ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE ALGORITMOS MATEMÁTICOS …

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ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE ALGORITMOS MATEMÁTICOS EN LA

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS NUMÉRICOS Y ALGEBRAICOS EN

ESTUDIANTES NEO-TOMASINOS DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y

ECONÓMICAS

JOSE HERMES MARTÍNEZ SAAVEDRA

UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS

VICERRECTORÍA DE UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN

2015

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ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE ALGORITMOS MATEMÁTICOS EN LA

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS NUMÉRICOS Y ALGEBRAICOS EN

ESTUDIANTES NEO-TOMASINOS DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y

ECONÓMICAS

JOSE HERMES MARTINEZ SAAVEDRA

Trabajo de grado para optar al título de Magíster en Educación

Director

GUILLERMO LONDOÑO OROZCO

Candidato a Doctor en Educación y Sociedad

UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS

VICERRECTORÍA DE UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN

2015

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Nota de aceptación

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Firma del presidente del jurado

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Firma del jurado

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Firma del presidente del jurado

Bogotá, día de mes de año

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DEDICATORIA

Primero a Dios por permitir mi existencia y vocación para hacer cada día mejor

mi trabajo, a mis hijos por ser parte fundamental de mí y la razón de este trabajo,

a mis compañeros de la Usta que con su invaluables aportes permitieron que

este trabajo tuviera un fin.

v

AGRADECIMIENTOS

En primer lugar al Director del Departamento de Ciencias básicas de la USTA,

ingeniero Nelson Rojas por su apoyo incondicional para la realización de este

trabajo.

A mis compañeros pares que con su vocación me dieron sus aportes para la

orientación de la investigación, Igualmente, agradezco a mis compañeros de la

maestría que motivaron constantemente la realización del trabajo.

Y finalmente al director del trabajo el profesor Guillermo Londoño, por orientarme,

por su paciencia en cada una de sus asesorías y sus valioso aportes de su propia

experiencia para poder culminar esta investigación.

vi

Advertencia de la Universidad

La Universidad no es responsable por los conceptos expresados en el presente

trabajo.

vii

RAE

CÓDIGO:

AUTOR: MARTINEZ SAAVEDRA José Hermes

TÍTULO DEL DOCUMENTO: Errores en el aprendizaje de algoritmos

matemáticos en la resolución de problemas numéricos y algebraicos en

estudiantes neo-tomasinos de ciencias administrativas y económicas

UNIDAD PATROCINANTE: Universidad Santo Tomas

PALABRAS CLAVE: Errores, Resolución de problemas

DESCRIPCIÓN: Informe final de la investigación

CONTENIDO: El profundo interés por estudiar de manera concienzuda los

errores matemáticos provenientes en el contexto de los estudiantes

universitarios, en este caso particular los Neo-Tomasinos de la universidad

Santo Tomas, se logra realizar el presente trabajo, partiendo de antemano de

que dichos errores forman parte de cada una de las producciones de los

estudiantes en sus proceso de enseñanza y aprendizaje en cada uno de los

niveles que ellos se ven inmersos en su proceso educativo. En ese orden y

teniendo presentes los objetivos de esta investigación que se desarrolló con

estudiantes de primer semestre, tomando una muestra representativa y con el

interés como docente de matemáticas de la USTA, a nivel de pregrado

presencial, se pudo llegar a evidenciar de forma clara los errores matemáticos

establecidos en la resolución de problemas aritméticos y algebraico, de

acuerdo a las categorías de análisis establecidas. Es de aclarar que el estudio

de los errores en matemáticas actualmente forma parte de las líneas de

investigación en la educación matemática.

Además del problema se presentan algunos referentes teóricos, y

antecedentes acerca de estudios de los errores en matemáticas. Dando

continuidad al proceso, el trabajo se orienta por un método de investigación

mixta, permitiendo dar pie a la elaboración de cuatro instrumentos que

permitieron evidenciar que las categorías propuestas para la investigación

lograron satisfacer los referentes teóricos planteados para tal fin, logrando así

un análisis macroscópico y microscópico de los resultados, que permitieron

llegar a las conclusiones expuestas.

Para la presente investigación se planteó como objetivo fundamental:

Identificar algunos errores frecuentes en el aprendizaje de algoritmos

matemáticos en la resolución de problemas numéricos y algebraicos en

estudiantes Neo-Tomasinos aplicando la prueba al inicio del curso de

nivelación en Matemáticas de Ciencias Administrativas y Económicas. Así, se

delimitaron unos objetivos específicos, que dieron lugar a la presente

investigación, en primer lugar la Identificación y claridad en torno a la

naturaleza y significado del concepto de error y sus características, en

segundo lugar proponer una clasificación para los errores generados o

promovidos en el aprendizaje de algoritmos matemáticos en la resolución de

problemas numéricos y algebraicos en estudiantes neo-tomasinos de ciencias

administrativas y económicas, en tercer lugar establecer una tipología de error

en el aprendizaje de algoritmos matemáticos en la resolución de problemas

aritméticos y algebraicos y por ultimo establecer algunos lineamientos que

permitan realizar propuestas a fin de lograr la superación de los errores en los

estudiantes Neo- Tomasinos.

METODOLOGÍA: Esta es una investigación mixta de tipo exploratorio, la cual

se llevó a cabo con una muestra de 65 estudiantes de la facultad ciencias

administrativas y económicas de la Universidad Santo Tomas. Los

instrumentos empleados para la recolección de datos fueron diseñados con el

fin de hacerlo de una manera macroscópica y microscópica; es decir una

mirada general desde lo macro de la prueba, los problemas establecidos para

tal fin, y los subgrupos creados para organizar los diferentes temas a evaluar,

y busca clasificar los errores generados o promovidos en el aprendizaje de

algoritmos matemáticos en la resolución de problemas numéricos y algebraicos

en estudiantes neo-tomasinos de ciencias administrativas y económicas. Para

esto se ha tenido en cuenta el número de problemas, clasificados en el entorno

numérico, algebraico y verbal. En lo que respecta al análisis micro, que versa

sobre la descripción e interpretación de las formas de conocer que tienen los

estudiantes Neo-Tomasinos de ciencias administrativas y económicas sobre

algoritmos matemáticos en la resolución de problemas numéricos y

algebraicos, se diseñaron tres instrumentos que permitieron hacer una mirada

en detalle de aspectos tales como: errores presentes en el contexto algebraico,

numérico y verbal, clasificando los mismos según su tipología.

Los errores se clasificaron de acuerdo a la mirada macroscópica, que pretendió

observar la prueba de una manera general, donde se realizaron y propusieron

20 problemas, estableciendo los grupos de problemas clasificados en el

entorno numérico, algebraico y verbal. De mismo modo la mirada microscópica

fue efectiva, ya que versa sobre la descripción e interpretación de las formas

de conocer que tienen los estudiantes Neo-Tomasinos de ciencias

administrativas y económicas sobre algoritmos matemáticos en la resolución

de problemas numéricos y algebraicos, se diseñaron tres instrumentos que

permiten hacer una mirada en detalle de aspectos tales como: errores

presentes en el contexto algebraico, numérico y verbal, clasificando los mismos

según su tipología. Consecuencia de lo anterior y de acuerdo a la metodología

empleada, los instrumentos se crearon de la siguiente manera, la cual permitió

un análisis exhaustivo de cada ítem problema, el primer instrumento que se

propuso permitió indagar en el contexto numérico sobre los errores presentes

en los estudiantes Neo-Tomasinos de ciencias administrativas y económicas;

y para tal fin se tuvo presente las propiedades, de adición y multiplicación, de

potenciación y finalmente radicación. La tabla 1 permite ver el grupo de

ejercicios propuestos por propiedad. El segundo instrumento propuesto

permitió buscar y analizar los errores presentes en los estudiantes Neo-

Tomasinos de ciencias administrativas y económicas en el contexto algebraico,

donde se tienen en cuenta las propiedades de adición y multiplicación como la

de potenciación, la tabla 2 permite observar la cantidad de problemas

propuestos para tal fin. Por último el tercer instrumento propuesto se logró

identificar los errores presentes en el contexto verbal; es decir, en la

matematización de los problemas de naturaleza algebraica y numérica, los

cuales nos permitieron evidenciar la falta de interpretación, argumentación y

la proposición de los estudiantes Neo-Tomasinos de ciencias administrativas y

económicas en la resolución de problemas matemáticos.

FUENTES: 25

CONCLUSIONES:

A partir de las posibilidades que brindó la investigación, se permitió hacer

claridad en torno a la naturaleza y significado del concepto de error, se logró la

identificación de los elementos más importantes en la caracterización del

concepto error y finalmente se logró una plena clasificación de los errores

generados o promovidos en el aprendizaje de algoritmos matemáticos en la

resolución de problemas numéricos y algebraicos en estudiantes neo-

tomasinos de Ciencias Administrativas y Económicas. Así se logró dar pie de

acuerdo a las categorías de Radazt (1980) proponer una tipología de error y

así plantear y organizar las diferentes categorías tratadas en la presente

investigación y lograr un análisis exhaustivo de los mismos. Esto permitió

lograr claridad absoluta en relación con los errores presentes en la solución de

la prueba por parte de los estudiantes.

En ese orden, y de acuerdo a los resultados evidenciados en la prueba se

permitió describir que los estudiantes Neo- Tomasinos y teniendo muy

presentes los análisis de los diferentes instrumentos, que en la parte aritmética

los estudiantes muestran bastantes vacíos en lo que tiene que ver con

conceptos y manejo de propiedades de la potenciación así como de los

radicales, en promedio se puede decir que el 66.9% de la muestra presenta es

tipo de errores. En lo que tiene que ver con el aspecto algebraico de la prueba

se observó que en promedio el 64.72% de los estudiantes presentaron error en

lo que tiene que ver con el aspecto algebraico de la prueba, los cuales

contenían problemas con las propiedades adición y multiplicación como de

potenciación con expresiones algebraicas.

Y para terminar en el contexto verbal de la prueba, se analizaron los problemas

en donde se revisaron los errores presentados en la forma de interpretar,

argumentar y proponer en la resolución de problemas, y se encontró que el

84.15% los estudiantes presenta errores en este contexto, siendo uno de los

más altos con relación a los contextos anteriores, lo que indica que los

estudiantes no comprenden los enunciados de problemas en lenguaje natural

y desconocen cómo emplear el lenguaje matemático para matematizar

información dada en un problema. Para este caso resultó de utilidad en la

medida que permitió comprender de alguna manera, los errores de los

estudiantes Neo-Tomasinos de la facultad de ciencias económicas y

administrativas que presentaron la prueba, permitiendo así un juicio valorativo

apropiado de los errores aquí expuestos.

