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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍAAERONÁUTICA Y DEL ESPACIO

FÍSICA I

TEORÍAMecánica

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍAAERONÁUTICA Y DEL ESPACIO

TEMA 6.- GEOMETRÍA DE MASASJosé Carlos JIMÉNEZ SÁEZPablo PALACIOS CLEMENTE

Santiago RAMÍREZ DE LA PISCINA MILLÁN

ÍNDICE GEOMETRÍA DE MASAS

6. Geometría de masas 16.1. Centro de masas de un sólido rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

6.1.1. Densidad de un sólido rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.2. Definición del centro de masas de un sólido rígido . . . . . . . . . . . . 36.1.3. Centroide o baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.1.4. Cálculo de centroides de áreas y de líneas planas . . . . . . . . . . . . . 4

6.2. Momentos y productos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.2.1. Momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.2.2. Radio de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2.3. Productos de inercia. Tensor de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.2.4. Teorema de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.3. Momentos de inercia para áreas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6 Geometría de masas

6.1. Centro de masas de un sólido rígido

6.1.1. Densidad de un sólido rígidoDado un sólido rígido de masa total M y volumen V, se define su densidad media como

ρM = M

V

En el caso general, la concentración de masa por unidad de volumen puede ser diferente deunas regiones a otras del sólido. Así, si seleccionamos un volumen ∆V 1 cuya masa total sea∆M 1 en una cierta zona del sólido y hacemos lo mismo para otra zona distinta, de volumen∆V 2 y masa ∆M 2, las densidades medias no serán iguales en el caso general

ρM1 = ∆M1

∆V16= ∆M2

∆V2= ρM2

Figura 6.1: Posición de un diferencial de masa dm de volumen dv en un sólidorígido.

Se define la densidad volumétrica de masa (cantidad de masa por unidad de volumen) enun punto del sólido rígido (Fig. 6.1) en el que existe un elemento de masa ∆m de volumen ∆vcomo

ρ(~r) = lım∆v→0

∆m∆v = dm

dv (6.1)

FÍSICA I Teoría: Geometría de masas 6.2

que, como se ha razonado, puede tomar distintos valores en puntos diferentes y, en consecuencia,representa un campo escalar ρ(x,y,z) (o, simplificadamente ρ(~r)) definido en cada punto delvolumen V que ocupa el sólido rígido (fuera del volumen V, ρ=0, aunque también puedenexistir puntos interiores donde ρ sea nula).

La definición anterior de densidad también se puede aplicar a sistemas que no sean sólidosrígidos, como fluidos compresibles o incompresibles. La característica particular en el caso de unsólido consiste en que en un mismo punto de éste la densidad tiene siempre el mismo valor, o,lo que es equivalente, el campo escalar ρ(~r) es estacionario en la región V donde está definido.

Hay ocasiones en las que las únicas dimensiones significativas de un sólido rígido son las deuna superficie S o las de una línea L, en lugar de las de un volumen V. En el caso de un sólidoen forma de superficie, se definen la densidad media y la densidad por unidad de superficie (osuperficial) en un punto como

σm = M

Sσ(~r) = dm

ds

respectivamente, y en el caso de un sólido con forma de línea, se define la densidad media y ladensidad por unidad de longitud (o longitudinal) en un punto como

λm = M

Lλ(~r) = dm

dl

respectivamente. La masa M total del sólido rígido está relacionada con la densidad, en cadauno de los tres casos considerados: sólido volumétrico, superficial y curvilíneo, mediante

M =∫V

ρ(~r)dv M =∫S

σ(~r)ds M =∫L

λ(~r)dl

donde, para aplicar estas relaciones, es necesario que el elemento de masa dm esté, todo él,en una posición ~r en la que el valor de la densidad (ρ(~r), σ(~r) o λ(~r), según el caso) estéunívocamente determinado para que así los integrandos estén bien definidos y sea posiblecalcular las integrales correspondientes.

