Espaciaos Generados en Rn

7/23/2019 Espaciaos Generados en Rn

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Espacios Generados en Rn

Departamento de Matematicas, CSI/ITESM

17 de junio de 2008

Indice

8.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3. Ejemplo 1, caso homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4. Motivacion: Ejemplo 2, caso no homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

8.5. Espacio generado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48.6. Condicion de pertencia a un generado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58.7. Vectores especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58.8. Espacios generados enR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68.9. Espacios generados enR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78.10. Reduccion del conjunto generador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88.11. Cerradura del espacio generado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108.12. Contencion entre espacios generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118.13. Generacion de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

8.1. Objetivos

Uno de los conceptos mas importantes delAlgebra Lineal es el concepto de espacio generado por un conjuntode vectores. Este concepto sera introducido en esta lectura. Los principales apartados son:

El concepto de espacio generado por un conjunto de vectores.

El proceso para verificar cuando un vector pertenece a un espacio generado.

Como son los espacios generados en R2 y en R3.

Como reducir un conjunto generador.

Como se comparan dos espacios generados.

Como saber si un espacio generado es todo Rn

.

8.2. Introduccion

En el curso de algebra lineal casi todo gira en torno a la solucion de sistemas de ecuaciones lineales.Despues de sistema de ecuaciones lineales y combinacion lineal, el tercer concepto en importancia en el cursoes el de espacio generado. Este concepto tiene mucho de abstracto y conviene ilustrar como se relaciona con elanalisis de un sistema de ecuaciones lineales. En los siguientes dos ejemplos se motivara el concepto de espaciogenerado por un conjunto de vectores. En ellos lo que debe es observar la forma que tiene la solucion generalobtenida.


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8.3. Ejemplo 1, caso homogeneo

Ejemplo 8.1

Suponga que desea resolver el sistema:

x 2y + 3z + 2w + t = 0

3x y + 2z + 4w + 3t = 02x 6y + 8z 2t = 0x + 3y 4z + t = 0

2x + y z + 2w + 2t = 0

La matriz aumentada del sistema es:

1 2 3 2 1 02 1 1 2 2 01 3 4 0 1 03 1 2 4 3 0

2 6 8 0 2 0

Al aplicarle eliminacion gaussiana tenemos:

1 0 1/5 6/5 1 0

0 1 7/5 2/5 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Observamos que el sistema es consistente al no tener pivotes en la columna de las constantes. En general,y debido a que las operaciones elementales no pueden aparecer numeros diferentes de cero en una columnaque solo contena ceros, si el sistema es homogeneo, la columna de las constantes seguira conteniendo ceros

despues del algoritmo de eliminacion gaussiana. Y por consiguiente, no podra haber pivote en la columnade las constantes. Es decir, los sistemas homogeneos siempre seran consistentes. Esta conclusion eraobvia pues hacer cero todas las variables en toda ecuacion lineal homogenea la debe convertir en una identidad.Regresemos a nuestro ejemplo. Ademas de que nuestro sistema es consistente, observamos que tiene columnasde variables sin pivote, y por consiguiente, tiene variables libres: lo que nos lleva a concluir que el sistema deecuaciones tiene infinitas soluciones.Determinemos la formula general para todas las soluciones. Para ello debemos convertircada reglon no ceroen una ecuacion:

x+1

5z +

6

5w+t= 0

y 7

5z

2

5w = 0

Despejando las variables fijas:x =

1

5z

6

5w t

y = 7

5z +

2

5w

2


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Escribiendo el resultado en forma vectorial:

xy

zwt

=

1

5z

6

5w t

7

5z +

2

5w

z

w

t

es decir, que la formula para la solucion general es:

xy

zwt

= z

1

5

7

5

1

0

0

+ w

6

5

2

5

0

1

0

+ t

1

0

0

0

1

,

paraz , w yt escalares libres

8.4. Motivacion: Ejemplo 2, caso no homogeneo

Habiendo visto la forma de la solucion a un sistema homogeneo con soluciones infinitas, veamos ahoraque pasa en el caso semejante no homogeneo.