Lo que induce, de acuerdo al resultado, en pensar –una vez reconocidos los

errores más importantes- la necesidad de orientar temas y estrategias para

enfrentar esta problemática en la formación de los estudiantes Neo-Tomasinos.

xiv

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN ______________________________________________________ 1

1. PROBLEMA _____________________________________________________ 3

1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ____________________________________ 3

1.2. OBJETIVOS __________________________________________________________ 4

1.2.1. Objetivo general ____________________________________________________________ 4

1.2.3. Objetivos específicos _______________________________________________________ 4

1.3. JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA. _____________________________________ 5

1.4. ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN ______________________________ 7

1.4.1. Resolución de problemas. ___________________________________________________ 8

1.4.2. En relación al concepto de error _____________________________________________ 11

1.4.3. En relación a errores en la resolución de problemas ___________________________ 13

1.4.4. En relación a las tipologías de los errores ____________________________________ 14

2. MARCO TEORICO ______________________________________________ 19

2.1. Resolución de problemas. ___________________________________________ 19

2.1.1. ¿Qué es un problema? _____________________________________________________ 19

2.1.2. ¿Tipos de problemas? _____________________________________________________ 20

2.1.3. ¿Problema o ejercicio? _____________________________________________________ 20

2.2. El error en matemáticas ______________________________________________ 21

2.2.1. Algunos errores en la historia del conocimiento matemático ____________________ 22

2.2.1.1. El teorema de los cuatro colores _________________________________________ 22

2.2.1.2. Tres problemas celebres _______________________________________________ 23

2.2.1.3. La proposición de Pierre de Fermat (1601-1665) __________________________ 24

2.2.2. Clasificación de errores. ____________________________________________________ 24

2.2.2.1. Errores debido a dificultades del lenguaje (C1). ____________________________ 25

2.2.2.2. Errores debido a un aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos

previos (C2). __________________________________________________________________ 25

2.2.2.3. Errores debido a asociaciones incorrectas o a rigidez del pensamiento (C3). __ 25

2.2.2.4. Errores debido a la aplicación de reglas o estrategias irrelevantes (C4). ______ 26

2.2.2.5. Errores debido a dificultades para obtener información espacial (C5). ________ 26

3. METODOLOGÍA ________________________________________________ 28

3.1. Enfoque de investigación. ___________________________________________ 28

3.2. Población y muestra _________________________________________________ 32

3.3. Instrumentos de información _________________________________________ 32

3.4.1. Prueba ___________________________________________________________________ 32

3.4.2. Análisis macroscópico de la prueba __________________________________________ 33

3.4.3. Análisis microscópico de la prueba __________________________________________ 34

4. ANÁLISIS DERESULTADOS. ____________________________________ 37

4.1. Análisis Macroscópico _______________________________________________ 37

4.2. Análisis Microscópico _______________________________________________ 39

4.2.1. Contexto numérico de la prueba _____________________________________________ 39

4.2.1.1. Errores en las propiedades de adición y multiplicación _____________________ 39

4.2.1.2. Errores en la propiedad potenciación ____________________________________ 42

4.2.1.3 Errores en la propiedad radicación _______________________________________ 46

4.2.2. Contexto Algebraico de la prueba ___________________________________________ 49

4.2.2.1 Errores en las propiedades de adición y multiplicación ______________________ 50

4.2.2.2. Errores en la propiedad potenciación ____________________________________ 53

4.2.3. Contexto verbal de la prueba _______________________________________________ 57

4.2.3.1 Errores en la forma de interpretar ________________________________________ 58

4.2.3.2. Errores en la forma de argumentar _______________________________________ 59

4.2.3.3 Errores en la forma de proponer _________________________________________ 61

5. CONCLUSIONES. _______________________________________________ 65

6. Recomendaciones y sugerencias ________________________________ 68

7. BIBLIOGRAFIA _________________________________________________ 70

xvi

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1. identificación de errores en el contexto numérico de la prueba _____ 35

Tabla 2. Identificación de errores en el contexto algebraico de la prueba ____ 35

Tabla 3. Identificación de errores en el contexto verbal de la prueba _______ 36

Tabla 4. Resultados de errores en el contexto numérico de la propiedad de

adición y multiplicación __________________________________________ 39

Tabla 5. Resultados de errores en el contexto numérico de la propiedad

potenciación ___________________________________________________ 43

Tabla 6. Resultados de errores en el contexto numérico de la propiedad

radicación ____________________________________________________ 46

Tabla 7. Resultados de errores en el contexto algebraico de la propiedad de

adición y multiplicación __________________________________________ 50

Tabla 8. Resultados de errores en el contexto algebraico de la propiedad

potenciación ___________________________________________________ 54

Tabla 9. Resultados de errores en el contexto verbal e la forma de interpretar 58

Tabla 10. Resultados de errores verbal en la forma de argumentar ________ 59

Tabla 11. Resultados de errores en el contexto verbal de proposición ______ 61

xvii

ÍNDICE DE ILUSTRACIONES

Ilustración 1. Análisis macro de la prueba ____________________________ 38

Ilustración 2. Evidencia de errores en el problema 1 ____________________ 40




Ilustración 6. Evidencia de errores en el problema 12 ___________________ 42









Ilustración 15. Evidencia de errores en el problema 15 __________________ 48






Ilustración 21. Evidencia de errores en el problema13 __________________ 53

INTRODUCCIÓN

La matemática es una de las ciencias que está presente en la naturaleza y

en la vida cotidiana, pero no obstante está llena de sorpresas en los procesos

de enseñanza aprendizaje por parte de los estudiantes. Así, la presente

investigación aborda de acuerdo a sus objetivos la mirada al error como una

fuente de información en los procesos de aprendizaje de la misma; de hecho

el error en la sociedad común, así como en la académica no deja de ser

jovial con la expresión: herrar es de humanos, no sin antes ver la angustia

que genera el errar en cualquier actividad humana. Así ésta investigación

nace a partir del interés de hacer una mirada minuciosa acerca de los errores

en el aprendizaje de algoritmos matemáticos en la resolución de problemas

numéricos y algebraicos en estudiantes neo-tomasinos de ciencias

administrativas y económicas. De ahí el planteamiento del problema y la

elaboración de los objetivos general y específicos, permiten dar cumplimiento

a lo propuesto, por tanto se ha elegido como población los estudiantes

denominados Neo-Tomasinos, es decir los que ingresan a primer semestre,

donde se les imparte un curso denominado módulo de nivelación en

matemáticas, de la cual se escogió una muestra significativa para la

realización de la investigación. Con dicha muestra se diseñó una prueba tal

que permitió elaborar unas categorías de análisis de acuerdo a Radazt

(1980) y establecer de manera minuciosa lo errores, y la frecuencia con que

los estudiantes cometen las diferentes tipologías de errores en la resolución

de problemas aritméticos y algebraicos. Pero para llegar allí se realizó una

exhaustiva consulta acerca de antecedentes sobre este tema, dando así una

eficiente orientación al presente trabajo con miras a cumplir los objetivos

establecidos, en ese orden se establece una línea de trabajo, primero lo

concerniente a resolución de problemas, luego se trabaja en concepto de

error, para luego hacer una relación entre resolución de problemas y el error,

finalmente se trabaja las tipologías de errores. Luego en el marco teórico se

establecen de acuerdo a lo anterior lo referente a resolución de problemas y

el error en matemáticas. Finalmente se elaboró una metodología mixta para

la realización de análisis de errores elaborando cuatro instrumentos que

permitieron llegar a las conclusiones.

3

1. PROBLEMA

1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En la formación de futuros profesionales de las Ciencias Administrativas y

Económicas, las matemáticas como lenguaje son fundamentales, porque permite

modelar o interpretar modelos propios de su formación. Esto se traduce en la

información del mundo en el que está inmerso, lo que a la larga significa que el

estudiante debe poseer y comprender los conocimientos matemáticos que le

permitan desenvolverse satisfactoriamente en esta sociedad y en el mundo laboral.

Para lograrlo, debe existir un buen rendimiento académico desde el inicio de su

carrera, por lo que debe profundizar y mejorar sus competencias lógico matemáticas

y científicas. Esto ha generado la inquietud de investigadores como Luis Rico,

Radatz, Astolfi, Kilpatrik, Davis, Movshovitz-Hadar, entre otros, quienes

preocupados por el bajo rendimiento académico de los estudiantes estudian los

errores, entendidos como “parte constituyente de nuestra adquisición de nuestro

cocimiento(…)una posibilidad permanente de adquisición y consolidación del

conocimiento y puede llegar a formar parte del conocimiento científico que emplean

las personas a los colectivos”, (Goicoechea, M. y otros, 1991, p, 31-34).

Para el caso particular, la formación y conocimientos en matemáticas con que

ingresan los estudiantes a la Universidad Santo Tomas no son los mejores, como

se puede observar en la pérdida de la asignatura de matemáticas cuando se

culmina primer semestre.

Por lo anterior, esta investigación será un aporte en la formación ya que

caracterizara y clasificara los errores en la resolución de problemas aritméticos

4

y algebraicos en la resolución de problemas matemáticos que los estudiantes tienen

al ingresar a primer semestre de las carreras relacionadas con el área de las

ciencias administrativas y económicas; para el caso particular de la Universidad

Santo tomas.

De acuerdo a las consideraciones anteriores y con el ánimo que la investigación sea

un aporte en los proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática a estudiantes

Neo–Tomasinos, se hace necesario el siguiente interrogante:

¿Cuáles son los errores en el aprendizaje de algoritmos matemáticos en la

resolución de problemas numéricos y algebraicos en estudiantes neo-tomasinos de

ciencias administrativas y económicas?

1.2. OBJETIVOS

1.2.1. Objetivo general

Identificar los errores frecuentes en el aprendizaje de algoritmos matemáticos en la

resolución de problemas numéricos y algebraicos de estudiantes neo-tomasinos de

primer semestre en el curso de Nivelación en Matemáticas de Ciencias

Administrativas y Económicas

1.2.3. Objetivos específicos

Identificar la naturaleza y significado del concepto de error y sus características.

Reconocer una clasificación para los errores generados o promovidos en el

aprendizaje de algoritmos matemáticos en la resolución de problemas

numéricos y algebraicos en estudiantes neo-tomasinos de Ciencias

Administrativas y Económicas.

5

Establecer una tipología de error en el aprendizaje de algoritmos matemáticos

en la resolución de problemas aritméticos y algebraicos.

1.3. JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA.

Se hace necesario incluir criterios que permitan realizar diagnósticos, correcciones

y superación de los errores matemáticos a fin de evitar que los alumnos los cometan

en el aprendizaje de las matemáticas.

Por tanto la intención de esta investigación una parte está centrada en el análisis de

los patrones de error que cometen los estudiantes, que en realidad son los que

permiten evidenciar los errores sistemáticos que sean síntomas de concepciones

inadecuadas de aprendizaje o de procesos mal adquiridos en un momento dado,

así como también, determinar qué conviene que aprendan en sus procesos de

formación en relación con los errores, ya, que de acuerdo al estudio que se desea

vienen inherentes a ellos, esto podría proporcionar claves sobre qué estrategias

pueden resultar las más convenientes a la hora de llevar adelante los procesos de

enseñanza y aprendizaje en las Matemáticas universitarias. Por supuesto que los

errores influyen notablemente en proceso de aprendizaje, pues pueden seguir

permaneciendo, o generando otros, por eso insisto en hacer relevante el hecho que

los estudiantes los reconozcan y conozcan, con al fin de superarlos para que sus

objetivos de aprendizaje sean eficaces.

Así este trabajo pone de manifiesto serias deficiencias en la formación básica en

matemáticas de los estudiantes, en el caso específico de la aritmética y el álgebra

básica, que son fundamentales en la comprensión de nuevos conceptos en

estudiantes de primer curso de las carreras de Administración, Contaduría,

6

Negocios Internacionales y Mercadeo de la Universidad Santo Tomas. Ya que

desde hace más de cinco años se viene orientado el curso de nivelación en

Matemáticas a todos los Neo-Tomasinos de las diferentes carreras y ha sido

evidente de acuerdo a la prueba de inicio la cantidad de errores, así como la

eminente falta de conocimiento en matemáticas.

Actualmente se viene dando reconocimiento a la importancia de la matemática en

la formación del profesional, ya que es importante resaltar el nivel de deserción

posiblemente por los cursos de matemáticas en los primeros semestres, pues los

contenidos y conceptos de los estudiantes ya han sido olvidados y seguramente

nunca aprendidos, y los errores persisten en sus procesos de aprendizaje en su

formación universitaria. Los docentes debemos darle prioridad urgente al error en

los diferentes cursos que impartimos en la universidad, pues de esto también

depende el buen desempeño académico del estudiante, por eso es importante

siempre que los profesores desarrollemos estrategias didácticas que permitan

siempre lograr el objetivo planeado para cada clase y definitivamente fortalecer las

debilidades cognitivas de nuestros aprendices, así como dar solución a eso

procesos de aprendizaje que persisten en generar errores en la concepción de una

definición o propiedad matemática.

Así la investigación aporta a la institución, en este caso a la Universidad Santo

Tomas un hilo conductor para futuras admisiones a carreras de Ciencias

Administrativas, es decir desde un inicio se puede prever situaciones de mortalidad

para los estudiantes nuevos, en ese orden buscar estrategias metodológicas,

7

didácticas en los cursos de nivelación de inicio de cada semestre para eliminar esas

posibles falencias causadas por el error matemático en dichos procesos.

Finalmente, se consideró la presente investigación como un punto de partida

importante para exponer a mayor detalle las causas de esta problemática para que

le sirva a la Universidad Santo Tomas y a su Departamento de Ciencias Básicas,

proponer vías de solución internas y a la vez que pueda manifestar a las

instituciones de nivel medio y medio superior las deficiencias con las que se reciben

a los estudiantes al momento de ingresar y de esta manera tratar que se involucren

desde su perspectiva a la solución del problema estudiado. Y además desde lo

institucional, las estrategias didácticas fundamentadas en el análisis crítico de los

errores de algoritmos matemáticos en la resolución de problemas numéricos y

algebraicos, permitirá disminuir los índices de repotencia y deserción escolar.

