ArtculoES AZAR, IMO LO LLAMES TELEPATAIntroduccin

Seg n la Encyclopedia of Claims, Frauds, andHoaxes ofthe OccultandSupernaturalde la pgin aoficial' 1' de James Randi, el trmin o percepcinextrasensorial (PES) fue acuad o por J. B. Rhine.La PES recogera un amplio conjunto de habilidadesextraordinarias que se desarrollan sin el concursode los sentidos conocidos: telepata, clarividencia,clariaudiencia, precognicin, etc. Rhine trabaj con lasconocidas cartas Zener (el nombre proviene de KarlZener), con las que se ha pretendido en distintas poca sy lugares probar la existencia de la telepata. Puestoque la carga de la prueba corresponde a quien realiza laafirmacin, no ser nuestro objetivo demostrar que latelepata no existe, tan slo mostraremos que cualquierexperimento con la baraja Zener es difcilmente vlido.Ponemos, pues, la duda en el dise o del experimento y,por tanto, en sus conclusiones.

La baraja ZenerLas cartas Zener se constituyen a partir de cinco palosdistintos (Imagen 1): smbolo de suma, cuadrado,crculo, lneas onduladas y estrella. Aunque la barajapuede formarse por cualquier mltipl o de cinco, lo m shabitual es una baraja de 25 cartas, es decir, cinco cartasde cada palo. Con el fin de fijar variables nos centramosexclusivamente en un experimento: una persona mirauna carta y procura trasmitirl su contenido a otrapersona por medio de su mente. La forma en que esteprocedimiento se realiza puede ser muy variado: las dospersonas frente a frente, de espaldas, el que no lee la cartacon los ojos tapados, sentados, de pie, en habitacionesdistintas, etc. Uno de los problemas de los experimentosrealizados por la mayora de los parapsiclogos es queraramente se controla con claridad la forma en que serealiza esta transmisin. En un experimento cientficodeben dejarse fijas una serie de variables (ceterisparibus)y dejar claro cule s se medirn .En este experimento, los parapsiclogos usan elsiguiente hecho: la probabilidad de acertar una carta esde un quinto. Es cierto, si tengo que elegir una cartaentre cinco posibilidades, la probabilidad de acierto es

(1) URL: http://www.randi.org/encyclopedia/..

el escptico

Eugenio Manuel Fernnde z AguilarLicenciado en Fsica y profesor de Secundaria

OD

Cartas Zener. (Autor)del 20% (1/5). A partir de aqu afirman: por tanto, loesperado por el azar tras sacar las 25 cartas es acertar 5,puesto que el 20% de 25 es 5. Tambi n es cierto queel 20% de 25 es 5 (aprobado en matemtica s de ltim ociclo de Primaria), pero no que sea lo esperado por elazar (suspenso en ltim o ciclo de Secundaria). Aquest el error de razonamiento que induce a afirmar laexistencia de la telepata. Es lo que vamos a estudiar eneste artculo.

Qu es el azar?Realizo con mis alumnos cada a o la misma experienciaclarificadora:

Se divide la clase en cuatro grupos, dos grupostiran una moneda y apuntan los resultados (carao cruz) y los otros dos imaginan que tiran lamoneda y apuntan los resultados que creen quesaldran.

Tras el peque o experimento, les pido que asignen unnombre a las hojas de resultados y adivino cule s sonlos grupos que hicieron el experimento real y cule sinventaron los resultados. Sin excepcin, acierto quine stiraron la moneda y quine s no (pido disculpas por estafalta de humildad). Primero intento convencerles de quetengo poderes paranormales pero, como me conocenmuy bien, no lo consigo. Me encanta verlos nerviosospreguntando cmo lo he sabido. En ese momento est nentendiendo que hay truco, es decir, que hay unaexplicacin racional, empiezan a abrazar la ciencia.

El Escptico. N 30. Mayo-Agosto 2009.