Ejemplo 8.2Suponga que se desea resolver el sistema:

x 3 y+z w= 2x 3 y 5 z 2 w= 1

2 x 6 y 4 z 3 w= 3x+ 3 y 7 z= 3

La matriz aumentada del sistema es:

1 3 1 1 21 3 5 2 1

2 6 4 3 31 3 7 0 3

Al aplicarle eliminacion gaussiana tenemos:

1 3 0 7

6

11

6

0 0 1 1

6

1

6

0 0 0 0 00 0 0 0 0

3


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Y regresando los renglones no cero a una ecuacion:

x 3 y 7

6w =

11

6

z+1

6w =

1

6

Despejando las variables fijas:x= 3 y+

7

6w +

11

6

z= 1

6w+

1

6

Escribiendo el resultado en forma vectorial:

x

y

z

w

=

11

6

0

1

6

0

+y

3

1

0

0

+w

7

6

0

1

6

1

,

dondey yw escalares libres Nuestro proposito al mostrar los ejemplos anteriores es ilustrar como son los conjuntos solucion cuando existensoluciones infinitas en los sistemas de ecuaciones lineales. Lo que hemos visto es que aparece la estructura:

escalar1 vector1+ escalar2 vector2+

donde los vectores son fijos y donde los escalares son libres, es decir, que pueden tomar cualquier valor denumero real. Este tipo de estructura es de suma importancia para nuestro curso y recibira un nombre y untratamiento especial.

8.5. Espacio generado

Pasemos ahora a la definicion del espacio generado por un conjunto de vectores.Definicion 8.1

El conjunto formado por todaslas combinaciones lineales de los vectores v1,v2, . . . ,vk enRn se llamaespacio

generado por los vectoresv1, v2, . . . , vk. Este conjunto se representa por

Gen {v1, v2, . . . , vk} . (1)

Es decir, es el conjunto formado por todas las combinaciones lineales

c1 v1+c2 v2+ +ckvk

dondec1,c2, . . . ,ck son escalares libres. SiV= Gen {v1, v2, , vk}se dice que los vectores v1, v2, . . . ,vkgenerana V y que {v1, v2, . . . , vk} es un conjunto generadorde V.

Veamos ahora un ejemplo que ilustra que no solo el espacio generado es relevante para describir los conjuntossolucion a un sistema de ecuaciones, sino que la pertenencia a un espacio generado esta ntimamente relacionadaa un sistema de ecuaciones lineales.Ejemplo 8.3

Indique si el vector x= pertenece al espacio V= Gen {y1=, y2=}.

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Solucion

El vector xpertence a V si y solo si x es una combinacion lineal de los vectores y1 y y2 , es decir, si y solo siexisten escalares c1 yc2 para los cuales:

x= c1 y1+c2 y2

Esto se convierte en un sistema con matriz aumentada y que reduciendola: 1 3 22 5 3

1 0 1

1 0 00 1 0

0 0 1

Como el sistema es inconsistente, no pueden existir c1 y c2 que cumplan la relacion, y por tanto, x no escombinacion lineal de y1 y y2, y por tanto, x1 no pertence al espacio generado

Ejemplo 8.4

Indique para que valor del parametroael vector x1= pertenece al espacio

V= Gen {y1=, y2=}

Solucion

El vector xpertence a V si y solo si xes una combinacion lineal de los vectores y1 y y2, es decir, si y solo siexisten escalares c1 yc2 para los cuales:

x= c1 y1+c2 y2

Al formar la matriz aumentada del sistema y escalonarla queda 1 3 22 5 3

1 0 a

1 3 20 1 1

0 0 a+ 1

De aqu vemos que la unica posibilidad para que el sistema sea consistente es que en el ultimo renglon noexista pivote; por tanto,

a+ 1 = 0 = a= 1

8.6. Condicion de pertencia a un generado

El siguiente es el principal resultado sobre espacios generados y marca la relacion entre estos y los sistemasde ecuaciones lineales. Este resultado no es sino una reformulacion de la interpretacion de la solucion de unsistema de ecuaciones lineales. Aquel que dice que cuando se resuelve un sistema de ecuaciones lineales lo quese busca es la forma de combinar las columnas de la matriz de coeficientes para obtener el vector de constantes.Teorema

Sean b, v1, v2, . . . , vm vectores en Rn. Entonces

b Gen{v1, v2, . . . , vm} [v1, v2, . . . , vm|b] es consistente

Dicho de otra manera, Gen {v1, v2, . . . , vk} consiste justo por aquellos vectores b para los cuales [v1, v2, . . . , vm|b]es consistente.

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8.7. Vectores especiales

Los siguientes vectores son importantes porque conforman el conjunto mas simple que genera a Rn. En elespacio n-dimensional Rn, el vector ei representa el vector que es el vector con solo ceros, excepto que en lacoordenada i tiene un 1.