1.4. ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN

Se hace necesario incluir criterios que permitan realizar diagnósticos, correcciones

y superación de los errores en el aprendizaje matemático, a fin de evitar que los

estudiantes incurran en ellos.

Por lo anterior mente dicho, esta investigación analiza los patrones de error que

cometen los estudiantes neo-tomasinos de Ciencias Administrativas y Económicas,

permitiendo evidenciar los errores sistemáticos de concepciones inadecuadas de

aprendizaje o de procesos mal adquiridos, esto proporciona claves sobre cuáles

estrategias resultan más convenientes a la hora de llevar adelante los procesos de

enseñanza y aprendizaje en las Matemáticas universitarias.

8

Esta investigación busca deficiencias en conceptos básicos en matemáticas

(aritmética y el álgebra) fundamentales para la comprensión de nuevas

concepciones de los estudiantes neo-tomasinos de Ciencias Administrativas y

Económicas. Estas deficiencias se han evidenciado en el curso de nivelación en

Matemáticas orientado a todos los Neo-Tomasinos de las diferentes carreras y al

nivel de deserción “posiblemente” por los cursos de matemáticas en los primeros

semestres.

Por tal razón, esta investigación aporta a la Universidad Santo Tomas un hilo

conductor para futuras admisiones a carreras de Ciencias Administrativas, es decir

desde un inicio se puede prever situaciones de mortalidad para los estudiantes

nuevos, en ese orden buscar estrategias metodológicas, didácticas en los cursos

de nivelación de inicio de cada semestre para eliminar esas posibles falencias

causadas por el error matemático en dichos procesos.

Los antecedentes de investigación que se presentan a continuación sustentan

algunas investigaciones sobre errores aritméticos y algebraicos permitiendo

vislumbrar un panorama desde la secundaria, y las posibles soluciones a la

eliminación del error, cuando se abordan resolución de problemas desde lo

aritmético, algebraicos hilando hasta la solución de ecuaciones elementales.

1.4.1. Resolución de problemas.

En esta parte se realizó una descripción de los diferentes autores que

abordan la temática con el fin de contextualizar en la investigación la

resolución de problemas.

9

Resnick y Ford (1990) afirman:

Si se entienden las matemáticas como forma de pensar y razonar, la

consecuencia es que se concibe la resolución y el descubrimiento de los

problemas no sólo como medio de enseñar los conceptos matemáticos,

sino, como objetivo fundamental de la enseñanza de las matemáticas

(p.93).

Lo que significa que la resolución de problemas no es más que una destreza que

se debe desarrollar en todo proceso de enseñanza aprendizaje.

El National Council of Teachers of Mathematics (2000), propone sobre la

resolución de problemas, lo siguiente:

La resolución de problemas constituye una parte integral de todo el

aprendizaje de las matemáticas y por eso no debería ser una parte aislada

del programa de esta disciplina. Resolver problemas no es sólo un objetivo

del aprendizaje de las matemáticas, sino también una de las principales

maneras de hacerlo” (p.55).

Polya (1965) propuso la resolución de problemas, basada en estudio

profundo de los métodos de solución llamado heurístico. Afirma que existen

cuatro fases de abordar un problema, y la define así:

1. Comprender el problema: Identificar la incógnita y los datos.

2. Concebir el plan: Analizar si se ha encontrado con un problema

semejante, o identiifcar un problema relacionado con el que se le

presenta.

3. Ejecutar el plan:Identificar si los pasos de la solución son correctos

4. Examinar la solución obtenida: Verificar si es posible el resultado, verificar

si el razonamiento es lógico.

10

Cruz (2000) define un problema: “como un conjunto de acciones que le

permite al individuo modificar una acción o estado para llegar a otra situación

o cambio, eliminando las dificultades que se presentan”(p. 19-35 )

De esta manera al estructurar el concepto de problema en la mente permite

concebir presición en las situaciones que se abordan, y lograr eficiencia en

la busqueda de soluciones, así sea empleando diferentes maneras de

resolverlo, sin esto asegurar que en ese porceso se cometa un error.

Schoenfeld A. (1985), cuestiona sobre la definición de problema, estos son:

Los algoritmos que se suelen explicar en clase, o que aparecen en los libros

de textos, resuelven grupos enteros de problemas. Lo que pasa es que si no

se sitúa previamente los problemas a los que responden, se está dando la

respuesta antes de que exista la pregunta. Y en ese contexto no es difícil de

adivinar el poco interés con que se recibe la misma (p.96-97).

Las situaciones existen en la realidad. Los problemas los alumbramos

nosotros. Pasan a ese estatus cuando los asumimos como un reto personal

y se decide en consecuencia dedicarle tiempo y esfuerzos a procurar

resolverlos.

La resolución de un problema añade algo a lo que ya se conocía; proporciona

relaciones nuevas entre lo que ya se conoce o aporta otros puntos de vista

de situaciones ya conocidas. Suponen el aporte de la chispa de la

creatividad, aquella que aparece de cuando en cuando.

11

1.4.2. En relación al concepto de error

En España, Villarejo, Fernández Huerta, Centeno, Rico, Castro, González,

Coriat y Molina entre otros, se interesaron al inicio de la década del 50, al

estudio y origen de los errores. Los más destacados refieren a tratar de

determinar los errores más frecuentes, a presentar bases para la enseñanza

correctiva y a la necesidad de interpretar los mismos para orientar el proceso

de enseñanza.

Radatz (1980) llevo a cabo la revisión de gran parte de las investigaciones

realizadas sobre errores hasta finales de los años 70, tanto en Estados

Unidos como en Europa, encontrando que: La Aritmética constituye el área

de contenidos dominante en la mayor parte de los estudios sobre errores. De

igual manera, mostro que los desarrollos teóricos en análisis de errores

presentan cierta continuidad en Estados Unidos, mientras que en los países

europeos las producciones han sido esporádicas y carecían de continuidad

en el tiempo. Por otra parte, presentó la Existencia de una pluralidad de

aproximaciones teóricas e intentos de explicación de las causas de los

errores (p.16-20).

El proyecto SESM sobre estrategias y errores en las Matemáticas de

Secundaria, realizado en el Reino Unido entre 1980 y 1983, dio explicación

a los errores que cometen frecuentemente los estudiantes, pero también dio

explicación a las razones de estos errores. Los resultados del grupo de

Álgebra, entendida esta como aritmética generalizada se describen en Booth

(1984); o el Proyecto sobre Aprendizaje del Álgebra, de mediados de los

12

ochenta, descrito en Wagner, Rachlin, y Jensen (1984), en el que uno de los

objetivos fue identificar las dificultades que los estudiantes tenían en la

resolución de ecuaciones estándares y no estándares.

Socas (1997), en su trabajo sobre, Dificultades, obstáculos y errores en el

aprendizaje de las matematicas en la educacion secundaria, donde si se

lograse cambiar, podria ser efectivo la comprensión de los errores. Donde la

propuesta de cambio arranca por parte del profesor aplicando un mejor

conocimiento hacia sus estudiantes en su aprendizaje, aceptando que los

errores más que indicadores de fracaso en matematicas, deben ser

considerados elementos que fortalezcan el trabajo como docente guiado por

el principio en que los errores permiten establecer estrategias para un nuevo

aprendizaje (p.7-24), el autor expone las dificultades con las que los

estudiantes se enfrenta cuando aprende, con base a esto crea una tipologia

de error para ser evaluada y diagnosticada.

Molero (1999), plantea en su trabajo de grado la relación entre el dominio de

los formalismos matemáticos y la resolución de problemas, que la mayoría

de los estudiantes de segundo año de ciencia de la educación media,

diversificada y profesional de la muestra de estudio, no presenta un nivel alto

en el dominio de los formalismos matemáticos y en la identificación de las

fases de la resolución de problemas.

Rico (1999), en su estudio describe como noción de organizadores para

articular el diseño, desarrollo y evaluacion de cada unidad didactica, a los

errores y las dificultades en el aprendizaje. Considera como organizadores

13

del curriculo aquellos conocimientos que se adoptan como componente

fundamental en el proceso educativo; esto forma parte de la produccion de

los estudiantes y constituye datos objetivos que se hallan permanentemente

a lo largo de la enseñanaza para lograr un correcto aprendizaje, concluyendo

así que las producciones y respuestas no correctas a los cuestionamientos

planteados se consideran serias deficiencias y porque no decirlo fracaso en

el objetivo propuesto (p. 69-108)

Espinoza (2000), investigación realizada en Colombia, la cual tiene como

título “Un tratamiento del error en que incurre el estudiante en su trabajo de

matemáticas”, donde participaron estudiantes de primer y segundo semestre

de diferentes programas o carraras de universidades de Bogotá. Empleando

una metodología propuesta para el tratamiento del error a partir de

estrategias meta-cognitivas, como identificación del error por parte del

estudiante, sus causas y prevenciones para no volver a caer en el error.

(http://157.253.25.2/servidor/ued/revistaema/vollnm1/alFF3.htm)

1.4.3. En relación a errores en la resolución de problemas

Desarrollando el pensamiento algebraico en alumnos de octavo grado del

CIIE junio 2007 (Centro de investigación e innovación educativa la

universidad pedagógica nacional, a través de la resolución de problemas) La

investigación pretende dar un acercamiento al algebra como una manera de

pensar, por lo que se considera para todos los alumnos de diferentes edades,

lo cual permite evidenciar que el álgebra sirve como método de aprehender

14

y permite dar explicaciones que están relacionadas para llegar de lo general

a lo particular y así para modelar lo cotidiano.

Errores presentes en el lenguaje matemático en los docentes de educación

básica en la resolución de problemas. Hermen Antonio Arias, para optar al

Título de MAGÍSTER SCIENTIARUM en Matemáticas julio 2009.

Este estudio tuvo como finalidad determinar las características del lenguaje

matemático utilizado por los docentes de Educación Básica en la resolución

de problemas del área matemática. Para observar éste fenómeno se

utilizaron las teorías del lenguaje y la teoría de errores en situaciones de

resolución de problemas matemáticos. Esta investigación se enmarcó dentro

de los parámetros del estudio cualitativo, no experimental, descriptivo y de

campo, el mismo estuvo conformado por tres (3) docentes de sexto grado de

Educación Básica, de los cuales se seleccionó uno (1), para el análisis a

través de crónicas de filmaciones y una entrevista. Con los resultados se

conoció que el docente no emplea un lenguaje matemático adecuado,

cayendo en errores de contenido y procedimientos. Esto llevó a proponer,

para sexto grados de Educación Básica, docentes con dominio, habilidades

y destrezas en el lenguaje matemático para la resolución de problemas.

1.4.4. En relación a las tipologías de los errores

Tipología de Radatz (1979), (citado por Rico 1998) desarrolla una taxonomía a

fin de poder clasificar los errores, a partir del proceso de la información, donde

deja explicita las categorías de dicho análisis: (error debido a dificultades del

lenguaje, errores debido a un aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y

15

conceptos previos, errores debido a asociaciones incorrectas, errores debido a

la aplicación de reglas de estrategias irrelevantes. errores debido a dificultades

para obtener información espacial).

Tipología de Movshovitz-Hardar-Zaslavksy, esta tipología se trae a referencia

por la importancia del estudio ya que se está trabajando con estudiante recién

egresados de la secundaria y es fundamental tener presente, pues las

investigaciones que realizaron clasificación de manera empírica los errores

cometidos por los estudiantes de secundaria en el área de matemáticas

(Movshovitz-Hardar-Zaslavksy 1987 citados por Rico 1995), estos son:

1. Datos mal empleados. Errores producidos por diferencias entre los datos y el

tratamiento que le da el alumno, puede ser por añadir datos no consistentes

con el problema, o se realiza una lectura incorrecta del problema.

2. Interpretación incorrecta del lenguaje. Se origina a razón de una lectura

incorrecta de los símbolos matemáticos, o emplear un lenguaje simbólico

distinto al transformar el problema en lenguaje matemático.

