Espacios Metricos

El concepto de ‖ ‖ (norma) nos da una nocion de distancia, el tener una nocion de distancia en

R o mas generalmente en Rn, es lo que nos permite hablar de limite o de convergencia.

Consideremos la nocion comun de distancia entre dos puntos en R3.

Si x = (x1, x2, x3) y = (y1, y2, y3)

‖x− y‖ =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2

Esta distancia la denominamos metrica euclidiana y la generalizamos en Rn en la siguiente

definicion.

Definicion: Sean x = (x1, . . . , xn) y y = (y1, . . . , yn) elementos cualesquiera de Rn definimos la

distancia euclidiana entre ellos como

d(x, y) = ‖x− y‖ =√

(x1 − y1)2 + . . . + (xn − yn)2

La funcion d : Rn × Rn → R se denomina distancia o metrica euclidiana.

Proposicion: Para cualequiera vectores x, y, z ε Rn se tiene:

i. d(x, y) ≥ 0

ii. d(x, y) = d(y, x)

iii. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

iv. d(x, y) = 0 ⇒ x = y

Demostracion :

1. Como d(x, y) = ‖x − y‖ ≥ 0 entonces d(x, y) ≥ 0 tambien si d(x, y) = 0 ⇒

‖x− y‖ = 0 ⇒ x = y

2. d(x, y) = ‖x− y‖ = ‖x− y‖ = ‖y − x‖ = d(y, x)

1

3. d(x, y) = ‖x− y‖ = ‖x− z + z − y‖ ≤ ‖x− z‖+ ‖z − y‖ = d(x, z) + d(z, y)

Metrica discreta.- Demostrar que la metrica definida por d(a, b) =

0 a = b

1 a 6= bsatisface los

axiomas de metrica

Demostracion :

1. Sean a, b ε Rn entonces d(a, b) = 1 o d(a, b) = 0 ∴ d(a, b) ≥ 0

2. Sean a, b ε Rn Si a 6= b d(a, b) = 1 y si b 6= a d(b, a) = 1 ∴ d(a, b) = 1 =

d(b, a)

Ahora bien si a = b entonces d(a, b) = 0 =∗

d(b, a)

* Si a = b entonces b = a por lo tanto d(b, a) = 0

3. Sean a, b, c ε Rn a 6= b 6= c

d(a, b) = 1, d(b, c) = 1 y

d(a, b) = 1

∴ d(a, c) = 1 ≤ 1 + 1 = d(a, b) + d(b, c)

Metrica C[a, b].- Sea C[a, b] el conjunto de las funciones reales contunias en el intervalo cerrado

[a, b]. Sean f, g ε C[a, b] definimos

d(f, g) = maxx ε [a,b]

{|f(x)− g(x)|}

demostrar que d es una metrica.

Demostracion :

1. Como |f(x)− g(x)| ≥ 0 para todo x ε [a, b] entonces max{|f(x)− g(x)|} ≥ 0

por lo tanto d(f, g) ≥ 0

2. d(f, g) = 0

⇒ maxx ε [a,b]

{|f(x)− g(x)|} = 0

⇒ |f(x)− g(x)| = 0

⇒ f(x) = g(x) ∀x ε [a, b]

2

3. d(f, g) = maxx ε [a,b]

{|f(x)− g(x)|} =∗

maxx ε [a,b]

{|g(x)− g(x)|} = d(g, f)

* |f(x)− g(x)| = |g(x)− f(x)| ∀x

4. d(f, g) = maxx ε [a,b]

{|f(x)− g(x)|}

maxx ε [a,b]

{|f(x)− g(x)|} = maxx ε [a,b]

{|f(x)− h(x) + h(x)− g(x)|}

≤ maxx ε [a,b]

{|f(x)− h(x)|+ |h(x)− g(x)|}

≤ maxx ε [a,b]

{|f(x)− h(x)|}+ maxx ε [a,b]

{|h(x)− g(x)|}

∴ d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g)

Probar que en el espacio de sucesiones {an} de numeros reales tales que∞∑1

|an| < ∞.

La aplicacion d(xn, yn) =∞∑1

|xn − yn| es una distancia.

