Esquemas Espa˘co-Temporais em Sistemas de Comunica˘c~ao … · Ficha Catalogr a ca de Farias...

Centro de Tecnologia e Urbanismo

Departamento de Engenharia Eletrica

Aline de Farias Lisboa

Esquemas Espaco-Temporais emSistemas de Comunicacao MIMO

Monografia apresentada ao curso de

Engenharia Eletrica da Universidade

Estadual de Londrina, como parte dos

requisitos necessarios para a conclusao

do curso de Engenharia Eletrica.

Londrina, PR2011


Esquemas Espaco-Temporais em

Sistemas de Comunicacao MIMO

Monografia apresentada ao curso de Engenharia

Eletrica da Universidade Estadual de Londrina,

como parte dos requisitos necessarios para a

conclusao do curso de Engenharia Eletrica.

Area: Modelagem e Simulacao de Sistemas deTelecomunicacoes

Orientador:

Prof. Dr. Taufik Abrao

Londrina, PR2011

Ficha Catalografica

de Farias Lisboa, AlineEsquemas Espaco-Temporais em Sistemas de Comunicacao MIMO.

Londrina, PR, 2011. 81 p.

Monografia (Trabalho de Conclusao de Curso) – UniversidadeEstadual de Londrina, PR. Departamento de Engenharia Eletrica.

1. Sistemas de Comunicacao Sem Fio. 2. Sistemas de MultiplasAntenas. 3. Diversidade Espacial. 4. Diversidade Temporal.5. Ganho de Diversidade. Departamento de Engenharia Eletrica


Esquemas Espaco-Temporais emSistemas de Comunicacao MIMO

Monografia apresentada ao curso de Engenharia

Eletrica da Universidade Estadual de Londrina,

como parte dos requisitos necessarios para a

conclusao do curso de Engenharia Eletrica.

Area: Modelagem e Simulacao de Sistemas deTelecomunicacoes

Comissao Examinadora

Prof. Dr. Taufik AbraoDepto. de Engenharia Eletrica

Orientador

Prof. MSc. Jaime L. JacobDepto. de Engenharia Eletrica

Universidade Estadual de Londrina

Prof. MSc. Fernando Ciriaco Dias NetoEngenharia EletricaFaculdade Pitagoras

28 de novembro de 2011

Dedico a Mae Tres Vezes Admiravel de Schoenstatt, que e pura e bela, e me

acolhe em todos os momentos de alegria e dor.

Agradecimentos

Agradeco a Deus e a Maria Santıssima que servem de inspiracao e apoio todos

os dias; a minha famılia que me dao amor e suporte em todos os momentos; ao

meu namorado que pacientemente acompanhou todos os momentos de felicidade

e tristeza durante o desenvolvimento do trabalho final; e aos meus amigos que

sempre estao me dando suporte quando preciso.

Resumo

Este trabalho analisa os esquemas de diversidade espaco-temporais mais comu-mente empregados em sistemas de comunicacao com multiplas antenas no trans-missor e receptor (MIMO – Multiple-Input-Multiple-Output). Sao examinados osseguintes esquemas: Espaco temporal de Alamouti com 2 antenas de transmissaoe, 1 e 2 antenas de recepcao, com modulacao BPSK (Binary Shift Keying) e QPSK(Quadrature Phase-Shift Keying) verificando as diferencas encontradas entre osresultados obtidos com os diferentes sistemas. Espaco temporal ortogonal de 4antenas de transmissao e 1 antena de recepcao com modulacao QPSK. E espacotemporal quase ortogonal com 4 antenas de transmissao e 1 antena de recepcao,tambem com modulacao QPSK. Todos esses esquemas consideram um sistemacom canal com desvanecimento e distribuicao de Rayleigh plano e decodificadorde maxima verossimilhanca especıfico para cada codificacao, sendo examinadosem relacao ao desempenho e ordem de diversidade. Por fim, a analise de desempe-nho e comprovada atraves de simulacao computacional, empregando-se a tecnicade simulacao Monte-Carlo (MCS – Monte-Carlo Simulation) na plataforma Ma-tLab, enquanto a ordem de diversidade e avaliada de acordo com a inclinacao dascurvas em alta SNR (Signal-to-Noise Ratio) obtidas pela analise de desempenho.

Abstract

This study analyzes the space-time diversity schemes most commonly used incommunication systems with mutiple antennas at the transmitter and receiver(MIMO – Multiple-Input Multiple-Output). The following schemes are examined:The Alamouti space-time scheme with 2 transmit antennas and, 1 and 2 receivingantennas, with BPSK (Binary Shift Keying) and QPSK (Quadrature Phase-ShiftKeying) modulation, checking the differences between the results obtained withthe different systems. Orthogonal space-time scheme with 4 transmit antennasand 1 receiving antenna with QPSK modulation. And quasi-orthogonal space-time scheme with 4 transmit antennas and 1 receiving antenna, also with QPSKmodulation. All these schemes consider a system with Rayleigh fading channeland maximum-likelihood decoder, specifc for each code. So they are examined inregard of performance and diversity order. Finally, the performance analysis isconfirmed by computer simulation, using the technique of Monte-Carlo simulation(MCS) in MatLab platform, while the order of diversity is evaluated accordingthe slope of the curves in high SNR (Signal-to-Noise Ratio) obtained by analysisof performance.

Sumario

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

Lista de Abreviaturas

Notacoes

Lista de Sımbolos

1 Introducao 1

1.1 Motivacao: Sistemas MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Descricao do Conteudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Conceitos Basicos e Modelo de Sistema 5

2.1 Tipos de Diversidade em Sistemas de Comunicacao . . . . . . . . 5

2.2 Modos de Operacao de Sistemas MIMO . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Ganho de Diversidade em Sistemas MIMO . . . . . . . . . 7

2.3 Modo de Multiplexacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 Estruturas BLAST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Modulacao Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.1 ASK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.2 FSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.3 PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.4 QPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Desvanecimento de Pequena Escala 15

3.1 Modelo de Canal Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Simulacao do Canal Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Esquema Espaco-Temporal de Alamouti 23

4.1 Duas antenas de transmissao e uma de recepcao . . . . . . . . . . 23

4.2 Duas antenas de transmissao e duas de recepcao . . . . . . . . . . 26

4.3 Desenvolvimento e Analise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3.1 Desempenho STBC com modulacao QPSK . . . . . . . . . 29

5 STBC Ortogonal 33

5.1 Modelos Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.1.1 Modelo Ortogonal Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.1.2 Modelo Ortogonal Real Generalizado . . . . . . . . . . . . 39

5.1.3 Modelo Ortogonal Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.1.4 Modelo Ortogonal Complexo Generalizado . . . . . . . . . 41

5.2 Construcao dos Modelos Ortogonais Complexos Generalizados . . 42

5.3 Construcao dos Codigos O-STBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


6 STBC Quase-Ortogonal 51

6.1 Construcao do QO-STBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


7 Conclusao 57

Anexo A -- Scripts em MatLab das simulacoes utilizadas no traba-

lho 59

A.1 Canal com Desvanecimento de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . 59

A.2 Alamouti STBC com modulacao BPSK . . . . . . . . . . . . . . . 62

A.3 Alamouti STBC com modulacao QPSK . . . . . . . . . . . . . . . 65

A.4 STBC ortogonal com modulacao QPSK . . . . . . . . . . . . . . . 68

A.5 Quase Ortogonal STBC com modulacao QPSK . . . . . . . . . . 72

A.6 Codigos Ortogonal e Quase Ortogonal de Espaco-Tempo . . . . . 75

Referencias 80

Lista de Figuras

2.1 Sistemas de multiplas antenas a) SIMO, b) MISO e c) MIMO.

(TSE; VISWANATH, 2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Esquema mostrando diferentes sinais sendo transmitidos por canais

independentes, (JUNTTI; YLITALO, 2004) . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Diagrama do sistema V-BLAST, (WOLNIANSKY et al., 1998) . . . 9

2.4 D-BLAST: Camadas Diagonais. (ZACARıAS, 2004) . . . . . . . . . 10

2.5 Exemplo de modulacao ASK.(LANGTON, 2005) . . . . . . . . . . 11

2.6 Exemplo da modulacao FSK binaria. (LANGTON, 2005) . . . . . . 12

2.7 Exemplo de modulacao PSK binaria. (LANGTON, 2005) . . . . . . 12

2.8 Duas possıveis constelacoes para modulacao QPSK, (LANGTON,

2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1 Grafico de amplitude por tempo do canal Rayleigh. . . . . . . . . 18

3.2 PDF simulada e teorica do Canal Rayleigh para σ = 0.5, 1 e 2 . . 19

3.3 Amostras de canal Rayleigh 10000 amostras σ = 0, 5. . . . . . . . 19

3.4 Canal Rayleigh 10000 amostras σ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5 Canal Rayleigh 10000 amostras σ = 2. . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.6 Angulo de Z: Histograma da fase com 10000 amostras Comparacao

com o resultado teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.7 Angulo de Z: Comparacao com o resultado teorico da fase com

10000 amostras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.8 Funcao distribuicao de probabilidade para σ = 0.5, 1 e 2 . . . . . 22

4.1 Esquema com duas antenas de transmissao e uma antena de re-

cepcao, (ALAMOUTI, 1998) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Esquema com duas antenas de transmissao e duas antenas de re-

cepcao, (ALAMOUTI, 1998) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Alamouti STBC simulado com modulacao BPSK . . . . . . . . . 28

4.4 Ganho de Codificacao e Ganho de Diversidade, (BARAN, 2006) . . 29

4.5 Alamouti STBC com modulacao QPSK . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.6 Inclinacoes da curva BERxSNR do codigo de Alamouti com mo-

dulacao BPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.7 Inclinacao da curva BERxSNR do codigo de Alamouti com mo-

dulacao QPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.1 O-STBC com 3Tx e 1Rx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 O-STBC com 4Tx e 1Rx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3 Inclinacao da curva BERxSNR do codigo O-STBC com 3Tx . . . 47

5.4 Inclinacao da curva BERxSNR do codigo O-STBC com 4Tx . . . 48

5.5 Sistemas espaco-temporais com 3 e 4 antenas de transmissao e 1

antena de recepcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.6 Inclinacoes das curvas BERxSNR dos codigos O-STBC com 3Tx e

4Tx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.1 QO-STBC com 4Tx e 1Rx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2 Inclinacao da curva BERxSNR do codigo QO-STBC . . . . . . . . 56

6.3 O-STBC e QO-STBC com 4Tx e 1Rx. . . . . . . . . . . . . . . . 56

Lista de Tabelas

5.1 Valores das funcoes p(N). (JAFARKHANI, 2005) . . . . . . . . . . 37

5.2 Principais esquemas O-STBC, com o numero de antenas de trans-

missao e recepcao, ordem de diversidade, taxa de transmissao e

matriz geradora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.1 Esquema de codificacao de um QO-STBC para 4 antenas de trans-

missao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Lista de Abreviaturas

ASK Amplitude-Shift Keying

AWGN Additive White Gaussian Noise

BER Bit Error Rate

BLAST Bell Laboratories Space-Time

BPSK Binary Phase-Shift Keying

CDF Cumulative Distribution Function

D-BLAST Diagonal Bell Laboratories Layered Space-Time

FSK Frequency-Shift Keying

ISI Intersymbol Interference

LOS Line-of-Sight Propagation

MCS Monte-Carlo Simulation

MIMO Multiple-Input Multiple-Output

MISO Multiple-Input Single-Output

ML Maximum Likelihood

O-STBC Orthogonal Space-Time Block Code

OOK On-Off Keying

PAM Pulse-Amplitude Modulation

PDF Probability Density Function

PSK Phase-Shift Keying

QAM Quadrature Amplitude Modulation

QPSK Quadrature Phase-Shift Keying

QO-STBC Quasi-Orthogonal Space-Time Block Code

SER Symbol Error Rate

SIMO Single-Input Multiple-Output

SM Spatial Multiplexing

SNR Signal-to-Noise Ratio

STBC Space-Time Block Code

STTC Space-Time Trellis Code

V-BLAST Vertical Bell Laboratories Space-Time

Notacoes

A Matriz

a Vetor

.T Operador matriz transposta

.H Transposicao de Hermitan

.∗ Operador conjugado complexo

.−1 Operador matriz inversa

6 . Operador fase

=. Operador parte imaginaria

<. Operador parte real

E . Operador esperanca estatıstica

erfc . Funcao erro complementar

min . Valor mınimo assumido pelo argumento

det . Determinante do argumento

log . Logaritmo na base 10 do argumento

sen . Seno do argumento

tg . Tangente do argumento

∀ Para todo

∈ Pertence ao conjunto

Palavras em italico sao empregadas para identificar termos na lıngua inglesa

nao traduzidos.

Lista de Sımbolos

γ Valor da SNR

α Coeficiente do canal MIMO

AM×N Matriz de M linhas e N colunas

aij Elemento da matriz A localizado na iesima linha e jesima coluna

D Ordem de diversidade do sistema MIMO

Ac Amplitude da portadora

Eb Energia de bit

Es Energia de sımbolo

f Funcao custo usada para a decodificacao ML do QOSTBC

fc Frequencia da portadora

fz Funcao densidade de probabilidade

FR Funcao distribuicao cumulativa

H Matriz de coeficientes do canal MIMO

I Matriz identidade

N Matriz de ruıdo

N0 Potencia de ruıdo

NT Numero de antenas de transmissao

NR Numero de antenas de recepcao

σ Desvio padrao

λ Comprimento de onda

Pe Funcao probabilidade de erro

t Variavel de tempo

T Perıodo do sistema

1

1 Introducao

A comunicacao sem fio e utilizada cada vez mais na sociedade atual, pro-

porcionando mobilidade e comodidade aos usuarios. Pode-se observar cada vez

mais pessoas nas ruas utilizando celulares, tablets e ate redes sem fio publicas,

realidade muito diferente daquela de poucos anos atras. O problema e que essa

tecnologia, muitas vezes, e inferior a tecnologia com fio em relacao a estabilidade,

performance e confiabilidade, impossibilitando a exploracao de todo o potencial

de varios aparelhos que surgem no mercado que apenas suportam a internet sem

fio como modo de acessar a rede. Portanto, ha milhares de pesquisas em novas

tecnologias que visam substituir o sistema com fio pelo sem fio, proporcionando

as qualidades que a tecnologia com fio ja oferece juntamente com a mobilidade.

Dentre as novas pesquisas que estao sendo realizadas, os sistemas que utili-

zam multiplas antenas estao ficando cada vez mais populares dada a transmissao

de dados. Dentre elas, pode-se destacar o sistema de multiplas antenas de trans-

missao e recepcao (MIMO), pois proporciona maior desempenho sem aumento na

largura de banda e na potencia de transmissao.

Apesar de todas essas vantagens, a utilizacao de multiplas antenas requer uma

maior complexidade de decodificacao conforme o numero de antenas utilizadas

para transmissao e recepcao aumentam. Uma forma de resolver esse problema e

codificando o sinal antes de transmitı-lo. Um modelo de codificacao que prima

pela simplicidade e o esquema codificacao espaco-temporal por bloco de Alamouti

(STBC – Space Time Block Code)(ALAMOUTI, 1998), o qual utiliza duas antenas

de transmissao e uma ou duas antenas de recepcao. Explora de forma conjunta

as diversidades espacial e temporal, possibilitando obter maxima diversidade de

transmissao. Por isso, esse modelo tem sido utilizado como base para varios

outros modelos de codificacao, como o STBC ortogonal (O-STBC – Orthogonal

Space Time Block Code)(TAROKH; JAFARKHANI; CALDERBANK, 1999) e o quase-

ortogonal STBC (QO-STBC – Quasi-Orthogonal Space Time Block Code) (JA-

FARKHANI, 2001) os quais possibilitam o incremento na capacidade do sistema de

comunicacao, a partir do aumento do numero de antenas no transmissor/receptor,

1.1 Motivacao: Sistemas MIMO 2

devido ao aumento da interferencia oriunda do maior numero de antenas.