3. Inferencias no válidas lógicamente. Errores que se originan en la

comprensión del problema debido a fallas en el razonamiento.

4. Teoremas o definiciones deformadas. Se origina por la deformación de un

principio o ley.

5. Falta de verificación en la solución. Se presenta cuando cada paso en la en

la ejecución de la tarea es correcto, pero el resultado definitivo no es la

solución de la pregunta planteada.

6. Errores técnicos. Aquí de preservan los errores de cálculo, toma de datos de

una tabla y manipulación de símbolos algebraicos (p. 90-91)

Tipología de Esteley – Villareal (1996). Quien definió las categorías de errores

en matemáticas así:

16

1. Errores al operar cálculos con los números reales en planteamiento y

resolución de ecuaciones.

2. Empleo incompleto de la información.

3. No verificar resultados parciales o totales que se manifiestan cuando no hay

conexión entre lo analítico y lo gráfico. Respuestas incoherentes y la no

comprobación de los resultados.

4. Empleo incorrecto de propiedades y definiciones, de funciones o números.

5. La no verificación de las condiciones para emplear un teorema.

6. Deducción incorrecta de información o inventar datos a partir de la

información establecida.

7. Errores de lógica, proposiciones mal justificadas y uso inadecuado del

lenguaje.

8. Error al trascribir el ejercicio para dar solución (p.16-35)

Tipología según Socas(1997), para él los errores presentados en el aprendizaje

de las matemáticas se deben a ciertas dificultades, las cuales agrupa de la

siguiente manera:

1. Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos.

Complejidad asociada a la comunicación escrita por medio de los símbolos,

los cuales crean conflicto con el lenguaje habitual.

2. Dificultades asociadas a los procesos matemáticos. Se presenta si no hay

un buen empleo deductivo y formal de la matemática, donde la lógica del

pensamiento mal empleada conlleva a confundir conceptos o definiciones,

por ejemplo un rectángulo en matemáticas es también un cuadrado y para

el común de los estudiantes crea dificultad en la comprensión al abordar un

problema.

3. Dificultades asociadas a los procesos de enseñanza desarrollados para el

aprendizaje de las matemáticas. Tiene que ver con espacio-tiempo en la

institución escolar y en la formación de clases de manera homogénea o

heterogénea de acuerdo con las habilidades matemáticas del alumno.

17

También el nivel de abstracción de alumno y la naturaleza lógica de la

matemática.

4. Dificultades asociadas a los proceso de desarrollo cognitivo del alumno.

Tiene que ver con el enfoque jerárquico de los contenidos, el enfoque

evolutivo.

5. Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales hacia la

matemática. La tensión que genera enfrentar a un problema de

matemáticas, a sabiendas que no es de su agrado. (p. 7-24).

Tipología según Astolfi (1999). (El error un medio para enseñar. España. DIADA

Editora SL. 1a ed.) establece una tipología que constituye una perspectiva

general de los errores, que pretende romper con las categorías tradicionales

adoptadas para hablar sobre ellos. Plantea que esta clasificación puede

emplearse como lista de verificación cundo un error aparezca o esté presente.

1. Errores debido a la compresión de las instrucciones de trabajo dadas. Se

relacionan con la dificultad de lectura de los problemas o ejercicios puestos,

se presentan en la medida en que los términos empleados para introducir

ejercicios y problemas no son claros y se relacionan con la dificultad que

tiene un alumno para comprender el problema.

2. Errores que provienen de los hábitos escolares. Estos errores aparecen de

la puesta en marcha de algunas reglas cotidianas y esenciales para la

solución de problemas, que ha sido interiorizados por éste a lo largo del

tiempo en su quehacer de alumno y jamás se los han enseñado.

3. Errores como resultados de las concepciones alternativas de los

estudiantes. Este tipo de error está directamente ligado a los obstáculos que

se presentan en la solución de un problema.

4. Errores ligados a las operaciones intelectuales implicadas. Se presenta

debido a las dificultades que tienen los estudiantes para comprender los

aspectos implícitos en la situación y están afines con la diversidad de las

18

operaciones intelectuales que deben emplearse para dar solución a los

problemas, aparentemente están al alcance de los estudiantes.

5. Errores debido a los procesos adoptados. Estos errores son evidentes en

cada uno de los procesos empleados por el alumno para dar respuesta a

una pregunta, y profesor espera la respuesta correcta y precisa.

6. Error debido a la sobrecarga cognitiva en la actividad. Errores relacionados

con la capacidad de retener en la memoria bastante información, pero

resulta limitada, esta situación genera confusión por el exceso de

información, sin además poder retenerla, lo cual conlleva a dejar el interés

por resolver el problema.

7. Error que tiene origen en otra disciplina. Estos se derivan de la transferencia

de otras disciplinas que se exige para dar respuesta a una pregunta, y la

falta de conocimientos teóricos al cual se refiere el problema a tratar.

8. Errores causados por la cantidad de contenido. Estos tiene su origen en la

complejidad propia de la enseñanza, la cual no es siempre percibida como

tal en el análisis habitual de las disciplinas.(p. 93-97)

De acuerdo a lo anterior el estudio de los errores en el proceso de enseñanza-

aprendizaje de la Matemática ha sido de permanente interés para diferentes

investigadores y se ha caracterizado por aproximaciones e intereses muy diversos.

En las diferentes épocas el análisis y categorización de los errores se ha visto

condicionado por la manera y cambio del currículo; así y teniendo presente lo

anterior el presente trabajo pretende abordar el estudio de los errores en la

resolución de problemas aritméticos y algebraicos en los estudiantes Neo-

Tomasinos, por eso se tomara como referente fundamental el estudio hecho por

Radatz, pero en este caso el contexto universitario en la Universidad Santo Tomas.

Así mismo mostrar en lo posible las bondades y desaciertos que la investigación

arroje en esta línea de trabajo.

19

2. MARCO TEORICO

De acuerdo a los objetivos que se establecieron para la presente investigación y

las características que este presenta, el capítulo permitió la orientación a seguir

teniendo como referente el análisis de los antecedentes, explicando en detalle en

cada apartado lo siguiente: Primero se hace una mirada acerca de la resolución de

problemas, donde se revisa lo que es un problema y tipos de problemas, en el

apartado siguiente se trabaja el error en matemáticas, estableciendo a manera de

historia errores cometidos por matemáticos que a través del tiempo se han ido

comprobando o encontrado una solución a problemas sobresalientes en la

matemática, así como la realización de cómo se clasifican los errores

2.1. Resolución de problemas.

La resolución de problemas, inaugurada por Polya (1965), permite comprender el

método que conduce a la solución de problemas, el cual ha demostrado ser una

práctica pedagógica eficiente al momento de enfrentar un problema.

2.1.1. ¿Qué es un problema?

Son variadas las posturas respecto a lo que significa problema, en este trabajo

“tener un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada para

lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma

inmediata.”(Polya, 1965, p.153)

De esta definición se infiere en términos de Polya, que un problema debe satisfacer

los tres requisitos siguientes:

1) Aceptación. El individuo o grupo, debe aceptar el problema.

20

2) Bloqueo. Los intentos iníciales no dan fruto, las técnicas habituales no funcionan.

3) Exploración. El compromiso personal o del grupo fuerza la exploración de nuevos

métodos para atacar el problema. (p 150).

2.1.2. ¿Tipos de problemas?

En las Matemáticas, los problemas son de dos tipos:

Problemas por resolver, cuyo propósito “es descubrir cierto objeto, la

incógnita del problema.

La incógnita recibe el nombre también de “quaesitum”, o lo que se busca,

o lo que se pide. Los problemas por resolver pueden ser teóricos o

prácticos, abstractos o concretos; son problemas serios o simples acertijos

(Polya 1998, pág 161).

Los principales elementos de un problema por resolver son, la incógnita, los

datos y la condición. En estos problemas se debe dar respuesta a una

pregunta, encontrando un número, una figura, etc. que cumpla unas

condiciones.

Problemas por demostrar, cuyo propósito “consiste en mostrar de modo

concluyente la exactitud o falsedad de una afirmación claramente enunciada”

(Polya 1998, pág 161).

2.1.3. ¿Problema o ejercicio?

Con frecuencia, en clase de Matemáticas se suelen denominar “problema” a

actividades de distinta naturaleza.

21

Cuando se trata de un problema, hay que resolver una situación usando los

conocimientos que se disponen. Es decir, se tienen conocimientos matemáticos y

heurísticos para avanzar en la resolución. Trayendo un algoritmo para dar solución,

en ese orden, un algoritmo para tomar una decisión es un procedimiento tal que en

un número finito de pasos, descritos por un conjunto especifico de instrucciones se

llega de un estado inicial a un estado final. Y en matematicas un algoritmo es un

metodo de resolución de cálculos complicados mediante el uso repetido de otro

método de cálculo mas sencillo.

La diferencia entre un ejercicio y un problema es relativa; lo que para una persona

es un problema no rutinario para otra puede ser un ejercicio, todo depende de los

conocimientos y experiencias anteriores.

2.2. El error en matemáticas

Cuando se aborda un problema para hallar su resolución y en el proceso de solución

es posible que se cometa un error, no se está lejos de fallar a pesar que varias

personas lo hayan intentado resolver así mismo, a través de la historia misma de la

matemática han surgido errores a pesar que se ha abordado con precaución el

mismo. A través de la historia del desarrollo del conocimiento científico se ha

encontrado al error como un factor que aporta al progreso de las diferentes ciencias

y es inherente al conocimiento humano.

22

2.2.1. Algunos errores en la historia del conocimiento matemático

En la historia de la matemática se encuentran varios conocimientos considerados

verdaderos en su época, pero con el transcurso del tiempo y el avance del

conocimiento matemático, fueron cambiando dicha consideración.

2.2.1.1. El teorema de los cuatro colores

Proposición que se planteó:

Demostrar que bastan cuatro colores para dar una coloración correcta a cualquier

mapa.

El famoso problema de los cuatro colores se hizo tan famoso en el medio

matemático, que en 1878 Arthur Cayley (1821–1895) lo propuso oficialmente a la

Sociedad Matemática de Londres (London Mathematical Society), una de las

sociedades de matemáticos más importantes del mundo en esa época, como un

problema a resolver.

Eminentes matemáticos proporcionaron demostraciones que repercutieron en tener

errores los cuales a través del tiempo se evidenciaron, pero lo que sí se logró con

el paso de los años y los errores y dificultades en matemática trabajo de tanta gente,

fue demostrar dos cosas fundamentales:

1) Tres colores son insuficientes para colorear cualquier mapa, esto es, existen

mapas que no pueden colorearse de ningún modo usando únicamente tres

colores,

2) Con cinco colores se puede colorear cualquier mapa correctamente. De

manera que aunque no se había probado nada respecto a los cuatro colores

23

por lo menos ya se sabía que con tres faltaba y con cinco sobraba, así el

número cuatro era el candidato ideal y quedaba entonces por probarlo o

refutarlo.

Lo que se infiere de lo anterior es resaltar el hecho que para resolver y abordar

un problema se puede iniciar de diferentes maneras y de acuerdo a los

conocimientos de quien lo resuelve puede tomar una posición diferente para su

solución, pero no si antes estar seguro de demostrar que es la solución correcta

y única.

2.2.1.2. Tres problemas celebres

Problemas que a lo largo de la historia ha transcendido en demostraciones

analíticas, pero que a la larga a pesar del error de medida ha sido necesario la regla

y compas para poder hallar una demostración efectiva que hace que se cumpla el

enunciado del problema mismo.

“la cuadratura del círculo”, “la trisección del ángulo” y la “duplicación del cubo

Estos problemas estuvieron tratados por matemáticos durante varias generaciones

con el ánimo de llegar a una solución. Paradójicamente, a través de la historia la

solución es que ellos son insolubles bajo las condiciones que establecieron los

griegos, ya que sólo es permitido utilizar la regla y compás. La grandeza de estos

famosos tres problemas radica en que, afortunadamente a la limitación de la regla

y el compás, los matemáticos se han visto obligados a investigar nuevos campos

en busca de otros instrumentos que permitan dar solución, o de más profundas

teorías que explicasen su imposibilidad.

