ESFUERZOS COMBINADOS

I. Introducción:

El estado más general de esfuerzo en un punto puede representarse por

seis componente; el mismo estado de esfuerzo se representará mediante

un conjunto diferente de componentes si se rotan los ejes.

Se estudiará un estado de esfuerzo tridimensional en un punto dado y se

desarrollará ecuaciones para el cálculo del esfuerzo en un plano de

orientación arbitraria en ese punto, se analizarán las rotaciones de un

elemento cúbico con respecto a cada uno de los ejes principales de

esfuerzo y se observará que las transformaciones de esfuerzos pueden

describirse mediante tres círculos de Mohr diferentes. Se observará que en

el caso de un estado de esfuerzo plano en un punto dado, el máximo valor

del esfuerzo cortante, obtenido antes considerando rotaciones en el plano

de esfuerzo, no representan necesariamente el máximo esfuerzo cortante

en ese punto.

También se verá varios criterios de fluencia para materiales dúctiles bajo

esfuerzo, como una aplicación de los esfuerzos tensionales

tridimensionales, para predecir si un material fluirá en algún punto crítico.

Dos criterios comunes son: el criterio de la máxima resistencia a cortante y

el criterio de la máxima energía de distorsión. Los dos criterios que se

analizarán son: el esfuerzo normal máximo y el criterio de Mohr.

II. Marco Teorico:

Los elementos de maquina por lo general , no estan sometidos a un solo

tipo de esfuerzo sino más bien a la interacción de varios esfuerzos de

manera simultanea, se analizará como interactúa dichos esfuerzos , para

localizar el punto más crítico en la estructura, para poder dimensionar y

seleccionar el material adecuado para el mismo.

Fígura 01

A. Esfuerzo axial

El esfuerzo normal (esfuerzo axil o axial) es el esfuerzo interno o

resultante de las tensiones perpendiculares (normales) a la sección

transversal de un prisma mecánico. Este tipo de solicitación formado

por tensiones paralelas está directamente asociado a la tensión normal.

Dada una sección transversal al eje longitudinal de una viga o pilar el

esfuerzo normal es la fuerza resultante de las tensiones normales que

actúan sobre dicha superficie. Si consideramos un sistema de

coordenadas cartesianas en que el eje X esté alineado con el eje recto

de la viga, y los ejes Y y Z estén alineados con las direcciones principales

de inercia de la sección el tensor de tensiones ([T]xyz) y el esfuerzo

normal (Nx).

Fígura 02: Esfuerzo axial

B. Esfuerzo de flexión

El esfuerzo de flexión puro o simple se obtiene cuando se aplican

sobre un cuerpo pares de fuerza perpendiculares a su eje

longitudinal, de modo que provoquen el giro de las secciones

transversales con respecto a los inmediatos.

Sin embargo y por comodidad para realizar el ensayo de los distintos

materiales bajo la acción de este esfuerzo se emplea generalmente a

las mismas comportándose como vigas simplemente apoyadas, con la

carga concentrada en un punto medio (flexión practica u ordinaria).

En estas condiciones además de producirse el momento de flexión

requerido, se superpone al un esfuerzo cortante, cuya influencia en el

calculo de la resistencia del material varia con la distancia entre

apoyos, debido a que mientras los momentos flectores aumentan o

disminuyen con esta, los esfuerzos cortantes se mantienen

constantes, como puede comprobarse fácilmente en la figura, por lo

que será tanto menor su influencia cuanto mayor sea la luz entre

apoyos.

Es por esta razón que la distancia entre los soportes de la probeta se

han normalizado convenientemente en función de la altura o

diámetro de la misma, pudiendo aceptar entonces que la acción del

esfuerzo de corte resulta prácticamente despreciable. Para ensayos

más precisos la aplicación de la carga se hace por intermedio de dos

fuerzas con lo que se logra “flexión pura”

La formula de la tensión será, como ya sabemos la relación del

esfuerzo con la sección donde actúa. El momento flector máximo en la

viga es igual:

Mfmax = P . ( L – d ) / 4

Siendo P la carga total, L la distancia entre apoyos y d la separación

entre las cargas

Si el modulo resistente Wz es:

Wz = p . d³ /32

Remplazando en la formula que determina la tensión y considerando

el momento flector máximo, obtenemos la “resistencia estática o

modulo de rotura de la flexión”.

Cuando el material es sometido a la acción de la carga, la línea neutra

se ira flexionando denominándose FLECHA a la distancia vertical entre

la posición inicial de dicha línea y las posiciones instantáneas que

tome, medidas en el lugar de mayor flexionamiento de la probeta.