Decimos que un sólido rígido es homogéneo cuando su densidad es constante (tiene el mismovalor en todos los puntos), es decir

ρ = cte σ = cte λ = cte

según el caso considerado.

Para un sólido homogéneo la densidad media coincide con la densidad en cada punto:

ρ = M

Vσ = M

Sλ = M

L

Las ecuaciones de dimensiones y unidades en el SI de cada una de las densidades definidasson

[ρ] = L−3M [σ] = L−2M [λ] = L−1M

1 m−3 · kg 1 m−2 · kg 1 m−1 · kg


6.1.2. Definición del centro de masas de un sólido rígidoLa definición [5.12] de centro de masas es aplicable, tal cual, a un sólido que pueda

considerarse constituido por partículas materiales independientes. En el caso de que el sólidorígido tenga una masa M distribuida de forma continua en un volumen V, su centro de masasC viene definido, respecto al sistema de referencia S, por el vector de posición

~rC = 1M

∫V

~rdm (6.2)

o, equivalentemente, sus coordenadas en tal sistema de referencia están dadas por

xC = 1M

∫V

xdm yC = 1M

∫V

ydm zC = 1M

∫V

zdm

El vector ~r = x~i+y~j+z~k indica la posición del punto de masa dm que estamos considerando.Para obtener un integrando que sea fácil de manejar matemáticamente es necesario expresarde otra forma el dm. Sea ρ(~r) (o σ(~r) o λ(~r)) el valor de la densidad en el punto definido porel vector de posición ~r y dv (o ds o dl) un elemento de volumen (o de superficie o de longitud)infinitesimal en torno a ese punto. Se cumple que

dm = ρ(~r)dv dm = σ(~r)ds dm = λ(~r)dl

según sea el caso.

En realidad solo hemos de exigir que el valor de la densidad sea el mismo en el elemento dv(o ds o dl) elegido, por lo que es frecuente tratar con elementos infinitesimales de volumen dv(de superficie ds o de línea dl) algunas de cuyas dimensiones sean finitas, siempre que existansimetrías en el sólido que permitan simplificar el problema de esta forma.

La expresión [6.2] se puede escribir de las formas

~rC = 1M

∫V

~rρ(~r)dv ~rC = 1M

∫S

~rσ(~r)ds ~rC = 1M

∫L

~rλ(~r)dl (6.3)

según sea el caso que se esté tratando. Las ecuaciones [6.3] son calculables matemáticamentesiempre que conozcamos las funciones densidad respectivas.

El centro de masas C de un sólido rígido representa, dinámicamente, el punto fundamentalpara explicar la traslación instantánea del sólido, como veremos más adelante en el capítulo 9.

6.1.3. Centroide o baricentroPara un sólido rígido homogéneo, la densidad es constante y la primera de las ecuaciones

[6.3] se puede escribir como

~rC = 1M

∫V

~rρdv = ρ

ρV

∫V

~rdv = 1V

∫V

~rdv


y lo mismo para las otras dos. Es decir, en este caso las definiciones de centro de masa parasólidos homogéneos que representan volúmenes, áreas o líneas, se reducen a

~rC = 1V

∫V

~rdv ~rC = 1S

∫S

~rds ~rC = 1L

∫L

~rdl (6.4)

respectivamente. Como se ve, en estas expresiones no hay ya ninguna referencia a masas ni adensidades, sino solo a formas geométricas y volúmenes, áreas o superficies. Las ecuaciones [6.4]constituyen la definición de centroide o baricentro de un volumen V, de una superficie S o deuna línea L, en el orden indicado.

Así, el centroide de una figura geométrica coincide con el centro de masas de un sólidomacizo y homogéneo que ocupe el volumen, la superficie o la longitud de tal figura, sea cualsea la masa del sólido.