24

En el año 1775 la Academia de Ciencias de París tomó el acuerdo – adoptado

después por otras – de rechazar las pretendidas soluciones de estos tres

problemas, actualmente siguen lloviendo sobre las corporaciones científicas una

gran cantidad de comunicaciones acerca de su resolución, las que, naturalmente

son rechazadas.

2.2.1.3. La proposición de Pierre de Fermat (1601-1665)

Esta proposición planteaba que:

Todos los números de la forma 22𝑛− 1 son números primos.

Casi un siglo después otro famoso matemático Euler (1707-1783), logro demostrar

la falsedad de tal proposición. Lo que sí pudo Euler con la proposición de Fermat

intuir es que hay existencia de infinitos números primos.

Por lo anterior es evidente que al abordar un problema para su respectiva

resolución, se encuentre con la dificultad de lograr demostrar que es soluble, pero

queda la incógnita si es error al resolver o no tiene solución.

2.2.2. Clasificación de errores.

Se presenta la clasificación de errores según Radatz (1980) quien realiza una

clasificación de errores a partir del procesamiento de la información que se ha

desarrollado estableciendo cinco tipos de errores. Pero vale la pena resaltar que

también afirma que existen múltiples aproximaciones teóricas acerca de las causas

de los errores que cometen los estudiantes en los proceso de enseñanza y

aprendizaje de las matemáticas, sin entrar a fondo en el tema unas de ellas es el

hecho de las reformas sucesivas del currículo, en lo que tiene que ver con los

25

contenidos específicos. De acuerdo a esto se enuncian los cinco tipos de errores, a

fin de establecer categorías de análisis donde cada uno se identificara con la letra

mayúscula C y su subíndice respectivo indicando su orden de aparición y estudio

para el presente trabajo.

2.2.2.1. Errores debido a dificultades del lenguaje (C1).

Son errores originados por el mal uso de términos matemáticos; es decir, un mal

uso de los símbolos y términos matemáticos, debido a una falta de comprensión

semántica del lenguaje matemático. Radatz señala que el aprendizaje de los

conceptos, símbolos y vocabulario matemáticos es para muchos estudiantes un

problema similar al aprendizaje de otra lengua extranjera. (Radatz, 1980, p.163-172)

2.2.2.2. Errores debido a un aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y

conceptos previos (C2).

Estos errores incluyen todas las deficiencias de conocimientos sobre contenidos y

procedimientos específicos para la realizar una tarea matemática. Es decir,

procedimientos incorrectos en la aplicación de técnicas y desconocimiento de

símbolos y conceptos necesarios para la resolución de problema matemático, o un

conocimiento inadecuado de hechos básicos que se suponen tienen claro en sus

proceso de enseñanza - aprendizaje.

2.2.2.3. Errores debido a asociaciones incorrectas o a rigidez del pensamiento

(C3).

Son errores generados cuando se propone solucionar problemas de forma similar a

otros ya realizados, generando una rigidez en el modo habitual de pensamiento y

26

una falta de flexibilidad para codificar y decodificar nueva información, a fin de poder

adaptarse a nuevas situaciones. Radatz (1980) “señala que en estos casos los

estudiantes desarrollan operaciones cognitivas, que continúan empleando aun

cuando las condiciones fundamentales de la tarea matemática en cuestión se hayan

modificado. Persistiendo en la mente algunos aspectos ene el contenido o del

proceso de solución, inhibiendo el procesamiento de nueva información”. (p. 1-20)

Dentro de esta clase de errores se encuentran: errores por perseverancia, errores

de asociación, errores de interferencia, errores de asimilación, errores de

transferencia negativa a partir de tareas previas.

2.2.2.4. Errores debido a la aplicación de reglas o estrategias irrelevantes (C4).

Este tipo de error surge con frecuencia por aplicar con éxito reglas o estrategias

similares en áreas de contenidos diferentes.

2.2.2.5. Errores debido a dificultades para obtener información espacial (C5).

Son errores generados por inconvenientes en la forma de concebir la manera de

pensar en una imagen, o visualizarla en el momento de resolver un problema.

Radatz (1980) señala: “que las diferencias individuales en la capacidad para pensar

mediante imágenes espaciales o visuales es una fuente de dificultades para muchos

estudiantes en la realización de las tareas matemáticas” (p. 1-20)

De acuerdo a lo anterior para el presente trabajo se tendrá presente las categorías

de errores de Radatz, ya que apuntan directamente a los objetivos general y

específicos, los cuales permiten ser contundente con el estudio en lo que tiene que

ver con el análisis de errores, así mismo los errores en el estudio de la matemática,

27

según no son simplemente la ausencia de respuestas correctas o el resultado de

accidentes desafortunados, ellos son la consecuencia de procesos definidos cuya

naturaleza debe ser descubierta, en ese orden la investigación presente encamina

a buscar los errores en los procesos y desarrollo de los estudiantes a fin de

identificar los errores

28

3. METODOLOGÍA

En este capítulo se propone, en primer lugar, ubicar las bases que fundamentan y

justifican la metodología que se implementó para la investigación; en segundo lugar

se describieron los elementos básicos en el diseño metodológico implementado.

Posteriormente, se expuso de forma detallada los instrumentos de recogida de la

información que se utilizaron en este estudio.

3.1. Enfoque de investigación.

El diseño de investigación establecida es mixta, ya que representan un conjunto,

es decir permite una combinación sistemática del método cuantitativo y cualitativo

en un solo estudio a fin de lograr una representación completa del fenómeno

estudiado, de tal manera que se conserve estructura y procedimientos originales,

pero con modificaciones. “forma modificada de los métodos mixtos”. (Chan, 2006

citado por Samperio, 2010).

En este orden la presente investigación para el análisis de errores aritméticos y

algebraicos en la resolución de problemas se abordan procesos de orden cualitativo

y cuantitativo, lo cualitativo como lo señala (Galeano, 2004, p. 24).

La intención de buscar la exactitud de mediciones o indicadores sociales con el fin

de generalizar sus resultados a poblaciones o situaciones amplias. Trabajan

fundamentalmente con el número, el dato cualificable, al igual Gómez (2006), señala

la definición clásica del término, que medir significa asignar números a objetos y

eventos de acuerdo a ciertas reglas (p. 121)

29

Y en cuanto a lo cualitativo es comprender e interpretar la realidad por los actores

participantes en el contexto estudiando (Flores, Gómez, Jiménez - Málaga: Aljibe,

1999) lo que infiere una implementación de dos dimensiones investigativas, que

permitirán responder al principio de complementariedad, dado que la temática, los

actores estudiados y la escala relativamente pequeña en la cual se investiga hacen

pertinente el trabajo dentro del paradigma cualitativo. Por ello, el análisis final

también se dará fundamentalmente en ese contorno, de tipo exploratorio ya que, de

acuerdo a lo señalado por Hernández (2006):

Los estudios exploratorios se realizan cuando el objetivo es examinar un tema o

problema de investigación poco estudiado, del cual se tiene muchas dudas o no

se ha abordado antes (…) Los estudios exploratorios sirven para familiarizarnos

con fenómenos relativamente desconocidos, obtener información sobre la

posibilidad de llevar a cabo una investigación más completa respecto de un

contexto en particular, investigar nuevos problemas, identificar conceptos o

variables promisorias, establecer prioridades para investigaciones futuras o

sugerir afirmaciones y postulados” ( p.100-103)

Lo que implica la pertinencia a este trabajo, ya que los cursos de nivelación

ofertados cada semestre llevan cinco años, pero no se ha hecho un análisis y

estudio concienzudo en lo que tiene que ver con los procesos de aprendizaje que

traen los Neo Tomasinos al ingresar a primer semestre.

Este estudio exploratorio combinará también aspectos descriptivos, ya que los

estudios descriptivos buscan “medir o recoger información de manera

independiente o conjunta sobre los conceptos o las variables a las que se refieren,

30

esto es, su objetivo no es indicar cómo se relacionan las variables medidas”

(Hernández, 2006, p.102).

Y el fin último básicamente es lograr la descripción de cada una de las asociadas al

fenómeno estudiado.

Es de aclarar que en la presente investigación no se proyectaron hipótesis, ya que

como es señalado por Hernández (2006, p.122) estas no se formulan cuando el

estudio es exploratorio o de tipo descriptivo, excepto que este último intente

pronosticar un hecho o dato, lo cual no es el caso para la presente investigación.

En ese orden lo descriptivo fue relevante ya que se pudo enunciar de forma

cualitativa el proceso de la resolución del problema como también cuantificar a su

vez el número porcentual de estudiantes que evidencian error al abordar el

problema. Finalmente, se trabajara con una muestra aleatoria correspondiente a

estudiantes de primer semestre de la facultad de Ciencias Administrativas y

Económicas de la USTA.

De acuerdo a lo anterior se desarrollaron las siguientes fases de la investigación:

1. Para el desarrollo de la presente investigación se construyó el problema a partir

de la situación real presentada en los cursos de nivelación, así como los objetivos

que se persiguieron para lograr los resultados, en un tiempo aproximado de mes y

medio.

2. Luego en lo que tiene que ver con antecedentes y marco teórico, donde se

consultaron diferentes autores y consultando trabajos de grado finales y las

31

investigaciones actuales en el mundo de la educación matemática

aproximadamente tres meses.

3. Para el trabajo metodológico inicialmente se elaboró el primer instrumento donde

se puso a consideración de pares internos en la USTA como pares externos

docentes de la universidad Distrital, luego se validó, un mes en este proceso

4. luego se identificó la población de acuerdo a listados de Neos que debían tomar

el curso de nivelación en matemáticas, se tuvo presente los de ciencias

administrativas y económicas únicamente

5. luego se procedió y se aplicó la prueba a los estudiantes Neo-Tomasinos, tres

meses en este proceso

6. siguiendo el orden del trabajo se procedió a realizar el instrumento de análisis de

resultados de la prueba de acuerdo a las categorías propuestas para tal fin, y luego

el análisis de las 65 pruebas, muestra representativa de la población de Neos de

ese semestre II del 2014, aproximadamente dos meses

7. Luego se sistematizó la información, para observar el comportamiento cualitativo

y cuantitativo de la muestra de acuerdo a lo establecido para este trabajo.

8. Se realizó lectura de cada problema por cada categoría de acuerdo a las tablas

1,2 y 3 y se establece su respectivo dictamen, en este trabajo tres meses. Y para

finalizar se procedió a la lectura de los resultados y se realizaron los análisis y

respectivos resultados en dos meses.

32

3.2. Población y muestra

La población que participó en esta investigación fueron 520 estudiantes de segundo

semestre del año 2014 de la universidad Santo Tomas, denominados Neo-

Tomasinos de la Facultad de Ciencias Administrativas y Económicas. Se llevó a

cabo una selección aleatoria al grupo de estudiantes de la facultad mencionada,

quedando con 65 estudiantes como muestra significativa para adelantar la

investigación. Esta prueba tiene un nivel de confianza del 95%.

En este estudio se adoptó una metodología cualitativa de naturaleza descriptiva y

exploratoria, que permite estudiar las formas como se presentan los errores en el

aprendizaje de algoritmos matemáticos en la resolución de problemas numéricos y

algebraicos.

3.3. Instrumentos de información

Con este propósito se diseñaron cuatro instrumentos a través de los cuales se

identificaron los errores en el aprendizaje de algoritmos matemáticos en la

resolución de problemas numéricos y algebraicos presentes en los estudiantes Neo-

Tomasinos de Ciencias Administrativas y Económicas. La mirada que se buscó

está planteada desde dos niveles de análisis, uno macroscópico y otro

microscópico.

3.4.1. Prueba

La prueba fue elaborada con 20 problemas, los cuales se sometieron a dos pares

académicos, dos docentes del Departamento de Ciencias Básicas de la universidad

Santo Tomas y dos docentes externos de la universidad Distrital. Esta prueba tuvo

33

problemas basados en los conocimientos mínimos que un estudiante de primer

semestre que ingresa a la universidad debe tener claro para iniciar su formación

profesional.

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y ECONÓMICAS

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS -MATEMÁTICAS NOMBRE: ____________________________CARRERA _________EDAD_____

Realizar cada uno de los problemas indicados.

