SEDE CALAMAINGIENERIA EN MINASAlgebra Lineal

ESPACIOS VECTORIALES

Nombre Alumno (s): Freddy Rodríguez

González

Nombre Profesor: Javier Chocano Portilla

Fecha: 21 de Junio de 2012

INDICE

Introducción…………………………………………………………………………………………3

1.1 Espacios vectoriales..........................................................................................................4

Espacio de matrices mm, n........................................................................................................4

Espacio de polinomios p(t)......................................................................................................5

Espacio de funciones f(x) .......................................................................................................5

1.2 Definición de subespacio de rn………………………………………………………………..6

Base de un subespacio de rn………………………………………………………………………8

Unicidad de coordenadas………………………………………………………………………….10

1.3 propiedades de vectores, combinación lineal, dependencia e independencia lineal……11

Dependencia e independencia lineal………………………………………………………….…12

Combinaciones lineales y dependencia lineal……………………………………………….….13

1.4 bases y dimensión……………………………………………………………………………..14

1.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades…………………………………16

1.6 cambio de base ortonormal, proceso de ortonormalizacion gram-schmidt………………17

Cambio de base……………………………………………………………………………………18

proceso de ortonormalizacion gram-schmidt……………………………………………………18

Ejercicios……………………………………………………………………………………………19

conclusión………………………………………………………………………………………….34

bibliografía………………………………………………………………………………………….35

INTRODUCCION

Las propiedades comunes de la aritmética matricial y vectorial se transforman en propiedades

definitorias para un conjunto de vectores abstractos o generalizados, llamado espacio vectorial. Los

conjuntos de matrices y de vectores ordinarios son ejemplos de espacios vectoriales.

De igual manera abordaremos en el tema de subespacio los conceptos de fundamentales de

subespacios y base en Rn. La elección y uso de una base de un subespacio se parece a la elección

y uso de un marco de coordenadas en el plano o en el espacio .

La ventaja principal de estas generalizaciones estriba en los inmensos ahorros de trabajo, porque las

propiedades de los vectores abstractos se aplican a todos los ejemplos particulares. Además, las

demostraciones se tornan claras y fáciles, porque no tienes la notación de algún ejemplo especifico

En álgebra lineal, se dice que un conjunto ordenado B es base de un espacio vectorial V si se cum-

plen las siguientes condiciones:

Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V.

Los elementos de B forman un sistema linealmente independiente.

Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base

B (es decir, B es un sistema generador de V)

La dimensión (del latín dimensio, "medida") es, esencialmente, el número de grados de libertad para

realizar un movimiento en el espacio. Comúnmente, las dimensiones de un objeto son las medidas

que definen su forma y tamaño.

1.1 ESPACIOS VECTORIALES

La definición de espacio vectorial involucra un cuerpo arbitrario cuyos elementos se denominan

escalares. Se utiliza la siguiente notación.

К el cuerpo de escalares

ɑ, b, c o k los elementos de К

V el espacio vectorial dado

u, v, w los elementos de V.

A continuación de define la notación de espacio vectorial o lineal.

Definición: sean K un cuerpo dado y V un conjunto no vacío, con reglas de suma y producto por un

escalar que asignan a cada par u, vϵV una suma u+vϵV y a cada par uϵV, kϵK un producto KuϵV.

V recibe el nombre de espacio vectorial sobre K ( y los elementos de V se llaman vectores) y se

satisfacen los siguientes axiomas.

[A1 ] para toda terna de vectores u, v wϵV, ( u+v) + u + (u +w ).

[A2 ] existe un vector en V, denotado por 0 denominado el vector cero, tal que u + 0= u para todo

vector uϵV.

[A3 ] para todo vector uϵV existe un único vector en V, denotado por -u, tal que u+(-u)=0.

[A4 ] para todo par de vectores u, uϵV, u+v=v+u.

[M1] para todo escalar kϵK y todo par de vectores u,vϵV, k (u+v)=ku+kv.

[M2 ]para todo escalar ɑ, bϵK y todo vector uϵV, (ɑ+b )u=ɑu + bu.

[M3 ]para todo par de escalares ɑ, bϵK y todo vector uϵV, (ɑb)u= ɑ(bu).

[M4 ]el escalar unidad 1ϵK cumple 1u=u para todo vector uϵV.

Los axiomas procedentes se desdoblan de forma natural en dos categorías. Los cuatro primeros

atañen únicamente a la estructura aditiva de V y pueden resumirse diciendo que V es un grupo

conmutativo bajo la suma. De ello se deriva que cualquier suma de vectores de la forma

v1 + v2 +...+ vm

no requiere paréntesis y no depende del orden de los sumandos, que el vector 0, es unico, que el

opuesto -u de u es único y que se verifica la ley de cancelación; esto es, para tres vectores

cualesquiera u, v, wϵV.

U + w = v + w implica u = v

Asimismo, la resta se define según

u – v = u + (-v)

Por otra parte, los cuatro axiomas restantes se refieren a la acción del cuerpo K sobre V. Obsérvese

que la rotulación de los axiomas refleja este desdoblamiento. Empleando estos axiomas adicionales

probaremos las sig. Propiedades elementales de un espacio vectorial.

