Universidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de MecnicaMecnica General

Profesor: Guillermo Gonzlez Baquedano1MECNICA GENERAL1. Fundamentos de la Mecnica1.1 IntroduccinLa mecnica es la rama de la fsica que estudia el movimiento y equilibrio de los cuerpos bajo la accin de las fuerzas.La mecnica es la ms antigua ciencia fsica.Su registro ms antiguo fue hecho por Arqumides (287 - 212 A.C.) con el principio de niveles y flotacin; Stevinus (1548-1620) investigaciones en la dinmica; Newton(1642-1727) gravitacin y matemtica infinitesimal; da Vinci, Varignon, D'Alambert, Lagrange, Laplaceyotroshanenriquecidoel estudiodelamecnica. EinsteinconsuTeorade Relatividad (1905) limit a las formulaciones de Newton; sin embargo, teoras modernas indican que las limitaciones son solamente para velocidades cercanas a la de la luz (300.000 km/s) y para distancias atmicas.En mecnica se estudia principalmente el efecto de las fuerzas externas (o sistemas) que actan sobre uncuerporgido. Estossonacelerarlooproducir fuerzasresistentesoreaccionessobrel. Se distinguen 3 casos:- El sistema de fuerzas est equilibrado, no hay efecto externo sobre el cuerpo. Se trata de un problema de esttica.- El sistematieneunaresultantedistintadecero, el cuerposeracelerado. Setratadeun problema de dinmica.- Es necesario considerar los efectos internos de un sistema de fuerzas, o las deformaciones, para poder resolverlo.Se trata de un problema de resistencia de materiales.En mecnica se estudia solamente sistemas de fuerza que actan sobre cuerpos rgidos, o sea aquellos cuyas partculas permanecen siempre a distancias invariables entre si.1.2 Conceptos o dimensiones bsicasAl estudiar la mecnica es necesario establecer ciertas abstracciones o dimensiones para poder describir aquellas manifestaciones interesante en los cuerpos, estas son:1. Espacio: esunareginestudiadaentodasdirecciones. Laposicinenel espaciose determina relativa a un sistema de referencia por medicin lineal o angular.2. Tiempo: esunamedidaordenadadelasucesindeeventoscomodiluvios, crecidas, lunas nuevas, rotacin de la tierra o fraccin de la rotacin de la tierra.3. Materia: es la substancia que ocupa un espacio.4. Inercia : propiedad de la materia de oponer resistencia al cambio de movimiento.5. Masa : medida cuantitativa de la inercia.26. Cuerpo: materia envuelta en una superficie cerrada.7. Fuerza : accin de un cuerpo sobre otro que tiende a mover al cuerpo en la direccin de la aplicacin.8. Partcula: cuerpo de dimensin negligible. En algn caso, un cuerpo de tamao finito se puede tratar como una partcula o punto material.9. Longitud: descripcin cuantitativa del tamao.1.2.1 Cantidades con dimensiones primariasLongitud (L) : la unidad es el metro [m]Tiempo(T) : la unidad es el segundo [s]Masa (M) : la unidad es el kilogramo [kg]Segundopatrn.Unsegundosedefine como"laduracinde 9.192.631.770 perodos de la radiacincorrespondientealatransicinentredosniveleshiperfinosdelestadofundamental del tomo de cesio-133", a una temperatura de 0K. .Kilogramo patrn. Se ha tomado como patrn para el kilogramo una barra de platino que se halla bajo condiciones ambientales estrictamente controladas en la Oficina de Pesas y Medidas de Svres, Francia.El metropatrn.Un metro se define como "la longitud de 1.650.763,73 longitudes de onda, en vaco, delaradiacincorrespondienteala transicin entrelosniveles2p10y5d5 deltomode kriptn-86.1.2.2 Cantidades con dimensiones secundariasNewton [N] _ ]sm kg[ )TML( : (F) Fuerza 2 2]sm[ )TL( : (v) Velocidad]sm[ )TL( : (a) n Aceleraci2 2( ) ( ) [ ]2 2: m L S Superficie( ) [ ] Pascal PamNLFp esin ]]]