1.1 Motivacao: Sistemas MIMO

Para a analise desses esquemas de codificacao e necessario a introducao de

alguns conceitos, tais como os tipos de diversidade nos sistemas de comunicacao

como sera visto na Secao 2.1 e os modos de operacoes de sistemas MIMO na

Secao 2.2, nestas secoes serao exemplificadas as caracterısticas de cada tipo de

diversidade e dos modos de operacao de sistemas MIMO, onde no modo de mul-

tiplexacao sera detalhado a estrutura BLAST (Bell Labs Layered Space-Time)

proposta por Foschini, (FOSCHINI, 1996). Outro conceito importante que sera

abordado consiste na modulacao digital, que e necessaria em qualquer sistema de

transmissao de dados, dando um enfoque maior na modulacao em fase e quadra-

tura (QPSK), pois essa sera utilizada na analise dos esquemas de codificacao.

O sinal transmitido em um meio sem fio e transmitido por um canal, para

a simulacao do sistema necessita-se da adocao de um modelo de canal. O canal

adotado e o de Rayleigh plano, pois ele considera os efeitos de desvanecimento

do sinal no meio a ser transmitido oferecendo uma simulacao mais realista para a

obtencao dos resultados. O detalhamento desse canal sera abordado no Capıtulo

3.

Com o aumento da quantidade de usuarios na tecnologia sem fio ha varios

sistemas os quais possuem um otimo desempenho e taxa de transmissao, porem

a complexidade de decodificacao e muito elevada. Entre esses sistemas pode-

se citar o codigo espaco-temporal de trelicas (STTC – Space-Time Trellis Code),

(TAROKH et al., 1999). A proposta de Alamouti surpreendeu devido a simplicidade

tanto na codificacao quanto na decodificacao. Com duas antenas de transmissao

e uma antena de recepcao ele alcanca uma taxa de transmissao plena, o que levou

varios pesquisadores a utilizarem essa proposta como base para novas propostas

que proporcionavam a utilizacao de mais antenas de transmissao e recepcao sem

a perda da taxa de transmissao. Por esses feitos, a proposta de Alamouti sera

abordada no Capıtulo 4, sendo primeiro explicada a teoria do sistema e depois

apresentadas as simulacoes, juntamente com a analise dos resultados.

Dentre as novas propostas de codigos que exploram a diversidade espaco-

temporal com base no codigo de Alamouti encontra-se o O-STBC, que explora as

propriedades da ortogonalidade de matrizes para conseguir manter a simplicidade

do codigo STBC de Alamouti e aumentar o desempenho do sistema com mais

1.2 Descricao do Conteudo 3

de duas antenas de transmissao, porem ha uma perda na taxa de transmissao

para os sistemas com mais de duas antenas de transmissao que utilizam modelos

ortogonais complexos. Esse sistema sera discutido no Capıtulo 5 juntamente com

os conceitos de modelos ortogonais real e complexo e a simulacao do sistema.

E entao, buscando um sistema com mais de duas antenas de transmissao que

mantenha a taxa de transmissao alcancada pelo sistema de Alamouti, Jafarkhani,

(JAFARKHANI, 2001), propos um codigo que nao utiliza totalmente dos modelos

ortogonais, por isso do nome Quase Ortogonal. A proposta dele e que se possa

construir um sistema 4Tx × 4Rx a partir de um sistema ortogonal 2 × 2 que

ofereca uma taxa de transmissao plena, como o sistema de Alamouti, ou ate um

sistema com a taxa igual a R = 3/4 e configuracao 8× 8 a partir de um modelo

4× 4 que ofereca tal taxa de transmissao. Apesar da vantagem de manter a taxa

de transmissao, a complexidade de decodificacao aumenta, porem continua mais

simples do que um decodificador de um sistema nao ortogonal. Esse sistema sera

discutido no Capıtulo 6 juntamente com a simulacao do sistema na plataforma

MatLab para a analise de desempenho.

1.2 Descricao do Conteudo

Essa monografia de conclusao de curso contem, alem do presente capıtulo, de

carater introdutorio, mais 6 capıtulos, assim divididos:

• Capıtulo 2 - Apresenta-se os conceitos basicos para o entendimento dos

sistemas a serem apresentados, juntamente com a descricao do modelo do

sistema, os tipos de diversidade e descricao da modulacao QPSK.

• Capıtulo 3 - Nesse capıtulo ha a descricao do canal com desvanecimento

de Rayleigh que foi aplicado no sistema e a simulacao desse canal para a

melhor visualizacao de suas propriedades.

• Capıtulo 4 - Descricao do esquema espaco-temporal de Alamouti com a

descricao matematica dos sistemas com 1 e 2 antenas de recepcao e as si-

mulacoes desses sistemas na plataforma MatLab.

• Capıtulo 5 - Sao expostos os conceitos de modelos ortogonais real, real

generalizado, complexo e complexo generalizado. Tambem exibe-se a des-

1.2 Descricao do Conteudo 4

cricao matematica da construcao do codigo ortogonal de espaco tempo de

bloco e a analise desse sistema para 4 antenas de transmissao e 1 antena de

recepcao.

• Capıtulo 6 - Contem a descricao do esquema quase ortogonal de espaco

tempo e a analise desse sistema para 4 antenas de transmissao e 1 antena

de recepcao.

• Capıtulo 7 - Finalmente, as conclusoes sobre as analises e resultados ob-

tidos.

5

2 Conceitos Basicos e Modelode Sistema

Este capıtulo faz uma revisao dos principais conceitos empregados na analise

de sistemas MIMO que exploram conjuntamente a diversidade espaco-temporal.

Serao abordados os tipos de diversidades existentes, os modos de diversidade e

multiplexacao, e um breve resumo da estrutura BLAST de Foschini.

Em seguida, os principais tipos de modulacao digital sao revisados dando

um enfoque maior na modulacao QPSK que sera empregada nesse trabalho de

conclusao de curso.

2.1 Tipos de Diversidade em Sistemas de Co-

municacao

Transmitir diferentes copias do sinal que se desvanecem independentemente

e a ideia principal da diversidade. Estas replicas podem ser transmitidas em

diferentes instantes de tempo, frequencias ou antenas.

A diversidade obtida pelo receptor depende da codificacao, do tamanho da

palavra codigo, do numero de antenas transmissoras, da modulacao, da banda e

do tempo de coerencia do canal, do numero de antenas receptoras e do receptor.

Quando as copias do sinal sao transmitidas em diferentes espacos de tempo,

a diversidade e chamada de diversidade temporal, que explora a natureza da

variancia no tempo dos canais de comunicacao movel sem fio. As replicas devem

ser enviadas em perıodos maiores do que o tempo de coerencia do canal para que

os desvanecimentos nao sejam relacionados. Porem, devido a sua redundancia, a

eficiencia espectral dessa diversidade e reduzida.

Na diversidade em frequencia as copias do sinal sao transmitidas usando por-

tadoras de diferentes frequencias. Para que haja seletividade em frequencia o

canal nao pode ser plano na banda de transmissao, ou seja, a duracao de um

2.2 Modos de Operacao de Sistemas MIMO 6

sımbolo deve ser menor que o espalhamento temporal do canal, se a duracao

de um sımbolo for maior que o espalhamento temporal do canal ocorre o efeito

de interferencia intersimbolica (ISI) e o sinal tambem sofre reducao na eficiencia

espectral.

A diversidade espacial nao sofre reducao na sua eficiencia espectral, utilizando

multiplas antenas, tanto no transmissor quanto no receptor, para se obter diversi-

dade. Os desvanecimentos dos sinais sao independentes dependendo da distancia

entre as antenas transmissoras. Dessa maneira, para locais onde existem varios

obstaculos, ocorre maior espalhamento do sinal e, nesse caso, a distancia entre as

antenas deve ser da ordem 0, 4λ a 0, 6λ, sendo λ o comprimento de onda do sinal.

Ja para grandes altitudes e necessaria uma distancia maior entre as antenas, da

ordem 10λ.

Pode-se considerar o seguinte exemplo: Considerando um sinal PSK com um

canal de apenas 1 antena de recepcao e 1 antena de transmissao. De acordo com

(PROAKIS; SALEHI, 2001) a probabilidade de erro em alta SNR e:

Pe(SNR) ≈ 1

4SNR−1 (2.1)

Transmitindo-se esse mesmo sinal em um sistema com 1 antena de trans-

missao e 2 antenas de recepcao, a probabilidade de erro e:

Pe(SNR) ≈ 3

6SNR−2 (2.2)

Observa-se entao, que adicionando uma antena de recepcao a probabilidade

de erro decresce com a SNR num expoente de −2 mais rapido. Como o ganho

de desempenho em alta SNR e ditado pelo expoente do erro de probabilidade,

esse expoente e chamado de ganho de diversidade, que corresponde ao numero de

caminhos de desvanecimento que o sımbolo percorre.

2.2 Modos de Operacao de Sistemas MIMO

Basicamente, sistemas de comunicacao MIMO podem operar segundo um dos

modos (ou ganho):

• Ganho de diversidade;

• Ganho de multiplexacao

• Ganho de array

2.2 Modos de Operacao de Sistemas MIMO 7

2.2.1 Ganho de Diversidade em Sistemas MIMO

A diversidade espacial e mais atrativa, pois como ja foi citado, nao ha perda na

eficiencia espectral. Essa diversidade pode ser alcancada no sistema de multiplas

antenas, dependendo das distancias entre as antenas. Pode-se classificar os siste-

mas de comunicacao sem fio com a diversidade espacial em tres configuracoes:

• Single Input Multiple Output (SIMO): Sistema de uma antena de trans-

missao e multiplas antenas de recepcao. A diversidade espacial desse sis-

tema tambem e chamada de diversidade de recepcao.

• Multiple Input Single Output (MISO): Sistema com multiplas antenas de

transmissao e uma antena de recepcao. A diversidade espacial desse sis-

tema tambem e chamada de diversidade de transmissao.

• Multiple Input Multiple Output (MIMO): Sistema com multiplas antenas

de transmissao e multiplas antenas de recepcao. Esse sistema possui tanto

a diversidade de recepcao quanto a diversidade de recepcao.

A representacao desses tres sistemas pode ser observado na figura 2.1.

Figura 2.1: Sistemas de multiplas antenas a) SIMO, b) MISO e c) MIMO.(TSE; VISWANATH, 2005)

Nesses sistemas pode-se aplicar diversos tipos de codificacao a fim de melho-

rar o desempenho, podendo aumentar a ordem de diversidade. E definida pela

inclinacao da curva taxa de erro de bit versus a SNR, na regiao de alto SNR:

D = − limγ→∞

log10BER(γ)

log10 γ(2.3)

2.3 Modo de Multiplexacao 8

2.3 Modo de Multiplexacao

Em sistemas de multiplas antenas uma maneira de obter um maior rendi-

mento e a multiplexacao espacial (SM – Spacial Multiplexing). Sinais diferentes

sao transmitidos em paralelo nas diferentes antenas como pode-se observar na

figura 2.2. Na multiplexacao espacial nao ha expansao na largura de banda, o

numero de antenas receptoras deve ser maior ou igual ao numero de antenas

transmissoras e os streams1 podem ser separados pelo equalizador se o processo

de desvanecimento dos canais espaciais sao independentes.

Figura 2.2: Esquema mostrando diferentes sinais sendo transmitidos porcanais independentes, (JUNTTI; YLITALO, 2004)

2.3.1 Estruturas BLAST

Uma nova arquitetura proposta por G. J. Foschini (FOSCHINI, 1996) explora

a natureza multipercurso do canal utilizando multiplas antenas em conjunto com

tecnicas de processamento de sinais no receptor e codificacao diagonal no trans-

missor. Se usada com um mesmo numero de antenas transmissoras e receptoras

num ambiente com espacamento de Rayleigh independente, permite que as taxas

de transmissao crescam linearmente com o numero de antenas. Essa arquitetura e

chamada de D-BLAST (Diagonal Bell Laboratories Layered Space-Time), porem

a codificacao diagonal possui uma alta complexidade de implementacao invia-

bilizando sua implementacao. Entao de acordo com (WOLNIANSKY et al., 1998)

foi implementado uma versao simplificada de BLAST o V-BLAST (Vertical Bell

Laboratories Layered Space-Time). Na figura 2.3, pode-se observar um exemplo

de modo de multiplexacao espacial (V-BLAST).

Um unico stream e demultiplexado em N substreams, e cada um deles e codi-

ficado em sımbolos e enviados aos seus respectivos transmissores, onde cada um

1Stream – Um fluxo de dados

2.3 Modo de Multiplexacao 9

Figura 2.3: Diagrama do sistema V-BLAST, (WOLNIANSKY et al., 1998)

desses transmissores e um transmissor QAM (Quadrature Amplitude Modulation)

simples. Esse conjunto de transmissores compreende um vetor transmissor de va-

lores, onde os componentes de cada N-vetor transmitido sao sımbolos construıdos

de uma constelacao QAM.

Assume-se que a mesma constelacao e utilizada a cada substream, e que os

transmissores sao organizados em bursts2 de L sımbolos (transmissao que combina

uma alta taxa de sımbolos em um curto perıodo de tempo). De acordo com

(WOLNIANSKY et al., 1998) a potencia enviada em cada transmissor e proporcional

a 1/M entao o total de potencia irradiada e constante e independente de M.

De acordo com (JAFARKHANI, 2005), quando a entrada e demultiplexada em

N streams separados, utilizando um conversor serial para paralelo e cada stream

e transmitido de uma antena independente, como resultado, o rendimento e N

sımbolos por canal usados em um sistema MIMO com N antenas transmissoras.

Esse maior rendimento faz com que o sistema tenha um ganho de diversidade

menor do que o ganho de diversidade do codigo espaco-temporal. Porem, a mul-

tiplexacao espacial e a melhor escolha para sistemas com maior taxa operando

em alta SNR enquanto o modo de diversidade e mais apropriado para baixa SNR.

A principal diferenca entre o D-BLAST e o V-BLAST esta no processo de

codificacao. No primeiro caso a redundancia entre os substreams e feita por uma

codificacao de blocos inter-substreams especializada. Os blocos do codigo D-

BLAST sao organizados diagonalmente no espaco e no tempo. A codificacao e

responsavel pela alta eficiencia espectral para um dado numero de antenas trans-

2Burst – Uma sequencia de sinais, ruıdos ou interferencias

2.4 Modulacao Digital 10

missoras e receptoras. Na figura 2.4, pode-se observar um exemplo de arquitetura

BLAST diagonal. Na arquitetura BLAST vertical, o processo de codificacao ve-

torial e uma operacao de demultiplexacao seguida de um mapeamento de bit por

sımbolo de cada substream.

Figura 2.4: D-BLAST: Camadas Diagonais. (ZACARıAS, 2004)

A tecnologia BLAST possui algumas vantagens sobre as outras tecnicas tradi-

cionais de multiplo acesso com um unico usuario, por exemplo: Segundo (WOLNI-

ANSKY et al., 1998) o total de largura de banda do canal utilizada em um sistema

BLAST e apenas uma pequena fracao superior a taxa de sımbolo, similar ao

excesso de largura de banda necessario para um sistema QAM, onde cada sinal

transmitido ocupa toda a largura de banda do sistema e, toda a largura de banda

do sistema e utilizada simultaneamente por todos os transmissores o tempo todo.

2.4 Modulacao Digital

O processo de converter informacao de modo que ela possa ser enviada atraves

de um meio e chamado de modulacao. Esse processo converte o dado/sinal re-

cebido em algum aspecto de uma onda portadora e entao essa onda portadora e

transmitida. Ha tres caracterısticas basicas da portadora as quais dao origem a

diferentes tipos de modulacao: amplitude, frequencia e fase.


2.4.1 ASK

A modulacao em amplitude de sistemas de comunicacao digitais e chamada

de ASK (Amplitude-Shift Keying). Nesse tipo de modulacao a amplitude da

portadora e modificada de acordo com o sinal a ser transmitido. Na figura 2.5

apresenta-se um exemplo de ASK binario, tambem chamado de OOK (On-Off

Keying).

Figura 2.5: Exemplo de modulacao ASK.(LANGTON, 2005)

A equacao para esse sistema e:

ASK(t) = Ac(t) sin(2πfct) (2.4)

onde Ac(t) e a funcao de amplitude da portadora e fc e a frequencia da portadora.

