Estadística Descriptiva para una variable Conceptos básicos. Tipos de variables Organización de...

Estadística Descriptiva para una variable

Conceptos básicos. Tipos de variables

Organización de datos. Tablas de frecuencias

Descripciones gráficas de los datos

Descripciones Numéricas

Ejercicios

Conceptos Básicos

• Sistematización, recogida, ordenación y presentación de los datos referentes a un fenómeno que presenta variabilidad o incertidumbre para su estudio metódico, con objeto de

• deducir las leyes que rigen esos fenómenos,

• y poder de esa forma hacer previsiones sobre los mismos, tomar decisiones u obtener conclusiones.

La ESTADISTICA es la ciencia que se ocupa de la

Descrip

tiva

Probabilidad

Inferencia

Conceptos Básicos Población: es el conjunto sobre el que estamos

interesados en obtener conclusiones (hacer inferencia). Normalmente es demasiado grande para poder

abarcarlo.

Individuo: Cada uno de los elementos que componen la población estadística en estudio. Es un ser observable que no tiene por qué ser una persona, puede ser un objeto, un ser vivo, etc…

Muestra: es un subconjunto de la población al que tenemos acceso y sobre el que realmente hacemos las observaciones (mediciones) Debería ser “representativo” Esta formado por miembros “seleccionados” de la

población (individuos, unidades experimentales).

Conceptos BásicosCaracteres o variables: Cualquier cualidad o propiedad inherente al individuo. Una característica observable que varía entre los diferentes individuos de una población. La información que disponemos de cada individuo es resumida en variables, que representamos normalmente por las últimas letras mayúsculas X, Y, Z,…En los individuos de la población española, de uno a otro es variable:

El grupo sanguíneo {A, B, AB, O} Var. Cualitativa

Su nivel de felicidad “declarado” {Deprimido, Ni fu ni fa, Muy Feliz} Var. Ordinal

El número de hijos {0,1,2,3,...} Var. Numérica discreta

La altura {1’62 ; 1’74; ...} Var. Numérica continua

Podemos distinguir los siguientes tipos de variables:

Conceptos Básicos Cualitativas

Si sus valores no se pueden asociar naturalmente a un número (no se pueden hacer operaciones algebraicas con ellos)

Nominales: Si sus valores no se pueden ordenar Sexo, Grupo Sanguíneo, Religión, Nacionalidad, Fumar (Sí/No)

Ordinales: Si sus valores se pueden ordenar Mejoría a un tratamiento, Grado de satisfacción, Intensidad del

dolor

Cuantitativas o NuméricasSi sus valores son numéricos (tiene sentido hacer operaciones algebraicas con ellos)

Discretas: Si toma valores enteros Número de hijos, Número de cigarrillos que fuma

Continuas: Si entre dos valores, son posibles infinitos valores intermedios. Altura, Presión intraocular, Dosis de medicamento administrado

Conceptos Básicos Es buena idea codificar las variables como números para poder procesarlas con

facilidad en un ordenador. Es conveniente asignar “etiquetas” a los valores de las variables para recordar qué

significan los códigos numéricos. Sexo (Cualit: Códigos arbitrarios)

1 = Hombre 2 = Mujer Raza (Cualit: Códigos arbitrarios)

1 = Blanca 2 = Negra,... Felicidad Ordinal: Respetar un orden al

codificar. 1 = Muy feliz 2 = Bastante feliz 3 = No demasiado feliz

Se pueden asignar códigos a respuestas especiales como

0 = No sabe 9 = No contesta Estas situaciones deberán ser tenidas en

cuenta en el análisis. Datos perdidos (‘missing data’)

Conceptos Básicos

Aunque se codifiquen como números, debemos recordar siempre el verdadero tipo de las variables y su significado cuando vayamos a usar programas de cálculo estadístico.

No todo está permitido con cualquier tipo de variable.

Conceptos BásicosModalidades o valores de las variables: Cada uno de los posibles valores que puede tomar una variable y se representan con las letras minúsculas x1, x2, …, xn.