Ejemplo 8.5En R4

e1 =

1000

, e2=

0100

, e3=

0010

, y e4 =

0001

En general:Rn = Gen{ei, i= 1, . . . , n}

8.8. Espacios generados en R2

Los espacios generados son conjuntos de vectores o abusando de la notaci on, son conjuntos de puntos. Unapregunta que se puede hacer es: geometricamente, que son los espacios generados?Como veremos posteriormente, los unicos tres tipos de espacios generados en R2 independientemente delnumero de vectores son

El conjunto que consta del punto o vector cero.

Una lnea que pasa por el origen.

Todo R2.

Veamos algunos ejemplos que nos ilustran la naturaleza de los espacios generados en R2.Ejemplo 8.6

Indique que vectores x=< x, y >pertenece al espacio

V= Gen {y=}

Solucion

El vector x pertence a V si y solo si x es una combinacion lineal del vector y, es decir, si y solo si existe unescalar c tal que:

x= c y

Esto se convierte en un sistema con matriz aumentada que escalonadose queda: 1 x2 y

1 x0 y 2 x

De aqu vemos que la unica posibilidad para que el sistema sea consistente es que en el ultimo renglon noexista pivote en la columna de las constantes; por tanto

y 2 x= 0

Es decir, para que un vector x =< x, y > pertenezca al espacio generado por y =< 1, 2 >, el vector debecumplir

y= 2 x

Es decir, que el espacio generado por el vector y es la recta anterior. La cual observamos que efectivamentepasa por el origen

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Ejemplo 8.7

Indique que vectores x=< x, y >pertenecen al espacio

V= Gen {y1=, y2=}

SolucionEl vector xpertence aVsi y solo si xes una combinacion lineal de los vectores y1 y y2, es decir, si y solo siexisten escalares c1 yc2 tales que:

x= c1 y1+c2 y2

Esto se convierte en un sistema con matriz aumentada que escalonadose queda: 1 1 x2 1 y

1 0 x+y0 1 2 x y

Como no hay pivotes en la columna de las constantes, el sistema es siempre consistente. Por consiguiente,todo vectorx =< x, y >es combinacion lineal de los vectores y1 y y2. Por tanto, los vectoresy1yy2 generantodo R2:

Gen {y1, y2}= R2

8.9. Espacios generados en R3

Los unicos cuatro tipos de espacios generados en R3 independientemente del numero de vectores son

El conjunto que consta del punto o vector cero.

Una lnea que pasa por el origen.

Un planoque pasa por el origen.

Todo R3

.

Ejemplo 8.8

Indique que vectores x=< x, y,z > pertenecen al espacio

V= Gen {y1=, y2=}

Solucion

El vector x pertence a V si y solo si x es una combinacion lineal de los vector y1 y y2, es decir, si y solo siexisten escalares c1 yc2 tales que:

x= c1 y1+c2 y2

Esto se convierte en un sistema con matriz aumentada que escalonadose queda: 1 1 x2 0 y

1 1 z

1 1 x0 2 y 2 x

0 0 z x

El sistema sera consistente si y solo siz x= 0. Es decir, que los vectores< x, y,z > que s son combinacionlineal de y1 y y2 son aquellos que complen z x= 0. Por tanto,

Gen {y1, y2}=

xy

z

:z x= 0

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Posteriormente veremos que esta ecuacion representa un plano en R3 que pasa por el origen

Ejemplo 8.9

Indique que vectores x=< x, y,z > pertenecen al espacio

V= Gen {y1=}

Solucion

El vector x pertence a V si y solo si x es una combinacion lineal del vector y1, es decir, si y solo si existenescalaresc1 tales que:

x= c1 y1

Esto se convierte en un sistema con matriz aumentada que escalonadose queda: 1 x2 y

1 z

1 x0 y 2 x

0 z x

El sistema sera consistente si y solo si y 2 x = 0 y z x. Es decir, que los vectores< x, y,z > que s soncombinacion lineal de y1 y y2 son aquellos que complen y = 2 x y z = x. Por tanto,

Gen {y1, y2}=

xy

z

:y = 2 xy z = x

Posteriormente veremos que esta ecuacion representa una recta en R3 que pasa por el origen

8.10. Reduccion del conjunto generador

Un problema que frecuentemente ocurre es que el generador del espacio es redundante. Es decir, que tiene

mucha informacion que podra ser deducida de otra. En terminos de vectores, diramos hay vectores que noaportan una componente nueva al espacio que generan los vectores restantes. El siguiente resultado dice enque condicion el conjunto generado se puede reducir y seguir generando el mismo espacio generado.Teorema

Si uno de los vectores en la lista v1, v2, . . . , vk es una combinacion del resto, el espacio generadopermance igual si dicho vector se elimina de la lista.