Teorema 5.1 : sea V u espacio vectorial sobre un cuerpo K.

i) para todo escalar kϵK y 0ϵV, K0= 0.

ii) para 0ϵK y todo vector uϵV, 0u= 0.

iii) si ku=0 donde kϵK y uϵV, entonces k = 0 o u = 0.

iv) para todo kϵK y todo uϵV, (-k)u = k(-u) = -ku.

Ejemplos de espacios vectoriales

Esta sección enumera una serie de ejemplos importantes de espacios vectoriales que se utilizan a lo

largo de todo el texto.

ESPACIO Kn

Sea K un cuerpo arbitrario. La notación Kn se usa frecuentemente para designar el conjunto de

todas las n-plas de elementos de K. Aquí Kn se ve como un espacio vectorial sobre K, en el que la

suma vectorial y el producto por un escalar se define según

(ɑ1 ɑ2,..., ɑn ) + (b1 b2,..., bn ) = (ɑ1 + b1 , ɑ2 + b2 , ..., ɑn + bn ) y

k (ɑ1, ɑ2,..., ɑn) = (k ɑ1,k ɑ2,...,kɑn)

el vector cero en Kn es la n-pla de ceros

0 = (0,...,0)

y el opuesto de un vector se define por

-(ɑ1 ɑ2,..., ɑn ) = (-ɑ1 -ɑ2,..., -ɑn )

la demostración de que Kn es un espacio vectorial es idéntica al teorema 2.1, que ahora puede

considerarse como la afirmación de que Rn , con la operaciones ahí definidas, es un espacio vectorial

sobre R.

ESPACIO DE MATRICES Mm, n.

La notación Mm, n, o simplemente M, se utilizara para designar el conjunto de todas las matrices m*n

sobre un cuerpo arbitrario K.Mm, n., es un espacio vectorial sobre K con respecto a las operaciones

usuales de suma matricial y producto por un escalar.

ESPACIO DE POLINOMIOS P (t)

Denotamos por P (t) el conjunto de todos los polinomios

ɑ0 +ɑ1 t+ɑ2, t 2+...+ ɑn, t n

Con coeficientes ai en algún cuerpo k. P(t) es un espacio vectorial sobre K con respecto a las

operaciones usuales de suma de polinomios producto de un polinomio por una constante.

ESPACIO DE FUNCIONES F(X)

Sean X un conjunto no vacío y K un cuerpo arbitrario. Consideremos el conjunto F(X) de todas las

funciones de X en K.( nótese que F(X) es no vacío por serlo X). la suma de dos funciones f,gϵF(X)

es la función f+gϵF(X) definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀xϵX

y el producto de un escalar kϵK por una función fϵF(X) es la función kfϵF(X) definida por

(kf)(x)= kf(x) ∀xϵX (el símbolo ∀ significa para todo) F(X), con las operaciones anteriores, es

un espacio vectorial sobre K.

El vector 0 en F(X) es la función cero, 0, que aplica cada xϵX en 0ϵK, es decir,

0(x)= 0 ∀xϵX

Así mismo para cualquier función fϵF(X), la función -f definida por

(-f)(x)= -f(x) ∀xϵX

Es lo opuesta de la función f.

1.2 SUBESPACIO VECTORIAL

Definición:

Las propiedades 1 y 2 implican que cualquier combinación lineal de elementos de V también están

V. si un conjunto S no vacio de Rn satisface la parte 1 la definición, se dice que S es cerrado bajo (o

(Subespacio de R n)Un subconjunto V no vacio de Rn se llama subespacio (vectorial o lineal) de Rn si satisface las siguientes propiedades.1.- si U Y V, entonces U+V están V.

2.-si C es cualquier escalar y U esta en V, entonces CU esta en V.

respecto a) a la suma (vectorial). Si S cumple la parte 2, se dice que S es cerrado bajo (o respecto a)

a la multiplicación por escalares. Así, un subespacio de R n es un subconjunto cerrado bajo la suma

vectorial y la multiplicación por escalares.

Todo subespacio V de R n contiene el sector cero. 0 (V es un no vacio, de modo que tiene al menos

un elemento, por ejemplo u. pero entonces 0u=0 esta en V, según la parte 2 de la definición).

EJEMPLO: 1 {0} Y Rn. son subespacio de Rn

EXPLICACION {0} es un subespacio de Rn por que

0+0=0 y c0=o para toda c Є R

Rn Es un subespacio de Rn por que la suma de los vectores n cualesquiera es un vector n, y cualquier

múltiplo escalar de un vector n es nuevo vector de n.

{0} también se llama subespacio cero de Rn. {0} y Rn. son subespacios triviales de Rn.

EJEMPLO 2

V= {[X 1Y 10 ], X, Y Є R}

Es un subespacio de R3.

EXPLICACION: v es un vector por que contiene al vector cero (suponiendo que x=y=0).

La suma de dos vectores en V.

[X 1Y 10 ]+[X 2

Y 20 ]=[X 1

Y 20

+x2y 20 ]

También esta en V. así se aplica la parte 1 de la definición. Cualquier múltiplo escalar de un vector

en V.

c[ xy0 ]=[cxcy0 ]También V. entonces se aplica la parte 2 de la definición. Por consiguiente, es un subespacio de R3.