6.1.4. Cálculo de centroides de áreas y de líneas planasPara la determinación de centroides de áreas o de líneas planas son muy útiles los dos

teoremas de Pappus-Guldin.Teorema primero de Pappus-Guldin

“El volumen de revolución, V, generado por un área plana alrotar una vuelta completa en torno a un eje contenido en el planoy que no la corta es igual al valor del área plana S multiplicadopor la longitud que recorre su centroide en esa revolución”.

Figura 6.2: Variables para demostrar el teorema primero de Pappus-Guldin.

Es decir

V = 2πdCS (6.5)

donde dC representa la distancia entre el centroide C del área S y el eje de revolución.


La demostración es sencilla. Sea un área plana S que descomponemos en elementosinfinitesimales ds de coordenadas (x,y) (Fig. 6.2). En una revolución completa en torno aleje OY (que no debe cortar al área S) el elemento ds genera un volumen

dv = 2πxds

Integrando la expresión anterior a todo el área S se obtiene

V =∫V

dv = 2π∫S

xds

donde V representa el volumen generado por toda el área S en la revolución en torno al ejeOY. Por la definición [6.4] de centroide resulta

V = 2πxCS = 2πdCS

Teorema segundo de Pappus-Guldin

Figura 6.3: Variables para demostrar el teorema segundo de Pappus-Guldin.

“La superficie de revolución, S, generada por una curva plana alrotar una vuelta completa en torno a un eje contenido en su

plano y que no la corta es igual a la longitud L de la curva planamultiplicada por la longitud que recorre su centroide en esa

revolución”.

Es decir

S = 2πdCL (6.6)

siendo dC la distancia entre el centroide C de L y el eje de revolución.


La demostración es prácticamente igual que en el caso anterior. Sea una línea plana delongitud L. Dividámosla en elementos infinitesimales dl de coordenadas (x,y) e imaginemosuna revolución completa en torno al eje OX (Fig. 6.3). El área ds generada por el elemento dlal rotar una vuelta es

ds = 2πydl

e integrando a toda la línea L,

S =∫S

ds = 2π∫L

ydl

Finalmente, por la definición [6.4] de centroide se obtiene

S = 2πyCL = 2πdCL

Aplicaciones

Los teoremas de Pappus-Guldin son útiles, en primer lugar, para calcular centroides de áreaso líneas planas simples. Así, por ejemplo, el centroide de un semicírculo de radio R viene dadopor

dC = 4R3π

donde dC representa la distancia entre el centroide y el diámetro que delimita el semicírculo.Análogamente, la posición del centroide de una semicircunferencia viene dada por la distancia

dC = 2Rπ

medida respecto al diámetro que la delimita.

Los teoremas de Pappus-Guldin sirven también para calcular volúmenes o áreas derevolución. Así, el volumen de un toroide generado por un círculo de radio r al girar en torno aun eje que no lo corta, y siendo R la distancia entre el centro del círculo y el eje de revolución,es:

V = 2π2Rr2

y la superficie del toroide, en las mismas condiciones, es

S = 4π2Rr

Los dos teoremas se pueden generalizar: En el caso de que el eje corte a la superficie, entonces

V2 − V1 = 2πdCS


siendo V 1 y V 2 los volúmenes de revolución generados por cada una de las dos superficies, S1y S2, en que divide el eje a la superficie total (S=S1+S2). En este caso es necesario definir unsentido en el eje en el que se mide la distancia dC (perpendicular al eje de rotación) que puedeser positiva o negativa. De esta manera S2 estaría en la dirección positiva de dicho eje y S1 enla dirección negativa de dicho eje.

Análogamente, en el caso de que el eje corte a la línea, y siendo S1 y S2 las superficies derevolución generadas por cada una de las dos líneas, L1 y L2, en que divide el eje a la curva, severifica:

S2 − S1 = 2πdCL

aplicándose las mismas consideraciones que en el caso anterior.

6.2. Momentos y productos de inercia

6.2.1. Momentos de inerciaDado un sólido rígido de masa M y que ocupa un volumen V, se define su momento de

inercia respecto a un punto, respecto a un eje o respecto a un plano como

I =∫M

d2dm (6.7)

siendo d la distancia del elemento dm al punto, eje o plano, respectivamente (Fig. 6.4).

