Espacio Con Producto Interno

UNIDAD II: ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO UPEL-IPB

SPACIO CONRODUCTO NTERNO

INTRODUCCIÓN

Muchas de las aplicaciones de las matemáticas están involucradas con el concepto de medición y por

tanto, con el de magnitud o tamaño relativo de diversas cantidades. Luego no es sorprendente que los

conjuntos o cuerpos de los números reales y los complejos que contienen una noción intrínsecamente de

distancia jueguen un papel especial. El material que se presenta a continuación consideramos que todos

nuestros espacios vectoriales se encuentran sobre el cuerpo .

Introducimos en las siguientes líneas la idea de distancia o longitud en los espacios vectoriales obteniendo una

estructura mucho más rica, la famosa estructura de espacio con producto interno.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Describir detalladamente los elementos teóricos inherentes a los espacios con producto interno.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Definir los espacios con producto interno como objetos matemáticos.

Desarrollar axiomáticamente el estudio de los espacios con producto interno.

Establecer algunos resultados en relación a la aplicación de propiedades y teoremas propios del

estudio de los espacios con producto interno.

ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO

DEFINICIÓN 1.1:

Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo con o . Un producto interno o

producto escalar sobre , es una función denotada por de en que satisface las siguientes

condiciones:

a.

b.

c. (conjugado)

d.OBSERVACIONES:

1 | P á g i n a


1. con el producto interno se llama espacio con producto interno, interior o escalar. Al número

real o complejo lo llamaremos producto interno o escalar de los vectores .

2. El producto interno , ya que según c) y esto sólo es cierto si es un

número real.

3. Las condiciones a) y b) son indicadores de la linealidad de la primera componente y por lo tanto lo

podemos resumir como sigue:

4. De la observación anterior se deduce que ¿por qué?

5. Si la condición c) quedaría de la siguiente forma .

6. Un espacio vectorial real con un producto interno se llama también Espacio Euclidiano y un

espacio vectorial complejo con producto interno se llama Espacio Unitario o Espacio

Hermitiano.

7. Se le asigna, cuando es posible, un producto interno a un espacio vectorial para definir sobre el

conceptos geométricos como: distancia entre dos vectores, ángulos, modulo o norma,

perpendicularidad, entre otros. Estos conceptos no son inherentes al espacio vectorial sino que

dependen del producto interno que en él se consideren.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. En es producto interno la función que transforma a cada par en

En efecto:

Tomando definida por se cumplen las cuatro condiciones.

a. (ley interna en el espac. Vect.)

(Def. de la función)

(distr. en el cuerpo )

(conmut. y asoc. en )

2 | P á g i n a



b.

c.

d.

Además suponiendo que

2. En es producto interno la función definida por

a.


(distr. en )

b.

c.

pues

3 | P á g i n a


pues

d. …………………………..……….. (I)

Tomando ; y ………. de (I) resulta

Además si

3. En general para existe un producto interno llamado producto interno estándar

definido por:

4. En es producto interno la función definida por

5. En es producto interno la función definida por:

siendo

6. En el espacio vectorial siendo es producto

interno la función definida por:

PROPIEDAD 1.2:

a) Sea un espacio con producto interno. El producto interior de cualquier vector con

4 | P á g i n a


el nulo es igual a cero.

b) Si el producto interior de cualquier vector con todos los elementos siempre es cero,

entonces es el vector nulo, es decir:

Demostración:

5 | P á g i n a


Parte a)Sea se tiene

¿Por qué?

¿Por qué?

¿Por qué?

¿Por qué?

¿Por qué?... (I)

Implicando que , con lo cual

por propiedades en el cuerpo.

Parte b)

Como tomando en

particular por la condición d) de la

definición de

TEOREMA 1.3:

Sea un espacio con producto interno. Entonces se cumplen:

a.

b.

c. Si , entonces

Demostración:

a. ¿Por qué?

¿Por qué?

¿Por qué?

¿Por qué?

b. ¿Por qué?

¿Por qué?

¿Por qué?

¿Por qué?

c. Si para todo se cumple que:

¿Por qué?

¿Por qué?

¿Por qué?Con lo cual tomando resulta:

¿Por qué?