EJEMPLO 3

I. V= {(x, y, x+y), x, y Є R} es un subespacio de R3.

EXPLICACION:

V es un no vacio (¿Por qué? Sean V1= (x1, y1, x1+y1) y V2= (x2, y2, x2+y2) cualesquiera elemento

de V y sea cualquier escalar entonces

(X1, y1, x1+y1)+(X2, y2, x2+y2)=(x1+x2, y1+y2, (x1+x2)+(y1+y2)

C(x1, y1, x1+y1)= (cx1, cy1, (cx1) + (cy1)

Por consiguiente, V1+V2, cV1 Є V. entonces, V es un subespacio de R3.

TEOREMA 1

EJEMPLO 4 toda línea/ que pase por el origen en R2 (R3) es un subespacio de R2 (R3)

z

y z

x x

X y y

SOLUCION

Sea u un vector 2 no cero en /. Entonces/ = Gen {u}. Como vimos en la sección 2.3. Pero Gen {u}.

Es un subespacio de R2, de acuerdo con el teorema. De igual manera puede demostrarse que una

línea/ en R3 es un subespacio de R3.

EJEMPLO5: ¿Es el conjunto un espacio de R3?

V= {[a−3b2+ba ], a, b Є R}

RESPUESTA:

Si por que [a−3b2+ba ]= a[121]+ b[−3

10 ]

Vemos que V = gen {[121],[−310 ]} por consiguiente, V es un subespacio de R3, según el teorema 1

BASE DE UN SUBESPACIO DE Rn

DEFINICION

(BASE)Un subconjunto no vacio B de un espacio V no cero de Rn es una base de V si

1. B es linealmente independiente;

2. B genera a V

Si V1,…..VK Son vectores n, entonces Gen (V1,…..VK) es un subespacio en Rn

Véanse en la figura 4.3 Y 4.4

También se acostumbra decir que el conjunto vacio es la única base del subespacio cero {0}

v2 v2 v1

V2

V1

V1

Figura 4.3 algunas bases del plano.

v2

v1

v3

EJEMPLO 6 compruebe que

B= {[ 11

−1] ,[012] ,[−210 ]}

Es una base de R3

SOLUCION primero es necesario demostrar que B es linealmente independiente que genera R3. Sea

A la matriz cuyas columnas son los vectores de B como

A=1 0 −21 1 1

−1 2 0 ~

1 0 −20 1 30 0 −8

Vemos que cada columna de A es una columna pivote; y por tanto, las columnas de A son

linealmente. También cada reglón de A tiene una posición pivote. Por consiguiente, las columnas de

A genera R3 de acuerdo con los teoremas anteriores.

EJEMPLO 7

¿ es el conjunto S={(1,0,0),(0,1,0)} ¿ Es S una base del subespacio V= {(x,y,,0),x,y Є R} de R3

RESPUESTA

S es linealmente independiente, por que todas las columnas de A =[101010 ] son pivote. S no es una

base de R3 por que A tiene 3 renglones y solo 2 pivotes, de modo que S no genera a R3. Por otra

parte, S genera al menor espacio V por que

(X, Y, 0)=X (1, 0,0)+Y (0, 1,0)

Por consiguiente, S si es una base de V.

EJEMPLO 8

¿Es el subconjunto T= {(1,1,1),(2,1,-1),(1,0,-2) } una base de R3

RESPUESTAS

No, puesto que [ 1 2 11 1 01 −1 −2

] ~ [ 1 2 11 −1 −10 0 0

] T no es linealmente independiente (3 columnas

y solo 2 pivotes). En realidad T ni siquiera genera a R3 (3 renglones, solo 2 pivotes)

EJEMPLO 8

¿ Es el conjunto S= {(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1),(1,1,1) } una base en R3?

RESPUESTA

No, por que S linealmente independiente.

UNICIDAD DE COORDENADAS

EJEMPLO 9

Determine las coordenadas y el vector de coordenadas de v= (4,0,-4) con respecto a la base B =

{(1,1,-1),(0,1,2),(-2,1,0) }de R3

SOLUCION

El hecho de que B sea de R3 se verifica en el ejemplo. Ahora se necesita escalares c1, c2 y c3 tales

que c1 ⌈11

−1⌉+c2[012]+c3[−2

10 ]=[ 4

0−4 ] al resolver el sistema correspondiente se obtienen c1= 2, c2= y

c3= -1. Por consiguiente [v] B=[ 2−1−1]

1.3 PROPIEDADES DE VECTORES, COMBINACIÓN LINEAL DEPENDENCIA E

UN SUBCONJUNTO B={ V1….V2} de V es una base de V si y solo si para cada vector v en v hay escalares únicos c1….ck tales que

V= C1V1+….+CKVK

INDEPENDENCIA LINEAL

Independencia lineal

Se dice que un conjunto de vectores v1,…,vn de un espacio vectorial V es linealmente dependiente si

hay escalares c1,…,cn, no todos cero, tales que

Se dice que v1,…,vn es linealmente independientes si no es

linealmente dependiente. En otras palabras, la ecuación (4.1) implica que c1=.. .=cn=0 .

