alumnos de la Universidad es 3, que se obtiene al restar el lmite inferior 63 60. 2.3. Representacin grfica de una distribucin de frecuenciasExisten dos mtodos para representar grficamente una distribucin de frecuencia: Histograma y el Polgono de frecuencias.Estas grficas proporcionan datos en un diagrama de dos dimensiones; en el eje horizontal muestra los valores de la variable (la caracterstica que estamos midiendo) y en eleje vertical sealamos las frecuencias de clases mostradas en el eje horizontal.2.3.1. HISTOGRAMA Un Histograma o Histograma de frecuencia es la grfica de un conjunto de datos compuesta por una serie de rectngulos, muestra el nmero de frecuencia en cada clase en forma de rectngulos y consiste en una serie de rectngulos que tienen:a. Sus bases sobre un eje horizontal (el eje X) con centros en las marcas de clase y longitud igual al tamao de los intervalos de clase.b) Superficies proporcionales a las frecuencias de clase.Ventajas de los Histogramas1. Los rectngulos muestran cada clase de la distribucin por separado.2., El rea de cada rectngulo, en relacin con el resto, muestra la proporcin del nmero total de observaciones que se encuentran en cada clase.2.3. Polgono de frecuencias Un polgono de frecuencia es un grfico de lnea trazado sobre las marcas de clase. Puede obtenerse uniendo los puntos medios de los techos de los rectngulos en el histograma.Ventajas del polgono de frecuencia1. Es ms sencillo que su histograma correspondiente2. Bosqueja con ms claridad un perfil del patrn de los datos.3. El polgono cada vez se vuelve ms suave y parecido a una curva conforme aumentamos el nmero de clases y el nmero de observaciones.El histograma y el polgono de frecuencias correspondiente a la distribucin de frecuencias de las alturas de los estudiantes se muestran en el mismo sistema de ejes en la Figura a continuacin. Se acostumbra a prolongar el polgono con PQ y RS hasta las marcas de clase inferior y superior inmediatas, que corresponderan a la clase de frecuencia cero. En tal caso, la suma de las reas de los rectngulos del histograma es igual al rea total limitada por el polgono de frecuencias y el eje X.

2.3.1. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA RELATIVALa frecuencia relativa de una clase es la frecuencia de la clase dividida por el total de frecuencias de todas las clases y se expresa como fraccin o generalmente como porcentaje. Por ejemplo, la frecuencia relativa de la clase 66 68 de la tabla anterior es 42/100= 42%. La suma de las frecuencias relativas de todas las clases es evidentemente 1 100%.

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA ACUMULADA. Son el nmero de observaciones que son menores que el lmite superior de la clase; se obtiene sumando las frecuencias (absolutas o relativas).

2.3.2. Otras representaciones grficas de datosRepresentaciones grficas como los diagramas de grfica de lnea, grficas de barras y las grficas circular que aparecen en EEUU en publicaciones como USA Today, U.S. News and World Report, Bussines Week, as como en otros peridicos, revistas y reportes gubernamentales, son las que veremos a continuacin.2.3.2.1. Grficas de lneas: Estas representaciones son especialmente efectivas en los negocios porque se puede mostrar el cambio en una variable a travs del tiempo.En el ej. Que presentaremos muestra la circulacin del peridico Sun Times desde 1995 hasta el ao 2000; indica que las ventas del peridico han aumentado, pero desde 1997 parece haber disminuido la tasa de crecimiento en ventas.

2.3.2.2. Grfico de barras: Es especialmente til para mostrar cualquiera de los niveles de medicin: Nominal, ordinal, Intervalo y razn.

A este tipo de representacin se la conoce como grfica de barras horizontales, debido a su configuracin.

A este tipo de representacin se la conoce como grfica de barras verticales, debido a su configuracin.