Demostracion

Sin perder generalidad, supongamos que vk es combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . ,vk1. Por tanto,deben existir escalaresa1,a2, . . . ,ak1 tales que

vk =a1 v1+ +ak1 vk1 (2)

Sea ahora un vector v cualquiera del espacio generado V = Gen {v1, v2, . . . , vk}. Por consiguiente, debenexistir escalares ci para i = 1, . . . , k tales que

v= c1 v1+ +ck1 vk1+ckvk (3)

Sustituyendo (2) en (3) obtenemos

v= c1 v1+ +ck1 vk1+ck(a1 v1+ +ak1 vk1)

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desarrollando lo anterior y agrupando respecto a los vectores vi obtenemos

v= (c1+ck, a1) v1+ + (ck1+ckak1) vk1

lo cual nos dice que cualquiera que sea el vector v de V, este debera ser una combinacion lineal de los vectoresv1, v2, . . . ,vk1. Es decir, hemos probado que

Gen {v1, v2, . . . , vk} Gen {v1, v2, . . . , vk1}

como la contencion recproca se cumple, debido a que toda combinacion lineal de los vectores v1,v2, . . . ,vk1es a su vez una combinacion lineal entre los vectores v1,v2, . . . ,vk1, vk tomando los mismos coeficientes yhaciendo cero el coeficiente de vk, entonces

Gen {v1, v2, . . . , vk}= Gen {v1, v2, . . . , vk1}

Ejemplo 8.10

Determine cuales vectores pueden eliminarse y seguir generando el mismo espacio si

V= Gen

12

1

, 24

2

, 11

0

, 21

1

Solucion

Determinemos cuales vectores son combinaciones lineales de los restantes; Por conveniencia, designemos porv, u, x, yy los vectores de del conjunto en el orden izquierda a derecha. Veamos si el vector y es combinacionlineal de los anteriores: Armamosla matriz aumentada como se convino previamente (final de lectura 22):

1 2 1 22 4 1 1

1 2 0 1

1 2 0 10 0 1 1

0 0 0 0

Siendo el sistema consistente, el vector y es combinacion lineal de los vectores u, v y x por el resultadoanterior:

Gen {u, v, x, y}= Gen {u, v, x}

Nuevamente nos preguntamos si es posible eliminar otro vector, digamosx: Armamos la matriz aumentada: 1 2 12 4 1

1 2 0

1 2 00 0 1

0 0 0

Como el sistema es inconsistente, no es posible eliminar el vector x y seguir generando el mismo espacio.Ahora nos preguntamos si el vector v es combinacion lineal de v y x:

1 1 22 1 41 0 2

1 0 20 1 0

0 0 0

Siendo el sistema consistente, concluimos que el vector u es combinacion lineal de los vectores v y x, y portanto:

Gen {u, v, x, y}= Gen {u, v, x}= Gen {v, x}

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Nos seguimos preguntanto si es posible continuar determinando si hay un vector que se combinacion lineal delos restantes en el conjunto {v, x}: Veamos si el vector xes combinacion lineal de v:

1 12 1

1 0

1 00 10 0

Por tanto, x no es combinacion lineal de v y por consiguiente no puede ser eliminado. Veamos si el vector

v es combinacion lineal de x: 1 11 2

0 1

1 00 1

0 0

Por consiguiente, no es posible eliminar el vector v y nuestra conclusion final es que:

Gen {u, v, x, y}= Gen {v, x}

Nota

Todos los calculos anteriores pueden hacerse en solo uno:

Con los vectores iniciales tomados como columnas se forma una matriz.

A esta matriz se lleva a la forma reducida.

Los vectores cuya posicion tiene elemento pivote son los vectores que deben conservarse para el generador.

Aquellos vectores en cuya columna no queda pivote son combinacion lineal de los restantes puedeneliminarse.