2.4.2 FSK

Na modulacao FSK (Frequency-Shift Keying), a frequencia e modificada de

acordo com sinal a ser transmitido. Para o FSK binario define-se a frequencia f1

para representar o bit 1 e a frequencia f2 para representar o bit 0, entao tem-se:

FSK(t) =Ac sin(2πf1t) para bit 1

Ac sin(2πf2t) para bit 0(2.5)

A figura 2.6 mostra o sinal modulado em frequencia.

2.4.3 PSK

Por fim, a modulacao digital por chaveamento de fase e caracterizada pela

modificacao da fase da portadora (fases discretas), sendo comumente denomi-


Figura 2.6: Exemplo da modulacao FSK binaria. (LANGTON, 2005)

nada modulacao PSK (Phase-Shift Keying). No caso da modulacao PSK binaria

(BPSK) define-se que a cada mudanca de 180o na fase da portadora o sinal e

modificado do bit 0 para o bit 1 ou do bit 1 para o bit 0. Pode-se representar a

modulacao PSK binaria pela equacao (2.7).

PSK(t) = Ac sin(2πfct) para bit 1 (2.6)

Ac sin(2πfct+ π) para bit 0 (2.7)

A figura 2.7 mostra o sinal modulado em fase.

Figura 2.7: Exemplo de modulacao PSK binaria. (LANGTON, 2005)

2.4.4 QPSK

O esquema de modulacao QPSK transmite 2 bits de informacao a partir de

4 fases de portadora, aplica-se a codificacao gray para minimizar a taxa de erro

de bit. Analises matematicas mostram que para a modulacao QPSK manter a

mesma taxa de bit da modulacao BPSK, a largura de banda para o QPSK e


metade da utilizada na sinalizacao BPSK (ABRaO, 2010), porem o transmissor e

o receptor utilizado para essa modulacao sao mais complexos que os da BPSK.

As duas possıveis constelacoes para a modulacao QPSK estao representadas

na figura 2.8.

Figura 2.8: Duas possıveis constelacoes para modulacao QPSK, (LANGTON,2005)

A envoltoria complexa dessas constelacoes e dada por:

g (t) = Ac. exp [j.θ (t)] = constante (2.8)

Para cada um dos quatro possıveis valores de amplitude na entrada do modu-

lador ha uma fase para θ (t). Uma caracterıstica da constelacao que esta 45o em

relacao a abscissa, e que qualquer sımbolo requer geracao de sinal complexo, en-

quanto na outra constelacao, ora o sımbolo e apenas real, ora apenas imaginario.

Essa modulacao pode ser gerada utilizando duas portadoras moduladas pelas

componentes I e Q, respectivamente, da envoltoria do sinal PSK em banda base,

g (t), ao inves da utilizacao de um modulador de fase analogico:

g (t) = Ac.exp (j.θ (t)) = I (t) + jQ (t) = cte (2.9)

onde I e Q sao dados por:


Ii = Ac.cos (θi)

Qi = Ac.sen (θi) (2.10)

para i = 1, 2, 3, e 4

Para banda passante tem-se:

s(t) = Re [g(t).exp(2.π.fc.t)]

s(t) = Re [I(t) + jQ(t)] .exp(2.π.fc.t)

s(t) = I(t).cos(wc.t)−Q(t).sen(wc.t)

s(t) = Ac. [cos(θi).cos(wc.t)− sen(θi).sen(wc.t)]

s(t) =Ac2. [cos(wc.t− θi) + cos(wc.t+ θi)] +

+Ac2. [cos(wc.t+ θi)− cos(wc.t− θi)]

s(t) = Ac.cos(wc.t+ θi) (2.11)

para i = 1, 2, 3, e 4

A taxa de erro de bit, BER, da modulacao QPSK e a mesma da modulacao

BPSK. Entao, para o sistema MIMO e canal Rayleigh a taxa de erro de bit da

modulacao QPSK e dada pela equacao (2.12), (PILLAI, 2008a).

Pb =1

2

(1−

√(Eb/N0)

(Eb/N0) + 1

)(2.12)

Enquanto a taxa de erro de sımbolo (SER – Symbol Error Rate) para um

sistema de comunicacao com modulacao QPSK pode ser aproximada pela equacao

(2.13), (PILLAI, 2007).

Ps ≈ erfc

(√Es

2N0

)(2.13)

sendo a funcao erro complementar dada pela equacao (2.14).

erfc(t) =2√π

∫ t

∞e−u

2

du (2.14)

Porem, ressalte-se que a modulacao QPSK utiliza o dobro da potencia da

modulacao BPSK.

15

3 Desvanecimento de PequenaEscala

Uma das caracterısticas dos canais sem fio e o fato que ha inumeros caminhos

diferentes entre o transmissor e o receptor. Esse fato resulta na recepcao de

varias versoes do sinal transmitido e todos esses sinais recebidos se acumulam

criando um ruıdo Gaussiano aditivo (AWGN – Additive White Gaussian Noise).

Porem, esse modelo nao descreve os canais sem fio, pois esses canais possuem

caracterısticas unicas resultantes dos efeitos sobre os mecanismos de propagacao

do sinal e sua combinacao.

Segundo (JAFARKHANI, 2005), estes efeitos podem reduzir a potencia do sinal

em diferentes meios, mas so precisam de tratamento para o sinal em dois aspectos

gerais: Um aspecto e o efeito em larga escala que corresponde a caracterizacao da

potencia do sinal sobre as grandes distancias ou o comportamento da escala de

tempo sobre o sinal, chamado atenuacao, perda de trajetoria ou desvanecimento

em larga escala. O outro aspecto e a rapida mudanca na amplitude e potencia do

sinal e e chamado de desvanecimento de pequena escala ou de desvanecimento.

Este relaciona a caracterizacao do sinal sobre pequenas distancias em pequenos

intervalos de tempo.

3.1 Modelo de Canal Rayleigh

O aspecto de desvanecimento e causado pela interferencia entre duas ou mais

versoes do sinal que chega no receptor em tempos diferentes. A combinacao

desses sinais no receptor faz com que o sinal resultante varie largamente em

amplitude e fase. A aleatoriedade dos efeitos de multiplos caminhos e o efeito de

desvanecimento torna necessario o uso de diferentes argumentos estatısticos para

modelar o canal sem fio.

Um desses modelos estatısticos utilizado para o efeito da propagacao em um

sinal de radio e chamado modelo de desvanecimento de Rayleigh. Esse modelo

3.1 Modelo de Canal Rayleigh 16

assume que a magnitude do sinal que passa por um canal de comunicacao varia

aleatoriamente de acordo com a distribuicao de Rayleigh, que e utilizada para

descrever o nıvel do sinal recebido em funcao da variacao temporal, ou a amplitude

das componentes de multipercursos individuais. Ela e utilizada quando nao ha

uma linha visada (LOS – Line of Sight Propagation) entre transmissor e receptor.

Em um sistema transmissor-receptor o sinal transmitido chega ao receptor

por multiplos caminhos onde o n-esimo caminho tem uma atenuacao αn(t) e um

atraso τn(t). A fase de cada caminho pode mudar para 2π radianos quando o

atraso τn(t) = 1/fc. Como a distancia dos dispositivos e muito maior que o

comprimento de onda da frequencia da portadora, e razoavel assumir que a fase

e distribuıda uniformemente entre 0 e 2π radianos e as fases dos caminhos sao

independentes.

Quando ha um grande numero de percursos, pode-se aplicar o Teorema do

Limite Central1, sendo entao cada trajetoria modelada por uma variavel aleatoria

Gaussiana complexa circularmente simetrica. Essa modelagem e comumente de-

nominada de modelo de canal com desvanecimento Rayleigh, justamente pelo fato

do modulo do sinal resultante no receptor poder ser descrito estatisticamente por

uma distribuicao Rayleigh.

O modelo tem a forma:

Z = X + jY = |Z|ejθ (3.1)

com Xe Y ∼ N (0, σ2).

Para a variavel aleatoria complexa Z:

E[ejθ |Z|] = ejθE[Z] (3.2)

Sendo E[·] o operador esperanca estatıstica; a variancia de Z resulta:

σ2 = E[Z2] (3.3)

A magnitude |Z| sera caracterizada por uma Funcao Densidade de Probabi-

lidade (PDF – Probability Density Function) de Rayleigh:

1O Teorema do limite central (CLT) determina as condicoes sobre as quais a media de umnumero suficientemente grande de variaveis aleatorias, cada uma com media e variancia finitas,pode ser aproximada por uma distribuicao normal.

3.2 Simulacao do Canal Rayleigh 17

fz(z) =z

σ2exp

−z2

2σ2

(3.4)

para z ≥ 0.

Por consequencia, a Funcao Distribuicao de Probabilidade (CDF – Cumula-

tive Distribution Function) e dada pela integral da funcao densidade de probabi-

lidade de Z, que e:

FR (z) =

∫ z

0

u

σ2exp

−u2

σ2

du = 1− exp

−z2

σ2

(3.5)

Em uma PDF pode-se verificar a probabilidade da ocorrencia de um valor

entre dois pontos dados, a e b, ja a funcao CDF representa a probabilidade de

ocorrer um valor menor que um dado valor z0.

O modelo de desvanecimento de Rayleigh e razoavel para mecanismos de

espalhamento onde ha muitos refletores pequenos, sendo amplamente adotado

por sua simplicidade em situacoes celulares tıpicas, onde a comunicacao ocorre

na ausencia de linha de visada, resultando em um numero relativamente pequeno

de refletores.

A figura 3.1 e apresentado o grafico de amplitude por tempo do canal Rayleigh

obtido pelo script de MatLab apresentado no Anexo A.1. Pode-se observar que

o desvanecimento do canal pode chegar ate quase -25dB, mantendo a media da

amplitude em 0dB.

3.2 Simulacao do Canal Rayleigh

Para simular o canal Rayleigh foi utilizado o procedimento de transformacao

de variavel estocastica. Sejam X e Y duas variaveis aleatorias Gaussianas inde-

pendentes. A funcao complexa definida por:

Z = X + jY

Define a variavel estatıstica de interesse. Para a obtencao da variancia Ray-

leigh, σ2Z deve-se alterar do valor da variancia dos dois processos Gaussianos, σ2,

por um fator 1/2. Assim, deve-se escalonar por 1/√

2 a geracao das amostras:

Z =1√2

[X + jY ]

Para se obter a mesma variancia nos processos Rayleigh e Gaussiano.


Figura 3.1: Grafico de amplitude por tempo do canal Rayleigh.

A seguir, compara-se o resultado teorico utilizando-se a funcao densidade de

probabilidade de Rayleigh fZ(z) = zσ2 exp

−z22σ2

, z ≥ 0 com com o aquele obtido

numericamente (histograma), considerando o desvio padrao σ ∈ [0, 5; 2] e 10000

amostras para do processo Z.

Resultados para a funcao densidade de probabilidade de |Z|, figuras 3.2, 3.3,

3.4 e 3.5. Ja a funcao densidade de probabilidade para a fase de Z e mostrada

nas figuras 3.6 e 3.7. O script de MatLab utilizado para obtencao desses graficos

pode ser visto no Anexo A.1.

As CDFs para o processo Rayleigh, mostradas na figura 3.8, foram obtidas a

partir da equacao (3.5).

Os scripts desenvolvidos para a analise numerica desta secao sao mostrados

nos Anexo A.1.

Pode-se verificar facilmente que a variancia σ2 tem influencia direta nessas

funcoes. No caso da funcao densidade de probabilidade do modulo da variavel

aleatoria complexa, Z, quanto menor o valor de σ menor e o intervalo onde ocor-

rem a maioria dos valores, como se pode verificar na figura 3.2. No caso da fase,

sua PDF resulta em uma distribuicao uniforme, essa distribuicao tem por carac-


Figura 3.2: PDF simulada e teorica do Canal Rayleigh para σ = 0.5, 1 e 2

Figura 3.3: Amostras de canal Rayleigh 10000 amostras σ = 0, 5.


Figura 3.4: Canal Rayleigh 10000 amostras σ = 1.

Figura 3.5: Canal Rayleigh 10000 amostras σ = 2.


Figura 3.6: Angulo de Z: Histograma da fase com 10000 amostrasComparacao com o resultado teorico

Figura 3.7: Angulo de Z: Comparacao com o resultado teorico da fase com10000 amostras


Figura 3.8: Funcao distribuicao de probabilidade para σ = 0.5, 1 e 2

terıstica que a probabilidade de se gerar qualquer ponto em um intervalo contido

no espaco e proporcional ao tamanho do intervalo.

Na CDF, verifica-se na figura 3.8 que dado um ponto z = 2, para σ = 0.5

a probabilidade de ocorrer um valor de amplitude menor que 2 e alta, proxima

de 1, consequentemente a probabilidade de ocorrer um valor de amplitude maior

que 2 e baixa, 1− P (z < z0). Conforme se modifica o valor de σ a probabilidade

de ocorrerem valores maiores e menores que 2 e modificada, sendo assim, quanto

maior o valor de σ maior a probabilidade de ocorrer um valor de amplitude

maior que um ponto z0, neste caso, maior a probabilidade de ocorrer um valor de

amplitude maior que 2.

23

4 Esquema Espaco-Temporalde Alamouti

Proposto em 1998, o esquema espaco-temporal de Alamouti (Alamouti STBC)

surpreende pela simplicidade e por nao precisar de um feedback 1 do receptor para

o transmissor, assim ele aumenta a qualidade do sinal no receptor apenas com

a codificacao do sinal no lado do transmissor. Ele tambem nao necessita de ex-

pansao de largura de banda, pois a redundancia e aplicada no espaco por multiplas

antenas.

Esse esquema e efetivo em todos os tipos de aplicacao onde a capacidade do

sistema e limitada pelo desvanecimento de multiplo percurso, por exemplo, ele su-

porta esquemas de modulacoes de alto nıvel para melhorar a taxa de transmissao

de dados, tambem permite a utilizacao de menores fatores de reutilizacao em um

ambiente multi-celula para aumentar a capacidade do sistema. E utilizado para

aumentar o alcance de sistemas sem fio e suporta uma complexidade de decodi-

ficacao linear para maxima verossimilhanca (ML – Maximum Likelihood), o que

torna a decodificacao desse codigo muito mais simples do que os outros codigos

nas mesmas condicoes, 2 antenas de transmissao e 1 ou 2 antenas de recepcao.

Por causa de todas essas caracterısticas varios outros esquemas espaco tem-

porais foram desenvolvidos baseados no esquema de Alamouti a fim de preservar a

simplicidade de codificacao e decodificacao aumentando a quantidade de antenas

de transmissao utilizadas. Dois desses esquemas serao discutidos nos capıtulos 5

e 6.

4.1 Duas antenas de transmissao e uma de re-

cepcao

Na figura 4.1, apresenta-se o esquema de diversidade de transmissao em ca-

nais MISO composto por duas antenas de transmissao e uma antena de recepcao.

1O retorno de uma parte da saıda de um dispositivo para a entrada.

4.1 Duas antenas de transmissao e uma de recepcao 24

O esquema pode ser definido por tres funcoes: Sequencia de codificacao e trans-

missao da informacao de sımbolos no transmissor, o esquema de combinacao no

receptor e a regra de decisao para deteccao da maxima verossimilhanca.

Figura 4.1: Esquema com duas antenas de transmissao e uma antena derecepcao, (ALAMOUTI, 1998)

Nesse esquema em cada perıodo de sımbolo dois sinais sao transmitidos simul-

taneamente a partir de duas antenas. Considerando que a transmissao de dados

e iniciada no tempo t0, nesse tempo a antena de transmissao 0, Tx0 , transmite

o sinal s0, e a antena de transmissao 1, Tx1 , transmite o sinal s1. No proximo

perıodo de sımbolo, t0 +T = t1, a antena Tx1 transmite o sımbolo −s∗1 e a antena

Tx1 transmite o sımbolo s∗0, onde * e a operacao complexo conjugado.