2.3.2.3. Grfica circular: Especialmente til para mostrar los datos de nivel nominal.

3. Medidas de tendencial centralLa medida de tendencia central es un valor nico que resume un conjunto de datos. No existe solamente una medida de tendencia central, sino varias, consideraremos cinco: La media aritmtica, la media ponderada, la mediana, la moda y la media geomtrica. Cada una de ellas tiene sus ventajas e inconvenientes, dependiendo la aplicacin de una u otra de los resultados que se pretendan sacar de los datos.3.1. Media aritmticaLa Media aritmtica o medida de un conjunto de N nmeros X1, x2, x3,.....xn se representa por (lase X barra) y se define como = = Ej.: La medida aritmtica de los nmeros 8, 3, 5, 12, 10 es = = 7.63.2. Media aritmtica ponderadaLa media ponderada es un caso especial de la media comn o media aritmtica. Se presenta cuando hay varias observaciones con un mismo valor, lo cual puede ocurrir si los datos se han agrupado en una distribucin de frecuencia. Ej: supongamos entonces que en el bar de la universidad se venden refrescos medianos, grandes y extra grandes y su precio es de $0.90 1.25 y 1.50 respectivamente; de los ltimos 10 refrescos que se vendieron eran medianos, 4 grandes y extra grandes. Para calcular su precio promedio de los ltimos 10 refrescos vendidos se utiliza la formula. X = 0.90+0.90+0.90+1.25+1.25+1.25+1.25+1.50+1.50+1.50 = 10X= $12.20/10 = $ 1.22Una manera ms fcil de encontrar el precio medio de venta es determinar la media ponderada. Esto quiere decir que cada observacin se multiplica por el nmero de veces que se presenta. A la media ponderada se la representa como

Podemos resumir la frmula como w = 3.3. MedianaEs el dato estadstico central de una muestra luego de ser ordenada, de menor a mayor o viceversa. Se la abrevia con la siguiente palabra Me.Datos no agrupados: Para un conjunto de datos impares un procedimiento y para los datos impares otro. Ej.:Cuando el nmero de datos es impar:X1X2X3X4X5X6X7

1234567

En este caso utilizamos la frmula: .Me = = Me = X 4De esta manera obtenemos el valor central que se encuentra en la posicin 4. O sea el nmero 4.Cuando el nmero es par:Si n es par, la mediana es la media aritmtica de las dos observaciones centrales. Cuando n es par, los dos datos que estn en el centro de la muestra ocupan las posiciones y . Es decir:En este caso utilizamos la frmula: .X1X2X3X4X5X6

3678910

= .

3.4. ModaLa moda es el valor de la observacin que aparece con ms frecuencia. Es especialmente til para describir los niveles de mediciones nominales y ordinales.Ej: A continuacin mostramos los suelos anuales de gerentes de control de calidad en algunas provincias del Ecuador. Cul es el valor modal de los sueldos

PROVINCIA SUELDO

GUAYAS30000

MANABI25000

LOS RIOS 30000

PICHINCHA42000

EL ORO28000

La revisin de las cantidades nos revelan q el sueldo q aparece con mayor frecuencia es $30,000, por tanto es la moda.Un inconveniente sera que puede darse el caso que en una determinada serie no tenga moda o tenga varias modas.

Ej.: L - M - K - O N (No hay moda)

5 6 10 5 8 6 -7 4 (Existen 2 modas)3.5. Media GeomtricaLa media geomtrica es til para encontrar el promedio de porcentajes, razones, ndices o tasas de crecimiento. Se utiliza ampliamente en los negocios y la economa, debido a q frecuentemente interesa determinar el cambio porcentual en ventas, sueldos o cifras econmicas como el Producto Interno Bruto. La media geomtrica de un conjunto de n nmeros positivos se define como la n-sima del producto de los n valores. Su frmula es. MG = La media geomtrica siempre ser menor q o igual pero nunca mayor q la media aritmtica. Por ejemplo: la media geomtrica de 2 y 18 es = = 6 La media de 1 3 9 sera:

= = 3

3.6. Media, mediana y moda de datos agrupadosCon frecuencia los datos relacionados con ingresos, edades y adems, se agrupan y presentan en forman de una distribucin de frecuencias. Por lo general, resulta imposible obtener los datos originales. De modo que si interesa un valor tpico que representa los datos, es necesario estimarlo basndose en la distribucin de frecuencia.Media aritmtica: Para evaluar una media aritmtica de datos organizados se considera que las observaciones en cada clase estn representadas por el punto medio de la clase. La media de una muestra de datos en una distribucin de frecuencia se calcula as: = Donde: Es la media aritmticaX es el valor central, o punto medio de cada clasef es la frecuencia en cada clasefx es la frecuencia en cada clase multiplicada por el punto medio de la clase fx es la suma de esos productosN es el nmero total de frecuencias