1. 4 − 3{3 + 2(−1 − 3) − 3(1 − 6)} 2. Calcular(−2)0 − 1−32

3. 4

3+ 2 +

1

3

4. (1

3− 1)

−1

5. 3−1

2 + 3−2

6. √81 − 16

7. 4 + 2√3 + 2 + 3√3 − 11

8. Despeje el valor de 𝑥en 𝑦 =5+𝑥

3

9. a. Halle el valor de 𝑦en

−4𝑦 + 6 = 3𝑦 − 1

b. El valor de 𝑥en 3𝑥 =5

2

10. (2

3𝑎2)

2

11. (x + 1)2

12. La fracción irreducible de 4

12 es

13. Simplificar8a+4b

4

14. Si x = −1, y = 2, z = −3el valor de la

expresiónx2 + y2 − z2es:

15. √25 + 64

16. Una expresión equivalente a 1

√24es:

17. Si José tienexaños y Julia es 4 años más joven, ¿qué edad tiene Alfredo en cada caso? a. Alfredo es 1 año mayor que la edad

promedio de José y julia b. Alfredo es 2 años menor qué cinco

veces a la diferencia de las edades de José y Julia.

18. Encuentre el valor dex que satisface la

ecuación x2 = −x + 2 19. Una persona desea invertir$20.000 en

dos empresas de modo que el ingreso0 total por año sea de $1.440. Una empresa paga el 6% anual: la otra tiene mayor riesgo y paga un 7.5% anual. ¿Cuánto debe invertir en cada empresa?

20. Se desea alfombrar una sala que tiene 6 metros de largo, 4 metros de ancho y 2.5 metros de alto. ¿Qué cantidad de alfombra se debe comprar?

3.4.2. Análisis macroscópico de la prueba

El análisis macroscópico de la prueba de entrada en matemáticas, a los estudiantes

Neo-Tomasinos de ciencias administrativas y económicas buscó clasificar los

errores generados o promovidos en el aprendizaje de algoritmos matemáticos en la

resolución de problemas numéricos y algebraicos en estudiantes neo-tomasinos de

34

Ciencias Administrativas y Económicas, para esto se tuvo en cuenta el número de

problemas, clasificados en el entorno numérico, algebraico y verbal.

3.4.3. Análisis microscópico de la prueba

En lo que respecta al análisis micro, que versa sobre la descripción e interpretación

de las formas de conocer que tienen los estudiantes Neo-Tomasinos de Ciencias

Administrativas y Económicas sobre algoritmos matemáticos en la resolución de

problemas numéricos y algebraicos, se diseñaron tres instrumentos que permiten

una mirada en detalle de aspectos tales como: errores presentes en el contexto

algebraico, numérico y verbal, clasificando los mismos según su tipología.

La evaluación de los resultados obtenidos con los instrumentos diseñados y que se

mencionaron anteriormente se adelantó mediante las categorías de errores de

Radatz, resultado de investigaciones adelantadas por este autor en relación con

temáticas similares a la aquí propuesta.

El primer instrumento que se propone, indaga en el contexto numérico sobre los

errores presentes en los estudiantes Neo-Tomasinos de ciencias administrativas y

económicas; para esto se tienen en cuenta las propiedades:

De adición y multiplicación, se clasificaron los tres problemas propuestos

sobre esta temática y en cada uno de ellos se trata de definir los errores

cometidos en los mismos por cada estudiante que presento la prueba.

De potenciación, en los tres problemas propuestos sobre esta temática se

definieron las cuatro tipologías de errores, para poder identificar los mismos

en cada uno de los estudiantes.

35

De radicación, se clasificaron cuatro problemas propuestos sobre esta

temática y en cada uno de ellos se trata de definir los errores cometidos en

los mismos por cada estudiante que presento la prueba.

Contexto Propiedad Problemas C1 C2 C3 C4

Numérico

Adición y multiplicación

1

3

12

Potenciación

2

4

5

Radicación

6

7

15

16 TABLA 1. IDENTIFICACIÓN DE ERRORES EN EL CONTEXTO NUMÉRICO DE LA PRUEBA

El segundo instrumento propuesto buscó analizar los errores presentes en los

estudiantes Neo-Tomasinos de Ciencias Administrativas y Económicas en el

contexto algebraico, donde se tienen en cuenta las propiedades de adición o

multiplicación y la de potenciación.


Algebraico


8

9 a

b

13

Potenciación

10

11

18 TABLA 2. IDENTIFICACIÓN DE ERRORES EN EL CONTEXTO ALGEBRAICO DE LA PRUEBA

En el último instrumento propuesto se identificaron los errores presentes en el

contexto verbal; es decir, en la matematización de los problemas de naturaleza

algebraica y numérica, los cuales nos permiten evidenciar la interpretación,

36

argumentación y la proposición de los estudiantes Neo-Tomasinos de ciencias

administrativas y económicas en la resolución de problemas matemáticos.


Verbal

Interpretación 14

Argumentación 20

Proposición 17

a

b

18 TABLA 3. IDENTIFICACIÓN DE ERRORES EN EL CONTEXTO VERBAL DE LA PRUEBA

37

4. ANÁLISIS DERESULTADOS.

En este capítulo y tal como su nombre lo indica se presenta el análisis y los

resultados finales así como la presentación de los resultados de la investigación

adelantada. Lo aquí propuesto se plantea desde dos miradas distintas pero

complementarias, la primera analiza la estructura de la prueba su organización y

demás aspectos generales constituyéndose así en una mirada macroscópica o en

un análisis macroscópico de la prueba estudiada; la segunda por su parte mucho

más puntual que la primera intenta establecer de manera minuciosa y con la ayuda

de los instrumentos propuestos en la metodología, los tipos de errores identificados

en la prueba de entrada de los estudiantes Neo-Tomasinos de ciencias

administrativas y económicas, clasificándolos en los contextos numérico, algebraico

y verbal; esta segunda mirada pude ser considerada micro o un análisis

microscópico de la prueba.

Tanto el análisis macroscópico como el análisis microscópico buscó conjuntamente

determinar la existencia de evidencia en relación con elementos que puedan ser

considerados errores en el aprendizaje de algoritmos matemáticos en la resolución

de problemas numéricos y algebraicos en estudiantes Neo-Tomasinos de Ciencias

Administrativas y económicas.

4.1. Análisis Macroscópico

La prueba de entrada está compuesta por 20 problemas numéricos y algebraicos

en la resolución de problemas, los cuales están subdivididos en tres grandes

contextos, que son: numérico, algebraico y verbal. Con 10, 6 y 4 problemas

respectivamente.

38

Por otra parte, estos problemas no están presentados en forma consecutiva por

cada contexto, permitiendo al estudiante cambiar la manera de resolver cada

problema de forma diferente, explorando diferentes errores que se le podrían

presentar.

El análisis del diseño de la prueba está introducido por un mapa conceptual, que

favorece la reflexión sobre los errores en los estudiantes Neo-Tomasinos de

Ciencias Administrativas y Económicas.

ILUSTRACIÓN 1. ANÁLISIS MACRO DE LA PRUEBA

El mapa conceptual anterior nos muestra que la prueba no tiene problemas en el

contexto geométrico y gráfico, motivo por el cual los errores C5 (errores de

pensamiento espacial) no fueron tenidos en cuenta para la misma.

39

4.2. Análisis Microscópico

4.2.1. Contexto numérico de la prueba

En este contexto se analizaron 10 problemas en donde se revisaron los errores

presentados en las propiedades adición y multiplicación, potenciación y radicación,

con 3, 3 y 4 problemas respectivamente. Evidenciando la presencia de un 67.19%

de errores presentes en este contexto.

4.2.1.1. Errores en las propiedades de adición y multiplicación

En las propiedades de adición y multiplicación del contexto numérico el 59.61%de

estudiantes que realizaron la prueba presentan errores de alguna tipología, los

resultados obtenidos de las 65 pruebas realizadas fueron los siguientes:

Propiedad Problemas C1 C2 C3 C4


1 52 43 21 28

3 49 49 37 24

12 42 42 39 39 TABLA 4. RESULTADOS DE ERRORES EN EL CONTEXTO NUMÉRICO DE LA PROPIEDAD DE ADICIÓN Y

MULTIPLICACIÓN

En la propiedad adición y multiplicación del contexto numérico y teniendo en cuenta

la muestra de estudiantes que presentaron la prueba se pudo evidenciar que el

error:

1. Más frecuente es C1, con un 73.33% de recurrencia.

2. C2tiene una recurrencia del 68.71%.


4. C4presenta la menor recurrencia con un 46.67%.

40

En el problema 1 se buscó revisar los posibles errores presentes cuando se

solucionan problemas donde intervienen las propiedades de adición y

multiplicación. En este problema se ve la falta de jerarquía de las operaciones para

dar solución a operaciones de adición y multiplicación que involucran números

enteros y uso inadecuado de paréntesis, a fin de simplificar la expresión.

ILUSTRACIÓN 2. EVIDENCIA DE ERRORES EN EL PROBLEMA 1

En la anterior imagen se presenta una solución del problema 1, en donde se

evidencia el desconocimiento de la ley de los signos en operaciones con números

enteros y no aplica correctamente la jerarquía de operaciones y el uso inadecuado

de paréntesis. De igual manera, en esta imagen se observa que están presentes los

errores C1, C2, C3 y C4.

En la siguiente imagen se presenta una solución al problema 1 en donde el

estudiante identifica ley de signos al operar números enteros, pero no respeta la

jerarquía de la operación al realizar la destrucción de paréntesis en polinomios

aritméticos. Por tal razón, se evidencia que se presenta el error C1.


41

Luego para el problema 1se puede argumentar que el 55.53% de los estudiantes

presentan errores al solucionar este tipo de problemas.

En el problema 3 se busca revisar los posibles errores presentes cuando se

solucionan problemas donde intervienen las propiedades de adición y multiplicación

con números racionales en simultaneidad con números enteros. En este problema

se observa la falta de conocimientos de las operaciones básicas de números

racionales.



evidencia el desconocimiento del algoritmos de suma de fracciones, confundiendo

el concepto de fracción homogénea como heterogénea, lo que origina una

inadecuada solución al problema por tanto en esta imagen se observa que están

presentes los errores C1, C2, C3 y C4.


estudiante identifica el algoritmo de la suma de fracciones, pero realiza mal la suma

de números enteros al concluir la operación. Por tal razón, se evidencia que se

presenta el error C1y C2


42

Por lo observado en el problema 3se puede argumentar que el 61.15% de los

estudiantes presentan errores al solucionar este tipo de problemas. De igual

manera, se evidencia que en este problema se presentó el mayor porcentaje de

errores presentes en los estudiantes en la propiedad de adición y multiplicación en

el contexto numérico.


solucionan problemas donde intervienen las propiedades de simplificación de

números racionales. En este se ve la falta de conocimientos en lo que tiene que ver

con fracciones equivalentes.



evidencia el desconocimiento total de simplificación de fracciones como el concepto

de fracción irreducible, lo que origina una no solución al problema por tanto en esta

imagen se observa que están presentes los errores C1, y C2,.

Por lo observado en el problema 12se encontró que el 42.30% de los estudiantes


4.2.1.2. Errores en la propiedad potenciación

La propiedad de potenciación presentó la mayor presencia de errores del contexto

numérico en los estudiantes que presentaron la prueba, con un 71.53%en alguna

43

tipología de error; los resultados obtenidos de las pruebas realizadas fueron los

siguientes:


Potenciación

2 50 47 29 29

4 58 59 40 34

5 62 59 46 45 TABLA 5. RESULTADOS DE ERRORES EN EL CONTEXTO NUMÉRICO DE LA PROPIEDAD POTENCIACIÓN

En la propiedad adición y multiplicación del contexto numérico y teniendo en cuenta


error:

1. C1 tiene la mayor recurrencia con un 87.17%.

2. C2 tiene una recurrencia del 84.61%.

3. C3 tiene una recurrencia del 58.97%.

4. Con menor frecuencia es C4, con una recurrencia de55.38%.


solucionan problemas donde intervienen las propiedades de la potenciación y suma

de números enteros. En este se observa la falta de conocimiento y manipulación de

las operaciones con las propiedades de potenciación y el uso inadecuado de

cálculos para la simplificación de la expresión.



evidencia el desconocimiento de operaciones básicas de potenciación, como de

44

números enteros y el uso indebido de propiedades de la potenciación. De igual

manera, en esta imagen se observa que están presentes los errores C1, C2, C3 y C4.


estudiante hace uso inadecuado de la ley de signos al operar números enteros con

potencias; sin respetar la jerarquía de la operación al realizar la destrucción de

paréntesis en polinomios aritméticos. De ahí que, se evidenció el error C1 yC2.


