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Unidad III
MOMENTO ANGULAR Y SU CON‐
SERVACION
x30
o
30o
A
B
C
Figura 1
Objetivo: Enunciar, analizar y aplicar el
principio de conservación del vector mo‐
mento angular.
Conceptos de la unidad: Vector posición
en su componente radial, componentes
radial ( ) y transversal ( ) del vector
velocidad, componentes tangencial ( ) y
normal ( ) del vector aceleración, com‐
ponentes tangencial ( ) y normal ( )
del vector fuerza, movimiento circular,
vector velocidad angular ( ), vector ace‐
leración angular (
rv θ v
Ta
Na
TF NF
ω
α ), movimiento circular
uniforme (MCU), movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA), vector
momento angular ( ), variación temporal
del momento angular, conservación del
vector momento angular, fuerzas centra‐
les, concepto de cuerpo rígido, momento
angular de un cuerpo rígido, momento de
inercia (I ), ejes principales de inercia, teo‐
rema de Steiner.
L
Herramientas matemáticas:
Notación
de
vectores, componentes rectangulares de
un vector, magnitud y dirección de un
vector, suma de vectores, vectores unita‐
rios, límite de una función, derivación,
integral definida, determinantes, producto
cruz entre dos vectores, sumatoria e inte‐
gración.
ENUNCIADOS
1. Tres vectores se orientan como se
muestra
en
la
figura
1,
donde
sus
magnitudes están dadas por
, y .
Determine la magnitud y dirección,
respecto al eje y , de los vectores:
a) . b)
u020. A = u040. B = u030.C =
CBAV ++=1 CBAV −−=2 .
c) . d) CBAV −−=2 CBAV −+−=3 .
2. Demuestre que si la suma y la diferen-
cia de dos vectores, son perpendicula-
res, los vectores tienen magnitudesiguales.
3. Aplicando la definición de produc‐
to escalar, obtenga el ángulo entre
los
vectores
a
y
b ,
cuyas
componen‐
tes rectangulares son kjia 333 −+=
y kjib 32 ++= .
4. Los cables AB y AC se sujetan a la pla‐
ca rectangular, como se ilustra en la fi‐
gura 2. a) Halle las componentes de la
fuerza ejercida sobre la placa en B y el
ángulo que forma con cada uno de los
ejes coordenados, si la tensión en el ca‐
ble AB es de . b) Encuentre las
componentes
de
la
fuerza
ejercida
so‐ bre la placa en C y el ángulo que forma
con cada uno de los ejes coordenados,
si la tensión en el cable AC es de
. C) Obtenga la fuerza resultan‐
te que actúa sobre A debido a la acción
de los dos cables, si la tensión en cable
AB es y en el cable AC de
.
lb285
lb426
lb285lb426
x
y
z
Figura
2
46 pul
18
pul
30 pul
45
pul
A
B
C
D
O
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5. Como se muestra en la figura 3, un
camarógrafo que se encuentra en el
punto A, sigue el movimiento de
un auto de carreras que recorre una
pista curva con una rapidez cons‐
tante de . Determinar la ra‐
pidez angular (
-1sm30
t θ d d ) a la que el
hombre debe girar con el objeto de
mantener la cámara en la dirección
del auto.
6. Un auto da una vuelta alrededor de
una circunferencia de radio con
una rapidez de . a) Halle la
magnitud de su aceleración centrípeta.
b) ¿La aceleración del auto es constan‐
te? Explique.
m63112
−ms
7.
La posición
de
una
partícula
en
de
‐
terminado sistema de coordenadas
está expresada por el vector
)/sen()cos( jir T tt/T π π −= 4 . De‐
termine A) La ecuación de la tra‐
yectoria. b) El tipo de movimiento
que tiene la partícula. c) El vector
desplazamiento cuando los tiempos
son , , . d) El
ángulo que
el
vector
posición
forma
con el eje +x , para un t arbitrario.