Ejemplo: La variable cualitativa estado civil puede tomar los valores o modalidades: casado, soltero o viudo. La variable cuantitativa edad puede tomar las modalidades o valores: 10 años, 12 años, 15 años, etc…

Las modalidades pueden agruparse en clases (intervalos) Edad (Menos de 20 años, de 20 a 50 años, más de 50 años)

Las modalidades/clases deben forman un sistema exhaustivo y excluyente: Exhaustivo: No podemos olvidar ningún posible valor de la variable

Mal: ¿Cuál es su color del pelo: (Rubio, Moreno)?

Excluyente: Nadie puede presentar dos valores simultáneos de la variable Mal: De los siguientes, qué le gusta: (deporte, cine)

Organización de los datosAntes de trabajar con cualquier conjunto de datos obtenidos de un experimento debemos organizarlos.

0

1

2

3

4

5

6

7

Hombre Mujer

Las tablas de frecuencias y las representaciones gráficas son dos maneras equivalentes de presentar la información. Las dos exponen ordenadamente la información recogida en una muestra.

Género Frec.

Hombre 4

Mujer 6

Organización de los datos

Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas

(Valor) SimpleAcumulad

aSimple

Acumulada

x1 n1 N1= n1 f1 = n1 / N F1= f1

x2 n2

N2= n1 + n2

f2 = n2 / N F2= f1 + f2

... ... ... ... ...

xn-1 nn-1

Nn-1= n1 + n2 + ...+ nn-1

fn-1 = nn-1 / N

Fn-1= f1 + f2 +… + f

n-1

xn nn

Nn = n = N

fn = nn / N Fn = f =1

La tabla de frecuencias es la representación estructurada, en forma de tabla, de toda la información que se ha recogido sobre la variable que se estudia. Exponen la información recogida en la muestra, de forma que no se pierda nada de información (o poca).

Frecuencias absolutas: Contabilizan el número de individuos de cada modalidad Frecuencias relativas (porcentajes): Idem, pero dividido por el total Frecuencias acumuladas: Sólo tienen sentido para variables ordinales y numéricas y

son muy útiles para calcular cuantiles (ver más adelante) ¿Qué porcentaje de individuos tiene menos de 3 hijos? Sol: 83,8 ¿Entre 4 y 6 hijos? Sol 2ª: 97,3% - 83,8% = 13,5%

Número de hijos

419 27,6 27,8 27,8

255 16,8 16,9 44,7

375 24,7 24,9 69,5

215 14,2 14,2 83,8

127 8,4 8,4 92,2

54 3,6 3,6 95,8

24 1,6 1,6 97,3

23 1,5 1,5 98,9

17 1,1 1,1 100,0

1509 99,5 100,0

8 ,5

1517 100,0

0

1

2

3

4

5

6

7

Ocho o más

Total

Válidos

No contestaPerdidos

Total

Frecuencia PorcentajePorcentaje

válidoPorcentajeacumulado

Organización de los datos

Número de hijos

419 27,8 27,8

255 16,9 44,7

375 24,9 69,5

215 14,2 83,8

127 8,4 92,2

54 3,6 95,8

24 1,6 97,3

23 1,5 98,9

17 1,1 100,0

1509 100,0

0

1

2

3

4

5

6

7

Ocho+

Total

Frec.Porcent.(válido)

Porcent.acum.

Ejemplo

¿Cuántos individuos tienen menos de 2 hijos?

frec. indiv. sin hijos + frec. indiv. con 1 hijo = 419 + 255= 674 individuos

¿Qué porcentaje de individuos tiene 6 hijos o menos?

97,3%

¿Qué cantidad de hijos es tal que al menos el 50% de la población tiene una cantidad inferior o igual?

2 hijos

≥50%

Descripciones gráficas

Datos de un carácter cualitativo

Diagramas de barras Alturas proporcionales a las frecuencias (abs. o rel.) Se pueden aplicar también a variables discretas

Diagramas de sectores (tartas, polares) No usarlo con variables ordinales. El área de cada sector es proporcional a su frecuencia

(abs. o rel.)

Pictogramas Fáciles de entender. El área de cada modalidad debe ser proporcional a la

frecuencia.