Si S es cualquier subconjunto de V (posiblemente infinito), solo lo llamaremos linealmente

dependiente cuando contenga un subconjunto finito linealmente dependiente. En cualquier otro caso,

S es linealmente independiente

Ejemplos:

1.- El conjunto es linealmente dependiente en

2.- El conjunto { A ,B ,C }es linealmente dependiente en M n porque A=B+C

3.- Los conjuntos {1 ,cos2 x ,cos2 x } y {senx ,cos x , sen2 x }son linealmente dependientes en

F(R),porque

cos2 x=12

.1+ 12

cos 2xysen 2x=2 senxcos xpara toda x∈ R

4.- demuestre que el conjunto {E11 ,E12 , E21 ,E22 }es linealmente independiente en M22

SOLUCION sean

Por consiguiente, c1=c2=c3=c4=0

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

A continuación se definen las nociones de dependencia e independencia lineal. Estos conceptos

juegan un papel dentro de la teoría del algebra lineal y de las matemáticas en general.

DEFINICION: sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. se dice que los vectores v1 ,. .. , vm∈V

c1 v1+.. . ..+cn vn=0

{2−x+x2 ,2 x+x2 ,4−4 x+x2}P3 porque4−4 x+ x2=2 (2−x+x2)−(2 x+ x2 )

C=|0 −12 2

|B=|1 00 −2

|A=|1 −12 0

|

[c1 c2

c3 c 4]=[0 0

0 0 ]

c 1|1 00 0

|+c2 [0 10 0 ]+c3 [0 0

1 0 ]+c4 [0 00 1 ]=[0 0

0 0 ]

son linealmente dependientes sobre K, o simplemente dependientes, si existen escalares

a1 ,. . ., am∈K , no todos 0, tales que

a1v1+a2v2+.. . .am vm=0

En caso contrario se dice que los vectores son linealmente independientes sobre K, o simplemente

independientes.

Observemos que la relación (*) se verifica siempre si los a1 son todos 0. Si la relación solo se

verifica en este caso, es decir,

a1v1+a2v2+.. . .am vm=0 Implica

Los vectores serán linealmente independientes. Sin embargo, si (*) también es valida cuando uno de

los ai no es 0, los vectores serán linealmente dependientes.

Se dice que un conjunto {v1 , v2 , . .. . , vm } de vectores es linealmente dependiente o independiente

según lo sean los vectores v1 , v2 , .. .. , vm . Un conjunto infinito S de vectores es linealmente

dependientes si existen vectores u1 , . .. , uk en S que lo son; en caso contrario, S es linealmente

independiente.

Las siguientes observaciones derivan de las definiciones precedentes.

NOTA 1: Si 0 es uno de los vectores v1 ,. .. , vmdigamos v1=0 , los vectores deben ser linealmente

dependientes, ya que

Y el coeficiente de v1 es distinto de 0.

NOTA 2: cualquier vector no nulo v es por si solo linealmente independientes, debido a que

kv=0 , v≠0 Implica k=0

NOTA 3: si dos de los vectores v1 , v2 , .. .. , vm son iguales, o si uno es un múltiplo escalar de otro,

digamos v1=kv2 , los vectores son linealmente dependientes, puesto que

v1−kv2+0v3+.. ..+0vm=0

Y el coeficiente de v1 no es 0.

COMBINACIONES LINEALES Y DEPENDENCIA LINEAL

Las nociones de combinación lineal y dependencia lineal están estrechamente relacionadas. De

forma específica, demostraremos que los vectores v1 , v2 , .. .. , vm , cuando hay más de uno, son

linealmente dependientes si y solo si uno de ellos es la combinación lineal de los otros:

v i=a1v1+. . ..+a i−1v i−1+ai+1v i+1+. ..+am vmEntonces sumando –vi a ambos miembros, obtenemos

a1v1+. .. .+a i−1v i−1−vi+ai+1v i+1+. ..+am vm=0

Donde el coeficiente de vi no es 0; por consiguiente, los vectores son linealmente dependientes.

Recíprocamente, supongamos que los vectores son linealmente dependientes, digamos.

a1=0 , . .. ..am=0

1v1+0v2+. .. . .+0vm=1 .0+0+. .. .+0=0

En ese caso

v j=−b j−1b1v1−. .. ..−b j

−1 b j−1v j−1−b j−1b j+1 v j+1−. . ..−b j

−1bm vm

De modo que vj es una combinación lineal del resto de los vectores.

Establecemos ahora un resultado algo mas potente que el anterior (véase el problema 5.36 para su

demostración), que tiene numerosas consecuencias importantes.

1.4 BASES Y DIMENSION

Comenzando estableciendo dos caminos equivalentes para definir una base de un espacio vectorial

V.

Definición A: si un conjunto S= u1, u2 …un de vectores es una base de V si se verificaran las dos

condiciones:

1.- u1, u2 …un son linealmente independientes

2.- u1, u2 …un generan V

Definición B:

Un con junto S= u1, u2 …un de dos vectores es una base de V si todo vector vV puede escribirse

de forma única como combinación lineal de sus vectores.

Se dice que un espacio vectorial es de dimensión finita n o que es n-dimensional, escrito

Dim V=n

Si V tiene una base como la anterior, con n elementos. La dimensión esta bien definida, a la vista del

siguiente teorema.

Teorema 1.-

Sea un vector espacio vectorial de dimensiones finito. Entonces todas la bases de V tienen el mismo

número de elementos.