Prueba :

1. Como |xn − yn| ≥ 0 ∀n ε N entonces∞∑1

|xn − yn| ≥ 0

por lo tanto d(xn, yn) ≥ 0

2. d(xn, yn) = 0

⇒∞∑1

|xn − yn| = 0

⇒ |xn − yn| = 0 ∀n ε N

⇒ xn − yn = 0 ∀n ε N

⇒ xn = yn

3. d(xn, yn) =∞∑1

|xn − zn|

∞∑1

|xn − zn| ≤∞∑1

|xn − yn|+ |yn − zn|

=∞∑1

|xn − yn|+∞∑1

|yn − zn|

= d(xn, yn) + d(yn, zn)

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Ejercicio: Sea d una metrica de un conjunto no vacio X. Demostrar que la funcion e definida

por e(a, b) = mın(1, d(a, b)) donde a, b ε X tambien es una metrica de X.

Solucion :

1. Sean a, b ε X. Puesto que d es una metrica d(a, b) ≥ 0 entonces e(a, b) = 1

o e(a, b) = d(a, b) ≥ 0, en cualquier caso e(a, b) ≥ 0

2. Si a = b entonces e(a, b) = mın(1, d(a, b)) = mın(1, 0) = 0

3. Sea a, b ε X. Por definicion e(a, b) = d(a, b) o e(a, b) = 1

Supongamos e(a, b) = d(a, b)) entonces d(a, b) < 1.

Puesto que d(a, b) es una metrica d(a, b) = d(b, a) < 1. En consecuencia e(b, a) =

d(a, b) = e(a, b), por otro lado supongase que e(a, b) = 1, entonces d(a, b) ≥ 1

∴ d(b, a) ≥ 1

por lo tanto e(a, b) = 1 = e(b, a)

Sean ahora a, b, c ε X. Demostremos la desigualdad triangular. Por demostrar e(a, c) ≤

e(a, b) + e(b, c)

Observese que e(a, c) = mın{1, d(a, c)} ≤ 1 de donde e(a, b) = 1 o e(b, c) = 1

∴ e(a, c) ≤ e(a, b) + e(b, c) pero puede ocurrir e(a, b) < 1 y e(b, c) < 1

∴ e(a, b) = d(a, b) e(b, c) = d(b, c)

por lo tanto e(a, c) = mın(1, d(a, c)) ≤ d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c) = e(a, b) + e(b, c).

Sea d(f, g) =

∫ 1

0

|f(x)− g(x)| ¿Es d una metrica?

Solucion: No, ya que si consideramos f(x) = 0 ∀x, g(x) =

0 0 ≤ x ≤ 1

1 x = 1entonces

‖f(x)− g(x)‖ = 0 pero f 6= g

∴ d no es una metrica.

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III

TAREA 5

Profa. Ana Belem Zavaleta Ramos, Profa. Pamela Villamil Sapien, Prof. Esteban Ruben Hurtado Cruz

1.- Demostrar la formula para calcular la torsion de una funcion vectorial f(t)

τ =[f ′(t)xf ′′(t)] · f ′′′(t)‖f ′(t)xf ′′(t)‖2

2.- Si f(s) es la reparametrizacion por longitud de arco de una funcion f(t), demostar que

τ =[f ′(t)xf ′′(t)] · f ′′′(t)‖f ′(t)xf ′′(t)‖2

3.- Calcular la torsion de la helice f(t) =

(1√2(cos(t) sin(t), t)

)4.- Mostar que si una trayectoria esta en un plano, entonces su torsion es cero.

5.- Demostrar la desigualdad de Minkowski: Dados un par de puntos cualesquiera p = (a1, . . . , an)

y q = (b1, . . . , bn) de Rn, ‖p+ q‖ ≤ ‖p‖+‖q‖ es decir√∑

|ai + bi|2 ≤√∑

|ai|2 +√∑

|bi|2

(Sugerencia: Desarrolle ‖p + q‖2 y use la desigualdad de Schwarz demostrada en clase)

6.- Demostar la desigualdad de Minkowski para sumas infinitas: Si {an}, {bn} son sucesiones

tales que∞∑1

|an| < ∞,∞∑1

|bn| < ∞, entonces ‖an+bn‖ ≤ ‖an‖+‖bn‖ es decir

√√√√ ∞∑1

|an + bn|2 ≤√√√√ ∞∑1

|an|2 +

√√√√ ∞∑1

|bn|2

7.- Sea d una metrica de un conjunto no vacio X. Demostrar que la funcion e definida por

e(a, b) =d(a, b)

1 + d(a, b), donde a, b ∈ X, es una metrica de X.

fecha de entrega 22 de marzo.

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