Figura 6.4: Distancia d del dm de un sólido rígido a un eje para calcular elmomento de inercia respecto a dicho eje.

Para que la definición anterior tenga sentido, la distancia d debe caracterizar completamenteal elemento dm para que así esté definido el integrando en la ecuación [6.7] y se pueda calcularla integral. En muchas ocasiones, en las que el sólido presenta simetrías, se pueden elegirelementos de volumen dv, (dm=ρdv), que permitan simplificar el cálculo del momento deinercia, reduciendo la integral de la ec. [6.7], que en general implica tres variables de integración,a dos variables e incluso a una.


Si el sólido está en movimiento respecto al punto, eje o plano que consideremos, entonces elmomento de inercia es una función del tiempo y cambia a lo largo del movimiento. El momentode inercia es constante cuando el punto, eje o plano están ligados al sólido.

Dinámicamente, encontraremos un importante sentido físico al momento de inercia respectoal eje instantáneo de rotación y deslizamiento para un sólido en movimiento: El momento deinercia respecto a tal eje supuesto fijo representa el coeficiente con que el sólido respondeinstantáneamente mediante una rotación al momento resultante aplicado sobre él (ec. [8.20]),de forma análoga a como la masa M representa el coeficiente con el que el centro de masas delsólido responde mediante una traslación a la fuerza resultante aplicada sobre él (ec. [8.15]). Elmomento de inercia respecto a un eje representa para la rotación del sólido lo mismo que lamasa para su traslación.

Los momentos de inercia respecto a puntos o planos no tienen un significado físico tan claro,dinámicamente. Sin embargo son útiles en muchas ocasiones para el cálculo de momentos deinercia respecto a ejes.

La ecuación de dimensiones y unidad en el SI del momento de inercia de un sólido rígidoson

[I ] = L2M 1 m2 · kg

respectivamente, como es evidente.

Figura 6.5: Diferencial de masa dm de un sólido en dos sistemas de referencia.

Para el sólido y los sistemas de ejes S y S’, paralelos, de la Fig. 6.5, donde la posición delelemento genérico dm viene determinada por

~r = x~i+ y~j + z~k y ~r′ = x′~i+ y′~j + z′~k

respectivamente, los momentos de inercia respecto a los puntos O y O’ son diferentes y vienendados por

IO =∫M

(x2 + y2 + z2)dm 6= IO′ =∫M

(x′2 + y′2 + z′

2)dm


y lo mismo sucede, en general, para los momentos de inercia respecto a los distintos ejes oplanos que se puedan considerar.

Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados del sistema S están dados por

IOx =∫M

(y2 + z2)dm ; IOy =∫M

(x2 + z2)dm ; IOz =∫M

(x2 + y2)dm

Se recomienda comprobar gráficamente que las distancias del elemento dm a cada ejeconsiderado son las correctas.

Los momentos de inercia respecto a los planos coordenados z = 0, y = 0 y x = 0 son

IOxy =∫M

z2dm ; IOxz =∫M

y2dm ; IOyz =∫M

x2dm

respectivamente, donde aquí las distancias del dm a los planos respectivos son más evidentes.

Teniendo en cuenta todas las expresiones anteriores es fácil verificar las siguientes relacionesimportantes entre momentos de inercia:

2IO = Ix + Iy + Iz

Ix = Ixy + Ixz

Iy = Ixy + Iyz

Iz = Ixz + Iyz

IO = Ixy + Iyz + Ixz

(6.8)

donde hemos prescindido del origen del sistema de referencia (punto que atraviesa el eje o elplano) para simplificar la notación. Las ecuaciones [6.8] se utilizarán a menudo para obtenermomentos de inercia respecto a ejes para sólidos que presenten simetrías. Así, para el caso deuna esfera maciza y homogénea de centro O, radio R y masa M, todos los ejes que pasan porsu centro son equivalentes por simetría