/3T t = /2T t = T t 2=
8. Un cuerpo tiene un MCU, donde el
origen de coordenadas coincide con el
centro de la trayectoria. Suponga que
el cuerpo se mueve en sentido horario.
Muestre la gráfica de la trayectoria cir‐
cular y dibuje los vectores velocidad y
aceleración del cuerpo, cuando este se
encuentra en las posiciones a) (R , 0), b)
(0. R), c) ( 2/R− , 2/R ). d) Resuel‐va los numerales anteriores suponien‐
do que
el
cuerpo
se
mueve
en
sentido
antihorario.
9. Mediante una cuerda, un estudiante
hace girar una piedra alrededor de su
cabeza, de tal forma que describe una
circunferencia horizontal. El radio de
la trayectoria es y el tiempo en
dar una vuelta es de . Encuentre a)
la rapidez de la piedra y b) la magni‐
tud de la aceleración de la piedra. c)
¿Qué
se
puede
afirmar
respecto
a
la aceleración tangencial y a la acelera‐
ción de la piedra? Explique.
cm960s11.
20 m
20 m
20 m
20 m
A
r
30 ms - 1
B
Figura
3 10. La órbita de la Luna alrededor de la
Tierra es prácticamente circular con un
radio de y un período de
. Halle a) la magnitud de la
aceleración de la Luna en su movi‐
miento alrededor de la Tierra y b) la
frecuencia correspondiente.
m810853 ×.días327.
11.
En
un
acelerador
de
partículas,
los
protones viajan con una velocidad cer‐
cana a la velocidad de la luz
( ), siguiendo una trayecto‐
ria circular de radio . Encuentre
la magnitud de la aceleración de cada
uno de estos protones a) en , b)
en unidades de
18103 −
× mskm1
2−ms.
12. Un volante de de radio, está
girando alrededor de un eje hori‐
zontal
mediante
una
cuerda
enro‐
llada alrededor de su borde y que
tiene un cuerpo atado en su extre‐
mo. Si la posición vertical del cuer‐
po está dada por la ecuación cine‐
mática , donde x se da en m
y t en s, encuentre para cualquier
m1.6
210 tx =
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instante, a) la velocidad angular
del volante y b) la aceleración an‐
gular del volante.
BC
R = 0.8 mA1 .2 m
Figura 4.
30o
13. Un automóvil se mueve en una pis‐
ta circular de de radio. Par‐
te del reposo, en el punto
y se mueve en di‐
rección contraria a las manecillas
del reloj, con aceleración tangencial
uniforme, de modo que regresa al
punto de partida con una velocidad
de , después de haber dado
una vuelta. El origen del sistema de
coordenadas cartesianas está en el
centro
de
la
pista
circular.
a)
De‐
termine la velocidad del automóvil,
cuando ha dado un octavo de vuel‐
ta a la pista. b) Exprese la posición
y la velocidad en este punto en
términos de los vectores unitarios a
lo largo de los ejes x y y.
km001.
km)0km,(1.00
-1sm30
14. La magnitud de la velocidad perifé‐
rica de los dientes de una hoja de
sierra
circular,
de
250
mm
de
diá‐metro, es cuando se apaga
el motor de la herramienta y la ve‐
locidad de los dientes decrece a un
ritmo constante hasta detenerse al
cabo de 9 s. Hallar a) La aceleración
angular de la sierra. b) El despla‐
zamiento angular de los dientes, en
el instante que la sierra se detiene.
c) El instante en que la aceleración
total de los dientes es .
1sm45 −
2sm40 −
15. Como se muestra en la figura 4, un
pequeño bloque de , se suelta
desde el reposo en A y desliza sin
fricción por la superficie del plano
inclinado. El trayecto BC, es un arco
de circunferencia de radio
g300
m80. R = . Hallar la velocidad y la
fuerza que sobre el bloque ejerce la
superficie, en el instante que: a)
Llega
a
B.
b)
Sale
de
B.
16. Una bala de masa y velocidad
horizontal v , pasa a través de la es‐
fera de un péndulo simple de masa
m
,
saliendo
con
una
velocidad
horizontal 2v/ , como en la figura 5.