6 | P á g i n a


7 | P á g i n a


EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsasa) Un producto interior es una función de valor escalar dentro del conjunto de pares ordenados de

vectores.b) Un espacio con producto interior debe estar sobre el cuerpo de los números reales o complejos.c) Un producto interno es lineal en ambas componentes.d) Existe exactamente un producto interior en el espacio vectorial .

2. Dar razones por las cuales cada uno de las siguientes relaciones no son productos internos en los espacios vectoriales dados:

a. en

b. en

c. en donde ' denota diferenciación.

3. Demostrar que es un producto interno en donde . Además calcular

para Nota: * denota traspuesta conjugada (o adjunta) de una matriz

8 | P á g i n a


ESPACIO VECTORIAL NORMADO

DEFINICION 1.4:

Sea un espacio con producto interno. Para definimos la norma o la longitud de por

. Con lo cual diremos que es un espacio normado.


1. Si es el espacio de las funciones continuas, donde , entonces:

Resolviendo la integral tenemos

Así:

2. Si donde tal que

Si hallar: En efecto:

TEOREMA 1.5:

Sea un espacio con producto interno. Entonces se cumplen:

a.

b.

c. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)

d. (Desigualdad Triangular)

Demostración9 | P á g i n a


a. ¿por qué?

¿por qué?

¿por qué?

¿por qué?

¿por qué?

b. ¿por qué?

¿Por qué?

¿Por qué?

Además si por condición d) de la

definición de se tiene que

con lo cual c) propuesto

d) ¿por qué?

¿Por qué?

¿Por qué?

¿Por qué?

¿Por qué?

¿Por qué?

De aquí tenemos que

DEFINICIÓN 1.6

Sea un espacio con producto interno. Un vector es un vector unitario si

EJERCICIO RESUELTO

1. En con el producto interno estándar, el vector es un vector unitario, su longitud es 1.

En efecto

2. Sea con el producto interno estándar es la definición de longitud o norma

10 | P á g i n a


Note: que para

11 | P á g i n a


DEFINICIÓN 1.7

Sea un espacio con producto interno. Una función diremos que es una distancia sobre si se verifican las siguientes condiciones:

a.

b

.

c.

NOTA: al número real lo llamaremos distancia entre

PROPIEDAD 1.8

Sea un espacio con producto interno. Entonces define una distancia en .

DemostraciónEstudiemos las condiciones de la definición 1.7

a) por definición de de donde:

y

b)

c)

EJERCICIO RESUELTO

1. En se define el producto usual , tomando y

, entonces la distancia de es:

Gráficamente:

12 | P á g i n a


2. Si con el producto interno definido por , tomando

y , entonces

OBSERVACIONES

1. De los comentarios anteriores se concluye que un espacio vectorial con producto

interno es a su vez un espacio normado y un espacio con una distancia definida.

2. En con el producto interno estándar (producto escalar usual) tenemos la distancia

definida para

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsasa) La desigualdad triangular se cumple solo para espacios con producto interno de dimensión finita.

b) La norma de un vector espacio vectorial con producto interno, es igual a .

c) La norma de un vector espacio vectorial con producto interno satisface que .

2. Sea con el producto interno estándar. Sean calcular

luego verifique tanto la desigualdad de Cauchy como la triangular.

13 | P á g i n a


3. demostrar la ley del paralelogramo en un espacio con producto interno, esto es, demostrar

que:

14 | P á g i n a


VECTORES ORTOGONALES Y ORTONORMALES

DEFINICIÓN 1.9

Sea un espacio con producto interno. Dos vectores son ortogonales si . Se

denotará

DEFINICIÓN 1.10

Un subconjunto es ortogonal dos a dos, si tal que se cumple que (es

decir: son ortogonales)

OBSERVACIONES:

1.

2.

3. Si , esto es, la relación ortogonal es una relación simétrica y por ello se suele decir

son ortogonales en lugar de decir es ortogonal a . Pero esta relación no es reflexiva ni

transitiva, solo hay un vector relacionado consigo mismo, el cero, además los vectores

, y en fácilmente comprueban que aún cuando y

pero no son ortogonales.


En los vectores dados son ortogonales con el producto escalar:

a.