Ejemplo 8.11

Determine cuales vectores pueden eliminarse y seguir generando el mismo espacio si

V =Gen

1

21

,

24

2

,

11

0

,

1

103

Solucion

Por conveniencia, designemos por v, u, x, y y los vectores de del conjunto en el orden izquierda a derecha.Formemos la matriz con los vectores como columnas:

1 2 1 12 4 1 101 2 0 3

1 2 0 30 0 1 4

0 0 0 0

Por tanto, los vectores que deben permanecer son los vectores que entraron en las columnas 1 y 3; los dem aspueden eliminarse del generador. Puede verificarse facilmente que:

u= 2 v

y=3 v+ (4) x

Note lo completo de la informacion contenida en la matriz reducida!

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8.11. Cerradura del espacio generado

Uno de los conceptos clave en algebra lineal es el concepto de espacio lineal. Un espacio lineal es un conjuntocerrado bajo las operaciones suma entre elementos del conjunto y multiplicacion de un elemento del conjuntopor un escalar. Este concepto sera definido con precision y revisado mas adelante en el curso. El siguienteresultado indica que todo espacio generado es a su vez un espacio lineal.

Teorema

Si V = Gen {v1, v2, , vk}, entonces para cualesquiera vectores u y w elementos de V, y cual-quiera escalar c:

1. u + w tambien es un elemento de V,

2. c u tambien es un elemento de V.

Demostracion

Sean u y w dos elementos de V. Por consiguiente, u y w son combinaciones lineales de v1, v2, , y vk. Portanto, deben existir escalaresa1,a2, . . . ,ak, b1,b2, . . . , bk tales que

u = a1 v1+ +akvkw = b1 v1+ +bkvk.

Para ver la condicion 1, hagamos la suma de u con w:

u + w = (a1 v1+ +akvk) + (b1 v1+ +bkvk)= (a1 v1+b1 v1) + + (akvk+bkvk)= (a1+b1)v1+ + (ak+bk) vk

de donde, observamos que u+ w tambien es una combinacion lineal de v1, v2,. . . , y vk. Demostrando queu + w V.Para ver la condicion 2, hagamos el producto de u con un escalarc cualquiera

c u = c (a1 v1+ +akvk)= (c a1) v1+ + (c ak) vk

Por tanto, el vector c ues tambien una combinacion lineal de v1, v2,. . . , y vk. Demostrando que c u V

8.12. Contencion entre espacios generados

En general, los espacios generados son infinitos y para ver que un espacio generado est a contenido comoconjunto dentro de otro debera hacerse elemento por elemento. Sin embargo, el siguiente resultado nos dicecomo se pueden comparar espacios generados a partir de conjuntos de generadores. Es decir, reduce el problemade ver si un espacio generado esta contenido dentro de otro a un caso finito.

Teorema

SiV= Gen {x1, , xm}, y W= Gen {y1, , yk} son conjuntos de vectores en Rn.

Todo vector xi (i= 1, 2, . . . , m) pertence a Wsi y solo si V W.

Demostracion

Supongamos que todo vector xi(i= 1, 2, . . . , m) pertence aW. Veamos queV W. ComoW= Gen {x1, , xm},deben existir escalarescij para i = 1, . . . , myj= 1, . . . , ktales que

xi= ci1 y1+ +cikyk

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Sea w un vector de V cualquiera. Como V= Gen {x1, , xm}, entonces deben existir escalaresa1,a2, . . . ,amtales que

v= a1 x1+ +am xm

Sustituyendo cada xi obtenemos:

v = a

1

(c11 y1

+ +c1k

yk) + +am (cm

1 y1+ +cmk

yk)

Si desarrollamos los productos anteriores y agrupamos respecto a los vectores yj obtenemos

v = (a1c11+ +amcm1)y1+ + (a1c1k+ +amcmk)yk

Por consiguiente, cualquier vector v de V es combinacion de los vectores yj y por tanto, pertenece a W.Probando que V W.Supongamos ahora que V W. Por tanto, cualquier vector de Vpertenece a W. En perticular, pertenecen aW los vectores

xi= 0 x1+ 0 x2+ + 1 xi+ + 0 xm

de donde se concluye que cada vector xi W

Ejemplo 8.12

Diga si UV, V U, U=V, o no son comparables, si

U= Gen

u1=

12

1

, u2=

36

3

, u3=

24

2

V= Gen

v1 =

48

4

, v2=

10

1

Solucion Veamos siUV: De acuerdo al resultado previo debemos ver si todoui V. Para ello construimos[v1, v2|u1] =

4 1 18 0 2

4 1 1

1 0 1/40 1 0

0 0 0

[v1, v2|u2] =

4 1 38 0 6

4 1 3

1 0 3/40 1 0

0 0 0

[v1, v2|u3] =

4 1 28 0 4

4 1 2

1 0 1/20 1 00 0 0

Como cada sistema es consistente uiV y as U= Gen {u1, u2, u3} V.