O canal no tempo t pode ser modelado por coeficientes de canal com valores

complexos h0 (t), para antena Tx0 e h1 (t) para Tx1 . Assumindo que o canal se

mantem constante no intervalo de dois perıodos de sımbolo, temos:

h0 (t) = h0 (t+ T ) = h0 = α0ejθ0

h1 (t) = h1 (t+ T ) = h1 = α1ejθ1 (4.1)

sendo T e o perıodo de sımbolo. E o sinal recebido pode ser representado por:

4.1 Duas antenas de transmissao e uma de recepcao 25

r0 = r (t) = h0s0 + h1s1 + n0

r1 = r (t+ T ) = −h0s∗1 + h1s∗0 + n1 (4.2)

De forma conveniente, pode-se descrever os sinais recebidos na forma matri-

cial: [r0 r1

]=[h0 h1

] [ s0 s1

−s∗1 s∗0

]+[n0 n1

](4.3)

Rearranjando 4.3, de modo que os sinais s0 e s1 fiquem em destaque, tem-se:

[r0

r∗1

]=

[h0 h1

h∗1 −h∗0

][s0

s1

]+

[n0

n∗1

](4.4)

sendo r0 e r1 sao os sinais recebidos na antena de recepcao (Rx) nos tempos t e

t+ T , e n0 e n1 sao os ruıdos.

O combinador mostrado na figura 4.1 gera os sinais s0 e s1 que sao enviados

para o detector de maxima verosimilhanca:

s0 = h0r0 + h1r∗1

s1 = h∗1r0 − h0r∗1 (4.5)

Pelas equacoes (4.1) e (4.2), tem-se:

s0 =(α20 + α2

1

)s0 + h∗0n0 + h1n

∗1

s1 =(α20 + α2

1

)s1 − h0n∗1 + h∗1n0 (4.6)

Esses sinais combinados sao enviados para o detector de maxima verossimi-

lhanca que utiliza as seguintes regras de decisao:

Escolhe si se:(α20 + α2

1 − 1)|si|2 + d2 (s0, si) ≤

(α20 + α2

1 − 1)|sk|2 + d2 (s0, sk) ∀i 6= k (4.7)

Para sinais PSK, 4.7 simplifica-se:

d2 (s0, si) ≤ d2 (s0, sk) ∀i 6= k (4.8)

4.2 Duas antenas de transmissao e duas de recepcao 26

4.2 Duas antenas de transmissao e duas de re-

cepcao

Em sistemas onde ha a possibilidade de implantacao de mais antenas de

recepcao o grau de diversidade pode ser aumentado. No caso da figura 4.2, onde

ha duas antenas de transmissao e duas antenas de recepcao o grau de diversidade

pode ser aumentado para 4 (diversidade 2 das duas antenas de transmissao vezes

o numero de antenas de recepcao).

De fato, de acordo com (TAROKH et al., 1999) em um esquema STBC orto-

gonal, a ordem diversidade atingıvel e de D = NT .NR, onde NT e o numero de

antenas de transmissao e NR e o numero de antenas de recepcao, enquanto a

ordem de diversidade de um STBC nao ortogonal e estritamente menor do que

D < NT .NR.

Figura 4.2: Esquema com duas antenas de transmissao e duas antenas derecepcao, (ALAMOUTI, 1998)

Agora ha quatro sinais recebidos pelas antenas, onde r0 e r1 sao recebidos

pela antena de recepcao 0, Rx0 , e r2 e r3 sao recebidos pela antena de recepcao

1, Rx1 , que sao definidos:

4.2 Duas antenas de transmissao e duas de recepcao 27

r0 = h0s0 + h1s1 + n0

r1 = −h0s∗1 + h1s∗0 + n1

r2 = h2s0 + h3s1 + n2

r3 = −h2s∗1 + h3s∗0 + n3 (4.9)

Pode-se escrever tambem na forma matricial:[r0 r1

r2 r3

]=

[h0 h1

h2 h3

][s0 s1

−s∗1 s∗0

]+

[n0 n1

n2 n3

](4.10)

O combinador gera os seguintes sinais:

s0 = h∗0r0 + h1r∗1 + h∗2r2 + h3r

∗3

s1 = h∗1r0 − h0r∗1 + h∗3r2 − h2r∗3 (4.11)

De modo semelhante ao feito no caso com apenas uma antena de recepcao,

tem-se:

s0 = (α20 + α2

1 + α22 + α2

3)s0 + h∗0n0 + h1n∗1 + h∗2n2 + h3n

∗3

s1 = (α20 + α2

1 + α22 + α2

3)s1 + h0n∗1 + h∗1n0 − h2n∗3 + h∗3n2 (4.12)

As regras para o detector de maxima verosimilhanca sao:

Escolhe si se:

(α20+α

21+α

22+α

23−1) |si|2+d2 (s0, si) ≤ (α2

0+α21+α

22+α

23−1) |sk|2+d2 (s0, sk) ∀i 6= k

(4.13)

Para sinais PSK, tem-se:

d2 (s0, si) ≤ d2 (s0, sk) ∀i 6= k (4.14)

De forma similar, tambem pode-se obter a mesma regra para s1 ao inves de

s0.

Verificando o desenvolvimento matematico das situacoes com uma antena

receptora e com duas antenas receptoras, pode-se observar que os sinais combina-

dos de duas antenas receptoras sao a soma dos sinais combinados de cada antena,

admitindo-se o mesmo esquema de combinacao em cada antena.

4.3 Desenvolvimento e Analise 28

4.3 Desenvolvimento e Analise

Utilizando a equacao (4.5) para o sistema com uma antena de recepcao, e

(4.11) para duas antenas de recepcao, foram obtidos resultados numericos via

simulacoes computacionais de Monte-Carlo baseados a partir dos scripts MatLab

desenvolvidos em (PILLAI, 2008b) e (PILLAI, 2009). Obteve-se a figura de desem-

penho (BER × SNR) da figura 4.3. Scripts MatLab empregados aqui, STBC com

modulacao BPSK e QPSK estao listados nos Anexos A.2 e A.3, respectivamente.

Figura 4.3: Alamouti STBC simulado com modulacao BPSK

Para alta SNR, conforme equacao (2.3), o ganho de diversidade pode ser

determinado pela inclinacao da curva de probabilidade de erro, resultando em um

sistema com maior ordem de diversidade, D, enquanto que o ganho de codificacao

apenas deslocara esta curva para esquerda, mantendo a sua inclinacao constante

(ZHENG; TSE, 2003; TSE; VISWANATH, 2005), como pode ser observado na figura

4.4.

Desta forma, da figura 4.3 pode-se concluir que no esquema de Alamouti ha

um ganho de diversidade entre o sistema com uma antena e o sistema com duas

antenas de recepcao. A curva para o esquema espaco-tempo de Alamouti com

duas antenas de recepcao apresenta ordem de diversidade D2rx = NT · NR = 4

(valido para alta SNR), enquanto que para o sistema com esquema Alamouti


Figura 4.4: Ganho de Codificacao e Ganho de Diversidade, (BARAN, 2006)

com apenas uma antena de recepcao, D1rx = NT · NR = 2. Assim, pode-se

concluir que o esquema Alamouti com NR = 2 antenas de recepcao apresenta

uma ganho de ≈ 10 dB, em termos de SNR, para um desempenho BER = 10−4,

modulacao BPSK e canal Rayleigh plano em relacao ao mesmo esquema Alamouti

com apenas 1 antena de recepcao.

4.3.1 Desempenho STBC com modulacao QPSK

Foram aplicados os mesmos procedimentos de analise adotados no esquema

de Alamouti com modulacao BPSK ao esquema de Alamouti com a modulacao

QPSK. As curvas de desempenho sao mostradas na figura 4.5. O script para este

cenario de simulacao pode ser encontrado no Anexo A.3.

A figura 4.5 apresenta o desempenho do codigo de Alamouti com modulacao

QPSK para 2 antenas de transmissao e 1 antenas de recepcao e para 2 antenas

de transmissao e 2 antenas de recepcao. Pode-se observar a mesma melhoria no

desempenho entre o sistema com NR = 1 antena de recepcao e o sistema com

NR = 2 antenas de recepcao, i.e., ≈ 10 dB de ganho em termos de SNR para um

desempenho BER = 10−4.


Figura 4.5: Alamouti STBC com modulacao QPSK

Em alta SNR a curva log(BER) × log(SNR) se aproxima a uma reta, o

valor da inclinacao dessa reta representa a diversidade do sistema, (YUEN; GUAN;

TJHUNG, 2007), conforme definicao de ordem de diversidade, equacao (2.3). Na

figura 4.6 apresenta-se os angulos que essas retas fazem com o eixo x, para facilitar

a visualizacao das retas tangentes a curva em alta SNR.

Assim, da definicao na equacao (2.3), admitindo-se γ na regiao de alta SNR,

a ordem de diversidade pode ser obtida do grafico (de forma aproximada):

D ≈ −10 · log10 ∆BER

∆γdB

resultando em:

a) Alamouti STBC com modulacao BPSK:

DBPSK1Rx

= −10log10 10−5 − log10(8 · 10−5)

25− 20= 1, 8

DBPSK2Rx

= −10log10 10−5 − log10 10−4

13− 10, 5= 4, 0


Figura 4.6: Inclinacoes da curva BERxSNR do codigo de Alamouti commodulacao BPSK

Figura 4.7: Inclinacao da curva BERxSNR do codigo de Alamouti commodulacao QPSK


b) Alamouti STBC com modulacao QPSK:

DQPSK1Rx

= −10log10 10−5 − log10 10−4

28− 23= 2, 0

DQPSK2Rx

= −10log10 10−5 − log10(5, 5 · 10−4)

16− 12= 4, 3

Observe-se que com o calculo da ordem de diversidade a partir da reta tan-

gente a curva de desempenho em alta SNR da figura 4.6 permite obter uma boa

precisao relativa, sendo melhor a medida que γ → ∞. O valor calculado acima

para DQPSK2rx resultou maior que 4, enquanto que para DBPSK

1rx resultou menor que

2. Isto pode ser explicado pelo erro introduzido na simulacao Monte-Carlo em

elevadas SNRs. Nesta regiao, tendo em vista reduzir o tempo de simulacao, o

numero de erros computados por ponto resultou insuficiente (NErrors−mcs << 50).

33

5 STBC Ortogonal

Neste capıtulo serao introduzidos conceitos de ortogonalidade, juntamente

com os conceitos relativos ao Codigo Ortogonal de Espaco-Tempo de Bloco (O-

STBC), bem como a descricao matematica e de simulacao a fim de mostrar o

desempenho e a diversidade atingıvel pelo sistema MIMO.

A tecnica de uma simples diversidade de transmissao para comunicacoes sem

fio proposta por Siavash M. Alamouti (ALAMOUTI, 1998) incentivou e incentiva

a pesquisa de novas tecnicas de exploracao da diversidade espacial com mais de

2 antenas de transmissao. Com isso, e possıvel alcancar uma ordem de diver-

sidade ainda maior. Em seguida, com esse objetivo, (TAROKH; JAFARKHANI;

CALDERBANK, 1999) generalizou o caso para um numero arbitrario de antenas

transmissoras construindo o STBC ortogonal.

Essa diversidade de transmissao e alcancada utilizando multiplas antenas

na transmissao, sendo a decodificacao de maxima verossimilhanca obtida com

detectores distintos para as partes real e imaginaria dos sımbolos individuais

QAM de alta ordem, tambem denominado deteccao sımbolo-a-sımbolo de uma

constelacao de alta ordem.

Para transmitir b bits/ciclo, utiliza-se um esquema de modulacao a qual ma-

peia cada um dos b bits em um dos sımbolos de uma constelacao com 2b sımbolos.

A constelacao pode ser qualquer constelacao, real ou complexa, como por exem-

plo, PAM, PSK, QAM entre outras.

Ha duas vantagens em fornecer diversidade de transmissao via modelos or-

togonais (TAROKH; JAFARKHANI; CALDERBANK, 1999): primeiro, nao ha incre-

mento na largura de banda do sistema, pois os modelos ortogonais fornecem a

maxima taxa de transmissao possıvel com maxima diversidade e, ha um algoritmo

de decodificacao de maxima verossimilhanca muito simples que utiliza uma sim-

ples combinacao linear no receptor. Essa simplicidade advem da ortogonalidade

dos sinais, intrınseca ao modelo de transmissao ortogonal.

O sinal transmitido pode ser representado por uma matriz geradora C, cu-

5 STBC Ortogonal 34

jos elementos sao combinacoes de s1, s2, ..., sn que representam os sımbolos de

informacao. Assim, a matriz geradora para o codigo de Alamouti e obtida sim-

plesmente por:

C =

(s1 s2

−s∗2 s∗1

)(5.1)

O numero de colunas esta associado ao numero de antenas transmissoras e

o numero de linhas esta associado ao numero de perıodos de sımbolo para cada

bloco de informacao transmitido, ou seja, o numero de linhas esta associado ao

atraso de decodificacao, ja que o receptor precisa processar todo o bloco antes de

estimar os resultados obtidos. Assim, a taxa R de codificacao e dada por:

R =numero de sımbolos

intervalos de tempo · perıodo de sımbolo=

p

I · Ts(5.2)

onde p e o numero de sımbolos, I representa os intervalos de tempo e Ts e o

perıodo de sımbolo.

Em (JAFARKHANI, 2005), pode-se verificar que a matriz geradora do codigo

de Alamouti fornece ordem de diversidade plena; para isso e preciso calcular o

posto1 de todas as matrizes diferenca possıveis D(C,C′) e mostrar que o resultado

e dois para toda C′ 6= C. Considerando dois sımbolos diferentes transmitidos na

seguinte matriz geradora:

C′ =

(s′1 s′2

−s′∗2 s′∗1

)(5.3)

A matriz diferenca D(C,C′) e dada por:

D(C,C′) =

(s′1 − s1 s′2 − s2s∗2 − s′∗2 s′∗1 − s∗1

)(5.4)

O determinante da matriz diferenca acima e zero se, e somente se s′1 = s1

e s′2 = s2. Portanto, a matriz diferenca sempre possui posto maximo quando

C′ 6= C, pois os elementos da matriz diferenca serao diferentes de zero, resultando

em linhas e/ou colunas diferentes entre elas. Pode-se verificar, entao, que o codigo

de Alamouti satisfaz o criterio do determinante.

Sabe-se que para uma matriz real ser ortogonal e preciso que ela respeite a

1Define-se posto de uma matriz A o numero de linhas (ou colunas) linearmente independen-tes.

5 STBC Ortogonal 35

seguinte relacao:

I = M MT (5.5)

sendo M a matriz, MT a matriz transposta e I e a matriz identidade. Porem,

para matrizes complexas e preciso que se respeite a relacao da equacao (5.6).

I = M MH (5.6)

sendo MH o transposto conjugado (tambem chamado de adjunto Hermitiano) de

M.

Essa condicao afirma que a matriz M so possui uma inversa que e igual ao

seu transposto conjugado MH , ou seja:

MH = M−1 (5.7)

Tomando a matriz geradora do codigo de Alamouti, equacao (5.1), substi-

tuindo na equacao (5.6), tem-se:

(s1 s2

−s∗2 s∗1

).

(s∗1 s∗2

−s2 s1

)=

(s1.s

∗1 + s2.s

∗2 −s1.s2 + s2.s1

−s∗2.s∗1 + s∗1.s∗2 s∗2.s2 + s∗1.s1

)(5.8)

Considerando os vetores de coluna u = (s1,−s∗2) e v = (s2, s∗1), tem-se:

(u.u u.v

u.v v.v

)=

(1 0

0 1

)(5.9)

Para que a relacao seja respeitada se tem que u.u = v.v = 1 e u.v = 0,

com u e v formando uma base ortonormal, onde pode-se comprovar a partir da

propriedade IV de (ANTON; RORRES, 2005) que uma matriz e ortogonal se, e

somente se, seus vetores coluna formam uma base ortonormal. Tarokh observou

em (TAROKH et al., 1999) a necessidade de atender esta mesma propriedade. Em

conclusao, qualquer esquema espaco-tempo para ser ortogonal deve respeitar tal

propriedade. O esquema de Alamouti e um caso particular de esquema espaco-

tempo ortogonal, pois sua matriz geradora e ortogonal.

Os modelos ortogonais sao divididos em reais e complexos, sendo que estes

tambem possuem uma forma generalizada. A matriz geradora de Alamouti se

5.1 Modelos Ortogonais 36

encaixa no modelo ortogonal complexo, como sera mostrado na secao 5.1.3.