Aplicando la frmula = = = $20.1 Se concluye que la media del precio de los vehculos es aproxima $ 20 100Mediana: Para trabajar con datos agrupados es necesario aplicar una frmula ms compleja, y que estima los datos esta es:Mediana = L + (i)DondeL es el lmite inferior de la clase que contiene la medianan es el nmero total de frecuenciasf es la frecuencia de la clase que contiene a la medianaFA es el nmero acumulado de frecuencias en todas las clases que proceden a la clase que contiene a la medianai es la amplitud o anchura de la clase en que se encuentra la mediana

Mediana = L + (i)= $ 18 000 + =$ 18 000 + $ 1 588= $19 588Moda: La moda la definamos como el valor que ocurre con ms frecuencia. Para datos agrupados en una distribucin de frecuencia, es posible aproximar la moda usando el punto medio de la clase que contiene el mayor nmero de frecuencias de clase. Cuando 2 valores se presentan en un nmero elevado de veces se dice que la distribucin es binominal. Ej.: Supongamos la edades de una muestra de trabajadores son 22,27,30,30,30,34,58,60,60,60,60 y 65: Las 2 modas son 30 y 60 aos.Si el conjunto de datos tiene ms de 2 valores modales, la distribucin se denomina multimodal; en tal caso no se considera ninguna de las modas como representativa del valor central de los datos.

4. Medidas de dispersinLas medidas de dispersin se utilizan para evaluar la confiabilidad de dos o ms promedios.4.1. Amplitud de variacinLa amplitud de variacin o intervalo es la ms sencilla, se trata de la diferencia entre el valor ms grande y el ms pequeo de un conjunto de datos; expresada as en ecuacin:AMPLITUD DE VARIACION= Valor ms grande - v. ms pequeo

Ej.: Produccin diaria de vehculos en las planta de MARESA en quito y Manta. Quito (48-49-50-51-52); Manta(40-41-42-43-44-45-46-47-48-49-50-51-52-53-54-55-56-57-58-59-60)La produccin diaria de vehculos en la planta de MARESA Quito es (52-48 = 4) es 4, se obtiene de la diferencia mayor 52 menos la menor que es 48. La amplitud de variacin de la produccin diaria en la planta de Manta es de 20 vehculos, ya que 20 = 60-40. Concluimos diciendo, que hay menos dispersin en la produccin diaria en la planta de Quito que en la de Manta, porque la amplitud de variacin de 4 vehculos es menor que 20 vehculos; y la produccin en la planta de Quito se acumula ms cerca de la media de 50, que la produccin de Manta (el intervalo de variacin 4 es menor que 20).As la produccin media en la planta de Quito(50 vehculos) es un promedio ms representativo que la media de 50 vehculos para la planta de Quito.

4.2. Desviacin mediaEs el promedio aritmtico de los valores absolutos de la desviacin con respecto a la media aritmtica. Se expresa as:DM = Donde X es el valor de cada observacin es la media aritmtica de los valoresn es el nmero de observaciones en la muestrall indica el valor absoluto; en otras palabras no se toma en cuenta los signos algebraicos de las desviaciones respecto de la media.Ej.: El nmero de pacientes atendido en la sala de urgencia de la clnica Quito, para una muestra de 5 das el ao pasado fue: 103,97, 101, 106, y 103. Determine e interprete la desviacin media.Para calcular la DM comenzamos evaluando la media aritmtica. = = = 102Despus determinamos la magnitud en que cada observacin se desva a la media, para luego sumar las diferencias omitiendo los signos y se divide la suma entre el nmero de observaciones. El resultado es el valor medio en que las observaciones se desvan con respecto al promedio. Un valor pequeo en la desviacin indica que la media es representativa de los datos, en tanto que un valor grande en la desviacin indica dispersin en los datos. Detalles de los clculos utilizando las frmulas:

La desviacin media es 2.4 pacientes por da. El nmero de estos vara en promedio, en 2.4 pacientes por da respecto de la media de 102 enfermos diarios.

Ventajas de la Desviacin Media1.- Utiliza en su clculo todos los valores en la muestra2.- Fcil de comprender, representa el promedio en que los valores se desvan con respecto a la media.Ejercicios: Los pesos de un grupo de cajas que se van a enviar a Italia en libras son:95 103 105 110 104 105 112 90a) Cul es la amplitud de variacin de los pesos?b) Calcule la media aritmtica de los valoresc) Determine la desviacin media de los pesos.

4.3. Varianza y desviacin estndarLa varianza y la desviacin estndar se basan en las desviaciones al cuadrado (o cuadrtica) con respecto a la media.Varianza: La media aritmtica de las desviaciones cuadrticas con respecto a la media.

