Sea (, T) donde Tx = {A ; x A y - A es finito}. Entonces T es una estructura topolgica sobre , llamadaestructura topolgica cofinitaque es T1 pero no T2.1 Cualquier espacio T1 finito es un espacio topolgico discreto.2 Sea X = {a, b, c} y la topologa que consiste de los siguientes subconjuntos de X: , {b}, {a, b}, {b, c}, X este espacio topolgico no es T1. Pues {b} no es cerrado

Topologa cofinitaEntopologa, latopologa cofinitaes latopologaque se puede definir sobre todo conjunto X as: losconjuntos abiertosson elvacoy los subconjuntos de X cuyocomplementarioes finito.Formalmente, sirepresenta la topologa sobre,.Propiedades[editar] Sies finito, la topologa cofinita coincide con ladiscreta. Latopologa inducidasobre un subconjunto Y de X es la topologa cofinita sobre Y. Un espacio con la topologa cofinita escuasicompacto, pero slo es separado si el espacio es finito. ESPACIO TOPOLOGICO T0Unespacio topolgicose dice que esoespacio de Kolmogrov(o que cumple la propiedad de separacin de Kolmogrov) si dados dos puntos distintos cualesquieraedel espacio, o bien existe un entornodede forma queo bien existe unentornodede forma que.Existen varias caracterizaciones de la propiedad de separacin de Kolmogrov: Dados dos puntos distintos cualesquieraedel espacio, laclausuradees distinta de la clausura de. Dado cualquier puntodel espacio, laacumulacindees unin deconjuntos cerrados. La propiedad de separacin de Kolmogrov eshereditaria, lo cual quiere decir que todo subespacio topolgico de un espacio de Kolmogrov es un espacio de Kolmogrov. Todoespacio mtricoes un espacio de Kolmogrov, no as lospseudomtricos. De hecho, un espacio pseudomtrico es mtrico si y slo si es un espacio de Kolmogrov.Espacio T1Unespacio topolgicoE es T1si para cada pareja de elementos distintosxeyde E existe unabiertoque contiene axy no ayy un abierto que contiene ayy no ax. Notar que no es necesario que estos dos abiertos sean disjuntos (si esto ocurriera para todo x e y, sera unespacio de Hausdorffo T2).Sea E un espacio topolgico. Son equivalentes: E es un espacio T1. E es unespacio T0y unespacio R0. Para cadaxde E, {x} escerrado. Todo conjunto de un nico punto es la interseccin de susentornos. Todo subconjunto de E es la interseccin de sus entornos. Todo suconjunto finito de E es cerrado. Todosubconjunto cofinitode E es abierto. Elultrafiltroprincipal dexconverge solamente ax. Para cada puntoxde E y todo subcojunto S de E, x es unpunto lmitede S si y slo s es unpunto de acumulacinde S.

Un espacio topolgico es T1 si slo si cada punto es un conjunto cerrado.3

Entopologa, unespacio de Hausdorff,separadooes unespacio topolgicoen el que puntos distintos tienenentornosdisjuntos.Los espacios de Hausdorff se llaman as en honor deFelix Hausdorff, uno de los fundadores de la topologa. La definicin original de Hausdorff de un espacio topolgico (de 1914) inclua la propiedad de Hausdorff como axioma.Todoespacio mtrico(y por lo tanto todoespacio normado) es un espacio de Hausdorff.Se dice que dos puntosede unespacio topolgicocumplen lapropiedad de Hausdorffsi existen dosentornosdeydetales que.Se dice que un espacio topolgico es unespacio de Hausdorff(o que verifica la propiedad de Hausdorff, o que es separado o que es) si todo par de puntos distintos del espacio verifican la propiedad de Hausdorff.(Obsrvese que six=y,xeyno verifican la propiedad de Hausdorff.)

Todo espacio de Hausdorff es tambin de Frchet oT1, y por lo tanto tambin es unespacio T Dy tambin unespacio de Kolmogrovo. As pues, por ser, todoconjunto unitarioes cerrado (para todo punto el conjunto formado por slo ese punto {p} es unconjunto cerrado).Espacio regularUnespacio topolgicoXesregularcuando: dados un cerradoFde la topologa y un puntoxque no pertenece aF, existen un entornoUdexy un entornoVdeFque no se cortan,.En general a un espacio topolgico regular yse les denomina, en ocasiones esta es la definicin que se da de espacio regular.Es claro que siXes unespacio T1y regular entonces esde Hausdorff(ya que en los espacios T1 los puntos son conjuntos cerrados). Sin embargo, hay ejemplos de espacios Hausdorff no regulares. Para el caso deespacios compactos, ser Hausdorff y ser regular son propiedades equivalentes.Una caracterizacin de los espaciosest dada por la siguiente proposicin: un espacioXessi y solo si para todoyUentorno dezexiste un entornoVdeztal que.

Espacioso normalesUn espacio topolgico X es normal si esy para cada par de cerradoscon interseccin vaca existen unos entornos que los contenganytal que su interseccin sea vaca. Es decir, podemos separar todos los cerrados del espacio. En particular los espacios mtricos son normales.