5.1 Modelos Ortogonais

5.1.1 Modelo Ortogonal Real

O modelo ortogonal real e definido por (ADAMS, 2008):

Definicao 1. Um modelo ortogonal real de ordem n e tipo (s1, s2, ..., sk) e (sl > 0)

em variaveis de comutacao reais (x1, x2, ..., xk), e uma matriz A, dimensao n×n,

com entradas a partir do conjunto ±x1,±x2, ...,±xk satisfazendo a seguinte

condicao:

AAT = ATA =k∑l=1

slx2l In (5.10)

sendo In a matriz identidade n× n.

(TAROKH; JAFARKHANI; CALDERBANK, 1999) apresentam uma conclusao se-

melhante a fim de representar o processamento linear de um modelo ortogonal

real. Com esse processamento linear se tem que sinais transmitidos de diferentes

antenas serao combinacoes lineares dos sımbolos das constelacoes.

No caso das matrizes geradoras, para constelacoes reais as suas entradas sao

combinacoes lineares reais dos sinais s1, s2, ..., sn. Para o numero de antenas

de transmissao NT = 4, tem-se (TAROKH; JAFARKHANI; CALDERBANK, 1999):

s1 s2 s3 s4

−s2 s1 −s4 s3

−s3 s4 s1 −s2−s4 −s3 s2 s1

(5.11)

Para explicar essa limitacao, precisa-se introduzir o conjunto de matrizes

definido como famılia de matrizes Hurwitz-Radon. Define-se (ADAMS, 2008):

Definicao 2. Um conjunto de matrizes reais n× n B1,B2, ...,Bm e chamado

de famılia de matrizes Hurwitz-Radon de tamanho m se BTi Bi = In e BT

i = −Bi

para todo 1 ≤ i ≤ m e se BiBj = −BjBi para todo 1 ≤ i < j ≤ m. (ADAMS,

2008).

Definicao 3. Definindo N = 2ab, onde b e impar, e escrevendo a = 4c+ d onde

0 ≤ d < 4. A funcao de Radon e a funcao aritimetica p(N) = 8c+ 2d. (ADAMS,

2008).


De acordo com (GERAMITA; PULLMAN, 1974), uma famılia de matrizes Hurwitz-

Radon com matrizes reais de tamanho n×n que contem estritamente um numero

de matrizes m < p(N). E ha uma famılia de matrizes Hurwitz-Radon de matrizes

reais de ordem n contendo exatamente p(N)− 1 membros.

Os possıveis valores de p(N) estao elencados na Tabela 5.1.

a N = 2a p(N)1 2 22 4 43 8 84 16 95 32 106 64 127 128 168 256 17

Tabela 5.1: Valores das funcoes p(N). (JAFARKHANI, 2005)

Entao, considerando um modelo ortogonal real de tamanho n em uma matriz

ortogonal n × n com entradas indeterminadas, pode-se dizer que um modelo

ortogonal so existe se, e somente se, n = 2, 4, ou 8 com 0 ≤ d < 4. De

fato, de acordo com o Teorema de Radon, evocado em (TAROKH; JAFARKHANI;

CALDERBANK, 1999), um STBC baseado em matrizes ortogonais reais atinge

maxima diversidade e maxima taxa de codificacao (R = 1) se essas matrizes

possuırem tais dimensoes, ou seja, se o numero de antenas de transmissao for

igual a 2, 4 ou 8 (com 0 ≤ d < 4).

Formaliza-se a seguir as declaracoes e discussao conduzida ate aqui.

Teorema 1. Equivalencia do Resultado de Radon para Sistemas MIMO. Um

processamento linear de qualquer projeto ortogonal de ordem n ≤ 2 existe se e

somente se n = 2, 4 e 8, admitindo-se que todas as entradas sejam distintas de

zero. (TAROKH; JAFARKHANI; CALDERBANK, 1999).

Prova 1. Definindo L como um processamento linear de um modelo ortogonal.

Como as entradas de L sao combinacoes lineares das variaveis (x1, x2, ..., xn) =

X, pode-se escrever a linha i de L como XAi, onde Ai e uma matriz n × n de

valores reais e que obedece as seguintes condicoes:

AiATi = AT

i Ai = I i = 1, 2, ..., n (5.12)

AiATj = −AjA

Ti 1 ≤ i < j ≤ n (5.13)


Construindo um conjunto de matrizes Hurwitz-Radon do modelo original,

define-se Bi = AT1 Ai para i = 1, 2, ..., n. Entao B1 = I e tem-se as seguin-

tes propriedades:

BTi Bi = I i = 2, ..., n (5.14)

BTi = −Bi i = 2, ..., n (5.15)

BiBj = −BjBi 2 ≤ i < j ≤ n (5.16)

Estas equacoes implicam que o conjunto de matrizes B2, B3, ..., Bn e uma

famılia de matrizes Hurtwitz-Radon. Entao, tem-se que pelo Teorema 1 o p(N) <

n e n = 2, 4 ou 8.

Para obter o modelo ortogonal real de tamanho n = 2, considera-se os valores

dados pela tabela 5.1, onde N e dado por uma potencia de dois. Entao, pela

Definicao 3 faz-se as seguintes consideracoes: para a = 1 e o valor de N dado por

uma potencia de dois, obtem-se que:

N = 2a.b

N = 21.1

N = 2 (5.17)

Pela tabela 5.1 observa-se que p(N) = p(2) = 2, entao tem-se:

p(N) = 8c+ 2d

2 = 8c+ 2d

1 = 4c+ 1d

(5.18)

se c = 0, entao tem-se que d = 1.

O numero de matrizes da famılia de matrizes Hurwitz-Radon e dado por:

m = p(N)− 1

m = 1 (5.19)

onde m = 1 representa que essa famılia de matrizes Hurwitz-Radon so possui

uma matriz ortogonal real como a matriz da equacao (5.20).


R =

(0 1

−1 0

)(5.20)

5.1.2 Modelo Ortogonal Real Generalizado

O modelo ortogonal real mostra limitacoes fornecendo diversidade de trans-

missao para um processamento linear de modelos ortogonais baseados em matri-

zes quadradas. Como o simples algoritmo de decodificacao de maxima verossi-

milhanca e feito baseado na ortogonalidade das colunas das matrizes geradoras,

deve-se generalizar o processamento linear dos modelos ortogonais.

Pode-se definir esse modelo de maneira que:

Definicao 4. Um modelo ortogonal generalizado G de tamanho n e uma matriz

p×n com entradas (±x1,±x2, ...,±xk), tal que GTG = D, onde D e uma matriz

diagonal Dii, i = 1, 2, ..., n da forma (li1x21 + li2x

22 + ... + likx

2k) onde os coefici-

entes (li1, li2, ..., l

ik) sao inteiros positivos. A taxa de G e R = k/p. (TAROKH;

JAFARKHANI; CALDERBANK, 1999).

Assim, pode-se generalizar a Definicao 1 para o modelo ortogonal real:

Definicao 5. Um modelo ortogonal generalizado A com variaveis (x1, x2, ..., xk)

existe se e somente se um modelo ortogonal generalizado G de mesmas variaveis

e mesmo tamanho puder ser definido obedecendo a seguinte condicao:

GTG =k∑l=1

x2l .I (5.21)

Para a construcao das matrizes precisa-se definir o valor de p de acordo com

o valor de n tal que esses modelos se comportem da mesma maneira dos modelos

reais com matrizes quadradas. Tem-se:

Definicao 6. Para um dado R e n, define-se F (R, n) para ser o mınimo valor de p

tal que exista um modelo ortogonal generalizado p×n com a taxa de R. Se nenhum

modelo ortogonal com essas especificacoes existir, define-se F (R, n) = ∞. Um

modelo ortogonal generalizado com o valor F (R, n) e chamado delay-optimal.

(TAROKH; JAFARKHANI; CALDERBANK, 1999).

Entao, para R = 1 tem-se que:

F (1, n) ≤ min(N)n≤p(N) <∞ (5.22)


Tomando a funcao de Radon na Definicao 3, pode-se simplificar a funcao

acima para:

F (1, n) = min(2a) (5.23)

Para se obter um modelo ortogonal real generalizado com R = 1 faz-se as

seguintes consideracoes: para n = 3 e os resultados da Tabela 5.1 tem-se:

F (1, 3) ≤ min(N)3≤p(N) < ∞

F (1, 3) ≤ 4 (5.24)

Assim, a matriz geradora para n = 3 e:

C =

x1 x2 x3

−x2 x1 −x4−x3 x4 x1

−x4 −x3 x2

(5.25)

Com esse modelo generalizado e possıvel expandir a possibilidade de matrizes

geradoras ortogonais para matrizes nao quadradas. De acordo com (JAFARKHANI,

2005) o modelo ortogonal real e um caso especial do modelo generalizado ja que

pode-se observar que a diferenca e que p = k = n e, portanto, R = 1.

5.1.3 Modelo Ortogonal Complexo

O modelo ortogonal complexo pode ser definido por (ADAMS, 2008):

Definicao 7. Um modelo ortogonal complexo G de ordem n e tipo (s1, s2, ..., sk)

(sl > 0) possui entradas a partir do conjunto (0,±x1, ...,±xk,±x∗1, ...,±x∗k), onde

xl sao variaveis de comutacao complexas cujo complexo conjugado e x∗l , tal que:

GHG =k∑l=1

sl |xl|2 In (5.26)

sendo H o operador matricial Hermitiano, i.e., operacao conjugacao complexa

seguida de transposicao matricial.

De fato, pode-se construir essas matrizes a partir dos modelos ortogonais

complexos de forma que dado um modelo ortogonal complexo de tamanho n e

substituindo cada variavel complexa xl = <xl+=xl j, sendo 1 ≤ l ≤ n pela

matriz real 2× 2 tem-se:


(<xl = xl−=xl < xl

)(5.27)

Resultando em uma matriz 2n × 2n que e um modelo ortogonal real de ta-

manho 2n. A representacao do sistema ortogonal real para x∗l e:

(<xl −=xl= xl < xl

)(5.28)

Com isso pode-se observar que, como um sistema ortogonal real so existe para

n = 2, 4 e 8 um sistema ortogonal complexo so pode existir para n = 2 e n = 4,

onde a matriz geradora de Alamouti, equacao (5.1), e um exemplo para n = 2.

Pode-se entao enunciar o seguinte teorema:

Teorema 2. Um modelo ortogonal complexo so existe se e somente se n = 2.

(JAFARKHANI, 2005)

Prova 2. Foi mostrado que um modelo ortogonal complexo so pode existir se

n = 2 e 4. Para provar o teorema precisa-se provar que um modelo ortogonal

complexo de tamanho n = 4 nao existe, o desenvolvimento dessa prova pode ser

encontrado em (TAROKH; JAFARKHANI; CALDERBANK, 1999).

5.1.4 Modelo Ortogonal Complexo Generalizado

Conforme enunciado no Teorema 2, o modelo ortogonal complexo existe so-

mente para n = 2. Esse modelo e generalizavel para valores de n diferentes de 2,

mesmo que isso signifique que a taxa de codificacao obtida seja R 6= 1.

Assim, de forma semelhante a Definicao 4, pode-se enunciar:

Definicao 8. Seja Gc uma matriz p×n com entradas (0,±x1, ...,±xk,±x∗1, ...,±x∗k)ou o produto delas por i. Se GH

c Gc = Dc, onde Dc e a matriz diagonal com o

(i, i)esimo elemento da forma (li1 |x1|2 + li2 |x2|

2 + ...+ lik |xk|2) onde os coeficientes

(li1, li2, ..., l

ik) sao estritamente positivos, entao Gc pode ser considerado um modelo

ortogonal complexo generalizado de tamanho n e taxa R = k/p.

Analogamente, pode-se generalizar a Definicao 7:

Definicao 9. Um modelo ortogonal complexo e uma matriz p × n Gc de ordem

n com entradas (0,±x1, ...,±xk,±x∗1, ...,±x∗k), tal que:

5.2 Construcao dos Modelos Ortogonais Complexos Generalizados 42

GHc Gc = κ

k∑l=1

sl |xl|2 In (5.29)

sendo In e a matriz identidade de tamanho n× n e κ e uma constante.

Note-se que para κ = 1 e possıvel obter uma normalizacao apropriada para

os elementos de Gc.

5.2 Construcao dos Modelos Ortogonais Com-

plexos Generalizados

Tendo em vista implementar os modelos ortogonais complexos generalizados,

define-se:

Definicao 10. Para um dado R e n, define-se que Fc(R, n) e o valor mınimo

de p para que exista um modelo ortogonal complexo generalizado de tamanho

p × n e taxa R. Se esse modelo nao existir, entao Fc(R, n) = ∞. (TAROKH;

JAFARKHANI; CALDERBANK, 1999).

Para facilitar a construcao dessas matrizes apresenta-se o seguinte teorema:

Teorema 3. Espera-se as seguintes desigualdades (TAROKH; JAFARKHANI; CAL-

DERBANK, 1999):

• Para qualquer R, tem-se F (R, 2n) ≤ 2Fc(R, n).

• Para R ≤ 0, 5, tem-se Fc(R, n) ≤ 2F (2R, n).

A prova desse teorema pode ser encontrada em (TAROKH; JAFARKHANI; CAL-

DERBANK, 1999).

Desta forma, para uma taxa R = 0.5 e n = 3, tem-se que:

Fc(0.5, 3) ≤ 2F (1, 3) (5.30)

De acordo com a equacao (5.22) e com a tabela 5.1 observa-se que F (1, 3) ≤ 4,

entao:

Fc(0.5, 3) ≤ 2 · 4 = 8 (5.31)

Portanto, a matriz Gc e dada por:

5.3 Construcao dos Codigos O-STBC 43

Gc =

x1 x2 x3

−x2 x1 −x4−x3 x4 x1

−x4 −x3 x2

x∗1 x∗2 x∗3

−x∗2 x∗1 −x∗4−x∗3 x∗4 x∗1

−x∗4 −x∗3 x∗2

(5.32)

5.3 Construcao dos Codigos O-STBC

Para gerar uma codificacao O-STBC sera utilizado o modelo ortogonal com-

plexo generalizado. Entao o modelo pode ser ilustrado por:

Gc =

(GH

G

)=

( ∑Kl=1 xlEl∑Kl=1 x

∗lEl

)(5.33)

sendo R a taxa de transmissao, T o perıodo, K = RT e El uma matriz real Para

mostrar que Gc e um modelo ortogonal complexo deve-se calcular GHc .Gc:

GHc .Gc =

K∑l=1

K∑l′=1

(x∗l xl′ETl El′ + xlx

∗l′E

Tl El′) (5.34)

De acordo com (JAFARKHANI, 2005) tem-se as seguintes condicoes:

ETl El′ + ET

l′El = 0n l 6= l′

ETl El = In l = 1, 2, ..., K (5.35)

Entao se tem que:

GHc .Gc = 2

K∑l=1

|xl|2 In (5.36)

O que pela Definicao 9 mostra que Gc e um modelo ortogonal complexo

generalizado.

