“CÁLCULO DEL ESFUERZO CORTANTE NECESARIO PARA BRILLAR

UNA ‘CHECA’ A PARTIR DE OTRA”

Durán Contreras M.P.1 ; Peña Marriaga M.A.1 ; Sequeda Barros R.E.1

1. Estudiantes de 5to Semestre de la facultad de Ingeniería, programa de Ingeniería Química de la Universidad del

Atlántico. Curso de Fenómenos de transporte. Grupo 2.

En el siguiente informe se presentan los resultados obtenidos a partir de la experiencia realizada con

dos ‘checas’[1], con el propósito de calcular el esfuerzo cortante necesario para brillar una de ellas

empleando otra de estas mismas. Dicha consecución se llevó a cabo a partir de un montaje con un

resorte y la oscilación constante de una ‘checa’ sobre otra fija; lo que a su vez conllevó a la

obtención de un esfuerzo cortante representativo de 10,172.3351 kPa. Todo lo anterior representado

a partir de gráficas y ecuaciones que ilustran el resultado mencionado.

PALABRAS CLAVE: Resorte, checa, esfuerzo cortante, brillar.

ABSTRACT

The following report presents the results obtained from the carried out experience with two bottle

caps, for the purpose of calculating the shear force needed to shine one of them using another of the

same. This procurement was conducted from a mounting with a spring and a constant oscillation of a

bottle cap on the other fixed; which led to the obtaining of a representative shear force of 10,172.3351

kPa. The foregoing represented from graphs and equations that illustrate the mentioned result.

KEY WORDS: Spring, bottle cap, shear force, shine.

INTRODUCCIÓN

El esfuerzo es una medida de la fuerza que causa una deformación o deslizamiento; este se dice

cortante o de cizalla, cuando la deformación se debe a la aplicación de una fuerza tangencial a la

superficie (paralela a esta). Cuantitativamente el esfuerzo cortante (τ) se define como la relación entre

la fuerza (F) que lo produce y el área (A) a través de la cual se genera el deslizamiento o bien aquella

sometida a dicho esfuerzo; como se indica en la ecuación 1 en la cual, según el Sistema Internacional,

la unidad correspondiente a la fuerza (F) es el Newton (N) y para el área(A) el metro cuadrado (m2); lo

que implica 1 que el esfuerzo cortante (τ) está expresado en Pascal (Pa)

1 Checa: Pequeña tapa metálica ondulada en los bordes, que se usa en los envases de gaseosas, jugos u otros líquidos

consumibles.

Ecuación 1. Esfuerzo cortante.

Este tipo de fuerza puede ser calculada para un sinnúmero de situaciones cotidianas, donde esta se

perciba, un ejemplo de estas, es brillar la superficie de una ‘checa’ con la contraparte hueca de otra,

haciendo uso del relieve que poseen para fijarse a una botella. Esto que solía ser un juego años atrás,

es el fundamento del presente informe, el cual incluye una de las múltiples formas con que se puede

hallar el esfuerzo cortante producto de dicha acción. Cabe aclarar que no se encontró alguna referencia

bibliográfica de esta experiencia por lo que es netamente empírica.

Básicamente, se emplea la Ley de Hooke, la cual establece que “el alargamiento unitario (no excesivo)

que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada sobre el

mismo” 2. Matemáticamente esta ley se puede expresar a partir de la experiencia con un resorte, tal

como se referencia en la ecuación 2; donde se relaciona la fuerza (Fr) 3 ejercida en el resorte con la

elongación (𝛿) producida, a partir de una constante de proporcionalidad (k).

Ecuación 2. Ley de elasticidad de Hooke

Cabe aclarar que las unidades correspondientes a las variables de la ecuación 2, según el Sistema

Internacional (SI), son: el metro, en el caso de la elongación (δ) y Newton (N), en el caso de la Fuerza;

por consiguiente, la constante (k) se mide en Newton/metro (N/m).

