Equilibrio
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EQUILIBRIO ESTÁTICO Y ELASTICIDAD
Una sola fuerza actúa sobre
un cuerpo rígido en el punto
P. El brazo de palanca de F respecto de O es la distancia
perpendicular d desde O hasta la línea de acción de F.
Cuándo un objeto está en equilibrio o cuándo
no lo está, debemos conocer el tamaño y forma del
objeto y los puntos de aplicación de las diferentes
fuerzas.
Un objeto rígido se define como aquel que no
se deforma con la aplicación de fuerzas externas.
Esto es, todas las partes del objeto rígido
permanecen a la misma distancia unas respecto de
las otras cuando el objeto es sujeto a fuerzas
externas.
La deformación se debe considerar como algo
importante para entender la mecánica de
materiales y el diseño estructural. Tales
deformaciones son generalmente de naturaleza
elástica y no afectan las condiciones de equilibrio.
Por elástico entendemos que cuando dejan de
actuar las fuerzas deformadoras, el objeto regresa a
su forma original. Se definirán diferentes
constantes elásticas, cada una correspondiente a
diferentes tipos de deformación.
CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE UN
CUERPO RÍGIDO
Considere una sola fuerza F actuando sobre un cuerpo rígido
como en la figura. El efecto de la
fuerza sobre el cuerpo depende de
su punto de aplicación P. Si r es el
vector de posición de dicho punto
relativo a O, la torca asociada a la fuerza F respecto de O está dada por
τ = r x F
Una sola fuerza actúa sobre
un cuerpo rígido en el punto
P. El brazo de palanca de F respecto de O es la distancia
perpendicular d desde O hasta la línea de acción de F.
Fuerzas equivalentes
Dos fuerzas F1 y F2 son equivalentes si y sólo si F1 = F2 y producen
el mismo momento de una fuerza respecto de un punto dado.
La fuerza resultante externa debe ser igual a cero. ΣF = 0
La torca externa resultante debe ser cero respecto al origen. Στ = 0
Existen dos casos de equilibrio que se encuentran con frecuencia:
• El primero se refiere a un cuerpo rígido sujeto sólo a dos fuerzas.
• El segundo es el de un cuerpo rígido sujeto a tres fuerzas.
Caso I. Si sobre un cuerpo rígido actúan dos fuerzas, estará en equilibrio si y sólo
si las dos fuerzas son iguales en magnitud, de dirección opuesta, y su línea de acción es
la misma. En la figura 1, el cuerpo está en equilibrio debido a que las
fuerzas tienen la misma línea de acción. En estas condiciones, es fácil ver
que la torca total alrededor de cualquier eje es cero.
Caso II. Si un cuerpo sujeto a tres fuerzas se encuentra en equilibrio, las líneas de acción de
las tres fuerzas se deben intersecar en un punto común. Esto es, las fuerzas deben ser
concurrentes. (Una excepción a esta regla es el caso en donde ninguna de las líneas de
acción se intersecan. En ese caso, las fuerzas deben ser paralelas.) La figura 2
muéstrala regla general. Las líneas de acción de las tres fuerzas pasan por el punto S.
Las condiciones de equilibrio requieren que F1 + F2 + F3 = O y que el momento
de la fuerza total respecto de cualquier eje sea cero. Observe que en tanto las
fuerzas sean concurrentes, el momento de una fuerza total respecto de un eje que
pasa por S debe ser cero.
Puede demostrarse fácilmente que si un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional y
el momento de una fuerza total es cero respecto de un punto, la torca será cero
respecto de cualquier punto.
Στо = r1 x F1 + r2 x F2 + r3 x F3 +...
Ahora considérese otro punto arbitrario, O, con un vector de posición r' relativo a O. El
punto de aplicación de F1 relativo a este punto se identifica por el vector r1 - r ' . De la
misma manera, el punto de aplicación de F2 relativo a O' es r2 - r', y así sucesivamente.
Por lo que la torca respecto de O' es:
Στо’ = (r1 – r’) x F1 + (r2 – r’) x F2 + (r3 – r’) x F3 +...
Στо’ = r1 x F1 + r2 x F2 + r3 x F3 +... – r’ x (F1 + F2 + F3 + …
Dado que se asumió que la fuerza total es cero, el último término
de la ecuación anterior desaparece y se puede ver que Στo’ =
Στo . De aquí que, si un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional y el momento de una fuerza total respecto de un punto es cero, deberá ser cero respecto de cualquier otro punto.
Primera condición de equilibrio:
Para un cuerpo extendido, si su centro de masa tiene
aceleración cero, es porque la resultante de todas las fuerzas
externas actuando sobre el cuerpo es cero.
Segunda condición de equilibrio:
La suma de los momentos de torsión debido a todas las
fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, respecto a
cualquier punto específico, debe ser cero.
Un cuerpo rígido que se encuentra en reposo (sin traslación ni
rotación) se dice que se encuentra en EQUILIBRIO ESTATICO.
Centro de gravedad
La aceleración debida a la gravedad disminuye con la altura;
sin embargo, si esta variación a lo largo de la dimensión
vertical del cuerpo es despreciable, el centro de gravedad (cg)
es idéntico al centro de masa.
“Si la gravedad tiene el mismo valor en todos los puntos de
un cuerpo, el centro de gravedad es idéntico al centro de
masa”.
Parado sobre una viga horizontal
Una viga horizontal uniforme de 8 m de longitud
y 200 N de peso está sujeta a una pared mediante
un perno que permite girar a la viga. En el otro
extremo está sostenida por un cable que forma un
ángulo de 53° con la horizontal ver figura. Si una
persona de 600 N se encuentra a 2 m de la pared,
determínese la tensión en el cable y la fuerza
ejercida sobre la viga por la pared.
Problema 1: Equilibrio de cuerpos rígidos
Solución Primero debemos identificar todas las fuerzas externas que actúan sobre la
viga. Éstas son: su peso, la tensión T en el cable, la fuerza R ejercida por la pared en el
pivote (la dirección de esta fuerza es desconocida), y el peso de la persona sobre la viga.
Estas se indican en el diagrama de cuerpo libre de la viga (ver figura). Descomponiendo
T y R en sus componentes horizontal y vertical y aplicando la primera condición de
equilibrio, se obtiene:
(1) ΣFx = R cosθ – T cos53° = 0
(2) ΣFy = R senθ + T sen3° - 600N - 200N = 0
(3) Στo = (Tsen53°)(8) - (600)(2m) - (200N)(4m) = 0
T = 313 N
R cosθ = 188 N θ = 71.1 °
R senθ = 550 N
R = 188 N / cos 71.1 ° = 581 N
Una tabla uniforme de masa M=90kg y longitud L=6.0m descansa sobre dos
caballetes separados por una distancia D=1.5m, situados a distancias iguales del
centro de la tabla. Una persona trata de parase en el extremo de la tabla como lo
muestra la figura.
Determinar la masa máxima que puede tener la persona para que la tabla no se
mueva.
Problema 2: Centro de gravedad