Luego para el problema 2se puede afirmar que el 59.61% de los estudiantes

presentan errores al dar solución a este tipo de problemas. Siendo este problema el

de mayor porcentaje de errores presentes en los estudiantes en la propiedad de

potenciación en el contexto numérico.


solucionan problemas donde intervienen la propiedad de potenciación en

simultaneidad con números reales. En este problema se muestra la falta de

conocimientos de las operaciones básicas de números reales.



evidencia el desconocimiento de las propiedades básicas de potenciación,

45

confundiendo el uso inapropiado de exponentes negativos, lo que origina una



En la siguiente imagen se presenta una solución al problema en donde el estudiante

identifica el algoritmo de la suma de fracciones, pero no concluye la operación por

desconocimiento de propiedades de potenciación. Lo que deja ver una evidencia

que se presenta el error C1 y C2



estudiantes presentan errores al solucionar este tipo de problemas.


solucionan problemas donde intervienen las propiedades de simplificación de

potencias con números racionales y enteros simultáneamente. En este se

demuestra la falta de conocimientos en lo que tiene que ver con las propiedades

antes mencionadas.


46

La anterior imagen se presenta una solución del problema, en donde se evidencia

el desconocimiento y claridad en los conceptos de potencias racionales que originan

los radicales, confundiendo las propiedades de la potenciación, lo que origina una





4.2.1.3 Errores en la propiedad radicación

La propiedad de radicación presenta errores en el contexto numérico en los

estudiantes que presentaron la prueba, con un 69.61% en alguna tipología de error;

los resultados obtenidos de las pruebas realizadas fueron los siguientes:


Radicación

6 44 44 44 44

7 50 50 41 41

15 50 50 50 50

16 44 44 39 39 TABLA 6. RESULTADOS DE ERRORES EN EL CONTEXTO NUMÉRICO DE LA PROPIEDAD RADICACIÓN

En la propiedad radicación del contexto numérico y teniendo en cuenta la muestra

de estudiantes que presentaron la prueba se pudo evidenciar que el error:

1. C1yC2tienen la mayor recurrencia con un 72.30%.

2. Con menor frecuencia C3 yC4,con una recurrencia del 66.92%


solucionan problemas donde intervienen las propiedades de radicación. En este se

afirma la falta de conocimiento y manipulación de las operaciones con las

47

propiedades de los radicales y el uso inadecuado de cálculos para la simplificación

de la expresión.



evidencia el desconocimiento de propiedades básicas de los radicales, y el uso

indebido de propiedades de la potenciación con la radicación realizando

operaciones conjuntas. De igual manera, en esta imagen se observa que están

presentes los errores C1, C2,

En la siguiente imagen se presenta otra solución al problema 6 en donde el

estudiante hace uso inadecuado de las propiedades de los radicales y la distributiva

dentro de un radical; no respeta el orden de la operación al realizar la destrucción

del radical en la simplificación de radicales. De lo que, se evidencia el error C1 yC2.


Luego para el problema 6 se puede afirmar que el 67.69%de los estudiantes

presentan errores al dar solución a este tipo de problemas.


solucionan problemas donde intervienen la propiedad de simplificación de radicales

en simultaneidad con números reales. En este problema se muestra la falta de

conocimientos de las operaciones básicas de radicales como términos semejantes.

48



evidencia el desconocimiento de las propiedades básicas de simplificación y

reducción de radicales semejantes, así como el mal uso de productos con números

y radicales conjuntamente, lo que origina una inadecuada solución al problema por

tanto en esta imagen se observa que están presentes los errores C1, C2, C3 y C4.

En el problema 15se busca revisar los posibles errores presentes cuando se

solucionan problemas donde intervienen las propiedades de los radicales. En este

se observa nuevamente la falta de conocimientos en lo que tiene que ver con

simplificación de radicales.


La anterior imagen se presenta una solución del problema 15, en donde se

evidencia el desconocimiento total de simplificación empleando propiedades de los

radicales, confundiendo el concepto de raíz cuadrada de un entero y a su vez igual

cuando se presenta en suma, lo que origina una inadecuada solución al problema

por tanto en esta imagen se observa que están presentes los errores C1, C2, y C3



49


solucionan problemas donde intervienen las propiedades de los radicales y a su vez

las de potenciación. En este se ve nuevamente la falta de conocimientos en lo que

tiene que ver con radicación como potencia racional.


La anterior imagen se presenta una solución del problema 16, en donde se

evidencia el desconocimiento total de simplificación empleando propiedades de los

radicales, confundiendo el conceptos básicos de las propiedades, lo que origina una


presentes los errores C1, C2, y C3



4.2.2. Contexto Algebraico de la prueba


presentados en las propiedades adición y multiplicación y potenciación, con 3 y 3

problemas respectivamente. Evidenciando la presencia de un 64.72% de errores

presentes en este contexto.

50

4.2.2.1 Errores en las propiedades de adición y multiplicación

En las propiedades de adición y multiplicación del contexto numérico el 58.65%de

estudiantes que realizaron la prueba presentan errores de alguna tipología, los




8 48 48 37 35

9 A 41 42 27 25

B 41 42 27 25

13 44 44 42 42 TABLA 7. RESULTADOS DE ERRORES EN EL CONTEXTO ALGEBRAICO DE LA PROPIEDAD DE ADICIÓN Y

MULTIPLICACIÓN

En la propiedad adición y multiplicación del contexto algebraico y teniendo en cuenta


error:

1. Más frecuente es C2, con un 67.69% de recurrencia.






en la solución de ecuaciones lineales en una variable. Se muestra la falta de

jerarquía al realizar las operaciones para dar solución al despeje de la variable

indicada, donde las operaciones de adición y multiplicación que involucran números

enteros e irracionales se efectuaron de manera incorrecta.

51



evidencia el desconocimiento de la transposición de términos numéricos como

algebraicos al realizar el despeje de la incógnita, por lo que aplica incorrectamente

la jerarquía de operaciones. De igual manera, en esta imagen se observa que están

presentes los errores C1, C2, y C3.

Como se evidencia en la siguiente imagen, al resolver la ecuación se nota la falta

de identificación semántica de lo que se pide, no identifican la jerarquía o las

operaciones a realizar, así realizaron trasposición de términos sin ubicar

lógicamente el proceso, o verificar si era correcto lo que hacían. Las demás pruebas

manifiestan deficiencias en el aprendizaje, así como falta de conocimientos previos

para realizar un procedimiento correcto, por tanto no realizaron los problemas. Por

tal razón, se evidencia que se presenta el error C1. Y C2.




En el problema 9a y 9b se busca revisar los posibles errores presentes cuando se


en la solución de ecuaciones lineales en una variable, pero a diferencia del problema

52

8 se busca de manera inmediata las operaciones de transposición de números de

un lado a otro de la igualdad. Se muestra la falta de jerarquía al realizar las

operaciones para dar solución al despeje de la variable indicada, observándose la

no identificación de operaciones básicas de transposición de términos y despeje de

una incógnita, como lo muestra la imagen siguiente:


De igual manera, en esta imagen se observa que están presentes los errores C1,

C2, y C3.

Por tal razón, se evidencia que se presenta el error C1.yC2.

Luego para el problema 9a y 9bse puede inferir que el 51.92% de los estudiantes




en la simplificación de expresiones algebraicas. Se evidencio el desconocimiento al

ejecutar operaciones elementales de simplificación, donde las operaciones de

adición y multiplicación que involucran números y letras se efectuaron de manera

incorrecta.

53


En la anterior imagen se presenta una solución del problema 13, donde se evidencia

el desconocimiento de la factorización como un producto de expresiones

algebraicas con términos numéricos, por lo que se evidencia que aplica

incorrectamente las propiedades de adición y multiplicación. De igual manera, en

esta imagen se observa que están presentes los errores C1, C2, y C3.

Como se evidencia en la siguiente imagen, al abordar el problema se nota la falta

de identificación semántica de lo que se pide, así como el desconocimiento de

términos semejantes al sumar expresiones algebraicas, Las demás pruebas

manifiestan deficiencias en el aprendizaje, así como falta de conocimientos previos

para realizar un procedimiento correcto, por tanto no realizaron los problemas de

una forma correcta. Por tal razón, se evidencia que se presenta el error C1. yC2.

ILUSTRACIÓN 21. EVIDENCIA DE ERRORES EN EL PROBLEMA13



4.2.2.2. Errores en la propiedad potenciación

La propiedad de potenciación en el contexto algebraico también presentó la mayor

presencia de errores del contexto algebraico en los estudiantes que presentaron la

54

prueba, con un 72.82%en alguna tipología de error; los resultados obtenidos de las

pruebas realizadas fueron los siguientes:


Potenciación

10 50 50 43 42

11 48 48 38 36

18 59 59 48 47 TABLA 8. RESULTADOS DE ERRORES EN EL CONTEXTO ALGEBRAICO DE LA PROPIEDAD POTENCIACIÓN

En la propiedad potenciación del contexto algebraico y teniendo en cuenta la

muestra de estudiantes que presentaron la prueba se pudo evidenciar que el error:

1. C1 y C2tienen la mayor recurrencia con un 80.51%.


3. Con menor frecuencia es C4, con una recurrencia de 64.10%.


solucionan problemas donde intervienen las propiedades de la potenciación con

términos algebraicos. En este se observa la falta de conocimiento y manipulación

de las operaciones con las propiedades de potenciación aplicadas al algebra de

términos algebraicos y numéricos simultáneamente, así como el uso inadecuado de

cálculos para la simplificación de la expresión.


55


evidencia el desconocimiento de operaciones básicas de potenciación, como de

manejo de términos algebraicos donde involucra potencias. Por consiguiente en

esta imagen se observa que están presentes los errores C1, C2, y C3


estudiante hace uso inadecuado al operar números racionales con potencias

realizando un error semántico, solo tiene presente la variable para desarrollar el

problema; sin respetar la jerarquía de la operación al realizar la destrucción de

paréntesis al aplicar la potencia. De ahí que, se evidenció el error C1 yC2.


Luego para el problema 10 se puede afirmar que el 71.15% de los estudiantes

presentan errores al dar solución a este tipo de problemas.


solucionan problemas donde intervienen la propiedad de potenciación con

expresiones algebraicas. En este problema es observable la falta de conocimientos

de las operaciones básicas de potenciación con productos de expresiones

algebraicas.

56



evidencia el desconocimiento de las propiedades básicas de potenciación,

confundiendo el uso inapropiado de suma de cantidades algebraicas elevadas a

una potencia, lo que origina una inadecuada solución al problema por tanto en esta

imagen se observa que están presentes los errores C1, C2,

En la siguiente imagen se presenta una solución al problema en donde el estudiante

identifica el algoritmo de la suma de expresiones algebraicas elevadas a una

potencia como una ecuación sin ésta estar presente, de igual manera concluye la

operación asumiendo la veracidad de su proceso. Lo que deja ver una evidencia

que se presenta el error C1y C2





solucionan problemas donde intervienen ecuaciones de grado dos. En este se ve la

falta de conocimiento del algoritmo para dar solución en lo que tiene que ver con las

57

propiedades de potenciación al dar solución a problemas de ecuaciones

cuadráticas.


La anterior imagen se presenta una solución del problema, en donde se evidencia

el desconocimiento y claridad en los conceptos y de algoritmo para dar solución al

problema, confundiendo las propiedades de la potenciación al sustituir términos

numéricos en la expresión que involucra la ecuación, lo que origina una inadecuada

solución al problema por tanto en esta imagen se observa que están presentes los

errores C1, C2, y C3



4.2.3. Contexto verbal de la prueba


presentados en la forma de interpretar, argumentar y proponer en la resolución de

problemas, con 1, 1 y 2 problemas propuestos respectivamente. Evidenciando la

presencia de un 84.15% de errores presentes en este contexto.