Ahora bien, si se desconoce el valor de la constante (k) del resorte empleado, esta se puede despejar

de la ecuación 2, si se tiene un valor de fuerza y elongación. Un caso sencillo que ejemplifica dicho

cálculo, es la disposición del resorte de forma vertical; al cual se le mide su longitud en equilibrio y

después se coloca en un extremo de este una masa, cuyo peso (w) provoque una elongación (δ); que al

ser medidos, proporcionen datos que junto con el valor de la gravedad, comúnmente 9,80 m/s2 ,

permitan conocer la constante del resorte, al reemplazar en la ecuación 3, la cual indica la sumatoria

de fuerzas para el sistema masa resorte el cual se encuentra en equilibrio mecánico con el medio si se

ignora el efecto causado por el viento.

2 Sears, Zemansky, H. Young, R. Freedman, A. Lewis, “Trabajo y energía cinética”. En: Física Universitaria,Volumen 1, ed:

Pearson educación, México, p. 193.

3 El subíndice en la expresión de fuerza (Fr) se utilizó con el propósito de hacer aclaración con la fuerza mencionada previamente

𝜏 =𝐹

𝐴

𝐹𝑟 = −𝑘𝛿

Ecuación 3. Sumatoria de fuerzas para el sistema masa-resorte

Un aspecto que no se debe olvidar en el estudio de la mecánica, es la energía; y no solo ella

en sí sino todo lo que a esta rodea, principalmente la conservación de la misma. Un correcto

uso y conocimiento de la conservación de la energía puede ayudarnos a un sin número de

problemas por los cuales sería engorroso realizar por otro método. La energía mecánica en

específico se define como aquella que puede convertirse en trabajo mecánico directamente y

la cual es producida por fuerzas tales como elasticidad, grativación, etc. El cambió en la

energía cinética en un sistema aislado viene dado por el cambio en su energía cinética y en

sus energías potenciales (gravitatoria y elástica), esto descrito por la ecuación 4 y en caso de

que el sistema se encuentre en presencia de una fuerza de fricción cinética, el cambio en la

energía mecánica será igual a dicha fuerza multiplicada por la distancia a la se aplicó dicha

fuerza, con ello la ecuación anterior se convierte en la ecuación 5.

Ecuación 4. Conservación de la energía mecánica en un sistema aislado

Ecuación 5. Conservación de la energía mecánica en un sistema aislado en presencia de fuerza de fricción

cinética

METODOLOGÍA

Con el objeto de realizar el cálculo del esfuerzo cortante requerido para quitar la capa de pintura de

una tapa metálica, se realizó un montaje que consistía en dos tablas de triplex ensambladas

perpendicularmente, con dimensiones de 28cm x 23cm, correspondientes a la tabla inferior; por su

parte, la segunda tabla, constituyó el frente del arreglo y soporte del resorte, con unas medidas de 20

cm (altura) x 23 cm (base). Al mismo tiempo, se calculó la constante de recuperación del resorte

enganchando una masa de 0.650kg en el aro más próximo del resorte y colocándose en forma vertical

∑ �⃑� = 𝑤 − 𝑘(δ)

Δ𝐸𝑚𝑒𝑐 = Δ𝐾 + Δ𝑈

Δ𝐸𝑚𝑒𝑐 = Δ𝐾 + Δ𝑈= −𝑓𝑟𝑑

para que el peso del objeto alongará el resorte y por medio de la ecuación 2 calcular dicha constante.

Lo anterior se puede observar en las figura 1 y 2.

Figura 1. Longitud del resorte sin elongar. Figura 2. Longitud del resorte luego de acoplarse la masa

Seguido a esto, con ayuda de un martillo y un clavo se hizo un pequeño orificio en uno de los lados de

la tapa que oscilaría, con el fin de fijarlo al resorte, lo cual se logró con una pinza que permitió tomar

una pequeña parte del mismo en uno de sus extremos para introducirlo al agujero hecho con

anterioridad en la checa; asimismo, utilizando silicona caliente se selló esta unión para impedir el

movimiento aleatorio de la ya mencionada al impulsar el resorte.