Pues:

b.

Pues:

c.

Pues

En con el producto escalar, la base canónica es un conjunto ortonormal.15 | P á g i n a


16 | P á g i n a


PROPIEDAD 1.11

Sea un espacio con producto interno se cumple:

a. Todo conjunto de vectores ortogonales dos a dos, que no contengan al nulo, es linealmente independiente.

b. Si un vector es combinación lineal de un número finitos de vectores ortogonales

dos a dos, no nulos: entonces

c.

d. Siendo de dimensión , si es un conjunto de vectores

ortogonales dos a dos, no nulos, entonces

Demostración

a. Sea

un conjunto ortogonal de vectores de donde ,

probemos que es linealmente independiente.

En efecto:

Supongamos que por tanto para cada tenemos que

(prop. 1.2)

…………….. (I)

Pero como (por ser un conjunto ortogonal) y pues (por

hipótesis). Luego de (I) se desprende: implica que

indicando por definición que es linealmente independiente.

b. Como con implicando

17 | P á g i n a


¿por qué?

¿por qué?

Luego indicando que

c. ¿por qué?

¿por qué?

Por tanto definición 1.9

d. Propuesto

COMPLEMENTO ORTOGONAL

DEFINICIÓN 1.12

Sea un espacio vectorial con producto interno y sea subespacio de . El complemento

ortogonal de , que denotaremos por , es el conjunto formado por todos los vectores de que son

ortogonales a cada elemento de .

EJEMPLOS

1. Si entonces

2. Si entonces

3. Si entonces

TEOREMA 1.13

18 | P á g i n a


Sea un espacio vectorial con producto interno. El complemento ortogonal es un

subespacio vectorial de

Demostración

I. pues se cumple que ¿Por qué?

II. Sean probemos que

En efecto: sea se cumple que

¿Por qué?

¿Por qué?

¿Por qué?

Por tanto

III. Sean y probemos que

En efecto: sea se cumple que

¿Por qué?

¿Por qué?

¿Por qué?

Por tanto

Finalmente hemos demostrado que es un subespacio vectorial de

EJERCICIO RESUELTO

Hallar el complemento ortogonal del subespacio de generado por los vectores y

.

Solución

Como se tiene que:

Implicando que: por lo que es decir:

Del resultado anterior es generado por , gráficamente por la recta del vector director

.

19 | P á g i n a


TEOREMA 1.14

Sea un espacio vectorial con producto interno. Si es una base de un

subespacio de , entonces

Demostración

Supongamos que , entonces en particular

Recíprocamente supongamos que como es base de entonces

¿Por qué?

¿Por qué?

¿Por qué?Finalmente por ley del bicondicional se cumple la proposición.

VECTORES ORTONORMALES

DEFINICIÓN 1.15

Sea un espacio vectorial con producto interno. Dos vectores son ortonormales si son

ortogonales y además su norma es igual a uno, es decir

DEFINICIÓN 1.16

Sea un espacio vectorial con producto interno. Un subconjunto es ortonormal si es

ortogonal y consiste sólo de vectores unitarios.

EJEMPLOS

1. En con el producto interno estándar es un conjunto ortonormal.

2. En general con el producto interno estándar, la base canónica es un conjunto

ortonormal.

20 | P á g i n a


3. En los vectores dados son ortonormales con el producto escalar:

OBSERVACIÓN:

es ortogonal sí y sólo si

PROPIEDAD 1.17

Sea un espacio con producto interno se cumple:

a. Todo conjunto de vectores ortonormales, es linealmente independiente.

b. Si es un conjunto ortonormal de vectores de entonces

el vector

es ortonormal a

cada uno de los .

Demostración

a. Propuesto

b. Probemos que con

En efecto

que

Lo anterior implica que con

DEFINICIÓN 1.18

21 | P á g i n a


Sea un espacio euclidiano. Se define el ángulo entre los vectores como:

OBSERVACIONES

1. De la definición se deduce que

2. Si entonces y por lo tanto y dado que se cumple que

, se tiene que ,es decir , lo cual garantiza el hecho de que dos

vectores son ortogonales o perpendiculares si el ángulo comprendido entre ellos es igual a .