Datos, sin agrupar, de un carácter cuantitativo

Diagrama de barras Diagrama de frecuencias acumuladas

Nº de hijos (Xi) 0 1 2 3 4

Nº de familias (ni) 5 6 8 4 2

Ii ni fi Ni Fi

7'5 - 9 3 0'088 3 0'088

9 – 10'5 8 0'236 11 0'324

10'5 - 12 10 0'294 21 0'618

12 - 13'5 10 0'294 31 0'912

13'5 - 15 1 0'029 32 0'941

15 - 16'5 2 0'059 34 1


Datos, agrupados, de un carácter cuantitativo

Histogramas Polígono de frecuencias acumuladas

Descripciones Numéricas Posición

Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos.

Percentiles, cuartiles, deciles,... Centralización

Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse. Media, mediana y moda

Dispersión Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las

medidas de centralización. Desviación típica, coeficiente de variación, rango, varianza

Forma Asimetría Apuntamiento o curtosis


Medidas de posición

Cuartiles: Sea q un número real tal que 0 q 4. El cuartil q (cq) es un valor del recorrido de las observaciones tal que el q/4 de las observaciones son menores o iguales que cq.. El cuartil 2 es la mediana

Deciles: Sea q un número real tal que 0 q 10. El decil q (dq) es un valor del recorrido de las observaciones tal que el q/10 de las observaciones son menores o iguales que dq.. El decil 5 es la mediana.

Percentiles: Sea q un número real tal que 0 q 100. El percentil q (pq) es un valor del recorrido de las observaciones tal que el q % de las observaciones son menores o iguales que pq. El percentil 50 es la mediana.

El 5% de los recién nacidos tiene un peso demasiado bajo. ¿Qué peso se considera “demasiado bajo”?

Percentil 5 o cuantil 0,05

Percentil 5 del peso

Peso al nacer (Kg) de 100 niños

frecu

enci

a

1 2 3 4 5

05

1015

2025Medidas de posición (EJEMPLO)


¿Qué peso es superado sólo por el 25% de los individuos? Percentil 75 o tercer cuartil

Percentil 75 del peso

Peso (Kg) de 100 deportistas

frecu

enci

a

50 55 60 65 70 75 80 85

05

1015

2025

30

Descripciones NuméricasMedidas de posición (EJEMPLO)

El colesterol se distribuye simétricamente en la población. Supongamos que se consideran patológicos los valores extremos. El 90% de los individuos son normales ¿Entre qué valores se encuentran los individuos normales?

Percentiles 5 y 95

Colesterol en 100 personas

frecu

enci

a

180 200 220 240 260

05

1015

20

Descripciones NuméricasMedidas de posición (EJEMPLO)


Medidas de centralización

Media Es la media aritmética (promedio) de los valores de una variable. Suma de los valores dividido por el tamaño muestral.

Media de 2,2,3,7 es (2+2+3+7)/4=3,5 Conveniente cuando los datos se concentran simétricamente con

respecto a ese valor. Muy sensible a valores extremos. Centro de gravedad de los datos

Mediana Es el valor de la variable que divide a las observaciones en dos grupos con el mismo número de individuos (percentil 50). Si el número de datos es par, se elige el primer valor de la variable que cubra el 50%.

Mediana de 1,2,4,5,6,6,8 es 5 Es conveniente cuando los datos son asimétricos. No es sensible a

valores extremos. Mediana de 1,2,4,5,6,6,800 es 5. ¡La media es 117,7!

Moda Es el/los valor/es donde la distribución de frecuencia alcanza un máximo.

Altura mediana



Medidas de centralización Media

Media Aritmética

Moda: Es el valor que más se repite en la muestra

Mediana : Datos sin agrupar Datos agrupados

Me = x[N/2] + 1 Me = xj

N

nx

x iii

Descripciones Numéricasxi ni Ni

0 3 3

1 2 5

2 2 7

7

ordenamos los valores en orden creciente

0 0 0 1 1 2 2

el 1 será el valor que cumple la definición de mediana.

Ejemplo:La distribución de frecuencias acumuladas del ejemplo del número de hijos era

Nº de hijos (xi) 0 1 2 3 4

Frec. Acumuladas (Ni) 5 11 19 23 25

y como es n/2=12'5 y 11 < 12'5 < 19, en consecuencia la mediana será Me= 2.