,`

.|2 2: Pr1.2.3 Sistemas de unidadesCantidades S.I. Gravitacional Ingls Ingls3absoluto o tcnico absoluto gravitacionalLongitud (L) m m ft ftTiempo (T) s s s sMasa(M) kg U.T.M. lb-masa slugFuerza (F) N kgf poundal lb-fuerza[N] 9,80665 _ [kgf] 1mskgf_ [U.T.M.] 1sm kg_ [N] 122ftslbf_[slug]1sft lb_[poundal]1221.3 Magnitudes escalares y vectorialesLas magnitudes fsicas utilizadas para describir los fenmenos mecnicos se clasifican en escalares y vectoriales.Escalares : Necesitan solamente el mdulo o intensidad para quedar definidas por ejemplo: masa, volumen, tiempo, rapidez, temperatura, calor, densidad, energa, presin, etc.Vectoriales : Necesita estar asociada con el mdulo, direccin y sentido para quedar definidas;ademsdebecumplirconlaleydelparalelogramo. Porejemplo: fuerza, velocidad, aceleracin, desplazamiento, etc.Los vectores pueden ser libres, deslizantes o ligados.Vector libre : Esaquelquenoactasobreunalneadeaccindeterminada, porejemplo: velocidad del viento, velocidad de la corriente de agua.Vector deslizante: Es aquel que puede transportarse o deslizarse a travs de su recta de accin, por ejemplo: fuerza aplicada a un cuerpo rgido.Vector ligado: Es aquel quetiene un punto fijo de aplicacin en el espacio o est ligado a un cuerpo o partcula, por ejemplo:la velocidad de la partcula est ligada a ella.1.4 Leyes de la MecnicaLas leyes sobre las cuales estn basados los principios fundamentales de la mecnica son las siguientes:- Primera Ley de Newton- Segunda Ley de Newton- Tercera Ley de Newton- Ley del paralelogramo4- Ley de gravitacin universal1.4.1 Primera Ley de NewtonTodo cuerpo contina en estado de reposo o de movimiento uniforme en lnea recta, a menos que sea obligado a cambiar de ese estado por una fuerza aplicada sobre l.1.4.2 Segunda Ley de NewtonEl cambio de movimiento que se produce en el curso es proporcional a la fuerza neta aplicada sobre l, F a se efecta en la direccin de la lnea recta en que se aplica la fuerza.1.4.3 Tercera Ley de NewtonA toda accin siempre se contrapone una reaccin igual y opuesta, o sea, la accin mutua entre dos cuerpos.A GAB N1N1GBN21.4.4 Ley del paralelogramoB + A = R BRA1.4.5 Ley de Gravitacin UniversalDospartculasseatraen, unahaciala otra,a lo largo de unalnea quelas une,con unafuerza de magnitudproporcional al productodelasmasas, einversamenteproporcional al cuadradodela distancia entre ellas.El factor de proporcionalidad es la constante de Gravitacin Universal G.dm mF22 1 m1m2dm mG= F22 1F F5 dDonde:m1 y m2 son las masas de los cuerpos que interactand es la distancia entre los centros de gravedad de ellosF es la fuerza de atraccinCuando m1 es la masa de la tierra y d es la distancia entre el centro de la tierra (radio de la tierra rT) y un cuerpo de masa m2 que est en la superficie terrestre, la fuerza F ser la fuerza de gravedad o peso del cuerpo de masa m2 .En ese caso la expresin 2TTrm G representa la aceleracin de gravedad g.Siendo constantes G y mT, la aceleracin de gravedad ser inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de la tierra. Esto es, mientras mayor sea la distancia al centro de la tierra, menor ser la aceleracin degravedad;porlotanto, menor el peso. Dado que la tierra no es exactamente una esfera, el peso de un mismo cuerpo no solamente depender de la altitud, sino tambin de la latitud geogrfica en que se encuentre. LasleyesdeNewtonsonaplicablesexactamenteasistemasdereferenciainerciales. Sistemasde estrellas fijas o sistemas que se mueven uniformemente sin girar respecto a las estrellas fijas.Lasuperficiedelatierraseconsiderasistemainercialparalostrabajosdeingeniera;perodebido principalmente alosmovimientosderotacin y translacin (nutacin y precesin en mucho menor medida), noesunsistemaexacto. Comolasdiferenciasconunoinercial sontanpequeas, se considera as, salvo para casos de cohetera.Otras limitaciones de las leyes del movimiento de Newton son las referidas a velocidades cercanas a la de la luz (300.000 km/s), efecto relativstico, y las que involucra distancias interatmicas.1.5 Idealizaciones de la MecnicaEn la ingeniera se realiza una aplicacin de las ciencias fsicas para la resolucin de problemas. Lo importante es resolverlos con algn grado satisfactorio de exactitud. Por esto se realizan aproximaciones que permita la resolucin simplificada de ellos, en conformidad con la precisin en las mediciones de los parmetros involucrados y de acuerdo conla exactitud requerida.Parael estudiomssimplificadodelaMecnicasesueleatribuir uncomportamientoideal alos cuerpos sobre los que actan fuerzas:1.5.1 El continuo6Para muchos problemas en ingeniera la divisin de la materia en molculas, tomos, electrones, es complicada.En la mayora de los casos, solamente interesa el promedio de manifestaciones medibles encuerposelementales. La presin, temperatura y densidad son efectos burdos de las acciones de muchas molculas y tomos, y se puede suponer convenientemente, que ellos son el resultado de una hipottica distribucin continua de la materia, llamada el continuo.1.5.2 El cuerpo rgidoEs un continuo que tericamente no sufre deformaciones. Se toma esta presuncin a menos que la deformacin sea de tal magnitud que cambie la posicin de las fuerzas.En mecnica, el nico cuerpo no rgido sino de comportamiento elstico que se estudiar, ser el resorte.1.5.3 La partculaCuando los espacios recorridos son bastante ms grandes que el tamao del cuerpo, se puede considerar este como sin volumen (proyectil relacionado a su trayectoria).1.5.4 Fuerza concentradaSe considera una fuerza finita aplicada en una superficie infinitesimal o punto de un cuerpo rgido.Otras idealizaciones son el cuerpo perfectamente elstico, fluidos sin roce, etc.2. ESTTICAEnesttica,interesaprincipalmentedeterminar las fuerzas y pares de fuerzas que en reaccin a las cargas permiten que los cuerpos permanezcan en equilibrio.2.1 La FuerzaLa fuerza es una de las abstracciones fsicas ms importante en la mecnica.2.1.1 DefinicinFuerzaeslaaccindeuncuerposobre otro que tiendeamodificar el movimiento de este ltimo. Debidoalainerciadeloscuerpos, estosreaccionanconunafuerzaigualycontraria(3eraLeyde Newton).No existen fuerzas aisladas, sino pares de fuerza.El efecto de un cuerpo sobre otro es, sin embargo, una fuerza nica (una de la pareja).2.1.2 Caractersticas de la fuerza7Laspropiedadesnecesariasparadistinguirlasfuerzas, unasdeotrassonlassiguientes:intensidad, direccin, sentido y posicin de un punto de su recta de accin.2.1.2.1 Intensidad: La unidad para medir la fuerza es el Newton.211sm kgN2.1.2.2 Direccin: Sentido e inclinacin.Se expresa con respecto a un sistema de referencia establecido, o respecto a una lnea de referencia; sealando sus componentes en la direccin de los ejes de referencia, o dando su ngulo o pendiente respecto al eje referido.yFyxFYF F 2FZ FX3z xx2.1.2.3 Posicin: De un punto cualquiera de su recta de aplicacin.Laposicinsesealaindicandolascoordenadasdeunpuntodesulneadeaccinenun sistema de referencia dado.La Intensidad o mdulo, la direccin y el sentido se pueden definir en un sistema de referencia ortogonal (X, Y, Z) a travs de sus coordenadas. Fx, Fy, Fz. yFyFy Fz FxR8zxzx2.1.3 Sistemas de fuerza:Cuando sobre el cuerpo actan varias fuerzas, se habla de sistemas de fuerza. Se pueden clasificar segn la disposicin de las lneas de accin de las fuerzas.1. Colineales: Todas las F del sistema tienen una lnea de accin comn.2. Concurrentes: Las lneas de accin de las fuerzas tienen un punto comn.3. Coplanarias: Las lneas de accin de las fuerzas se encuentran en un mismo plano.4. Paralelas: Todas las lneas de accin de las fuerzas son paralelas entre si.5. No concurrentes, no paralelas, no coplanarias.2.1.4 Reduccin de Sistemas de FuerzaReducir un sistema de fuerzas es substituirlo por otro ms sencillo, sin modificar el efecto externo que causa sobre un cuerpo rgido.Q Q RP PP PQ-PFF9A BRTodo sistema de fuerza se puede reducir a:1. Una sola fuerza.2. Fuerzas paralelas de igual intensidad y sentido opuesto (par).3. Una fuerza y un par.2.1.5 Descomposicin de FuerzasUna fuerza se puede descomponer en dos o ms fuerzas, en direcciones pre-establecidas; llamndose cada una de stas "Componentes de la Fuerza".La suma vectorial de las componentes debe ser igual a una resultante a la fuerza.Comolascomponentesdelafuerzasonescalares, debernser multiplicadospor losrespectivos vectores unitarios de direccin correspondiente, para poder efectuar la operacin vectorial.En coordenadas rectangulares:yjFy ) i , F ( ngulo =xxF) j , F ( ngulo =y z ) k , F ( ngulo =zFz xkFxz ixk Fz+ j Fy+ i Fx = F donde : Fx, Fy, Fz son los componentes de la fuerza en direcciones X, Y, Z respectivamente., , , k j ison los vectores unitarios de direcciones X, Y, Z respectivamente.10a su vez: Fx = F cos xFy = F cos yFz = F cos zdonde cos x, cos y, cos z son los cosenos directores.2 2 2Z Y XF F F = | F | + +Se puede utilizar coordenadas oblicuas de direccin eu y evv FFvvu = u + v uFuv v u ue F e F F + Si se conoce el vector fuerza, por el teorema del seno se obtienen las componentes en las direcciones u y v: sen = ) - (180 sen pero ) - (180 senF=senFvu,sensenF = FvusensenF = FvuSi se conocen las componentes, por el teorema del coseno se obtiene la resultante)} - (180 Fv Fu 2 -Fv+Fu{= | F |2 221 cos,pero cos(180-) = - cos 2.2 Momento de una Fuerza (M)2.2.1 DefinicinEl momento de una fuerza representa la tendencia de girar que tiene un cuerpo gracias a la accin de una fuerza. El momento de una fuerza respecto a un punto cualquiera de una recta es igual al producto vectorial entre el radio vector, trazado desde el punto hasta un punto cualquiera de la recta de accin de la fuerza, por la fuerza.F x = M11 sen F = | M | ) F , ( ngulo = donde BF A