Para a decodificacao defini-se C a matriz geradora do sistema de dimensao

2T × n, r o vetor de recepcao 2T × 1, CR as primeiras T linhas da matriz C, H


a matriz do canal e N a matriz do ruıdo. Entao tem-se:

r = C.H +N =

(CR.H

C∗R.H

)+

(N1

N2

)(5.37)

Como os ganhos de canal (elementos da matriz de canal H) sao numeros

complexos, o complexo conjugado da matriz H e dado apenas substituindo αn

por α∗n. Entao, define-se o vetor r′ de dimensao 2T × 1 como:

r′ = (r1, r2, ..., rT , r∗T+1, r

∗T+2, ..., r

∗2T )T =

(CR.H

CR.H∗

)+

(N1

N ∗2

)(5.38)

Definindo-se as matrizes ΩR e Ω, tal que:

ΩR.ΩHR =

n=1∑N

|αn|2 IK (5.39)

Ω = [ΩR(α1, α2, ..., αn),ΩR(α∗1, α∗2, ..., α

∗n)] (5.40)

Pode-se escrever o vetor r′ em termos de (s1, s2, ..., sk):

r′T = (s1, s2, ..., sk).Ω + (N T1 ,NH

2 ) (5.41)

Multiplicando os dois lados por Ω∗ obtem-se o algoritmo de decodificacao de

maxima verossimilhanca para o O-STBC:

r′T .ΩH = (s1, s2, ..., sk).Ω + (N T1 ,NH

2 ).ΩH (5.42)


Foram obtidos resultados numericos via simulacoes computacionais de Monte-

Carlo de dois sistemas espaco-temporais ortogonais. O primeiro possui 3 antenas

de transmissao e 1 antena de recepcao e sua matriz geradora e representada na

equacao (5.32), o segundo sistema possui 4 antenas de transmissao e 1 antena de

recepcao e sua matriz geradora e representada pela equacao (5.43). Esses resul-

tados numericos sao representados pelas curvas de desempenho (BER × SNR)

das figuras 5.1 e 5.2 que foram obtidas a partir dos scripts MatLab desenvolvidos


no Anexo A.4.

x1 x2 x3 x4

−x2 x1 −x4 x3

−x3 x4 x1 −x2−x4 −x3 x2 x1

x∗1 x∗2 x∗3 x∗4

−x∗2 x∗1 −x∗4 x∗3

−x∗3 x∗4 x∗1 −x∗2−x∗4 −x∗3 x∗2 x∗1

(5.43)

Figura 5.1: O-STBC com 3Tx e 1Rx

Primeiramente, pode-se analisar a taxa de transmissao dos dois sistemas. Pe-

las matrizes geradoras das equacoes (5.32) e (5.43), pode-se observar que tanto

o codigo com 3 antenas de transmissao quanto o codigo com 4 antenas de trans-

missao transmitirao 4 sımbolos, K = 4, em 8 espacos de tempo, T = 8. De acordo

com a equacao (5.2), R = K/T , a taxa desses dois esquemas espaco-temporais

ortogonais e calculada na equacao (5.44).

R3Tx = R4Tx = K/T = 4/8 = 0.5 (5.44)


Figura 5.2: O-STBC com 4Tx e 1Rx

Entao, verifica-se que a taxa de transmissao dos dois sistemas analisados e

metade da taxa obtida pelo sistema espaco-temporal de Alamouti.

Analisando a diversidade do sistema, verificou-se anteriormente que a diver-

sidade de um STBC pode ser definida por NT ·NR, portanto, as diversidades dos

sistemas com 3 e 4 antenas de transmissao sao dadas nas equacoes (5.45).

DQPSK3Tx

= NT ·NR = 3 · 1 = 3

DQPSK4Tx

= NT ·NR = 4 · 1 = 4 (5.45)

Tambem foi observado que a ordem de diversidade e dada pela inclinacao

da curva de desempenho em alta SNR, essa inclinacao pode ser obtida atraves

da equacao (2.3). As ordens de diversidade dos sistemas foram calculadas nas

equacoes (5.46).

Comparando os resultados teoricos das equacoes (5.45) com os resultados do

calculo das inclinacoes das curvas das equacoes (5.46) e considerando o erro intro-

duzido na simulacao Monte-Carlo em elevadas SNRs, verifica-se que os resultados

obtidos sao satisfatorios, pois os valores das inclinacoes das curvas se aproximam

dos resultados teoricos. Para facilitar a visualizacao da inclinacao das curvas, as


figuras 5.3 e 5.4 mostram retas tangentes as curvas em alta SNR.

Figura 5.3: Inclinacao da curva BERxSNR do codigo O-STBC com 3Tx

DQPSK3Tx

= −10log10 10−5 − log10 10−3

19− 12.5= 3.1

DQPSK4Tx

= −10log10 10−4 − log10 3.10−3

20− 16= 3.7 (5.46)

Na figura 5.5, pode-se observar as duas curvas no mesmo grafico, assim,

verifica-se o ganho de diversidade entre os sistemas. O sistema com NT = 4

antenas de transmissao possui um melhor desempenho do que o sistema com

NT = 3 antenas de transmissao, i.e., ≈ 2.5dB de ganho em termos de SNR para

um desempenho BER = 10−4. Na figura 5.6, pode-se verificar a diferenca das

inclinacoes das duas curvas no mesmo grafico.

Na tabela 5.2 observa-se os esquemas espaco-temporais ortogonais mais co-

muns com o numero de antenas de transmissao e recepcao, ordem de diversidade,

taxa de transmissao e matriz geradora.


Figura 5.4: Inclinacao da curva BERxSNR do codigo O-STBC com 4Tx

Figura 5.5: Sistemas espaco-temporais com 3 e 4 antenas de transmissao e 1antena de recepcao


NT NR D = NT ·NR R Matriz Geradora

2 1 2 1

(x1 x2−x∗2 x∗1

)

2 2 4 1

(x1 x2−x∗2 x∗1

)

3 1 3 3/4

x1 x2

x3√2

−x∗2 x∗1x3√2

x∗3√2

x∗3√2

−x1−x∗1+x2−x∗22

x∗3√2− x∗3√

2

x2+x∗2+x1−x∗12

4 1 4 3/4

x1 x2

x3√2

x3√2

−x∗2 x∗1x3√2

− x3√2

x∗3√2

x∗3√2

−x1−x∗1+x2−x∗22

−x2−x∗2+x1−x∗12

x∗3√2− x∗3√

2

x2+x∗2+x1−x∗12

−x1+x∗1+x2−x∗22

3 1 3 1/2

x1 x2 x3−x2 x1 −x4−x3 x4 x1−x4 −x3 x2x∗1 x∗2 x∗3−x∗2 x∗1 −x∗4−x∗3 x∗4 x∗1−x∗4 −x∗3 x∗2

4 1 4 1/2

x1 x2 x3 x4−x2 x1 −x4 x3−x3 x4 x1 −x2−x4 −x3 x2 x1x∗1 x∗2 x∗3 x∗4−x∗2 x∗1 −x∗4 x∗3−x∗3 x∗4 x∗1 −x∗2−x∗4 −x∗3 x∗2 x∗1

Tabela 5.2: Principais esquemas O-STBC, com o numero de antenas de

transmissao e recepcao, ordem de diversidade, taxa de transmissao e matrizgeradora.


Figura 5.6: Inclinacoes das curvas BERxSNR dos codigos O-STBC com 3Tx e4Tx

51

6 STBC Quase-Ortogonal

Nesse capıtulo serao introduzidos conceitos relativos aos codigos de bloco

espaco-temporais quase-ortogonais (QO-STBC), bem como a descricao matematica

e o setup de simulacao computacional Monte-Carlo, tendo em vista caracterizar

o desempenho e a diversidade atingıvel pelo sistema MIMO equipado com esta

configuracao de diversidade espaco-temporal.

Como visto no capıtulo 5, para um modelo complexo ortogonal, nao e possıvel

atingir a plena taxa de transmissao para um sistema com mais de duas antenas

de transmissao. Para conseguir a plena taxa de transmissao faz-se necessario re-

mover a restricao da ortogonalidade do modelo STBC resultando em um STBC

nao ortogonal, o que nao seria vantajoso, pois a simplicidade de decodificacao

dos modelos ortogonais seria perdida. Em (JAFARKHANI, 2001) foi proposto

um modelo de codigo que atinge taxa de transmissao plena e retem boa parte

da ortogonalidade do O-STBC. Nesse modelo, que possui a estrutura de codigo

quase-ortogonal, os sımbolos de dados sao separados em grupos depois de passar

pelo filtro casado. Entao, a decodificacao de maxima verossimilhanca (ML) con-

junta pode ser implementada, a partir da deteccao dos sımbolos grupo-a-grupo,

separadamente e em paralelo. Como resultado, obtem-se uma complexidade de

decodificacao maior que a do O-STBC, porem menor que a necessaria para um

esquema STBC nao-ortogonal.

A codificacao pode ser descrita da seguinte maneira: para um sistema com

NT antenas de transmissao define-se A uma constelacao de sinais de tamanho

2b. No primeiro espaco de tempo w.b bits chegam ao codificador, sendo w o

numero de variaveis na matriz de transmissao. Esses wb bits sao agrupados em

w constelacoes de sımbolos s1, s2, ..., sw. O codificador substitui cada sımbolo si

por xi na matriz de transmissao, considerando 1 ≤ i ≤ w. Em um tempo t, com

t = 1, 2, ..., T , o n−esimo elemento da t−esima linha da matriz de transmissao

codificada, C, e transmitida utilizando todas as antenas transmissoras 1, 2, ..., NT .

A tabela 6.1 mostra o esquema de codificacao para um QO-STBC com NT = 4

6.1 Construcao do QO-STBC 52

antenas de transmissao.

tempo antena 1 antena 2 antena3 antena4

t s11 s21 s31 s41t+ 1T −s∗21 s∗11 −s∗41 s∗31t+ 2T −s∗31 −s∗41 s∗11 s∗21t+ 3T s41 −s31 −s21 s11

Tabela 6.1: Esquema de codificacao de um QO-STBC para 4 antenas detransmissao

6.1 Construcao do QO-STBC

Tomando a matriz geradora de Alamouti tem-se:

A12 =

(x1 x2

−x∗2 x∗1

)(6.1)

sendo que o ındice 12 representa que a matriz e composta pelos elementos x1 e x2.

Entao, considerando o codigo de bloco espaco-temporal, com NT = t = w = 4,

pode-se escrever:

A =

(A12 A34

−A∗34 A∗12

)=

x1 x2 x3 x4

−x∗2 x∗1 −x∗3 x∗4−x∗3 − x∗4 x∗2 x

∗1

x4 − x3 −x2 x1

(6.2)

Assim, definindo-se Vi, i = 1, 2, 3, 4, como a i−esima coluna de A e conside-

rando a seguinte equacao:

〈Vi,Vj〉 =4∑l=1

(Vi)l(Vj)∗l (6.3)

Essa equacao representa o produto interno entre os vetores Vi e Vj, entao

ve-se que:

〈V1,V2〉 = 〈V1,V3〉 = 〈V2,V4〉 = 〈V3,V4〉 = 0 (6.4)

Portanto, o subespaco criado pelos vetores V1 e V4 e ortogonal ao subespaco

criado pelos vetores V2 e V3.

De acordo com (JAFARKHANI, 2001) a principal ideia da matriz de trans-

6.1 Construcao do QO-STBC 53

missao A e construir uma matriz 4×4 a partir de duas matrizes 2×2 e manter a

taxa de transmissao fixa. Pode-se utilizar uma ideia similar para construir uma

matriz 8 × 8 com a taxa de transmissao igual a 3/4, sendo apenas necessario a

utilizacao de duas matrizes 4× 4 de taxa de transmissao igual a 3/4.

No receptor, apresenta-se o seguinte esquema de combinacao para cada an-

tena.

r11 =

nR∑l=1

α∗l1yl1 + αl2yl2 + αl3yl3 + α∗l4yl4

r12 =

nR∑l=1

α∗l2yl1 − αl1yl2 + αl4yl3 − α∗l3yl4

r13 =

nR∑l=1

α∗l3yl1 + αl4yl2 − αl1yl3 − α∗l2yl4

r14 =

nR∑l=1

α∗l4yl1 − αl3yl2 − αl2yl3 + α∗l1yl4

(6.5)

Tendo em vista definir os termos do decodificador de maxima verossimilhanca

apresenta-se a seguinte regra de decisao:

M∑m=1

T∑t=1

∣∣∣∣∣rt,m −NT∑n=1

αn,mGtn

∣∣∣∣∣2

(6.6)

Essa regra decide em favor dos sımbolos s1, s2, ..., sw para todos os possıveis

x` = s` ∈ A. Com isso; simplifica-se a equacao (6.6), a qual resulta no algo-

ritmo de decodificacao de maxima verossimilhanca (ML). No caso apresentado

na equacao (6.2) a metrica de decisao de ML pode ser calculada como uma soma

de dois termos f14(x1, x4) + f23(x2, x3), sendo f14 independente de x2 e x3, bem

como f23 sera independente de x1 e x4.

Observe-se que a simplificacao que conduz aos dois termos f14 e f23 da equacao

(6.6) e feita independentemente, ou seja, primeiro o decodificador encontra o par

de sımbolos s1, s4 e entao minimiza para o par de bits f14(x1, x4) sob todos os

possıveis pares (x1, x4) possıveis. Mesmo procedimento e aplicado ao par de

sımbolos s2, s3 em sequencia ou em paralelo com o processo sob os elementos

1 e 4. Esse processo reduz a complexidade de decodificacao sem sacrificar o

desempenho. Assim, a partir da equacao (6.6) pode-se escrever as funcoes f14 e

f23:


f14(x1, x4) =∑M

m=1((∑4

n=1 |αn,m|2)(|x1|2 + |x4|2)

+2<((−α1,mr∗1,m − α∗2,mr2,m − α∗3,mr3,m − α4,mr

∗4,m)x1

+(−α4,mr∗1,m + α∗3,mr2,m + α∗2,mr3,m − α1,mr

∗4,m)x4

+(α1,mα∗4,m − α∗2,mα3,m − α2,mα

∗3,m + α∗1,mα4,m)x1x

∗4)) (6.7)

f23(x2, x3) =∑M

m=1((∑4

n=1 |αn,m|2)(|x2|2 + |x3|2)

+2<((−α2,mr∗1,m + α∗1,mr2,m − α∗4,mr3,m + α3,mr

∗4,m)x2

+(−α3,mr∗1,m − α∗4,mr2,m + α∗1,mr3,m + α2,mr

∗4,m)x3

+(α2,mα∗3,m − α∗1,mα4,m − α1,mα

∗4,m + α∗2,mα3,m)x2x

∗3)) (6.8)

Para sistemas MIMO com baixa ordem de modulacao, como por exemplo

BPSK ou QPSK, e viavel uma avaliacao independente de todos os possıveis valores

dos pares (s1, s4) e (s2, s3) utilizando as funcoes das equacoes (6.7) e (6.8). Porem,

quando o sistema opera a partir de uma constelacao de elevada ordem (64-QAM,

por exemplo) e mais atrativo a aplicacao de metodos sub-otimos para avaliar as

equacoes (6.7) e (6.8) e obter a decodificacao completa dos sımbolos.


Para um sistema com NT = 4 antenas de transmissao e NR = 1 antena de

recepcao foi utilizado o esquema espaco-temporal quase ortogonal de Jafarkhani

(JAFARKHANI, 2001) da equacao (6.2) e o decodificador de ML simplificado das

equacoes (6.7) e (6.8). Foram obtidos resultados numericos via simulacoes com-

putacionais de Monte-Carlo baseados nos scripts MatLab desenvolvidos no Anexo

A.5. Obteve-se o grafico de desempenho (BER × SNR) do sistema QO-STBC,

que pode ser visto na figura 6.1.

A ordem de diversidade teorica desse sistema QO-STBC e dada pela equacao

(6.9).

DQPSK4Tx

= NT ·NR = 4 · 1 = 4 (6.9)

Como visto, tambem pode-se calcular a ordem de diversidade pela inclinacao

da curva de desempenho em alta SNR, esta foi calculada na equacao (6.10).

Entao, comparando os resultados das equacoes (6.9) e (6.10) pode-se observar que

o resultado e consideravel por ser proximo do resultado teorico. Para facilitar a

visualizacao da inclinacao da curva de desempenho, a figura 6.2 mostra uma reta


Figura 6.1: QO-STBC com 4Tx e 1Rx

de aproximacao para a reta tangente a curva de desempenho em alta SNR.

DQPSK4Tx

= −10log10 8.10−6 − log10 2.10−4

20− 16= 3.5 (6.10)

Para comparar os esquemas O-STBC e QO-STBC, foram colocadas as duas

curvas no mesmo grafico, como se pode ver na figura 6.3. O script em MatLab

encontra-se no Anexo A.6. Observa-se que o desempenho do modelo ortogonal e

superior ao do modelo quase ortogonal, sendo que esse modelo e representado por

um ganho de codificacao de ≈ 4dB, em termos de SNR, para um desempenho

BER = 10−2. Como ja foi citado no Capıtulo 4, no ganho de codificacao as

inclinacoes das curvas sao as mesmas, porem como o modelo QO-STBC nao e

totalmente ortogonal a diversidade observada na curva de desempenho do QO-

STBC nao atingira o mesmo valor que o modelo ortogonal. Pode-se verificar

esse fato pelos resultados das equacoes (5.46) e (6.10), onde para uma mesma

quantidade de antenas de transmissao e recepcao a ordem de diversidade do

modelo O-STBC se aproxima mais do valor teorico, D = 4, do que o modelo

QO-STBC.