El espacio vectorial 0 tiene dimensiones 0, por definición. Cuando un espacio vectorial no es de

dimensión finita, se dice que es de dimensión infinita.

b1v1+. .. .+b j v j+. . ..+bm vm=0dondeb j≠0

Ejemplo:

a) consideremos el espacio vectorial M2,3 de todas las matrices 2x3 sobre un cuerpo K. las seis

matrices siguientes forman una base M2,3:

Con mayor generalidad en el espacio vectorial M r,s de las matrices r x sse E i,j la matriz cuya

entrada ij es 1, siendo 0 las restantes. Todas la matrices E ij tales constituyen una base Mr,s

denominada su base usual. Consecuentemente , dim Mr,s.. en particular e1= (1, 0, ...,0), …en =(0,

0, …,0, 1) forma la base usual de Kn

b) considérenos el espacio vectorial Pn (t) de los polinomios de grado n. lo polinomios 1t, t2,

….tn, forman una base de Pn (t) y por lo tanto dim Pn (t) = n +1.

El teorema fundamental anterior sobre dimensión es una consecuencia del importante “lema de

sustitución”

Lema: supongamos que v1, v2 ,…vnque genera V y que w1, w2 …wm es linealmente

independiente. En ese caso, mn y V esta generado por un conjunto de la forma

w1, w2 …wm, v1, v2 ,…vn-,m

Asi, en particular, n+1 o mas vectores en V son linealmente dependientes.

Observemos, en el lema precedente, que hemos sustituido m vectores de conjunto generador por los

m vectores independientes y aun conservamos un conjunto generador.

Los teoremas enunciados a continuación se utilizaran con frecuencia:

Teorema 2.- supongamos que S genera un espacio vectorial V

i) cualquier numero máximo de vectores linealmente independiente s en S es una base de V

ii) si se suprime de S todo vector que sea combinación lineal de los precendentes, los vectores

que quedan constituyen una base de V

Teorema 3.- sean V un espacio vectorial de dimensión finita y S= u1, u2 …un un conjunto de

vectores linealmente independientes en V. En ese caso, S es parte de una base de V, es decir

exteb¡nderse a una base de V

Ejemplo:

a) consideremos en R4 los cuatro vectores

(1,1,1,1) (0,1,1,1) (0,0,1,1) (0,0,0,1)

Notese que los vectores formaran una matriz escalonada, por lo que son linealmente

independientes.

Más aún, dado que dim R4 = 4, los vectores constituyen una base de R4

b) consideremos los n +1 polinomios en Pn (t):

1, t-1, (t-1)2…(t-1)n

El grado de (t-1)k es K, luego ningún polinomio puede ser combinación lineal de los precedentes.

Además, constituyen una base de Pn (t) por que dim Pn (t)= n+1.

El siguiente teorema nos da la relación básica entre la dimensión de un espacio vectorial y la de

un subespacio.

Teorema 4.- sea W un subespacio de un espacio n-dimensional V. entonces dim Wn. si en

particular, dim W= n, necesariamente W=V

Ejemplo:

Sea W un subespacio de espacio vectorial real R3 =3; por consiguiente, según el teorema 4, la

dimensión de W solo puede ser 0, 1,2 ó 3. Podemos distinguir los casos:

i) dim W=0, con lo que W=0, un punto

ii) dim W=1, con lo que W es una recta por el origen

iii)dim W = 2, con lo que W es un plano por el origen.

iv)Dim W= 3 con lo que W es un espacio R3 entero .

1.5 ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES

Sea V un espacio vectorial real. Supongamos que a cada par de vectores u, uЄ V se le asigna un

numero real, denotado por<u,v>.esta función se llama producto interno(real) en V si satisface las

axiomas:

[I1](Propiedad lineal)<au1+bu2,u>=a<u1,u>+b<u2,u>.

[I2] propiedad simétrica ⟨u , v ⟩=

⟨u ,u ⟩ .

[I3] propiedad definida positiva⟨u ,u ⟩≥0 ; y ⟨u ,u ⟩=0si y solo si u= 0

El espacio vectorial V se denomina entonces espacio (real) con producto interno.

El axioma [I1] es equivalente a las dos condiciones:

a )⟨u1+u2 ,u ⟩=⟨u1 ,u ⟩+⟨u2 ,u ⟩ y b )⟨ku ,u ⟩=k ⟨u ,w ⟩Usando [I1] y el axioma de simetría [I2] llegamos a

⟨u , cv1+v2 ⟩=⟨cv 1+du2 , u⟩=c ⟨u1 ,u ⟩+d ⟨u2 , u⟩=c ⟨u ,u1⟩+d ⟨u ,u2⟩ O equivalentemente,

alas dos condiciones

a )⟨u , v 1+v 2⟩=⟨u , v1 ⟩+⟨u , v 2⟩ y b )⟨u , kv ⟩=k ⟨u , v ⟩Esto es, la función producto interno es también lineal en su segunda posición (variable) por

inducción tendremos

⟨a1u1+. ..+arur , v ⟩=a1 ⟨u1 , v ⟩+a2 ⟨u2 , v ⟩+ .. .+ar ⟨ur , v ⟩ y

⟨u ,b1 v1+b2v 2+. ..+bsvs⟩=b1 ⟨u , v1 ⟩+b2 ⟨u ,v2⟩+. ..+bs ⟨u , vs ⟩Combinar estas propiedades nos conducen a la formula general escrita a continuación:

⟨∑i=1

r

aiui ,∑j=1

s

bjvj ⟩=∑i=1

r

∑j=1

s

aibj ⟨ui , vj⟩

Podemos hacer, por orden las siguientes observaciones:

Nota 1: el axioma [I1] por si mismo implica ⟨0,0⟩=⟨0v ,0⟩=0 ⟨v ,0⟩=0En consecuencia, [I1],[I2],e[I3] son equivalentes a [I1],[I2] y el axioma :

[I´3] si u ≠ 0, necesariamente ⟨u ,u ⟩>0

O sea una función que satisface [I1],[I2],e[I3] es un producto interno.

