Decimales Equivalentes

Los números naturales son un sistema de referencia que ayuda a fijar las nociones de cantidad y orden. Una de las presentaciones más usadas de los números naturales es como sistema decimal, que consiste en el uso de los 10 símbolos

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9

para representar cualquier número natural mediante cadenas finitas

La cadena 4568 tiene en el sistema decimal la característica de representar 8 unidades, más 6 grupos de 10 unidades, más 5 grupos de 10 grupos de 10 unidades, más 4 grupos de 10 grupos de 10 grupos de 10 grupos.

Simbólicamente

4568 4 1000 5 100 6 10 8

Una vez que ha sido elegida una unidad, los números en base 10 no permiten describir las partes de una cantidad, sin embargo es posible extender la noción de número decimal para lograr una descripción de este tipo.

Se retoma la idea de hacer grupos de diez pero en otro sentido. La posición de un dígito en un número en base 10 indica si se consideran unidades o grupos de grupos de grupos … de diez unidades.

Se puede aproximar cualquier fracción usando divisiones en 10 partes, de divisiones en 10 partes, … ,de divisiones en 10 partes, de la unidad.

Al igual que en la representación de los números naturales en base 10 resultan de gran importancia las potencias de 10, los números decimales descritos con anterioridad se entienden usando los números

1 1 1, ,

10 100 1000

Continuando con la idea de notación posicional de los números en base 10, entendemos cadenas del tipo 51,3742 como

Que de hecho pueden ser representadas como una fracción decimal

La interpretación de un número decimal como fracción decimal, advierte que una representación decimal puede dar lugar a otras representaciones decimales de acuerdo a la cantidad de fracciones decimales equivalentes que tenga una fracción decimal.

Nos daremos cuenta que de hecho son infinitas, ya que por amplificación por 10 a partir de una fracción decimal se obtiene otra fracción decimal, logrando así infinitas representaciones equivalentes.

El número 7,35 puede ser representado por la fracción decimal

Pero esta fracción es equivalente a las fracciones decimales

Lo que lleva a pensar en la equivalencia entre los números

7,35 7,350 7,3500 7,35000 …

Consideramos a dos decimales finitos como equivalentes si alguno es obtenido a partir del otro concatenando cualquier cantidad (finita) de ceros.

Esta noción de equivalencia expresa en el fondo que dos decimales finitos son equivalentes si representan la misma parte de una cantidad.

Los decimales finitos no copan todos los posibles números fraccionarios, para esta tarea es necesario introducir expresiones decimales infinitas, que llevan consigo una redundancia parecida a la recientemente vista, pero ligada con otro problema (convergencia), y escapa a la complejidad de esta presentación.