Figura 6.2: Inclinacao da curva BERxSNR do codigo QO-STBC

Figura 6.3: O-STBC e QO-STBC com 4Tx e 1Rx.

57

7 Conclusao

Nesse trabalho observou-se a simplicidade do codigo espaco-temporal de Ala-

mouti tanto na parte de codificacao e transmissao de dados quanto na parte de

recepcao e decodificacao. Porem, apresentar um otimo desempenho com uma

taxa de transmissao plena, ele nao suporta sistemas com mais de duas antenas

de transmissao o que acaba impossibilitando sua utilizacao para os sistemas que

necessitem mais antenas, como sistemas que necessitam de uma capacidade de

transmissao e ordem de diversidade maior. Assim, foram mostradas duas propos-

tas de esquemas de codificacao baseadas no codigo Alamouti STBC. O esquema

espaco-temporal ortogonal e melhor em desempenho, ordem de diversidade e

numero de antenas mantendo a complexidade de decodificacao do codigo de Ala-

mouti perdendo, apenas, na taxa de transmissao. Ja o codigo espaco-temporal

quase ortogonal mantem essa taxa de transmissao, porem nao consegue o mesmo

desempenho e ordem de diversidade que o codigo ortogonal.

Assim, pode-se observar nos resultados as diferencas numericas no desempe-

nho do codigo de Alamouti STBC com NR = 1 antena de recepcao e NR = 2

antenas de recepcao, onde observou-se que o segundo esquema obtem um melhor

desempenho e uma maior ordem de diversidade em relacao ao primeiro esquema.

A mesma analise foi feita para o codigo espaco-temporal ortogonal com NT = 3

antenas de transmissao e NT = 4 antenas de transmissao, onde se pode observar

que o desempenho do esquema com mais antenas de transmissao e superior em

relacao ao desempenho e ordem de diversidade.

Comparando dos dois tipos de codificacao, foi observado um ganho de co-

dificacao entre eles, onde a inclinacao das curvas se mantem praticamente as

mesmas, porem como se pode observar no calculo das ordens de diversidade, o

valor da inclinacao da curva do esquema de codificacao quase ortogonal e infe-

rior ao ortogonal, o que se da devido ao fato de que para se obter uma taxa de

transmissao plena o esquema QO-STBC utiliza um modelo que nao e totalmente

ortogonal o que resulta em uma pequena perda de ordem de diversidade, au-

mento de sua complexidade de decodificacao e uma diminuicao do desempenho

7 Conclusao 58

em relacao ao esquema ortogonal.

Portanto, pode-se concluir que cada esquema possui suas caracterısticas posi-

tivas e negativas, no entanto, considerando o desempenho obtido nas simulacoes

realizadas, ordem de diversidade e numero de antenas de transmissao, o esquema

que obteve os melhores resultados foi o esquema espaco-temporal ortogonal.

59

Anexo A -- Scripts em MatLab das

simulacoes utilizadas no trabalho

Neste anexo sao compilados os principais scripts utilizados nas simulacoes

computacionais. Os scripts foram desenvolvidos para plataforma MatLab e em-

pregados na analise numerica dos sistemas MIMO sob diversidade espaco-temporal

discutidas ao longo do texto.

A.1 Canal com Desvanecimento de Rayleigh

%Rayleigh Fading Channel

clear all

close all

% Forma do modelo do canal: Z = X + jY

N = 10^6;

% variaveis aleatorias gaussianas, media=0, variancia=1

X = randn(1,N);

Y = randn(1,N);

% variavel aleatoria complexa

Z_05 = (1/sqrt(2))*(X + j*Y);

Z_1 = 1*(X + j*Y);

Z_2 = sqrt(2)*(X + j*Y);

% func~ao densidade de probabilidade de |z|

z_dots = [0:.01:10];

sigma_2_05 = 0.5;

sigma_2_1 = 1;

sigma_2_2 = 2;

% fase theta

theta = [-pi:0.01:pi];

% func~ao densidade de probabilidade teorica |z|

prob_teorico_z_05 = (z_dots/sigma_2_05).*exp(-(z_dots.^2)/(2*sigma_2_05));

A.1 Canal com Desvanecimento de Rayleigh 60



% func~ao densidade de probabilidade teorica theta

prob_teorico_theta = 1/(2*pi)*ones(size(theta));

%simulado |z|

[nzSim_05 z_dotsSim_05] = hist(abs(Z_05),z_dots);



hist(abs(Z_2),z_dots); %esta comentado, pois e utilizado para plotagem do

%histograma

xlabel(’|z|’);

ylabel(’Numero de ocorrencias’);

figure

%simulado theta

[nThetaSim theta_Sim] = hist(angle(Z_05),theta);

hist(angle(Z_1),theta); %esta comentado, pois e utilizado para plotagem do

%histograma

xlabel(’Fase de z’);

ylabel(’Numero de ocorrencias’);

% plotando os dois juntos para comparac~ao Z

figure

plot(z_dotsSim_05,nzSim_05/(N*0.01),’om’);

hold on

plot(z_dotsSim_1,nzSim_1/(N*0.01),’*r’);

plot(z_dotsSim_2,nzSim_2/(N*0.01),’dk’);

plot(z_dots,prob_teorico_z_05,’b.-’)

plot(z_dots,prob_teorico_z_1,’c.-’)

plot(z_dots,prob_teorico_z_2,’y.-’)

xlabel(’|z|’);

ylabel(’densidade de probabilidade, p(z)’);

legend(’Simulado sigma = 0.5’,’Simulado sigma = 1’,’Simulado sigma = 2’,

’Teorico sigma = 0.5’,’Teorico sigma = 1’,’Teorico sigma = 2’);

title(’Func~ao da Densidade de Probabilidade de |Z|’ )

axis([0 5 0 0.9]);

grid on

% plotando os dois juntos para comparac~ao theta

figure

plot(theta_Sim,nThetaSim/(N*0.01),’or’);

hold on

plot(theta,prob_teorico_theta,’b.-’)

xlabel(’Angulo’);

ylabel(’Densidade de probabilidade, p(theta)’);

legend(’Simulado’,’Teorico’);

title(’Densidade de Probabilidade da fase de Z’)

axis([-pi pi 0 0.2])

grid on

A.1 Canal com Desvanecimento de Rayleigh 61

% Func~ao distribuic~ao cumulativa, cdf

D_05=zeros(1,1001);

D_1=zeros(1,1001);

D_2=zeros(1,1001);

D_05(1)=nzSim_05(1)/(N);

D_1(1)=nzSim_1(1)/(N);

D_2(1)=nzSim_2(1)/(N);

for i=2:1001

D_05(i)=nzSim_05(i)/(N)+D_05(i-1)

D_1(i)=nzSim_1(i)/(N)+D_1(i-1)

D_2(i)=nzSim_2(i)/(N)+D_2(i-1)

end;

figure

plot(z_dotsSim_05,D_05,’r’);

hold on

plot(z_dotsSim_1,D_1,’b’);

plot(z_dotsSim_2,D_2,’k’);

xlabel(’|z|’);

ylabel(’Distribuic~ao Cumulativa, Fr(|z|)’);

legend(’Simulado sigma = 0.5’,’Simulado sigma = 1’,’Simulado sigma = 2’);

title(’Func~ao Distribuic~ao de Probabilidade, CDF’)

axis([0 6 0 1.2])

grid on

hold off

figure

%Grafico Amplitude X Tempo

Users = 1;

freq = 1.8*1e9;

vel = [0.5, 120];

br = [0 1];

Ts = 20e-4;

M = 20000;

K = 6;

fi = 0;

bin = 20;

Desv = zeros(size(vel,2),M);

for i = 1:size(vel,2),

fmax = freq*(vel(1,i)/(3e8));

fo = fmax/2;

x = mpath_sim_rice_v02(br, fmax, Ts, M, K, fi, fo);

Desv(i,:) = x(2,:);

A.2 Alamouti STBC com modulacao BPSK 62

end;

Desv = abs(Desv);

for i=1:size(vel)

plot([1:1:M],10*log10(Desv(i,:)));

end;

grid on

%axis([0 2 -30 5]);

xlabel(’Tempo’);

ylabel(’Amplitude (dB)’);

title(’Grafico de Amplitude X Tempo do Canal’)

A.2 Alamouti STBC com modulacao BPSK

% Codigo para mostrar a BER para modulac~ao BPSK em um canal

% Rayleigh com o codigo Alamouti STBC com 2 antenas de transmiss~ao

% e uma antena de recepc~ao, e com 2 antenas de transmiss~ao e 1 antena de

% recepc~ao.

clear all

close all

N = 10^6; % numero de bits ou sımbolos

Eb_N0_dB = [0:25]; % valores multiplos de Eb/N0

for ii = 1:length(Eb_N0_dB)

% Transmissor

ip = rand(1,N)>0.5; % gerando 0,1 com probabilidade igual

s = 2*ip-1; % modulac~ao BPSK 0-> -1; 1 -> 0

% Alamouti STBC

sCode = zeros(2,N);

sCode(:,1:2:end)=(1/sqrt(2))*reshape(s,2,N/2); % [x1 x2 ...]

% [-x2* x1* ....]

sCode(:,2:2:end)=(1/sqrt(2))*(kron(ones(1,N/2),[-1;1])

.*flipud(reshape(conj(s),2,N/2)));

h = 1/sqrt(2)*[randn(1,N) + j*randn(1,N)]; % Rayleigh channel

hMod = kron(reshape(h,2,N/2),ones(1,2)); % repetindo o mesmo canal para

% dois sımbolos

n = 1/sqrt(2)*[randn(1,N) + j*randn(1,N)]; % ruıdo gaussiano


% Adic~ao do canal e do ruıdo

y = sum(hMod.*sCode,1) + 10^(-Eb_N0_dB(ii)/20)*n;

% Receptor

% [y1 y1 ... ; y2 y2 ...]

yMod = kron(reshape(y,2,N/2),ones(1,2));

% [y1 y1 ... ; y2* y2*...]

yMod(2,:) = conj(yMod(2,:));

% Formando a matriz de equalizac~ao

hEq = zeros(2,N);

% [h1 0 ... ; h2 0...]

hEq(:,[1:2:end]) = reshape(h,2,N/2);

% [h1 h2 ... ; h2 -h1 ...]

hEq(:,[2:2:end]) = kron(ones(1,N/2),[1;-1]).*flipud(reshape(h,2,N/2));

% [h1* h2* ... ; h2 -h1 .... ]

hEq(1,:) = conj(hEq(1,:));

hEqPower = sum(hEq.*conj(hEq),1);

% [h1*y1 + h2y2*, h2*y1 -h1y2*, ... ]

yHat = sum(hEq.*yMod,1)./hEqPower;

yHat(2:2:end) = conj(yHat(2:2:end));

% Decodificador ML

ipHat = real(yHat)>0;

% erro

nErr1(ii) = size(find([ip- ipHat]),2);

end

simBer_1 = nErr1/N; % BER simulada

nRx = 2;

for ii = 1:length(Eb_N0_dB)

% Transmissor

ip = rand(1,N)>0.5; % gerando 0,1 com probabilidades iguais

s = 2*ip-1; %modulac~ao BPSK 0 -> -1; 1 -> 0

% Alamouti STBC

sCode = 1/sqrt(2)*kron(reshape(s,2,N/2),ones(1,2)) ;

% Canal

h = 1/sqrt(2)*[randn(nRx,N) + j*randn(nRx,N)]; % Canal Rayleigh

n = 1/sqrt(2)*[randn(nRx,N) + j*randn(nRx,N)]; % Ruıdo Gaussiano

y = zeros(nRx,N);

yMod = zeros(nRx*2,N);

hMod = zeros(nRx*2,N);

for kk = 1:nRx


hMod = kron(reshape(h(kk,:),2,N/2),ones(1,2)); %repetindo o mesmo

%canal para 2 sımbolos

hMod = kron(reshape(h(kk,:),2,N/2),ones(1,2));

temp = hMod;

hMod(1,[2:2:end]) = conj(temp(2,[2:2:end]));

hMod(2,[2:2:end]) = -conj(temp(1,[2:2:end]));

% Adic~ao do canal e do Ruıdo

y(kk,:) = sum(hMod.*sCode,1) + 10^(-Eb_N0_dB(ii)/20)*n(kk,:);

% Receptor

yMod([2*kk-1:2*kk],:) = kron(reshape(y(kk,:),2,N/2),ones(1,2));

% montando a matriz de equalizac~ao

hEq([2*kk-1:2*kk],:) = hMod;

hEq(2*kk-1,[1:2:end]) = conj(hEq(2*kk-1,[1:2:end]));

hEq(2*kk, [2:2:end]) = conj(hEq(2*kk, [2:2:end]));

end

hEqPower = sum(hEq.*conj(hEq),1);

yHat = sum(hEq.*yMod,1)./hEqPower; % [h1*y1 + h2y2*, h2*y1 -h1y2*, ... ]

yHat(2:2:end) = conj(yHat(2:2:end));

% Decodificador ML

ipHat = real(yHat)>0;

% erro

nErr2(ii) = size(find([ip- ipHat]),2);

end

simBer_2 = nErr2/N; % BER simulada

EbN0Lin = 10.^(Eb_N0_dB/10);

figure

semilogy(Eb_N0_dB,simBer_1,’mo-’,’LineWidth’,2);

hold on

semilogy(Eb_N0_dB,simBer_2,’k*-’,’LineWidth’,2);

axis([0 25 10^-5 0.5])

grid on

legend(’Alamouti BPSK (2TX 1RX)’, ’Alamouti BPSK (2TX 2RX)’);

xlabel(’Relac~ao Sinal Ruıdo (SNR), Eb/No, dB’);

ylabel(’Taxa de Erro de Bit (BER)’);

title(’Alamouti STBC com modulac~ao BPSK’);

A.3 Alamouti STBC com modulacao QPSK 65

A.3 Alamouti STBC com modulacao QPSK

function npskdata=npsk(n,data)

%Essa func~ao gera os sımbolos da modulac~ao NPSK que no caso e

%QPSK

for i=1:n

npsksignal(i)=exp(j*2*pi/n*(i-0.5));

end

inp=reshape(data,log2(n),length(data)/log2(n));

npskxishu=zeros(1,log2(n));

for i=1:log2(n)

npskxishu(i)=2^(i-1);

end

npskdata=npsksignal(npskxishu*inp+1);

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function H=rey(Nt,Nr)

%Essa func~ao gera os dados do canal de Rayleigh

H=zeros(Nr,Nt);

R=eye(Nr*Nt);

X=randn(Nr*Nt,1)/sqrt(2)+j*randn(Nr*Nt,1)/sqrt(2);

H=reshape(R*X,Nr,Nt);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function DEC_X=judge(n,y1,y2)

%Essa func~ao faz a func~ao do decodificador ML

DEC_X=zeros(1,2);

for m=1:n

d1(m)=abs(y1-exp(j*2*pi/n*(m-0.5))).^2;

d2(m)=abs(y2-exp(j*2*pi/n*(m-0.5))).^2;

end

[z1,i1]=min(d1);

[z2,i2]=min(d2);

DEC_X=[exp(j*2*pi/n*(i1-0.5)) exp(j*2*pi/n*(i2-0.5))];

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%---------Codificac~ao Alamouti STBC com modulac~ao QPSK----------%

%---------------------------------------------------------------%

%---------------------2Tx 1Rx-----------------------------------%

%---------------------------------------------------------------%

clear all

close all


SNR=0:2:30;

snr=10.^(SNR/10);

sigma=sqrt(1./snr);

K=200000;

data=randint(1,K);

%---------------------------------------------------------------%

nt=2; % 2 antenas de transmiss~ao

nr=1; % 1 antena de recepc~ao

n=4; %QPSK

%----------------------------NPSK-------------------------------%

npskdata=npsk(n,data);

x=npskdata;

%------------------------Alamouti 2Tx 1Rx-----------------------%

for k=1:length(SNR)

error_symbol=0;

for i=1:length(npskdata)/2

x1=x(2*i-1);

x2=x(2*i);

X=[x1 -x2’;x2 x1’];