Nota 2: de acuerdo con [I3],⟨u ,u ⟩es no negativo y por lo tanto existe una raíz cuadrada real

positiva .utilizamos la notación ‖u‖=√⟨u ,u ⟩ el numero real no negativo ‖u‖ se determina la

normal o longitud de u. Esta función satisface los axiomas de una norma para un espacio vectorial.

1.6 CAMBIO DE BASE ORTONORMAL, PROCESO DE ORTONORMALIZACION GRAM-

SCHMIDT

CAMBIO DE BASE

Sea v un vector en el espacio vectorial V de dimensiones finitas, y sean

B= {v1 , .. . , vn } yB,= {v1, , . .. . , vn

, } dos bases. A continuación definiremos una relación entre

[v ]B y [v ]B,

.

Como B, es una base, los elementos de B son combinaciones lineales de los elementos de B,

Entonces hay escalares a11 , a12 , . .. , ann

tales que

v i=a1iv1,+ .. .+anivn

, i=1,2 , .. .. . , n

P es la matriz cuyo elemento (i,j) es aij

Sean B= {v1 , .. . , vn } yB,= {v1, , . .. . , vn

, }dos bases de un espacio vectorial de dimensión finita. Sea P

P=[ [ v1 ]B, [v2 ]B,. . .. [vn ]B, ]

la matriz n x n cuyas columnas son [ v1]

B, ,. . . . ,[vn ]

B,

Entonces P es invertible y esta es la única matriz en la que para todo v∈V ,

PROCESO DE ORTONORMALIZACION GRAM-SCHMIDT

En este párrafo describiremos un método muy importante, llamado proceso de Gram-Schmidt, que

nos permite “ortogonalizar” cualquier base B de cualquier subespacio V de R; es decir, transformar a

esta en una nueva base de V que tenga vectores ortogonales.

Sea V cualquier subespacio de R” y B= {v1 , .. . ., vk }cualquier base de V.se desea reemplazar en

forma en forma gradual a los vectores v1 ,. .. . . , vkpor los vectores u1 , . .. .. . ,uk que sean ortogonales y

que sigan formando una base V. primero, reemplazamos el conjunto {v1 , v2 }por un conjunto

ortogonal {u1 ,u2} tal que Gen {v1 , v2 }=Gen {u1 ,u2} . Tan solo hacemos que u1 sea v1, y que u2,

sea el componente de v2 ortogonal a v1. Según la ecuación (8.15), {u1 ,u2}es ortogonal. Según la

ecuación (8.13), {v1 , v2 } y{u1 ,u2} tienen el mismo generador. También

u1=v1

u2=v2−v2 .u1

u1 .u1

u1

Continuamos de la misma manera, para ortogonalizar el conjunto {u1 ,u2 , v3 }. Sustituimos v3 por

u3, el componente de v2 ortogonal a Gen {u1 ,u2} . Entonces {u1 ,u2 ,u3}es ortogonal y genera a

Gen {v1 , v2 , v3 }además

u3=v3−v3 .u1

u1.u1

u1−v3 .u2

u2 .u2

u2

Por inducción continuamos hasta que todo B queda reemplazado con {u1 ,. . .. . ,uk } , que es ortogonal

y genera al generador de B, cuya totalidad se encuentra en V. es el proceso

Teorema 16 proceso de Gram-Schmidt

Todo subespacio V de Rn tiene al menos una base ortogonal y una base ortonormal. Si

B= {v1 , .. . .. , vk } es cualquier base de V, entonces B,={u1 ,. . .. . ,uk } , es una base ortogonal, donde

[v ]B,=P [v ]B

u1=v1

u2=v2−v2 .u1

u1 .u1

u1

u3=v3−v3 .u1

u1 .u1

u1−v3 .u2

u2 .u2

u2

.

.

.

uk=vk−vk .u1

u1 .u1

u1−vk .u2

u2 .u2

u2 . . ..−vk .uk−1

uk−1 .uk−1

uk−1

yGen {v1 , . .. .. . ., vi }=Gen {u1 , . .. .. . ., ui } ,i=1 , .. . .. . , k

Una base ortonormal B” se obtiene normalizando B’:

B= left lbrace { {u rSub { size 8{1} } } over { ldline u rSub { size 8{1} } rdline } } , . . . . . . . , { {u rSub { size 8{k} } } over { ldline u rSub { size 8{k} } rdline } } right rbrace } {¿Ejercicio

Determine una base ortonormal y una ortonormal de R3 aplicando el proceso de Gram-Schmidt a la

base B= {v1 , v2 , v3} , en el cual

v1=[ 1−1

1 ] , v2=[−23

−1 ] , v3=[ 12

−4 ]