En el plano resulta: FdF x = M sen F = | M | ) (distancia d = sen pero La direccin es al plano formado por y F el sentido, el que se obtenga aplicando la ley del tornillo derecho.Vectorialmente en el espacioLl FM = x F xyzM = F sen M = FxFyFzijkML = M l xyzML = ( x F) l ML= FxFyFzlxlylz 12donde: 1 =l l+l= l2z2y2x+EjemploDeterminar la fuerza de contacto en una transmisin de potencia rotacional mediante ruedas dentadas helicoidales.Potencia :10 HPVelocidad motriz :1500 R.P.M.Dimetro motriz : 100 mmDimetro conducido : 300 mmAngulo de presin : = 20Angulo de hlice : = 302.2.2 Teorema de los MomentosEl momento producido por una resultante de un sistema de fuerzas, respecto a un eje cualquiera es igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas del sistemarespecto al mismo eje.Se quiere demostrar que: B b A a R r + E a = u sen aa r = u sen r R r b = u sen bAr B D de la geometrabCE = CD + DE a bCE = R sen r OC CD = B sen bu DE = A sen a Por lo tanto, R sen r = B sen b + A sen a /.uR (u sen r )= B (u sen b) + A( u sen a)R . r = A . a + B . b2.2.3 El Par (de fuerzas)F El par es una par de fuerzas paralelas de igual magnitud, pero de sentido contrario, que no son colineales.-F13El par de fuerza queda definido e identificado por el momento del par. F MA= F d/2 + F d/2 = dA MB= d*F -F B d MO= F (d + c) - F c= F*d + F*c F*c = d*F c El momentodelpardefuerzasconrespectocualquier puntoesconstante. Por lotanto, el Momentoesun vector libreocausael mismoefectosobreuncuerpo mientras no cambie ninguna de las caractersticas: mdulo, direccin y sentido.2.2.4 Equivalencia de sistemas de fuerzasdF-F FUna fuerza Fse puede reemplazar por un sistema equivalente que realiza el mismo efecto sobre el cuerpo.La fuerza F que pasa por el punto A, se puede sustituir por una fuerza F que pasa por el punto B y un par. ste est formado por las fuerzas F y F, cuyo momento es igual al producto F d. 2.3 Resultante de Sistema de fuerzasEncontrar la resultante de un sistema de fuerza es reducir el sistema a su mnima expresin, de modo que produzca el mismo efecto sobre el cuerpo donde est aplicado.2.3.1 Resultante de un Sistema de fuerzas colinealesLa resultante de un sistema de fuerzas colineales es una fuerza nica que tiene la misma recta de accin que las componentes. + + nii nF F F F F12 1...... el mdulo de la resultante ser igual a la suma algebraica de los mdulos de las componentes.14F3FnF1F2Fx = F1x + F2x + .... + FnxRy = F1y + F2y + .... + Fny2.3.2 Sistemas de fuerzas concurrentesF =F+ .... +F+F= Rn 2 1 F1F=F+ .... +F+F=R x nx 2x 1x x F2F=F+ .... +F+F=R y ny 2y 1y yF=F+ .... +F+F=R z nz 2z 1z z F3FnLa resultante de un sistema de fuerzas concurrentesser una fuerza R nica, que pasa por el punto de concurrencia.2.3.3 Resultante de sistemas de fuerzas Coplanares F1F2F3FnGrficamente se pueden ir sumando vectorialmente las fuerzas de a pares; finalmente la resultante, ser igual a la suma de las ltimas dos resultantes parciales, y pasar por el punto de interseccin de stas.Este mtodo es muy largo, cuando se trata de un gran nmero de fuerzas.Se puede utilizar el polgono de fuerzas.RXFNYRYR Fn15 R+R+R= R2z2y2xF3F3Y F1Y F1F2F2YF3XF1XF2XAnalticamente, se puede trabajar con las componentes de las fuerzasRx = F1x + F2x + ... + Fnx = FxRy = F1y + F2y + ... + Fny = Fy

