ENUNCIADOS DE EJERCICIOS SOBRE GEOMETRIA EN EL ESPACIO

1) Dados el punto A(1, 0, 1) y el plano p º x + y + z - 4 = 0, se pide calcular:

a) La proyección ortogonal de A sobre p.

b) La distancia de A a p.

c) La ecuación de una recta paralela a p que pase por A.

d) El ángulo que forma p con la recta: .

(Solución)

2) Determina según el valor de a la posición de los planos: y - z = 0, x + y - z = a,

x + az = 2a.

(Solución)

3) Dadas las rectas r1: y r2 = ; determina el valor de k

para que las rectas sean paralelas .

(Solución)

4) Sea P el punto P(1, 0, -1), Q el simétrico de P respecto del plano x - 2y = 0 y R el

simétrico de Q respecto del plano x + 2y + z = 1. Calcula la ecuación del plano que

contiene a los tres puntos.

(Solución)

5) Consideremos las familias de rectas ra: x = ay = z, donde aÎR.

a) ¿Están todas estas rectas en el mismo plano?. En caso afirmativo, da la ecuación

del plano.

b) ¿Para qué valor de a se obtiene una recta perpendicular al plano x + 3y + z = 0?

(Solución)

6) Dados los vectores (del espacio), ¿es siempre posible encontrar otro

vector tal que multiplicado vectorialmente por nos dé el vector ? ¿Por qué?

(Solución)

7) Determina razonadamente si las rectas:

se cortan o se cruzan. Halla también el coseno del ángulo que forman sus

direcciones.

(Solución)

8) Estudia la posición relativa de las rectas

r: y s: x = -y = -z.

(Solución)

9) Considera el plano de R3 de ecuación 3x + ay + z = 6. Determina a de manera que

la recta que pasa por el punto (1, 1, 2) siendo perpendicular a este plano sea

paralela al plano x - y = 3. Escribe las ecuaciones paramétricas de esta recta.

(Solución)

10) a) De todas las rectas que pasan por A = (2, -1, 1), halla una que

sea perpendicular a la recta s

b) Halla el ángulo que forman la recta s con el plano 2x + 3z - 3 = 0.

(Solución)

11) Dadas las rectas:

r y s , se pide:

a) Ecuación del plano 1 paralelo a s que contiene a r.

b) Ecuación del plano 2 perpendicular a s que contenga a r.

c) Ecuación de la recta t perpendicular a ambas que pase por el origen.

d) Distancia entre las rectas.

(Solución)

12) a) Calcula la distancia entre el plano de ecuación = 4x + 2y - 5z = 20 y el que

contiene a los puntos A(1, 0, -1), B(-2, 2, 1) y O, origen de coordenadas.

b) Calcula el área del triángulo que forma con los ejes.

(Solución)

13) Dado el plano 2x - y + z + 1 = 0 y la recta s , halla el plano

que pasa por A(4, 0, -1), es paralelo a s y perpendicular a .

(Solución)

14) En R3 se tiene el plano 2x - y - 3z = 1. Calcula:

a) La recta perpendicular a que pasa por el punto (-1, 2, -1).

b) La recta paralela a que pasa por (2, 2, 2).

c) La recta que pasa por (2, 1, 1) y corta el plano.

d) La distancia a la recta del apartado b) al plano.

(Solución)

15) Considera la dos rectas r y r’ de R3 dadas por las ecuaciones:

r : , y r’: .

Indica si hay algún valor de ‘a’ para el cual r y r’ se corten, y si hay algún valor de ‘a’

para el cual sean paralelas.

(Solución)

16) Calcula la recta simétrica de la recta r de ecuación: , respecto del

plano x + y + z - 2 = 0.

(Solución)

17) Calcula la posición relativa de la recta r y el plano

ax - y + 2z = 5, según los valores de a, obteniendo los puntos de contacto si los

hubiera.

(Solución)

18) Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta:

r x - 4 = = z y es paralelo a la recta s

(Solución)

19) Dadas las rectas:

r y s ,

calcula a para que las rectas r y s sean coplanarias y calcula el punto de

intersección.

(Solución)

20) Determina a para que las rectas:

r y s sean paralelas.

b) Para ese valor de a, calcula la distancia entre ambas.

c) Busca la ecuación cartesiana del plano que las contiene.

(Solución)

21) ¿Para qué valor de a, la recta:

,

forma un ángulo de 60° con el plano: z = 1?

(Solución)

22) Busca un vector que sea ortogonal a los vectores (2, -1, 0) y (3, 4, -2) a la

vez y que tenga módulo 1.

(Solución)

23) Discute según los valores de k la posición relativa de estos 3 planos:

kx + 3y + z = 4, x + y + kz = 1 y x + 4y + z = 5.

(Solución)

24) Busca el plano perpendicular al plano 4x - 3y + 2z - 9 = 0, que pasa por

los puntos: A(2, -6, 4) y B(3, -7, 5).

(Solución)

25) ¿Cuál es la posición relativa entre el plano 2x - y + 3z = 1 y la recta

r ?

Calcula la distancia del plano a la recta.

(Solución)

26) a) Encuentra las ecuaciones de los planos paralelos al plano 4x - 4y + 2z = 1

que disten de éste una unidad de longitud.

b) Calcula el volumen del tetraedro que forma el plano con los ejes de

coordenadas.

(Solución)

27) Calcula las coordenadas del simétrico del punto P(3, -1, 2) respecto de la recta

r º

x - 3y + z = 3

y - z = 6 .

(Solución)