Estadistica I 04
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UCV/FACES/EACEstadísticas I
Medidas de Posición – Los Percentiles Prof. Leonardo Simmons
Prof. Leonardo Simmons Estadísticas I -04
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MEDIDAS DE POSICIÓN – LOS PERCENTILES
Las medidas de posición son unos estadísticos que nos sintetizan la información sobre los datos que analizamos, facilitando su manejo. Una medida de posición es un indicador que se usa para señalar qué porcentaje de datos dentro de la muestra se encuentra a un lado y a otro del mismo.
En resumen una medida de posición es un valor de la variable que nos informa del lugar que ocupa un dato dentro del conjunto ordenado de valores, los llamaremos percentiles y los denotaremos con P y un subíndice que indica el porcentaje de datos a la izquierda de P, por ejemplo P20:
El 20%de los
primeros datos de la
distribución son≤ P20
El restante 80%de los
datos de ladistribución son
≥ P20
P20
20% 80%
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MEDIDAS DE POSICIÓN – LOS PERCENTILES
A ciertos percentiles se les han dado nombre específicos:
-Al percentil 25, P25, se le llama primer cuartil y se le denota por Q1
-Al percentil 50, P50, se le llama segundo cuartil y se le denota por Q2
Nótese que P50 = Q2 es también por definición la Mediana, es decir:
P50 = Q2 = Me
-Al percentil 75, P75, se le llama tercer cuartil y se le denota por Q3
Los cuartiles dividen la distribución en 4 áreas que contienen cada una el 25% de los datos:
Q1
25% 25%
Q2
Me
Q3
25% 25%
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MEDIDAS DE POSICIÓN – LOS PERCENTILES
-A los percentiles decenas, es decir P10, P20, P30,….P90, se les llaman deciles y se le denotan por D1, D2, D3, …….D9 y dividen la distribución en 10 partes iguales que contienen cada una el 10% de los datos:
- Nótese que P50 = D5 = Q2 = Me
D1 D2 D3 D4
10% 10%
D5
Q2
Me
10% 10%
D6 D7 D8 D9
10%10% 10%
10%
10% 10%
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CALCULO DE LOS PERCENTILES
Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos No Agrupados (DFDNA):
P.ej: Caso del pediatra Procedimiento para calcular P% :
2. Calcular (n x %)/100
3. Si Fj tal que Fj= (n x %)/100, entonces P% = Xj de lo contrario, P% será aquel valor de X cuya frecuencia acumulada sea mayor inmediato a (n x
%)/100
Meses (x) Niños (f) F9 1 1
10 4 511 9 1412 16 3013 11 4114 8 4915 1 50
50
P.ej: calculemos el P60 de la anterior distribución:
(n x %)/100 = (50 x 60)/100 = 30, como F4 = 30 entonces P60= X4= 12 meses
Lo que significa que “el 60% de los niños se tomo a lo sumo 12 meses para dar sus primeros pasos”
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CALCULO DE LOS PERCENTILES
Determinemos ahora el P75 = Q3:
(n x %)/100 = (50 x 75)/100 = 37,5 como no existe una frecuencia acumulada igual a 37,5 entonces buscamos la mayor inmediata en este caso es 41, luego el Q3 = X5 = 13 meses
9 10 11 12 13 14 15
2
6
4
10
8
12
16
14
No.
Niñ
os
P60
Meses
P75
Q3
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Procedimiento:
2. Calcular (n x %)/100
3. Si Fj tal que Fj= (n x %)/100 entonces: P%= LP% donde LP% es el limite superior de la clase correspondiente a la Fj= n x %)/100 ; de lo contrario:
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CALCULO DE LOS PERCENTILES
Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos Agrupados (DFDA):
P.ej: Caso de la estatura de los jugadores de baloncesto
Altura (cms)Nº de
jugadores x F[170, 175) 1 172,5 1[175, 180) 3 177,5 4[180, 185) 4 182,5 8[185, 190) 8 187,5 16[190, 195) 5 192,5 21[195, 2.00] 2 197,5 23
23
pp
p
p cf
Fn
lP
1
%100
%
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CALCULO DE LOS PERCENTILES
Donde:
lp = limite inferior de clase que contiene al percentil buscado P%
FP-1 = Frecuencia acumulada hasta la clase inmediata anterior a la clase que contiene a P%
fP = la frecuencia de la clase que contiene a P% ; y
CP = El rango de la clase que contiene a la P%
Nota: La clase o intervalo que contiene a la P% es aquella correspondiente a la frecuencia acumulada inmediata mayor a (n x %)/100
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CALCULO DE LOS PERCENTILES
P.ej. calculemos el P25 , es decir, el cuartil uno ó Q1 de la distribución de estaturas:(n x %)/100 = (23 x 25)/100 = 5,75 luego no existe frecuencia acumulada igual a 5,75 por lo tanto buscamos la frecuencia acumulada inmediata superior a 5,75 que resulta la F3 = 8, luego la clase que contiene a Q1 es la tercera clase entonces:
cmscf
Fn
lQP pp
p
p 18,18254
475,5180100
%1
125
172,5 177,5 182,5 187,5 192,5 197,5
1
3
2
5
4
6
8
7
No.
Jug
ador
es
Estatura (cms)
Q1 = P25 = 182,18 cmsLo que significa que el 25% de los jugadores tienen una estatura menor o igual a 182,18 cms
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RANGO PERCENTIL
Dado cualquier valor de una variable siempre podremos determinar el porcentaje de datos de la distribución que son menores o a lo sumo iguales al valor dado, a este porcentaje lo llamaremos Rango del Percentil lo denotaremos por Rp (.).