RR= tgR+R= Rxy2y2x ,Pero se desconoce un punto por donde pasa su recta de accin.R F1F2r r2F3Fnr3rn r1Solucin analticaLa determinacin de un punto por donde pasa la recta de accin de la resultante R, tambin se puede determinar analticamente, aplicando el teorema de los momentos.dR = x1Fy1 + x2Fy2 + .... + xnFyn + y1Fx1 + y2Fx2 + .... + ynFxnd= 1/R {xn Fyn + yn Fxn}2.3.4 Resultante de sistemas de fuerzas paralelasyR F1F3xz1zz3 x1x3z2x2z F2 16x + + + nii nF i i F i F i F R12 1 ....... ( ) inii n n zF x F x F x F x R x M + + + 12 2 1 1.......( ) inii n n xF z F z F z F z R x M + + + 12 2 1 1.......2.4 Centros de GravedadEs el punto por donde pasa la recta de accin de la fuerza resultante de F gravedad del cuerpo.El C.G. de un sistema de partculas se obtiene por medio de la resolucin de un sistema de fuerzas paralelas en el espacio, o sea, es una aplicacin del caso anteriorRecordando que la fuerza peso G es el producto de la masa m por la aceleracin de gravedad gg m G

Dividiendo por el volumen v del cuerpogvmvG Donde vG es el peso especficoy vm es la masa especfica o densidadC.G. de un cuerpo planoyGxzx z dGdA z xtcomo t, y, son constantes, puede obtenerseypor simetradG = t dA peso del elementoG= t dA peso del cuerpo17utilizando el teorema de los momentos respecto a cada plano perpendicular (x,y) e(y,z) dMx = z dG = z t dA momento del peso del elemento respecto al plano (x,y) Mx = z t dA momento del peso del cuerpo respecto al plano (x,y) dAdA zd tdA t z =GM= zxlas integrales. dA x e dA z son Momentos de rea o Momentos de primer orden, con unidad [m3],para diferenciarlas de dA z2, e dA x2, llamadas Momentos de segundo orden o Momentos de Inercia de reas. Determinacin de Centros de Gravedad por Integracin.En primer lugar se debe seleccionar el elemento apropiado. Para esto pueden ser tiles las 2 reglas siguientes:1. Elegir el elemento de modo que todas las partes del rea infinitesimal estn a igual distancia del eje o plano de referencia.2. Elegir el elemento, donde las partes del rea infinitesimal se encuentren a diferentes distancias del ejeo plano de referencia, pero sea de fcil la obtencin del C.G. del elemento, por simetra.Procedimiento1. Destacar el elemento elegido en un esquema de la figura, determinar sus cotas.Cuando se hace doble integracin, dibujar el 1er elemento, prolongando las lneas con trazos segmentados.2. Escribir la expresin del rea del elemento lo ms simple posible.3. Integrar la expresin anterior, para determinar el rea.Si se utiliza una integral doble, fijarse en los lmites que hay que establecer.4. Escribir la expresin del momento del elemento de rea respecto al eje o plano de referencia.5. Integrar la expresin anterior.6. Dividir el momento obtenido en (5) por el rea calculada en (3), para hallar una coordenada del Centro de Gravedad.El Teoremadelos Momentos sirveparadeterminar los centros degravedaddelneas, reas y volmenes.Ejemplo de centro de gravedad de lneaDeterminar las coordenadas del C.G. de un arco de circunferencia.18dAdA xdA tdA t x=GM= xzrd yx dL = r d x r = ] [r = d r = L00( ) d sen r d r sen r dL y dMX 2 dr= d r ) (r = dL x =dM2ycos cos ( ) cos 1 cos20202 r r d sen r MX senr= | senr| = dr=M202 20ycos( ) ( ) cos 1 cos 12 rrrLMyX sen r=rsenr=LM= X2ysi = 90, cuadrante de circunferencia /2 [rad] ry x 2si = 180, semi circunferencia centrada [rad]0 x ;ry2Ejemplo de centro de gravedad de reaDeterminar las coordenadas del C.G. del rea encerrada por las curvas 21x y e 22+ x y19ydxy2y1xxdx )x- 2 + (x = )dx y - y ( = dA21 24,5 = | 2x +2x+3x| = )dxx- 2 + (x = A21 -2 3221 -)dxx- 2x +x( = dA x =dM3 2y2,25 = |4x-x+3s| =M21 -423y0,5 =4,52,25=AM= xy)dx y - y ( ) y + y ( = dA )2y + y( = dA y =dM1 2 1 21 2xdx )x- 4 + 4x +x( = dx ) y - y ( =M4 221 -212221 -x 14,4 =51- 4 + 2 -31+532- + 8 +38= |5x- 4x +x+3x|21=M21 -523x1,6 =4,57,2=AM= yxEjemplo: determinacin del centro de gravedad de reas compuestasy3 333204 1 x41Si se descompone en 3 reas y se aplica el teorema de los momentos:A x y MyMx123418648-12 3734,54/34/3-2-1 5442144 -54 248-96 1260 186-52 31 =60186=AM= Xy0,866 - =6052- =AM= YxEjemplo: Determinar el centro de masa de un cuerpo compuesto.m1 = 20 kgm2 = 14 kgm3 =6 kgy m = 40 kg21por simetra0 yx m x m x m x mT + + 3322 1 1( ) x + + 40 120 6 60 14 180 205 , 37 xz m z m z m z mT + + 332211z + + 40 60 6 0 14 0 209 z z = 922Teoremas de Pappus y Guldin2.4.2 Aplicada a cuerpos de revolucinSuperficie de revolucindldl y dA 2 y adl y A02L y A 2 A = 2 yLLasuperficiecurvadeuncuerpoderevolucinesigualalacurvageneratrizmultiplicadaporel camino recorrido por el centro de gravedad de esta curva generatriz.23Volumen de revolucindA y dV 2

AdA y V 2 A y V 22 2 1 12 2 A y A y V + El volumen de un cuerpo de revolucin es igual al rea generatriz multiplicada por el camino recorrido por su centro de gravedad.2.4.3 Centros de PresinCentro de Presin es el punto donde pasa la resultante de una carga distribuida.24Q]]]

mNlQqconstante l ( ) Xq q A Bx1dxxx2l( )dx q dFX ( )dx q = dF = FXXXXX2121 dF x dMA ( )dx x q MXXX A 21( )( )dx qdx x q=FM= XXXXXXX A2121Elemplo: Encontrar por donde pasa la resultante de las cargas que actan sobre la viga. x dx3000 N/m1500 N/m2000 10000 1000 N/m12000( )dx q FX 120( ) dx x dx F ]]]