Fígura 03: Esfuerzo de flexión

C. Esfuerzo cortante

Se dice que una sección de una pieza está sometida a cizallamiento o

cortadura cuando sobre ella actúa un esfuerzo cortante, es decir, una

resultante de fuerzas paralelas al plano de la secciñon. Dado qye la

existencia de esfuerzo cortante implica la existencia de un momento flector

variable, una rebanada diferencial de una pieza sometida a cortadura está

tambien sometida a flexión. Veremos en lo sigue que, a menudo, es

necesario recordar este hecho para proceder al estudio de las tensiones

producidas por la combinación de momento flector variable y esfuerzo

cortante. Adicionalmente, pueden actuar sobre la sección un esfuerzo axial

y/o un momento torsor. En tal caso, y suponiendo que el principio de

superposición es aplicable.

La actuación de un esfuerzo cortante sobre la sección implica la

existencia de una distribución de tensiones tangenciales sobre el plano de

la sección, de tal forma que se cumpla la relación integral:

Esta ecuación vectorial puede expresarse, referida a los ejes principales de

inercia de la sección, (y,z), como dos ecuaciones integrales escalares:

Donde son las componentes del esfuerzo cortante y las

componentes de la tensión tangencial.

Fígura 04: Ángulo de rotura

D. Combinación de esfuerzos:

El esfuerzo resultante en una sección de estudio, es representada por

un diagrama lineal que expresa la superposición del esfuerzo simple

(regularmente de compresion) y el esfuerzo fñexionante (ya sea de

tensión o de compresión). Matemáticamente es la sumatoria de

esfuerzos considerando el signo, según el tipo de carga que lo produce,

asi es positivo (+) para tensión y negativo (-) para compresión.

E. Procedimiento para el calculo:

Se elige un punto en la estructura para determianr los esfuerzos y

las deformaciones unitarias. (por lo general se escoge un punto en

una sección transversal, donde los esfuerzos son grandes).

Para cada carga sobre la estructura se determinan las resultantes de

los esfuerzos en la sección transversal que contenga el punto

seleccionado. (Las posibles resultantes de esfuerzos son una fuerza

axial, un momento de torsioón, un momento flexionante y una

fuerza coratante).

Se calculan los esfuerzos normal y cortante en el punto seleccionado

debido a cada una de las resultantes de esfuerzos.

Los esfuerzos individuales se combinan para obtener los esfuerzos

resultantes en el punto seleccionado. En otras palabaras, se

obtienen los esfuerzos σ x,σ y y T xy que actúan sobre un elemento de

esfuerzos en un punto,

Fígura 06

Los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en el

punto seleccionado se determinan usando las ecuaciones

transformación de esfuerzos o el círculo de Mohr. Si es necesario,

se encuentran los esfuerzos que actúan sobre lo otros planos

inclinados.

Esfuerzo Principal Máximo,σ 1:

σ 1=σm áx=12

(σ x+σ y )+√ 12 (σ x−σ y )2

+τ xy2

Esfuerzo Principal Mínimo,σ 2:

σ 2=σmin=12

(σx+σ y )−√ 12 (σ x−σ y )2

+τ xy2

Esfuerzo Cortante Máximo, τ máx

τ máx=±√ 12 (σ x−σ y )2

+τ xy2

Un esfuerzo cortante tiene dos subindices, el primero denota la cara

donde actúa y el segundo da el sentido de sobre esa cara.

Esfuerzo en un punto

De la ecuación deducida para el ángulo, se obtiene el siguiente

triángulo:

Del cual se obtiene las siguientes relaciones:

tan (2ψ )=τ xy

12(σ x−σ y )

sen (2ψ )=τ xy

√ 12 (σ x−σ y )2

+τ xy2

cos (2ψ )=

12(σx−σ y )

√ 12 (σ x−σ y )2

+τ xy2

Esfuerzo Principal Máximo,σ 1:

σ 1=σm áx=12

(σ x+σ y )+√ 12 (σ x−σ y )2

+τ xy2

Esfuerzo Principal Mínimo,σ 2:

σ 2=σmin=12

(σx+σ y )−√ 12 (σ x−σ y )2

+τ xy2

Nota: En el elemento en que actúan los esfuerzos principales, el

esfuerzo cortante es CERO.

Esfuerzo Cortante Máximo, τ máx

d τdψ

=0=12

(σ x−σ y)¿

Ángulo que localiza el esfuerzo cortante máximo

Diviendo entre cos (2ψ )

tan (2ϴ )=(σx−σ y )2 τ xy

De la ecuación deducida para el ángulo, se obtiene el siguiente

triángulo:

Del cual se obtiene las siguientes relaciones:

tan (2ψ )=

12(σ x−σ y )

τ xy

sen (2ψ )=

12(σ x−σ y)

√ 12 (σ x−σ y )2

+τ xy2

cos (2ψ )=τ xy

√ 12 (σ x−σ y )2

+τ xy2

Esfuerzo Cortante Máximo, τ máxτ máx=±√ 12 (σ x−σ y )2

+τ xy2

Esfuerzo Normal que actúa en el elemento sometido a esfuerzo

cortante máximo, σ prom

σ prom=12(σx+σ y)

III. Bibliografía:

http://www.slideshare.net/vilchez/esfuerzos-combinados