El resultado de medir el Rango Percentil de un valor dado de una variable es un número que representa al porcentaje de datos menor o iguales al valor dado, es decir, es el proceso inverso al calculo del percentil.
El Rp(X0) es el %de los
primeros datos de la
distribución que son ≤ X0
El restante 100 - %de los
datos de ladistribución son
≥ X0
X0
% 100 - %
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CALCULO DEL RANGO PERCENTIL
Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos No Agrupados (DFDNA):
Procedimiento para calcular Rp(xj) :
3. Si xj es un valor en la tabla entonces Rp(xj) = %Hj
4. Si Xj no es un valor de la tabla pero se cumple que existen dos valores tabulados Xi y Xi+1tal que Xi < Xj < Xi+1 , entonces aplicamos la formila de interpolación:
P.ej. Suponga que la siguiente tabla muestra la distribución del IPC que registro Maracaibo en los últimos 30 meses:
n
FXX
fXXXR i
ii
iijjp
100)(
1
1
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CALCULO DEL RANGO PERCENTIL
Determinemos el rango percentil de una tasa de IPC de 1,26;Como 1,26 esta en la distribución entonces Rp(1,26)=%H5=40%, es decir en un 40% de los meses el IPC resulto menor o igual a 1,26. Esto implica que el percentil 40 (P40) de la distribución de IPC es 1,26.Veamos el rango percentil de 1,28 que no este en tabla, pero 1,28 esta entre 1,27 y 1,29 luego aplicando la formula de interpolación:
% 67,5130
10014
27,129,1
327,128,1
100)28,1(
1
1
nF
XX
fXXR i
ii
iijp
Lo que significa que se estima en 51,6% de las veces el IPC de Maracaibo será a lo sumo 1,28, es decir 1,28 es el percentil 51,6% de la distribución.
IPC Mbo Meses F %h %H
1,20 1 1 3,30% 3,30%
1,23 4 5 13,30% 16,60%
1,24 4 9 13,30% 30,00%
1,25 2 11 6,60% 36,60%
1,26 1 12 3,30% 40,00%
1,27 2 14 6,60% 46,60%
1,29 3 17 10,00% 56,60%
1,30 3 20 10,00% 66,60%
1,31 4 24 13,30% 80,00%
1,32 3 27 10,00% 90,00%
1,33 3 30 10,00% 100,00%
30
10%
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CALCULO DEL RANGO PERCENTIL
Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos Agrupados (DFDA):
Procedimiento para calcular Rp(xj) :
3. Si Xj es un limite superior de algún intervalo entonces Rp(xj) = %Hj
4. Si Xj esta contenida en el intervalo o clase p de limites lp y Lp, entonces aplicamos la formula de interpolación:
Donde:Cp : es el rango de la clase o intervalo pfp : es la frecuencia absoluta de la clase o intervalo p yFp-1 : es la frecuencia acumulada hasta la clase o intervalo anterior a la p
n
FC
flXXR p
p
ppjjp
100)( 1
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CALCULO DEL RANGO PERCENTIL
P.ej: supongamos que la siguiente tabla muestra la distribución de los pesos en Kg de 50 personas seleccionadas al azar dentro de un centro comercial:
nF
C
flRp
10057)57( 1
2
22
100,00%50
100,00%4,00%50270 - 73
96,00%10,00%48567 - 70
86,00%24,00%431264 - 67
62,00%30,00%311561 - 64
32,00%18,00%16958 - 61
14,00%10,00%7555 - 58
4,00%4,00%2253 - 55
%H %h F No.PersonasPesos (Kg)
Estimemos el porcentaje de personas que pesan entre 57 y 70 Kg:
Como 57 esta contenido en el 2do intervalo entonces, el rango percentil de 57 será:
%67,1050
1002
3
55557)57(
pR
Mientras que 70 es el limite superior del 6to intervalo por lo tanto:Rp (70) = 96%. Luego el porcentaje buscado será igual a
96% -10,67%= 85,33%
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TAREA No.4
1. Ingrese a la dirección del Instituto Nacional de Estadísticas (INE) y consulte la presentación que contienen los resultados de la IV Encuesta Nacional de Presupuestos Familiares y entérese de cómo se usan las medidas de tendencia y posición de las variables que componen tal presupuesto para reflejar la realidad de la economía venezolana:
http://www.ine.gob.ve/ine/enpf/enpf.asp
4. Investigue acerca del uso de los percentiles de talla y peso para hacer seguimiento al crecimiento de los niños
5. Resuelva los siguientes problemas: a. La siguiente información corresponde al consumo mensual en combustible destinado a
calefacción, expresado en miles de $, en una muestra aleatoria de hogares de un barrio de Santiago, durante los meses de invierno: i. ¿Qué consumo deja bajo sí al 25% de los consumos más bajos?ii. ¿Qué consumo deja sobre sí al 15% de los consumos más altos?
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TAREA No.4
a. La siguiente distribución corresponde a la recaudación de impuestos de 40 contribuyentes. (Recaudación de impuestos en Bs.F).i. ¿Cuál es la recaudación correspondiente a cuartil 1? Interprétela.ii. ¿Cuál es la recaudación correspondiente al Percentil 65? Interprétela.iii. ¿Bajo qué recaudación están el 20% de las recaudaciones menores?iv. ¿Sobre qué recaudación está el 20% de las recaudaciones mayores?
4 – 6 17
6 – 8 26
8– 10 14
10 – 12 9
12 –14 11
77
Consumo en Miles $
Nº de Casos
ISLR (BsF) No. Personas
50- 70 2
70- 90 15
90 - 110 8
110 - 130 12
130 150 3
40