EJERCICIO RESUELTO

El ángulo entre los vectores es

Por tanto no son perpendiculares.

PROCESO DE ORTOGONALIZACIÓN DE GRAN – SCHMIDT

DEFINICIÓN 1.19

Sea un espacio con producto interno. Un subconjunto de es una BASE ORTONORMAL de

, si es una base ordenada de y además es un conjunto ortonormal.


1. En con el producto interno estándar es una base ortonormal.

22 | P á g i n a


2. En con el producto interno estándar, entonces la base canónica ordenada,

es una base ortonormal.

TEOREMA 1.20

Sea un espacio con producto interno y sea un conjunto linealmente

independiente (l.i) de . Definimos donde y (I) para

, entonces es un conjunto ortogonal de vectores no nulos tales que .

Demostración

Procedamos por inducción sobre , haciendo

En efecto:

Para , entonces el teorema es cierto pues ya que

Supóngase que es (l.i) y que se construye usando la ecuación descrita

en (I) siendo este un conjunto ortogonal de vectores no nulos tal que

Probemos que también cumple con las condiciones descritas, donde

….. (II)

Al suponer que entonces en la ecuación (II) tenemos

Es decir, es combinación lineal de , indicando que por

hipótesis inductiva, lo cual contradice la hipótesis del teorema del hecho que es (l.i) entonces

Veamos ahora si es un conjunto ortogonal, para esto busquemos el producto interno de con los

En efecto

de (II)

23 | P á g i n a


Luego es ortogonal y por propiedad 1.11 a) es (l.i). Cumpliéndose que

, por lo cual Finalmente por inducción se concluye que la proposición es verdadera.

OBSERVACIÓN

La construcción de mediante el uso de la ecuación descrita en (i) se llama proceso de ortogonalización

de Gran – Schmidt.

EJERCICIO RESUELTO

En los vectores ,

y son (l.i), entonces los vectores

obtenidos según la ecuación descrita en (i) del teorema 1.20 son ortogonales.

Solución:

y

24 | P á g i n a


Por tanto es un conjunto ortogonal de vectores de , que además por propiedad 1.11 a) es (l.i).

TEOREMA 1.21

Sea un espacio con producto interno de dimensión finita, entonces tiene una base

ortonormal . Además si y entonces Demostración

Sea una base ordenada de , según el teorema 1.20 construiremos un conjunto de vectores

ortogonales tales que .

Dividiendo cada elemento de entre su norma obtendremos un conjunto de vectores ortonormales

que genera a y por propiedad 1.17 a) es (l.i) por tanto es una base ortonormal de .

Por otra parte, si y entonces con y …..(*)

Además

Sustituyendo en (*) tenemos

EJERCICIO RESUELTO

Del ejercicio resuelto anteriormente se obtuvo en un conjunto ortogonal de vectores que

forman una base de : entonces para conseguir una base

ortonormal de , basta dividir cada vector de entre su norma.

Así:

25 | P á g i n a


Esto implica que:

es una base

ortonormal.

COROLARIO 1.22

Sea un espacio con producto interno de dimensión finita, una base ortonormal

. Sea un operador lineal sobre y , entonces .

Demostración

Según teorema 1.21 pero el vector coordenada es único, esto quiere decir:

Por tanto

EJERCICIO RESUELTO

Sea una base ortonormal de y un operador

lineal definido por se tiene que:

26 | P á g i n a


De donde:

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

a) El proceso de ortogonalización de Gran-Schmidt nos permite construir un conjunto ortonormal a partir de un conjunto arbitrario de vectores.

b) Todo espacio vectorial de dimensión finita con producto interno posee una base ortonormalc) El complemento ortogonal de cualquier conjunto es un subespacio

2. Sea un espacio con producto interno, supóngase que son vectores ortogonales.

Demostrar que deducir el teorema de Pitágoras en .

3. Demuestre que para cualquier subespacio de un espacio vectorial con producto interno

de dimensión finita se cumple que: 4. En cada uno de los incisos siguientes aplicar el proceso de Gran-Schmidt al subconjunto del

espacio vectorial con producto interno. Encontrar además una base ortonormal para

27 | P á g i n a

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