Solución: sea u1=v1. Como en ese caso

u2=v2−v2 .u1

u1 .u1

u1

¿ [−23−1 ]−−6

3 [1−11 ]=[011 ]

Ya que v3 .u1=−5 , v3 .u2=−2 yu2 .u2=2 entonces

u3=v3−v3 .u1

u1.u1

u1−v3 .u2

u2 .u2

u2

=[ 12

−4 ]−−53 [ 1

−11 ]−−2

2 [011 ]=[8343

−43]

Así la base ortogonal es

v2.u1=−6 yu1 .u1=3

B,={u1 ,u2 , u3} , donde

u1=[ 1−1

1 ] , u2=[011 ] ,u3=[8343

−43]

Por ultimo, normalizamos para obtener una base ortonormal B”:

B= left lbrace matrix { { {1} over { sqrt {3} } } {} ## - { {1} over { sqrt {3} } } {} ## { {1} over { sqrt {3} } } } , matrix {0 {} ## { {1} over { sqrt {2} } } {} ## { {1} over {2} } } , matrix { { {2} over { sqrt {6} } } {} ## - { {1} over { sqrt {6} } } {} ## - { {1} over { sqrt {6} } } } right rbrace } { ¿El teorema del proceso de Gram-Schmidt asegura que existen bases ortogonales.

EJERCICIOS

1.- Hallar el simétrico del punto A(3, - 2) respecto de M(- 2, 5).

2.- Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro G(2/3, 0), calcular el tercer vértice.

3.- Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera

que se obtenga

4.- Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1),

C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

5.- Si { , } forma una base ortonormal, calcular:

1 · = 1 · 1 · cos 0° = 1

2 · = 1 · 1 · cos 90° = 0

3 · = 1 · 1 · cos 90° = 0

4 · = 1 · 1 · cos 0° = 1

6.- Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los vectores y sean:

1 Perpendiculares.

2 Paralelos.

3 Formen un ángulo de 60°.

7.- suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los vectores tienen como expresiones:

Calcular el valor de k sabiendo que .

8.- Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los vectores tienen como expresiones:

Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales.

9.- Calcula la proyección del vector sobre el vector .

10.- Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector .

11.- i M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?

x1 = 7 x5 = 7 x3 = −1

y1 = 4 y5 = 0 y3 = 3

A(7, 4)B(5, 0) C(−1, 2)

12.- Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).

Si O es el centro de la circunferencia las distancias de O a A, B, C y D deben ser iguales

13.- Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).

Si:

14.- Normalizar los siguientes vectores: = (1, ), = (-4, 3) y = (8. -8).

15.- Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale:

1 90°

2 0°

3 45°

16.- Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

17.- Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del trián-gulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.

18.- Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

19.- Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta

base el vector = (−1. −1).

(−1. −1) = a (1, 4) + b (1, 3)

−1 = a +b a = −1 −b a= 2

−1 = 4a +3b −1 = 4( −1 −b) +3b b = −3

= 2 − 3

20.- Calcular el valor de a para que los vectores = 3 + 4 y = a − 2 formen un án-gulo de 45°.

21.- Determine las coordenadas y el vector de coordenadas de v= (4,0,-4) con respecto a la base B

= {(1,1,-1),(0,1,2),(-2,1,0) }de R3

SOLUCION

El hecho de que B sea de R3 se verifica en el ejemplo. Ahora se necesita escalares c1, c2 y c3 tales

que c1 ⌈11

−1⌉+c2[012]+c3[−2

10 ]=[ 4

0−4 ] al resolver el sistema correspondiente se obtienen c1= 2, c2= y

c3= -1. Por consiguiente [v] B=[ 2−1−1]

22.- ¿Es el subconjunto T= {(1,1,1),(2,1,-1),(1,0,-2) } una base de R3

RESPUESTAS

No, puesto que [ 1 2 11 1 01 −1 −2

] ~ [ 1 2 11 −1 −10 0 0

] T no es linealmente independiente (3 columnas

y solo 2 pivotes). En realidad T ni siquiera genera a R3 (3 renglones, solo 2 pivotes)

23.-¿ Es el conjunto S= {(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1),(1,1,1) } una base en R3?

RESPUESTA

No, por que S linealmente independiente.

24.- compruebe que

B= {[ 11

−1] ,[012] ,[−210 ]}

Es una base de R3

SOLUCION primero es necesario demostrar que B es linealmente independiente que genera R3. Sea

A la matriz cuyas columnas son los vectores de B como

A=1 0 −21 1 1

−1 2 0 ~

1 0 −20 1 30 0 −8

Vemos que cada columna de A es una columna pivote; y por tanto, las columnas de A son

linealmente. También cada reglón de A tiene una posición pivote. Por consiguiente, las columnas de

A genera R3 de acuerdo con los teoremas anteriores.

25.- ¿ es el conjunto S={(1,0,0),(0,1,0)} ¿ Es S una base del subespacio V= {(x,y,,0),x,y Є R} de R3

RESPUESTA

S es linealmente independiente, por que todas las columnas de A =[101010 ] son pivote. S no es una

base de R3 por que A tiene 3 renglones y solo 2 pivotes, de modo que S no genera a R3. Por otra

parte, S genera al menor espacio V por que

(X, Y, 0)=X (1, 0,0)+Y (0, 1,0)

26.- ¿Es el conjunto un espacio de R3?