La razn de mi supuesto poder sobrenatural est en lapalabra azar y la ventaja que tengo sobre ellos en suconocimiento. Antes de que realicen el experimento lossugestiono: tened en cuenta que hay una probabilidaddel 50 % de que salga cara o de que salga cruz. Meacerco a los que imaginan que tiran la moneda y les repito(antes de que empiecen) esta frase en varias ocasiones,aadiendo cara cruz cara cruz cara cruz. Esto hace quelas configuraciones finales de caras y cruces entre los dosexperimentos sean muy diferentes. Nuestro cerebro no escapaz de admitir largas secuencias de caras o de crucesseguidas, pero el azar trabaja de otro modo, qu le vamosa hacer. Los sucesos elementales que conforman el ensayotirar una moneda repetidas veces son independientesentre s, por tanto no hay inconveniente en que salganestas secuencias de varias caras o cruces unas detrs deotras.

Secuencia real tpica:

cccccxxxcxccxcxxxccxxxxxxxc

Secuencia imaginaria tpica:

ccxcxcxcccxxcxxccxcxccxcxxx

Con este experimento procuro que entiendan lo que esuna experiencia aleatoria, en la que el azar juega un papelfundamental. En este tipo de experiencia no se sabe apriori qu suceso ocurrir'2'. El caso de la baraja Zeneres idntico: hay cinco palos y puede salir cualquiera,es decir, si levantamos una carta, es completamentealeatorio cul de ellas saldr. Pero los experimentosaleatorios pueden tratarse matemticamente atendiendoa las probabilidades que conforman los respectivossucesos elementales.

Tratamiento estadstico de experimentoscon la baraja ZenerNmero de palos: 5.

Nmero de cartas: 25 (5 de cada palo).

(2) Nota para profesores: Esta experiencia es magnfica para introducirla Ley de los Grandes Nmeros. La frecuencia relativa de lossucesos elementales se acerca tanto ms a la probabilidad cuantomayor es el nmero de ensayos. Al tirar la moneda unas pocasveces difcilmente se obtendrn 50% de caras y 50% de cruces. Siel nmero de tiradas supera el millar se acercar bastante ms.Se puede hacer una pequea aplicacin con una hoja de clculo,generando nmeros aleatorios, para ilustrar este resultado. Porejemplo, se realiza un generador que lance 10 monedas, 100monedas y 1000 monedas. Las fluctuaciones en el ltimo casoson menores. Hay un ejemplo en http://www.box.net/shared/se4jf8grl.

Procedimiento: tras barajarla, una persona va sacandouna detrs de otra y otra persona trata de adivinarlamediante una supuesta interaccin teleptica. Se apuntaA o F segn sea acierto o fallo.

Objetivo: mostrar que los resultados del experimento realpueden ser explicados con total normalidad medianteel tratamiento terico del azar, es decir, los resultadosobtenidos son acordes a lo esperado por el azar.

Metodologa: la idea es ver cul es la probabilidad deacertar un nmero k de cartas tras sacar n cartas.Se calcula mediante pasos (sacamos una carta, dos, etc.)para luego generalizar al caso de 25 cartas o cualquierotro nmero.

Sacamos la primera carta

Al sacar la primera carta es ms que evidente quetendremos una probabilidad de acierto de 1/5 y unaprobabilidad de error de 4/5. Es decir, podemos decirel palo que queramos al azar y nuestra decisin estargobernada por las probabilidades anteriores que, enporcentaje, sera del 20 % de probabilidad de xito y 80% de probabilidad de fracaso.

1 carta

70%60%50%40%30%20%10%0%

Aciertos

Sacamos la segunda carta

Tras sacar la primera carta, podemos seguir doscaminos: o hubo acierto o fallo. De cada una de stas,podremos tener, de nuevo, o acierto o fallo. Es decir, lasposibilidades son: AA, AF, FF, FA. La probabilidad decada una de estas configuraciones se calcular medianteproducto de las probabilidades independientes. De estas

Aciertos

el escptico

cuatro configuraciones se deducen tres opciones: Oaciertos (FF), 1 acierto (AF y FA) o 2 aciertos (AA).Tras sacar dos cartas la probabilidad de no acertarninguna carta ha bajado considerablemente (del 80%al 64%). La probabilidad de acertar una carta, por elcontrario, ha subido desde el 20% al 32%. Adems,aparece una nueva posibilidad, la de obtener 2 aciertos,con una probabilidad del 4%.