Descripciones NuméricasDatos Agrupados: Las gráficas siguientes, correspondientes a polígonos de frecuencias absolutas acumuladas, nos plantea dos situaciones diferentes a considerar:

El más sencillo, el de la derecha, en el que existe una frecuencia absoluta acumulada Nj tal que n/2 = Nj, la mediana es Me = xj.

Si la situación es como la que se representa en la figura de la izquierda, en la que Nj-l < n/2 < Nj entonces, la mediana, está en el intervalo [xj-1, xj), es decir entre xj-1 y xj, tomándose en ese caso, por razonamientos de proporcionalidad, como mediana el valor

Descripciones NuméricasEjemplo:La distribución de frecuencias del ejemplo de los niveles de colinesterasa es:

Intervalo Ii 7'5-9 9-10'5 10'5-12 12-13'5 13'5-15 15-16'5

Frecuencia ni 3 8 10 10 1 2

FrecuenciaAcumulada

Ni 3 11 21 31 32 34

Al ser n/2 = 17 y estar 11 < 17 < 21 la mediana estará en el intervalo [10'5 , 12), y aplicando la fórmula anterior, será


Medidas de dispersión

Conjunto 1: 10 20 30 40 50 media = 30, mediana = 30, moda = no existe

Conjunto 2: 10 30 30 30 50 media = 30, mediana = 30, moda = 30

Conjunto 3: 30 30 30 30 30 media = 30, mediana = 30, moda = 30

A la vista de estas medidas podríamos llegar a la conclusión equivocada de que los tres conjuntos de datos son muy similares. Sin embargo, si dibujamos los histogramas:

vemos claramente la diferencia entre los tres conjuntos: en el primero, la dispersión de los datos es total, en el tercero es la máxima concentración y el segundo es una situación intermedia.

Descripciones NuméricasMedidas de dispersión

Miden el grado de dispersión (variabilidad) de los datos, independientemente de su causa.

Amplitud o Rango: Diferencia entre observaciónes extremas.

2,1,4,3,8,4. El rango es 8-1=7 Es muy sensible a los valores extremos.

Rango intercuartílico: Es la distancia entre primer y tercer cuartil.

Rango intercuartílico = P75 - P25 Parecida al rango, pero eliminando las observaciones más extremas

inferiores y superiores. No es tan sensible a valores extremos.

150 160 170 180 190

0.0

00

.01

0.0

20

.03

0.0

40

.05

150 160 170 180 190

25% 25% 25% 25%

Mín. P25 P50 P75 Máx.

Rango intercuartílico

Rango


Varianza S2: Mide el promedio de las desviaciones (al cuadrado) de las observaciones con respecto a la media.

Es sensible a valores extremos (alejados de la media). Sus unidades son el cuadrado de las de la variable. De interpretación difícil

para un principiante. La expresión es fea, pero de gran belleza ‘natural’ (físicamente). Contiene la

información geométrica relevante en muchas situaciones donde la energía interna de un sistema depende de la posición de sus partículas.

Energía de rotación (vía el coeficiente de inercia): patinadores con brazos extendidos (dispersos) o recogidos (poco dispersos)

Energía elástica: Muelles ‘estirados’ con respecto a su posición de equilibrio (dispersos) frente a muelles en posición cercana a su posición de equilibrio (poco dispersos)

Medidas de dispersión


Desviación típica: Es la raíz cuadrada de la varianza

Tiene las misma dimensionalidad (unidades) que la variable. Versión ‘estética’ de la varianza.

Cierta distribución que veremos más adelante (normal o gaussiana) quedará completamente determinada por la media y la desviación típica.

A una distancia de una desv. típica de la media hay ‘más de la mitad’.

A una distancia de dos desv. típica de la media las tendremos casi todas.

2SS

Peso recién nacidos en partos gemelares

50

40

30

20

10

0

Desv. típ. = 568,43

Media = 2023

N = 407,00


Centrado en la media y a una desv. típica de distancia hay aproximadamente el 68% de las observaciones.

A dos desviaciones típicas tenemos el 95% (aprox.)

150 160 170 180 190

0.0

00

.01

0.0

20

.03

0.0

40

.05

xs

68.5 %

150 160 170 180 190

0.0

00

.01

0.0

20

.03

0.0

40

.05

x2s

95 %


Coeficiente de variación: Es la razón entre la desviación típica y la media.