La esfera del péndulo cuelga del ex‐
tremo de una cuerda de longitud .
Halle la rapidez mínima de la bala
para el cual el péndulo describirá
una circunferencia completa.
d
d
O
v v/2Figura 5
17. Responda cada una de las siguientes
preguntas. a) Una partícula se mueve
en el plano de la hoja. ¿Qué dirección
tiene su momento angular, respecto a
un punto ubicado en el plano de mo‐
vimiento?
Explique. b)
Una
partícula
se mueve en línea recta y su rapidez
aumenta. Respecto a un punto P por
fuera de la trayectoria ¿es constante la
magnitud y dirección del momento
angular respecto a P? Explique. c)
Cuando una partícula tiene un MCU,
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¿es constante la magnitud o la direc‐
ción de su momento angular, respecto
al centro de su trayectoria? Explique.
d) Cuando una partícula describe una
trayectoria circular con rapidez varia‐
ble,
es
constante
la
magnitud
o
la
di‐
rección de su momento angular res‐
pecto al centro de la trayectoria? Ex‐
plique.
18. Un observador se encuentra al
sur de una carretera que va de este a
oeste, y un auto de masa de
masa se mueve sobre ella hacia este. a)
Halle la magnitud y dirección del mo‐
mento angular del auto, respecto al ob‐
servador, en
el
instante
que
se
encuen
‐
tra justo al norte del mismo con una
rapidez de . b) Calcule el
momento angular del auto después de
haber recorrido por la vía, des‐
de el momento anterior, si lleva la mis‐
ma velocidad. c) ¿Qué puede concluir
de los resultados anteriores? Explique.
m125
kg1340
1−sm36.4
m325
19. Determine la magnitud del momento
angular orbital de Marte con respecto
al
Sol,
sabiendo
que
describe
una
tra‐
yectoria circular de de
radio. La masa de Marte es
y el período de su órbi‐
ta es . ¿Qué movimiento
tiene Marte? Explique.
km810282 ×.
kg106.46 23×
días5687.
20. Encuentre el momento angular de una
partícula de en el instante que
su posición está dada por el vector po‐
sición y su veloci‐
dad
por
el
vector
.
kg14.
m)( jir 4153 .. +−=
1362 −−−= sm)( jiv .
21. Halle el momento angular. con respec‐
to al origen, de una partícula de
que se mueve en el plano ,
en el instante que cruza el eje en
con una velocidad de
formando un ángulo de
con el eje .
kg3.6 xy
xm64.x =
1−sm2.4rad0.76 x
22. Una cuenta de desliza sin fricción
sobre un alambre circular de de
radio orientado verticalmente, como se
ilustra
en
la
figura
6.
Si
la
cuenta
se
suelta en
g72
cm93
rad870.=θ , halle el mo‐mento angular de la cuenta respecto al
origen C, cuando pase por el eje . x
Figura
6
g
RC x
y
23. Un sistema está formado por tres par‐
tículas con momentos angulares
,
y
, respecto
al origen. Halle el momento angular
del sistema respecto al origen.
iL )smkg(2.4 2a1−
=
kL )smkg6.1( 2 b1−
−=
184 −+−= sm)kg61( 2c j.iL .
24. Dos partículas de igual masa se
mueven en
sentidos
opuestos
a lo
lar
‐
go de rectas paralelas separadas una
distancia , con igual rapidez . De‐
muestre que la magnitud del vector
momento angular del sistema con res‐
pecto a cualquier punto es igual a
.
m
d v
mvd25. Responda cada una de las siguientes
preguntas. a) En un recipiente de plás‐
tico se tiene gelatina en reposo. ¿La ge‐
latina
se
puede
considerar
como
un
cuerpo rígido? Explique. b) Cite algu‐
nos ejemplos se cuerpos sólidos que se
pueden considerar como cuerpos rígi‐
dos. c) Cite algunos ejemplos se cuer‐
pos sólidos que no se pueden conside‐
rar como cuerpos rígidos.
