Producto Producto Interno y sus Interno y sus propiedadespropiedades

Producto Interno

En matemáticas el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto, es una operación definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado es una magnitud escalar.

Propiedades(u•u)>0

u = 4i + 6j

( 4i + 6j )•( 4i + 6j ) > 0

si: u Є V

u u

(4)(4) + (6)(6) > 0i j

16 + 36 > 0

52 > 0

(u)(v+w)=(u•v)+(u•w)

u = 4i + 6j

{u,v,w Є V}

v = 3i - 7j w = i + j

(4i + 6j)•[(3i - 7j)+(i + j)]=[(4i + 6j)•(3i - 7j)]+[(4i + 6j)• (i + j)]

(4i + 6j)•[3i - 7j+i + j]=[(4i + 6j)•(3i - 7j)]+[(4i + 6j)• (i + j)]

(4i + 6j)•[4i - 6j]=[(4i + 6j)•(3i - 7j)]+[(4i + 6j)• (i + j)]

(4)(4)+(6)(-6)=[(4)(3) + (6)(-7)]+[(4)(1) + (6)(1)]

16 + (-36)=[12 + (-42)]+[4 + 6]

-20 = -30 + 10

-20 = -20

i j i ij j

u = 4i + 6j v = 3i - 7j w = i + j

i

j

i

j

-j -j

(u)(v+w) (u•v)+(u•w)

(u+v)(w)=(u•w)+(v•w)

u = 4i + 6j

{u,v,w Є V}

v = 3i - 7j w = i + j

[(4i + 6j)+(3i - 7j)]•(i + j)=[(4i + 6j)•(i + j)]+[(3i - 7j)•(i + j)]

(7)(1)+(-1)(1)=10 + (-4)

7 + (-1)=10 - 4

7-1 = 6

6 = 6

[4i + 6j+3i - 7j]•(i + j)=[(4)(1) + (6)(1)]+[(3)(1) + (-7)(1)]

[7i – j]•(i + j)=[4 + 6]+[3 + (-7)]

i j

i ij j

u = 4i + 6j v = 3i - 7j w = i + j

i

j

-j

i

j

-j

(u+v)(w) (u•w)+(v•w)

(u•v)=(v•u)

u = 4i + 6j

{u,v Є V}

v = 3i - 7j

(4i + 6j)•(3i - 7j) = (4i + 6j)•(3i - 7j)

(4i + 6j)•(3i - 7j) = (4i - 6j)•(3i + 7j)

(4)(3) + (6)(-7) =(4)(3) + (-6)(7)

12 + (-42) = 12 + (-42)

-30 = -30

i j i j

12 - 42 = 12 - 42

u = 4i + 6j

v = 3i - 7ju = 4i - 6jv = 3i + 7j

i

j

-j

i

j

-j

cos θ = u • vu v|| || || ||

u = 4i + 6j

v = 3i - 7j

u•v = -30

u|| || = u•u

u|| ||= (4i + 6j)(4i + 6j)

u|| ||= (4)(4)+(6)(6)

u|| ||= 16+36

u|| ||= 52

v|| ||= (3i - 7j)(3i - 7j)v|| ||= (3)(3)+(-7)(-7)

v|| ||= 9+49

v|| || = 58

cos θ = -30 = -30

52 58 3016

θ = cos-1(-0.54)

θ = 123.11°

cos θ = -30 = -30

52 58 3016

θ = cos-1(-0.54)

θ = 123.11°

(u• αv)= α(u•v)

u = 4i + 6j

{u,v Є V}

v = 3i - 7j

(4i + 6j)•[(½)(3i - 7j)] = (½)[(4i + 6j)•(3i - 7j)]

(4i + 6j)•(3/2i – 7/2j) = (½)[(4i - 6j)•(3i + 7j)]

(4)(3/2) + (6)(-7/2) =(½)[(4)(3) + (-6)(7)]

12/6 + (-42/2) = (½)(12 + (-42))

-15 = -15

i j i j

6 - 21 = (½) (12 – 42)

α = 1/2

(u• v) = 0

u = 3i - 1j

{u,v Є V}

v = 2i + 6j

(3i - 1j)•(2i + 6j) = 0

(3)(2) + (-1)(6) = 0

6 + (-6) = 0

Resultado = 0ES UN VECTOR ORTOGONAL

i j

6 - 6 = 0

u|| ||= (3i - j)(3i – j)u|| ||= (3)(3)+(1)(1)

u|| ||= 9+1u|| ||= 10

v|| ||= 40

d = 10 + 40

d = 50

Teorema de Pitágoras