H=rey(nt,nr); %Canal

noise=sigma(k).*rey(nt,nr); %ruıdo

R=sqrt(1/2).*H*X+noise; %Sinal recebido

y1=0;y2=0;

for i=1:nr

y1=H(i,1)’*R(i,1)+H(i,2)*R(i,2)’+y1;

y2=H(i,2)’*R(i,1)-H(i,1)*R(i,2)’+y2;

end

DEC_X=judge(n,y1,y2); %Decodificador ML

if DEC_X(1)~=x1

error_symbol=error_symbol+1;

end

if DEC_X(2)~=x2


end

end

BER1(k)=error_symbol/length(npskdata);

end

%----------------------------------------------------------%

%---------------------2Tx 2Rx------------------------------%

%----------------------------------------------------------%

nt=2; %2 antenas de transmiss~ao

nr=2; %2 antenas de recepc~ao


n=4; %QPSK

%-----------------------NPSK-------------------------------%

npskdata=npsk(n,data);

x=npskdata;

%------------------Alamouti 2Tx 2Rx------------------------%

for k=1:length(SNR)

error_symbol=0;

for i=1:length(npskdata)/2

x1=x(2*i-1);

x2=x(2*i);

X=[x1 -x2’;x2 x1’];

H=rey(nt,nr); %Canal

noise=sigma(k).*rey(nt,nr); %ruıdo

R=sqrt(1/2).*H*X+noise; %sinal recebido

y1=0;y2=0;

for i=1:nr

y1=H(i,1)’*R(i,1)+H(i,2)*R(i,2)’+y1;

y2=H(i,2)’*R(i,1)-H(i,1)*R(i,2)’+y2;

end

DEC_X=judge(n,y1,y2); %Decodificador ML

if DEC_X(1)~=x1


end

if DEC_X(2)~=x2


end

end

BER2(k)=error_symbol/length(npskdata);

end

%--------------------------------------------------------

semilogy(SNR,BER1,’b*-’);

hold on

semilogy(SNR,BER2,’r.-’);

grid on

legend(’Alamouti QPSK(2TX 1RX)’,’Alamouti QPSK(2TX 2RX)’)

title(’Alamouti STBC com modulac~ao QPSK’)

xlabel(’Relac~ao Sinal Ruıdo (SNR)’);


hold on

A.4 STBC ortogonal com modulacao QPSK 68

A.4 STBC ortogonal com modulacao QPSK

% Simulac~ao de desempenho do sistema OSTBC com 4 antenas de transmiss~ao

% e uma antena de recepc~ao, canal de Rayleigh e modulac~ao QPSK

clear all

close all

%Constelac~ao QPSK

x_q=[1 1 -1 -1];

y_q=[1 -1 1 -1];

QPSK_s=x_q+y_q*i;

%Contelac~ao QPSK deslocada Pi/2

x_r=[0 sqrt(2) -sqrt(2) 0];

y_r=[sqrt(2) 0 0 -sqrt(2)];

QPSK_r=x_r+y_r*i;

Es=2; %Energia da constelac~ao;

index=1;

step=4;

B_err1=zeros(1,5);

nRx=1;

% SNR range is here

for SNR=4:step:20

%numero de erro de bit setados para zero

count=0;

%numero de iterac~oes

N=10^4;

if SNR==20 N=3*10^4; end; % aumentar pra maior SNR

for it=1:N

%gerando 8 bits uniformemente distribuıdos

A=round(rand(1,8));

% Sımbolos TX


s1=QPSK_s(bi2de(A(1:2),’left-msb’)+1);


s3=QPSK_r(bi2de(A(5:6),’left-msb’)+1);


C1=[s1 s2 s3; -s2 s1 -s4; -s3 s4 s1; -s4 -s3 s2];

C=[C1; conj(C1)];

%Coeficientes do canal

Z=0;

% Canal

K=1/sqrt(2)*(randn(3,1)+i*randn(3,1));

%Canal

N0=(4*Es/10^(SNR/10));

% erro

Z=sqrt(N0/2)*(randn(8,1)+i*randn(8,1));

%Sımbolos Rx

R=C*K+Z;

%Decodificac~ao ML OSTBC

S1=0; S2=0; S3=0; S4=0; Hnorm=0;

for j=1:nRx,

S1 = S1 +R(1,j)*K(1,j)’ + R(2,j)*K(2,j)’ + R(3,j)*K(3,j)’ ...

+R(5,j)’*K(1,j) + R(6,j)’*K(2,j) + R(7,j)’*K(3,j);

S2 = S2 +R(1,j)*K(2,j)’ - R(2,j)*K(1,j)’ + R(4,j)*K(3,j)’ ...

+R(5,j)’*K(2,j) - R(6,j)’*K(1,j) + R(8,j)’*K(3,j);

S3 = S3 +R(1,j)*K(3,j)’ - R(3,j)*K(1,j)’ - R(4,j)*K(2,j)’ ...

+R(5,j)’*K(3,j) - R(7,j)’*K(1,j) - R(8,j)’*K(2,j);

S4 = S4 -R(2,j)*K(3,j)’ + R(3,j)*K(2,j)’ - R(4,j)*K(1,j)’ ...

-R(6,j)’*K(3,j) + R(7,j)’*K(2,j) - R(8,j)’*K(1,j);

Hnorm = Hnorm + K(:,j)’*K(:,j);

end

%Decodificador de sımbolos para QPSK

L=[abs(QPSK_s-S1); abs(QPSK_s-S2);

abs(QPSK_r-S3); abs(QPSK_r-S4)];


[D,I]=min(L,[],2);

%TX bits

dec_bits(1,1:2)=de2bi(I(1)-1,2,’left-msb’);




%erro

count=count+sum(abs(A-dec_bits));

end;

B_err1(index)=count/(N*8);

index=index+1;

end;

% Simulac~ao de desempenho do sistema OSTBC com 4 antenas de transmiss~ao

% e uma antena de recepc~ao, canal de Rayleigh e modulac~ao QPSK

%Constelac~ao QPSK

x_q=[1 1 -1 -1];

y_q=[1 -1 1 -1];

QPSK_s=x_q+y_q*i;

%Contelac~ao QPSK deslocada Pi/2

x_r=[0 sqrt(2) -sqrt(2) 0];

y_r=[sqrt(2) 0 0 -sqrt(2)];

QPSK_r=x_r+y_r*i;

Es=2; %Energia da constelac~ao;

index=1;

step=4;

B_err2=zeros(1,5);

nRx=1;

% SNR range is here

for SNR=4:step:20

%numero de erro de bit setados para zero

count=0;


N=10^4;


if SNR==20 N=3*10^4; end; % aumentar pra maior SNR

for it=1:N


A=round(rand(1,8));

% Sımbolos TX





C1=[s1 s2 s3 s4; -s2 s1 -s4 s3; -s3 s4 s1 -s2; -s4 -s3 s2 s1];

C=[C1; conj(C1)];

%Coeficientes do canal

Z=0;

% Canal


%Erro

N0=(4*Es/10^(SNR/10));

% variance N0


%Sımbolos Rx

R=C*K+Z;

%Decodificac~ao ML OSTBC

H1=[K(1) K(2) K(3) K(4); K(2) -K(1) -K(4) K(3);

K(3) K(4) -K(1) -K(2); K(4) -K(3) K(2) -K(1)];

H=[H1 conj(H1)];

R=[R(1:4); conj(R(5:8))];

S=R.’*H’/(2*sum(abs(K).^2));

%Decodificador de sımbolos para QPSK

L=[abs(QPSK_s-S(1)); abs(QPSK_s-S(2));

abs(QPSK_r-S(3)); abs(QPSK_r-S(4))];

A.5 Quase Ortogonal STBC com modulacao QPSK 72

[D,I]=min(L,[],2);

%TX bits





%erro


end;

B_err2(index)=count/(N*8);

index=index+1;

end;

semilogy(4:step:20, B_err1,’b.-’);

hold on

semilogy(4:step:20, B_err2,’ro-’);

grid on;

axis=([4 18 10^-6 10^-1]);

legend(’simulado (nTx=3, nRx=1, O-STBC QPSK)’,

’simulado (nTx=4, nRx=1, O-STBC QPSK)’);

xlabel(’Eb/No, dB’);


title(’OSTBC com modulac~ao QPSK’);

A.5 Quase Ortogonal STBC com modulacao QPSK

% Simulac~ao de desempenho para o esquema QOSTBC com 4 antenas de

% transmiss~ao e uma antena de recepc~ao, canal de Rayleigh e modulac~ao QPSK.

%Constelac~ao

x_q=[1 1 -1 -1];

y_q=[1 -1 1 -1];

QPSK_s=x_q+y_q*i;

%Constelac~ao QPSK rotacionada de Pi/2

x_r=[0 sqrt(2) -sqrt(2) 0];

y_r=[sqrt(2) 0 0 -sqrt(2)];


QPSK_r=x_r+y_r*i;

Es=2; %energia da constelac~ao d=2;

index=1;

BER=zeros(1,5);

step = 4;

for SNR=4:step:20

%numero de bits de erro setados para zero

count=0;


N=10^4;

if SNR==20 N=2*10^4; end;

for it=1:N


A=round(rand(1,8));

% sımbolos T_x

% QPSK



%QPSK pi/2



C=[s1 s2 s3 s4; -conj(s2) conj(s1) -conj(s4) conj(s3);

-conj(s3) -conj(s4) conj(s1) conj(s2); s4 -s3 -s2 s1];

%Coeficientes do canal de desvanecimento

Z=0;


%Canal

N0=(4*Es/10^(SNR/10));


%Sımbolos recebidos por R_x

R=C*K+Z;


%Decodificador de ML para QOSTBC

% achar min s1 e s4 para combinac~oes divferentes

vector_c=combvec(QPSK_r,QPSK_s).’;

qpsk_space=vector_c(:,2);

rotated_space=vector_c(:,1);

%func~ao f_1_4

f_1_4=(abs(qpsk_space).^2+abs(rotated_space).^2)*(sum(abs(K).^2))

+2*real((-K(1)*conj(R(1))-conj(K(2))*R(2)

-conj(K(3))*R(3)-K(4)*conj(R(4)))*qpsk_space

+rotated_space*(-K(4)*conj(R(1))+conj(K(3))*R(2)+conj(K(2))*R(3)

-K(1)*conj(R(4))))+4*real( K(1)*conj(K(4))-conj(K(2))*K(3))

*real(qpsk_space.*conj(rotated_space));

%achar os bits correspondentes para S1

[H1,I]=min(f_1_4);

[H1,I]=min(QPSK_s-vector_c(I,2));



[H1,I]=min(f_1_4);

[H1,I]=min(QPSK_r-vector_c(I,1));


%func~ao f_2_3


+ 2*real ( (-K(2)*conj(R(1))+conj(K(1))*R(2)

-conj(K(4))*R(3)+K(3)*conj(R(4)))*qpsk_space

+rotated_space*(-K(3)*conj(R(1))-conj(K(4))*R(2)+conj(K(1))*R(3)

+K(2)*conj(R(4))))+4*real( K(2)*conj(K(3))-conj(K(1))*K(4))



[H1,I]=min(f_2_3);




[H1,I]=min(f_2_3);



%erro


end;

A.6 Codigos Ortogonal e Quase Ortogonal de Espaco-Tempo 75

BER(index)=count/(N*8);

index=index+1;

end;

semilogy(4:step:20,BER,’bo-’);

grid on

title(’QOSTBC com modulac~ao QPSK’);

legend(’simulado (nTx=4, nRx=1, QOSTBC QPSK)’);



title(’QOSTBC com modulac~ao QPSK’);

A.6 Codigos Ortogonal e Quase Ortogonal de

Espaco-Tempo

%Simulac~ao O-STBC e QOSTBC com 4 antenas de transmiss~ao e 1 antena de

%recepc~ao, com modulac~ao QPSK.

clear all

close all

%constelac~ao QPSK

x_q=[1 1 -1 -1];

y_q=[1 -1 1 -1];

QPSK_s=x_q+y_q*i;

%constelac~ao QPSK rotacionada de pi/2

x_r=[0 sqrt(2) -sqrt(2) 0];

y_r=[sqrt(2) 0 0 -sqrt(2)];

QPSK_r=x_r+y_r*i;

Es=2; %energia da constelac~ao

index=1;

step=4;

BER=zeros(1,5);

%SNR


for SNR=4:step:20

%numero de erro de bit setado pra zero

count=0;


N=10^4;

if SNR==20 N=3*10^4; end; % aumentando para uma SNR maior

for it=1:N


A=round(rand(1,8));

% sımbolos Tx





C1=[s1 s2 s3 s4; -s2 s1 -s4 s3; -s3 s4 s1 -s2; -s4 -s3 s2 s1];

C=[C1; conj(C1)];

%coeficientes do canal

Z=0;


N0=(4*Es/10^(SNR/10));


%Sımbolos RX

R=C*K+Z;

%Decodificador de ML OSTBC

H1=[K(1) K(2) K(3) K(4); K(2) -K(1) -K(4) K(3);

K(3) K(4) -K(1) -K(2); K(4) -K(3) K(2) -K(1)];

H=[H1 conj(H1)];


R=[R(1:4); conj(R(5:8))];

S=R.’*H’/(2*sum(abs(K).^2));

%decodificados para QPSK

L=[abs(QPSK_s-S(1)); abs(QPSK_s-S(2)); abs(QPSK_r-S(3)); abs(QPSK_r-S(4))];

[D,I]=min(L,[],2);

%TX bits





%erro


end;

BER1(index)=count/(N*8);

index=index+1;

end;

%------------QOSTBC---------------------%

index=1;

BER=zeros(1,5);

step = 4;

for SNR=4:step:20

%numero de erro de bit setado pra zero

count=0;


N=10^4;

if SNR==20 N=3*10^4; end; % aumentando para uma SNR maior

for it=1:N


A=round(rand(1,8));

% sımbolos TX






C=[s1 s2 s3 s4; -conj(s2) conj(s1) -conj(s4) conj(s3);

-conj(s3) -conj(s4) conj(s1) conj(s2); s4 -s3 -s2 s1];

%coeficientes do canal

Z=0;


N0=(4*Es/10^(SNR/10));

Z=sqrt(N0/2)*(randn(4,1)+i*randn(4,1)); %

%Sımbolos RX

R=C*K+Z;

%Decodificador ML para QOSTBC

%achar min s1 e s4 para diferentes combinac~oes

vector_c=combvec(QPSK_r,QPSK_s).’;

qpsk_space=vector_c(:,2);

rotated_space=vector_c(:,1);

%func~ao f1_4


+2*real((-K(1)*conj(R(1))-conj(K(2))*R(2)-conj(K(3))*R(3)-K(4)*conj(R(4)))

*qpsk_space+rotated_space*(-K(4)*conj(R(1))+conj(K(3))*R(2)

+conj(K(2))*R(3)-K(1)*conj(R(4))))+4*real(K(1)*conj(K(4))-conj(K(2))*K(3))


%achar bits correspondentes para S1

[H1,I]=min(f_1_4);



%acahr bits correspondentes para S4

[H1,I]=min(f_1_4);



%func~ao f2_3


f_2_3=(abs(qpsk_space).^2+abs(rotated_space).^2)* (sum(abs(K).^2))

+ 2*real((-K(2)*conj(R(1))+conj(K(1))*R(2)-conj(K(4))*R(3)+K(3)*conj(R(4)))

*qpsk_space+rotated_space*(-K(3)*conj(R(1))-conj(K(4))*R(2)+conj(K(1))*R(3)

+K(2)*conj(R(4))))+4*real( K(2)*conj(K(3))-conj(K(1))*K(4))



[H1,I]=min(f_2_3);




[H1,I]=min(f_2_3);



%erro


end;

BER2(index)=count/(N*8);

index=index+1;

end;

semilogy(4:step:20,BER1,’b+-’);

hold on;

semilogy(4:step:20, BER2,’ro-’);

grid on;

legend(’simulado (nTx=4, nRx=1, O-STBC QPSK)’,

’simulado (nTx=4, nRx=1, QOSTBC QPSK)’);



title(’O-STBC e QO-STBC com modulac~ao QPSK’);

80

Referencias

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Referencias 81

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Esquemas Espa˘co-Temporais em Sistemas de Comunica˘c~ao … · Ficha Catalogr a ca de Farias...

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