+ + 12212021015001500 10002512221221203002150 1500 1000 xxx x F + +

7500 15000 12000 + + F F= 34500 N( )dx q x = M = F XX120Adx 2)) - x(x101500+ (1500x + dx x 1000 = F X122120 |3x150 +2x1200 | + |2x1000 | = F X1223 21202242000 ) 400 2400 86400 86400 ( 72000 + + + F X7,014 =34500242000= XIngenierilmente, se puede tomar como tres cargas distribuidasQ0 = 1000*12 = 12000 NQ1 = 1500*10 = 15000 NQ2 = Q1/2 =7500 N6000 Q2Q37000 Q126000/3F = Q1+Q2+Q3 =34000 N750032615000 7 12000 6 + + F Xm X 0145 , 7 3. EQUILIBRIO MECANICOCuando el sistema de fuerzas sobre un cuerpo rgido carece de resultante el cuerpo est en equilibrio.Para establecer el equilibrio de los cuerpos es necesario efectuar el anlisis sobre el cuerpo libre.3.1 Diagrama de cuerpo libre (DCL)26El cuerpo libre es un diagrama del cuerpo al cual se le han retirado todos los apoyos y contactos, pero se han reemplazado por lo que stos son capaces de generar sobre el cuerpo.Representacin de transmisin de fuerzas de un cuerpo a otro, idealizaciones y representaciones 3.2 Diagrama de cuerpo libre de secciones interiores27M FEjemplo de cadenas de cuerpos libres de una estructura.A CD EGAB GDEGBCBQDiagrama del cuerpo libre del conjuntoNtese que cuando se conoce la direccin de la fuerza, se debe colocar en el D.C.L.;cuando no se conoce su direccin, se debe representar por sus componentes (rectangulares). D E A CGAB GDEGBCBQDiagrama de cuerpo libre de las partes componentes.Dx ExDy GDEEy DyEyA Dx Ex C GAB GCE GBCBx1 Bx2 By1By2 By1 By2