Tres cartas, cuatro cartas, etc.

Es fcil entender que a medida que se van sacando mscartas el abanico de posibilidades aumenta, lo cual produceun baile entre los porcentajes. La clave para entender estepunto es que la suma de todas las probabilidades debe sersiempre 1 (100% si hablamos de porcentajes).

4 cartas

45% -40% -35% -30% -25% -20% -,

10% -5% -

40,96% 40,96%

15,36%

2'56% 0 16%I I

0 1 2 3 4Aciertos

Cuando sacamos 4 cartas, se iguala la probabilidad de obtenerO aciertos con la de obtener un acierto. Pero la probabilidadde sacar O aciertos sigue bajando, as, tras sacar 6 cartas, esms probable es sacar 1 acierto que no obtener ninguno. Laprobabilidad de acertar 3 4 cartas tambin aumenta al sacar6 cartas.

Un nmero cualquiera de cartas: distribucin binomial

Cualquier matemtico, fsico o conocedor de lasdistribuciones estadsticas bsicas se habr dado cuenta deque estamos ante una distribucin binomial, que no esms que aquella que describe las distintas probabilidadesde un experimento aleatorio en el que se pueden definirdos sucesos elementales contrarios. Es nuestro caso:

A (acierto) >P(A)=l/5F (fallo) ->P(F)=4/5Sustituyendo en la expresin general'1' de la distribucinbinomial tendremos:

n\4,\nk

6 cartasCN

45% -40% -35% -30% -25% -20% -15% -10% -5% --i O/Uvo ~

O

CCDC\

co

n s?00irhS?O)

co ^ 3--. 5^

n - - i0 1 2 3 4 5 6

Aciertos

Donde n es el nmero de cartas sacadas, k esel nmero de aciertos del que se desea calcular laprobabilidad P(k). La utilidad de esta expresin es quenos sirve para una baraja de 10 cartas (n=10), 20 cartas(n=20) o del nmero que se desee. Como nuestro casoes de una baraja de 25 cartas, se fija pues n=25 y se vandando valores a k desde O (cero aciertos) hasta 25. Lagrfica de la siguiente pgina muestra los resultados.

Entre un nmero de 15 aciertos y 25 aciertos la probabilidadno es cero, lo que ocurre es que la probabilidad es muybaja(2).De aqu se pueden sacar algunas lecturas interesantes:

Efectivamente, la moda est en 5 aciertos. Existeuna probabilidad aproximada del 20% de acertar5 cartas, superior a cualquier otro nmero deaciertos.

Pero, hay una probabilidad aproximada del 38 %de sacar cualquier nmero de aciertos superiora 5 (se calcula, lgicamente, sumando lasprobabilidades que van desde 6 aciertos hasta 25aciertos). Es decir, es ms probable sacar ms de5 aciertos que sacar exactamente 5 aciertos.

De la misma forma, hay una probabilidadaproximada del 42 % de sacar menos de 5

(1) La expresin de la distribucin general es, donde

p y q son las probabilidades de los dos sucesos contrarios. Tambinse puede llegar a nuestro resultado por recurrencia, teniendo encuenta que estamos ante combinaciones ordinarias (no importa elorden y no pueden repetirse los elementos).

(2) Esta grfica muestra la distribucin de probabilidades, es decir,la tendencia que tendra la frecuencia relativa de cada suceso(nmero de aciertos). A mayor nmero de ensayos, ms se acercarel experimento real a la teora (Ley de los Grandes Nmeros). Enuna emisin de Cuarto Milenio (noviembre de 2008] hicieron unestudio sobre PES con seis individuos, un nmero absolutamentereducido que slo puede considerarse como ancdota, no comoexperimento cientfico.

el escp/'co

25 cartas

25% n

20% -

1 15% H