Indicamos que la varianza es no negativa, y es cero si solamente si todas las observaciones son iguales.La varianza poblacional de datos no agrupados, es decir, de los datos que no estn tabulados en una distribucin de frecuencias, se obtienen por medio de la frmula:2 = Donde:2 es el smbolo de la varianza de una poblacin ( es la letra griega sigma minscula). Se expresa comnmente como sigma cuadrada.X es el valor de una observacin en la poblacin es la media aritmtica de la poblacinN es el nmero total de observaciones en la poblacin

Al igual que la amplitud de variacin y la desviacin media, la varianza se utiliza para comparar la dispersin en 2 o ms conjunto de observaciones.Varianza muestral, frmula de la desviacinS2 = Donde: S2 es el smbolo para representar la varianza muestralX es el valor de cada observacin en la muestra es la media aritmtica de la muestran es el nmero total de observaciones muestrales

Frmula directa:S2 =

Desviacin estndar: Es la raz cuadrada positiva de la varianza.

La desviacin estndar se presenta en las mismas unidades que los datos; su formula para datos no agrupados es: = Ejercicio: La oficina de Santo Domingo de la empresa Coca Cola contrato a cinco nuevos empleados de ventas este ao. Sus sueldos mensuales iniciales fueron $2,536; $2.173; $2.448; $2.121; y $ 2.622.a. Calcule la media de la poblacinb. Determine la varianzac. Obtenga la desviacin estndar poblacional4.4. Medidas de dispersin para datos agrupados en una distribucin de frecuencias.4.4.1. Amplitud de variacinSi recordamos, para calcular la amplitud de variacin o intervalo de variacin se define como la diferencia entre el valor ms grande y el ms pequeo de la poblacin. Pa calcular la amplitud de variacin a partir de datos agrupados en una distribucin de frecuencias, se resta el lmite inferior de la clase ms baja, del lmite superior de la clase ms alta. Ej.: Imaginemos la agrupacin de 47 sueldos por hora (en dlares) en una distribucin de frecuencia

4.4.2. Desviacin estndar.Recordemos que para los datos no agrupados, una frmula para la desviacin estndar muestral es:S = Si los datos que interesan estn en forma agrupada (distribucin de frecuencia), la desviacin estndar muestral puede aproximarse al sustituir X2 por fX2 y X por fX. La frmula para la desviacin estndar muestral se convierte entonces en:S = Donde:S es la desviacin estndar muestralX es el punto medio de una clasef es la frecuencia de clasen es el nmero total de observaciones en la muestraEj.: Una muestra de las cantidades de empleados de la Condorlac Company quincenalmente en el plan de participacin de utilidades, se organizo en una distribucin de frecuencia para su estudio. Cul es la desviacin estndar de estos datos?cul es la varianza muestral?

Ejercicio de autoevaluacin:

4.5. Interpretacin y usos de la desviacin estndar4.5.1. Teorema de ChebyshevFue desarrollado por el matemtico ruso Chebyshev; este permite determinar la proporcin mnima de los valores que se encuentran dentro de un nmero especfico de desviaciones estndar con respecto a la media. En trminos generales, el Teorema de Chebyshev establece que para un conjunto cualquiera de observaciones (muestra o poblacin) la proporcin mnima de los valores que se encuentran dentro de un K desviacin estndar desde la media es por lo menos 1 1/K2 donde K es una constante mayor que 1.Ej.: En el ejemplo anterior y su solucin, la media aritmtica de la cantidad quincenal que depositan los empleados de la empresa Condorlac Company en el plan de participacin de utilidades fue de $51.54 y se obtuvo una desviacin estndar de $7.51. Al menos qu porcentaje de las contribuciones se encuentran entre ms de 3.5 desviaciones estndar, y menos 3.5 desviaciones estndar, respecto de la media?1- = 1 - = 1- = 0.92

R. / Aproximadamente 92%4.5.2. Regla empricaLa regla emprica se aplica solamente a distribuciones simtricas del tipo de campana. Se la conoce tambin como regla normal y constituye las relaciones de la desviacin estndar y la media.