Mide la desviación típica en forma de “qué tamaño tiene con respecto a la media”

También se la denomina variabilidad relativa. Es frecuente mostrarla en porcentajes

Si la media es 80 y la desviación típica 20 entonces CV=20/80=0,25=25% (variabilidad relativa)

Es una cantidad adimensional. Interesante para comparar la variabilidad de diferentes variables.

Si el peso tiene CV=30% y la altura tiene CV=10%, los individuos presentan más dispersión en peso que en altura.

No debe usarse cuando la variable presenta valores negativos o donde el valor 0 sea una cantidad fijada arbitrariamente

Por ejemplo 0ºC ≠ 0ºF Los ingenieros electrónicos hablan de la razón ‘señal/ruido’ (su inverso).

x

S

xCv


Medidas de forma

Asimetría o sesgo

Una distribución es simétrica si la mitad izquierda de su distribución es la imagen especular de su mitad derecha.

En las distribuciones simétricas media y mediana coinciden. Si sólo hay una moda también coincide

La asimetría es positiva o negativa en función de a qué lado se encuentra la cola de la distribución.

La media tiende a desplazarse hacia las valores extremos (colas).

Las discrepancias entre las medidas de centralización son indicación de asimetría.


Medidas de forma

Asimetría o sesgo

g1< 0 Asimétrica Negativa

g1 = 0 Simétrica

g1 > 0 Asimétrica Positiva

Hay diferentes estadísticos que sirven para detectar asimetría. Basado en diferencia entre estadísticos de tendencia central. Basado en la diferencia entre el 1º y 2º cuartiles y 2º y 3º. Basados en desviaciones con signo al cubo con respecto a la media (coeficiente

de asimetría de Fisher). Los calculados con ordenador. Es pesado de hacer a mano

En función del signo del estadístico diremos que la asimetría es positiva o negativa.

Distribución simétrica asimetría nula.

La curtosis nos indica el grado de apuntamiento (aplastamiento) de una distribución con respecto a la distribución normal o gaussiana. Es adimensional. Platicúrtica (aplanada): curtosis < 0 Mesocúrtica (como la normal): curtosis = 0 Leptocúrtica (apuntada): curtosis > 0

En el curso serán de especial interés las mesocúrticas y simétricas (parecidas a la normal).


Medidas de forma

Apuntamiento o Curtosis

g2< 0 Platicúrticag2 = 0 Mesocúrticag2 > 0 Leptocúrtica

Ejercicios

1) En una clínica infantil se han ido anotando, durante un mes, el número de metros que el niño anda, seguido y sin caerse, el primer día que comienza a caminar. Obteniéndose así la tabla adjunta:

Se pide:1. Tabla de frecuencias. 2. Diagrama de barras para frecuencias absolutas.3. Diagramas de frecuencias acumuladas (absolutas).4. Mediana, Moda y Cuartiles.5. Media aritmética.

Número de niños 2 6 10 5 10 3 2 2

Número de metros

1 2 3 4 5 6 7 8

Ejercicios

2) Se han medido los pesos y alturas de seis personas, obteniéndose los datos siguientes:

Se quiere saber:a) ¿Qué medidas están más dispersas, los pesos o las alturas?.b) ¿Cuál es el coeficiente de variación de Pearson en cada caso?.

Pesos 65 60 65 63 68 68

Alturas 1,70 1,50 1,68 1,70 1,75 1,80

Ejercicios

3) En la caja de reclutas se ha medido la altura de 110 jóvenes, obteniéndose la siguiente tabla:

Calcúlense:a) Los percentiles 21 y 87 y los deciles 3 y 9.b) Se consideran "bajos" a aquellos cuya altura esté bajo el percentil 3.

¿Cuál es la altura máxima que pueden alcanzar?c) Se consideran "altos" aquellos cuya altura está sobre el percentil 82.

¿Cuál será su altura mínima?.d) ¿En qué percentil estará un joven de altura 1,78?e) Coeficiente de asimetría de Fisher.

Altura Nº jóvenes

1,55-1,60 18

1,60-1,70 31

1,70-1,80 24

1,80-1,90 20

1,90-2,00 17

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