58

4.2.3.1 Errores en la forma de interpretar

En la propiedad de interpretación del contexto verbal el 66.15%de estudiantes que

realizaron la prueba presentan errores de alguna tipología, los resultados obtenidos

de las 65 pruebas realizadas fueron los siguientes:

Forma Problema C1 C2 C3 C4

Interpretar 14 46 46 40 40

TABLA 9. RESULTADOS DE ERRORES EN EL CONTEXTO VERBAL E LA FORMA DE INTERPRETAR

En la propiedad de interpretación del contexto verbal y teniendo en cuenta la

muestra de estudiantes que presentaron la prueba se pudo evidenciar que el error:

1. Más frecuentes son C1 y C2, con un70.77% de recurrencia.

2. C3 y C4presenta la menor recurrencia con un 61.54%.

En el problema 14 se busca revisar los posibles errores presentes al interpretar

problemas. En este se evidencia la falta de jerarquía al realizar la interpretación de

la manera como realiza las operaciones para dar solución al problema, a fin de

simplificar la expresión.



evidencia una mala interpretación de lo que debe hacer y además realizando

secuencialmente operaciones indebidas. De igual manera, en esta imagen se

observa que están presentes los errores C1, C2, C3 y C4.

59


estudiante aborda el problema pero no interpreta los procesos lógicos para dar

solución al mismo, no respeta la jerarquía de la operación al realizar el cálculo de

las potencias. Por tal razón, se evidencia que se presenta el error C1. Y C2.


En ese orden para el problema 14se puede evidenciar que el 66.15% de los


4.2.3.2. Errores en la forma de argumentar

Al argumentar en el contexto verbal el 82.30%de estudiantes que presentaron la

prueba presentan errores de alguna tipología, los resultados obtenidos de las 65

pruebas realizadas fueron los siguientes:

Forma Problema C1 C2 C3 C4

Argumentar 20 58 58 49 49

TABLA 10. RESULTADOS DE ERRORES VERBAL EN LA FORMA DE ARGUMENTAR

En la forma de argumentar en el contexto verbal y teniendo en cuenta la muestra de

estudiantes que presentaron la prueba se pudo evidenciar que el error:

1. Más frecuente sonC1 y C2, con un 89.23% de recurrencia.

2. C3 y C4presentan la menor recurrencia con un 75.38%.


argumenta la solución de un problema. En este se observa la falta de jerarquía al

argumentar como plantear la para dar solución al problema,

60



evidencia una equivocada argumentación al abordar la posible solución, ya que

desconoce y confunde el concepto de área de una figura plana con los elementos

dados para dar solución al problema de lo que debe hacer y además realizando

secuencialmente operaciones indebidas en lo que tiene que ver con el ara de una

figura plana. De igual manera, en esta imagen se observa que están presentes los

errores C1, C2, y C3


estudiante aborda el problema pero no argumenta los procesos lógicos para dar

solución al mismo, Por tal razón, se evidencia que se presenta el error C1. Y C2.

. ILUSTRACIÓN 30. EVIDENCIA DE ERRORES EN EL PROBLEMA20



61

4.2.3.3 Errores en la forma de proponer

Al proponer la solución de un problema en el contexto verbal el 81.92%de

estudiantes que presentaron la prueba presentan errores de alguna tipología, los


Forma Problemas C1 C2 C3 C4

Proponer 17

a 62 62 45 44

b 62 62 45 44

19 59 59 48 47 TABLA 11. RESULTADOS DE ERRORES EN EL CONTEXTO VERBAL DE PROPOSICIÓN

Al proponer la solución de un problema en el contexto verbal y teniendo en cuenta


error:

1. C1 y C2tiene la mayor recurrencia con un 93.85%.




propone la solución a un problema. En este se evidencia la confusión al pasar del

lenguaje natural al lenguaje matemático al realizar la proposición a su solución,

confunde con el planteamiento de una ecuación cuando en el contexto no está

presente.

62


En la anterior imagen se evidencia lo dicho. De igual manera, en esta imagen se

observa que están presentes los errores C1, C2, y C3


estudiante no aborda el problema y tampoco propone un proceso lógico para dar

solución al mismo. Por tal razón, se evidencia que se presenta el error C1., C2. yC3.

. ILUSTRACIÓN 32. EVIDENCIA DE ERRORES EN EL PROBLEMA17




proponen soluciones a un problema. En este se observa la confusión al pasar del

lenguaje natural al lenguaje matemático lo que no hubo respuesta al problema

planteado.

63


En la anterior imagen se evidencia lo dicho. De igual manera, en esta imagen se

observa que están presentes los errores C1, C2, y C3

En ese orden para el problema 19 se puede evidenciar que el 81.92% de los


Como se mostró al final de cada problema al ser analizado cuantitativamente,

también se deja ver con las diferentes ilustraciones la parte cualitativa como se

abordó cada problema por parte de los estudiantes, éstas son una representación

de las 65 pruebas y se escogieron las más relevantes ya que coincidían en los

mismos procesos casi siempre. Lo que se logra descubrir de acuerdo a las

categorías establecidas es que los estudiantes traen esquemas de conceptos y

propiedades matemáticas muy débiles para el inicio de su formación universitaria,

así también un desconocimiento total de como pasar del lenguaje cotidiano al

lenguaje formal o matemático al realizar el planteamiento de problemas teóricos,

que para dar resolución deben plantear un modelo o un expresión matemática,

empleando símbolos, que se supone traen desde su formación secundaria. Es

sorprendente la manera como desconocen las operaciones básicas de números

enteros como racionales, como si nunca hubiesen recibido conocimientos de los

64

mismos, las ilustraciones presentadas acerca de este tema son fiel evidencia de lo

dicho, ya que se nota un aprendizaje deficiente de esquemas previos básicos y falta

de destreza en la aplicación de algoritmos aritméticos.

También es fundamental que se presentó una gran cantidad de errores debido a

asociaciones incorrectas, lo que conllevo a soluciones incorrectas pero que dejo con

abierta la intuición que tenía idea de lo que debía hacer, pero desconocimiento y

duda lo obligo a realizar un procedimiento correcto del resolución del problema.

Por último acerca de este contexto es de aclarar que en términos generales nadie

aprobó la prueba, lo que indica que de acuerdo a las categorías propuestas para la

presente investigación fueron un éxito y se logró establecer los objetivos

propuestos.

En ese orden de ideas y de acuerdo a lo comentado anteriormente y los resultados

evidentes en las ilustraciones y datos numéricos, se hace necesario direccionar el

curso de nivelación a Neos, es decir proponer un trabajo minucioso y profesional

por parte del docente que recibe a estos estudiantes, tener presente el tema de

errores matemáticos cometidos por los mismos en la resolución de problemas

aritméticos y algebraicos, para que las guías de trabajo durante el curso de

nivelación sean efectivas y se logre en gran parte superar estos errores, así como

hacer un gran esfuerzo en los cursos superiores de matemáticas en recalcar sobre

la importancia del error en matemáticas para que en el proceso de enseñanza

aprendizaje de conceptos nuevos de su formación universitaria, éstos conceptos

no se vean enlodados por el error y el aprendizaje sea eficiente y cumpla con los

objetivos que se persiguen.

65

5. CONCLUSIONES.

Lograr claridad absoluta en relación con los errores presentes en la prueba,

puede convertirse en una tarea compleja que demanda entre otras

experiencias y formación, sin embargo en investigaciones como ésta, tal

mirada se hace necesaria. Para este caso resulta de utilidad en la medida

que permite comprender errores de los estudiantes Neo-Tomasinos de la

facultad de ciencias económicas y administrativas que presentaron la prueba,

permitiendo así un juicio valorativo apropiado de los errores aquí expuestos.

Con base en los resultados obtenidos en la investigación, queda en evidencia

que el error C1 en los contextos aritmético, algebraico y verbal, es el de mayor

recurrencia con un 86.07% en los estudiantes Neo-Tomasinos de la Facultad

de ciencias económicas y administrativas. En donde se detectó el mal uso de

redacción y desconocimiento de lenguaje matemático; lo que no permite

avances en la solución de un problema.

Se evidencia un aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos

previos, porque se encontró carencias de conocimientos sobe contenidos y

procedimientos en algoritmos matemáticos en la resolución de problemas

numéricos y algebraicos. Es decir, el 85,15% de los estudiantes Neo-

tomasinos de ciencias administrativas y económicas que presentaron la

prueba cometen el error C2.

En los estudiantes Neo-tomasinos de ciencias administrativas y económicas

que presentaron la prueba, persisten algunos aspectos del contenido o del

proceso de solución que inhiben el procesamiento de nueva información,

66

estos errores se evidenciaron en los diferentes contextos, con una

recurrencia del 67.30%,

El error C4 aunque es el de menor recurrencia en los contextos aritmético,

algebraico y verbal, es muy alto; porque el 65.30% de los estudiantes Neo-

Tomasinos de la facultad de ciencias económicas y administrativas lo

cometen. Esto se debe a la mala aplicación de reglas o estrategias al

solucionar un problema.

Sin olvidar lo referente al concepto de error, se puede decir que entre otros

los siguientes son algunos de los elementos que resultarían importantes al

momento de caracterizar el concepto en cuestión:

En general son reproducibles en los diferentes contextos en el que

aparece el concepto.

Surgen con frecuencia por aplicar con éxito reglas o estrategias

similares en áreas de contenidos diferentes.

La falta de compresión semántica de los problemas matemáticos son

fuente de errores.

Las deficiencias de conocimientos sobre contenidos y procedimientos

específicos para la realización de una tarea matemática,

procedimientos incorrectos en la aplicación de técnicas y dominio

insuficiente de símbolos y conceptos necesarios ocasionan errores.

El error resiste al rechazo y goza de una gran adaptabilidad.

El error no puede ser considerado como una falta de conocimiento, es

en realidad una concepción del concepto que no funciona

correctamente en todo contexto.

67

En contextos particulares la presencia del error puede ser

imperceptible, esto motivado por el hecho de tener respuestas

correctas en situaciones específicas.

En relación con los instrumentos empleados en el análisis de la prueba, se

puede señalar que los mismos cumplieron la función principal, sin embargo

es importante comentar que instrumentos de esta categoría son escasos,

este hecho motiva la necesidad de adaptar y construir (en este caso),

herramientas que permitan el análisis pretendido, con el consabido trabajo

que esto implica.

68

6. Recomendaciones y sugerencias

Se sabe de antemano que la enseñanza de la Matemática es una práctica muy

complicada, la cual no permite un proceso fijo o una recta, y por lo anteriormente

evidenciado tampoco es posible por ahora un proceso metodológico que permita

tratar el error en matemáticas en los mismos avances de la enseñanza-aprendizaje

de la misma, como tampoco existan estrategias que sean bien apropiadas para cada

situación donde se tipifique el error matemático por parte de un estudiante y dar

solución al mismo. Por tal razón y a manera de propuesta, y lógico sugerencia los

docentes que orientas las matemáticas básicas a estudiantes universitarios están

en el deber de trabajar de forma continua el error, es decir darle al error presencia

en el aula al desarrollo de la clase, produciendo intencionalmente el error a fin que

sea el estudiante el que llegue a sus propias conjeturas y conclusiones, pues

partiendo del hecho que ya han tenido formación en determinados temas de

matemática básica obligándolo a retomar esquemas previos bien definidos.

Por otro lado también es importante dar a conocer la presente investigación al

departamento de ciencias básicas a fin de socializar los resultados con todos los

docentes del área de matemáticas, a pesar que el director esté enterado del

presente trabajo, con ello motivar a los docentes a charlas, talleres que permitan

permear el estudio de los errores en matemáticas en la resolución de problemas

aritméticos y algebraicos no solo en Neos si no en cada uno de los estudiantes de

cursos superiores que se imparten a la facultad de ciencias económicas y

administrativas, pues allí hay conceptos previos de matemática básica que deberán

emplearse al resolver un problema específico.

69

También realizar una investigación al interior del departamento donde se profundice

acerca del estudio de los errores y se elabore una propuesta didáctica que se

aproxime a la superación de los mismos y que se aplique en el curso de nivelación

en matemáticas o dejar la propuesta abierta a maestrantes en educación de la

universidad Santo Tomas, retomando sobre una línea de investigación que permita

el trabajo investigativo de los diferentes docentes del área de matemáticas ya sea,

primaria, secundaria o universitaria.

70

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