Ej.: Una muestra de las cantidades mensuales de dinero que se destina a sus alimentos un ciudadano de la tercera edad que vive solo-sigue aproximadamente una distribucin de frecuencias simtricas del tipo de campana. La media muestral es de $150 y la desviacin estndar es de $20: Utilizando la regla emprica indique: 1.- Aproximadamente, entre qu cantidades est el 68% de los gastos mensuales en alimentos?2.- Aproximadamente, entre qu cantidades se halla el 95% de los gastos mensuales en alimentos?3.- Aproximadamente, entre qu montos estn todos los gastos mensuales?1.- Aproximadamente 68% esta entre $130 y %170, que se obtiene por 1S = $150 1($20)2.- Aproximadamente 95% esta entre $110 y %190, que resulta de 2S = $150 2($20)3.- Casi todos los casos (99.7%) estn entre $90 y $210 los que se obtienen mediante 3S = $150 3($20)

4.5.3. Dispersin relativa Resulta imposible una comparacin directa de dos o ms medidas de dispersin como por ejemplo la desviacin estndar de una distribucin de ingresos anuales y la desviacin estndar de una distribucin de inasistencias, ambas de un mismo grupo de empleados. No podemos comparar dlares con das de inasistencia al trabajo; se necesita convertir cada una de esas medidas a un valor relativo, es decir, a un porcentaje. Dada esta necesidad K. Pearson desarrollo una medida relativa denominada coeficiente de variacin (CV), que es una medida muy til cuando:1.- Los datos estn en medidas diferentes (como dlares y das de inasistencia).2.- Los datos estn en las mismas unidades, pero los valores medios estn muy distantes (como sucede con los ingresos de ejecutivos superiores y los ingresos de empleados no calificados). Coeficiente de variacin (CV) es la razn (cociente) de la desviacin estndar y la media aritmtica, expresada en un porcentaje. La frmula para muestra es:CV = Al multiplicar x 100 se convierte la expresin decimal en %Ej.: Un estudio sobre el monto de bonos pagados y los aos de servicio de varios empleados, dio como resultado los sig. Datos estadsticos: La media de los bonos pagados fue de $200 y la desviacin estndar de $40; la media del nmero de aos de servicio fue de 20 aos y la desviacin estndar 2 aos. Compare las desviaciones relativas de las 2 distribuciones empleando el CV.Las distribuciones estn en unidades diferentes ($ y aos de servicio); por tanto se convierten en CV.Para los bonos CV = ) = = 20 %Para los aos de servicio CV = ) = = 10 %Al interpretar se puede ver que existe mayor dispersin relativa con respecto a la media en la distribucin de los bonos pagados en comparacin con la distribucin de los aos de servicio (porque 20% > 10%).UNIDAD II. Probabilidad1.- Conceptos GeneralesHistoria: La historia dice que los jugadores han utilizado el clculo de las probabilidades para realizar apuestas, pero no fue hasta siglo XVII que Gombauld, Pascal y Pierre De Fermat quienes constituyen la primera revista de Probabilidad cuyos conceptos estudiaremos en este captulo.En los actuales momentos la Probabilidad constituye parte importante de nuestra vida cotidiana, en la toma de decisiones personales y administrativos, por ej cuando escuchamos en la radio la posibilidad de 70% de lluvia decidimos quedarnos en casa jugando con nuestros hijos o familiares; los administradores que se encargan de la venta de ropa de mujer deben de preguntarse sobre las probabilidades de las ventas alcancen o excedan un cierto nivel.Terminologa bsica: En general, la probabilidad es la posibilidad de que algo pase. Las probabilidades se expresan como fracciones 1/6, , 8/9 o como decimales (0.167; 0.889) que estn entre cero y uno. Tener una probabilidad en cero significa que algo nunca va a suceder; una probabilidad en uno indica que algo va a suceder siempre.En la teora de la probabilidad, la actividad que origina uno de dichos eventos se conoce como experimento. Utilizando un lenguaje formal, hagamos la pregunta: en un experimento de lanzar una moneda cul es la probabilidad del evento cara? Y desde luego, si la moneda esta cargada y tiene la misma probabilidad de caer en cualquier de sus dos lados, podramos responder o 0.5. Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se llama espacio muestral del experimento. En el de lanzar una moneda el espacio muestra les S = {cara, cruz}Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes si uno y solo uno de ellos pueden tener lugar a un tiempo. Ej. Ud. puede pasar o reprobar una materia o, antes de que termine el curso, desertar y no tener calificacin. Solamente uno de estos 3 resultados es posible, por tanto, se dice que son eventos mutuamente excluyentes.