Continuo a esto, se pegó el tubo de PVC (cuyas dimensiones son 0.09m de largo y 1in 4 de diámetro)

con pegamento de caucho, primero, vertiendo una pequeña cantidad de ésta en la tabla y en el borde

del área transversal del ya mencionado tubo, y posteriormente dejándose secar el adhesivo por 10

minutos para luego acoplar ambas piezas. Cabe resaltar que con el fin de impedir movimientos

‘indeseados’ del resorte se hizo necesaria la presencia de esta última pieza.

Realizado el acople, se adhirió el resorte desde el extremo, opuesto a la ubicación de la tapa, a la tabla

posicionada verticalmente siguiendo la misma serie de pautas que para el ensamble del tubo. Acto

seguido, se procedió a dejar inmóvil la otra checa, empleando un soporte de plástico, adhiriendo la

última sobre éste, el cual facilitó la altura justa (0.013m medidos desde la tabla inferior) para el roce

de las dos checas en el momento de la oscilación; así como también, una distancia precisa (0.17cm

medidos desde la tabla vertical) para considerar la elongación requerida para el cálculo. Debido a que

era necesaria una fuerza vertical entre checa y checa se adicionó plomo dentro de la checa superior

para de ésta manera adicionarle masa y por consiguiente aumentar su peso. El procedimiento de

vaciado del metal en la tapa se llevó a cabo en un taller especializado en metales y por ende no sé

conocen detalles del método llevado a cabo.

4 Abreviatura de inches (inglés) cuya traducción en español es pulgadas, la cual corresponde a una de las unidades de longitud en

el sistema inglés de medidas.

Cuando se finalizó el ensamblaje se dejó por alrededor de una hora en reposo para permitir una mejor

articulación entre las piezas y evitar que se desarmase en medio de la puesta en marcha, obteniéndose

finalmente el montaje descrito en la figura 3.

Figura 3. Montaje experimental.

Se realizaron las deformaciones, alongando el resorte a una distancia de 0,21m desde su origen y

liberándose, permitiendo así la recuperación del mismo, y como consecuencia de esto, el roce entre las

dos checas, para finalmente retomar la posición inicial. Lo anterior se repitió unas 856 veces hasta

retirar casi completamente la pintura de la parte superior de la tapa metálica o checa. La serie de pasos

descritos se pueden observar en las figuras 3,4 y 5 respectivamente.

Figura 2. Elongación del resorte Figura 3. Recuperación del resorte

Figura 4. Retoma posición inicial

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Tan pronto como se finalizó la prueba, se pudo enumerar algunas apreciaciones que contextualizaran

mejor las operaciones que se llevaron a cabo, por ejemplo, ya que se hizo uso de un resorte como

facilitador en el análisis, cabe aclarar que este no presentaba un movimiento amortiguado clásico debido a

una alta constante de elasticidad (que lo conducía a un comportamiento críticamente amortiguado) y a

que, para mantener un estándar en la reproducibilidad de cada oscilación, se le añadía en cada ciclo una

fuerza restauradora que permitía suponer un gasto energético constante sobre el sistema.

Otra importante anotación que debe esclarecerse gira sobre el soporte direccional que se le asigno como

función al tubo de PVC: No se tendrá en cuenta la fricción entre el tubo y el resorte, es decir el resorte se

mueve libremente sobre el tubo, pero sin tomar una dirección que no fuese en el eje señalado por este

último. Esto con el fin de simplificar los cálculos.

Como primera medida, se calculará la constante recuperadora del resorte aplicando la ecuación 3 donde

los términos correspondientes a 𝑚 , 𝑔 y 𝛿 son conocidos y corresponden a 0.650𝑘𝑔, 9.80 𝑚𝑠2⁄ y 0.057 𝑚

respectivamente.