Ix = Iy = Iz

y, en consecuencia,

2IO = Ix ⇒ Ix = 2IO/3

Para una esfera es mucho más fácil calcular el momento de inercia respecto de su centro IO

que Ix. En efecto,

IO =∫M

r2dm

y con

dm = ρdv; ρ = 3M4πR3 ; dm = 4πr2ρdr


resulta

IO = 3MR3

R∫0

r4dr = 35MR2

y en consecuencia

Ix = 23IO = 2

5MR2

Se recomienda como ejercicio realizar con detalle el desarrollo anterior, representandográficamente la esfera y los elementos dm considerados y analizar qué sucede para una superficieesférica de masa M y radio R.

6.2.2. Radio de giroEl momento de inercia de una partícula material de masa M respecto a un eje e viene dado

por

Ie = Mr2

donde r representa la distancia, única en cada instante, de la partícula al eje.

Para un sólido rígido de masa M, cuyo momento de inercia respecto a un eje e valga Ie, sedefine el radio de giro Rg del sólido respecto a tal eje como

Rg =√Ie

M(6.9)

que es equivalente a Ie = MR2g. El radio de giro representa la distancia al eje a la cual una

partícula material que tuviese la misma masa que el sólido tendría también el mismo momentode inercia. Evidentemente, el radio de giro determina el momento de inercia y viceversa.

Para una superficie cilíndrica (o un aro) el radio de giro respecto a su eje de simetría coincidecon su radio, pero en general los radios de giro de sólidos son menores que la distancia máximade los puntos del sólido al eje considerado.

De la misma forma se pueden definir radios de giro respecto a puntos o planos, pero carecende sentido físico en dinámica del sólido rígido.


6.2.3. Productos de inercia. Tensor de inerciaSe definen los productos de inercia relativos a un sistema de ejes OXYZ para un sólido

rígido mediante

POxy =∫Mxydm = POyx

POxz =∫Mxzdm = POzx

POyz =∫Myzdm = POzy

(6.10)

que tienen las mismas dimensiones que los momentos de inercia. Algunos autores definen losproductos de inercia con el signo opuesto.

Al cambiar de sistema de ejes los productos de inercia cambian. Si el sólido está enmovimiento respecto a los ejes OXYZ entonces los productos de inercia son funciones deltiempo, solo serán constantes si el sistema de ejes está ligado al sólido.

En las definiciones [6.10] los términos x, y, z que aparecen en los integrandos son lascoordenadas del punto donde está el dm del sólido en OXYZ.

Los productos de inercia determinan el grado de simetría de la distribución de masaρ(x,y,z) del sólido respecto a los ejes considerados. Si el sólido es homogéneo, la simetría de ladistribución de masas coincide con la simetría geométrica del volumen que ocupa, representadapor centros, ejes o planos de simetría.

En el caso más general de movimiento del sólido, sus propiedades respecto a la rotaciónvienen dadas por el tensor de inercia IO que es un tensor de segundo orden cuya representaciónen un sistema de ejes OXYZ está determinada por nueve escalares, de la misma forma que unvector (tensor de primer orden) se representa mediante tres escalares (sus tres componentesen OXYZ ). La justificación se verá más adelante, al estudiar el momento cinético de un sólidorígido en el caso general. Las nueve componentes del tensor de inercia son, en forma matricial,

IO =

IOx −POxy −POxz

−POxy IOy −POyz

−POxz −POyz IOz

(6.11)

y, como se ve, es un tensor simétrico (la matriz que lo representa es simétrica).