V= {[a−3b2+ba ], a, b Є R}

RESPUESTA:

Si por que [a−3b2+ba ]= a[121]+ b[−3

10 ]

Vemos que V = gen {[121],[−310 ]} por consiguiente, V es un subespacio de R3, según el teorema 1

27. {0} Y Rn. ¿son subespacio de Rn

Solucion: {0} es un subespacio de Rn por que

0+0=0 y c0=o para toda c Є R

Rn Es un subespacio de Rn por que la suma de los vectores n cualesquiera es un vector n, y cualquier

múltiplo escalar de un vector n es nuevo vector de n.

{0} también se llama subespacio cero de Rn. {0} y Rn. son subespacios triviales de Rn.

28.- V= {[X 1Y 10 ], X, Y Є R}¿Es un subespacio de R3. ?

Solucion : v es un vector por que contiene al vector cero (suponiendo que x=y=0).

La suma de dos vectores en V.

[X 1Y 10 ]+[X 2

Y 20 ]=[X 1

Y 20

+x2y 20 ]

También esta en V. así se aplica la parte 1 de la definición. Cualquier múltiplo escalar de un vector

en V.

c[ xy0 ]=[cxcy0 ]También V. entonces se aplica la parte 2 de la definición. Por consiguiente, es un subespacio de R3.

29.-V= {(x, y, x+y), x, y Є R} es un subespacio de R3.

Solucion:

V es un no vacio (¿Por qué? Sean V1= (x1, y1, x1+y1) y V2= (x2, y2, x2+y2) cualesquiera elemento

de V y sea cualquier escalar entonces

(X1, y1, x1+y1)+(X2, y2, x2+y2)=(x1+x2, y1+y2, (x1+x2)+(y1+y2)

C(x1, y1, x1+y1)= (cx1, cy1, (cx1) + (cy1)

Por consiguiente, V1+V2, cV1 Є V. entonces, V es un subespacio de R3.

30.- Determine una base ortonormal y una ortonormal de R3 aplicando el proceso de Gram-Schmidt a

la base B= {v1 , v2 , v3} , en el cual

v1=[ 1−1

1 ] , v2=[−23

−1 ] , v3=[ 12

−4 ]

Solución: sea u1=v1. Como en ese caso

u2=v2−v2 .u1

u1 .u1

u1

¿ [−23−1 ]−−6

3 [1−11 ]=[011 ]

Ya que v3 .u1=−5 , v3 .u2=−2 yu2 .u2=2 entonces

u3=v3−v3 .u1

u1.u1

u1−v3 .u2

u2 .u2

u2

v2.u1=−6 yu1 .u1=3

=[ 12

−4 ]−−53 [ 1

−11 ]−−2

2 [011 ]=[8343

−43]

Así la base ortogonal es

u1=[ 1−1

1 ] , u2=[011 ] ,u3=[8343

−43]

Por ultimo, normalizamos para obtener una base ortonormal B”:

B= left lbrace matrix { { {1} over { sqrt {3} } } {} ## - { {1} over { sqrt {3} } } {} ## { {1} over { sqrt {3} } } } , matrix {0 {} ## { {1} over { sqrt {2} } } {} ## { {1} over {2} } } , matrix { { {2} over { sqrt {6} } } {} ## - { {1} over { sqrt {6} } } {} ## - { {1} over { sqrt {6} } } } right rbrace } { ¿El teorema del proceso de Gram-Schmidt asegura que existen bases ortogonales

CONCLUSIÓN

Este trabajo se ha hecho con el fin de comprender de que no hay que dejar tirado lo que hemos

aprendido antes ya que eso nos va a ayudar a solucionar problemas en nuestro futuro, citando el di -

cho popular si no aprendemos de nuestros errores del pasado los mismo nos estarán esperando en

un futuro.

Se han visto mas detallado y con mas exactitud los teoremas y propiedades que hilan todos los te-

mas propuestos por este trabajo y se ha se ha llegado a la conclusión de todos los temas están rela -

cionados en cierta forma ya que en varios de estos se necesita recurrir a las propiedades que se han

visto en temas anteriores.

Con esto podríamos decir que nos ha enseñado a tener un amplio criterio de la utilidad de temas ya

vistos en nuestra carrera, ya que no podemos omitir las enseñanzas pasadas ya que estas nos for-

man las bases para comprender y analizar y poder poner en practica los temas futuros.

El espacio vectorial V involucra un cuerpo arbitrario K. Sea V un espacio vectorial real.

Supongamos que a cada par de vectores u, uЄ V se le asigna un numero.

En el tema de los espacios vectoriales nos damos cuenta de que nos son muy útiles los métodos

que este utiliza ya que nos ofrece ventajas como el ahorro de tiempo y esfuerzo a la hora de

B,={u1 ,u2 , u3} , donde

aplicarlos tanto en nuestro campo de trabajo como en otras situaciones que requieran de estos

métodos.

BIBLIOGRAFIA

-GEORGE NAKOS, ET AL, ALGEBRA LINEAL CON APLICACIONES

EDICION 1, EDITORIAL THOMSON.2007, PAG.226- 235

-http://www.vitutor.com