Veamos siV U: De acuerdo al resultado previo debemos ver si todo vi U. Para ello construimos

[u1, u2, u3|v1] =

1 3 2 42 6 4 8

1 3 2 4

1 3 2 40 0 0 0

0 0 0 0

[u1, u2, u3|v2] =

1 3 2 12 6 4 0

1 3 2 1

1 3 2 00 0 0 1

0 0 0 0

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As al ser consistente el primer sistema v1 U, pero al ser inconsistente el segundo sistema v2 /U. Por lotanto,V= Gen {v1, v2} U.Por tanto, solo se cumple UV.Observaciones

Note que para verificar que U V , en lugar de hacer [v1, v2|u1] , [v1, v2|u2], [v1, v2|u3] basta hacer

[v1, v2|u1, u2, u3] reducir y buscar los pivotes: si todos los pivotes estan a la izquierda, entonces lacontencion se cumple: si hay al menos un pivote a la derecha, entonces la contencion no se cumple.

Para que se cumpla la igualdad V =U debe verificarque se cumplen simultaneamenteUV y V U.

8.13. Generacion de Rn

En el siguiente resultado se revisa las condiciones en las cuales un conjunto genera todo el espacio que locontiene:Teorema

Sea{v1, v2, . . . , vm} un conjunto de vectores en Rn. Entonces son equivalentes las siguientes afir-

maciones:

1. Para cualquier vector de constantes b, el sistema [v1, v2, . . . , vm|b] es consistente.

2. Rn = Gen{v1, v2, . . . , vm}.

3. La matriz reducida (o escalonada) obtenida de [v1, v2, . . . , vm] tiene pivote en cada renglon.

Demostracion

En lo siguiente digamos que V= Gen {v1, . . . , vm}.1 implica 2

Como vi Rn, entonces el teorema anterior afirma que V Rn. Lo que falta probar es que Rm V. Sea c

un vector cualquiera de Rn. Usamos la propiedad 1. aplicada para b = c, y se deduce que

[v1, . . . , vm|c]

es un sistema consistente. Aplicando el primer teorema de esta seccion se deduce quec V= Gen {v1, . . . , vm}.Esto prueba que Rn V. Como las dos contenciones se cumplen se tiene que V =Rn.2 implica 3

Demostremos su contrapositiva. Supongamos que al aplicar las operaciones elementales O1,O2, . . . ,Or la matriz[v1, . . . , vm] tiene un renglon un renglon sin pivote. Sin perdida de generalidad supongamos que en el renglonn no quedan pivotes. Tomemos b como el vector que se obtiene de aplicar los inversos de las operacioneselementalesOi a en en orden opuesto:

b= Oinv1 Oinv2

Oinvr en

(La idea es que al aplicarle a b las operaciones O1,O2, . . . ,Or se obtenga el vectoren) De lo anterior se deduce

que al aplicarle al sistema [v1 vm|b] las operaciones O1, O2, . . . , y Or se obtiene una matriz cuyo ultimorenglon es el renglon de ceros salvo que en su ultima posicion tiene 1. Por tanto, el sistema es inconsistente.Por el primer teorema de esta seccion, se deduce que el b no pertenece a V. As hemos probado que si no secumple 3 entonces no se cumple 2. Esta es la contrapositiva de 2 implica 3.3 implica 1

Sea b un vector de constantes cualquiera. Formemos el sistema [v1 vm|b]. Al reducir el sistema, no existepivote en la columna de las constantes debido a que por 3 todos los renglones tienen pivote y estos est an en laparte izquierda de la matriz aumentada. Por lo tanto, el sistema es consistente.La prueba de estas implicaciones muestra que las 3 afirmaciones son equivalentes

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Veamos una aplicacion del resultado anterior a un problema ya resuelto.

Ejemplo 8.13

Indique si el sistema [A|b] es consistente para todos los vectores b R3 si Aes la matriz:

4 3 65 5 252 3 0

Solucion

Al aplicar eliminacion gaussiana a la matriz Ase obtiene 4 3 65 5 25

2 3 0

1 0 30 1 2

0 0 0

Como no quedan pivotes en todos los renglones de ceros se concluye, por el teorema previo, que no es ciertoque para cualquier vector b de R3 el sistema es consistente

Espaciaos Generados en Rn

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