Bx1Bx228QDiagrama de cuerpo libre de la seccin M Aparecen fuerzas y momentos internos en los elementos cortadosF1yGME F1xC M1F2xGMCM2F2yEcuaciones de EquilibrioEntododiagramadecuerpolibre, esposible reemplazar lasfuerzas por una sola fuerza y un par, aplicados en algn punto del cuerpo.El par depender del punto escogido.En dinmica se probar que para que un cuerpo rgido est en equilibrio es necesario que:0 0 R RC y F01 iniF0 =C+Fxim1 = i i in1 = i F4F1F2BF3Si se considerara otro punto con respecto al cual referir el momento.0 =F+F+F+F 4 3 2 1 290 =Fx +Fx +Fx +Fx4 4 3 3 2 2 1 1 Como el punto B est separado del punto A por el vector desplazamientod 1 B+ d = ) (1 2 2+ d = ) (B 3+ d = ) (B 3 4 4+ d = ) (B0 =F) d + ( +F) d + ( +F) d + ( +Fx ) d + (4 4 3 3 2 2 1 1 0 = )F+F+F+F( x d +Fx +Fx +Fx +Fx4 3 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1 de manera que 0 = F0 =Mbusando ecuaciones escalares0 = )F( 0 = Fixi 0 = )F(iyi0 = )F(izi0 = )M(0 = Mixi 0 = )M(iyi0 = )M(iziSolucin de problemas:- Hallar las fuerzas sobre los pasadores D y B de la estructura, despreciando los pesos de las barras. MA = 0 (5,4 + 3,46) Dx - 8 x 1120 = 030Dx=1011,3 kgf Fx = 0 Ax - Dx = 0Ax = Dx = 1011,3 kgf Fx = 0 Bx - Dx = 0Bx =Dx = 1011,3 kgf MD = 0 - 2 540 - 5,4 Bx - 6 By = 0By = 730,2 kgf Fy = 0 Dy - 540 - By = 0Dy = 1260,2 kgfkgf B B By x8 , 1262 2 , 730 3 , 10112 2 2 2 + + kgf D D Dy x8 , 1615 2 , 1260 3 , 10112 2 2 2 + + Ejemplo:Hallar lafuerzasobreel pasador Adelaestructura, despreciandolosrocesG=1500N 31D.C.L.1 D.C.L.2 D.C.L.3D.C.L1. Mc = 0 r E - rG = 0 E = G = 1500 [N] Fx = 0 Cx - 4/5 E = 0 Cx = 1200 [N] Fy = 0 Cy + 3/5 E - G = 0 Cy = 600 [N]D.C.L2. Mc = 0 - 8Ay + 3Ax - 5B = 0 Ax = 912 [N] Fx = 0 Ax - 3/5 B - Cx = 0 ' Ay = 984 [N] Fy = 0 Ay + 4/5 B - Cy = 0 B= 480 [N]Ejemplo: Hallar las fuerzas sobre los pasadores32D.C.L general (cuerpo rgido en equilibrio por la accin de tres fuerzas no paralelas):0 =R-343 R 0 =F 2 1 x0 = 300 -345 R 0 =F 1 yR1 = 349,8R2 = 180La barraMC esten equilibrio por la accin de dos fuerzas (M y C); por lo tanto estas deben ser colineales, o sea, deben pasar simultneamente por los pasadores M y C.La sumatoria de fuerzas en la direccin de la barra debe ser 0,Por lo tanto C = M3353ba0 =132M -371H +343 R0 =F 32=b - 2a1 x0 =133M -376H +345 R0 =F 2 + a 23- = a 35= b1 y2 = )a 69+610(32=1812= a 770,27 = H24,23 senR=59,04) + (56,31 senH1_552,6 = M24,23 senR=9,46) + (30,96 senM1_34ARMADURASLasarmadurassonestructurasformadasporbarrasarticuladasensusextremos(pasadoreslisoso rtulas), de modo que el conjunto constituye un cuerpo rgido.En el plano, la armadura ms simple est formada por un tringulo.Cba 3 nudos (A, B, C)A B3 barras (a, b, c)cpor cada nuevo nudo (u) que se desee incorporar a la estructura, se debe agregar 2 barras (v), que lo fijen a ella.de modo quev = 2 uC fDb a esi m = N de barras totalesB m = 3 + vv = m - 3 A cy j = N de nudos totalesj = u + 3u = j - 3v = 2um - 3 = 2 (j - 3) = 2j - 6m = 2j - 3En el espacio, la armadura ms simple est formada por un tetraedroD4 nudos o rtulas (A,B,C,D)d f 6 barras (a, b, c, d, e, f)eb C porcadanuevonudou,sedebeagregar3barras v (v = 3u)A acBsi m = N de barras totalesm = v + 6v = m - 635y j = N de nudos totalesj = u + 4= j - 4como v = 3 um - 6 = 3(j - 4) = 3j - 12M = 3j - 6Armaduras ClsicasLas armaduras son estructuras utilizadas en techumbres (cerchas), puentes, torres, gras y otras. Estn conformadas por perfiles comerciales, generalmente metlicos, unidos en los extremos. Existen algunas armaduras clsicas, que llevan los nombres de sus autores. Fink Pratt (inglesa) Howe (norteamericana) AlemanaPolonceau BelgaWarren En la prctica, la figura del nudo es una idealizacin, pues la ejecucin de una unin se realiza de tal forma que el pasador liso en la mayora de los casos no existe; pero los centroides de todos los perfiles que actan como barras del nudo confluyen a un mismo punto. 