Despejando 𝑘 de 3:

1. Se suma a ambos lados la expresión 𝑘𝛿;

𝑚𝑔 − 𝑘𝛿 + 𝑘𝛿 = 𝑘𝛿

2. Se divide entre delta a lado y lado de la igualdad;

𝑚𝑔

𝛿=

𝑘𝛿

𝛿

𝑚𝑔

𝛿= 𝑘

3. Se reemplazan valores conocidos y se obtiene el valor de 𝑘;

0.650𝑘𝑔 × 9.8 𝑚𝑠2⁄

0.057𝑚= 𝑘

𝑘 = 111.75

𝑘𝑔 𝑚𝑠2⁄

𝑚⁄

= 111.75 𝑁𝑚⁄

Para el cálculo del esfuerzo cortante en este experimento, es decir la fuerza por unidad de área

aplicada sobre una superficie, más específicamente entre dos tapas de metal, se hará uso del

principio de la conservación de la energía enunciada en la ecuación 5, estableciendo condiciones

iniciales y finales, se hará el respectivo análisis sobre la masa desplazada por el resorte. En

primera instancia se hará la conjetura que los cambios energéticos serán netamente mecánicos

(cambios en energía cinética y potencial) y no habrá perdida de energía en otra forma alguna, esto

se hace veraz si se tiene en cuenta que el periodo de tiempo en que el sistema masa-resorte

realizaba una oscilación era inferior a un segundo y por ello los factores como la fricción con el

viento, el intercambio de energía en forma de calor con los alrededores, y la ya mencionada

fricción con el tubo PVC se aproximaran a condiciones ideales, es decir podemos trabajar el

sistema como un sistema aislado.

La energía mecánica de la masa se debe conservar en el principio y el final a menos que haya

intercambio energético por medio de un trabajo realizado por la misma hacia los alrededores.

Estableciendo condiciones iniciales y finales se obtiene qué:

5) 1

2𝑚𝑣𝑜

2 + 𝑚𝑔ℎ𝑜 + 1

2𝑘𝑥𝑜

2 =1

2𝑚𝑣𝑓

2 + 𝑚𝑔ℎ𝑓 + 1

2𝑘𝑥𝑓

2 + 𝑓𝑟𝑑

El subíndice 0 se usa para notar las condiciones iniciales y el análogo 𝑓 para referenciar las

condiciones finales. El término 𝑓𝑟𝑑 hace referencia al trabajo realizado por una tapa de metal

sobre otra y está determinado por el producto de la fuerza de fricción cinética o fuerza de

rozamiento, y la distancia en la que se aplica la misma.

Como la masa hace un movimiento completamente horizontal podemos advertir que ℎ𝑜 = ℎ𝑓 y

con ello se nota que no existió cambio en la energía potencial de la misma, además en el tiempo

justo en que t=0, es decir instantáneamente después a que la checa es liberada, la velocidad inicial

es 0 y además al final de la oscilación, debido al gran amortiguamiento, la velocidad de la masa se

hace 0, es decir que no hubo cambio en la energía cinética.

Con base en lo anterior se procede a eliminar los términos semejantes obteniendo la siguiente

expresión final;

5𝑎) 1

2𝑘𝑥𝑜

2 =1

2𝑘𝑥𝑓

2 + 𝑓𝑟𝑑

De ésta última expresión es importante notar que si se asume la posición de equilibrio como 0,

siendo la posición de equilibrio la ubicación donde el sistema se encuentra en reposo, la posición

final será 0 y por ende la energía potencial elástica final será igual a 0. Obteniendo finalmente la

expresión;

4𝑏) 1

2𝑘𝑥𝑜

2 = 𝑓𝑟𝑑

Donde el término de la izquierda corresponde a la energía potencial elástica en t=0 y 𝑥𝑜

corresponderá a la elongación hecha al resorte para que el sistema realizase la oscilación, es decir

que es pertinente reemplazar la notación de 𝑥𝑜 por 𝛿.