Toda matriz simétrica como la [6.11] es diagonalizable, lo que quiere decir que siemprees posible elegir unos ejes ortogonales OX’Y’Z’, rotados respecto a los OXYZ, en los que larepresentación del tensor de inercia toma la forma de matriz diagonal

IO =

IOx′ 0 00 IOy′ 00 0 IOz′

(6.12)

A los ejes OX’Y’Z’ que cumplen esta condición se les llama ejes principales de inercia en O ya los momentos de inercia IOx′ , IOy′ e IOz′ respecto a ellos, momentos principales de inercia. Losplanos coordenados OX’Y’, OY’Z’ y OZ’X’ se denominan planos principales. Para cualquier


punto O siempre existen ejes principales de inercia en cada instante de tiempo (o en todoinstante si el sistema de ejes está ligado al sólido). Respecto a los ejes principales de inercia,los productos de inercia son nulos.

En general, los tres momentos principales de inercia son diferentes y decimos que el sólidoes asimétrico. Si dos de ellos coinciden diremos que el sólido es simétrico y si coinciden los tres,que es esférico. En particular, el centro de masas C del sólido se utiliza a menudo como origendel sistema de referencia en el que representar el tensor de inercia que se dice entonces central.Uno de los triedros con centro el centro de masas C corresponde al triedro de ejes principalesde inercia en ese punto

IC =

ICx 0 00 ICy 00 0 ICz

(6.13)

Como se dijo, los productos de inercia y los ejes principales de inercia tienen que ver conlas simetrías del sólido respecto a los ejes elegidos. Así:

a) Un eje de simetría n-gonal es un eje principal de inercia respecto a cualquiera de suspuntos (decimos que un eje de simetría es n-gonal si al rotar el sólido en torno a él un ángulo2π/n con n>1 no se altera su distribución de masa).

b) En cualquier punto de un eje de simetría trigonal o tetragonal dos de los momentosprincipales de inercia son iguales.

c) La normal a un plano de simetría es un eje principal de inercia relativo al punto en quecorta al plano de simetría.

Si el sólido es homogéneo las propiedades de simetría respecto a la distribución de masasse reducen a simetrías geométricas. Dos sólidos rígidos que tengan la misma masa totaly los mismos momentos principales de inercia respecto al centro de masas se dice queson equimomentales. Dos cuerpos rígidos equimomentales tienen el mismo comportamientodinámico.

6.2.4. Teorema de Steiner

El teorema de Steiner o de los ejes paralelos dice:

“El momento de inercia de un sólido rígido respecto a un eje esigual a su momento de inercia respecto a otro eje paralelo alprimero y que contenga al centro de masas del sólido más elproducto de la masa del sólido por el cuadrado de la distancia

que separa ambos ejes”.


Es decir,

IO′z′ = ICz +Md′2 (6.14)

para cualesquiera dos ejes O’Z’ y CZ paralelos y distantes d’ entre sí.

Figura 6.6: Diferencial de masa dm de un sólido en dos sistema de referencia,uno con origen el CM.

La demostración es sencilla. Sean dos sistemas de ejes O’X’Y’Z’ y CXYZ paralelos con elorigen del segundo en el centro de masas del sólido (Fig. 6.6). Elijamos dos ejes cualesquiera,como O’Z’ y CZ. El momento de inercia respecto al eje O’Z’ es

IO′z′ =∫M

(x′2 + y′2)dm

Los vectores de posición ~r y ~r′ de un elemento de masa dm desde ambos sistemas de ejes yel vector de posición ~r′C del centro de masas desde el sistema O’X’Y’Z’ se representan mediante

~r = x~i+ y~j + z~k

~r′ = x′~i+ y′~j + z′~k

~r′C = x′C~i+ y′C~j + z′C~k

y están relacionados entre sí por

~r′ = ~r + ~r′C

lo que implica, en particular, que

x′ = x+ x′Cy′ = y + y′C

Sustituyendo estas ecuaciones en la expresión de IO′z′ , resulta


IO′z′ =∫M

(x2 + y2)dm+ 2x′C∫M

xdm+ 2y′C∫M

ydm+ (x′C2 + y′C

2)∫M

dm

donde x′C e y′C salen fuera del integrando ya que no dependen de las variables de integración.El primer término del segundo miembro es el momento de inercia del sólido respecto al ejeCZ, ICz. El segundo y el tercer término se anulan, ya que las integrales son proporcionales alas coordenadas xCC e yCC del centro de masas en el sistema CXYZ que tiene como origen elcentro de masas (en él, xCC=0, yCC=0 y zCC=0). En efecto:

xCC = 1M

∫M

xdm = 0 yCC = 1M

∫M

ydm = 0

El último término es igual a la masa total del sólido multiplicada por el cuadrado de ladistancia d’ entre los ejes O’Z’ y CZ (en efecto, d′2 = x′C

2 + y′C2 como es fácil ver). Resulta

IO′z′ = ICz +Md′2

Para dos ejes paralelos O”X” y O’X’ tales que ninguno de ellos contenga al centro de masas,la relación entre momentos de inercia viene dada por

IO′x′ = IO′′x′′ +M(d′2 − d′′2)

siendo d” y d’ las distancias entre los ejes O”X” y O’X’ y unos paralelos que contengan alcentro de masas, respectivamente.

Es claro que (d′2−d′′2) no representa el cuadrado de la distancia entre los ejes O”X” y O’X’en general (¿en qué casos sí lo hace?).

El teorema de Steiner se refiere únicamente a momentos de inercia respecto a ejes, pero sepuede generalizar al caso de puntos

IO = IC +M∣∣∣−→OC∣∣∣2

y de planos

IO′x′y′ = ICxy +Md2

donde CXY representa un plano que contiene al centro de masas, O’X’Y’ otro plano paraleloal anterior y d la distancia entre ambos.

Los productos de inercia verifican una ecuación similar, así se puede comprobar que:

PO′x′y′ = PCxy +MxCyC


6.3. Momentos de inercia para áreas planasEn muchos problemas de ingeniería para un área plana como la representada en la Fig. 6.7

aparecen expresiones de la forma ∫A

ydA ;∫A

y2dA

Se define el momento de primer orden o momento estático del área A respecto al eje OXmediante la expresión

MOx =∫A

ydA

y de la misma forma se puede definir el momento de primer orden respecto al eje OY.

Figura 6.7: Posición del diferencial de superficie dA de un sólido 2D.

Se define el momento de segundo orden o momento de inercia del área A respecto al eje OX(no debe ser confundido con el momento de inercia másico) como

IOx =∫A

y2dA

La denominación de momento de inercia es inadecuada, ya que se debería reservar para ladefinición [6.7], pero es práctica común en ingeniería llamarlo así.

Análogamente, se define el momento de inercia respecto del eje OY mediante

IOy =∫A

x2dA

y el momento polar de inercia del área A respecto al punto O como

IO =∫A

r2dA

siendo r la distancia entre el elemento dA y O.


Ambos momentos están relacionados entre sí por

IO =∫A

(x2 + y2)dA = IOx + IOy

La ecuación de dimensiones y la unidad en el SI de los momentos de inercia de áreas planasson

[IOx] = [IO] = L4 ; 1 m4

Se define el producto de inercia del área plana A respecto a los ejes XY como

POxy =∫A

xydA

Los momentos de inercia son siempre mayores que cero, pero los productos de inercia puedenser positivos o negativos.

Si rotamos el sistema OXYZ respecto a OZ, siempre existe un sistema de ejes OX’Y’Z’ enel que POx′y′ = 0 y a tales ejes les llamamos ejes principales de inercia del área plana A enel punto O. IOx′ e IOy′ son los momentos principales de inercia. Si tomamos como origen delsistema de referencia el centroide C del área plana, entonces a los ejes principales de inerciaCXYZ en C se les llama ejes principales centrales de inercia en C. Todas las propiedades desimetría relacionadas con los ejes principales de inercia y comentadas en el apartado anteriorson aplicables al caso de un área plana. Solo hay que tener en cuenta que ahora existe un planode simetría trivial, que es el que contiene a la propia área A.

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