36Idealizaciones de las armaduras:1. Barras cortas unidas por nudos. No son barras cortas ni estn unidas por nudos, pero los centroides de todas las barras que concurren a un nudo se intersectan en el nudo.2. Las armaduras estn cargadas solamente en los nudos, pero como no se considera su peso, cada barra estar sometida solamente a la accin de 2 fuerzas, que pasan por sus nudos.3. Como cada barra est en equilibrio, estas fuerzas deben ser colineales, por lo tanto, deben llevar la direccindelasbarras, ydebeserdeigual magnitud, direccinydistintosentido. Lasbarras pueden estar entonces, sometidas solamente a traccin o compresin.4. Cuando el peso de las barras es tan importante que no puede despreciarse, se reparte mitad y mitad en cada nudo, por lo tanto, la barra queda sometida a la accin de dos fuerzas (una por cada nudo), de manera que stas tienen que ser necesariamente colineales.FBFDBDAC FAFCExisten 3 mtodos para desarrollar los problemas de armaduras:1. Mtodo de los nudos o nodos2. Mtodo de las secciones3. Mtodo grfico de Cremona o Maxwell.Mtodo de los Nudos o NodosSe analiza cada nudo como un cuerpo libre sometido a fuerzas concurrentes.H GF374000A B C D EP PP3000 3000 30003000P = 5000 kgf H GF4000A B C D EP PPA 3000 3000 3000 3000 Ekgf E A 7500 Nudo A 54 AH 3 AH AB Fx530 AB AH A Fy540 A AH = 9375 kgf (compresin)AB = 5625 kgf (traccin)Nudo B BHAB BC Fx 0 AB BCP BH Fy 0BC = AB = 5625 kgf (traccin)P BH = P = 5000 kgf (traccin)Nudo HGH GH CH AH Fx + 53530AH CH CH BH AH Fy54540 4 BH 4 5 CH = 3125 kgf(traccin)33 GH = 7500 kgf (compresin)Nudo G38GH FGCG FG GH Fx 0CG Fy 0 0FG = GH = 7500 kgf (compresin)CG = 0Mtodo de las SeccionesConsiste en cortar una seccin de la armadura y sustituir los elementos cortados, por lo que son capaces de ejercer sobre la seccin para que esta permanezca en equilibrio.L KIM H 15006000ABCDEF GP P PP Pa a aaa a a = 4500 mmDeterminar la fuerza en la barra MCP=4000 kgf seccin IA = G = 10000 kgf L KIM H 15006000ABCDEF GP P PP PA a a aaa a Gtomando la seccin I10LM 1M 3CM 6000ACBC394 5AP 30103530 + LM CM BC FXLM CM P A FY 101540LM LM CM P MA + 1015 , 41036549 5 , 4 0Hay tres ecuaciones independientes y tres incgnitas, el problema est resuelto, pero se puede resolver con una sola ecuacin,CM P A MO 545 , 22 18 5 , 13 0( ) traccin kgf CM 3500 10LM 1M3CM 6000O ABC4 513500AP 3 1800022500Delastresecuacionesdeequilibriola ms estratgicaes la de momentos.Si seubica elpunto O respectoalcualseestablecerlosmomentosenlainterseccindelasdosincgnitasnosedesea obtener, este puede estar dentro o fuera del cuerpo,se simplificara el problema como lo planteado.Mtodo Grfico (Cremona- Maxwell)Existe otro mtodo para la resolucin de problemas de armaduras, que es grfico y tuvo gran aplicacin enlaantigedad. El mtodoconsisteenlaresolucingrficadelosnudos, conel cierredelos 40polgonos de fuerzas, los cuales se representan pegados entre si, utilizando las mismas fuerzas comunes a dos nudos adyascentes, con lo cual se evita su repeticin. Este mtodo ha perdido vigencia con el surgimiento y masificacin del uso de las calculadoras.Cables FlexiblesLos cables y las cadenas son elementos flexibles que se caracterizan por transmitir fuerzas en direccin tangente a la curvatura que describen; o sea, son incapaces de transmitir fuerzas trasversales a la linea. En la determinacin de las tensiones de cables puede haber muchas distribuciones de la carga, pero se distinguen 2 casos que son los ms frecuentemente aparecidos en ingeniera:a. Cuando la carga est distribuida a travs del eje horizontal (uniformemente distribuida), por ejemplo un puente colgante (resulta una parbola).b. Cuando la carga est distribuida a lo largo del cable. Por ejemplo uniformemente distribuida (peso del cable), resulta una catenaria (cadena).a. Carga constantemente distribuida, a travs del eje horizontal. y BA fBfAO xq(N/m)41a blTomando un tramo de vano x a la derecha del vrtice y origen O y haciendo el DCLy TPO y H xx/2 qxx0 cos 0 H T FX0 0 x q sen T FYpuntoP el en curva la de pendiente la es xHqdxdytg C +2Hqx= y 2, pero para x = 0,y = 0, C = 0parbola 2Hqx= y 2Para encontrar la relacin entre la tensin y el vano se debe eliminar el parmetro .T cos = H ' ()2 +T sen = qx 1 = +sencomo xq +H=sen T+T2 2 222 2 2 2 2 cos cosxq +H= T222como en A x = -af 2bq =f 2aq= H 2Haq= yB2A2 2242aq +f 4aq=T22A242Af 4a+ 1 a q =TA22A, es la tensin en e punto A, es la tensin en el punto BConsiderando la longitud del cable dsdy +dx=ds22 2 dy dxy d +dx= ds22dx )dxdy( + 1 =S2 a0a dx )dxdy( + 1 = ds2f 2aq= H comodxHxq+ 1 =SA2222 a0a dxx)af 4( + 1 = dxf 4aqxq+ 1 =S24A2a0A4222 a0a se puede descomponer en series de MAC LAURIN........ + (0) " f3!x+ (0) f"2!x+ (0) f + f(0) = f(x)3 2 axf 4+axf 2-axf 2+ 1 =x)af 4( + 1126A684A442A224A......} -b7f 4+b5f 2-b3f 2+ {1 b =S6B64B42B2A......} -a7f 4+a5f 2-a3f 2+ {1 a =S6A64A42A2B43f 4b+ 1 b q =TB22BAmbas series convergen a sA y sB respectivamente para valores fa/a y fB/b < Hx qtg Bfb qb qtg22bftgBB2si fB/b < 1/2 tgB < 2 (fB/b)Por lo tanto la serie es convergente para < 45Si no fuese convergente se deber obtener la integral de f(x). ax f 2senh argf 2a+ax f 4+ 1 x { = s}a02AA24A2b) Carga constantemente distribuida a travs del largo del cable. yBA q P fBfAyByAycOxxabl