4𝑐) 1

2𝑘𝛿2 = 𝑓𝑟𝑑

De la ecuación 55b se procederá a despejar la fuerza de rozamiento, la cual no es más que la

fuerza de fricción cinética que existe entre el par de tapas al pasar una sobre otra en movimiento, y

ésta es quien en realidad nos interesa en nuestra experiencia ya que será quien ocasione el

desprendimiento de pintura de la checa fija y de esta manera ocasionar el brillo de misma.

Conociendo 𝑘 cuyo valor fue hallado previamente, la elongación (𝛿) hecha para cada oscilación,

la cual equivale a 0,068𝑚 y 𝑑 que equivaldrá al diámetro de la tapa, el cual es de 0.03𝑚, se

procede a despejar de la ecuación 4c a 𝑓𝑟 y se reemplazan los términos conocidos:

1

2

𝑘𝑥𝑜2

𝑑= 𝑓𝑟

1

2

(111.75 𝑁𝑚⁄ ) × (0.068𝑚)2

(0.03𝑚)= 𝑓𝑟

8.6𝑁 = 𝑓𝑟

Se calculó que por cada oscilación se aplicaban 8.6N de fuerza entre checa y checa como fricción

cinética.

Ahora bien, como lo que se necesita saber es cuanta fuerza se necesita para brillar toda una checa,

se multiplicara esta fuerza por el número de oscilaciones realizadas el cual equivale a 725.

𝑓𝑟𝑇 = 856 × 8.4𝑁

𝑓𝑟𝑇 = 7190.4𝑁

Con la fuerza total aplicada conocida, aplicando la ecuación 1 se conocerá el esfuerzo cortante;

𝜏 =𝐹

𝐴

𝜏 =7190.4𝑁

𝜋 × (0.015𝑚)2

𝜏 = 10172335.1 𝑃𝑎

El esfuerzo cortante total para pelar una checa es de 10,172.3351 kPa.

CONCLUSIONES

Luego de realizada la experiencia se logró, en primera instancia, construir paralelos que

permitieron dimensionar las magnitudes de fenómenos que ocurren en el diario vivir y que por

razones aleatorias se les resta importancia. Cabe resaltar, que a pesar que el problema examinado

pretendía tener un grado de complejidad menor, la búsqueda de una metodología adecuada fue

laboriosa. Sin embargo, las pautas usadas para el cálculo del esfuerzo cortante entre las dos

‘checas’ finalizaron en un satisfactorio resultado, representado en 10,172.3351kPa.

Con todo lo que se ha expuesto hasta ahora, el orden de la cantidad atribuida al esfuerzo cortante

calculado estuvo fuera de lo premeditado. Se esperó, en cuanto a tamaño, una fuerza menor al

equivalente del peso de una persona promedio, pero se ubicó en una escala que duplica esa

estimación. Con esto se finaliza alcanzando una idea de la proporción de no solo un evento como

lo es esta experiencia, sino de otras situaciones cotidianas.

BIBLIOGRAFÍA

1. Vicerrectoria Académica. [Internet] Universidad Nacional de Colombia, sede Palmira.

Disponible desde: <

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/palmira/5000155/lecciones/lec1/1_8.htm

> Último acceso: 24 de Febrero del 2015.

2. R. Serway, J. Jewett, “Conservación de energía”. En: Física para ciencias e ingeniería,

volumen 1, séptima edición; ed: Cengage Learning, México D.F., p. 195-213.

3. Sears, Zemansky, H. Young, R. Freedman, A. Lewis, “Trabajo y energía cinética”.

En: Física Universitaria,Volumen 1, ed: Pearson educación, México pág. 193-200