Diagrama de rbol: Es una representacin grfica til para organizar clculos que abarcan varias etapas: Cada segmento del rbol es una etapa del Problema.Como elaborar un Diagrama de rbol:1.- Se comienza trazando un pequeo punto a lado izquierdo, el cual representa la raz del rbol.2.- Del punto que representa la raz (tema del problema) salen dos ramas principales; la rama superior (se anota la opcin se quedaran) y la rama inferior (se anota la opcin no se quedaran).3.- De las ramas principales, se desprenden cuatro ramas secundarias que detallan la ocurrencia de los experimentos.4.- Por ltimo, se muestran todas las posibilidades conjuntas de los eventos ocurridas.Teoremas de Bayes: En el siglo XVII el reverendo Thomas Bayes, ministro presbiteriano ingls, plante la pregunta Realmente existe Dios? Ya que estaba interesado en las ciencias matemticas intent desarrollar una frmula para llegar a evaluar la probabilidad de que Dios exista, con base en la evidencia de la que l dispona aqu en la tierra. Ms adelante Laplace, afin el trabajo de Bayes y le dio el nombre de Teoremas de Bayes, que en forma manejable se expresa as:P (Ai l B) = P(A)P(BlA1)/ P(A1)P(BlA1)+ P(A2)P(BlA2)Ej.: Supongamos que el 5% de la poblacin de Umen (pas del tercer mundo) padece de la enfermedad de H1N1 que es originaria de ese lugar. Sea A1 el evento tiene la enfermedad y A2 el evento no tiene la enfermedad. Por lo tanto si seleccionamos al azar a un habitante de Umen, la probabilidad de que el elegido tenga el padecimiento es 0.05 o bien P(A1)=0.05. Esta probabilidad P(A1)=P(tiene la enfermedad), se denomina probabilidad a priori. Se le da este nombre porque la probabilidad se asigna antes de haber obtenido datos empricos.Probabilidad a priori: Es la probabilidad inicial con base en el nivel actual de informacin.Entonces la probabilidad a priori de que una persona no padezca la gripe es, por tanto igual a 0.95, o bien P(A2) = 0.95 que se obtiene de 1 0.05.Probabilidad a posteriori: Es la probabilidad revisada con base en informacin adicional.Con el Teoremas de Bayes es posible determinar la frmula de la Probabilidad a posteriori:

Principios de conteo:Cuando el nmero de resultados posibles de un experimento es pequeo resulta muy fcil contarlos. Sin embargo cuando existe un gran nmero de resultados posibles, como podra ser el de nios y nias en familias con 10 hijos, resulta tedioso poder contarlos. Para facilitar el conteo examinaremos tres frmulas: Frmula de la multiplicacin, frmula de la permutacin y la frmula de la combinacin.Frmula de la multiplicacin: Si hay m formas de hacer una cosa, y n formas de hacer otra, existirn m x n formas de hacer ambas.Frmula de la multiplicacin = Nmero total de arreglos =(m)(n)Para tres eventos sera= (m)(n)(o)Ej.: Un vendedor de autos desea anuncia que por $29 000 ud puede comprar un auto convertible, un sedan de dos puertas, o un modelos de cuatro puertas, y adems puede elegir si desea que los rines sean slidos o deportivos cuntos arreglos de modelos diferentes y rines puede ofrecer el vendedor?Puede ofrecer 6 modelos: convertible con rines deportivos, convertible con rines slidos, sedan de 2 puertas con rines deportivos, sedan de 2 puertas con rines slidos, sedan de 4 puertas con rines deportivos y sedan de 4 puertas con rines slidos.Total de arreglos posibles= (m)(n) = (3)(2)= 6La frmula de la permutacin, se utiliza para determinar el nmero posible de arreglos cuando solo hay un grupo de objetos.Permutacin: Un arreglo o disposicin de objetos seleccionado de un solo grupo de n objetos posibles.

FRMULA DE LA PERMUTACIN: n P r = n es el nmero total de objetosr es el nmero de objetos seleccionadosNota: Las permutaciones y combinaciones utilizan el factorial n; que se escribe n! y significa n(n 1) (n 2) (n 3)n por ej.:5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 Ej.: Se van a ensamblar 3 partes electrnicas de una unidad modular para un receptor de televisin. Las 3 partes electrnicas deben ensamblarse en cualquier orden cuntas maneras diferentes se pueden ensamblar?: n P r = = = = = 6 Frmula de la combinacin: si el orden en los objetos seleccionados no es importante, a cualquier seleccin se llama una combinacin. La frmula para contar el nmero de combinaciones de r objetos de un conjunto de n objetos es: Frmula de la combinacin = n C r = Ej.: Los ejecutivos Abel, Bez y Chauncy han de ser elegidos como un comit para negociar una fusin de empresas, solo existe una combinacin posible de estos 3 ejecutivos. El comit formado por Abel, Bez y Chauncy equivale al integrado por Bez, Chauncy y Abel; utilizando la frmula:

n C r = = = 35Unidad III. Estadstica InferencialEstadstica Inferencial: Conjunto de mtodos utilizados para saber algo acerca de una poblacin, basndose en una muestra.Tiene como objetivo hacer inferencia, es decir, enunciados respecto a una poblacin basndose en algunas observaciones, que forman una muestra, que se tomaron de la poblacin.Poblacin: Conjunto de todos los posibles individuos, objetos o medidas de inters.Muestra: Una porcin, o parte, de la poblacin de inters.Qu es una distribucin de probabilidad?Indica en una lista todos los resultados posibles de un experimento junto con la probabilidad correspondiente a cada una de ellos.Cmo se puede generar una distribucin de probabilidad?Suponiendo que se quiere saber el nmero de caras que se obtiene al lanzar 3 veces una moneda al aire. En este experimento, los posibles resultados son: 0, 1, 2, 3 cul es la distribucin de la probabilidad del nmero de caras?Ocho son los posibles resultados. En el primer lanzamiento puede caer cruz, otra cruz en el segundo y otra en el tercero; o puede caer cruz, cruz y cara, en ese orden. Indicamos los posibles resultados.

Observando el resultado cero caras se obtuvo una vez; una cara 3 veces, dos caras 3 veces y el resultado 3 veces, es decir, el resultado 0 caras ocurri una de ocho veces. De modo que la probabilidad 0 caras es 1/8, la de una cara 3/8, y as sucesivamente. Representando la probabilidad para cada uno de los eventos y recordando que los eventos siempre sern 1.00 Mostramos:

Variables aleatorias: En cualquier experimento aleatorio, los resultados se presentan al azar, y en consecuencia se habla de una variable aleatoria. Ej.: Si contamos el nmero de empleados que faltaron a su turno de trabajo el da lunes, el nmero puede ser 0, 1, 2, 3 El nmero de inasistencia es la variable aleatoria.Variable aleatoria: Cantidad que es el resultado de un experimento, y debido al azar, puede tomar valores diferentes.Variable aleatoria discreta: Variable que solo puede tomar ciertos valores claramente separados.Variable aleatoria continua: Es aquella que puede tomar un valor de una cantidad grande de valores, dentro de ciertas especificaciones. E.: La distancia en metros entre la ciudad de Quito y Salinas, y as sucesivamente.Media, varianza y desviacin estndar de una distribucin de probabilidadMedia: Se lo conoce tambin como valor esperado. Es un promedio ponderado en el que los valores posibles se ponderan mediante sus probabilidades de ocurrencia, indica adems la ubicacin central de los datos. En una distribucin de probabilidad se denota con la letra griega mu minscula ().Su frmula para el clculo es: = [x P (x)]Varianza de una distribucin de probabilidadDescribe su dispersin. La frmula para su clculo es: 2 = [(x )2 P (x)]Los pasos para el clculo de Varianza son:1.- Restar la media a cada valor y elevar la diferencia al cuadrado2.- Multiplicar el cuadrado de cada diferencia, por su probabilidad3.- Sumar los productos resultantes para obtener finalmente la varianza.Desviacin estndar : Se determina tomando la raz cuadrada de 2, es decir, = 2Ej.: John Bosco vende autos nuevos en la agencia Ford; generalmente los sbados vende el mayor nmero de vehculos. John tiene la siguiente distribucin de probabilidad del nmero de vehculos que espera vender en un da en particular:

1.- Qu tipo de distribucin es esta?2.- En un sbado comn Cuntos vehculos espera vender?3.- Cul es la varianza de la distribucin?1. Es un ejemplo de una distribucin de probabilidad discreta, debido a que John espera vender una cantidad determinada de vehculos (no espera vender 5 o 50), asimismo los resultados son mutuamente excluyentes no puede vender en total 3 o 4 vehculos el mismo el da sbado.2.- el nmero medio se calcula ponderando la cantidad de vehculos vendidos, con la probabilidad de vender, y luego se suman todos los productos = [x P (x)]= 0 (0.10)+1(0.20)+2(0.30)+3(0.30)+4(0.10)= 2.1Los clculos se resumen:

John espera vender 2.1 vehculos los das sbados en promedio, pero obviamente no podr vender 2.1 autos en un sbado en particular, por tanto a la media a veces se la denomina valor esperado.3.- Para la varianza es til sintetizar en la tabla

Distribucin de probabilidad binominal1. El resultado de cada ensayo de un experimento se clasifica en una de 2 categoras mutuamente excluyentes.2. La variable aleatoria cuenta el nmero de xito en una cantidad fija de ensayos.3. la probabilidad de un xito permanece igual en todos los ensayos.4. Los ensayos son independientes, lo cual significa que el resultado de un ensayo no afecta al resultado de algn otro.Su frmula para el clculo es:P(X)= n C x x (1 ) n x C es una combinacinn nmero de ensayosx es el nmero de xitos es la probabilidad de xito en el ensayoEj.: Entre 2 ciudades hay 5 vuelos diarios: Si la probabilidad de que un evento llegue retrasado es 0.20 cul es la probabilidad de que ninguno de los vuelos llegue tarde hoy?P(X)= n C x x (1 ) n x = 5 C 0 (0.20)0 (1 0.20)5 0 = (1)(1)(0.3277)= 0.3277P(1)= n C x x (1 ) n x = 5 C 1 (0.20)1 (1 0.20)5 1 = (5)(0.20)(0.4096)0.4096Distribucin de probabilidad binominal para n=5 y =0.20

Distribucin de probabilidad hipergeomtricaResulta muy adecuada para cuando el tamao de la poblacin es muy pequeo.Su frmula es:P(X) = (s C x )(N s C n x) N C nN tamao de la poblacinS es la cantidad de xito en la poblacin X es el nmero de xitos en la muestra, puede ser 1, 2, 3 .n es el tamao de la muestra, o el nmero de ensayosC es el smbolo para una combinacinEj.: La fbrica de juguetes Pica, tiene 50 empleados en el departamento DE ensamble: De estos, 40 pertenecen a un sindicato y 10 no. Se van a elegir 5 empleados aleatoriamente, para que integre un comit que hablar con el gerente acerca de la hora de inicio de los distintos turnos. Cul es la probabilidad de que 4 de los 5 elegidos pertenezcan al sindicato? N es 50 nmeros de empleadosS es 40 nmeros de empleados del sindicatoX es 4 nmeros de empleados del sindicato que fueron seleccionadosN es 5 nmeros de empleados elegidosP(X) = (s C x )(N s C n x) N C n=(40 C 4)( 50-40C 5-4) = 50C5= = 0.431Distribucin de probabilidad de PoissonSe la llama tambin ley de los eventos improbables. Describe la cantidad de ve ces que ocurre un evento en un intervalo determinado. El intervalo puede ser de tiempo distancia, rea o volumen. Esta distribucin es tambin una forma lmite de la distribucin binominal, cuando la probabilidad de xito es muy pequea y n es grande. P(X) = x e - X! es la media del nmero de ocurrencias (xitos) en un intervalo especficoe es la constante 2.71828 (base del sistema logartmico neperiano)x es el nmero de ocurrencias (xitos)P(x) es la probabilidad que se va a calcular Frmula: = n Ej.: La empresa de aerolneas Aereogal rara vez pierde el equipaje. En la mayor parte de los vuelos no se observa un mal manejo de las maletas; solo algunos pasajeros reportan una valija perdida. Suponiendo una muestra aleatoria de 1000 viajeros revela un total de 300 maletas perdidas. La media aritmtica del nmero de equipajes extraviados por vuelo es 0.3, que se obtiene de 300/1000. Si la cantidad de maletas perdidas por viaje areo sigue la distribucin de Poisson con =0.3

Distribucin de probabilidad normalTiene las sigtes. Caractersticas y su correspondiente curva normal :1 La curva normal es acampanada y presenta un solo pico en el centro de la distribucin. La media aritmtica, mediana y la moda de la distribucin son iguales y se localizan en el pico.2. La D. P. normal es simtrica con respecto a su media.3. La curva normal decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asinttica, significa que la curva se acerca cada vez al eje X, pero en realidad nunca llega a tocarlo.Distribucin de probabilidad normal estndar.Cualquier distribucin normal puede convertirse en la Distribucin de probabilidad normal estndar restando la media a cada observacin y dividiendo entre la desviacin estndar.Valor Z: Diferencia entre un valor elegido denotado por X y la media dividida entre la desviacin estndarZ =

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Ing. Fernando Macas Tachong. F.C.I.