y TPs y Hqs44Ox x0 cos 0 H T FX0 0 s q s en T FYsHqdxdytg sen =dsdy pero)dds( )dsdy( =ddy qH=dds2secC+qH= d tgqH= y 1 sec sec parax = 0 y = c = 0 (pendiente horizontal)0 , , sec1 1 + CqHc si CqHc Cc- y= tg =dxdy221 - )cy(dy=c- ycdy= dx222la solucin es inmediatax = c arg cosh (y/c) + C2como, para x = 0,y = c, arg cosh(1) = 0 C2 = 0

,`

.| cyc x cosh arg

,`

.|cycxcosh arg

,`

.| cxc y coshque es la ecuacin de la catenaria (cadena)2e+e=cx cx-cxcosh cxeycxe45yc cy c o sc o s2e-e=cxsenhcx-cx1 = )cx(hsen - )cx(h2 2cos xPara calcular el largo s del cable se debe eliminar el parmetro c = y cos s = c tg y2 2c y s c)2x( C =c+s= y 2 2coshc+s=cx C2 2 2 2cosh)cx(senh C= 1) - (C=s2 2 2 2 2coshcxsenh c = sClculo de la flechac -c-s= C - y = f2 2BB Bc -c-s= c - y = fs2A2A

1} - )cx( { c = c - y = fsAcoshClculo de la tensinT cos = HT sen = qs sq +H=sen T+T222 2 2 2 2 cos )cx( h c q = T cos

y q T 46EjemploUn trozo de cadena que pesa 0,5 kg/m, se suspende de los dos extremos a la mnima altura, en un vano de 20 m.Si la tensin en un extremo es 8 kgf, determinar: largo de la cadena, flecha.y = c cosh (x/c)T = q yT = 1/2 c cosh (10/c) = 816 = c cosh 10/cT

,`

.|c c10cosh1620000c 16/c cosh 10/c1010,51111,2611,5121,6 1,5241,4541,420961,3901,3331,543 1,489 1,442 1,420971,403 1,368

,`

.| csenh c s sB T102Existe otra solucin para este problema, esta es c = 6,3428m senh sT38 , 293428 , 6103428 , 6 2 ,`

.| Siempre habr dos soluciones dada una tensin, excepto cuando la tensin aplicada corresponde a la mnima que deja en equilibrio al cable en la luz dada. 47m senh sT73 , 2226 , 111026 , 11 2 ,`

.| 48